diagnostic décentralisé à l’aide d’automates cellulaires

Diagnostic décentralisé à l’aide d’automates cellulairesNicolas Gauvillea,c

[email protected]

Nazim Fatèsa

[email protected]

Irène Marcovicia, b

[email protected]

a Université de Lorraine, CNRS, Inria, LORIA, F-54000 Nancy, France

b Université de Lorraine, CNRS, Inria, IECL, F-54000 Nancy, Francec Safran Electronics & Defense

Résumé

Nous nous intéressons au problème du diag-nostic de défaillances dans un réseau distribué.Lorsque les composants du réseau sont suscep-tibles de tomber en panne, comment détecter lemoment où le taux de composants défaillantsdépasse un certain seuil sans faire appel à uneautorité centrale? Notre objectif est d’avoir uneestimation de l’état général du réseau par leseul biais d’interactions locales des composantsavec leurs voisins. En particulier, nous souhai-tons qu’un consensus émerge sous forme d’étatd’alerte lorsque le taux de défaillance dépasseun certain seuil. Nous utilisons le modèle des au-tomates cellulaires pour proposer des solutionsdans le cas d’un réseau ayant une structure degrille. Nous comparons trois méthodes d’auto-organisation du réseau, en partie inspirées dephénomènes physiques ou biologiques. Commedomaine d’application, nous avons en vue les ré-seaux de capteurs ou tout système fonctionnantde manière décentralisée.Mots-clés : Émergence, auto-organisation, via-bilité ; résolution collective de problèmes ; dé-ploiement de SMA, résistance aux pannes, fiabi-lité

Abstract

We address the problem of detecting failures ina distributed network. If some components canbreak down over time, how can we detect that thefailure rate has exceeded a given threshold wi-thout any central authority? Our aim is to havean estimate of the global state of the network,only through local interactions of componentswith their neighbours. In particular, we wish toreach a consensus on an alert state when thefailure rate exceeds a given threshold. We usethe model of cellular automata in order to pro-pose solutions in the case of a network with agrid structure. We compare three methods of self-organisation that are partly inspired by physicaland biological phenomena. As an application,

we envision sensor networks or any type of de-centralised system.Keywords: Emergence, self-organisation, viabi-lity ; collective resolution of problems ; deploy-ment of MAS, reliability to failures, fiability

1 Diagnostic décentralisé

Nous nous intéressons ici à un réseau d’élémentstous identiques en interaction avec leurs voisinsimmédiats. Nous supposons que les élémentsdu réseau ont un état normal de fonctionnementet un état défaillant, lequel survient de manièrealéatoire et irréversible. Notre objectif est de dé-tecter de manière décentralisée le moment oùle taux d’éléments défaillants dépasse un seuilcritique fixé à l’avance. L’idée est de provoquerun changement de comportement global brutallorsque ce seuil d’éléments défaillants est atteint,soit en di�usant un état d’alerte spécifique, soiten créant un consensus global sur l’état des élé-ments.

Afin de traiter ce problème dans un cadre ma-thématique simple, nous explorons le cas où leréseau d’éléments en interaction peut être re-présenté par un automate cellulaire. Le réseauest donc formé par un ensemble d’agents immo-biles, les cellules, qui ont un état discret et sontdisposées sur une grille bidimensionnelle finie.Les cellules changent leur état à chaque pas detemps en fonction d’une loi, appelée règle detransition locale, qui est uniforme (les cellulessont toutes régies selon la même loi). La localitéde la loi exprime le fait que chaque cellule metà jour son état en fonction de son propre état etde celui des ses voisines immédiates.

Le cadre formel que nous utilisons rejoint celuides systèmes multi-agents réactifs, où les agentsprennent des décisions en disposant de très peude mémoire [11]. Ici, la structure de grille quenous avons choisie contraint fortement les inter-actions entre agents. Néanmoins, comme nous le

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JFSMA@PFIA 2019 96

verrons par la suite, nous avons sélectionné lesrègles que nous présentons pour leur robustesseà des modifications de topologies qui rendraientle réseau plus irrégulier. De plus, ce cadre trèssimple permet de faciliter la reproductibilité desexpériences. Nous avons e�ectué les simulationsà l’aide du logiciel FiatLux 1, mais le modèlepeut être reproduit très facilement par d’autresmoyens.

