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Des algorithmes dans les graphes

stage IREM - Nov./Dec. 2010

Plan

1 Cinq problemes. . .

2 Les graphes

3 Des algorithmesParcoursArbres couvrants minimauxPlus courts cheminsChemins HamiltoniensChemins Euleriens

4 Representation des graphes

Comment sortir ?

novembre 29, 2010_1.pdf - Page 3

Trouver un chemin optimal

Comment aller de Chevaleret a Porte de Bagnolet ?

Funiculaire deMontmartre

Orlyvaltarificationspéciale

Stade de FranceSt-Denis

St-Denis–Porte de Paris

Basiliquede St-Denis

Portede St-Ouen

LamarckCaulaincourt

JulesJoffrinGuy

Môquet

Portede Clichy

ChâteletLes Halles

Stalingrad

MarcadetPoissonniers

Hôtel de Ville

Arts etMétiers

Château Rouge

StrasbourgSt-Denis

St-Mandé

Hoche

MarxDormoy

La CourneuveAubervilliers

Le Bourget

Jaurès

Placedes Fêtes

Belleville Jourdain Télégraphe

Ourcq Portede Pantin

JacquesBonsergent Saint-Fargeau

PelleportPorte

de Bagnolet

Danube

BotzarisButtes

Chaumont

République

Parmentier

SèvresBabylone

RichelieuDrouot

Palais RoyalMusée du

Louvre

RéaumurSébastopol

Raspail

Pyramides

MontparnasseBienvenüe

Mabillon

ClunyLa Sorbonne

MalakoffRue Étienne Dolet

Chaussée d’AntinLa Fayette

BonneNouvelle

GrandsBoulevards

Bourse Sentier

BarbèsRochechouart

LaChapelle

Pigalle

PoissonnièreLiège

Notre-Damede-Lorette

St-Georges

Abbesses

Anvers

La Fourche

Placede Clichy

Pereire–Levallois Blanche

Villiers

OpéraAuber

HavreCaumartin

Trinitéd’Estienne

d'Orves

FranklinD. Roosevelt

Neuilly–Porte Maillot

Avenue Foch

Bir-Hakeim

Invalides

Pasteur

Pontde l’Alma

JavelAndréCitroën

Javel

Michel-AngeMolitor

La Muette

Michel-AngeAuteuil

Boulainvilliers Champ de MarsTour Eiffel

ChampsÉlysées

ClemenceauTrocadéro

AvenueHenri

Martin

Avenue duPdt Kennedy

Commerce

Félix Faure

Ruede la Pompe Iéna

Ranelagh

Jasmin

Exelmans

ChardonLagache

Églised’Auteuil

Duroc

La MottePicquetGrenelle

Assemblée Nationale

Varenne

St-MichelNotre-DameSolférino

Musée d’Orsay

Concorde Les Halles

Jussieu

Odéon

Étienne Marcel

Vavin

St-Germaindes-Prés

St-Sulpice

St-PlacidePlace Monge

Pont NeufTuileries

Notre-Damedes-Champs

Luxembourg

Port-Royal

LouvreRivoli

St-Michel

Bastille

Daumesnil

Reuilly–Diderot

PèreLachaise

Oberkampf

Quai dela Rapée

SaintMarcel Bercy

Fillesdu Calvaire

Chemin Vert

St-SébastienFroissart

Ruedes Boulets

Charonne

SèvresLecourbe

Cambronne

PontMarie

SullyMorland

PhilippeAuguste

AlexandreDumas

Avron

Voltaire

Quatre Septembre

St-Ambroise

RueSt-Maur

Pte deVincennes

Maraîchers Portede Montreuil

Robespierre

Croix de Chavaux

Buzenval

Pyrénées

Laumière

Châteaud’Eau

Porte Dorée

Porte de Charenton

Ivrysur-Seine

Portede Choisy

Ported’Italie Porte d’Ivry

Olympiades

Créteil–UniversitéCréteil–L’Échat

Maisons-AlfortLes Juilliottes

Maisons-Alfort–Stade

DenfertRochereau

MaisonBlanche

CensierDaubenton

Tolbiac

Le KremlinBicêtre Villejuif

Léo LagrangeVillejuifPaul Vaillant-Couturier

GlacièreCorvisart

NationaleChevaleret

CitéUniversitaire

Gentilly

Antony

MalakoffPlateau de Vanves

MoutonDuvernet

Gaîté

EdgarQuinet

Bd Victor

Issy

Portede St-Cloud

Pantin

Magenta

Vitrysur-Seine

Saint-Ouen

Ledru-Rollin

Ménilmontant

Couronnes

ColonelFabien

Montgallet

Michel Bizot

Charenton–Écoles

Liberté

FaidherbeChaligny

École Vétérinairede Maisons-Alfort

St-Paul

