cinematique du point objectifs : -décrire les principales grandeurs cinématiques...

CINEMATIQUE DU POINTCINEMATIQUE DU POINT

OBJECTIFS : - Décrire les principales grandeurs cinématiques (position,vitesse,accélération).

- Définir la trajectoire d’un point d’un solide ou le mouvement du solide.

- Exprimer une loi qui permette d’exprimer la position, la vitesse et l’accélération d’un solide en mouvement de translation rectiligne.

I- CARACTERISTIQUES DU POINT D’UN SOLIDE : I- CARACTERISTIQUES DU POINT D’UN SOLIDE :

1- Sa position :

c’est la distance s parcourue sur la trajectoire depuis l’origine

s = f(t)

M

(S)

s

On appelle trajectoire du point (M) d’un solide (S) l’ensemble des positions occupées successivement par ce point au cours de son déplacement par rapport à un référentiel donné.

Notation : TMS/R = trajectoiredu point M appartenant à S,par rapport au repère R.

M

(S)

s TMS/R

2- Sa trajectoire :2- Sa trajectoire :

Mouvement de S/R Trajectoire TMS/R

Translation rectiligne Droite (point, axe)

Translation circulaire Cercle (centre, rayon)

Rotation à axe fixe Cercle (centre, rayon)

Hélicoïdal Hélice (pas)

Plan sur plan Courbe quelconque dans le plan

Sa trajectoire en fonction du Sa trajectoire en fonction du mouvement :mouvement :

c’est le rapport de la distance s parcourue par la variation de temps t correspondante

V moyenne = s / t

unités : [m/s] =[m]/[s]

Exemple : un sprinter parcourt le 100 m en 10s.Sa vitesse moyenne est de …

M

(S)

s

3- Sa vitesse 3- Sa vitesse moyenne: moyenne:

c’est la dérivée de la position par rapport au temps .

V = s’(t)

unités : [m/s]

M

(S)

s

4- Sa vitesse 4- Sa vitesse instantanée: instantanée:

- l’accélération tangentielle : c’est la dérivée (variation) de la vitesse par rapport au temps

at =V’ (t) unités : [m/s2]

- l’accélération normale : elle dépend du changementde direction du point M.

an =V 2/r unités : [m/s2]

M

(S)

s

5 - Son accélération :5 - Son accélération : elle s’oppose à elle s’oppose à l’inertiel’inertie

II- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME: MRUII- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME: MRU

2.1. Définition :

Instant t

x

Instant t0

x

x0

O

Origine du repère

CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES

t0 = 0 s : instant initial t : instant particulier du mouvement

x0 : le déplacement initial x : le déplacement à l’instant t

v = constante : la vitesse

a = 0 m/s2 : l’ accélération tangentielle

- La trajectoire du point du solide est une droite (an = 0)

- Son accélération tangentielle est nulle (at=0) donc sa vitesse est constante au cours du temps (v=constante) .

2.2 Conditions aux limites du mouvement :

a = 0

v = constante

x = v.t + x0

Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer v et x0 par les valeurs trouvées.

2.3. 2.3. Équations du mouvement ou horaires:Équations du mouvement ou horaires:

2.4. 2.4. Graphes du mouvement:Graphes du mouvement:

Graphe des Graphe des abscissesabscisses

Graphe des vitessesGraphe des vitesses Graphe desGraphe des accélérationsaccélérations

x = v.t + x0

0 t

x0

x

v = constante

0 t

v0

v

a = 0 0 t

a

III- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE : III- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE : MRUVMRUV

3.1. Définition :

Instant t

x

Instant t0

x

x0

O

Origine du repère

CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES

t0 = 0 s : instant initial t : instant particulier du mouvement

x0 : le déplacement initial x : le déplacement à l’instant t

v0 : la vitesse initiale v : la vitesse à l’instant t

a = constante : l’ accélération tangentielle

- La trajectoire du point du solide est une droite (an = 0)

- Son accélération tangentielle est constante (at=constante).3.2 Conditions aux limites du mouvement :

Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer a, v et x0 par les valeurs trouvées.