La conception d’un système qui réalise de ma-nière décentralisée et robuste un diagnostic pourdire si un taux critique de cellules défaillantes aété franchi à un moment donné est un problèmedi�cile. En e�et, nous travaillons dans un cadrequi conjugue trois contraintes fortes : a) loca-lité des échanges d’information, b) uniformitéde la règle de transition, c) petit nombre d’étatspour les cellules. Ces trois contraintes jointesimposent donc de ne pas calculer directement leratio du nombre de cellules défaillantes sur lenombre de cellules total. En e�et, un tel calculimposerait une centralisation, totale ou partielle,qui contredirait les contraintes du problème etserait en désaccord avec notre objectif, qui estd’avoir un fonctionnement robuste du système :si l’information était centralisée dans des noeudsparticuliers, la défaillance (ou l’attaque) de telsnoeuds pourrait mettre en danger l’ensemble dusystème.

En somme, le défi est de concevoir un sys-tème qui puisse se diagnostiquer lui-même touten subissant une détérioration : les cellules dé-faillantes ne peuvent changer d’état ou trans-mettre d’information. On peut comparer ce pro-blème à d’autres tâches comme la classificationde la densité [4], pour laquelle il s’agit de dé-terminer quel est l’état majoritaire sur une grillede cellules possédant un état binaire, en respec-tant les mêmes contraintes (localité, uniformitéde la règle de transition, petit nombre d’états).En e�et, il s’agit dans les deux cas d’obtenir demanière décentralisée un consensus sur une pro-priété globale du système. Ici, pour ne pas êtretrop éloignés des cas d’application réels, noussouhaitons également que notre système soit ro-buste à l’asynchronisme des mises à jour descomposants et qu’il ne soit pas spécifique à uneforme particulière du réseau. Ce type d’approchea jusqu’ici été très peu considéré ; un point devue similaire a cependant été adopté par Béné-zit, qui a proposé di�érents modèles d’obtentionde consensus sur des réseaux où circule une in-formation [1]. D’autres pistes de recherche se dé-veloppent également en vue de proposer des al-

1. http://fiatlux.loria.fr/

gorithmes totalement décentralisés, par exemplepour la maximisation de la couverture des ré-seaux de capteurs [12].

Dans cette optique, pensons au cas concret sui-vant : on dissémine un ensemble de capteurs surun grand territoire. Ceux-ci ont une durée defonctionnement limitée du fait de l’épuisementde leur batterie. On souhaite pouvoir détecterde manière totalement décentralisée, c’est-à-direpar un consensus, le moment où une fractiondonnée de ces capteurs ne fonctionne plus, envue de savoir quand il sera nécessaire d’interve-nir pour ajouter de nouveaux capteurs qui pour-ront les remplacer. Notre système de diagnosticvise à répondre à ce genre de problème.

Dans la partie 2, nous présentons le formalismeutilisé pour décrire nos modèles. Nous étudionsalors le fonctionnement de ces modèles et éva-luons leur adéquation au problème du diagnosticdécentralisé (parties 3, 4 et 5). Enfin, dans la par-tie 6 nous établissons une synthèse rapide de nosobservations et discutons des perspectives de cetravail.

2 Automates cellulaires

De manière informelle, on peut définir un au-tomate cellulaire comme un système composéd’une grille d’automates tous identiques, les cel-lules, ayant les caractéristiques suivantes :

1. Chaque cellule possède un état choisiparmi un ensemble fini d’états ; cet en-semble est noté Q.

2. À chaque itération, une cellule met à jourson état en fonction de son état courant etde celui de son voisinage, à l’aide d’unerègle de transition locale.

3. Toutes les cellules appliquent la mêmerègle de transition locale à chaque itéra-tion.

Un automate cellulaire est un cas particulierde système dynamique discret. Nous nous re-streignons ici au cas des grilles bidimension-nelles. L’espace des cellules est défini par L ={1, . . . , n}⇥{1, . . . ,m} pour une grille de taille(n, m) (avec n,m 2 N⇤).

Une configuration est un élément de C = QL,qui représente l’état de toutes les cellules de lagrille à un moment donné.

Le voisinage V (c) d’une cellule c 2 L estun sous-ensemble fini de la grille, qui repré-sente l’ensemble des cellules dont l’état est

N. Gauville, I. Marcovici, N. Fatès

97 JFSMA@PFIA 2019

(-1,0) (1,0)

(0,-1)

(0,1) (1,1)(-1,1)

(1,-1)(-1,-1)

F�� 1 – Voisinagede Moore (celluleconsidérée entouréeen rouge, voisines ha-churées en bleu).

pris en compte par la règle de transition lo-cale de l’automate cellulaire. Dans cet article,nous utiliserons le voisinage de Moore, avecla convention que la cellule centrale n’est pasincluse dans le voisinage (cf. figure 1) : onpose VM = {�1, 0, 1}2 \ {(0, 0)} et le voisi-nage V (c) de la cellule c 2 L est défini parV (c) = {c + (i, j) : (i, j) 2 VM} \ L. Aveccette définition, les cellules du bord ont un voi-sinage de taille plus petite. Les fonctions localesque nous introduisons sont bien définies pour lescellules du bord, puisqu’elles dépendent seule-ment des nombres de voisines dans chaque état.

