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Ondes et Propagation
Rémi Douvenot – [email protected]
ENAC - TELECOM/EMA
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 1 / 238
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Plan
1 IntroductionL’électromagnétismeÉlectromagnétisme et aviation civileOndes et Propagation dans le cursus IENACLe système de radiocommunicationsRappel et notationsÉlectrostatiqueMagnétostatique
2 Les Équations de MaxwellÉnoncés des équations de MaxwellInteraction avec la matièreLes conditions aux limitesRésumé
3 Théorèmes FondamentauxPrincipe de superpositionThéorème de PoyntingThéorème d’unicitéPrincipes de symétrie et antisymétrie
4 Les Ondes PlanesFormulationCaractérisation (milieu sans pertes)Dans un milieu à pertesRéflexion et transmission d’une onde plane
5 Propagation en Espace LibreLe décibelLes antennes – Point de vue “système”Bilan de liaison en espace libreÉquation du radar
6 Propagation en Milieu ComplexeRéflexion sur une surfaceDiffraction par un obstacleEffets atmosphériques
7 Logiciels pour la ModélisationMéthodes statistiques pour la modélisationMéthodes déterministes pour la modélisation
8 Conclusion
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Plan
1 IntroductionL’électromagnétismeÉlectromagnétisme et aviation civileOndes et Propagation dans le cursus IENACLe système de radiocommunicationsRappel et notationsÉlectrostatiqueMagnétostatique
2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
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QUIZZ
Les équations de Maxwell
Qui a écrit les équations de Maxwell ?
1 2 3
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QUIZZ
Les équations de Maxwell
Qui a écrit les équations de Maxwell ?
1 2 3
Solution
➁Maxwell dit : ∇ ·D = ρe, ∇ ·B = 0,
∇ × E = −∂B∂t, ∇ ×H = J tote +
∂D
∂t.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 4 / 238
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QUIZZ
Les équations de Maxwell
Qui a écrit les équations de Maxwell ?
1 2 3
Solution
➁Maxwell dit : ∇ ·D = ρe, ∇ ·B = 0,
∇ × E = −∂B∂t, ∇ ×H = J tote +
∂D
∂t.
et la lumière fut.Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 4 / 238
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Plan
1 IntroductionL’électromagnétismeÉlectromagnétisme et aviation civileOndes et Propagation dans le cursus IENACLe système de radiocommunicationsRappel et notationsÉlectrostatiqueMagnétostatique
2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
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QUIZZ
Un peu de physique
Comment excite-t-on un électron ?
1/ par absorption d’un photon ;
2/ par collision avec un électron ;
3/ par absorption d’un neutrino ;
4/ en imitant le cri de sa femelle.
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QUIZZ
Un peu de physique
Comment excite-t-on un électron ?
1/ par absorption d’un photon ;
Solution
➀
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QUIZZ
Un peu de physique
Comment excite-t-on un électron ?
1/ par absorption d’un photon ;⇒ C’est le boson associé à l’électromagnétisme
Solution
➀
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Le modèle Standard
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Historique
1820 Ørsted lie électricité et magnétisme
1821 Faraday découvre l’électromagnétisme expérimentalement → Notion de lignes de force1831 Induction magnétique → Loi de Faraday1861 Maxwell introduit le courant de déplacement
1864 Maxwell décrit l’électromagnétisme en 20 équations
1884 Heaviside écrit les 4 “équations de Maxwell”
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Plan
1 IntroductionL’électromagnétismeÉlectromagnétisme et aviation civileOndes et Propagation dans le cursus IENACLe système de radiocommunicationsRappel et notationsÉlectrostatiqueMagnétostatique
2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
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Électromagnétisme et l’aviation civile – les problématiques
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Électromagnétisme et l’aviation civile – les problématiques
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 10 / 238
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Électromagnétisme et l’aviation civile – les problématiques
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 10 / 238
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Électromagnétisme et l’aviation civile – les problématiques
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 10 / 238
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Électromagnétisme et l’aviation civile – les problématiques
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Électromagnétisme et l’aviation civile – la recherche à l’ENAC
Modélisation de l’impact des éoliennes sur les systèmes VOR.
Modélisation de la propagation électromagnétique sur de grandes distances en environnement 3D.
Développement d’antennes pour la réception de signaux GNSS multi-constellations.
etc.
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1 IntroductionL’électromagnétismeÉlectromagnétisme et aviation civileOndes et Propagation dans le cursus IENACLe système de radiocommunicationsRappel et notationsÉlectrostatiqueMagnétostatique
2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
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La majeure AVI
cours de1ère année
Majeure AVI
Majeure AVI
Ondes etpropagation
Radio-communications
Traitementdu signal
MathématiquesÉlectronique
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La mineure GNSS
Mineure GNSS
Ondes etpropagation
Antenne etpropagation
Mathématiques
Électronique
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La majeure SATcours de
1ère année
majeure SAT
ARE
Majeure SAT
Électromag.avancé
Ondes etpropagation
Radio-communications
Modélisationrigoureuse
Modélisationasymptotique
Traitementd’antenne
Canal depropagation
Traitementdu signal
MathématiquesÉlectronique
Antennes Antennes pourle spatial
Propagationguidée
Systèmes HFpassifs
Systèmes HFactifs
Opto-électronique
Compatibilitéélectromag.
Transmission
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La mineure Futurs systèmes télécoms
Majeure SAT (AVI ?)
Mineure “Futurs systèmes telecom”
OFDM(multiplexage fréquentiel)
MIMO(multi-antennes)
Futurs Systèmesde Positionnement
Futurs systèmes télécomAviation
Futurs systèmes télécomGrand public (téléphone, wifi, ...)
Liaisons optiques
SMGCS(Positionnement en aéroport)
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Les autres
Pour les autres...
Ondes etpropagation
Mathématiques
Électronique
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Plan
1 IntroductionL’électromagnétismeÉlectromagnétisme et aviation civileOndes et Propagation dans le cursus IENACLe système de radiocommunicationsRappel et notationsÉlectrostatiqueMagnétostatique
2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
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Introduction
Diagramme d’une transmission radiofréquence
DonnéesDonnées
Émetteur
Codage Modulation AmplificationAmplification AntenneAntenne DécodageDémodulationCanal de
propagation
Récepteur
et filtrageet filtrage
- Multitrajets, réfraction, ...
- Interférences
- Bruit
BruitIntermodulations Intermodulations
Les différents élémentsCodage - code les données à transmettre en une série de bits, inclut des bits de détection et decorrection d’erreurs
Modulation - génère un signal RF adapté au canal de propagation, inclut notamment une transpositionde fréquence
Amplification et filtrage - génère la puissance souhaitée dans la bande de fréquence utilisée
Antenne d’émission - assure la transition entre l’émetteur et le canal de propagation
Canal de propagation - milieux traversés par le signal entre l’émetteur et le récepteur
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Introduction
Diagramme d’une transmission radiofréquence
DonnéesDonnées
Émetteur
Codage Modulation AmplificationAmplification AntenneAntenne DécodageDémodulationCanal de
propagation
Récepteur
et filtrageet filtrage
- Multitrajets, réfraction, ...
- Interférences
- Bruit
BruitIntermodulations Intermodulations
Les différents élémentsCanal de propagation - milieux traversés par le signal entre l’émetteur et le récepteur
Antenne de réception - assure la transition entre le canal de propagation et le récepteur
Amplification et filtrage - amplifie le signal RF reçu dans la bande de fréquence utilisée
Démodulation - récupère le signal codé à partir du signal RF reçu
Décodage - récupère les données
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Plan
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2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
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Notations
Nous utilisons dans ce support de cours les notations internationales les plus courantes.
VecteursVecteurs notés en gras a.
Vecteurs unitaires notés avec un accent circonflexe â.
Produits scalaire noté a · b.Produits vectoriel noté a × b.
Repères et coordonnées
Repère cartésien de référence noté (O, x̂, ŷ, ẑ).
Coordonnées sphériques notées (r, θ, φ).
À un point quelconque M de l’espace est associé le vecteur r =−−→OM.
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QUIZZ
UnitésQuelle est l’unité du champ électrique ?
1/ V.m−1.s−1 ;
2/ V ;
3/ V.s ;
4/ A ;
5/ W1/2 ;
6/ V.m−1.
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QUIZZ
UnitésQuelle est l’unité du champ électrique ?
6/ V.m−1.
Solution
➅
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Grandeurs étudiées
Les sources
J e(r, t) la densité de courant électrique en [A.m−2] ;
ρe(r, t) la densité de charge électrique en [C.m−3].
Les champs
E(r, t) le champ électrique en [V.m−1] ;
H(r, t) le champ magnétique en [A.m−1].
Les inductions
D(r, t) l’induction électrique en [C.m−2] ;
B(r, t) l’induction magnétique en [Wb.m−2].
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Grandeurs étudiées
Les sources
J e(r, t) la densité de courant électrique en [A.m−2] ;
ρe(r, t) la densité de charge électrique en [C.m−3].
Les champs
E(r, t) le champ électrique en [V.m−1] ;
H(r, t) le champ magnétique en [A.m−1].
Les inductions
D(r, t) l’induction électrique en [C.m−2] ;
B(r, t) l’induction magnétique en [Wb.m−2].
AttentionClasses prépas : force de Lorentz F = q(E + v ×B) ;Télécoms : champ électromagnétique (E,H).
On ne s’intéresse plus au champ B (induction !), mais au champH .
