2.1

Chapitre 2.

Rponse lastique des structures aux sismes.

La rponse dune structure soumise aux mouvements du sol appliqus sa base est un problme de

dynamique. On en rappelle ci-aprs quelques lments.

2.1 Avertissement. Pour obtenir des rsultats corrects dans les problmes de dynamique, il est ncessaire de caractriser

chaque grandeur physique dans son unit significative : ainsi, un plancher ou sa charge sont des

masses et lunit de masse est le kg (pas le kN !).

Il est aussi ncessaire dutiliser un systme dunits cohrent, SI (Systme International) par exemple.

Les units du systme SI utilises en dynamique sont :

masse m kg

acclration a m/s2

force F N (souvenir : F = m a )

longueur m

temps s

Si on omet ces rgles, on sexpose des erreurs quantitatives graves : ainsi, si on exprime les masses

en kN et quon applique F = m a , la force trouve est 10 fois trop grande, soit une erreur de 1000 % ,

erreur classique de dbutant...

2.2 Dynamique de loscillateur simple. Un oscillateur simple est constitu d'une masse m concentre relie un point fixe par un ressort.

Figure 2.1.

Force de rappel du ressort : Fl = - k u Force de rappel de la poutre encastre : Fl = -3 EI u / h3

(Ex : suspension de voiture) (Ex : chteau deau, si leau est gele)

Figure 2.1. Exemple doscillateurs simples et relation entre la force de rappel F1 et un dplacement

u impos la masse m.

2.2

On considre qu'il ne peut se dplacer que dans une seule direction et le mouvement est, dans le cas

gnral, amorti. On peut crire lquation de mouvement de cet oscillateur simple soumis une force

variable p(t).

Soit u (t) le dplacement de la masse m par rapport la position d'quilibre, u(t) sa vitesse, u( (t) son

acclration. Lors du mouvement, m est soumise : F1(t) = - ku(t) force de rappel du ressort

F2(t) = - c u(t) rsistance de l'amortisseur

p(t) force extrieure impose.

La loi fondamentale de la dynamique s'crit : F1(t) + F2(t) + p(t) = m u(t)

ou u(t) + cu(t) / m + ku(t) / m = p(t) / m (2.1)

Oscillations libres, amortissement nul.

Oscillation libre p(t) = 0 Amortissement nul c = 0 => u (t) = A sin ( t +) Le mouvement est sinusodal de priode T = 2 (m / k)1/2 = 2 / ( en s ) La frquence f du mouvement vaut : f = 1/T ( en Hertz = s-1 )

On appelle = ( k / m)1/2 = 2 / T la pulsation du mouvement ( en rad/sec)

A fixe l'amplitude du mouvement et son dphasage. Ces deux paramtres dpendent des conditions initiales du problme (importance du dplacement impos, dcalage par rapport l'origine du temps).

Le mouvement oscillant a lieu sans fin. Figure 2.2 haut.

Oscillations libres avec amortissement non nul.

Oscillations libre p(t) =0 Amortissement c 0 => u (t) + c u(t) / m + ku(t) / m = 0 La solution dpend de la valeur de c. Si c >2 m, le mouvement ne comporte pas doscillation et s'arrte sans repasser au-del de la position d'quilibre statique. Si c < 2 m, le mouvement est

pseudo-priodique, avec des extrma dcroissants avec le temps. Figure 2.2.

On caractrise le degr d'efficacit c de l'amortisseur par le paramtre = c / 2m

Lorsque = 1, on dit que l'amortissement est critique. Dans ce cas la structure, carte de sa position

dquilibre, revient celle-ci sans aucune oscillation. Figure 2.2 milieu.

Pour les structures travaillant dans le domaine lastique, l'ordre de grandeur de est de 1% pour les

constructions en acier et 2% pour les constructions en bton.

Toutefois, dans le contexte sismique, il existe des facteurs additionnels damortissement, tels que des

fissurations, des dplacements avec frottement dans les assemblages, des frottements entre cloisons et

structures. Pour cette raison, on admet une valeur unique de gale 0,05, soit 5 % de l'amortissement

critique. Pour cette valeur de , la pseudo priode T de l'oscillateur amorti vaut :

T = 2 ( 1 2 ) / = 1.00 125 x 2 / 2 /

Elle peut donc en pratique tre confondue avec la priode de l'oscillateur libre.

2.3

u (t) u0

Vibrations non amorties c = 0 t

T = 2 / T = 2 / u(t)

Figure 2.2. Types de vibrations libres (p(t))=0) ralises par cartement u0 de la position dquilibre.

Oscillations forces harmoniques.

Soit p(t) = p0 sin t. La rsolution de l'quation du mouvement montre que le dplacement u

comporte :

- un terme transitoire de priode 2 / rsultant du dplacement impos initial u0 ; ce mouvement est

amorti rapidement

- un terme de mouvement permanent : u = (p0 / k ) x sin (t ) . Figure 2.3.

On note que:

- la priode du mouvement permanent est celle de la force d'excitation Texcit = 2 / et non la priode

Toscil = 2 / de l'oscillateur

Vibrations amorties c 0 0

Amortissement critique = 1

u(t)

2.4

- p0 /k est le dplacement statique du ressort sous la force p0

- est un coefficient d'amplification dynamique dpendant de l'amortissement et du rapport

= Toscil / Texcit = / = [ 1- 2)2 + (2 )2]-1/2

Figure 2.3. Oscillations forces harmoniques et coefficient damplification du dplacement.

On constate que :

- pour un oscillateur infiniment raide (T 0, , = 0) le mouvement est sinusodal

d'amplitude p0 /k

- pour un oscillateur trs souple (T , 0, grand) le coefficient d'amplification du

dplacement est trs faible et le mouvement est sinusodal d'amplitude p0/m2

- lorsque la priode propre de l'oscillateur est gale la priode de la force d'excitation,

l'oscillateur entre en rsonnance et l'amplitude du mouvement vaut : = 1/2 .

