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Differences Finies et Volumes Finis

Master Mathematiques et Applications

Bruno Despres

2018

Introduction

On peut considerer que les methodes numeriques pour les equations aux derivees partielles (EDP) d’evolutions’appuient sur deux piliers. Le premier pilier en est l’analyse fonctionnelle et la theorie des espaces fonctionnels,le second pilier s’appuie sur les modeles d’EDP et leurs liens avec la modelisation des phenomenes reels. Cettediscipline est liee de tres pres egalement au developpement des moyens de calculs informatiques. Pour autantla construction et l’analyse numerique de methodes numeriques efficaces pour les EDP d’evolution s’appuientsur des regles propres qui forment l’objet de ces notes pour le cours de base du M2-Mathematiques de lamodelisation 1.

Un probleme modele central dans ces notes est issu de la modelisation des phenomenes reels et de la pratiquede l’art de l’ingenieur. Il est de type transport-diffusion et s’ecrit

∂tu+ a · ∇u−∆u = 0.

Cependant on considerera le plus souvent separement l’equation de transport ou d’advection ∂tu+ a · ∇u = 0,qui est de type hyperbolique, et l’equation de la chaleur ∂tu−∆u = 0, qui est de type parabolique. Les equationsde convection-diffusion, non lineaires cette fois, sont aussi tres utilisees en traitement de l’image, par exempleen suivant les modeles de Perona-Malik : ∂tu = ∇ · (g∇u) = g∆u +∇g · ∇u avec g une fonction non lineairecompliquee de u ; pour g = u on retrouve une equation pour les ecoulements en milieux poreux. Nous neconsidererons dans la suite que des equations a coefficients constants et donnes.

On s’appuiera sur les deux notions fondamentales que sont la stabilite et la consistance pour construire etjustifier les methodes de Differences Finies et Volumes Finis qui seront etudiees dans ces notes. Les methodesd’Elements Finis sont evoquees rapidement au chapitre 2. Les methodes de Differences Finies sont simples aconstruire et leur theorie sert de socle a la plupart des methodes numeriques non stationnaires. Les methodesde Volumes Finis peuvent etre vues comme des methodes de Differences Finies sur maillage tordu. Elles sontegalement simples de construction et sont a la base de la plupart des codes industriels et de recherche de CFD(Computational Fluid Dynamics).

Ce texte est redige avec deux niveaux de lecture. Tout ce qui concerne la construction des methodes numeriquesest en taille normale. Les parties en taille reduite apportent des details complementaires pour justifier certainselements ou pour mener a bien les diverses preuves. Elles doivent etre laissees de cote en premiere lecture. Dememe il est conseille de passer directement au deuxieme chapitre qui presente des principes de construction deschemas numeriques.

1. Des coquilles/erreurs peuvent subsister. Merci de les signaler par mail a [email protected]

3

Table des matieres

1 Cadre fonctionnel et modeles 71.1 Cadre fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Espaces de Lebesgue Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Inegalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Fonctions a variation bornee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Quelques modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.4 Systemes de Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.5 Termes sources ou de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Quelques principes de construction 172.1 Approximation numerique en dimension d = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Equation du transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.2 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Approximation numerique en dimension d ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.1 Methodes de Differences Finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Methode de Volumes Finis pour l’equation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.3 Methode de Volumes Finis pour l’equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.4 Methodes de Volumes Finis pour les systemes de Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Transformee de Fourier et Schemas de differences finis 373.1 Transformations de Fourier continue et discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Analyse numerique abstraite : l’approche de Lax 434.1 Consistance, stabilite et theoreme de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1 Operateur Πh d’interpolation/projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.2 Operateur discret Ah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.3 Cas instationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.4 Analyse du schema d’Euler explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.1.5 Schema de Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.6 Schema semi-discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.7 Principe de comparaison et supra-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.8 Caracterisation spectrale de la stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.1.9 Schema de splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5

6 TABLE DES MATIERES

4.2.1 Schema decentre en dimension un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2.2 Donnee moins reguliere et ordre de convergence fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2.3 Maillage non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Analyse numerique des Volumes Finis 595.1 Equation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1.1 Analyse de la condition de stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.1.2 Approximation, erreur de projection initiale et inegalite de Poincare-Wirtinger . . . . . . 645.1.3 Consistence des schemas de Volumes Finis pour l’advection . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Convergence dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.1 Premiere etape : estimation en temps dans Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2.2 Deuxieme etape : estimation en espace dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 Convergence dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3.1 Cas des fonctions indicatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3.2 Donnees generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4 Convergence du schema de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Chapitre 1

Cadre fonctionnel et modeles

Pour toute methode de discretisation numerique d’une equation aux derivees partielles, une question fonda-mentale est de montrer la convergence de la solution numerique vers la solution exacte, et mieux d’obtenir desestimations quantitatives optimales pour l’erreur. Pour cela, nous aurons besoin d’un cadre fonctionnel.Ce chapitre peut etre laisse de cote en premiere lecture.

1.1 Cadre fonctionnel

On renvoie a [6].

Definition 1 (Espace de Banach). Un espace de Banach reel V est un espace vectoriel reel, muni d’unenorme u 7→ ‖u‖ definie pour tout u ∈ V , et complet pour cette norme. Les proprietes de la norme sont

— ‖u‖ ≥ 0 pour tout u ∈ V ,— ‖u‖ = 0 si et seulement si u = 0,— ‖λu‖ = |λ| ‖u‖ pour tout λ ∈ R,— ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ pour tous u, v ∈ V .

L’espace V est appele un espace de Hilbert dans le cas ou la norme est associee a un produit scalaire

‖u‖ =√(u, u)

avec (u, v) ∈ R etant le produit scalaire de u et v. Pour memoire, les proprietes d’un produit scalaire reel sont— le produit scalaire est une forme bilineaire,— (u, u) ≥ 0 pour tout u ∈ V ,— (u, u) = 0 si et seulement si u = 0,— (u, v) = (v, u) pour tous u, v ∈ V .

1.1.1 Espaces de Lebesgue Lp

Soit Ω un ouvert regulier de Rd, borne ou non.

Definition 2 (Espaces de Lebesgue). Soit p ∈ [1,∞].— Pour 1 ≤ p <∞, l’espace Lp(Ω) est constitue des fonctions mesurables telles que

∫Ω |u(x)|

pdx <∞. La

norme dans Lp(Ω) est

‖u‖Lp(Ω) =

(∫

Ω

|u(x)|p dx) 1

p

.

— Pour p = ∞, l’espace L∞(Ω) est constitue des fonctions mesurables et bornees. La norme dans L∞(Ω)est

‖u‖L∞(Ω) = sup λ; mes (|u(x)| > λ) 6= 0 <∞.

7

8 CHAPITRE 1. CADRE FONCTIONNEL ET MODELES

— Les espaces de Lebesgue sont des espaces de Banach.

Les derivees partielles d’une fonction sont notees

u(k1,··· ,kd) =∂k1+···+kd

∂k1x1 . . . ∂

kdxd

u, avec 0 ≤ ki pour tout i = 1, . . . , d.

On renvoie a [6] pour une definition rigoureuse de la derivation au sens des distributions d’une fonction mesu-rable.

Definition 3. L’ensemble des fonctions mesurables de Lp(Ω) dont toutes les derivees sont egalement dansLp(Ω) jusqu’a un ordre de derivation totale de q ∈ N est note W q,p(Ω).Pour 1 ≤ p ≤ ∞ une norme dans W q,p(Ω) est

‖u‖W q,p(Ω) =∑

k1+···+kd≤q

||u(k1,··· ,kd)||Lp(Ω).

Le sous espace vectoriel de W q,p(Ω) constitue des fonctions a suport compact dans Ω est note W q,p0 (Ω) ⊂

W q,p(Ω).

1.1.2 InegalitesSoient deux nombres positifs p ∈ [1,∞] et q ∈ [1,∞] (l’infini est autorise) tels que

1

p+

1

q= 1.

Nous dirons que p et q sont conjugues.

Lemme 1 (Inegalite de Holder). Soient u ∈ Lp(Ω) et v ∈ Lq(Ω) ou p et q sont des nombres conjugues. Alors∣∣∣∣

∫

Ωu(x)v(x)dx

∣∣∣∣ ≤ ‖u‖Lp(Ω) × ‖v‖Lq (Ω).

Dans le cas p = q = 2, l’inegalite de Holder est identique a l’inegalite de Cauchy-Schwarz. Le cas p = ∞ et q = 1 est immediat.

1.1.3 Fonctions a variation borneeLe cadre des fonctions a variation bornee permet de manipuler des fonctions discontinues, ce qui est tres utile pour l’analysenumerique des equations de transport. On renvoie a [18, 19].Pour un vecteur ϕ = (ϕ1, · · · , ϕd) on notera

|ϕ| =√ϕ21 + · · ·ϕ2

d.

L’espace des fonctions a derivee bornee, a valeur vectorielle, a support compact, et bornees par 1, sera note

W1,∞b,0 (Rd) =

ϕ ∈W

1,∞0 (Rd), |ϕ(x)| ≤ 1 ∀x

Definition 4 (Variation totale). Soit u ∈ L1loc(R

d). Le nombre eventuellement infini

|u|BV(Rd) = supϕ∈W

1,∞b,0

(Rd)

(−∫

Rdu(x)∇ · ϕ(x)dx

)

sera appele la variation totale de u.

Exemple 1 (En dimension un d’espace). Soit u ∈ W 1,1(R). Alors

|u|BV = ‖u′‖L1(R) =

∫

R

|u′(x)|dx.

Cela vient de la formule d’integration par parties

−∫

R

u(x)ϕ′(x)dx =

∫

R

u′(x)ϕ(x)dx.

Le supremum sur tous les ϕ tels que |ϕ| ≤ 1 montre que

sup|ϕ|≤1

(∫

R

u′(x)ϕ(x)dx)

=

∫

R

∣∣u′(x)∣∣ dx = ‖u′‖L1(R).

1.2. QUELQUES MODELES 9

Exemple 2 (En dimension deux d’espace). Soit le carre unite C = x = (x1, x2), 0 < x1, x2 < 1 ⊂ R2. La fonction indicatricede C est notee 1C avec 1C(x) = 1 si x ∈ C ; 1C(x) = 0 dans le cas contraire.Alors |1C |BV = 4.

En effet on a a pour tout ϕ ∈ W1,∞b,0 (R2)

−∫

R2

1C(x)∇ · ϕ(x)dx = −∫

x∈C

∇ · ϕ(x)dx =

∫

x∈∂C

ϕ(x) · nSdx ≤ 4.

La borne est atteinte pour une suite bien choisie de fonctions ϕn.On remarque par ailleurs que la valeur 4 est la valeur du perimetre du carre C, ce que nous noterons

|C| = |1C |BV.

Definition 5 (Espace BV). L’espace des fonctions de L1(Rd) a variation totale bornee est note BV(Rd). Une norme associee est

‖u‖BV(Rd) = |u|BV(Rd) + ‖u‖1.

On a l’inclusion 1 dense W 1,1(Rd) ⊂ BV(Rd).

L’exemple 1 montre l’inclusion en dimension un d’espace. La densite de l’inclusion sera montree dans un cas particulier a la section5.3. L’inclusion est stricte W 1,1(Rd) 6= BV(Rd) comme consequence de la definition et des exemples.Soit u ≥ 0 une fonction mesurable positive ou nulle. On definit l’ensemble de niveau

Eλ =x ∈ R

d, u(x) > λ

⊂ Rd.

Le perimetre de Eλ est

|Eλ| =∣∣1Eλ

∣∣BV(Rd)

= supϕ∈W

1,∞b,0

(Rd)d

(

−∫

Eλ

∇ · ϕ(x)dx)

,

ou 1Eλest la fonction indicatrice de Eλ. Pour toute fonction positive ou nulle, on

u(x) =

∫ ∞

01Eλ

(x)dλ p.p.

Lemme 2 (Formule de la coaire : voir [18]). Soit u ∈ BV(Rd) une fonction positive ou nulle, u ≥ 0. Alors

|u|BV(Rd) =

∫ ∞

0|Eλ|dλ. (1.1)

1.2 Quelques modeles

Les modeles consideres sont lineaires. Ils servent souvent de briques de base pour des modeles plus elabores.

1.2.1 Equation de transport

L’equation du transport libre a vitesse constante s’ecrit en tout dimension

∂tu+ c.∇u = 0, t > 0, x ∈ Rd.

1. Notons aussi que BV (R) ⊂ L∞(R) en dimension un d’espace. Une preuve rapide est la suivante. Soit u ∈ BV (R) : on sedonne trois nombres x0 ∈ R, ε > 0 et µ > 0 et on considere la fonction continue negative ou nulle

ϕ(x) = −

0 pour x ≤ x0,x−x0

εpour x0 ≤ x ≤ x0 + ε,

1− µ(x − x0 − ε), pour x0 + ε ≤ x ≤ x0 + ε+ 1µ,

0 pour x0 + ε+ 1µ

≤ x.

On a bien |ϕ| ≤ 1. On a aussi −∫Ru(x)ϕ′(x)dx ≤ BV(u). Un calcul montre que −

∫Ru(x)ϕ′(x)dx = 1

ε

∫ x0+εx0

u(x)dx −

µ∫ x0+ε+ 1

µ

x0+ε u(x)dx. Donc∫ x0+εx0

(u(x)− BV(u)) dx ≤ εµ∫ x0+ε+ 1

µ

x0+ε u(x)dx. Comme u ∈ L1(R), on peut passer a la limite µ → 0

pour le deuxieme terme qui tend vers zero : limµ=0+ µ∫ x0+ε+ 1

µ

x0+ε u(x)dx = 0. Donc∫ x0+εx0

(u(x)− BV(u)) dx ≤ 0. Cela etant arbi-

traire par rapport a x0 et ε qui peut etre aussi petit que souhaite, alors u(x) ≤ BV (u) presque partout. De meme on montre enprenant ψ = −ϕ que −BV (u) ≤ u(x) presque partout. Donc u ∈ L∞(R).


La fonction (t,x) 7→ u(t,x) est l’inconnue : t est la variable de temps, et x = (x1, · · · , xd) ∈ Rd est la variable

d’espace. L’operateur gradient est defini par

∇u =

(∂

∂x1u, · · · , ∂

∂xdu

).

Le champ x 7→ c(x) ∈ Rd est donne. Il est appele champ de vitesse pour des raisons qui paraıtront evidentesdans la suite.

Dimension d = 1

On considere tout d’abord le cas en dimension d = 1 pour une vitesse constante que l’on note a ∈ R. Il s’agitde l’equation d’advection

∂tu+ a∂xu = 0, t > 0, x ∈ R. (1.2)

On supposera que a > 0. L’autre cas a < 0 est symetrique et se deduit du cas a > 0. On munit l’equation d’unecondition initiale a t = 0

u(0, x) = u0(x). (1.3)

Lemme 3. L’unique solution de (1.2) avec la condition initiale (1.3) est

u(t, x) = u0(x− at). (1.4)

Demonstration. Cette propriete peut se demontrer dans tout type d’espace fonctionnel. Par souci de simpliciteon considere une donnee initiale reguliere u0 ∈ C1(R). Prenons la fonction definie par (1.4). On a ∂tu =−au′0(x − at) et ∂xu = u′0(x − at). Donc ∂tu + a∂xu = −au′0 + au′0 = 0 ce qui montre que (1.4) est bien unesolution.

t

x = X2 + at

xX1 X2

x = X1 + at

Figure 1.1 – La solution de l’equation d’advection est constante le long des droites caracteristiques x = X+at.

Montrons a present l’unicite. Soient u1 et u2 deux solutions de classe C1(R) eventuellement differentes, avec lameme donnee initiale

u1(0, x) = u2(0, x) = u0(x).

Soit x 7→ ϕ0(x) une fonction derivable, positive ou nulle, a support compact : ϕ0(x) = 0 for |x| ≥ A. On noteϕ(t, x) = ϕ0(x − at) qui est solution de l’equation d’advection. Posons v = (u1 − u2)2ϕ ≥ 0. On commence parverifier que v est aussi solution de l’equation d’advection

∂tv + a∂xv = 2 (u1 − u2)ϕ (∂t (u1 − u2) + a∂x (u1 − u2)) + (u1 − u2)2 (∂tϕ+ a∂xϕ) = 0.

Par construction v est a support compact ce qui n’etait pas necessairement le cas de u1 ni de u2. Donc

0 =

∫

R

(∂tv + a∂xv) dx =

∫

R

∂tvdx + a

∫ A+at

−A+at

∂xvdx =d

dt

∫

R

vdx.


Or v(0, x) = 0. Donc∫Rv(T, x)dx = 0 pour tout T > 0. Comme v ≥ 0, il s’ensuit que v ≡ 0. Le support de v

pouvant etre aussi grand que souhaitee, cela montre que u1 = u2.

Soit un champ de vitesse de transport x 7→ c(x) ∈ R et u une solution de l’equation du transport

∂tu+ c(x)∂xu = 0, u(x, 0) = u0(x).

Nous construisons les courbes caracteristiques

y′(t;X) = c(y(t;X)),y(0;X) = X.

On utilise souvent des notations simplifiees. Par exemple en notant les courbes caracteristiques x(t) a la placede x = y(t;X).

Proposition 1. Supposons c Lipschitzienne et bornee. Alors il existe une et une seule solution de l’equationdes courbes caracteristiques (x ∈ R, t ≥ 0).

Demonstration. C’est une consequence du theoreme de Cauchy-Lipshitz.

Proposition 2. Sous les memes hypotheses, une solution de l’equation du transport est

u(x, t) = u0(X), x = y(t;X).

Demonstration. On a u(x, t) = u(y(t;X), t). Derivant par rapport a t, X etant fixe, on obtient

0 =d

dtu0(X) =

d

dtu(y(t;X), t) = y′(t;X)∂xu(y(t;X), t) + ∂tu(y(t;X), t)

= ∂tu(y(t;X), t) + c(y(t;X))∂xu(y(t;X), t).

Cela est vrai pour tout (t,X), c’est vrai pour tout x = y(t;X) et tout t. La preuve est terminee.

Dimension d ≥ 2 en domaine borne

Nous nous concentrons a present sur les conditions au bord qu’il faut considerer en domaine borne, car celaconstituera un bon point de depart pour la construction de schemas numeriques pour cette equation.Soit Ω ⊂ Rd un ouvert borne regulier. On note le champ de vitesse x 7→ a(x). On supposera que a ∈ C1(Ω) esta divergence nulle

∇.a = 0.

De ce fait l’equation admet une formulation conservative

∂tu+∇ · (au) = ∂tu+ a · ∇u+ (∇ · a)u = 0.

Le bord de Ω est separe en deux parties Γ = Γ− ∪ Γ+ avec

Γ− = x ∈ Γ, a · n < 0, Γ+ = x ∈ Γ, a · n ≥ 0.

Nous considerons le probleme avec condition initiale et condition au bord

∂tu+ a · ∇u = 0, x ∈ Ω, t > 0,u(0,x) = u0(x), x ∈ Ω,u(t,x) = u−(t,x), x ∈ Γ−.

(1.5)

On note immediatement qu’il n’y a pas de condition sur le bord Γ+.


n

a

Γ−

Γ+

n

n

n

Figure 1.2 – Sur cet exemple le champ de vitesse a est oriente en diagonale : la partie Γ+ du bord surligneeen gras est constitue des parties du bord en haut et a droite ; la partie Γ− du bord correspond aux parties dubord en bas et a gauche.

Lemme 4. Soient deux fonctions u1 et u2 solutions regulieres de (1.5). Supposons que u1 ont u2 ont la memecondition initiale, et ont la meme condition sur le bord Γ−. Alors u1 = u2.

Demonstration. La difference e = u1 − u2 est solution de

∂te+ a · ∇e = 0, x ∈ Ω, t > 0,e(0,x) = 0, x ∈ Ω,e(t,x) = 0, x ∈ Γ−.

Posons E(t) = 12 ‖e(t)‖

22. Alors

E′(t) =

∫

Ω

e∂tedx = −∫

Ω

ea · ∇edx = −∫

Ω

∇ ·(ae2

2

)dx

= −∫

Γ−

a · ne2

2dσ −

∫

Γ+

a · ne2

2dσ = −

∫

Γ+

a · ne2

2dσ ≤ 0.

Notons que l’on a utilise que e = 0 on Γ−. Or E(0) = 0 donc E(t) = 0 pour tout temps t > 0. Cela montre queu1 = u2.

Il est important de bien comprendre pourquoi le bord Γ+ ne joue finalement aucun role dans la preuve d’unicite.

Courbes caracteristiques ”en avant” dans un domaine borne

A present nous construisons la solution a partir des courbes caracteristiques t 7→ y(t,X) definies par

d

dty(t,X) = a(X) avec la donnee initiale y(0,x) = X.

Ces courbes sont correctement construites dans le cadre du theoreme de Cauchy-Lipschitz pour a ∈ C1(Ω).Soit une fonction u constante le long des caracteristiques

u(y(X), t) = u0(X).

Elle verified

dtu = ∂tu+

d

dty(t,X).∇u = ∂tu+ a.∇u = 0.

Pour un x donne et un t donne, on peut ainsi determiner la valeur de u(t,x) une fois que le pied de la caracteristique X a ete definien resolvant l’equation

y(t,X) = x. (1.6)

Il s’ensuit qu’il est necessaire d’inverser l’equation (1.6) pour obtenir le point de depart X ∈ Ω∪Γ− de la caracteristique qui arriveen (t,x) ∈ R+ × Ω. Pour rendre la discussion legerement plus simple, on peut construire les caracteristiques ”en arriere”.


X1 ∈ Γ−

x2 ∈ Γ+

Figure 1.3 – La fonction u est constante le long des caracteristiques dont le point de depart est note sous laforme de cercle noir : le point X1 ∈ Γ− est un point de depart ; le point x2 ∈ Γ+ n’est pas un point de depart.

Courbes caracteristiques ”en arriere” dans un domaine borne

Les courbes caracteristiques en arriere sont construites a partir de la position au temps final

d

dtX(t,x) = −a(X) pour t > 0, avec X(0,x) = x ∈ Ω.

Bien sur X(t, x) est aussi le point de depart de la caracteristique en avant discutee precedemment. Nous definissons le temps (desortie)

T (x) = inf(t) tel que X(t,x) ∈ ∂Ω.

Si X(t, x) ∈ Ω pour tout t > 0, on posera T (x) = +∞. Par definition T (x) > 0 pour tout x ∈ Ω.La construction de la solution u au point (t, x) s’appuie sur deux cas.

Premier cas : t < T (x). On poseu(t,x) = u0(X(t, x)). (1.7)

Deuxieme cas : T (x) ≤ t. Pour le temps t = T (x) la courbe caracteristique rencontre le bord, necessairement en Γ−. Onpose

u(t,x) = u− (t− T (x),X (T (x),x)) . (1.8)

Par construction la fonction u (1.7-1.8) satisfait la condition initiale

u(0,x) = u0(x), ∀x ∈ Ω, (c’est a dire (1.7) a t = 0) ,

et la condition au bordu(t,x) = u−(t, x), ∀x ∈ Γ−,

(c’est a dire (1.8) pour x ∈ Γ−) .

Il reste a verifier que u est bien solution, et en quel sens, de l’equation de transport. On a un premier resultat, qui est partielcependant car il y une restriction sur le temps.

Lemme 5. Supposons que u0 ∈ C1(Ω). Soit un point de l’espace temps (t, x) tel que t < T (x). Alors la fonction u (1.9) estlocalement C1 et est solution de

∂tu+ a.∇u = 0 ∀x ∈ Ω ∀t < T (x).

Demonstration. On a par construction

X(t − h,X(h,x)) = X(t, x) pour de petits h > 0,

doncu(t − h,X(t − hX(h,x)) = u(t,x) pour de petits h > 0. (1.9)

La transformation (t,x) 7→ X(t,x) est C1 localement autour de (t,x) dans le cas t < T (x). Par derivation de (1.9) on obtientddhu(t − h,X(t − hX(h,x)) = 0, ou encore

−∂tu− d

dhX(t − hX(h,x) · ∇u = 0.

Par ailleurs ddh

X(t − hX(h,x) = a(X(t − hX(h,x)), donc pour h = 0 on obtient −∂tu− a.∇u = 0.

La restriction est pour t ≥ T (x), qui peut faire apparaitre des pertes dans le caractere regulier de la solution. Par exemple le tempsde sortie x 7→ T (x) peut meme ne pas etre continu, comme dans l’exemple de la figure 1.4.De maniere generale il est possible de considerer que la fonction definie par formulation Lagrangienne (1.9) est une solutiongeneralisee de la formulation Eulerienne de l’equation du transport. On pourra consulter [2].


x2

x1a

X2

X1

X0

x0

Ω

Figure 1.4 – La vitesse a est verticale et constante. La fonction x 7→ X(T (x),x)) n’est pas continue au pointx1. Le temps de sortie T (x) est egalement discontinu en x1.

1.2.2 Equation de la chaleur

L’operateur Laplacien est defini en dimension d par

∆u = ∇ · ∇u =∂2

∂x21u+ · · ·+ ∂2

∂x2du.

Soit le probleme de la chaleur en dimension d = 2 avec une condition de Neumann

∂tu−∆u = 0, t > 0, x ∈ Ω,∇u · n = 0, t > 0, x ∈ Γ,u(0,x) = u0(x) x ∈ Ω.

(1.10)

Ce probleme est bien pose. Il existe une et une seule solution de la formulation variationnelle associee : voir[17, 19].

