comment représenter : logiques · 2018. 3. 22. · les niveaux de représentanon de marr (1982)...

/120

Logiquesetraisonnement

AntoineCORNUÉJOLS

[email protected]

IODAA2016-2017

/120

L’IAnécessitel’u7lisa7ondegrandesquan7tésdeconnaissances

➥  Commentreprésenter:•  desdéfini&ons:«UnéléphantestunmammifèregrisàquatrepaLes

etunetrompe»•  descatégories:«LesinformaNciens»•  desasser&ons:«LedernierroidedeFrances’appelaitLouis-Philippe»•  desexcep&ons:«Ilexistedesélèvesquinevontpasencours»•  desdéfauts(plausibilité):«laplupartdesinformaNcienssontdeshommes»•  letemps:«Tantqu’ilyauradelaneige,jeneretournepasàGrignon»

«Surcesentrefaites,ilarriva»•  lesquan&ficateurs∀et∃:«lanuittousleschatssontgris»•  lespossibilités•  lescer&tudes,lescroyances•  …?

Undéfi

2IODAA–Logiquesetraisonnement

/120

➥  Comment:–  retrouveruneconnaissance

–  serendrecomptedesco-référencesetlestraiter(lesreprésenterparuneseuleenNtéouparplusieurs?): «LedernierroideFrance»&«Louis-Philippe»

–  déduiredesconnaissances

–  ajouterdesconnaissances(entenantcomptedelanon-monotonie,dumainNendelacohérence,…)

•  Commentlecomportementd’unebasedeconnaissancesvarieaveclaquanNtéetletypedeconnaissancesdisponibles?

•  Existe-t-ildeslimites?

DesquesNons

3IODAA–Logiquesetraisonnement /120

•  JacquesestmariésoitàFrançoise,soitàNicole

Nicolen’estmariéeàpersonne

⇒ JacquesestmariéàFrançoise

•  JeanobserveIsabelleetIsabelleobserveGeorges

JeanestmariéetGeorgesnel’estpas

⇒ Unepersonnemariéeobserveunepersonnenonmariée

•  Quelstypesd’informa&onspeuventêtreextraitesdequellesformesd’asserNonsd’unemanièreefficaceetfiable?

Quellesinférences?


/120

•  Jeanestmortel•  Leshommessontmortels=>Jeanestunhomme (Correct/Pascorrect?)•  Jeanestimmortel•  Jeanestunhomme=>Ilexistedeshommesimmortels (Correct/Pascorrect?)•  Touthommeestdouéderaison•  Jeann’estpasunhomme=>Jeann’estpasdouéderaison (Correct/Pascorrect?)•  Iln’estpasvraiquePierren’aimenilesgâteauxnilestartes=>Pierreaimelestartesetlesgâteaux (Correct/Pascorrect?)

Quellesinférences?


•  Plusilyadegruyère,plusilyadetrous•  Plusilyadetrous,moinsilyadegruyère=>Plusilyadegruyère,moinsilyadegruyère (Correct/Pascorrect?)•  Sileloupestlà,ilnousmangera•  Iln’estpaslà=>Ilnenousmangerapas (Correct/Pascorrect?)•  Unchevalbonmarché,c’estrare•  Toutcequiestrareestcjer=>Unchevalbonmarché,c’estcher (Correct/Pascorrect?)•  Iln’yaquelesimbécilesquinechangentpasd’avis•  Pierrechanged’avis=>Pierren’estpasunimbécile (Correct/Pascorrect?)•  Iln’yaquelesimbécilesquinechangentpasd’avis•  Pierren’estpasunimbécile=>Pierrechanged’avis (Correct/Pascorrect?)

Quellesinférences?


/120

Leçons

•  Lalogiqueconcernelareprésenta&ondechosescertaines(vraiesoufausses)

•  Lalogiqueaaussipourbutdefournirdescritèrespourdécidersiunraisonnementestcorrectounon

•  S’appuiesurunlangage

•  Maispasdelangageuniversel,ilfautdoncunlangagepar&culier

•  IlfautconstruireunlangageabstraitpermeLantd’exprimersansambiguïtélesasserNonsdésirées


Unlangagerestreint

•  Desproposi&onsélémentaires

–  AsserNonsquiontunevaleurdevérité(VRAIouFAUX)•  PierreaimeMarie•  IlapluàParisle13février1807à19h43•  L’addi7onbaignesonincident•  Ce`ephraseestunmensonge

•  Desconnecteurs

–  NégaNon :¬A

–  DisjoncNon:A ∨B

–  ConjoncNon:A ∧B

–  ImplicaNon:A =>B

•  Desrègles


/120

Unlangagedelapensée?

ReprésentaNonsdeconnaissancesetraisonnements

/120

•  HypothèsedessciencescogniNvesorthodoxes:

–  Lacogni&on

•  peutêtreconsidéréecommeuncalculréalisantlacréa&on,latransforma&on

etlapropaga&ondereprésenta7onsàtraversdesmoyensdereprésenta7on.

–  Larésolu&ondeproblèmes

•  signifieniplusnimoinstrouver,pardestransforma&ons,unereprésenta&on

quienrendelasolu7ontransparente.

Unlangagedelapensée?


/120

ReprésentaNonetraisonnement

Représentation

Monde

010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111

010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111

BasedeConnaissances

ReprésentaNon(t)

010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111

010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111

ReprésentaNon(t+1)

Monde

PrédictionRaisonnement


ReprésentaNonanalogiqueetraisonnement

•  ExempledesformesdeShepardhttp://www.ulb.ac.be/psycho/fr/docs/museum/Experiments/Shepard/Shepard.html


/120

ReprésentaNonanalogiqueetraisonnement


[Hutchins(1995):"CogniNoninthewild".MITPress,1995]

•  Etantdonnésunpointdedépartetunedes&na&on:–  commenttrouvercommentyaller(quelledirecNonprendreàchaque

instant)?

–  Quelledistanceminimaleentrecespoints?

➥  Lesmoyensdecalcul(etlesreprésenta&ons)sonttrèsvariéset

trèsdépendantsdelaculture

Exemple:lanavigaNon


/120

•  Supposonsqu'ilsepasse3mnentredeuxmesuresetqu'ellesdonnentunedistanceparcouruede1500yards.

Quelleestlavitessedubateau?(enmilles)

Soient4contextes(ressourcesdereprésentaNonetdecalcul):

1- Papieretcrayon,connaissancedel'algèbre,connaissancedel'arithméNque,connaissancequ'ilya2000yardsdansunmillenauNqueet60mndansuneheure,connaissancedelarelaNondistance=vitesse×durée

2- MêmeressourcessaufcalculeFeaulieudepapieretcrayon

3- Règleàcalculnau&que(cf.transparentsuivant)+laconnaissancerequisepour

l'uNliser

4- Pasdematérielmaisconnaissancedelarègledes3mn15IODAA–Logiquesetraisonnement

Exemple:lanavigaNon

/120

•  Contexte1

(connaissancesenalgèbre)

–  d=1500yards=1500/2000mille(connaissancesnécessairessur «yards»et«mille»etarithméNque)

–  t=3mn=3/60heure

➥  v=0.75/0.05=15milles/h

Rqs:•  lesopéra7onspeuventêtreeffectuéesdansdesordresdifférents•  lesopéra7onsdoiventêtreplanifiées

d = v × t ⇒ v = dt


Exemple:lanavigaNon

/120

•  Contexte2

–  OpéraNonssimilaires,aveccalculeLe,maissansl'aidedepapierpour

mémoriserlesrésultatsintermédiaires

–  Ladifficultérésidedanslechoixdel'ordredesopéraNonspoursimplifier

lescalculsetlamémorisaNon.

–  L'uNlisaNond'unecalculeLenefacilitepascechoix.


Exemple:lanavigaNon

/12018IODAA–Logiquesetraisonnement

Exemple:lanavigaNon

/120

•  Contexte3–  MeLreunemarquesurlarèglegraduéeentemps(mn)

–  MeLreunemarquesurlarèglegraduéeendistance(yards)

–  Tireruntraitentrelesdeux

➥  Lirelerésultatsurlarèglegraduéeenvitesse(nœuds)

–  Rqs:•  Pasdeproblèmedeconversiond'unités•  LesopéraNons(divisions,…)sont"inscrites"danslareprésentaNon(logarithmique)

•  Aucuneconnaissancedel'algèbrenécessaire•  LesrelaNonsincorrectes(ouerreurs)sont"éliminées"automaNquement(onnepeutlesréaliser)

Exemple:lanavigaNon


•  Contexte4–  3mn=1/20heure

–  100yards=1/20mille

➥  "Règledes3mn":

Ilsuffitd'enleverles2dernierschiffresdeladistancelue(1500yards)

pouravoirlavitesse:15nœuds

–  Rqs:•  Laréponseest"évidente"•  Uncalculcomplexe(dupointdevueconceptuel)estréaliséparuneopéraNonélémentaire(maisquidemandequ'onfasselepointtoutesles3mn)

Exemple:lanavigaNon


/120

•  Niveau"computaNonnel"–  Spécifiecequefaitlesystèmeetpourquoiillefait

•  E.g.Contrainteentredistanceparcourue,duréeetvitesse

•  Niveaudes"représentaNons"–  SpécifielechoixdereprésentaNondesentréesetdessorNesetdes

algorithmesdetransformaNonentrelesdeux

•  Niveaudel'implémentaNon–  Concerneledétaildel'implémentaNonphysiquedesalgorithmesetdes

représentaNons

distance vitesse

durée

LesniveauxdereprésentaNondeMarr(1982)


Lesquatrecontextesdecalculcorrespondentaumêmeniveaucomputa&onnelmaisàdeschoixdeniveauxdereprésenta&ondifférents.

➥  Unereprésenta&ondonnelemoyendetrouverlasoluNon

•  QuesNonsessenNelles:

–  QuellessontlespropriétésquevérifientlestransformaNons•  Conserventlavaleurdevérité…?

•  Calculables(entempsetespacemémoireraisonnables)?

Morale


/120

?

Raisonnement…?Etpreuve…?


?



/120

?



?



/120

ReprésentaNonsetraisonnements

Monde

010011110010011110010011110010011110010011110010011110

BasedeConnaissances

Représenta&onspossibles(t)

010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111

010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111

ReprésentaNon(t+1)

Monde

ReprésentationPrédictionRaisonnement

= coordinationefficace & féconde

010011110010011110010011110010011110010011110010011110

010011110010011110010011110010011110010011110010011110

010011110010011110010011110010011110010011110010011110

Mul&plesmanifesta&onspoten&elles

010011110010011110010011110010011110010011110010011110


1.Olivierabu3verresdegin

Charlesabu4verresdegin

2. OlivieretCharlesontbuensemble7verresdegin

Charlesabuunverredeplusqu’Olivier

Expression complète + immédiate (vivid)

⇒ calculs simples et rapides

Expressiondesconnaissancesetraisonnement


/120

SelonBrachman&Levesque(inthe80s)

•  Lesstructuresd’unereprésentaNondesconnaissancesdoiventavoirundoublestatut

1.  IldoitêtrepossibledelesinterprétercommedesproposiNonssurlemonde.Ilfautdoncquelareprésenta7onsupporteunethéoriedelavérité.

