cinematique des syst´ emes de...

Cinematique des systemes de solides


Objectifs du cours :

Apres avoir etudie l’ensemble de la sequence cours-TD-TP, vous devez etre capable de :

– A partir d’un systeme mecanique pour lequel un parametrage est donne,– determiner le torseur cinematique d’un solide par rapport a un autre solide ;– determiner la trajectoire d’un point d’un solide par rapport a un autre solide ;– determiner le vecteur acceleration d’un point d’un solide par rapport a un autre solide.

– A partir d’un systeme mecanique reel, ou codifie sous forme de documents comprehensibles sans pre-requis :– preciser les champs de vitesse relatifs possibles entre les solides ;– realiser le graphe de structure ;– realiser un schema cinematique ;– lui associer le parametrage retenu ;

– A partir d’un graphe de structure et d’un schema cinematique fourni d’une partie operative, d’ecrire,dans le cas d’une chaıne simple fermee, la loi entree sortie et les relations de fermeture de la chaınecinematique.

– Resoudre un probleme plan de maniere graphique.

– Utiliser un outil numerique pour critiquer la pertinence du modele et definir son domaine de validite.

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Table des matieres

1 Illustration de la modelisation cinematique des systemes de solides 31.1 Objectifs et exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Manege a sensations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Schematisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Graphe de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Schema cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Parametrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Caracteriser le mouvement d’un solide 92.1 Brefs rappels de cinematique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Position d’un point d’un solide dans un referentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Quelques reperes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3 Vitesse d’un point d’un solide dans un referentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.4 Acceleration d’un point d’un solide dans un referentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Cinematique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Notion de solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Champs des vitesses d’un solide – torseur cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Composition des mouvements et application aux chaines ouvertes de solides . . . . . . . . . . . 152.3.1 Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2 Torseurs cinematiques des liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.3 Application a une chaine ouverte de solides sur le manege . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.4 Remarque sur le champ des accelerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.5 Remarque que la composition des accelerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Cinematique des systemes de solides 183.1 Cinematique des systemes en chaine complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Particularites d’une chaıne complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2 Methode de resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.3 Exemple du manege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Approche theorique des mecanismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.1 Cas d’une chaıne ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.2 Cas d’une chaıne fermee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.3 Cas d’une chaıne complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Modelisation cinematique des systemes reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

A Complement : cinematique graphique 23A.1 Equiprojectivite du champ des vitesses d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23A.2 Centre instantane de rotation d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23A.3 Alignement des CIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24A.4 Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24A.5 Methode de resolution en cinematique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25A.6 Bases et roulantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

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1 Illustration de la modelisation cinematique des systemes de solides

1.1 Objectifs et exemple

L’objectif du cours de cinematique est d’introduire les outils theoriques permettant d’etudier le mouvementdes mecanismes.

Une grande partie des mecanismes interessant l’ingenieur sont constitues de pieces rigides (c’est a dire peudeformables) articulees entre elles a l’aide de liaisons. Les liaisons autorisent certains mouvements particuliers(de translation ou de rotation) entre les pieces.

FIGURE 1 – Photo d’un train d’atterrissaged’A340.

FIGURE 2 – Representation graphique du traind’atterrissage.

FIGURE 3 – Avion en phase d’atterrissage.

La photographie 1 montre le train d’atterrissage d’un Airbus A340 tandis que la figure 2 en donne unerepresentation graphique. Le train d’atterrissage est un mecanisme complexe qui doit supporter des effortsimportants lors de l’atterrissage et qui doit se replier dans le fuselage au cours du vol pour limiter la resistanceaerodynamique. D’autre part, il assure une certaine progressivite lorsque l’avion touche la piste et il absorbele choc (figure 3 et 4).

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FIGURE 4 – Modelisation cinematique du train d’atterrissage.

Sur ce type de systeme, on souhaite pouvoir determiner les positions et les vitesses des pieces, par exempleau cours de la phase d’atterrissage ou encore lorsque le train se replie dans le fuselage.

Le train d’atterrissage est constitue d’un grand nombre de pieces metalliques dont la deformation est tresfaible devant le mouvement autorise par les liaisons. Le systeme est donc modelise par un ensemble de solidessupposees parfaitement rigides, relies par des liaisons dont le mouvement est suppose parfait (c’est a dire sansjeux). La figure 4 constitue un modele cinematique du mecanisme dans les differentes phases de l’atterrissage.

FIGURE 5 – Plateau cyclique d’helicoptere.FIGURE 6 – Modelisation cinematique du plateaucyclique.

La figure 5 represente le plateau cyclique d’un helicoptere, qui permet de transmettre au rotor les com-mandes de pilotage. On trouve a nouveau un ensemble de pieces rigides articulees entre elles.

La figure 6 propose un modele a base de solides rigides et de liaisons parfaites, permettant d’etudier lemouvement des pieces : leurs trajectoires, leurs vitesses et les accelerations.

1.2 Manege a sensations

La foire du trone, a proximite de Paris, est un parc d’attraction pour les plus petits comme les plus grands.Pour ces derniers, on y trouve des maneges a sensations comme le manege ”extreme” figure 7.

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FIGURE 7 – Photographie du manege en mouvement.

Le principe de ces maneges est procurer aux passagers des sensations de vitesse, d’envol et de lui fairetourner la tete (voir figure 8) ! Bien que la vitesse, pour des raisons de securite, ne soit pas tres elevee dansl’absolu, les sensations de vitesse sont obtenues en alternant les passages en hauteur et les passages au raz dusol. L’impression d’envol est obtenue par la combinaison d’une acceleration en translation et d’une prise dehauteur. Enfin on fait ”tourner la tete” du passager en le desorientant par des rotations multiples qui lui fontperdre le sens de la verticale.

FIGURE 8 – Diagramme SysML de cas d’utilisation.

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FIGURE 9 – Tableau partiel des exigences.

FIGURE 10 – Diagramme SysML des exigences.

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On veut etre capable d’evaluer que les exigences rappelees dans le tableau 9 sont validees par performancesatteintes, a travers une etude du mouvement du mecanisme.

FIGURE 11 – Parametrage du manege.

Pour determiner ces performances, l’ingenieur doit modeliser le mouvement du manege puis calculer lespositions, les vitesses et les accelerations, non seulement celles du passagers, mais aussi celles des bras et desmoteurs du manege.

