Mécanique Analytique
1
CINEMATIQUE DU SOLIDE
Coordonnées généralisées (rappels)
Mouvement du solide et de son centre de masse
Déplacement continu et déplacement instantané du corps solide
Champ des vitesses
Champ des accélérations
Translation continue, translation instantanée
Rotation continue, rotation instantanée
Mouvement hélicoïdal continu, mouvement hélicoïdal instantané
Composition de mouvements instantanés
Solide en rotation instantanée autour d'un point. Angles d'Euler
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2
COORDONNES GENERALISEES (Rappels)
Point matériel ≠ système de points matérielsSolide indéformable = système de points matériels tel que les distances mutuelles de ces points demeurent constantes dans toutdéplacement.Repérage exact du solide : coordonnées généralisées Coordonnée vectorielle de tout pointMouvement continu d'un solideLiaisons : p relations entre des coordonnées généralisées permettant d'exprimer n-p coordonnées qi en fonction des p autres. Il existe n-p variables indépendantes : le système est à n-p degrés de liberté.
Exemples : le pendule double planle corps solide librele corps solide soumis à des liaisonsles systèmes de corps solides
)n,...,1i(qi =
)q,...,q(rOP:P n1hhh =
[ ])t,tt( )t),t(q(rOP 10ihh ∈=
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3
MOUVEMENT DU SOLIDE ET DE SON CENTRE DE MASSE
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DEPLACEMENT CONTINU ET DEPLACEMENT INSTANTANE DU CORPS SOLIDE
Mouvement continu :
Déplacement instantané : déplacement tangent au déplacement continu à tout instant de l'intervalle
iqn
1i iqhr
jqiqn
1j,i jqiqhr
2
iqn
1i tiqhr
222t
hr2dthr
2dha
thr
iqn
1i iqhr
dthrd
hv
où
...2t
hathv)t(hr)tt(hrhr:ttettentre2
&&&&&
&
∑= ∂
∂+∑
= ∂∂∂
+∑= ∂∂
∂+
∂
∂==
∂∂
+∑= ∂
∂==
+∆+∆=−∆+=∆∆+
[ ]10 t,t
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CHAMP DES VITESSES ET DES ACCELERATIONS
Soient :
Nous avons :
( )( )
angulaire vitessevecteur leest solide au appartient P
solide au lié zy Axmobile repèreROxyz fixe repèreR
1111
0
ω
=
=
)APx(xAPxaa
dtAPdxAPx
dtd
dtvd
dtvd
a
APxvv
dtAPd
dtOAd
dtOPdv
ap
)R()R()R(
A
)R(
pp
Ap
)R()R()R(
p
0000
000
ωω+ε+==
ω+
ω
+
=
=
ω+=
+
=
=
z
y
x
o
A
x1
(fixe)
y1
z1
P
(R0)
(R1) (mobile)
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6
THEOREME DE PROJECTION DES VITESSES
Les projections des vitesses de deux points du solide sur la droite qui joint ces points sont égales.
Il est donc interdit de se donner arbitrairement la vitesse de deux points du solide.
AB.vAB.v
ABxvv
AB
AB
=⇒
ω+=
Av
Bv
BA
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7
TRANSLATION CONTINUE ET TRANSLATION INSTANTANEE
Mouvement continu de translation :
Si à un instant , tous les points du solide ont des vitesses équipollentes, alors le solide est animé d'un mouvement de translation instantanée.