Règle de transition locale f

Dans cette étude, nous nous restreignons au casoù la règle de mise à jour des cellules est dela forme f : Q ⇥ NQ

�! Q : la fonction detransition locale f prend en entrée l’état courantde la cellule considérée ainsi que le nombre decellules voisines se trouvant dans chacun desétats de Q. Les règles de cette forme sont ditestotalisantes-externes (outer-totalistic).L’application de cette règle de transition localese fait en utilisant une fonction intermédiaire quicompte le nombre de cellules du voisinage quisont dans un état donné :⌘ : C ⇥ L �! NQ

(x, c) 7�! (|{c0 2 V (c); xc0 = q}|)q2Q.

Fonction de transition globale �

Le système dynamique final est donc obtenu àl’aide de la fonction de transition globale � :C �! C, qui associe une configuration de C

à chaque configuration, après application de larègle de transition locale à toutes les cellules.Elle est définie par :� : C �! C

x 7�! y tel que 8c 2 L, yc = f(xc, ⌘(x, c)).

Nous noterons x0 la configuration initiale (cor-respondant au temps zéro), puis pour t > 0,xt+1 = �(xt).

3 Règle de Greenberg-Hastings

Notre point de départ est de chercher une règlelocale simple dont la propriété principale soit defaire vivre une « onde » sur le réseau qui se figesi le nombre de cellules défaillantes est trop im-portant (voir figure 3). De telles propriétés ontdéjà été observées dans une version probabilistede la règle de Greenberg-Hastings : ce modèlepermet de modéliser simplement la propagationde vagues excitatrices à travers une grille de cel-lules (voir ref. [2] et les références ci-incluses).

L’ensemble des états est défini par Q ={N, E, R}, où N représente l’état neutre, E l’étatexcité, et R l’état réfractaire. L’évolution est ré-gie par une règle locale f qui prend en argumentl’état de la cellule et le nombre nE de cellulesvoisines dans l’état excité, et est définie de lamanière suivante : une cellule neutre qui possèdeau moins un voisin dans l’état excité devient ex-citée avec probabilité p⌧ , elle reste neutre sinon.Une cellule excitée devient toujours réfractaireet une cellule réfractaire devient toujours neutre.Cette règle est formalisée figure 2. Notons queles cellules défaillantes ne changent plus d’étatet n’interviennent pas dans les transitions desautres états.

Il est connu que les propriétés de di�usion decette onde dépendent fortement de la valeur dela probabilité de transmission p⌧ : en dessous-d’un seuil critique, les ondes disparaissent bru-talement [10, 2, 9]. C’est cette propriété dite detransition de phase qui nous permet ici de dé-clencher l’alerte : le changement brutal de com-portement induit un changement qui nous permetde réaliser notre diagnostic décentralisé.

3.1 Mécanisme d’alerte

La problème central qui se pose à nous est doncde pouvoir distinguer, de manière locale, lesdeux phases du système, c’est-à-dire la présenceou l’absence d’une onde formée d’état excitéssur la grille.

En utilisant l’automate cellulaire de Greenberg-Hastings, notre approche consiste à introduire unautomate cellulaire ayant la propriété suivante :les cellules changent d’état d’autant moins sou-vent qu’il y a de cellules défaillantes. Plus préci-sément, s’il y a peu de cellules défaillantes, lescellules restent actives, ce qui signifie que leurétat change fréquemment lorsque la règle locales’applique. À l’inverse, la présence de cellulesdéfaillantes dans une zone donnée de la grille


JFSMA@PFIA 2019 98

État N : Si nE > 1, alors f(N, nE) =

⇢E avec probabilité p⌧N avec probabilité 1� p⌧

si nE = 0, alors f(N, nE) = NÉtat E : f(E, nE) = RÉtat R : f(R, nE) = N

F�� 2 – Règle deGreenberg-Hastings

aura tendance à faire baisser l’activité des cel-lules. Nous utilisons donc un compteur d’inacti-vité, qui permet de faire en sorte qu’une cellulerestée inactive durant un trop grand nombre demises à jour se place dans un état spécifiqued’alerte. Cet état se propage alors à son tour deproche en proche sur l’ensemble de la grille.