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Opérateurs différentiels
Le gradient
Grandeur vectorielle qui caractérise ses variations.En cartésien :
−−−→grad(u) =
∂u
∂x∂u
∂y
∂u
∂z
.
u∇u
M
La divergence
Grandeur scalaire qui décrit localement la notionde flux. En cartésien :
div(U) =∂Ux
∂x+∂Uy
∂y+∂Uz
∂z.
Le rotationnelGrandeur vectorielle qui décrit localement lanotion de circulation. En cartésien,
−→rot(U) =
∂Uz
∂y−∂Uy
∂z
∂Ux
∂z− ∂Uz∂x
∂Uy
∂x− ∂Ux∂y
.
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Opérateurs différentiels
La notation nabla ∇
∇ =
∂
∂x∂
∂y
∂
∂z
.
Gradient, divergence et rotationnel s’écrivent
−−−→grad(g)= ∇g,
div(U) = ∇ · U,−→rot(U) = ∇ × U.
Illustrations des différents opérateurs
M
U
Figure: ∇ ·U , 0,∇ × U = 0.
U
M
Figure: ∇ · U = 0,∇ × U , 0.
U
M
Figure: ∇ · U , 0,∇ × U , 0.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 26 / 238
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Le régime harmonique
Le régime harmonique
Fréquence f fixée (pulsation ω = 2πf ) :
en temporel : U(r, t) ;
en fréquentiel : U(r) ;
avecU(r, t) = Re(U(r)ejωt) ;◮ affranchissement de la dépendance sinusoïdale rapide.
Conséquence :∂
∂t⇔ × jω
Amplitude / phase
Régime temporel harmoniquechamp E = Emax cos(ωt + φ0)û E = Eûamplitude crête Emax |E|
phase φ(t) = ωt + φ0
φ0 = ∠E
φ(t) = ∠(Eejωt) = ωt + ∠Elien E = Re(U(r)ejωt) E = Emaxejφ0vecteur û û = û(t) û ∈ C.
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QUIZZ
Les opérateurs
Le(s)quel(s) de ces champs a (ont) un divergent nul au point M ?
1
M
U
2
U
M
3
U
M
4
U
M
Choix1/ ➀ et ➂ ;
2/ ➁ et ➃ ;
3/ ➁ ;
4/ ➀ ;
5/ ➃ ;
6/ Aucun de ces quatre ;
7/ Tous.
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QUIZZ
Les opérateurs
Le(s)quel(s) de ces champs a (ont) un divergent nul au point M ?
1 2
U
M
3 4
U
M
Choix1/ ➀ et ➂ ;
2/ ➁ et ➃ ;
3/ ➁ ;
4/ ➀ ;
5/ ➃ ;
6/ Aucun de ces quatre ;
7/ Tous.
Solution
➁ et ➃.
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QUIZZ
Lesquels de ces signaux ne sont pas en régime harmonique ?
t
s 1
t
s 2
t
s 3
f
|F(s
4)|
t
|F(s
5)|
t
|F(s
6)|
1/ s1 et s4
2/ s1 et s5
3/ s1 et s6
4/ s2 et s6
5/ s3 et s4
6/ s3 et s5
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QUIZZ
Lesquels de ces signaux ne sont pas en régime harmonique ?
t
s 2
t
s 3
f
|F(s
4)|
t
|F(s
6)|
2/ s1 et s5
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 29 / 238
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Plan
1 IntroductionL’électromagnétismeÉlectromagnétisme et aviation civileOndes et Propagation dans le cursus IENACLe système de radiocommunicationsRappel et notationsÉlectrostatiqueMagnétostatique
2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 30 / 238
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Électrostatique
Faire rappels
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 31 / 238
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Plan
1 IntroductionL’électromagnétismeÉlectromagnétisme et aviation civileOndes et Propagation dans le cursus IENACLe système de radiocommunicationsRappel et notationsÉlectrostatiqueMagnétostatique
2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 32 / 238
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Magnétostatique
Faire rappels
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 33 / 238
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Plan
1 Introduction
2 Les Équations de MaxwellÉnoncés des équations de MaxwellInteraction avec la matièreLes conditions aux limitesRésumé
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 34 / 238
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Plan
1 Introduction
2 Les Équations de MaxwellÉnoncés des équations de MaxwellInteraction avec la matièreLes conditions aux limitesRésumé
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 35 / 238
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Les Équations de Maxwell
Les équations de Maxwell – Régime temporel
En présence de sources électrique ρe, J e, les ondes E etH vérifient
Maxwell-Gauss : ∇ ·D = ρe,Maxwell-Thomson : ∇ ·B = 0,
Maxwell-Faraday : ∇ × E = −∂B∂t,
Maxwell-Ampère : ∇ ×H = J tote +∂D
∂t.
Les différents termes∇· : divergence ;∇× : rotationnel ;D : induction électrique ;
B : induction magnétique ;
E : champ électrique ;
H : champ magnétique ;
J tote : courant électrique.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 36 / 238
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Les Équations de Maxwell
Les équations de Maxwell – Régime temporel
En présence de sources électrique ρe, J e, les ondes E etH vérifient
Maxwell-Gauss : ∇ ·D = ρe,Maxwell-Thomson : ∇ ·B = 0,
Maxwell-Faraday : ∇ × E = −∂B∂t,
Maxwell-Ampère : ∇ ×H = J tote +∂D
∂t.
Les différents termes∇· : divergence ;∇× : rotationnel ;D : induction électrique ;
B : induction magnétique ;
E : champ électrique ;
H : champ magnétique ;
J tote : courant électrique.
Conservation de la charge
équivalence entre courants et charges par laconservation de la charge
∇ ·J tote +∂ρe
∂t= 0.
J tote grandeur volumique sont souventsurfacique en pratique.
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Les Équations de Maxwell
Les équations de Maxwell – Régime temporel
En présence de sources électrique ρe,J e et magnétique ρm,Jm, les ondes E etH vérifient
Maxwell-Gauss : ∇ ·D = ρe,Maxwell-Thomson : ∇ ·B = ρm,
Maxwell-Faraday : ∇ × E = −Jm −∂B
∂t,
Maxwell-Ampère : ∇ ×H = J tote +∂D
∂t.
Les différents termes∇· : divergence ;∇× : rotationnel ;D : induction électrique ;
B : induction magnétique ;
E : champ électrique ;
H : champ magnétique ;
J tote : courant électrique ;
Jm : courant magnétique.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 37 / 238
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Les Équations de Maxwell
Les équations de Maxwell – Régime temporel
En présence de sources électrique ρe,J e et magnétique ρm,Jm, les ondes E etH vérifient
Maxwell-Gauss : ∇ ·D = ρe,Maxwell-Thomson : ∇ ·B = ρm,
Maxwell-Faraday : ∇ × E = −Jm −∂B
∂t,
Maxwell-Ampère : ∇ ×H = J tote +∂D
∂t.
Les différents termes∇· : divergence ;∇× : rotationnel ;D : induction électrique ;
B : induction magnétique ;
E : champ électrique ;
H : champ magnétique ;
J tote : courant électrique ;
Jm : courant magnétique.
Conservation de la charge
équivalence entre courants et charges par laconservation de la charge
∇ ·J tote +∂ρe
∂t= 0,
∇ ·Jm +∂ρm
∂t= 0.
sources magnétiques ∄ dans la nature.
J tote et Jm grandeurs volumiques sontsouvent surfaciques en pratique.
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Les Ondes Électromagnétiques – Généralités
Les équations de Maxwell – Régime harmonique
En présence de sources électrique Je et magnétique Jm, les ondes E et H vérifient
Maxwell-Gauss : ∇ · D = ρe,Maxwell-Thomson : ∇ · B = ρm,
Maxwell-Faraday : ∇ × E = −Jm − jωB,Maxwell-Ampère : ∇ ×H = Jtote + jωD.
Les différents termesω = 2πf : pulsation ;
∇· : divergence ;∇× : rotationnel ;D : induction électrique ;
B : induction magnétique ;
E : champ électrique ;
H : champ magnétique ;
Jtote : courant électrique ;
Jm : courant magnétique.
Conservation de la charge
équivalence entre courants et charges par laconservation de la charge
∇ · Jtote + jωρe = 0,∇ · Jm + jωρm = 0.
sources magnétiques ∄ dans la nature.
Jtote et Jm grandeurs volumiques souventsurfaciques en pratique.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 38 / 238
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Plan
1 Introduction
2 Les Équations de MaxwellÉnoncés des équations de MaxwellInteraction avec la matièreLes conditions aux limitesRésumé
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 39 / 238
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Les Équations Constitutives
Les équations constitutives dans le vide
D = ε0E ;
B = µ0H.
avec
ε0 la permittivité du vide ≈ 8.85 · 10−12 F.m−1,µ0 perméabilité du vide = 4π · 10−7 H.m−1.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 40 / 238
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Les Équations Constitutives
Les équations constitutives dans le vide
D = ε0E ;
B = µ0H.
avec
ε0 la permittivité du vide ≈ 8.85 · 10−12 F.m−1,µ0 perméabilité du vide = 4π · 10−7 H.m−1.
Les équations constitutives dans un milieu lhi
D = εE ;
B = µH ;
Jtote = Je + Jce avec J
ce = σE.
avec
ε = εrε0 permittivité du milieu ;
µ = µrµ0 perméabilité du milieu ;
σ conductivité du milieu.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 40 / 238
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Les Milieux à Pertes
À Régider !!
