tscpi 1 (2009--2010) devoirs surveillés

8/8/2019 TSCPI 1 (2009--2010) Devoirs surveillés

http://slidepdf.com/reader/full/tscpi-1-2009-2010-devoirs-surveilles 1/12

Fascicule de devoirs1 ère année pour BTS

Conception de produits industrielsAnnée 2009 – 2010 : Une moitié de l’année scolaire…



tscp 1 Devoir n°1

I. 1) Dériver les 2 fonctions u et v définies par les égalités u(x)=3

xet v(x) = x

e2

.

2) Soit h la fonction définie sur ℝ par h(x)= xe

x 2

3. Calculer la dérivée de h à partir de la

question précédente.

3) Calculer h’(x) + 2 h(x) .

________________________

II. 1) Dériver la fonction g définie par g(t) = t sin t .2) Dériver la fonction h définie par h(t) = t 2 cos(3 t ).

_________________________

III. 1) Dériver la fonction numérique f définie sur ]0, + ∞ [ par f(x) = x ln x – x.2) En déduire les sens de variation de f sur ]0 ; + ∞ [.3) Trouver sur ]0 ; + ∞ [ la fonction primitive de ln prenant la valeur 0 en 1.

_______________________

1) Prouver que f est définie sur [0 ; + ∞ [. Calculer la fonction dérivée de f .2) Calculer une fonction primitive de f sur [0 ; + ∞ [.3) Trouver la primitive h de f sur [0 ; + ∞ [ telle que h(0) = 0.

Extraits de formulaire :Dérivées et primitives

f(t) f’(t) f(t) f’(t)

t α (α ℝ )ln t

cos t sin t

ℝ α.t α– 1

– sin t cos t

e αt (α ℂ ) ℂ α. e αt

La notation porte sur la clarté, la précision et la qualité dans la rédaction.



tscp 1 Corrigé du devoir n°1

2) Le signe de ln étant connu ( de plus ln 1 = 0), on obtient le tableau :

x 0 1 + ∞ f ’(x) = ln x – 0 +

f – 1

IV. 1) ≤t 4 ≤ t +4 .En particulier f est définie sur [0 ; + ∞ [. Il en est de même pour la fonction g définie par

4

≤ 4

≤ 4

F est une primitive de f sur [0 ; + ∞ [.

≤ 4 4

4 4 4 ≤



tscpi1 Devoir n°2

I. Soit (E) l’équation différentielle x y’ – 3 y = 0 où y est une fonction numérique de lavariable réelle x, définie et dérivable sur ]0, + [.

1) Résoudre sur ]0, + [ l’équation différentielle (E). 2) Trouver la solution particulière f de (E) telle que f(1) = 3.

II. On se propose de trouver sur ]0, + [ la solution f de l’équation différentielle linéaire (E) : xy’ + ( x – 2) y = 0 où y est une fonction numérique de la variable réelle x,définie et

dérivable sur ]0, + [ telle que f(1) = 1 .

1) On écrit pour 0< x, h(x)= 1 – x

2. Trouver sur ]0, + [ une primitive de h.

2) Résoudre sur ]0, + [ l’équation différentielle (E). 3) Déterminer la solution f de l’équ ation différentielle (E) prenant la valeur 1 pour x= 1.

III. Soit (E) l’équation différentielle y’+ y =2

1e-x où y est une fonction numérique de la

variable réelle x, définie et dérivable sur ℝ .

1) Résoudre sur ℝ l’équation différentielle (E 0) : y’+ y = 0.

2) Dériver les deux fonctions x↦2

xet x ↦ e – x.

3) Soit h la fonction définie sur ℝ par h(x)= xe

x

2. Vérifier si h est une solution de (E).


f(t) f’(t) f(t) f’(t)

t α (α ℝ )ln t

ℝ α.t α– 1

1/ t e αt (α ℂ ) ℂ α. e αt



tscpi1 Corrigé du devoir n°2

I 1) On écrit pour 0< x, r(x)= x

3 = -3( x

1) et R(x)= -3 ln x : R’(x)= r(x) .

Sur ]0, +∞[, les solutions de (E) sont toutes les fonctions x ↦ Ce3ln x

= Cx3

oùC est uneconstante réelle.

2) Pour f solution de (E) sur ]0, +∞[ on écrit pour 0< x, f(x)= Cx 3 oùC est une constante réelle.Alors f (1)=C (1)3=C et f(1)=3 pourC= 3.Finalement la fonction f cherchée est définie par f(x)= 3 x3 pour 0< x.

II.1) On écrit pour 0 < x, H(x)= x – 2 ln x et ainsi : H’(x)= 1 – 2 ( x

1) = 1 –

x

2. On a bien :

Pour 0< x, H’(x)=h(x) .

