devoirs -2010/2011

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

1/67

Devoirs MPSI2

R. Mansuy

2009-2010

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

2/67

MPSI2 Devoir 1 R. Mansuy

Problème I – Anneaux de Boole

Un anneau de Boole est un ensemble A muni de deux lois de composition internes⊕ et ⊗ tel que(i) ⊕ est associative, commutative, admet un élément neutre, noté 0A et telle que

tout élément de A admet un symétrique pour ⊕(ii) ⊗ est associative et admet un élément neutre distinct de 0A, noté 1A.(iii) ⊗ est distributive par rapport à ⊕.(iv) ∀x ∈ A, x ⊗ x = x.

Partie A – Anneau de Boole à deux éléments

Munissons l’ensemble B = {0, 1} des lois + et × définies par les tables suivantes :+ 0 1

0 0 11 1 0

× 0 10 0 01 0 1

Vérifier que (B, +, ×) est un anneau de Boole.Peut-on construire un anneau de Boole à deux éléments distinct de celui-ci ?

Partie B – Différence symétrique et réunion

Soit E un ensemble non-vide. On rappelle que la différence symétrique de deuxparties A et B de E est définie par A∆B = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A).

1. Vérifier rapidement que ∆ est commutative. Est ce que ∆ admet un élémentneutre ?

2. Montrer que, pour tout A, B ∈ P (E ),

A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ B).

3. Montrer que ∩ est distributive sur ∆.

4. Conclure que (P (E ), ∆, ∩) est un anneau de Boole.On admettra les propriétés d’associativité.

Partie C – Propriétés générales d’un anneau de Boole

Considérons un anneau de Boole (A, ⊕, ⊗).1. (a) Montrer que pour tout x ∈ A, x ⊗ 0A = 0A et x ⊕ x = 0A.

(b) Déterminer le symétrique des éléments de A pour ⊕.(c) En déduire que la loi ⊗ est commutative.

2. (a) Simplifier l’expression x ⊗ y ⊗ (x ⊕ y) pour tout x, y ∈ A.(b) En déduire que si A = {0A, 1A}, alors il existe x et y différents de 0A

tels que x ⊗ y = 0A.3. Considérons la relation binaire ≺ sur A définie par x ≺ y si et seulement si

x = x ⊗ y.(a) Montrer que ≺ est une relation d’ordre.(b) Montrer que, pour tout x, y ∈ A, sup{x, y} = x⊗y⊕x⊕y puis déterminer

inf {

x, y}

à l’aide des lois⊕

et⊗

.

Problème II – Théorème de Cantor Bernstein

Soit E et F deux ensembles non vides tels qu’il existe une injection f de E dans F ,et une injection g de F sur E .Posons h = g ◦ f et considérons les ensembles

A = h(E ) ,B = g(F ) \ A ,C = E \ (A ∪ B) ,

∀i ∈ N,

Ai = hi(A) ,

Bi = hi(B) ,C i = hi(C ) .

et enfin A = i∈NA

i, B = Ai∈NB

i et C = i∈NC

i.

Partie A – Préliminaires

1. Montrer que h est injective.

2. (a) Montrer que, si B = ∅, alors f est surjective.

(b) Montrer que, si C = ∅, alors g est surjective.

(c) Conclure que si B ou C est l’ensemble vide, alors il existe une bijectionentre E et F .

Dans la suite du problème, on suppose que B et C sont non vides.

Partie B – Partitions de E

1. Soit ϕ une application injective de E dans lui-même. Démontrer que(ϕ(A), ϕ(B), ϕ(C )) est une partition de ϕ(E ).

2. Pour tout i ∈ N, démontrer que (Ai+1, Bi+1, C i+1) est une partition de Ai.3. Démontrer que, pour tout n ∈ N, la famille (An, B0, . . . , Bn, C 0, . . . , C n) est

une partition de E .

4. Montrer que :

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

3/67


si A = ∅, alors la famille (A, B0, . . . , Bn, . . . , C 0, . . . , C n, . . .) est une par-tition de E

si A = ∅, alors la famille (B0, . . . , Bn, . . . , C 0, . . . , C n, . . .) est une partitionde E

Partie C – Construction d’une bijection

Définissons l’application ψ définie par ψ(x) = x si x ∈ B,

h(x) si x ∈ C .1. Vérifier que ψ est une application de E dans E .

2. Démontrer que ψ(E ) = A ∪ B, puis que la corestriction de ψ à A ∪ B est unebijection.

3. Soit x ∈ E . Montrer que ψ(x) admet un unique antécédent par g, que l’onnotera θ(x).

4. Montrer que θ est une bijection de E dans F .

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

4/67

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

5/67


Problème II – Châınes et antichâınes

Soit E un ensemble de cardinal n > 0. Une chaı̂ne de E est un ensemble de parties de E totalement ordonné pour

l’inclusion. Une antichaı̂ne de E est une ensemble de parties de E qui ne sont pas com-

parables deux à deux pour l’inclusion. Une châıne (resp. une antichâıne) est dite maximale si elle n’est pas stricte-

ment incluse dans une chaı̂ne (resp. une antichaı̂ne).

Partie A – Inégalité (Bollobas)-Lubell-Yamamoto-Meshalkin

1. Donner toutes les chaı̂nes maximales de l’ensemble {a,b,c}.2. (a) Montrer que le nombre de châınes maximales de E est n!.

(b) En déduire le nombre de chaı̂nes maximales contenant une partie A ⊂ E de cardinal k.

3. Soit A et B deux parties d’une antichaı̂ne de E . Montrer que A et B n’ap-partiennent pas à une même chaı̂ne de E .

4. Considérons une antichaı̂ne de E et notons ak le nombre de parties de cardinalk de cette antichaı̂ne. Montrer que

nk=0

akk!(n − k)! ≤ n!.

Partie B – Théorème de Sperner

L’objectif de cette partie consiste à déterminer C n, le plus grand cardinal d’uneantichaı̂ne maximale de E .

1. Montrer que C n

≥ n

n

2 .2. (a) Justifier que, pour tout k ∈ [[1, n]], nk ≤ nn2 .

(b) En util isant l ’inégalité démontrée à la partie A, montrer que C n ≤n

n2

.

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

6/67


Problème I – Dénombrement des dérangements

Partie A – Dénombrement des surjections

Notons S n,p le nombre de surjections de [[1, n]] dans [[1, p]].

1. (a) Calculer S n,p pour p > n, puis pour les cas particuliers p ∈ {1, 2, n}.(b) Calculer S p+1,p.

2. (a) Montrer que pkkq = pq p−qk−q pour q ≤ k ≤ p.(b) En déduire que, si 0 ≤ q < p, alors

pk=q

(−1)k pkkq = 0.3. Supposons désormais p ≤ n.

(a) Démontrer (par un raisonnement combinatoire) pn = pq=1

pq

S n,q.

(b) En déduire que S n,p = (−1) p pk=1

(−1)k pkkn.(c) En déduire que si p ≥ 2, alors S n,p = p(S n−1,p + S n−1,p−1).

Montrer que S p+2,p =p(3 p+1)

24 ( p + 2)!.

Partie B – Dénombrement des dérangements

Un dérangement de [[1, n]] est une bijection de [[1, n]] dans [[1, n]] sans point fixe.Notons dn le nombre de dérangements de [[1, n]]. Par convention, d0 = 1.

1. Démontrer que n! =nk=0

nk

dk.

2. En déduire que dn = (−1)nnk=0

(−1)knkk!.Problème II – Dénombrement de partitions

Partie A – Partitions

Une partition de [[1, n]] est une famille de parties de [[1 , n]] non-vides, deux à deuxdisjointes et de réunion égale à [[1, n]]. Notons Bn le nombre de partitions de [[1, n]]et posons, par convention, B0 = 1.Une k-partition de [[1, n]] est une famille de k parties de [[1, n]] non-vides, deux àdeux disjointes et de réunion égale à [[1, n]]. Notons Bn,k le nombre de k-partitionsde [[1, n]].Par exemple, les trois parties {1, 8}, {2, 3, 4, 5, 6, 9} et {7} forment une 3-partitionde [[1, 9]].

1. Déterminer toutes les partitions de [[1, 3]].

2. Préciser les valeurs de B1, B2 et B3.

3. (a) Déterminer les valeurs de Bn,1, Bn,2, Bn,n−1, Bn,n et Bn,k pour n ≥ 1et k > n.

(b) Pour tout n > 1 et k ∈ [[1, n]], calculer Bn,k en fonction de Bn−1,k etBn−1,k−1.

4. Soit n ≥ 2.(a) Soit A une partie de [[1, n]] telle que n ∈ A et card A = k + 1 avec

k ∈ [[0, n − 1]].Dénombrer les partitions de [[1, n]] contenant A.

(b) En déduire la relation suivanteBn =n−1k=0

n−1k

Bk.

5. Exprimer, pour tout n ∈ N∗, Bn en fonction de (Bn,k)k∈[[1,n]].

Partie B – Partitions creuses

Une partition creuse de [[1, n]] est une partition de [[1, n]] telle qu’aucune partiene contient deux entiers consécutifs. Notons C n le nombre de partitions creusesde [[1, n]].Une k-partition creuse de [[1, n]] est une k-partition de [[1, n]] qui est une partitioncreuse. Notons C n,k le nombre de k-partitions creuses de [[1, n]].Par exemple, les trois parties {1, 3, 6, 8}, {2, 5, 9} et {4, 7} forment une 3-partitioncreuse de [[1, 9]].

1. Soit n ≥ 2.(a) Calculer C n,2 puis vérifier que C n,2 = Bn−1,1.

(b) Montrer que, pour tout k ∈ [[3, n]], on aC n,k = C n−1,k−1 + (k − 1)C n−1,k.

(c) En déduire que C n,3 = 2n−2 − 1 = Bn−1,2.

(d) Conclure que C n,k = Bn−1,k−1 pour tout k ≥ 2.2. Montrer que C n = Bn−1 pour tout n ≥ 2.

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

7/67


Probl̀eme – Études de cocyclicité

Une homographie est une application qui a un complexe z associe az+bcz+d avec a, b,c et d des complexes tels que c = 0 et ad − bc = 0. Cette application est définiesur C \ {−d/c} et le complexe −d/c est appelé pôle de l’homographie.

Partie A – Similitudes directes et homographies du plan com-plexe ”étendu”

Soit ∆ /∈ C. Le plan complexe ”étendu” sera l’ensemble C ∪ {∆}. Si f est une similitude directe, on étend f à C ∪ {∆} par f (∆) = ∆. Si h est une homographie de la forme h(z) = az+bcz+d , on étend h à C∪ {∆} par

h(−d/c) = ∆, h(∆) = a/c.Notons H l’ensemble des homographies et des similitudes directes du plan”étendu”.

1. Montrer que la composition ◦ est une loi de composition interne de H.Indication: on pourra remarquer qu’un élément de H est une application dela forme z → az+bcz+d avec ad − bc = 0.

2. Montrer que (H, ◦) est un groupe. Est-il abélien ?3. Déterminer (α, β ) ∈ C2 tel que

∀z = −dc

,az + b

cz + d= α +

β

cz + d.

En déduire que toute homographie peut être obtenue par compositions suc-cessives de similitudes directes et de l’application I définie par

I : z →

1z si z ∈ C \ {0};

∆ si z = 0;0 si z = ∆.

Partie B – Birapport de quatre nombres complexesLe birapport de quatre nombres complexes deux à deux distincts z1, z2, z3 et z4est défini comme le nombre complexe

[z1, z2, z3, z4] =z3 − z2z3 − z1 /

z4 − z2z4 − z1 .