À Régider !!
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 41 / 238
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Plan
1 Introduction
2 Les Équations de MaxwellÉnoncés des équations de MaxwellInteraction avec la matièreLes conditions aux limitesRésumé
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 42 / 238
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Les conditions aux limites
ConfigurationE1,H1 εr1
E2,H2 εr2ρes, ρms
Jes, Jms
P
h
x̂
ŷ
ẑ
milieu ➀
milieu ➁
Interface infiniment fineDensités surfaciques de charge
ρes = limh→0
ˆ h/2
−h/2ρedz,
ρms = limh→0
ˆ h/2
−h/2ρmdz.
Densités surfaciques de courant
Jes = limh→0
ˆ h/2
−h/2Je dz,
Jms = limh→0
ˆ h/2
−h/2Jm dz.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 43 / 238
-
Composantes normales
Configuration
P V
n̂2→1
n̂1→2
lat
h
S
S
milieu ➀
milieu ➁
RésultatMaxwell-Gauss appliqué au volumeV donne
‹
∂VD · dS =
˚
Vρe dV = Qe,
... qui mène à ...(D1 − D2) · n̂2→1 = ρes.
Maxwell-Thomson mène à(B1 − B2) · n̂2→1 = ρms.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 44 / 238
-
Composantes tangentielles
Configuration
S
P
h
l
l̂1
n̂2→1
τ̂
milieu ➀
milieu ➁
RésultatLa forme intégrale de l’équation de Maxwell-Ampère donne
˛
∂SH · dl =
¨
S
[
(σ + jωε)E + Je] · dS,
... qui mène à ...n̂2→1 × (H1 −H2) = Jes.
Maxwell-Faraday donnen̂2→1 × (E1 − E2) = −Jms.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 45 / 238
-
Les conditions aux limites – Résumé
Les conditions aux limites
À la frontière entre deux milieux ➀ et ➁, avecn̂2→1 la normale orientée de ➁ vers ➀, lesrelations de passage sont données par
n̂2→1 × (E1 − E2) = −Jms,n̂2→1 × (H1 −H2) = Jes.
Cas particuliers
Si le milieu ➁ est un PEC, les conditions auxlimites imposent
n̂2→1 × E1 = 0,n̂2→1 ×H1 = Jes.
Si le milieu ➁ est un PMC, les conditions auxlimites imposent
n̂2→1 × E1 = −Jms,n̂2→1 ×H1 = 0.
Si les milieux ➀ et ➁ sont lhi, les conditions auxlimites imposent
n̂2→1 × (E1 − E2) = 0,n̂2→1 × (H1 −H2) = 0.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 46 / 238
-
Les conditions aux limites – Résumé
Les conditions aux limites
À la frontière entre deux milieux ➀ et ➁, avecn̂2→1 la normale orientée de ➁ vers ➀, lesrelations de passage sont données par
n̂2→1 × (E1 − E2) = −Jms,n̂2→1 × (H1 −H2) = Jes.
Et les composantes normales ???
En électromagnétisme, les conditions auxlimites sur les composantes tangentielles sontgénéralement suffisantes. (cf. Théorèmed’unicité)
Cas particuliers
Si le milieu ➁ est un PEC, les conditions auxlimites imposent
n̂2→1 × E1 = 0,n̂2→1 ×H1 = Jes.
Si le milieu ➁ est un PMC, les conditions auxlimites imposent
n̂2→1 × E1 = −Jms,n̂2→1 ×H1 = 0.
Si les milieux ➀ et ➁ sont lhi, les conditions auxlimites imposent
n̂2→1 × (E1 − E2) = 0,n̂2→1 × (H1 −H2) = 0.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 46 / 238
-
Plan
1 Introduction
2 Les Équations de MaxwellÉnoncés des équations de MaxwellInteraction avec la matièreLes conditions aux limitesRésumé
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 47 / 238
-
Équations de Maxwell + CL + relations constitutives
RésuméRégime harmonique ;
milieux lhi tels que µ = µ0 ;
sources électrique Je et magnétique Jm.
⇒ E et H vérifient
Maxwell-Faraday : ∇ × E = −jωµ0H − Jm,Maxwell-Ampère : ∇ ×H = jωε0εreffE + Je.
À la frontière entre deux milieux ➀ et ➁ ;
n̂2→1 la normale orientée de ➁ vers ➀.
⇒ Les relations de passage sont données par
CL sur le champ électrique : n̂2→1 × (E1 − E2) = −Jms,CL sur le champ magnétique : n̂2→1 × (H1 −H2) = Jes.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 48 / 238
-
QUIZZ
Les équations de Maxwell – loi de Faraday
Que dit la loi de Faraday ?
1/ˆ B
AE · dl = VA − VB
2/˛
∂SE · dl = 0
3/˛
∂SE · dl = −
¨
S
∂B
∂t· dS
4/ˆ B
AE · dl = −
¨
S
∂V
∂t
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 49 / 238
-
QUIZZ
Les équations de Maxwell – loi de Faraday
Que dit la loi de Faraday ?
1/ˆ B
AE · dl = VA − VB
2/˛
∂SE · dl = 0
3/˛
∂SE · dl = −
¨
S
∂B
∂t· dS
4/ˆ B
AE · dl = −
¨
S
∂V
∂t
Solution
➂
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 49 / 238
-
QUIZZ
Les équations de Maxwell – loi de Faraday
Que dit la loi de Faraday ?
1/ˆ B
AE · dl = VA − VB⇒ Différence de potentiels en électrostatique
2/˛
∂SE · dl = 0
3/˛
∂SE · dl = −
¨
S
∂B
∂t· dS
4/ˆ B
AE · dl = −
¨
S
∂V
∂t
Solution
➂
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 49 / 238
-
QUIZZ
Les équations de Maxwell – loi de Faraday
Que dit la loi de Faraday ?
1/ˆ B
AE · dl = VA − VB⇒ Différence de potentiels en électrostatique
2/˛
∂SE · dl = 0⇒ Différence de potentiels en électrostatique
3/˛
∂SE · dl = −
¨
S
∂B
∂t· dS
4/ˆ B
AE · dl = −
¨
S
∂V
∂t
Solution
➂
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 49 / 238
-
QUIZZ
Les équations de Maxwell – loi de Faraday
Que dit la loi de Faraday ?
1/ˆ B
AE · dl = VA − VB⇒ Différence de potentiels en électrostatique
2/˛
∂SE · dl = 0⇒ Différence de potentiels en électrostatique
3/˛
∂SE · dl = −
¨
S
∂B
∂t· dS⇒ Loi de Maxwell-Faraday : une variation temporelle du flux du champ
magnétique crée une force électromotrice induite.
4/ˆ B
AE · dl = −
¨
S
∂V
∂t
Solution
➂
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 49 / 238
-
QUIZZ
Les équations de Maxwell – loi de Faraday
Que dit la loi de Faraday ?
1/ˆ B
AE · dl = VA − VB⇒ Différence de potentiels en électrostatique
2/˛
∂SE · dl = 0⇒ Différence de potentiels en électrostatique
3/˛
∂SE · dl = −
¨
S
∂B
∂t· dS⇒ Loi de Maxwell-Faraday : une variation temporelle du flux du champ
magnétique crée une force électromotrice induite.
4/ˆ B
AE · dl = −
¨
S
∂V
∂t⇒ N’importe quoi. Pas homogène.
Solution
➂
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 49 / 238
-
QUIZZ
La conservation de la charge
Que dit la conservation de la charge ?
1/ une variation spatiale de la densité d’électrons crée un champ magnétique ;
2/ une variation temporelle de la densité de charges électriques crée une densité de courant électrique ;
3/ une variation temporelle de la densité de courant électrique crée une densité de charges électriques ;
4/ une variation spatiale du champ magnétique crée une densité de courant magnétique.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 50 / 238
-
QUIZZ
La conservation de la charge
Que dit la conservation de la charge ?
1/ une variation spatiale de la densité d’électrons crée un champ magnétique ;
2/ une variation temporelle de la densité de charges électriques crée une densité de courant électrique ;
3/ une variation temporelle de la densité de courant électrique crée une densité de charges électriques ;
4/ une variation spatiale du champ magnétique crée une densité de courant magnétique.
Solution
➁
Conservation de la charge
∇ ·J tote +∂ρe
∂t= 0.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 50 / 238
-
QUIZZ
Lesquels de ces champs sont physiquement possibles ?
PEC
E1
PSfrag
PEC
E2
PEC
E3
Choix
1/ E1
2/ E2
3/ E3
4/ E1 et E2
5/ E1 et E3
6/ E2 et E3
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 51 / 238
-
QUIZZ
Lesquels de ces champs sont physiquement possibles ?
PSfrag
PEC
E2
Choix
2/ E2
CL sur un PEC
n̂2→1 × E = 0.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 51 / 238
-
QUIZZ
Laquelle de ces configurations correspond aux milieux ➀ et ➁ lhi ?E1,H1 εr1
E2,H2 εr2ρes, ρmsJes, Jms
P
h
milieu ➀
milieu ➁
E1,H1 εr1
E2,H2 εr2Jes, Jms
P
h
milieu ➀
milieu ➁
E1,H1 εr1
E2,H2 εr2ρes, ρms
P
h
milieu ➀
milieu ➁
E1,H1 εr1
E2,H2 εr2
P
h
milieu ➀
milieu ➁
Choix
1/ ➀
2/ ➁
3/ ➂
4/ ➃
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 52 / 238
-
QUIZZ
Laquelle de ces configurations correspond aux milieux ➀ et ➁ lhi ?
