w:/2017-2018/ds physique/ds 3 v15/ds 3 - …grenard.dyndns.org/ds_annee_passee/ds_03.pdf · devoir...

Devoir de Physique n°3 PCSI 2017 – 2018

Conseils :

• Ce devoir comporte 1 formulaire et 4 exercices.

• Le correcteur tiendra compte de la présentation (soin apporté aux schémas) et de la ré-daction de votre copie : justifiez rapidement vos affirmations, donnez la valeur littéralesimplifiée des résultats en fonction des données de l’énoncé, vérifiez l’homogénéité et lacohérence (tout résultat non homogène sera sanctionné). Les résultats NON ENCADRÉSne seront pas notés. Laissez une marge à gauche pour le correcteur.

• L’usage des calculatrices est autorisé.

I. FORMULAIRE

Une partie de ce sujet est issu d’un sujet de concours. Les formules suivantes n’y étaient pasrappelées.

Lentilles : Pour un objet AB orthogonal à l’axe optique avec A sur l’axe optique, on note A′B′

l’image par une lentille mince de centre O, de foyer objet F et image F ′ et de distance focalef ′ = OF ′. Les relations suivantes sont alors vérifiées :

• relations de conjugaison et formule du grandissement de Descartes (avec origine au som-met)

1

OA′−

1

OA=

1

OF ′et γ =

A′B′

AB=

OA′

OA

• relations de conjugaison et formule du grandissement de Newton (avec origines aux foyers)

FA.F ′A′ = FO.F ′O = −f ′2 et γ =A′B′

AB=

FO

FA=

F ′A′

F ′O

Lycée Poincaré – Nancy /8 22 novembre 2017, durée 3h30


II. PARTICULE DANS UN PUITS DE POTENTIEL

On considère un modèle de puits carré dont le profil d’énergie potentielle est tel que :➢ EP (x) = V0 si x < 0➢ EP (x) = 0 si 0 < x < L➢ EP (x) = V0 si x > L

On prend V0 suffisamment grand pour supposer le puits comme infini. On considère alors uneparticule de masse m piégée dans la zone [0,L].

1. Décrire, sans justifications, le mouvement de la particule si on ne prend pas en compte lecaractère quantique. Quelle est l’expression de son énergie cinétique en fonction de sonimpulsion p et des constantes du problème? Quelle est l’expression de son énergie totale?Q1

2. Énergie cinétique minimale de la particule quantique :

(a) Donner un ordre de grandeur de h la constante de Planck. On veillera à donner sonunité usuelle.Q2

(b) Énoncer la relation d’indétermination de Heisenberg.Q3

(c) On admet que 〈px〉 = 0.

On rappelle que l’écart-type ∆x est défini par ∆x =√

〈x2〉 − 〈x〉2 et est souvent inter-prété qualitativement comme « l’incertitude » sur la connaissance de x.Compte tenu du problème, proposer un majorant pour ∆x.Q4

(d) Montrer que la moyenne de l’énergie cinétique 〈EC〉 est minorée par EC,min dont ondonnera l’expression en fonction des constantes du problème.Q5

3. En faisant une analogie avec la corde de Melde par exemple, on assimile l’onde associée àla particule avec une onde stationnaire.Donner, sans justifications, la relation entre la longueur d’onde de de Broglie de la particuleet la largeur L du puits.Q6

4. Niveaux d’énergie :

(a) Donner l’expression de l’énergie totale de la particule en fonction de la longueur d’ondede de Broglie.Q7

(b) En déduire que l’énergie de la particule est quantifiée et donner son expression en fonc-tion d’un entier n.Q8

(c) Comparer la valeur minimale de l’énergie à la valeur minimale de l’énergie cinétiquetrouvée précédemment. Commenter.Q9

5. Homogénéité : contrôler l’homogénéité de votre expression obtenue pour l’énergie de laQ10particule question 4.(b) ou pour EC,min obtenu en 2.(d) (au choix).



III. DÉTECTEUR DE PLUIE

Parmi les dispositifs d’aide à la conduite dans les voitures, le détecteur automatique de pluiesur le pare-brise permet la mise en route automatique des essuie-glaces.

Le détecteur, placé sous le pare-brise, est composé d’une diode électroluminescente DEL etd’une photodiode utilisée comme capteur. La diode envoie un faisceau lumineux sur le pare-brise.Le capteur mesure en permanence la lumière réfléchie. Le principe repose sur le comportementdifférent de la lumière à l’interface verre-air ou verre-eau.

Plus il y a d’eau sur la vitre, moins il y a de réflexion. Le capteur de pluie pilote ainsi automa-tique la vitesse des essuie-glace en fonction de la quantité d’eau détectée.

Le pare-brise sera localement assimilé à une lame à face parallèles en verre d’épaisseur e, d’in-dice optique nv = 1,55. Les rayons lumineux émis par la diode électroluminescente se propagentjusqu’au pare-brise dans du plexiglass d’indice optique np = 1,50. Les rayons sont dirigés vers lepare-brise avec un angle θ = 50°. L’indice de l’eau est ne = 1,33 et celui de l’air est na = 1,00.

