RaisonnemeRaisonnementnt

Odile CLEMENT prof. de mathsremerciements à Bertrand FILLOUXBertrand FILLOUX

RaisonnementRaisonnement : plan de l’exposé

I . Qu’est que raisonner ?

II. Les différents types de raisonnement

III. Le raisonnement et la démonstration dans les programmes de seconde

IV. Un point de logique

V. Des exemples d’activités en seconde

VI. Les différents supports pour raisonner

VI. Vocabulaire, notations et maîtrise de la languemaîtrise de la langue

I. Qu’est ce que raisonner ?

Distinguons:

Une opinion : un point de vue

Une argumentation : un discours justifiant la préférence que l’on accorde à telle opinion, dans le but de convaincre et persuader.

Un raisonnement : « opération discursive par laquelle on conclut qu’une ou plusieurs propositions ( prémisses) impliquent la vérité, la probabilité ou la fausseté d’une autre proposition (conclusion )»

Si un des buts est de convaincre, le raisonnement apparait indissociable de la notion de vérité.

II. Différents raisonnements

Le raisonnement inductif et abductif

Le raisonnement déductif

Le raisonnement par analogie

Leur présence dans l’activité scientifique et mathématique

Le raisonnement inductif et abductif :

À partir de faits constatés ou de présomptions vérifiés sur des exemples, on dégage une propriété générale .

Exemples : diagnostics médicauxdécouverte de fossiles marins …. la mer était là Les livrets A se vident …Les français puisent dans

leurs économies pour noël 2009

Le raisonnement déductif :

il énonce par enchainement logique une conclusion nécessaire, à partir de propositions données.

Exemple fondamental: A implique B or A donc B

Ce qui distingue essentiellement ces deux raisonnements, c’est que la déduction utilise un propriété générale dans ces prémisses alors que l’induction tente à trouver une propriété générale dans sa conclusion.

Le raisonnement par analogie

« ça ressemble à ça, donc cela doit fonctionner comme cela »

Exemples : astronomie, sciences physiques, et beaucoup d’autres situations

Différents raisonnements et activité scientifiqueLe point de départ de la démarche scientifique tient souvent en une

analogie entre la situation étudiée et une situation déjà connue. Cette analogie guide le choix d’observations dont les résultats permettent par abduction ou induction la formulation d’une hypothèse. Cette hypothèse étant posée, par un raisonnement déductif, on anticipe les effets de cette hypothèse et on vérifie les effets attendus par des expériences.

Si les résultats sont conformes, l’hypothèse sera validée provisoirement tant qu’elle résistera à l’épreuve des faits.

premières observations

raisonnement analogique

expérimenter

émettre

Phase inductive une hypothèse

ou abductive

Phase déductive Cette hypothèse devrait produire tels événements

expériences postérieures

validant l’hypothèse ou non

Différents raisonnements et activité scientifique

Différents raisonnements et activité mathématique

III. Le programme de seconde

En préambule : Raisonnement et langage mathématiques

Le développement de l’argumentation et l’entraînement à la logique font partie intégrante des exigences des classes de lycée.

Extraits du programme de seconde 2010 .

A l’issue de la seconde, l’élève devra avoir acquis une expérience lui permettant de commencer à distinguer les principes de la logique mathématique de ceux de la logique du langage courant et, par exemple, à distinguer implication mathématique et causalité.

En préambule

Les concepts et méthodes relevant de la logique mathématique ne doivent pas faire l’objet de cours spécifiques mais doivent prendre naturellement leur place dans tous les chapitres du programme.

De même, le vocabulaire et les notations mathématiques ne doivent pas être fixées d’emblée ni faire l’objet de séquences spécifiques mais doivent être introduits au cours du traitement d’une question en fonction de leur utilité.

Extraits du programme de seconde  

La diversité des activités proposées aux élèves ( chercher, expérimenter, appliquer des techniques, mettre en œuvre des algorithmes, raisonner, démontrer, expliquer une démarche , communiquer un résultat par oral ou par écrit ) doit permettre aux élèves de prendre conscience de la diversité et de la richesse de la démarche mathématique et lui donne sa place au sein de l’activité scientifique

Dans le détail du programme :

Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés sur des exemples :

A utiliser correctement les connecteurs logiques : « et », « ou » et à distinguer leur sens du sens courant ;

A utiliser à bon escient des quantificateurs universels, existentiels (les symboles , ne sont pas exigibles) et à repérer les quantifications implicites dans certaines propositions et , particulièrement dans les propositions conditionnelles .

A distinguer dans les propositions conditionnelles, la proposition directe, sa réciproque, sa contraposée et sa négation ;

A utiliser à bon escient les expressions « condition nécessaire » et « condition suffisante » ;

A formuler la négation d’une proposition ; A utiliser un contre-exemple pour infirmer

une proposition universelle ; A reconnaître et à utiliser des types de

raisonnements spécifiques : raisonnement par disjonction des cas, recours à la contraposée, raisonnement par l’absurde.

III. Logique: Contraposée, réciproque et négation d’une implication Implication : Si A alors B

Utilisation : modus ponens :A B or A donc B

Remarque : cette implication est logiquement équivalente à: (non A) ou B

Sa contraposée: Si (non B) alors (non A) Utilisation : modus tollens :

A B or non B donc non A Remarque : une implication et sa contraposée sont logiquement équivalentes

Sa négation : A et non B. Sa réciproque :Si B alors A

VI. Des activités en seconde

1.des raisonnements 1.des raisonnements déductifsdéductifs

Le travail fait au collège sur les réciproques, conditions nécessaires, suffisantes, contraposées et négations d’une proposition est à poursuivre avec des supports variés .

