Calcul mental

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Dominique VerdenneIUFM centre Val de Loire

site de Blois

• En 1909:« Les exercices de calcul mental figureront à l’emploi dutemps et ne devront pas être sacrifiés à des occupationsconsidérées comme plus importantes »

• En 1970:« Il est essentiel, et cela à tous les niveaux, que les élèvescalculent mentalement […]. La valeur éducative des

Détour historique …

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calculent mentalement […]. La valeur éducative desexercices de calcul mental réside tout autant dans lamanière de conduire le calcul que dans sa rapidité ».

• En 2002:« Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper laplace principale à l’école élémentaire et faire l’objet d’unepratique régulière, dès le cycle 2 »

• Avril 2007:Au cycle 3, dans la rubrique « calcul »:« Calcul approché: il doit être utilisé dans des situations où les élèves peuvent lui donner du sens, par exemple: contrôle d’un résultat obtenu par récrit ou à l’aide d’une calculatrice. »

NB: attention, les programmes de 2002 mentionnaient déjà la nécessité de travailler le calcul approché au

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déjà la nécessité de travailler le calcul approché au cycle 3!

• Juin 2008:« L’entraînement quotidien au calcul mental (portant sur les quatre opérations) permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. »

Le point de vue des experts

« Il (le calcul mental) est une façon privilégiée de lier

calcul et raisonnement, en mettant en jeu les propriétésdes nombres et des opérations. Il n’est bien sûr pasquestion de viser l’apprentissage systématique detechniques ad hoc de calcul mental, comme on peut entrouver dans certains manuels d’arithmétique. Il s’agitd’utiliser les caractéristiques du calcul mental:

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d’utiliser les caractéristiques du calcul mental:� pour susciter la réflexion sur le calcul, � pour mettre en évidence la diversité des façons

possibles d’aborder généralement un calcul, comparer leur coût, les connaissances qui les fondent,

� pour susciter des formulations, des généralisations et des preuves ».

Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques (CREM), dite commission Kahane

La question du calcul

La diffusion généralisée d’outils de calculinstrumenté amène à repenser lesobjectifs généraux de l’enseignement ducalcul:

• Le calcul mental

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• Le calcul mental

• Le calcul instrumenté

• Le calcul écrit (techniques opératoires)

Les fonctions du calcul mental

• Une fonction sociale:

– Moyen efficace en l’absence de support ou d’instrument: calcul d’usage

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d’instrument: calcul d’usage

– Nécessité de recourir au calcul approché

•Une fonction pédagogique:

– Construction des premières connaissances relatives à la structuration arithmétique des entiers naturels.

– Enrichissement les conceptions numériques des élèves.

– Utilisation implicite des propriétés des opérations (commutativité, associativité,

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– Utilisation implicite des propriétés des opérations (commutativité, associativité, distributivité);

– Importance pour la mise en place de certaines notions mathématiques:

– Proportionnalité, fractions,– Opérations sur les relatifs, calcul algébrique…

– Développement des capacités de raisonnement: élaboration de procédures originales

Des enjeux à long terme• Au collège:« L’habileté en calcul est une aide à la conceptualisation.

En travaillant dans un domaine où les calculs peuvent être réalisés mentalement et rapidement, les élèves peuvent s’approprier plus aisément des nouveaux savoirs […] en centrant leur attention sur ce qui estnouveau.Un déficit de compétences en calcul mental constitue un handicap majeur pour de nombreux

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constitue un handicap majeur pour de nombreux élèves en collège ».

« Le calcul numérique au collège », projet de document d’accompagnement

Exemple:

Factoriser (13,4x + 6,7); √√√√28 = 2 √√√√7; simplifier 112/70 …

•Au lycée

• « Étendre le répertoire des résultats mémorisés, automatisés aux résultats sur les limites, sur les dérivées…

• Construire chez l’élève une confiance en lui dans le domaine du calcul mental. »

Actes de l’université d’été, St Flour, 2006

• Seconde:« Une certaine aisance est indispensable pour manipuler

avec profit sommes, produits, quotients : une telle

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« Une certaine aisance est indispensable pour manipuler avec profit sommes, produits, quotients : une telle aisance libère ensuite la pensée pour une réflexion plus profonde ou pertinente.

• Première S:« Lors de l’étude d’une notion, (dérivée), un certain niveau

de maîtrise de calcul est indispensable […]. Dans le registre du calcul automatisé: il faut d’abord ANTICIPER quelque peu le calcul… »

Extraits des documents d’accompagnement

Calcul mental :quelle définition?