Ainsi, pour = 0,05 , = 10

- pour viter des problmes de rsonance, il faut que la priode propre de l'oscillateur s'carte au

minimum d'environ 20 % de la priode de la force d'excitation.

= excitateurT

roscillateuT

2.5

Oscillations forces quelconques.

Pour p (t) quelconque, la solution de l'quation du mouvement est fournie par l'intgrale de Duhamel.

Aucune remarque gnrale ne peut tre faite.

2.3 Excitation par dplacement dappui dun oscillateur simple de type console

encastre.

Figure 2.4. Excitation dune structure par dplacement horizontal de son appui.

Un tremblement de terre impose au point A d'encastrement de la console verticale un dplacement

dg(t) (indice g pour ground , sol en anglais) Figure 2.4. Les dplacements dg(t) sont considrs

dans un repre absolu. Pour connatre les effets du sisme dans la structure de loscillateur, on

considre les dplacements relatifs u(t ) par rapport au point A, car ils permettent le calcul des

grandeurs lies la dformation du solide "oscillateur" :

- la force de rappel Fl = - k u(t)

- la force d'amortissement F2 = - c u(t).

L'quation fondamentale de la dynamique s'crit ici :

Fl + F2 = m d(t) d'o m d(t)+ c u(t) + k u(t) = 0

Or : d(t) = u(t) + dg(t) et d(t) = u(t) + dg(t)

d'o m u(t) + c u(t) + ku(t) = - m dg(t) (2.2)

Cette quation est similaire (2.1), si on note p(t) = - m dg(t)

L'tude de l'oscillateur simple soumis un dplacement impos du monde extrieur auquel il est fix

est un problme mathmatique identique celui de l'oscillateur simple considr dans le repre relatif

mobile fix sa liaison au monde extrieur et soumis une force fictive p(t) = - m dg(t)

proportionnelle l'acclration absolue dg(t) de sa liaison au sol.

Lorsque u(t) est calcul, on trouve Fl(t) = - ku(t) = - EI u(t) / h3

2.6

Les efforts internes dans la console se dduisent de Fl(t).

On dispose ainsi d'une mthode d'tude de toute l'histoire des efforts internes en fonction du temps

dans l'oscillateur simple dont le dplacement d'appui suit une loi d'acclration a(t) = dg(t) . Une

telle tude est dite "time-history" ou analyse chronologique (linaire ici). Compte tenu de la dfinition

de la pulsation = (k / m)1/2, on peut crire la relation prcdente sous la forme

Fl(t) = - ku(t) = - m 2 u(t) = - m (t)

et dire que le rsultat est similaire celui obtenu lorsque la masse m est soumise une "pseudo

acclration" (t) = 2 u(t) = 4 2 u(t)/T2

On voit au paragraphe suivant que cette formulation permet une prsentation simple du calcul de

l'oscillateur soumis un tremblement de terre.

2.4 Spectre de rponse lastique en acclration. Principe dtablissement.

Dans une zone gographique donne o un acclrogramme dg(t) reprsentatif des mouvements

sismiques en base de la fondation de la structure tudie est connu, on peut penser simplifier la vie

des ingnieurs auteurs de projet (spcialiss ce stade en oscillateurs simples amortis) en rsolvant

une fois pour toutes lensemble des cas des divers oscillateurs simples possibles. A cette fin, on

effectue n fois l'opration suivante.

On considre un oscillateur compos d'une masse M, situe une hauteur H d'une poutre console

d'inertie I et de module d'lasticit E.

La constante de rappel k de la console ressort est gale : k = 3 EI / H3

La priode propre T1 de loscillateur ainsi constitu vaut:

T1 =2 /= 2 ( M / k)1/2 => EI

MHT3

23

1 = En rsolvant lquation (2.2), on tablit la valeur du dplacement relatif d =u(t) de la masse M par

rapport l'encastrement A de sa console support et de la pseudo acclration (t) = 2 u(t) chaque

instant. L'amplitude du dplacement d de la masse par rapport la base est influence par l'amortissement du systme ; on attribue ce dernier pour la plupart des applications une valeur

standard gale 5 % de l'amortissement critique.

On retient la valeur maximale de (t) sur la dure du tremblement de terre, et on lon associe la

priode T1 , soit (T1) = max (t) . On reporte (T1) dans un diagramme ((T1) , T). Figure 2.5.

En faisant varier les paramtres qui dfinissent la console de rfrence (autres masses M, autres

raideurs k, qui correspondent d'autres priodes fondamentales T= T1 , T2 , ), on tablit un ensemble

de paires de valeurs [Ti , (Ti)].

L'ensemble des points [Ti , (Ti)] constitue ce quon appelle le spectre de rponse lastique (T) en

acclration (en fait en pseudo acclration) correspondant un acclrogramme de la zone tudie.

2.7

L' auteur de projet qui dispose de ce spectre peut obtenir directement, pour un oscillateur simple donn

dont il value la priode propre T, la force maximale Fmax quivalente au tremblement de terre :

Fmax = M (T1)

Lquivalence mentionne correspond au fait que le dplacement calcul sous lapplication de ce F est

gal au dplacement relatif maximum d = umax entre la masse M et la base de la console.

(T 1)

T 1(s)T 1i

ag i

0

Figure 2.5. Construction dun spectre de rponse lastique en acclration correspondant un

acclrogramme donn etdfinition dune Force statique Fmax quivalente au sisme.

Spectre de rponse du code parasismique.

Des incertitudes affectent la connaissance de l'acclrogramme qui sera mesur un endroit donn lors

du prochain tremblement de terre . Le "spectre de rponse en acclration " tabli comme indiqu ci-

dessus correspond un seul acclrogramme et ne peut pas bien reprsenter la sismicit du site.

