DOSSIER OLYMPIADES

DE LA PHYSIQUE 2006

Sujet : « Expériences autour de la goutte »

Lycée Louis Pasteur : Hénin Beaumont

SOMMAIRE

I ) Compte rendu d’activité

II ) Plan détaillé de présentation à l’oral

III) Annexes :

1) Feuilles de calcul :

a) Calcul de gamma au plan d’inflexion

b) Calcul du Nombre de Bond

2) Théories et démonstrations :

a) Théorie de gamma au plan d’inflexion

b) Théorie du Nombre de Bond

3) Présentation détaillée de la mesure de gamma

au plan d’inflexion :

I ) Compte rendu d’activité

INTRODUCTION :

Il y a maintenant presque deux ans que le groupe du club Sciences a été formé.Sous l'impulsion de trois professeurs du lycée ( M. Sadanne, M Leclercq et M Lelièvre)

qui sont passés dans les différentes classes présenter les objectifs du club.Au départ il était essentiellement formé d'élèves de seconde et de quelques élèves de

première S.

Initialement, le sujet n'était pas fixé mais nos professeurs nous ont proposé de travailler sur le thème de "la goutte d'eau".

En fait, l'idée de travailler sur la goutte d'eau leur est venue à partir d'une observation faite par le club sciences précédent qui travaillait sur la couleur des ailes de papillon et qui avait remarqué qu'une goutte d'eau posée sur une aile de papillon ne pénétrait pas entre les écailles de l'aile d'une part et d'autre part prenait une surprenante forme de sphère quasiment parfaite.(voir photo1)

Photo1

Le premier travail et les premières séances ont été consacrés aux recherches sur le thème proposé (Internet, livres de David Quéré et Pierre Gilles de Genes, etc…)

(Voir la bibliothèque des liens et la bibliographie en annexe)

ainsi qu'à quelques observations et photos de gouttes posées sur différents supports et recherche de supports hyper-hydrophobes naturels et artificiels comme les plumes de canard, la laitue d'eau, ou la laine polaire ,

aile de papillon plume de canard laitue d'eaumais également des essais de traitement de surface de verre par différents produits :

imperméabilisant chaussures, produit déperlant pour pare brise de voiture (Rain X), pomme de terre.

I) LA RECHERCHE :

Rapidement, nous nous sommes rendu compte que la tension superficielle de l'eau était un des paramètres déterminant de la forme de la goutte.

Nous avons donc testé différentes manipulations faisant intervenir cette tension superficielle de l'eau .Les manifestations les plus spectaculaires de cette tension étant les différents phénomènes de capillarité que nous avons observé lors de la montée de liquides dans des tubes capillaires ou sur le bord des récipients.Nous avons également essayé de faire "flotter" un trombone sur de l'eau.

Dans une première approche, nous avons cherché différentes manipulations permettant de mesurer cette tension superficielle.

Puis, nous les avons testé une par une :• la loi de Jurin : loi de montée capillaire dans des tubes avec projection puis finalement

photo et mesure d'angle et de hauteur à l'aide d'un logiciel gratuit trouvé sur internet(mesurim)

• méthode d'arrachement de l'anneau de Dunouy : mise au point pour éviter les effets de bord et récupération d'un plateau de translation millimétrique d'un vieux tensiomètre à lame pour descendre doucement le cristallisoir.

• mesure d'angle de raccordement d'une goutte posée : photo puis exploitation sur un tableur (excell) des données mesurées sur la photo.

• méthode de la goutte pendante : qui se révèle être une méthode très utilisée dans l'industrie pour mesurer une tension superficielle

Dans ce cas précis, nous avons d'abord tenté de faire une projection de la goutte d'eau pendante au bout d'une seringue. Il a fallu d'abord trouver une aiguille de seringue non biseautée au bout. Puis nous nous sommes rendu compte qu'il était très difficile d'obtenir une goutte à la limite de la rupture de manière stable. Nous avons donc optépour une burette automatique de chimie qui permettait de former sans secousses une goutte stable.

La projection n'était pas satisfaisante non plus car il y avait des problèmes chromatiques en lumière blanche qui faisaient que le contour de la goutte n'était pas net.

Nous avons donc pris une photo de la goutte en mode macro mais le contraste entre la goutte et le fond n'était pas net non plus. Ce qui nous a amené à mettre derrière la goutte un fond avec un dégradé vertical de gris permettant d'améliorer nettement le contraste de la goutte qui devenait alors noire sur fond blanc ou blanche sur fond noire suivant les régions.

Ensuite à l'aide d'un logiciel (Cineris) nous avons extrait les coordonnées des points du contour que nous avons traitées dans un tableur pour obtenir différents paramètres permettant de mesurer la tension superficielle.

Puis nous avons testé et mis au point beaucoup d'expériences différentes portant toute de près ou de loin sur la goutte d'eau :

• Expérience de Leïdenfrost (caléfaction d'une goutte d 'eau) : nous avons cherché àmesurer la durée de vie d'une goutte d'eau calibrée en fonction de la température de la plaque sur laquelle on la pose, mais nous n'arrivions pas à chauffer suffisamment celle-ci pour que la durée de vie atteigne son maximum.

• Expérience de la goutte enrobée : nous avons acheté sur Internet de la poudre de lycopode (spores de champignons) utilisée par les magicien pour faire crépiter les flammes.

Nous avons essayé d'enrober une goutte d'eau avec cette poudre hydrophobe de manière àla faire rouler ensuite sur un plan incliné. Plusieurs problèmes ce sont alors posés : comment enrober cette goutte? Et comment la filmer?

Nous avons d'abord essayé de la poser sur un tapis de lycopode et de la saupoudrer mais ça ne fonctionnait pas. Puis nous avons essayé de la pousser sur le tapis pour l'enrouler dans la poudre, ce système ne fonctionnait pas mais dés que l'on posait la goutte sur le plan incliné elle éclatait. La solution la plus simple, finalement, était de réaliser le tapis directement sur le plan et de déposer la goutte en haut de ce tapis. De cette manière, la goutte s'enrobe d'elle même en roulant sur ce tapis puis ce met à rouler sur le plan avant d'éclater si la vitesse est trop grande.

Nous avons réussi en réglant l'inclinaison du plan à obtenir un tore liquide lors du dévalement, mais nous n'avons malheureusement jamais réussi à le filmer malgré tous nos essais avec différentes caméras faute d'avoir une caméra ultrarapide.

II) LA VERSION DEFINITIVE:

Cette première version nous paraissait finalement être une sorte de catalogue des différentes méthodes permettant de mesurer la tension superficielle agrémenté d'expériences originales mais elle ne répondait pas à notre questionnement initial.

Nous avons donc décidé de nous recentrer sur le questionnement initial à savoir : quels sont les paramètres qui influent sur la forme de la goutte d'eau dans diverses situations ?