Opposition calcul mental, calcul écrit(posé, techniques opératoires,)?

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–Calcul automatisé (résultats, algorithmes mémorisés)

–Calcul réfléchi ou raisonné

Calcul automatisé

– Résultats mémorisés

– Algorithme (technique opératoire) ou calculette

� On opère sur les chiffres

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– Mise en œuvre identique à tous les individus� Procédures standard� Calcul « impersonnel »

- Pas « d’intuition » des nombres- Pas d’ordre de grandeur

Calcul réfléchi (raisonné)

– Diversité des stratégies

� On opère sur les nombres: « intuition » des nombres

� Procédures personnelles

- Raisonnement: choix d’une stratégie, élaboration d’une procédure

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élaboration d’une procédure

� Résolution de problèmes (type problèmes ouverts)� Explicitation et confrontation des procédures

- Calcul exact Calcul approchéCycle 3

-Complémentarité calcul exact, calcul réfléchi

Les différents aspects du calcul mental

AUTOMATISMES

�Résultats mémorisés

REFLEXION

�Résultats construits

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�Procédures automatisées

�Procédures personnelles

Calcul automatisé

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Qu’est-ce que connaître ses tables?

« La récitation des tables dans l’ordre croissantpeut constituer une gêne pour une mémorisation efficace. »

Document d’accompagnement des programmes 2002

Connaître ses tables, c’est:� Dire instantanément n’importe quel résultat.

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� Dire instantanément n’importe quel résultat.� Être capable d’exploiter rapidement cette

connaissance pour donner un résultat connexe.

Exemple: connaître 7 + 6, c’est:� Répondre rapidement « 13 »� Combien de 7 pour aller à 13?� 13 – 6? 13 – 7? 6 + 7 ?

Conditions de mémorisation

• Compréhension de l’opération en jeu:�Représentations mentales du calcul à effectuer

• Prise de conscience de la nécessité d’un répertoire:

�Recenser les résultats connus�Compléter et organiser le répertoire

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�Compléter et organiser le répertoire

• Capacité à élaborer les résultats connus pour en construire d’autres:

�Points d’appui: étape décisive dans la mémorisation

• Entraînement des résultats mémorisés:�Diversité des représentations mises en jeu�Disponibilité des résultats

Points d’appui pour la mémorisation

Même s’il est indispensable,

l’entraînement n’est pas le seul ressort de la

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l’entraînement n’est pas le seul ressort de lamémorisation!

Points d’appui pour la mémorisation …

• Importance de la représentation des nombres:� Représentations imagées: constellations, dés, doigts…� Représentations symboliques: numération chiffrée,

numération verbale

• De l’importance de la représentation des nombres…• Représentations des nombres imagées :� Dés, dominos, jeux de cartes, figurations avec

les doigts…

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les doigts…

� Importance de consolider les images mentales des « petits nombres »

� Mise en relation des nombres (entre 5 et 10) et leurs décompositions

� Relations des nombres entre-eux:• Chaîne verbale• Structuration écrite chiffrée

Points d’appui pour la mémorisation …

• Points d ’appui pour le répertoire additif:�Utilisation de la suite numérique, surcomptage� Appui sur les doubles�Utilisation de la commutativité� Passage à la dizaine

• Début de cycle 3:

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• Début de cycle 3:�Restitution instantanée de tous les résultats: tables

addition, différences, compléments associés

La mémorisation des résultats (additifs et multiplicatifs) est favorisée par une bonne maîtrise des deux rythmes (numération écrite chiffrée, numération avec mots-nombres)

Points d’appui pour la mémorisation (suite)

• Points d’appui pour le répertoire multiplicatif:

�Connaître les résultats des tables de 2 et de 5�Retrouver un résultat à partir d’un résultat

connu:comptage de n en n�Utiliser la commutativité�Connaître les carrés (souvent bien maîtrisé)�Multiplier par 4, c’est…; multiplier par 6, c’est…� S’appuyer sur les particularités de certaines tables:2;5; 9; des régularités repérées dans la table de Pythagore

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Pythagore

• Fin cycle 3:

�Mémorisation totale des produits des tables �Utilisation pour répondre à:

� Combien de fois 7 dans 56?� 56 divisé par 7� Décomposer 56 sous forme d’un produit de deux

nombres inférieurs à 10

Calcul réfléchi

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Calcul réfléchi… diversité des procédures

• Représentations du nombre mobilisées:• Numération écrite chiffrée• Numération « orale »