On rencontre les incertitudes quant aux prochains sismes en tablissant plusieurs spectres de rponse

(T1) qui correspondent plusieurs acclrogrammes et en retenant comme spectre pour le code

parasismique une "moyenne" de tous ces spectres Figure 2.6.

E, I,

2.8

S e ( T )

T (s)T B 0

T C

Spectre calcul 2

Spectre calcul 1Spectre moyen

Figure 2.6. Dfinition dun spectre moyen Se (T) de code parasismique. Le spectre "moyen" rsulte d'une approche statistique, associe un "jugement d'ingnieur" et au souci

d'un confort d'utilisation du spectre normatif, de sorte que la forme du spectre de rponse de projet

Se(T) est plus schmatique que celle de chaque spectre de rponse (T1).

On prsente la Figure 2.7 le spectre de rponse lastique Se(T) de l'Eurocode 8, o on distingue des

priodes "de coin" TB , TC et TD. Les codes parasismiques dfinissent gnralement une seule

schmatisation de base pour le spectre de rponse lastique en acclration de rfrence.

L'valuation de la dforme et des sollicitations d'une console de masse M et de raideur EI/H est

effectue comme expliqu prcdemment et la force horizontale F maximale vaut: Fmax = M Se(T)

Ne pas oublier de considrer le spectre en unit dacclration (m/s2) pour des calculs pratiques

Si on peut tablir que l'amortissement est diffrent de la valeur standard de 5 %, le spectre de rponse

lastique peut tre corrig par un coefficient .

Le spectre est fonction du sol par le paramtre S, comme on lon explique en 2.5. Le spectre des codes

parasismiques est gnralement tabli pour une valeur standard damortissement gale 5% de

lamortissement critique. Si on peut dmontrer quune structure tudie est caractrise par une autre

valeur damortissement, on modifie le spectre de base par un paramtre .

Lexamen dun spectre de rponse lastique en acclration -Figure 2.7- met en vidence plusieurs

faits :

- pour une structure trs raide (T 0 s), la pseudo acclration Se(T) est gale lacclration

maximale Sag = Sdg(t) du sol (si on construit sur le bedrock, S=1); cest logique, car une

structure infiniment raide suit exactement les mouvement du sol, sans avoir de dforme

propre

- la rponse dynamique des structures modrment flexibles (T compris entre TB et TC , ordre de

grandeur 0,25s et 0,8s, voir Tableau 2.3 ) entrane une amplification des acclrations par

rapport lacclration du sol; la pseudo acclration Se(T) est de lordre de 2,5 fois

lacclration maximale Sag = Sdg(t) du sol ; le contenu frquentiel des acclrogrammes, qui

est plus important dans cette gamme de priodes, favorise un aspect rsonance dans la

rponse de la structure.

2.9

- les structures trs flexibles sont les moins sollicites en terme de force, car elles flchissent de

telle sorte que u(t) dg(t) et ne voient pas passer le sisme ; cette grande flexibilit est

toutefois synonyme dun effet P- important.

On conclut que les effets d'un tremblement de terre sur une structure dpendent de sa rigidit : une

structure plus rigide (priode propre T faible) subit des forces plus leves quune structure flexible.

Figure 2.7. Spectre de rponse lastique en acclration Se(T) de lEurocode 8.

2.5 Spectre de calcul pour l'analyse lastique.

Du spectre de rponse lastique au spectre de calcul.

D'autres facteurs que ceux considrs dans l'tablissement du spectre de rponse lastique Se(T)

interviennent dans la rponse des structures aux tremblements de terre.

Les spectres de calcul pour l'analyse lastique Sd(T) prennent en compte ces facteurs additionnels,

qu'on dfinit aux paragraphes suivants.

Importance de la construction.

La dfinition de l'acclration maximale "de calcul" ag rsulte d'un processus statistique et correspond

l'acceptation d'un certain niveau de risque. Il en dcoule que l'acclration maximale de calcul ag

devrait tre plus grande pour les structures considres comme plus prcieuses ou plus importantes

divers points de vue. Dans l'Eurocode 8, on dfinit une acclration de rfrence agR correspondant

un niveau standard de risque accept ; agR est compris entre 0,05 g (0,5 m/s) dans les zones trs

2.10

faiblement sismiques et 0,4 g (4 m/s) dans les zones trs sismiques. L'acclration maximale de

calcul ag est trouve en multipliant agR par I, "coefficient d'importance" de la structure considre :

ag= I agR .

I est gal 1 pour les btiments courant et vaut jusqu' 1,4 pour les structures dont l'intgrit est vitale

en cas de sisme. On donne au Tableau 2.1 les valeurs de I recommandes dans l'Eurocode 8 pour

diffrentes catgories d'importance de btiments.

Tableau 2.1. Catgories d'importance de btiments et valeurs recommandes de I.

(EN1998-1:2004).

Catgorie

dimportance

Btiments I

I Btiments dimportance mineure pour la scurit des personnes, par

exemple, btiments agricoles, etc.

0,8

II Btiments courants nappartenant pas aux autres catgories 1,0

III

Btiments dont la rsistance aux sismes est importante compte tenu

des consquences dun effondrement, par exemple : coles, salles de

runion, institutions culturelles, etc.

1,2

IV

Btiments dont lintgrit en cas de sisme est dimportance vitale

pour la protection civile, par exemple : hpitaux, casernes de

pompiers, centrales lectriques, etc.

1,4

Sisme proche, sisme lointain.

Une acclration de pointe agR donne un endroit donn peut tre engendre par diffrents types de

sisme : un fort sisme dont l'picentre est loign ou un sisme plus faible dont l'picentre est proche.

Le sisme rel affectant une zone est fonction de la gologie, proche et lointaine. Mais les spectres de

rponse correspondant aux deux types de sisme mentionns sont diffrents, parce que des ondes

propages de loin ou de prs produisent des effets diffrents. Dans l'Eurocode 8, cette possibilit est

considre et des formes de spectres de types l et 2 sont dfinies.