Cette méthode possède l’avantage de fonction-ner en mode « tout ou rien » : l’état d’alerte esttotalement absent de la grille tant qu’il n’a pasété produit en un lieu donné, puis il se propageen uniformisant les états des cellules.

Pour préciser les choses, notons xti,j l’état de la

cellule (i, j) 2 L au temps t. Les valeurs ducompteur sont comprises entre 0 et une valeurmaximale Tmax. À chaque pas de temps, lors-qu’une cellule change d’état, son compteur estremis à 0, tandis que si elle ne change pas d’état,son compteur augmente. Lorsque la valeur maxi-male Tmax est dépassée, le compteur de la celluleprend un état de signalement spécial noté S. Cetétat S se maintient jusqu’à un éventuel change-ment d’état de xt

i,j . Si une cellule a au moinsquatre voisines dans l’état de signalement S, ellepasse dans l’état d’alerte A, qui se propage en-suite sur la grille.

L’ajout de cet état intermédiaire de signalementSpermet de s’assurer qu’il y a une zone contenantplusieurs cellules inactives contiguës avant dedéclencher une alerte, ce qui permet d’être moinssensible à une anomalie localisée.

Considérons une cellule (i, j) 2 L, et notonsntA(i, j) et nt

S(i, j) le nombre de cellules voisinesde la cellule (i, j) qui sont au temps t dans l’étatd’alerte A et de signalement S, respectivement.L’état ⌧ t+1

i,j du compteur de la cellule (i, j) autemps t+ 1 est alors défini de manière formelledans la figure 4.

3.2 Test du modèle

Nous commencerons par nous intéresser au casde l’apparition progressive des défaillances aucours du temps, en mesurant l’évolution des dif-

férentes cellules. Ensuite, nous nous intéresse-rons au cas statique où les grilles sont initiali-sées avec un taux fixe de cellules défaillantes.Dans ces expériences, nous mesurerons la pro-babilité pA qu’une grille initialisée avec une den-sité de cellules défaillantes donnée se place enétat d’alerte après un certain nombre de pas detemps.

Dans un premier temps, nous nous plaçons doncdans le cas où les défaillances apparaissent demanière aléatoire uniforme : à chaque pas detemps, chaque cellule a une probabilité pdef =5.10�5 de devenir défaillante. La figure 5 pré-sente l’évolution de la densité de cellules en étatd’alerte et la densité de cellules défaillantes aucours du temps. Les densités des états d’alertesont relatives au nombre de cellules non dé-faillantes.

On constate que la densité relative de cellulesen état d’alerte passe brutalement de 0 à 1, dufait de la propagation de l’état d’alerte. Lors-qu’on reproduit l’expérience, on constate que laproportion de cellules défaillantes présentes aumoment où ce saut se produit varie faiblement.Ce modèle répond donc au problème posé dansla mesure ou nous atteignons bien un état d’alertequi se présente sous forme d’un consensus gé-néral sur l’état des cellules.

Examinons maintenant comment le seuil varieen fonction du paramètre du modèle p⌧ . Pourcela, nous nous plaçons désormais dans un casstatique où les défaillances sont fixées une foispour toutes. Initialement chaque cellule peut êtredéfaillante avec probabilité dD, ou non défaillanteauquel cas son état initial est tiré avec équipro-babilité parmi les états E, N, R. Pour estimerla position du seuil en fonction du paramètredu modèle, nous e�ectuons, pour une valeur dedD fixée, Z tests, dans lesquels nous faisons évo-luer ces configurations initiales pendant T pas detemps. Nous notons pAT (dD), la proportion desZ échantillons pour lesquels au bout de T pasde temps, la densité relative de cellules en étatd’alerte dépasse 95%. Ce seuil peut être choisiarbitrairement proche de 100% mais nous avonssouhaité éviter cette valeur limite de façon à ce


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t = 4 t = 5 t = 0

t = 56 t = 107 t = 25

t = 70 t = 126 t = 50

Greenberg-Hastings RGB QuorumD

ExcitéeRéfractaireNormale Normale

AlerteNormale

F�� 3 – Représentation de configurations typiques pour les trois modèles proposés. Les cellulesdéfaillantes sont en noir. Sur les modèles Greenberg-Hastings et RGB, l’état d’alerte qui se propageest représenté en violet, l’état de signalement en jaune ; sur le modèle QuorumD, l’état d’alerte est enrouge.

que la présence de quelques cellules isolées res-tées à l’état normal ne perturbe pas la mesure.