DEL

plexiglass

Vers capteurθ

θ2

A

B C

air

air

En l’absence de pluie

goutte d’eau

DEL θ

θ2

A

B C

air

Extérieur

Intérieur

Pare-brise

En présence de pluie

1. Énoncer les lois de Descartes pour la réflexion.Q11

2. Calculer la valeur de l’angle de réfraction θ2 au point A.Q12

3. En l’absence de pluie, existe-t-il un rayon réfracté au point B ou C ? Justifier.Q13

4. En présence d’une goutte de pluie sur le pare-brise, existe-t-il un rayon réfracté au point C ?Justifier.Q14

5. Expliquer de façon qualitative pourquoi plus il y aura de gouttes sur le pare-brise, moinsl’intensité lumineuse reçue par le capteur sera importante.Q15



IV. ÉTUDE D’UN ENDOSCOPE

AttentionLes questions Q31 à Q34 sont plus difficiles. Vous pouvez faire les questions suivantes sans les avoir fait

(mais il vaut mieux avoir lu l’énoncé).

Un endoscope est un appareil d’optique utilisé en investigation paraclinique permettant l’ob-servation, sous faible grossissement, de cavités et de conduits naturels : appareils digestif, respi-ratoire. . . Le tube de l’endoscope comporte un objectif, un système optique transportant l’imageobjective et un oculaire. La lumière nécessaire à l’observation est conduite jusqu’à l’objet par unguide de lumière parallèle au tube endoscopique.

Ce problème comprend deux parties, indépendantes pour l’essentiel.

Conventions pour l’ensemble du problème : L’axe optique est orienté dans le sens de propaga-tion de la lumière (de gauche à droite). Les objets et images perpendiculaires à l’axe optique sontmesurés algébriquement sur l’axe orienté vers le haut de la page. Les angles des rayons avec l’axeprincipal sont évalués algébriquement avec la convention usuelle (sens trigonométrique). Toutesces conventions sont représentées sur la figure ci-dessous.

Axe optique

A

B u

O

A′

B′ u′

sens de lalumière

OA < 0

A′B′ < 0

u > 0

u′ < 0

Conventions pour l’étude de l’endoscopeLes conditions de Gauss sont supposées remplies.

A. Objectif et oculaire

On assimile l’objectif à une lentille mince convergente L1, de distance focale f ′

1 = 10 mm.L’objet AB assimilé à un segment de droite perpendiculaire à l’axe optique (A sur l’axe) est placé,pour les conditions standard d’utilisation, à 50 mm devant le centre optique O1 de L1.

1. Faire une construction à l’échelle de la conjugaison AB ↔ A′B′ par L1. (Pour ce tracé, onQ16considèrera AB = 1 cm)

2. Déterminer la position de l’image donnée par l’objectif en calculant numériquement p′

1 =O1A′.Q17

3. Calculer numériquement le grandissement γ = A′B′

AB.Q18

L’image A′B′ est observée à travers un oculaire assimilé à une lentille mince convergenteL2 de centre O2, de distance focale image f ′

2 = O2F ′

2 = 20 mm.

4. Pour un œil normal effectuant une observation sans accommodation (observation à traversl’instrument d’une image située à l’infini), indiquer la place du foyer objet F2 de l’oculaire.Q19



5. Faire une construction, dans cette situation, de la formation de l’image de A′B′ par L2 (onfera une nouvelle construction).Q20L’image est-elle droite ou inversée en sortie de l’instrument complet (objectif + oculaire) ?

6. Calculer numériquement le grossissement commercial Gc de l’appareil défini par Gc = α′

α,Q21

α étant l’angle (non orienté) sous lequel serait vu directement par l’œil l’objet AB placé àDpp = 250 mm ; α′ l’angle (non orienté) sous lequel est vu, à travers l’instrument, l’objetdans les conditions standard d’utilisation (Gc > 0 avec des angles non orientés).

7. On suppose que l’œil est collé à l’oculaire. On admet que l’observateur, par la faculté d’ac-commodation de son œil perçoit nettes les images situées de l’infini à Dpp = 250 mm. Lespositions respectives de l’oculaire et de l’objectif ne sont pas modifiées.

(a) Déduire de l’énoncé la distance algébrique O2A′′ entre le centre de l’oculaire et l’imageA′′ de A′ par l’oculaire lorsque l’œil accommode au maximum. On rappelle que l’œilQ22est positionné en O2. Il est conseillé de faire un schéma pour représenter la position del’oculaire, de l’œil et de A′′ lorsque l’œil accommode au maximum.

(b) Calculer numériquement la distance O2A′.Q23

(c) En déduire p′

1 = O1A′.Q24

(d) Que vaut alors numériquement p1 = O1A dans ce cas?Q25

8. Calculer numériquement la latitude de mise au point ou profondeur de champ : distance dQ26entre les deux positions extrêmes de A.

B. Transport de l’image donnée par l’objectif.

Pour allonger la distance entre l’objet et l’oculaire, on intercale une association de lentilles entrel’objectif et l’oculaire.