Le type 1 correspond des sismes lointains de magnitude suffisante (MS 5,5) pour engendrer au site

de construction des acclrations significatives dont la contribution est prpondrante dans le risque

sismique.

Le type 2 est considrer si des tremblements de terre de magnitude MS < 5,5 constituent le facteur

prpondrant de risque.

Dans certaines rgions, le spectre de calcul rsulte d'une combinaison des spectres des types 1 et 2.

Sols et sites.

Les couches de sol prsentes entre le rocher sous-jacent et la fondation d'un btiment modifient la

forme et les amplitudes du spectre de rponse lastique ou "alea", tablies au niveau du rocher. Un

2.11

paramtre de sol S prend en compte cette influence, de sorte que l'acclration maximale la fondation

est gale Sag .

Les sites sont classifis en types A, B, C, D et E selon des profils stratigraphiques et des valeurs de

paramtres caractrisant les sols. Le tableau 2.2 dfinit les valeurs de S associes ces types de sols et

sites. On voit que l'influence sur le mouvement en base de la structure est significatif, puisque S est

compris entre 1 (sur le rocher) et 1,8 (sol trs meuble). De plus, les valeurs des priodes "de coin" TB

et TC , assez diffrentes selon les sites et sols et visibles la Figure 2.8, influencent significativement

le spectre.

En examinant la Figure 2.8, on constate que:

- plus les couches sont meubles (origine du mot meuble : mobile), plus lamplification est

leve priode gale (penser au mouvement de leau dans un bassin agit, par comparaison

au mouvement de la mme eau, mais gele, dans le mme bassin).

- lamplification relative du site D par rapport au site A atteint pratiquement 3 pour des

oscillateurs (btiments, chteau deau,etc) de priode gale 1 s

- la priode TC de coin du spectre se dplace vers la droite quand on passe de sol rocheux

sol meuble

Il apparat clairement qu'ignorer les conditions de sol et site peut conduire de grandes sous-

estimations de l'action sismique.

Spectre de Type 1. Spectre de Type 2.

Sisme lointain de magnitude MS 5,5 Sisme de magnitude MS < 5,5

Figure 2.8. Spectres de calcul Se(T) de l'Eurocode 8 pour les tremblements de terre des types 1 et 2 et

pour diffrentes conditions des sols et site

2.12

Tableau 2.2. Paramtres de l'Eurocode 8 tenant compte des conditions de sol et site.

Sisme de Type 1 Sisme de Type 2

Sol et site S TB(s) TC(s) TD(s) S TB(s) TC(s) TD(s)A: Rocher ou autre formation gologique de ce type comportant une couche superficielle dau plus 5 m de matriau moins rsistant

1,0 0,15 0,4 2,0 1,0 0,05 0,25 1,2

B Dpts raides de sable, de gravier ou dargile sur-consolide, dau moins plusieurs dizaines de mtres dpaisseur, caractriss par une augmentation progressive des proprits mcaniques avec la profondeur

1,2 0,15 0,5 2,0 1,35 0,05 0,25 1,2

C Dpts profonds de sable de densit moyenne, de gravier ou dargile moyennement raide, ayant des paisseurs de quelques dizaines plusieurs centaines de mtres

1,15 0,20 0,6 2,0 1,5 0,10 0,25 1,2

D Dpts de sol sans cohsion de densit faible moyenne (avec ou sans couches cohrentes molles) ou comprenant une majorit de sols cohrents mous fermes

1,35 0,20 0,8 2,0 1,8 0,10 0,30 1,2

S1 Dpts composs, ou contenant, une couche dau moins 10 m dpaisseur dargiles molles/vases avec un indice de plasticit lev (PI > 40) et une teneur en eau importante.

Etudes particulires

S2 Dpts de sols liqufiables dargiles sensibles ou tout autre profil de sol non compris dans les classes A E ou S1

Etudes particulires

Ductilit de la structure.

On dit "ductile" une structure qui peut subir sans perte de rsistance des dformations plastiques

alternes. Comme expliqu plus en dtail au Chapitre 3, la ductilit peut avoir une influence positive

sur l'conomie d'un projet, car :

- la structure ductile est capable de subir avec succs le mme dplacement qu'une structure qui

rpondrait de faon purement lastique, mais elle atteint ce rsultat avec des lments structuraux de

section moindre ;

- les sollicitations la fondation sont rduites.

Cette capacit se dformer plastiquement sans perte de rsistance est traduite par l'attribution d'un

"coefficient de comportement", q dans l'Eurocode 8, dont la valeur dpend du type de structure

rsistante. Le coefficient q intervient comme rducteur du spectre lastique Se(T) lors de la dfinition

du spectre de calcul Sd(T). La rduction est comprise entre 1,5 pour les structures peu dissipatives et 6

pour les structures trs dissipatives. Le facteur q permet de tenir compte de la capacit de dformation

plastique d'une structure tout en effectuant une analyse purement lastique sous un spectre Sd(T).

2.13

Exemples de spectres de calcul.

Lorsqu'on tient compte de tous les facteurs dfinis aux paragraphes prcdents, c'est toute une famille

de spectres de calcul Sd(T) qui apparat au dpart d'un spectre de rponse lastique Se(T).

Se(T) est fonction de agR , I et T.

Sd(T) est fonction de Se(T), q et des conditions de sol et site.

Les expressions dfinissant les diffrentes branches du spectre Sd(T) de l'Eurocode 8 sont donnes en

Annexe. On prsente la Figure 2.9 quelques exemples de spectres de calcul correspondant une

zone sismique o ag = 2m/s, o le risque sismique correspond un tremblement de terre de type 1,

pour des structures caractrises par q = 1,5 construites sur des sols de type A et C et pour des

structures caractrises par q = 4 construites sur un sol de type C.

