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C5 – Utiliser le calcul littéral (la suite)
1ère partie :
Objectif 1 : Tu identifies la structure d’une expression littérale (somme, produit).
Objectif 2 : Tu utilises la propriété de distributivité simple pour développer un produit.
2ème partie : 0bjectif 3 : Tu démontres l’équivalence de deux programmes de calcul.
Objectif 4 : Tu introduis une lettre pour désigner une valeur inconnue et mets un problème en équation.
Objectif 5 : Tu testes si un nombre est solution d’une équation.
Objectif 6 : Tu résous algébriquement une équation du premier degré.
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Du vocabulaire et des expressions à comprendre :
Égalité
Définition : Une égalité est une expression comportant le signe = et deux membres de part
et d'autre.
Exemple : 4 × (2 + 3) = 11 + 4 + 5
𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒆𝒓 𝒎𝒆𝒎𝒃𝒓𝒆 = 𝒔𝒆𝒄𝒐𝒏𝒅 𝒎𝒆𝒎𝒃𝒓𝒆
le premier membre (ou membre de gauche) est le produit des facteurs : 4 𝑒𝑡 2+ 3 ;
le second membre (ou membre de droite) est la somme des termes : 11 ; 4 𝑒𝑡 5
Propriété : une égalité peut être vraie ou fausse.
Exemples :
2 + 3 = 6 − 1 est une égalité vraie (les deux membres valent 5)
3 + 5 = 9 + 2 est une égalité fausse (le 1er membre vaut 8, le 2nd membre vaut 11)
Équation
Définitions : une équation est une égalité dans laquelle un (ou plusieurs) terme(s) n'est (ne
sont) pas connu(s). Chaque terme non connu est donc remplacé par une lettre. Le terme
qui n'est pas connu est appelé : l'inconnue.
Exemples :
2 + 𝑥 = 5. C'est une équation, l'inconnue est 𝑥 ;
30 − 𝑦 = 10. C'est une équation, l'inconnue est 𝑦.
Résoudre une équation
Résoudre une équation, c'est trouver la (ou les) valeur(s) de l'inconnue pour que l'égalité soit vraie.
Lorsque c'est le cas, on dit alors que le nombre cherché est une solution de l'équation.
Exemples :
• 2 + 𝑥 = 5 Lorsque 𝑥 = 3, l'égalité est vraie. On a : 2 + 3 = 5
3 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 2 + 𝑥 = 5
3
• 30 − 𝑦 = 10 Lorsque 𝑦 = 20, l'égalité est vraie. On a : 30 − 20 = 10.
20 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 30 − 𝑦 = 10.
Remarques :
Certaines équations n'ont pas de solution par exemple : x = x + 1 ;
Certaines équations admettent plusieurs solutions.
Le plan de travail du 11 mai au 25 mai (6 à 8h de travail)
1ère partie : quelques rappels À BIEN MAÎTRISER avant de passer à 2ème partie
Objectif 1 : Tu identifies la structure d’une expression littérale (somme, produit). https://learningapps.org/view907157 https://learningapps.org/view1111690
Objectif 2 : Tu utilises la propriété de distributivité simple pour développer un produit. https://learningapps.org/view11318329
Ces exercices interactifs peuvent être réalisés plusieurs fois... alors n’hésite pas ! (1h)
2ème partie : 0bjectif 3 : Tu démontres l’équivalence de deux programmes de calcul.
¨ Activité 1 : On donne le programme de calcul suivant : (1h) • Choisir un nombre. • Lui ajouter 3. • Multiplier cette somme par 4. • Enlever 12 au résultat obtenu.
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1) Montre que si le nombre choisi au départ est 2, on obtient comme résultat 8.
2) Calcule la valeur exacte du résultat obtenu lorsque : a) Le nombre choisi est
−5
b) Le nombre choisi est
−23
3) a) A ton avis, comment peut-‐on passer, en une seule étape, du nombre choisi au départ au résultat final ?
b) Démontre ta réponse (il faut être à l’aise avec le calcul littéral :
1ère étape : trouver l’expression littérale qui correspond au programme de calcul
2ème étape : écrire plus simplement l’expression obtenue en utilisant les différentes techniques connues (simplifier, développer en utilisant la simple distribution, et réduire)
¨ Activité 2 : Un tour de magie ? (1h) Comment calculer son âge par le chocolat ? 1. Choisis le nombre de fois que tu voudrais manger du chocolat chaque semaine (plus d’une fois et moins de 10 fois). 2. Multiplie ce nombre par deux (pour être plus près de la réalité). 3. Ajoute 5. 4. Multiplie par 50 (Oui, tu peux te servir d’une calculatrice !). 5. Ajoute l’année en cours. 6. Si tu as déjà célébré ton anniversaire cette année, soustrais 250. Sinon, soustrais 251. 7. Maintenant, soustrais l'année de ta naissance. Tu devrais obtenir un numéro à trois chiffres. Le premier chiffre est le nombre de fois que tu veux manger des chocolats chaque semaine. Les deux autres chiffres représentent... ton âge!