Pour modeliser les mouvements, il faut d’abord les observer. On distingue essentiellement deux mouve-ments : les translations et les rotations.

Par exemple la tige 6 du verin est en translation par rapport au corps 5 du verin. La direction de la transla-tion, c’est a dire la direction de la vitesse de 6 par rapport a 5, est ~x5.

Le bras 1 est en rotation par rapport au sol. L’axe de la rotation est (O,~z), c’est a dire que les points de l’axe(O,~z) ont une vitesse nulle.

D’autres solides ont des mouvements plus complexes, comme le bras 4 par rapport au sol, qui combinerotations et translations.

On remarque neanmoins qu’a chaque liaison entre solides, le mouvement est relativement simple et sedecompose en quelques rotations ou translations bien determinees :

– le mouvement permis par la liaison entre 1 et 2 autorise une rotation d’axe (O,~x1),– le mouvement permis par la liaison entre 2 et 3 autorise une rotation d’axe (D, ~y22),– le mouvement permis par la liaison entre 5 et 6 autorise une translation d’axe ~x5,– etc...Il est ainsi possible de proposer des modeles cinematiques de liaisons, autorisant certaines rotations et/ou

certaines translations. Le tableau page 26 donne une liste de liaisons normalisees. Vous y trouverez la representationgraphique normalisee ainsi qu’un petit dessin montrant un exemple de surfaces de contact pouvant assurerla liaison. Grace a ces dessins, vous devriez rapidement retrouver les translations et rotations permises parchaque liaison : entrainez vous !

On retiendra d’ores et deja la liaison pivot qui autorise une unique rotation, et la liaison glissiere qui autoriseune unique translation.

1.3 Schematisation

Modeliser, c’est donner une representation simplifiee du systeme pour faire apparaıtre plus clairement lesproprietes interessantes dans le point de vue de l’etude. En cinematique, seuls les mouvements des piecessont etudies. On utilise donc des representations laissant apparaitre uniquement les solides et les liaisons entresolides.

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1.3.1 Graphe de structure

La premiere representation utilisee est le graphe de structure, ou chaque solide est represente par une ellipse(ou eventuellement un rectangle lorsqu’il s’agit d’un solide fixe) et ou chaque liaison est representee par unarc entre deux solides.

Les liaisons definies par la norme sont precisees dans le tableau page 26.La figure 12 montre le graphe de structure du manege. On remarque que la plupart des liaisons de ce

manege sont des pivots, et seule la liaison entre 5 et 6 est une glissiere.

FIGURE 12 – Graphe de structure du manege.

Il est generalement precise sur le graphe de structure les caracteristiques geometriques des liaisons, c’est adire l’axe de rotation dans le cas d’une pivot, ou la direction de translation dans le cas d’une glissiere.

Le graphe de structure laisse apparaıtre une part du mecanisme en chaıne ouverte : la chaıne de solides 0, 1,2, 3 et 4, et une part du mecanisme en chaıne bouclee : la chaıne 0, 1, 6, 5, 0.

1.3.2 Schema cinematique

Le graphe de structure est un bon outil pour presenter l’organisation du systeme, mais il est insuffisantpour expliciter le parametrage (les points geometrique, les bases, les parametres angulaires et de longueur,etc...).

1 2

3

4

56

5

1

x

21y

22y

3

FIGURE 13 – Schema cinematique du manege.

On lui prefere alors le schema cinematique, qui utilise une representation normalisee des liaisons (voirtableau page 26). Les solides sont eux representes par des traits, entre les liaisons. Les figures 4 et 6 sont desschemas cinematiques.

La figure 13 montre le schema cinematique du manege. On y retrouve la liaison glissiere entre 5 et 6,ainsi que les differentes liaisons pivots. Notez que la direction de la liaison est bien choisie par rapport aumouvement autorise : les directions des liaisons en O, C, D et E sont toutes differentes.

1.3.3 Parametrage

Le parametrage est l’ensemble des points, des bases et des parametres (angles ou longueurs) qui caracterisentla geometrie et le mouvement du mecanisme. La figure 11 definit deja une bonne part de ce parametrage. Il

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manque cependant les parametres associes aux mouvements (longueur AB et angles de rotation de chacunedes liaisons pivots) ainsi que les dimensions des solides. Proposons un parametrage.

Le bras principal 1, associe au repereR1(O,~x1, ~y1, ~z0) supporte l’ensemble du manege. Il est en liaison pivotd’axe (O,~z0) avec le sol 0. Sa rotation est parametree par l’angle α = (~x0, ~x1). Un verin de corps 5 et de tige 6commande la rotation du bras 1. L’angle α varie entre π/4 et π/2.

La rotation du verin est parametree par l’angle θ = (~x0, ~x5) et sa longueur est parametree par λ tel que−−→AB = λ.~x5.

Le bras secondaire 2, associe au repere R21(C, ~x1, ~y21, ~z21) est en liaison pivot d’axe (C, ~x1). La rotation estparametree par l’angle γ = (~y1, ~y21). Un second repere R22(D,~x22, ~y22, ~z21) est associe au solide 2, tourne d’unangle β = (~x1, ~x22) = −45o constant, autour de l’axe ~z21 (attention cet angle est negatif). Ce repere permet dedefinir la rotation de la tourelle 3.

La tourelle 3, associe au repere R3(E, ~x3, ~y22, ~z3) est en liaison pivot d’axe (D, ~y22). La rotation est pa-rametree par l’angle δ = (~x22, ~x3).

Le banc 4, associe au repere R4(E, ~x3, ~y4, ~z4) est en liaison pivot d’axe (E, ~x3). La rotation est parametreepar l’angle ϕ = (~y22, ~y4).

On precise les dimensions geometriques suivantes :–−→OA = a.~x0 ou a = 1.5 m.

–−−→OB = b.~x1 ou b = 1.5 m.

–−−→OC = c.~x1 ou c = 4 m.

–−−→CD = −d.~y21 ou d = 4 m.

–−−→DE = −e.~y22 ou e = 1 m.

–−−→EF = f.~x3 ou f = 3 m.

–−−→FM = h.~y4 ou h = 0.5 m.

–−−→AB = λ.~x5.

Les parametres angulaires ainsi definis peuvent etre representes par des diagrammes de changement debases afin de faciliter les calculs. Dessinez chacun des diagrammes.