2.  Ellesdoiventavoirunrôlecausaldansleraisonnementetdoncdanslecomportementdusystème

•  Unsystèmeàbasedeconnaissanceapourresponsabilitéde:–  sélec7onnerunereprésenta&ondesconnaissancesadaptéepourle

domaineétudié

–  sélec7onnerdesmécanismesderaisonnementappropriésàlafoispourchercherdesréponsesetpourassimilerdenouvellesinformaNons

Expressiondesconnaissancesetraisonnement


•  FavorisantlanoNondecalculdelavéritéetlagénéralitédesinférences

–  Leslogiques•  ordre0 :proposiNonnelle•  ordre1 :desprédicats•  ordresupérieur :quanNficaNonportantsurlesprédicats

–  Systèmesàbasederègles

–  Approchesprobabilistes

•  Favorisantl’expressiondesconnaissances(ontologie)–  Leslangagesdeschémasetdeframes

•  Systèmeshybrides:cherchantunboncompromisentrepuissanceetefficacité

DessoluNons


/120

…consisteen:

1.UnsystèmeformelpermeLantdedécrirelesétatsdumonde–  Lasyntaxedulangage(décrivantcommentconstruiredesexpressions)

–  Laséman7quedulangage(décrivantcommentlesexpressionsréfèrentauxétatsdumonde)

2.Unethéorieousystèmedepreuve(Ensemblederèglesdedéduc7onc.a.d.calculantdesimplicaNons)

Unelogique...


1.   Lalogiquedesproposi&ons

1.   Langage

2.   Séman&que

3.   Preuves

4.   Leprincipederésolu&on

2.   Lelogiquedesprédicats

1.   Langage

2.   Unifica&on

3.   ClausesdeHorn

4.   Preuveparrésolu&on

3.   PROLOG

4.   Leraisonnementbayésien

5.   Leraisonnementincertainetlalogiquefloue

32

Plan

IODAA–Logiquesetraisonnement

/120

Lalogique

IntroducNoninformelle

/120

IntroducNoninformelle

«Ilfaitbeauetjesuisenvacances»

–  VraiseulementsilaproposiNon«ilfaitbeau»estvraieetlaproposiNon

«jesuisenvacances»estvraieaussi

–  SilaproposiNon«ilfaitbeau»estvraie,alorslaproposiNon«ilnefaitpasbeau»estfausse

•  Valeurdevérité

•  ConnecteurET

•  Principedecomposi&onalitépourcalculerlesvaleursdevérité


/120

DescripNond’unmonde

•  Tabledevérité(formenonstandard)


AsserNonsetcontraintessurlemonde

•  Soitunensembled’asserNons:

–  AbbydoesnotlikeDana.

–  AbbylikeseveryonethatBesslikes.

–  BesslikesCodyorDana.

–  Codylikeseveryonewholikesher.

–  DanalikesCody.

–  DanadoesnotlikeAbby.


Contraintessurlesmondespossibles

Unmondepossible

/120

AsserNonsetcontraintessurlemonde

AbbydoesnotlikeDana.

AbbylikeseveryonethatBesslikes.

BesslikesCody.

Codylikeseveryonewholikesher.

DanadoesnotlikeAbby.

DanalikesCody.


Contraintessurlesmondespossibles

Quesepasse-t-ilsila4èmeAsserNonestremplacéepar:BesslikesCodyandDana.?

/120

QuesNons

•  C’estquoiunepreuve?

•  Quepeut-ondémontrerici?

•  Comment?


/120

Conclusionlogique

•  Certainesproposi&onspeuventêtrevraiesdanstouslesmondesquisaNsfontunensembledeproposiNons(prémisses)

Conclusionslogiques


•  BesslikesCody

•  BessdoesnotlikeDana

•  Everybodylikessomebody

•  Everybodyislikedbysomeone

/120

Conséquenceslogiquesetpreuves

•  Difficulté:examinertouteslesconclusionslogiquesparexamendetablesdevérité.

RecoursàlanoNondedémonstra&onetdepreuve(raisonnement)


–  NoussavonsqueAbbyaimetouteslespersonnesqueBessaime

–  Abbyn’aimepasDana

–  Conclusion?

/120

NoNondeconséquenceslogiques

•  Commentfairepourlesobtenir?

Nousyreviendronsaveclathéoriedelapreuve


---Exercice---

•  OnconsidèrelesasserNonssuivantes:

–  SiAliceetJulieviennentàParis,Zoéviendraaussi

–  SiJulievientàParis,Aliceaussi

–  JulieouZoé,l’unedesdeuxaumoins,viendraàParis

1-ExprimezcestroisasserNonsenlogiquedesproposiNons

2-Endéduire:

Aliceviendra-telleàParis?EtJulie?EtZoé?


/120

LalogiquedesproposiNons

/120

Lelangage:lasyntaxe

•  Élémentsdulangage:lasyntaxe

–  Atomes

•  Constanteslogiques:TetF(vraietfaux)•  SymbolesdeproposiNon

–  ToutechaînedecaractèrescommençantparuneleLreminuscule

–  p,q,p1,p2,on_A_B,…

–  Lesconnecteurslogiques•  V(OU),�(ET),=>(implique),¬(NON)•  Unatome(précédéounonde¬)estappeléunli`éral

–  Formulesbienformées(wffs)


/120

Lelangage

•  Élémentsdulangage:lasyntaxe

–  Formulesbienformées(wffs)•  Toutatomeestunewff•  Siω1etω2sontdeswff,alors:

–  ω1Vω2 (disjonc7on)–  ω1∧ω2 (conjonc7on)–  ω1=>ω2 (implica7on)–  ¬ω1 (néga7on)….sontdeswff

•  Exemples:–  (p∧q)=>¬p–  p=>¬p–  pVp=>p–  (p=>q)=>(¬q=>¬p)


LacomposiNondesproposiNons

•  v(¬p)=T ssi v(p)=F

•  v(p∧q)=T ssi v(p)=v(q)=T

•  v(pvq)=F ssi v(p)=v(q)=F

•  v(p=>q)=F ssi v(p)=Tetv(q)=F

•  v(p<=>q)=T ssi v(p)=v(q)


/120

Tabledevérité

•  Lavaleurdevéritéd’unewffestcalculéerécursivementenuNlisantlatabledevéritéci-dessus

•  E.g.pestFaux,qestFauxetrestVrai

–  Quelleestlavaleurde((p=>q)=>r)=>p?

•  Rq:Unewffpeuravoirdifférentesvaleursdevéritédansdifférentesinterpréta7ons

(différenteslignesdelatabledevérité)(onparleausside«mondespossibles»)


ω1 ω2 ω1∧ω2 ω1Vω2 ¬ω1 ω1=>ω2

Vrai Vrai Vrai Vrai Faux Vrai

Vrai Faux Faux Vrai Faux Faux

Faux Vrai Faux Vrai Vrai Vrai

Faux Faux Faux Faux Vrai Vrai

/120

Ré-écritures/équivalences

•  Contradic&onA ∧¬A ≡F

•  TautologieA ∨¬A ≡T

•  Absorp&onA ∧(A∨B) ≡A

•  Absorp&onA ∨(A∧B) ≡A

•  Distribu&vitéde∧sur∨w1 ∧(w2∨w3) ≡(w1∧ w2)∨ (w1∧ w3)

•  Distribu&vitéde∨sur∧w1 ∨(w2∧w3) ≡(w1∨ w2)∧ (w1∨ w3)


•  Implica&on

A =>B ≡¬A∨B

•  RèglesdeMorgan

¬(A ∨B) ≡¬A∧¬B

¬(A ∧B) ≡¬A∨¬B

/120

ProposiNonséquivalentes

•  ProposiNonséquivalentes–  DeuxproposiNons(wff)peuventavoirdesformesdifférentesetavoirla

mêmesignifica&on

–  DeuxproposiNonssontéquivalentesiellesontmêmetabledevérité

–  OnuNliselesymbole≡

•  Tautologies–  wffrestantvraiequelquessoientlesvaleursdevéritédesatomesla

composant

•  Contradic&ons–  wffrestantfaussequelquessoientlesvaleursdevéritédesatomesla

composant


---Exercice---

•  Montrezquelaformulesuivanteestunetautologie


/120

---Exercice---

•  Danslabandedessinée«OnamarchésurlaLune»,lesDupondtsefâchentsommentlecapitaineHadockdereNrerlaphrasesuivante,jugéeinsultantepoureux:

–  «LecirqueHipparqueabesoindedeuxclowns,vousferezparfaitementl’affaire»

•  LecapitaineHadockreconnaîtqu’ilsontraisonetproposeenguised’excuse:

–  «LecirqueHipparquen’apasbesoindedeuxclowns,vousnepouvezdoncpasfairel’affaire»

QuellephraseauraitdudirelecapitaineHadockpourniersapremièreaffirmaNon?


---Exercice---

•  SimplificaNondeformules


F = ¬((p _ q) ) p) ^ q

G = (a _ (b ) c)) ) (a _ b _ c)

/120

Aretenir

•  Rôlesdelalogique–  Représenterdesconnaissances(certaines)surlemonde

–  Fournirdescritèrespourassurerlacorrec&ond’unraisonnement

–  Fournirdesmoyens(automaNques)depreuve(raisonnement)

•  AsserNonsetmondespossibles

•  ProposiNons;formulesbienformées

•  Formuleséquivalentes;tautologies;contradicNons

•  Règlesderé-écriture


2èmecours

NoNondeconséquencelogique

/120

Langage:lasémanNque

•  LasémanNquedéterminelesfaitsdumondeauxquelslesformulesréférent.

OncherchequellessontlesproposiNonsvraiesounécessairesdanslemonde

–  SignificaNonaLachéeauxatomesetwffs

•  E.g.l’atomebat_OKestassociéeàlaproposi&on«baLeriechargée»

–  Interpréta&on.FoncNonπ:atomes,wffs→ {Vrai,Faux}

–  SiunatomeαestassociéàlaproposiNonp,αapourvaleurVraisipestvraiedanslemonde.

–  OnsupposequelesproposiNonssontforcémentvraiesoufausses

•  Maisc’estunprésupposétrèsfort.E.g.«tasdesable»?•  Voirlogiquefloue


(laproposiNonassociéeàl’atomeestVouFdanslemonde)

/120

ReprésentaNonetraisonnement

Sémantique

Monde

010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111

010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111

BasedeConnaissances

ReprésentaNon(t)

010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111

010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111010011110010111 010011110010111

ReprésentaNon(t+1)

Monde

Sémantique

Raisonnement


/120

Tabledevérité

•  Lavaleurdevéritéd’unewffestcalculéerécursivementenuNlisantlatabledevéritéci-dessus

•  E.g.pestFaux,qestFauxetrestVrai

–  Quelleestlavaleurde((p=>q)=>r)=>p?