2) On écrit pour 0< x, r(x)= )(2

122

xh x x x

x

x

x

R(x) = H(x)= x – 2 ln x ; R’(x)=h(x) = r(x) .e-R(x) = e -x+2lnx=e -x e2ln x = e-x x2

Sur ]0, +∞[, les solutions de (E) sont toutes les fonctions x ↦ C e -x x2 où C est une constanteréelle.

III. 1) On écritr(x)= 1/1 =1 et R(x)=x : R’(x)=r(x) .Les solutions de (E0) sont toutes les fonctions x ↦ Ce -x où C est une constante réelle.

2) On doit remarquer que x x

2

1

2et que – x= (-1) x pour dire que:

La fonction x ↦ x /2 a pour fonction dérivée x ↦ 1/2La fonction x ↦ -x a pour fonction dérivée x ↦ -1 et que la fonction x ↦ e-x a pour fonctiondérivée x ↦ (-1)e-x.

3) À partir de l’égalité h(x)= xe x

2, on obtient :h’(x)= (1/2)e-x + ( x/ 2)[-e-x]= x x e

xe

22

1 ,

soit :h’(x)= xe2

1 – h(x) . Finalementh’(x)+ h(x) = xe

2

1 pour tout réel x.

On a bien prouvé queh est une solution de (E) surℝ .



Devoir surveillé n° 3 tscpi1

I. On se donne les 2 équations différentielles suivantes :

(E) : xdt

dxt 4 0

(F) : xdt

dxt 4 4.t 4 – 5 t 3

où x est une fonction de la variable réelle t , avec 0 < t , etdt

dxest la fonction dérivée de x.

1°) Résoudre (E) sur ] 0 ; + [ .

2°) x étant une fonction numérique définie et dérivable sur ]0, + [, on écrit pour 0< t , x(t)= t 4. k(t) où forcément k(t)=x(t)/t 4 : k est une fonction définie et dérivable sur ]0, + [.a) Que donne le calcul t.x’(t)– 4. x(t) en fonction de k’(t) et k(t) ?b) Calculer k pour que x soit une solution de (F).

3°) Résoudre (F) sur ] 0 ; + [ .

4°) Trouver la solution x1 de (F) telle que x1(1)=0.

II On considère les 2 équations différentielles (E 0) : x.y’ + 2. y= 0 et (E) : x.y’ + 2. y= 10 x – 1 où y désigne une fonction numérique de la variable réelle x, y’ sa fonction dérivée et x appartient àl’intervalle ]0, + [.

1°) Résoudre (E 0) sur ]0, + [.

2°) Avec a et b réels constants on écrit s(x)=ax+b pour 0< x.Calculer a et b pour que s soit une solution particulière de (E).

3°) En déduire toutes les solutions de (E) sur ]0, + [.

4°) Trouver la solution particulière f de (E) qui vérifie f(1)=2.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


f(t) f’(t) f(t) f’(t)

t α (α ℝ )ln t

ℝ α.t α– 1

t

1

e αt (α ℂ )

t

1

ℂ α. e αt

2

1

t



Corrigé du devoir n° 3 tscpi1

I.1°) On écrit pour 0< t , r(t)= -4/ t=- 4(1/ t ) et R(t)=- 4.ln t : R’(t)=r(t) et e-R(t)=e 4.ln t = t 4.

Ainsi sur ]0, + [, les solutions de (E) sont toutes les fonctions t ↦

C.t 4

où C est une constanteréelle.

2°)a) Pour 0< t , x’(t)= 4t 3.k(t)+t 4.k’(t) d’où t.x’(t)= 4(t t 3)k(t)+( t t 4).k’(t)= 4.t 4.k(t)+t 5.k’(t) .4. x(t)= 4.t 4.k(t).

De cette manière : t.x’(t) – 4. x(t)= t 5.k’(t) pour 0< t .2°)b) Les propriétés {...} suivantes sont équivalentes : { x est solution de (F) sur ]0, + [},

{t.x’(t)– 4. x(t) = 4. t 4 – 5 t 3 pour 0< t }, { t 5.k’(t)= 4. t 4 – 5 t 3 pour 0< t },

{k’(t)= 5

34 54t

t t = 4.

t t

t

4

4

– 5 23

3

t t

t = 4 )

1(5

12t t

pour 0< t },

{k est sur ]0, + [ une primitive de la fonction t ↦ 4 )1(512t t

},

{k(t)= 4.ln t +5(1/ t )+ C pour 0< t , avec C constante réelle}.Finalement : x est solution de (F) sur ]0, + [ si et seulement si : k(t)= 4.ln t +5/ t + C pour 0< t , avec C constante réelle.

3°) On utilise les notations, la rédaction et les résultats de la question précédente pour k :

x est solution de (F) sur ]0, + [ si et seulement si : x(t)=t 4.( 4.ln t +5/ t + C )=4 t 4ln t +5 t 3+Ct 3

pour 0< t , avec C constante réelle.