Nous avons donc recherché ces différents paramètres et essayé de les modifier.• Modification de l’interaction entre le liquide et le solide :

- Nous avons repris les expériences de traitement d'une surface de verre par différentes substances pour modifier l'interaction entre le liquide et le solide et observé les résultats.

- Nous avons modifié également cette interaction à l'aide de poudre de lycopode et même réussi à faire flotter une goutte d'eau enrobée sur de l'eau !

- Puis en faisant reposer la goutte sur son coussin de vapeur (Leïdenfrost)

• Modification de l’interaction entre le liquide et l’air :- Nous avons cherché à modifier la tension superficielle de l'eau à l'aide d'un tensioactif. Le

résultat sur la forme d'une goutte posée est spectaculaire.

avant après

Nous avons ensuite étudié au microscope diverses surfaces naturelles hyper-hydrophobes pour rechercher ce qui les rendait tellement hydrophobes. Nous avons constaté que la seule similarité était qu'elles avaient une structure rugueuse et régulière.

Aile de papillon Plume de canard Laitue d'eauNous avons donc décidé de fabriquer une maquette expliquant le phénomène d'effet fakir :Il s'agit d'une planche à trous d'espacement régulier permettant de placer des boulons à

intervalle fixe. Nous reproduisions ainsi une structure régulière.Les gouttes d'eau "géantes" ont été matérialisées par des membranes élastiques remplies d'eau

(ballon de baudruche et préservatif pour avoir des élasticités différentes)Nous avons choisi cette modélisation car nous avons constaté que les gouttes "géantes" posées

ou pendantes prenaient de façon surprenante la même forme que les gouttes normales.

Nous avons ensuite étudié l'influence de l'écartement des "clous" sur la forme de la goutte et constaté également que pour un même écartement la goutte de tension superficielle (élasticité) inférieure s'enfonçait plus dans la structure que l'autre.

Forte tension superficielle Faible tension superficielle

III) CONCLUSION :

Donc si notre modèle était valable cette constatation était valable pour l'eau posée sur l'aile de papillon : pour que celle-ci s'enfonce dans la structure, il faut réduire sa tension superficielle chose que l'on sait faire avec un tensioactif (liquide vaisselle).

Nous avons donc effectué l'expérience et constaté que l'eau pénétrait la surface de l'aile en lui donnant une couleur verte, exactement comme l'acétone le faisait ; ce qui est logique étant donné que l'eau et l'acétone ont un indice de réfraction voisin et que la couleur est due à la différence d'indice de réfraction entre les écailles de recouvrement du papillon et le liquide ayant pénétré entre celles-ci (créant des interférences par lame mince).

ANNEXE 1bibliothèque des liens et bibliographie

bibliothèque des liens INTERNET :

TP complet loi de Jurin :http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/Tp-phys/Term/TP-fluid/Tension_sup.htm

Cours de mécanique des fluides:http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/Tp-phys/Term/Exp-fluid/exp-flu1.htm

Appareillage industriel de mesure d'angles de contact:http://www.granuloshop.com/fta/Index.htm

Diverses applets de physique :http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/mnudiver.html

Applet tension superficielle :http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/jurin2.html

Applet loi de Jurin :http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/jurin.html

TP tensiomètre à goutte (Théorie complète + correction de mesure):http://www.itconceptfr.com/BrochureTracker/Documentation_Tracker_VF.htm

Mesure d'angle de contact:http://www.biophyresearch.com/angle

Méthode des deux diamètres pour la goutte pendante:http://www.pmmh.espci.fr/fr/Enseignement/Archives/TravauxPratiques/tensiometrie.pdf

Goutte enrobée :http://www.chez.com/exposeh2o/eau_indeformable.htm

Achat poudre de lycopode :http://www.lepetitmagicien.com/index.php?cPath=47

Mouillabilité :http://perso.wanadoo.fr/philippe.boeuf/robert/physique/mouille.htm

Tensiomètre à angle de contact :http://www.biophyresearch.com/angle

Quéré David, Bergeron Vance. La protection des récoltes. ESPCI, 2003http://www.espci.fr/esp/CONF/2003/C03_02/conf2_2003.htm

LA PHYSIQUE D’UNE GOUTTE D’EAU (cahier du lycéen) Avec David Quéré, physicien, directeur de recherche au CNRS et Claudius Laburthe, ancien ingénieur d’essais Airbus (EADS)

http://www.agrobiosciences.org/IMG/pdf/La_goutte_d_eau.pdf

Bibliographie :

"Gouttes, bulles, perles et ondes" de Pierre-Gilles de Gennes ,Françoise Brochard-Wyart et David Quéré ; éditeur Belin

"Physique" de Eugene Hecht ; Éditeur : de Boeck

"Qu'est-ce qu'une goutte d'eau ?" de Quéré David. Le Pommier, 2003. Éditeur : Les Petites Pommes du Savoir

"Dictionnaire de la physique et de la chimie" de Jean-Louis Basdevant. Éditeur : Nathan , juillet 2004

Des articles de périodique :

Quéré, David, Clanet Christophe. Sur la forme des gouttes et des bulles. La sphère sous toutes ses formes : Dossier Pour la Science, n°41, octobre 2003

D’où vient qu’une « petite » goutte soit sphérique ? Et qu’en est-il des « grosses » ? Et des bulles ? Au-delà des phénomènes quotidiens, répondre à ces questions aide à comprendre ce qui modèle certains objets célestes.

Quéré David, Aussillous Pascale. Billes liquides. Pour la science, n°286, août 2001Les billes liquides sont des gouttes d'eau recouvertes d'une poudre hydrophobe. Ainsi truquées, ces

gouttes ne mouillent pas, prennent la forme de roues ou de cacahuètes en roulant. Des photographies illustrent le phénomène.

Greffoz Valérie. Les gouttes d'eau ne sont plus ce qu'elles étaient. Science et vie, n°1011, décembre 2001

Études menées en 2001 sur le comportement des gouttes d'eau recouvertes de poudre hydrophobe : histoire de la création de ces gouttes d'eau, leurs propriétés, leurs différentes formes prises en fonction de leur vitesse, les moyens utilisés pour les empêcher de rebondir, les applications pratiques de cette technique.

Bonn Daniel, Bergeron Vance, Vovelle Louis. Quand les gouttes ne rebondissent plus : comment rendre l'eau aussi visqueuse que le miel ? La Recherche, n°351, mars 2002

Lorsqu'elle tombe sur une feuille une goutte d'eau rebondit. Comment limiter ce phénomène et concevoir des aérosols efficaces pour l'agriculture ? Quelques grammes de polymères peuvent modifier les propriétés d'écoulement de l'eau...

Müller Xavier. Gouttes les voici mises au pas. Sciences et vie, n°1059 , Décembre 2005Des gouttes qui marchent à la surface d'un liquide sans jamais s'y dissoudre : tel est l'exploit réalisé

par des chercheurs qui ont élucidé des phénomènes jusqu'ici insoupçonnés de la mécanique des fluides. Magique.