MaubertMutualité

CardinalLemoine

Temple

ChâteauLandon

Bolivar

Église de Pantin

Bobigny–PantinR. Queneau

RiquetCrimée

Corentin CariouPorte de la Villette

Aubervilliers–PantinQuatre Chemins

Fortd’Aubervilliers

LesGobelins Campo

FormioQuai

de la GareCour

St-Émilion

Pierre et Marie Curie

Dugommier

Bel-AirPicpus

St-Jacques

Dupleix

Passy

Alésia

Pernety

Plaisance

Pte de Vanves

Convention

Vaugirard

Porte de Versailles

Corentin Celton

Volontaires

Falguière

Lourmel

Boucicaut

Ségur

Ruedu Bac

Rennes

SaintFrançoisXavier

Vaneau

ÉcoleMilitaire

La Tour Maubourg

AvenueÉmile Zola

CharlesMichelsMirabeau

Ported’Auteuil

BoulogneJean Jaurès

Billancourt

MarcelSembat

Cité

AlmaMarceau

Boissière

KléberGeorge V

Argentine

Victor Hugo

Les SablonsPorte Maillot

Pont de Neuilly

Esplanadede La Défense

St-Philippedu-Roule

MiromesnilSt-Augustin

Courcelles

Ternes

Monceau

RomeMalesherbesWagram

Porte de Champerret

Anatole FranceLouise Michel

Europe

Le PeletierCadet

Pereire

Brochant

Mairiede Clichy

Garibaldi

Mairiede St-Ouen

CarrefourPleyel

Simplon

Bérault

RichardLenoir

Goncourt

BréguetSabin

Rambuteau

La PlaineStade de France

Madeleine

Gabriel Péri

BibliothèqueFr. Mitterrand

Les Agnettes

Portede Clignancourt

Garede l’Est

Garede Lyon

St-Denis–Université

Portede la Chapelle

La Courneuve8 Mai 1945

BobignyPablo Picasso

PréSt-Gervais

Mairiedes Lilas

Mairiede Montreuil

Gallieni

LouisBlanc

Portedes Lilas

Gambetta

Gare du Nord

Charlesde Gaulle

Étoile

Pont de LevalloisBécon

PorteDauphine

La Défense

BoulognePont de St-Cloud

Châtelet

Gared’Austerlitz

Nation

Châteaude Vincennes

Créteil–Préfecture

Mairie d’Ivry

Placed’Italie

VillejuifLouis Aragon

Mairie d’Issy

Châtillon–Montrouge

Pontde Sèvres

IssyVal de Seine

Gare St-Lazare

GareMontparnasse

HaussmannSt-Lazare

Ported’Orléans

Balard

Pontdu Garigliano

St-Lazare

Asnières–GennevilliersLes Courtilles CDG

Grande Arche

Orly

Paris

www.ratp.fr

MR

Prop

riété

de

la R

ATP

- Age

nce

Cart

ogra

phiq

ue -

PMI 0

4-20

08- B

O D

esig

n: b

dcco

nsei

l - R

epro

duct

ion

inte

rdite


Comment aller de Paris a Morlaix ?

• en minimisant la distance ?

• en minimisant la duree ?

• en minimisant le cout ?

• . . .

Calculs de plus courts chemins dans un graphe !

Le probleme de la ville embourbee

Probleme : Paver suffisamment de rues pour que tous leshabitants puissent se rendre n’importe ou les pieds ausec. . . mais en utilisant le moins de paves possible.novembre 29, 2010_4.pdf - Page 2

Le probleme des bandits

Probleme : Des bandits veulent visiter toutes les villes d’uneregion sans jamais repasser par une ville.


Le probleme de la goudronneuse

Probleme : On veut faire passer une goudronneuse une etune seule fois par chaque rue.(on s’autorise a repasser aux croisements. . . )novembre 29, 2010_2.pdf - Page 5

Plan


2 Les graphes



Les graphes

G = (S ,A) :

• S est un ensemble fini de sommets.

• A est un ensemble fini d’aretes (ou arcs, outransitions. . . ).

On va considerer des graphes orientes ou non-orientes, etparfois values.


Les graphes

G = (S ,A) :

• S est un ensemble fini de sommets.

• A est un ensemble fini d’aretes (ou arcs, outransitions. . . ).

On va considerer des graphes orientes ou non-orientes, etparfois values. novembre 29, 2010_3.pdf - Page 7

Plan


2 Les graphes



Comment sortir ?


