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Département de physiqueDiplôme des Études Supérieures Approfondies (DESA)
Modélisation, Simulation et Caractérisation en physique (MSCP)
22
Sous la direction du: Pr. F. LAHNA
Préparé par :
M. Mohamed REFFADI
Comité de jury : M. Mohamed ABID Faculté des Sciences Ain Chok M. Abdelkader BOULZHAR Faculté des Sciences Ain Chok M. Rachid SEHAQUI Faculté des Sciences Ain Chok M. EL hassan SAYOUTY Faculté des Sciences Ain Chok
M. Fouzi LAHNA Faculté des Sciences Ain Chok
Soutenu le : Jeudi 07 Février 2008 à 14h30.
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Plan
Introduction
Généralités sur l’élasticité
Généralités sur la mécanique de la rupture
Méthodes de calcul du facteur d’intensité de
33
Méthodes de calcul du facteur d’intensité de
contraintes
Résultats et interprétations
Conclusion
Perspectives
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44
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Introduction
Dans le milieu industriel, de nombreuses applications sont
concernées par la mécanique de la rupture.
La volonté de concevoir des structures de plus en plus légères
et à la durée de vie de plus en plus longue nécessite de prendre
en compte les fissures dans les calculs de structure.
55
en compte les fissures dans les calculs de structure.
� Définir les facteurs d’élasticité,
� Déterminer les critères de la rupture,
� Décrire les méthodes analytiques et numériques de calculs du
facteur d’intensité des contraintes,
� Analyser et discuter les résultats obtenus, analytiquement et
numériquement
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66
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L’élasticité est la propriété physique d'un corps dereprendre sa forme initiale après suppression de lasollicitation.
� Le corps est parfaitement élastique s'il retrouvecomplètementsa forme originale après suppressionde la
Généralités sur l’élasticité
77
complètementsa forme originale après suppressionde lacharge.
� Il est partiellement élastique si la déformation produite parles forces externes ne disparaît pas complètement lorsquecelles-ci sont annulées.
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Tenseur des contraintes-I
Quand un corps est soumis à l'action de forces extérieures des contraintes s'établissent, par réaction, à l'intérieur de ce corps.
Généralités sur l’élasticité
88
Aux contraintes sont associées des déformations.
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Généralités sur l’élasticité
déformationdesTenseur-II
Le tenseur des déformations, est un tenseur symétrique 3×3 servant à décrire l'état de déformation local résultant de contraintes (efforts internes).
= εεεεεε
εxzxyxx
99
=
εεεεεεε
zzzyzx
yzyyyx
Dans le cas de petites déformations, ce tenseur est le tenseur de Green, un tenseur dérivé du champ de déplacement.
Avec : i, j = (x, y, z)
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Généralités sur l’élasticité
III- Élasticité tridimensionnelle
Pour bien définir le comportement entre le système et lescontraintes extérieures, on doit donc écrire les différentesrelations entre contraintes (σij), déformations (εij) etdéplacements(U ).
1010
déplacements(Ui).
On a besoin de définir 15 équations pour résoudre unproblème d’élasticité en 3 dimensions.
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Généralités sur l’élasticité
- Dans le cas d'un matériau isotrope :
1i j i j k k i j
E E
ν νε σ σ δ+= − [6 équations]
III- Élasticité tridimensionnelle
A- Loi de Hooke
1111
Avec: E : Module de Youngν : Coefficient de poisson
E E
{ 1 p o u r i = j0 p o u r i ji jδ =
= ≠
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Généralités sur l’élasticité
En appliquant la sommation sur les indices k et l.
Le comportement élastique est modélisé par un tenseur d'ordre 4 [Cijkl ] contenant 81 coefficients élastiques.
- Dans le cas d'un matériau anisotrope :
1212
En appliquant la sommation sur les indices k et l.
Remarque :
Avec [C] Tenseur des rigidités
Avec [S ] Tenseur des complaisances élastiques.
[ ] [ ][ ]εσ C=
[ ] [ ][ ]σε S=
Le nombre de coefficients indépendants est réduit à 21 en tenant compte de la symétrie des tenseurs de contraintes et de déformations, et de la stabilité énergétique du tenseur.