On considere l’energie quadratique E(t) = 12 ‖u(t)‖

2L2(Ω) . On a E′(t) =

∫Ω u∂tudx =

∫Ω u∆udx. Une integration

par parties montre que E′(t) = −∫Ω∇u · ∇udx +

∫Γ u∇u · ndσ = −

∫Ω |∇u|

2dx. Une integration en temps

montre que

E(T ) +

∫ T

0

∫

Ω

|∇u(t,x)|2 dxdt = E(0).

L’unicite est alors immediate pour les solutions regulieres.

Lemme 6. Soient deux solutions u1 et u2 pour la meme condition initiale u0. Alors u1 = u2.

Demonstration. Soit u = u1 − u2, qui est alors solution du meme probleme avec une condition initiale nulle.L’identite precedente montre que E(T ) ≤ E(0) = 0, donc u ≡ 0, ce qui montre l’unicite de la solution.

Les liens entre (1.10) et les problemes variationnels stationnaires sont immediats apres utilisation d’une procedure d’Euler implicitepour la discretisation de la derivee en temps. Soit ∆t > 0 un pas de temps destine in fine a tendre vers 0. On approche (1.10) parune succession de problemes stationnaires un

un+1 −∆t∆un+1 = un, x ∈ Ω,∇un+1 · n = 0, t > 0, x ∈ Γ,u0 = u0 x ∈ Ω.

(1.11)

Exercice 1. On considere que u0 ∈ L2(Ω). Montrer que la formulation variationnelle de (1.11) admet une unique solution dansH1(Ω) pour tout n ∈ N.

On renvoie a [9] pour les aspects complementaires.


1.2.3 Principe du maximum

Les equations d’advection et de diffusion satisfont le principe du maximum que nous etudions ici pour le problemedans le plan

∂tu+ a · ∇u− k∆u = 0, x ∈ R2, t > 0u(0,x) = u0(x), x ∈ R2,

(1.12)

pour a ∈ R2 et k ≥ 0.Soit ϕ : R → R une fonction de classe C2 et convexe : ϕ′′ ≥ 0. On supposera que ϕ(0) = 0 et que u est negligeable a l’infini.

Lemme 7 (Estimation a priori). On a ∫

R2

ϕ (u(t,x)) dx ≤∫

R2

ϕ (u0(x)) dx. (1.13)

Demonstration. On a

d

dt

∫

R2

ϕ (u(t,x)) dx =

∫

R2

∂tu(t,x)ϕ′ (u(t,x)) dx =

∫

R2

(k∆u− a · ∇u)ϕ′ (u(t,x)) dx

= ∇ ·(k∇∫

R2

ϕ (u(t,x)) dx− a

∫

R2

ϕ (u(t, x)) dx

)− k

∫

R2

|∇u(t,x)|2 ϕ′′ (u(t,x)) dx.

Comme u tend vers 0 pour |x| → ∞ et que ϕ(0) = 0, on peut integrer dans tout le domaine car les termes a l’infini disparaissent.On obtient

d

dt

∫

R2

ϕ (u(t, x)) dx ≤ 0.

Cela termine la preuve apres integration en temps.

Soit u0 ∈ L∞(R2), et pour simplifier positive et a support compact : 0 ≤ u0 ≤ ‖u0‖L∞(R2).

Lemme 8. On a pour tout t > 0

0 ≤ u(t,x) ≤ ‖u0‖L∞(R2), x ∈ R2. (1.14)

Demonstration. Soit la fonction ϕ : R → R

ϕ−(v) = max (−v, 0)3 = max(−v3, 0

).

Cette fonction est convexe. Sa derivee seconde est continue et nulle en v = 0. Donc ϕ− est C2. De plus ϕ ≥ 0 et ϕ(v) = 0 siet seulement si v ≥ 0. Du fait de la positivite de la donnee initiale, l’estimation a priori fournit :

∫R2 ϕ− (u(t,x)) ≤ 0. Donc∫

R2 ϕ− (u(t,x)) ≤ 0 et au final u(t,x) ≥ 0.Soit a present

ϕ+(v) = max(0, v − ‖u0‖L∞(R2)

)3= max

(0,(v − ‖u0‖L∞(R2)

)3),

qui est une fonction convexe et de derivee seconde continue (et nulle en v = ‖u0‖L∞(R2)). On a alors

∫

R2

ϕ+ (u(t,x)) dx ≤∫

R2

ϕ+ (u0(x)) dx = 0

ce qui montre in fine que u ≤ ‖u0‖L∞(R2).

1.2.4 Systemes de Friedrichs

Soient deux matrices A1, A2 ∈ Rn×n. On fait l’hypothese majeure que les matrices sont symetriques

A1 = At1 et A2 = At

2.

On considere le systeme de Friedrichs a coefficients constants

∂tU+ A1∂x1U+A2∂x2U = 0, t > 0, x = (x1, x2) ∈ R2. (1.15)

La fonction inconnue est U(t,x) ∈ Rn. La condition initiale s’ecrit U(0,x) = U0(x) pour tout x ∈ R2, ou la fonction U0 est ladonnee initiale. Les systemes de Friedrichs sont accompagnes d’une identite d’energie quadratique.

Proposition 3. Les systemes de Friedrichs conservent l’energie quadratique : ddt

‖U(t, ·)‖L2(R)n = 0.


Demonstration. On considere une solution de (1.15), suffisamment reguliere d’une part. Le produit scalaire avec U donne

∂tU ·U+A1∂x1U ·U+ A2∂x2U ·U = 0.

On a ∂tU ·U = 12∂t|U|2. Par ailleurs

1

2∂x1 (A1U ·U) =

1

2A1∂x1U ·U+

1

2A1U · ∂x1U =

1

2A1∂x1U ·U+

1

2U ·At

1∂x1U. =

(A1 + At

1

2∂x1U

)·U.

Or A1 est symetrique. Donc 12∂x1 (A1U ·U) = (A1∂x1U)·U. De meme 1

2∂x2 (A2U ·U) = (A2∂x1U)·U car A2 est aussi symetrique.

On a donc1

2∂t|U|2 +

1

2∂x1 (A1U ·U) +

1

2∂x2 (A2U ·U) = (∂tU+A1∂x1U+ A2∂x2U) ·U = 0.

D’ou apres integration en espace pour une fonction assez petite a l’infini (en espace) ddt

∫R2 |U|2dx = 0, d’ou l’on deduit le

resultat.

1.2.5 Termes sources ou de couplageLe couplage de certains modeles d’EDP avec des termes sources ou de couplage peut generer de nouvelles questions, tant en termed’analyse des modeles que de construction pour les methodes numeriques. C’est particulierement vrai lorsqu’il a y interaction forteentre les termes sources et les operateurs aux derives partielles. Nous illustrons ce comportement sur le modele suivant.Soit le systeme des ondes lineaires avec deux parametres ǫ > 0 et σ > 0

∂tp+1ε∇ · u = 0, t > 0, x ∈ R2,

∂tu+ 1ε∇p + σ

ε2u = 0, t > 0, x ∈ R2,

(1.16)

avec les conditions initiales p(0) = p0 et u(0) = u0. Les inconnues sont d’une part p ∈ R qui est un scalaire et d’autre part u ∈ R2

qui est un vecteur.

Exercice 2. Montrer formellement l’identite d’energie

d

dt

∫

R2

(p(x, t)2 + |u(x, t)|2

)dx = − σ

ε2

∫

R2

|u(x, t)|2dx.

Un phenomene particulierement interessant apparait dans le regime ou ε > 0 est petit. Pour le mettre en evidence nous consideronsun developpement de Hilbert, c’est a dire que nous developpons a priori chacune des quantites presentes en fonction de ε sous laforme

p = p0 + εp1 + ε2p2 +O(ε3)

etu = u0 + εu1 + ε2u2 + O(ε3).

Dans ces expressions p et u dependent de ε car sont solutions d’un systeme d’EDP qui depend de ε. Cependant nous consideronsque p0, p1, p2, u0, u1 et u2 sont eux independants du parametre ε. Ceci est un developpement a priori ou Ansatz.

Lemme 9. La limite formelle p0 verifie l’equation de la chaleur

∂tp0 − 1

σ∆p0 = 0, t > 0 et x ∈ R

2. (1.17)

Demonstration. En plongeant ce developpement dans le systeme (1.16) et en organisant en puissance de ε on obtient pour lapremiere equation

1

ε

(∇ · u0

)+(∂tp

0 +∇ · u1)+O(ε) = 0

et pour la deuxieme equation (la puissance en ε du terme residuel n’est pas la meme)

1

ε2

(σu0

)+

1

ε

(σu1 +∇p0

)+O(1) = 0.

En identifiant les coefficients en puissance de ε, on obtient

∇ · u0 = 0 et σu0 = 0 =⇒ u0 = 0,

puis ∂tp0 +∇ · u1 = 0 et σu1 +∇p0 = 0 d’ou l’on deduit le resultat apres elimination de u1.

Il s’ensuit que le systeme hyperbolique avec terme source (1.16) admet une limite asymptotique (1.17) qui est parabolique

sans terme source. Un tel phenomene de changement de type est tout a fait caracteristique de l’interaction de termes sourcesavec des operateurs aux derivees partielles.

Chapitre 2

Quelques principes de construction

Nous considerons plusieurs types de discretisation numerique en distinguant suivant que la grille est cartesienneou quelconque, suivant le type d’equation (transport ou chaleur) et suivant la methode d’approximation (Differen-ces Finies, Elements Finis et Volumes Finis).L’indice abstrait signalant une approximation numerique sera note h. En pratique h est souvent egal au pasd’espace ∆x. Plus generalement h pourra designer l’ensemble des parametres numeriques, par exemple h =(∆x,∆t).

2.1 Approximation numerique en dimension d = 1

Nous considerons une grille de pas d’espace uniforme ∆x > 0 et de pas de temps ∆t > 0. Comme sur la figure2.1, les points de grille en espace seront notes xj = j∆x pour j ∈ Z et les points de grille en temps seront notestn = n∆t pour n ∈ N.

0x

t

x xx1 2 3

x x0−1

(x ,t )2 3

t

t

t

t

t

1

2

3

4

5

t

Figure 2.1 – Grille Differences Finies

La valeur de la solution exacte u en (xj , tn) est

u(xj , tn).

La solution numerique au point (xj , tn) sera notee unj . A priori unj 6= u(xj , tn) En rassemblant toutes les valeurs

17

18 CHAPITRE 2. QUELQUES PRINCIPES DE CONSTRUCTION

pour un temps donne, on definit la solution au temps tn

vn = (u(xj , tn))j∈Z∈ R

Z.

On notera la solution numerique au temps tn par

un =(unj)j∈Z∈ R

Z.

Nous considererons que la donnee initiale u0 est connue, et pour simplifier que c’est une fonction continue. Aussila discretisation sur la grille de la condition initiale est immediate

u0j = u0(xj), j ∈ Z. (2.1)

Le principe de discretisation consiste a utiliser l’operateur aux derivees partielles pour etablir une relation derecurrence qui permette de calculer successivement la solution numerique a chaque pas de temps tn.

2.1.1 Equation du transport

Approximation par Differences Finies

Principe 1 (Differences Finies). Le principe de construction des methodes de Differences Finies consiste adiscretiser les operateurs differentiels ∂t et ∂x, en faisant toutes hypotheses de regularite necessaires pour justifierles divers ordres d’approximations.

On a par exemple pour la derivation en temps

∂tu(xj , tn) =u(xj , tn)− u(xj , tn)

∆t+O(∆t).

Concernant la derivation en espace on a

∂xu(xj , tn) =u(xj , tn)− u(xj−1, tn)

∆x+O(∆x) (decentrement a gauche),

∂xu(xj , tn) =u(xj+1, tn)− u(xj−1, tn)

2∆x+O(∆x2) (approximation centree),

∂xu(xj , tn) =u(xj+1, tn)− u(xj , tn)

∆x+O(∆x) (decentrement a droite).

Supposons que la vitesse est positive a > 0 dans l’equation du transport. Pour des raisons de stabilite, il fautprivilegier la discretisation en espace decentree a gauche

u(xj , tn+1)− u(xj , tn)∆t

+ au(xj , tn)− u(xj−1, tn)

∆x= O(∆x,∆t). (2.2)

En abandonnant le terme de residu et en remplacant la valeur exacte par l’approximation numerique, on obtientle schema de differences finies decentre

un+1j − unj

∆t+ a

unj − unj−1

∆x= 0, j ∈ Z, n ≥ 0. (2.3)

Ce schema prend aussi le nom de schema upwind, car le decentrement va chercher l’information en remontantle courant, ou encore en remontant le vent. L’erreur de troncature visible dans (2.2) fait que ce schema est ditd’ordre un (en temps et en espace).

Principe 2 (Ordre d’un schema : ce principe sera precise et generalise aux definitions 10, 9 et 11 et a laremarque 12). Soit une equation aux derivees partielles du premier ordre en temps et d’ordre quelconque enespace. Soit un schema numerique donne. Supposons que l’insertion des valeurs ponctuelles de la solution exactedans le schema permet d’obtenir un residu de la forme O(∆xp +∆tq). Alors on dira que le schema est d’ordrep en espace et q en temps.

2.1. APPROXIMATION NUMERIQUE EN DIMENSION D = 1 19

Une illustration numerique avec le schema upwind est la suivante. Nous considerons une donnee initiale u0(x) =1 si 0.2 < x < 0.6 et u0(x) = 0 ailleurs, et des conditions periodiques aux bords. La solution exacte estu(x, t) = u0(x− at) aussi

u(x, 0.3) = 1 pour 0.5 < x < 0.8, et u(x, 0.3) = 0 ailleurs.

Nous notons que cette solution est discontinue.

Nous resolvons numeriquement avec 100 mailles sur un intervalle de longueur 1, soit ∆x = 0.01. Les resultatscalcules avec le schema upwind sont presentes a la figure 2.2 pour ν = a∆t

∆xavec trois valeurs du parametre

ν = 1.1, ν = 0.1 et ν = 0.7. Pour ν = 1.1, on observe une solution numerique violemment oscillante, on dirainstable. En revanche la solution numerique semble proche de la solution exacte pour ν = 0.1 et ν = 0.7.

A partir de la forme explicite du schema upwind,

un+1j = (1− ν)unj + νunj−1

on retrouve aisement que ν ≤ 1 est une condition suffisante pour eliminer les violentes oscillations numeriquesdu cas ν = 1.1. En effet

ν ≤ 1 =⇒ supj

∣∣un+1j

∣∣ ≤ supj

∣∣unj∣∣ . (2.4)

Le phenomene de stabilite/instabilite sera etudie systematiquement au chapitre suivant. On demontrera aussila convergence numerique sous des conditions generales.

0.8 0.9 1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

’sol0’

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

u

x

−20

’sol1’

t = 0 t = 0.3 et ν = 1.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

u

x

0

’sol2’

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

u

x

0

’sol3’

t = 0.3 et ν = 0.1 t = 0.3 et ν = 0.7

Figure 2.2 – Donnee initiale en haut a gauche, solution numerique au temps t = 0.3 pour trois valeurs differentesdu parametre ν = a∆t

∆x. On observe une instabilite en haut a droite, et une solution numerique ”correcte” en

bas.


Approximation par Elements Finis

Principe 3 (Methode des elements finis). La discretisation numerique par methode des elements finis s’appuied’une part sur l’etablissement d’une formulation variationnelle des equations, et d’autre part sur le choix d’unespace d’approximation de Galerkin.

Nous presentons l’application de ce principe sur l’equation simplifiee stationnaire

d

dxu = f, x ∈ R. (2.5)

pour un second membre donne f . La formulation faible que nous considerons est

∫

R

d

dxu(x)v(x)dx =

∫

R

f(x)v(x)dx, u ∈ V, ∀v ∈ V. (2.6)

A priori l’espace verifie V ⊂ H1(R), ce qui fait que les integrales sont bien definies (i.e. sont convergentes).Pour une raison de symetrie qui fait partie integrante des approximations de Galerkin, les fonctions tests sonta prendre dans le meme espace. Il faut faire attention cependant car la forme bilineaire definie dans (2.6) n’estpas coercive. Cependant cela n’empeche pas d’appliquer l’approximation de Galerkin en dimension finie pourobtenir une discretisation numerique.

Lemme 10. L’approximation Elements Finis de type P 1 de l’operateur differentiel ddx

est centree.

Demonstration. L’approximation de Galerkin discrete la plus simple de type P 1 s’appuie sur Vh = Vect (ϕj)j∈Z⊂

V avec

ϕj(x) = 0 pour x ≤ (j − 1)∆x ou x ≥ (j + 1)∆x,

ϕj(x) =x− (j − 1)∆x

∆xpour (j − 1)∆x ≤ x ≤ j∆x,

ϕj(x) =(j + 1)∆x− x

∆xpour j∆x ≤ x ≤ (j + 1)∆x.

(2.7)

xj+1

x

ϕj+1(x)ϕj−1(x)

ϕj(x)

xj−1 xj

Figure 2.3 – Fonction chapeau ϕj et les deux fonctions voisines ϕj−1 et ϕj+1

La formulation discrete est∫

R

d

dxuh(x)vh(x)dx =

∫

R

f(x)vh(x)dx, uh ∈ Vh, ∀vh ∈ Vh, (2.8)

ou encore ∫

R

d

dxuh(x)ϕj(x)dx =

∫

R

f(x)ϕj(x)dx, ∀j. (2.9)

L’approximation numerique est uhuh =

∑

i∈Z

uiϕi.


On obtient ∑

i∈Z

(∫

R

ϕ′i(x)ϕj(x)dx

)ui =

∫

R

f(x)ϕj(x)dx, ∀j.

Posons ai,j =∫Rϕ′i(x)ϕj(x)dx. Des calculs elementaires montrent que

ai,j = 0 i ≤ j − 2,ai,j = 0 i ≥ j + 2,

aj+1,j =

∫ (j+1)∆x

j∆x

1

∆x× (j + 1)∆x− x

∆xdx =

1

2,

aj−1,j =

∫ j∆x

(j−1)∆x

−1∆x× x− j∆x

∆xdx = −1

2,

aj,j =

∫

R

d

dx

(ϕ2j

2

)dx = 0.

On obtient une approximation numerique sous la forme

uj+1 − uj−1

2=

∫

R

fϕj , j ∈ Z.

Posons par commodite fj =1

∆x

∫Rfϕj . On ecrit alors

uj+1 − uj−1

2∆x= fj , j ∈ Z. (2.10)

En comparant avec l’equation de depart (2.5), cela montre bien que l’approximation numerique obtenue parelements finis est centree.

Ce principe s’etend naturellement a l’approximation par methode variationnelle en espace-temps de ∂tu+a∂xu =0 qui s’ecrit ∫

R

∫

R

(∂tu+ a∂xu) v(x, t)dxdt = 0, u ∈ V, ∀v ∈ V.

Les fonctions discretes en temps sont

ψn(x) = 0 pour t ≤ (n− 1)∆t ou t ≥ (n+ 1)∆t,

ψn(x) =t− (n− 1)∆t

∆tpour (n− 1)∆t ≤ t ≤ n∆t,

ψn(x) =(n+ 1)∆t− t

∆tpour n∆t ≤ t ≤ (t+ 1)∆t.

L’approximation numerique est

uh(x, t) =∑

i,m

umi ϕi(x)ψm(t).

La variante discrete s’ecrit∫

R

∫

R

(∂tuh + a∂xu∆x,∆t)ϕj(x)ψn(t)dxdt = 0, ∀j, n.

On obtient ∑

j,n

(∫

R

∫

R

(ϕ′i(x)ψm(t) + aϕi(x)ψ

′m(t))ϕj(x)ψn(t)dxdt

)umi = 0, ∀j, n,

ou encore ∑

j,n

(∫

R

ai,jbm,n + abi,jam,n

)umi = 0, ∀j, n.


Les coefficients sont

bi,j =

∫

R

ϕi(x)ϕj(x)dx =

2

3pour i = j,

1

6pour i = j ± 1,

0 pour i 6= j − 1, j, j + 1.

On obtient finalement le schema

16u

n+1j−1 + 2

3un+1j + 1

6un+1j+1 − 1

6un−1j−1 − 2

3un−1j − 1

6un−1j+1

∆t(2.11)

+a16u

n−1j+1 + 2

3unj+1 +

16u

n+1j+1 − 1

6un−1j−1 − 2

3unj−1 − 1

6un+1j−1

∆t= 0.

On remarque que ce schema est centre en temps et en espace. Il est aussi implicite car on ne peut pas calculerdirectement un+1.Une autre possibilite consiste a utiliser une approximation d’elements finis pour la partie en espace, et a secontenter d’une discretisation explicite pour la derivee en temps. On obtient

un+1j − unj

∆t+ a

unj+1 − unj−1

2∆x= 0. (2.12)

Dans les trois cas (2.10), (2.11) et (2.12), l’approximation de ddx

par elements finis est centree.

Approximation par Volumes Finis

Principe 4. La discretisation numerique par methodes de volumes finies s’appuie : a) sur une ecriture sousforme divergente des equations ; b) sur une integration des equations dans un volume de controle s’appuyantsur un maillage : c) sur la construction de flux numeriques pour clore la construction.

Une forme divergente des equations signale que les differents termes sont ranges ”a l’interieur” des operateursdifferentiels. Pour l’advection c’est le cas car on peut ecrire ∂t(u) + ∂x(au) = 0.L’etape b) peut se realiser en integrant dans un volume espace-temps ou uniquement espace, avec le memeresultat. Par souci de simplicite, nous integrons dans un volume de type espace.Le volume (ou maille, ou cellule) d’indice j est situe entre les bords de volume xj− 1

2=(j − 1

2

)∆x et xj+ 1

2=(

j + 12

)∆x. La longueur (volume en 3D) de la maille est ∆xj = xj+ 1

2− xj− 1

2: on remarque que les longueurs

de mailles peuvent etre variables ce qui autorise plus de souplesse pour la mise en oeuvre.L’integration dans la maille fournit

∫ xj+1

2

xj− 1

2

(∂tu+ a∂xu) dx =

∫ xj+1

2

xj− 1

2

∂tudx+

∫ xj+1

2

xj− 1

2

a∂xudx = 0. (2.13)

La premiere integrale est aussi∫ x

j+12

xj− 1

2

∂tudx = ddt

∫ xj+1

2xj− 1

2

u(t, x)dx. La quantite∫ x

j+12

xj− 1

2

u(t, x)dx represente la

masse de l’inconnue u dans la maille. Puis nous definissons la valeur moyenne de cette meme quantite au tempstn

vnj =

∫ xj+1

2xj− 1

2

u(x, tn)dx

∆xj.

On peut remarquer qu’aucune approximation n’a pour l’instant ete realisee. Une approximation de type DifferencesFinies de l’operateur d

dtpermet d’obtenir

d

dt

∫ xj+1

2

xj− 1

2

u(t, x)dx = ∆xjvn+1j − vnj

∆t+ O(∆t) (2.14)


qui est correct des que u est suffisamment regulier. Il n’y a donc pas de difficulte veritable avec la discretisationde la derivee temporelle.A present nous considerons ∫ x

j+12

xj− 1

2

a∂xu(n∆t, x)dx.

On integre dans la maille la forme divergente∫ x

j+12

xj− 1

2

∂xau(n∆t, x)dx = au(n∆t, xj+ 12)− au(n∆t, xj− 1

2).

Le terme de bord a u(n∆t, xj+ 12) est le flux que nous devons discretiser lors de l’etape c). L’idee est d’obtenir

une representation precise de u(n∆t, xj+ 12) a partir de combinaisons bien choisies des vnj .

x

unj− 1

2

= unj−1 unj+ 1

2

= unj

︸︷︷︸unj

t

Figure 2.4 – La valeur en xj+ 12est decentre en suivant le signe de la vitesse a > 0, ce qui revient a remonter

le long des caracteristiques.

Le choix usuel (de base) consiste a decentrer cette quantite suivant le sens des caracteristiques, donc suivant lesigne de la vitesse a. Pour a > 0, on prendra

u(n∆t, xj+ 12) = vnj +O(∆x), ∀j.

D’ou ∫ xj+1

2

xj− 1

2

a∂xu(n∆t, x)dx = a(vnj − vnj−1) +O(∆x). (2.15)

On trouve en inserant (2.14) et (2.15) dans (2.13)

∆xjvn+1j − vnj

∆t+ a(vnj − vnj−1) = O(∆x) +O(∆t).

Abandonnant le residu a droite, nous obtenons le schema de Volumes Finis

∆xjun+1j − unj

∆t+ a(unj − unj−1) = 0. (2.16)

Ce schema est d’ordre un en temps et en espace.Pour le cas de l’equation d’advection, il est aise de comparer le resultat de ces trois constructions.

Lemme 11. Soit une grille uniforme : ∆xj = ∆x pour tout j.Les schemas de Volumes Finis (2.16) et de Differences Finies (2.3) sont identiques et decentres, et sont doncdifferents des schemas d’Elements Finis centres tels que (2.11) et (2.12).


Exercice 3. Montrer que le schema de Lax-Wendroff defini par (2.17) est d’ordre deux en temps et en espace.

un+1j = (1 − ν2)unj +

ν + ν2

2unj−1 +

ν2 − ν2

unj+1. (2.17)

Exercice 4. Montrer que le schema de Beam-Warming defini par (2.18) est d’ordre deux en temps et en espace.

un+1j =

(1− 3

2ν +

1

2ν2)unj + (2ν − ν2)unj−1 +

ν2 − ν2

unj−2. (2.18)

2.1.2 Equation de la chaleur

Nous appliquons a present les principes de construction de Differences Finies, d’Elements Finis et de VolumesFinis a l’equation de la chaleur sur la droite reelle

∂tu− ∂xxu = 0, x ∈ R, t > 0.

Les notations discretes de points et de mailles sont conservees. Le pas de temps est note ∆t > 0, et ∆x > 0 estle pas d’espace.