Quel algorithme ?

Quel est le probleme ?

Longer le mur sur la gauche ?

Utiliser un fil d’Ariane ?

Exemple


Parcourir sans boucler

Commencer par la premiere case du labyrinthe. . .

1 Si la case courante est la sortie, alors c’est fini !

2 (Sinon :) marquer la case

3 pour chaque case C atteignable en “un coup” :

Si la case C n’est pas marquee, l’explorer enrecommencant au point 1

Du labyrinthe au graphe


Parcours depuis une origine

Initialisation : Couleur[r ]← blanc et Π[r ]← nil ∀r ∈ S .Puis appel de PP-Visiter(G , qinit) :

PP-Visiter(G , q)

beginCouleur[q]← noir;pour chaque (q, q′) ∈ A faire

si Couleur[q′] = blanc alorsΠ[q′]← q;PP-Visiter(G , q′);

end

(variante simplifiee du parcours en profondeur)

Recherche d’un chemin de qinit a qF

Initialisation : Couleur[r ]← blanc et Π[r ]← nil ∀r ∈ S .Puis appel de Chemin(G , qinit , qS) :

Chemin(G , q, qS)

beginsi q = qS alors retourner Vrai;Couleur[q]← noir;pour chaque (q, q′) ∈ A faire

si Couleur[q′] = blanc alorsΠ[q′]← q;trouve← Chemin(G , u);si trouve = Vrai alors

retourner Vrai

retourner Fauxend

Parcours en profondeur

Algorithme important !A la base des algorithmes de recherche des composantesfortement connexes (par ex. algorithme de Tarjan) et de tritopologique.

Algorithme de type “backtracking”.

Un autre parcours classique est le parcours en largeur.

Plan


2 Les graphes



Le probleme de la ville embourbee

Probleme : Paver suffisamment de rues pour que tous leshabitants puissent se rendre n’importe ou les pieds ausec. . . mais en utilisant le moins de paves possible.novembre 29, 2010_4.pdf - Page 2

NB : graphe non-oriente, value et connexe.

Algorithme 1

1 S = ∅2 On trie les aretes par poids croissant.

3 Pour chaque arete (x , y) :

Si (x , y) ne cree pas de cycle,

alors on l’ajoute a S

S est une solution !

Algorithme 2

1 S = ∅2 On choisit un sommet de depart s.

3 On ajoute a S une arete (s, x) de poids minimal,

4 On ajoute a S une arete (q, q′) reliant un sommet isole al’arbre en construction et de poids minimal,

5 recommencer le point 4 jusqu’a la connection de tous lessommets.

S est une solution !

Exemple Exemple d’ACM

q0 q1 q2

q3 q4 q5

q6

2

2

2

4

1 3 2

2 1 8

5

Arbres couvrants minimaux

Plus formellement. . .

G = (S ,A,w) : non-oriente, connexe et value (w : A→ R).

Definitions :

• un arbre couvrant de G est un graphe T = (S ,A′) avecA′ ⊆ A, connexe et acyclique.

• un arbre couvrant T = (S ,A′) est dit minimal lorsque :

w(A′) = min{w(A′′) | T ′ = (G ,A′′) est un AC de G}

avec w(A)def=

∑(x ,y)∈A w(x , y)

Propriete :Existence d’un ACMTout graphe non-oriente, value et connexe admet un ouplusieurs ACM.

Construire des ACM

Algorithme 1 : algorithme de Kruskal.

Algorithme 2 : algorithme de Prim.

Des algorithmes tres efficaces : en O(|A| · log(|A|)) etO(|A| · log(|S |)).(mais le choix des structures de donnees est important).

Plan


2 Les graphes




Comment aller de Chevaleret a Porte de Bagnolet ?