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Généralités sur l’élasticité
−−
−−
−−
GGGEEE
GGGEEE
GGGEEE
12,313,323,32313
12
12,2
13
13,2
23
23,2
3
32
21
12
12
12,1
13
13,1
23
23,1
3
31
2
21
1
1
1
1
ηηηνν
ηηηνν
ηηηνν
En introduisant les coefficients d’élasticité pour un matériau anisotrope [S ] s’écrit sous les formes.
1313
=
GGGEEE
GGGEEE
GGGEEE
GGGEEES
1213
13,12
23
23,12
3
3,12
2
2,12
1
1,12
12
12,13
1323
23,13
3
3,13
2
2,13
1
1,13
12
12,23
13
13,23
233
3,23
2
2,23
1
1,23
121323321
1
1
1
ηηηηη
ηηηηη
ηηηηη
Ainsi, pour définir complètement un matériau dans le cas le plus générald'anisotropie, il faut trois modules d'Young, trois modules de cisaillement, troiscoefficients de poisson, trois coefficients de CHENTSOV etneuf coefficients deLEKHNITSKII.
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Généralités sur l’élasticité
Définition : Un matériau est dit orthotrope, s'il a deux plans de symétries de comportement mécanique, il y a donc trois axes d'orthotropies, d'où :
- Dans le cas d'un matériau orthotrope :
L'existence de deux plans de symétrie annule douze constantes élastiques.
−− νν1
1414
−−
−−
−−
=
τττσσσ
νν
νν
νν
γγγεεε
12
13
23
33
22
11
12
13
23
32
23
1
13
3
32
21
12
3
31
2
21
1
12
13
23
33
22
11
100000
01
0000
001
000
0001
000
0001
1
G
G
G
EEE
EEE
EEE
Dans ce cas on a neuf constantes élastiques indépendantes
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Généralités sur l’élasticité
Les équations d’équilibre sont données par les relations suivantes :
0i ji
X
Xσ∂
+ =∂
III- Élasticité tridimensionnelle
B- Les équations d’équilibre
[3 équations différentielles scalaires]
1515
jX∂
+=
∂∂
∂∂
xU
xU
i
j
j
iij 2
1ε [6 équations différentielles scalaires]
Les équations géométriques s’écrivent sous la forme :
Les Xi sont les composantes des forces volumiques.
C- Les équations géométriques
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Généralités sur l’élasticité
1( )ij ij ij ijtrace
E E
ν νε σ σ δ+= − [3 équations]
Avec : i, j=1 ,2
III- Élasticité bidimensionnelleA- Loi de Hooke
- Dans le cas d'un matériau isotrope :
1616
Avec: i, j=1 ,2
- Dans le cas d'un matériau anisotrope :
σασασαγσασασαεσασασαε
12662226111612
12262222111222
12162212111111
++=++=++=
Où
=;.
.
PDen
PCen
CS
ij
ijijα Avec : .6,2,1,;
33
33 =−= jiSSS
SCji
ijij
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Généralités sur l’élasticité
Il est désormais plus simple d’exprimer les équations constitutivesd’un matériau orthotrope dans un état de contraintes planes par unematricedescomplaisancespluscompacte.
- Dans le cas d'un matériau orthotrope :
III- Élasticité bidimensionnelleA- Loi de Hooke
1717
matricedescomplaisancespluscompacte.
−
−
=
τσσν
ν
γεε
12
22
11
12
21
21
2
12
1
12
22
11
100
01
01
G
EE
EE
νν 21
2
12
1 EE =Avec :
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Généralités sur l’élasticité
III- Élasticité bidimensionnelle
Les équations d’équilibre sont données par les relations suivantes :
0i ji
X
Xσ∂
+ =∂
B- Les équations d’équilibre
[2 équations différentielles scalaires]
1818
jX∂
+=
∂∂
∂∂
xU
xU
i
j
j
iij 2
1ε [3 équations différentielles scalaires]
Les équations géométriques s’écrivent sous la forme :
Les Xi sont les composantes des forces volumiques.
C- Les équations géométriques
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1919
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Généralités sur la mécanique de la rupture
La mécanique de la rupture est une philosophie de conceptionvisant à développer uncritère de ruine prenant en comptel’existence de fissuresdans le matériau.
La mécanique de la rupture a pour objet l’étude le
2020
comportement mécanique d’un matériau en présence de fissuresmacroscopiques.