2 Caracteriser le mouvement d’un solide

2.1 Brefs rappels de cinematique du point

2.1.1 Position d’un point d’un solide dans un referentiel

La position d’un pointM de d’un solide S dans un repereR(O,~x, ~y, ~z) est definie par 3 parametres independants.

FIGURE 14 – Position d’un point d’un solide.

FIGURE 15 – Changement de repere.

On peut choisir par exemple les trois composantes du vecteur position−−→OM :

−−→OM = x(t).~x+ y(t).~y + z(t).~z =

R

x(t)y(t)z(t)

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Lorsqu’un point M est positionne dans deux reperes differents R0(O0, ~x0, ~y0, ~z0) et R1(O1, ~x1, ~y1, ~z1), lechangement de repere du point M doit tenir compte du changement d’origine (

−−−→O0M =

−−−→O0O1 +

−−−→O1M ) et du

changement de base (de la base B0(~x0, ~y0, ~z0) a la base B1(~x1, ~y1, ~z1)).Lorsque le parametrage du systeme comporte plusieurs bases, il est generalement souhaitable d’utiliser au

mieux les multiples bases pour obtenir une expression simple du vecteur position. Il est rarement utile dans cecas de projeter le vecteur position dans une seule base.

Illustration du manegeLa position du point F par rapport au sol est caracterisee par le vecteur position :

−−→OF =

−−→OC +

−−→CD +

−−→DE +

−−→EF

−−→OF = L1.~x1 − L2.~y21 − L3.~y22 + L3.~x3

Cette expression est generalement suffisante pour poursuivre l’etude cinematique. La projection dans labase B0 par exemple serait fastidieuse et inutile.

2.1.2 Quelques reperes classiques

Position d’un point dans un repere cartesien

FIGURE 16 – Repere cartesien.FIGURE 17 – Repere cylindrique.

Le repere cartesien est defini par un point et une base orthonormale directe. Les parametres de positionsont les composante du vecteur position

−−→OM dans la base.

Position d’un point dans un repere cylindriqueLe repere cylindrique Rcyl(O, ~u,~v, ~z) se definit par rapport a un repere cartesien R(O,~x, ~y, ~z) :– ~u est un vecteur unitaire appartenant aux plans (~x, ~y) et (

−−→OM,~z).

– ~v complete la base : ~v = ~z ∧ ~u.On definit deux parametres :– la distance r =

−−→OM.~u,

– l’angle θ = (~x, ~u) oriente par ~z.Les trois parametres de position sont M(r, θ, z) et le vecteur position s’ecrit :

−−→OM = r.~u+ z~z =

Rcyl

r0z

Le parametre θ n’apparait pas directement dans l’expression du vecteur position : il est cache dans l’expressionde ~u = ~u(θ). Pour cette raison, le repere cylindrique est particulierement adapte aux problemes invariants parrotation autour de l’axe (O,~z).

Exercice : passage de la base cylindrique a la base cartesienneProjeter les vecteurs ~u et ~v dans la base cartesienne. Exprimer les coordonnees cartesiennes deM en fonction

des parametres du repere cylindrique.

Position d’un point dans un repere spheriqueLe repere spherique Rcyl(O, ~u,~v, ~w) se definit par rapport a un repere cartesien R(O,~x, ~y, ~z) :

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FIGURE 18 – Repere spherique.

FIGURE 19 – Parametrage d’Euler de l’orientationd’un solide.

– ~u est un vecteur unitaire colineaire et de meme sens que−−→OM .

– ~v est un vecteur unitaire du plan (~x, ~y) normal a ~u.– ~w complete la base : ~w = ~u ∧ ~v.On utilise un vecteur ~n equivalent au vecteur ~u de la base cylindrique et on definit trois parametres :– la distance R = ‖

−−→OM‖,

– l’angle θ = (~x, ~n) oriente par ~z.– l’angle ϕ = (~n, ~u) oriente par ~v.

Le vecteur ~u est donc l’image de ~x par deux rotations θ et ϕ.Les trois parametres de position sont M(R, θ, ϕ) et le vecteur position s’ecrit :

−−→OM = R.~u =

Rsph

R00

Les parametres θ et ϕ n’apparaissent pas directement dans l’expression du vecteur position : ils sont cachesdans l’expression de ~u = ~u(θ, ϕ). Pour cette raison, le repere spherique est particulierement adapte auxproblemes invariants par rotation autour du point O.

Exercice : passage de la base spherique a la base cartesienneProjeter les vecteurs ~u, ~v et ~w dans la base cartesienne. Exprimer les coordonnees cartesiennes de M en

fonction des parametres du repere spherique.

Orientation d’un solide par les angles d’Euler Les angles d’Euler representent une possibilite (parmi d’autres)de parametrage pour definir l’orientation d’un solide dans l’espace a l’aide de trois parametres angulaires. Ilest utilise lorsqu’un solide en mouvement ne possede aucune liaison simple avec le bati, qui permette dedecomposer les rotations.

Contrairement aux 3 autres reperes (cartesien, cylindrique et spherique), le parametrage d’Euler ne definitpas la position d’un point mais l’orientation d’un solide.

Soit R0 le repere observateur et R3 le repere lie au solide en mouvement. R3 se deduit de R0 par troisrotations successives orientees par trois axes formant une famille libre.

– B0 −→ B1 : rotation θ orientee par ~z0 (appele angle de precession),– B1 −→ B2 : rotation ψ orientee par ~x1 (appele angle de nutation),– B2 −→ B3 : rotation ϕ orientee par ~z2 (appele angle de rotation propre).

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Cette notation est souvent utilisee en physique pour decrire le mouvement d’une toupie ou le mouvementde la terre.

En Sciences de l’Ingenieur, l’etude des mecanismes necessite plus rarement ce type de parametrage car lesmecanismes possedes des liaisons qui guident generalement les rotations : il est alors naturel de s’appuyer surces liaisons pour parametrer les rotations.

Dans certaines situations neanmoins, l’absence de liaison conduit a utiliser un parametrage similaire a celuid’Euler. On peut citer par exemple le cas de l’orientation d’un avion ou d’un bateau (on parle alors des anglesde lacet, de roulis et de tangage, ou encore le cas de l’orientation de la plateforme du robot parallele Stewart ensalle de TP.