T 1=0,0 sH=5 m

Massif en bton

T 1=0,7 sH=17 m

T1=1,5 sH=5 m

T 1=2,7 sH=100 m

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

T (s)

Sol A - q = 1,5

Sol C - q = 1,5

Sol C - q = 4

Sd(T) (m/s)

Figure 2.9. Exemples de spectre de calcul pour divers sites et coefficient de comportement, en regard

de quelques structures caractrises par leurs priodes T1 (estime par la relation T1=Ct H3/4 du

Tableau 2.3).

2.14

2.6 Spectre de rponse en dplacement. Le processus dtablissement du spectre de rponse en acclration dcrit en 2.3 fournit aussi les

dplacements u(t), car les acclrations, les dplacements (et les vitesses u) sont mathmatiquement

lis entre eux. On a vu que la "pseudo acclration" (t) = 2 u(t) = 4 2 u(t)/T2 do

u(t) = (t) x (T/ 2 )2

Cette relation applique aux spectres donne, en notations Eurocode 8, le spectre de rponse lastique

en dplacement SDe(T): SDe(T) = Se(T) ( T/2)2

LEurocode 8 propose un spectre de ce type Figure 2.10 dont la forme est influence par des

considrations de scurit.

Figure 2.10. Spectre de rponse en dplacement de lEurocode 8.

On constate, lexamen de ce spectre de dplacement, que :

- le dplacement relatif SDe(T) dune structure par rapport sa base est nul pour les structures

trs raides (T 0 s) ; cest logique, car une telle structure suit exactement les mouvement du

sol, sans connatre de dforme propre

- la rponse dynamique des structures modrment flexibles (T compris entre 0,25s et 0,8 s)

entrane une amplification ; le dplacement SDe(T) est de lordre de 2,5 fois le dplacement

maximum dg du sol ; le contenu frquentiel des acclrogrammes, qui est plus important dans

cette gamme de priodes, favorise un aspect rsonnance dans la rponse de la structure et

explique cette remarque.

- dans les structures trs flexibles, le dplacement relatif de la masse par rapport sa base est

gal au dplacement dg du sol

2.15

2.7 Dynamique des oscillateurs multiples. Un oscillateur multiple est une structure comportant plusieurs masses relies entre elles par des

lments structuraux (barres, poutres, plaques,... ). Il sy dveloppe plusieurs modes de vibration.

Figure 2.11. Exemples d'oscillateurs multiples.

La rsolution du problme de la rponse dynamique dun oscillateur multiple est une

gnralisation du cas de l'oscillateur simple. Les diffrents coefficients associs la masse unique m et

son dplacement u(t) deviennent des vecteurs ou des matrices.

u U vecteur dplacement u U vecteur vitesse

u U vecteur acclration p P vecteur forces extrieures aux nuds

m M matrice des masses (diagonale) c C matrice des amortissements

k K matrice de rigidit

[tous les vecteurs sont des fonctions du temps U = U (t),etc...]

quation du mouvement.

Pour une dformation relative U donne, les masses M sont soumises

Fl(t) = - K.U(t) forces de rappel lastique

F2(t) = - c.U(t), forces gnres par les amortissements

P(t) forces extrieures

L'quation du mouvement s'crit : Fl(t) + F2(t) + P(t) = M.U(t)

MU (t) + CU(t) + KU(t) = P(t)

Oscillations libres.

P(t)= 0 C = O et on trouve : U(t) = ajdj sin (jt + j) pour J = 1,n si n est le nombre de modes de

vibration. Le mouvement global est la somme de n mouvements sinusodaux appels "modes de

vibrations" et dont chacun est caractris par les paramtres suivants :

- une pulsation j et donc une priode propre Tj = 2 / j

- un vecteur dformation Dj appel "dforme modale"

- un coefficient bj, qui fixe l'amplitude des dplacements

- un dphasage j

2.16

aj et j dpendent des conditions initiales du problme, par exemple le vecteur dplacement Uo initial

impos l'oscillateur l'instant t = o.

Uk = bl dkl sin (1 t + 1), ) + b2 dk2 sin (2 t + 2) + - - -

Figure 2.12. Modes de vibration et dplacement global Uk de la masse k.

Modes : flexion globale cisaillement entre tages vibration verticales d'un plancher

Figure 2.13. Exemple de modes de vibration dans une ossature en portique.

Oscillations forces.

Lorsque l'oscillateur multiple est soumis un vecteur de forces extrieures variables P(t), le vecteur

dplacement U(T) peut tre mis sous la forme : U(t) = yj(t).Dj

Les yj(t), qui fixent les amplitudes des diverses dformes modales Dj intervenant dans la dforme

globale sont des intgrales de Duhamel.

2.8 Excitation dun oscillateur multiple par un mouvements des appuis. On effectue des dveloppements similaires ceux rsums en 2.3. La translation d'ensemble de la base

est unique et le repre relatif li cette base galement, dans la mesure o on ne considre pas de

dformabilit de la base dans la direction parallle au mouvement.

On note que cette hypothse est raliste pour des btiments, au prix de quelques prcautions relatives

la continuit des fondations, mais qu'elle ne correspond pas au cas des structures appuis spars

comme les ponts. La formulation matricielle du problme s'exprime par une quation similaire (2.1) :

MU(t) + CU(t) + K U (t) = M.dg(t).

2.17

est un vecteur compos de o et de 1. Les o correspondent aux lignes o le dplacement

uk(t) n'est pas une translation parallle la base.

Figure 2.14. Excitation par dplacement d'appui.