E1,H1 εr1
E2,H2 εr2
P
h
milieu ➀
milieu ➁
Choix
4/ ➃
CL à l’interface de 2 milieux lhi
n̂2→1 × (E2 − E1) = 0.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 52 / 238
-
QUIZZ
Lesquels de ces champs sont physiquement possibles ?
PEC
H1
PSfrag
PEC
H2 H3
PEC
Choix
1/ H1
2/ H2
3/ H3
4/ H1 et H2
5/ H1 et H3
6/ H2 et H3
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 53 / 238
-
QUIZZ
Lesquels de ces champs sont physiquement possibles ?
PEC
H1
Choix
1/ H1
CL sur un PEC
n̂2→1 ×H = Je,n̂2→1 · B = n̂2→1 · µH = 0.
On suppose Je , 0, sinon, cela signifie qu’il n’y a pas de champ.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 53 / 238
-
QUIZZ
Laquelle de ces configurations correspond aux milieux ➀ lhi et ➁ PMC ?(E1,H1) εr1
(0, 0)Jes, Jms
P
h
milieu ➀
milieu ➁
(E1,H1) εr1
P
h
milieu ➀
milieu ➁(0, 0)Jes = 0
Jms
(E1,H1) εr1
(0, 0)
P
h
milieu ➀
milieu ➁
JesJms = 0
(E1,H1) εr1
(0, 0)
P
h
milieu ➀
milieu ➁
Choix
1/ ➀
2/ ➁
3/ ➂
4/ ➃
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 54 / 238
-
QUIZZ
Laquelle de ces configurations correspond aux milieux ➀ lhi et ➁ PMC ?(E1,H1) εr1
P
h
milieu ➀
milieu ➁(0, 0)Jes = 0
Jms
Choix
3/ ➂
CL à l’interface de 2 milieux lhi
n̂2→1 × E1 = −Jms,n̂2→1 ×H1 = 0.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 54 / 238
-
QUIZZ
Les milieux à pertes
Quelle assertion caractérise un milieu à pertes diélectriques ?
1/ La permittivité est nulle.
2/ La permittivité est à partie réelle positive.
3/ La permittivité est à partie imaginaire négative.
4/ La permittivité inclut la conductivité.
5/ La partie imaginaire de la permittivité est négligeable devant sa partie réelle.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 55 / 238
-
QUIZZ
Les milieux à pertes
Quelle assertion caractérise un milieu à pertes diélectriques ?
3/ La permittivité est à partie imaginaire négative.
Solution
➂
Conservation de la charge
ε = ε′ − jε′′ = ε0(ε′r − jε′′r ).
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 55 / 238
-
QUIZZ
Relations constitutives de la matière. Maxwell domaine temporel.
Supposons 2 milieux avec des densités de charge ρe égales et constantes, des permittivités telles queεr1 > εr2 et des perméabilité telles que µ1 > µ2. (Supposons que les conditions du théorème d’unicité soientremplies avec des champs nuls à t = 0.)
1/ D1 < D2 ;
2/ B1 < B2 ;
3/ E1 < E2 ;
4/ H1
-
QUIZZ
Relations constitutives de la matière. Maxwell domaine temporel.
Supposons 2 milieux avec des densités de charge ρe égales et constantes, des permittivités telles queεr1 > εr2 et des perméabilité telles que µ1 > µ2. (Supposons que les conditions du théorème d’unicité soientremplies avec des champs nuls à t = 0.)
3/ E1 < E2 ;
1/ ∇ ·D = ρe ⇒D1 = D2 = D2/ ∇ ·B = ρm = 0⇒ B1 = B2 = Cst = 03/ E1 = D1/(εr1ε0) < E2 = D2/(εr2ε0)
4/ H1 = B1/(µr1µ0) = B2/(µr2µ0) = 0
Solution
➂Une forte permittivité “concentre” le champ électrique.
De la même façon, une forte perméabilité “concentre” le champ magnétique.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 56 / 238
-
Plan
1 Introduction
2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes FondamentauxPrincipe de superpositionThéorème de PoyntingThéorème d’unicitéPrincipes de symétrie et antisymétrie
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 57 / 238
-
Calcul vectoriel
Le théorème d’Ostrogradski
Le théorème d’Ostrogradski est donné par˚
Ω
∇ · A dV =‹
∂Ω
A · dS, ∀ volume Ω
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 58 / 238
-
Calcul vectoriel
Le théorème d’Ostrogradski
Le théorème d’Ostrogradski est donné par˚
Ω
∇ · A dV =‹
∂Ω
A · dS, ∀ volume Ω
Théorème de StokesLe théorème de Stokes est donné par
¨
S(∇ × A) · dS =
˛
∂SA · dl, ∀ surface S
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 58 / 238
-
Les Ondes Électromagnétiques – Généralités
Les équations de Maxwell – Régime harmonique – Forme locale
En présence de sources électrique Je et magnétique Jm, les ondes E et H vérifient
Maxwell-Gauss : ∇ · D = ρe,Maxwell-Thomson : ∇ · B = ρm,
Maxwell-Faraday : ∇ × E = −Jm − jωB,Maxwell-Ampère : ∇ ×H = Jtote + jωD.
Forme intégrale
En présence de sources électrique Je etmagnétique Jm, les ondes E et H vérifient
M-G :˚
Ω
∇ · D dV =˚
Ω
ρe dV,
M-T :˚
Ω
∇ · B dV =˚
Ω
ρm dV,
M-F :¨
S(∇ × E) · dS =
¨
S(−Jm − jωB) · dS,
M-A :¨
S(∇ ×H) · dS =
¨
S(Jtote + jωD) · dS.
Forme intégrale
En présence de sources électrique Je etmagnétique Jm, les ondes E et H vérifient
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 59 / 238
-
Les Ondes Électromagnétiques – Généralités
Les équations de Maxwell – Régime harmonique – Forme locale
En présence de sources électrique Je et magnétique Jm, les ondes E et H vérifient
Maxwell-Gauss : ∇ · D = ρe,Maxwell-Thomson : ∇ · B = ρm,
Maxwell-Faraday : ∇ × E = −Jm − jωB,Maxwell-Ampère : ∇ ×H = Jtote + jωD.
Forme intégrale
En présence de sources électrique Je etmagnétique Jm, les ondes E et H vérifient
M-G :˚
Ω
∇ · D dV =˚
Ω
ρe dV,
M-T :˚
Ω
∇ · B dV =˚
Ω
ρm dV,
M-F :¨
S(∇ × E) · dS =
¨
S(−Jm − jωB) · dS,
M-A :¨
S(∇ ×H) · dS =
¨
S(Jtote + jωD) · dS.
Forme intégrale
En présence de sources électrique Je etmagnétique Jm, les ondes E et H vérifient
M-G :‹
∂Ω
D · dS = Qe,
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 59 / 238
-
Les Ondes Électromagnétiques – Généralités
Les équations de Maxwell – Régime harmonique – Forme locale
En présence de sources électrique Je et magnétique Jm, les ondes E et H vérifient
Maxwell-Gauss : ∇ · D = ρe,Maxwell-Thomson : ∇ · B = ρm,
Maxwell-Faraday : ∇ × E = −Jm − jωB,Maxwell-Ampère : ∇ ×H = Jtote + jωD.
Forme intégrale
En présence de sources électrique Je etmagnétique Jm, les ondes E et H vérifient
M-G :˚
Ω
∇ · D dV =˚
Ω
ρe dV,
M-T :˚
Ω
∇ · B dV =˚
Ω
ρm dV,
M-F :¨
S(∇ × E) · dS =
¨
S(−Jm − jωB) · dS,
M-A :¨
S(∇ ×H) · dS =
¨
S(Jtote + jωD) · dS.
Forme intégrale
En présence de sources électrique Je etmagnétique Jm, les ondes E et H vérifient
M-G :‹
∂Ω
D · dS = Qe,
M-T :‹
∂Ω
B · dS = Qm,
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 59 / 238
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Les Ondes Électromagnétiques – Généralités
Les équations de Maxwell – Régime harmonique – Forme locale
En présence de sources électrique Je et magnétique Jm, les ondes E et H vérifient
Maxwell-Gauss : ∇ · D = ρe,Maxwell-Thomson : ∇ · B = ρm,
Maxwell-Faraday : ∇ × E = −Jm − jωB,Maxwell-Ampère : ∇ ×H = Jtote + jωD.
Forme intégrale
En présence de sources électrique Je etmagnétique Jm, les ondes E et H vérifient
M-G :˚
Ω
∇ · D dV =˚
Ω
ρe dV,
M-T :˚
Ω
∇ · B dV =˚
Ω
ρm dV,
M-F :¨
S(∇ × E) · dS =
¨
S(−Jm − jωB) · dS,
M-A :¨
S(∇ ×H) · dS =
¨
S(Jtote + jωD) · dS.
Forme intégrale
En présence de sources électrique Je etmagnétique Jm, les ondes E et H vérifient
M-G :‹
∂Ω
D · dS = Qe,
M-T :‹
∂Ω
B · dS = Qm,
M-F :˛
∂SE · dl = −Im − jωµ
¨
SH · dS,
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 59 / 238
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Les Ondes Électromagnétiques – Généralités
Les équations de Maxwell – Régime harmonique – Forme locale
En présence de sources électrique Je et magnétique Jm, les ondes E et H vérifient
Maxwell-Gauss : ∇ · D = ρe,Maxwell-Thomson : ∇ · B = ρm,
Maxwell-Faraday : ∇ × E = −Jm − jωB,Maxwell-Ampère : ∇ ×H = Jtote + jωD.