Approximation par Differences Finies

Le schema explicite de Differences Finis prend la forme

un+1j − unj

∆t−unj+1 − 2unj + unj−1

∆x2= 0, ∀j ∈ Z. (2.19)

Exercice 5. Montrer que ce schema est d’ordre un en temps et deux en espace.

Une illustration numerique calculee avec le schema (2.19) est la suivante. Soit une donnee initiale u0(x) =cos(2πx) et des conditions periodiques aux bords. La solution exacte est

u(x, t) = cos(2πx)e−4π2t.

Pour un temps de T = log 24π2 ≈ 0.0175581, on obtient u(x, T ) = 1

2u0(x).Nous resolvons ce probleme avec 100 mailles sur un intervalle de longueur 1, soit ∆x = 0.01. Les resultatscalcules avec le schema (2.19) pour un parametre ν = ∆t

∆x2 sont presentes a la figure 2.5, pour trois valeurs duparametre ν = 1.1, ν = 0.1 et ν = 0.45.A partir de la forme explicite du schema upwind,

un+1j = (1− 2ν)unj + νunj−1 + νunj+1

on retrouve aisement que ν ≤ 12 est une condition suffisante pour eliminer les violentes oscillations numeriques

du cas ν = 0.55. En effet

ν ≤ 1 =⇒ supj

∣∣un+1j

∣∣ ≤ supj

∣∣unj∣∣ .

Approximation par Elements Finis

La methode des Elements Finis s’appuie sur une formulation variationnelle que nous developpons tout d’abordpour l’equation stationnaire −u′′(x) = f avec f ∈ L2(R) pour fixer les idees. On a

∫

R

u′(x)v′(x)dx =

∫f(x)v(x)dx, pour tout v dans un espace bien choisi de type H1(R).


−0.5

0

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

u

x

−1

’soldifini’

−6e+08

−4e+08

−2e+08

0

2e+08

4e+08

6e+08

8e+08

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

u

x

−8e+08

’soldifCFL=.55’

t = 0 t = T et ν = 1.1

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

u

x

−0.5

’soldifCFL=.45’

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

u

x

−0.6

’soldifCFL=.1’

t = T et ν = 0.45 t = T et ν = 0.1

Figure 2.5 – Donnee initiale en haut a gauche, solution numerique au temps T = log 24π2 . On observe une

instabilite en haut a droite, et une solution numerique ”correcte” en bas. Les amplitudes de l’instabilite sontsans commune mesure avec l’amplitude de la solution exacte.

Soit une fonction test P 1 definie par (2.7). La formulation discrete est∫

R

u′hϕ′jdx =

∫fϕjdx.

Considerons comme auparavant que uh =∑

i uiϕi. On obtient

∑

i

(∫

R

ϕ′i(x)ϕ

′j(x)dx

)ui =

∫fϕjdx, ∀j.

Posons ci,j =∫Rϕ′i(x)ϕ

′j(x)dx. On obtient

ci,j = 0 i ≤ j − 2,ci,j = 0 i ≥ j + 2,

cj+1,j =

∫ (j+1)∆x

j∆x

1

∆x× −1

∆xdx = − 1

∆x,

cj−1,j =

∫ j∆x

(j−1)∆x

−1∆x× 1

∆xdx = − 1

∆x,

cj,j =

∫ (j+1)∆x

(j−1)∆x

1

∆x2dx =

2

∆x.

Nous posons par commodite fj =1∆x

∫Rfϕj . On obtient alors le schema

−uj+1 − 2uj + uj−1

∆x= ∆xfj , ∀j.


Une discretisation de type Differences Finies explicite du terme ∂tu permet d’obtenir le schema

∆xun+1j − unj

∆t− uj+1 − 2uj + uj−1

∆x= 0, n ∈ N, j ∈ Z. (2.20)

On retrouve le schema aux Differences Finies (2.19).

Approximation par Volumes Finis

Considerons a present une discretisation par la methode des Volumes Finis pour la forme divergente

∂tu+ ∂xg = 0, g = −∂xu.

Nous integrons en espace entre xj− 12et xj+ 1

2

d

dt

∫ xj+1

2

xj− 1

2

u(t, x)dx +

∫ xj+1

2

xj− 1

2

∂xg(t, x)dx = 0.

D’oud

dt

∫ xj+1

2

xj− 1

2

u(t, x)dx + ∂xg(t, xj+ 12)− ∂xg(t, xj− 1

2) = 0. (2.21)

Le centre des mailles est note xj avec

xj =xj− 1

2+ xj+ 1

2

2.

Comme auparavant la valeur moyenne de u dans la maille est notee

vnj =

∫ xj+ 1

2xj− 1

2

u(n∆t, x)dx

∆xj= u(n∆t, xj) +O(∆x2j ), (2.22)

et la derivation en temps est approchee par la difference finie explicite (2.14). Une discretisation naturelle duflux ∂xu(t, xj+ 1

2) est

∂xu(n∆t, xj+ 12) =

u(n∆t, xj+1)− u(n∆t, xj)xj+1 − xj

+O(xj+1 − xj). (2.23)

︸︷︷︸xj+1

2−xj

uj+1

uj

uj+12

xj+12

︸︷︷︸xj+1−xj+1

2

Figure 2.6 – Interpolation en xj+ 12de la derivee en espace.

On peut remarquer que si le maillage est uniforme

xj+1 − xj+ 12= xj+ 1

2− xj ⇐⇒ xj+ 3

2− xj+ 1

2= xj+ 1

2− xj− 1

2,

2.2. APPROXIMATION NUMERIQUE EN DIMENSION D ≥ 2 27

alors l’erreur d’interpolation est du second ordre

∂xu(n∆t, xj+ 12) =

u(n∆t, xj+1)− u(n∆t, xj)xj+1 − xj

+O((xj+1 − xj)2

)

et donc a priori plus precis que (2.23). En remplacant la valeur exacte par la valeur moyenne (2.22), nousobtenons

∂xu(n∆t, xj+ 12) =

vnj+1 − vnjxj+1 − xj

+O (max(∆xj+1,∆xj))

D’ou a partir de (2.21)

∆xjvn+1j − vnj

∆t−vnj+1 − vnjxj+1 − xj

+vnj − vnj−1

xj − xj−1= O (max (∆xj+1,∆xj ,∆t)) .

Il reste a abandonner le residu et a remplacer la solution exacte par la solution numerique pour obtenir

∆xjun+1j − unj

∆t−unj+1 − unjxj+1 − xj

+unj − unj−1

xj − xj−1= 0. (2.24)

Proposition 4. Soit une grille uniforme : ∆xj = ∆x pour tout j. Alors les schemas de Differences Finies(2.19), d’Elements Finis (2.20) et de Volumes Finis (2.24) sont identiques.

2.2 Approximation numerique en dimension d ≥ 2

Nous passons en revue quelques principes qui permettent d’etendre les schemas precedents en dimensionsuperieure.La presentation sera faite en dimension d = 2, cependant les principes restent les memes en dimension d = 3 etplus.

2.2.1 Methodes de Differences Finies

Soit une grille cartesienne uniforme dont les points en espace sont notes

xi,j = (i∆x, j∆x) , i, j ∈ Z.

Les pas de temps sont toujours tn = n∆t pour n ∈ N. La solution numerique au point d’espace-temps (xi,j , tn)sera notee uni,j.

Principe 5. Une extension bidimensionnelle immediate d’un schema de Differences Finies monodimensionnelconsiste a additionner les discretisations dans les diverses directions spatiales.

Soit par exemple l’equation d’advection bidimensionnelle

∂tu+ a∂xu+ b∂yu = 0, (x, y) ∈ R2. (2.25)

En supposant a > 0 et b < 0, un schema bidimensionnel explicite construit a partir de (2.3) s’ecrit

un+1i,j − uni,j

∆t+ a

uni,j − uni−1,j

∆x+ b

uni,j+1 − uni,j∆x

= 0. (2.26)

Ce schema est d’ordre un en temps et en espace.

Principe 6. Une extension bidimensionnelle par splitting directionnel d’un schema de Differences Finies mo-nodimensionnel consiste a decomposer le schema en deux etapes monodimensionnelles.


Toujours pour la meme equation (2.25) et avec les memes hypotheses a > 0 et b < 0, on aura le schema expliciteen deux etapes

Premiere etape :un+ 1

2

i,j − uni,j∆t

+ auni,j − uni−1,j

∆x= 0

suivi de

Deuxieme etape :un+1i,j − u

n+ 12

i,j

∆t+ b

un+ 1

2

i,j+1 − un+ 1

2

i,j

∆x= 0.

Une telle decomposition peut sembler surprenante a premiere vue. Cependant en additionnant ces deux etapeson obtient

un+1i,j − uni,j

∆t+ a

uni,j − uni−1,j

∆x+ b

un+ 1

2

i,j+1 − un+ 1

2

i,j

∆x= 0, (2.27)

dans lequel on retrouve la discretisation des derivees en x et en y mais avec un centrage en temps intermediairepour la derivee discrete en y.

L’extention de ces principes est immediate pour tout type d’equation qui admet une discretisation de DifferencesFinies en dimension d = 1 d’espace.

2.2.2 Methode de Volumes Finis pour l’equation d’advection

Ces idees ont ete developpees a partir des travaux initiaux de Hill-Reed et Lesaint-Raviart [32, 28] pour ladiscretisation de problemes en neutronique. La motivation initiale etait d’utiliser des maillages quelconquesavec des donnees numeriques constantes par maille, i.e. P 0, car cela est adapte a la prise en compte d’unephysique complexe.

Soit a ∈ R2 un champ de vitesse constant en espace et en temps. Soit Ω ⊂ R2 un ouvert borne polygonal, uneillustration se trouve a la figure 2.7.

Ω

Ωj

a

Γ+

njnjk

Ωk

Ωl

Ωp

Γ−

Figure 2.7 – Domaine et maillage


Soit un maillage de Ω. Ce maillage est une collection de mailles polygonales Ωj considerees comme des ouvertsdisjoints, c’est a dire Ωi ∩Ωj = ∅ pour i 6= j . La condition de recouvrement s’ecrit

Ω = ∪jΩj .

L’aire de Ωj est notee sj > 0 et

Aire (Ω) =∑

j

sj .

La normale sortante de Ωj est nj . L’interface entre Ωj et Ωk est Σjk = Σkj . Sur cette interface nj sera aussinote njk. La longueur de l’interface est ljk = lkj . Elle peut etre nulle pour Σjk = ∅ ce qui signale que les maillesne sont pas voisines. Par construction

njk + nkj = 0 pour ljk > 0.

La frontiere de Ωj est alors egale a la collection de segments

∂Ωj = ∪kΣjk ∪ Γ−j ∪ Γ+

j

ouΓ−j = ∂Ωj ∩ Γ−, c’est a dire a · nj < 0 sur Γ−

j ,

etΓ+j = ∂Ωj ∩ Γ+, c’est a dire a · nj ≥ 0 sur Γ+

j .

La longueur de Γ±j sera notee l±j .

Definition 6 (Longueur caracteristique du maillage). Il est utile de definir une longueur caracteristique quimesure la finesse du maillage : on la notera h. On la definit comme

h = max

(maxjk

ljk,maxjl−j ,max

jl+j

). (2.28)

A partir de ces notations, nous sommes en mesure de construire un schema de Volumes Finies en suivant leprincipe 4. Une integration de l’equation dans la maille Ωj donne

∫

Ωj

(∂tu+∇ · (f(u))) dx = 0.

Icif(u) = au

est le flux exact. Separant la derivee en temps des derivees en espace

d

dt

∫

Ωj

udx+

∫

Ωj

∇ · f(u)dx = 0. (2.29)

La fonction u sera supposee aussi reguliere que necessaire, ce qui permet de justifier tous les developpementsde Taylor qui seront realises. Le terme en temps est

(d

dt

∫

Ωj

udx

)(n∆t) = sj

vn+1j − vnj

∆t+O(h2∆t). (2.30)

Ici vnj est la valeur moyenne de u au temps tn

vnj =

∫Ωju(tn,x)dx

sj. (2.31)


Exercice 6. En notant xj le centre de masse de la maille, montrer que

vnj = u(n∆t,xj) +O(h2). (2.32)

Considerons a present la deuxieme partie de (2.29), que nous integrons directement dans la maille. En supposantque Ωj est situe strictement a l’interieur du domaine, on obtient

∫

Ωj

∇ · f (u(n∆t,x)) dx =

∫

∂Ωj

f (u(n∆t,x)) · njdσ =∑

k

(ljk a · njk) vnjk. (2.33)

Ici vnjk est la valeur moyenne de u sur l’interface Σjk au temps tn

vnjk =

∫Σjk

u(n∆t,x)dσ

ljk.

Il est temps d’appliquer l’etape c) du principe de construction 4 des schemas de Volumes Finis. Nous nousappuyons sur les droites caracteristiques. Pour un champ de vitesse a est oriente de Ωj vers Ωk, on considereque vnjk ≈ vnj . Cela est illustre a la figure 2.8.

ΩjΩk

nj

a

ΩjΩk

nj

a

vnjk = vnk +O(h) vnjk = vnj +O(h)

Figure 2.8 – On recherche une approximation decentree suivant le signe de a · n de la valeur moyenne al’interface entre deux mailles.

La meme idee est utilisee sur chaque interface. Sur le bord entrant Γ−j , on utilise la donnee au bord u−

u−,nj =

∫ (n+1)∆t

n∆t

∫Γ−

ju−(s,x)dσds

∆t l−j. (2.34)

Si a ·njk = 0, alors la valeur choisie de vnjk n’a pas d’importance car elle est multipliee ljka ·njk = 0 dans (2.33).On obtient

sjvn+1j − vnj

∆t+O(h2∆t)

+∑

k, a·njk>0

ljk a · njk

(vnj +O(h)

)+

∑

k, a·njk<0

ljk a · njk (vnk +O(h))

+l−j a · njv−,nj + l+j a · nj

(vnj +O(h)

)= 0.


En abandonnant les residus O(·) et en remplacant systematiquement les moyennes de la solutions exactes parla solution numerique on obtient

sjun+1j − unj

∆t+

∑

k, a·njk>0

ljk a · njkunj +

∑

k, a·njk<0

ljk a · njkunk + l−j a · nju

−,nj + l+j a · nju

nj = 0. (2.35)

Notons que le flux numerique sur chaque bord peut se representer par la formule symetrique

Fj,k(u, v) =a · njk + |a · njk|

2u+

a · nkj − |a · nkj |2

v. (2.36)

Ce flux numerique est une approximation numerique du flux exact, au sens ou

Fj,k(u, u) = f(u) · njk. (2.37)

Cette propriete est appelee la consistance du flux numerique. Une autre propriete du flux numerique est

Fj,k(u, v) + Fj,k(v, u) = 0 ∀u, v ∈ R. (2.38)

Avec ces notations le schema peut se recrire

sjun+1j − unj

∆t+∑

k

ljkFjk(unj , u

nk ) + l−j Fj,j− (u

nj , u

−,nj ) + l+j Fj,j+(u

nj , u

+,nj ) = 0 (2.39)

ou nous avons utilise la meme convention d’ecriture pour les flux sur les bords exterieurs indices j− et j+ (leterme u+,n

j est artificiel et ne joue pas sur la valeur du flux numerique).Soit Mn =

∑j sju

nj la masse totale dans le domaine de calcul.

Lemme 12. Le schema (2.35) est conservatif, au sens ou la variation de masse totale se determine en fonctiondes flux sur les bords sortant et entrant

Mn+1 −Mn

∆t+∑

j

l−j a · nju−,nj +

∑

j

l+j a · njunj = 0.

Demonstration. Considerant (2.39), il suffit de sommer sur toutes les mailles et de montrer que la contributiondes flux internes s’annule. On a

∑

j

∑

k

ljkFjk(unj , u

nk ) =

∑

j,k

(ljkFjk(u

nj , u

nk ) + lkjFkj(u

nk , u

nj ))= 0

en vertu de (2.38). La preuve est terminee.

La stabilite et la convergence de ce schema seront etablies au chapitre 5.

2.2.3 Methode de Volumes Finis pour l’equation de la chaleur

Nous considerons l’equation de la chaleur en dimension d = 2 avec une condition de Neumann homogene

∂tu+∇ · g(∇u) = 0, x ∈ Ω,g(∇u) · n = 0, x ∈ Γ

pour le flux g(∇u) = −∇u.Nous utilisons les notations precedentes sur le maillage. La methode d’integration de Volumes Finis est similaireau cas de l’advection, cependant il apparaitra une condition de compatibilite sur le maillage, ce qui traduit unedifference fondamentale entre ces deux problemes.


Apres integration dans Ωj , discretisation explicite de la derivee temporelle et expression des flux aux bords, onobtient

sjvn+1j − vnj

∆t+∑

k

ljk wnjk = O(h2∆t) (2.40)

ou vnj represente la valeur moyenne (2.31) de la solution exacte dans la maille et wjk est la valeur moyenne duflux exact sur l’interface

ljkwnjk = −

∫

Σjk

∇u(n∆t, x)dσ · njk = −∇u(n∆t,xjk) · njk +O(h2)

ou xjk est defini comme le milieu du bord. On a

u(n∆t,xk) = u(n∆t,xjk) +∇u(n∆t,xjk) · (xk − xjk) +O(h2),

etu(n∆t,xj) = u(n∆t,xjk) +∇u(n∆t,xjk) · (xj − xjk) +O(h2).

En soustrayant nous obtenons

u(n∆t,xk)− u(n∆t,xj) = ∇u(n∆t,xjk) · (xk − xj) +O(h2).

Posons

djk = |xk − xj | et mjk =xk − xj

djkavec |mjk| = 1.

Pour continuer la construction, nous ajoutons des conditions sur le maillage.

Hypothese 1 (Sur le maillage). Nous supposons qu’il existe une constante C > 0 independante de h telle que

inf(j,k)

djk ≥ Ch (2.41)

ou h est la longueur caracteristique (2.28). De plus nous supposons que le segment qui relie les centres de mailleest orthogonal au bras

mjk = njk, ∀j, k. (2.42)

Un contre-exemple est propose a la figure 2.9.Grace a (2.41) et (2.42) on peut ecrire apres division par djk

∇u(n∆t,xjk) · njk =u(n∆t,xk)− u(n∆t,xj)

djk+O(h). (2.43)

C’est donc que

wnjk =

u(n∆t,xk)− u(n∆t,xj)

djk+O(h).

Or on peut approcher a l’ordre deux les valeurs ponctuelles par les valeurs moyennes grace a (2.32), d’ou

wnjk =

vnk − vnjdjk

+O(h).

On reporte cette expression dans (2.40). Abandonnant les residus et remplacant les moyennes de la solutionexacte par la solution numerique, on obtient le schema numerique de Volumes Finis

sjun+1j − unj

∆t−∑

k

ljkunk − unjdjk

= 0, ∀j. (2.44)


njkCell j

Cell k

xjxk

mjk

Figure 2.9 – Exemple d’un maillage satisfaisant localement (2.41), mais ne satisfaisant pas la condition d’ali-gnement (2.42) car mjk 6= njk.

On remarque que la condition au bord de Neumann est automatiquement prise en compte car la somme sur lesmailles k exclut le bord. Cette construction permet d’identifier un flux numerique

Gjk(u, v) =u− vdjk

, avec Gjk(u, v) +Gjk(v, u) = 0. (2.45)

Il s’ensuit que le schema (2.44) se recrit sous la forme generale

sjun+1j − unj

∆t+∑

k

ljkGjk

(unj , u

nk

)= 0, ∀j. (2.46)

Lemme 13. Le schema (2.46) est conservatif, au sens ou la variation de masse totale est nulle.

Exercice 7. Le montrer.

La construction de ce schema est soumise a la contrainte que les centres de mailles (xj) doivent satisfairel’hypothese 1. Cette hypothese est en pratique une contrainte extremement forte sur le maillage. Les maillagescartesiens voire cartesiens a pas variable tels que celui de la figure 2.10 verifie cette contrainte. Cependantil n’y a pas de raison qu’un maillage quelconque la satisfasse. Cela montre qu’il y a des liens forts entre lamethode consideree de discretisation de l’equation de la chaleur et la geometrie du maillage sur lequel s’appuiela discretisation.On decrit dans ce qui suit une solution elegante qui relaxe en partie cette contrainte pour les maillages entriangles. Nous allons definir un point xj attache a la maille Ωj et nous etudions quelques proprietes de lavaleur de la solution exacte interpolee en ce point

vnj = u(n∆t, xj).

Nous definissons par ailleurs des quantites geometriques

djk = |xk − xj | et mjk =xk − xj

djktel que |mjk| = 1. (2.47)

Hypothese 2. Supposons alors qu’il existe une constante universelle C > 0 independante de h avec les pro-prietes suivantes : supj |xj − xj | ≤ Ch ; inf(j,k) djk ≥ Ch ; mjk = njk pour tout (j, k).

On a pour une solution u suffisamment reguliere

sjvn+1j − vnj

∆t= sj

wn+1j − wn

j

∆t+O(h3).


∆y1

∆y2

∆x1 ∆x2

Figure 2.10 – Exemple d’un maillage en quadrangles satisfaisant les conditions de l’hypothese 2. Ce maillageest fortement contraint.

Donc on peut recrire (2.40) sous la forme

sjwn+1

j − wnj

∆t−∑

k

ljk wnjk = O(h2∆t) +O(h3). (2.48)

Or nous pouvons approcher wnjk par une combinaison lineaire de wn

j et wnk . En effet on a

u(n∆t, xk)− u(n∆t, xj) = ∇u(n∆t,xjk) · (xk − xj) +O(h2).

On trouve en utilisant les points a) et b) plus haut

∇u(n∆t, xjk) · mjk =u(n∆t, xk)− u(n∆t, xj)

djk+O(h).

Le reste de la construction etant similaire, on obtient en suivant les memes principes

sjun+1j − unj

∆t+∑

k

ljkGjk

(unj , u

nk

)= 0, ∀j (2.49)

pour le flux numerique

Gjk(u, v) =u− vdjk

. (2.50)

La convergence de la variante implicite de ce schema sera etablie au chapitre 5.Pour un maillage donne, les conditions enoncees a l’hypothese 2 sont des conditions suffisantes pour que leschema de Volumes Finis (2.49) soit construit en accord avec le principe 4.Il est absolument remarquable qu’une solution simple a mettre en oeuvre existe pour un maillage en trianglesdont tous les angles sont strictement inferieurs a π

2 .


Lemme 14. Soit un maillage constitue de triangles. Supposons que les angles des triangles soient tous stricte-ment inferieurs a π

2 − ǫ pour un ǫ independant de h. Soit xj le centre du cercle circonscrit a la maille d’indicej.Alors xj ∈ Ωj pour tout j, et les autres conditions de l’hypothese 2 sont verifiees.

B

DC

xk

A

xj

Figure 2.11 – Triangles et cercles circonscrits.

Exercice 8. Demontrer ce resultat en partant de la figure 2.11.

Les triangles de la figure 2.11 constituent un cas particulier de maillage de Delaunay [16]. La discretisation del’equation de la chaleur en Volumes Finis se conduit aussi pour les maillages de Delaunay-Voronoi pour lesquelson renvoie a une reference initiale [22]. Voir aussi [15] pour une utilisation de la condition d’orthogonalite entreles centres de mailles et les bras visible a la figure 2.11 dans le cadre des methodes de Volumes Finis pourl’equation de la chaleur.

2.2.4 Methodes de Volumes Finis pour les systemes de Friedrichs

On reprend les notations sur le maillage introduites precedemment et on considere une solution reguliere du systeme de Friedrichs(1.15). La valeur moyenne de la solution exacte dans la maille est notee

Vnj =

∫Ωj

U(x, t)dx

sj.

La valeur moyenne sur un bras de la solution exacte est notee

Vnjk =

∫Σjk

U(x, t)dσ

ljk.

Apres integration en temps de l’equation (1.15), discretisation explicite de la derivee temporelle et expression des termes de fluxau bord, on obtient

sjVn+1

j −Vnj

∆t+∑

k

ljkAjkVnjk = O(h2∆t) (2.51)

ou les matrices de bord sont definies exactement par

Ajk = A1n1jk + A2n

2jk = −Akj , njk =

(n1jk,n

2jk

)∈ R

2. (2.52)


Le terme de flux vient d’une utilisation de la formule de Stockes sous la forme∫

Ωj

(∂x1 (A1U) + ∂x2 (A2U)) dx =

∫

∂Ωj

(n1jA1U+ n2

jA2U)dσ =

∑

k

ljkAjkVjk .

L’expression (2.51) est exacte car aucune approximation n’a ete realisee pour l’instant.Si on peut determiner une expression des termes d’interfaces Vn

jken fonction des valeurs moyennes Vn

j et en tenant compte de

la structure matricielle du probleme, cela permet de proposer une facon de terminer la construction de la methode. C’est ce quel’on appelle communement un solveur de Riemann. Il se trouve qu’il est beaucoup plus judicieux en pratique de chercher adeterminer une valeur pour le produit AjkV

njk en fonction de Vn

j et de Vnk . En effet les exemples usuels montrent que les matrices

Ajk peuvent etre non inversible (detAjk = 0).On considere dans ce qui suit un mode de construction simple qui s’appuie sur une decomposition en partie positive et partienegative de la matrice de bord sous la forme

Ajk = A+jk

+ A−jk

(2.53)

ou A+jk

=(A+

jk

)t≥ 0 est une matrice symetrique positive ou nulle et A−

jk=(A−

jk

)t≤ 0 est une matrice symetrique negative

ou nulle, tout en conservant A+jk

= A−kj

et A−jk

= A+kj. Une telle decomposition est aisee a realiser pour des matrice symetriques,

cependant elle n’est pas unique ce qui explique en partie la profusion de solveurs de Riemann. Pour fixer les idees on part d’unediagonalisation

Ajk =n∑

p=1

λpjkw

pjk ⊗w

pjk

ou les vecteurs propres wpjk sont orthonormes. On choisit alors

A+jk =

∑

λpjk

>0

λpjkw

pjk ⊗w

pjk et A−

jk =∑

λpjk

<0

λpjkw

pjk ⊗w

pjk. (2.54)

On a la formuleAjkV

njk = A+

jkVn

j + A−jkVn

k +O(h) (2.55)

qui sert pour definir le flux numerique. En effet on pose

fjk (U,V) = A+jkU+A−

jkV. (2.56)

En abandonnant les differents termes d’erreur et en remplacant la solution exacte par la solution numerique, on obtient le schemade Volumes Finis explicite

sjUn+1

j −Unj

∆t+∑

k

ljkfjk(Un

j ,Unk

)= 0. (2.57)

On peut faire quelques remarques.