1. Calculer [z1, z2, z4, z3] en fonction de [z1, z2, z3, z4].

2. (a) Déterminer un argument modulo π de [z1, z2, z3, z4] lorsque les pointsd’affixe z1, z2, z3 et z4 sont alignés.

(b) Déterminer un argument modulo π de [z1, z2, z3, z4] lorsque les pointsd’affixe z1, z2, z3 et z4 appartiennent à un même cercle.

3. Réciproquement, que dire de quatre points dont les affixes ont un birapportŕeel ?

4. On dit qu’une application f conserve le birapport si, pour tous complexesz1, z2, z3, z4 deux à deux distincts,

[f (z1), f (z2), f (z3), f (z4)] = [z1, z2, z3, z4].

(a) Montrer que les similitudes directes conservent le birapport.

(b) Montrer qu’une homographie conserve le birapport de quatre complexesdifférents de son pôle.

Partie C – Théorèmes de Miquel et de Clifford

1. Considérons quatre cercles du plan C 1, C 2, C 3 et C 4 tels que les intersectionsde C 1 et C 2, C 2 et C 3, C 3 et C 4, C 4 et C 1 soient chacune composées de deuxpoints d’affixe zi et z

i (pour i ∈ [[1, 4]]).

Montrer que les points d’affixe (zi)i∈[[1,4]] sont alignés ou co cyliques si et seule-ment si les points d’affixe (zi)i∈[[1,4]] sont alignés ou cocyliques.Indication:

on pourra calculer [z1, z3, z4, z2].[z1, z3, z4, z2].

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

8/67


2. Considérons cinq droites D1, D2, D3, D4 et D5 deux à deux sécantes tellesque trois d’entre elles ne sont pas concourantes. Notons : zi,j l’affixe du point d’intersection de Di et Dj ; C i,j,k le cercle circonscrit au triangle de sommets zi,j, zi,k et zj,k ; zi,j,k,l le point d’intersection différent de zi,j des cercles C i,j,k et C i,j,l.

(a) Combien y a-t-il de cercles C i,j,k ? de points d’affixe zi,j,k,l ?

(b) Montrer que les points d’affixe z1,2,3,4, z1,2,3,5, z1,2,4,5 et z1,3,4,5 sont

alignés ou cocyliques.Indication: On remarquera que les points d’affixe (z1,j)j∈[[2,5]] appar-tiennent tous à D1.

(c) Conclure que tous les points (zi,j,k,l) sont alignés ou cocycliques.

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

9/67


Exercice – Sommes de Ramanujan

Notons, pour tout n ∈ N∗, Un l’ensemble des racines n-èmes de l’unité et Unl’ensemble des racines primitives n-̀emes de l’unité.Définissons enfin, p our tout n ∈ N∗ et tout m ∈ N, cn(m) =

z∈Un

zm.

1. Donner une expression réelle de c2(m), c3(m) et c4(m) pour m ∈ N.2. Montrer que, pour tout m = m[n] (m et m sont égaux modulo n),

cn(m) = cn(m).

3. (a) Justifier que, pour tout n ∈ N∗, cn(0) est le nombre d’entiers de [[1, n]]premiers avec n.

(b) Supposons, dans cette question uniquement, que n est un nombre pre-mier. Montrer que

cn(m) =

−1 si n ne divise pas m;n − 1 sinon.

4. Soit p, q

∈N∗.

(a) Montrer que si z ∈ U pq, alors z p ∈ Uq.(b) Montrer que si z ∈ U pq, alors z p ∈ Uq.

(c) Soit f :

U pq → Uq

z → z p .On admet que card f −1({y}) ne dépend pas de y ∈ Uq.En déduire que

c pq( p) = cq(1)c pq(0)

cq(0).

Problème – Homographies de U

Dans ce probl ème, un homographie de U est une application h : U→ C telle que

∀z ∈ U, h(z) = az + bcz + d

,

avec a,b,c,d ∈ C v́erifiant |c| = |d| et ad − bc = 0.Une homographie h de U v́erifiant h(U) ⊂ U est involutive si

∀z ∈ U, h ◦ h(z) = z.

Partie A – Exemples

1. Considérons l’homographie h :

U → Cz → z−1z

(a) L’homographie h est-elle injective ? surjective ?

(b) Déterminer h(Un) et h−1(R).

(c) Déterminer l’ensemble F ⊂ C tel que l’homographie h : U → F z → z−1zsoit bijective et préciser la bijection réciproque.

2. Déterminer les homographies de U qui admettent trois points fixes distincts.

Partie B – Groupe de Moebius

1. Montrer que z ∈ U si et seulement si z = 0 et z = 1z .2. Considérons l’application h définie par h(z) = az+bcz+d telle que h(U) ⊂ U.

(a) Montrer que, pour tout z ∈ U, Az + Az + B = 0 avec A = ab − cd etB = |a|2 + |b|2 − |c|2 − |d|2.

(b) Préciser la nature de l ’ensemble d’équation Az + Az + B = 0 puis queA = B = 0.

(c) Montrer que, si a = 0, alors d = 0 et |b| = |c| = 0.En déduire qu’il existe un complexe β tel que, pour tout z ∈ U,

h(z) =β

βz.

(d) Montrer que, si a = 0, alors |a| = |d| = |b| = |c|.Indication: on pourra remarquer que b = cda .En déduire qu’il existe des complexes α, β tels que, pour tout z ∈ U,

h(z) =αz + β

βz + α .

3. Réciproquement, montrer qu’une homographie h définie par h(z) = αz+ββz+α

v́erifie h(U) ⊂ U.4. Montrer que les corestrictions à U des homographies h telles que h(U) ⊂ U

forment un groupe pour la composition, appelé groupe de Moebius.

5. Montrer que l’homographie définie par h(z) = αz+ββz+α

est involutive si et seule-

ment si elle est ±Id ou si α + α = 0.

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

10/67

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

11/67


Problème I – Transformée de Fourier discrète

Dans tout ce problème, n désigne un entier naturel non nul et ω = e2iπn . L’ob-

jectif est l’étude de l’application F n : Cn → Cn qui associe à u = (u0, . . . , un−1)l’́eĺement F nu = (v0, . . . , vn−1) défini par :

∀k ∈ [[0, n − 1]], vk =n−1

j=0ujω

jk


1. Calculer, pour tout k ∈ N, les sommesn−1j=0

ωjk etnj=1

ωjk .

2. Déterminer F n(1, 1, . . . , 1) et F n(1, ω , . . . , ωn−1).3. Calculer F n ◦ F n. En déduire que F n est bijective et préciser sa bijection

réciproque.

4. Déterminer F −1n (1, 1, 0, . . . , 0).

Partie B – Équations de convolution

Pour tous u, v ∈ Cn tels que u = (u0, . . . , un−1) et v = (v0, . . . , vn−1) on définit : le produit terme à terme de u et v par u × v = (u0v0, . . . , un−1vn−1) ; le produit de convolution de u et v par u ⊗ v = (w0, . . . , wn−1) où wk désigne

la somme de tous les termes uivj tels que i + j = k[n] que l’on notera

∀k ∈ [[0, n − 1]], wk =

i+j=k[n]

uivj

1. Montrer que pour tous u, v ∈ Cn, F n(u ⊗ v) = F n(u) × F n(v).2. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur u et v pour que l’équation

u ⊗ x = v d’inconnue x ∈ Cn admette une solution.3. Résoudre l’équation (1 , 1, . . . , 1)

⊗x = (1, ω , . . . , ωn−1)

Partie C – Algorithme de Cooley-Tukey

1. Soient (u0, . . . , u3) et (v0, . . . , v3) = F 4(u0, . . . , u3).(a) Montrer qu’il existe (a0, a1, b0, b1) ∈ C4 tel que

v0 = a0 + b0 v2 = a0 − b0 v1 = a1 + ib1 v3 = a1 − ib1

(b) Trouver (α0, α1) ∈ C2 tel que (a0, a1) = F 2(α0, α1).2. Supposons dans cette question que n = 2m avec m ∈ N∗. Pour tout u ∈ Cn,

on posera u(P ) (respectivement u(I )) l’élément de Cm des coefficients d’indicepair (respectivement impair) de u.

(a) Notons F nu = (v0, . . . , vn−1). Montrer que (a0, . . . , am−1) = F m(u(P ))et (b0, . . . , bm

−1) =

F m(u

(I )) vérifient

∀k ∈ [[0, m − 1]], vk = ak + ωkbk vm+k = ak − ωkbk

(b) Expliquer brièvement comment calculer efficacement la transformée deFourier discrète.

Problème II – Étude d’une équation fonctionnelle

Le but de ce problème est de déterminer les fonctions f définies sur R, à valeursréelles et dérivables en 0 qui vérifient :

∀x ∈ R, f (2x) =2f (x)

1 + (f (x))2 ·1. Déterminer les fonctions constantes solutions du problème p osé.

2. Déterminer les valeurs possibles de f (0) si f est solution.

3. Montrer que, si f est solution, on a ∀x ∈ R, −1 ≤ f (x) ≤ 1.Indication: on pourra exprimer f (x) en fonction de f

x2

.

4. Montrer que si f est solution, −f est aussi solution.5. Montrer que tanh est solution du problème posé.

6. On suppose que f est une solution du problème posé, que f (0) = 1 et que f n’est pas constante. On considère x0 ∈ R, tel que f (x0) = f (0) et l’on définitla suite (un) par :

∀n

∈N, un = f

x02n .(a) Montrer que la suite (un)n est convergente et préciser sa limite.

(b) Établir une relation entre un et un+1 ; en déduire que la suite (un) gardeun signe constant, puis étudier sa monotonie suivant le signe de u0.

(c) En utilisant les r ésultats des questions précédentes, aboutir à une contra-diction.

(d) Que peut-on dire si l’hypothèse f (0) = 1 est remplacée par l’hypo-thèse f (0) = −1 ?

(e) Conclure.

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

12/67


7. On suppose que f est une solution du problème p osé et que f (0) = 0.

(a) En raisonnant par l’absurde et en considérant, comme précédemment,une suite, montrer que : ∀x ∈ R, |f (x)| = 1.On définit alors la fonction g par : ∀x ∈ R, g(x) = argth(f (x)).

(b) Montrer que : ∀x ∈ R, g(2x) = 2 g(x).(c) Montrer que g est dérivable en zéro.

(d) Soit x

∈R∗ ; on définit la suite (vn)n par :

∀n

∈N, vn =

g( x2n )x

2n

.

Montrer que (vn)n est convergente et déterminer sa limite.

(e) En déduire que g est linéaire.

8. Déterminer toutes les fonctions solutions du problème posé.

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

13/67


Exercice 1 – Stabilité des solutions de y + y = b

Pour toute fonction b : R+ → R continue, on pose (E b) l’équation différentiel ley + y = b.

1. Résoudre l’équation (E 0).

2. Résoudre l’équation (E b) lorsque b = cos et montrer qu’il existe des solutionsnon bornées sur R+.

3. Notons, dans cette question, b la fonction 2π périodique vérifiant :

b(x) =

sin(x) si x ∈ [0, π[

0 si x ∈ [π, 2π[

(a) Montrer que b est continue sur R+. Est-ce que b est de classe C1 ?(b) Montrer que les solutions de (E b) sont de la forme :

x →

A − x0

sin(t)b(t)dt

cos(x) +

B +

x0

cos(t)b(t)dt

sin(x)

avec A, B ∈ R.4. Soit b : R+ → R continue.

Vérifier que x→ x0 b(t)sin(x − t)dt est une solution de (E b), puis résoudrecomplètement (E b).

5. Soit b : R+ → R continue telle qu’il existe M ∈ R vérifiant :

∀x ∈ R+, x0

|b(t)|dt ≤ M.