[ ]
0dtAPd
dtOAd
dtOPd
aavv
0:t,tt
)R()R()R(
Ap
Ap
10
000
=
⇒
=
=
=⇒
=ω∈∀
[ ]10 t,tt ∈
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ROTATION CONTINUE ET ROTATION INSTANTANEE (1)
Mouvement continu de rotation :
Il existe une droite de points fixes :[ ] 110 R dans constante direction une a et solide du Afixepoint un :t,tt ω∃∈∀
0ABxvv
par Apassant àparallèledroite B
AB =ω+=
ω∈∀
π
θx
z
y
R
P
C
a
A
B
Pv
z1θω &=
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ROTATION CONTINUE ET ROTATION INSTANTANEE (2)
Mouvement de rotation uniforme
Si à un instant , tous les points d'une droite du solide ont une vitesse nulle, le solide est animé d'un mouvement de rotation instantanée
CP).(CPx)CPx(xCPxa
y1cosR1sinRCPxCPdtd
1cosR1sinRv1sinR1cosRCP
CPxAPxv
p
x
yxp
yx
p
ωω−ε=ωω+ε=
θ=ω⇒
θω+θω−=ω=
θθ+θθ−=
θ+θ=
ω=ω=
&
&&
)centripète(1Ra
tetanconsRvtetancons
CP2
p
p
ω−=
=ω=⇒=ω
[ ]10 t,tt ∈
π
θx
z
y
R
P
C
a
A
B
Pv
z1θω &=
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10
MOUVEMENT HELICOIDAL CONTINU ETMOUVEMENT HELICOIDAL INSTANTANE (1)
Mouvement hélicoïdal continu pendant un point P appartenant au solide tel que est parallèle à qui a une direction constante.
Il existe une droite de points ayant pour vitesse :
[ ] ∃:t,t 10
pv ω
pash 2hvp =ωπ
=
PAx2hPAxvv
vPQxvv
à parallèle PQ
PA
pPQ
ω+ωπ
=ω+=
=ω+=
ω∀
ωπ2
h
ω
d
P
Q
Zz
Y
X
x
y1
x1
y
d
O
O1
A
(R0)
(R1)
(mobile)
(lié au solide)
(R2)
mouvement relatif
mouvement d'entraînement
(fixe)
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MOUVEMENT HELICOIDAL CONTINU ETMOUVEMENT HELICOIDAL INSTANTANE (2)
Le mouvement instantané le plus général d'un solide est un mouvement hélicoïdal instantané ou, pour un solide en mouvement, si le vecteur , il existe pour tout t un point P du solide dont la vitesse est parallèle au vecteur
A et P appartenant au solide :
0≠ωω
ωλ+ωω−ω
−=
−ω=ωω
−=ω
ω+=
ω=
.)vv(x
AP
)vv(x)APx(x
vvAPx
APxvv
)t()t(kv
Ap
Ap
Ap
AP
p
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MOUVEMENT HELICOIDAL CONTINU ETMOUVEMENT HELICOIDAL INSTANTANE (3)
Choisissons un point P* du solide tel que :
équation vectorielle de l'axe hélicoïdal instantané
Le mouvement hélicoïdal instantané, de direction et d'axe passant par P* est défini. Le mouvement hélicoïdal est tangent à l'instant t au mouvement du solide.
ω
0vx *P=ω
ωλ+ωω
ω=
.vxAP A
*
ωωω
=⇒ωωω
ω=ω+=
.v.)t(k.
.v.APxvv AA
*
AP*
A
P0
ω
P*
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MOUVEMENT HELICOIDAL CONTINU ETMOUVEMENT HELICOIDAL INSTANTANE (4)
Cas particuliers :
mouvement à l'instant t est tangent à un mouvement de rotationmouvement à l'instant t est tangent à un mouvement de translation
le solide est immobile à l'instant t
Discussion des différents cas :
invariant scalaire
mouvement instantané hélicoïdal autour d'un axe passant par P*
mouvement instantané de rotation autour d'un axe passant par P*
mouvement instantané de translation de vitessele solide est immobile à l'instant t
⇒= 0)t(k
⇒=ω 0)t(
⇒=ω∧= 0)t(0)t(k
:solideBetA ∈ ω=ωω+=.v.v
ABxvv
AB
AB
⇒≠ω 0.v
⇒≠ω∧=ω 00.v
⇒≠∧=ω∧=ω 0v00.v A Av
⇒=∧=ω∧=ω 0v00.v A
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COMPOSITION DE MOUVEMENTS INSTANTANES (1)
