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Dimensionnement des composants passifs d’un

convertisseur Buck

SOF IA NE AÏ T CH ABA NE ROM AIN GI R ARD

UFR PhITEM - Université Joseph Fourier

Master EEATS 1année, majeure SEE

Résumé— Le sujet de ce BE est le dimensionnement du

filtre LC constituant un convertisseur Buck.

En premier lieu, nous étudierons un modèle parfait de la

structure afin de dimensionner les composants passifs en

question et faire un choix de composants disponibles sur le

marché. À partir de ces choix, nous compléterons l’étude

en tenant compte des éléments parasites tout en respectant

les contraintes imposées dans le cahier des charges.

I. INTRODUCTION

Dès le début des années 1980, le monde a commencé à se

préoccuper de la gestion de l'énergie dans divers domaines.

Celle-ci est devenue une nécessité depuis la prise de

conscience des sources d'énergies limitées en plus d'êtres

polluantes. Fabriquer des dispositifs non optimisés eu égard à

leurs pertes est alors devenu inconcevable, que ce soit dans le

domaine des très hautes puissances que des petites, utilisées

par le grand-public. La recherche d’un rendement élevé et la

qualité des tensions d’alimentation sont des critères essentiels.

Les alimentations à découpage fonctionnent sur le principe de

stockage inductif d’énergie où sa restauration est effectuée lors

de la demande de la charge. Dans ce BE, nous sommes amenés

à travailler sur les composants passifs d’un hacheur abaisseur

dit Buck. C’est un convertisseur de tension continue-continue

(DC/DC) qui sort en sortie une tension réglable de plus faible

valeur que celle fournie en entrée.

Comment fonctionne ce convertisseur et par quelles approches

le dimensionnerons-nous ?

Cahier des charges

Puissance à fournir : 50W Tension de sortie : 10V

Tension d’entrée : 24 V (batterie)

Fréquence de découpage : 20kHz

Ondulation de tension max : 5% de la tensio de sortie Vs

Rendement : 95%

Mode de fonctionnement : Limite de conduction continue.

II. FONCTIONNEMENT DU MONTAGE

Schéma de la structure :

Fig. 1 Schéma du montage Buck

La source de courant continu E (batterie) est en convention

générateur. Tous les autres éléments sont en convention

récepteur. Les courants respectifs traversant chaque élément

seront noté « i » suivis du même indice que les tensions

associées.

Mode de fonctionnement :

Le cahier des charges impose un fonctionnement en limite

de conduction continue. C'est-à-dire que le courant dans

l’inductance démarre de zéro en début de période (t=0) et

s’annule à t=T, exclusivement.

Formes d’ondes

Ce convertisseur est commandé par commutation du

transisitor. Il y a deux configurations envisageables:

• Passant de 0 à T:

L’interrupteur K est fermé.

La tension aux bornes de l’inductance vaut . Le courant dans l’inductance augmente linéairement avec une

pente de

.

La tension aux bornes de la diode est négative, donc la diode

est bloqué. On fait l’hypothèse que est constant et que ne

change pas. (Valable sur toute la période T). La caracteristique

du courant sera identique à celle de mais décalée de

manière à obenir (Proprieté du condensateur).

• Bloqué de T à T :

L'interrupteur K est ouvert. .

Sachant que le courant dans une inductance ne peut subir de

variation brusque, la diode devient donc passante afin d'assurer

la continuité du courant dans l'inductance. La tension aux

bornes de l'inductance vaut .Par conséquent, le

courant traversant l'inductance décroît avec une pente de

.

Les formes d’ondes tracées sont considerées en régime

pérmanent, c'est-à-dire qu’elles resterons inchangées à chaques

période. Les signaux à la fin de chaque période corréspond à

celles du début de la précédente.

TP COMPOSANTS PASSIFS 12/13

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Fig. 2. Formes d'ondes en régime pérmanent

III. ETUDE DU MODELE PARFAIT

Dans un premier lieu, considérons la structure sans les

résistances série parasites. Ceci nous permettera de determiner

l’inductance et le condensateur à utiliser de manière simple

mais pas pour autant érronée. De cette manière nous aurons

une idée des ordres de grandeur cohérante. A partir des

composants choisis subséquement, la détermination des

résistances associées ce fera à partir des données fournies par le

constructeur, dont elles sont fonction.

A. Mise en équation de la structure

D’après les formes d’ondes déterminées précédemment et

les lois de Kirchhoff, nous avons pu en déduire les expressions

suivantes :

Phase 1 : de 0 à αT.

(1)

(2)

Phase 2 : de αT à T.

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

B. Détermination de l’inductance L

Nous allons tout d’abord déterminer la valeur de

l’inductance L à partir de l’écriture de la valeur moyenne du

courant.

(8)

On en déduit L :

(9)

L

Dimensionnement de l’inductance L

Le choix de l’inductance revient au choix du noyau

magnétique ETD à utiliser, sur lequel s’effectuera le bobinage.