Montrer que la solution f de (E b) vérifiant f (0) = f (0) = 0 est b ornée puisque

supx∈R+

|f (x)| ≤ M.

Exercice 2 – Équation différentielle à paramètre

Pour tout a ∈ R, on note (E ) l’équation différentiel le (ex − a)y(x) + ay(x) = exet (E 0) l’équation homogène associée.

1. (a) Pour tout a = 0, trouver (α, β ) ∈ R2 tel que au(u−a) = αu + βu−a .(b) En déduire une primitive de u → au(u−a) .

2. Pour toute fonction f , posons f̃ : x → f (ln(x)) définie s ur R∗+.(a) Montrer que f est solution de (E 0) si et seulement si f̃ est solution de

u(u − a)y(u) + ay(u) = 0.

(b) En déduire les solutions de (E 0) selon que a ≤ 0 ou que a > 0.Indication: on précisera bien les intervalles sur lesquels on résout (E 0).

(c) Déterminer les solutions de (E 0) définies sur R quand a > 0.

3. Résoudre (E ) sur chaque intervalle où elle peut être mise sous forme résolue.

4. Pour tout a ∈ R, définissons f a : x → xexex−a .(a) Montrer que si a < 0 alors f a est l’unique solution de (E ) satisfaisant la

condition initiale y(0) = 0.

(b) Déterminer si a ∈]0, 1[, la solution de (E ) définie sur ] ln(a), +∞[ satis-faisant la condition initiale y(0) = 0.

Exercice 3 – Caractérisation des équationsdifférentielles linéaires

Soit J un intervalle de R et F : J ×R→ R. Notons (E ) l’équation différentiel ley = F (x, y).

1. Donner une équation de la droite passant par (x0, y0) et de pente F (x0, y0).

2. Supposons dans cette question que F est de la forme F (x, y) = α(x).y + β (x)avec α et β deux fonctions de classe C1. Soit x0 ∈ J .(a) Montrer que, si α(x0) = 0, alors les tangentes au point d’abscisse x0 aux

solutions de (E ) sont parallèles.

(b) Montrer que, si α(x0) = 0, alors les tangentes au point d’abscisse x0 auxsolutions de (E ) sont concourantes.

3. Dans cette question, supposons seulement que F est telle que : pour tout (x0, y0) ∈ J × R, il existe une solution de (E ) satisfaisant la

condition de Cauchy y(x0) = y0 ; les tangentes au point d’abscisse x0 aux solutions de (E ) sont soit toutes

parallèles, soit concourantes.

(a) Pour tous x0 ∈ J et y0 = y1, montrer queF (x0,y0)

−F (x0,y1)

y0−y1 est unequantité qui ne dépend pas du couple (y0, y1) et que l’on notera désormaisα(x0).

(b) En déduire que, si α(x0) = 0, F (x0, y0) − α(x0)y0 ne dépend pas de y0.(c) Conclure que F est linéaire.

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

14/67


Exercice – Calcul d’une série

Posons, pour tout n ∈ N, S n =nk=0

arctan 1k2+k+1 .

1. (a) Montrer, par récurrence sur n, que tan S n = n + 1.

(b) En déduire la limite de la suite (S n)n.Indication: on pourra montrer que S n ∈]0, π2 [.

2. (a) Vérifier que, pour tout n

∈N,

arctan1

n2 + n + 1= arctan(n + 1) − arctan n.

(b) Retrouver la limite de la suite (S n)n.

Exercice – Lemme de Gronwall

Soit f, g deux fonctions continues et a ∈ R tels que g est à valeurs positives et,pour tout x ∈ R+,

f (x) ≤ a + x0

f (t)g(t)dt.

Montrer que, pour tout x ∈ R+,f (x) ≤ a exp

x0

g(t)dt

.

Indication: on pourra poser y(x) = a + x0

f (t)g(t)dt.

Probl̀eme – Équations linéaires d’ordre 2

Les parties A,B,C s ont indépendantes entre elles.

Partie A – Un exemple

L’objectif de cette partie est de résoudre l’équation

(E ) : (shx)y + (2chx)y + (shx)y = 0.

1. Montrer qu’une fonction y est solution de (E ) sur R∗+ (respectivement R∗−)

si et seulement si z : x → y(x) + 1thx

y(x) est solution d’une équation (E )d’ordre 1 sur R∗+ (respectivement R

∗−) .

2. Résoudre l’équation (E ).

3. Montrer que toute solution de (E ) sur R est proportionnelle à x → xshx .

Partie B – Réduction de l’́equation générale

Soit (E ) une équation de la forme a(x)y + b(x)y + c(x)y = 0 avec a une fonctionne s’annulant pas. Pour toute fonction u deux fois dérivable, définissons z deuxfois dérivable telle que y = uz.

1. Montrer que si y est solution de (E ), alors z est encore solution d’une équationdifférentielle.

2. En déduire que si u est solution d’une équation (E ) linéaire d’ordre 1 (à

préciser), alors z est solution d’une équation (E ) de la forme

α(x)z + β (x)z = 0.

3. Déterminer les solutions de (E ) puis l’équation (E ) correspoindante dans lacas où les fonctions a,b,c sont constantes.

Partie C – Entrelacement des zéros

Soit p, q deux fonctions, y1 et y2 des solutions non nulles des équations y+ p(x)y =

0 et y + q (x)y = 0 respectivement.On admet que les zéros de ces solutions sont isolés, c’est-à-dire que, pour chaquezéro, il existe un intervalle ouvert ne contenant que ce zéro.Posons

∀x ∈ R, W (x) = y1(x) y2(x)y1(x) y2(x)

= y1(x)y2(x) − y1(x)y2(x).1. Donner une expression simple de la dérivée de W .

2. Supposons que

∀x ∈ R, p(x) ≥ q (x).(a) Soit x1 < x2 deux zéros consécutifs de y2.

On admet que y2(x1)y2(x2) < 0.

Montrer que y1 admet au moins un zéro dans l’intervalle [x1, x2].

(b) En déduire que si p est minorée par une constante strictement positiveω2, alors y1 admet une infinit é de zéros (et deux zéros consécutifs sontśeparés d’au plus πω ).

(c) En déduire aussi que si q est majorée par 0, alors y2 admet au plus unźero.

3. Supposons que p = q (donc y1 et y2 sont solutions de la même équationdifférentielle d’ordre 2).Montrer que si y1 et y2 n’ont pas de zéro commun, alors y1 admet exactementun zéro entre deux zéros consécutifs de y2.

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

15/67


Partie D –Équation de Bessel

Soit n le nombre de zéros sur un intervalle de longueur π d’une solution sur R∗+de l’équation

y +1

xy + (1 − λ

2

x2)y = 0.

Montrer que si λ ≥ 12 , n ≤ 1.Que dire si λ ≤ 12 ?

D i

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

16/67


Soit P le plan rapporté à un repère orthonormé (O, −→i , −→ j ) et Φk la fonction deP dans R qui à M (x, y) fait corresp ondre le réel :

Φk(M ) = x2 + y2 − 2akx − 2bky + ck,

avec k un entier naturel, ak, bk, ck trois réels.Considérons les cercles C k (supposés non vides) donnés par les équations Φk(M ) =0 et notons Ωk le centre de C k et Rk = 0 son rayon ; on appelle alors Φk(M )puissance du point M par rapport à C k.

Partie I – Axe radical de deux cercles

1. Déterminer la puissance d’un point de C k par rapport à C k.

2. Préciser Ωk et Rk en fonction de ak, bk et ck puis exprimer Φk(M ) en fonctionde ΩkM et Rk.

3. Soit C 1 et C 2 de centres distincts. Montrer que l’ensemble des points M quiont même puissance par rapport à C 1 et C 2 est une droite ∆, appelée axeradical de C 1 et C 2.

4. Donner, pour chaque type de position relative de C 1 et C 2, une constructionde ∆.

Partie II – Cercles orthogonaux

Deux cercles C 1 et C 2 sont dits orthogonaux, et on note C 1 ⊥ C 2, si, et seulementsi Ω1Ω

22 = R

21 + R

22.

1. Montrer que C 1 et C 2 sont orthogonaux si, et seulement si la puissance de Ω2par rapport à C 1 est égale à R

22.

2. Montrer que si deux cercles sont orthogonaux seulement alors ils sont sécantsen deux points distincts et leurs tangentes respectives en chaque point d’in-tersection sont orthogonales. Est une condition suffisante?

3. Montrer que C 1 ⊥ C 2 si et seulement si la quantité ψ(C 1, C 2) = a1a2 + b1b2 −12 (c1 + c2) est nulle.

4. Donner des conditions nécessaires et suffisantes à l’aide de ψ(C 1, C 2), R1 etR2 pour que C 1 et C 2 soient sécants ou tangents.

5. Soit C 1 et un point I . À quelle condition nécessaire et suffisante I est-ilcentre d’un cercle orthogonal à C 1 ? Montrer qu’alors ce cercle est uniqueet le construire.

Partie I II – Faisceaux linéaires de cercles

Soit C 1 et C 2 de centres distincts. Pour tout (λ, µ) = (0, 0), on considère la courbeC λ,µ d’équation : (λΦ1 + µΦ2)(M ) = 0.

1. Montrer que C λ,µ est soit l’ensemble vide, soit un point, soit un cercle, soitune droite et dans ce dernier cas, montrer que c’est l’axe radical de C 1 et C 2.

2. On appelle faisceau linéaire de cercles engendré par C 1 et C 2 l’ensemble F des cercles C λ,µ.

(a) Montrer que F est l’ensemble des cercles C λ,µ : (λΦ1 + µΦ2)(M ) = 0avec λ + µ = 1.

(b) Montrer que le centre de C λ,µ est barycentre de ceux de C 1 et C 2 avecles coefficients λ et µ.

(c) Montrer que par tout point hors de l’axe radical passe un et un seulcercle du faisceau. Que se passe-t-il sur l’axe radical ?

3. Soit G l’ensemble des cercles orthogonaux à C 1 et C 2, et C un élément de G.(a) Montrer que le centre de C est situé sur l’axe radical de C 1 et C 2.

(b) Déterminer l’ensemble A des centres des éléments de G.(c) Montrer que tout point de A est centre d’un unique élément de G.

4. Montrer que :(a) tout cercle de F est orthogonal à tout cercle de G ;(b) G est un faisceau linéaire de cercles engendré par deux quelconques de

ses él éments ;

(c) F est l’ensemble des cercles orthogonaux à deux éléments quelconquesde G.

Partie IV – Constructions

1. On suppose que C 1 et C 2 sont tangents. Caractériser géométriquement lesfaisceaux

F et

G.

Faire une figure pour : C 1 : (x + 1)2 + y2 = 1, C 2 : (x − 2)2 + y2 = 4.2. On suppose C 1 ∩ C 2 = {A, B}. Montrer que F est l’ensemble des cercles

passant par A et par B. Quel est l’ensemble des cercles de G ?Faire une figure pour : C 1 : (x − 2)2 + y2 = 7, C 2 : (x + 1)2 + y2 = 4.

3. On suppose que C 1 ∩ C 2 = ∅. Démontrer que G est l’ensemble des cerclespassant par deux points U et V (dont on déterminera une construction).Faire une figure pour : C 1 : (x − 2)2 + y2 = 1, C 2 : (x + 3)2 + y2 = 6.Que remarque-t-on sur les figures des deux dernières questions ?

D i 10

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

17/67


L’utilisation des calculatrices est interdite.

Problème I – Minettes 2006

Partie A – Étude d’un arc paramétré

Pour tout t > 0, posons x(t) = t(ln(t))3 et y(t) = t(ln(t))2 et x(0) = y(0) = λ ∈R. Considérons l’arc paramétré M : t → (x(t), y(t)) (dans un repère orthonormédu plan).

