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Cours dlectrocintiqueEC3-Circuit RLC srie
Table des matires
1 Introduction 3
2 quation diffrentielle 3
3 tude du rgime libre 33.1 Dfinitions des variables rduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.1 Pulsation propre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.2 Facteur damortissement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.3 Coefficient damortissement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.4 Facteur de qualit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Les diffrents rgimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.1 Rgime apriodique : >0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.2 Rgime critique : = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.3 Rgime pseudo-priodique :
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Electrocintique EC3-Circuit RLC srie 1. Introduction
1 Introduction
A la fin du chapitre prcdent, nous avons tudi les rgimes transitoires des circuits dupremier ordre RC et RL dont on a rsolu les quations diffrentielles pour trouver les expressionsdes tensions et intensits.
Nous allons ici tudier dans le mme esprit le rgime transitoire du circuit RLC srie quicomme nous allons le voir donne naissance des oscillations lectriques.
Le circuit RLC tant du deuxime ordre, ce sera aussi le cas de son quation diffrentielle.Elle fera alors apparatre la notion de rgimes : selon lamortissement du circuit par effet Joule,le rgime transitoire est diffrent.
2 quation diffrentielle
On tudie le circuit RL soumis une tension e(t), onsintresse la tension aux bornes du condensateuret lintensit qui parcourt le circuit. La bobine estidale. On applique la loi des mailles :
e= Ri +Ldi
dt+ u (1)
Comme i= Cdu
dt, on a :
LCd2u
dt
2 +RC
du
dt
+u= e (2)
Cette quation diffrentielle est une quation du se-cond ordre coefficient constant, le circuit RLC srieest appel circuit du second ordre.
Figure 1 Circuit RLC
3 tude du rgime libre
Nous allons nous intresser dans un premier temps au comportement du circuit lorsquele condensateur t pralablement charg sous la tension E du gnrateur, et lorsquil sedcharge dans la bobine et la rsistance.
Lquation diffrentielle correspondant ce rgime libre (appel aussi rgime propre) est lasuivante :
LCd2u
dt2 +RC
du
dt +u = 0 (3)
On cherche donc une solution de cette quation qui est une quation homogne. Cettesolution est du type u= Aert avec A une constante.Si on injecte cette solution dans(3) et que lon limine la solution u = 0 qui na pas de sensphysique, on obtient :
LCr2u+RCru+u= 0 r2 + RL
r+ 1
LC = 0 (4)
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Electro cintique EC3-Circuit RLC srie 3.1 Dfinitions des variables rduites
Cette dernire quation est appele polynme caractristique de lquation diffrentielle (3).Trouver les solutions de ce polynme permet de trouver les solutions de lquation diffrentielle.
Pour claircir la rsolution, nous allons utiliser des variables dites "rduites" :
3.1 Dfinitions des variables rduites
Lintrt des variables rduites est dutiliser des variables de mme dimension dans larsolution de lquation. On peut donc appliquer sa rsolution dans nimporte quel systmedunit.
3.1.1 Pulsation propre
Celle-ci correspond la pulsation des oscillations en labsence de "frottements" (amortisse-ment par effet Joule ici) :
0= 1
LC(5)
0: pulsation propre exprime enrad.s1 ou s1
L: inductance de la bobine exprime en Henry (H)C :capacit du condensateur exprime en Farad (F)
En effet, la dfinition du radian dit que dans un cercle, langle en radian est le rapport de lalongueur de larc que dcrit langle par le rayon. Il sagit du rapport de deux longueurs.
3.1.2 Facteur damortissement
Il va tre li la rsistance globale du circuit. Plus ce facteur sera grand, plus lamortissement
sera lev :
= R
2L (6)
: facteur damortissement exprim en s1
L: inductance de la bobine exprime en Henry (H)R: rsistance totale du circuit exprime en Ohm ()
3.1.3 Coefficient damortissement
Il peut tre intressant de travailler avec une grandeur sans dimension. On dfinit alors lecoefficient damortissement par :
=
0 (7)
Ce coefficient peut tre exprime en fonction des valeurs des composants du circuit :
= R
2
C
L (8)
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Electrocintique EC3-Circuit RLC srie 3.2 Les diffrents rgimes
3.1.4 Facteur de qualit
Pour caractriser un circuit, on utilise souvent une autre grandeur appele facteur de qualit.Elle est relie toutes les grandeurs dont on vient de parler :
Q= 1
2=
L0
R =
1
RC0(9)
En utilisant ces variables rduites, on peut donc crire le polynme caractristique de lamanire suivante :
r2 + 2r+ 20 = 0 ou r2 + 20r+
20 = 0 (10)
3.2 Les diffrents rgimes
Le polynme caractristique acceptant plusieurs solutions selon la valeur de son discriminant,
il en est de mme pour lquation diffrentielle.