Les résultats de l’expérience présentés figure 9nous montrent que nous pouvons ajuster le seuilde cellules défaillantes détecté avec le para-mètre p⌧ .

3.3 Cas de l’asynchronisme

Nous avons supposé jusqu’ici que la règle locales’appliquait de manière synchrone, c’est-à-dire,que toutes les cellules étaient mises à jour simul-tanément. Cependant, nous souhaitons que notre


JFSMA@PFIA 2019 100

Si ntA(i, j) � 1 ou ⌧ ti,j = A, alors ⌧ t+1

i,j = A (propagation de l’état d’alerte),sinon si nt

S(i, j) � 4, alors ⌧ t+1i,j = A (apparition de l’état d’alerte),

sinon si xt+1i,j 6= xt

i,j, alors ⌧ t+1i,j = 0,

sinon si xt+1i,j = xt

i,j, alors ⌧ t+1i,j =

⇢⌧ ti,j + 1 si ⌧ ti,j < Tmax

S sinon.

F�� 4 – Règle de propagation de l’alerte

0 1,000 2,000 3,000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

dens

ités

dD(xt) dA(xt) (RGB)dA(xt) (GH) dA(xt) (QuorumD)

F�� 5 – Évolution des densités de cellulesdéfaillantes et en alerte pour les modèles RGB,Greenberg-Hastings (p⌧ = 0, 31) et QuorumD(� = 5), sur des grilles de 100 ⇥ 100 cellules.Les paramètres des trois modèles ont été choisispour aligner les seuils de cellules défaillantes dé-tectés. Les trois modèles passent en état d’alerteaprès un certain nombre d’itérations.

méthode de diagnostic soit robuste à l’asynchro-nisme pour permettre au système de fonctionneren l’absence d’une horloge centralisée. En e�et,dans le cas d’applications pratiques comme desréseaux de capteurs, il est préférable de ne passupposer une synchronisation parfaite des tran-sitions [3].

Notre prochaine expérience a donc pour butd’évaluer la robustesse du modèle à l’asynchro-nisme. Pour ce faire, nous appliquons une mé-thode de mise à jour dite ↵-asynchrone [6] : lorsde chaque itération de la fonction de transitionglobale, chaque cellule est mise à jour avec uneprobabilité ↵, et laissée dans son état avec pro-babilité 1� ↵.

La figure 10 reproduit l’expérience précédente(avec une valeur fixe des paramètres) en faisantvarier le taux de synchronisme ↵. On constateque pour ce modèle, le seuil se déplace forte-ment. Par conséquent, si la façon dont les élé-ments sont mis à jour dans le système varie aucours du temps, il se produira aussi un déplace-ment de la valeur du seuil de détection. Ce mo-dèle n’est donc pas robuste à l’asynchronisme.Nous allons donc chercher une règle robuste àl’asynchronisme.

4 Modèle RGB

Comme le modèle de Greenberg-Hastings, lemodèle RGB que nous allons présenter a la pro-priété d’adopter deux comportements radicale-ment di�érents en fonction du taux de cellulesdéfaillantes présentes sur la grille.

4.1 Présentation du modèle

Nous introduisons maintenant une nouvellerègle, également à trois états, mais pour laquellela fonction de transition locale présente davan-tage de symétrie par rapport à ces trois états. Ils’agit d’un nouveau modèle, qui peut cependantrappeler la famille des automates cycliques, pourlesquels la règle locale fait changer les états descellules en suivant un ordre pré-déterminé [7, 8].La règle utilise trois états : Q = {R,G,B}.Soit q l’état courant d’une cellule, on note q+

l’état suivant dans le cycle R-G-B (cf. figure 7),nq+ le nombre de voisins dans cet état, et nD lenombre de voisines défaillantes. La règle localeconsiste à passer à l’état q+ de manière certainesi on a au moins trois voisines dans l’état q+, etavec une probabilité ptr si on a seulement deuxvoisines dans l’état suivant. L’état courant estconservé dans les autres cas. La règle est donnéeformellement dans la figure 6. À nouveau, lescellules défaillantes ne peuvent changer d’étatet n’interviennent pas dans les transitions desautres états.


101 JFSMA@PFIA 2019

f : Q⇥ N3�! Q

Si nq+ > 3, f(q;nR, nG, nB) = q+

si nq+ = 2, f(q;nR, nG, nB) =

⇢q+ avec probabilité ptrq avec probabilité 1� ptr

si nq+ 6 1, f(q;nR, nG, nB) = q.

