5. Les mouvements usuels
- Mouvement rectiligne- mouvement 2D (circulaire, parabolique- exemple de mouvement 3D
Mouvement rectiligne
• Mvt rectiligne uniforme (MRU)
a = 0; v=v0; équa. horaire : x(t) = v0t + x0
(an = 0, a = at)
• Mvt rectiligne uniformément varié
a = a0; v = a0t + v0 ;
équa. horaire : x(t) = ½ a0t² + v0t + x0
Mouvement circulaire
Rayon courbure = rayon du cercle RC=R
• Mvt circulaire uniforme (MCU)
v = v0 ; at = 0 ; an=v0²/R ; a=v0²/R
a perpendiculaire à v
acc. Centripète
Mouvement circulaire uniforme (2)
• an = v0²/R ou = R²• at = 0
O
v0
a (= an)
Mouvement circulaire uniforme (3)
• En coordonnées polaires : r(t)=R; θ(t)= ?• v(M)=rθ eθ = Rθ eθ
v = Rθ ; v0 = Rθ
θ = v0/R = cste, notée vitesse angulaire (rd/s)
dotée d’un signe >0 si rotation sens trigo<0 si rotation horaire
θ (t) = t + θ0 croissante ou décroissante
Mouvement circulaire varié
v = v(t) ; dv/dt 0 ; at 0
• at < 0 (v ) ou at > 0 (v )
• an = v²/R n’est plus cste
Coordonnées polaires : r(t)=R
θ = v(t)/R fonction de t (θ w indique une cste)
θ(t) = θ(t)dt
Mouvement circulaire varié (2)
O
v0
an
at
Mouvement circulaire varié (3)
a(M) et v(M) non perpendiculaires (composante tangentielle at)
• α < pi/2 si le mvt est accéléré (prod. scalaire a.v > 0)
• α > pi/2 si le mvt est retardé (prod. scalaire a.v < 0)
α
Mouvement uniformément accéléré 2D (parabolique)
Se produit quand a0 (cste) non perpendiculaire à v0
• a(M) = a0
• v(M) = v0 + a0t• OM = OM0 + v0t + ½ a0t²
M0M = v0t + ½ a0t² => le mvt est plan
Mouvement uniformément accéléré 2D (2)
• Prendre Oy (ou Ox) colinéaire à a0
• Projeter v0 sur Ox et Oy
a0
v0X
v0y
ax = 0
ay = a0
vx = v0x
vy = v0y + a0t
x(t) = x0 + v0xt
y(t) = y0 + v0yt + ½ a0t²
Mouvement uniformément accéléré 2D (3)
• Exemple: chute libre avec vitesse initiale v0 inclinée d’un angle α
…..
x(t) = x0 + (v0cos)t y(t) = y0 + (v0sin)t – ½ gt²
Étude d’un mouvement 3D
Mouvement hélicoïdal uniforme– rotation uniforme dans 1 plan (MCU)– translation rectiligne uniforme à la verticale
du même plan (MRU)
+ =P
P
Mvt hélicoïdal uniforme
• La vitesse est uniforme (rotation + translation)
• Coordonnées cylindriquesr(t) = Rθ(t) = ωtz(t) = Ct (avec C = λω
λ, en m, est appelé pas de l’hélice)
Mvt hélicoïdal uniforme (2)
• Vecteur position : OM = R er + λωt ez
O
M
N
z =
λω
t
r = R
Mvt hélicoïdal uniforme (3)
• Vecteur position : OM = R er + λωt ez
der/dt = ωeθ
• Vitesse : v(M) = Rω eθ + λω ez
deθ/dt = – ωer
• accélérat° : a(M) = – Rω² er
O
M
N
a(M) vθ
vz
v(M)
Mvt hélicoïdal uniforme (4)
Mvt hélicoïdal uniforme (5)
• Norme de la vitesse : v = vθ² + vz²
= (Rω)²+(λω)²
v = ω R² + λ² (cste)
• Abscisse curviligne :
s(t) = v dt
s(t) = ωt R² + λ²
Mvt hélicoïdal uniforme (6)
• Vecteur tangent : à partir de v(M)– exprimer dans la base cylindrique– projeter en coordonnées cartésiennes
Oij
tR
tR
RT
cos
sin1
22
Mvt hélicoïdal uniforme (7)
• Vecteur normal : méthode classique ….
Rem: a(M) purement normale (v=cste at=0)
N = a(M) / ||a(M)||
cyl
N
0
0
1
Mvt hélicoïdal uniforme (8)
• En coordonnées cartésiennes
Oij
tR
tR
N
0
sin
cos
Mvt hélicoïdal uniforme (9)
• Rayon de courbure : au choix 1. norme de (dT/dt/) / v …
2. v3 / norme de (v^a)
3. par l’accélération normale (cours pdf)
……
RC = R + λ²/R
Mvt hélicoïdal uniforme (10)
0 - Rω² 00
v ^ a = Rω ^ 0 = - Rλω3 = Rω3
-λ
λω 0 R²ω3
R
|| v ^ a || = Rω3 R² + λ²
v = ω R² + λ²
v3/ || v ^ a || = (R² + λ² )/R Rc = R + λ²/R
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Helice.html
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Helice.html