25 x 12

P1: calcul séparé de 25x10 et 25x2, puis somme

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P1: calcul séparé de 25x10 et 25x2, puis somme des résultats partiels (utilisation distributivité)

P2: décomposition de 12 en 4x3, calcul de 25x4 puis de 100x3

P3:utilisation du fait que 25 est le quart de 100, en divisant 12 par 4, en multipliant le résultat par 100

25x19

P4: calcul de 25x20 (directement ou non), puis soustraction de 25 au résultat (distributivité)

P5: calcul de 19x20 (19x2x10), puis de 5x19 (nouveau calcul réfléchi: somme de 5x9 et de 9x10)

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9x10)

Conclusion: aucune procédure ne s’impose,plusieurs sont possibles,nécessité de prendre des décisions

personnelles pour élaborer une procédure spécifique.

L’aisance en calcul réfléchi dépend…

• De la capacité à jouer avec les nombres

• De la capacité à changer de procédures en fonction des nombres

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• De la qualité de mémorisation de certains résultats

• Du nombre et de la nature des situations proposés aux élèves pour apprendre à calculer

Mise en œuvre

• Quand?� Dès qu’il permet de répondre plus rapidementet plus efficacement qu’avec les opérations ou lacalculette…� Moments spécifiques: chaque jour!

• Combien de temps?

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• Combien de temps?

� Entretien et contrôle des résultats mémorisés: cinq à dix minutes (« séquences brèves »)!!

� Calcul réfléchi: « les séquences peuvent être nettement plus longues »: un quart à une demi-heure!!!

• Comment?

Résultats automatisés• Consigne orale• Procédé La Lamartinière… • … et d’autres

Calcul réfléchi

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• Nécessité d’un temps de recherche • Confrontation des procédures• Possibilité de recourir à l’écrit

• Organisation?• Grand groupe / petits groupes / ateliers

• Quels contextes?

• Contexte numérique seul:17 + 23

• Des « petits »problèmes:« Pierre avait 17 billes, il en gagne 23. Combien

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« Pierre avait 17 billes, il en gagne 23. Combien en a-t-il maintenant? »

Moyen efficace d’aider les élèves à progresserdans la maîtrise du sens des opérations.

Calcul mental et calcul instrumenté

• Passer d’un nombre à un autre en utilisant un nombre minimum de touches :

� A partir de 35, faire afficher 25 (sans effacer 35)� A partir de 40, faire afficher 36….

• Jeu à deux: � un élève tape une séquence de calcul:8 [+] 7 � l’autre élève annonce le résultat

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� l’autre élève annonce le résultat� Le premier élève tape [=]

• Affichage sous contraintes:� Faire afficher 16 en tapant sur [+] ou sur [x]� Faire afficher 16 sans taper ni 1 ni 6� Faire afficher 85 en trois étapes

• Production de suites (1 en 1; 5 en 5; 10 en 10)

20 minutes en CE1…

• Entretien connaissance du répertoire additif:• A l’oral:

� 6+5; 9+6; 3+9; 4+8; 8+9� 7 pour aller à 11; 4 pour aller à 10

8 pour aller à 15; 5 pour aller à 13� 8-5; 7-2; 12-5; 16-8; 14-9

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• Le meilleur calcul pour un produit:• Quatre produits écrits au tableau• Cahier de brouillon• Trouver le plus rapidement possible le résultat:

� 50x4; 8x5; 9x10; 100x7• Confrontation des procédures

30 minutes en CE1… (Cap Maths)

Problèmes proposés à l’oral, les enfants peuventnoter les informations, l’énoncé peut être relu,correction après chaque problème:

� Un groupe de 20 enfants est parti en classe de neige. En arrivant, ils décident de faire des bonshommes de neige. Pour cela, ils se mettent par deux. Combien y aura-t-il de bonshommes de neige?

� Le lendemain, 12 enfants décident de faire du ski. Les autres

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� Le lendemain, 12 enfants décident de faire du ski. Les autres choisissent de faire de la luge. Combien d’enfants font de la luge?

� Un autre jour, ils partent en randonnée. Il faut emporter quelques barres chocolatées pour tenir le coup. Le moniteur qui les accompagne emporte trois barres pour chaque enfant.Combien de barres chocolatées doit-il mettre dans son sac?

� En route, ils rencontrent un autre groupe de quinze enfants. Ensemble, ils organisent une grande bataille de boules de neige.Combien y a-t-il d’enfants pour cette grande bataille?