F�� 6 – Règle RGB

R G

B

F�� 7 –Transitionspossibles del’automate RGB.

4.2 Expériences

De même que pour le modèle de Greenberg-Hastings, le modèle RGB voit son activité dimi-nuer lorsque le nombre de cellules défaillantesaugmente, ce qui permet de déclencher l’alerteau bout d’un certain temps (voir figure 5). Nousreprenons le même mécanisme que précédem-ment pour déclencher l’alerte, on peut donc ànouveau détecter un seuil de cellules défaillantestrop important. Ici, c’est ptr qui va nous servir àrégler le moment où l’alerte se déclenche. La fi-gure 9 reprend le même protocole expérimentalque pour Greenberg-Hastings (état initial équi-probable, même temps de mesure, même nombred’échantillons) et donne des résultats similaires.

Qu’en est-il de la robustesse à l’asynchronisme?Nous constatons sur les résultats présentés fi-gure 10 que cette fois, le seuil détecté ne varieplus en fonction du taux de synchronisme ↵.Nous avons donc un net avantage à choisir cetterègle dans un contexte où le mode de mise à jourdes cellules n’est pas connu à l’avance.

4.3 Problème du passage à l’échelle

La contrepartie de ce fonctionnement en modebinaire est ce que nous appelons le problèmedu passage à l’échelle : si une petite partie dela grille reste inactive su�samment longtempspour déclencher l’état d’alerte, et ce même sile taux de cellules défaillantes à détecter n’estpas encore atteint, l’alerte sera déclenchée par-tout. Ceci peut se produire notamment dans lecas où des cellules défaillantes apparaissent trèsproches les unes des autres et coupent une zonede cellules du reste de la grille. La probabilitéque ce cas de figure arrive est d’autant plusgrande que la taille de la grille est grande, cequi interdit donc un passage à l’échelle de la mé-

thode. Nous proposerons donc d’autres solutionsne présentant pas ce problème.

5 Méthode QuorumD

Nous cherchons ici à trouver une solution dontles propriétés de déclenchement d’alerte soientindépendantes de la taille de la grille. Pour cela,nous abandonnons le mécanisme précédent depropagation d’alerte et nous considérons un étatd’alerte qui peut apparaître et disparaître locale-ment.

En dessous du seuil critique, l’état d’alerte estprésent de manière partielle ; au-dessus du seuilcritique, un consensus global s’établit et l’étatd’alerte envahit totalement la grille.

5.1 Présentation du modèle

Idéalement, nous souhaitons obtenir une règlede transition possédant les caractéristiques sui-vantes :

— Une cellule dont toutes les voisines sonten état d’alerte ou défaillantes passe enétat d’alerte (c1).

— Une cellule dont toutes les voisines sonten état normal passe à l’état normal (c2).

— Dans le cas contraire, la cellule passe enétat d’alerte avec une probabilité d’autantplus grande que le nombre de cellulesvoisines en état d’alerte ou défaillantesest grand (c3).

Nous avons essayé di�érentes formes de fonc-tions pour définir la probabilité de passer à l’étatd’alerte. Nous avons constaté que des règles re-posant sur des combinaisons linéaires du nombrede cellules dans chaque état ne permettent pasd’obtenir de comportement satisfaisant. La règleque nous présentons ici est inspirée des modèlesutilisés en physique statistique et en biologie.Par analogie avec le phénomène de détection dequorum (quorum sensing) présent dans les popu-lations de bactéries, nous l’appelons QuorumD.L’obtention de l’état d’alerte est réglé par un pa-ramètre � qui permet de faire varier le taux de


JFSMA@PFIA 2019 102

f : Q⇥ NQ�! Q

Si nN = 0, f(q;nA, nN, nD) = A (c1)Si nA = nD = 0, f(q;nA, nN, nD) = N (c2)

Sinon, f(q;nA, nN, nD) =

8><

>:

N avec probabilité e�nNS

e�nNS +e�

nA+nDS

A avec probabilité e�nA+nD

S

e�nNS +e�

nA+nDS

(c3)

avec S = nN + nA + nD.

F�� 8 – Règle sans propagation (QuorumD).

cellules défaillantes à détecter. Une version for-melle de cette règle est donnée sur la figure 8.