Remarque 1. On peut se demander pourquoi ne pas prendre un flux numerique plus simple, par exemple fjk (U,V) = AjkU+V

2.

Il se trouve qu’un tel choix mene a un schema instable, et c’est pour cela qu’il n’est jamais retenu.

Remarque 2. Si le probleme est scalaire c’est a dire n = 1, alors le systeme de Friedrichs est identique a l’equation d’advection.On peut alors verifier que le flux (2.56) est identique au schema decentre defini par le flux (2.36).

Remarque 3. On peut remarquer que la formule (2.55) ne permet pas de definir de valeur intermediaire car la matrice Ajk peutne pas etre inversible.

La stabilite et la convergence de ce schema peuvent etre etablies avec les estimations developpees au chapitre 5, ce qui justifie cetteconstruction.

Chapitre 3

Transformee de Fourier et Schemas dedifferences finis

Les schemas ont ete abondamment etudies dans la litterature depuis le debut des methodes numeriques [5, 11,20, 34, 35]. Pour simplifier on considere dans ce chapitre des schemas explicites a un pas. Cependant l’ordrepeut etre arbitrairement eleve.Ces schemas prennent la forme

un+1j =

k∑

r=k−p

αrunj+r (3.1)

ou les p + 1 coefficients (αr)k−p≤r≤k caracterisent la methode et dependent des parametres numeriques telsque les pas de temps ∆t et d’espace ∆x. On conviendra que αr = 0 pour r > k ou r < k − p. On parle ausside schemas compacts car le stencil est le plus petit possible compte tenu des proprietes d’approximationobtenues.

u

uj

uuuj−2

n

j−1

n n n

j+1

n+1

j

Figure 3.1 – Representation graphique d’un schema a 4 points pour lequel k = 1 et p = 3.

3.1 Transformations de Fourier continue et discrete

Un outil d’analyse important pour cette famille de schemas est la transformation de Fourier.On commence par caracteriser l’EDP a l’aide de la transformee de Fourier. Le schema (3.1) est une discretisationd’une equation aux derivees partielles que l’on prend sous la forme

∂tu = Au,

et dont l’inconnue est u(t, x) avec une donnee initiale u(0, x) = u0(x). La transformee de Fourier de w ∈ L2(R)est

w(θ) =

∫

R

w(x)e−iθxdx, i2 = −1,

37

38 CHAPITRE 3. TRANSFORMEE DE FOURIER ET SCHEMAS DE DIFFERENCES FINIS

avec la transformee inverse

w(x) =1

2π

∫

R

w(θ)eiθxdθ

et la formule de Plancherel ‖w‖2L2(R) =12π ‖w‖

2L2(R). Un operateur A a coefficients constants peut se caracteriser

par son symbole en Fourier au moyen de son symbole.

Definition 7 (Symbole d’un operateur). La fonction θ 7→ µ(θ) telle que Aeiθx = µ(θ)eiθx est le symbole de A.

On a la representation integrale de la solution

u(t, x) =1

2π

∫

R

eµ(θ)t+iθxu0(θ)dθ (3.2)

ou u0 est la transformee de Fourier de la donnee initiale u0. En effet

∂tu−Au =1

2π

∫

R

(∂t −A) eµ(θ)t+iθxu0(θ)dθ =1

2π

∫

R

(µ(θ)− µ(θ)) eµ(θ)t+iθxu0(θ)dθ = 0.

Par ailleurs on a bien

u(0, x) =1

2π

∫

R

eiθxu0(θ)dθ = u0(x).

Remarque 4. Pour l’equation d’advection A = −a∂x avec a ∈ R, le symbole est µ(θ) = −iaθ.Pour l’equation de diffusion, A = D∂xx avec un coefficient de diffusion D ≥ 0, le symbole est µ(θ) = −Dθ2.On note que dans les deux cas ∣∣∣eµ(θ)t

∣∣∣ ≤ 1 pour t ≥ 0 et θ ∈ R. (3.3)

Notons a present la solution numerique au temps tn = n∆t comme un vecteur infini dispose en colonne

Unh =

. . .

un−1

un0un1. . .

∈ R

Z.

Le schema numerique peut se mettre sous la forme

Un+1h =MUn

h

ou la matrice doublement infinie M = (mij)i,j∈Za pour coefficients

mij = αr avec r = j − i. (3.4)

On dit que M est une matrice bande. Seules p+ 1 bandes de M ne sont pas nulles. La matrice M caracterisel’operateur d’iteration Jh,∆t. Par exemple la matrice doublement infinie a deux bandes du schema upwind est

M =

· · · · · ·· 1− ν ν 0 0 ·· 0 1− ν ν 0 ·· 0 0 1− ν ν ·· 0 0 0 1− ν ·· · · · · ·

Notons que les coefficients deM dependent de h et ∆t, ce qui fait que l’on aurait pu noter avec plus de precisionMh,∆t.

Proposition 5. La matrice M commute avec sa matrice transposee.

3.1. TRANSFORMATIONS DE FOURIER CONTINUE ET DISCRETE 39

Demonstration. Cette propriete est une consequence directe de la structure bande. Les coefficients de P =MM t

sont pij =∑

kmikmjk =∑

k αk−iαk−j . Les coefficients de Q =M tM sont

qij =∑

k

mkimkj =∑

k

αi−kαj−k =∑

l; k=i+j−l

αl−jαl−i = pij

ce qui montre le resultat.

Exercice 9. Verifier que M commute aussi avec l’operateur de decalage (translation) d’un indice.Verifier que deux matrices bandes commutent.

Comme le signale le lemme 23, un bon cadre alors est le cadre quadratique (Hilbertien). Cependant une differenceimportante avec la situation evoquee au lemme 23 est que nous sommes a present en dimension infinie.On pose

Vh = l2 =

U = (ui)i∈Z,

∑

i

|ui|2 <∞

muni d’une norme ponderee par le pas d’espace

‖U‖2h = ∆x∑

i∈Z

|ui|2. (3.5)

La projection/interpolation sur les points de grille est naturellement 1

Πh : C0(R) ∩ L2(R)→ Vh

avec Πhu = (u(i∆x))i∈Z. Soit la transformation de Fourier discrete u(θ) = ∆x

∑j∈Z

uje−iθj∆x qui est une

fonction 2π∆x

-periodique appartenant a L2(− π

∆x, π∆x

)La representation en Fourier de la solution est

uj =1

2π

∫ π∆x

− π∆x

u(θ)eiθj∆xdθ, j ∈ Z,

avec la formule de Plancherel adaptee

‖U‖2h =1

2π

∫ π∆x

− π∆x

|u(θ)|2 dθ. (3.6)

Definition 8 (Symbole du schema). Le symbole du schema est la fonction

λ(θ) =

k∑

r=k−p

αreiθr, θ ∈ R,

en notant bien que λ depend de h et ∆t par l’intermediaire des αr.

Le symbole est en fait la valeur propre deM . Les vecteurs propres (on parle plutot de vecteurs propres generalisesvoir [25]) de M sont U(θ) =

(eiθj)j∈Z

avec

MU(θ) = λ(θ)U(θ).

En effet

(MU(θ))i =

p∑

r=k−p

αrei(j+r)θ

=

p∑

r=k−p

αreirθ

eijθ = λ(θ)eijθ = λ(θ) (U(θ))i i ∈ Z.

On note que les vecteurs propres sont des modes de Fourier, et qu’ils ne dependent pas des parametres dediscretisation. En revanche la valeur propre en depend par l’intermediaire des coefficients αr.

1. Soit une fonction w ∈ L2(R), constante sur tout morceau](i− 1

2

)∆x,

(i+ 1

2

)∆x[. Comme w est continue autour de chaque

point i∆x on peut definir Πhw sans probleme. On note que ‖w‖L2(R) = ‖Πhw‖h ce qui est la raison du poids ∆x dans la norme

(3.5).


3.2 Stabilite

Lemme 15 (Stabilite au sens de von Neumann). Le schema numerique (3.1) est stable au sens de Von Neumannssi

supθ∈R

|λ(θ)| ≤ 1. (3.7)

La stabilite au sens de Von Neumann est ici equivalente a la stabilite uniforme dans l2.

Demonstration. On definit unh(θ) = ∆x∑

j∈Zunj e

iθj∆x ou (unj ) = unh. Donc

un+1h (θ) = ∆x

∑

j∈Z

p∑

r=k−p

αrunj+r

e−iθj∆x = ∆x

∑

j∈Z

p∑

r=k−p

αreiθr∆x

unj+re

−iθ(j+r)∆x

On fait le changement d’indice j′ = j + r. D’ou

un+1h (θ) =

k∑

r=k−p

αreiθr∆x

unh(θ) = λ(θ∆x)unh(θ).

Donc ‖Unh ‖

2 = 12π

∫ π∆x

− π∆x

|λ(θ∆x)|2n∣∣u0h(θ)

∣∣2 dθ ce qui montre que la stabilite au sens de Von Neumann est une

condition suffisante pour la stabilite uniforme en norme quadratique. Comme u0h est quelconque, la conditionest aussi necessaire.

Le symbole permet aussi de caracteriser la stabilite d’un schema en norme l∞ ou en norme l1.

Lemme 16. Le schema numerique (3.1) est stable en norme l1 ou l∞ ssi il existe une constante C ∈ R+ independante de h telleque

supn≥0

∑

j∈Z

∣∣∣∣

∫ 2π

0λ(θ)ne−ijθdθ

∣∣∣∣

≤ C. (3.8)

Demonstration. Une formule classique d’algebre lineaire indique que les normes l1 et l∞ d’une matrice M = (mij)ij sont donnes

par ‖M‖1 = supj(∑

i |mij

)et ‖M‖∞ = supi

(∑j |mij |

). La matrice Mh etant une matrice bande on obtient

‖Mh‖1 = ‖Mh‖∞ =∑

r∈Z

|αr | (3.9)

ou les coefficients αr peuvent se determiner a partir du symbole par

αr =1

2π

∫ 2π

0λ(θ)e−ijθdθ.

Or le symbole du produit de deux matrices bande est le produit des symboles, car les vecteurs propres sont communs. Donc lesymbole de Mn

h est λn. L’utilisation de l’identite (3.9) termine la preuve.

3.3 Convergence

La consistance et la convergence de la methode numerique peuvent se caracteriser en comparant les symboles apartir du critere (3.10), ce qui est aise a verifier pour un schema donne.

Lemme 17 (Consistance et convergence). On suppose qu’il existe p, q, r ∈ N∗ et une constante C > 0independante de ∆t, ∆x et θ ∈ R avec l’inegalite

∣∣∣eµ(θ)∆t − λ(θ∆x)∣∣∣ ≤ C(1 + |θ|r) (∆xp +∆tq)∆t, −π ≤ θ∆x ≤ π. (3.10)

Supposons que les criteres de stabilite unitaires sont verifiees, tant continu (3.3) que discret (3.7).Alors le schema est convergent a l’ordre p en espace et q en temps en norme quadratique pour des solutionsdans Hr(R).

3.3. CONVERGENCE 41

Demonstration. Une norme adaptee, evaluee en Fourier, est ‖u‖2Hr(R)

=∫R(1 + θ2r)|u(θ)|2dθ.

Pour les commodites de la preuve nous definissons un operateur de projection Π4h particulier sous la forme Π4

hv = Π1hFhv ou Fhv

est la fonction tronquee en Fourier

Fhv(x) =1

2π

∫ π∆x

− π∆x

eiθxv(θ)dθ.

On peut verifier que Π1hFhv est correctement defini car Fhvestunefonctioncontinue : c’est garanti au moins si v ∈ H2(R) avec

r ≥ 2. Donc cette condition ne pose pas de difficulte.Soit la solution numerique un

hissue de la donnee initiale u0

h= Π4

hu0. On pose vnj = (Π4

hu)(n∆t, j∆x) c’est a dire

vnj =1

2π

∫

|θ|< π∆x

eµ(θ)n∆teiθj∆x u0(θ)dθ.

Par ailleurs on a

unj =1

2π

∫

|θ|< π∆x

λ(θ∆x)neiθj∆x u0(θ)dθ.

Grace a la formule de Plancherel (3.6), on a

∥∥Π4hu(tn)− unh

∥∥h=

1√2π

∥∥∥(eµ(θ)n∆t − λ(θ∆x)n

)u0(θ)

∥∥∥L2(− π

∆x, π∆x

).

Posant α = eµ(θ)∆t et β = λ(θ∆x), on peut estimer la parenthese par αn − βn = (α − β)∑n−1

p=0 αn−1−pβp. Compte tenu de la

stabilite unitaire du probleme continu, i.e. |α| ≤ 1, et de celle du probleme discret, i.e. |β| ≤ 1, on obtient |αn − βn| ≤ n |α− β|.En consequence on a

∥∥Π4hu(tn)− unh

∥∥h≤ n√

2π

∥∥∥(eµ(θ)∆t − λ(θ∆x)

)u0(θ)

∥∥∥L2(− π

∆x, π∆x

)≤ Cn∆t√

2π‖1 + |θ|ru0(θ)‖L2(− π

∆x, π∆x

) (∆xp +∆tq)

grace a l’hypothese de consistance sur les symboles (3.10). Pour une donnee initiale dans Hr(R), on a (quitte a redefinir la constanteC > 0) ∥∥Π4

hu(tn)− un∥∥h≤ CT ‖u0‖Hr(R) (∆x

p +∆tq) , n∆t ≤ T. (3.11)

La preuve est terminee.

On peut completer la preuve en mesurant l’erreur entre l’interpolation ponctuelle classique Π1hv et l’interpolation ponctuelle de la

fonction tronquee en Fourier Π4hv. On a le resultat suivant pour une fonction un tout petit plus que Hr(R).

Lemme 18. Soit v ∈ V r(R) ⊂ Hr(R) avec

V r(R)w ∈ Hr(R), x(∂x)

r−1w ∈ L2(R)

r ≥ 1.

Alors∥∥Π1

hv − Π4

hv∥∥h≤ C ‖v‖V r(R) ∆x

r−1.

Demonstration. On peut verifier qu’une norme adaptee evaluee en Fourier est

‖v‖2V r(R) =

∫

R

[(1 + θ2r)|v(θ)|2 + θ2r−2|v′(θ)|2

]dθ.

Soit w = Π1hv − Π4

hv avec

wj =1

2π

∫

|θ|> π∆x

v(θ)eiθj∆xdθ =1

2π

∫ ∞

π∆x

v(θ)eiθj∆xdθ

︸︷︷︸=aj

+1

2π

∫ − π∆x

−∞v(θ)eiθj∆xdθ

︸︷︷︸=bj

.

Pour j > 0 on commence par faire une integration par partie, en integrant eiθj∆x par rapport a θ. D’ou par exemple pour le premier

terme aj = − 12π

∫∞π

∆xv′(θ) e

iθj∆x−(−1)j

ij∆xdθ. On obtient

|aj | ≤1

πj∆x

∫ ∞

π∆x

∣∣v′(θ)∣∣ dθ

puis

|aj | ≤1

πj∆x

∫ ∞

π∆x

(θr−1

∣∣v′(θ)∣∣) 1

θr−1dθ ≤ 1

πj∆x

(∫ ∞

π∆x

θ2r−2∣∣v′(θ)

∣∣2 dθ

) 12(∫ ∞

π∆x

dθ

θ2r−2

) 12

≤ Cr

πj∆x‖v‖V r(R) ∆x

r− 12 ≤ C′

r∆xr− 3

2

j‖u0‖V r(R) .

Le terme a0 se majore en utilisant que v ∈ Hs(R). D’ou par une nouvelle inegalite de Cauchy-Schwarz (et 1+ 14+· · ·+ 1

j2+· · · <∞) :

‖a‖h ≤ C′′ ‖v‖V r(R) ∆xr−1. De meme pour b = (bj). La preuve est terminee.


On peut alors mesurer l’erreur entre l’interpolation classique (operateur Π1h) de la solution exacte et la solution

numerique issue de l’interpolation classique unh = JnhΠ

1hu(t0). En notant Jh l’operateur d’iteration on a par

exemple la decomposition telescopique

Π1hu(tn)− unh =

(Π1

hu(tn)− Π4hu(tn)

)+(Π4

hu(tn)− JnhΠ

4hu(t0)

)+ Jn

h

(Π4

hu(t0)−Π1hu(t0)

).

Par inegalite triangulaire on obtient une majoration de l’erreur numerique sous la forme Ennum ≤ Ensch + Einter.L’erreur du schema est estimee par le Lemme (17)

Ensch =∥∥Π4

hu(tn)− JnhΠ

4hu(t0)

∥∥h≤ CT (∆xp +∆tq) n∆t ≤ T, (3.12)

et est a priori une fonction croissante de l’indice d’iteration n. L’erreur d’interpolation

Einter ≤ C∆xr−1

est independante du temps (de n), et peut etre aussi petite que souhaitee pour un r suffisamment grand,ce parametre etant independant des parametres du schema caracterise par p et q. Pour r ≥ p + 1 l’erreurd’interpolation est au moins du meme ordre que l’erreur du schema.

Principe 7. Au final on retiendra que l’erreur (3.12) de consistance en norme quadratique peut se mesurerdirectement sur la difference (3.10) entre le symbole exact et le symbole discret. Ce principe est valable pourtout schema de Differences Finis.

3.4 Applications

Pour l’equation d’advection un cas couramment rencontre concerne r = p+ 1 avec p = q. On note ν = a∆t∆x

.

Proposition 6 (Forme simplifiee de (3.10) pour l’advection). Considerons le cas de l’equation d’advection.Pour r = p+ 1 = q + 1, le critere (3.10) est equivalent

∣∣e−iνθ − λ(θ)∣∣ ≤ C |θ|p ν, −π ≤ θ ≤ π. (3.13)

Demonstration. Evident avec le changement de variables θ ← θ∆x.

Par exemple le symbole du schema upwind est λup(θ) = (1− ν) + νe−iθ. Comme on verifie sans peine que

∣∣(1− ν) + νe−iθ − e−iνθ∣∣ ≤ Cνθ,

on retrouve bien le fait que le schema est d’ordre un en norme quadratique.Considerons a present le symbole du schema a trois points (2.19) pour l’equation de diffusion

λ(θ) = 1− 2ν(1− cos θ), ν =∆t

∆x2, θ ← θ∆x2.

Un developpement local montre que ∣∣∣e−νθ2 − λ(θ)∣∣∣ ≤ Cνθ2

ce qui permet de retrouver la convergence a l’ordre deux en espace (et un en temps mais c’est la meme chosepour un schema explicite de ce type). Le cas general est presente dans la propriete suivante.

Proposition 7 (Forme simplifiee de (3.10) pour la chaleur). Considerons l’equation de la chaleur. Pour r = p+2et sans tenir compte de l’ordre en temps, le critere de consistance (3.10) est equivalent

∣∣∣e−νθ2 − λ(θ)∣∣∣ ≤ C |θ|p ν, −π ≤ θ ≤ π. (3.14)

Demonstration. Laissee au lecteur.

Chapitre 4

Analyse numerique abstraite :l’approche de Lax

L’analyse numerique des methodes de Differences Finies se realise a partir des notions fondamentales de consis-tance et de stabilite, ce qui permet d’evaluer et parfois de mesurer quantitativement la precision numerique.Cela pose par ailleurs les bases de l’analyse numerique de la plupart des methodes numeriques instationnaires.La presentation qui suit est tout a fait classique [33, 27, 11, 1, 20, 14], en veillant toutefois a permettre l’analysenumerique des methodes de Volumes Finis avec les memes outils au chapitre suivant.

4.1 Consistance, stabilite et theoreme de Lax

La presentation du cadre theorique sera developpee a partir du probleme lineaire modele

∂∂tu = Au, t > 0,

u(0) = u0 ∈ V, (4.1)

ou V un espace de Banach de norme || · ||. L’operateur lineaire est A : D(A)→ V de domaine dense D(A) ⊂ V .Nous supposerons 1 qu’il existe un unique u(t) ∈ C1 ([0,+∞) : V ) ∩ C0 ([0,+∞) : D(A)) solution de (4.1). Parconvention, on representera u(t) sous la forme abstraite

u(t) = etAu0. (4.2)

Definition 9. Nous considererons que le semi-groupe d’operateur etA est borne

∃ K, L ≥ 0 tels que ||etA|| ≤ KeLt, t ∈ R. (4.3)

Nous dirons que etA est uniformement borne si L = 0.Nous dirons que etA est unitairement borne si de plus K = 1, auquel cas on a ||etA|| ≤ 1 pour tout temps.

La plupart des exemples considerees dans ces notes correspond a des semi-groupes uniformement voire unitai-rement bornes.

1. Dans le cas plus restreint ou V est un space de Hilbert, et sous la condition que A soit maximal monotone

l’operateur A est monotone : (Av, v) ≥ 0 ∀v ∈ D(A),l’operateur A est maximal monotone : (I +A) est surjectif de D(A) dans V.

ce probleme est bien pose (existence et unicite de la solution) dans le cadre du Theoreme de Hille-Yosida [11, 6]. Pour toutu0 ∈ D(A), il existe un unique

u(t) ∈ C1 ([0,+∞) : V ) ∩C0 ([0,+∞) : D(A))

solution de (4.1). L’hypothese de monotonie implique que ddt‖u(t)‖2 ≤ 0, ce qui implique alors que ‖u(t)‖ ≤ ‖u0‖ pour tout t ≥ 0.

43

44 CHAPITRE 4. ANALYSE NUMERIQUE ABSTRAITE : L’APPROCHE DE LAX

Le probleme modele avec second membre s’ecrit

∂∂tu = Au+ f, t > 0,

u(0) = u0.(4.4)

Sa solution est donnee par la formule de Duhamel

u(t) = etAu0 +

∫ t

0e(t−s)Af(s)ds.

Cependant pour des raisons de simplicite de notations, nous ne considererons que le probleme homogene f = 0. Par ailleurs celane changerait pas fondamentalement les conclusions auxquelles nous arriveront.

4.1.1 Operateur Πh d’interpolation/projection

On suppose l’existence d’un sous-espace dense dans V note X ⊂ D(A) ⊂ V∀u ∈ V, inf

v∈X‖u− v‖ = 0.

Le sous espace X est typiquement constitue de fonctions regulieres, par exemple de classe C2 voire meme C∞.Ce qu’il faut c’est que X permette au moins de definir l’operateur d’interpolation et de realiser les differentesetudes de consistance necessaires qui vont suivre.Soit Vh ⊂ V un sous-espace vectoriel de V et Πh un operateur d’interpolation,

Πh : X → Vh.

Ici interpolation fait reference au fait que X 6= V , ce qui est le cas pour l’exemple central (4.5). Si ΠhΠh = Πh

on dira que plus Πh est un operateur de projection. Dans la plupart des situations rencontres dans ces noteset avec quelques adaptations dans les notations, Πh est a la fois un operateur d’interpolation et de projection.L’exemple central qui permet d’illustrer ces definitions est le suivant. On peut prendre V = Lp(R2) pour1 ≤ p ≤ ∞. Un sous-espace X qui convient naturellement est X = C0(R2). On peut aussi prendre X = Cq(Ω)pour q ∈ N assez grand ce qui se revelera adapte pour l’etude de consistance. L’espace discret s’appuie sur unmaillage c’est-a-dire une collection de points

xij = (i∆x, j∆y), (i, j) ∈ Z2.

Un operateur d’interpolation ponctuel naturel est

Πh(u) = (u(xij))i,j∈Z(4.5)

qui est defini pour des fonctions de classe C∞. Le pas d’espace ∆x dans la direction x est eventuellement differentdu pas ∆y dans la direction y. On aura naturellement h = max(∆x,∆y). L’espace discret Vh est constitue desfonctions discretes dont les values sont specifiees aux points du maillage

Vh =vh = (vij)i,j∈Z

.

On pourrait objecter que Vh n’est pas un sous-espace de V . Mais ce n’est en rien une restriction pour peu quel’on identifie (que l’on confonde) Vh et Wh qui est l’espace des fonctions constantes par morceaux sur des carresCij =](i− 1

2 )∆x, (i +12 )∆x[×](j − 1

2 )∆y, (j +12 )∆y[ de centre xij

Wh = v ∈ V, v est constant sur tous Cij .

On a alors Vh ≈ Wh ⊂ V et la norme dans Vh est la norme de V : ‖vh‖ =(∆x∆y

∑ij |vij |p

) 1p

. Dans ces

conditions on a bien que Vh ⊂ V . Enfin il est aise de donner un sens a la relation ΠhΠh = Πh ce qui fait queΠh est aussi un operateur de projection.Ces objets dependent d’un parametre h > 0 qui est destine a converger vers zero. Ce parametre represente lesparametres numeriques de la methode. On peut identifier h a la plus grande longueur du maillage telle quedefinie dans (2.28).Nous considererons que Πh est un bon operateur d’approximation au sens ou

∀u ∈ X, limh→0||u−Πhu|| = 0. (4.6)

4.1. CONSISTANCE, STABILITE ET THEOREME DE LAX 45

4.1.2 Operateur discret Ah

Soit Ah : Vh → Vh. un schema numerique qui realise une approximation de A.

