Download - Système d ’équations : 3 problèmes
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Système d ’équations :3 problèmes.
Type d ’activité : exercices dirigés
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Conseils et méthode de travail
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Sommaire
Au supermarché
Poker.
Balade en vélo
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Au supermarché Pierre lit :
« Assortiment de boulons 2 tailles différentes 50 et 80 mm
400 pièces . Masse totale : 6,3 kg »
Pierre souhaite connaître le nombre de boulons de chaque taille.Il pèse un boulon de 50 mm et trouve 12g.Il pèse ensuite un boulon de 80mm et trouve 18g.Pierre est satisfait, il connaît le nombre de boulons de chaque taille. Et toi ?
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Le lot est composé de 400 boulons.x + y = 400
Les x boulons de 50 mm pèse :12x grammes
Les y boulons de 80 mm pèse :18y grammes
donc l ’ensemble des boulons pèse :12x + 18y = 6300 grammes
D ’où le système x + y = 4002x + 3y = 1050
On peut diviser tous les termes de l’équation par 6
x + y = 40012x + 18y = 6300
Appelons x le nombre de boulons de 50 mm et y le nombre de boulons de 80mm.
6
x + y = 4002x + 3y = 1050
En procédant par substitution :y = 400 - x2x + 3(400 - x) = 10502x +1200 - 3x = 1050-x = 1050 - 1200-x = -150x = 150donc y = 250Le couple (150; 250) est solution de ce système !
Le lot se compose de150 boulons de 50 mmet 250 boulons de 80mm
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Jacques et Olivier jouent au poker. (L’un contre l ’autre !) Si Olivier perd 50 euros, il aura le double de ce que possède Jacques.Mais si Jacques perd 50 euros, il lui restera le quart de ce que possède Olivier.
Olivier possède x euros
Jacques possèdey euros
1erpossibilité
2ème possibilité
Appelons x le nombre d'euros que possède Olivier et y le nombre d'euros que possède Jacques :
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Jacques et Olivier jouent au poker. (L’un contre l ’autre !) Si Olivier perd 50 euros, il aura le double de ce que possède Jacques.Mais si Jacques perd 50 euros, il lui restera le quart de ce que possède Olivier.
Olivier Jacques
1erpossibilité
2ème possibilité
x - 50 y + 50 x - 50 = 2( y + 50)
x + 50 y - 50 x + 50 = 4( y - 50)
Conseil : réduis les équations avant de résoudre le système.
x - 2y - 150 = 0 x - 50 = 2( y + 50) x + 50 = 4( y - 50) x - 4y + 250 = 0
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x - 2y = 150 x - 4y = - 250
Pour résoudre ce système la méthode de résolution par addition est particulièrement rapide. Mais la méthode de résolution par substitution
ne pose aucun problème !
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x - 2y = 150 x - 4y = - 250
On additionne membre à membre
Olivier dispose deJacques dispose de
soit
En procédant par addition
x - 2y = 150 - x + 4y = 250
550 €200 €
x - 2y - x + 4y = 150 + 2502y = 400 y = 200
d ’où x - 2 x 200 = 150
et x = 550
Le couple (550 ; 200) est solution de ce système
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Martin habite à Masevaux, petite ville au pied du Ballon d’Alsace.Il utilise son vélo pour se rendre à Malvaux, petit hameau situé sur l ’autre versant et où habite son amie Martine.Pour se rendre à Malvaux il escalade le col, puis effectue la descente. Le trajet dure 2 heures et 30 minutes.Pour rentrer chez lui, le trajet nécessite une heure et 30minutes.Sachant que sa vitesse moyenne est 10km/h dans la montée et 30km/h dans la descente, on demande de calculer les distances entre Masevaux, le sommet du col du ballon d ’Alsace et Malvaux.
MasevauxMalvauxBallon
d'Alsace
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Aller Masevaux
Ballon d ’Alsace
Malvaux
Distance
Vitesse
Temps
x y
10km/h 30km/h
heurex
10heure
y
30
heuresyx
5,23010
La durée du trajet aller est :
Attention ! 2heures 30minutes = 2,5 heures
Martin habite à Masevaux, petite ville au pied du Ballon d’Alsace.Il utilise son vélo pour se rendre à Malvaux, petit hameau situé sur l ’autre versant et où habite son amie Martine. Pour se rendre à Malvaux il escalade le col, puis effectue la descente. Le trajet dure 2 heures et 30 minutes. Pour rentrer chez lui, le trajet nécessite une heure et 30minutes.Sachant que sa vitesse moyenne est 10km/h dans la montée et 30km/h dans la descente, on demande de calculer les distances entre Masevaux, le sommet du col du ballon d ’Alsace et Malvaux.
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Retour Masevaux
Ballon d ’Alsace
Malvaux
Distance
Vitesse
Temps
x y
10km/h 30km/h
heurey
10heure
x
30
heurexy
5,13010
La durée du trajet retour est :
Martin habite à Masevaux, petite ville au pied du Ballon d’Alsace.Il utilise son vélo pour se rendre à Malvaux, petit hameau situé sur l ’autre versant et où habite son amie Martine.Pour se rendre à Malvaux il escalade le col, puis effectue la descente. Le trajet dure 2 heures et 30 minutes.Pour rentrer chez lui, le trajet nécessite une heure et 30minutes.Sachant que sa vitesse moyenne est 10km/h dans la montée et 30km/h dans la descente, on demande de calculer les distances entre Masevaux, le sommet du col du ballon d ’Alsace et Malvaux.
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Il reste à résoudre le système5,1
3010
xy
5,23010
yx
En multipliant chaque équation
par 30 !
3x + y = 753y + x = 45
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3x + y = 753y + x = 45
y = 75 - 3x
3(75 - 3 x) + x = 45225 -9x + x = 45-8x = 45 - 225x = -180/-8x = 22,5 y = 75 - 3 x 22,5
y = 7,5
La distance entre :
- Masevaux et le sommet du col du Ballon d ’Alsace est 22,5 km. - Le col du ballon d ’Alsace et Malvaux est de 7,5km.- Malvaux et Masevaux est 30km.