La solution de cette quation peut tre mise sous la forme d'une somme de rponses selon les divers

modes j: U(t) = uj(t) aj Dj

Cette formulation permet d'effectuer une tude complte de type "time-history" de la rponse de

l'oscillateur multiple un mouvement a(t) = dg(t) du sol. Dans cette formulation :

- Dj est le vecteur dforme modale du mode J

- uj(t) est une intgrale de DUHAMEL ; elle fixe l'importance de la participation de la dforme Di en

fonction de la loi de dplacement dg(t) impose en base

- aj est appel facteur de participation modale du mode j ; il fixe l'importance de la participation de

la dforme modale Dj en fonction de la distribution des masses dans la structure ; ce coefficient peut

tre positif ou ngatif ; sa valeur en module, compare aux aj des autres modes donne une ide de

limportance relative de la contribution des diffrents modes la configuration dforme de la

structure.

2.9 Utilisation des spectres de rponse pour les oscillateurs multiples. Si au lieu de l'acclrogramme dg(t) mentionn en 2.7, on utilise un spectre de pseudo-acclration

SDe(T), le vecteur des pseudo acclrations appliquer aux masses mk est donn pour chaque mode j de

priode Tj par : J = SDe(Tj ) aj Dj

On en dduit pour chaque masse mk la force statique quivalente Fk correspondant au mode J :

Fkj = mk kj o kj = SDe(Tj ) aj dkj

On calcule alors la dforme de la structure correspondant chaque mode et on en dduit les

sollicitations ( M, N, V, etc) correspondantes, puis on cumule les contributions des divers modes

ces sollicitations de la structure, suivant lun des processus de cumulation dfinis en 2.10.

2.18

La Figure 2.14 reprend la synthse de l'approche effectue lors de l'utilisation d'un spectre de rponse

par le calcul d'un oscillateur multiple sous action sismique.

2.10 Cumulation des sollicitations des divers modes.

Le problme.

Les valeurs des pseudo acclrations SDe(Tj ) donnes par le spectre de rponse sont des maxima dans

chaque mode et il est peu probable que ces maxima surviennent au mme instant t. Une addition pure

et simple des efforts internes correspondant aux valeurs maximales de dformation dans chaque mode

est donc lhypothse la plus pessimiste et on n'y a recours que dans des cas particuliers. Diffrentes

mthodes de cumulation sont utilises, en regard des donnes particulires chaque problme.

Moyenne quadratique.

La pratique de cumulation la plus courante consiste effectuer une moyenne quadratique des effets

des diffrents modes. La moyenne quadratique est la racine carre de la somme des carrs des

contributions de chaque mode (en anglais SRSS , Square Root of the Sum of the Squares).

La moyenne quadratique donne une valeur dont la probabilit d'tre dpasse n'est pas diffrente de la

probabilit que la valeur Mi dans un mode particulier soit dpasse si ce mode seul tait activ. Cest

donc une valuation probabiliste du maximum.

Chaque fois que toutes les rponses modales prises en compte peuvent tre considres comme

indpendantes les unes des autres, la valeur maximale EE de leffet dune action sismique peut tre

prise gale : 2EiE EE = o EE est leffet de laction sismique considr (force, dplacement, etc.) ;

EEi est la valeur de cet effet de laction sismique due au mode de vibration i.

Dans lEurocode 8, on considre que les rponses de deux modes de vibration i et j (y compris les

modes de torsion et de translation) peuvent tre prises comme indpendantes lune de lautre si leurs

priodes Ti et Tj satisfont la condition suivante (avec Tj Ti) : ij 9,0 TT

Cumulation CQC.

La cumulation CQC est une valuation caractre gnral du maximum probable de la rponse, dont

la moyenne quadratique nest quun cas particulier.

Addition.

Une addition pure et simple des efforts internes correspondant aux valeurs maximales de dformation

dans chaque mode donne les sollicitations maximales possibles. Elle se justifie si on a des raisons de

2.19

craindre la simultanit des effets maximum dans chaque mode. Cest par exemple le cas si un mode

de priode trs grande (quelques s) est cumul un mode de priode trs courte.

2.11 Conditions relatives aux masses modales.

Les rponses de tous les modes de vibration contribuant de manire significative la rponse globale

doivent tre prises en compte. Dans lEurocode 8, on considre cette condition comme ralise si la

somme des masses modales effectives pour les modes considrs atteint au moins 90% de la masse

totale de la structure et si tous les modes dont la masse modale effective est suprieure 5% de la

masse totale sont pris en compte.

Si ceci ne peut pas tre vrifi (par exemple, dans le cas de btiments o la contribution du mode de

torsion est significative), il convient de considrer, lors dune analyse spatiale, un nombre minimal k

de modes satisfaisant aux conditions:

nk 3 et s 20,0k T o k est le nombre de modes considrer , n le nombre de niveaux au-dessus des fondations ou du

sommet dun soubassement rigide et Tk la priode de vibration du mode k.

2.20

B Lecture du spectre

1er mode 2e mode 3e mode D

Calcul des MNV M1b correspondant chaque rponse modale Exemple : EEi = M base, i

E

Calcul de EE = Mbase = 2322

21 bbb MMM ++ (moyenne quadratique)

Sd (T)

Sd (T3) Sd (T2) Sd (T1)

Figure 2.15. Principe du calcul de la rponse spectrale et de la superposition modale.

2.21

2.12 Amortissement diffrenci suivant les modes de vibration.

Le spectre de rponse, qui est tabli pour un oscillateur simple, ne prend en considration qu'une seule

valeur de l'amortissement, gale pour tous les modes de vibration. L'utilisation d'un spectre de rponse

n'est donc strictement valable que si les coefficients d'amortissement affect aux diffrentes masses

sont tous gaux cette seule valeur. Cette hypothse n'est pas gnante dans les applications o les

masses sont lies rigidement la structure. Cette hypothse est trs gnante dans le cas contraire. C'est

par exemple le cas dans un rservoir partiellement rempli ou pour des btiments o des structures

lourdes sont suspendues par des bielles l'ossature.