Definition 10 (Consistance, ordre d’approximation). On dit que le schema numerique Ah est une approxima-tion consistante de A ssi

∀u ∈ X, limh→0||AhΠhu−Au|| = 0. (4.7)

On dira que l’approximation est d’ordre p > 0 ssi il existe une constante C > 0 independante de h (maisdependant de u et de ses derivees) telle que

||AhΠhu−Au|| ≤ Chp, u ∈ X. (4.8)

On note que l’ordre d’approximation peut dependre de X et Πh.

4.1.3 Cas instationnaire

Soit ∆t > 0 un pas de temps et tn = n∆t pour n ∈ N. Avec l’ensemble de ces notations, le schema d’Eulerexplicite pour la discretisation de (4.1) s’ecrit

un+1h − unh

∆t= Ahu

nh, n ≥ 0,

u0h = Πhu0.(4.9)

L’erreur de troncature de ce schema est naturellement definie par rnh ∈ Vh avec

rnh =1

∆t(Πhu(tn+1)−Πhu(tn))−AhΠhu(tn), ∀n, h. (4.10)

Definition 11. On dira que le schema (4.9) est une approximation consistante de (4.1) ssi

∀u ∈ C1([0, T ] : X), limh,∆t→0

(maxn≤ T

∆t

‖rnh − (∂tu−Au) (tn)‖)

= 0. (4.11)

Comme on montre grace au theoreme de Heine 2 que ∂tu est uniformement continu, on peut verifier que

limh,∆t→0

∥∥∥∥1

∆t(Πhu(tn+1)−Πhu(tn))−Πh∂tu

∥∥∥∥ = 0, pour u ∈ C1([0, T ] : X).

Aussi le critere de consistance (4.11) pour ce probleme instationnaire se trouve etre equivalent au critere deconsistance (4.7) pour le probleme stationnaire.Une extension naturelle pour les schemas d’ordre eleve consiste a construire une discretisation de A quidependent de tous les parametres discrets, ce qui est le cas pour les schemas de Strang d’ordre eleve presentesa la fin de ce chapitre. On notera l’operateur discret Ah,∆t : Vh → Vh. Le schema explicite devient alors

un+1h − unh

∆t= Ah,∆tu

nh, n ≥ 0,

u0h = Πhu0.(4.12)

L’erreur de troncature devient rnh ∈ Vh

rnh =1

∆t(Πhu(tn+1)−Πhu(tn)) −Ah,∆tΠhu(tn), ∀n, h. (4.13)

2. Toute fonction continue d’un espace metrique dans un espace metrique est uniformement continue si l’espace de depart estcompact.


Definition 12 (Critere de consistance precise et simplifie). Supposons que : pour toute solution suffisammentreguliere u ∈ Cr([0, T ] : X)de ∂tu−Au = 0, on a

maxn≤ T

∆t

‖rnh‖ ≤ C(hp +∆tq), p, q > 0. (4.14)

Alors on dira que l’approximation (4.12) est d’ordre p en espace et q (pour des solutions u ∈ Cr([0, T ] : X)).

Notons qu’on a augmente la regularite en temps dans (4.14) par rapport a (4.11) car sinon il y a peu de chanced’obtenir un precision en temps a l’ordre q pour q assez grand.

4.1.4 Analyse du schema d’Euler explicite

Pour la suite nous analyserons le schema d’Euler explicite qui peut se recrire sous la forme

un+1h = Jh,∆tu

nh

ou Jh,∆t = Ih + ∆tAh est l’operateur d’iteration et Ih est l’operateur identite dans Vh : Ihvh = vh pour toutvh ∈ Vh. On peut aussi considerer plus generalement Jh,∆t = Ih +∆tAh,∆t. La question de la stabilite de cetoperateur d’iteration est naturelle. On etend alors la definition 9 en introduisant une possible restriction surle pas de temps 3 pour suivre ce que l’on a observe aux simulations numeriques presentees dans les figures 2.2et 2.5.

Definition 13 (Stabilite et condition CFL de Courant-Friedrichs-Levy). Nous supposons qu’il existe une fonc-tion τ : R+ → R+ et deux constantes K ′, L′ ≥ 0 avec la propriete suivante : pour tous h et ∆t satisfaisant lacondition CFL de restriction sur le pas de temps

∆t ≤ τ(h), (4.15)

on a ∥∥Jnh,∆t

∥∥ ≤ K ′eL′n∆t. (4.16)

Nous dirons alors que l’operateur d’iteration est stable pour la condition CFL (4.15).

Si L′ = 0, on dira que l’operateur d’iteration est uniformement stable pour la condition CFL (4.15).

Si enfin L′ = 0 et K ′ = 1, on se propose de dire que l’operateur d’iteration est unitairement stable pour lacondition CFL (4.15).

En general pour un operateur Ah qui discretise un operateur aux derivees partielles donne A, le pas de tempsmaximal est tel que

limh→0

τ(h) = 0. (4.17)

Une consequence de la condition CFL (4.17) est alors : plus le maillage est fin, plus le pas detemps est petit, ce qui accroit d’autant la charge de calcul de l’ordinateur.

Theoreme 1 (Theoreme de Lax : premiere version). Soit un schema lineaire (4.9) consistant au sens de (4.14).Supposons que le pas de temps satisfasse a la condition CFL (4.17). Alors il est convergent au sens ou

∀T > 0, limh,∆t→0

(maxn≤ T

∆t

‖Πhu(tn)− unh‖)

= 0 (4.18)

pour tout u ∈ C1([0, T ] : X) solution de (4.1).

3. Cela fait reference au celebre article de 1928 de Courant, Friedrichs et Levy [10].


Demonstration. On definit l’erreur numerique enh = unh − Πhu(tn). On a la formule de recurrence en+1h =

(Ih +∆tAh) enh +∆t rnh avec l’initialisation e0h = 0. D’ou la formule de representation

enh = (Ih +∆tAh)ne0h +∆t

n−1∑

p=0

(Ih +∆tAh)n−1−p

rph,

ou plus precisement enh = ∆t∑n−1

p=0 (Ih +∆tAh)n−1−p

rph. D’ou

||enh|| ≤ ∆t

n−1∑

p=0

|| (Ih +∆tAh)n−1−p || ||rph|| ≤

(∆t

n−1∑

p=0

||rph||)eL

′T ≤ TeL′T maxn≤ T

∆t

‖rnh‖ (4.19)

pour tout n tel que n∆t ≤ T . Or u ∈ C1([0, T ] : X) est solution de (4.1). Donc le critere de consistance (4.14)

montre que l’erreur de troncature tend vers zero, limh,∆t→0

(maxn≤ T

∆t‖rnh‖

)= 0. D’ou le resultat recherche.

La forme utile en pratique est plutot la suivante.

Theoreme 2 (Theoreme de Lax : deuxieme version). Soit un schema lineaire (4.12) verifiant le critere deconsistance precise (4.14) a l’ordre p en espace et q en temps. Supposons que le schema est stable (4.16) sousCFL (4.17). Alors il est convergent a l’ordre p en espace et q en temps et

maxn≤ T

∆t

‖Πhu(tn)− unh‖ ≤ CTeL′T (hp +∆tq) .

Demonstration. Preciser (4.19).

Ce theoreme est central dans la comprehension des proprietes d’approximation des schemas numeriques lineaires.

Exercice 10. Enoncer et montrer un theoreme de Lax pour le probleme avec second membre (4.4).

Schema d’Euler implicite

On analyse ici un fait bien connu qui est que les schemas implicites ont souvent des proprietes de stabilitesuperieures par rapport a celles des schemas explicites.Soit par exemple le schema d’Euler implicite pour resolution numerique de (4.1)

un+1h − unh

∆t= Ahu

n+1h , n ≥ 0,

u0h = Πhu0.(4.20)

On remarque que Ah est ici independant de ∆t. La relation de recurrence est a present

(Ih −∆tAh)un+1h = unh.

Cela definit un+1h a condition que l’operateur lineaire Ih −∆tAh soit inversible.

Proposition 8 (Stabilite du schema d’Euler implicite). Supposons que l’operateur d’iteration explicite Ih+∆tAh

est uniformement stable

‖(Ih +∆tAh)n‖ ≤ K ′, n ∈ N

pour un pas de temps ∆t ≤ τ(h) restreint par une condition CFL (4.15).Alors pour tout ∆t > 0, l’operateur I −∆tAh est inversible et uniformement stable avec la meme constante

∥∥(Ih −∆tAh)−n∥∥ ≤ K ′, n ∈ N.


Demonstration. Il est remarquable que le schema implicite soit stable independamment de toute condition CFLsur le pas de temps.

On definit Th = Ih + τ(h)Ah, α = ∆t∆t+τ(h) et β = 1− α = τ(h)

∆t+τ(h) . Alors

Ih −∆tAh =1

β(Ih − αTh) .

On a la serie de Neumann

(Ih −∆tAh)−1

= β (Ih − αTh)−1= β

∞∑

p=0

αpTph .

Cette serie est bien convergente et∥∥∥∥∥

∞∑

p=0

αpTph

∥∥∥∥∥ ≤∞∑

p=0

αp‖Th‖p ≤∑

p

αpK ′ =K ′

β.

Cela montre que la majoration∥∥(Ih −∆tAh)

−1∥∥ ≤ K ′, et implique l’inversibilite de Ih −∆tAh.

Par ailleurs on a

(Ih −∆tAh)−n

= βn

(∞∑

p=0

αpTph

)n

= βn

∞∑

q=0

C(q, n)αqTqh .

avec C(q, n) qui designe le nombre de combinaisons possibles pour que

p1 + · · ·+ pn = q avec 0 ≤ pi ≤ n pour tout 1 ≤ i ≤ n.

D’ou∥∥∥(Ih −∆tAh)

−n∥∥∥ ≤ βn

∞∑

q=0

C(q, n)αqK ′ = βn

(∞∑

p=0

αp

)n

K ′ = βn 1

βnK ′ = K ′.

Remarque 5 (Calcul effectif de un+1h ). En pratique, c’est a dire pour des calculs sur ordinateur, l’operateur

lineaire Mh = Ih −∆tAh est une matrice de dimension finie. Le calcul de un+1h s’effectue en inversant un

systeme lineaire, ce qui doit s’operer par des methodes efficaces d’algebre lineaire qui ne sont pas evoquees dansces notes.

Proposition 9. Soit un schema numerique d’Euler explicite uniformement stable sous condition CFL, consis-tant et donc convergent. Alors le schema numerique d’Euler implicite associe (4.20) est egalement convergent.

Demonstration. La stabilite ayant deja ete montree, il reste a verifier la consistance ce qui permettra d’appliquerle theoreme de Lax sous la forme generale 1. L’erreur de consistance ou de troncature du schema implicite

rnh =1

∆t(Πhu(tn+1)−Πhu(tn))−AhΠhu(tn+1), n ∈ N. (4.21)

On a immediatement limh,∆t→0

(maxn≤ T

∆t‖rnh −Πh (∂tu−Au) (tn)‖

)= 0 pour tout u ∈ C1([0, T ] : X) solution

de (4.1). Cela etablit la consistance.Pour finir la preuve de convergence, on peut recrire (4.21) sous la forme

Πhu(tn+1) = (Ih −∆tAh)−1 Πhu(tn) + ∆tsnh, snh = (Ih −∆tAh)

−1rnh .

De son cote le schema se recritun+1h = (Ih −∆tAh)

−1unh.

Donc la difference enh = unh−Πhu(tn) est solution de en+1h = (Ih −∆tAh)

−1enh+∆tsnh avec une erreur initialement

nulle e0h = 0. On peut alors se contenter de reprendre la preuve des theoremes 1 ou 2. La preuve est terminee.


4.1.5 Schema de Crank-Nicholson

Le terme Ahunh pour le schema explicite, ou Ahu

n+1h pour le schema implicite est un discretisation du premier

ordre de la derivee en temps. La methode de Cranck Nicholson est a priori plus precise car du deuxieme ordred’approximation pour la partie temporelle. Elle s’ecrit

un+1h − unh

∆t= Ah

un+1h + unh

2, n ≥ 0,

u0h = Πhu0,(4.22)

ou Ah est independant de ∆t. La relation de recurrence est

(Ih −

1

2∆tAh

)un+1h =

(Ih +

1

2∆tAh

)unh.

Sous les hypotheses de la proposition 9, l’operateur Ih − 12∆tAh est inversible. Le schema est egalement uni-

formement stable, consistant et donc est convergent.

4.1.6 Schema semi-discretA present nous considerons le schema semi-discret qui est la limite continue en temps du schema explicite (ou du schemaimplicite) c’est a dire pour ∆t → 0 et h fixe. Au contraire des precedents schemas, c’est un schema purement theorique au sensou il n’est pas possible de le programmer sur ordinateur. Son interet est qu’il peut simplifier de maniere importante l’etude desmethodes numeriques.Formellement on ecrit que vh(t) est solution du systeme

ddtvh(t) = Ahvh(t),

vh(0) = Πhu0.(4.23)

Encore une fois Ah est ici independant de ∆t.Dans le cas ou Vh est un espace de dimension fini, Ah est de fait une matrice carree de taille finie. La solution est donnee parl’exponentielle de matrice

vh(t) = etAhΠhu0.

Il suffit que Ah soit un operateur borne pour donner un sens a cette representation de la solution. Or c’est bien le cas si le schema

explicite est stable sous condition CFL, car alors ‖(Ih + τ(h)Ah)n‖ ≤ K ′ d’ou l’on tire que ‖Ah‖ ≤ 1+K′

τ(h)< ∞ ce qui fait que Ah

est bien un operateur lineaire borne. On en deduit que∥∥etAh

∥∥ ≤ et‖Ah‖.On a en fait mieux en supposant la stabilite uniforme du schema explicite. En effet on a la formule etAh = e−µeµ(Ih+τ(h)Ah) pourµ = t

τ(h). Cela montre que

etAh = e−µ∞∑

n=0

µn

n!(Ih + τ(h)Ah)

n .

On obtient l’estimation ∥∥∥etAh

∥∥∥ ≤ e−µ∞∑

n=0

µn

n!K = e−µeµK = K. (4.24)

Cela montre que le schema semi-discret beneficie de la meme propriete de stabilite que le schema explicite. Ce resultat est en faitune extension de la proposition 9.

4.1.7 Principe de comparaison et supra-convergenceNous montrons un principe de comparaison pour un operateur Ah dont l’operateur d’iteration explicite est stable (4.16) sous uncondition de type CFL telle que (4.15). Ce principe sera utilise au chapitre 5 pour l’analyse numerique des schemas de VolumesFinis.Soit unh solution du schema d’Euler explicite pour une certaine donnee initiale u0

un+1h

− unh

∆t= Ahu

nh , n ≥ 0,

u0h = Πhu0.

(4.25)

Soit vnh donne par

vn+1h

− vnh

∆t= Ahv

nh + rnh , n ≥ 0,

v0h = Πhu0,

(4.26)


ou rnh joue le role d’une erreur de troncature avec des proprietes particulieres. On fait l’hypothese que l’on peut ecrire

rnh = τ(h)Ahsnh avec ‖snh‖ ≤ S <∞ pour tout h, n. (4.27)

Comme la condition de stabilite (4.16) permet simplement de borner ‖τ(h)Ah‖ ≤ C, on deduit a partir de (4.27) que∥∥rnh

∥∥ ≤ C.Ce terme est O(1) par rapport a h. Donc une strategie base sur le theoreme de Lax pour estimer la difference entre unh et vnh ne

donnera que∥∥vn

h− un

h

∥∥ = O(1). L’interet du resultat suivant est qu’il indique que la structure (4.27) fait que la difference tendvers zero, avec un taux de convergence explicite. Cette propriete abstraite developpee dans [12] sera utile pour l’etude de certainesmethodes de Volumes Finis, et tente de correspondre a la notion de supraconvergence enoncee dans [38].

Lemme 19. Il existe une constante C > 0 (qui depend des estimations de stabilite) telle que

‖vnh − unh‖ ≤ CS

√Tτ(h)

1− ν, n∆t ≤ T, (4.28)

avec ν = ∆tτ(h)

< 1 et S donne dans (4.27).

Dans les cas que nous considerons, on a τ(h) → 0 pour h tendant vers 0. Aussi cette inegalite est en fait un resultat de convergencede vnh vers unh . Notons que la condition CFL est stricte, au sens ou ∆t doit etre strictement inferieur au pas de temps maximalτ(h).

Demonstration. Soit enh= vn

h− un

havec

en+1h

−enh∆t

= Ahenh+ rn

het e0

h= 0. Donc

enh = ∆t

n−1∑

p=0

(Ih +∆tAh)n−1−p r

ph. (4.29)

Posons Th = Ih + τ(h)Ah dont les puissances sont bornees sous la forme∥∥T q

h

∥∥ ≤ K ′eL′q∆t grace a la stabilite (4.16). On posera

C = K ′eL′T un majorant uniforme des

∥∥T qh

∥∥ pour q∆t ≤ T .

Posons ν = ∆tτ(h)

avec ν ≤ 1 du fait de l’hypothese (4.15). On note egalement q = n− 1− p pour simplifier. Alors on peut ecrire

(Ih +∆tAh)q r

ph = ((1 − ν)Ih + νTh)

q (Th − Ih) sph =

q∑

j=0

(q

j

)(1 − ν)q−jνjT

jh

(Th − Ih)

︸︷︷︸=Aq

sph.

On pose aqj =

(q

j

)(1 − ν)q−jνj ainsi que aqj = 0 pour j < 0 ou j > q + 1. Alors Aq =

∑j(a

qj−1 − a

qj )T

jh. Or

aqj−1 − a

qj = [j − (q + 1)ν]× q!

(q − j)!(j − 1)!(1 − ν)q−jνj−1

La fonction entre crochets j 7→ j − (q + 1)ν est croissante, negative pour j = 0 et positive pour n = q. Donc ij − (q + 1)ν ≤ 0 pourj ≤ j∗ ≡ [(q + 1)ν] et 0 ≤ j − (q + 1)ν pour j∗ < j. On a

‖Aq‖ ≤∑

j≤j∗

(aqj − a

qj−1

)C +

∑

j≥j∗+1

(−aqj + a

qj−1

)C = 2aqj∗C

Or une estimation basique 4 montre que aqj ≤ min

(2√

ν(1−ν)q, 1

)pour tous j et q. On est en mesure d’estimer l’erreur (4.29) par

‖enh‖ ≤ ∆t

2 +

n−1∑

p=2

2√ν(1− ν)p

2CS ≤ ∆t

(

2 +2

√ν(1 − ν)

∫ n

1

dx√x

)

2CS ≤ ∆t

(

2 +2

√ν(1− ν)

(2√n− 2

))

2CS.

On peut verifier que 2− 4√ν(1−ν)

≤ 0 pour toute valeur de ν ∈]0, 1[. Donc

‖enh‖ ≤ ∆t8n

√ν(1 − ν)

CS.

Par ailleurs ∆t√

nν=√n∆tτ(h) ≤

√Tτ(h) ce qui termine la preuve quitte a redefinir la constante C.

4. Par exemple on a par un calcul en Fourier en developpant anj = 12π

∫ 2π0

((1 − ν) + νeiθ

)ne−ijθdθ. Or

∣∣(1− ν) + νeiθ∣∣2 =

1− 4ν(1− ν) sin2 θ2. D’ou par des majorations elementaires

|anj | ≤1

π

∫ π

0

(1− 4ν(1 − ν) sin2

θ

2

)n2

dθ ≤ 1

π

∫ π

0

(1− 4ν(1 − ν)

θ2

π2

)n2

dθ

≤ 1

π

∫ π

0e−2ν(1−ν)n θ2

π2 dθ ≤ 1

π

∫ ∞

0e−2ν(1−ν)n θ2

π2 dθ =1

√2ν(1 − ν)n

∫ ∞

0e−u2

du.

Reconnaissant l’integrale de Gauss∫∞−∞ e−u2

du =√π, on trouve anj ≤ π√

81√

ν(1−ν)n≤ 2√

ν(1−ν)n. Par ailleurs |anj | ≤ 1.


On peut utiliser ce principe pour estimer la difference entre le schema explicite et le schema implicite. Partons de unh solution duschema explicite (4.25) et de vn

hsolution du schema implicite

vn+1h

− vnh

∆t= Ahv

n+1h , n ≥ 0,

v0h = Πhu0,

(4.30)

que l’on recrit comme un schema explicite avec un reste

vn+1h

− vnh∆t

= Ahvnh + rnh , n ≥ 0,

v0h = Πhu0,

(4.31)

ournh = Ah

(vn+1h

− vnh

)= τ(h)Ahs

nh (4.32)

et

snh = νAhvn+1h

, ν =∆t

τ(h). (4.33)

Lemme 20. Supposons la condition CFL verifiee sous la forme ν < 1. Alors il existe une constante C telle que

‖vnh − unh‖ ≤ C ‖AhΠhu0‖√Tτ(h), n∆t ≤ T.

Cela etablit que la difference entre le schema explicite et le schema implicite tend vers 0 avec h. Il faut cependant s’assurer d’uneestimation naturelle annexe ‖AhΠhu0‖ ≤ C′ qu’il faut en pratique verifier en utilisant la condition initiale et les proprietes duschema numerique.

Demonstration. On a vnh = (Ih +∆tAh)−n v0h d’ou Ahv

nh = (Ih +∆tAh)

−nAhv0h. Le schema implicite etant stable, on a

immediatement∥∥Ahv

nh

∥∥ ≤ C′′ ∥∥Ahv0h

∥∥ = C′′ ‖AhΠhu0‖ ou C′′ est la constante de stabilite. Pour ν ≤ 1, on obtient

‖snh‖ =∥∥∥νAhv

n+1h

∥∥∥ ≤ C′′ ‖AhΠhu0‖ ce qui definit S = C′′ ‖AhΠhu0‖ .

La preuve est terminee par application du principe de comparaison (4.28).

L’extension au schema semi-discret est immediate.

Lemme 21. Supposons la condition CFL verifiee sous la forme ν < 1. Alors il existe une constante C telle que la difference entrele schema semi-discret et le schema est explicite est majoree par

‖vh(n∆t) − unh‖ ≤ C ‖AhΠhu0‖√Tτ(h), n∆t ≤ T.

Demonstration. Posons vnh = vh(n∆t) de sorte que (4.31) est satisfait avec rnh =vh(tn+1)−vh(tn)

∆t−Ahvh(tn) = τ(h)Ahs

nh et

snh = ν1

∆t

∫ tn+1

tn

vh(s) − vh(tn)

∆tds.

Sous la condition que AhΠhu0 est borne independamment de h, on obtient une estimation uniforme de la derivee ddtvh(s) grace a

la definition (4.23) et a la stabilite (4.24). D’ou∥∥∥ vh(s)−vh(tn)

∆t

∥∥∥ ≤ C′′′ ‖AhΠhu0‖ ce qui implique une majoration uniforme de snh .

Cela termine la preuve.

4.1.8 Caracterisation spectrale de la stabilite

Pour une methode de Differences Finies l’operateur d’interpolation est naturellement defini par les valeurs auxpoints de grille. Cela garantit egalement la consistance. Aussi la difficulte est souvent de montrer la stabilite.Une approche efficace quand elle peut etre menee consiste a passer par l’etude du spectre (des valeurs propres)de l’operateur d’iteration. C’est la stabilite au sens de von Neumann, la reference initiale trouvant dans [7].Le schema general s’ecrit

un+1h = Jh,∆tu

nh. (4.34)

L’operateur d’iteration Jh,∆t est egal par exemple a Ih+∆tAh pour le schema d’Euler explicite, a (Ih −∆tAh)−1

pour le d’Euler schema implicite et a(Ih − 1

2∆tAh

)−1 (Ih + 1

2∆tAh

)pour le schema Cranck-Nicholson.

Pour simplifier on suppose que Vh est de dimension finie. Les valeurs propres de l’operateur d’iteration sontnotees λph ∈ C avec

Jh,∆tvph = λ

ph,∆tv

ph, v

ph 6= 0, 1 ≤ p ≤ dim(Vh).

Le rayon spectral de Jh estρ(Jh,∆t) = max

p|λph,∆t|.


Lemme 22 (Condition necessaire de stabilite en dimension finie). Soit Jh,∆t un operateur d’iteration stable.Alors il existe une constante C > 0 telle que ρ(Jh,∆t) ≤ 1 + C∆t pour tout ∆t ∈ (0, 1] et tout h.Si Jh,∆t est uniformement stable, alors ρ(Jh,∆t) ≤ 1.

Demonstration. On sait que ρ(Jh,∆t) ≤∥∥∥Jn

h,∆t

∥∥∥1n

. Partant d’un operateur stable au sens de (4.16) on a

ρ(Jh,∆t) ≤ (K ′)1n eL

′∆t. D’ou

ρ(Jh,∆t) ≤ lim∞

(K ′)1n eL

′∆t = eL′∆t ≤ 1 + C∆t

pour une constante C > 0 bien choisie. Si l’operateur est uniformement stable, L′ = 0 ce qui clot la preuve.

La definition en dimension finie d’un operateur normal est qu’il commute avec son operateur adjoint. Aussil’operateur Jh,∆t est normal ssi

Jh,∆t J∗h,∆t = J∗

h,∆t Jh,∆t.