•  Rq:Unewffpeuravoirdifférentesvaleursdevéritédansdifférentesinterpréta7ons

(différenteslignesdelatabledevérité)(onparleausside«mondespossibles»)


ω1 ω2 ω1∧ω2 ω1Vω2 ¬ω1 ω1=>ω2

Vrai Vrai Vrai Vrai Faux Vrai

Vrai Faux Faux Vrai Faux Faux

Faux Vrai Faux Vrai Vrai Vrai

Faux Faux Faux Faux Vrai Vrai

/120

InterprétaNonspossiblesetsaNsfiabilité

•  SiunagentpeutconsidérernproposiNonscorrespondantànatomes:

–  Ilexiste2nmondespossibles(interpréta&ons)(lignesdelatabledevérité)

•  ÉtantdonnéeuneinterprétaNon,l’agentpeutcalculerlavaleurdevéritéden’importequellewff.

•  Inversement?

–  Étantdonnéunensembledewffavecleurvaleurdevérité

–  Peut-ontrouverlesvaleursdevéritédesatomescorrespondantes?

Problèmedesa&sfiabilité


/120

SaNsfiabilité

•  UneinterprétaNonIsa&sfaitunewffAsilawffestVraisousceLeinterprétaNon(Aestsa7sfiableparI)

•  Modèle:uneinterprétaNonIquisaNsfaitunewffouunensembledonnédewffsA(IestunmodèledeA)

•  NotaNon:A|=B(danstouteslesinterprétaNonsdeA,Bestvraie)

•  E.g.

–  Soitlaformulep∧q=>r•  pvraietqvraietrfaux :n’estpasunmodèle•  pfauxetqfauxetrvrai :estunmodèle(ouinterprétaNonoumondepossible)

•  Siiln’existeaucunmodèlepourunensembledewffs,celui-ciestditinconsistentouinsa&sfiable

•  p∧¬p•  {pvq,pv¬q,¬pvq,¬pv¬q}


---Exercice---

•  Pourchacundestroisensemblesdeformulessuivants,indiquezs’ilestinconsistant.Danslecascontraire,donnez-enunmodèle.


Si on suppose qu’aucun des flacons ne contient un poison (ligne 1 de la table), les deux inscriptions IR et IBsont fausses alors que IJ est vraie.

Si les trois inscriptions sont vraies, est-ce qu’un ou plusieurs flacons contiennent un poison ?

Les trois inscriptions sont vraies si et seulement si on se trouve dans la situation de la ligne 3, c’est-à-dire queseul le flacon jaune contient du poison.

Si seuls les flacons ne contenant pas un poison ont une inscription vraie, est-ce qu’un ou plusieurs flacons ne

contiennent pas un poison ?

Par hypothèse : (¬R … IR) · (¬J … IJ) · (¬B … IB) est vrai. Or :

• (¬R … IR) est vrai aux liens 3, 5, 6 et 8• (¬J … IJ) est vrai aux lignes 1, 2, 6 et 7• (¬B … IB) est vrai aux lignes 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8

Donc (¬R … IR) · (¬J … IJ) · (¬B … IB) est vrai uniquement à la ligne 6. C’est-à-dire quand le flaconjaune ne contient pas de poison.

7. Pour chacun des trois ensembles de formules suivants, indiquez s’il est inconsistant. Dans le cas contraire,donnez-en un modèle.

(a) {p ‚ q, p æ q, ¬q }(b) {p æ q, q æ r, r æ ¬ p}(c) {p æ q, q æ r, r æ ¬ p, p ‚ ¬s, s }

Corrigé

(a) {p ‚ q, p æ q, ¬q } © {p ‚ q, ¬p ‚ q, ¬q } est insastifiable(b) {p æ q, q æ r, r æ ¬ p} © { ¬p ‚ q, ¬q ‚ r, ¬r ‚ ¬p } {¬p,q, r } est un modèle(c) {p æ q, q æ r, r æ ¬ p, p ‚ ¬s, s } © { ¬p ‚ q, ¬q ‚ r, ¬r ‚ ¬p, p ‚ ¬s, s}

est insastifiable car s est vrai, donc p aussi, donc q aussi, donc r aussi, mais on doit avoir ¬r ‚ ¬p, cequi est impossible.

1.4 Premières preuves syntaxiques

8. Soient les formules :F = ((p ∆ q) ‚ s) · ((s ∆ p) ‚ ¬p)G = (¬q · ¬p) ‚ (q · ¬p) ‚ (p · q) ‚ r

(a) Écrire leurs tables de vérité.(b) SANS écrire la table de vérité de F ∆ G, montrer que „ F ∆ G.

5

/120

Validité

•  UnewffestvalidesielleestvraiesoustouteinterprétaNondesatomeslaconsNtuant

–  Unetellewffneditriensurlemonde.C’estunetautologie.

•  p=>p•  T•  ¬(p∧¬p)•  qvT•  ((p=>q)=>p)=>p•  p=>(q=>p)

•  QuesNon:Quelleestlacomplexitécalculatoiredelavérifica7ondelavaliditéd’unewff?


sontdes

tautologies

/120

Conséquencelogique

•  Basedeconnaissances(knowledgebase)–  EnsembledeproposiNons(wffs)supposéesvraies

–  Chaqueélémentestunaxiome

•  Rappel:Unmodèled’unensembledeproposiNonsestuneinterprétaNonpourlaquelletouteslesproposiNonssontvraies.

•  SiBCestunebasedeconnaissancesetωestuneproposiNon,alorsω estconséquencelogiquedeBCsiωestvraiepourtouteinterprétaNondeBC.(notaNon:BC|=ω)

–  i.e.Iln’existepasd’interpréta&ondeBCpourlaquelleωestfausse.


/120

Conséquencelogique

•  Exemples

–  {p}|=p

–  {p,p=>q}|=q

–  F|=ω(pourtoutω)

–  p∧q|=p

•  Lecalculnécessitel’examendetouteslesinterprétaNonspossiblesdelaBC(2nsiilyanatomes)


LasémanNquevueduconcepteur

1.   Choixd’undomaine–  E.g.lefoncNonnementd’AgroParisTech,d’unecommunauté

villageoiseauMali,…

–  etdesproposi&onsd’intérêt(e.g.lesmembresduCEsontélus)

2.   Sélec&ondesatomesquireprésenterontlesaspectsdumondejugésperNnents.

3.   Écritureenmachinedesproposi&onsvraiesdansl’interprétaNond’intérêtpourleconcepteur.Lesaxiomesdudomaine.

4.   Requêtesausystèmepourdéterminerdesconséquenceslogiquesdesaxiomes.


Danslatête

Àlamachine

/120

---Exercice---


= (p · ¬p · q) ‚ (q · ¬p · q)= ¬p ‚ q

G = (a ‚ (b ∆ c)) ∆ (a ‚ b ‚ c)= (a ‚ (¬b ‚ c)) ∆ (a ‚ b ‚ c)= ¬(a ‚ (¬b ‚ c)) ‚ (a ‚ b ‚ c)= ¬a · ¬(¬b ‚ c)) ‚ (a ‚ b ‚ c)= (¬a · b · ¬c) ‚ (a ‚ b ‚ c)= (¬a · b · ¬c) ‚ b ‚ a ‚ c) (règle d’absorption)= b ‚ a ‚ c

1.3 Interprétations et modèles

5. Dans le Marchand de Venise, de Shakespeare, Portia a trois co�rets, un d’or, un d’argent et un de plomb et,dans l’un d’eux, elle a caché son portrait. Quand un des soupirants se présente, elle lui fait choisir l’un desco�rets, et c’est celui qui aura la chance (ou l’astuce) de trouver le co�ret contenant son portrait qui pourral’épouser. Mais le couvercle de chaque co�ret porte deux inscriptions pour guider le choix du soupirant, carPortia ne veut pas choisir un époux pour sa vertu mais pour son intelligence.Elle traça un jour les inscriptions suivantes :

Coffret en Or Coffret en Argent Coffret en Plomb

Le portrait n’est pas dans

ce co�ret


le co�ret en or


ce co�ret

Le portrait est dans le

co�ret en argent


co�ret en plomb


co�ret en or

Elle expliqua à son soupirant que sur l’un des co�rets deux a�rmations étaient vraies, sur un autre elles étaientfausses toutes les deux, et sur le troisième l’une était vraie et l’autre était fausse. Quel co�ret le candidat aumariage devrait-il choisir pour épouser Portia ?

Corrigé

Il faut faire une table de vérité avec les 3 atomes Or (le portrait est dans le co�ret en or), Ar et Pb, et les 12lignes correspondant aux 12 possibilités (premier co�ret : les deux assertions sont vraies ; 2ème co�ret : lesdeux assertions sont fausses , 3ème co�ret : une assertion est vraie et l’autre fausse), etc.On trouve finalement que le portrait est dans le co�ret en Plomb.

6. Lors de ses aventures au pays des merveilles rapportées par Lewis Carroll, Alice est souvent accompagnée par lechat de Cheshire. Ce félin énigmatique s’exprime sous la forme d’a�rmations logiques qui sont toujours vraies.Alice se trouve dans un corridor dont toutes les portes à sa taille sont fermées. La seule porte ouverte estnettement trop petite pour qu’elle puisse l’emprunter. Une étagère est fixée au-dessus de cette porte. Le chatdit alors à Alice : « L’un des flacons posés sur cette étagère contient un liquide qui te permettra de prendre

3

/120

Àretenir

•  Interpréta&on–  AtomesouvariablesproposiNonnelles:p

–  LiFéral:atomeounégaNond’unatome

–  Interpréta&on:Ensemble(s)devaleursdevéritédesatomesdelaformule

•  Modèle:interprétaNonrendantvraielaformule

•  Sa&sfiabilitéd’uneformule:trouverlesmodèlesdelaformule

•  Formulesvalides:saNsfaitesdanstouteslesinterprétaNons

•  Conséquencelogique–  BvraiepourtouslesmodèlesdeA


A |= B

/120

Preuveetraisonnement

/120

DémonstraNon

•  Organisa&ond’unensembled’étapesélémentaires(inférences)


Raisonnement

/120

LasémanNquevuedelamachine

•  Lamachinen’apasaccèsàlasémanNque

•  SeulementauxproposiNonsdelaBC

Commentpeut-ellecalculerlesconséquenceslogiques?


Raisonnement…

•  …parmanipula&onsyntaxiquedesformules

•  Lamachinen’examinepaslesvaleursdevéritédesformules

–  Commeenalgèbre


/120

Inférencesetraisonnement

•  Déduc&on

•  Touslesxsonty•  Touslesysontz

•  Touslesxsontz

•  Induc&on

•  Onaobservé1000corbeauxnoirs•  Onn’ajamaisobservéuncorbeaunonnoir

•  Touslescorbeauxsontnoirs


x–3y=0x+y=12

-4y=-12

Algèbre

/120

Calculdeconséquences:preuvesetdéducNons

•  Ladéduc&onestuneformederaisonnement

–  Ellecalculedesconséquenceslogiquesd’uneBC

–  EnuNlisantuneprocédurededémonstraNonmécanisable:unepreuve

•  UnthéorèmeestuneproposiNondémontrableàparNrdesaxiomes(grâceàdesrèglesd’inférence)

•  NotaNon:BC|-ωsignifiequeωpeutêtredémontréàparNrdeBC

–  Uneprocéduredepreuveestcorrecte(`sound’)parrapportàunesémanNquesitoutcequ’ellepermetdedémontreràparNrdeBCestuneconséquencelogiquedeBC

•  SiBC|-ω,alorsBC|=ω

–  UneprocéduredepreuveestcomplètesitoutcequiestconséquencelogiquedeBCpeutêtredémontré.