Le but de la mécanique de la rupture est de formuler des critères,c'est-à-dire de définir les conditions pour les quelles un défautidentifié (ou non) peut se propager sous une sollicitation donné.
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Généralités sur la mécanique de la rupture
I- Mode de rupture
2121
Traction(Mode I)
Cisaillement simple(Mode II)
cisaillement anti-plan(Mode III)
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Généralités sur la mécanique de la rupture
I- Essai et courbe de traction
2222
![Page 23: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/23.jpg)
Généralités sur la mécanique de la rupture
I- Essai et courbe de traction
2323
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Généralités sur la mécanique de la rupture
II- Les facteurs de la ruptureA- Facteur d’intensité de contraintes
i. Cas d’une géométrie infinie :
1/2I ( )K aσ π∞= En mode I
2424
1/2( )IIK aτ π∞= En mode II
ii. Cas d’une géométrie finie :Pour des éprouvettes de dimensions finies, plus intéressantes en pratique,
les facteurs d’intensité de contraintes K (m= I, II) sont de la forme :
1/ 2( )m mK aασ π= ou mσ σ τ∞ ∞=
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Généralités sur la mécanique de la rupture
II- Les facteurs de la ruptureB- Le taux de restitution d’énergie
Noté G, le taux de restitution d’énergie représente l’énergienécessaire pour faire progresser la fissure d’une longueurunité.
2525
Où E est le module d’Young et ν le coefficient de poisson.
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2626
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Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI
I- La méthode des éléments finis
La méthode des éléments finis est une méthode de résolution approchée d'équations aux dérivées partielles.
1- Définition
2- Importance de la méthode
De très nombreux problèmes physiques s'expriment sous forme
2727
De très nombreux problèmes physiques s'expriment sous forme d'équations aux dérivées partielles soumises à des conditions aux limites particulières.
� Mécanique de la rupture� Mécanique des solides déformables� Conduction thermique� Electromanitisme…
![Page 28: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/28.jpg)
II- Le maillage
1- Les types de maillage
Dans la méthode des éléments finis, l’étape du maillage est primordiale.
Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI
2828
Maillage triangulaire (3 et 6 nœuds). Maillage quadrangle (4, 8 et 9 nœuds).
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Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI
III- Méthodes de calcul de KI
1- Méthodes directes
i. Méthode avec champ de déplacement
2
2
(3 )(1 ) 1 2sin ( /2)
2 2 (3 )(1 ) 1 2cos ( /2)I
u K r
v
ν ν θµ π ν ν θ
− + − + =
− + + −
2929
ii. Méthode avec champ de déplacement
3( ) cos (1 sin sin )
2 2 22I
xx
K
r
θ θ θσ θπ
= −
3( ) cos (1 sin sin )
2 2 22I
yy
K
r
θ θ θσ θπ
= +
3( ) cos (sin sin )
2 2 22I
xy
K
r
θ θ θσ θπ
=
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Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI
III- Méthodes de calcul de KI
1- Méthodes indirectes
² ( ). ; ,
2m m
m
P C aG m I II
a
∂= =∂
i. Méthode de complaisance
3030
2 a∂ii. Méthode de déplacement virtuel
² ( ). ; ,
2m m
m
P C aG m I II
a
∆= =∆
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3131
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Résultats et interprétations
L = a + c
bP
2h
I- Description de l’essai
3232
ca
PÉprouvette DCB
P : Charge appliquée = 10 daN
a : Longueur de fissure
c : Ligament
2h : Hauteur de l’éprouvette
L : Longueur de l’éprouvette (320mm)
b : Épaisseur de l’éprouvette = 1 mm
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Résultats et interprétations
II- Maillage utilisé
..
...........
1 4 6 9
En raison de symétrie, le maillage est effectué sur demi éprouvette
3333
h
20mm
320mm
..
