Chapitres O1 à O6 DS n◦5

DS n◦5 : Physique des ondes

L’usage de la calculatrice est autorisé.. Durée : 3h.

L’énoncé comporte quatre problèmes indépendants :

Problème A : Etude d’un système de positionnement GPS, d’après CCP PSI 2010.

Problème B : Onde électromagnétique dans un câble coaxial, d’après CCP PSI 2011.

Problème C : Influx nerveux, d’après Centrale PSI 2015

Problème D : Rayonnement radio de la couronne solaire, d’après Centrale MP 2018

Problème E : Guide d’onde, d’après CCP MP 2010

Le candidat traitera au choix l’un des sujets suivants :

Sujet 1 : Problème A + Problème B + Problème Cou

Sujet 2 (plus difficile) : Problème C + Problème D + Problème E

Merci d’indiquer clairement sur la première page de votre copie : le sujet choisi, si vous désirez que soitindiqué votre classement.

Une application numérique donnée sans unité sera considérée comme fausse. La notation tiendra compte dusoin, de la clarté et de la rigueur de la rédaction. Les résultats non justifiés n’apporteront pas de points. Pensezà numéroter vos feuilles.

Merci de m’envoyer par mail votre travail Samedi après-midi dans un fichier unique pdf. Pour ceux quiprennent leurs feuilles en photo pour le scan, pensez à utiliser un bon éclairage...

Le candidat peut traiter les différents problèmes du sujet qu’il aura choisi dans l’ordre souhaité. S’il repèrece qu’il lui semble être une erreur d’énoncé, le candidat est invité à le signaler sur sa copie en expliquant lesraisons des initiatives qu’il est amené à prendre. L’énoncé comporte 18 pages.

1 PSI, lycée de l’Essouriau, 2019/2020

Il] B) Etude du système de positionnement par satellite (G.P.S.) :

Les premières couches de l'atmosphère terrestre sont constituées de gaz électriquement neutres et, du point de vue électromagnétique, peuvent être assimilées au vide. Au contraire, la dernière couche appelée ionosphère, est un plasma, c'est-à-dire un gaz partiellement ionisé, très dilué, localement neutre et constitué d'électrons et d'ions atomiques monochargés. Le vide et le plasma ont pour permittivité électrique ê0 et pour perméabilité magnétique µ0 •

On notera m la masse de l'électron et -e sa charge électrique, Mla masse d'un ion et +e sa charge électrique. On remarquera que, quelle que soit la nature de l'ion, m est négligeable devant M Il y an ions et n électrons par unité de volume dans l'ionosphère. Ces particules sont supposées non relativistes, c'est-à-dire que leur vitesse est très inférieure à la célérité c de la lumière.

Les signaux électromagnétiques envoyés depuis la surface de la terre vers un satellite G.P.S. (situé à très haute altitude) doivent traverser l'ionosphère. Il en est évidemment de même pour les signaux émis par le satellite vers la surface de la terre.

On envoie depuis la surface de la terre vers le satellite G.P.S. une onde électromagnétique plane, progressive, monochromatique, polarisée rectilignement, qui traverse d'abord les premières couches de l'atmosphère, puis l'ionosphère, pour atteindre le satellite.

Pour cette étude, on ne tient pas compte de la géométrie sphérique de la terre. On considère le problème comme localement plan. L'axe des z est l'axe vertical ascendant. On utilise les notations complexes habituelles, les champs électrique et magnétique associés à cette onde ont pour expression : Ë = Ë0 exp( i( mt- kz)) et Ë = Ë0 exp( i( OJt- kz)) .

13/16

Problème A

CCP Physique 2 PSI 2011 — Énoncé 2/12

2/12

On a : R1 = 0,25 mm, R2 = 1,25 mm et l = 100 m.