Forme intégrale
En présence de sources électrique Je etmagnétique Jm, les ondes E et H vérifient
M-G :˚
Ω
∇ · D dV =˚
Ω
ρe dV,
M-T :˚
Ω
∇ · B dV =˚
Ω
ρm dV,
M-F :¨
S(∇ × E) · dS =
¨
S(−Jm − jωB) · dS,
M-A :¨
S(∇ ×H) · dS =
¨
S(Jtote + jωD) · dS.
Forme intégrale
En présence de sources électrique Je etmagnétique Jm, les ondes E et H vérifient
M-G :‹
∂Ω
D · dS = Qe,
M-T :‹
∂Ω
B · dS = Qm,
M-F :˛
∂SE · dl = −Im − jωµ
¨
SH · dS,
M-A :˛
∂SH · dl = Itote + jωε
¨
SE · dS.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 59 / 238
-
Plan
1 Introduction
2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes FondamentauxPrincipe de superpositionThéorème de PoyntingThéorème d’unicitéPrincipes de symétrie et antisymétrie
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 60 / 238
-
Principe de superposition
ÉnoncéLe principe de superposition permet de décomposer l’étude d’un problème en scindant les sources :
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(Je1, Jm1) rayonnent (E1,H1)(Je2, Jm2) rayonnent (E2,H2)
⇓(Je1 + Je2, Jm1 + Jm2) rayonnent (E1 + E2,H1 +H2).
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 61 / 238
-
Principe de superposition
ÉnoncéLe principe de superposition permet de décomposer l’étude d’un problème en scindant les sources :
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(Je1, Jm1) rayonnent (E1,H1)(Je2, Jm2) rayonnent (E2,H2)
⇓(Je1 + Je2, Jm1 + Jm2) rayonnent (E1 + E2,H1 +H2).
DémonstrationLes équations de Maxwell sont linéaires.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 61 / 238
-
Plan
1 Introduction
2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes FondamentauxPrincipe de superpositionThéorème de PoyntingThéorème d’unicitéPrincipes de symétrie et antisymétrie
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 62 / 238
-
Théorème de Poynting
Théorème de Poynting – Forme locale dans le domaine temporel
En tout point d’un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, la conservation de la puissance aucours du temps s’écrit
∇ ·S + ∂∂t
(we + wm) − pse − psm + pd = 0,
avec :
le vecteur densité de puissance électromagnétique = vecteur de Poynting
S = E ×H ;
les densités d’énergies électrique et magnétique stockées
we =ε‖E‖2
2; wm =
µ‖H‖22
;
les densités de puissance fournies par les sources électriques et magnétiques
pse = −E ·J e ; psm = −H ·Jm ;
la densité de puissance dissipée par effet Joule
pd = σ‖E‖2.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 63 / 238
-
Théorème de Poynting
Théorème de Poynting – Forme locale dans le domaine temporel – Démonstration
Localement,S = E ×H .
Le théorème d’Ostrogradski impose
Pout =‹
∂Ω
S · dS =˚
Ω
∇ ·S dV , ∀ volume Ω
⇒ puissance totale sortant d’un volume Ω :
Pout =‹
∂Ω
S · dS =˚
Ω
∇ · (E ×H) · dS.
Puis ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B).Puis Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère.Puis relations constitutives.
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Théorème de Poynting
Théorème de Poynting – Forme locale dans le domaine fréquentiel
En régime fréquentiel, en tout point d’un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, laconservation de la puissance s’écrit
∇ · Re(S) − Re(pse + psm) + pd = 0,
avec :
le vecteur densité de puissance électromagnétique = vecteur de Poynting
S =12
E ×H∗ ;
les densités de puissance fournies par les sources électriques et magnétiques
pse = −12
E · J∗e ; psm =−12
H∗·Jm ;
la densité de puissance dissipéepd = p
condd + p
dield + p
magnd ;
les densités de puissance dissipée par effet Joule, pertes diélectriques et pertes magnétiques
pcondd =σ
2‖E‖2 ; pdield =
ωε′′
2‖E‖2 ; pmagd =
ωµ′′
2‖H‖2.
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Théorème de Poynting
Théorème de Poynting – Forme intégrale dans le domaine fréquentiel
En régime fréquentiel, dans un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, la conservation de lapuissance s’écrit
Pa − Re(Pse + Psm) + Pd = 0,
avec
Pa =
‹
∂Ω
Re(S)· dS la puissance active sortant du domaine ;
Pse =
˚
Ω
pse dV la puissance fournie par les sources électriques ;
Psm =
˚
Ω
psm dV la puissance fournie par les sources magnétiques ;
Pd =
˚
Ω
pd dV la puissance dissipée.
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Plan
1 Introduction
2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes FondamentauxPrincipe de superpositionThéorème de PoyntingThéorème d’unicitéPrincipes de symétrie et antisymétrie
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
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Théorème d’unicité
Énoncé – Domaine temporel
En régime temporel, dans un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, il y a unicité du champ(E,H) si
des conditions initiales sont fixées pour E etH dans Ω ;
en tout point de la frontière ∂Ω, soit n̂ × E soit n̂ ×H est donné, ∀t ≥ 0, avec n̂ le vecteur unitairenormal à la surface orienté vers l’extérieur du domaine.
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Théorème d’unicité
Énoncé – Domaine temporel
En régime temporel, dans un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, il y a unicité du champ(E,H) si
des conditions initiales sont fixées pour E etH dans Ω ;
en tout point de la frontière ∂Ω, soit n̂ × E soit n̂ ×H est donné, ∀t ≥ 0, avec n̂ le vecteur unitairenormal à la surface orienté vers l’extérieur du domaine.
Exemples
Le conducteur électrique parfait qui impose n̂ × E = 0 ;le conducteur magnétique parfait qui impose n̂ ×H = 0.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 68 / 238
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Théorème d’unicité
Énoncé – Domaine temporel
En régime temporel, dans un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, il y a unicité du champ(E,H) si
des conditions initiales sont fixées pour E etH dans Ω ;
en tout point de la frontière ∂Ω, soit n̂ × E soit n̂ ×H est donné, ∀t ≥ 0, avec n̂ le vecteur unitairenormal à la surface orienté vers l’extérieur du domaine.
Exemples
Le conducteur électrique parfait qui impose n̂ × E = 0 ;le conducteur magnétique parfait qui impose n̂ ×H = 0.
Remarque
Condition suffisante pour avoirunicité, pas nécessaire.
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Théorème d’unicité
Énoncé – Domaine temporel
En régime temporel, dans un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, il y a unicité du champ(E,H) si
des conditions initiales sont fixées pour E etH dans Ω ;
en tout point de la frontière ∂Ω, soit n̂ × E soit n̂ ×H est donné, ∀t ≥ 0, avec n̂ le vecteur unitairenormal à la surface orienté vers l’extérieur du domaine.
Exemples
Le conducteur électrique parfait qui impose n̂ × E = 0 ;le conducteur magnétique parfait qui impose n̂ ×H = 0.
Remarque
Condition suffisante pour avoirunicité, pas nécessaire.
DémonstrationSupposer les hypothèses (conditions initiales + conditions aux limites) vérifiées ;
supposer que (E1,H1) et (E2,H2) remplissent ces conditions ;
montrer que ces champs sont égaux en appliquant le théorème de Poynting sur le champ différence.
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Théorème d’unicité
Énoncé 1 – Domaine fréquentiel
En régime fréquentiel, dans un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, il y a unicité du champ(E,H) si :
il existe des pertes diélectriques, magnétiques ou conductrices dans Ω ;
en tout point de la frontière de Ω, soit n̂ × E soit n̂ ×H est donné, avec n̂ le vecteur unitaire normal à lasurface orienté vers l’extérieur du domaine.
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Théorème d’unicité
Énoncé 1 – Domaine fréquentiel
En régime fréquentiel, dans un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, il y a unicité du champ(E,H) si :
il existe des pertes diélectriques, magnétiques ou conductrices dans Ω ;
en tout point de la frontière de Ω, soit n̂ × E soit n̂ ×H est donné, avec n̂ le vecteur unitaire normal à lasurface orienté vers l’extérieur du domaine.
Énoncé 2 – Domaine fréquentiel
En régime fréquentiel, dans un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, il y a unicité du champ(E,H) si :
sur la frontière ∂Ω, une condition du type n̂ × E + Z n̂ × (n̂ ×H) = 0 est donnée, avec Re(Z) > 0 et n̂ levecteur unitaire normal à la surface orienté vers l’extérieur du domaine.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 69 / 238
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Théorème d’unicité
Énoncé 1 – Domaine fréquentiel
En régime fréquentiel, dans un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, il y a unicité du champ(E,H) si :
il existe des pertes diélectriques, magnétiques ou conductrices dans Ω ;
en tout point de la frontière de Ω, soit n̂ × E soit n̂ ×H est donné, avec n̂ le vecteur unitaire normal à lasurface orienté vers l’extérieur du domaine.