Les manifestations et engagements :

Le Club cherche à développer l'intérêt pour les sciences chez les élèves et fait partie de l'association Magiphy association visant à faire vivre les sciences à tous les niveauxscolaires. Ainsi notre groupe est associé à un groupe de collège (dirigé par M Pierre Barbier) qui travaille également sur la goutte d'eau notamment sur la caléfaction et plus récemment sur les modes de vibration en étoile de la goutte d'eau lors de la caléfaction (forme en étoile, à nombre de branches variables en fonction de la température de la plaque).Nous sommes également associés à un enseignant-chercheur à l'Université de Lille 1 : M Jean Cosléou

Dans ce cadre nous avons participé en Juin dernier à la joute Magiphy qui est une rencontre scientifique entre les différents groupes Magiphy de la région et gagné le prix Magiphy notamment pour l'expérience de la bille liquide en roulement sur un plan incliné.

Toujours dans ce cadre nous allons également en Janvier prochain présenter notre travail à des étudiants Belges de L'université libre de Bruxelles qui travaillent également sur l'eau et visiter l'expérimentarium de Bruxelles crée notamment par le professeur Albert Art.

Nous avons également participé à Exposciences en Mai 2005 où nous avons exposé notre travail durant deux jours.

II ) Plan détaillé de présentation à l’oral

sommaireI) Étude de l’influence de la nature du liquide sur la forme de la goutte:• 1) Forme de la goutte avec divers liquides :• 2) Qu’est ce que la tension surfacique :• 3) Comment la mesurer ?

II) Etude de l'influence de la taille de la goutte sur sa forme : • 1) Notion de hauteur capillaire :

III) Étude de la nature de la surface : • 1) Surfaces lisses traitées :• 2) Surfaces hydrophobes texturées :

IV) Etude des paramètres influençant la forme d’une goutte pendante :

IV) Les autres façons de modifier l'interaction entre la goutte et le support :• 1) Goutte enrobée :• 2) Effet Leïdenfrost :

VI) applications de ces études et conclusion :• 1) la pulvérisation des cultures :• 2) le problème du pare brise :

VII Annexes : démonstrations• 1) la hauteur capillaire :• 2) la goutte pendante :

Étude des propriétés de la goutte d’eau

I) Étude de l’influence de la nature du liquide :

1) Étude de l’influence de la nature du liquide

Conclusion: 2 liquides de natures différentes ne prennent pas la même forme sur une même surface car ils n’ont pas la même tension superficielle

Goutte d’eau posée sur une lame de verre

Goutte d’acétone posée sur une lame de verre

La tension superficielle ou énergie de surface est la tension qui existe à la surface de séparation de deux milieux.

Elle se manifeste par une résistance à la déformation de la surface d’un liquide qui se comporte alors comme une membrane « élastique » tendue.

Cette tension est due au fait que les molécules , à la limite de séparation, (représentées en bleu) ne sont pas soumises aux mêmes forces de van derWaals de la part de toutes leurs voisines que celles situées au sein du liquide (représentées en rouge).

Concrètement, si on tire vers le haut une molécule de surface, celle-ci résiste en s’accrochant à ses voisines.

2) Qu’est ce que la tension superficielle?

Expérience de la tige mobile :

Lorsqu’on tire la tige mobile de manière à agrandir la lame liquide, on constate que spontanément celle-ci cherche à minimiser sa surface en tirant sur la tige mobile.

La tension superficielle γ est la force qui s’exerce par unité de longueur de la tige.

L’unité de tension superficielle γ est donc le N/m

Comme ici l’interface liquide/air a deux cotés : LF.2

=γ

LF

Lors de la sortie de l’eau, la tension superficielle s’associe au poids P de l’anneau et il faut « arracher » la surface du liquide et contrer la gravité pour sortir l’anneau du liquide.

on démontre que F, la force de tension

superficielle, est de la forme F = 4 π.r.γ.

or F = F’-P où F’ est la force lue au

dynamomètre.

rPF..4

'π

γ −=On a donc :

3) Comment la mesurer:a) méthode de DuNoüy

• On prend en photo une goutte pendante (ou sa projection) et l’étude de la forme de son contour permet de déterminer la tension superficielle γ de l’eau.

• L’équation permettant de calculer γ est obtenue à partir de l’équilibre des forces agissant sur le plan horizontal de coupe de la goutte situé à l’inflexion.

(plan intéressant car l’un des rayon de courbure de la surface est infini)

Lien vers la Théorie

b) méthode de la goutte pendante :

• Pour calculer γ il faut déterminer 3 paramètres…

V . Δρ . g π . r . sin ϕ

γ =

V = volume de la goutte sous le plan d’inflexion.

Δρ = différence de masse volumique entre le liquide et la vapeur (1000 kg.m-3)

g = intensité de la pesanteur 9,81 m.s-2

R = rayon de la goutte au point d’inflexion

ϕ = Angle entre l’horizontale et la tangente au point d’inflexion

ϕ

r

V

Calcul de γ

Résultats obtenus

• On a déterminé par le calcul les trois paramètres :• R = 1,74.10-03 m• V = 3,23.10-08 m3

• ϕ = 107,35 °

• d’ où γ = 63,3.10-03 N/m

(valeur théorique pour l’eau pure : 72. 10-03 N/m)

(Lien vers feuille de calcul excel)

• On peut observer qu’en modifiant le volume des gouttes, la forme de la goutte change.

• plus le volume des gouttes est important et plus la goutte s’étale et s’aplatit sur le sommet.

II) Étude de l’influence de la taille de la goutte sur sa forme :Notion de hauteur capillaire

Comment l’expliquer?

Qu’est ce que la hauteur capillaire?

la longueur capillaire correspond concrètement à la longueur à partir de laquelle une surface liquide n'est plus perturbée.

K-1

On l’explique par le fait qu’au delà de cette longueur, la gravité devient importante en comparaison de la tension de surface.

Estimons la hauteur capillaire K-1 en comparant :

la pression de Laplace d'une surface )1.( 1−=ΔK

P γ

Et la pression hydrostatique ΔP = ρ.g. K-1 .

On trouve alors que: g

K.

1

ργ

=−

À l’aide de la loi de Young, on démontre que la tension superficielle γ s’exprime comme ceci:

)cos1(2.. 2

θργ−

=eg

En combinant (1) et (2) ; la hauteur capillaire K-1 est de la forme : )2/sin(2

1

θeK =−

(2)

(1)

Calcul de la hauteur capillaire K-1 par traitement vidéo

On doit mesurer la hauteur e de la goutte par le logiciel Mesurim

On mesure la hauteur d’une référence connue

)2/sin(21

θeK =−

On a mesuré la hauteur e de la goutte et l’angle de raccordement θ, on peut maintenant calculer la hauteur capillaire K-1 à l’aide de la formule suivante:

Mesure de l’angle de raccordement θ

Mesure de la hauteur capillaire de manière simple

pour mesurer simplement la hauteur capillaire, on mesure la longueur au delà de laquelle la goutte s’aplatit comme suit.