L'utilisation directe du spectre de rponse taux d'amortissement unique conduirait alors des

valuations trs approximatives des forces relles. On peut rsoudre ce problme :

- en revenant des intgrations pas pas sur le temps, si on dispose d'acclrogrammes

- en utilisant lartifice qui consiste construire un spectre fait de morceaux de spectres dont

chacun correspond lamortissement correct pour chaque mode (de priode connue)

considr.

2.13 La mthode danalyse par forces latrales.

2.13.1 Principe.

Dans les structures dont la rponse est constitue essentiellement du 1er mode de vibration, on peut

trouver de faon approche les sollicitations sismiques en ne considrant que le seul premier mode.

Leffort tranchant sismique la base Fb est dtermin par :

( ) = mTSF 1db Sd(T1) est lordonne du spectre de rponse en acclration de calcul pour la priode T1 , priode

fondamentale (= 1er mode) de vibration du btiment pour le mouvement de translation dans la

direction considre ; m est la masse sismique du btiment, au-dessus des fondations ou du

sommet dun soubassement rigide; ( 1) est un coefficient de correction qui traduit le fait que la masse modale effective du premier mode est infrieure la masse totale m du btiment, de sorte que

considrer = 1 conduirait une surestimation de la rsultante de cisaillement.

Dans lEurocode 8, = 0,85 si T1 2 TC et si le btiment a plus de 2 tages (voir 2.14.1 pour la dfinition de TC). Sinon = 1,0. Cette mthode de calcul statique des sollicitations dynamique est ce quon appelle, dans lEurocode 8,

la mthode danalyse par forces latrales . Elle tait prcdemment appele mthode de la

force statique quivalente ou analyse dynamique simplifie .

2.22

Figure 2.16. Analyse par forces latrales quivalentes .

2.13.2 Estimation de la priode fondamentale T1 .

Au dpart dun projet, un problme se pose: l'action sismique Sd(T1), dont dcoule leffort tranchant

sismique la base Fb , et les sollicitations de la structure dpendent de la priode T1 , qui est inconnue

car elle est fonction des raideurs des lments structurels non encore dimensionns.

On rsout ce problme :

- soit par essai et erreur, en partant dune estimation de T1 ; on donne au Tableau ci desous des

formules de calcul ou destimation de la priode de divers solides.

- soit en considrant pour Sd(T1) lordonne maximum du spectre Sd(T) , qui correspond au

palier compris entre les priodes TB et TC , ce qui donne une estimation en scurit de Fb .

2.23

Tableau 2.3. Evaluation de T1

Note 1 : units cohrentes ! masse : Kg force : N longueur : m temps(priode T1 ) : s Note 2 : dans les structures en bton, on considre E=E/2 pour prendre en compte la fissuration.

2.13.3 Distribution verticale des forces sismiques horizontales.

Pour dfinir la distribution sur la hauteur du btiment des forces horizontales quivalentes laction

sismique, il faut calculer la dforme du mode fondamental dans chaque direction danalyse

horizontale du btiment. On peut faire ce calcul :

- laide de mthodes de dynamique des structures (mais alors on perd la simplicit, principal

avantage de la mthode).

- de manire approche, en supposant que les dplacements horizontaux (et donc les

acclrations et donc les forces dtage) croissent linairement avec la hauteur du btiment

(dforme linaire).

Solide & Priode T1 Origine des relations

EIMHT3

23

1 = Formule physique exacte pour loscillateur simple. Masse concentre M en tte dune console verticale de hauteur H. Masse de barre MB = 0

EIHMT B

324,02

3

1 = Formule physique exacte pour loscillateur simple. Console verticale de hauteur H et de masse totale MB

EIHMMT B

3)24,0(2

3

1+=

Formule physique exacte pour loscillateur simple. Masse concentre M en tte dune console verticale dont la hauteur vaut H et la masse MB.

4/3t1 HCT =

H hauteur du btiment en m depuis les fondations ou le soubassement rigide

Relation empirique de lEurocode 8. Ct = 0,085 portiques spatiaux en acier Ct = 0,075 portiques spatiaux en bton & ossature acier triangulation excentre Ct = 0,050 autres structures

4/3t1 HCT =

H hauteur du btiment en m depuis les fondations ou le soubassement rigide

Relation empirique de lEurocode 8. Structures murs de contreventement en bton ou maonnerie

ct /075,0 AC = ( )( )[ ]2wiic /2,0 HlAA += Ac aire effective totale des sections des murs de contreventement au premier niveau du btiment en m Ai aire de la section du mur de contreventement i au premier niveau du btiment en m lwi longueur du mur de contreventement i au premier niveau dans la direction parallle aux forces appliques en m, condition que: lwi / H 0,9 sapplique sur tous les murs i parallles la direction des forces appliques

dT = 21

Relation empirique. Eurocode 8. d dplacement lastique horizontal du sommet du btiment en m d aux charges gravitaires appliques horizontalement.

2.24

Les effets de laction sismique sont dtermins en appliquant, dans les deux modles plans, des forces

horizontales Fi tous les tages.

Dans le cas o on tablit la dforme, on a : jj

iibi ms

msFF =

Fi est la force horizontale agissant au niveau i ; Fb est leffort tranchant la base ;

si, sj sont les dplacements des masses mi, mj dans le mode fondamental ;

mi, mj sont les masses des niveaux.

est une somme de 1 n, nombre de niveaux au-dessus du sol, y compris le toit.

Si on considre la dforme linaire, on a : jj

iibi mz

mzFF =

Si on considre la dforme linaire et que les masses sismiques dtage sont gales, la distribution

verticale des forces horizontales Fi dtage est triangulaire- Figure 2.16 et 2.17 : j

ibi z

zFF =

W 3

W 2

W 1 h2

F4

F3

F2

F1

Fb

W 4

n = 4 tages

Dforme simplifie

Figure 2.17. Distribution verticale des forces Fi si les masses sismiques dtage sont gales

2.13.4 Distribution des forces horizontales dtage Fi dans les contreventements.

Les forces horizontales Fi dtage se distribuent dans les contreventements.

