C4 : PERFORMANCES CINÉMATIQUES C4-1 Introduction à la modélisation des systèmes mécaniques

LYCÉE LA MARTINIÈRE MONPLAISIR LYON

SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR

CLASSE PRÉPARATOIRE M.P.S.I.

ANNÉE 2018 - 2019

C4 : MODÉLISATION CINÉMATIQUES DES SYSTÈMES COMPOSÉS DE CHAINES DE SOLIDES

TD 8 - Introduction à la modélisation des systèmesmécaniques(C4-1)

27 Novembre 2018

Compétences

• Analyser : Apprécier la pertinence et la validité des résultats :◦ unités du système international ;◦ homogénéité des grandeurs.

• Modéliser : Proposer un modèle de connaissance et de comportement :◦ Solide indéformable ;◦ référentiel, repère◦ équivalence solide/référentiel

1 Bras articulé du robot Spirit

a) Présentation

La mission Mars Exploration Rover (MER) est une missionspatiale confiée à la NASA. Elle a pour but d’explorer lessols de la planète Mars pour y rechercher la présence an-cienne et prolongée d’eau. Cette exploration a été possiblenotamment grâce au robot Spirit.

2 Modélisation cinématique et paramétrage du bras articulé

Le robot Spirit comporte un bras articulé, dont la fonction est d’amener quatre outils (une foreuse, un microscopeet deux spectromètres) à proximité d’une roche à étudier.

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OO!

1O

1

2

3O

4O

4

0 1

2

3

4

3

5

O2

a) Paramétrage

• Le corps du robot est repéré 0. On lui attache un repère R0(O0,−→x 0,−→y 0,−→z 0

)et le point O0 est à la hauteur h0 du

sol, supposé constante.• La liaison entre le solide 1 et le corps du robot 0 est modélisée par une liaison pivot parfaite d’axe

(O0,−→z 0

). On

attache au solide 1 le repère R1(O0,−→x 1,−→y 1,−→z 1

), on pose

−−−→O0O1 = a ·−→x 1+c ·−→z 1 et θ1 =

(−→x 0,−→x 1)

avec −π2 ≤ θ1 ≤

π2 .

• La liaison entre le bras 2 et le solide 1 est modélisée par une liaison pivot parfaite d’axe(O1,−→y 1

). On attache au

solide 2 le repère R2(O1,−→x 2,−→y 2,−→z 2

), on pose

−−−→O1O2 = a2 ·−→x 2 et θ2 =

(−→x 1,−→x 2)

avec −π4 ≤ θ2 ≤ π

4 .• La liaison entre l’avant bras 3 et le bras 2 est modélisée par une liaison pivot parfaite d’axe

(O2,−→y 2

). On attache

au solide 3 le repère R3(O2,−→x 3,−→y 3,−→z 3

), on pose

−−−→O2O3 = a3 ·−→x 3 et θ3 =

(−→x 2,−→x 3)

avec 0 ≤ θ3 ≤π.• La liaison entre le solide 4 et l’avant bras 3 est modélisée par une liaison pivot parfaite d’axe

(O3,−→y 3

). On

attache au solide 4 le repère R4(O3,−→x 4,−→y 4,−→z 4

), on pose

−−−→O3O4 =−b4 ·−→y 4 − c4 ·−→z 4 et θ4 =

(−→x 3,−→x 4)

avec −π≤θ4 ≤π.

• La liaison entre le solide 5 (sur lequel se trouvent les quatre outils d’étude de la roche) et le solide 4 est modéli-sée par une liaison pivot parfaite d’axe

(O4,−→z 4

).

Données : h0 = 0,5m ; a1 = 0,1m ; c = 0,1m ; a2 = 0,5m ; a3 = 0,8m ; b4 = 0,1m et c4 = 0,15m

b) Modélisation

Q 1 : Représenter les figures planes de changement de repère R0-R1, R1-R2, R2-R3 et R3-R4.On définit les positions particulières du bras articulé suivantes :

• La position de repos, notée Pr(θ1 =−π

2 ,θ2 = 0,θ3 =π), est la position du bras articulé lorsqu’il n’est pas en

fonctionnement.• La position initiale de déploiement, notée Pi

(θ1 = 0,θ2 =−π

4 ,θ3 = π2

), est la position adoptée par le bras avant

de se déployer complètement vers la roche.

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• La position horizontale, notée Ph (θ1 = 0,θ2 = 0,θ3 = 0).• La position verticale, notée Pv

(θ1 = 0,θ2 =−π

4 ,θ3 = 0)

On considère par la suite que 4 et 5 restent toujours immobiles l’un par rapport à l’autre et que l’ensemble (4+5)reste toujours horizontal par rapport au sol (−→z 0 =−→z 4)

Q 2 : Compléter les deux schémas cinématiques permettant de visualiser dans le plan(O0,−→x 0,−→y 0

)les solides 2,

3 et 45 dans les positions particulières Ph et Pv .Remarque : On fera attention au sens positif des angles dans le plan proposé, par exemple θ2 − π

4 correspond à uneorientation du bras vers le haut.

0x!"

0z!"

0O

1O

1

Position Ph (θ1 = 0,θ2 = 0,θ3 = 0)

0x!"

0z!"

0y!"

0O

1O

Position Pv(θ1 = 0,θ2 =−π

4 ,θ3 = 0)

Q 3 : Déterminer−−−→O0O3.

Q 4 : Exprimer−−−→O0O3 dans R0.

Q 5 : Calculer la hauteur maximale d’étude de la roche par rapport au sol dans la position Pv(θ1 = 0,θ2 =−π

4 ,θ3 = 0).

Q 6 : Le cahier des charges demande une hauteur maximale d’étude de la roche par rapport au sol de 1,35±0,05m, conclure quand aux performances obtenues.

3 Calculs vectoriels

Soient R1 = (O1,−→i1 ,

−→j1 ,

−→k1), R2 = (O2,

−→i2 ,

−→j2 ,

−→k2) et R3 = (03,

−→i3 ,

−→j3 ,

−→k3) avec

−→im ,

−→jm ,

−→km des vecteurs unitaire formant

les bases orthonormées Rm .On passe de R1 à R2 par un rotation α autour de

−→i1 .

On passe de R2 à R3 par un rotation θ autour de−→j2 .

Q 7 : Faire les figures de changement de base.

Q 8 : Donner les composantes des vecteurs−→i3 et

−→j3 dans R1 .

Q 9 : Donner le résultat des opérations suivantes :−→k1 ·−→i2 ,

−→j3 ·

−→k1,

−→i1 ·−→i3 ,

−→k1 ∧−→

i2 ,−→j3 ∧

−→k1,

−→i1 ∧−→

i3 .On définit les vecteurs : −→

V 1 = a−→i1 +b

−→k1

−→V 2 = c

−→i3

−→V 3 = d

−→i3 +e

−→j3 .

Q 10 : Donner l’expression de la projection du vecteur−→W =−→

V 1 ∧−→V 2 sur

−→i1 .

Q 11 : Calculer le produit mixte(−→

V 1 ∧−→V 2

)·−→V 3

.

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