3.3. 3.3. Équations du mouvement ou horaires:Équations du mouvement ou horaires:

3.4. 3.4. Graphes du mouvement:Graphes du mouvement:

a = constante

v = a.t + v0

x = ½.a.t2 + v0.t + x0

Graphe des Graphe des abscissesabscisses

Graphe des vitessesGraphe des vitesses Graphe desGraphe des accélérationsaccélérations

v = a.t + v0

0 t

v0

v

x = ½.a.t2 + v0.t + x0

0 t

x0

x

a = constante

0 t

a

a

Départ arrêté, un dragster parcourt le 400m en 10 sDéterminer les équations du mouvement et sa

vitesse finale

Réponses : MRUV

Conditions Initiales

Conditions Finales

t0=0s t=10s

X0=0m X=400m

V0=0m/s V=

a =

x = ½.a.t2 + v0.t + x0

<=> 400 = ½.a.102 + 0.t + 0

=> a = 8 m/s2

V = a.t + v0

<=> V = 8.10 + 0=> V = 80 m/s = 288

km/h8 m/s2

80 m/s

Exercice 1:Exercice 1:

Équations du mouvement : pour 0 <t < 10s Il s’agit de donner les fonctions x(t), v(t) et a(t) en

remplaçant x0, v0 et a par leur valeur)

v = 8.t m/s

a = 8m/s2

x = 4.t2 m

Exercice 1:Exercice 1: suite suite

Une Mercedes coupé sport passe de 0 à 100km/h en 10sDéterminer les équations du mouvement et la distance de

la phase d’accélération

Réponses : MRUV avec v=(100/3,6)m/s à t=10s

v = a.t + v0

<=> 27,8 = a.10 + 0

=> a = 2,78 m/s2

CI CF

t0=0s t=10s

X0=0m X=

V0=0m/s V=27,8m/s

a =2,78 m/s2

x = ½.a.t2 + v0.t + x0

<=> x = ½.2,78.102 + 0.t + 0

=> x = 139 m

139 m


x = 1,39.t2 m

v = 2,78.t m/s

a = 2,78 m/s2

Équations du mouvement : pour 0 <t < 10s Il s’agit de donner les fonctions x(t), v(t) et a(t) en

remplaçant x0, v0 et a par leur valeur)


Une Mercedes coupé sport roule sur 300m à 100km/h sur une voie rapide

Déterminer les équations du mouvement et sa durée

Réponses : MRU avec v=(100/3,6)m/s à x=300m

Équations du mouvement :

CI CF

t0=0s t=

X0=0m X=300m

V0=27,8m/s V=27,8m/s

a = 0m/s2

x = v.t + x0

<=>300=27,8.t+0

=> t = 10,8 s

10,8 s

Exercice 3: Exercice 3:

pour 0 <t < 10,8s

x = 27,8.t m

v = 27,8 m/s

a = 0 m/s2

Une Mercedes coupé sport roule à 100km/h puis s’arrête sur 100 m

Déterminer les équations du mouvement et sa duréeRéponses : MRUV avec v0=(100/3,6)= 27,8 m/s et

x=100mCI CF

t0=0s t=

X0=0m X=100m

V0=27,8m/s V= 0 m/s

a =

v = a.t + v0 <=>0 = a.t + 27,8 (1)

x=½.a.t2+v0.t+x0 <=>100 =½.a.t2 + 27,8.t + 0 (2)


v = -3,86.t + 27, 8m/s

a = -3,86 m/s2

Équations du mouvement : pour 0 <t < 7,2s

Résolution : (1) => a.t = - 27,8

Ds (2) => 100=½.(-27,8 ) .t + (27,8) .tt = 200 / 27,8 = 7,2 s

Ds (1) => a = - 27,8 / 7,2 = -3,86 m/s2

x = -1,93.t2 + 27, 8.tm

( Valeurs à indiquer dans le tableau des conditions limites du mouvement )


a = (v2 – v02) / [2(x-x0)]

Afin de déterminer l’accélération sans connaître la durée du mouvement, on utilisera la formule :

Application à l’exercice précédent :

a = [02 – (27,8)2] / [2(100 - 0)] a = - 27,82 / 200 a = - 3,86 m/s2

formule formule utileutile

v = a . t + v0 0 = -3,86 . t + 27,8

t = -27,8 / -3,86 = 7,2 s

Tracer les graphes associés aux trois phases de mouvement de la Mercedes

0 10 20.8 28

139

439

539 x (m)

t (s)

0 10 20.8 28

27,8

V (m/s)

t (s)

0 10 20.8 28

2,78 a (m/s2)

t (s)

-3,86

Graphedes abscisses

Graphedes vitesses

Graphedes

accélérations

Exercice 5: Exercice 5:

Le chariot d’une machine de découpage laser atteint la vitesse de 10 cm/s en 2 secondes.

