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Lalgorithme de dichotomieHenri ROLAND

Mai 2010

1) Le jeu du nombre cachAlbert a choisi un nombre compris entre 1 et 100, Bertrand doit le deviner.Bertrand fait des propositions et Albert rpond "trop grand", "trop petit" ou "gagn". Lejeu sarrte lorsque Bertrand a trouv le nombre.Faire fonctionner le jeu avec un camarade, archiver le droulement du jeu dans un tableau

sur papier.Que faut-il mmoriser ?Que faut-il archiver dans le tableau ?On dcide dappeler N le nombre cach

et R la rponse de Bertrand.Albert a choisi 63. On obtient le tableau suivant :

N R TestRponsedAlbert

63 40 RN Trop grand

60 RN Trop grand

62 RN alorsAfficher("Trop grand")

Sinon

si RN AlorsAfficher("Trop grand")

Sinon

si R


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On obtient lalgorithme suivant :

N Nombre alatoire compris entre 1 et 100.R0Tant que R=N Faire

Lire(R)Si R>N Alors

Afficher("Trop grand")Si RN:Then:Disp("TROP GRAND"):End:If RN:print Trop grand

if R


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RemarqueLes calculatrices programmables "non formelles" ne grent que les variables de typenumrique et pas les chanes de caractres. Il faut donc trouver un codage pour la rponsedAlbert.Pour simplifier, Albert tapera -1 pour "Trop petit" ou 1 pour "Trop grand" ou 0 pour"Gagn".

On obtient lalgorithme suivant :

Premire mthodeavec un entier alatoire

A1B100R2Tant que R=0 Faire

CEntier Alatoire entre A et BAfficher(C)Lire(R)Si R=1 Alors

BC-1Si R=-1 Alors

AC+1

Deuxime mthodepar dichotomie

A1B100R2Tant que R=0 Faire

CPartieEntire(A+B

2)

Afficher(C)

Lire(R)Si R=1 Alors

BC-1Si R=-1 Alors

AC+1

Programmation de la deuxime mthodeProgrammation sur TI 82 Programmation en Python 2.6

:1A:100B

:2R:While R=0:PartEnt((A+B)/2)C:Disp("PROPOSITION=",C):Input("REPONSE ?",R):If R=1:Then:C-1B:End:If R=-1

:Then

:C+1A:End:End

from math import *A=1

B=100R=2

while R !=0 :C=floor((A+B)/2.)print Proposition = ,CR=input(Rponse ? )if R==1:

B=C-1if R==-1:

A=C+1

3) Utilisation de la dichotomie pour rsoudre une

quationf est une fonction dfinie sur lintervalle [a; b] et strictement monotone sur [a; b] . Oncherche rsoudre numriquement lquation f(x) = 0. On peut liminer tout dabord les cas o f(a) = 0 ou f(b) = 0.

Lexistence dune racine

sur ]a

;b

[ est subordonne au fait quef

(a

) etf

(b

) sont designes contraires, ce qui quivaut f(a) f(b) < 0, et que f est continue sur [a ; b]. Si c est un rel de lintervalle ]a, b[, la position de par rapport c peut tre teste par

lintruction suivante :

3


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Si f(a)f(c) 0 alorsRechercher sur ]a;c]

SinonRechercher sur ]c;b[

Dans la pratique on prendra pour c le milieu de lintervalle [a; b].

On itrera le processus jusqu obtenir par exemple b a < pour donn.Algorithme

A, B, E et f sont donns.Si f(A)f(B)0 alors

Afficher(Pas de racine sur ]A;B[)Sinon

Tant que B-AE Faire

CA+B

2Si f(A)f(C)0 alors

BC

SinonAC

Afficher(A,B)

Ecriture du programme

Pour le programme sur TI 82 on suppose que la fonction (x x3 + x + 1) a tprlablement entre dans la variable Y1.

Programmation sur TI 82 Programmation en Python 2.6:Prompt A:Prompt B:Prompt E

:If Y1(A)*Y1(B)0:Then:Disp("PAS DE RACINE"):Else

:While B-AE:(A+B)/2C:If Y1(A)*Y1(C)0:Then:CB:Else:CA:End

:End:Disp("A=",A):Disp("B=",B)

def f(x):return x**3+x+1

A=input(A=)

B=input(B=)E=input(Prcision =)if f(A)*f(B)>=0 :

print(pas de racine entre ,A, et ,B)

else:while B-A>=E :

C=(A+B)/2.if f(A)*f(C)0 :

B=Celse :

A=Cprint(Une racine entre ,A, et ,B)

NotePour une tude plus gnrale de problmes lis la dichotomie vous pouvez consulter lesdocuments suivants disponibles sur le site de lIREM dAix-Marseille :http://www.irem.univ-mrs.fr/

Une mthode pour laborer des algorithmes itratifs. Auteur : F.Didier. Algorithmes et logique au lyce. Auteurs : P.Bouttier, A.Crumire, F.Didier, J-M.Fillia,M.Quatrini, H.Roland.

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