Dans la mesure où les champs électromagnétiques ne pénètrent pas dans les conducteurs

parfaits, on assimilera le câble coaxial à deux surfaces parfaitement conductrices, cylindriques,

coaxiales. Le conducteur (1) a un rayon R1, le conducteur (2) a un rayon R2 (figure 1). Ces deux

conducteurs ont même longueur l. Vu que l >> R2, on négligera les effets de bord. L’espace entre

les conducteurs sera assimilé au vide sauf explicitation contraire.

Figure 1 : Portion de câble

On note ( , , )r zu u uθG G G

la base en coordonnées cylindriques.

R2

R1

z

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/HV� FkEOHV� FRD[LDX[� VRQW� XWLOLVpV� FRPPH� PR\HQ� GH� WUDQVPLVVLRQ� G·LQIRUPDWLRQV�� ,OV� VRQW�FRQoXV�SRXU�WUDQVPHWWUH�GHV�VLJQDX[�VDQV�WURS�G·DWWpQXDWLRQ�HW�SRXU�DVVXUHU�XQH�SURWHFWLRQ�FRQWUH� OHV�SHUWXUEDWLRQV� H[WpULHXUHV�� 2Q� OHV� XWLOLVH� QRWDPPHQW� SRXU� OHV� FkEOHV� G·DQWHQQH� GH� WpOpYLVLRQ�� SRXU�WUDQVPHWWUH� GHV� VLJQDX[� DXGLR�QXPpULTXHV�� DLQVL� TXH� SRXU� GHV� LQWHUFRQQH[LRQV� GDQV� OHV�UpVHDX[�LQIRUPDWLTXHV��

Un câble coaxial est formé de deux très bons conducteurs, de même longueur l , l’un entourant l’autre. L’un est un conducteur massif de rayon R1, appelé l’âme du conducteur. L’autre est

un conducteur cylindrique creux de rayon intérieur R2 et de rayon extérieur R3, appelé la gaine du

conducteur. L’espace inter-conducteur comporte un isolant.

Problème B

La partie I est retirée du sujet (détermination des capacités et inductance linéiques)

Un formulaire est donné en fin d'énoncé.

CCP Physique 2 PSI 2011 — Énoncé 4/12

4/12

( , , ) cos( ) rE r z t t kz ur

ω= −

II] Onde électromagnétique dans un câble coaxial :

A] Détermination de l’onde électromagnétique :

On se place ici dans le cadre général de la théorie de l’électromagnétisme. On considère le

câble comme infini suivant l’axe des z. Une onde électromagnétique se propage à l’intérieur du

câble dans la région R1 < r < R2, assimilable à du vide. Elle est définie par son champ électrique :

G α G où α est une constante positive.

On lui associe le champ électrique complexe : ( )( , , ) j t kz rE r z t e ur

ωα −=G

G

.

On a : ( , , ) Re( ( , , ))E r z t E r z t=G G

où Re signifie partie réelle.

De même, il existe un champ magnétique ( , , )B r z tG

auquel on associe le champ complexe :

( , , )B r z tG

, avec ( , , ) Re( ( , , ))B r z t B r z t=G G

.

12) L’onde est-elle plane ? est-elle progressive ? Si oui, préciser sa direction de propagation.

13) On note E0 l’amplitude maximale du champ électrique dans le câble coaxial. Préciser

l’unité de E0 et exprimer ( , , )E r z tG

en fonction de E0, r, z, k, ω, t et R1.

14) Rappeler les quatre équations de Maxwell dans le vide et préciser en quelques mots le

contenu physique de chacune d’elles.

15) A partir des équations de Maxwell, retrouver l’équation de propagation vérifiée par le

champ électrique. En déduire la relation de dispersion liant k et ω. Le milieu est-il dispersif ?

16) Déterminer en fonction de E0, r, t, ω, k et R1, l’expression du champ magnétique complexe

( , , )B r z tG

associé à cette onde, à une composante permanente près (indépendant du temps).

Justifier pourquoi on peut considérer cette composante comme nulle.