2.1.3 Vitesse d’un point d’un solide dans un referentiel

La vitesse d’un point M d’un solide S dans un referentiel R est definie par la derivee de son vecteurposition :

~VM,S/R =d−−→OM

dt /R

Exemple 1 : Solide en translation On considere un point M lie a une voiture se deplacant en translationsuivant ~x par rapport au sol. La position de la voiture est parametree par la coordonnee ~x.

FIGURE 20 – Solide en translation.

FIGURE 21 – Solide en rotation autour d’un axefixe.

−−→OM = x(t).~x+h.~y et ~VM,V oit/Sol = x(t).~x+x(t).d~x

dt /Sol+ dh.~y

dt /Sol= x(t).~x car les vecteurs ~x et h.~y etant

constant dans le referentiel lie au sol, leurs derivees sont nulles.

Exemple 2 : Solide en rotation autour d’un axe fixe On considere un point M lie a une roue de voiture, enrotation autour de l’axe (A,~z) par rapport a la voiture.

Le vecteur position du point M s’ecrit :−−→AM = R.~u ou ~u est un vecteur mobile au cours du temps.

Deux methodes s’offrent a nous pour determiner le vecteur vitesse ~VM,Roue/V oit : Projeter ~u dans la baseliee a la voiture puis deriver ses composantes, ou changer de base de derivation.

La premiere methode conduit a :

~VM,Roue/V oit = dR.~udt /V oit

= R. ddt/R

(cos θ.~x+ sin θ.~y) = R.θ. (− sin θ.~x+ cos θ.~y)

La seconde methode conduit a :~VM,Roue/V oit = dR.~u

dt /V oit= dR.~u

dt /Roue+ ~ΩRoue/V oit ∧ (R.~u) = ~0 + θ.~z ∧ (R.~u) = R.θ.~v

Les deux methodes semblent donner des resultats differents. On remarquera neanmoins que ~v = − sin θ.~x+cos θ.~y, ce qui montre qu’ils sont bien egaux. La premiere methode conduit a un resultat plus lourd, d’autantplus lourd qu’il y a beaucoup de bases.

Au contraire, la seconde methode donne un resultats simple, exploitant au mieux les bases disponibles.C’est donc cette methode que nous utiliserons par la suite.

Illustration du manegeDeterminer la vitesse du point F par rapport au sol.

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2.1.4 Acceleration d’un point d’un solide dans un referentiel

L’acceleration d’un point M d’un solide S dans un referentiel R est definie par la derivee de son vecteurvitesse :

~ΓM,S/R =d~VM,S/R

dt /R

Exemple 1 : Solide en translation La derivee du vecteur vitesse ~VM,V oit/Sol = x(t).~x conduit a ~ΓM,V oit/Sol =x(t).~x

Exemple 2 : Solide en rotation autour d’un axe fixe La derivee du vecteur vitesse ~VM,Roue/V oit = R.θ.~vconduit a :

~ΓM,Roue/V oit =dr.θ.~v

dt /V oit= r.θ.~v + r.θ.

d~v

dt /V oit= r.θ.~v + r.θ2.~u

On remarque que le resultat est bien homogene :

~ΓM,Roue/V oit︸︷︷︸[m.s−2]

= r.θ.~v︸︷︷︸[m.rad.s−2]

+ r.θ2.~u︸︷︷︸[m.rad2.s−2]

Les radians n’interviennent pas dans l’homogeneite si bien que les trois termes sont homogenes a des[m.s−2].

Interpretation physique de l’acceleration : la composante de l’acceleration suivant ~v (de norme r.θ) est duea l’acceleration angulaire de la roue. Cette composante est nulle lorsque la roue tourne a vitesse constante.La composante de l’acceleration suivant ~u (de norme r.θ2) est une composante ”centrifuge” qui est due aumouvement de rotation. Cette composante reste non nulle lorsque la roue tourne a vitesse constante.

Illustration du manegeDeterminer l’acceleration du point D par rapport au sol.

2.2 Cinematique du solide

2.2.1 Notion de solide rigide

Definition d’un solide rigide (ou indeformable) :Un solide rigide est un systeme materiel S tel que pour tout bi-pointAB de S, la distanceentre A et B reste constante au cours du temps (figure 22).

FIGURE 22 – Definition d’un solide rigide.

On peut alors associer un repere RS accroche a S tel que tout point de S soit fixe dans RS au cours dutemps.

La position d’un solide S dans un repere R est definie par 6 parametres independants.On peut choisir par exemple de definir la position de S par la position d’un de ses points (3 parametres de

translation) et par 3 angles d’orientation (3 parametres de rotation).

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2.2.2 Champs des vitesses d’un solide – torseur cinematique

La vitesse d’un solide S dans un referentiel R est caracterisee par :– la vitesse d’un point A de S : ~VA,S/R,– la vitesse de rotation : ~ΩS/R.Le vecteur vitesse de rotation est parallele a l’axe de rotation et a pour norme la vitesse de rotation, orientee

dans le sens direct. Il s’exprime en [rad/s].

Exemple de la roue de voiture (figure 23) : le vecteur vitesse de rotation est perpendiculaire au plan (~x, ~y)de la roue et a pour norme θ :

~ΩRoue/V oit = θ.~z

FIGURE 23 – Vecteur vitesse de rotation d’une roue.

Ces deux informations (~VA,S/R et ~ΩS/R) doivent permettre de calculer la vitesse en tout point B de S.Determinons ~VB,S/R en fonction de ~VA,S/R et ~ΩS/R.

~VB,S/R =d−−→OB

dt /R=d−→OA+

−−→AB

dt /R=d−→OA

dt /R+d−−→AB

dt /R

On reconnait la vitesse du point A. D’autre part, sachant que le vecteur−−→AB est fixe dans le referentiel lie a S,

on change de base de derivation :

~VB,S/R = ~VA,S/R +

(d−−→AB

dt /S+ ~ΩS/R ∧

−−→AB

)ou

d−−→AB

dt /S= ~0

On en deduit la relation : ~VB,S/R = ~VA,S/R + ~ΩS/R ∧−−→AB.

Cette relation montre que le champ des vitesses d’un solide rigide peut etre represente mathematiquementpar un torseur.