20 minutes en CE2…

• Entretien connaissance du répertoire additif:• A l’oral (5min):

� 7+4; 9+6; 8+6; 3+8; 9+9; 7+5� 7 pour aller à 11; 4 pour aller à 10

8 pour aller à 15; 9 pour aller à 14� 8-5; 7-2; 12-5; 16-8; 14-9

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• « Le bon compte »(15min):• Nombre à atteindre: 64• Nombres à utiliser: 2; 4; 6; 7; 8; 10• Travail : cahier de brouillon ou ardoise• Idem: nombre à atteindre: 55

nombres à utiliser: 4; 5; 6; 7; 10; 15

15 minutes en CM1… (Cap Maths)

Problèmes proposés à l’oral, les enfants peuventnoter les informations, l’énoncé est lu deux fois,correction après chaque problème:

� Sophie a ramassé 60 coquillages. Elle en donne la moitié à son petit frère. Combien lui reste-t-il de coquillages?

� Alfred a planté quatre rangées de salades en mettant autant de salades dans chaque rangée. Il a planté en tout 60 salades. Combien a-t-il planté de salades dans

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tout 60 salades. Combien a-t-il planté de salades dans chaque rangée?

� Dans son album photos, Brice peut coller 60 photos. Il en a déjà collé 45. Combien peut-il encore en coller?

� Le directeur de l’école dispose de 60 euros pour acheter des dictionnaires. Un dictionnaire coûte 20 euros. Combien le directeur peut-il acheter de dictionnaires?

� Franck fabrique des petits objets. Il lui faut 5 minutes pour fabriquer un objet. Il travaille 60 minutes sans s’arrêter. Combien a-t-il fabriqué d’objets?

Calcul mental et autres apprentissages mathématiques

• L’apprentissage de la division, activités d’accompagnement:�Approximation de quotientsTrouver mentalement une valeur plausible pour« 350 divisé par 82 » , puis vérifier par la multiplication à la calculette.

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Procédure attendue: 82 proche 80, diviser 350 par 80 se ramène à 35 par 8 …

�Ordre de grandeur du quotient:« Partager 11 643 pièces d’or entre 5 personnes de

manière à ce que chacun en reçoive autant, choisissez vous d’en donner à chacun:1000, 2000, 3000, 4000, …, 9000? »

Calcul mental et autres apprentissages mathématiques

• L’apprentissage de l’heure…� Le furet des heures:Les élèves disent chacun leur tour un horaire, un

intervalle de durée étant donné:Pour intervalle d’une durée de quinze minutes, à partir

de 9 heures…

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� Autour des décompositions de 60:Mémory « 60 »: 60; 30; 30; 20; 20; 20; 15; 15; 15;

15; 10; 10; 10; 10; 10; 10Établir le répertoire des décompositions additives de « 60 »

Avec dix cartes: 1; 2; 3; 4; 6; 10; 20; 30; 60; (12; 5): établir le répertoire multiplicatif de « 60 »

Autour de la table de Pythagore…• Remplissages et coloriages:• Table de Pythagore: remplir et colorier la

colonne et la ligne de la table de « 2 »• Même tâche pour la table de « 5 » (couleur

différente)

• Même tâche pour les tables de « 3 et de « 8 »

35

• Poursuivre avec les tables de 10; 6 et 9• Terminer avec la table de 7

Observations, constats…

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36

36

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81

• Déplacements:• A partir d’une règle de déplacement, observer

les suites de nombres rencontrés:– Déplacement ligne ou colonne: 8;16;24;32… – Déplacement en diagonale: 1;4;9;16…: ce sont les

« carrés »; on passe d’un nombre à l’autre en ajoutant successivement la suite des nombres

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ajoutant successivement la suite des nombres impairs…

– La suite: 4;10;18;28;40;54…:on passe d’un nombre à l’autre en ajoutant ?? …

• Les puzzles• Quels sont les morceaux qui peuvent être

placés dans la table de Pythagore? Comment les reconnaître?

• Comment décrire les autres tableaux?• Reconstituer la table de Pythagore

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• Tables de Pythagore à compléter• Compléter si c’est possible des extraits de table de

Pythagore (« classique » ou « prolongée »)• Comment passe-t-on d’un nombre à l’autre

verticalement? horizontalement? en diagonale?

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• D’après Ermel CM1…

Autour de la table de Pythagore…encore!

• Matériel: la table de Pythagore (2 à 12), les cases de la diagonale principale sont grisées

• 121 jetons qui sont destinés à être placés sur les cases de la table

• Pour « 12 »: 4 jetons: 4x3; 3x4; 2x6; 6x2• Pour « 16 »: 3 jetons: 4x4; 2x8; 8x2• Etc…

40

• Etc…• Les jetons sont mélangés.• Les joueurs tirent 2 jetons et les placent sur la case qui

convient.• Chacun prend ensuite 20 jetons, le reste constitue la

pioche• Un carton ne peut être posé que sur une case adjacente

à un carton déjà placé.