B] Puissance transportée :

17) On désigne par πG

le vecteur de Poynting associé à cette onde électromagnétique.

Déterminer l’expression de πG

en fonction de E0, R1, r, k, ω, z, t et µ0.

18) Déterminer l’expression de la puissance moyenne transportée P, par le câble en fonction de

E0, R1, R2, c et µ0.Application numérique : en déduire l’amplitude E0 du champ électrique sachant que la

puissance moyenne transportée est de 10 W.

C] Etude de l’interface r = R1 :

19) Rappeler l’équation de passage du champ électrique à la traversée d’une surface chargée.

Par application de cette relation de passage, et en remarquant que le champ électrique est

nul à l’intérieur du conducteur (1), en déduire l’expression de la densité surfacique de

charge sur le conducteur (1), en fonction de E0, 0ε , k, ω, z et t.

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C] Etude de l'interface en r=R1.

On rappelle les équations de passage pour les champs électriques et magnétiques:

CCP Physique 2 PSI 2011 — Énoncé 5/12

5/12

20) Rappeler l’équation de passage du champ magnétique à la traversée d’une nappe de

courant. Par application de cette relation de passage, et en remarquant que le champ

magnétique est nul dans le conducteur (1), en déduire que le conducteur intérieur est

parcouru par une densité surfacique de courant 1sjG

qu’on exprimera en fonction de E0, µ0,

c, ω, k, t et z. On remarquera que 1sjG

est contenu dans le plan tangent au conducteur

puisqu’il s’agit d’un courant surfacique.

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Constantes physiques

0 9

µo = 4π.10-7

H.m-1

1

36. .10ε

π= F.m-1

c = 3.108 m.s

-1

Opérateurs vectoriels en coordonnées cylindriques

zr

G

ez

∂UGe

∂U

r

G

er

∂UgradG

∂++

∂= θ

∂θ

1(U )

∂1 ( ) a( )1a( )

r.r adiv

r r r z

θ

θ

∂ ∂= +

a( )z+∂ ∂ ∂

G

)1 § ∂1 ( . ) ( )r a ∂θ a1a( )a( )z θ r z r

r z

a ( )a ( )arot e e

G

er z ∂r r r

θ∂θ ¹ θ

(∂∂ § ∂ ·∂§ · ·− ¸ ¨+ − −¸ + ¨ ¸

∂ ∂ r ∂© ¹= ¨© ∂z ¹ ©

G G G G

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 ∂ 1 1( )

U ∂U U U ∂U U ∂ UU r

r r r ∂ ∂θ z

∂ ∂ ∂ ∂∆ = + + + = + +

∂ r r∂ ∂ z∂ rθ r∂ r∂

)2 21 1

( + 2 u +¸ ¨∆ −θ ( − 2 )r

r r r z z

a aGa a a a a a u

r

θθ

¹θ

∂ ∂§ · § ·∆ = ¨∆ −

G

u +θ (∆¸∂ ¹θ r ∂©©

G G

G G G G G G

rot[rot(a)] grad[div(a)]= − a∆

2015-03-18 09:49:51 Page 3/8

IV L’in f lux nerveuxLes cellules ciliées qui se trouvent sur la membrane basilaire réagissent aux vibrations de celle-ci et les amplifient. Leurs cils s’inclinent de quelques millièmes de degré et déclenchent des signaux électriques que les nerfs transmettent au cerveau.

IV.A – Modèle électrique des fibres nerveuses (cette partie ne comporte pas de questions)Les axones (ou fibres nerveuses) les plus simples sont formés d’une membrane lipidique enfermant un liquidephysiologique riche en ions (l’axoplasme) et baignant dans un liquide cellulaire également riche en ions. Un axoneest modélisé par un cylindre de longueur importante par rapport à son diamètre. La différence de potentiel entrel’axoplasme et le liquide extérieur est de l’ordre de −7 0 mV. Les données géométriques et électriques desconstituants de l’axone sont données figure 3 (la résistivité électrique est l’inverse de la conductivité électrique).Les propriétés passives de l’axone illustrées sur la figure 4 sont déterminées par :

− la résistance de l’axoplasme (𝑅u�) s’opposant au passage du courant le long de l’axone ;− la résistance de la membrane (𝑅u� = 1/𝐺u� ) déterminant la fuite du courant ;− la capacité de la membrane (𝐶u�) capable d’emmagasiner des charges électriques à l’intérieur et à l’extérieur

de la membrane.