Torseur CinematiqueOn appelle Torseur Cinematique du solide S par rapport au referentiel R le torseur :

VS/R

=A

~ΩS/R

~VA,S/R

=B

~ΩS/R

~VB,S/R

La relation de changement de point s’ecrit (a savoir) :

~VB,S/R = ~VA,S/R + ~ΩS/R ∧−−→AB

Pour plus de renseignement sur l’outil mathematique que represente le torseur, vous pouvez vous reportera l’annexe mathematique.

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2.2.3 Complements

Cas particulier des mouvements plansUn modele cinematique est dit plan lorsque les vitesses des points sont contenues dans un plan (~x, ~y) et les

vitesse de rotation normales au plan (suivant ~z).Les torseurs cinematiques ne presentent donc pas toutes les inconnues de mouvement possibles en 3D. Les

torseurs se simplifient donc sous la forme (dans le cas d’un mouvement dans le plan (~x, ~y)) :

V1/2

=A

ω.~z

U.~x+ V.~y

=A

00ω

UV0

(~x, ~y, ~z)

Les deux exemples precedents sont des mouvements plans.

Quelques definitions pour le contact ponctuel

FIGURE 24 – Contact ponctuel entre deux solides.

Soient S1 et S2 deux solides en contact en un point I . Soit ~n la normale au plan tangent en I au contact,oriente vers S2 (figure 24). On definit classiquement quelques proprietes pour ce type de contact :

– La condition de contact bilateral impose ~VI,S2/S1 .~n = 0.– La condition de contact unilateral impose ~VI,S2/S1 .~n ≥ 0.– La vitesse de glissement vaut ~VI,S2/S1 en cas de contact persistant. Elle est contenu dans le plan tangent.– La condition de roulement sans glissement s’ecrit : ~VI,S2/S1 = ~0.– La vitesse de rotation ~ΩS2/S1 peut se decomposer en une partie normale et une partie tangentielle :~ΩS2/S1 = ΩN .~n+ ~ΩT (ou ~ΩT .~n = 0) :– ΩN est la vitesse de pivotement,– ~ΩT est la vitesse de roulement.

2.3 Composition des mouvements et application aux chaines ouvertes de solides

2.3.1 Composition des vitesses

Soit un solide S en mouvement par rapport a deux referentiels R0(O0, B0) et R1(O1, B1). On souhaiteetablir le lien entre les vitesses du solide S par rapport a R0 et du solide S par rapport a R1.

Composition des vitesses en M

d−−−→O0M

dt /R0=d(−−−→O0O1 +

−−→OM )

dt /R0

=d−−−→O0O1

dt /R0+

(d−−−→O1M

dt /R1+ ~Ω1/0 ∧

−−−→O1M

)On en deduit la relation sur les vitesses :

~VM,S/R0 = ~VO1,R1/R0 + ~VM,S/R1 + ~Ω1/0 ∧−−−→O1M

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On reconnait la relation de changement de point du torseur deR1/R0 : ~VO1,R1/R0 +~Ω1/0∧−−−→O1M = ~VM,R1/R0 .

D’ou la relation de composition des vitesses en M :

~VM,S/R0 = ~VM,S/R1 + ~VM,R1/R0

Les physiciens appellent ~VM,S/R0 la vitesse absolue, ~VM,S/R1 la vitesse relative et ~VM,R1/R0 la vitesse d’en-trainement.

Cependant, les mecanismes etudies en sciences de l’ingenieur comportent regulierement un bon nombrede solides en mouvements relatifs et nous pourront ecrire des compositions de vitesses du type :

~VM,5/0 = ~VM,5/4 + ~VM,4/3 + ~VM,3/2 + ~VM,2/1 + ~VM,1/0

La distinction entre vitesse relative et absolue perd dans ce cas sa signification.Remarquons que si M est par exemple un point materiel du solide 5, il n’est pas un point materiel appar-

tenant aux solides 1 a 4... La vitesse ~VM,1/0 n’est donc pas la vitesse du point materiel M mais la vitesse d’unpoint coıncident avec M a l’instant t mais appartenant au solide 1.

Composition des vitesses de rotationLa relation precedente s’ecrit en tout point A et B de S :

∀(A,B),

~VA,S/R0 = ~VA,S/R1 + ~VA,R1/R0

~VB,S/R0 = ~VB,S/R1 + ~VB,R1/R0

En appliquant la relation de changement de point, la seconde equation devient :

(~VA,S/R0 + ~ΩS/R0 ∧−−→AB) = (~VA,S/R1 + ~ΩS/R1 ∧

−−→AB) + (~VA,R1/R0 + ~ΩR1/R0 ∧

−−→AB)

La premiere equation permet de simplifier les vitesses et d’obtenir :

∀(A,B),(~ΩS/R0 − ~ΩS/R1 − ~ΩR1/R0

)∧−−→AB = ~0

Cette relation etant valable quel que soit le vecteur−−→AB, on en deduit la relation de composition des vitesses de

rotation :~ΩS/R0 = ~ΩS/R1 + ~ΩR1/R0

Composition des torseurs cinematiquesLes deux relations precedentes conduisent a une relation torsorielle sous la forme (a savoir) :

VS/R0

=VS/R1

+VR1/R0

Attention a bien reduire les torseurs au meme point avant d’additionner leurs composantes.

2.3.2 Torseurs cinematiques des liaisons

Au sens cinematique, une liaison entre deux solides limite le mouvement relatif entre les deux solides. Elleest representee mathematiquement par un torseur cinematique indiquant le mouvement relatif autorise par laliaison.

La norme definit un certain nombre de liaison parfaite, dont les caracteristiques sont precisees dans letableau page 26.

Exemple : liaison Pivot La liaison pivot autorise une rotation autour de son axe (A, ~x) et n’autorise aucunetranslation des points de l’axe. Son torseur cinematique peut donc s’ecrire sous la forme :

V1/2

=A

~Ω1/2

~VA,1/2

=A

ω.~x~0

La variable ω (inconnue a priori) indique le mouvement autorise.

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Exemple : liaison Glissiere La liaison glissiere autorise une translation suivant son axe ~x et n’autorise aucunerotation. Son torseur cinematique peut donc s’ecrire sous la forme :

V1/2

=A

~Ω1/2

~VA,1/2

=A

~0V.~x

La variable V (inconnue a priori) indique le mouvement autorise.