Le chariot évolue à vitesse constante pendant 8 secondes.

Il s’arrête ensuite en l’espace de 12,5 cm.Hypothèse : les accélérations et décélérations sont supposées

constantes.

1/ Déterminer la durée totale de l’opération de découpage ainsi que la distance parcourue.

2/ Tracer les graphes du mouvement du chariot.

Pour cela, évaluer, pour les trois phases de mouvement, les conditions aux limites ainsi que les équations horaires.

Exercice 6Exercice 6: (travail en autonomie): (travail en autonomie)

- Phase 1 : MRUV

CI CF

t0=0s t=2s

X0=0m X=

V0=0m/s V=0,10m/s

a =

V = a.t + V0

=> 0.10 = a . 2 + 0=> a = 0,05 m/s2

v = 0,05.t m/sa = 0,05 m/s2

Équations du mouvement de la phase 1 : 0 <t < 2s

Distance parcourue phase 1 :

x =½.a.t2+v0.t+x0

=> x = ½ . 0,05 . 22

=> x = 0,10 m

0,05m/s2

x = 0,025.t2 m

0,10 m

Corrigé Exercice 6: Corrigé Exercice 6:

Phase 2 : MRU

CI CF

t0=0s t=8s

X0=0m X=

V=V0=0,10m/s

a = 0 m/s2

X = V t + X0

=> X = 0,10 . 8 + 0=> X = 0,8 m

v = 0,10 m/s

a = 0 m/s2

Équations du mouvement de la phase 2 : 0 <t < 8s

x = 0,10.t m

0,8 m

Corrigé Exercice 6:Corrigé Exercice 6:

Phase 3 : MRUV

a=(v2 – v02) / [2(x-

x0)]=> a = -0,102 / [2 . 0,125]=> a = - 0,04 m/s2

v = -0,04t+ 0,10 m/s

a = -0,04 m/s2

Équations du mouvement de la phase 3 : 0 <t < 2,5s

CI CF

t0=0s t=

X0=0m X=0,125m

V0=0,10m/s V=0m/s

a =

Durée de l’arrêt :V = a t + V0

0 = -0,04 . t + 0,10

=> t = 2,5 s- 0,04 m/s2

x = -0,02.t2 + 0,10t m

2,5 s


- Durée totale de l’opération :

t = 2 + 8 + 2,5 = 12,5 s

- Distance totale parcourue :

x = 0,10 + 0,8 + 0,125 = 1,025 m


0 2 10 12,5

0,1

0,9

1,025 x (m)

t (s)

0

0,1

V (m/s)

t (s)

0

0,05 a (m/s2)

t (s)

-0,04

2 10 12,5

2 10 12,5

Graphedes abscisses

Graphedes vitesses

Graphedes

accélérations


Un canon tire un obus verticalement.On supposera que l’obus n’est soumis qu’à

l’accélération de la pesanteur (g=9,81 m/s2).Conditions initiales du mouvement :

v0 = 400m/s, y0 = 0.

1) Quelle altitude atteint l’obus ?

2) Au bout de combien de temps touchera-t-il le sol ?

3) A quelle vitesse initiale aurait-il fallu tirer pour atteindre une altitude de 50 km ?