Vu la forme du polynme, nous allons utiliser le discriminant rduit.
Rappel mathmatiqueLorsquune quation du second degr est de la forme ax2 + 2bx+ c = 0, on peut utiliser lediscriminant rduit pour en trouver les solutions.Ce discriminant rduit a pour expression : =b2 ac.On obtient alors les solutions :
x1
=b +
a x
2=b
a si > 0 (11)
x1=b +j
a x2=
b ja
si 0
Si >0 alors > 0, > 1 R >2
L
C Q < 1
2
Racines du polynme
Le polynme admet deux racines ngatives, on a :
r1 = +2 20 = 0+ 0
2 1 (14)
r2 = 2 20 = 0 02 1 (15)
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Electrocintique EC3-Circuit RLC srie 3.2 Les diffrents rgimes
Solution de lquation diffrentielle
La solution de lquation diffrentielle (3) scrit donc :
u(t) =A1er1t +A2e
r2t (16)
Les racines tant toutes deux ngatives, on sassure que la solution u(t) ne tend pas vers linfini,cela naurait pas de signification physique.
Dtermination des constantes
On peut utiliser les conditions initiales pour expliciter les constantes A1 et A2. Cest parceque le circuit est du deuxime ordre quexistent ces deux constantes et quil faut deux conditionsinitiales pour les dterminer.
La continuit de la tension aux bornes du condensateur implique que u(t= 0) =E.La continuit de lintensit dans la bobine implique que i(t= 0) = 0.On obtient alors deux quations deux inconnues qui nous permettent de dterminer A1 et A2:
u(t= 0) = A1+A2 = E (17)
i(t= 0) = r1A1+r2A2= 0 A2= r1A1r2
(18)
On remplace cette expression de A2 dans (17) :
A1 r1A1r2
=E (19)
A1 31 r1r24 =E (20) A1 = r2E
r2 r1(21)
On remplace cette expression de A1 dans lexpression de A2 de (18) :
A2 =r1Er2 r1
(22)
Expression et allure de la tension aux bornes du condensateur
Finalement :
u(t) = r2E
r2 r1 er1t r1E
r2 r1 er2t (23)
Lorsque > 1 Q < 12 , il ny a pas doscillationslectrique car lamortissement est trop fort.
On remarque qu t=0, la pente de u(t) est nulle :
en effet, i(t= 0) =Cdu
dt = 0.
Figure 2 Tension auxbornes du condensateur enrgime apriodique libre du
circuit RLC srie
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Electrocintique EC3-Circuit RLC srie 3.2 Les diffrents rgimes
Expression et allure de lintensit dans le circuit
Grce la relationi(t) = Cdudt
, on trouve lexpression
de lintensit :
i(t) = r2r1EC
r2 r1 (er1t er2t) (24)
Figure 3 Intensit dans lecircuit en rgime apriodique
libre du circuit RLC srie
3.2.2 Rgime critique : = 0
Si = 0 alors = 0, = 1 R= 2LC
=RC Q= 12
Racines du polynme
Le polynme admet une racine double ngative, on a :
r1= = 0 (25)
Solution de lquation diffrentielle
Alors la solution a pour expression :
u(t) = (A1t+A2)et (26)
Dtermination des constantes
On utilise les mmes conditions que prcdemment :
u(t= 0) = E A2= E (27)On exprime i(t) :
i(t) = C(A1t+A2)et +A1Cet =C et (A1 (A1t+A2)) (28)(29)
Et on crit la condition de continuit :
i(t= 0) =A1 A2= 0 (30)A1= A2= E (31)
Expression et allure de la tension aux bornes du condensateur
La solution scrit donc :u(t) =E(t+ 1)et (32)
Le rgime critique tant le premier rgime apriodique, lallure de la courbe est identique celle du rgime apriodique, le "retour lquilibre" se fait plus rapidement.