Problème C

2015-03-18 09:49:51 Page 4/8

liquide cellulaire

axoplasmerésistivité 𝜌u� = 0,5 Ω⋅m

diamètre 𝑑 = 10 µm

membranerésistivité 𝜌u� = 7,1 × 104 Ω⋅mpermittivité relative 𝜀u� = 8épaisseur 𝑒 = 7 nm

Figure 3 Vue en coupe schématisée d’un axone

𝑅u�

𝐶u� 𝐺u�

𝑅u�

𝐶u� 𝐺u�

𝑅u�

𝐶u� 𝐺u�

Figure 4 Circuit électrique équivalent de l’axone

IV.B – Constante d’espaceChaque longueur élémentaire de longueur d𝑥 de la fibre nerveuse est modélisée par une cellule représentée figure 5.

𝑖(𝑥, 𝑡) 𝑟u�d𝑥 𝑖(𝑥 + d𝑥, 𝑡)

𝑐u�d𝑥 𝑔u�d𝑥𝑢(𝑥, 𝑡) 𝑢(𝑥 + d𝑥, 𝑡)

𝑥 𝑥 + d𝑥

Figure 5 Schéma électrique élémentaire d’une fibre nerveuse

IV.B.1) Que devient ce schéma en régime permanent ?IV.B.2) Déterminer les équations différentielles vérifiées par 𝑢(𝑥) et 𝑖(𝑥), puis celle vérifiée par 𝑢(𝑥) seulement.Faire apparaitre une constante 𝜆, appelée constante d’espace, homogène à une distance. Donner l’expression de𝜆. Effectuer l’application numérique.IV.B.3) Exprimer 𝑢(𝑥) en fonction de 𝑢(0) et de 𝜆. Préciser la signification physique de 𝜆.IV.B.4) Certains axones sont entourés d’une gaine de myéline, sorte de graisse aux propriétés électriquesisolantes. Des mesures de tension électrique peuvent être effectuées le long de telles fibres. On obtient desrésultats du type de ceux présentés figure 6.En déduire la conductance linéique de fuite de l’axone myélinisé (que l’on notera 𝑔 ′u� par la suite), puis laconductance linéique de la gaine de myéline seule. Conclure.

IV.C – Régime variableOn se place en régime dépendant du temps et on supposera que les axones sont myélinisés. On supposera dansun premier temps que la capacité linéique par unité de longueur de l’axone est inchangée par rapport à un axonenon myélinisé.IV.C.1) Déterminer les équations différentielles vérifiées par 𝑢(𝑥, 𝑡) et 𝑖(𝑥, 𝑡) puis celle vérifiée par 𝑢(𝑥, 𝑡)seulement.On envisage dans la suite une solution sous forme d’onde plane progressive monochromatique 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢0eu�(u�u�−u�u�).

Dans la suite on utilisera les vameurs numériques suivantes:

Résistance linéique: ra=6,4.109 Ohm.m-1

Capacité linéique: cm=0,32 µF.m-1

Conductance linéique: gm=63 mS.m-1

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𝑥 (mm)0 1 2

𝑢(𝑥) (unité arbitraire)

Figure 6 Évolution de la tension le long d’un axone myélinisé

IV.C.2) À quelle condition sur 𝜔, 𝑐u� et 𝑔 ′u� l’équation différentielle vérifiée par 𝑢(𝑥, 𝑡) se simplifie-t-elle en∂2𝑢(𝑥, 𝑡)

∂𝑥2= 𝑟u�𝑐u�

∂𝑢∂𝑡

? À quelles fréquences cela correspond-il ? Conclure.