•  SiBC|=ω,alorsBC|-ω


/120

Règlesd’inférence

•  Enplusdesrèglesderé-écriture

•  Onabesoinderèglesd’inférence

–  Unensemblede«condi&ons»

–  UneparNe«conclusion»(vraiesilescondiNonssontvérifiées)


Règlesd’inférence

=desschémaspourdesétapesélémentairesdedémonstraNon


•  Modusponens

•  ET-élimina7on

•  ET-introduc7on

•  OU-introduc7on

•  Elimina7ondoublenéga7on

•  Résolu7onunitaire

•  Résolu7on

α => β, αβ

α1 ∧ α2 ∧ … ∧ αnαι

α1, α2, … ,αnα1 ∧ α2 ∧ … ∧ αn

αι α1 v α2 v … v αn

¬¬αα

α v β, ¬βα

α v β, ¬β v γα v γ

/120

Méthodesdepreuve

•  Déduc&on

–  UneformuleAsedéduitd’unensembledeformules{B1,B2,…,Bi,…,Bn}etl’onnote:B1,B2,…,Bn|-As’ilexisteunesuitefinie(A1,A2,…,Ai,…A)oùchaqueAiest

•  Soitunaxiome

•  Soitl’undesBi•  Soitobtenuparl’applicaNond’unerègled’inférencesurdeuxélémentsAj,Akdelasuitedéjàobtenue(j,

k<i).Onaalorsunthéorème.

Contrôledel’explora7ondel’espacedespreuvespossibles

–  E.g.Stratégie«ascendante»

•  ParNrdesélémentsdelaBCpourenchercherlesconséquences,dontcelle(s)quinousintéresse(nt).

•  E.g.est-cequeq∧restconséquencede{p,p=>q,r}?

–  E.g.Stratégie«guidéeparlesbuts»

•  ParNrdesconséquencesrecherchéesetvoirquellesrèglesd’inférencepourraientpermeLredelesdémontrer(démarcherécursive)


Méthodesdepreuve

•  E.g.Stratégie«ascendante»–  ParNrdesélémentsdelaBCpourenchercherlesconséquences,dont

celle(s)quinousintéresse(nt).

–  E.g.est-cequeq∧restconséquencede{p,p=>q,r}?


! !"#$"% &

%

modus ponens

%"!"&

ET introduction! !"#$"% &

%

modus ponens

! !"#$"% &(1)

(2)

(3)

/120

Méthodesdepreuve

•  E.g.Stratégie«descendante»–  Enpartantdesbuts

–  E.g.est-cequeq∧restconséquencede{p,p=>q,r}?•  Démontrerd’abordq•  Démontrerensuiter


! !"#$"% &

%

modus ponens

%"!"&

ET introduction

/120

Unepreuve

•  Soientlesaxiomes:

1.  (p∧q)=>r

2.  (s∧t)=>q

3.  s

4.  t

5.  p

•  Prouverr


•  Unepreuve:1.  s (axiome3)

2.  t (axiome4)

3.  s∧t (conj.)

4.  (s∧t)=>q (axiome2)

5.  q (mod.po.)

6.  p (axiome5)

7.  p∧q (conj.)

8.  (p∧q)=>r (axiome1)

9.  r (mod.po)

/120

---Exercice---


Corrigé

F = ((p ∆ q) ‚ s) · ((s ∆ q) ‚ ¬p)= ((¬p ‚ q) ‚ s) · ((¬s · q) · ¬p)= (¬p ‚ q ‚ s) · (¬s ‚ q ‚ ¬p)= ¬p ‚ {(q ‚ s) · (¬s ‚ q)}¬p ‚ q

G = (¬q · ¬p) ‚ (q · ¬p) ‚ (p · q) ‚ r= r ‚ (¬q · ¬p) ‚ (q ‚ (q · p)) · ((¬p) ‚ (q · p))= r ‚ (¬q · ¬p) ‚ ((q ‚ q) · (q ‚ p)) · ((¬p ‚ q) · (¬p ‚ p))= r ‚ (¬q · ¬p) ‚ (q · (q ‚ p) · (¬p ‚ q)= r ‚ (¬q · ¬p) ‚ (q ‚ (p · ¬p)= r ‚ (¬q · ¬p) ‚ q= r ‚ (¬q ‚ q) · ¬p ‚ q= r ‚ ¬p ‚ q

Donc F „ G par la règle de ‚-introduction.

9. Soit la base de connaissances BC comprenant les clauses suivantes :

(a) b · c ∆ a(b) d ∆ b(c) e ∆ b(d) c(e) h ∆ d(f) e(g) b · g ∆ f(h) c · k ∆ g(i) a · b ∆ j

• Calculer toutes les conséquences logiques de BC par une méthode de preuve ascendante.• f n’est pas une conséquence logique de BC. Donnez un modèle de BC dans lequel f est fausse.• a est une conséquence logique de BC. Donnez-en une preuve guidée par le but.

(tiré de [Poole & Macworth, p.210])

Corrigé

• {e, e ∆ b} donne b{b, c} donne b · c{b · c, b · c ∆ a} donne a{a, b} donne a · b{a · b, a · b ∆ j donne j

Et on ne peut plus appliquer de règles d’inférence. On a « saturé » la base de connaissances. On saitque : {a, b, c, e, j}.

6

/120

Preuves

•  Variétédepreuvespossibles

•  Commentobteniruneprocéduredepreuve

–  saine :toutcequiestdémontrableestvrai(cq.Logique)

–  complète:toutcequiestvrai(cq.Logique)estdémontrable

–  efficace


?

/120

3èmecours

Preuvespar«résolu&on»

/120

Démarche

1.  Normaliserlareprésenta&on

–  Lesformesnormales:clauses

2.  IntroducNond’unerègled’inférenceunique–  larésolu&on

3.  Maisceseranoncomplet

–  IntroducNonduprincipederéfuta&on

–  LienavecleproblèmedesaNsfiabilité


/120

StandardisaNondelareprésenta&on

•  Ilexisteplusieursmanièresd’exprimerlesmêmesproposiNons

–  p=>q,¬pvq,¬(p�¬q)–  UNlitéd’avoiruneformestandardiséeoucanonique

•  LesCNF(Conjunc7veNormalForms)

–  ConjoncNonsdeclauses

–  clause=liLéraloudisjoncNondeliLéraux•  (¬rvp)∧(qvsv¬p)

•  TransformaNondewffsenCNF(toujourspossible)


((p=>q)=>r) ≡(pvr)∧(¬qvr) ≡{(pvr),(¬qvr)}

(r=>(pvq) ≡¬RvPvQ ≡{(¬rvpvq)}

(r=>(p∧q)) ≡ ((¬rvp)∧(¬rvq)) ≡{(¬rvp),(¬rvq)}

/120

TraducNonwff->CNF

•  Jusqu’à5étapesnécessaires

1.  Éliminerleséquivalencesó•  AóB≡ (A=>B)∧(B=>A)

2.  ÉliminerlesimplicaNons=>•  A=>B≡¬AVB

3.  FairemigrerlesnégaNons•  ¬(AVB)≡¬A∧¬B•  ¬(A∧B)≡¬AV¬B

4.  ÉliminerlesdoublesnégaNons•  ¬¬A≡A

5.  Distribuerles∧surlesv•  AV(B∧C)≡(AVB)∧(AVC)


(¬p∧(¬q=>r))=>s

¬(¬p∧(¬q=>r))vs (2)

¬(¬p∧(qvr))vs (2)

(¬¬pv(¬q∧¬r))vs (3)

(pv(¬q∧¬r))vs (4)

(pv¬q)∧(pv¬r))vs (5)

((pv¬q)vs)∧((pv¬r)vs) (5)

(pv¬qVs)∧ (pv¬rvs)

/120

---Exercice---


• Un modèle de BC dans lequel f est faux : {a, b, c, e, j} avec les atomes d, g, h et k qui peuventêtre vrais ou faux.

• a vrai si {b, c} par la règle (a).b vrai si {e} est vrai, par la règle (c)Or e est vrai (par l’axiome (f))Et c est vrai par l’axiome (d).

1.5 Mise sous forme normale

10. Soit la formule F = ((p ∆ q) · (r ‚ p)) … (r ∆ ¬q)

(a) Donner la table de vérité de : F © ((¬p ‚ q) · (r ‚ p)) … (¬r ‚ ¬q)(b) Mettez F sous forme DNF (forme normale disjonctive)(c) Mettez F sous forme CNF (forme normale conjonctive)

11. Soit la formule F = ((p · q) ‚ (¬p ‚ r)) ∆ (q ∆ r)

(a) Mettez F sous forme DNF (forme normale disjonctive)(b) Mettez F sous forme CNF (forme normale conjonctive)

12. Soit la formule F = ((¬p ‚ q) · r) … (p xor r)

(a) Mettez F sous forme DNF (forme normale disjonctive)(b) Mettez F sous forme CNF (forme normale conjonctive)

7

/120

Inférenceparrésolu&on

•  Idée

–  Soitlesclauses(pvq)et(¬qvr)•  Siqestvraialorsrestvrai•  Siqestfauxalorspestvrai

–  Donconpeutconclurepvr

•  Règled’inférenceparrésolu&on

–  SoituneclausecontenantleliLéralgetuneautreclausecontenantleliLéral¬g,onpeuteninférerlaclausecontenanttouslesliLérauxdesdeuxclausessaufget¬g.

{f1,f2,…,g,…,fm}{h1,h2,…,¬g,…,hn}-----------------------------------{f1,f2,…,fm,h1,h2,…hn}


! !"#$"%

%

modus ponens

&"!"'"%

LemodusponensestuncasparNculierdelarésoluNon

[Robinson,1965]

/120

RaisonnementavecleprincipederésoluNon

•  Commeaveclesautresrèglesd’inférence:

–  ParNrdesprémisses

–  AppliquerlarésoluNonauxprémissesetauxrésultatsobtenujusqu’à

•  Obtenirlaconclusiondésirée•  OunepluspouvoirappliquerderésoluNons

•  LarésoluNonn’estpascomplète!–  E.g.Étantdonnés{p}et{q}onnepeutconcluresur{p,q}(cad.p∧q)

–  MAIS…


ComplétudeduprincipederésoluNon!!

•  ThéorèmederéfutaNon

–  UnensembledeproposiNonsBCentraînelogiquementuneproposiNonφssiBC∪{¬φ}estinconsistant.

•  Ilsuffitdoncd’ajouterlanéga&ondelaconclusiondésiréeàl’ensemblede

clausestraduisantlabasedeconnaissancespoursavoirsilaconclusions’en

déduit(obtenNondelaclausevideparrésoluNon)

LarésoluNonestcomplèteparréfuta&on!!


/120

ComplétudeduprincipederésoluNon?

•  Principederéfuta&on:SiunensembleΔdeclausesestinsaNsfiable,alorsonpeutgaranNrquel’onpeutobtenirlaclausevide{}(False)parrésoluNon.