Si les planchers constituent des diaphragmes rigides dans leur plan, les Fi se distribuent entre les

divers contreventements au pro rata des raideurs de ces derniers.

Si les planchers ne constituent pas des diaphragmes rigides dans leur plan, lanalyse de la structure

doit en tenir compte et la mthode simplifie ne peut pas tre applique.

2.25

2.14 Spectres de rponse de lEurocode 8.

On reprend ci-dessous pour information des lments de lEurocode 8.

2.14.1 Spectre lastique Se(T) horizontal de rponse en acclration.

La reprsentation de base de laction sismique en un point donn de la surface du sol est exprime par

un spectre de rponse lastique en acclration. Lala est caractris par le paramtre acclration

maximale de rfrence agR au niveau dun sol de classe A (bedrock) . Cette acclration vaut pour

les structures auxquelles on attribue un coefficient dimportance I = 1,0 . Pour les autres catgories dimportance, lacclration de calcul au niveau dun sol de classe A vaut ag = I.agr .Ceci revient considrer pour ces structures dautres priodes de retour que la priode de rfrence TNCR .

Les catgories d'importance I des btiments recommandes par lEurocode 8 sont donnes au Tableau 2.1.

Le spectre de rponse lastique horizontal Se(T) est formul mathmatiquement de faon unique pour

lEurope, laide des paramtres suivants :

TB limite infrieure des priodes correspondant au palier dacclration spectrale constante

TC limite suprieure des priodes correspondant ce palier

TD valeur dfinissant le dbut de la branche dplacement spectral constant

S paramtre du sol , dont les valeurs sont dfinies au Tableau 2.2.

coefficient de correction de lamortissement ( = 1 pour 5 % damortissement visqueux) ( ) 55,05/10 += o est le coefficient damortissement visqueux, en %

ag = I.agr agR : acclration maximale de rfrence au niveau dun sol de classe A(bedrock).

( ) ( )

+= 15,21 :0B

ge TTSaTSTT B

( ) 5,2 : geCB = SaTSTTT ( )

=

TTSaTSTTT CgeDC 5,2 :

( )

= 2DCgeD 5,2 :s4 TTTSaTSTT

2.14.2 Spectre de calcul Sd(T) ) horizontal de rponse en acclration.

Le spectre de calcul horizontal Sd(T) est la reprsentation de laction sismique la plus couramment

utilise dans lanalyse des ossatures de btiments. Il est bas sur le spectre lastique Se(T), mais il

intgre aussi linfluence de certains aspects de la rponse des structures , en particulier, la capacit de

2.26

dissipation dnergie de la structure dans des dformations plastiques, via le coefficient de

comportement q .

Le spectre de calcul Sd(T) ) horizontal de rponse en acclration est formul de faon unique pour

lEurope, laide des paramtres suivants :

S,TB, TC, TD , donns au Tableau 2.2.

est un coefficient fixant la limite infrieure des ordonnes du spectre (valeur recommande = 0,2). ag = I.agr agR : acclration maximale de rfrence au niveau dun sol de classe A (bedrock).

( )

+=

325,2

32 :0

BgdB qT

TSaTSTT

( )q

SaTSTTT 5,2 : gdCB =

( ) 5,2 =

:

g

Cg

dDC

a

TT

qSa

TSTTT

( ) 5,2 =

:

g

2DC

gdD

a

TTT

qSa

TSTT

2.14.3 Spectre de rponse lastique en dplacement.

Jusqu la priode de contrle TE, les ordonnes du spectre de rponse lastique en dplacement SDe(T)

sont obtenues partir des expressions du spectre de rponse lastique en acclration Se(T): 2

eDe 2)()(

=

TTSTS

Pour des priodes de vibration au del de TE, les ordonnes du spectre de rponse lastique en

dplacement sont donnes par :

+= )5,21(5,2025,0)(:

EF

EDCgDeFE TT

TTTTSaTSTTT

gDeF )(: dTSTT = S, TC et TD : voir Tableaux ci dessus ; dg : dplacement de calcul, voir en 2.14.5.

Priodes TE et TF , voir Tableau ci dessous.

Eurocode 8. Priodes TE et TF du spectre de dplacement (sisme de type 1, lointain de MS 5,5).

Type de sol TE(s) TF(s)

A 4,5 10,0

B 5,0 10,0

C 6,0 10,0

2.27

D 6,0 10,0

E 6,0 10,0

2.14.4 Spectre de rponse en acclration lastique vertical

La composante verticale de laction sismique est reprsente par un spectre de rponse lastique

Sve(T) : ag = I.agr agR : acclration maximale de rfrence au niveau dun sol de classe A (bedrock).

( ) ( )

+= 10,31 :0B

veB TTaTSTT vg

( ) 0,3: vgveCB = aT STTT ( )

=

TTaTSTTT CvgveDC 0,3 :

( ) .0,3:s4 2 DCvgveD

=T

TTaTSTT Lacclration verticale avg est une fraction de laction horizontale, dfinie au tableau suivant.

Valeurs recommandes des paramtres dcrivant le spectre de rponse lastique vertical.

Spectre avg/ag TB(s) TC(s) TD(s)

Type 1 (sisme lointain MS 5,5) 0,90 0,05 0,15 1,0

Type 2 (sisme proche MS 5,5) 0,45 0,05 0,15 1,0

Spectre de rponse en acclration vertical de calcul .

Le spectre de rponse vertical de calcul est donn par les expressions du spectre horizontal de calcul

avec :

- lacclration de calcul du sol dans la direction verticale avg la place de ag

- S = 1,0

- q 1,5 pour tous les matriaux et tous les systmes structuraux.

Dplacement de calcul du sol.

Le dplacement de calcul au niveau du sol dg, correspondant lacclration de calcul au niveau du

sol, peut tre estim par :

DCgg 025,0 TTSad =