...........2
3 5
7
8 10
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III- Matériaux isotropes
Les matériaux isotropes utilisés dans notre travail sont représentés dans le tableau suivant :
MatériauxMatériaux AcierAcier CuivreCuivre AluminiumAluminium PlexiglasPlexiglas
Module de Young E en Module de Young E en 20 00020 000 12 50012 500 7 4007 400 290290
Résultats et interprétations
3434
Module de Young E en Module de Young E en [daN/mm[daN/mm22]]
20 00020 000 12 50012 500 7 4007 400 290290
Coefficient de poisson Coefficient de poisson νν 00,,33 00,,3535 00,,3434 00,,3636
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- Méthodes utilisées
1- Méthode complaisance ( numérique)
� Nous tournons le programme pour avoir le déplacement virtuel Uy
complaisance C (a) pour chaque matériaux, avec C (a) =2Uy/P,
� Trace de la courbe de C (a)
Résultats et interprétations
3535
� Lissage de C (a), afin de trouver le polynôme correspondante,
� Calcule de
� Calcule de
� Calcule de KI
� En fin, on trace la courbe de KI (a).
a
aC
∂∂ )(
a
aaG CP I
I ∂= ∂ )(
2)(
2
)(1
)(2
2
aE
aG K IIν−
=
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- Méthodes utilisées
2- Formule de KANNINEN ( Analytique)
[ ]1 3 / 2
2 3 1 0.64( / )( )
P a h aK a
b h
× × × × +=
×
Résultats et interprétations
3636
P P : : Charge appliquéeCharge appliquéea a : : Longueur de fissureLongueur de fissureh h : : Demi hauteur de l’éprouvetteDemi hauteur de l’éprouvette
bb : : Épaisseur de l’éprouvette Épaisseur de l’éprouvette
La formule analytique de KANNINEN du facteur d’intensité de contrainte ne dépend pas de la nature du matériau ( ν,E)
a [mm] 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
K I [daN.mm-3/2] 21,06 26,60 32,15 37,69 43,23 48,77 54,32 59,86 65,40 70,94
![Page 37: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/37.jpg)
- RésultatsLes résultats obtenus sont présentés dans des tableaux comme
le suivant :- Cas de l’acier avec (2h= 50mm).
Longueur de
fissure"a"
Déplacement Uy
ComplaisanceTaux de
restitution d'énergie
FIC KI Numérique
FIC KI "KANNINEN
Ecart en %
60 0,05191000 0,01038200 4,22E-04 0,02107722 21,52 21,06 2,19%a
aC
∂∂ )(
Résultats et interprétations
3737
N.B : Pour le lissage, on a trouvé que le polynôme en 3èmedegré donne des bons résultas.
60 0,05191000 0,01038200 4,22E-04 0,02107722 21,52 21,06 2,19%80 0,10640000 0,02128000 6,79E-04 0,03394985 27,32 26,60 2,67%100 0,18970000 0,03794000 9,98E-04 0,04991838 33,12 32,15 3,04%120 0,30810000 0,06162000 1,38E-03 0,06898281 38,94 37,69 3,31%140 0,46780000 0,09356000 1,82E-03 0,09114314 44,76 43,23 3,53%160 0,67480000 0,13496000 2,33E-03 0,11639938 50,58 48,77 3,70%180 0,93540000 0,18708000 2,90E-03 0,14475153 56,40 54,32 3,84%200 1,25600000 0,25120000 3,52E-03 0,17619958 62,23 59,86 3,96%220 1,64200000 0,32840000 4,21E-03 0,21074353 68,06 65,40 4,06%240 2,10100000 0,42020000 4,97E-03 0,24838338 73,88 70,94 4,14%
![Page 38: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/38.jpg)
- Résultats
Courbe de complaisance en fonction de "a" -Acier-
4,50E-01
Complaisance en [mm/daN]
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Acier 2h = 50 mm-
80,00
FIC [daN.mm-3/2]
- Cas d’Acier
Résultats et interprétations
3838
0,00E+00
5,00E-02
1,00E-01
1,50E-01
2,00E-01
2,50E-01
3,00E-01
3,50E-01
4,00E-01
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de la fissure
"a" en [mm]
Complaisance
Lissage 3ème degré
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de fissure
"a"[mm]
Complaisance
KANNINEN
![Page 39: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/39.jpg)
- Résultats
- Cas du cuivre
Courbe de complaisance en fonction de "a" -Cuivre-
7,00E-01
8,00E-01
Complaisance en [mm/daN]
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Cuivre-
7,00E+01
8,00E+01
FIC [daN.mm-3/2]
Résultats et interprétations
3939
0,00E+00
1,00E-01
2,00E-01
3,00E-01
4,00E-01
5,00E-01
6,00E-01
7,00E-01
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de la fissure
"a" en [mm]
Complaisance
Lissage 3ème degré
0,00E+00
1,00E+01
2,00E+01
3,00E+01
4,00E+01
5,00E+01
6,00E+01
7,00E+01
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de fissure
"a"[mm]
Complaisance
KANINNEN