–  Soient:BC={(pvq),(pv¬q),(¬pvq)}etp∧qlaconclusionrecherchéedontlanégaNonest:(¬pv¬q)

•  Iln’existepasd’interprétaNondecetensemble•  ParrésoluNon:

1.  (pvq) prémisse2.  (pv¬q) prémisse3.  (¬pvq) prémisse4.  (¬pv¬q) négaNonconclusion5.  p résoluNon1,26.  ¬p résoluNon3,47.  {} résoluNon5,6


PreuveparrésoluNon

1.  Silavoituredémarrealorssilavoituren’apasétépousséealorslaba`eriefonc7onne

2.  Silaba`eriefonc7onnealorsleslampess’allument

3.  Silavoituredémarreetlavoituren’apasétépousséealorsleslampess’allument


OnuNliselessymboles:

1.  d:lavoituredémarre

2.  b:labaLerieestmorte

3.  p:lavoitureaétépoussée

4.  l:leslampess’allument

1.  d=>(¬p=>¬b)

2.  ¬b=>l

3.  (d∧¬p)=>l

1.  (¬dvpv¬b)

2.  (bvl)

3.  (¬dvpvl)

¬3.{d,¬p,l}

¬dvpv¬bdpv¬b¬pb¬dvpv¬b¬dvpdp¬p{}

/120

PreuvesparrésoluNon

•  Soitàprouver:{p=>r,q=>r}|=(pvq)=>r–  NégaNondelaconséquenceettransformaNonenCNF

{¬pvr,¬qvr,pvq,¬r}


!"#$#%

!"

!%

&

"#$#& !&#$#% !%

!"

!"#$#% "#$#&

%#$#&

!%

!%

& !&#$#%

%

/120

---Exercice---


15. Utiliser la méthode de résolution pour prouver ou infirmer les a�rmations suivantes :

(a) |= p ∆ p(b) |= ((p ∆ q) · (q ∆ r)) ∆ (p ∆ r)(c) |= ((s ∆ r) · p · ¬r) ∆ ¬r · ¬s · p(d) |= [(p · q) ‚ (r · q)] ∆ (p ‚ r)(e) {q ∆ (¬q ‚ r), q ∆ (p · ¬r)} |= q ∆ r(f) {q ∆ (¬q · r), q ∆ (p · ¬r)} |= q · r(g) {p ∆ q, q ∆ r, p ‚ ¬r} |= p · q · r(h) {p ∆ q, q ∆ r, p ‚ ¬r} |= (p · q · r) ‚ (¬p · ¬q · ¬r)

Corrigé

(a) |= p ∆ pSoit la formule „ = p ∆ p. La forme clausale de „ est {p, ¬p}

Par résolution : p ¬p

‹Donc „ „ et, par correction, |= „.

(b) |= ((p ∆ q) · (q ∆ r)) ∆ (p ∆ r)

Soit la formule „ = ((p ∆ q) · (q ∆ r)) ∆ (p ∆ r)On a

¬„ = ((p ∆ q) · (q ∆ r)) · ¬(¬ p ‚ r)= ((¬p ‚ q) · (¬q ‚ r)) · ¬(¬p ‚ r)= (¬p ‚ q) · (¬q ‚ r) · p · ¬r

La forme clausale de ¬„ est donc : {¬p ‚ q, ¬q ‚ r, p, ¬r}.Par résolution, on obtient :

p ¬p ‚ qq ¬q ‚ r

r ¬r‹

Donc „ „ et, par correction, |= „.

(c) |= ((s ∆ r) · p · ¬r) ∆ ¬r · ¬s · p

Soit la formule :

„ = ((s ∆ r) · p · ¬r) ∆ ¬r · ¬s · p= ¬((¬s ‚ r) · p · ¬r) ‚ ¬r · ¬s · p

On a donc :

¬„ = ((¬s ‚ r) · p · ¬r) · (r ‚ s ‚ ¬p)

D’où la forme clausale de ¬„ = {(¬s ‚ r, p, ¬r, r ‚ s ‚ ¬p}Par résolution, on obtient :

10

/120

StratégiedecontrôledelarésoluNon

•  CommentchoisirquellerésoluNonappliqueràchaquepas?

–  Contrôledel’ordre•  Enlargeurd’abord•  Enprofondeurd’abord

–  ContrôledutypederésoluNon•  Stratégiedel’ensembledesupport•  Entréeslinéaires•  Filtragedesancêtres

–  ClausesdeHorn•  Unedisjonc7onavecunseulli`éralposi7fauplus(règleavecunseulconséquent)

•  Algorithmesdedéduc7onentempslinéaire


4èmecours

Systèmesàbasederègles

/120

Sicondi7onsalorsconséquence

Exemples:

Silatempératureduréacteurdépasse800°Calorsdescendrelesbarresdecontrôle

Sichampignonsàlamesséparablesetsporéerosealorschampignondugenreleucopaxillus

SiXestunchienalors Xestunmammifère

RèglesdeproducNon


Historique:DENDRAL

•  Le système DENDRAL –  Pour la NASA : 1965 - …

–  Y a-t-il de la vie sur Mars ?

–  Spectrographie de masse

Formuledéveloppéeducomposéchimique?

masse

intensité

/120

Historique:DENDRAL

•  D’abordenFortran

•  ÉvoluNonrapidedesconnaissancesimpossibleàsuivre

➠  SéparaNon:

–  desméthodesd’inférence:assezstables

–  delaconnaissance:enévoluNon

/120

Historique:DENDRAL

•  Exemples de connaissances –  Règle :

Si le spectre de la molécule présente deux pics x1 et x2 tels que : 1.  x1 - x2 = M + 28 2.  x1 - 28 est un pic élevé 3.  x2 - 28 est un pic élevé 4.  au moins l’un des pics x1 et x2 est élevé Alors la molécule contient un groupe cétone

C C

R1

R2

O C

R1 (x1)

R2

O C

R1

R2 (x2)

Sedécomposeen:

ouen:

/120

Historique:MYCIN

•  Système de diagnostic de maladie bactérienne du sang

•  Shortliffe à Stanford (1972-1985)

•  Premier vrai système expert

/120

p

p→q

q?

Chaînage avant :

utilisé quand on cherche les conséquences de l'ajout de nouveaux faits

q ?

p → q

q

Chaînage arrière :

utilisé quand on cherche à prouverun but

Chaînageavantetchaînagearrière


/120

R1 :Si A alors ER2 :Si B alors D

R3 :Si H alors A

R4 :Si E et G alors C

R5 :Si E et K alors B

R6 :Si D et E et K alors C

R7 :Si G et K et F alors A

Chaînageavant: H,K --R3--> H,K,A

--R1--> H,K,A,E --R5--> H,K,A,E,B

--R2--> H,K,A,E,B,D --R6--> H,K,A,E,B,D,C

(succès)

Chaînageavant

OncherchesiCestvrai


C

GE D E K

A

R7

R1

R4 R6

B

R2

H

R3

X(échec)

E K

R5

R1 :Si A alors E

R2 :Si B alors D

R3 :Si H alors A

R4 :Si E et G alors C

R5 :Si E et K alors B

R6 :Si D et E et K alors C

R7 :Si G et K et F alors A

Chaînage arrière :

Chaînagearrière


/120

Structuredessystèmesexperts

Mémoiredetravail

Moteurd’inférence

Basedeconnaissances

U&lisateur

Moduled’interface

Moduled’explicaNon

Moduled’acquisiNon

desconnaissances

Expert

/120

Leraisonnement:lecycledebase

DETECTIONDétermine les règles et les faitspertinents au moyen d'unifications

"pattern matching"

CHOIXDécide parmi les règles applicablescelle qu'il convient de déclencher

effectivement

EXECUTION

Exécute la partie action de la règleen tenant compte des substitutions

trouvées à l'étape 1. Met à jour la Base de Données ou

Mémoire de Travail.

Ensemble de conflit

Règle sélectionnée

/120

Contrôleduraisonnement:LaphasedesélecNon

•  SélecNonneunerègleparmil’ensembledeconflit

•  Méthodes:–  Lapremièrerègleapplicable(e.g.Prolog)

–  Larèglelaplusspécifique

–  LarèglerèglelaplusuNle(selonunevaleurd’uNlitéàcalculer)

–  …

MaisviolentleprincipedetransparencedesSE

➠  Lesmétarègles –  DesrèglescontrôlantlasélecNondesrèglesàappliquer

/120

Contrôleduraisonnement:Exemplesdemetarègles

•  Metarègle 1 : Si (1) le patient est un hôte à risque et (2) il existe des règles qui mentionnent des pseudomonias dans une

prémisse et (3) il existe des règles qui mentionnent des klesiellas dans une prémisse alors il est probable (0,4) qu’il faille utiliser les premières avant les secondes

•  Metarègle 2 : Si l’on cherche une thérapie alors, dans cet ordre, considérer les règles qui permettent de : 1.  acquérir des informations cliniques sur le patient 2.  trouver quels organismes, s’il en existe sont cause de l’infection 3.  identifier les organismes les plus vraisemblables 4.  trouver tous les médicaments potentiellement utiles 5.  choisir les plus adatés en plus petit nombre

/120

MYCIN-exemplededialogue

Mes recommandations thérapeutiques seront basées sur les infections probables et les organismes infectieux potentiels suivant :

L’organisme peut être : 1° pseudomonia aeruginosa, 2° klebsiellia pneumoniae, 3° escherichia coli, 4° bacteroides fragilis, 5° enterobactoriaceae, 6° proteus non mirabilis

Voulez-vous me donner la gravité de la maladie de M. Fred Smith sur une échelle de 0 à 4 ?

3

M. Fred Smith présente-t-il des réactions allergiques à un quelconque agent microbien ?

Non

Quel est son poids en kilos ?

70

MYCIN:

MYCIN:

MYCIN:

Médecin:

Médecin:

Médecin:

/120

MYCIN-exemplededialogue

Ma recommandation thérapeutique sera en premier choix : pour couvrir les points <1 2 3 5 6>, prescrire de la Gentamicine, dose 119 mg 98 h IV, pendant 10 jours;

Pour couvrir le point 4, prescrire de la Clindamycine, dose 595 mg 96 h IV, pendant 14 jours.

Désirez-vous éventuellement éliminer certains médicaments ?

Oui, la Clindamycine.

Pour couvrir les points <2 3 4 5 6> donner du Chloramphénicol, dose 1 g 96 h IV, pendant 14 jours;

** Surveiller le taux de globules blancs du patient.

Pour couvrir le point 1, donner de la gentamicine, dose 119 mg 98 h IV, pendant 10 jours.

** Modifier la dose en cas de faiblesse rhénale.

MYCIN:

MYCIN:

Médecin:

/120

MYCIN-exempled’explicaNon

L’infection du malade a t-elle été contractée à l’hôpital ?

Pourquoi ?

[Pourquoi est-ce important de savoir cela ?]

Cela aidera à déterminer la catégorie à laquelle appartient l’organisme responsable de l’infection :

-  il a déjà été établi que 1° l’organisme est à Gram négatif, 2° c’est un bâtonnet, 3° il se développe à l’air ou sans air.

-  Donc si l’infection par cet organisme n’a pas été contractée lors du séjour à l’hôpital

Alors il est presque certain (0,8) que l’organisme est de la catégorie des enterobactoriaceae; de plus, il se peut (0,1 ; règle 37) que ce soit de la pseudomonia aeruginosa.