Exemple : liaison Appui-plan La liaison appui-plan autorise deux translations dans son plan (suivant ~x et~y) et autorise une rotation suivant ~z. Son torseur cinematique peut donc s’ecrire sous la forme :

V1/2

=A

~Ω1/2

~VA,1/2

=A

ω.~z

U.~x+ V.~y

Les variables ω, U et V (inconnues a priori) indiquent les mouvements autorises.

2.3.3 Application a une chaine ouverte de solides sur le manege

Utilisons les resultats precedents pour determiner la vitesse du solide 4 par rapport au sol 0. La compositiondes vitesses permet d’ecrire :

V4/0

=V4/3

+V3/2

+V2/1

+V1/0

Chaque torseur est un torseur de liaison qu’il est facile d’ecrire :

V4/3

=E

ϕ.~x3

~0

V3/2

=D

δ.~y22

~0

V2/1

=C

γ.~x1

~0

V1/0

=

0

α.~z0

~0

Pour calculer la somme des torseurs, il faut les reduire au meme point, par exemple au point F .Application : Determiner le vecteur vitesse de rotation de 4/0 ainsi que la vitesse en F de 4/0.

2.3.4 Remarque sur le champ des accelerations

L’acceleration d’un solide S dans un referentiel R est caracterisee par :– l’acceleration d’un point A de S : ~ΓA,S/R,

– l’acceleration en rotation :d~ΩS/R

dt /R,

– la vitesse de rotation : ~ΩS/R.Ces trois informations doivent permettre de calculer l’acceleration en tout point B de S. Determinons

~ΓB,S/R en fonction de ces quantites.

~ΓB,S/R =dVB,S/R

dt /R=

d

dt/R

(~VA,S/R + ~ΩS/R ∧

−−→AB)

~ΓB,S/R = ~ΓA,S/R +d~ΩS/R

dt /R∧−−→AB + ~ΩS/R ∧

d−−→AB

dt /R

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dt /R∧−−→AB + ~ΩS/R ∧

d−−→AB

dt /S︸︷︷︸=~0

+~ΩS/R ∧−−→AB


dt /R∧−−→AB + ~ΩS/R ∧

(~ΩS/R ∧

−−→AB)

︸︷︷︸6=~0

Le champ d’acceleration n’est donc pas un champ de torseur. On ne peut pas definir de torseur des accelerations !Le champ des accelerations n’ayant pas de bonnes proprietes, il n’est pas utilise.

2.3.5 Remarque que la composition des accelerations

Soit un solide S en mouvement par rapport a deux referentiels R0(O0, B0) et R1(O1, B1). On souhaiteetablir le lien entre les accelerations en M du solide S par rapport a R0 et du solide S par rapport a R1.

~ΓM,S/R0 =d~VM,S/R0

dt /R0=d~VM,S/R1

dt /R0

d~VM,R1/R0

dt /R0

Par application d’une part de la relation de changement de base de derivation (a gauche) et d’autre part dela formule de changement de point du torseur cinematique de R1/R0 (a droite),

~ΓM,S/R0 =

(d~VM,S/R1

dt /R1+ ~Ω1/0 ∧ ~VM,S/R1

)+

(d~VO1,R1/R0

dt /R0+d

dt/R0(~Ω1/0 ∧

−−→AM)

)

soit :

~ΓM,S/R0 = ~ΓM,S/R1 + ~Ω1/0 ∧ ~VM,S/R1 + ~ΓO1,R1/R0 +d~Ω1/0

dt /R0∧−−→AM + ~Ω1/0 ∧

d−−→01M

dt /R0

Sachant que d−−→01Mdt /R0

= d−−→01Mdt /R1

+ ~Ω1/0 ∧−−−→O1M avec d

−−→01Mdt /R1

= ~VM,S/1, on retrouve la relation de

changement de point du champ des accelerations :

~ΓM,S/R0 = ~ΓM,S/R1 + ~Ω1/0 ∧ ~VM,S/R1 + ~ΓO1,R1/R0 +d~Ω1/0

dt /R0∧−−→AM︸︷︷︸

Chgt de point

+~Ω1/0 ∧ ~VM,S/1 + ~Ω1/0 ∧ ~Ω1/0 ∧−−−→O1M︸︷︷︸

Chgt de point

On en deduit la relation de composition des accelerations :

~ΓM,S/R0 = ~ΓM,S/R1 + ~ΓM,R1/R0 + 2.~Ω1/0 ∧ ~VM,S/1︸︷︷︸~ΓC

Les physiciens appellent ~ΓM,S/R0 l’acceleration absolue, ~ΓM,S/R1 l’acceleration relative, ~ΓM,R1/R0 l’accelerationd’entrainement et ~ΓC l’acceleration de Corriolis.

Cette relation ne s’exprimant pas simplement pour une chaine de solides, nous ne l’utiliserons pas pourl’etude des mecanismes.

3 Cinematique des systemes de solides

L’objectif de ce paragraphe est de proposer une reflexion sur la facon d’apprehender les systemes de solideslorsqu’ils ne sont pas en chaıne ouverte, c’est a dire les assemblages presentant une ou plusieurs boucles.

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FIGURE 25 – Exemple d’un mecanisme en chaıneouverte.

FIGURE 26 – Exemple d’un mecanisme en chaınecomplexe.

3.1 Cinematique des systemes en chaine complexe

3.1.1 Particularites d’une chaıne complexe

Une chaıne ouverte (figure 25) est constituee d’une succession de solides et de liaison. Generalement, cha-cune des liaisons est motorisee et l’objectif de l’etude est de relier le mouvement du dernier solide (5) parrapport au bati (0) en fonction des parametres de mouvement des liaisons (des moteurs).

Pour une chaıne ouverte, il est tout a fait equivalent d’utiliser la derivation du vecteur position ou la com-position des mouvements pour determiner la vitesse d’un point.

Une chaıne complexe (figure 26) est constituee d’un ensemble de solides relies par de multiples liaisons.L’assemblage forme une ou plusieurs boucles.

Le probleme pose est generalement different de celui d’une chaıne ouverte : le mecanisme etant motorise auniveau de certaines liaisons (ou le mouvement est alors connu), on recherche le mouvement d’une ou plusieursautres liaisons (figure 27).

Notion de degres de liberte

Le nombre de degres de liberte (ddl) d’un mecanisme est le nombre de mouvements independants autorisespar le mecanisme.