On supposera cette condition vérifiée par la suite.IV.C.3) Quel est le phénomène décrit par cette équation ? Citer d’autres exemples analogues.IV.C.4) Déterminer la relation de dispersion entre 𝜔 et 𝑘. Montrer que le milieu est dispersif et absorbant.Que valent les vitesses de phase et de groupe ? Quelle relation lie ces deux grandeurs ?IV.C.5) Mettre en évidence une distance caractéristique d’atténuation. Commenter.

IV.D – Ça brûle !Pour donner une explication et une image simpliste de la transmission des influx nerveux dans une fibre nerveuse,on pourrait dire que le signal électrique qui se propage par conduction électrique le long de l’axone, est ré-amplifiérégulièrement (aux nœuds de Ranvier), ce qui le ralentit (cf. figure 7).

myéline nœud de Ranvier

Figure 7 Schéma d’un axone myélinisé et nœuds de Ranvier

Les fibres nerveuses connectées aux cellules sensibles à la douleur sont entourées d’une gaine de myéline (dontla capacité linéique 𝑐 ′u� est inférieure à 𝑐u�), contrairement à celles sensibles à la chaleur. Expliquer pourquoi,lorsqu’on se brûle, on a mal avant d’avoir chaud.

Données numériquesPermittivité diélectrique du vide 𝜀0 = 8,85 × 10−12 F⋅m−1

Perméabilité magnétique du vide 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 H⋅m−1

Constante des gaz parfaits 𝑅 = 8,31 J⋅K−1⋅mol−1

Constante d’Avogadro 𝒩u� = 6,02 × 1023 mol−1

Constante de Boltzmann 𝑘u� = 1,38 × 10−23 J⋅K−1

Masse molaire de l’air 𝑀air = 28,8 g⋅mol−1

Rapport des capacités thermiques massiquesisobares et isochores de l’air 𝛾 = 𝐶u�/𝐶u� = 1,40

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III Rayonnement radio de la couronne solaireLe Soleil émet un rayonnement radioélectrique sur un large spectre. Ce rayonnement résulte de processus thermiques et non thermiques. On s’intéresse au deuxième cas.

III.A – Propagation dans un plasmaOn considère un plasma d’hydrogène totalement ionisé, localement neutre et dont la densité volumique d’élec-trons est 𝑛𝑒. Un électron a une masse 𝑚𝑒 et une charge −𝑒. Dans ce plasma, on étudie une onde électromagnétiqueplane harmonique de pulsation 𝜔.

Données numériques

ℎ = 6,626 × 10–34 J⋅s𝑅 = 8,314 J⋅K–1⋅mol–1

𝑘𝐵 = 1,381 × 10–23 J⋅K–1

𝒩𝐴 = 6,02 × 1023 mol–1

𝑐 = 299 792 458 m⋅s–1

𝐺 = 6,67408 × 10–11 m3⋅kg–1⋅s–2

𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 H⋅m–1

𝜀0 = 8,854 × 10–12 F⋅m–1

𝑅𝑠 = 6,96 × 108 m𝑀𝑠 = 1,99 × 1030 kg𝑔𝑠 = 274 m⋅s–2

1 eV = 1,602 × 10–19 J

Constantes

Constante de PlanckConstante des gaz parfaitsConstante de BoltzmannConstante d’AvogadroCélérité de la lumière dans le videConstante de la gravitation universellePerméabilité magnétique du videPermittivité diélectrique du vide

Soleil

RayonMasseChamp de pesanteur à la surface solaire

Données diverses

Électron-voltMasse du protonMasse de l’électron

𝑚𝑝 = 1,673 × 10–27 kg𝑚𝑒 = 9,109 × 10–31 kg

Charge de l’électron −𝑒 = –1,602 × 10–19 CMasse molaire atomique du ferNuméro atomique du chlore