Pourquoi n’avez-vous pas envisagé la possibilité que l’organisme soit un streptocoque ?

La règle 33 aurait du être utilisée pour identifier l’organisme comme un streptocoque, mais la seconde clause « la morphologie est de type coque » était déjà connue comme fausse et la règle 33 n’a jamais été essayée.

MYCIN:

TEIRESIAS:

Médecin:

TEIRESIAS:

Médecin:

/120

QuesNons

•  Sur le contenu de la base de connaissances

–  Prescrivez-vousparfoisdelacarbenicillinepourlesinfecNonsparpseudomonas?

•  Règlesconcernées:règle024,règle068,règle138

•  Lesquellesdésirez-vousexaminer?

/120

QuesNons

•  De type « comment ? »

–  Commentsaviez-vousquelepaNentn’avaitpaseudestéroïdes?

•  Larègle395aétéuNliséepourconclurequeJohnSmithn’avaitpaseudecorNcostéroïdes:

–  SiJohnSmithn’estpasaffaiblisurleplanimmunitaireAlorsilsûrqueJohnSmithn’apasreçudecorNcostéroïdes

–  Commentsaviez-vousquelepaNentn’étaitpasaffaiblisurleplanimmunitaire?

•  Larègle350aétéuNlisée…

/120

QuesNons

•  De type « pourquoi ? »

•  JohnSmithest-ilunhôteàrisque?

–  Pourquoi?(pourquoiest-ilimportantdedéterminersiJohnSmithestunhôteàrisque?)

•  CelaaideraàdéterminersiJohnSmithestaffaiblisurleplanimmunitaire

–  SiJohnSmithn’estpasunhôteàrisqueAlorsilestsûr(1.0)queJohnSmithn’estpasaffaiblisurleplanimmunitaire[règle343]

–  Pourquoi?

•  PourdéterminersiJohnSmithareçudescortocostéroïdes

–  SiJohnSmithn’estpasaffaiblisurleplanimmunitaireAlorsilestsûr(1.0queJohnSmithn’apasreçudecorNcostéroïdes[Règle395]

/120

QuesNons

•  De type « pourquoi ? » (suite)

–  Pourquoi?

•  Pourdéterminerlesorganismescausesdel’infecNon

–  Iladéjàétéétablique

»  L’infecNonquirequiertunethérapieestuneméningite

»  L’idenNtédel’organismen’estpasconnueaveccerNtude

»  Laméningiteestdetypebactérien

–  Sideplus

»  JohnSmithareçudescorNcostéroïdes

–  Alors

»  ilestpossiblequel’organismecausedel’infecNonsoit:E.Coli(0.4)ouklebsiella-pneumoniae(0.2)[Règle543]

/120

Raisonnementnonexact

•  Incertain–  Neigera-t-ilàNoël?

–  Lefourgonpostalpasserasansdouteparce`eroute

•  Vague–  Unfourgonpostalavecpasmaldelingotspasseraauxenvironsde10h15

•  HypothéNque–  Sixestétudiant,alors,jusqu’àpreuveducontraire,onpeutsupposerque

xestjeune

/120

Leraisonnementincertain:sourcesduproblème

•  Théoriedudomaine

–  Conceptsimprécis

–  EmploiderèglesheurisNques

•  Lesdonnées–  Senseursinsuffisammentprécis

–  Donnéesmanquantes(parprincipe,outropdifficilesàobtenir)

/120

Leraisonnementincertain:approches (1/2)

•  LeraisonnementdesSE:–  Guidéparlasyntaxe

–  Propaga&onlocaledesvaleursdevérité

–  PriseencompteincrémentaledesinformaNons

➥ Onvoudraitlesmêmesfacilitéspourleraisonnementincertain

MAIS...c’estimpossible!

/120

R.Incertain:Approchesextensionnelles

•  GénéralisaNondesvaleursdevérité➥ Dépendantseulementdesvaleursdevéritédessous-formules

Exemple:CF(A&B)=Min[CF(A),CF(B)]

A->B SiAestobservéalorsonpeutmodifierlacroyancedeBd’unmontantdépendantdelaforcemdelarègle

m

/120

Leraisonnementincertain:approches

•  Approchesextensionnelles–  IncerNtude≈valeurdevéritégénéralisée

–  Calcullocaletincrémental

➥  àlaMYCIN/certaineslogiques

•  Approchesintensionnelles–  Baséessurlesmodèles

–  L’incerNtudedépenddelaBasedeConnaissancesenNère

➥ CalculBayésien/Réseauxprobabilistes

/120

Approchesextensionnelles:MYCIN

•  LescoefficientsdecerNtude(certaintyfactor:CF)

–  Desfaitsouhypothèses

0-.2 +.2-1 +1

Plutôtfaux Plutôtvrai

–  DesrèglesExprimantlacerNtudeenlaconclusion,lesprémissesétantsupposéesvraies

Maisquellevraiesignifica&on?

CF(h, e) =

p(h|e) − p(h)1− p(h)

si p(h|e) ≥ p(h)

p(h|e) − p(h)p(h)

si p(h|e) ≤ p(h)

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

/120


•  PropagaNondescoefficientsdecerNtude

Ri:a1&a2&...&an=>conséquents(CF(R))

❶ CF(a1&a2&...&an)=min(CF(a1),CF(a2),...,CF(an))

❷ CF(conséquents)=CF(a1&a2&...&an).CF(Ri)

CF(H) = x + y− x.y si x& y > 0 x +y+ x.y si x& y < 0

x+ y1−min(|x|, | y|)

sinon

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪ CF(H)=?

x y

/120


•  Lecontrôle

–  Nepasappliquerunerègleplusd’unefois

–  RechercheexhausNve,

–  ...sauf...

•  Sifaitcertainementvraioucertainementfaux

•  SiCF(fait)<.2

/120


•  Lesdéfauts–  Traitementdesinférencesbidirec&onnelles

•  (InférencesdéducNvesetabducNves:“iln’yapasdefuméesansfeu”)

–  “Explainingaway”•  “SiAalorsC”&“SiBalorsC”

–  Limitesdelamodularité•  “Silesolesthumidealors(.9)ilaplu”•  MT: “Lesystèmed’arrosageafoncNonnétoutelanuit”(excepNonou

suppresseur)•  Demême: “Silesolesthumidealorsilaplu”

“Silesystèmed’arrosageafoncNonnéalorslesolest humide”

–  ProblèmedesrèglesdifférentesuNlisantdessourcesiden&ques

–  LesexpertsconfondentCFetprobabilitéscondiNonnelles

/120

Expressivitédesrègles

•  Ordre 0 : logique des propositions –  Si Ferrari et Michael alors rapide

•  Ordres 0+ : logique des propositions typée (attribut-valeur) –  Si voiture = ferrari et pilote=michael alors vitesse=rapide

•  Ordre 1 : logique des prédicats –  ∀ X,Y : Si voiture(X) et X=ferrari et pilote(X,Y) et Y=michael

alors rapide(X)

•  Ordre 2 : logique d’ordre 2 –  ∀ R, X,Y : Si type(R)=symétrique et R(X,Y)

alors R(Y,X)

/120

5èmecours

Lalogiquedesprédicats

/120

LimitesdelalogiqueproposiNonnelle

•  NoNondesimilitudeentreproposi&onsinexistante•  Pierreestunhomme•  Jacquesestunhomme

–  ConsidéréescommedesproposiNonsindépendantessanslien,alorsqueliéepar:«quelqu’unestunhomme»,uneproposiNongénérale.E.g.

•  Manquedequan&fica&onuniverselle–  DisNncNonentrel’universeletleparNculier

–  Commentexprimerquetouslesobjetsontunpoids?•  Énumérertouslesobjets:pesant(A1) ∧pesant(A2)∧ …∧ pesant(B23)?

–  Oubien: •  Socrateestunhomme•  Tousleshommessontmortels•  …etalors?


MoNvaNon

•  LimitesdelalogiqueproposiNonnelle

–  E.g.ON-B-C&bouger BLOC-B:commentfairelelienentrelesdeuxB(mêmebloc)?

➥  Iln'estpaspossibled'exprimerdesrela&onsentresymboles

(carlesatomessontdeschaînesdecaractèressansstructureinterne.Commesi,pourleraisonnement,onavaitR-23&Q-204)


/120

Connaissancesincomplètes

¬étudiant(jean)

parent(lucie,pierre)∨parent(lucie,charles)

∃Xcousin(corinne,X)∧masculin(X)

∀Xami(georges,X)⇒ ∃Yenfant(X,Y)

•  Lapuissancedelalogiquedupremierordrevient

decequ’onpeutlaisserimplicite!!!

MoNvaNon


---Exercice---

•  Soient–  h(X)leprédicatunaire«Xestunhomme»

–  c(X)leprédicatunaire«Xestunchien»

–  p(X,Y)leprédicatbinaire«XapeurdeY»

–  Soitauneconstantepour«Jacques»

1.  ExprimerlaproposiNon«jacquesapeurdeschiens»

2.  ExprimerlaproposiNon«tousleshommesontpeurdeschiens»


/120

1-Marcusétaitunhomme

2-MarcusétaitunPompéien

3-Touslespompéiensétaientromains

4-Césarétaitunhommed'état

5-TouslesromainsétaientsoitloyauxàCésaroulehaïssaient

6-Toutlemondeestloyalàquelqu'un

7-Lesgensn'assassinentqueleshommesd'étatqu'ilshaïssent

8-Marcustentad'assassinerCésar

Exemple


1-homme(marcus)

2-pompéien(marcus)

3-∀Xpompéien(X)→romain(X)

4-homme-d-état(césar)

5-∀Xromain(X)→loyal(X,césar)∨hait(X,césar)

ou:∀Xromain(X)→(loyal(X,césar)∨hait(X,césar))∧¬(loyal(X,césar)∧hait(X,césar))

6-∀X∃Yloyal(X,Y)

7-∀X∀Ypersonne(X)∧homme-d-état(Y)∧tente-assassiner(X,Y)→¬loyal(X,Y)

8-tente-assassiner(marcus,césar)

¬loyal(marcus,césar)?