4°) x1 étant une solution de (F), on a pour 0< t , x1(t)= 4t 4ln t +5 t 3+Ct 3 avec C constante réelle. x1(1)=4 1 0+5 1+ C =5+C. Alors x1(1)=0 pour C= -5. La fonction cherchée x1 est définiepar : x1(t)= 4t 4ln t +5 t 3 – 5t 3pour 0< t .

II.1°) On écrit pour 0< x, r(x)= 2/ x= 2(1/ x) et R(x)= 2.ln x : R’(x)=r(x) et :e-R(x)=e -2.ln x= x -2= 1/ x2.

Ainsi sur ]0, + [, les solutions de (E 0) sont toutes les fonctions x↦ C (1/ x2) =C/x 2 où C estune constante réelle.

2°) Pour 0< x, s(x)=ax+b et s’(x)=a d’où xs’(x)+ 2s(x)=ax +2( ax+b ) soit : xs’(x)+ 2s(x)= 3ax+ 2b pour 0< x.

Les propositions suivantes sont équivalentes : { s est solution de (E) sur }0, + [},{ xs’(x)+ 2s(x)= 10 x – 1 pour 0< x}, {3 ax+ 2b= 10 x – 1 pour 0< x}.Ces propositions sont réalisées lorsque a et b vérifient les systèmes d’égalités équiv alentssuivants : {3 a= 10 et 2 b= – 1}, { a= 10/3 et b= – 1/2}.

Finalement on choisit a= 10/3 et b= – 1/2, c'est-à-dire on prend désormais :s(x)= 10 x/ 3 – 1/2 pour 0< x et s est une solution de (E) sur ]0, + [.



3°) A la solution particulière s de (E) on ajoute toutes les solutions de (E 0)(l’équationdifférentielle homogène associée à (E)) pour avoir toutes les solutions de (E) sur ]0, + [, il

s’agit de toutes les fonctions : x ↦ 10 x/ 3 – 1/2 +C/x 2 où C est une constante réelle .

4°) f étant une solution de (E) on écrit pour 0< x, f(x)= 10 x/ 3 – 1/2+C/x 2 ( avec C constanteréelle).

f(1)= 10/3 – 1/2 + C/ 1= 20/6 – 3/6+ C , soit f(1) =17/6+ C ; f(1)=2 pour C= 2 – 17/6=12/6 – 17/6,soit pour C= -5/6.

Ainsi :La fonction cherchée f est définie par : f(x)= 10 x/ 3 – 1/2 – 5 / (6 x2) pour 0< x.



Tscpi1 Devoir surveillé n°4

1ère partie

On considère l’équation différentielle (E) : +2 x= 0,7+ t où x est une fonction numérique

de la variable réelle t , définie et dérivable sur [0, + [, est la fonction dérivée de x.

1) Résoudre sur [0, + [ l’équation différentielle (E 0) :dt

dx+ 2 x = 0.

2) Soit a et b 2 réels constants et φ la fonction numérique définie sur [0, + [ par l’égalité :φ(t)=at+b. .

a) Calculer en fonction de a , b et t , φ’(t) + 2 φ(t) .b) Calculer a et b pour que φ soit une solution particulière de (E) sur [0, + [.

3) Résoudre sur [0, + [, l’équation différentielle (E). 4) Déterminer la solution particulière f de (E) telle que : f(0)= 1.

2ème partie On considère la fonction numérique f définie par : f(t)= 0,5 t + 0,1 + 0,9 e – 2t pour 0 t .(C) est la représentation graphique de f dans un repère orthonormé R= (O , ) du plan oùl’unité de longueur vaut 5 cm. 1) Calculer la limite de f en + . Calculer la fonction dérivée de f .2) Etudier soigneusement le signe de f’(t) en fonction de t , donner le tableau de variation de f sur [0, + [.3) Trouver l’équation de (T) la tangente à (C) au point d’abscisse 0.4) Prouver que (C) admet une asymptote (D) dont on déterminera une équation. Déterminerla position de (C) par rapport à (D). 5) Tracer (T), (D) et (C) sur l’annexe au sujet (On y a placé sur l’axe des abscisses lagraduation t 0 =0,5. ln(3,6) et sur l’axe des ordonnées la graduation f(t 0)).