Cette notion n’a de sens qu’au sein d’un espace de Hilbert car l’operateur adjoint est defini grace au produitscalaire par

(Jh,∆tuh, vh) = (uh, J∗h,∆tvh), uh, vh ∈ Vh.

Pour une matrice M ∈ Rn×n, on dit que M est normale ssi MM t =M tM .

Lemme 23 (Condition suffisante pour les operateurs normaux en dimension finie). Soit l’operateur d’iterationJh,∆t pour le schema (4.34) pose dans un espace de Hilbert. Supposons que Jh,∆t est normal, et supposons queρ(Jh,∆t) ≤ 1 pour tout h,∆t. Alors le schema est unitairement stable.

Demonstration. Pour un operateur normal en dimension finie on sait que ‖Jh,∆t‖ = ρ(Jh,∆t). Voir [11]. D’ou leresultat.

4.1.9 Schema de splittingLes methodes de Splitting se rencontrent lors de l’implementation effective de methodes numeriques. Elles ont ete evoquees pourla methode de differences finies en dimension deux lors de l’enonce du principe 6.Nous considererons le probleme abstrait

∂tu = Au+Bu (4.35)

dont le second membre est splitte (i.e. decompose) en la somme de deux termes.

Exemple 3 (Splitting directionnel). Cela correspond aux situations ou A est un operateur aux derivees partielles dans la directionx, et B est un operateur aux derivees partielles dans la direction y. Par exemple

∂tu = a∂xu− ∂xxu︸︷︷︸=Au

+ b∂yu− ∂y(D(x, y)∂yu︸︷︷︸=Bu

(4.36)

ou D ≥ 0 est un coefficient de diffusion a priori borne et regulier.

Nous considerons tout d’abord le schema explicite

un+ 1

2

h − unh∆t

= Ahunh ,

un+1h − u

n+ 12

h

∆t= Bhu

n+ 12

h.

(4.37)

Les deux etapes sont explicites par simplicite, mais peuvent etre remplacees par des discretisations implicites. La forme expliciteest

un+1h = Jhu

nh avec Jh = (Ih +∆tBh)(Ih +∆tAh).

Que peut-on dire en terme de stabilite ?

Lemme 24. Supposons que les operateurs d’iteration sont stables au sens ou il existe K ′′, L′′ tels que

‖(Ih +∆tAh)n‖ ≤ K ′′eL

′′n∆t et ‖(Ih +∆tBh)n‖ ≤ K ′′eL

′′n∆t.

Alors

4.2. APPLICATIONS 53

— soit Ah et Bh commutent, auquel cas l’operateur d’iteration Jh est stable

‖Jnh ‖ ≤ K ′′e2L

′′n∆t.

— soit Ah et Bh sont unitairement stables (K ′′ = 1 et L′′ = 0), auquel cas l’operateur d’iteration Jh est aussi unitairementstable.

Demonstration. Evident.

La situation vraiment interessante correspond au cas unitairement stable car elle se rencontre souvent dans les applications quisont dominees par le transport et la diffusion.

Exercice 11. Proposer pour l’exemple (4.36) un splitting directionnel par schema explicite unitairement stable.

On peut determiner une condition CFL de stabilite unitaire pour l’operateur non splitte Ih +∆t (Ah +Bh).

Proposition 10. Supposons que Ih +∆tAh et Ih +∆tBh sont chacun unitairement stable sous une condition CFL egale respec-tivement a τA(h) et τB(h). Alors le schema non splitte est unitairement stable sous la condition CFL

∆t ≤ τA+B(h) =τA(h)τB(h)

τA(h) + τB(h).

Demonstration. On a la decomposition

Ih +∆t (Ah + Bh) = α

(Ih +

∆t

αAh

)+ (1− α)

(Ih +

∆t

1− αBh

)0 < α < 1.

Si ∆tα

≤ τA(h) et ∆tα

≤ τB(h), alors ‖Ih +∆t (Ah +Bh) ‖ ≤ 1. Cela fait apparaitre une condition de stabilite

∆t ≤ min (ατA(h), (1− α)τB(h))

dans laquelle α est une valeur arbitraire que l’on peut choisir pour maximiser le terme a droite de l’inegalite, ce qui permettra de

prendre un grand pas de temps. La valeur optimale correspond a ατA(h) = (1−α)τB(h) dont la solution est α =τB(h)

τA(h)+τB(h). On

trouve τA+B(h) = ατA(h) =τA(h)τB(h)τA(h)+τB(h)

ce qui termine la preuve.

Proposition 11. Supposons qu’il existe un operateur d’interpolation commun Πh et un espace dense commun X tels que lesoperateurs Ah et Bh sont tous deux consistants (avec A et B respectivement). Alors Ah +Bh est consistant avec A+ B.

Demonstration. Considerons pour simplifier le critere de consistance stationnaire (4.7). On a pour u ∈ X

‖(Ah +Bh)Πhu− (A+ B)u‖ ≤ ‖AhΠhu− Au‖+ ‖BhΠhu−Bu‖grace a l’inegalite triangulaire. D’ou le resultat.

4.2 Applications

On illustre l’utilisation des differents concepts de consistance et stabilite a partir de quelques exemples.

4.2.1 Schema decentre en dimension un

Soit le schema numerique decentre (2.3) pour l’advection en dimension d = 1, la vitesse d’advection etantpositive a > 0. La condition initiale est x 7→ u0(x). Soit h = ∆x > 0 le pas constant du maillage en espace.

∆x

xj xj+1xj−1

Figure 4.1 – Maillage Differences Finies a pas constant.

Soit unh =(unj)j∈Z∈ RZ la solution numerique au temps tn = n∆t. Le schema (2.3) se recrit

un+1h = (Ih +∆tAh)u

nh,


ou Ih est l’identite de RZ et Ah : R

Z → RZ est l’operateur defini par

Ahu = (wj) avec wj = −aunj − unj−1

∆x.

Montrer la convergence consiste in fine a comparer unh et vnh = Πhu(tn), mais aussi a choisir l’espace fonctionnelet la norme pour lesquels la convergence va etre etudiee. L’approche la plus simple, quand elle est possible,consiste a mener cette etude dans un espace de fonctions bornee. Aussi nous prendrons ici

V = L∞(R) et Vh =

vh = (vj)j∈Z, sup

j

|vj | <∞

= l∞.

On ecrira indistinctement ‖vh‖ = ‖vh‖∞ = ‖vh‖L∞(R). L’operateur d’interpolation Πh : C∞(R)→ Vh est

Πh(u) = (u(xj))j∈Z, xj = j∆x.

On sait grace a (2.4) que le schema est stable sous CFL avec

‖Ih +∆tAh‖ ≤ 1 pour ∆t ≤ τ(h) = h

a=

∆x

a.

On note vnh = Πhu(tn).Soit l’erreur numerique enh = vnh − unh qui est solution du processus iteratif

en+1h − enh

∆t= Ahe

nh + rnh avec la donnee initiale e0h = 0.

Le terme source est l’erreur de troncature rnh =(rnj)avec

rnj =vn+1j − vnj

∆t+ a

vnj − vnj−1

∆x.

Pour continuer l’analyse nous supposons ici que la donnee initiale est suffisamment reguliere, u0 ∈ W 2,∞(R).On a par un developpement de Taylor

vn+1j = vnj +∆t∂tu (tn, xj) +

(∆t2‖∂2t u‖∞

)αnj ,

∣∣αnj

∣∣ ≤ 1

2, (4.38)

et

vnj−1 = vnj −∆x∂xu (tn, xj) +(∆x2‖∂2xu‖∞

)βnj ,

∣∣βnj

∣∣ ≤ 1

2. (4.39)

On obtient

rnj = ∂tu (n∆t, j∆x) + (∆t‖∂tu‖∞)αnj + a∂xu (n∆t, j∆x) + a

(∆x‖∂2xu‖∞

)βnj

= (∆t‖∂tu‖∞)αnj + a

(∆x‖∂2xu‖∞

)βnj .

Notons que ‖∂2t u‖∞ = a2‖∂2xu0‖∞ et ‖∂2xu‖∞ = ‖∂2xu0‖∞. D’ou

∣∣rnj∣∣ ≤ a

(∆xαn

j + a∆tβnj

)‖∂2xu0‖∞.

Or la condition CFL implique que le pas de temps est borne par le pas d’espace sous la forme ∆t ≤ ∆xa. Cela

implique que

‖rnh‖∞ ≤ a∆x‖∂2xu0‖∞. (4.40)

On dira que le schema est consistant a l’ordre 1 en O(∆x) dans L∞.On obtient le resultat de convergence.


Lemme 25. Supposons que u0 ∈ W 2,∞(R). Supposons la condition CFL satisfaite. Soit T > 0 donne. Alorspour tout n tel que tn = n∆t ≤ T , on a l’estimation d’erreur

‖enh‖∞ ≤ ‖∂2xu0‖∞(aT∆x). (4.41)

Le schema converge a l’ordre un en espace (et en temps).

Demonstration. La preuve est ne fait que reprendre la demonstration du theoreme de Lax. On a en+1h =

(Ih +∆tAh) enh + ∆trnh . Donc ‖en+1

h ‖∞ ≤ ‖ (Ih +∆tAh) enh‖∞ + ∆t‖rnh‖∞. Or la stabilite fait que ‖Ih +

∆tAh‖∞ ≤ 1. Donc ‖en+1h ‖∞ ≤ ‖enh‖∞ + ∆t‖rnh‖∞. Comme e0 = 0, on obtient finalement que ‖en‖∞ ≤

∆t∑n−1

p=0 ‖rp‖∞. Le resultat est demontre grace a (4.40).

4.2.2 Donnee moins reguliere et ordre de convergence fractionnaire

Une question interessante est de determiner un ordre de convergence pour la solution numerique du schemaupwind (2.3) avec une donnee moins derivable, par exemple u0 ∈W 1,∞(R). Nos verrons que le prix a payer seraque l’ordre de convergence est sous-lineaire.

6

u0

0 2 4-2 x

Figure 4.2 – Exemple d’une donnee initiale u0 ∈ W 1,∞(R) pour laquelle le resultat de convergence d’ordrefractionnaire s’applique : u0(x) = mink∈Z |x− 2k|. Cette fonction est par ailleurs 2-periodique.

Definition 14 (Regularisation). Soit ϕ ∈ W 1,∞0 (R) une fonction positive ou nulle, de derivee bornee, a support

compact 5 et telle que ∫

R

ϕ(z)dz = 1.

Pour une fonction donnee w ∈W 1,∞(R), nous definissons la fonction regularisee par convolution

wε(x) =1

ε

∫

R

ϕ

(x− yε

)w(y)dy. (4.43)

Lemme 26. On a les inegalites

‖wε‖∞ ≤ ‖w‖∞, ‖w′ε‖∞ ≤ ‖w′‖∞, ‖w′′

ε ‖∞ ≤∫|ϕ′(z)|dzε

‖w′‖∞, (4.44)

et

‖wε − w‖∞ ≤ ε∫ϕ(z)|z|dz‖∂xw‖∞. (4.45)

5. On peut prendre par exemple

ϕ(z) = 1− |z| pour |z| ≤ 1, et ϕ(z) = 0 pour |z| ≥ 1. (4.42)


Demonstration. Cela est standard [6]. A partir de la definition de wε on a

|wε(x)| ≤(1

ε

∫

R

ϕ

(x− y

ε

)dy

)‖w‖∞.

Comme 1ε

∫Rϕ(

x−yε

)dy =

∫Rϕ(z)dz = 1, cela montre immediatement que ‖wε‖∞ ≤ ‖w‖∞.

On a aussi l’inegalite

w′ε(x) = − 1

ε2

∫

R

ϕ′(x− y

ε

)w(y)dy =

1

ε

∫

R

ϕ

(x− y

ε

)w′(y)dy

qui montre que ‖w′ε‖∞ ≤ ‖w′‖∞.

Considerons ensuite

w′′ε (x) = − 1

ε2

∫

R

ϕ′(x− y

ε

)w′(y)dy

qui implique que∣∣w′′

ε (x)∣∣ ≤ 1

ε2

∫

R

∣∣∣∣ϕ′(x− y

ε

)∣∣∣∣ dy‖w′‖∞ =

∫|ϕ′(z)|dzε

‖w′‖∞.

Il reste a montrer (4.45). Or on a par construction

wε(x)−w(x) =1

ε

∫

R

ϕ

(x− y

ε

)(w(y)−w(x)) dy

d’ou l’on tire

|wε(x)− w(x)| ≤(1

ε

∫

R

ϕ

(x− y

ε

)|x− y|dy

)‖w′‖∞ =

(ε

∫ϕ(z)|z|dz

)‖w′‖∞.

Cela termine la preuve.

On peut alors montrer le resultat suivant pour le schema (2.3).

Lemme 27 (Convergence a l’ordre 12 ). Soit une donnee initiale u0 ∈ W 1,∞(R). Supposons la condition CFL

satisfaite. Soit T > 0 un temps final donne. Alors pour tout tn = n∆t ≤ T , on a l’estimation

‖enh‖∞ ≤4√3‖∂xu0‖∞

√aT∆x.

Demonstration. On commence par regulariser la donnee initiale

u0,ε(x) =1

ε

∫

R

ϕ

(x− y

ε

)u0(y)dy.

La solution numerique decoulant de cette donnee initiale est notee unε,h =(unε,j

)

j∈Z

avec

un+1ε,h

− unε,h

∆t= Ahu

nε,h,

unε,j = u0,ε(j∆x).

On a l’inegalite triangulaire

‖enh‖∞ = ‖vnh − unh‖∞ ≤ ‖vnh − vnε,h‖∞ + ‖vnε,h − unε,h‖∞ + ‖unε,h − unh‖∞, (4.46)

ou vnh = (u(n∆t, j∆x))j∈Zet vnε,h = (uε(n∆t, j∆x))j∈Z

.

La stabilite du schema montre que le troisieme terme est borne par ‖unε,h − unh‖∞ ≤ ‖u0ε,h − u0h‖∞ ≤ ‖u0,ε − u0‖∞.

Comme la regularisation commute avec l’advection, on a pour le deuxieme terme ‖vnh − vnε,h‖∞ ≤ ‖u0,ε − u0‖∞.

Il reste a estimer le deuxieme terme. Grace (4.44) on obtient ‖u0,ε −u0‖∞ ≤ ε∫ϕ(z)|z|dz‖u′0‖∞. La derivee seconde de la solution

regularisee peut se controler grace a (4.44). Aussi, utilisant (4.41) on trouve

‖vnε,h − unε,h‖∞ ≤∫|ϕ′(z)|dzε

‖u′0‖∞(aT∆x).

Apres insertion dans (4.46) on obtient

‖enh‖∞ ≤(2ε

∫ϕ(z)|z|dz +

∫|ϕ′(z)|dzε

aT∆x

)‖u′0‖∞.

Il reste a choisir la valeur optimale de ε qui est celle qui permet de minimiser le resultat : on prend ε =(

aT∆x∫|ϕ′(z)|dz

2∫ϕ(z)|z|dz

) 12.

Finalement

‖enh‖∞ ≤ 2

(2aT∆x

∫|ϕ′(z)|dz ×

∫ϕ(z)|z|dz

) 12

‖u′0‖∞.

Pour le noyau (4.42) on a∫|ϕ′(z)|dz ×

∫ϕ(z)|z|dz = 2

3. Le reste de la preuve est evident.


4.2.3 Maillage non uniforme

Enfin nous considerons l’equation d’advection ∂tu + a∂xu = 0 discretisee en dimension d = 1 avec le schemaupwind (2.3) sur un maillage non uniforme par le schema (2.16). Cet exemple permet d’illustrer une difficultespecifique de l’analyse numerique des schemas aux Differences Finies et aux Volumes Finis sur maillage nonuniforme. La difficulte sera nettement plus consequente en dimension superieure, voir chapitre 5.

∆xj−1

xj xj+1

xj−12

xj+12

xj−1

∆xj ∆xj+1

Figure 4.3 – Maillage non uniforme en 1D. Ici ∆xj−1 6= ∆xj 6= ∆xj+1. Les centres des mailles sont d’indiceentier. Les bords de mailles sont d’indices demi-entier.

On commence par definir la finesse du maillage

h = supj

∆xj

ou ∆xj = xj+ 12−xj− 1

2est la longueur de la maille d’indice j. Il s’agit ensuite de definir l’operateur de projection

sur la maillage ce qui necessite de definir prealablement les centres de mailles par

xj =xj+ 1

2− xj− 1

2

2, (4.47)

d’ou une premiere definition naturelle de l’operateur d’interpolation/projection Π1h :W 2,∞(R)→ Vh = l∞ par

Π1h(v) = (v(xj))j∈Z

.

Une deuxieme definition possible de l’operateur d’interpolation/projection, elle aussi naturelle, est fournie parles valeurs moyennes

Π2h(v) =

1

∆xj

∫ xj+1

2

xj− 1

2

v(x)dx

j∈Z

.

Proposition 12. L’erreur de consistance associee a Π1h ou Π2

h ne tend pas vers zero pour un maillage nonuniforme.

Demonstration. Commencons par evaluer l’erreur de consistance pour Π1h a partir de l’un des deux criteres (4.7)

ou (4.11) au choix. Pour (4.11) on a rnh =(rnj)j∈Z

avec

rnj =vn+1j − vnj

∆t+ a

vnj − vnj−1

∆xj− ∂tu(tn, xj)− a∂xu(tn, xj).

Reprenant (4.38-4.39) pour une fonction dont les derivees secondes sont bornees, on a

rnj =

(xj − xj−1

∆xj− 1

)a∂xu(tn, xj) +O(∆t) +O(∆x). (4.48)


Le terme principal disparait pourxj−xj−1

∆xj= 1 pour tout j, ce qui revient in fine a considerer que le maillage

est uniforme : ∆xj = ∆xk = ∆x pour tout j, k.Cependant pour un maillage non uniforme on a uniquement rnh = O(1) ce qui fait que cette erreur de consistancede tend pas vers zero.Pour v ∈W 2,∞(R), on a

∥∥Π1hv −Π2

hv∥∥∞≤ ∆x2‖v′′‖L∞(R). Cette difference etant d’ordre deux en h, la resultat

est le meme en partant de Π2h. La preuve est terminee.

Cette analyse montre d’une part que l’analyse numerique des schemas sur grille non uniforme est moins evidentque pour des grilles uniformes, et d’autre part que le critere de consistance (4.7) ou (4.11) depend bien duchoix de l’operateur d’interpolation Πh. Cependant on a bien la convergence a partir d’un autre operateurd’interpolation adapte au schema. Soit Π3

h :W 2,∞(R)→ Vh = l∞ defini par

Π3h(v) =

(v(xj+ 1

2))j∈Z

. (4.49)

On observe que le point d’interpolation est decentre sur le bord droit des mailles.

Proposition 13. L’erreur de consistance associee a Π3h tend vers zero a l’ordre un pour une donnee suffisam-

ment reguliere et pour tout maillage.

Demonstration. On part de l’erreur de consistance definie par (4.14). Pour rnh =Π3

hu(tn+1)−Π3hu(tn)

∆t− Ahu

nh −

Π3h (∂tu−Au(tn)) on a

rnj =u(tn+1, xj+ 1

2)− u(tn, xj+ 1

2)

∆t+ a

u(tn, xj+ 12)− u(tn, xj− 1

2)

∆xj− ∂tu(tn, xj+ 1

2)− a∂xu(tn, xj+ 1

2).

Reprenant (4.38-4.39) pour une fonction dont les derivees secondes sont bornees, on a

rnj =

(xj+ 1

2− xj− 1

2

∆xj− 1

)a∂xu(tn, xj) +O(∆t) +O(∆xj) = O(∆t) +O(∆x)

car xj+ 12− xj− 1

2= ∆xj . Cela termine la preuve.

Lemme 28. Soit le schema (2.16) avec l’initialisation u0h = Π3hu0 pour une donnee initiale u0 ∈ W 2,∞(R).

Supposons la condition CFL satisfaite. Alors

‖Π3hu(tn)− unh‖∞ ≤ aT ‖u′′0‖∞h, n∆t ≤ T. (4.50)

Pour une donnee initiale moins reguliere u0 ∈W 1,∞(R), on a l’ordre de convergence fractionnaire moitie

‖Π3hu(tn)− unh‖∞ ≤

4√3||u′0||∞ ×

√aTh, n∆t ≤ T. (4.51)

Demonstration. Il s’agit de la meme preuve que pour le lemme 25, a partir de l’erreur d’interpolation associeea Π3

h.

Chapitre 5

Analyse numerique des Volumes Finis

Les methodes de Volumes Finis sur maillage non structures sont a la base des codes de CFD (ComputationalFluid Dynamics) et de resolution de systemes hyperboliques non lineaires pour lesquels l’objectif est le calculprecis de solutions tres peu regulieres voire meme discontinues (les discontinuites et les ondes de chocs). Lecalcul de transport et diffusion en milieux poreux sont eux aussi tres demandeurs en methodes de VolumesFinis.L’analyse numerique des methodes de Volumes Finis met en evidence deux proprietes fortes qui sont d’une partla stabilite et le principe du maximum et d’autre part une structure de donnees simple. Cela explique l’interetfort de ces methodes en calcul scientifique et ingenierie numerique.Cependant la convergence avec le pas du maillage apparaıt nettement plus delicate a analyser. On verra qu’ilest cependant possible de montrer par exemple la convergence a l’ordre 1

2 pour le transport de donnees BVce qui est representatif de la convergence des methodes de Volumes Finis pour des donnees peu regulieres. Ladifficulte principale est qu’il faudra obtenir ces resultats sans passer par la consistance au sens des DifferencesFinies, c’est a dire sans utiliser la methode de regularisation de la preuve du lemme 27.

5.1 Equation d’advection

Le probleme modele est ∂tu+ a · ∇u = 0, x ∈ Ω, t > 0,u(0,x) = u0(x), x ∈ Ω,

(5.1)

dans un domaine Ω que l’on prend sans bord pour simplifier les notations. Par exemple on pourra considerersoit que Ω = R2 soit que Ω = T = [0, 1] × [0, 1] est le tore (carre academique periodique) : on peut identifierx+ 1 = x et y + 1 = y.Nous considerons ici un champ de vitesse eventuellement non constant, mais regulier a ∈ C1(Ω) et a divergencenulle

∇ · a = 0.

On utilise les notations generales de la section 2.2.2. On pose

ajk =1

ljk

∫

Σjk

a(x) · njk(x)dσ

qui est la valeur moyenne de a apres produit scalaire contre la normale exterieure. Pour simplifier un peu lesnotations, on definit

I+(j) = k tels que ajk > 0 et I−(j) = k tels que ajk < 0

et on utilisera la convention de notation

k± au lieu et place de de k ∈ I±(j).

59

60 CHAPITRE 5. ANALYSE NUMERIQUE DES VOLUMES FINIS

On utilise aussi la notation

mjk = ljk |ajk| ∀j, k..

Un schema de Volumes Finis qui generalise (2.35) s’ecrit

sjun+1j − unj

∆t+∑

k+

mjkunj −

∑

k−

mjkunk = 0. (5.2)

En dimension d = 2 on peut evaluer la valeur numerique des ajk sans difficulte.

A−jk

tjk = (−β, α)

A+jl

njk = (α, β)

A+jk = A−jl

Maille j

Maille l

Maille k

Figure 5.1 – Orientation des interfaces

En effet on peut supposer que a est le rotationnel d’un potentiel scalaire donne q ∈ C2(Ω)

a = ∇∧ q = (−∂x2q, ∂x1

q) .

Par construction ∇ · a = ∂x1(−∂x2

q) + ∂x2(∂x1

q) = 0. Posons n = (α, β) et t = (−β, α) : alors

ajk =1

ljk

∫

Σjk

∇ ∧ q · njkdσ =1

ljk

∫

Σjk

(−∂x2q α+ ∂x1

q β) dσ = − 1

ljk

∫

Σjk

∇q · t dσ = − 1

ljk

∫

Σjk

∂q

∂tdσ,

ou encore

ajk =q(Ajk−

)− q

(Ajk+

)

ljk.

Par convention (A−jk, A

+jk) sont orientes dans le sens des aiguilles d’une montre sur le bord Σjk. On a par ailleurs

que A−jk = A+

kj .

Lemme 29. On a l’egalite∑

k ljkajk = 0.

Demonstration. En effet∑

k ljkajk =∑

k ljk

(q(Ajk−)−q(Ajk+)

ljk

)=∑

k

(Ajk− −Ajk+

)= 0 pour tout contour

ferme. On peut aussi utiliser la condition de divergence nulle∑

k ljkajk =∫∂Ωj

a ·nj dσ =∫Ωj∇ · a dx = 0.

Lemme 30. On a∑

k+ mjk =∑

k− mjk.

Immediat a partir de la definition de mjk du lemme 29.

5.1. EQUATION D’ADVECTION 61

5.1.1 Analyse de la condition de stabilite

Le schema (5.2) peut se mettre sous la forme explicite

un+1j =

(1− ∆t

sj

∑

k−

mjk

)unj +

∆t

sj

∑

k−

mjkunk . (5.3)

Lemme 31. Supposons que le pas de temps satisfasse a l’inegalite de stabilite (condition CFL)

∆t

sj

∑

k−

mjk ≤ 1, ∀j. (5.4)

Alors la solution numerique verifie le principe du maximum

infk(unk ) ≤ un+1

j ≤ supk

(unk) . (5.5)

Demonstration. Soit m = infk unk le minimum de la solution numerique au temps tn. Nous allons commencer

par montrer que m ≤ un+1j pour toute maille j. On a

un+1j −m =

(1− ∆t

sj

∑

k−

mjk

)(unj −m) +

∆t

sj

∑

k−

mjk(unk −m).