1. Déterminer l’unique valeur λ ∈ R telle que les fonctions x et y sont continuesen 0.Fixons λ à cette valeur.

2. Déterminer les dérivées des fonctions x et y sur R∗+. Étudier le signe de cesd́erivées.

3. Donner le tableau de variations des fonctions x et y.

4. (a) Déterminer les limites limt→1

x(t)(t−1)3 et limt→1

y(t)(t−1)2 .

Indication: on pourra montrer que limt→1

ln(t)t−1 = 1.

(b) En déduire l’allure de l ’arc M au voisinage de son unique point singulier.

5. (a) Déterminer les limites en +∞ et 0+

de t →y(t)

x(t) .(b) En déduire la nature de la branche infinie de l’arc M ainsi que l’existence

d’une ”demi-tangente” à l’arc M au point de paramètre t = 0.

6. (a) Déterminer les points d’intersection de l’arc M avec la droite d’équationy = x.

(b) Tracer le support de l’arc M .On donne les valeurs e−2 ∼ 0, 14 et e−3 ∼ 0, 05.

Partie B – Calcul de primitives

Soit α = −1. Posons, pour tout x > 0 et n ∈ N, Z n(x) = 1n! x1

tα(ln(t))ndt.

1. Calculer Z 0(x) et Z 1(x).

2. Déterminer, pour tout x > 0 et n ∈ N, une relation entre Z n(x) et Z n+1(x).3. Montrer que, pour tout x > 0 et n ∈ N,

Z n(x) =

−11 + α

n+1−

nk=0

−11 + α

n+1−k(ln(x))k

k!

xα+1.

Notons N nα l’ensemble des fonctions définies sur R∗+ de la forme x →P (ln(x)).xα avec P un polynôme réel de degré au plus n.

4. Montrer que toute fonction de N nα admet une primitive dans N nα+1.

Partie C – Résolution d’équations différentielles

Soit α ∈ R \ {−1}. Considérons les équations différentiel les, sur R∗+,(E 1) : xy

− αy = 0, (E 2) : x2y + (1 − 2α)xy + α2y = 0.1. Résoudre (E 1) sur R∗+.2. (a) Soit h :]0, +∞[→ R de classe C2 et k : R→ R la fonction définie par

∀u

∈R, k(u) = h(eu).

Déterminer k et k en fonction des dérivées de h.(b) Montrer que h est solution de (E 2) si et seulement si

∀u ∈ R, k(u) − 2αk(u) + α2k(u) = 0.(c) Déterminer l’expression de k lorsque h est solution de (E 2).

(d) En déduire que l’ensemble des solutions de (E 2) est l’ensemble N 1α.3. Considérons l’application D qui associe à une fonction y de classe C∞ sur

]0, +∞[, la fonction D(y) = xy − αy.Posons D1 = D et, pour tout n ∈ N∗, Dn+1 = Dn ◦ D.

(a) Soit y de classe C∞ sur ]0, +∞[.Montrer que D

2(y) = 0 si et seulement si y

∈ N 1

α.

(b) Montrer, par récurrence sur n ∈ N∗, que Dn(y) = 0 est une équationdifférentielle d’ordre n de la forme

xny(n) +

n−1k=0

akxky(k) = 0,

avec a0, . . . , an−1 des r éels que l’on ne cherchera pas à calculer.(c) Montrer que, pour tout n ∈ N∗, l’ensemble des solutions de Dn(y) = 0

est N n−1α .

Problème II – Théorème de Marden

Partie A – Petit théorème de Poncelet

Soit E une ellipse de foyers F 1 et F 2, M un point extérieur à l’ellipse et T 1, T 2 lesdeux points de E d’où la tangente passe par M . Notons F 1 et F 1 les symétriquesorthogonaux de F 1 par rapport à (M T 1) et (MT 2).

1. Justifier que F 2, T 1 et F 1 d’une part et F 2, T 2 et F

1 d’autre part sont alignés.

Notons σD la symétrie orthogonale d’axe D. Rappelons que si D et D sontdeux droites sécantes en M , alors σD ◦ σD est la rotation de centre M etd’angle 2( D, D).

D i 10

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

18/67


2. Montrer que σ(MF 1) ◦ σ(MT 1)(F 1) = F 1.3. Calculer σ(MT 2) ◦ σ(MF 2)(F 1).

Indication: on p ourra préciser la médiatrice du segment [F 1F 1 ].

4. Conclure que ( −−−→

MT 1,−−−→M F 1) = (

−−−→MF 2,

−−−→M T 2)[π].

Partie B – Ellipse inscrite dans un triangleSoit z1, z2 et z3 trois complexes deux à deux distincts, P (x) = (x − z1)(x −

z2)(x − z3) et ω1, ω2 les racines du p olynôme d́erivé P .Considérons les points M 1, M 2, M 3, F 1 et F 2 les points d’affixes respectives z1,z2, z3, ω1 et ω2.

1. (a) Montrer que

3(x −ω1)(x −ω2) = (x −z1)(x− z2) + (x − z2)(x− z3) + (x − z1)(x− z3).

(b) Justifier que ω1 = z1.(c) En déduire que

z2 − z1ω1 − z1

= 3ω2 − z1z3 − z1

.

(d) Conclure que ( −−−−→

M 1M 2,−−−→M 1F 1) = (

−−−→M 1F 2,

−−−−→M 1M 3)[π].

2. Notons F 1 le symétrique orthogonal de F 1 par rapport à la droite (M 1M 2) etT 1 le point de concours des droites (M 1M 2) et (F 2F

1).

Considérons E l’ensemble des points M du plan tel queM F 1 + M F 2 = T 1F 1 + T 1F 2.

(a) Préciser la nature de l’ensemble E .

(b) Justifier que (M 1M 2) est la tangente à E en T 1.Notons T 2 l’autre point de E d’où est issue une tangente passant par M 1.

(c) Montrer que (M 1T 2) = (M 1M 3).Indication: on pourra utiliser la partie précédente.

(d) Justifier que T 1 est le milieu du segment [M 1M 2].Indication: on pourra utiliser la question 1a avec x = z1+z22 .

3. Conclure que F 1, F 2 sont les foyers d’une ellipse tangente en leurs milieux auxtrois côtés du triangle M 1M 2M 3.

D i 11

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

19/67


Problème I – Étude de K13

Notons Z/13Z l’ensemble des restes de la division euclidienne des entiers par 13 ;muni de l’addition et de la multiplication, cet ensemble est un anneau commutatif à 13 él éments (notés 0, 1, . . . , 12).

Partie A – Calculs sur Z/13Z

1. (a) Montrer que pour tout k ∈ [[0, 13]] et l ∈ N, (13 − k)l = (−k)l.(b) Calculer k

2pour tout k ∈ Z/13Z.

Indication: on pourra présenter les résultats dans un tableau sans jus-tifier les calculs :

k 0 1 2 . . . 12

k2

(c) En déduire les racines de X 2 − 1 puis de X 2 − 5 sur Z/13Z.2. Justifier que Z/13Z est un corps.

Indication: on pourra soit faire les calculs p our chacun des éléments, soitutiliser une identité de Bezout.

Partie B – Propriété de corps de K13

Notons K13 = Z/13Z×Z/13Z et munissons des lois de composition internes +, ×et ⊗ définies par :

(x, y) + (x, y) = (x + x, y + y)

(x, y) × (x, y) = (x.x,y.y)(x, y) ⊗ (x, y) = (x.x + 5y.y,x.y + x.y)

pour tous (x, y) et (x, y)

∈K13.

On admet que × et ⊗ sont associatives et distributives sur +.1. K13 muni des lois + et × est-il un corps ?2. Montrer que K13 muni des lois + et ⊗ est un corps dont on déterminera le

cardinal.

3. (a) Montrer que C 13 = {(x, 0) ∈ K13} est un sous-corps de K13 isomorphe àZ/13Z.

(b) K13 admet-il un sous-corps isomorphe à Z/7Z ?

4. Déterminer les racines de X 2 − (5, 0) sur K13 (la puissance concerne la loi ⊗).

Problème II – Groupe abélien fini comme Z-module

Soit (G, .) un groupe abélien fini d’ordre supérieur ou égal à 2, d’élément neutree. On admettra les résultats suivants :

L’ordre d’un éĺement x ∈ G est l’ordre du groupe cyclique engendré par x ;c’est aussi le plus petit entier n ∈ N∗ tel que xn = e.

Lemme d’Euclide : Si m et n sont deux nombres premiers entre eux divisanta, alors m.n divise a.

Lemme de Gauss : Si m et n sont deux nombres premiers entre eux et que mdivise a.n, alors m divise a.

Partie A – Sous-groupes cycliques de G

1. Soient x et y deux éléments de G d’ordre m et n tels que m et n sont premiersentre eux. Montrer que l’ordre de l’élément x.y est m.n.

2. Soient x un élément de G d’ordre n et d un diviseur de n. Déterminer l’ordrede l’élément xd.

3. Notons le plus petit multiple commun des ordres des éléments de G (appeléexposant de G) et considérons la décomposition en facteurs premiers =ri=1

pαii .

(a) En utilisant la définition de plus petit multiple commun, justifier, pourchaque i ∈ [[1, r]], l’existence d’un élément dont l ’ordre est divisible par

pαii .

(b) Montrer que, pour tout i ∈ [[1, r]], il existe un éĺement xi d’ordre pαii .(c) Conclure qu’il existe un élément x ∈ G d’ordre .(d) Plus généralement, montrer qu’il existe un sous-groupe de G cyclique

d’ordre n si et seulement si n divise .

Partie B – Facteurs cycliques de G

1. Soient H un sous-groupe strict de G, x un élément de G ∩ H c et ϕ : H → Uun morphisme de groupes.

(a) Montrer que K = {xk.h, (k, h) ∈ Z × H } est un sous-groupe de Gcontenant H et x.

(b) Montrer qu’il existe n ∈ N∗ tel que xn ∈ H .Posons N x = min{n ∈ N∗, xn ∈ H }.

(c) Justifier l’existence de ω ∈ U tel que ϕ(xN x) = ωN x.

MPSI De oir 11 R M

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

20/67


(d) Montrer qu’il existe un morphisme de groupe ϕ̃ : K → U tel que :∀h ∈ H, ϕ̃(h) = ϕ(h)

Indication: on pourra poser, pour tout (k, h) ∈ Z × H , ϕ̃(xk.h) =ωkϕ(h).

(e) Conclure qu’il existe un morphisme de groupes ψ : G → U tel que :

∀h

∈H, ψ(h) = ϕ(h)

2. Soit x ∈ G un éĺement d’ordre . Exhiber un isomorphisme de groupe ϕ entrele sous-groupe engendré par x (dorénavant noté x) et U.Notons encore ϕ le prolongement de ce morphisme au groupe G.

3. (a) Montrer que tout élément de G s’écrit de manière unique sous la formey.h avec (y, h) ∈ x × Kerϕ.

(b) En déduire que G est isomorphe à U × Kerϕ.4. Montrer qu’il existe des entiers n1, . . . , ns supérieurs ou égaux à 2 tels que :

pour tout i ∈ [[1, s − 1]], ni divise ni+1. G est isomorphe à Un1 × . . . × Uns .

MPSI Devoir 12 R M

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

21/67


Exercice – p-groupe de Prüfer

Soit p un nombre premier. Notons G =n∈NU pn l’ensemble de tous les racines

de l’unité dont l’ordre est une puissance de p.

