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Branches infinies
TEKAYA HABIB
IHEC de sousse
2014-2015
DéfinitionLa droite d’équation y = ax +b est une asymptote à la courbe représentant f si etseulement si :
limx→+∞(f (x)−ax −b)= 0 ou lim
x→−∞(f (x)−ax −b)= 0
Branches infinies Asymptote d’équation y = ax +b 1 / 9
Une asymptote à Cf d’équation y = ax +b n’est pas parallèle à (y ′y). Par contre,si a= 0 elle est parallèle à (x ′x) et la définition précédente de l’asymptote estéquivalente à :
DéfinitionLa droite d’équation y = b est une asymptote à la courbe représentant f si etseulement si :
limx→+∞ f (x)= b ou lim
x→−∞ f (x)= b
Branches infinies Asymptotes parallèles aux axes des coordonnées 2 / 9
Une asymptote à Cf d’équation y = ax +b n’est pas parallèle à (y ′y). Par contre,si a= 0 elle est parallèle à (x ′x) et la définition précédente de l’asymptote estéquivalente à :
DéfinitionLa droite d’équation y = b est une asymptote à la courbe représentant f si etseulement si :
limx→+∞ f (x)= b ou lim
x→−∞ f (x)= b
Branches infinies Asymptotes parallèles aux axes des coordonnées 2 / 9
Définition asymptote parallèle à (y ′y)La droite d’équation x = x0 est une asymptote à la courbe représentant f si etseulement si :
limx→x+
0
f (x)=+∞ ou limx→x+
0
f (x)=−∞ ou limx→x−
0
f (x)=+∞ ou limx→x−
0
f (x)=−∞
Branches infinies Asymptotes parallèles aux axes des coordonnées 3 / 9
Définition
Si limx→±∞
f (x)x
= a ∈R, on dit que la courbe Cf admet une direction asymptotique quiest la direction de la droite d’équation y = ax .
Définition
Si limx→±∞
f (x)x
= a ∈R et si limx→±∞(f (x)−ax)=∞, on dit que Cf admet une branche
parabolique de direction asymptotique celle de la droite d’équation y = ax .
Branches infinies Quelques cas particuliers 4 / 9
Définition
Si limx→±∞
f (x)x
= a ∈R, on dit que la courbe Cf admet une direction asymptotique quiest la direction de la droite d’équation y = ax .
Définition
Si limx→±∞
f (x)x
= a ∈R et si limx→±∞(f (x)−ax)=∞, on dit que Cf admet une branche
parabolique de direction asymptotique celle de la droite d’équation y = ax .
Branches infinies Quelques cas particuliers 4 / 9
Exemple f (x)= x +√
x +1
−2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
0
Cf
y = x
Définition
Si limx→∞
f (x)x
= 0 (ici a= 0) et si limx→∞(f (x)−ax)= lim
x→∞ f (x)=∞, alors Cf admetune branche parabolique de direction asymptotique celle de la droited’équation y = 0 c’est à dire la direction de (x ′x).
Si limx→∞
f (x)x
=±∞ , on dit alors que Cf admet une branche parabolique dedirection asymptotique celle de la droite d’équation x = 0 c’est à dire ladirection de (y ′y).
Branches infinies Quelques cas particuliers 6 / 9
Définition
Si limx→∞
f (x)x
= 0 (ici a= 0) et si limx→∞(f (x)−ax)= lim
x→∞ f (x)=∞, alors Cf admetune branche parabolique de direction asymptotique celle de la droited’équation y = 0 c’est à dire la direction de (x ′x).
Si limx→∞
f (x)x
=±∞ , on dit alors que Cf admet une branche parabolique dedirection asymptotique celle de la droite d’équation x = 0 c’est à dire ladirection de (y ′y).
Branches infinies Quelques cas particuliers 6 / 9
Exemple g(x)=px et f (x)= x2
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
1
2
3
4
5
0
Cf
Cg
Branches infinies Quelques cas particuliers 7 / 9
On peut résumer les situations précédentes par :
Branches infinies Résumé 8 / 9
Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)=∞
On calcule limx→∞
f (x)x
=?lim
x→∞f (x)
x=∞
C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)
limx→∞
f (x)x
= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)
limx→∞
f (x)x
= a ∈R
limx→∞(f (x)−ax)=?
limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞
limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)=∞
On calcule limx→∞
f (x)x
=?lim
x→∞f (x)
x=∞
C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)
limx→∞
f (x)x
= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)
limx→∞
f (x)x
= a ∈R
limx→∞(f (x)−ax)=?
limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞
limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)=∞
On calcule limx→∞
f (x)x
=?
limx→∞
f (x)x
=∞C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)
limx→∞
f (x)x
= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)
limx→∞
f (x)x
= a ∈R
limx→∞(f (x)−ax)=?
limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞
limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)=∞
On calcule limx→∞
f (x)x
=?lim
x→∞f (x)
x=∞
C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)
limx→∞
f (x)x
= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)
limx→∞
f (x)x
= a ∈R
limx→∞(f (x)−ax)=?
limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞
limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)=∞
On calcule limx→∞
f (x)x
=?
limx→∞
f (x)x
=∞C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)
limx→∞
f (x)x
= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)
limx→∞
f (x)x
= a ∈R
limx→∞(f (x)−ax)=?
limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞
limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)=∞
On calcule limx→∞
f (x)x
=?
limx→∞
f (x)x
=∞C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)
limx→∞
f (x)x
= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)
limx→∞
f (x)x
= a ∈R
limx→∞(f (x)−ax)=?
limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞
limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)=∞
On calcule limx→∞
f (x)x
=?
limx→∞
f (x)x
=∞C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)
limx→∞
f (x)x
= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)
limx→∞
f (x)x
= a ∈R
limx→∞(f (x)−ax)=?
limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞
limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)=∞
On calcule limx→∞
f (x)x
=?
limx→∞
f (x)x
=∞C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)
limx→∞
f (x)x
= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)
limx→∞
f (x)x
= a ∈R
limx→∞(f (x)−ax)=?
limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞
limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)=∞
On calcule limx→∞
f (x)x
=?
limx→∞
f (x)x
=∞C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)
limx→∞
f (x)x
= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)
limx→∞
f (x)x
= a ∈R
limx→∞(f (x)−ax)=?
limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞
limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞
Si limx→∞ f (x)=∞
On calcule limx→∞
f (x)x
=?lim
x→∞f (x)
x=∞
C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)
limx→∞
f (x)x
= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)
limx→∞
f (x)x
= a ∈R
limx→∞(f (x)−ax)=?
limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞
limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