La goutte commence à s’aplatir à partir de ce point

K-1 : hauteur capillaire

Feuille de calcul et résultats

Conclusion, si une goutte a un rayon plus grand que la hauteur capillaire, elle s’aplatit lorsqu’elle sera posée sur un support donné.

À l’aide de la formule suivante:

on peut calculer numériquement la valeur de la hauteur capillaire pour l’eau, on trouve 0,0027 m

gK

.1

ργ

=−

Avec les méthodes de mesure simple et par traitement d’image, on a trouvé 0,0030 et 0,0031m; les valeurs concordent.

On a cherché un liquide ayant une tension superficielle supérieure à celle de l’eau: seul le mercure convenait (480 mN/m), or on observe avec celui ci que la hauteur capillaire est plus petite qu’avec l’eau , pourquoi?

Car sa masse volumique est presque 14 fois plus grande que cellede l’eau alors que les tensions superficielles ne sont que dans un rapport de 7. (K-1 pour le mercure = 0,0019 m)

III) Étude de la nature de la surface

1) Surface lisse traitée

sur une plaque de verre, une goutte d’eau déposée s’étale en partie.

Sur une plaque graissée(produit hydrophobe), la goutte s’étale moins.

Sur une plaque de verre frottée avec une pomme de terre (produit hydrophile) , la goutte s’étale plus

Conclusion: La forme de la goutte dépend donc de la nature de la surface sur laquelle elle est posée.

γ est appelée tension superficielle et θ l’angle de raccordement.

Solide

Liquide

Vapeur

θ

Étudions les forces agissant sur la goutte

γ svγ ls

3 forces (linéiques) existent entre chaque couple d’interface :

2) γ sv: dû à l’affinité du support vis-à-vis de la molécule située au point A

3) γ lv : dû à l’attraction des molécules situées à l’interface liquide –vapeur sur la molécule située au point A

γ lv

A

1) γls: dû à l’attraction des molécules situées à l’interface liquide –solide sur la molécule située au point A

Si on projette ces forces suivant x, on obtient la relation suivante : γ sv = γ ls + γ lv * cos θ c’est l’équation de Young

En effectuant la somme des forces de tension superficielle au point d’application A, on obtient :

γ lv + γ sv - γ ls = O

Solide

Liquide

Vapeur

θ

γ svγ ls

γ lv

A

2) Surfaces hydrophobes texturées

a) L’aile de papillon b) La feuille de laitue d’eauc) La plume de canardd) Cire texturée

L’aile de papillon est une surface super hydrophobe car la goutte prend la forme d’une perle. La surface de contact entre la goutte et le substrat est minimale.

a) l’aile de papillon

L’aile limite au maximum ses interactions avec le liquide, comment l’expliquer?

On l’explique par sa structure régulière comportant des écailles :

Le goutte se positionne alors sur le sommet des écailles et prend la forme d’une perle, comme le fakir sur son tapis de clous: c’est l’effet fakir.

La laitue d’eau présente également une structure régulière, ici des poils qui se comportent comme les clous du tapis de fakir; la goutte se pose donc au sommet des poils et prend la forme d’une perle

b) Une autre surface super- hydrophobe :

la laitue d’eau

c) La plume de canard

On observe ici aussi une structure régulière, de type striée qui limite les interactions goutte-support, dont l’hydrophobie est généralement accentuée par le graissage des plumes réalisé par le canard

d) Cire texturée :Il nous faut une structure régulière comportant « des pointes ». Mais quel espacement de pointes choisir? Comparons une structure régulière réalisée à l’aide d’un filetage de vis et une autre réalisée avec une brosse à dents.

La structure réalisée à l’aide de la brosse à dents est plus efficace (sphère et peu d’accroche) car la densité de pointes est plus grande.

IV) Étude des paramètres influençant la forme de la goutte

pendante

1) Facteur de forme : Calcul du nombre de bond :

Une basée sur la différence entre la pression du liquide à la base de l’apex et au plan d’altitude z nous amène à la relation suivante valable en tout plan d’altitude z par rapport au bas de la goutte :

Avec : et

r = rayon de la goutte à l’altitude zθ = angle entre la tangente à la surface de la goutte à l’altitude z et l’horizontaleV’ = Volume de la goutte situé sous le plan d’altitude z divisé par π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+= 2

2 .)('.2

sinr

ZrZVcbr

θ

Rapexb 1

= γρΔ

=.gc

théorie

On effectue un changement de variables en posant :• et

• La relation devient alors :

Y = c . X + b

• On reconnaît l’équation d’une droite affine

De coefficient directeur : cEt d’ordonnée à l’origine : b

rY θsin

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= 2

2

2.)('

rZrZVX

Nous avons donc tracé Y en fonction de X à partir du profil d’une goutte pendante et obtenu comme la théorie le prévoyait une droite.

Y=f(X)y = 154658x + 546,09

R2 = 0,8844

0

100

200

300

400

500

600

700

800

-0,0005 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015

X

Y Série1Linéaire (Série1)

Cette droite nous permet donc de déterminer à partir des valeurs de c et b les valeurs de Rapex et de γ . (ici Rapex = 1,83 mm et γ = 63.10-3 N.m-1)

Mais surtout cette droite nous montre que la forme de la goutte pendante ne dépend que des paramètres : c et b

c’est à dire des paramètres : g , Δρ , γ , et Rapex

On peut donc définir un paramètre sans dimension basé uniquement sur les paramètres c et b dont dépendra la forme de la goutte

On défini donc : ω = c / b2

C’est le facteur de forme de la goutte ou nombre de bond de

la goutte.

Nous avons trouvé pour la goutte d’eau étudiée ω = 0,52

V) Les autres façons de modifier l'interaction entre la goutte et le

support

La goutte devient alors presque sphérique et roule sans laisser de traces... On peut même la déposer à la surface de l’eau

1) Enrober la goutte de poudre de lycopode

En entourant la goutte par de la poudre de lycopode, on rend sa périphérie hydrophobe et on atténue l’affinité entre la goutte et le support (modification de γ ls)

Lien vers vidéo

Elle peut même prendre la forme d’une cacahuète si la vitesse est suffisamment grande.

À grande vitesse, on observe un pincement et la goutte

prend la forme d’un tore (une roue).

Si on incline le support, à cause des frottements, la goutte se met à rouler.

À température plus importante, il se crée un coussin d’air sur lequel repose la goutte, l’interaction solide-liquide est supprimée. Une petite goutte prend quasiment la forme d’une perle.

Si l’on dépose une grosse goutte sur une plaque chauffante, elle prend une forme de pastille aplatie. La gravité prend le pas sur la tension superficielle.