Énoncé 2 – Domaine fréquentiel
En régime fréquentiel, dans un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, il y a unicité du champ(E,H) si :
sur la frontière ∂Ω, une condition du type n̂ × E + Z n̂ × (n̂ ×H) = 0 est donnée, avec Re(Z) > 0 et n̂ levecteur unitaire normal à la surface orienté vers l’extérieur du domaine.
Remarques
Énoncé 1 = conditions aux limites + pertes dans le domaine.Énoncé 2 = conditions aux limites impédantes.
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Théorème d’unicité
Énoncé 1 – Domaine fréquentiel
En régime fréquentiel, dans un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, il y a unicité du champ(E,H) si :
il existe des pertes diélectriques, magnétiques ou conductrices dans Ω ;
en tout point de la frontière de Ω, soit n̂ × E soit n̂ ×H est donné, avec n̂ le vecteur unitaire normal à lasurface orienté vers l’extérieur du domaine.
Énoncé 2 – Domaine fréquentiel
En régime fréquentiel, dans un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, il y a unicité du champ(E,H) si :
sur la frontière ∂Ω, une condition du type n̂ × E + Z n̂ × (n̂ ×H) = 0 est donnée, avec Re(Z) > 0 et n̂ levecteur unitaire normal à la surface orienté vers l’extérieur du domaine.
Remarques
Énoncé 1 = conditions aux limites + pertes dans le domaine.Énoncé 2 = conditions aux limites impédantes.
Contre-exemple
Boîte métallique fermée sanspertes en régime fréquentiel. Lechamp est indéterminé.
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Plan
1 Introduction
2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes FondamentauxPrincipe de superpositionThéorème de PoyntingThéorème d’unicitéPrincipes de symétrie et antisymétrie
4 Les Ondes Planes
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
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Symétrie / Antisymétrie
Configuration
Milieu symétrique par rapport au plan P défini par z = 0⇒ Permittivité, perméabilité, conductivité paires par rapport à z :
ε(x, y,−z)= ε(x, y, z),µ(x, y,−z)= µ(x, y, z),σ(x, y,−z)= σ(x, y, z).
Symétrie / antisymétrie
U
P
Us
Figure: Un vecteur U et son symétrique.
U
Ua
P
Figure: Un vecteur U et son antisymétrique.
Flèche de même direction = vecteurs de même amplitude et même phase.
Flèche de directions opposées = vecteurs de même amplitude déphasés de π.
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Symétrie / antisymétrie
Symétrie électrique
Dans une configuration symétrique par rapport au plan z = 0,
Je symétriqueJm antisymétrique
⇒ E symétriqueH antisymétrique
Le plan z = 0 est alors appelé plan de symétrie électrique.
Remarque
En cas de symétrie électrique, les champs vérifient
Hx(x, y, 0) = −Hx(x, y, 0)Hy(x, y, 0) = −Hy(x, y, 0)Ez(x, z, 0) = −Ez(x, y, 0)
⇒ Hx(x, y, 0) = Hy(x, y, 0) = 0Ez(x, y, 0) = 0.
C’est-à-dire :
champs magnétiques tangents au plan = 0 ;
champ électrique normal au plan = 0.
Plan P assimilable à un PMC.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 72 / 238
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Symétrie / antisymétrie
Symétrie magnétique
Dans une configuration symétrique par rapport au plan z = 0,
Je antisymétriqueJm symétrique
⇒ E antisymétriqueH symétrique
Le plan z = 0 est alors appelé plan de symétrie magnétique.
Remarque
En cas de symétrie magnétique, les champs vérifient
Ex(x, y, 0) = −Ex(x, y, 0)Ey(x, y, 0) = −Ey(x, y, 0)Hz(x, z, 0) = −Hz(x, y, 0)
⇒ Ex(x, y, 0) = Ey(x, y, 0) = 0Hz(x, y, 0) = 0.
C’est-à-dire :
champs électriques tangents au plan = 0 ;
champ magnétique normal au plan = 0.
Plan P assimilable à un PEC.
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Symétrie / antisymétrie
Excitation quelconque
(Je, Jm) quelconques ;
milieu symétrique par rapport à P.
⇒ les courants peuvent être séparés en une partie symétrique et une partie antisymétrique
Je = Jse + J
ae, Jm = J
sm + J
am.
Démonstrationpartie symétrique du courant électrique
Jsex(x, y, z)=[
Jex(x, y, z) + Jex(x, y,−z)]
/2,
Jsey(x, y, z)=[
Jey(x, y, z) + Jey(x, y,−z)]
/2,
Jsez(x, y, z) =[
Jez(x, y, z) − Jez(x, y,−z)]
/2;
partie antisymétrique du courant électrique
Jaex(x, y, z)=[
Jex(x, y, z) − Jex(x, y,−z)]
/2,
Jaey(x, y, z)=[
Jey(x, y, z) − Jey(x, y,−z)]
/2,
Jaez(x, y, z) =[
Jez(x, y, z) + Jez(x, y,−z)]
/2;
partie symétrique du courant magnétique
Jsmx(x, y, z)=[
Jmx(x, y, z) + Jmx(x, y,−z)]
/2,
Jsmy(x, y, z)=[
Jmy(x, y, z) + Jmy(x, y,−z)]
/2,
Jsmz(x, y, z) =[
Jmz(x, y, z) − Jmz(x, y,−z)]
/2;
partie antisymétrique du courant magnétique
Jamx(x, y, z)=[
Jmx(x, y, z) − Jmx(x, y,−z)]
/2,
Jamy(x, y, z)=[
Jmy(x, y, z) − Jmy(x, y,−z)]
/2,
Jamz(x, y, z) =[
Jmz(x, y, z) + Jmz(x, y,−z)]
/2.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 74 / 238
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Théorème des images
Courants transverses et longitudinaux
Les courants sont décomposés comme suit.
Jet et Jmt : composantes transverses (parallèles au plan conducteur) ;
Jez et Jmz : composantes longitudinales (orthogonales au plan conducteur).
Théorème des images pour un PEC
PEC, (E = 0,H = 0)
Ω, (E,H)
Jet
Jez
Jmt
Jmz
⇔
Ω, (E,H)
Ωi, (Ei,Hi)
Jet
Jez
Jmt
Jmz
Jeit
Jiez
Jmit
Jimz
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Théorème des images
Courants transverses et longitudinaux
Les courants sont décomposés comme suit.
Jet et Jmt : composantes transverses (parallèles au plan conducteur) ;
Jez et Jmz : composantes longitudinales (orthogonales au plan conducteur).
Théorème des images pour un PMC
PMC, (E = 0,H = 0)
Ω, (E,H)
Jet
Jez
Jmt
Jmz
⇔
Ω, (E,H)
Ωi, (Ei,Hi)
Jet
Jez
Jmt
Jmz
Jeit
Jiez
Jmit
Jimz
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QUIZZ
Théorème de superposition
Alimentation antenne ➀ : a1 = 1 V⇒signal s1 = 2 + j µV sur l’antenne ➂.
Alimentation antenne ➁ : a2 = 1 V⇒signal s2 = 2 − 3j µV sur l’antenne ➂.Quel est le signal mesuré sur l’antenne ➂quand les 2 antennes ➀ et ➁ sontalimentées par a1 = −1 + j V et a2 = j V,respectivement ?
1 1 µV ;
2 1-j µV ;
3 -2j µV ;
4 3j µV ;
5 1+2j µV.
Configuration
➀➁
➂
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QUIZZ
Théorème de superposition
Alimentation antenne ➀ : a1 = 1 V⇒signal s1 = 2 + j µV sur l’antenne ➂.
Alimentation antenne ➁ : a2 = 1 V⇒signal s2 = 2 − 3j µV sur l’antenne ➂.Quel est le signal mesuré sur l’antenne ➂quand les 2 antennes ➀ et ➁ sontalimentées par a1 = −1 + j V et a2 = j V,respectivement ?
4 3j µV ;
Configuration
➀➁
➂
Solution
➃
s= −s1 + js1 − js2= −1(2 + j) + j(2 + j) + j(2 − 3j)= (−2 − j) + (−1 + 2j) + (3 + 2j)= 3j µV
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QUIZZ
Vecteur de Poynting
En supposant qu’il n’y a des sources que dans leSoleil, donnez le signe du flux du vecteur de
Poyting Pn =‹
∂Ωn
Re(Sn)· dS dans Ωn .
1/ P1 > 0,P2 > 0,P3 = 0,P4 > 0 ;
2/ P1 > 0,P2 < 0,P3 > 0,P4 > 0 ;
3/ P1 > 0,P2 = 0,P3 > 0,P4 < 0 ;
4/ P1 > 0,P2 < 0,P3 = 0,P4 > 0 ;
5/ P1 > 0,P2 < 0,P3 = 0,P4 < 0.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 78 / 238
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QUIZZ
Ω1, S1Ω2, S2
Ω4, S4
Ω3, S3
Vecteur de Poynting
En supposant qu’il n’y a des sources que dans leSoleil, donnez le signe du flux du vecteur de
Poyting Pn =‹
∂Ωn
Re(Sn)· dS dans Ωn .