1. L’image A′B′ fournie par l’objectif est reprise par une lentille mince convergente de centreS1, de distance focale image f ′ = S1φ′

1, placée à une distance A′S1 = 2f ′ derrière A′. Déter-miner la position de l’image A′

1B′

1, sa taille A′

1B′

1 et le grandissement. On posera y′ = A′B′.Q27

On utilise une série de p lentilles identiques à la précédente, de centres S1, S2, . . . , Sn, Sn+1, . . . Sp,équidistants tels que SnSn+1 = 4f ′. L’image obtenue après passage de la lumière à traversl’objectif et les n premières lentilles est notée A′

nB′

n.

2. Quelles sont les valeurs de p qui permettent une observation sans inversion à travers l’ins-Q28trument complet?

3. (a) Faire un schéma représentant les lentilles n et n + 1 ainsi que les images B′

n−1, B′

n, B′

n+1.Q29

(b) Ajouter sur le schéma la marche d’un rayon quelconque passant par B′

n−1, B′

n, B′

n+1.Q30

4. On pose y′

n = A′

nB′

n. Exprimer y′

n en fonction de n et de y′.Q31

5. On note un−1 l’angle avec l’axe principal d’un rayon passant par B′

n−1. Calculer l’angle unQ32que fait ce rayon avec l’axe principal après traversée de la lentille de centre Sn, en fonctionde un−1, y′, f ′ et n.

6. En déduire que l’angle up du rayon sortant du système des p lentilles et qui provient de B′

où il faisait l’angle u0 avec l’axe principal s’écrit up = (−1)p(

u0 + py′

f ′

)

.Q33

On pourra se contenter de vérifier que la forme proposée est compatible avec la relation derécurrence établie à la question précédente.



7. Les lentilles ont le même diamètre. L’objet AB a la même luminosité pour tous ses pointsQ34entre A et B. Quelles conclusions vous suggèrent les résultats précédents, quant à la per-ception par l’œil de l’image de AB ? Expliquer.

On remplace le dispositif précédent par une série de 2p lentilles convergentes identiques,de distance focale f ′, telles que le foyer image de l’une soit confondu avec le foyer objet dela suivante. Le foyer objet φ1 de la première lentille est placé en A′. On note A′

1B′

1 l’imagede A′B′ donnée par les deux premières lentilles.

8. Quelle est la position de A′

1B′

1 ? Quelle est la mesure algébrique y′

1 = A′

1B′

1 de cette imageQ35en fonction de y′ = A′B′ ?

9. Faire un schéma donnant la marche d’au moins 3 rayons passant par B′, allant en B′

1 etQ36traversant les deux premières lentilles.

10. Soient u0 l’angle avec l’axe principal que fait un rayon quelconque en passant par B′, u1

l’angle que fait ce rayon avec l’axe en B′

1. Exprimer u1 en fonction de u0. Quel est l’angle upQ37à la sortie du système, en B′

p de ce rayon?

11. Les conclusions de la question 7 sont elles modifiées? Expliquer.Q38

12. On utilise 34 lentilles semblables (p = 17) de distance focale f ′ = 15 mm. Sur quelle lon-gueur est transportée l’image par cette association? Y a-t-il une inversion dans l’observationQ39à travers l’appareil ?

13. En fait, une lentille ne laisse passer qu’une « fraction T de la lumière » (principalementà cause des réflexions partielles aux interfaces air-verre). Pour une lentille ordinaire T =0,900. Quelle fraction de la lumière est effectivement transportée par ces 34 lentilles?Q40

14. Même question pour des lentilles ayant reçu un traitement antireflet multicouches, avecT = 0,996. Conclure !Q41



V. OISEAU CARILLONNEUR

On étudie le mouvement d’un jouet appelé oiseau carillonneur. Le jouet est représenté ci-dessous à gauche et est constitué d’un oiseau qui peut se déplacer horizontalement et venir frap-per une sonnette.

Afin de simplifier le problème, on se propose d’adopter la modélisation représentée ci-dessousà droite : l’oiseau sera remplacé par un point matériel M de masse m, repéré par son abscisse x.Ce point est attaché à un ressort de raideur k et de longueur à vide l0. Le point d’attache de ceressort est le point H d’abscisse l0 pour simplifier les calculs.

Pour modéliser le choc du nez de l’oiseau contre la sonnette, on introduit un deuxième ressort(beaucoup plus raide que le premier) de raideur k′ et de longueur à vide l′

0. Ce deuxième ressort setermine par une plaque verticale contre laquelle viendra taper la masse. Cette plaque est bloquéeen x = 0 par deux murs et l’abscisse de la plaque est donc nécessairement négative. Le deuxièmeressort est fixé en H ′ d’abscisse −l′

0.