![Page 40: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/40.jpg)
- Résultats
- Cas d’Aluminium
Courbe de complaisance en fonction de "a" -Aluminium-
1,20E+00
Complaisance en [mm/daN]
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Alimunium-
7,00E+01
8,00E+01
FIC [daN.mm-3/2]
Résultats et interprétations
4040
0,00E+00
2,00E-01
4,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de la fissure
"a" en [mm]
Complaisance
Lissage 3ème degré
0,00E+00
1,00E+01
2,00E+01
3,00E+01
4,00E+01
5,00E+01
6,00E+01
7,00E+01
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de fissure
"a"[mm]
Méthode de complaisance
Méthode de KANNINEN
![Page 41: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/41.jpg)
- Résultats
- Cas du Plexiglas
Courbe de complaisance en fonction de "a" -Plexiglas-
35
Complaisance en [mm/daN]
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Plexiglas-
FIC [daN.mm-3/2]
Résultats et interprétations
4141
0
5
10
15
20
25
30
35
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de la fissure
"a" en [mm]
Données réelles
Lissage 3ème degré
0,00E+00
1,00E+01
2,00E+01
3,00E+01
4,00E+01
5,00E+01
6,00E+01
7,00E+01
8,00E+01
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de fissure
"a"[mm]
Complaisance
KANNINEN
![Page 42: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/42.jpg)
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN
Courbe de complaisance en fonction de "a" -Acier 2h = 20 mm-
Complaisance en [mm/daN]
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Acier 2h = 20 mm-
FIC [daN.mm-3/2]
Résultats et interprétations
4242
0,00E+00
1,00E+00
2,00E+00
3,00E+00
4,00E+00
5,00E+00
6,00E+00
7,00E+00
8,00E+00
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de la fissure
"a" en [mm]
Complaisance
Lissage 4ème degré
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
350,00
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de fissure
"a"[mm]
FIC [daN.mm-3/2]
Complaisance
KANNINEN
![Page 43: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/43.jpg)
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN
Courbe de complaisance en fonction de "a" -Acier 2h = 25 mm-
3,50E+00
Complaisance en [mm/daN]
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Acier 2h = 25 mm-
250,00
FIC [daN.mm-3/2]
Résultats et interprétations
4343
0,00E+00
5,00E-01
1,00E+00
1,50E+00
2,00E+00
2,50E+00
3,00E+00
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de la fissure
"a" en [mm]
Complaisance
Lissage 3ème degré
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de fissure
"a"[mm]
Complaisance
KANNINEN
![Page 44: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/44.jpg)
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN
Courbe de complaisance en fonction de "a" -Acier 2h = 130 mm-
Complaisance en [mm/daN]
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Acier 2h = 130 mm-
Résultats et interprétations
4444
0,00E+00
5,00E-03
1,00E-02
1,50E-02
2,00E-02
2,50E-02
3,00E-02
3,50E-02
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de la fissure
"a" en [mm]
[mm/daN]
Complaisance
Lissage 3ème degré
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de fissure
"a"[mm]
FIC [daN.mm-3/2]
Complaisance
KANNINEN
![Page 45: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/45.jpg)
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN
Courbe de complaisance en fonction de "a" -Acier 2h = 135 mm-
Complaisance en
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Acier 2h = 135 mm-
Résultats et interprétations
4545
0,00E+00
5,00E-03
1,00E-02
1,50E-02
2,00E-02
2,50E-02
3,00E-02
3,50E-02
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de la fissure
"a" en [mm]
Complaisance en [mm/daN]
Complaisance
Lissage 3ème degré
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
16,00
18,00
20,00
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de fissure
"a"[mm]
FIC [daN.mm-3/2]
Complaisance
KANNINEN
![Page 46: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/46.jpg)
IV- Matériaux orthotropes
Les matériaux orthotropes utilisés dans notre travail sont représentés dans le tableau suivant :
Matériaux Pin sylvestre Eucalyptus Douglas
E1 (daN/mm2) 1 700 1 924 1 669
E (daN/mm2) 108 96,1 132