5.2 Test du modèle

La figure 5 présente l’évolution des densités decellules défaillantes et de cellules en état d’alerteau cours du temps. Nous constatons que l’étatd’alerte commence par coexister avec l’état nor-mal en gardant une densité faible, puis lorsque letaux de cellules défaillantes devient trop grand,il prend le dessus pour envahir la grille. On peutdonc parler ici d’un comportement émergent, ausens où l’état global d’alerte résulte ici d’uneprise de décision véritablement décentralisée.Ceci rend la règle non seulement robuste à unchangement de la taille de la grille, mais aussi àune concentration atypique de défauts à un en-droit de la grille.

Nous souhaitons maintenant savoir dans quellemesure nous pouvons fixer le seuil de cellulesdéfaillantes à détecter en changeant la valeur duparamètre �. La figure 9 nous montre que ceparamètre permet bien de régler le seuil de cel-lules défaillantes à détecter. De plus, le passaged’un état sans alerte à un état d’alerte se fait demanière plus précise en fonction du nombre decellules défaillantes.

5.3 Résistance à l’asynchronisme

Comme pour les autres modèles, nous faisonsvarier le taux de synchronisme. La figure 10 pré-sente la variation du déclenchement de l’alerteen fonction de ce taux : on observe une excel-lente robustesse du système à ces variations. Ceciest particulièrement encourageant dans la pers-pective d’utiliser ce modèle dans des situationsconcrètes.

5.4 Robustesse au changement d’échelle

Rappelons que nous cherchons à trouver unerègle qui permette de détecter un seuil de dé-faillance fixé, même lorsque la taille du réseauvarie. Par exemple, dans le cas des réseaux decapteurs, il arrive que de nouveaux capteurssoient ajoutés au réseau après le déploiementinitial de celui-ci.

La figure 11 montre que les modèles deGreenberg-Hastings et RGB ont tendance à dé-clencher l’alerte plus tôt pour une taille de grilleplus grande. En e�et, plus la grille est grandeet plus la probabilité qu’une zone ou les dé-faillances sont localement nombreuses provoquel’alerte en dessous du seuil est grande. En re-vanche, le modèle QuorumD a l’avantage d’avoirun comportement indépendant de la taille de lagrille : les mesures de pA ne varient pas lors dupassage à l’échelle, ce qui montre que le passagedans l’état d’alerte généralisé résulte bien d’unconsensus décentralisé.

6 Synthèse

Nous avons présenté une méthode de diagnos-tic décentralisé à l’aide d’automates cellulairesayant des règles de transition simples et uti-lisant peu d’états. Ceci nous permet d’envisa-ger des applications concrètes où cet automatecellulaire fonctionne en parallèle du système àdiagnostiquer, tout en étant économe en quan-tité de calcul et en mémoire. Nous avons explorédeux approches di�érentes : la di�usion d’un étatd’alerte (modèles Greenberg-Hastings et RGB),et l’obtention d’un consensus décentralisé (mo-dèle QuorumD). Les trois modèles présentéssemblent être des solutions adéquates au pro-blème du diagnostic décentralisé, ayant chacuneun comportement di�érent en réponse à di�é-rentes perturbations. Les modèles de Greenberg-


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0 5 · 10�2 0.1 0.14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

dD

p A

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dD

p A

p⌧ = 0, 33p⌧ = 0, 35p⌧ = 0, 37

ptr = 0, 03ptr = 0, 05ptr = 0, 07

� = 5� = 10� = 50

F�� 9 – Mesure de pA pour di�érents paramètres de seuil d’alerte (mesures e�ectuées sur desgrilles de 100⇥ 100 cellules sur une moyenne de Z = 100 tests).


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p A

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dD(x0)

p A

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0

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dD(x0)

p A

↵ = 1, 0 ↵ = 0, 8 ↵ = 0, 6

F�� 10 – Mesure de pA pour di�érents taux de synchronisme (mesures e�ectuées sur des grilles de100⇥ 100 cellules sur une moyenne sur 20 tests, � = 10, p⌧ = 0, 35, ptr = 0, 02).

Hastings et RGB ont l’avantage de ne pas faireapparaître d’état d’alerte en dessous du seuil àdétecter, mais cette méthode interdit le passageà l’échelle direct (sans réajuster les paramètres).En revanche, même si le modèle QuorumD faitapparaître l’état d’alerte de manière plus pro-gressive, il possède l’avantage d’être plus précisdans la détection du seuil de cellules défaillantes,d’être plus facile à paramétrer, et d’être plus ro-buste aux changements de mise à jour (asynchro-nisme). De plus, il est le seul des trois modèlesà être robuste au changement d’échelle.