Celui-ci peut être caractérisé par divers paramètres physiques,

à savoir le type de matériau, la taille, la géométrie etc.

Cependant, le critère à étudier pour un choix optimal est le

« produit des aires » noté Ae.Sf. Le produit de Ae (surface utile

au flux) avec Sf (surface de la fenêtre bobinable) est lié au

volume et à l’énergie magnétique max stockable.

(10)

Le courant max admissible dans la bobine est de Imax=10A.

Nous prendrons un coefficient de bobinage de Kb=0.4 qui

représente la place perdue entre les parties actives du bobinage.

Dans notre cas la densité de courant J vaut 5A/m²v (valeur

typique). Nous aurons également besoin de la valeur efficace

du courant :

(11)

Le produit des aires vaut donc :

Il suffit de choisir à présent un noyau magnétique à partir

des datasheets disponibles. Nous determinerons celui-ci

d’après le document [1].

Nous choisirons le noyau magnétique PQ20/20 de type 3F3 car

il est possible de l’utiliser à la fréquence de fonctionnement

souhaitée. La surface utile donnée est de et la

surface bobinable

(12)

.Son produit des aires

vaut donc . La condition

est bien validée.

Après avoir choisi A, nous nous rendons compte que le

champ d’induction magnétique souhaité sera supérieur à celui

du noyau ETD choisit.

(13)

et Blim=0.32T

Comme Bmax>Blim, nous devons trouver la bonne perméance

pour ne pas saturer le noyau.

L’ajout d’un entrefer est alors indispensable.

• Determination de l’entrefer :

Pour cela, calculons le nombre de spires eu égard au champ

magnétique Blim souhaité :

(14)

N

A présent, calculons l’entrefer à partir de ce nombre N de

spires

(15)

.

Il existe des petites plaquettes qui permettent de réaliser des

entrefers, dans notre cas, nous prendrons une de 0.6 mm

d’épaisseur.

Le constructeur de l’ETD propose le même noyau avec cet

entrefer. Finallement le noyau qu’on choisi est l’ETD PQ20/20

– 3F4 – A160 d’après le document[1].

La valeur de l’entrefer choisi est un petit peu supérieure à celle

calculée, nous devons alors recalculer le nombre de spires

correspondant.

3

(16)

finallement.

Dimensionnement des fils

Nous allons calculer la section des fils à l’aide de

l’épaisseur de peau. Nous savons qu’en basse fréquence, le

courant transitant à travers une section de fil de cuivre, prend

toute la surface : la réparation des charges est homogène.

En haute fréquence, en revanche, le courant est repoussé vers

les bords d’autant plus qu’on élève la fréquence. Les

conséquences sont qu’une partie considérable du cuivre (dont

le prix est élevé) n’est pas utilisée et les pertes engendrées sont

d’autant plus importantes.

(17)

(de rayon).Avec la résistivité ρ du cuivre qui

vaut . La section max du fil est alors

(18)

. Nous prendrons donc des fils de 0.9 mm de diamètre. Vérifions

aussi si le fil peut supporter le courant qui le traversera . Le

courant max par fil est :

(19)

.Sachant que nous aurons un

courant efficace de 5.77 A qui circulera dans ce fil, le nombre

de fils necessaires est :

.

Deux fils en parallèle lors du bobinage sont alors necessaires

afin de pouvoir faire circuler le courant assurant le bon

fonctionnement du montage.

C. Dimensionnement du condensateur C

Le condensateur de sortie C sert à filtrer la tension de sortie.

Plus la valeur de C est grande, plus le signal de sortie est lissé,

mais d’autre part, le courant absorbé atteint des pics plus

considérables.

Les paramètres dimensionnants d’un condensateur sont sa

capacité et la tension max qu’il peut supporter.

La valeur du condensateur nous sera donnée à partir de ,

valeur crête-à-crête du signal Vs en régime pérmanent dont il

dépend.

D’après la loi des nœuds nous pouvons écrire

Phase 1 : de 0 à αT

En dérivant l’expression de nous avons trouvé que le

point max de se trouve à donc :

Phase 2 : de αT à T

En dérivant l’expression de nous avons trouvé que le

point max de se trouve à et donc :

(25)

Nous trouvons que dans le cas ou on fait une

étude en régime pérmanent, où les signaux en début de période

sont similaires à ceux de la fin.

donc

Il nous faut donc un condensateur qui puisse supporter 10 V en

continu et qui limite l’ondulation de tension de Vs à 5% de

Vsmoy.

A l’aide du document [2] nous avons choisi le condensateur

« FELSIC 125 FRS (BC) CO 47 » de valeur nominal 220 µF et

de tension nominal 16 V.

D. Test du convertisseur

Dans cette partie nous allons tester le fonctionnement du

montage à l’aide du logiciel PSIM, afin de valider la cohérance

de nos calculs.

Fig. 3. Schéma du montage

En premier lieu, la phase de test se fera sans les résistances

série parasites de l’inductance et du condensateur ( et ).