2) Chauffer la goutte: Effet Leidenfrost

VI) applications de ces études

1) L’arrosage des cultures

2) Le pare brise

1) L’arrosage des cultures

Dans la nature, la plupart des végétaux ont des feuilles hydrophobes, on estime à 80% la quantité de produit perdu dans le sol.

En agissant sur la tension superficielle du produit à employer, on serait capable de la faire entrer dans la feuille

Comment faire entrer de l’eau dans une dans une aile de papillon ou dans une feuille naturellement très hydrophobe?

2) Comment avoir un pare brise qui ne nécessiterait pas d’essuies glaces?

sur une plaque horizontale, les angles sont les mêmes de

chaque coté

a) Éviter que l’eau n’adhère: Le problème d’hystérésis

Sur une plaque inclinée, les angles en avant (θa) et en

arrière (θr) de la goutte sont différents, celle ci ne se met en

mouvement qu’à partir d’un certain couple d’angles θa et θr :

c’est l’hystérésis

Pour que la goutte se mette en mouvement immédiatement, il faudrait utiliser d’un pare brise très incliné (mais problème d’aérodynamisme)ou il faudrait le traiter.

b) Comment éviter que l’eau adhère au pare brise?

•Rendre le pare brise hydrophobe à l’aide d’un produit

Problème: mettre du produit régulièrement, le coût d’achat du produit à utiliser...

•Utiliser un pare brise super hydrophobe (structure à pics à l’étude)

Problème:le coût d’achat, le nettoyage entre les pics mais surtout, le rendre transparent!

•Chauffer le pare brise: effet Leidenfrost (voir précédemment)

•Utiliser un pare brise vibrant (à l’étude)

Annexes: démonstrations a) La hauteur capillaireb) La goutte pendante

Étudions les forces agissant sur cette grosse goutte :

2***21)(. egdzzegP

e

o

ρρ =−= ∫L’équilibre des forces (linéiques) est :

γ

γslγsv

P

2..21 egρ +γsv -γsl -γ=0

a) Calculons la hauteur capillaire K-1:

Soit P la force de pression hydrostatique par unité de longueur

γ sv = γ ls + γ lv * cos θ

Soit l’équation de Young obtenue par projection (voir diapo précédente)

gK

.1

ργ

=−or

d’où))

2((sin4.

)(2

221

θργ eg

K =−

car θθ cos1)2

(sin2 2 −=

au final : )2/sin(2

1

θeK =− Où 1−K est appelé

longueur capillaire

)1(cos..21 2 −=−= θγρ egSOr à l’aide du calcul précédent, on démontre que

donc )cos1(2

.. 2

θργ−

=eg

Soit S le facteur d’étalement. Il traduit la capacité d’une grosse goutte à se déformer et à s’étaler.

S = -(γ lv + γ ls - γ sv) = γ lv * (cos θ -1) (à l’aide de Young)

b) La goutte pendantez

r

ϕP

dF1

F1

F2

Plan d'inflexion P

• F1 = (2.π.r). γ . sin ϕ

• F2 = (π.r2).ΔP = (π.r2). γ.(1/R+1/R')

⇒ F2 =(π.r2) . γ. (sinϕ / r)

⇒ F2 = π.r . γ. sinϕ

• P = m.g = V.Δρ.g

F1 est la résultante des forces de tensions superficielles dF1agissant sur le contour du plan P

(dF1 est la force de tension superficielle agissant sur l'élément infinitésimal de contour du plan P nommé dl)

F2 est la résultante des forces de pression agissant sur le plan P

P est le poids de la partie de la goutte située sous le plan d'inflexion (en tenant compte de la poussée d'Archimède de la goutte dans l'air)

avec Δρ : différence de masse volumique entre le liquide et l'air

or dans ici : R= r / sinϕ et R' = ∞

z

r

ϕP

dF1

F1

F2

Plan d'inflexion P

La somme des forces agissant sur le plan P étant nulle puisqu'il y a équilibre statique alors :

F1 = F2 + P

⇒ (2.π.r). γ . sin ϕ = π.r . γ. sinϕ + V. Δρ.g⇒ π.r . γ. sinϕ = V. Δρ.g

( π.r . γ . sinϕ )V. Δρ . g

⇒ γ =

III) Annexes :

1) Feuilles de calcul :

a) Calcul de gamma au plan d’inflexion

z r r' r'' dV1,20E-04 1,51E-031,94E-04 1,49E-03 -1,27E-012,77E-04 1,49E-03 9,85E-02 1,52E+033,97E-04 1,51E-03 1,81E-01 5,64E+025,54E-04 1,54E-03 2,55E-01 7,07E+017,11E-04 1,59E-03 2,03E-01 -2,96E+028,50E-04 1,60E-03 1,67E-01 8,09E+021,01E-03 1,64E-03 4,44E-01 1,08E+031,12E-03 1,72E-03 4,58E-01 -8,90E+021,25E-03 1,75E-03 2,31E-01 -4,31E+021,38E-03 1,78E-03 3,46E-01 4,86E+021,51E-03 1,84E-03 3,57E-01 -2,32E+02 1,29E-091,66E-03 1,88E-03 2,81E-01 -1,34E+02 1,60E-091,83E-03 1,93E-03 3,14E-01 -9,92E+00 1,89E-092,01E-03 1,99E-03 2,78E-01 -3,83E+02 2,11E-092,19E-03 2,03E-03 1,76E-01 -5,72E+02 2,24E-092,35E-03 2,05E-03 8,33E-02 -4,15E+02 2,07E-092,55E-03 2,06E-03 2,70E-02 -3,75E+02 2,64E-092,72E-03 2,06E-03 -5,56E-02 -4,61E+02 2,27E-092,91E-03 2,04E-03 -1,39E-01 -4,18E+02 2,53E-093,08E-03 2,01E-03 -2,06E-01 -3,94E+02 2,22E-093,25E-03 1,97E-03 -2,73E-01 -4,98E+02 2,16E-093,41E-03 1,92E-03 -3,70E-01 -6,73E+02 1,95E-093,52E-03 1,87E-03 -4,55E-01 -4,90E+02 1,27E-093,63E-03 1,82E-03 -4,78E-01 -1,05E+03 1,21E-093,75E-03 1,76E-03 -6,96E-01 -1,36E+03 1,25E-093,86E-03 1,66E-03 -7,92E-01 -7,25E+02 1,07E-093,99E-03 1,57E-03 -8,70E-01 -1,50E+03 1,13E-094,09E-03 1,46E-03 -1,14E+00 -1,16E+03 7,74E-104,21E-03 1,32E-03 -1,13E+00 -1,10E+03 8,04E-104,33E-03 1,19E-03 -1,40E+00 -4,41E+03 6,57E-104,41E-03 1,04E-03 -2,01E+00 -6,56E+03 3,56E-104,47E-03 9,09E-04 -2,32E+00 -7,30E+03 2,04E-104,52E-03 7,85E-04 -2,81E+00 -8,36E+03 1,30E-104,57E-03 6,28E-04 -3,15E+00 -1,07E+04 9,68E-114,63E-03 4,38E-04 -3,99E+00 -8,16E+04 7,43E-114,66E-03 2,69E-04 -1,05E+01 -3,15E+05 1,81E-114,66E-03 1,23E-04 -1,35E+01 0,00E+004,68E-03 0,00E+00 9,51E-13