1/ P1 > 0,P2 > 0,P3 = 0,P4 > 0 ;
2/ P1 > 0,P2 < 0,P3 > 0,P4 > 0 ;
3/ P1 > 0,P2 = 0,P3 > 0,P4 < 0 ;
4/ P1 > 0,P2 < 0,P3 = 0,P4 > 0 ;
5/ P1 > 0,P2 < 0,P3 = 0,P4 < 0.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 79 / 238
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QUIZZ
Ω1, S1Ω2, S2
Ω4, S4
Ω3, S3
Vecteur de Poynting
En supposant qu’il n’y a des sources que dans leSoleil, donnez le signe du flux du vecteur de
Poyting Pn =‹
∂Ωn
Re(Sn)· dS dans Ωn .4/ P1 > 0,P2 < 0,P3 = 0,P4 > 0 ;
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 79 / 238
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QUIZZ
Ω1 ,P1
Théorème de Poynting
Le théorème de Poynting dit :Pa − Re(Pse + Psm) + Pd = 0.
Appliqué au Soleil : on a vu que Pa > 0 dansΩ1 . Que valent les autres termes ?
1/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd = 0 ;
2/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd > 0 ;
3/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd = 0 ;
4/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd > 0.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 80 / 238
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QUIZZ
Ω1 ,P1
Théorème de Poynting
Le théorème de Poynting dit :Pa − Re(Pse + Psm) + Pd = 0.
Appliqué au Soleil : on a vu que Pa > 0 dansΩ1 . Que valent les autres termes ?
3/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd = 0 ;
4/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd > 0.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 80 / 238
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QUIZZ
Ω2 ,P2
Théorème de Poynting
Le théorème de Poynting dit :Pa − Re(Pse + Psm) + Pd = 0.
Appliqué à la Terre : on a vu que Pa < 0 dansΩ1 . Que valent les autres termes ?
1/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd = 0 ;
2/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd > 0 ;
3/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd = 0 ;
4/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd > 0.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 81 / 238
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QUIZZ
Ω2 ,P2
Théorème de Poynting
Le théorème de Poynting dit :Pa − Re(Pse + Psm) + Pd = 0.
Appliqué à la Terre : on a vu que Pa < 0 dansΩ1 . Que valent les autres termes ?
2/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd > 0 ;
Pa = Pd
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 81 / 238
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QUIZZ
Ω3 ,P3
Théorème de Poynting
Le théorème de Poynting dit :Pa − Re(Pse + Psm) + Pd = 0.
Appliqué à l’espace : on a vu que Pa = 0 dansΩ1 . Que valent les autres termes ?
1/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd = 0 ;
2/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd > 0 ;
3/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd = 0 ;
4/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd > 0.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 82 / 238
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QUIZZ
Ω3 ,P3
Théorème de Poynting
Le théorème de Poynting dit :Pa − Re(Pse + Psm) + Pd = 0.
Appliqué à l’espace : on a vu que Pa = 0 dansΩ1 . Que valent les autres termes ?
1/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd = 0 ;
ε = ε0 (ou εr = 1)
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 82 / 238
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QUIZZ
Ω4 ,P4
Théorème de Poynting
Le théorème de Poynting dit :Pa − Re(Pse + Psm) + Pd = 0.
Appliqué au système solaire : on a vu quePa > 0 dans Ω1 . Que valent les autres termes ?
1/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd = 0 ;
2/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd > 0 ;
3/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd = 0 ;
4/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd > 0.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 83 / 238
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QUIZZ
Ω4 ,P4
Théorème de Poynting
Le théorème de Poynting dit :Pa − Re(Pse + Psm) + Pd = 0.
Appliqué au système solaire : on a vu quePa > 0 dans Ω1 . Que valent les autres termes ? 4/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd > 0.
Re(Pse + Psm) > Pd
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 83 / 238
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QUIZZ
Théorème de Poynting
Un circuit LC
1/ stocke de l’énergie réactive ;
2/ stocke de l’énergie active ;
3/ rayonne de l’énergie active ;
4/ rayonne de l’énergie réactive.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 84 / 238
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QUIZZ
Théorème de Poynting
Un circuit LC
1/ stocke de l’énergie réactive ;
Solution
➀
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 84 / 238
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QUIZZ
Théorème de Poynting
Question subsidiaire : Un circuit LC
1/ principalement, stocke de l’énergie réactive ;
2/ uniquement, stocke de l’énergie réactive.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 85 / 238
-
QUIZZ
Théorème de Poynting
Question subsidiaire : Un circuit LC
1/ principalement, stocke de l’énergie réactive ;
Solution
➀
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 85 / 238
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QUIZZ
Théorème d’unicitéDans un volume Ω fermé, dans le domaine fréquentiel, que faut-il pour que l’unicité des champs soitrespectée ?
1/ des pertes dans le volume et les composantes tangentielles des champs connues ;
2/ des pertes dans le volume et les composantes normales des champs connues ;
3/ les champs respectent la causalité et les composantes tangentielles du champ connues ;
4/ les champs respectent la causalité et les composantes normales du champ connues.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 86 / 238
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QUIZZ
Théorème d’unicitéDans un volume Ω fermé, dans le domaine fréquentiel, que faut-il pour que l’unicité des champs soitrespectée ?
1/ des pertes dans le volume et les composantes tangentielles des champs connues ;
Solution
➀
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 86 / 238
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QUIZZ
Symétrie / Antisymétrie
J’ai une source Je antisymétrique. Elle rayonne un champ E. En (x0 , y0 , z0), ce champ vaut Ez0 = x̂ + jẑ .Que vaut le champ électrique E−z0 en (x0 , y0,−z0) ?1/ E−z0 = x̂ + jẑ ;
2/ E−z0 = x̂ − jẑ ;3/ E−z0 = −x̂ + jẑ ;4/ E−z0 = −x̂ − jẑ ;5/ E−z0 = 0.
U
Ua
P
Figure: Un vecteur U et son antisymétrique.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 87 / 238
-
QUIZZ
Symétrie / Antisymétrie
J’ai une source Je antisymétrique. Elle rayonne un champ E. En (x0 , y0 , z0), ce champ vaut Ez0 = x̂ + jẑ .Que vaut le champ électrique E−z0 en (x0 , y0,−z0) ?1/ E−z0 = x̂ + jẑ ;
2/ E−z0 = x̂ − jẑ ;3/ E−z0 = −x̂ + jẑ ;4/ E−z0 = −x̂ − jẑ ;5/ E−z0 = 0.
Solution
➂Je antisymétrique ⇒ E antisymétrique
U
Ua
P
Figure: Un vecteur U et son antisymétrique.
Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 87 / 238
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QUIZZ
Théorème des images
J’ai une source Je et une source Jm placées au-dessus d’un plan PEC en z = 0. Elles rayonnent un champ E.En M1 = (x0 , y0, z0), ce champ vaut Ez0 = x̂ + jẑ. Que vaut le champ électrique E−z0 en M2(x0 , y0,−z0) ?1/ E−z0 = x̂ + jẑ ;
2/ E−z0 = x̂ − jẑ ;3/ E−z0 = −x̂ + jẑ ;4/ E−z0 = −x̂ − jẑ ;5/ E−z0 = 0.
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QUIZZ
Théorème des images
J’ai une source Je et une source Jm placées au-dessus d’un plan PEC en z = 0. Elles rayonnent un champ E.En M1 = (x0 , y0, z0), ce champ vaut Ez0 = x̂ + jẑ. Que vaut le champ électrique E−z0 en M2(x0 , y0,−z0) ?1/ E−z0 = x̂ + jẑ ;
2/ E−z0 = x̂ − jẑ ;3/ E−z0 = −x̂ + jẑ ;4/ E−z0 = −x̂ − jẑ ;5/ E−z0 = 0.
Solution
➄Le théorème des images ne donne une équivalence que dans le demi-espace z ≥ 0. Dans le PEC, E = 0,
H = 0.
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Plan
1 Introduction
2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes PlanesFormulationCaractérisation (milieu sans pertes)Dans un milieu à pertesRéflexion et transmission d’une onde plane
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
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Plan
1 Introduction
2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes PlanesFormulationCaractérisation (milieu sans pertes)Dans un milieu à pertesRéflexion et transmission d’une onde plane
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
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QUIZZ
OPPMQu’est-ce qu’une OPPM
1/ une Onde Plane Progressive Monochromatique ;
2/ une Onde Plane Presque Monochromatique ;
3/ une Onde Pas ou Plus Monochromatique ;
4/ un acronyme qui ne sert à rien.
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QUIZZ
OPPMQu’est-ce qu’une OPPM
4/ un acronyme qui ne sert à rien.
Solution
➃
Onde Plane ou Plane Wave
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Définition de l’onde plane
Ondes planes – Définition
Dans un milieu linéaire, homogène, isotrope et sans sources, une onde plane est une solution des équationsde Maxwell dont les fronts d’onde sont des plans infinis.
L’équation de Helmholtz
Dans un milieu lhi sans sources, le champ électrique vérifie l’équation de Helmholtz qui s’écrit
∆E + k2E = 0,
avec
k = ω√µεeff = k0
√µrεreff le nombre d’onde ;
k0 = ω√µ0ε0 = ω/c0 le nombre d’onde dans le vide.
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Définition de l’onde plane
Ondes planes – Définition
Dans un milieu linéaire, homogène, isotrope et sans sources, une onde plane est une solution des équationsde Maxwell dont les fronts d’onde sont des plans infinis.
L’équation de Helmholtz
Dans un milieu lhi sans sources, le champ électrique vérifie l’équation de Helmholtz qui s’écrit
∆E + k2E = 0,
avec
k = ω√µεeff = k0
√µrεreff le nombre d’onde ;
k0 = ω√µ0ε0 = ω/c0 le nombre d’onde dans le vide.