Observons l’allure de Vs(t)

Fig. 4. Vs=f(t)

La tension Vs(t) correspond au cahiers des charges, la tension

moyenne du signal , l’ondulation max de

.

La tension moyenne relevée aux bornes de l’inductance

. Le courant moyen traversant la bobine

est au lieu de 5 A théorique.

4

Fig. 5. IL=f(t) et UL=f(t)

La courbe ic(t) correspond bien à celle voulue par le cahier des

charges.

Avec .

Fig. 6. Ic=f(t)

Le dimensionnement effectué satisfait les contraintes posées

par le cahier des charges. Cependant, c’est un modèle parfait,

dont nous éstimerons par la suite sa fidélité à la réalité.

IV. ETUDE DU MODELE REEL

Dans cette partie nous prendrons en compte les résistances

série parasites de l’inductance et du condensateur.

A. Determination des resistances parasites

Résistance de l’inductance

Sachant que notre diametre de fil est de 0.9 mm (un peu plus

petit que le diamètre de peau), nous pouvons calculer la

longueur totale de fil à prendre pour le bobinage de

l’inductance.

Avec r : rayon du fil.

ltot

Donc la résistance

. Cependant nous avons précisé précedemment

que nous mettions deux fils en parallèle ce qui revient à deux

résistances en parallèles :

Résistance du condensateur

Pour la determiner, nous avons tout simplement regardé dans la

documentation[2] du condensateur choisi. Nous avons relevé

la resistance serie (aussi appelé ESR) (à haute

fréquence).

A. Simulation sur PSim

Observons le comportement du système avec l’ajout des

nouveaux éléments. Voir fig. 3. Schéma du montage.

Observons la courbe de Vs :

<Vs>=10V. C’est la valeur souhaitée.

Cette valeur ne respecte

pas celle du cahier des charges qui impose une valeur de 0.5.

Un redimensionnement s’avère alors necessaire malgré la

valeur de la puissance en sortie Ps=49,97W

Fig. 7. Vs=f(t) et Is=f(t)

La tension moyenne relevée aux bornes de l’inductance

. Le courant moyen traversant la bobine

est au lieu de 5 A théorique. Les résistances

série n’influent que très peu sur les caractéristiques de

l’inductance.

Fig. 8. VL=f(t) et IL=f(t)

La tension mais soulignons que . Ceci est due aux résistances parasites, modifiant tensions et

courants. Cependant, celles-ci sont relativement de faibles

valeurs, ce qui explique cette ressemblance.

La courbe ic(t) correspond bien à celle voulue par le cahier des

charges.

Avec , fluctant entre -5 A et 5 A.

Fig. 9. Vc=f(t) et Ic=f(t)

Nottons aussi que pour avoir les même signaux que ceux

observés dans le cas idéal, il faut compenser l’ajout des

5

résistances série par une augmentation de la valeur de

l’inductance, la capacité n’influant que sur la forme du signal.

B. Méthode de dimensionnement

Nous proposons une autre méthode qui nous semble plus

correcte eu égard à l’imperfection des composants considérés :

Grâce à la loi des mailles, on détérmine l’expression

de IL(t) à partir de l’equation différentielle associée.

Conditions initiales : IL(t)=0. Après résolution, on trouve la

solution suivante :

On utilise la relation des valeurs moyennes suivantes :

<IL>=<Is>=

. On obtient ainsi une première équation en fonction de .

<IL(t)>

Nous obtenons une seconde équation en utilisant le

rendement qui nous donnera la puissance de sortie, celle-ci

étant fonction de

L’expression des pertes dans les résistances est :

Toujours en se servant de la loi des mailles, on peut

écrire

En découle l’équation différentielle suivante :

Un des cas limite peut s’écrire :

Avec .

Ic , en fonction de C et Rc est détérminable grâce à son

équation différentielle et sa valeur moyenne <Ic(t)>=0.

Nous nous retrouvons avec trois équations à quatre

inconnues. Nous n’arrivons pas à savoir si une des quatres

inconnues est un parametre dépendant des autres.

V. CONCLUSION

L’étude menée sur ce convertisseur Boost a pérmis, malgré un

dimensionement réaliste non réalisé, de mettre en évidence

l’ampleur des effets induits par les élements parasites des

composants passifs utilisés. En effet, malgré leur faible valeur,

les résistances parasites nous ont mené à redimensionner

l’inductance et la capacité du filtre LC du hacheur. Nonobstant

le respect de plusieurs conditions, le taux d’ondulation, lui ne

respecte plus le cahier des charges et faille au but primaire du

Boost : fournir une tension continue viable.

REFERENCES

[1] Ferroxcube, Soft Ferrites and Accessories 2005 p. 691 [2] Würth Elektronik, Electronic Interconnect & Electromechanical

Solutions SIC-SAFCO : Condensateurs Electrolytiques Aluminium

2008 p. 34