1. Montrer que G est un sous-groupe infini de (C∗, ×).2. Justifier que G n’est pas monogène.

3. Soit H un sous-groupe de G distinct de G, z0 ∈ G \ H d’ordre pn0

.(a) Montrer que si H contient un élément d’ordre pn alors U pn ⊂ H .(b) Montrer que H ⊂ U pn0 .(c) En déduire que H est cyclique.

Problème – Dérivée logarithmique dans un anneau

Soit (A, +, ×) un anneau commutatif. Une dérivation est un morphisme degroupes D : A → A qui satisfait la relation suivante

∀(a, b) ∈ A2, D(ab) = aD(b) + bD(a).

Partie A – Formulaire de dérivation

Soit (A, +, ×) un anneau commutatif et D une dérivation sur A.1. Calculer D(1A).

2. Montrer que, pour tout n ∈ N∗ et tout a ∈ A, D(an) = nan−1D(a).3. Soit a et b deux éĺements de A. Établir la formule de Leibniz, c’est-à-dire

∀n ∈ N∗, Dn

(ab) =

nk=0nkDk(a)Dn−k(b).

4. Soit a ∈ A et b un élément de A∗, le groupe des inversibles de A.(a) Calculer D(b−1) en fonction de D(b).

(b) Trouver la formule donnant D(ab−1) en fonction de a, b, D(a) et D(b).

On admet que pour un anneau A int̀egre, D peut être prolongée au corps desfractions de A.

Partie B – Constantes et dérivées logarithmiques dans uncorps

Soit (K, +, ×) un corps et D une dérivation sur K . Notons, pour tout entier n ∈ N∗,K n = {x ∈ K, Dn(x) = 0K }.Une constante est un élément de K 1.Un élément x ∈ K est la dériv ée logarithmique de y ∈ K si x = y−1D(y).

1. Montrer que K 1 est un sous-corps de K , appelé corps des constantes de K puis que, pour tout n

∈N∗, K n

⊂K n+1.

2. Soit λ ∈ K 1. Montrer que, pour tout n ∈ N,∀x ∈ K, Dn(λx) = λDn(x).

3. Considérons, pour tout x ∈ K , l’application D(x) : t → D(t) + xt.(a) Montrer que, si x = y−1D(y), alors

∀t ∈ K, D(x)(t) = y−1D(yt).En déduire une expression pour les applications (D(x))n obtenues parcompositions successives de D(x).

(b) Montrer que si x est la dérivée logarithmique d’un éĺement de K n \K n−1alors

(D(x))n(1K ) = 0 et (D(x))n−1(1K )

= 0.

(c) Montrer que si x ∈ K satisfait(D(x))n(1K ) = 0 et (D

(x))n−1(1K ) = 0,alors x est la dériv ée logarithmique d’un élément de K n \ K n−1.

Partie C – Application

Considérons l’anneau C[X ] des polynômes à coefficients complexes, Q ∈ C[X ]non-nul et l’application D : C[X ] → C[X ] définie par

∀P ∈ C[X ], D(P )(X ) = Q(X )P (X ),où P désigne la dérivée usuelle de P .

1. Vérifier que D est une dérivation.Pour la s uite on étend D au corps des fractions rationnelles C(X ) (c’est-à-direau corps des fractions de C[X ]).

2. Quel est le corps des constantes de C(X ) pour la dérivation D ?

3. Montrer que Q est une dérivée logarithmique pour D.4. Soit R ∈ C(X ). Montrer que R est une dérivée logarithmique pour D si et

seulement si RQ est de la formenk=0

akX−αk avec ak ∈ Z et (αk)k des complexes

deux à deux distincts.

MPSI Devoir 13 R Mansuy

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

22/67


Probl̀eme I – Dénumérants

Partie A – Un exemple

Dans cette partie on cherche à résoudre l’équation (E ) : 2x + 5y = 2009 avec(x, y) ∈ N2.

1. Trouver un couple de solutions (x0, y0) ∈ N2 de (E ).2. Montrer qu’un couple (x, y) ∈ Z2 vérifie l’́equation (E ) si et seulement si il

existe k ∈ Z tel que x = x0 + 5ky = y0 − 2k

3. En déduire le nombre de solutions de (E ) dans N2.

Partie B – Presque-formule

Dorénavant, a, b désignent deux entiers naturels non nuls. Notons, p our toutn ∈ N, Dn le nombre de couples (x, y) ∈ N2 tels que

ax + by = n.

1. Calculer D0.2. Déterminer Dn lorsque a ∧ b ne divise pas n.3. Supposons dorénavant a ∧ b = 1.

(a) Montrer qu’il existe (X, Y ) ∈ N2 tel que aX − bY = 1.(b) Montrer que

Dn = card

l ∈ Z, Y na

≤ l ≤ Xnb

.

(c) En déduire que Dn ∈

nab

,nab

+ 1

.

Partie C – Formule de Popoviciu

Désormais, a > b ≥ 1 désignent deux entiers premiers entre eux. Notons encore,pour tout n ∈ N, Dn le nombre de couples (x, y) ∈ N2 tels que

ax + by = n.

1. Justifier l’existence et l’unicité d’entiers naturels α ∈ [[1, b−1]] et β ∈ [[1, a−1]]tels que

αa = 1[b]βb = 1[a]

2. Notons γ l’entier tel que αa + γb = 1. Montrer que γ ∈ [[1 − a, 0]] puis quea + γ = β .

3. En déduire que αa − (a − β )b = 1.4. Conclure que

Dn = nab

+ 1 −αn

b

−

βn

a

,

où {u} = u − u désigne la partie fractionnaire d’un réel u, c’est-à-dire ladifférence entre le réel u et sa partie entière

u

.

Problème II – Théorème de Scorza

Partie A – Quotient par un sous-groupe distingué

1. Soit f : (G, ∗) → (G, ×) un morphsime de groupe.(a) Montrer que, pour tout sous-groupe H de G, f (H ) est un sous-groupe

de G.(b) Montrer que, pour tout sous-groupe H de G, f −1(H ) est un sous-

groupe de G.

2. Soit (G, ∗) un groupe et H un sous-groupe de G.Supposons que H est distingué dans G, c’est-à-dire que, pour tout x ∈ G ettout h ∈ H , x ∗ h ∗ x−1 ∈ H ; notons alors

∀x ∈ G, x = xH = {x ∗ h, h ∈ H },puis G/H l’ensemble {x, x ∈ G} muni de la loi de composition interne définiepar

∀x, x ∈ G, x ∗ x = x ∗ x.(a) Vérifier que ∗ est bien définie que G/H , c’est-à-dire que si x = y et

x = y, alors x ∗ x = y ∗ y.(b) Montrer que G/H est un groupe puis que l’application ϕ :

G → G/H x

→x

est un morphisme de groupes.

(c) Montrer que pour tout sous-groupe K de G contenant H , ϕ(K ) est unsous-groupe de G/H .

(d) Montrer que pour tout sous-groupe K de G/H , ϕ−1(K ) est un sous-groupe de G contenant H .

Partie B – Exemples

1. Écrire les tables de Cayley des groupes (Z/2Z, +) et (Z/2Z× Z/2Z, +).2. Vérifier que Z/2Z× Z/2Z est réunion de trois sous-groupes stricts.


8/15/2019 Devoirs -2010/2011

23/67


Partie C – Cas de deux sous-groupes

Montrer que si un groupe G est la réunion de deux sous-groupes H 1 et H 2 alorsH 1 = G ou H 2 = G.

Partie D – Cas de trois sous-groupes

1. Soit (G, ×) un groupe qui est réunion de trois sous-groupes H 1, H 2 et H 3,tous distincts de G.

On note A1,2,3 l’intersection des trois sous-groupes H 1, H 2 et H 3 ; A1,2 (res-pectivement A1,3 et A2,3) l’intersection des sous-groupes H 1 et H 2 (respecti-vement H 1 et H 3 ou H 2 et H 3) privée de A1,2,3 ; A1 (respectivement A2 et A3)l’ensemble H 1 (respectivement H 2 et H 3) privé de H 2 ∪ H 3 (respectivementH 1 ∪ H 3 et H 1 ∪ H 2).On pourra revoir ces sept parties sur le graphique suivant.

(a) Justifier que les parties A1, A2 et A3 sont non vides.

(b) Montrer que A1,2 = ∅.Indication: on pourra considérer le produit d’un élément de A1,2 avecun élément de A3 et tester s’il appartient à H 1, H 2 ou H 3.

(c) Montrer que les éléments de A3 sont les produits d’un élément de A1 etd’un élément de A2 (dans cet ordre ou l’autre).Écrire toutes les propriétés analogues.

On admet que le produit de deux éléments de A1 (respectivement A2 ouA3) appartient à A1,2,3.

(d) Montrer que A1,2,3 est un sous-groupe distingué de G.Notons ϕ la projection de G dans G/A1,2,3.

(e) Montrer que ϕ(A1), ϕ(A2) et ϕ(A3) sont trois singletons distincts.

(f) En déduire que le groupe G/A1,2,3 est isomorphe à Z/2Z× Z/2Z.2. Soit G un groupe et H un sous-groupe distingué de G tel que le groupe G/H

est isomorphe à Z/2Z× Z/2Z.

Montrer que G est la réunion de trois sous-groupes de G distincts de G.Indication: on pourra utiliser les parties A et B.


8/15/2019 Devoirs -2010/2011

24/67


Problème I – Théorème de Wolstenhome

Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5.

Partie A – Calculs dans Z/pZ

1. (a) V érifier que (Z/pZ, +, .) est un corps.

(b) Déterminer les éléments qui sont leur propre inverse pour la loi ..

(c) En déduire le théorème de Wilson :

( p − 1)! = −1.

2. Notons, pour tout k ∈ [[1, p − 1]], pk = ( p−1)!k( p−k) .(a) Montrer que, pour tout k ∈ [[1, p − 1]], pk =

k−2

.

(b) En déduire que p−1k=1

pk = p−1k=1

k2

.

(c) Montrer que p−1k=1

k2

= 0.

(d) Conclure que

p−1k=1

pk est divisible par p.

Partie B – Théorème de Wolstenhome

Notons AB l’écriture irréductible du rationnel p−1k=1

1k .

1. Montrer que pB p−1k=1

pk = 2A( p − 1)!.

2. En déduire que p2 divise A.

Problème II – Théorème de Fermat

Partie A – Étude d’une application

Considérons N l’application qui à un polynôme non-nul P ∈ C[X ] associe lenombre de racines distinctes de ce polynôme P .

1. Justifier que N (P ) ≤ deg P . Pour quels polynômes a-t-on égalité ?2. Montrer que, pour tous polynômes P et Q, N (P Q) ≤ N (P ) + N (Q). Pour

quels polynômes a-t-on égalité ?

3. Montrer que, pour tout polynôme P et tout entier naturel non-nul n, N (P n) =N (P ).

4. Déterminer les p olynômes tels que N (P ) = 0.

Partie B – Inégalité de Mason-Stothers

Soit A, B et C trois polynômes de C[X ] deux à deux premiers entre eux et vérifiantA + B + C = 0. On cherche à montrer l’inégalité de Mason-Stothers

N (ABC ) ≥ max(deg A, deg B, deg C ) + 1.

1. Montrer qu’il existe un unique polynôme P unitaire, scindé à racines simplestel que

∀z ∈ C, A(z)B(z)C (z) = 0 ⇔ P (z) = 0.Déterminer le degré de P .Considérons les fractions rationnelles R = AC et S =

BC .

2. Établir que BA = −R

RS

S

= −P R

R

P S

S

.

3. Montrer que P R

R et P S

S sont des polynômes de degré au plus N (ABC ) − 1.4. En déduire que B divise P R

R

et que A divise P S

S

et donc que

max(deg A, deg B) ≤ N (ABC ) − 1.