Les coefficients 1− ∆tsj

∑k− mjk et ∆t

sj

∑k− mjk sont positifs ou nuls et leur somme fait 1. Donc un+1

j −m est

une combinaison convexe, c’est a dire une moyenne, des unk . Donc m ≤ un+1j pour tout j.

Une inegalite similaire se demontre pour la borne superieure M = supk unk . Cela termine la preuve.

Soit plus generalement une fonction convexe u 7→ ϕ(u)

ϕ (θu1 + (1 − θ)u2) ≤ θϕ (u1) + (1− θ)ϕ (u2)

pour tous u1 et u2 et pour tout θ ∈ [0, 1].

Lemme 32. Supposons la condition CFL (5.4) satisfaite. On a l’inegalite

∑

j

sjϕ(un+1j

)≤∑

j

sjϕ(unj). (5.6)

Demonstration. Comme ϕ est convexe, on a plus l’inegalite ϕ (∑θiui) ≤

∑θiϕ (ui) sous les conditions θi ≥ 0

pour tout i et∑θi = 1. Donc

ϕ(un+1j

)≤(1− ∆t

sj

∑

k−

mjk

)ϕ(unj)+

∆t

sj

∑

k−

mjkϕ (unk) .

Sommons sur tout le maillage

∑

j

ϕ(un+1j

)≤∑

j

ϕ(unj)−∑

j

∑

k−

∆t mjk

sjϕ(unj)+∑

j

∑

k−

∆t mjk

sjϕ (unk ) .

On a ∑

j

∑

k−

∆t mjk

sjϕ(unj)=∑

j

∑

k, ajk>0

∆t mjk

sjϕ(unj)

et ∑

j

∑

k−

∆t mjk

sjϕ (unk ) =

∑

j

∑

k, ajk<0

∆t mjk

sjϕ (unk ) .


Or on a l’egalite ∑

j

∑

k, ajk>0

∆t mjk

sjϕ(unj)=∑

j

∑

k, ajk<0

∆t mjk

sjϕ (unk) .

Le reste de la preuve est evident.

Remarque 6. Dans le cas ou le maillage est infini ce qui correspond par exemple a Ω = R2, il faut cependantjustifier la convergence et la permutation des sommes infinies dans la preuve de (5.6). C’est bien le cas siϕ(0) = 0 et la solution numerique est a support compact. Cela couvre les cas particuliers etudies ci-dessous.Pour un maillage fini, cette difficulte n’a pas lieu.

Lemme 33. Le schema de Volumes Finis (5.2) est stable dans tous les Lp sous la meme condition (5.4). Plusprecisement

‖un+1‖pLp(Ω) ≤ ‖un‖

p

Lp(Ω) 1 ≤ p ≤ ∞. (5.7)

Demonstration. Tout d’abord on considere 1 ≤ p <∞. La fonction ϕ(u) = |u|p etant convexe, on peut appliquerl’inegalite precedente. D’ou le resultat. Le cas p =∞ est une consequence du principe du maximum (5.5).

Cependant l’inegalite 32 permet de deriver aussi le principe du maximum, ce qui fournit une deuxieme demonstrationde la stabilite dans L∞.

u

ϕ(u)

ϕ+(u)ϕ−(u)

m M

︸︷︷︸unj

Figure 5.2 – ϕ− et ϕ+

On pose m = mink unk et M = maxk u

nk . Soit la fonction

ϕ−(u) =

m− u pour u ≤ m,0 pour m ≤ u.

Cette fonction ϕ− est continue, convexe et ϕ−(0) = 0. L’inegalite (32) implique que

∑

j

sjϕ−

(un+1j

)≤ 0.

Or ϕ− ≥ 0. Donc ϕ−

(un+1j

)= 0 pour tout j, ce qui montre que m ≤ un+1

j pour tout j.

Pour montrer que un+1j ≤M , nous considerons une deuxieme fonction convexe

ϕ+(u) =

0 pour u ≤M,

u−M pour M ≤ u.

Un raisonnement similaire montre que un+1j ≤M pour tout j.

A present nous interpretons geometriquement la condition de CFL. Le membre de droite de

∆t ≤ sj∑k+ mjk

∀j, (5.8)


depend de la structure locale du maillage. Il importe de s’assurer que ce terme n’est pas excessivement petit,d’augmenter les temps de calcul dans des proportions excessives. Pour simplifier l’analyse on considere que

a ∈ R2 est constant en espace. (5.9)

A

a

B

C

D

E

F

G

lj

lj

lj

Maille j

Figure 5.3 – Largeur apparente d’une maille

Nous definissons lj la largeur apparente de la maille Ωj comme la dimension de cette maille vue par un obser-vateur a l’infini dans la direction a.

Lemme 34. Supposons les mailles convexes. Alors l’inegalite de stabilite se recrit

∆t ≤ sj

|a|lj(5.10)

ou lj est la longueur apparente comme sur la figure 5.3.

Demonstration. Nos montrons cette propriete sur l’exemple de la maille pentagonale Ωj de sommets ABCDEde la figure 5.3.On construit une maille plus grande Ωj′ avec Ωj ⊂ Ωj′ : ses sommets sont ABCFG, les segments AG et CFetant paralleles au vecteur a. Comme Ωj est convexe par hypothese et que a est constant, les bords sortantsk ∈ I+(j) (i.e. AB et BC sur la figure) forment une ligne brisee connexe. De la meme maniere les bords entrantsk ∈ I−(j) (i.e. CD, DE et EA sur la figure) forment une ligne brisee connexe. Les bords sortants de Ωj′ sontles memes que ceux de Ω, ce que l’on peut noter par

I+(j) = I+(j′).

Alors ∑

k∈I+(j)

mjk =∑

k∈I+(j′)

mjk =∑

k∈I−(j′)

mjk = |a|lj .

Or AG et CF sont parallele a a, donc ils ne contribuent pas. La preuve est terminee.

Remarque 7. En revanche∑

k+ mjk =∑

k− mjk > |a|lj est tout a fait possible pour une maille non convexe.Dans ce cas le pas de temps est plus restreint que pour (5.10).


Soit a present une maille Ωj convexe : on definit r−j le plus grand rayon des cercles internes et r+j le plus petitrayon des cercles externes. On a

diam(Ωj) ≤ 2r+j .

Pour un triangle r−j est le rayon du cercle inscrit, et r+j est le rayon du cercle circonscrit.

Lemme 35. Soit une maille convexe. Alors une condition suffisante pour obtenir (5.8) est que

∆t ≤π(r−j )2

2|a|r+j. (5.11)

Demonstration. Par definition sj ≥ π(r−j )2 et lj ≤ 2r+j . Aussi (5.10) est une consequence de (5.11).

Definition 15. On definit le facteur de qualite, aussi appele rapport d’aspect, du maillage

Q = supj

(r+j

r−j

)≥ 1,

et la longueur caracteristique du maillage

h = supj

(diam(Ωj)) .

La definition de h est une alternative possible a une definition similaire (2.28).Avec ces notations, la condition sur le pas de temps (5.11) est verifiee des que

|a|(Q2

π

)∆t

h≤ 1. (5.12)

Pour un calcul sur ordinateur, on a toujours interet a utiliser le plus grand pas de temps possible. Le pas dumaillage h est le plus souvent dicte par la precision souhaitee. En revanche Q est donne par la structure dumaillage. De ce point de vue l’interet pratique dicte d’utiliser un maillage avec une constante Q la plus petitepossible.

Definition 16. Une suite de maillages indices par n et de longueur caracteristique hn avec hn → 0 pour n→∞est dite reguliere si

1 ≤ Qn ≤ C, ∀n.Les preuves de convergence utilisent une telle hypothese de regularite de maillage. Il faut noter que la situationest identique pour la theorie de convergence des methodes d’elements finis [8].

5.1.2 Approximation, erreur de projection initiale et inegalite de Poincare-Wirtinger

On demontre quelques inegalites d’interpolation de base qui utiles pour l’analyse numerique generale desmethodes de Volumes Finis, et en particulier pour caracteriser l’erreur d’approximation ‖u0 −Πhu0‖Lp(Ω) de ladonnee initiale a la toute premiere iteration.La premiere inegalite, lemme 36, est un resultat classique qui mesure l’erreur de projection en moyenne. Ladeuxieme inegalite, lemme 38, est tout aussi classique. Elle mesure l’erreur entre la valeur moyenne dans lesmailles par rapport a la valeur moyenne sur les segments aux interfaces des mailles.Les mailles en dimension deux d’espace sont supposees convexes. La longueur caracteristique du maillage h estpar definition plus grandes que tous les bords de mailles. Le maillage est pris regulier. Enfin le nombre de voisinsest borne par une constante independante de h.

Lemme 36 (Inegalite de type Poincare-Wirtinger). Soit Πh l’operateur de projection en moyenne. Alors ilexiste une constante C > 0 telle que

‖u−Πhu‖Lp(Ω) ≤ Ch‖∇u‖Lp(Ω) (5.13)

pour tout u ∈ W 1,p(Ω).


Demonstration. L’inegalite (5.13) ne fait que preciser la dependance par rapport au maillage de la constante del’inegalite de Poincare-Wirtinger dans Lp(Ω).Le cas p =∞ est evident aussi on considere 1 ≤ p <∞. On a

‖u−Πhu‖pLp(Ω) =∑

j

∫

x∈Ωj

∣∣∣∣∣u(x)−1

sj

∫

y∈Ωj

u(y)dy

∣∣∣∣∣

p

dx =∑

j

1

spj

∫

x∈Ωj

∣∣∣∣∣

∫

y∈Ωj

(u(x)− u(y))dy∣∣∣∣∣

p

dx.

L’inegalite de Holder pour 1p+ 1

q= 1 implique

∣∣∣∫y∈Ωj

(u(x) − u(y))dy∣∣∣ ≤

(∫y∈Ωj

|u(x)− u(y)|p dy) 1

p

s1q

j . D’ou

‖u−Πhu‖pLp(Ω) ≤∑

j

1

sj

∫

x∈Ωj

∫

y∈Ωj

|u(x)− u(y)|pdxdy. (5.14)

Or u(x)−u(y) =∫ 1

0 ∇u (tx+ (1− t)y) dt · (x− y) d’ou l’on tire |u(x)−u(y)|p ≤ hp∫ 1

0 |∇u (tx+ (1− t)y)|p dt.Il s’ensuit que

∫

x∈Ωj

∫

y∈Ωj

|u(x)− u(y)|pdxdy ≤ hp∫

x∈Ωj

∫

y∈Ωj

∫ 1

0

|∇u (tx+ (1− t)y)|p dtdxdy

puis en utilisant un principe de symetrie

∫

x∈Ωj

∫

y∈Ωj

|u(x)− u(y)|pdxdy ≤ 2hp∫

y∈Ωj

∫ 1

12

(∫

x∈Ωj

|∇u (tx+ (1− t)y)|p dx)dydt.

Le terme entre parenthese s’evalue aisement grace a un changement de variables. On pose z = tx + (1 − t)y,pour t et y donnes. On remarque que z ∈ Ωj et que tdx = z ce qui implique que t2dx = dz. On remarquesurtout que que la troncature en 1

2 < t < 1 dans les integrales a permis d’eviter une singularite en 1t2

qui auraitete catastrophique. Cette idee semble remonter a la demonstration initiale de Poincare lui-meme.On a alors ∫

x∈Ωj

|∇u (tx+ (1− t)y)|p dx ≤ 1

t2

∫

z∈Ωj

|∇u (z)|p dz ≤ 4

∫

x∈Ωj

|∇u (x)|p dx

qui est une majoration independant de t ∈ [0, 1] et y ∈ Ωj . Cela implique que

∫

x∈Ωj

∫

y∈Ωj

|u(x)− u(y)|pdxdy ≤ 4sjhp

∫

x∈Ωj

|∇u (x)|p .

Une insertion de cette inegalite dans (5.14) et une simplification donnent

‖u−Πhu‖Lp(Ω) ≤ 41ph‖∇u‖Lp(Ω).

La constante peut-etre prise independant de p, soit C = 4. La preuve est terminee.

Soit u ∈ W 1,p(Ωj), p ∈ [1,∞]. On note uj la valeur moyenne dans la maille Ωj et ujk la valeur moyenne sur lebord Σjk

uj =1

sj

∫

Ωj

u(x)dx, ujk =1

ljk

∫

Σjk

u(x)dσ, ∀k.

Soit Aj une mesure de la difference dans une norme de type Lp

Aj =

h

∑

k∈I(j)

ljk |ujk − uj|p

1p

. (5.15)


Lemme 37. On a l’inegalite Aj ≤ Ch ‖∇u‖Lp(Ω), ou la constante C ne depend pas de u ni des parametres dumaillage.

Demonstration. On note Θ = Ωj , puis enleve les indices j pour plus de lisibilite. Soit

v = u− 1

Θ

∫

Θu(x)dx

dont la valeur moyenne est nulle dans Θ. En considerant que le bord de Θ est constitue d’un nombre fini de segments de droites delongueur lk, on a (par exemple en utilisant la convexite de la fonction v 7→ |v|p)

∑

k

lk|vk|p ≤∫

∂Θ|v(x)|pdσ (5.16)

ou les vk sont les valeurs moyennes de v sur chacun des segments.

Ω

yx

n

ωO

Figure 5.4 – Disque ω a l’interieur d’une maille convexe Ω polygonale. On a bien (x− y,n(x)) ≥ 0 pour toutx ∈ ∂Ω et tout y ∈ ω.

Un peu de geometrie : a une translation pres, on peut toujours supposer que l’origine appartient a Ω qui est convexe par hypothese,et que l’origine est centre d’un disque ω ⊂ Ω de rayon r−. Notons que pour des maillages reguliers, ce rayon minimum est borneinferieurement par r− ≥ ch, c > 0 independant de h. La maille Θ etant convexe, on a que

(x− y,n(x)) ≥ 0, ∀x ∈ ∂Θ et ∀y ∈ Θ.

Soit y = chn(x) ∈ ω. Alors on a une inegalite geometrique

(x,n(x)) ≥ ch, ∀x ∈ ∂Θ. (5.17)

Soit alors le champ de vecteurs y(x) = |v(x)|px pour lequel on peut utiliser la formule de Stokes∫∂Θ

(y,n) dσ =∫Θ∇ · ydx, ou

encore ∫

∂Θ(x,n) |v(x)|pdσ =

∫

Θ

(2|v(x)|p + p|v(x)|p−1signe(v(x)) (∇v(x), x)

)dx

Donc

ch

∫

∂Θ|v(x)|pdσ ≤ 2 ‖v‖p

Lp(Θ)+ hp

∫

Θ|v(x)|p−1|∇v|dx.

Or l’inegalite de Holder pour |v(x)|p−1 ∈ Lq(Θ) et |∇v| ∈ Lp(Θ) indique que∫

Θ|v|p−1|∇v|dx ≤ ‖v‖

pq

Lp(Θ)‖|∇v||‖Lp(Θ) .

L’inegalite (5.13) applique a v dans Θ montre que ‖v‖Lp(Ω) ≤ Ch‖∇v‖Lp(Ω). D’ou

ch

∫

∂Θ|v(x)|pdσ ≤

(2Cphp + phh

pq

)‖∇v‖p

Lp(Ω)= (2Cp + p)hp‖∇v‖p

Lp(Ω)

puis en reprenant (5.13)(

h∑

k

lk|vk |p) 1

p

≤(2Cp + p

c

) 1p

h‖∇v‖Lp(Ω).

Le resultat est demontre pour une constante C =(

2Cp+pc

) 1p

que l’on peut majorer independamment de p.

Soit

A =

∑

j

Apj

p

. (5.18)

Lemme 38. On a l’inegalite A ≤ Ch ‖∇u‖Lp(Ω) (evident).


5.1.3 Consistence des schemas de Volumes Finis pour l’advection

Nous allons plutot montrer que la non consistance au sens des Differences Finies est la regle generalepour l’equation d’advection. Cette non consistance formelle est la raison des difficultes d’analyse numeriquegenerees pas ces methodes.Nous partons du schema de Volumes Finis pour un maillage general (5.2) ou (5.3). Pour analyser la consistanceau sens des Differences Finis, il faut definir un operateur de projection Πh a partir de points xj . Ces pointspeuvent etre les centres de masses des mailles mais ce n’est pas obligatoire. Il apparait raisonnable de demanderque xj ∈ Ωj , mais ce n’est pas obligatoire non plus.Soit u = u0(x− at) une solution exacte pour la donnee initiale u0 ∈ W 2,∞(R2). L’erreur de troncature est alors

rnj =vn+1j − vnj

∆t+

1

sj

∑

k+

mjkvnj −

1

sj

∑

k−

mjkvnk =

vn+1j − vnj

∆t− 1

sj

∑

k−

mjk

(vnk − vnj

).

ou vnj , vn+1j et les vnk sont les valeurs ponctuelles associees a des points xj que l’on a choisi preliminairement :

vnj = u(n∆t,xj) pour tout j et tout n. Pour des fonctions regulieres un developpement de Taylor montre que

vn+1j = vnj + ∂tu(n∆t,xj)∆t+O(∆t2) = vnj − a · ∇u(n∆t,xj)∆t+O(∆t2)

etvnk = vnj +∇u(n∆t,xj) · (xk − xj) + O(h2).

On supposera que les points sont tels que

supk∈I(j)

|xj − xk| ≤ Ch pour C independant de h.

On obtient

rnj = −a · ∇u(n∆t,xj)∆t−1

sj

∑

k−

ljka · njk∇u(n∆t,xj) · (xk − xj) +O(∆t) +O(h),

ou encorernj =

(Mt

jka)· ∇u(n∆t,xj) +O(∆t) +O(h). (5.19)

avec une matrice Mj = −I + 1sj

∑k− ljknjk ⊗ (xk − xj) ∈ R2×2. Donc pour avoir rnj = O(∆t + h) il faut et

il suffit que Mtja s’annule. On note que l’on retrouve exactement le critere deja etudie (4.48) en dimension un

d’espace. Comme il apparait raisonnable que les points xj soit independants autant que possible de l’equation,on retiendra la definition suivante.

Definition 17 (Consistence au sens des Differences Finies : premiere version). On dira que le schema estconsistent au sens des Differences Finies si il existe des points (xj) solution de l’equation Mj = 0, c’est a dire

∑

k−

ljknjk ⊗ (xk − xj) = sjI, ∀j. (5.20)

Si de plus xj ∈ Ωj la solution est locale.

La somme etant sur les k−, il subsiste une dependance par rapport a a dans cette definition.Comme nous le savons deja , les maillages cartesiens beneficient de la consistance au sens des Differences Finies,ce que l’on retrouve rapidement de la facon suivante. Soit en effet un maillage cartesien (en dimension d = 2).Considerons que xj est le centre de masse (aussi centre de gravite ou barycentre) de la maille d’indice j. Alorsla condition de consistance (5.20) est vraie pour tout a. En effet sj = ∆x2, ljk = ∆x et xk − xj = ∆x njk.Deux bords au plus contribuent dans (5.20). Le reste est affaire de calcul evident.Un resultat negatif est le suivant.


Maille k

xk

njka

xj

Maille j

Figure 5.5 – Un cas particulier sans solution au critere de consistance (5.20)

Lemme 39. Il existe des maillages pour lesquels il n’y a aucune solution au critere de consistance (5.20).

Demonstration. Considerons le maillage en triangles de la figure 5.5.Une seule maille est dans I−(j). La somme (5.20) se reduit a une seule contribution ljknjk ⊗ (xk − xj). Cettematrice est au plus de rang un, et ce pour tout xj et tout xk. Elle ne peut donc pas etre egale a sjI qui est derang deux.

Cela incite a etudier une version affaiblie de la relation de consistance (5.20).

Definition 18 (Consistance au sens des Differences Finies : deuxieme version). Un deuxieme critere de consis-tance au sens des Differences Finis s’ecrit : Mt

jka = 0. Ou encore

xj =∑

k−

(ljk a · njk∑r− ljr a · njr

)xk −

sj∑k− ljk a · njk

a. (5.21)

Si (5.21) est vrai alors l’erreur de troncature (5.19) est en O(∆t + h), ce qui est exactement la definition de laconsistance au sens des Differences Finies.Il est possible a priori de resoudre (5.21) de proche en proche en considerant que les xk ont deja ete calcules.Cela determine le point xj comme une moyenne des xk plus une correction geometrique, ce qui propage laconnaissance de xj de mailles en mailles. Cependant l’etude de ce systeme, meme elementaire, n’a pas evidente.Par exemple la solution peut ne pas etre locale, xj 6∈ Ωj . Cela rend l’interpretation de la solution delicate. Onpourra consulter [3].

5.2 Convergence dans L2

Nous montrons la convergence dans L2 du schema de Volumes Finis pour l’advection, en utilisant une combi-naison de techniques adaptees. Le domaine d’etude est le tore T . Le champ de vitesse a ∈ R2 est constant entemps et en espace. La donnee initiale est une fois derivable dans L2, soit u0 ∈ H1(T ).Le maillage est regulier avec un nombre de voisins par mailles qui est borne independant de h. Cela est assurepour un maillage dont les mailles sont des polygones avec un nombre donne maximal de cotes. Les mailles sonttoutes convexes.

Theoreme 3. Supposons la condition CFL verifiee. Alors le schema de Volumes Finis est convergent avecl’estimation d’ordre fractionnaire

‖unh −Πhu(n∆t)‖L2(T ) ≤ C‖∇u‖L2(T )(Th)12 , n∆t ≤ T. (5.22)

5.2. CONVERGENCE DANS L2 69

xk x′′k

xj x′′j

a

x′k

x′j

lj

hj

Figure 5.6 – Ici l’equation (5.21) se simplifie en xj =hj

2|a|a + xk. La hauteur du triangle est hj =sjlj. Si le

second membre de (5.21) est xk alors xj ∈ Ωj . Cependant si x′k ou x′′

k sont pres des coins, alors xj 6∈ Ωj .

Remarque 8. La comparaison avec les resultats en dimension un d’espace de la section 4.2.3 montre que ceresultat est optimal car il retrouve exactement l’ordre de convergence moitie pour une donnee une fois derivable(dans L2).

Pour simplifier un peu, la preuve est decompose en deux etapes. La premiere etape est plus generale car dansLp.

5.2.1 Premiere etape : estimation en temps dans Lp

On s’appuie sur le lemme 21 pour remplacer le schema explicite

un+1j − unj

∆t+

1

sj

∑

k+

mjkunj −

∑

k−

mjkunk

= 0,

par le schema semi-discret

v′j(t) +1

sj

∑

k+

mjkvj(t) −∑

k−

mjkvk(t)

= 0.

La condition initiale est commune

u0j = vj(0) =1

sj

∫

Ωj

u0(x)dx.

Lemme 40. Soit une donnee initiale u0 ∈ W 1,p(T ). Soit une suite de maillages reguliers de pas h → 0. Alors il existe uneconstante universelle C > 0 telle que

‖unh − vh(n∆t)‖Lp(T ) ≤ C‖∇u0‖Lp(T )(Th)12 , n∆t ≤ T. (5.23)

Demonstration. On applique l’inegalite de comparaison du lemme 21. Tout d’abord les hypotheses sur le maillage et l’etude de lacondition CFL montrent que τ(h) ≤ Ch pour une constante C > 0 bornee independamment de h. Il reste a obtenir une bonneestimation sur AhΠhu0 = (wj) avec

wj =1

sj

∑

k+

ljk(u0k − u0j

)

ou u0j = 1sj

∫Ωju(x)dx et u0k = 1

sk

∫Ωk

u(x)dx sont les valeurs moyennes obtenues par projection de la donnee initiale. On a

wj =1

sj

∑

k+

ljk

(u0jk − u0j

)+

1

sj

∑

k+

ljk

(u0k − u0jk

)

ou u0jk = 1ljk

∫∂Ωj∩∂Ωk

u(x)dx est la valeur moyenne sur l’interface commune de la donnee initiale. L’inegalite de Holder montreque

∣∣∣∣∣∣

∑

k+

ljk

(u0jk − u0j

)∣∣∣∣∣∣≤

∑

k+

ljk

∣∣∣u0jk − u0j

∣∣∣p

1p

∑

k+

ljk

1q

≤(Ch

− 1pAj

)h

1q

ou on a repris la definition (5.15) de Aj . De meme pour les autres termes. D’ou grace a la minoration uniforme sj ≥ ch2 :

|wj | ≤ Ch1q− 1

p−2

Aj +∑

k+

Ak

.


Puis en utilisant le fait que le nombre de voisins est borne independamment de h, on obtient ‖AhΠhu0‖ =(∑

j sj |wj |p) 1

p ≤

Ch1q− 1

p−2+ 2

pA, avec A defini par (5.18) : le terme h2p vient des contributions de la forme s

1p

j . Or A ≤ ch ‖∇u0‖Lp(T ) par le lemme

38. Comme 1q− 1

p− 2 + 2

p+ 1 = 0, cela etablit le resultat.

5.2.2 Deuxieme etape : estimation en espace dans L2

Nous etudions a present la difference entre la solution du schema semi-discret et la projection de la solutionexacte, en norme L2.

Lemme 41. Supposons : u0 ∈ H1(T ) ; la condition CFL realisee ; et les maillages reguliers. On a l’estimationd’erreur

||u(n∆t)− vh(n∆t)||L2 ≤ C ‖∇u0‖L2(T )

(h+ (Th)

12

), n∆t ≤ T. (5.24)

Demonstration. La fonction vh(t) ∈ L2(Ω) est constante par mailles. On etudie

E(t) =1

2

∫

T(u(t) − vh(t))

2 . (5.25)

avec E(0) ≤ C(∇u0)h2 au temps initial en utilisant le resultat du lemme 36. Le resultat final (5.24) sera demontre si nous pouvonsmontrer que E′(t) ≤ C||∇u0||2L2h. Or nous allons voir que c’est affaire de calculs elementaires.