ReprésentaNonenlogiquedesprédicats


/120

Jeanestunhomme Médorestunchien JeandonneunsucreàMédor

humain(jean)chien(médor)

donner(jean, médor, sucre)

ou sorte-de(humain, jean)

sorte-de(chien, médor)

donner(jean, médor, sucre)ou égal(nature(jean), humain)

égal(nature(médor), chien)

transfert(propriété_de, jean, médor, sucre)

ProblèmeduchoixdelabonnereprésentaNon


Syntaxe

1.  Termes–  Constantes:chaînesdecaractèrescommençantparuneminusculeouunnombre

•  E.g.aA,125,13B,jean,tour_Eiffel

–  Symbolesdefonc&ons (f(t1,…tn)oùlestisontdestermes)•  E.g.pereDe(X),distance_entre(X,Y),…

–  Prédicats(ouatomes) (p(t1,…tn)oùlestisontdestermes)•  E.g.sur(X,Y),sur(Z,table),…

2.  Ensembledevariables–  Chaînesdecaractèrescommençantparunemajuscule

•  E.g.X1,B23,Taille,…

3.  Connecteurs–  ∧,∨,¬,=>,ó

4.  Quan&ficateurs–  ∃ (existenNel), ∀ (universel)


/120

Syntaxe

•  Terme

–  Toutevariableestunterme (quel’ondénoteraparunemajuscule)

–  Touteconstanteestunterme (quel’ondénoteraparuneminuscule)

–  Sit1,…,tnsontdestermesetfestunsymboledefonc&on,alorsf(t1,…,tn)estunterme

•  E.g.plus_grand(5,2),f(a,b,c,d),…

•  Untermeestcloss’ilneconNentpasdevariable(«groundterm»)

•  Formules

–  Unatome:affirmeunfait (e.g.frère(richard,jean))

–  SiFestuneformule,alors¬Festuneformule

–  SiFetGsontdesformules,alorsF∧G,FvG,F=>Gsontdesformules

–  Laformulevide,{}(ouuncarré),définieparx∧ ¬x


•  Variableliée:variablesetrouvantdanslaportéed’unquan&ficateur

–  ∀ Xb(X): Xestliée

–  (∀Xb(X,Y))=>a(X):laportéde∀estb(X,Y)etXestliéedansb(X,Y),maislibredansa(X)

•  Variablelibre:unevariablequiestnonliée

–  ∀X(b(X,Y)=>∃Y,c(Y)):Xestliée,la1èreoccurrencedeYestlibre,maisla2èmeestliée

•  LanoNondeportéeetdevariablelibreestimportantequandonveut

remplacerdesvariablespard’autresvariablesoupardestermes.

–  Seuleslesvariableslibrespeuventêtreremplacées

Variableslibres,variablesliées


/120

---Exercice---

•  Soient–  h(X)leprédicatunaire«Xestunhomme»

–  c(X)leprédicatunaire«Xestunchien»

–  p(X,Y)leprédicatbinaire«XapeurdeY»

–  Soitauneconstantepour«Jacques»

1.  ExprimerlaproposiNon«jacquesapeurdeschiens»

2.  ExprimerlaproposiNon«tousleshommesontpeurdeschiens»


---Exercice---

•  Danslescassuivants,déterminezquellesoccurrencesdesvariablessontliéesetquellesoccurrencessontlibres.Ditesaussisilaformuleestclose(sansvariablelibre).

1.  ∃X(p(X,Y)∧q(X))

2.  (∃Xp(X,Y)∧q(X))

3.  (∀X∀Yp(X,Y)=>r(X,Y))

4.  ∀X(∀Yp(X,Y)=>r(X,Y))

5.  ∀X∀Y(p(X,Y)=>r(X,Y))

6.  (∃Ys(X)∧∀X(q(Y)=>∃Yr(X,Y))

7.  ∃Y(s(X)∧(∀Xq(Y)=>∃Yr(X,Y))


/120

PropriétésdesquanNficateurs

•  ∀X�∀Y estéquivalentà ∀Y∀X

•  ∃X�∃Y estéquivalentà ∃Y∃X

•  ∃X�∀Y n’estpaséquivalentà ∀Y∃X:

–  ∃X�∀Yaime(X,Y):«Ilexisteunepersonnequiaimetoutlemonde»

–  ∀Y∃Xaime(X,Y):«Toutlemondeestaiméparquelqu’un»(pourtoutepersonne,ilexistequelqu’unquil’aime).

•  SoientG,FetHdesformules.SoitQ�{�,�}

QXF[X] ∨ G≡QX(F[X] ∨ G) et QXF[X] ∧ G≡QX(F[X] ∧ G).

¬(�XF[X])≡�X(¬F[X]) et ¬(�XF[X])≡�X(¬F[X]).

�XF[X] ∧ �XH[X]≡�X(F[X] ∧ H[X])et �XF[X] ∨ �XH[X]≡�X(F[X] ∨ H[X]).


FormeNormalePrenexd’uneformule

•  UneformuleFestenformenormaleprenexssiFestdanslaforme

Q1X1Q2X2...QnXn(M)

oùchaqueQiXiestsoit�Xisoit�XietMestuneformuleenformenormale

prenexnecontenantpasdequanNficateurs.

•  Exemple:�X�Y(�Z(p(X,Z) ∧ p(Y,Z))→�U(q(X,Y,U)))

≡�X�Y(¬(�Z(p(X,Z) ∧ p(Y,Z))) ∨�U(q(X,Y,U)))

≡�X�Y(�Z(¬(p(X,Z) ∧ p(Y,Z))) ∨�U(q(X,Y,U)))

≡�X�Y(�Z(¬p(X,Z) ∨ ¬p(Y,Z)) ∨�U(q(X,Y,U)))

≡�X�Y�Z�U((¬p(X,Z) ∨ ¬p(Y,Z) ∨ q(X,Y,U)))


/120

Misesousformeprenex

•  Onappliqueautantdefoisquenécessaireleséquivalences:

1.  ¬(�Xw) ≡�X¬w

2.  ¬(�Xw) ≡�X¬w

3.  (�Xw1)∧ w2 ≡(�Xw1∧ w2) (siXn’apparaîtpasdansw2)

4.  (�Xw1)v w2 ≡(�Xw1v w2) (siXn’apparaîtpasdansw2)


ÉliminaNondes�:skolemisaNon

•  SoitF=Q1X1Q2X2...QnXn(M)uneformuleenFNP.

•  ConstrucNondelaformestandarddeF:SupposonsqueQr=�,avec1≤r≤n.

–  SiavantQriln’yapasde�alorsonremplacetouteslesoccurrencesdelavariablexrdansMparunenouvelleconstantecrn’apparaissantpasavantdansMetonélimineQrxr.

–  SiavantQrilyades�,disonsQj1,Qj2,...,Qjt,avec1≤j1<j2<...<jt<ralorsonremplacetouteslesoccurrencesdexrdansMparunenouvellefonc&ont-airefr(xj1,xj2,...,xjt)dansMetonélimineQrxr.

–  Exemple:

•  Soit F=�X�Y�Z�U�V�W(p(X,Y,Z,U,V,W)).

Fskolemisée: F=�Y�Z�V(p(a,Y,Z,f(Y,Z),V,g(Y,Z,V))).


/120

•  ReprésentaNon"plate"etsansquanNficateurs

∀X{[romain(X)∧ connaît(X,marcus)]→ �

[hait(X,césar) ∨ (∀Y(∃Zhait(Y,Z))→pense-fou(X,Y))]}

TouslesromainsquiconnaissentMarcus,soithaïssentCésaroubienpensentquequiconquehaitquelqu'unestfou.

¬romain(X)∨¬connaît(X,marcus)∨hait(X,césar)∨¬hait(Y,Z)∨pense-fou(X,Y)

TraducNonwffs->formeclausale


SubsNtuNon

•  UnesubsNtuNonestunensemble{X1/t1,...,Xn/tn}oùchaqueXiestunevariable,chaquetiestunterme≠deXi,etpourtouti≠j,Xi≠Xj.

–  Exemples:{X/f(z),Z/Y},{X/a,Y/g(Y),Z/f(g(b))}.

•  Soientθ={X1/t1,...,Xn/tn}unesubsNtuNonetEuneexpression.AlorsEθestuneexpressionobtenueàparNrdeEenremplaçantdemanièresimultanéechaqueoccurrencedelavariableXidansEparletermeti,1≤i≤n.EθestappeléeuneinstancedeE.

–  Exemple:Soientθ={X/a,Y/f(b),Z/c}unesubsNtuNonetE=p(X,Y,Z)uneexpression.Alors,Eθ=p(a,f(b),c).


/120

ComposiNondesubsNtuNons

•  Soientθ={X1/t1,...,Xn/tn}etλ={Y1/u1,...,Ym/um}2subsNtuNons.

Lacomposi&onθ◦λestunesubsNtuNondéfinieparl’ensemble

{X1/t1λ,...,Xn/tnλ,Y1/u1,...,Ym/um},oùoneffacetousleséléments

Xj/tjλtelsquetjλ=XjetoneffacetouslesélémentsYi/uitelsqueYi

�{X1,...,Xn}.

–  Exemple:

Soientθ={X/f(Y),Y/Z}etλ={X/a,Y/b,Z/Y}.

Alors,θ◦λ={X/f(b),Y/Y,X/a,Y/b,Z/Y}={X/f(b),Z/Y}.


UnificaNon

•  UnesubsNtuNonθestappeléeununificateurpourunensemble{E1,E2,...,Ek}ssiE1θ=E2θ=...=Ekθ.

•  L’ensemble{E1,E2,...,Ek}estditunifiables’ilexisteununificateurpourlui.

•  Ununificateurσpourunensembled’expressions{E1,...,Ek}estl’unificateurplusgénéralssipourchaqueunificateurθpourl’ensemble,ilyaunesubsNtuNonλtellequeθ=σ◦λ.

–  Exemple:

L’ensemble{p(a,X,f(g(Y))),p(Z,f(Z),f(W))}estunifiableetapouru.p.g.la

subsNtuNonθ={Z/a,X/f(a),W/g(Y)}.


/120

Algorithmed’unificaNon


t

X g

Y 3

t

f g

5 Z 3 2

σ = {X/ f (3 2), Y/5, Z/3}

t

f g

5 3 3 2 t(f(3,2),g(5,3))

t(X,g(Y,3)) t(f(3,2),g(5,Z))

L'unificaNondetermes


/120

•  SubsNtuNon/InstanNaNon:homme(X)s'instancieenhomme(socrate)parlasubsNtuNonσ ={X/socrate}

•  UnificaNon:homme(socrate)ethomme(X)s'unifientenhomme(socrate)

•  RésoluNon(Robinson,1965){homme(socrate)}∪ {¬homme(X),mortel(X)}|=mortel(socrate)

Le problème de la déduction: {C1,...,Cn} ı= C ?

{¬ homme(X), mortel(X)} ∪ {homme(socrate)} ı= mortel(socrate) ?

σ = { X/socrate}

LarésoluNon


PreuveparrésoluNon

•  LarésoluNonestplusdifficilequ’enlogiqueproposiNonnelle

–  Traitementdesvariables

–  TraitementdesquanNfieurs


Étapes

1.  Éliminerlesimplica&onsetéquivalences

2.  Réduirelaportéedesnéga&ons(commeenordre0)

3.  Renommerlesvariables:chaquequanNficateurneportequesurunevariable

4.  ÉliminerlesquanNfieursexisten&els(skolemisaNon)

5.  ÉliminerlesquanNfieursuniversels

6.  Conver&renconjuncNvenormalforms(CNF)

7.  TransformerlesconjoncNonsenensembledeclausesetrenommerlesvariablespourquedeuxclausesnepartagentpaslesmêmesvariables

/120

RésoluNonenlogiquedesprédicats

•  SoientdeuxclausesAetBsansvariablescommunes(sinon,onrenommelesvariablescommunesdansl’unedesclauses)tellesqueA=C1∨ L1etB=C2∨ ¬L2.