On suppose que le support horizontal sur lequel l’oiseau glisse selon Ox est bien lubrifié defaçon à pouvoir négliger les frottements.

x

z

O

k′, l′

0 k, l0HH ′ M

l0l′

0

cas x > 0

1 Étude de la première partie du mouvement, lâché de l’oiseau

Dans un premier temps, on enlève la partie sonnette et le problème peut se schématiser plussimplement (voir ci-dessous à gauche). La mesure de x(t) donne la courbe représentée ci-dessousà droite.

x

z

O

k, l0H

M

l0

cas x > 0 simplifié

0 1 2 3 4 5

-1

0

1

t (s)

x(t) (dm)

1. (a) Exprimer la force de rappel du ressort s’exerçant sur l’oiseau, en fonction des donnéesdu problème. Vérifier le signe.Q42

(b) Faire un bilan des forces s’exerçant sur l’oiseau. Faire un schéma.Q43



(c) Montrer que l’équation différentielle pour le mouvement de l’oiseau est x + ω20x = 0 et

préciser la pulsation propre ω0.Q44

(d) Donner une forme générale des solutions.Q45

2. Utilisation du graphique :

(a) En justifiant votre réponse, donner l’amplitude xm des oscillations et la période propreT0. Calculer la pulsation propre ω0.Q46

(b) Déterminer graphiquement les conditions initiales du mouvement x0 et v0.Q47

(c) En déduire l’équation horaire x(t) sous forme littérale.Q48

3. À quel instant t1 l’oiseau passe-t-il pour la première fois en O ? Exprimer t1 en fonction deT0. Quelle est sa vitesse v1 à t1 ? Faire l’application numérique et vérifier la cohérence avecle graphique.Q49

Pour la suite, on prendra comme première partie du mouvement, l’équation x(t) trouvée va-lable entre l’instant initial et t1.

2 Choc avec la sonnette

x

zcas x < 0

On ajoute maintenant la sonnetteen x = 0. Lorsque x < 0, le point Mest donc soumis à l’action des deuxressorts. La masse de la plaque fixéeau deuxième ressort sera supposée né-gligeable par rapport à la masse del’oiseau.Le système est donc équivalent à unpoint M relié à deux ressorts, avec lacontrainte x < 0.

4. Exprimer les forces de rappel exercées par le ressort de droite ~Fd et le ressort de gauche ~Fg.Q50

5. Quelle est la nouvelle équation différentielle régissant le mouvement du point M lorsquex < 0?Q51

6. En déduire la nouvelle pulsation propre ω′

0 et la nouvelle période T ′

0. A-t-on T ′

0 < T0 ouT ′

0 > T0 ?Q52

7. Les conditions initiales pour cette partie du mouvement sont : x(t1) = 0 et x(t1) = v1.Résoudre l’équation différentielle compte tenu de ces conditions initiales. Attention, lesconditions initiales sont ici en t = t1 et non pas en t = 0 comme d’habitude. On chercherapar exemple une solution sous la forme :

x(t) = A sin(ω′

0t + ϕ)

avec A et ϕ deux constantes à déterminer.Q53

8. À partir de quel instant t2 cette solution n’est-elle plus valide?Q54

9. À l’aide de la conservation de l’énergie mécanique, exprimé x(t2) en fonction de v1.Q55

10. Tracer sur un graphique la courbe x(t) entre t = 0 et t = t2.Q56

Fin



I. PARTICULE DANS UN PUITS DE POTENTIEL

1. D’un point de vue classique, la particule est simplement piégée dans la boite. Il n’y a pasde variation d’énergie potentielle dans la boite, c’est-à-dire pas de force : la particule a doncun mouvement rectiligne uniforme tant qu’elle ne touche pas un bord.Lorsqu’elle va entrer en collision avec un bord, la particule ne peut pas passer comptetenu de la barrière de potentiel infinie et va donc rebondir. Il n’y a pas de dissipation dansnotre modèle et elle va donc subir un choc élastique, c’est-à-dire que son énergie cinétiquereste constante. La particule va donc faire des aller-retour entre la gauche et la droite àvitesse constante (en norme).

L’énergie cinétique vaut Ec = p2

2m.Q1

Puisqu’il n’a pas d’énergie potentielle dans le puits, alors Em = Ec + 0 = p2

2m.

Beaucoup ont pris l’énergie potentielle d’un oscillateur harmonique, mais ici l’énoncédonnait très clairement l’énergie potentielle : 0 !

2. (a) L’indétermination quantique ∆x sur la position d’une particule sur la direction Ox etcelle sur la projection de sa quantité de mouvement ∆px selon la même direction vérifiel’inégalité de Heisenberg :Dans le programme de PCSI, on trouve ∆x × ∆px & ~,

ou de façon rigoureuse avec les écart-types : ∆x × ∆px > ~

2.Q2

(b) h = 6,6.10−34 J.s Attention à l’unité : J×s et pas autre chose.Q3

(c) D’après l’énoncé, la particule est dans la boite avec certitude, on peut donc dire que∆x 6 L . (en disant "la particule est quelque part dans la boite", on se trompe au plusQ4

de L).

(d) Puisque 〈px〉 = 0, alors 〈p2x〉 = (∆px)2 〈EC〉 =

〈p2x〉

2m= (∆px)2

2m

or d’après l’inégalité de Heisenberg ∆px > ~

2∆xet en passant au carré (les grandeurs

étant positives) (∆px)2 > ~2

4(∆x)2 . On utilise ensuite ∆x 6 L ⇒ 1(∆x)2 > 1

L2 et on en déduit

(∆px)2 > ~2

4L2Q5

〈EC〉 =(∆px)2

2m>

~2

8mL2= EC,min

3. Pour avoir annulation des deux cotés de la probabilité de présence (compte tenu du puitinfini), la fonction d’onde doit s’annuler en x = 0 et en x = L. On est donc, si l’analogie estpertinente, dans le cas d’une corde avec un nœud à chaque bout.