Exemple :Les quadrilatères ayant des cotés de même longueur sont des carrés. Cette proposition est-elle vraie ?La reformuler sous forme d’implication.Ecrire la négation de cette proposition. Votre proposition précédente est-elle vraie?

Négation d’une proposition Les quantificateurs : 3 étapes au lycée

– Comprendre la nécessité de quantifier– Être capable d’expliciter les

quantifications– Être capable de rédiger avec des

quantificateurs

Exemple ; refaire formuler des propositions du Exemple ; refaire formuler des propositions du type:type:

F est la fonction définie sur R par : F(x) = F est la fonction définie sur R par : F(x) = x²+3xx²+3x

et résoudre x² + 3x = 5et résoudre x² + 3x = 5

Si deux nombres sont multiples de 7 alors leur somme est un multiple de 7

à démontrer. La réciproque est-elle vraie. Ecrire la contraposée.

Des raisonnements spécifiques

2.2. Par disjonction de casPar disjonction de cas

Le carré d’un nombre entier est-il pair ou impair ?

Remarque : utilisation de la contraposée dans l’exemple précédent.

n étant la somme de deux carrés d’entiers, prouver que le reste dans la division de n par 4 n’est jamais égal à 3

Des raisonnements spécifiques

3.3. Par l’absurdePar l’absurde

Tout nombre premier distinct de 2 est impair

n’est pas un nombre décimal

n’est pas un nombre rationnel

2

2

Des raisonnements spécifiques

4. En exhibant un 4. En exhibant un contrexemplecontrexemple :

Exemples :

La fonction f(x) = x² +2x est –elle paire? Impaire?

Pour tout nombre entier n, l’entier n²- n + 11 est-il un nombre

premier

V. Varier les supports pour raisonner

1. Sur des nombres :Quelle est la 2009ème décimale du

développement décimal de 22/7?

Quelle est la somme des chiffres du résultat de 102009 – 2009 ?

Les supports pour raisonner

2.2.Sur des figures Sur des figures géométriquesgéométriques

Une équerre ABC est placée de telle sorte que le point A est situé sur l’axe des ordonnées et le point B sur celui des abscisses. On déplace l’équerre en faisant glisser A et B sur les axes. Comment se déplace le point C ?

Les supports pour raisonner

3.3. Sur des graphiques : Sur des graphiques :Ces 5 personnes ont chacun fait un footing … :

Les supports pour raisonner

4.4. Sur des fonctions : Sur des fonctions :Chacun des 6 réservoirs est rempli avec un robinet à débit constant.Les courbes indiquent la hauteur de liquide en fonction du temps …

Les supports pour raisonner

5.5. Sur des probabilités Sur des probabilités :On dispose de 3 cartes :la 1ère a 2 faces rouges, la 2ème a 2 faces vertesla 3ème a une face rouge et une face verte.Quelqu’un choisit une carte au hasard et la pose sur la table en choisissant au hasard la face visible.Le joueur doit «deviner» la couleur de la face cachée Quelle stratégie lui conseiller :

Toujours choisir la couleur vue ?Toujours choisir l’autre couleur ?Choisir la couleur au hasard?

VI. Raisonnement et langage

Utiliser « ET » et « OU  » Utiliser « ET » et « OU  » en liaison avec le travail sur les intervalles

ABC étant un triangle équilatéral de coté a . Colorier l’ensemble des points M du plan vérifiant : (AM ≤ a et BM ≤ a et CM ≥ a) Ou (AM ≤ a et BM ≤ a et CM ≥ a Ou (AM ≤ a et BM ≤ a et CM ≥ a)

Raisonnement et langage

et/ou : « 2 est-il supérieur ou égal à 12 est-il supérieur ou égal à 1 ? »

Cet énoncé est considéré comme faux par la plupart des élèves de 2nde

Une élève de 1ère L : « C’est typiquement mathématique … Je ne changerai pas les règles mathématiques, donc j’admettrais, nous admettrons, comme dirait le théorème, que 2≥1 . C’est une loi, une règle de maths, sans rien de plus et pas vraiment logique. Mais c’est la difficulté qui fait toute la beauté des mathématiques. »

Les différents sens de « UN » :Un exactement, Au moins un, Tout, Un parmi

d’autres

Raisonnement et langage

OR : en français, indique le plus souvent une opposition ou une objection :

« Il est interrogé, or, il n’a pas écouté »

DONC : en français, il possède aussi un sens emphatique : « Taisez vous donc »

– Négation : attention aux pièges

Quel est le contraire de jamais ? De noir ?

Repérer les quantificateurs implicites dans la proposition de départ.

Pour conclure :

1.1. Raisonner en Raisonner en mathématiques ne se réduit mathématiques ne se réduit pas au seul raisonnement pas au seul raisonnement déductifdéductif..

2.2. Il faut prendre en compte la Il faut prendre en compte la diversité sans imposer une diversité sans imposer une forme canonique.forme canonique.

« L’apprentissage de la démonstration passe par l’acquisition d’une certaine liberté d’écriture » (J.Houdebine –CPn°317)

Pour conclure :

3. Les élèves entrant en 2nde sont aptes à conduire des raisonnements, sans pour autant être capables de les produire par écrit.

4. Distinguer le fond de la forme : pas de formalisme excessif et/ou prématuré5. Valoriser des écrits intermédiaires