Exercice 7:Exercice 7: (travail en (travail en autonomie)autonomie)

1 - MRUV

CI CF

t0=0s t=

Y0=0m Y=

V0=400m/s V=0m/s

a = -9.81 m/s2

1/ calcul de l’altitude atteinte : a = (v2 – v0

2) / [2(y-y0)]-9,81 = (02 – 4002) / [2(Y – 0)] Y = -4002 / 2 . (-9,81)=> Y = 8 155 mdurée mouvement ascensionnel : V = a. t + V0

=> 0 = -9,81.t + 400=> t = 40,77 s

8 155 m

40,77 s


2 / durée jusqu’au contact avec le sol :t = 2 x 40,77 (aller retour)t = 81,54 s

3 / vitesse initiale pour atteindre 50 km :

a = (v2 – v02) / [2 . (y-y0)]

-9,81 = (02 – V02) / [2 . (50 000 -

0)] -V0

2 = -9,81 x 100 000 V0 = 990 m/s = 3564 km/h

Corrigé Exercice 7:Corrigé Exercice 7: (suite) (suite)

18 m 27 m 81 m

La position d’un solide animé d’un mouvement de translation rectiligne est définie en mètres, en fonction du temps en secondes, par la relation x = 3.t2.

A quelle position se trouvera-t-il après 3 secondes du départ ?

Exercice QCM 8:Exercice QCM 8:

uniformeuniformément accéléréuniformément décéléré

La position d’un solide est définie par la relation :

x = 20 + 2.t

Son mouvement est donc :


3 m/s2

6 m/s29 m/s2

Un véhicule roule à 20 km/h. Il accélère et après 6 secondes atteint la vitesse de 84,8 km/h.Calculer alors son accélération.


x = 72.t – 2 t2 x = 20.t – 2 t2 x = 14,4.t – 5 t2

Un véhicule roule à 72 km/h et s’arrête en 5 secondes. Quelle équation définie sa position en fonction du temps ?


20 m/s2 4 km/h 72 km/h

La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.tQuelle est la vitesse du solide au début du mouvement ?


80 s 16 s 5 s

La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.tQuel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ?


x = 20.t – 2 t2 x = – 2 t2 x = – 4 t

La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.tQuelle est l’équation définissant la position du solide ? On commence à mesurer la longueur parcourue au début du mouvement : x0 = 0 m


1 m/s2

2 m/s2

4 m/s2

On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation.Quelle est la valeur de son accélération ?

V (m/s)

t (s)

2

92 6


2 s3 s4 s

On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation.Combien de temps dure le mouvement uniforme ?

V (m/s)

t (s)

2

92 6


v = 2 – (2/3).tv = 9 + (2/3).tv = -3.t

On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation.Quelle est l’équation de la vitesse dans la 3ème phase ?

V (m/s)

t (s)

2

92 6


Quelle est la vitesse mini du véhicule afin d’éviter le contact entre la voiture et le peintre cascadeur

4,29 m

4 m1,32 m

Pour cela, écrire les équations horaires de la voiture et celles du cascadeur.

Exercice 18: Exercice 18: cascade de cascade de filmfilm

18 m 27 m 81 m

La position d’un solide animé d’un mouvement de translation rectiligne est définie en mètres, en fonction du temps en secondes, par la relation x = 3.t2.

A quelle position se trouvera-t-il après 3 secondes du départ ?

x = 3 . t2 = 3 . 32 = 27m

Corrigé Exercice QCM 8:Corrigé Exercice QCM 8:

uniformeuniformément accéléréuniformément décéléré

La position d’un solide est définie par la relation :

x = 20 + 2 . t

Corrigé Exercice QCM 9:Corrigé Exercice QCM 9:

soit x = x0 + v0.t + ½ . a . t2

donc x0 = 20m ; v0 = 2m/s ; a = 0m/s2

Son mouvement est donc :

3 m/s2

6 m/s29 m/s2

Un véhicule roule à 20 km/h. Il accélère et après 6 secondes atteint la vitesse de 84,8 km/h.Calculer alors son accélération.

Corrigé Exercice QCM Corrigé Exercice QCM 10:10:

Données : V0 = 20km/h ; V = 84,8 km/h et t = 6s.Calcul de son accélération : v = a t + v0 => a =(v – v0 ) / t => a =(64,8/3,6) / 6 = 3m/s2 CI CF

t0=0s t=6s

X0= X=

V0=5.5m/s V=23.5m/s

a = 3m/s2

x = 72.t – 2 t2 x = 20.t – 2 t2 x = 14,4.t – 5 t2

Un véhicule roule à 72 km/h et s’arrête en 5 secondes. Quelle équation définie sa position en fonction du temps ?