Il faut donc que L = nλ2

avec n ∈ N∗ (n > 0 car L > 0)Q6

4. Niveaux d’énergie :

(a) D’après la relation de de Broglie, p = hλ

, d’où Em = EC = h2

2mλ2 .Q7

(b) En substituant avec λ = 2Ln

on obtient : Em = EC = n2h2

8mL2 . L’énergie est donc bien quan-Q8tifiée puisqu’elle ne peut prendre que certaines valeurs discrètes.

Lycée Poincaré – Nancy Page 1/8 Correction


(c) Ici, l’énergie minimale est obtenue pour n = 1, soit EC(n = 1) = h2

8mL2 . La minorationQ9proposée avant ~2

8mL2 était donc pertinente.Remarque : On avait sous-estimé l’énergie minimale d’un facteur 4π2 qui vient du faitque l’on a largement surestimé l’écart-type, on aurait pu proposer x = L ± L

2et dire que

l’incertitude était L/2, ce qui aurait donné un résultat plus proche. Toutefois, l’incerti-tude n’étant pas l’écart-type rigoureusement ce raisonnement aurait été plus « risqué ».

5. Homogénéité : dans les deux cas proposé par l’énoncé, la formule obtenue est de la formeα h2

mL2 avec [α] = 1 (en effet, [h] = [~]).D’après son unité, [h] = [E] .T d’où

[

αh2

mL2

]

=[E]2 .T2

M.L2 =[E] M.L2.T−2 × T2

M.L2 = [E]

On a utilisé à la dernière étape le fait que [E] =[

12mv2

]

= M.L2.T−2. On trouve que lesexpressions proposées au question 2.(d) et 4.(b) sont bien homogène à des énergies.Q10

II. DÉTECTEUR DE PLUIE

1. Lois de Descartes pour la réflexion.Lors d’une réflexion (que ce soit sur un dioptre ou surQ11un miroir) :

(a) le rayon réfléchi appartient au plan d’incidence, c’est-à-dire le plan contenant le rayonincident et la normale au dioptre au point d’incidence ;

(b) l’angle orienté depuis la normale vers le rayon réfléchi est égal à l’opposé de l’angleorienté depuis la normale vers le rayon incident.

(N’hésitez pas à faire un petit schéma).

2. D’après les lois de la réfraction appliquée en A, np sin θ = nv sin θ2 (on passe d’un milieumoins réfrincent à un milieu plus réfringent et il ne peut donc pas y avoir réflexion totale).

On en déduit θ2 = arcsin(

np sin θ

nv

)

= 48° (47,845).Q12

3. Ici, on passe d’un milieu plus réfringent, le verre, vers un milieu moins réfringent, l’air. Onpeut donc avoir réflexion totale si l’angle d’incidence est supérieur à ilim = arcsin na

nv= 40°.

La lame étant à face parallèle, l’angle d’incidence en B et en C est θ2 = 48°> 40°. On a doncréflexion totale, c’est-à-dire pas de rayon réfracté en B et en C.Q13

4. En présence d’une goutte de pluie sur le pare-brise, le nouvel angle limite pour la réflexiontotale est i′

lim = arcsin ne

nv= 59°. On a donc θ2 < i′

lim et il existe donc un rayon réfracté (+une réflexion partielle).Q14

5. Qualitativement, en l’absence de pluie, les pertes d’énergie lumineuse ne sont dues qu’auxréflexions partielles à l’interface Plexiglass-verre, les réflexions totales transmettant toutel’énergie vers le capteur.En présence d’une goutte de pluie au niveau de C, mais pas de B, seul un rayon subiraune réflexion partielle au lieu d’une réflexion totale : il y a donc une légère perte d’énergielumineuse. Toutefois, si de nombreuses gouttes de pluies sont présentes, alors il y auraaussi réflexion partielle en B (et en d’autres points) et donc une perte d’énergie bien plusimportante.Q15



De plus, plus les gouttes sont nombreuses, plus la probabilité qu’un rayon quelconque ren-contre une goutte est grande, donc plus de rayon seront concernés par les réflexions par-tielles.Ainsi, plus les gouttes de pluie sont nombreuses, plus les réflexions partielles sont nom-breuses et donc plus l’intensité reçue diminue.

III. ÉTUDE D’UN ENDOSCOPE

D’après Agro-Veto 1984, avec des questions intermédiaires en plus.

A. Objectif et oculaire

1. Construction à l’échelle de la conjugaison AB ↔ A′B′ par L1.Q16

∆

A

B

A′

B′

F ′

F

2. Pour calculer la position de l’image, il faut utiliser une relation de conjugaison. On peututiliser Newton ou Descartes :Q17

1

O1A′−

1

O1A=

1

f ′

1

⇒ O1A′ =f ′

1O1A

f ′

1 + O1A=

10 × (−50)

10 − 50= 12,5 mm

ou alors : F ′

1A′ =

−f ′21

F1A=

−10 × 10

−40= 2,5 mm ⇒ O1A′ = 12,5 mm

3. Pour déterminer le grandissement, il suffit d’appliquer une des formules du grandissementγ = O1A′

OA= 12.5/ − 50 = −0,25 . L’image est donc quatre fois plus petite et inversée.Q18

Attention γ est sans unité.