On le determine en bloquant (mentalement) un premier parametre scalaire de mouvement : si le systemes’en trouve totalement bloque, alors le nombre de degres de liberte vaut 1, sinon, il est superieur a 1 et il fautbloquer un parametre scalaire supplementaire.

Le nombre de degres de liberte est le nombre de parametres (scalaires) du mouvement a bloquer pour quel’ensemble du mecanisme soit bloque.

Lorsqu’un mecanisme est motorise, il y a generalement autant d’actionneurs (moteurs, verins, ...) que dedegres de liberte.

Du point de vue mathematique, il faut fixer autant de parametres que de degres de liberte pour pouvoirresoudre le probleme de cinematique (c’est a dire determiner les autres inconnues cinematiques).

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FIGURE 27 – Problematique de l’etude cinematique.

Comment resoudre ?Un probleme cinematique consiste generalement a determiner quelques inconnues cinematiques de liaison

(les parametres du mouvement recherches) en fonction des parametres imposes (motorises).Les relations entre les parametres sont imposees par les boucles : en effet, un mecanisme en chaıne ou-

verte n’impose aucune contrainte entre les mouvements des differentes liaisons. Si une boucle est presente, lesparametres ne peuvent evoluer independamment.

Il s’agit donc d’ecrire les conditions mathematiques (les equations) liant les inconnues de mouvement : lesequations de fermeture geometriques ou cinematiques. Ces equations traduisent les bouclages, d’un point de vuegeometrique par des relations de Chasles sur les vecteurs position (voir exemple ci-dessous), ou d’un pointde vue cinematique par des relations de composition des vitesses. Dans l’exemple figure 27, les fermeturescinematiques s’ecrivent :

V1/2

+V2/3

+V3/1

=O

V1/3

+V3/4

+V4/1

=O

V0/1

+V1/4

+V4/5

+V5/0

=O

Il y a autant d’equations torsorielles independantes que de boucles independantes (il suffit de compter lespetites boucles ; cet aspect est developpe dans le paragraphe 3.2). Soit ici 3 equations torsorielles, c’est a dire3× 6 = 18 equations scalaires puisque chaque torseur comporte 6 parametres scalaires.

3.1.2 Methode de resolution

Pour resoudre un probleme de cinematique en partant d’un schema cinematique parametre, on peut pro-poser la demarche suivante (le cas ou l’on part du systeme reel non modelise sera developpe paragraphe 3.3) :

1. Proposer un graphe de structure rapide precisant les inconnues recherchees et les donnees. Identifier lesboucles dans le mecanisme,

2. Pour chaque boucle :

(a) (Ecrire les fermetures geometriques),

(b) Ecrire la fermeture cinematique torsorielle,

(c) Ecrire les torseurs de liaison.

(d) Reduire les torseurs au meme point et en deduire les equations vectorielles,

(e) Projeter sur une base adaptee et en deduire le systeme d’equations scalaires.

3. Resoudre le systeme d’equations.

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Les fermetures geometriques contiennent la meme information que les fermetures cinematiques en vitesse.Elles sont plus simples a ecrire dans les cas plans mais elle conduisent a des systemes non lineaires.

Bien souvent, on ne recherche qu’une partie des inconnues cinematiques. Dans ce cas, il peut etre avanta-geux d’un point de vue calculatoire de n’ecrire qu’une partie des equations, en veillant a eliminer les inconnuesnon recherchees. Les choix du point de reduction et de la base de projection sont strategiques pour y parvenir.

3.1.3 Exemple du manege

Le manege s’organise presque comme une chaıne ouverte ou chaque liaison est motorisee. Mais la moto-risation du mouvement du bras 1 est assuree par un verin (5,6). Pour traiter le mecanisme comme une chaıneouverte comme cela a ete fait en debut de chapıtre, il faut determiner la rotation du bras 1 en fonction del’allongement du verin.

Le graphe de structure figure 28 montre que la motorisation du bras 1 forme une boucle, ou le mouvementde la glissiere λ est connu, et le mouvement θ de la pivot 0-1 recherche.

FIGURE 28 – Calcul du mouvement 0-1 en fonction du mouvement de 5-6.

La fermeture geometrique decrit la boucle sous forme d’une relation de Chasles :

−→OA+

−−→AB +

−−→BO = ~0

FIGURE 29 – Parametrage du manege.

Developpez la fermeture geometrique et projetez l’equation vectorielle sur la base 0.Projeter cette meme equation sur la base 5 et expliquez pourquoi cette projection est mieux adaptee pour

determiner θ en fonction de λ.Ecrire l’equation de fermeture cinematique (equation torsorielle) puis ecrire chacun des torseurs cinematiques

de liaisons.Reduire les torseurs en B et en deduire les equations vectorielles de fermeture cinematique.Projeter ces equations sur la base 5. Expliquez comment le choix du point B de reduction et l’axe ~x5 de

projection permet d’obtenir la relation liant λ et θ sans faire intervenir les parametres de vitesse inconnus desliaisons 0-5 et 1-6.

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3.2 Approche theorique des mecanismes

3.2.1 Cas d’une chaıne ouverte

Dans le cas d’une chaıne ouverte, les mouvements des liaisons restent independants. Si Ic est la somme desdegres de liberte de chacune des liaisons, alors le systeme possede globalement Ic degres de liberte.

3.2.2 Cas d’une chaıne fermee

Dans le cas d’une chaıne fermee (une seule boucle), les mouvements des liaisons deviennent dependantsles uns des autres. Notons Ic la somme des degres de liberte de chacune des liaisons. Les Ic mouvements nesont pas independants et doivent respecter les conditions de fermeture cinematique.

La fermeture cinematique conduira a une equation de torseur, soit 6 equations scalaires. Un systeme de 6equations lie les Ic inconnues.

Neanmoins, un systeme de 6 equations n’est pas necessairement de rang 6 (dans un cas plan par exemple,le rang sera au maximum de 3).

Notons r le rang du systeme, alors Ic − r represente le nombre de parametres du mouvement qu’il estpossible de fixer independament. Le systeme possede donc globalement Ic − r degres de liberte.

3.2.3 Cas d’une chaıne complexe

Dans le cas d’une chaıne complexe, les Ic mouvements sont une fois de plus dependants les uns des autres.Les equations de dependance sont obtenues par les fermetures cinematiques. On appelle γ le nombre cy-

clomatique, qui represente le nombre de boucles independantes dans le mecanisme. On montre facilement quesi S est le nombre de solides et L le nombre de liaisons, γ = L− S + 1.