5. Conclure.

Partie C – Théorème de Fermat

Démontrer le théorème de Fermat pour les p olynômes :Si n ≥ 3, alors il n’existe pas de polynômes P , Q, et R deux à deux premiers entreeux, non-constants tels que P n + Qn = Rn.

MPSI2 Devoir 15 R Mansuy

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

25/67


Avant-Propos

Un code informatique doit être rédigé avec soin. Il ne doit pas y avoir deratures dans un tel code ; il est fortement encouragé de commencer par unbrouillon. Rappelons que les indentations aident à éviter des erreurs de pro-grammations.

Les erreurs de syntaxes ne seront sanctionnées qu’une fois chacune. En re-vanche, les erreurs de type (comme les confusions entre les listes et lesséquences) sont sanctionnées à chaque occurrence. Il faudra (particuli èrement

dans le second problème) faire attention à ce point. Peu de fonctions MAPLE sont nécessaires p our ce devoir. Outre les structures

de procédure, de commandes conditionnelles et de boucles, seules les fonctionsarithmétiques usuelles sont nécessaires. On rappelle que les fonctions irem etiquo donnent respectivement le reste et le quotient d’une division euclidienneentre entiers. Rappelons également que l’instruction ”return” provoque auto-matiquement la sortie de précédure.

Problème I – Suite de Moebius

Partie A – Approche näıve

1. Montrer qu’il existe une unique suite (µ(n))n>0 telle que

∀n ∈ N∗,d/n

µ(d) =

1 si n = 1;0 sinon.

Rappelons que le symboled/n

signifie la somme sur tous les entiers naturels

d divisant n.

2. Préciser les valeurs µ(n) pour n ∈ [[1, 10]].3. Écrire une procédure MAPLE intituĺee diviseurs qui renvoie l’ensemble des

diviseurs d’un entier n placé en argument, distincts de n .

4. Écrire une procédure MAPLE intituĺee moebius dont l’argument est un entier

n ∈ N∗ et qui renvoie la valeur µ(n) en utilisant la fonction diviseurs de laquestion précédente.

Partie B – Autre approche

On admet que la suite de Moebius vérifie, pour tout n ∈ N∗,

µ(n) =

1 sin = 1,

0 si n est divisble par le carré d’un nombre premier,(−1)k sinon, avec k le nombre de facteurs premiers de n.

1. Justifier que µ(n) = 0 si et seulement si il existe p premier tel que ν p(n) ≥ 2.2. Écrire une procédure MAPLE intituĺee valp qui renvoie la valutation p-adique

d’un entier n.

3. Écrire une procédure MAPLE intituĺee moebius2 dont l’argument est un entiern ∈ N∗ et qui teste si µ(n) = 0, en utilisant la fonction valp de la questionprécédente.

Problème II – Opérations dans R[X, Y ]Un polynôme à deux indéterminées est une expression de la forme

M i=0

N j=0

ai,jX iY j .

Les règles arithmétiques pour les polynômes de deux indéterminées sont identiquesà celles des polynômes à une indéterminée.En MAPLE, on code un monôme à deux indéterminées aX bY c par une liste à 3éléments (un réel puis deux entiers naturels) [a,b,c] avec a non nul. On code unpolynôme à deux indéterminées comme une liste de monômes de ”degré distinct”.

Ainsi, un polynôme à deux indéterminées est codé comme une liste de l iste delongueur 3 vérifiant les deux conditions suivantes : si la liste complète contient deux listes de longueur 3 [a,b,c] et [a’,b’,c’], alors

le couple (b,c) est différent de (b’,c’) ; dans une liste de longueur 3, le premier argument est non-nul.

Par exemple, le monôme 3XY est codé par [3,1,1] ; le polynôme P (X, Y ) =3XY + X 2Y + 7X 3Y 2 est codé par p:=[[3,1,1],[1,2,1],[7,3,2]] ou touteautre liste obtenue en permutant les listes de longueur 3. En revanche, leslistes q:=[[3,1,1],[0,2,1],[7,3,2]] et r:=[[3,1,1],[2,1,1],[7,3,2]] nesont pas des polynômes.Rappelons qu’avec le polynôme p précédent, l’instruction p[3][1]; renvoie la va-leur 7.

1.´Ecrire une procédure MAPLE intitu ĺee prodmonome qui prend comme argumentun polynôme (c’est-à-dire une liste de listes de longueur 3) et un monome(c’est-à-dire une liste de longueur 3) et qui renvoie le polynôme produit.Par exemple,

> prodmonome([[3, 2, 1], [2, 4, 2], [5, 3, 1]], [2, 1, 1]);

[[6, 3, 2], [4, 5, 3], [10, 4, 2]]

traduit que

(3X 2Y + 2X 4Y 2 + 5X 3Y )(2XY ) = 6X 3Y 2 + 4X 5Y 3 + 10X 4Y 2.


8/15/2019 Devoirs -2010/2011

26/67


2. Écrire une procédure MAPLE intituĺee sommemonome qui prend comme argumentun polynôme (c’est-à-dire une liste de listes de longueur 3) et un monome(c’est-à-dire une liste de longueur 3 et qui renvoie le polynôme somme.Par exemple,

> sommemonome([[3, 2, 1], [2, 4, 2], [5, 3, 1]], [2, 3, 2]);

[[3, 2, 1], [2, 4, 2], [5, 3, 1], [2, 3, 2]]

traduit que

(3X 2Y + 2X 4Y 2 + 5X 3Y ) + (2X 3Y 2) = 3X 2Y + 2X 4Y 2 + 5X 3Y + 2X 3Y 2.

Le cas échant, on peut passer cette question et utiliser la procéduresommemonome pour la suite.

3. Écrire une procédure MAPLE intituĺee somme qui prend comme argument deuxpolynômes et qui renvoie le polynôme somme.Par exemple,

> somme([[3, 2, 1], [2, 4, 2], [5, 3, 1]], [[5, 3, 2], [4, 3, 1]]);

[[5, 3, 2], [9, 3, 1], [3, 2, 1], [2, 4, 2]]

traduit que

(3X 2Y +2X 4Y 2+5X 3Y )+(5X 3Y 2+4X 3Y ) = 3X 2Y +2X 4Y 2+9X 3Y +5X 3Y 2.

Indication: on pourra utiliser les procédures précédentes.

4. Écrire une procédure MAPLE intituĺee produit qui prend comme argumentdeux polynômes et qui renvoie le polynôme produit.Par exemple,

> produit([[3, 2, 1], [2, 4, 2], [5, 3, 1]], [[5, 3, 2],

[4, 3, 1]]);

[[15, 5, 3], [12, 5, 2], [10, 7, 4], [8, 7, 3],

[25, 6, 3], [20, 6, 2]]

traduit que le produit

(3X 2Y + 2X 4Y 2 + 5X 3Y )(5X 3Y 2 + 4X 3Y )

vaut

15X 5Y 3 + 12X 5Y 2 + 10X 7Y 4 + 8X 7Y 3 + 25X 6Y 3 + 4X 3Y.

Indication: on pourra utiliser les procédures précédentes.


8/15/2019 Devoirs -2010/2011

27/67


Exercice – Développement en série de Engel

1. Soit (an)n∈N une suite croissante d’entiers telle que a0 ≥ 2.Montrer que la suite (S n =

nk=0

1a0...ak

)n∈N est convergente de limite inférieure

ou égale à 1a0−1 .Si x est la limite de la suite (S n)n∈N, on dit alors que x admet undévelopp ement de Engel et on note x = [a0, . . . , an, . . .].

2. Prouvons dans cette question l’existence du développement de Engel pourtout x ∈]0, 1]. Soit x ∈]0, 1]. Définissons deux suites (xn)n∈N et (an)n∈N parx0 = x et pour tout n ∈ N :

an = 1 +

1xn

xn+1 = anxn − 1

(a) Montrer que, pour tout n ∈ N, xn = 0. En déduire que les suites (xn)n∈Net (an)n∈N sont bien définies.

(b) Montrer que (xn)n∈N est une suite décroissante puis que (an)n∈N est unesuite croissante d’entiers et que a0 ≥ 2.

(c) Montrer que pour tout n ∈ N, x = S n + xn+1a0...an . En déduire que x =[a0, . . . , an, . . .].

3. Montrons par l ’absurde l’unicit é du développement de Engel. On suppose qu’ilexiste deux suites distinctes croissantes d’entiers (an)n∈N et (bn)n∈N telles quea0 ≥ 2, b0 ≥ 2 et

[a0, . . . , an, . . .] = [b0, . . . , bn, . . .]

Introduisons n0 = min{n ∈ N, an = bn}.(a) Montrer que [an0 , . . . , an, . . .] = [bn0 , . . . , bn, . . .].

(b) Montrer que si x = [α0, . . . , αn, . . .], alors α0 = 1 +1x

.

Indication: : on pourra commencer par montrer que 0 ≤ α0x − 1 < 1.(c) Conclure.

4. (a) Déterminer le réel dont le développement de Engel est associé à une suiteconstante égale à p ≥ 2.

(b) Pour tout a ≥ 3, notons r(a) la racine de ]0, 1[ de X 2 − aX + 1 (dont onn’utilisera pas l’expression explicite).

i. Montrer que r(a)2 = r(a2 − 2) puis que r(a) = 1a + 1ar(a2 − 2).ii. En déduire que le développement de Engel de r( p) pour un entier

p ≥ 3 est (αn)n∈N où α0 = p et∀n ∈ N, αn+1 = α2n − 2

Indication: on pourra remarquer r(αn) =1αn

+ 1αn r(αn+1) pourtout n.

5. Montrer que x ∈]0, 1] est rationnel si et seulement si son développement deEngel correspond à une suite (an)n∈N stationnaire (i.e. constante à partir d’uncertain rang).

Problème – Réels mal approchés

Partie A – Fractions continues

Pour tout α ∈ R \ Q, on définit les suites (αk)k≥0 ∈ RN et (nk)k≥0 ∈ NN parα0 = α et n0 = [α0] et les relations de récurrence pour tout k ∈ N :

αk+1 =1

αk − nk nk+1 = [αk+1]

1. (a) Montrer que pour tout k ∈ N, αk /∈ Q.(b) En déduire que les suites (αk)k≥0 et (nk)k≥0 sont bien définies.

2. Déterminer la suite (nk)k≥0 pour les irrationnels Φ = 1+√ 5

2et

√ 2.

Considérons ( pk)k≥−

1 et (q k)k≥−

1 les suites croissantes d’entiers définies par

p−1 = 1, p0 = n0, q −1 = 0, q 0 = 1 et, pour tout k ≥ −1, pk+2 = nk+2 pk+1 + pk

q k+2 = nk+2q k+1 + q k

3. Montrer, par récurrence, que :

∀k ≥ −1, pk+1q k − pkq k+1 = (−1)k

4. (a) Montrer successivement que, pour tout k ≥ 0,

α = pk+1αk+2 + pk

q k+1αk+2 + q kq k( pk − αq k) = (−1)k+1

αk+1 +qk−1qk

(b) Montrer l’inégalité de Dirichlet :

∀k ≥ 0,α − pkq k

≤ 1q kq k+1 ≤ 1q 2k5. (a) Montrer que ( p2kq2k )k≥0 et (

p2k+1q2k+1

)k≥0 sont adjacentes de limite α.


8/15/2019 Devoirs -2010/2011

28/67


(b) Soient k ∈ N et ab une fraction (sous forme irr éductible) telle queα − ab

< α − pkq k

Montrer que b > q k.