Retrouver k et l’équation de Helmholtz
On applique le ∇× à l’équation de Maxwell-Faraday(sans sources)
∇ × (∇ × E)= −jωµ∇ ×H,= −jωµ(σ + jωε)E,= k2E.
On applique l’identité vectorielle sur le ∇ × ∇× auchamp électrique
∇ × ∇ × E = ∇(∇ · E) − ∆E.
avec ∇ · E = 0 sans sources.
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Définition de l’onde plane
Ondes planes – Définition
Dans un milieu linéaire, homogène, isotrope et sans sources, une onde plane est une solution des équationsde Maxwell dont les fronts d’onde sont des plans infinis.
L’équation de Helmholtz
Dans un milieu lhi sans sources, le champ électrique vérifie l’équation de Helmholtz qui s’écrit
∆E + k2E = 0,
avec
k = ω√µεeff = k0
√µrεreff le nombre d’onde ;
k0 = ω√µ0ε0 = ω/c0 le nombre d’onde dans le vide.
Résoudre l’équation de Helmholtz
On projette l’équation selon x, y et z, (ici x) :
∆Ex + k2Ex = 0,
puis on résout par séparation de variableE(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z).
On applique l’identité vectorielle sur le ∇ × ∇× auchamp électrique
∇ × ∇ × E = ∇(∇ · E) − ∆E.
avec ∇ · E = 0 sans sources.
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Forme de l’onde plane
Champ électrique de l’onde plane
Champ électrique d’une onde plane :E = E0e
−jk·r,
oùE0 = E0xx̂ + E0yŷ + E0zẑ.
k : le vecteur d’onde donné park = kxx̂ + ky ŷ + kz ẑ,
aveck2x + k
2y + k
2z = k
2.
L’équation de Helmholtz
Dans un milieu lhi sans sources, le champ électrique vérifie l’équation de Helmholtz qui s’écrit
∆E + k2E = 0,
avec
k = ω√µεeff = k0
√µrεreff le nombre d’onde ;
k0 = ω/c0 le nombre d’onde dans le vide.
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Plan
1 Introduction
2 Les Équations de Maxwell
3 Théorèmes Fondamentaux
4 Les Ondes PlanesFormulationCaractérisation (milieu sans pertes)Dans un milieu à pertesRéflexion et transmission d’une onde plane
5 Propagation en Espace Libre
6 Propagation en Milieu Complexe
7 Logiciels pour la Modélisation
8 Conclusion
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Caractérisation dans milieu sans pertes
Caractéristiques d’une onde plane
longueur d’onde λ ;
nombre et vecteur d’onde k et k ;
caractère TEM de l’onde plane ;
vitesse de groupe, vitesse de phase ;
vecteur de Poynting, puissance ;
polarisation.
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Caractérisation dans milieu sans pertes
Caractéristiques d’une onde plane
longueur d’onde λ ;
nombre et vecteur d’onde k et k ;
caractère TEM de l’onde plane ;
vitesse de groupe, vitesse de phase ;
vecteur de Poynting, puissance ;
polarisation.
En temporel
E(r, t) = Re(E0(r)e−jk·rejωt).
Selon x̂,Ex = Re(E0xej(ωt−k·r)) = |E0x| cos(ωt − k · r + ϕ0x).
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Caractérisation dans milieu sans pertes
Le front d’onde en 3D
k̂
Fron
t d’o
nde à
t 1
Fron
t d’o
nde à
t 2
c(t2 − t1)
Figure: Front d’onde d’une onde plane à deux instants t1et t2.
Le front d’onde en 2D
t2t1
E(x
)(V
.m−1
)
z(λ)
c(t2 − t1)
λ
Figure: Allure du champ Ex à deux instants t1 et t2proches.
La longueur d’onde
La longueur d’onde λ définit la période spatiale de l’onde selon la direction de propagation
k(z + λ) = kz + 2π ⇒ λ = 2πk=
2πcω=
c
f.
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Caractérisation dans milieu sans pertes
Front d’onde et direction de propagation
Dans un milieu linéaire, homogène, isotrope et sans pertes, une onde plane uniforme :
se propage dans la direction k̂ =k
k;
se caractérise par des fronts d’onde plans et orthogonaux à k̂;
possède une périodicité spatiale selon la direction k̂, de période définie par la longueur d’onde λ telleque
λ =c
f.
La longueur d’onde λ peut aussi être calculée dans un milieu par rapport à sa valeur λ0 dans le vide
λ =λ0√εrµr
avec λ0 =c0
f.
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Caractérisation dans milieu sans pertes
Caractère TEM de l’onde plane
k̂, E et H vérifient
H =k̂ × Eζ.
(k̂, E, H) est un trièdre direct ;
le champ est dit Transverse ÉlectroMagnétique (TEM) par rapport à la direction de propagation ;
ζ, exprimée en [Ω], est appelée l’impédance du milieu.
ζ =
√
µ
ε= ζ0
√
µr
εrl’impédance du milieu,
avec
ζ0 =
√
µ0
ε0≈ 120πΩ l’impédance du vide.
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Caractérisation dans milieu sans pertes
Vitesse de groupe
Vitesse à laquelle transite l’information et l’énergie portée par l’onde. Elle s’exprime par
vg =dω
dk.
Vitesse de phase
Vitesse apparente de la phase de l’onde. Ne correspond à aucun transport d’énergie ou d’information (peutêtre > c). Elle s’exprime par
vϕ =ω
k.
Pour l’onde plane
Pour une onde plane, les vitesses de groupe et de phase sont données par
vg = vϕ = c.
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Caractérisation dans milieu sans pertes
Vecteur de Poynting d’une onde plane
Onde plane uniformemilieu sans pertes
⇒ vecteur de Poynting cst et orienté dans la direction de propagation :
S =‖E0‖2
2ζk̂.
S est réel⇒ pas de puissance réactive.
Puissance d’une onde plane
La puissance traversant une surface S vaut
P =
¨
SS · dS = ‖E0‖
2
2ζ
¨
Sk̂ · dS.
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Caractérisation dans milieu sans pertes
Polarisation – Définition
C’est l’évolution temporelle du vecteur champélectrique en un point de l’espace.
Ondes complètement polarisées ;
les ondes non polarisées ;
ondes partiellement polarisées.
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Caractérisation dans milieu sans pertes
Polarisation – Définition
C’est l’évolution temporelle du vecteur champélectrique en un point de l’espace.
Ondes complètement polarisées ;
les ondes non polarisées ;
ondes partiellement polarisées.
Champ électrique, domaine temporel
Si k̂ = ẑ,E(r, t) = Re(Eejωt) = Re(E0e
j(ωt−k·r))
= |E0x| cos(ωt − kz + ϕ0x) x̂ + |E0y| cos(ωt − kz + ϕ0y) ŷ,
Paramètres de la polarisation
La polarisation est définie en fonction
des amplitudes |E0x| et |E0y| ;du déphasage relatif ϕ = ϕ0x − ϕ0y.
Polarisations principales
Linéaire, circulaire, elliptique.
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Caractérisation dans milieu sans pertes
Polarisation linéaireE0y = 0⇒ champ orienté selon x̂⇒ Polarisation horizontale ;E0x = 0⇒ champ orienté selon ŷ⇒ Polarisation verticale ;E0x/E0y ∈ R⇒ champ orienté selon v̂ (⇔ ϕ = 0 ou π).
Polarisation linéaire
z0λ
2λ3λ
y
x
Figure: Champ en fonction de z à t fixé.
x
y
k
E
Figure: Champ en fonction de t à z fixé.
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Caractérisation dans milieu sans pertes
La polarisation circulaire droite (RHCP)
Quand t varie, l’équation paramétrique est celle d’un cercle.
Ex(r, t) = ‖E0‖ cos(ωt − kz),Ey(r, t) = ‖E0‖ sin(ωt − kz).
⇔|E0y| = |E0x|,ϕ = −π
2.
Ceci se vérifie aisément en notant que E2x + E2y = ‖E0‖2 = Cte.
z0λ
2λ3λ
y
x
Figure: Vecteur champ électrique en fonction de z (enλ) à t fixé (polarisation circulaire droite).
x
y
k
E
Figure: Vecteur champ électrique en fonction de t à zfixé (polarisation linéaire droite).
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Caractérisation dans milieu sans pertes
La polarisation circulaire gauche (LHCP)
Quand t varie, l’équation paramétrique est celle d’un cercle.
Ex(r, t) = ‖E0‖ cos(ωt − kz),Ey(r, t) = −‖E0‖ sin(ωt − kz).
⇔|E0y| = |E0x|,ϕ =π
2.
On a toujours E2x + E2y = ‖E0‖2 = Cte.
z0λ
2λ3λ
y
x
Figure: Vecteur champ électrique en fonction de z (enλ) à t fixé (polarisation circulaire gauche).
x
y
k
E
Figure: Vecteur champ électrique en fonction de t à zfixé (polarisation linéaire gauche).
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Caractérisation dans milieu sans pertes
La polarisation elliptique
Quand t varie, l’équation paramétrique est celle d’une ellipse.
Ex(r, t) = |E0x| cos(ωt − kz + ϕ0x),Ey(r, t) = ±|E0y| sin(ωt − kz + ϕ0x).
Ceci se vérifie avec(
Ex|E0x|
)2
+
( Ey|E0y|
)2
= 1.
z0λ 2λ
3λy
x
Figure: Vecteur champ électrique en fonction de z (enλ) à t fixé (polarisation elliptique droite).
Intérêt
Décrit des polarisations linéaires etcirculaires