V= 3,40E-08 m3

Calcul de A :

A = V.ρ.g / (π.r.sinϕ) = 0,0631 n.m-1

remarque :Calcul de ϕ :ϕ = 90 + arctan( r' au point d'inflexion) = 109,09 °

tracé de z(r)r zmax-z

1,51E-03 4,56E-031,49E-03 4,49E-031,49E-03 4,40E-031,51E-03 4,28E-031,54E-03 4,13E-031,59E-03 3,97E-031,60E-03 3,83E-031,64E-03 3,67E-031,72E-03 3,56E-031,75E-03 3,43E-031,78E-03 3,30E-031,84E-03 3,17E-031,88E-03 3,02E-031,93E-03 2,85E-031,99E-03 2,67E-032,03E-03 2,49E-032,05E-03 2,33E-032,06E-03 2,13E-032,06E-03 1,96E-032,04E-03 1,77E-032,01E-03 1,60E-031,97E-03 1,43E-031,92E-03 1,27E-031,87E-03 1,16E-031,82E-03 1,05E-031,76E-03 9,30E-041,66E-03 8,20E-041,57E-03 6,90E-041,46E-03 5,90E-041,32E-03 4,70E-041,19E-03 3,50E-041,04E-03 2,70E-049,09E-04 2,10E-047,85E-04 1,60E-046,28E-04 1,10E-044,38E-04 5,00E-052,69E-04 2,00E-051,23E-04 2,00E-050,00E+00 0,00E+00

z(r)

0,00E+00

5,00E-04

1,00E-03

1,50E-03

2,00E-03

2,50E-03

3,00E-03

3,50E-03

4,00E-03

4,50E-03

5,00E-03

0,00E+00

5,00E-04

1,00E-03

1,50E-03

2,00E-03

2,50E-03

r

z Série1

ϕ

r

r(z)

0,00E+00

5,00E-04

1,00E-03

1,50E-03

2,00E-03

2,50E-03

0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03 2,00E-03 2,50E-03 3,00E-03 3,50E-03 4,00E-03 4,50E-03 5,00E-03

z

r Série1

1,38

r'

-2,00E+00

-1,50E+00

-1,00E+00

-5,00E-01

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03 2,00E-03 2,50E-03 3,00E-03 3,50E-03 4,00E-03 4,50E-03 5,00E-03

z

r' Série1

1,38

r''(z)

-5,00E+03

-4,00E+03

-3,00E+03

-2,00E+03

-1,00E+03

0,00E+00

1,00E+03

2,00E+03

3,00E+03

4,00E+03

5,00E+03

0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03 2,00E-03 2,50E-03 3,00E-03 3,50E-03 4,00E-03 4,50E-03 5,00E-03

z

r'' Série1

1,38

b) Calcul du Nombre de Bond

z (origine bas du capillaire)

Z (origine à l'apex)

r (rayon de la goutte à l'altitude

z)

r' (dérivée de r par rapport à z)

r'' (dérivée seconde de r par rapport à z)

dz (variation de z entre deux

points)

dV (volume infinitésimal du tronc de cone de hauteur

dz)

V (volume de la goutte situé sous le plan d'inflexion

divisé par π)

θ (angle entre la tangente et l'horizontal)

sin(θ)

9,70E-06 4,85E-03 1,43E-03 1,16E-04 7,42E-10 1,37E-081,26E-04 4,73E-03 1,42E-03 0,0000 1,46E-04 9,31E-10 1,34E-08 90,00 1,00002,72E-04 4,59E-03 1,43E-03 0,1068 593,12 1,35E-04 8,79E-10 1,31E-08 0,00004,07E-04 4,45E-03 1,45E-03 0,1667 349,60 1,65E-04 1,11E-09 1,29E-08 99,46 0,98645,72E-04 4,29E-03 1,48E-03 0,2116 274,08 2,13E-04 1,52E-09 1,25E-08 101,95 0,97837,85E-04 4,08E-03 1,53E-03 0,2703 308,87 1,94E-04 1,48E-09 1,20E-08 105,12 0,96549,79E-04 3,88E-03 1,59E-03 0,3373 132,79 2,21E-04 1,85E-09 1,16E-08 108,64 0,94751,20E-03 3,66E-03 1,67E-03 0,3254 -53,90 2,40E-04 2,19E-09 1,10E-08 108,02 0,95091,44E-03 3,42E-03 1,74E-03 0,3125 31,35 2,40E-04 2,39E-09 1,03E-08 107,35 0,95451,68E-03 3,18E-03 1,82E-03 0,3404 -102,87 2,30E-04 2,50E-09 9,51E-09 108,80 0,94661,91E-03 2,95E-03 1,90E-03 0,2642 -386,48 3,00E-04 3,51E-09 8,72E-09 104,80 0,96682,21E-03 2,65E-03 1,96E-03 0,1356 -392,14 2,90E-04 3,54E-09 7,60E-09 97,72 0,99092,50E-03 2,36E-03 1,98E-03 0,0328 -276,03 3,20E-04 3,94E-09 6,47E-09 91,88 0,99952,82E-03 2,04E-03 1,98E-03 -0,0328 -287,94 2,90E-04 3,54E-09 5,22E-09 88,12 0,99953,11E-03 1,75E-03 1,96E-03 -0,1429 -499,49 2,70E-04 3,16E-09 4,09E-09 81,87 0,98993,38E-03 1,48E-03 1,90E-03 -0,3125 -639,88 2,10E-04 2,27E-09 3,09E-09 72,65 0,95453,59E-03 1,27E-03 1,81E-03 -0,4500 -502,53 1,90E-04 1,86E-09 2,36E-09 65,77 0,91193,78E-03 1,08E-03 1,72E-03 -0,5135 -637,07 1,80E-04 1,58E-09 1,77E-09 62,82 0,88963,96E-03 9,00E-04 1,62E-03 -0,6857 -957,06 1,70E-04 1,28E-09 1,27E-09 55,56 0,82474,13E-03 7,30E-04 1,48E-03 -0,8485 -952,38 1,60E-04 1,00E-09 8,62E-10 49,69 0,76254,29E-03 5,70E-04 1,34E-03 -1,0000 -1024,13 1,10E-04 5,62E-10 5,43E-10 45,00 0,70714,40E-03 4,60E-04 1,21E-03 -1,1250 -1286,23 1,30E-04 5,31E-10 3,64E-10 41,63 0,66444,53E-03 3,30E-04 1,07E-03 -1,3087 -2957,67 1,00E-04 3,08E-10 1,95E-10 37,38 0,60724,63E-03 2,30E-04 9,09E-04 -1,8053 -6072,65 9,00E-05 1,90E-10 9,69E-11 28,98 0,48464,72E-03 1,40E-04 7,27E-04 -2,4625 -10800,44 7,00E-05 8,56E-11 3,64E-11 22,10 0,37634,79E-03 7,00E-05 5,15E-04 -3,5333 -40788,69 5,00E-05 2,69E-11 9,16E-12 15,80 0,27234,84E-03 2,00E-05 3,03E-04 -7,3571 2,00E-05 1,92E-12 6,12E-13 7,74 0,13474,86E-03 0,00E+00 0,00E+00