𝑀Fe = 55,8 g⋅mol–1

𝑍 = 17

Problème D

L’essentiel du rayonnement visible du Soleil provient de sa photosphère, que l’on désignera par « surface solaire ». Elle est entourée d’une fine couche appelée chromosphère, puis de la couronne, laquelle est obser-vable enparticulier lors des éclipses. La figure 1 (pho-tographie de Luc Viatour https ://lucnix.be) montre la couronnesolaire observée en France lors de l’éclipse totale de 1999. La Lune, qui masque le Soleil, a un dia-mètre apparentpresque identique à celui du Soleil.La couronne est un milieu fortement variable et in-homogène. Sa structure est profondément influencée par lechamp magnétique solaire. Dans tout ce pro-blème, on ignore ces aspects et on étudie, sauf men-tion contraire,une « couronne moyenne », idéalisée et à symétrie sphérique. Dans un premier temps, on éva-lue sa température(partie I). On estime ensuite son contenu électronique (partie II). Le rayonnement ra-dio qui provient du Soleilnous renseigne sur des pro-priétés physiques des régions d’émission (partie III). La couronne s’étend dansl’espace interplanétaire et sera bientôt approchée par la mission Parker Solar Probe (partie IV). La trajectoirede cette sonde pour-ra être corrigée par un moteur à hydrazine (partie V).

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Q 29. Rappeler brièvement les hypothèses et les approximations qui permettent d’établir l’expression

𝜎(𝜔) = 𝑛𝑒𝑒2

i 𝑚𝑒𝜔de la conductivité complexe du plasma en fonction de la pulsation.

Q 30. Établir la relation de dispersion dans le plasma.Q 31. À quelle condition une onde plane progressive harmonique peut-elle se propager dans ce milieu ? Quelleest la nature de l’onde dans le cas contraire ?

III.B – Oscillations plasmaLe milieu n’est plus supposé localement neutre. On néglige le mouvement des protons, de densité volumique𝑛0. Les électrons, de densité volumique 𝑛𝑒(𝑥, 𝑡), ont une vitesse ⃗𝑣𝑒(𝑥, 𝑡) = 𝑣𝑒(𝑥, 𝑡)�⃗�𝑥. Par ailleurs, le champélectrique a pour expression ⃗⃗⃗ ⃗⃗𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐸(𝑥, 𝑡)�⃗�𝑥. On note 𝜌(𝑥, 𝑡) la densité volumique de charge et ⃗𝚥(𝑥, 𝑡) levecteur densité de courant.Q 32. Donner l’expression de 𝜌(𝑥, 𝑡) en fonction de 𝑛𝑒(𝑥, 𝑡), 𝑛0 et de la charge élémentaire 𝑒.

Q 33. En s’appuyant sur l’équation locale de conservation de la charge, montrer que ∂𝑛𝑒∂𝑡

+ ∂(𝑛𝑒𝑣𝑒)∂𝑥

= 0.

On supposera dans la suite que l’on peut retenir ∂(𝑛𝑒𝑣𝑒)∂𝑥

≈ 𝑛0∂𝑣𝑒∂𝑥

, d’où l’équation

∂𝑛𝑒∂𝑡

+ 𝑛0∂𝑣𝑒∂𝑥

= 0 (III.1)

Q 34. Justifier l’équation

∂𝐸∂𝑥

=(𝑛0 − 𝑛𝑒(𝑥, 𝑡))𝑒

𝜀0(III.2)

Q 35. Écrire l’équation (III.3) permettant de décrire le mouvement d’un électron sous l’effet du champ

électrique. On admettra que, dans une approximation linéaire, on peut retenir d𝑣𝑒d𝑡

≈ ∂𝑣𝑒∂𝑡

.