•  S’ilexisteununificateurplusgénéralθpourL1etL2(c-a-d,L1θ=L2θ)alors,larésolu&onentreAetBpeuts’exprimerpar:

C1∨ L1,C2∨ ¬L2donne(C1∨ C2)θ

–  Exemple:

SoientA=p(X) ∨ q(X)etB=¬p(a)∨ r(X).Enrenommantd’abordXparY

dansB,lerésolvantdeAetBestq(a)∨ r(Y)souslasubsNtuNonθ={X/a}.


AlgorithmederésoluNon


/120

Stratégiedecontrôleduraisonnement

•  Commentsélec&onnerlesclausesàrésoudreàchaqueétape?

–  IlfautdeuxclausesquipossèdentdesliLérauxdesignesopposés

–  Siilyaplusd’unchoix?

•  Préférerlesclausesprovenantdelaconclusioncherchée

(stratégieorientéeparlebut(«goal-oriented»))

•  Préférerlesclausescourtes(plusprochesdelaclausevide)


RésoluNon:exemple

•  SoitlaformuleF1∧ F2∧ F3→Coù:–  F1=�X((e(X)∧ ¬v(X))→�Y(s(X,Y)∧ c(Y))),

–  F2=�X(p(X)∧ e(X)��Y(s(X,Y)→p(Y))),

–  F3=�X(p(X)→¬v(X)),

–  C=�X(p(X)∧ c(X)).

•  Laformestandard(c-à-d,laFNP+SkolemizaNon)est:–  S1=(¬e(X) ∨ v(X)∨ s(X,f(X)))∧ (¬e(X)∨ v(X)∨ c(f(X))),

–  S2=p(a)∧ e(a)∧ (¬s(a,Y)∨ p(Y)),

–  S3=(¬p(X)∨ ¬v(X))

–  ¬C=(¬p(X)∨ ¬c(X)).


/120

RésoluNon:exemple

1.  ¬e(X)vv(X)vs(X,f(X))

2.  ¬e(X)vv(X)vc(f(X))

3.  p(a)

4.  e(a)

5.  ¬s(a,Y)vp(Y)

6.  ¬p(X)v¬v(X)

7.  ¬p(X)v¬c(X)


8.¬v(a) (3et6par{X/a})

9.v(a)vc(f(a)) (2et4par{X/a})

10.c(f(a)) (8et9)

11.v(a)vs(a,f(a))(1et4par{X/a})

12.s(a,f(a)) (8et11)

13.p(f(a)) (12et5par{Y/f(a)})

14.¬c(f(a)) (13et7par{X/f(a)})

15.{} (10et14).

/120

1.homme(marcus)

2.pompéien(marcus)

3.né(marcus,40)

4.¬ homme(X1)∨mortel(X1)

5.¬pompéien(X2)∨mort(X2,79)

6.érupNon(vésuve,79)

7.¬mortel(X3)∨¬né(X3,t1)∨¬gt(T2-T1,150)∨mort(X3,t2)

8.présent=2013

9a.¬vivant(X4,T3)∨¬mort(X4,T3)

9b.Mort(X5,T4)∨vivant(X5,T4)

10.¬mort(X6,T5)∧¬gt(T6,T5)∨mort(X6,T6)

Vivant(marcus,présent) ¬ vivant(X4,T3)∨ ¬ mort(X4,T3)

¬mort(marcus,présent) ¬ mort(X6,T5)∧ ¬ gt(T6,T5)∨mort(X6,T6)

¬ mort(marcus,T5)∧ ¬gt(présent,T5)¬pompéien(X2) ∨mort(X2,79)

¬ pompéien(marcus) ∨ ¬gt(présent,T5)présent=2002

¬ pompéien(marcus)∨ ¬gt(2013,79)

¬ pompéien(marcus) Pompéien(marcus)

marcus/X4,présent/T3

marcus/X6,présent/T6

Marcus/X2,79/T5

substituer =

réduire

PreuveparrésoluNon:exemple


/120

•  Lesprocéduresdepreuveenlogiquedesprédicatsnepeuvent

êtrequesemi-décidables:

❏  ellesterminentenuntempsfinisiunepreuveexisteàlarequête

❏  ellespeuventnepasterminersilarequêten'estpasprouvable

Semi-décidabilité


?

-1 +1

parent(X,claude) := fille(claude,X) fille(claude,jacques)

parent(jacques,claude)

fille(claude,jacques)

parent(jacques,claude)

Unexempled'induc&on:inversiondelarésoluNon


/120

Bilan

•  Lesinférencess’appuientsurdesinforma&onslocales+  Efficace

+  Modularitédelabasedeconnaissance

+  Fortementparallélisable

–  Maisnepermetpasderéaliserpleinementcertainstypesderaisonnement(e.g.leraisonnementincertain)

•  Lemécanismederaisonnement(moteurd’inférence)peutêtreséparédelabasedeconnaissances:lessystèmesexperts

•  Propriétésdemonotonicité

–  SionajoutedesconnaissancesàlaBC,ilnepeutenrésulterquedavantagedeconséquenceslogiques

•  Mais–  Twi�eestunoiseau ->ilvole–  Twi�eestunmanchot ->L


PROLOG

/120

SLD-resoluNon

•  LaprogrammaNonlogiqueuNliseunestratégiespécifiquede

résoluNon:laSélecNonLinéaireDéfinie(SLD).

–  Àchaqueétape,uneclausedel’ensemblededépartestuNlisée

•  Laméthoden’estpascomplèteengénéral,

saufsielleestappliquéeàuneclasseparNculièredeclauses:les

clausesdéfiniesouclausesdeHorn


ClausesdeHornetSLD-resoluNon

•  LaSLD-resolu&on(SélecNonnéLinéaireDéfini)estuneprocédureservantà

prouveruneformuledelogiqueàparNrd’unensembledeclausesdeHorn.

•  Clausedéfinie:clausedeHorncontenantexactementunliLéralposiNf

¬av¬bvc(a∧b)=>cc:-a,b

–  cestlaconclusionetaetbsontlesprémissesouantécédents


Troismanièresdel’exprimer

/120

ClausesdeHorn

•  UneclausedeHornestuneclausecontenantauplusunli`éralposi7f•  p•  ¬p•  ¬pv¬qvr≡(q∧r=>p)

•  TroistypesdeclausesdeHorn

–  «Faits»:unatome(e.g.P) (enProlog:p.)

–  «Règles»:•  antécédent=conjoncNondeliLérauxposiNfs•  conclusion=unliLéralposiNf

–  (e.g.(q∧r=>p)≡pV¬qV¬r) (enProlog:p:-q,r.)

–  «Buts»:ensembledeliLérauxnégaNfs (enProlog::-q.)


Mécanismedepreuve

•  Programme =ensembledeclausesdeHorn

•  Requête =conjoncNondeliLérauxposiNfs

1.  ConstrucNondelanéga&ondelarequête=clausedeHornnégaNve(listedebuts)

2.  UnificaNondu1erélémentdelanéga&onavecuneclauseduprogramme

–  1èreclauseduprogrammedontlatête(conclusion)estlacontreparNeposiNvedel’élémentconsidéré

•  SicontradicNon=>succèsetpassageàl’élémentsuivant•  Sifiniparéchouer,oncherchelaclausesuivanteéligible


/120

SLD-resoluNon:exemple(1)

•  Soitleprogramme:

qv¬p

p

•  Etlarequête:{q}

•  Listedebuts=négaNondelarequête:{¬q}1.  ¬qpeuts’unifieravec{qv¬p}donnant:¬p

2.  quipeuts’unifieravecla2èmeclause:{p},donnantcontradicNon

3.  Donclarequêteestprouvée


SLD-resoluNon:exemple(1)

•  Soitleprogramme:

qv¬r

qv¬p

p

•  Etlarequête:{q}

•  Listedebuts=négaNondelarequête:{¬q}1.  ¬qpeuts’unifieravec{qv¬r}donnant:¬p

2.  Puiséchecàprouver¬r

3.  Doncpassageàlaclausesuivanteqv¬p…


/120

LaSLD-ResoluNonavecdesclausesdeHorn

•  …estcomplète

–  SiBC|=F,alorsBCU¬FpossèdeuneréfutaNonlinéaire.


PROLOGavecdesclausesdeHorn

•  StratégieparNculière:

–  UNlisaNondesfaitsetrèglesdansl’ordreoùilssontécrits

–  Respectdel’ordredesli`érauxdanslesantécédents

–  Stratégieenprofondeurd’abord

•  Stratégieengénéralefficace

•  MAISincomplète


/120

Exemple

1.  p(X,X):-q(X,Y),r(X,Z).

2.  p(X,X):-s(X).

3.  q(b,a).

4.  q(a,a).

5.  q(X,Y):-r(a,Y).

6.  r(b,Z).

7.  s(X):-q(X,a).

8.  :-p(X,X).


Conclusion

/120

•  Lesagents intelligentsontbesoindeconnaissancessurlemondepouragirefficacement

•  LaconnaissanceestexpriméegrâceàunlangagedereprésentaNonsousformedeformulesdansunebasedeconnaissances(BC)

•  Unagentbasésurlaconnaissanceestcomposéd'uneBCetd'unmécanisme d'inférence

•  Unlangage de représentationestdéfiniparsasyntaxeetsaséman&que

•  Lemécanisme d'inférencepermetdecalculerdenouvellesexpressionsàparNrd'expressionsexistantes

•  IlestditcorrectsiildérivedesexpressionsvraiesàparNrdeprémissesvraies•  Ilestditcompletsiildérivetouteslesexpressionsvraiesdécoulantd'unens.deprémisses

•  Lalogiquedesproposi&onsdécritdesfaitssimplessurlemonde.ElleaunesyntaxeetunesémanNquesimples

•  Lalogiquedesprédicatspermetd’exprimerdesrela&onsetderaisonneràleurpropos

Àretenir


•  Latempératureduréacteurestélevée

➥  Logiquefloue

•  Lesblondesontsouventlesyeuxbleus

➥  Raisonnementincertain(e.g.Raisonnementbayésien)

•  Enl'absencederaisondecroirelecontraire,onpeutsupposerquechaqueadultequel'onrencontresaitlire

➥  Logiquedesdéfauts

•  Ilestmieuxd'avoirplusdepiècesquel'adversaireauxéchecs

➥  ConnaissanceheurisNque

•  JesaisqueJohnpensequelesAustraliensvontgagner,maisjecroisquec'estleXVdeFrancequil'emportera

➥  Maintenancedecroyances

Besoind'autres"logiques"


/120

Références

•  CallanR.(2003)«ArtificialIntelligence».PalgraveMacMillan.

•  FreundM.(2011)«Logiqueetraisonnement».Ellipses.

•  GeneserethM.(2012)«IntroductiontoLogic».Morgan&Claypool.

•  NilssonN.(1998)«ArtificialIntelligence.Anewsynthesis».MorganKaufmann.

•  PooleD.&MackworthA.(2010)«ArtificialIntelligence.Foundationsofcomputational

agents».CambridgeUniversityPress.

•  RusselS.&NorvigP.(2009)«ArtificialIntelligence.Amodernapproach».

PrenticeHall(3rded.).

(trad.françaisedela2nded.:«IntelligenceArtificielle»,Pearson,2010)


comment représenter : logiques · 2018. 3. 22. · les niveaux de représentanon de marr (1982)...

Documents