Soient : un trièdre fixe Oxyzun trièdre mobile en rotation par rapport au repère R0, avec le vecteur de rotation un trièdre mobile en rotation par rapport au trièdre mobile R1, avec le vecteur de rotationun solide lié au trièdre R2
)R( 0
)R(zyxO 11111
1ω
2ω
)R(zyxO 22222
x
y
z z1
x1
y1
x2
y2
z2
O O1 O2
A
(R0)(fixe)
(R1) (R2)(mobile) (mobile)
( ) 011 / RRω ( ) 122 / RRω
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COMPOSITION DE MOUVEMENTS INSTANTANES (2)
Vitesse relative d'un point A, par rapport au trièdre R1 :
Vitesse d'entraînement du point A, attaché au trièdre R1 :
Vitesse absolue du point A :
AOxvv 220rel,A 2ω+=
AOxvv 110entr,A 1ω+=
AOxvAOxvv 220110abs,A 21ω++ω+=
x
y
z z1
x1
y1
x2
y2
z2
O O1 O2
A
(R0)(fixe)
(R1) (R2)(mobile) (mobile)
( ) 011 / RRω ( ) 122 / RRω
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COMPOSITION DE MOUVEMENTS INSTANTANES (3)
Cas particuliers :
Composition de deux translations instantanées :
Composition d'un couple de rotations instantanées :
21 00abs,A21 vvv0 +=⇒=ω=ω
2112211abs,A
12
02212
01101
OOxAOxAOxv
)0v(Opoint lepar passant:)R/()R(Rotation
)0v(Opoint lepar passant:)R/()R(Rotation
2
1
ω=ω+ω=
ω−=ω
=ω
=ω
z
x
y
z1
x1
z2
x2
y2
y1
O2
1OO ≡
1ω
1ω−
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COMPOSITION DE MOUVEMENTS INSTANTANES (4)
Composition de deux rotations instantanées d'axes sécants :
Composition de deux rotations instantanées d'axes parallèles :
AOx)(
AOxAOxv
0vvOO
121
1211abs,A
00
21
21
ω+ω=
ω+ω=
==
≡
CAx
)CACO(x)CACO(x
AOxAOxv
0v
0v
2211
2211abs,A
R/R0
R/R0
122
011
ω=
+ω++ω=
ω+ω=
=
=
21
2211
0COxCOx : que telest C
où
ω+ω=ω=ω+ω
axe central
O
1ω
2ω
ω
z
x
y
z1
x1
z2
x2
y2
y1
O2
1O1ω
2ω
21 ωωω +=
C
axecentral
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COMPOSITION DE MOUVEMENTS INSTANTANES (5)
Cas général :Soit un solide soumis à n translations de vitesses et à p rotations de vecteurs
Nous pouvons considérer le solide comme étant soumis à (p+2n) rotations : glissant sur leurs axes.
n1 v,...,v
p1 ,..., ωω
npnp1p1pp1 ,,...,,,,..., ++++ ω−ωω−ωωω
P1
1ω
1+pω
1+− pω1v
pω
Pp
np+ω
np+−ω
nv
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COMPOSITION DE MOUVEMENTS INSTANTANES (6)
Systèmes équivalent à : une résultante générale :un moment total au point A :
L'axe central du système de vecteurs à l'instant t est une droite de points en lesquels la vitesse est parallèle à la résultante . C'est l'axe hélicoïdal instantané dû aux différentes rotations et translations instantanées.
A
n
1iii
p
1iiA vvAPxC =+ω= ∑∑
==
∑=
ω=ωp
1ii
npnp1p1pp1 ,,...,,,,..., ++++ ω−ωω−ωωω
ω
P1
1ω
1+pω
1+− pω1v
pω
Pp
np+ω
np+−ω
nv
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20
X
Y
Z
x
O
y
z
θ
x2
θ
y2
z2 ≡
θ
ϕ
ϕ
y1
ϕ
x1
≡ z1
ψ
ψ
ψ
Oxyz : axes fixes
OXYZ : axes attachés au solide
( par ex. la Terre )
111R
zyOxOxyzzϕ
→ 222R
1
zyOxxθ
→ OXYZz
2
Rψ→
ANGLES D’EULER
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21
x
O
y
z
θ
x2
θ
y2
z2
θ
ϕ
ϕ
y1
ϕ
x1
≡ z1
ψ
ψ
ψ X
Y
≡ Z
z1 ϕω &=1
1 xθ&+ Z1 ψ&+
1)cos(1)sincossin(1)cossinsin( ZYX θϕψψθψθϕψθψθϕω &&&&&& ++−++=⇒
VECTEUR DE DARBOUX DE LA BASE DES ANGLES D’EULER