On cherche des solutions des équations précédentes sous la forme d’ondes planes progressives harmoniques. Onadopte des notations complexes et on pose 𝑛𝑒(𝑥, 𝑡) = 𝑛0 + 𝑁 exp(i(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)), 𝑣𝑒(𝑥, 𝑡) = 𝑉 exp(i(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)) et𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐸0 exp(i(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)).

Q 36. Montrer que la pulsation est nécessairement égale à la pulsation plasma 𝜔𝑝 = √𝑛0𝑒2

𝑚𝑒𝜀0.

III.C – Sursaut radioQ 37. La relaxation des ondes précédentes s’accompagne d’un rayonnement à la même pulsation. Évaluerla fréquence correspondante si les « oscillations plasma » se produisent dans la basse couronne solaire (𝑛0 =1 × 1014 m–3).Q 38. Ce rayonnement peut-il atteindre l’atmosphère terrestre ? La traverser ?On observe des « sursauts radio » du Soleil. Ils correspondent à des émissions transitoires sur un large spectredu domaine radio, mais dont l’intensité spectrale présente un maximum à une fréquence qui évolue au coursdu temps. Ainsi, dans le cas d’un sursaut « de type III », cette fréquence dérive de 120 MHz à 75 MHz en uneseconde. On attribue ce sursaut à des particules chargées qui traversent la couronne des couches les plus bassesvers les plus hautes et qui excitent, sur leur passage, les ondes étudiées dans la sous-partie III.B.

Q 39. En considérant une densité volumique d’électrons 𝑛𝑒(𝑟) = 𝑁1 exp (𝑏𝑅𝑠𝑟

), où 𝑟 désigne la distance au

centre du Soleil, 𝑁1 = 4 × 1010 m–3 et 𝑏 ≈ 10, évaluer la vitesse des particules « perturbatrices ». Commenter la valeur obtenue.

2. Onde entre deux plans parfaitement conducteurs.Dans l'espace rapporté au repère orthonormé direct Ü.\J'Z, on définit la base ( ex, ey, ez).On dispose de deux plans métalliques parallèles au plan yOz et d'équations x = 0 et x = a. Dans l'espace vide entre ces plans conducteurs, on étudie la propagation d'une onde électromagnétique sinusoïdale de pulsation w et polarisée rectilignement suivant Oy. Les deux plans métalliques jouent le rôle de « guide d'ondes » (figure 3).

X

. ·: ·: ·: ·: ·: ·: ·: ·: ·: ·: ·: ·: ·: ·: ·: èO:ndirètètir: ·: ·: ·: ·: ·: ·: ·: ·: ·: ·: ·: · · . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . ' . ' . . . . . . . . . . . . .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·�·--

vide

. : : : : : : :è;::::::::::::::::: �oii�µç:tè�:::::::::::::::::::::::::.. z

figure 3

9/11

« »2.4. On Montage

considère en (figure

tromagnétique 3, page 9)

B1), progressive, monochromatique, ses une

le

guide

vide onde d'ondes

entre élec

det telle propageant

que le dan

champ électrique eux reste

plans parallèle

conducteurs aux

Œ1,

deux distants

plans. de On

a, impose suivant

que la

la direction

forme de de

OzE1

est . . _E1 1 ( x, z, t ) -

_ E ( x ) e j(wt-kg z) eY

•

2.4.1. Exprimer l'équation de Maxwell-Faraday et en déduire que B est de la forme:B, (x, z, t) = [ F(x)ex + j G(x)ez] d(rllt-kg zl , sachant

F(x) que l'on

1

exclut de B1 toute

1

sigle « composante

T.E » à statique.

cette onde. Expliciter les fonctions et C(x). Justifier l'attribution du

2.4.2. Exprimer l'équation de (x) du

Maxwell-Ampère champ

et électrique.

en Les déduire

champs

l'équation E1 et B1

différentiellevérifient-ils

les vérifiée

deux par autres

l'amplitude équations

Ede Maxwell ? Justifier votre réponse.

Problème E