Z=f(r)

0,00E+00

1,00E-03

2,00E-03

3,00E-03

4,00E-03

5,00E-03

6,00E-03

0,00E+00 1,00E-03 2,00E-03 3,00E-03 4,00E-03 5,00E-03 6,00E-03

r :rayon (en m)

Z : a

ltitu

de p

ar ra

ppor

t à l'

apex

(en

m)

Série1

r=f(z)

0,00E+00

5,00E-04

1,00E-03

1,50E-03

2,00E-03

2,50E-03

0,00E+00 1,00E-03 2,00E-03 3,00E-03 4,00E-03 5,00E-03 6,00E-03

z

r Série1

r'=f(z)

-1,4000

-1,2000

-1,0000

-0,8000

-0,6000

-0,4000

-0,2000

0,0000

0,2000

0,4000

0,6000

0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03 2,00E-03 2,50E-03 3,00E-03 3,50E-03 4,00E-03 4,50E-03 5,00E-03

z

r' Série1

r''=f(z)

y = -351678x + 518,32R2 = 0,9309

-1500,00

-1000,00

-500,00

0,00

500,00

1000,00

0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03 2,00E-03 2,50E-03 3,00E-03 3,50E-03 4,00E-03 4,50E-03 5,00E-03

z

r''

Série1Linéaire (Série1)

X Y0,0010 704,22540,0009 0,00000,0008 680,27170,0007 661,03350,0005 630,95650,0003 595,93430,0001 569,41790,0000 548,5517

-0,0002 520,1373-0,0003 508,8620-0,0003 505,5776-0,0004 504,7793-0,0004 504,7793-0,0003 505,0763-0,0003 502,3579-0,0003 503,8240-0,0002 517,1901-0,0002 509,0919-0,0002 515,2089-0,0001 527,6916-0,0001 549,0610-0,0001 567,4356-0,0001 533,06920,0000 517,53910,0000 528,78150,0000 444,5013

Y=f(X)

y = 154658x + 546,09R2 = 0,8844

0,0000

100,0000

200,0000

300,0000

400,0000

500,0000

600,0000

700,0000

800,0000

-0,0006 -0,0004 -0,0002 0,0000 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,0010 0,0012

X

Y

Série1Linéaire (Série1)

En posant X=sin θ /r et Y= (V(z)-r2z) /(2*r2) on obtient une droite d'équation :

Y=c.X+b avec c = g.Δρ / γ (constante de capillarité)

b = 1 / Rapex

On détermine donc c et b à partir de l'équation de la droite de régréssion des points de la courbe Y en fonction de Xc et b sont respectivement le coéfficient directeur de la droite et l'ordonnée à l'origine de la droite.

d'où c = 154658 m-2 donc : γ = 0,063 N.m-1

b = 546,09 m-1 Rapex = 0,0018312 m

On peut donc en conclure que la forme de la goutte pendante ne dépend que de deux paramètres caractéristiques de la forme de la goutte qui sont : c et b

En fait il y a donc 3 paramètres caractéristiques : la tension superficielle, la masse volumique, et le rayon à l'apex.

On peut donc définir un nombre sans dimension appelé nombre de bond ω (ou facteur de forme) qui regroupe tous ces paramètres et qui sera donc caractéristique du profil de la goutte.

ω = c / b2 = g.Δρ.Rapex2 / γici : ω = 0,519

2) Théories et démonstrations

a) Théorie de gamma au plan d’inflexion

BILAN DES FORCES AGISSANT SUR LE PLAN D'INFLEXION DE LA GOUTTE

z

r

ϕ P

dF1F1

F2

Plan d'inflexion P

F1 est la résultante des forces de tensions superficielles dF1agissant sur le contour du plan P (dF1 est la force de tension superficielle agissant sur l'élément infinitésimal de contour du plan P nommé dl) F2 est la résultante des forces de pression agissant sur le plan P P est le poids de la partie de la goutte située sous le plan d'inflexion (en tenant compte de la poussée d'Archimède de la goutte dans l'air) • F1 = (2.π.r). γ . sin ϕ • F2 = (π.r2).ΔP = (π.r2). γ.(1/R+1/R') or dans ce cas précis : R= r / sinϕ et R' = ∞ ⇒ F2 =(π.r2) . γ. (sinϕ / r) ⇒ F2 = π.r . γ. sinϕ • P = m.g = V.Δρ.g avec Δρ : différence de masse volumique entre le liquide et l'air La somme des forces agissant sur le plan P étant nulle puisqu'il y a équilibre statique alors :

F1 = F2 + P ⇒ (2.π.r). γ . sin ϕ = π.r . γ. sinϕ + V. Δρ.g ⇒ π.r . γ. sinϕ = V. Δρ.g ⇒ V. Δρ . g ( π.r . γ . sinϕ )

γ =

COMPLEMENTS MATHEMATIQUES : COURBURE D’UNE SURFACE

z

r

M

O

Pour connaître la courbure de la surface au point M on trace la normale à la surface en ce point (droite rouge) Puis on trace deux cercles osculateurs tangents à la surface en M, le premier cercle (bleu) appartient au plan comprenant l’axe de la goutte et cette normale c’est à dire le plan (O,r,z) ; et le deuxième cercle (rouge) appartient au plan perpendiculaire à (O,r,z) et passant par M. Soit R le rayon du premier cercle. Soit R’ le rayon du deuxième cercle Calcul de R' : Soit r = f(z) la fonction liant le rayon r de la goutte à z sa distance à l'apex O. Le rayon de

ourbe en un point M de coordonnées ( z , r ) est donné par :

courbure de cette c

alcul

D'où :

C de R :

z

r

ϕ Plan d'inflexion P

ϕ ϕ−π

π

/2

−ϕ r

R π−ϕ

z

sin (ϕ-π/2) dr

cos ϕ

or sin (π - ϕ )= r / R

r d'après les relations trigonométriques :

'où 1 sin ϕ

'où le calcul de la courbure de la surface en un point M de celle-ci :

• cos (ϕ-π/2) dz = = r '