Résultats et interprétations
4646
E2 (daN/mm2) 108 96,1 132
E3 (daN/mm2) 108 _ 92
G12 (daN/mm2) 141 101,4 120
ν12 0,22 0,5 0,367
ν21 0,0139 2,497E-02 0,029
ν13 0,22 _ 0,384
ν31 0,0139 _ 0,021
ν23 0,62 _ 0,594
ν32 0,62 _ 0,414
![Page 47: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/47.jpg)
- Méthodes utilisées
1- Méthode complaisance ( numérique)
Nous suivons les même étapes que pour les matériauxisotrope, sauf que pour le calcul de KI nous utiliserons laformule suivante :
21
21
21
2 + ααααα
Résultats et interprétations
4747
2
11
66122
1
11
222
1
22112
22
2
++
=
ααα
ααααKG II
Avec :
S ijij=α En contraintes planes
![Page 48: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/48.jpg)
- Méthodes utilisées
2- Formule du Pr. LAHNA ( Analytique)
41
21
2
12
2222
22
33
2
sincossin
sinsin 312
)(
+
+
−
−+
−
+
=
αααα
λ λλλλλλ
λλλλ
λh
r
cc
cccc
cc
cca
b shchsh
shsh
hP
K
I
I
Résultats et interprétations
4848
11
66122
11
22
11
22
22
2
++
ααα
αα
αα
Oùαα
11
66=r4
1
22
1161
=
ααλ
h
Avec : S ijij=α En contraintes planes
et
![Page 49: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/49.jpg)
Longueur de
fissure"a"Déplacement Uy Complaisance
Taux de restitution d'énergie
FIC KI Numérique a
aC
∂∂ )(
- Résultats
Les résultats obtenus sont présentés dans des tableaux comme le suivant :- Cas de Pin Sylvester avec (2h= 50mm).
Résultats et interprétations
4949
fissure"a" d'énergieNumérique
60 1,17E+00 2,35E-01 7,75E-03 3,88E-01 8,6780 2,12E+00 4,24E-01 1,14E-02 5,71E-01 10,46100 3,47E+00 6,94E-01 1,58E-02 7,90E-01 12,31120 5,30E+00 1,06E+00 2,09E-02 1,05E+00 14,16140 7,68E+00 1,54E+00 2,68E-02 1,34E+00 16,02160 1,07E+01 2,14E+00 3,34E-02 1,67E+00 17,89180 1,44E+01 2,87E+00 4,07E-02 2,03E+00 19,75200 1,88E+01 3,77E+00 4,87E-02 2,44E+00 21,62220 2,41E+01 4,83E+00 5,75E-02 2,88E+00 23,48
a∂
![Page 50: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/50.jpg)
- Résultats
- Cas du Pin Sylvester
Courbe de complaisance en fonction de "a" -Pin sylvestere -
6,00E+00
Complaisance en [mm/daN]
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Pin sylvestere -
20,00
25,00
FIC [daN.mm-3/2]
Résultats et interprétations
5050
0,00E+00
1,00E+00
2,00E+00
3,00E+00
4,00E+00
5,00E+00
60 80 100 120 140 160 180 200 220
Longueur de la fissure "a" en [mm]
Complaisance
Lissage 3ème degré
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
60 80 100 120 140 160 180 200 220
Longueur de fissure "a"[mm]
Complaisance-CP-
![Page 51: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/51.jpg)
- Résultats
- Cas du Douglas
Courbe de complaisance en fonction de "a" -Douglas-
6,000
Complaisance en [mm/daN]
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Douglas-
30,000FIC [daN.mm-3/2]
Résultats et interprétations
5151
0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
60 80 100 120 140 160 180 200 220
Longueur de la fissure "a" en [mm]
Complaisance
Lissage 3ème degré
0,000
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
60 80 100 120 140 160 180 200 220Longueur de fissure
"a"[mm]
Complaisance
![Page 52: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/52.jpg)
- Résultats
- Cas d’Eucalyptus
Courbe de complaisance en fonction de "a" - Eucalyptus -
4,500
5,000
Complaisance en [mm/daN]
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Eucalyptus -
25,000
FIC [daN.mm-3/2]
Résultats et interprétations
5252
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
4,500
60 80 100 120 140 160 180 200 220
Longueur de la fissure "a" en [mm]
Complaisance
Lissage 3ème degré
0,000
5,000
10,000
15,000
20,000
60 80 100 120 140 160 180 200 220
Longueur de fissure "a"[mm]
Complaisance
![Page 53: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/53.jpg)
La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA
- Résultats
Courbe de complaisance en fonction de "a" -Eucalyptus 2h=35mm-
14,000
Complaisance [mm/daN]
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Eucalyptus 2h=35mm-
40,000
FIC [daN.mm-3/2]
Résultats et interprétations
5353
0,000
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
14,000
60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]
Complaisance
Lissage 3ème degré
0,000
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