Données :V0 =72km/h=20m/s ;V = 0 km/h et t = 5s.Calcul de son accélération : v = a t + v0 => a =(v – v0) / t => a =(-20) / 5 = -4m/s2

Équation : x = x0 + v0.t + ½.a.t2

= 0 + 20.t + ½.(-4) .t2

CI CF

t0=0s t=5s

X0=0m X=

V0=20m/s V=0m/s

a = -4m/s2

20 m/s2 4 km/h 72 km/h

La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.tQuelle est la vitesse du solide au début du mouvement ?


CI CF

t0=0s t=

X0= X=

V0=20m/s V=

a = -4 m/s2

soit v = v0 + a.t

donc v0 = 20m/s = 72km/h ;

a = -4m/s2

80 s 16 s 5 s

La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.tQuel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ?


CI CF

t0=0s t= 5 s

X0= X=

V0=20m/s V=0m/s

a = -4 m/s2

Soit l’arrêt effectif lorsque v = 0

donc 0 = 20 – 4 t

=> t = 5s

x = 20.t – 2 t2 x = – 2 t2 x = – 4 t

La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.tQuelle est l’équation définissant la position du solide ? On commence à mesurer la longueur parcourue au début du mouvement : x0 = 0 m


CI CF

t0=0s t=

X0=0m X=

V0=20m/s V=

a = -4 m/s2

soit v = v0 + a.t

donc v0 = 20m/s ; a = -4m/s2

Équation : x = x0 + v0.t + ½.a.t2

= 0 + 20.t + ½.(-4) .t2

1 m/s2

2 m/s2

4 m/s2

On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation.Quelle est la valeur de son accélération ?

V (m/s)

t (s)

2

92 6


v = a . t + v0

a =(v – v0 ) / t = 2 / 2 = 1 m/s2

CI CF

t0=0s t=2s

X0=0m X=

V0=0m/s V=2m/s

a = 1 m/s2

2 s3 s4 s

On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation.Combien de temps dure le mouvement uniforme ?

V (m/s)

t (s)

2

92 6


CI CF

t0=0s t=4s

X0=0m X=

V0=2m/s

a = 0 m/s2

v = 2 – (2/3).tv = 9 + (2/3).tv = -3.t

On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation.Quelle est l’équation de la vitesse dans la 3ème phase ?

V (m/s)

t (s)

2

92 6


v-vv-v00= -2m/s= -2m/s

ttFF-t-tii = 3s = 3s

a =(v – v0 ) / t = -2/3 m/s2

CI CF

t0=0s t=3s

X0=0m X=

V0=2m/s V=0m/s

a = -2/3 m/s2

Équations horaires du peintre :MRUV

Corrigé Exercice 18: Corrigé Exercice 18: cascade de cascade de filmfilm

CI CF

t0=0s t=

Y0=0m Y=2,68m

V0=0m/s V=

a = 9,81 m/s2

4,29 m

4 m

1,32 m

Calcul du temps pour chuter de 2,68m y = 4,905.t2 => 2,68=4,905.t2

=> t = 0,74s

0,74sy = ½. a.t2+v0.t+y0 => y = 4,905.t2

v = a.t+v0 => v = 9,81.t

a = constante => a = 9,81 m/s2

Équations horaires de la voiture : MRU

Corrigé Exercice 18: Corrigé Exercice 18: cascade de cascade de filmfilm

CI CF

t0=0s t=

x0=0m x=4,29m

V0 =V = a = 0 m/s2

4,29 m

4 m

1,32 m

Calcul de la vitesse nécessaire pour passerde 4,29m en 0,74s :

0,74sx = ½. a.t2+v0.t+x0 => x = v.t

v = constante => v = ?

a = 0 => a = 0 m/s2

x = v.t => 4,29 = v.0,74

=> v = 5,8m/s = 20,87km/h

TD d’approfondissementTD d’approfondissement

Exercice n°1 :On donne le graphe des vitesses suivant.

V

t (s)

20

15

5

Déterminer les équations horaires pour chaque phase

(m/s)

02 5

cinematique du point objectifs : -décrire les principales grandeurs cinématiques...

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