Remarque : la taille de AB n’était pas donné dans l’énoncé d’origine et est d’ailleurs in-différente. Elle n’était donné dans la question 1 ici que pour vous éviter d’avoir à faire lechoix.

4. Pour ne pas avoir à accommoder, il faut que l’objet pour l’œil (et donc l’image par le systèmeoptique) soit à l’infini. Pour cela, il suffit que l’objet pour la lentille L2 soit placé sur son planfocal objet. On doit donc placer le foyer objet F2 tel que F2 = A′, soit O1F2 = 12,5 mm.Q19

5. Construction de la formation de l’image de A′B′ par L2.Q20



∆

B′

A′′

∞

B′′

∞

F ′

2

A′ = F2

On peut voir sur le schéma ci-contrequ’après passage par l’oculaire, B′′ apparai-tra à l’infini sous A′′, contrairement à l’objetoriginal ou B était au dessus de A : l’imageest donc inversée .Autre manière de voir les choses : un obser-vateur devra "baisser" le regard pour voirB′′ s’il regardait A′′, alors qu’il aurait du le-ver le regard pour voir B s’il regardait A.

Beaucoup d’erreur sur image droite ou inversée. Autre manière de voir les choses :regarder le signe du diamètre angulaire de A vers B et de A′′ vers B′′.

6. On peut utiliser les deux graphiques suivant pour les angles, celui de gauche pour la visionsans lentille, et celui de droite est un zoom sur le graphique précédent en faisant apparaitrel’angle α′.

A

B

Dpp

α

A′

B′

O2

f ′

2

α′

Attention à la définitionde α qui était donnée dansl’énoncé. Certains ont pris

"l’angle en entrée dusystème optique".

D’après les schéma ci-dessus : tan α = ABDpp

et tan α′ = A′B′

f ′

2

. On est dans les condition deGauss, les angles sont donc petits et on peut faire l’approximation que α ≃ α′.

On en déduit : Gc = α′

α≃

A′B′

f ′

2

ABDpp

= Dpp

f ′

2

× γ = 25020

× 0,25 = 3,1 .(comme dit avant, inutile deQ21

connaitre AB pour faire ce calcul).

7. Dans l’énoncé de départ, cette question n’était pas guidée et seule la dernière question étaitprésente.

(a) Appelons A′′ l’image par L2 de A′ dans le cas où l’image n’est pas à l’infini, mais à une

distance Dpp de l’œil. L’œil étant collé à l’oculaire, O2A′′ = −Dpp .Q22

Attention aux signes !

(b) On peut décrire le trajet de la lumière à travers système optique de la façon suivanteA

L1−→ A′ L2−→ A′′

La relation de conjugaison de Descartes appliquée à L2 donne : 1O2A′′

− 1O2A′

= 1f ′

2

soit

O2A′ =O2A′′f ′

2

f ′

2−O2A′′

= −250×2020+250

= −18,5 mm .Q23

(c) Puis la relation de Chasles donne O1A′ = O1O2 + O2A′ = 12,5 + 20 − 18,5 = 14,0 mm .Q24

(d) La relation de conjugaison de Descarte appliquée à L1 donne : 1O1A′

− 1O1A

= 1f ′

1

soitQ25

O1A =O′

Af ′

1

f ′

1−O1A′

= 14×1010−14

= −35,1 mm .

8. On peut donc mettre au point entre −50 mm et −35,1 mm, soit une latitude de mise au pointde d = 14,9 mm .Q26



B. Transport de l’image donnée par l’objectif.

1. En appliquant la relation de conjugaison avec origine au foyer à la lentille de centre S1, on

a φ1A′ · φ′

1A′

1 = −f ′2 or φ1A′ = −f ′ et donc φ1A′

1 = f ′, soit S1A′ = 2f ′ .Q27

Attention aux signes ! L’énoncé donnait très explicitement AS1 = 2f ′ ⇔ S1A = −2f ′

Remarque : on est dans le cas d’un montage dit « 4f ′ » qui est un montage assez classiqueavec la lentille placé pile au milieu. C’est dans ce cas que la distance entre l’objet et l’écranest la plus faible.

Le grandissement vaut A′

1B′

1

y′=

S1A′

1

S1A′= −1 et donc A′

1B′

1 = −y′ .

2. Pour chaque lentille insérée, le montage est toujours un montage 4f ′, le grandissement estdonc toujours −1. Ainsi lorsque l’on ajoute les p lentilles, le grandissement des p lentillesest (−1)p.Le système objectif-oculaire donnait déjà une image inversée. Il faut donc que les lentillesajoutées renversent l’image et donc que p soit impair.Q28

Attention à justifier votre réponse pour ce genre de question où vous avez une chancesur deux en répondant au hasard.