Dans la suite de l ’énoncé, on appelle (nk)k≥0 l’écriture en fractions continues de

α et la suite

pkqk k≥0

la suite des meilleures approximations de α.

Partie B – Irrationnels mal approchés

Un irrationnel α de suite des meilleures approximations pkqk

k≥0

est dit mal

approché si la borne inférieure de l’ensemble {q n| pn−αq n|, n ∈ N} est strictementpositive. Dans le cas contraire, α est dit bien approché.

1. Montrer qu’il existe κ > 0 tel que pour tout ( p, q ) ∈ Z× N∗, on a√ 2 − pq ≥ κq 2

√ 2 est-i l bien approché ?

2. (a) Montrer que l’écriture en fraction continue (nk)k≥0 de α est bornée si etseulement si α est mal approché.

(b) En déduire que Φ est mal approché.

MPSI2 Devoir 17 : sujet A R. Mansuy

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

29/67

2 j R

Problème – Produits infinis

Soit (un) une suite de réels non nuls, on lui associe la suite ( pn) (appel ée produit( pn)) définie par

∀n ∈ N∗, pn =n

p=1

u p = u1u2 . . . un.

Par définition, le produit ( pn) converge si la suite ( pn) admet une limite finie non

nulle. Sinon, le produit ( pn) diverge.

Partie A

1. En considérant le quotientpn+1 pn

, montrer que, pour que le produit ( pn)

converge, il est nécessaire que la suite (un) converge vers 1.

2. Posons, pour tout n ≥ 1, pn =n

p=1(1 + 1 p ).

(a) Montrer que, pour tout n ≥ 1, pn = n + 1.(b) Quelle est la nature du produit ( pn) ?

3. Soit a /∈ πZ et pn =n

p=1 cosa2p

pour tout n ≥ 1.Calculer, pour tout n ≥ 1, pn. sin a2n ; en déduire que le pro duit ( pn) convergeet donner la limite de la suite ( pn).

Partie B

1. Soit ( pn) un produit associé à une suite (un) qui converge vers 1.

(a) Montrer qu’il existe un entier n0 tel que : ∀n ≥ n0, un > 0.(b) Posons, pour tout n ≥ 1, S n =

n p=n0

ln(u p).

Montrer que la convergence de la suite (S n) équivaut à la convergencedu produit ( pn).Lorsque (S

n) converge vers donner la limite de la suite ( p

n) en fonction

de .


p=1

p√

p et S n =n

p=1

ln p p ·

(a) Montrer que :

∀ p ≥ 3, p+1 p

ln x

xdx ≤ ln p

p.

(b) En déduire la nature de la suite (S n) et du produit ( pn).

Partie C


p=1(1 + v p) où (vn) est une suite de réels

strictement positifs qui converge vers 0 et S n =n

p=1

v p.

(a) Justifier que ∀x ∈ R∗+, ln(1 + x) < x.(b) Montrer que la suite (S n) est croissante.

(c) Montrer que si la suite (S n) converge, alors le produit ( pn) converge.


p=1(1 + a2

p

) où a ∈ R∗+.

(a) Que dire de la nature du produit ( pn) lorsque a ≥ 1 ?(b) Supposons a ∈ ]0, 1[.

i. Montrer que le produit ( pn) converge.

ii. Pour tout entier naturel n non nul, calculer (1 − a2) pn et en déduirela limite de la suite ( pn).

Exercice I – Une suite définie implicitement

Considérons pour tout entier n > 1, le polynôme P n défini par P n(X ) = X n+X −1.

1. Soit n > 1. En étudiant les variations de P n sur R+, montrer que P n admetune unique racine positive que nous noterons αn.

2. En calculant P n(1), montrer que la suite (αn)n est majorée par 1.

3. Montrer que, pour tout entier n > 1, on a P n(αn+1) > 0.En déduire que la suite (αn)n>1 est strictement croissante.

4. En déduire que la suite (αn)n>1 est convergente.Soit la limite de cette suite.

5. Montrer qu’il est impossible que 0 ≤ < 16. En déduire que la suite (αn)n>1 converge vers 1.

Exercice II – Questions de cours

1. Montrer qu’une suite réelle croissante majorée converge.

2. (a) Énoncer et prouver le théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suitesŕeelles.

(b) En déduire le théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suites complexes.

MPSI2 Devoir 17 : sujet A R. Mansuy

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

30/67

2 j

Exercice III – Problème de Waring dans C[X ]

Pour tout n ≥ 2, notons k(n) le plus petit entier k ≥ 1 tels que∀P ∈ C[X ], ∃(Q1, . . . , Qk) ∈ C[X ]k, P (X ) = Q1(X )n + . . . + Qk(X )n.

1. Justifier que, pour tout n ≥ 2, k(n) est le plus petit entier k ≥ 1 tels que∃(Q1, . . . , Qk) ∈ C[X ]k, X = Q1(X )n + . . . + Qk(X )n.

2. Calculer k(2).

3. Montrer que, pour n > 2, k(n) ≥ 3.Indication: on pourra noter que Q1(X )

n+Q2(X )n =

η∈A

(Q1(X )+ ηQ2(X ))

où A est un ensemble de nombres complexes à préciser.

4. (a) Soit l’application lińeaire ∆ : P → P (X + 1) − P (X ).Montrer que, pour tout 1 ≤ k ≤ n − 1,

∆k(X n) =

kj=0

k

j

(−1)k+j(X + j)n.

(b) Montrer que k(n) ≤ n pour tout n.Indication: on pourra utiliser ∆n−1(X n).

MPSI2 Devoir 17 : sujet B R. Mansuy

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

31/67

j

Exercice I – Problème de Waring dans C[X ]

Pour tout n ≥ 2, notons k(n) le plus petit entier k ≥ 1 tels que∀P ∈ C[X ], ∃(Q1, . . . , Qk) ∈ C[X ]k, P (X ) = Q1(X )n + . . . + Qk(X )n.

1. Justifier que, pour tout n ≥ 2, k(n) est le plus petit entier k ≥ 1 tels que∃(Q1, . . . , Qk) ∈ C[X ]k, X = Q1(X )n + . . . + Qk(X )n.

2. Calculer k(2).

3. Montrer que, pour n > 2, k(n) ≥ 3.Indication: on pourra noter que Q1(X )

n+Q2(X )n =

η∈A

(Q1(X )+ ηQ2(X ))

où A est un ensemble de nombres complexes à préciser.

4. (a) Soit l’application lińeaire ∆ : P → P (X + 1) − P (X ).Montrer que, pour tout 1 ≤ k ≤ n − 1,

∆k(X n) =kj=0

k

j

(−1)k+j(X + j)n.

(b) Montrer que k(n)≤

n pour tout n.Indication: on pourra utiliser ∆n−1(X n).

Exercice II – Questions de cours

1. (a) Énoncer et prouver le théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suitesŕeelles.

(b) En déduire le théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suites complexes.

2. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite réelle (un) telleque lim(un+1 − un) = 0 est un intervalle.

Problème – Une équation fonctionnelleSoit x0 > 0, λ ∈ R∗ et f : R → R une fonction lipscitzienne 1. Considérons

l’équation (E ) d’inconnue une fonction F lipschitzienne :

∀x ∈ R, F (x) − λF (x + x0) = f (x).1. On rappelle qu’une fonction g est lipschitzienne s’il existe k > 0 tel que

∀x, y ∈ R, |g(x) − g(y)| ≤ k|x − y|.

Partie A – Convergence d’une série

Soit (un)n ∈ RN. La śerie de terme général un est la suite

S n =nk=0

uk

n

. Elle

est convergente si la suite (S n)n converge; la limite est alors appellée somme de

la śerie et notée+∞k=0

uk.

1. Soit q ∈ [0, 1[.(a) Montrer que la série de terme général q n est convergente et déterminer

sa somme.

(b) Soit (un)n ∈ RN une suite à valeur strictement positive telle quelim

un+1un

= q . Montrer que la série de terme général un converge.

Indication: on pourra montrer que la suite

S n =

nk=0

uk

n

est crois-

sante et ma jorée.

(c) En déduire que la série de terme général nq n est convergente.

2. Soit (un)n ∈ RN. Montrer que si la série de terme général |un| converge, alorsla śerie de terme général un converge.

3. Soit (un)n ∈ RN décroissante de limite nulle 0 et S n = nk=0

(−1)kukn

.

(a) Montrer que les suites (S 2n) et (S 2n+1) sont adjacentes.

(b) En déduire que la série de terme général (−1)nun est convergente.(c) Montrer que, pour tout n ∈ N,

+∞k=0

(−1)kuk − S n ≤ un+1.

Partie B – Une remarque

Soit F une solution de l ’équation f .Montrer que, pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ R,

F (x) = λnF (x + nx0) +

n−1k=0

λkf (x + kx0)

F (x) = λ−nF (x − nx0) −nk=1

λ−kf (x − kx0).

MPSI2 Devoir 17 : sujet B R. Mansuy

8/15/2019 Devoirs -2010/2011

32/67

j

Partie C – Résolution pour λ = ±11. Montrer que si g : R→ R est lipschitzienne, alors il existe A, B ∈ R tels que

∀x ∈ R, |g(x)| ≤ A|x| + B.

2. Soit |λ| < 1.(a) Montrer que, pour tout x ∈ R, la série de terme général λnf (x + nx0)

est convergente.

Notons F (x) la somme de cette s érie.(b) Montrer que F : x → F (x) est une fonction lipschitzienne puis que c’est

l’unique solution de (E ).

(c) Déterminer F pour f = 1 puis pour f = cos.

3. Résoudre de manière analogue l’équation (E ) pour |λ| > 1.

Partie D – Cas particuliers pour λ = −11. Montrer que, pour λ = −1, l ’équation (E ) soit une infinité de solutions soit

aucune.

2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur x0 pour que l’équation

(E ) avec f = cos admette des solutions.


8/15/2019 Devoirs -2010/2011

33/67

Problème 1 – Théorème de Sarkovskii

Soit f : R→ R une fonction continue. Un réel a est un point de période n ∈ N∗ pourf si f n(a) = a et f k(a) = a pour tout k ∈ [[1, n−1]] (i.e. l’ensemble {f k(a), k ∈ N}est de cardinal n).


1. Soit g la fonction définie par g(x) =

−32

x2 + 52x + 1 pour tout x

∈R.

(a) Montrer que 0 est un point de période 3 p our g.

(b) Déterminer les points fixes (éventuels) de g.

2. Soit φ une fonction continue sur le segment [α, β ] telle que [α, β ] ⊂ φ([α, β ]).Montrer que φ admet (au moins) un point fixe.

3. Supposons que x0 est un point de période 3 pour f . Notons a =min{x0, f (x0), f 2(x0)}.

(a) Justifier que {a, f (a), f 2(a)} = {x0, f (x0), f 2(x0)}.(b) Supposons que a < f (a) < f 2(a). Montrer que [f (a), f 2(a)] ⊂

[a, f 2(a)] ⊂ f ([f (a), f 2(a)]).En déduire que f admet un point fixe.

(c) Supposons que a < f 2

(a) < f (a). Montrer que f admet un point fixe.On suppose dorénavant que f admet un point a de période 3 tel que a < f (a) <f 2(a), on note J 0 = [a, f (a)] et J 1 = [f (a), f

2(a)]. Il a déjà été montŕe que f admet un point fixe ; l’objectif est de montrer que f admet un p oint de période npour tout n > 1.