3ème partieSur l’annexe au sujet on a placé le cercle trigonométrique (C) associé au repère orthonorméℛ = ( O, , ) et la droite (D) d’équation x =1.1°) Placer sur le cercle trigonométrique, les graduations 0, – et 2°) Avec des constructions simples à présenter, placer sur les supports géométriquesconvenables les graduations Arc cos ( – 0,7) et = Arc sin (0,3).3°) Avec des constructions simples à présenter, placer sur les supports géométriquesconvenables les graduations Arc tan ( – 1,3), = Arc tan (1,3).


f(t) f’(t) f(t) f’(t)

t α (α ℝ) α.t α– 1 e αt (α ℂ) α . e αt

Limites usuelles (à utiliser dans la 2 ème partie, question 1) :t lim et = 0 et

t lim et = + .

dt

dx

dt

dx

ji ,



-1

-1

0 1

1

x

y

Nom : Annexe au sujet (à rendre) tscp1

Figure de la 2 ème partie

f(t 0)

t 0




Tscpi1 Corrigé du devoir surveillé n°4

1ère partie1) On écrit pour 0 t , r(t)= 2 et R(t)= 2t : R’(t)=r(t) . Ainsi sur [0, + [, les solutions de (E 0)

sont toutes les fonctions t ↦ C .e-2t où C est une constante réelle.2) a) Pour 0 t , φ’(t)=a et φ’(t)+ 2 φ(t) = a + 2( at+b )= a+2b+ 2at .2) b) Les propositions (…) suivantes sont équivalentes : (φ est solution de (E) sur [0, + [),(φ’(t) +2 φ(t)= 0,7+ t pour 0 t ), (a+2b+2at= 0,7+ 1. t pour 0 t ).On est ramené à la recherche de a et b vérifiant un des systèmes d’égalités équivalentssuivants : { 2 a= 1 et a+ 2b= 0,7}, { a= 0,5 et 0,5+2 b= 0,7}, { a= 0,5 et 2 b= 0,2},{a= 0,5 et b= 0,1}.Désormais on écrit pour 0 t , φ(t)= 0,5 t+ 0,1 : φ est une solution particulière de (E) sur[0, + [.

3) A la solution particulière de (E) on ajoute toutes les solutions de (E 0) pour avoir toutesles solutions de (E) sur I : Sur [0, + [, toutes les solutions de (E) sont toutes les fonctions

t ↦ 0,5 t +0,1+ Ce -2t où C est une constante réelle.4) f étant une solution particulière de (E), on écrit pour 0 t , f(t)= 0,5 t +0,1+ Ce -2t avec C constante réelle ; f(0)= 0,5 0+0,1+ C e0= 0,1+ C et f(0)=1 pour C =1 – 0,1=0,9. Finalement : f(t)= 0,5 t +0,1+0,9 e-2t pour 0 t .

2ème partie1)

x

lim e x = 0 ett

lim -2 t= - donnentt

lim e-2t =0 d’où t

lim 0,9e-2t =0.

D’autre partt

lim (0,5 t +0,1)=+ et f(t)= (0,5 t+ 0,1)+0,9 e-2t d’oùt

lim f(t)= + .

Pour 0 t , f’(t)= 0,5+0+0,9 -2e-2t

, soit f’(t) = 0,5 – 1,8e-2t

. Ainsi f’( 0)= 0,5 – 1,8= -1,3.2) ∗ Les propositions suivantes (…), écrites pour 0 t , sont équivalentes :( 0< f’(t)= 0,5 – 1,8e-2 t ), (1,8. e-2t < 0,5), ( e-2t <0,5/1,8 = 1/3,6), ( e-2t < ln(1/3,6) ), ( -2 t <-ln(3,6)),(0,5ln(3,6)< t ).Pour la suite on note t ₀ = 0,5. ln(3,6).

∗ On vient de vé rifier qu’avec 0 t : 0< f’(t) pour t ₀ <t . De la même façon : f’(t)< 0 pour t <t ₀ et f’(t)= 0 pour t=t ₀ . On peut donc donner le tableau suivant de variation de f où le signe de f’(t) vient d’être justifié :

t 0 t ₀ + f’(t) -1,3 – 0 + f(t) 1 f(t ₀ ) +

3) f’( 0)= -1,3 est le coefficient directeur de (T). (T) passe par le point de coordonnées 0 et f(0)=1 : 1 est l ’ordonnée à l’origine de (T). De cette manière (T) a pour équation y= -1,3 t +1.4) L’écriture f(t)= (0,5 t+ 0,1)+0,9 e-2t ,valable pour 0 t , avec

t

lim 0,9e-2t =0 prouve

automatiquement que la droite (D) d’équation x= 0,5 t+ 0,1 est asymptote à (C).De plus 0< e-2t d’où 0< 0,9 e-2t pour 0 t : C’est la preuve que (C) est au -dessus de (D).



-1

-1

0 1

1

x

y

Nom : Annexe au sujet (à rendre) tscp1


f(t 0)

t 0


1,3

/2 1

0,3

(C) (D)

( – /2 )

( – 1,3)

L’axe (D) est gradué,on y a placéles graduations 1,3et – 1,3.

tscpi 1 (2009--2010) devoirs surveillés

Documents