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Electrocintique EC3-Circuit RLC srie 3.2 Les diffrents rgimes
Expression et allure de lintensit dans le circuit
En utilisant la relation i(t) =Cdu
dt, on trouve :
i(t) = EC2
te
t
(33)
De la mme manire que prcdemment, on retrouve lallure de lintensit du courant du rgimeapriodique.
3.2.3 Rgime pseudo-priodique :
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Electrocintique EC3-Circuit RLC srie 3.2 Les diffrents rgimes
Dtermination des constantes A1 et A2
Premire condition :
u(t= 0) = E A1= E (40)On exprime i(t) :
i(t) =C1
(A1 sin(t) +A2 cos(t)) et (A1cos(t) +A2sin(t)) et2
(41)
=C et (A1 sin(t) +A2 cos(t)A1 cos(t) A2sin(t)) (42)
Deuxime condition :
i(t= 0) = A2 A1= 0 A2 =
E (43)
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Electrocintique EC3-Circuit RLC srie 3.2 Les diffrents rgimes
Expression et allure de la tension aux bornes du condensateur
La solution scrit donc :
u(t) =E(cos(t) +
sin(t))et (44)
Cette solution se dcoupe en deux parties : Une partie oscillante la pulsation ; Une amplitude dcroissance de manire expo-
nentielle.
Figure4 Tension auxbornes du condensateur en
rgime pseudopriodique libredu circuit RLC srie
Expression et allure de lintensit dans le circuit
On a :
i(t) =E CetA sin(t) + cos(t) cos(t)
2
sin(t)
B (45)
i(t) =
CE(
2 + 2
)et sin(t) (46)
Figure 5 Intensit dans lecircuit en rgime
pseudopriodique libre ducircuit RLC srie
Pseudo-priode des oscillations
On observe donc des oscillations lectriques lapulsation , donc de pseudo-priode :
T = 2
= 20
1 2 (47)
On parle de pseudo-priode car lamplitude dcrot.Figure 6 Dfinition de la
pseudo-prriode
La pseudo-priode est voisine mais plus grande que la priode propre du circuit (celle quicorrespond un circuit non amorti (R=0)).Plus lamortissement est fort (), plus la pseudo-priode sloigne de la priode propre.
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Electro cintique EC3- Circuit R LC s rie 4. Circuit RL C s rie et chelon de tens io n
4 Rponse du circuit RLC srie un chelon de tension
Cette tude ne comporte pas de difficults mme sil faut veiller ne pas aller trop vite :
Lquation diffrentielle concernant la tension aux bornes du condensateur dans ce cas a la
forme suivante :
LCd2u
dt2 +RC
du
dt +u= E (48)
Ainsi, la solution de cette quation sera la somme de la solution de lquation homogne u1(qui sera identique celle que lon a trouv pour le rgime libre dans les trois cas) et dunesolution particulire qui est simplementu2 = E. (solution particulire constante car le deuximemembre est constant).
Mais la dtermination des constantes de la solution homogne doit tre effectue en tenantcompte de la solution particulire. Ainsi :
On crira la solution de lquation homogne avec ces constantes ; On lui ajoutera la solution particulire ; Et en dernier lieu, on dterminera les constantes avec les conditions initiales.
5 Aspect nergtique : rgime libre
Reprenons la loi des mailles crites dans ce cas :
Ri+Ldi
dt+ u= 0 (49)
Multiplions cette quation pari= C
du
dt :
Ri2 +Lidi
dt+ C u
du
dt = 0 (50)
Ri2 +d112Li
22
dt +
d112Cu
22
dt = 0 (51)
Dans cette expression, nous reconnaissons : Ri2 : la puissance dissipe par effet Joule dans la rsistance ;
d112Li
22
dt
: la puissance reue par la bobine. Elle peut tre positive ou ngative et
correspond aux variations dnergie magntique dans la bobine ;
d112Cu
22
dt : la puissance reue par le condensateur. Elle peut tre positive ou ngative et
correspond aux variations dnergie lectrique dans le condensateur.
Pour obtenir les variations nergtiques, on peut intgrer la relation (51) entre t= 0 et t .On obtient lquation EJ+ EC+ EL = 0.Cette relation indique que lorsque lnergie emmagasine dans le condensateur va varier, elle vase dissiper par effet Joule en partie, la partie restante tant accumule par la bobine. Puis la
bobine cdera son nergie au condensateur et au conducteur ohmique et ainsi de suite, jusquce quil ny ait plus dnergie dans le circuit.
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