- sin ϕ • O D R r D

a courbure totale C d'une surface est donnée par la relation suivante :

n en déduit :

L

O

= r ⇒ ' ⇒ cot ϕ = - r '

r ⇒ sin ϕ = R

ϕϕ

=

b) Théorie du Nombre de Bond

Théorie permettant de déterminer expérimentalement le facteur de forme ou nombre de Bond :

On sait que la différence de pression du liquide entre la base de la goutte (apex) et un plan d'ordonnée z est due uniquement à la poussée d'Archimède exercée sur le bas de la goutte. D'où :

or, on sait d'après l'équation de Laplace-Young : (qui traduit que la différence de pression entre l'intérieur et l'extérieur de la goutte en un point de sa surface est proportionnelle à la courbure moyenne de la surface en ce point. Et que le coefficient de proportionnalité est égal à tension superficielle) que :

or P0- Pz = ρ.g.z

ΔP0 = P0-Patm

ΔPz = Pz-Patm

⇒ ΔP0- ΔPz= P0- Pz

r

z

0

z

P0

Pz Patm

Patm

et que :on en déduit que :

Différence de pression intérieur/extérieur à

l'apex de la goutte Différence de pression intérieur/extérieur à l'altitude z

avec : R et R' les deux rayons de

courbures de la surface et :

or et d'après la théorie sur les rayons de courbure

d'une surface.

On déduit de la relation :

Voir

Voir

Constante de capillarité

avec

On intègre en fonction de r cette équation entre 0 et r :

On effectue un changement de variables : D'où : Or par intégration par partie :

Comme le volume V(z) de la goutte située sous le plan d'altitude z par rapport à l'apex est :

Si on pose :

D'où finalement :

On injecte le résultat dans l'équation

Équation valable en tout plan d'altitude z de la goutte.

On pose et

avec et

Conclusion : Si l'on trace Y en fonction de X en divers plan d'altitude z on obtient une droite qui par régression nous donne et desquels on peut tirer : et donc la forme de la goutte ne semble dépendre que des deux paramètres et On peut donc définir un nombre sans dimension appelé facteur de forme (ou nombre de bond) réunissant ces deux paramètres : qui sera déterminé expérimentalement par :

3) Présentation détaillée de la mesure de gamma au plan d’inflexion :

Mesure de γ par stalagmométrie

Les différentes étapes de l’expérience :

• Le montage.• La prise de vue.• Le traitement de l’image.• L’acquisition des points du contours de la goutte

pendante.• Le traitement de ces points.• Le calcul de la tension superficielle γ• Feuille de calcul Excel

Le montage :

La prise de vue :

• Avec dégradé derrière la goutte :

• Sans dégradé derrière la goutte :

Explication : la goutte se comporte comme une lentille et inverse l’image du dégradé.

• Ce dégradé permet donc d’observer :• Soit la goutte blanche sur fond noir• Soit la goutte noire sur fond blanc.

• Il faut absolument garder le tube capillaire visible à l’image car ce sera notre notre étalon de longueur pour connaître les positions des points.

Le traitement de l’image :

A l’aide d’un logiciel de retouche d’image(Photoshop)

1) Amélioration du contraste et de la luminosité de l’image .

2) Désinclinaison éventuelle de l’image3) Rognage des parties inutiles de l’image4) Basculement de l’image à 90° dans le sens

antihoraire.

1) Amélioration du contraste et de la luminosité de l’image :

2) Désinclinaison éventuelle de l’image

3) Rognage des parties inutiles de l’image

4) Basculement de l’image à 90° dans le sensantihoraire.

Acquisition des points du contours de la goutte pendante

• Préalable : Mesurer le diamètre du tube capillaire au palmer

Ouvrir la photo dans le logiciel Cinéris et positionner l’origine du repère

Régler l’échelle et le sens des axes en se référant au diamètre du tube capillaire

Capture des points du contours de la goutte

Exportation du tableau de mesure obtenu de r en fonction de z vers un tableur :

Et voilà !

La détermination du point d’inflexion de la goutte par

différentes méthodes.

1) Méthode des tangentes sur la courbe r(z)2) A l’aide de r’(z) : dérivée de r(z) par

rapport à z3) A l’aide de r’’(z) : dérivée de r’(z) par

rapport à z

Méthode des tangentes

Maximum de r’(z) :dérivée de r(z) par rapport à z

r’’(z) = 0 : dérivée de r’(z) par rapport à z

Calcul de γ

V . Δρ . g π . r . sin ϕ

V = volume de la goutte situé sous le plan d’inflexion

Δρ = différence de masse volumique entre le liquide et la vapeur (1000 kg.m-3)

g = intensité de la pesanteur 9,81 m.s-2

R = rayon de la goutte au point d’inflexion

ϕ = Angle entre l’horizontale et la tangente au point d’inflexion

γ =

Pour calculer γ il faut donc mesurer :

1) Le rayon r de la goutte au point d’inflexion2) Le volume de la goutte V situé sous le plan d’inflexion3) L’angle ϕ entre l’horizontale et la tangente au point d’inflexion

Rayon de la goutte au point d’inflexion

• On a vu précédemment qu’on pouvait trouver le point d’inflexion de trois manières différentes. (retour)

• Une fois le point trouvé on obtient directement le rayon de la goutte qui correspond ici à son ordonnée.

Volume de la goutte

• On aurait pu mesurer le volume de la goutte en mesurant le nombre de gouttes correspondant à un certain volume,

• Mais cette méthode pose problème car nous n’étions pas certains que la goutte allait se rompre au niveau du plan d’inflexion donc que nous allions mesurer le volume situé sous ce plan..

• Nous avons donc choisi de calculer le volume de la goutte à partir de son profil (lorsqu’elle est accrochée)

• Et ceci en intégrant le contours de la goutte c’est à dire en découpant celle ci en très fines tranches chacune de ces tranches étant un cylindre dont on peut calculer facilement le volume dV.

• Une fois le volume de chaque cylindre calculé, il ne reste plus qu’à en faire la somme pour obtenir le volume de la goutte

r(z)

dz

dV = π . r(z)2 . dz

Angle ϕz(r)

0,00E+00

5,00E-04

1,00E-03

1,50E-03

2,00E-03

2,50E-03

3,00E-03

3,50E-03

4,00E-03

4,50E-03

5,00E-03

0,00E+00 1,00E-03 2,00E-03 3,00E-03

r

z Série1

ϕ

r

θ

• ϕ = 90 + θ• or tan θ= r’(zinflexion)

• On en déduit :ϕ = 90+ arctan [r’(zinflexion)]

Résultats

• Nous avons déterminé :r = 1,78.10-3 m = 1,78 mm

ϕ = 109,09 °V = 3,4.10-8 m3 = 34 mm3

On en déduit donc : γ = 0,063 n.m-1

Ce qui est assez proche de la valeur tabulée pour l’eau pure qui est de 0,072 n.m-1