Autres activités…

• Tic-boum (Ermel):• Le but du jeu est reconnaître les nombres

entiers dont l’écriture comporte le chiffre 7 et les multiples de 7.

• Les joueurs énoncent successivement la suite des nombres; lorsqu’un nombre comporte le chiffre 7 dans son écriture décimale, le joueur

41

chiffre 7 dans son écriture décimale, le joueur ne prononce pas ce nombre mais dit « tic »; lorsque le nombre est un multiple de 7, le joueur dit « boum »:

• 1; 2; 3; 4; 5; 6; tic; 8; 9; 10; 11; 12; 13;boum; 15, 16, tic, 18; 19; 20; boum; 22; 23; 24; 25; 26; tic; boum; …..; tic-boum (70);…Tic-tic-boum (77!)

• La boîte noire… du CP au CM2:• Je pense à un nombre, je lui ajoute 2,

je trouve 7, quel est ce nombre?

• Il faut découvrir la règle qui permet de passer de:

42

passer de:–4 à 9; 10 à 21; 30 à 61 – Formulation: « Je prends un nombre,

je le double et j’ajoute 1 »

Encore quelques exemples…• Il s’agit, à partir, d’un nombre donné,

d’atteindre un nombre cible, en respectant certaines contraintes:– Nombre de départ: 12– Nombre cible: 53– Contraintes: ajouter des « 7 », retrancher des « 4 »

• Nombres affichés: 10; 20; 43; 35

43

• Nombres affichés: 10; 20; 43; 35A partir de ces nombres, trouver le plus de nombres possibles:– Utilisation de l’addition et de la soustraction,– Utilisation d’un nombre une seule fois par calcul.

• Le compte est bon: classique mais toujours pertinent!

• Pénélope (Ermel CE2)• On part d’un nombre (ici 24), on lui applique les règles

de transformations suivantes: à chaque ligne, le produit doit contenir un nombre de plus qu’à la ligne précédente. Lorsqu’on est sûr de ne plus pouvoir continuer, alors, le produit doit contenir un nombre de moins que celui de la ligne précédente et on ne doit pas retrouver une décomposition déjà écrite…

24

44

243 x 8

3 x 2 x 43 x 2 x 2 x 2

6 x 2 x 212 x 2

24

• Terminer les affiches suivantes:

• Prolongement:

72

2 x 36

72

3 x 24

72

4 x 18

72

6 x 12

72

8 x 9

45

• Prolongement:Voici un nombre qui a été écrit au cours du jeude Pénélope, il est écrit sous la forme du produit: 2 x 5 x 3 x 7.Trouver toutes les écritures de ce nombre qui pourraient se situer sur la ligne suivante.

Et pour terminer… une balade numérique!

12 7 2 4 11 5 10

36 35 84 16 77 50 30

60 24 21 22 33 40 35

46

60 24 21 22 33 40 35

24 13 77 28 42 14 26

39 26 29 17 63 2 13

36 65 27 14 91 49 17

18 72 47 56 20 55 90

Et pour terminer… une balade numérique!

12 7 2 4 11 5 10

36 35 84 16 77 50 30

60 24 21 22 33 40 35

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60 24 21 22 33 40 35

24 13 77 28 42 14 26

39 26 29 17 63 2 13

36 65 27 14 91 49 17

18 72 47 56 20 55 90

Bibliographie

• Les documents d’accompagnement des programmes: le calcul mental à l’école élémentaire, p32 (ce n’est plus une référence institutionnelle, mais c’est toujours une valeur sûre pour la conception des apprentissages!)

• Les ouvrages de la série Ermel (du CP au CM2), Hatier• Plusieurs ouvrage de Fr.Boule:

– Jeux de calcul, Armand Colin, 1996– Le calcul à l’école élémentaire, IREM Bourgogne, 1997-

1998– Faites vos jeux à l’école, Didier, 2005

48

– Faites vos jeux à l’école, Didier, 2005• Butlen D., Calcul mental, calcul rapide, IREM Paris VII,

1987• Kuntzmann J., Calcul mental de 10 à 99 ans, IREM

Grenoble, 1997• Lethielleux C., Le calcul mental, (2 vol), A.Colin, 1992-

1993• Peltier M.L., Activités de calcul mental, Hatier, 2000