On a E(t) = 12

∫Ω u(t)

2 + 12

∫Ω vh(t)

2 −∫Ω vh(t)u(t). Donc

E′(t) =d

dt

(1

2

∫

Tu(t)2

)

︸︷︷︸=A1

+

−1

2

∑

j

∑

k∈I+(j)

mjk(vj − vk)2

︸︷︷︸=A2

+∑

j

(∑k+ mjkvj −∑k− mjkvk

sj

)∫

Ωj

u(t)

︸︷︷︸=A3

+∑

j

uj(−∑

k+

mjkujk +∑

k−

mjkujk)

︸︷︷︸=A4

.

ou ujk denote la valeur moyenne de la solution exacte au temps t sur l’interface ∂Ωj ∩ ∂Ωk . Le premier terme A1 est nul car lanorme L2 de la solution de l’equation d’advection est constante pour un domaine sans bord

A1 =d

dt

∫

Ω

u2

2=

∫

Ωu∂tu = −

∫

Ωua · ∇u = −

∫

Ωa · ∇u

2= 0.

Le deuxieme terme A2 est negatif ou nul. Les termes suivants A3 et A4 sont a priori tels que leur somme est homogene a≈∫Ω(a.∇(uwh) = 0. On peut alors anticiper qu’une reecriture adaptee permet de mettre en evidence que leur somme est petite en

un sens a definir. Verifions.Comme

∑k+ mjk =

∑k− mjk , alors

A3 = −∑

j

∑

k−

mjk(vj − vk)ujk

︸︷︷︸=A5

+∑

j

∑

k−

mjk(vj − vk)

(

ujk −∫Ωju

sj

)

︸︷︷︸=A6

. (5.26)

Une integration par partie discrete, c’est a dire une permutation des indices de sommation, montre que A5 = −A4. Par ailleurs une

inegalite de la forme αβ ≤ 14α2 + β2 montre que A6 ≤ − 1

2A2 +

∑j

∑k− mjk

(ujk −

∫Ωj

u

sj

)2

. One obtient alors

E′(t) +1

2

∑

j

∑

k∈I+(j)

mjk(vj − vk)2 ≤ 1

2

∑

j

∑

k−

mjk

(

ujk −∫Ωju

sj

)2

.

Le resultat du lemme 38 pour p = 2 montre que E′(t) + 12

∑j

∑k∈I+(j)mjk(vj − vk)

2 ≤ Ch||∇u0||2L2 . Il s’ensuit que

E(t) +1

2

∫ t

0

∑

j

∑

k∈I+(j)

mjk(vj (s)− vk(s))2ds ≤ Ch2 ‖∇u0‖2L2 + Ch ‖∇u0‖2L2 T. (5.27)

Le resultat est demontre avec de plus une estimation sur les differences de la solution semi-discrete qui sera utilisee dans ce quisuit.

Remarque 9. La structure de la preuve de l’inegalite (5.24) s’appuie d’une part sur la dissipation de l’energie L2 ce qui estune propriete courante pour une methode numerique et d’autre part sur la structure d’un schema de Volumes Finis qui peut secaracteriser par la relation

∑k+ mjk =

∑k− mjk qui est fondamentale dans les methodes de Volumes Finis. En resume le point

cle de la preuve est la transformation (5.26).

Preuve final du theoreme 3. Le theoreme de convergence 3 s’obtient par inegalite triangulaire a partir de l’inegalite (5.23) et del’inegalite (5.24).

5.3. CONVERGENCE DANS L1 71

5.3 Convergence dans L1

On fera l’hypothese que

u0 ∈ BV(T )ce qui permet de traiter les cas des fonctions indicatrices, lesquelles sont liees au calcul numerique de la propa-gation d’interfaces par des schemas de Volumes Finis.La strategie generale de preuve de convergence est identique au cas precedent. D’abord se ramener au schema semi-discret ce quine pose pas de difficultes a partir du resultat du lemme 40 et du fait que W 1,1 est dense dans BV . D’ou une premiere estimation

‖unh − vh(n∆t)‖L1(T ) ≤ C |u0|BV(T ) (Th)12 , n∆t ≤ T. (5.28)

L’estimation en espace va etre montree pour des fonctions indicatrices.

5.3.1 Cas des fonctions indicatricesLa donnee initiale u0 = 1ω est prise comme la fonction indicatrice d’une partie ω ⊂ T

u0(x) = 1 pour x ∈ ω, et u0(x) = 1 pour x 6∈ Θ.

On supposera le perimetre ω borne, auquel cas|u0|BV = |ω| < ∞.

On commence par regulariser/convoluer la donner initiale u0 a l’aide d’un noyau positif ou nul, borne, de masse unite et a supportcompact

uε0(x) = (ϕε ∗ u0) (x) =1

ε

∫

y∈Tϕ

(x− y

ε

)u0(y)dy.

Un resultat classique [19] montre que‖uε0 − u0‖L1(T ) ≤ Cε|ω|. (5.29)

On a egalement que

∇uε0 =1

ε2

∫

y∈T∇ϕ

(x− y

ε

)u0(y)dy

d’ou l’on tire a partir de la definition d’une fonction BV que

‖∇uε0‖L∞(T ) ≤ C|u0|BV (T )

εet ‖∇uε0‖L1(T ) ≤ C |u0|BV (T ) .

Il s’ensuit une inegalite qui va jouer un role dans la suite

‖∇uε0‖L2(T ) ≤ C|u0|BV (T )

ε12

. (5.30)

La solution du schema semi-discret issu de uε0 est vεh(t) = eAhtΠhuε0. La solution du schema semi-discret issu de u0 est vh(t) =

eAhtΠhu0.

Lemme 42. L’erreur entre la solution numerique semi-discrete et la solution exacte peut se majorer par l’erreur entre les solutionsregularisees plus un reste

‖vh(t) − u(t)‖L1(T ) ≤ ‖vεh(t) − uε(t)‖L1(T ) + Cε|ω|. (5.31)

Demonstration. On a l’inegalite triangulaire

‖vh(t) − u(t)‖L1(T ) ≤ ‖vh(t) − vεh(t)‖L1(T ) + ‖vεh(t) − uε(t)‖L1(T ) + ‖uε(t) − u(t)‖L1(T ) .

On a ‖uε(t) − u(t)‖L1(T ) ≤∥∥uε0 − u0

∥∥L1(T )

. Or on a aussi∥∥vh(t) − vεh(t)

∥∥L1(T )

≤∥∥vh(0) − vεh(0)

∥∥L1(T )

en utilisant la stabilite

unitaire dans L1 du schema semi-discret, laquelle peut soit se voir comme une consequence de la propriete generale (4.24) qui etendau semi-discret les proprietes de stabilite des schemas explicites, soit se re-demontrer directement. Puis

∥∥vh(t) − vεh(t)∥∥L1(T )

≤∥∥uε0 − u0

∥∥L1(T )

. Donc

‖vh(t) − u(t)‖L1(T ) ≤ ‖vεh(t) − uε(t)‖L1(T ) + 2 ‖uε0 − u0‖L1(T )

La preuve est terminee grace a (5.29).

Lemme 43. On a la formule

‖uε(t) − vεh(t)‖L1(T ) = ‖uε(t)‖2L2(T ) − ‖vεh(t)‖2L2(T ) + ‖uε(t) − vεh(t)‖2L2(T ) + O(ε|ω|)

ou le terme O(ε|ω|) est independant du temps.


Demonstration. Le support du noyau de convolution ϕ est compact, aussi uε0(x) = u0(x) sauf eventuellement dans une region dontl’aire peut se majorer en Aε = Per(ω)O(ε). Cela etant vrai pour ω de la forme d’un disque ou d’un carre, nous l’admettons sansdemonstration pour le cas general. Apres advection on a la meme propriete entre uε(t) et u(t).Dans les regions ou uε(t) = 1

|uε(t) −wεh(t)| = 1− wε

h(t).

En effet wεh(t) ≤ 1 car le schema semi-discret verifie aussi le principe du maximum : cela qui peut se voir comme une consequence

de la propriete generale (4.24) qui etend au semi-discret les proprietes de stabilite des schemas explicites, soit se re-demontrerdirectement.Dans les regions ou uε(t) = 0 on a par un principe similaire

|uε(t) −wεh(t)| = wε

h(t).

Ces deux situations peuvent se resumer par

|uε(t) −wεh(t)| = (uε(t) −wε

h(t)) × (2uε(t) − 1) ,

qui est valide presque partout excepte dans un domaine d’aire Aε = O(ε|ω|). On a donc

‖uε(t) − vεh(t)‖L1(T ) =

∫

Ω(uε(t) −wε

h(t)) × (2uε(t) − 1) + O(ε|ω|).

Or l’initialisation de la donnee initiale en valeur moyenne et la conservativite (lemme 12) du schema font que∫Ω

(uε(t) −wε

h(t))= 0.

Il reste alors les termes(uε − wε

h

)2uε = |uε|2 −

∣∣wεh

∣∣2 +∣∣uε − wε

h

∣∣2 que l’on retrouve directement dans le resultat. La preuve estterminee.

Theoreme 4. Soient T > 0 et h ≤ 1. Il existe une constante C > 0 telle que

‖uε(t) − vεh(t)‖L1(T ) ≤ C |u0|12

BV (T )h

12 , t ≤ T.

Demonstration. En effet l’inegalite (5.23) en norme L2 combinee avec (5.30) l’estimation sur le gradient egalement en norme L2

implique

‖uε(t) − vεh(t)‖2L2(T ) ≤ C ‖∇uε0‖2L2(T )

(h2 + th

)≤ C

|u0|2BV (T )

ε

(h2 + th

).

D’autre partd

dt

(‖uε(t)‖2

L2(T ) − ‖vεh(t)‖2L2(T )

)=

1

2

∑

j

∑

k∈I+(j)

mjk(vεj − vεk)

2

car la norme L2 de uε est constante, et le schema est dissipatif. Le terme dissipatif est exactement le terme A2 dans la preuve dulemme 41, et dont l’integrale en temps peut se majorer par (5.27). Donc on peut ecrire

‖uε(t)‖2L2(T ) − ‖vεh(t)‖2L2(T ) ≤(‖uε0‖2L2(T ) − ‖vεh(0)‖2L2(T )

)+ Ch2 ‖∇uε0‖2L2 + Cth ‖∇uε0‖2L2 .

On a immediatement que

‖uε0‖2L2(T ) − ‖vεh(0)‖2L2(T ) = (uε0 − vεh(0), uε0 + vεh(0))L2(T ) ≤ ‖uε0 − vεh(0)‖L1(T ) × ‖uε0 + vεh(0)‖L∞(T ) .

D’ou grace a (5.13) et au fait que les donnees sont bornees dans L∞ :∥∥uε0

∥∥2L2(T )

−∥∥vεh(0)

∥∥2L2(T )

≤ Ch∥∥∇uε0

∥∥L1(T )

puis∥∥uε0

∥∥2L2(T )

−∥∥vεh(0)

∥∥2L2(T )

≤ Ch |u0|BV (T ). Donc on peut ecrire

‖uε(t)‖2L2(T ) − ‖vεh(t)‖2L2(T ) ≤ Ch |u0|BV (T ) + C

h2 + th

ε|u0|2BV (T ) .

En regroupant ces diverses expressions on obtient

‖u(t) − vh(t)‖L1(T ) ≤ Ch |u0|BV (T ) + Ch2 + th

ε|u0|2BV (T ) + Cε |u0|BV (T ) .

Une valeur optimale du parametre de convolution est ε =√h. On obtient

‖u(t) − vh(t)‖L1(T ) ≤ C(h+ h

32 + th

12 + h

12

)|u0|BV (T ) .

On obtient alors le resultat pour h ≤ 1 et t ≤ T donne.

5.3.2 Donnees generales

Le resultat du theoreme de convergence dans L1 pour une fonction indicatrice peut s’etendre aux fonctions de BV a partir del’inegalite de la co-aire (1.1).

5.4. CONVERGENCE DU SCHEMA DE DIFFUSION 73

5.4 Convergence du schema de diffusion

On analyse a present la version implicite du schema (2.49) pour l’equation de la chaleur. Il s’ecrit pour toutn ≥ 0

un+1j − unj

∆t− 1

sj

∑

k

ljkun+1k − un+1

j

djk= 0, ∀j. (5.32)

Les elements caracteristiques du maillage du tore T sont l’aire de la maille courante notee sj > 0, la longueurde l’interface entre les mailles voisines notee ljk > 0 : la distance entre les centres de gravite xj et xk de deux

mailles voisines, initialement denotee djk, sera note djk > 0 pour alleger la notation. On envisage l’initialisationponctuelle

u0j = u0(xj), ∀j. (5.33)

On pourrait tout aussi bien etudier les variantes explicites ou semi-discretes avec des resultats similaires.Comme note precedemment, la matrice du systeme lineaire qui permet de calculer un+1

h en fonction de unh estinversible. On peut le retrouver comme consequence de la decroissance de la norme L2.

Lemme 44 (Stabilite inconditionnelle en norme quadratique). Soit vh = (vj) donne. Soit uh = (uj) une

solution deuj−vj∆t

+ 1sj

∑k ljk

uk−uj

djk= 0, ∀j. Alors pour tout ∆t > 0

‖uh‖L2(T ) ≤ ‖vh‖L2(T ) .

Demonstration. Le schema se recrit

uj −∆t

sj

∑

k

ljkuk − ujdjk

= vj .

Multipliant par uj et sommant sur toutes les mailles on trouve

∑

j

sju2j −∆t

∑

j

(uj∑

k

ljkuk − ujdjk

)=∑

j

sjujvj

ce qui implique apres quelques manipulations

∑

j

sju2j +∆t

∑

j<k

ljk

djk(uj − uk)2 =

1

2

∑

j

sju2j +

1

2

∑

j

sjv2j −

∑

j

sj (uj − vj)2

ou∑

j<k =∑

j

∑k, j<k est une somme double sur toutes les interfaces entre maille d’indice j et mailles

d’indices k. D’ou1

2

∑

j

sju2j +∆t

∑

j<k

ljk

djk(uj − uk)2 +

∑

j

sj (uj − vj)2 =1

2

∑

j

sjv2j (5.34)

ce qui termine la preuve.

On retrouve bien que si vh ≡ 0, alors l’unique solution du systeme lineaire est uh ≡ 0. Or c’est un des criterespossibles pour caracteriser l’invisibilite du systeme lineaire qui permet de determiner uh en fonction de vh. Doncle systeme lineaire est inversible.Pour poursuivre l’analyse numerique on empreinte une idee tres courante dans les formulations variationnellespour les problemes elliptiques qui est de recrire (5.32) sous une forme mixte, c’est a dire en faisant apparaitreexplicitement des discretisations d’operateurs differentiels du premier ordre. On obtient

un+1j − unj

∆t− 1

sj

∑

k

ljkpn+1jk = 0, ∀j,

pn+1jk −

un+1k − un+1

j

djk= 0, ∀(j, k).


On note bien sur que pn+1kj = −pn+1

jk . Puis on reprend l’idee de la consistance au sens des Differences Finies, quiest d’introduire la solution exacte dans le schema est d’evaluer l’erreur de troncature. Le point important estque l’on effectue cette etude de consistance pour les deux equations discretes separement.On prend vnj = u(xj , tn)dx qui est la valeur au point xj de la solution exacte et

qnjk =1

ljk

∫

∂Ωj∩∂Ωk

∇u(x, tn) · njkdσ

qui est la projection en moyenne sur les segments d’interface. La valeur ponctuelle est correctement definie pourune fonction continue ce qui sera le cas pour la regularite envisagee dans le lemme qui suit. On definit alorsdeux erreurs de troncature

rnj =vn+1j − vnj

∆t− 1

sj

∑

k

ljkqn+1jk , ∀j,

tnjk = qn+1jk −

vn+1k − vn+1

j

djk, ∀(j, k).

Le terme tnjk evalue la consistance du flux numerique. Ces deux erreurs de troncature rnh =(rnj)jet tnh =(

tnjk

)jk

ne vivent pas dans les memes espaces, mais peuvent toutes deux s’estimer dans des normes quadratiques

adaptees. Comme auparavant on prendra ‖rh‖2L2(T ) =∑

j sjr2j . On definit

|||th|||2L2(T ) =∑

jk

ljkdjkt2jk.

On remarque sj = O(h2) et ljkdjk = O(h2) ce qui fait que ce sont deux normes de type L2.

Proposition 14 (Consistance des erreurs de troncature). Supposons que la solution soit u ∈ W2,∞ ([0, T ]× T ).Supposons le maillage triangulaire et satisfaisant la condition du lemme 14.Alors il existe C qui depend de u et de ses derivees telle que

‖rnh‖L2(T ) ≤ C (∆t+ h) et |||tnh|||L2(T ) ≤ Ch, n∆t ≤ T.

Cette preuve est loin d’etre optimale, ne serait-ce que parce que la regularite de la solution est evaluee dansdes espaces de type L∞ et que l’erreur est mesuree dans L2. Mais la structure de la preuve est interessante enelle-meme car la dependance des estimations par rapport aux elements caracteristiques du maillage apparaitclairement. Les conditions sur le maillage sont elles-aussi restrictives.On consultera [15] pour des developpements complementaires.

Demonstration. On a

rnj =u(xj , tn+1)− u(xj , tn)

∆t− 1

sj

∫

∂Ωj

∇u(x, tn+1) · njdσ

=u(xj , tn+1)− u(xj , tn)

∆t− 1

sj

∫

Ωj

∆u(x, tn+1)dx

=u(xj , tn+1)− uj(x, tn)

∆t− 1

sj

∫

Ωj

∂tu(x, tn+1)dx

=

(u(xj , tn+1)− u(xj , tn)

∆t− ∂tu(xj , tn+1)

)+

1

sj

∫

Ωj

(∂tu(xj , tn+1)− ∂tu(x, tn+1)) dx.

Or ∂ttu ∈ L∞([0, T ]× T ). On a alors pour le terme entre parenthese

∣∣∣∣u(xj , tn+1)− u(xj , tn)

∆t− ∂tu(xj , tn+1)

∣∣∣∣ ≤1

2∆t ‖∂ttu(tn+1)‖L∞([0,T ]×T ) .

5.4. CONVERGENCE DU SCHEMA DE DIFFUSION 75

Comme on a aussi ∇∂tu ∈ L∞([0, T ]× T ) le terme sous l’integrale s’estime par

|∂tu(xj , tn+1)− ∂tu(x, tn+1)| ≤ h ‖∇∂tu‖L∞([0,T ]×T )

avec diam(Ωj) ≤ h. Donc

∣∣rnj∣∣ ≤ 1

2∆t ‖∂ttu(tn+1)‖L∞(T ) + h ‖∇∂tu‖L∞([0,T ]×T ) .

Comme ‖rnh‖L2(T ) ≤ ‖rnh‖L∞(T ) |T |12 , on obtient une premiere estimation

‖rnh‖L2(T ) ≤

1

2‖∂ttu(tn+1)‖L∞(T )

︸︷︷︸=c1

∆t+ ‖∇∂tu‖L∞([0,T ]×T )︸︷︷︸=c2

h

|T |

12 ≤ C(∆t+ h). (5.35)

avec C = max (c1, c2) |T |12 .

On evalue a present le deuxieme terme. On a

tnjk =(qn+1jk −∇u(xjk , tn+1) · njk

)+

(∇u(xjk, tn+1) · njk −

vn+1k − vn+1

j

djk

).

Or

qnjk −∇u(xjk, tn+1) · njk =1

ljk

∫

∂Ωj∩∂Ωk

(∇u(x, tn+1)−∇u(xjk, tn+1)) · njkdσ

Comme la matrice Hessienne des derivees secondes de u est bornee, ∇2u ∈ L∞([0, T ]× T )4, on en deduit que

∣∣qnjk −∇u(xjk, tn+1) · njk

∣∣ ≤∥∥∇2u

∥∥L∞([0,T ]×T )4

h.

Le dernier terme a estimer est

∇u(xjk , tn+1) · njk −vn+1k − vn+1

j

djk= ∇u(xjk, tn+1) · njk −

u(xk, tn+1)− u(xj , tn+1)

djk

ou le point xjk est situe entre xj et xk, et ou djk est precisement la distance entre en xj et xk. Bien quebidimensionnelle, la situation est identique a celle de la figure 2.6 en dimension un d’espace. Il s’ensuit que

∣∣∣∣∣∇u(xjk, tn+1) · njk −vn+1k − vn+1

j

djk

∣∣∣∣∣ ≤∥∥∇2u

∥∥L∞([0,T ]×T )4

h.

Cela implique que∣∣∣tnjk∣∣∣ ≤ 2

∥∥∇2u∥∥L∞([0,T ]×T )4

h. Or

‖tn‖L2(T ) ≤ maxjk

(∣∣tnjk∣∣)√∑

jk

ljkdjk ≤ maxjk

(∣∣tnjk∣∣)√∑

j

sj maxj

(∑k ljkdjk

sj

).

Avec les hypotheses usuelles sur le maillage, on obtient

‖tn‖L2(T ) ≤ K∥∥∇2u

∥∥L∞([0,T ]×T )4

h (5.36)

ou K > 0 ne depend que du maillage.La preuve est terminee.

A present que la consistance est etablie, il reste a utiliser une nouvelle fois la stabilite pour obtenir la convergence.


Theoreme 5. Soit T > 0 un temps final donne. Sous les hypotheses precedentes, il existe une constante C > 0telle que

‖unh − vnh‖L2(T ) ≤ C(∆t+ h). (5.37)

Demonstration. On definit les differences enj = vnj − unj et fnjk = qjkn − pnjk qui verifient

en+1j − enj

∆t− 1

sj

∑

k

ljkfn+1jk = rnj , ∀j,

fn+1jk −

en+1k − en+1

j

djk= tnjk, ∀(j, k).

(5.38)

La condition initiale (5.33) devient e0j = 0 pour tout j. Il n’y a pas de condition initiale pour f0jk. On peut

alors reprendre l’analyse de la stabilite qui donne lieu a (5.34) sous la forme suivante : on multiplie la premiereequation de (5.38) par ∆tsje

n+1j et on somme ; dans le meme temps multiplie la deuxieme equation de (5.38)

par ∆tljkdjkfn+1jk et on somme. On obtient

1

2

∑

j

sj∣∣en+1

j

∣∣2 +∆t∑

j<k

ljk

djk

∣∣en+1j − en+1

k

∣∣2 +∑

j

sj∣∣en+1

j − enj∣∣2

=1

2

∑

j

sj∣∣enj∣∣2 +∆t

∑

j

sjrnj e

n+1j +∆t

∑

jk

ljkdjktnjkf

n+1jk

=1

2

∑

j

sj∣∣enj∣∣2 +∆t

∑

j

sjrnj

(en+1j − enj

)+∆t

∑

j

sjrnj e

nj +∆t

∑

jk

ljkdjk∣∣tnjk∣∣2 +∆t

∑

jk

ljktnjk

(en+1k − en+1

j

)

(5.39)apres elimination des fn+1

jk par la deuxieme equation de (5.38). On a les differentes inegalites de type Minkovski 1

∆t∑

j

sjrnj

(en+1j − enj

)≤ 1

2

∑

j

sj∣∣en+1

j − enj∣∣2 + 1

2∆t2

∑

j

sj∣∣rnj∣∣2 ,

∆t∑

j

sjrnj e

nj ≤

1

2∆t∑

j

sj∣∣rnj∣∣2 + 1

2∆t∑

j

sj∣∣enj∣∣2 ,

et

∆t∑

jk

ljktnjk

(en+1k − en+1

j

)≤ 1

2∆t∑

j<k

ljk

djk

∣∣en+1j − en+1

k

∣∣2 + 1

2∆t∑

jk

ljkdjk∣∣tnjk∣∣2 .

En inserant ces inegalites dans l’expression precedente (5.39) on obtient apres quelques simplifications evidentes

1

2

∑

j

sj∣∣en+1

j

∣∣2 ≤ 1

2(1 + ∆t)

∑

j

sj∣∣enj∣∣2 + 1

2

(∆t+∆t2

)∆t∑

j

sj∣∣rnj∣∣2 + 1

2∆t∑

jk

ljkdjk∣∣tnjk∣∣2

ou plus simplement

∥∥en+1h

∥∥2L2(T )

≤ (1 + ∆t) ‖enh‖2L2(T ) +∆t((1 + ∆t)

∥∥rn+1h

∥∥2L2(T )

+ |||tn+1h |||2L2(T )

).

Utilisant a present les estimations de consistance, on obtient∥∥en+1

h

∥∥2L2(T )

≤ e∆t ‖enh‖2L2(T )+K∆t (∆t+ h)2 pour

une constante K > 0 qui depend de u, et pour 0 < ∆t < 1. D’ou ‖enh‖2L2(T ) ≤ ∆tK

∑n−1p=0 e

p∆t (∆t+ h)2. Soit

un temps final donne T > 0. Pour n∆t ≤ T on peut ecrire ‖enh‖2L2(T ) ≤ Q (∆t+ h)2. La preuve est terminee.

Remarque 10. Le resultat de convergence (5.37) est encore vrai pour u ∈ H2([0, T ]×T ). On peut se referer autheoreme 3.4 page 55 de [15] pour les idees principales. C’est un peu plus technique en ce qui concerne l’etudedes erreurs de troncature, mais est strictement identique en ce qui concerne le schema lui-meme.

1. On entend par la toute inegalite de la forme ab ≤ ε2a2 + 1

2εb2 pour ε > 0 bien choisi, a et b etant quelconques.

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