Le travail présenté d’ici est une première étudemontrant la pertinence des automates cellulairesen vue de réaliser un diagnostic décentralisé.L’espace des règles étant gigantesque, notre tra-vail d’exploration doit être poursuivi afin demieux cerner les possibilités de solution au pro-blème. Les expériences mériteraient égalementd’être approfondies, notamment en s’intéressantaux écart-types des valeurs obtenues.

Nous souhaitons désormais a�ner notre com-préhension des di�érents éléments entrant encompte dans la dynamique des automates cel-lulaires : l’influence du voisinage, du nombred’états, de la forme des règles de transition, etc.En e�et, il est di�cile de prédire les di�érentscomportements émergents observés et d’isolerles rapports entre les di�érents paramètres et lecomportement global du système. Par ailleurs,d’autres types de défaillances sont envisageableset il serait intéressant de comparer l’e�et denos modèles d’auto-diagnostic distribué dans cescontextes.

Pour être en mesure d’appliquer ces méthodessur le terrain, la prochaine étape sera d’exami-ner ces méthodes sur des topologies non régu-lières [5]. La forme des règles proposées ici aété choisie pour être aussi robuste que possibleaux changements de topologie et des expériencespréliminaires ont montré des résultats encoura-geants sur des topologies irrégulières [9]. En-


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p A

l = 100 l = 200

F�� 11 – Mesure de pA pour di�érents taux de cellules défaillantes sur di�érentes tailles de grilles(l ⇥ l) après 2000 itérations (moyenne sur 20 tests, � = 10, p⌧ = 0, 35, ptr = 0, 02).

fin, notons que les méthodes de transmission del’information par automates cellulaires peuvents’intégrer dans des systèmes multi-agents réac-tifs. On peut par exemple imaginer des situationsoù les agents tirent profit des informations deleur environnement pour localiser les zones oùse trouvent le plus de défaillances et y engagerdes procédures de réparation.

Références[1] Florence B��, Patrick T�� et Mar-

tin V�� : Interval consensus : Fromquantized gossip to voting. In Proceedingsof the IEEE International Conference onAcoustics, Speech, and Signal Processing,ICASSP’09, pages 3661–3664, 2009.

[2] Hugues B�� et Nazim F�� : Robust-ness of the critical behaviour in the stochas-tic Greenberg-Hastings cellular automatommodel. Int. Journ. of Unconventional Com-puting, 7:65–85, 2011.

[3] Olivier B�� : Le simple est-il robuste?une étude de la robustesse des systèmescomplexes par les automates cellulaires.Thèse de doctorat, Université de Lorraine,2013. Université de Lorraine.

[4] Ana B��, Nazim F��, Jean M��et Irène M�� : Density classificationon infinite lattices and trees. Electron. J.Probab., 18:no. 51, 22, 2013.

[5] David W. C��, Peter S. K�� etBrian J. M�� : Constraints and ap-proaches for distributed sensor networksecurity (final). DARPA Project re-port,(Cryptographic Technologies Group,Trusted Information System, NAI Labs),1(1), 2000.

[6] Nazim F�� : A guided tour of asynchro-nous cellular automata. Journal of CellularAutomata, 9(5-6):387–416, 2014.

[7] Robert F�� : Cyclic cellular automata andrelated processes. Physica D : NonlinearPhenomena, 45(1):19 – 25, 1990.

[8] Robert F��, Janko G�� et DavidG�� : Cyclic Cellular Automata inTwo Dimensions, pages 171–185. Birkhäu-ser Boston, Boston, MA, 1991.

[9] Nicolas G�� : Système robuste dediagnostic décentralisé à l’aide d’auto-mates cellulaires simples. Rapport tech-nique, septembre 2018.

[10] Leonardo I. R�� : Greenberg-Hastingsdynamics on a small-world network : thecollective extinct-active transition. arXivpreprint arXiv :1505.00182, 2015.

[11] Antoine S��, Nazim F�� et Oli-vier S�� : Translating discrete multi-agents systems into cellular automata : Ap-plication to di�usion-limited aggregation.In Joaquim F��, Ana F�� et Berna-dette S��, éditeurs : Proc. of ICAART2009 : Agents and Artificial Intelligence,pages 270–282. Springer Berlin Heidel-berg, 2010.

[12] Antonina T��, Franciszek S��-�� et Pascal B�� : Graph cellularautomata approach to the maximum life-time coverage problem in wireless sensornetworks. SIMULATION, 92(2):153–164,2016.


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diagnostic décentralisé à l’aide d’automates cellulaires

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