Partie B – Construction

On cherche dans cette partie à établir l’existence d’une suite décroissante (p ourl’inclusion) de segments (I k)k≤n vérifiant les quatre conditions suivantes :

(C1) I 0 = J 1

(C2)

∀k

∈[[1, n

−2]], f (I k) = I k−1

(C3) f n−1(I n−1) = J 0(C4) f n(I n) = J 1

1. Soient I un segment, φ : I → I continue et K = [α, β ] un segment non videet non réduit à un point inclus dans φ(I ).

(a) Montrer l’existence de a, b ∈ I tels que φ(a) = α et φ(b) = β . On suppose,par symétrie, que a < b.

(b) Soit A = {x ∈ [a, b], φ(x) = β }. Justifier l’existence de v = min A.On considère de même u = max B où B = {x ∈ [a, v], φ(x) = α}.

(c) Montrer l’existence d’un segment L ⊂ I tel que K = φ(L).2. (a) Construire une suite (I k)k≤n−2 satisfaisant (C1) et (C2).

(b) Montrer que cette suite vérifie que ∀k ∈ [[1, n − 2]], f k(I k) = J 1.3. Montrer que J 0 ⊂ f (J 1) = f n−1(I n−2) ; en déduire l’existence d’un segment

I n−1 satisfaisant la condition (C3).

4. Montrer que J 1 ⊂ f n(I n−1) ; en déduire l’existence de I n satisfaisant la condi-tion (C4).

Partie C – Théorème de Sarkovskii

On considère dorénavant une suite décroissante de segments (I k)k≤n vérifiant lesquatre conditions (C1), (C2), (C3) et (C4).

1. Montrer que f n admet au moins un point fixe dans I n. On notera x0 l’un deces points fixes.

2. Montrer que x0 /∈ {f (a), f 2(a)}.3. Conclure que x0 est de période n.

Problème II – Billard circulaire

Le but de ce problème est d’étudier le mouvement d’une boule de billard dans unbillard circulaire sans frottement.On considère dans un plan horizontal un billard circulaire, de rayon 1. On l’identifieau disque unité du plan complexe,

D = {z ∈ C | |z| ≤ 1} .

Le bord du billard s’identifie donc au cercle unité de centre O,

Γ = {z ∈ C | |z| = 1} .Une b oule de billard, supposée ponctuelle, est lancée à l’instant t = 0, d’un pointM 0 du bord du billard d’affixe z0, avec un vecteur vitesse initial V 0, de module

1, l’angle orienté de−→

M 0O vers V 0 ayant pour mesure un nombre r éel α tel queα ∈ −π

2, π2

. On désigne par z(t) l’affixe de la position M (t) de la boule de billard

à l’instant t ≥ 0. On suppose que le mouvement de la boule de billard se poursuità l’infini sans frottement : entre deux chocs successifs sur le bord, le mouvementest supposé rectiligne uniforme.


8/15/2019 Devoirs -2010/2011

34/67

Partie A – Sous-groupes de R

On rappelle que x ∈ R est un p oint adhérent à une partie X de R si et seulements’il existe une suite d’éléments de X qui tend vers x.

1. Soit G un sous-groupe du groupe additif R, non réduit à {0}. On considère

G+ = {x ∈ G | x > 0} .

(a) Montrer que G+ a une borne inférieure que l’on note a.

(b) Montrer que si a > 0, alors G est le sous-groupe

Ga = {na | n ∈ Z} .

(c) Montrer que si a = 0, alors tout point de R est un p oint adhérent à G.Indication : On montrera d’abord que 0 est un point adhérent à G+.

2. Soit β ∈ R tel que βπ n’est pas rationnel.On considère l’ensemble

H β = {kβ + 2π | k ∈ Z , ∈ Z} .

(a) Montrer que tout nombre réel est un point adhérent à H β.

On pose

H +β = {x ∈ H β | x > 0} ,S β = {kβ + 2π | k ∈ N, ∈ Z, kβ + 2π > 0} ,S β = {−kβ + 2π | k ∈ N, ∈ Z, −kβ + 2π > 0} .

(b) Montrer que 0 est un point adhérent à S β ou à S β.

(c) On suppose que (−knβ + 2nπ)n∈N est une suite de S β qui converge vers0. Montrer que la suite (kn)n∈N d’éléments de N n’est pas bornée. Endéduire qu’il existe une suite de S β qui converge vers 0.

(d) Montrer que tout nombre réel pos itif est un point adhérent à S β.

Partie B – Généralités sur le billard circulaire

On suppose dans la suite que les chocs de la boule sur le bord du billard sont desréflex ions élastiq ues, c’est-à-dire que :

la composante tangentielle du vecteur vitesse après le choc est égale à celledu vecteur vitesse avant le choc,

la composante radiale du vecteur vitesse après le choc est opposée à celle duvecteur vitesse avant le choc.

1. Montrer que la boule de billard rebondit sur le bord Γ du billard en les pointsM n, n ∈ N∗, d’affixes zn = z0einβ, où β est un nombre réel tel que 0 < β < 2π,que l’on déterminera en fonction de α.

2. Calculer le temps mis par la boule pour parcourir la corde M j−1M j , j ∈ N∗,et le temps mis pour atteindre le point M n, n ∈ N∗.

3. Trouver l’affixe z(t) de la position M (t) de la boule à l’instant t.

Partie C – Trajectoires périodiques et non-périodiques

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur α pour que le mouvementde la boule soit périodique. Trouver alors la période du mouvement.

2. On suppose doŕenavant que le mouvement de la boule de billard n’est paspériodique.

(a) Montrer que, pour tout z ∈ Γ, il existe une suite d’entiers positifs ounuls (kn)n∈N telle que lim zkn = z.

(b) Montrer que, pour tout point z de la couronne C α = {z ∈ C | | sin α| ≤|z| ≤ 1}, il existe une suite de nombres réels positifs ou nuls (tn)n∈N telleque lim z(tn) = z.

(c) Déterminer quels sont les points du billard q ui sont adhérents à la tra-

jectoire de la boule.


8/15/2019 Devoirs -2010/2011

35/67

Ave Cesar (zud bdrzq)

On cherche à crypter un texte t de longueur n comp osé de caractères en minuscules(soit 26 lettres différentes) représentés par des entiers compris entre 0 et 25 (0 ↔a, 1 ↔ b, . . .25 ↔ z). Nous ne tenons pas compte des éventuels espaces.

Ainsi, le texte ecolepolytechnique est représenté par le tableau suivant oùla première ligne représente le texte, la seconde les entiers correspondants, et latroisième les indices dans le tableau t.

e c o l e p o l y t e c h n i q u e4 2 14 11 4 15 14 11 24 19 4 2 7 13 8 16 20 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Partie I – Codage de César

Ce codage est le plus rudimentaire que l’on puisse imaginer. Il a été utilisépar Jules César (et même auparavant) p our certaines de ses correspondances. Leprincipe est de décaler les lettres de l’alphabet vers la gauche de 1 ou plusieurspositions. Par exemple, en décalant les lettres de 1 position, le caractère a se

transforme en z, le b en a, ... le z en y. Le texte avecesar devient donc zudbdrzq .Question 1 Que donne le codage du texte maitrecorbeau en utilisant un décalagede 5?

Question 2 Écrire la fonction codageCesar(t,n,d) qui prend en arguments letableau t, sa longueur n et un entier d ; et qui retourne un tableau de même tailleque t contenant le texte t d́eca ĺe de d positions.

Question 3 Écrire de même la fonction decodageCesar(t,n,d) prenant les mêmesarguments mais qui r éalise le décalage dans l’autre sens.

Pour réaliser ce décodage, il faut connaı̂tre la valeur du décalage. Une manière dela déterminer automatiquement est d’essayer de deviner cette valeur. L’approchela plus couramment employée est de regarder la fréquence d’apparition de chaquelettre dans le texte crypté. En effet, la lettre la plus fréquente dans un texte

suffisamment long en français est la lettre e.Question 4 Écrire la fonction frequences(t, n) qui prend en argument un tableaut de taille n représentant le texte crypté ; et qui retourne un tableau de taille26 dont la case d’indice i contient le nombre d’apparitions du nombre i dans t(0 ≤ i < 26).Question 5 Écrire la fonction decodageAuto(t, n) qui prend en argument le ta-bleau t de taille n représentant le texte crypté ; et qui retourne le texte t d’origine(en calculant la clé pour que la lettre e soit la plus fréquente dans le texte décrypté).

Partie II – Codage de Vigenère

Au XVIème siècle, Blaise de Vigenère a modernisé le codage de César très peurésistant de la manière suivante. Au lieu de décaler toutes les lettres du texte dela même manière, on utilise un texte clé qui donne une suite de décalages.

Prenons par exemple la clé concours. Pour crypter un texte, on code lapremière lettre en utilisant le décalage qui envoie le a sur le c (la première lettrede la cl é). Pour la deuxième lettre, on prend le décalage qui envoie le a sur le o(la seconde lettre de la clé) et ainsi de suite. Pour la huitième lettre, on utilise le

décalage a vers s, puis, pour la neuvième, on reprend la clé à partir de sa premièrelettre. Sur l’exemple ecolepolytechnique avec la clé concours, on obtient : (lapremière ligne donne le texte, la seconde le texte crypté et la troisième la lettrede la clé util isée pour le décalage).

e c o l e p o l y t e c h n i q u eg q b n s j f d a h r e v h z i w sc o n c o u r s c o n c o u r s c o

Question 6 Donner le codage du texte becunfromage en util isant la clé de codagejean.

Question 7 Écrire la fonction codageVigenere(t,n,c,k) qui prend comme ar-guments un tableau t de taille n représentant le texte à crypter, et un tableaud’entiers c de longueur k donnant la clé servant au codage; et qui retourne untableau de taille n contenant le texte crypté t.

Maintenant, on suppose disposer d’un texte t assez long crypté par la métho dede Vigenère, et on veut retrouver le texte t d’origine. Pour cela, on doit trouver laclé c ayant servi au codage. On procède en deux temps : 1) détermination de lalongueur k de la cĺe c, 2) détermination des lettres composant c.

La première étape est la plus difficile. On remarque que deux lettres identiquesdans t espacées de × k caractères (où est un entier et k la taille de la clé) sontcodées par la même lettre dans t. Mais cette condition n’est pas suffisante pourdéterminer la longueur k de la cĺe c puisque des répétitions peuvent apparaı̂tredans t sans qu’elles existent dans t. Par exemple, les lettres t et n sont toutesdeux codées par la lettre h dans le texte crypté à partir de ecolepolytechniqueavec concours comme clé. Pour éviter ce problème, on recherche les répétitionsnon pas d’une lettre mais de séquences de lettres dans t puisque deux séquences delettres répétées dans t, dont les premières lettres sont espacées par ×k caractères,sont aussi cryptées par deux mêmes séquences dans t.

Dans la suite de l’énoncé, on ne considère que des séquences de taille 3 ensupposant q ue toute répétition d’une séquence de 3 lettres dans t provient exclu-sivement d’une séquence de 3 lettres répétée dans t. Ainsi, la distance séparant ces


8/15/2019 Devoirs -2010/2011

36/67

répétitions donne des multiples de k.La valeur de k est obtenue en prenant le PGCD de tous ces multiples. Si le

nombre de répétitions est suffisant, on a de bonnes chances d’obtenir la valeur dek. On suppose donc que cette assertion est vraie.

Question 8 Écrire la fonction pgcd(a, b) qui calcule le PGCD des deux entiersstrictement positifs a et b par soustractions successives de ses arguments.

Question 9 Écrire la fonction pgcdDesDistancesEntreRepetitions(t, n , i) quiprend en argument le texte crypté t de longueur n et un entier i (0 ≤ i < n − 2)qui est l’indice d’une lettre dans t ; et qui retourne le pgcd de toutes les distancesentre les répétitions de la séquence de 3 lettres t[i], t[i + 1

devoirs -2010/2011

Documents