Vous pouvez verifier cette relation sur les cas en chaıne ouverte et fermee.Il y a donc γ fermetures cinematiques torsorielles a respecter, soit 6.γ equations scalaires. Le rang de ce

systeme n’est malheureusement pas necessairement egal : r ≤ 6.γ.Le systeme possede alors globalement Ic − r degres de liberte.

3.3 Modelisation cinematique des systemes reels

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A Complement : cinematique graphique

La cinematique graphique vise a donner une methode de resolution graphique des problemes plans.L’avantage d’une resolution graphique est bien evidement l’absence de calcul ! L’inconvenient est qu’elle

est limitee aux cas plans et que le resultat obtenu n’est valable que pour la position dessinee (alors qu’uneexpression analytique permet de tracer une courbe). C’est bien souvent suffisant.

Nous allons demontrer quelques proprietes graphiques issues des proprietes des champs de torseurs et dela composition des vitesses. Ces proprietes permettront de mener un raisonnement graphique.

Ces proprietes seront illustrees sur un mecanisme simple figure 30.Aucune competence n’est exigible aux concours dans ce paragraphe.

A

B

C

y

x

x 1

x 2

λ

L 1

L 2θ 1

θ 2

L

2

1

FIGURE 30 – Mecanisme d’illustration.

A.1 Equiprojectivite du champ des vitesses d’un solide

Un champ de torseur est un champ equiprojectif, c’est a dire qu’il satisfait a la propriete :

~VA,S/R.−−→AB = ~VB,S/R.

−−→AB

Cette propriete se demontre immediatement a partir de la relation de changement de point :

~VA,S/R.−−→AB = (~VB,S/R + ~ΩS/R ∧

−−→BA︸︷︷︸

⊥−−→AB

).−−→AB = ~VB,S/R.

−−→AB +~0

Cette propriete est illustree sur la figure 31. Ainsi, si la vitesse en A est connue et la direction de la vitesseen B est connue, l’equiprojectivite permet de determiner la vitesse en B.

IllustrationOn suppose connue la vitesse de rotation θ ce qui permet de tracer la vitesse ~VA,1/0 = ~VA,2/0. D’autre part,

la vitesse ~VC,2/0 est verticale.Par equiprojectivite, determiner la norme et le sens de la vitesse en C.

A.2 Centre instantane de rotation d’un solide

L’axe de rotation d’un solide est colineaire a son vecteur vitesse de rotation. Dans le cadre d’un mouvementplan, cet axe est perpendiculaire au plan et sa trace se reduit a un point, appele Centre Instantane de Rotation(CIR).

Proprietes :– Si I est le CIR de S/R, ~VI,S/R = ~0,

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FIGURE 31 – Equiprojectivite.

FIGURE 32 – Centre instantane de rotation (CIR).

– ∀A ∈ E , ~VA,S/R = ~VI,S/R︸︷︷︸~0

+~ΩS/R ∧−→IA donc ~VA,S/R ⊥ (IA) et ‖~VA,S/R‖ proportionnel a ‖

−→IA‖.

Le CIR est donc situe a la perpendiculaire de toutes les vitesses. Les proprietes sont illustres sur la figure32.

IllustrationDeterminer la position du CIR de 2/0 : I02.Utiliser cette fois les proprietes du CIR pour determiner la vitesse ~VC,2/0 a partir de la vitesse ~VA,2/0.

A.3 Alignement des CIR

Soient trois solides 0, 1 et 2 en rotation les uns par rapport aux autres et I01, I12 et I02 les trois CIR.Propriete : les trois CIR I01, I12 et I02 sont alignes.Cette propriete n’est pas souvent utilisee en cinematique graphique.Demonstration : La composition des vitesses permet d’ecrire

~VI12,1/2 = ~VI12,1/0 − ~VI12,2/0

Les proprietes des trois CIR permettent alors de traduire cette equation :

~0 = ~0 + ~Ω1/0 ∧−−−→I01I12 −~0− ~Ω2/0 ∧

−−−→I02I12

~0 = ~z ∧(ω1/0.

−−−→I01I12 − ω2/0.

−−−→I02I12

)Cette equation est verifiee ssi

−−−→I01I12 est colineaire a

−−−→I02I12, c’est a dire si les trois CIR sont alignes.

IllustrationVerifier que les trois CIR I01, I12 et I02 de l’illustration sont bien alignes.

A.4 Composition des vitesses

La composition des vitesses s’ecrit graphiquement sous la forme d’une somme fermee de vecteurs.Illustrons cette propriete sur le manege, plus particulierement sur la vitesse du point B :

~VB,1/0 = ~VB,1/6 + ~VB,6/5 + ~VB,5/0

ou :– VB,1/0 ⊥ (OB) car O est CIR de 1/0,– ~VB,1/6 = ~0 car B est CIR de 1/6,– ~VB,6/5 = λ.~x5 est donne,– ~VB,5/0 ⊥ (AB) car A est CIR de 5/0.Tracer ces proprietes sur la figure puis dessiner la fermeture cinematique. En deduire les vitesses ~VB,1/0 et

~VB,5/0.

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A.5 Methode de resolution en cinematique graphique

La resolution graphique consiste a passer de solides en solides et de points en points pour aller des vitessesconnues aux vitesses recherchees.

Les proprietes d’equiprojectivite et du CIR permettent de changer de point au sein d’un meme mouvement.La composition des vitesses permet de changer de mouvement en un meme point.Il convient de poser les vitesses connues en fixant une echelle des vitesses. Une fois le vecteur recherche

determine, l’echelle permet de determiner la norme de la vitesse.

A.6 Bases et roulantes

Soient deux solides S et S0, en mouvement plan l’un par rapport a l’autre, et I le CIR de S/S0.On appelle base la trajectoire de I dans le referentiel lie a S0.On appelle roulante la trajectoire de I dans le referentiel lie a S.Exemple : Mouvement d’une echelle glissant le long d’un mur.Proprietes : la base et la roulante sont en contact au point I et roulent sans glisser l’une sur l’autre en I

(~VI,S/S0 = ~0).

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cinematique des syst´ emes de...

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