30,000
35,000
60 80 100 120 140 160 180 200 220a [mm]
Complaisance
Pr. LAHNA
![Page 54: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/54.jpg)
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA
Courbe de complaisance en fonction de "a" -Eucalyptus 2h=40mm-
9,000
Complaisance [mm/daN]
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Eucalyptus 2h=40mm-
30,000
FIC [daN.mm-3/2]
Résultats et interprétations
5454
0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]
Complaisance
Lissage 3ème degré
0,000
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
60 80 100 120 140 160 180 200 220a [mm]
Complaisance
Pr. LAHNA
![Page 55: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/55.jpg)
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA
Courbe de complaisance en fonction de "a" -Eucalyptus 2h=50mm-
5,000
Complaisance [mm/daN]
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Eucalyptus 2h=50mm-
25,000
FIC [daN.mm-3/2]
Résultats et interprétations
5555
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
4,500
60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]
Complaisance
Lissage 3ème degré
0,000
5,000
10,000
15,000
20,000
60 80 100 120 140 160 180 200 220a [mm]
Complaisance
Pr. LAHNA
![Page 56: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/56.jpg)
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA
Courbe de complaisance en fonction de "a" -Eucalyptus 2h=60mm-
Complaisance [mm/daN]
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Eucalyptus 2h=60mm-
20,000
FIC [daN.mm-3/2]
Résultats et interprétations
5656
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]
Complaisance
Lissage 3ème degré
0,000
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
14,000
16,000
18,000
20,000
60 80 100 120 140 160 180 200 220a [mm]
Complaisance
Pr. LAHNA
![Page 57: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/57.jpg)
- Résultats
Courbe de complaisance en fonction de "a" -Eucalyptus 2h=65mm-
3,000
Complaisance [mm/daN]
Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Eucalyptus 2h=65mm-
20,000
FIC [daN.mm-3/2]
La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA
Résultats et interprétations
5757
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]
Complaisance
Lissage 3ème degré
0,000
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
14,000
16,000
18,000
60 80 100 120 140 160 180 200 220a [mm]
Complaisance
Pr. LAHNA
![Page 58: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/58.jpg)
5858
![Page 59: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/59.jpg)
Conclusion
� Le KI en fonction de la longueur de la fissure a est linéaire, pour les matériaux isotropes et orthotropes � Une concordance entre les valeurs de KI obtenus à partir les formules analytiques (KANNINEN et Pr. LAHNA) et ceux obtenus par la méthode numérique (méthode de complaisance),� Le KI ne dépend pas de la nature du matériau mais seulement de sa géométrie dans le cas des isotropes.
5959
de sa géométrie dans le cas des isotropes.� Le KI dépend de la nature du matériau dans le cas des orthotrope� La formule de KANNINEN est valable dans l'intervalle :
25 mm ( %4=l
h ) < 2h < 135 mm ( %21=l
h ).� La formule du Pr. LAHNA est valable dans l'intervalle :
40 mm ( ) < 2h < 65 mm ( ).%2,10=l
h%2,6=
l
h
![Page 60: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/60.jpg)
6060
![Page 61: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/61.jpg)
Perspectives
Dans cette étude on a cherché à étudier la propagation de la fissure en supposant que cette dernière se propage d'une manière linéaire, ce qui n'est pas toujours vrai dans la réalité.
Cette étude reste encore un sujet très vaste de recherche que nous proposons de poursuivre afin de la cerner, et pour
6161
que nous proposons de poursuivre afin de la cerner, et pour cela on prévoit dans des études à venir de :
� Prendre en considération le changement de la direction de la fissure (critère de bifurcation).
� Étudier une géométrie d'éprouvette afin de trouver la formule analytique de calcul de KI.
![Page 62: Expo DESA](https://reader033.vdocuments.fr/reader033/viewer/2022052622/559194261a28abff0b8b478e/html5/thumbnails/62.jpg)