3. (a) Les deux lentilles sont écartées de 4f ′, les objets sont positionnés de façon symétriquespar rapport aux centres optiques. On obtient le schéma ci-dessous.Q29

(b) Il suffit maintenant de faire n’importe quel rayon passant par B′

n−1 avec de préférenceun angle quelconque. On sait ensuite que ce rayon doit passer par B′

n ce qui nous donnel’angle en sortie, puis par B′

n+1.Q30

∆

B′

n−1

B′

n

B′

n+1

φn

φ′

n φn+1

φ′

n+1

un−1

unb

bDn

A′

n

Cn

Ci-dessus, le rayon bleu avec "double flèche" est un rayon facile et non un rayon quel-conque. Les questions suivantes s’intéressent aux angles, on veut donc un rayon quel-conque. Le rayon avec une flèche est un rayon quelconque passant par les trois points.

Attention, si on demande un rayon quelconque, ne faites pas un rayon "particulier"(passant par les foyers/les centres optiques)

4. y′

n = (−1)ny′ comme vu précédemment.Q31

5. tan un−1 = DnCn

2f ′= un−1 ⇒ DnCn = 2f ′un−1



tan un = un = CnB′

n

2f ′= CnDn+DnA′

n+A′

nB′

n

2f ′=

−2f ′un−1−y′

n−1+y′

n

2f ′= −un−1 + −(−1)n−1y′+(−1)ny′

2f ′=

−un−1 + (−1)n y′

f ′.Q32

Autre manière de voir les choses : l’angle fois la distance = "de combien je monte/descend".

un−1 × 2f ′ + un × 2f ′ = y′

n − y′

n−1 = (−1)ny′ ⇒ un = −un−1 + (−1)n y′

f ′

6. Une solution pour trouver le terme général de la suite est de faire le changement de variablevn = (−1)nun, dans ce cas, la relation de récurrence devient vn = vn−1 + y′

f ′et on a une suite

arithmétique. D’où vn = v0 + py′

f ′puis un = (−1)n

(

u0 + py′

f ′

)

.Q33

7. Si on reprend les résultats précédents, les angles grandissent assez vite et peu de rayonsvont finir par sortir si le nombre de lentilles est grand (si l’angle est trop grand, le rayon nepassera pas dans la lentille, mais en dehors). On en déduit que l’image sera extrêmementpeu lumineuse pour le point B.Toutefois, la « croissance des angles » dépend de y′ : plus y′ est grand plus les angles gran-dissent rapidement. Pour les points sur l’axe, y′ = 0, tous les rayons passant par la premièrelentille passeront par la dernière : il n’y a donc pas de perte importante de luminosité.Q34Ainsi, l’image sera très lumineuse au centre, et de moins en moins au fur et à mesure quel’on s’écarte de l’axe optique.

8. A′B′ est placé sur le foyer de la première lentille, son image par cette lentille est donc àl’infini. Puis, par la deuxième lentille, l’objet pour cette lentille étant à l’infini, son image estsur le plan focal image de la deuxième lentille .Q35

Compte tenu des angles, y′

1 = −y′ (cf schéma ci-dessous).

∆

B′

A′

B′

1

A′

1

B′

2

A′

2

α

α

α

α

9. Cf schéma ci-dessus. Le rayon avec 3 flèches est intéressant pour voir les angles au ni-Q36veau de A′

1B′

1. Quatre rayons sont représentés et sortent du système optique, dont les deuxrayons extrêmes qui passent par les bords des lentilles. Un rayon trop incliné est représentéet passe par la première lentille, mais pas la deuxième. Il ne sortira donc pas du systèmeoptique.

10. Compte tenu du fait que l’image est inversée et de même taille, u1 = −u0. On en déduit queup = (−1)pu0 . (Cette justification est un peu rapide, même si le résultat semble évident surQ37

le schéma).Si un rayon fait un certain angle par rapport à l’horizontal, alors il va frapper la premièrelentille à une position y′

p + upf ′ de l’axe optique (de façon analogue au raisonnement dansla situation précédente), puis la deuxième lentille à une distance −α × 2f ′ en dessous, soità une distance de l’axe optique y′

p + upf ′ −y′

p

f ′× 2f ′ = upf ′ − y′

p.



Il passe donc par le point B′

p+1 qui est à −y′

p de l’axe optique et f ′ devant la lentille, d’où

up+1 =−y′

−(upf ′−y′

p)

f ′= −up.

11. Les conclusion de la question 7 sont donc modifiées. En effet, l’angle ne grandit pas auQ38fur et à mesure du trajet et donc les rayons lumineux qui arrivent à passer à travers ladeuxième lentille parviendront à sortir du système optique dans tous les cas contrairementà la question 7. L’image sera donc beaucoup plus lumineuse qu’avec le système précédent,et en particulier pour les points sur les bords (et ce bien que les points au centre reste apriori plus lumineux, en effet, tous les rayons provenant de A′ ressortent parrallèles à l’axeoptique après la première lentille et ressortiront donc du système, contrairement à ce qui sepasse pour B′).

12. Chaque paire de lentille transporte l’image sur 4f ′ (cf schéma ci-dessus) et inverse l’image.On transporte donc l’image sur une longueur de 4 × 15 × 17 = 1020 mm = 1,0 m .Q39Le nombre de paire de lentille étant impaire, l’image par les 2p lentilles est inversée. Tou-tefois, l’objectif inversait l’image, alors que l’oculaire la laisse droite. L’image complète estdonc droite .