Question : Pourquoi ça marche ? Besoin d’un coup de pouce ? Appelle 𝑛 le nombre de fois que tu voudrais manger du chocolat chaque semaine. Appelle 𝐴 l’année de ta naissance.
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Objectif 4 : Tu introduis une lettre pour désigner une valeur inconnue et mets un
problème en équation. (1h) Visionner la vidéo https://youtu.be/g2byCYDFQ1A Et maintenant, vérifie que tu as compris en réalisant le test ci-‐dessous.
1) Si 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐴, avec 𝑨𝑩 = 𝒙 (une longueur inconnue),
𝐴𝐶 = 7 𝑐𝑚 et B𝐶 = 15 𝑐𝑚,
Alors ...
A. 𝑥! + 7! = 15!
B. 7! + 15! = 𝑥!
C. 𝑥! + 15! = 7!
2) L’aire d’un rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 de longueur 7 𝑐𝑚 et de largeur 𝑥 𝑐𝑚, est égale à
A. 𝑥! 𝑐𝑚!
B. 7𝑥 𝑐𝑚!
C. 7+ 𝑥 𝑐𝑚!
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3) Pour un carré de côté égal à 𝑦 𝑐𝑚, le
périmètre est égal à
A. 2𝑦 𝑐𝑚
B. 4𝑦 𝑐𝑚
C. 𝑦! 𝑐𝑚
4) Pour un triangle de base égale à 𝑡 cm et
une hauteur égale à 𝑧 cm, l’aire est égale à
A. 𝑧×𝑡 𝑐𝑚!
B. !!×𝑧×𝑡 𝑐𝑚!
C. !
!(𝑧 + 𝑡) 𝑐𝑚!
5) Lisa a x ans, son frère a trois ans de moins qu’elle, alors l’âge
de son frère est
A. 𝑥 + 3
B. 𝑥 − 3
C. 3𝑥
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Objectif 5 : Tu testes si un nombre est solution d’une équation. Visionne pour commencer : (1h) https://youtu.be/tV9meT_iIMI Et maintenant vérifie que tu as bien compris : https://fr.khanacademy.org/math/algebra/one-‐variable-‐linear-‐equations/alg1-‐intro-‐equations/e/testing-‐solutions-‐of-‐equations-‐inequalities
Objectif 6 : Tu résous algébriquement une équation du premier degré.
Plusieurs vidéos à regarder : (2h) tu dois absolument bien comprendre une méthode avant de passer à la suivante. Résoudre une équation
du type : Vidéo :
1er cas 𝑎𝑥 = 𝑏 https://youtu.be/gcdBHwRaBa8
2ème cas 𝑥 + 𝑎 = 𝑏 https://youtu.be/6gy3DH19Ifk
3ème cas 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 https://youtu.be/i85gNfPL0gU
4ème cas 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑 https://youtu.be/9Y4mCFQ4F-‐8
Pour bien comprendre le principe... et donner du sens à cette notion. Une équation peut être représentée par une balance. On dit qu’une balance est à l’équilibre lorsque les masses sur chacun des plateaux sont égales. Il faut bien comprendre le mécanisme d’une balance. Que se passe-‐t-‐il si tu enlèves ou ajoutes une masse d’un seul côté ?
è DÉSIQUILIBRE Pour CONSERVER L’EQUILIBRE
è Il faut ajouter ou enlever AUTANT des deux côtés Entraîne-‐toi grâce aux équilibres présentés page suivante...
Et trouve la valeur de 𝑃, de 𝑎, de 𝑠 et de 𝑥
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Balance, mobile... (à l’équilibre) Equation
1er cas
3𝑃 = 60
2ème cas 𝑎 + 745 = 975
3ème cas
3𝑠 + 4 = 40
4ème cas 3𝑥 + 30 = 𝑥 + 48