13. La fraction de la lumière qui passe est donc T 34, soit 2,78 % ! C’est trop peu pour êtreraisonnable.Q40

14. 0,99634 = 87,2 % C’est bien meilleur et proche de 1, le système est utilisable avec un traite-ment antireflet multicouche alors qu’il ne l’est pas sans.Q41(En fait, le résultat ne devrait pas se donner avec autant de chiffres à cause de la puissance,on a plutôt 87 ± 3 %).

IV. OISEAU CARILLONNEUR

1 Étude de la première partie du mouvement, lâché de l’oiseau

1. (a) ~F = k(l−l0)~ex avec l = l0 −x (représenter l, l0 et x = |x| sur le schéma) d’où ~F = −kx~ex .Q42

Attention, il est interdit de se tromper à la première question. Rappel : il y a deuxdifficultés avec le ressort, le sens du vecteur unitaire et l’expression de la longueuren fonction de x. Il faut prendre le temps de bien le faire pour ne pas faire de faute.

(b) Bilan des forces (donner les noms des forces et ne vous contentez pas de dire ~P + ~F + ~R) :Q43

➢ le poids de l’oiseau : ~P = −mg~ez

➢ la réaction normale du support : ~RN = RN~ez

➢ la force de rappel du ressort : ~F = −kx~ex.

(c) On applique le principe fondamental de la dynamique, au système M , dans le référentiel

terrestre galiléen, en projection sur Ox : mx = −kx x + ω20x = 0 avec ω2

0 = km

Q44

(d) Une forme générale des solutions est : x(t) = A cos(ω0t)+B sin(ω0t) avec A et B constantes.Q45

Bien mettre ω0 et non ω



2. Utilisation du graphique :(a) On lit sur le graphique xm = 10 cm et 10T0 = 3,0 s. D’où T0 = 0,30 s. Et ω0 = 2π

T0

=21 rad/sQ46

(b) On lit sur le graphique x0 = 1 dm et on est au niveau d’un maximum donc v0 = 0.Q47(c) La deuxième condition donne B = 0, la première donne A = x0 d’où x(t) = x0 cos(ω0t)Q48

Ne pas mettre 1 cos(ω0t) : ce n’est pas homogène à moins de préciser l’unitée.

3. Il faut résoudre l’équation x(t1) = 0 en cherchant le plus petit t1 > 0 parmi les différentessolutions. x(t1) = 0 ⇒ cos(ω0t1) = 0 d’où ω0t1 = π

2⇔ 2π t1

T0

= π2

d’où t1 = T0

4= 0,075 s.

Sur le graphique, on voit à peu près 1/4 d’une graduation faisant 0,2 s, c’est-à-dire 0,05 s Savitesse est alors ω0x0 × 1 = 2,1m/s. Difficile à vérifier sur le graphique pour la vitesse, maison est plus raide que 2 dm en 0,15 s, ce qui fait à peu près 1,2 m/s : c’est donc crédible.Q49

2 Choc avec la sonnette

4. ~Fd = −kx~ux ; ~Fg = −k′x~ux .Q50

Attention, puisque x est négatif, la "distance" vue surle schéma entre O et M est −x. Ainsi, la longueur duressort de gauche est lg = l0 − (−x) = l0 +x et celle duressort de droite est ld = l0 + (−x) = l0 − x.

x

zcas x < 0

~Fd ~Fg

−x

On peut aussi utiliser l’expression pour un ressort ~F = −k−−−→M0M avec M0 la position quand

le ressort est au repos. Ici M0 = O et l’expression est particulièrement facile à utiliser.

Révisez les ressorts de début d’année, c’est très important pour la mécanique ensuite !

5. En appliquant la même méthode queprécédemment. mx + (k + k′)x = 0Q51

6. ω′

0 =√

k+k′

met la nouvelle période

T ′

0 = 2π√

mk+k′

.On a T ′

0 < T0 car on divise par un terme plus grand que précédemment (k′ > 0)Q527. x(t1) = 0 et x(t1) = v1 d’où A sin(ω′

0t1+ϕ) = 0 donc ϕ = −ω′

0t1 convient. Puis Aω′

0 cos(0) = v1

d’où A = v0

ω′

0

et la nouvelle solution est :

x(t) =v1

ω′

0

sin(ω′

0(t − t1))

Q538. Ce n’est plus valide lorsque x redevient positif. Il faut donc trouver le plus petit t2 > t1 tel

que x(t2) = 0 d’où sin(ω′

0(t2 − t1)) = 0. La solution est telle que ω′

0(t2 − t1) = π ⇒ t2 − t1 =T ′

0

2⇒ t2 = T0

4+

T ′

0

2Q54

9.

t (s)

x(t) (dm)En t2 et en t1 l’élongation des ressortsest nulle, on a donc Em(t2) = Ec(t2)et de même en t1. Par conservation del’énergie mécanique au cours du tempsEm(t2) = Em(t1) d’où v2

1 = x2(t2). Orla masse se déplace dans l’autre sensdonc x(t2) = −v1.Q55

10.Q56


w:/2017-2018/ds physique/ds 3 v15/ds 3 - …grenard.dyndns.org/ds_annee_passee/ds_03.pdf · devoir...

Documents