Funiculaire deMontmartre

Orlyvaltarificationspéciale

Stade de FranceSt-Denis

St-Denis–Porte de Paris

Basiliquede St-Denis

Portede St-Ouen

LamarckCaulaincourt

JulesJoffrinGuy

Môquet

Portede Clichy

ChâteletLes Halles

Stalingrad

MarcadetPoissonniers

Hôtel de Ville

Arts etMétiers

Château Rouge

StrasbourgSt-Denis

St-Mandé

Hoche

MarxDormoy

La CourneuveAubervilliers

Le Bourget

Jaurès

Placedes Fêtes

Belleville Jourdain Télégraphe

Ourcq Portede Pantin

JacquesBonsergent Saint-Fargeau

PelleportPorte

de Bagnolet

Danube

BotzarisButtes

Chaumont

République

Parmentier

SèvresBabylone

RichelieuDrouot

Palais RoyalMusée du

Louvre

RéaumurSébastopol

Raspail

Pyramides

MontparnasseBienvenüe

Mabillon

ClunyLa Sorbonne

MalakoffRue Étienne Dolet

Chaussée d’AntinLa Fayette

BonneNouvelle

GrandsBoulevards

Bourse Sentier

BarbèsRochechouart

LaChapelle

Pigalle

PoissonnièreLiège

Notre-Damede-Lorette

St-Georges

Abbesses

Anvers

La Fourche

Placede Clichy

Pereire–Levallois Blanche

Villiers

OpéraAuber

HavreCaumartin

Trinitéd’Estienne

d'Orves

FranklinD. Roosevelt

Neuilly–Porte Maillot

Avenue Foch

Bir-Hakeim

Invalides

Pasteur

Pontde l’Alma

JavelAndréCitroën

Javel

Michel-AngeMolitor

La Muette

Michel-AngeAuteuil

Boulainvilliers Champ de MarsTour Eiffel

ChampsÉlysées

ClemenceauTrocadéro

AvenueHenri

Martin

Avenue duPdt Kennedy

Commerce

Félix Faure

Ruede la Pompe Iéna

Ranelagh

Jasmin

Exelmans

ChardonLagache

Églised’Auteuil

Duroc

La MottePicquetGrenelle

Assemblée Nationale

Varenne

St-MichelNotre-DameSolférino

Musée d’Orsay

Concorde Les Halles

Jussieu

Odéon

Étienne Marcel

Vavin

St-Germaindes-Prés

St-Sulpice

St-PlacidePlace Monge

Pont NeufTuileries

Notre-Damedes-Champs

Luxembourg

Port-Royal

LouvreRivoli

St-Michel

Bastille

Daumesnil

Reuilly–Diderot

PèreLachaise

Oberkampf

Quai dela Rapée

SaintMarcel Bercy

Fillesdu Calvaire

Chemin Vert

St-SébastienFroissart

Ruedes Boulets

Charonne

SèvresLecourbe

Cambronne

PontMarie

SullyMorland

PhilippeAuguste

AlexandreDumas

Avron

Voltaire

Quatre Septembre

St-Ambroise

RueSt-Maur

Pte deVincennes

Maraîchers Portede Montreuil

Robespierre

Croix de Chavaux

Buzenval

Pyrénées

Laumière

Châteaud’Eau

Porte Dorée

Porte de Charenton

Ivrysur-Seine

Portede Choisy

Ported’Italie Porte d’Ivry

Olympiades

Créteil–UniversitéCréteil–L’Échat

Maisons-AlfortLes Juilliottes

Maisons-Alfort–Stade

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Tolbiac

Le KremlinBicêtre Villejuif

Léo LagrangeVillejuifPaul Vaillant-Couturier

GlacièreCorvisart

NationaleChevaleret

CitéUniversitaire

Gentilly

Antony

MalakoffPlateau de Vanves

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Gaîté

EdgarQuinet

Bd Victor

Issy

Portede St-Cloud

Pantin

Magenta

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Saint-Ouen

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Ménilmontant

Couronnes

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Liberté

FaidherbeChaligny

École Vétérinairede Maisons-Alfort

St-Paul

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CardinalLemoine

Temple

ChâteauLandon

Bolivar

Église de Pantin

Bobigny–PantinR. Queneau

RiquetCrimée

Corentin CariouPorte de la Villette

Aubervilliers–PantinQuatre Chemins

Fortd’Aubervilliers

LesGobelins Campo

FormioQuai

de la GareCour

St-Émilion

Pierre et Marie Curie

Dugommier

Bel-AirPicpus

St-Jacques

Dupleix

Passy

Alésia

Pernety

Plaisance

Pte de Vanves

Convention

Vaugirard

Porte de Versailles

Corentin Celton

Volontaires

Falguière

Lourmel

Boucicaut

Ségur

Ruedu Bac

Rennes

SaintFrançoisXavier

Vaneau

ÉcoleMilitaire

La Tour Maubourg

AvenueÉmile Zola

CharlesMichelsMirabeau

Ported’Auteuil

BoulogneJean Jaurès

Billancourt

MarcelSembat

Cité

AlmaMarceau

Boissière

KléberGeorge V

Argentine

Victor Hugo

Les SablonsPorte Maillot

Pont de Neuilly

Esplanadede La Défense

St-Philippedu-Roule

MiromesnilSt-Augustin

Courcelles

Ternes

Monceau

RomeMalesherbesWagram

Porte de Champerret

Anatole FranceLouise Michel

Europe

Le PeletierCadet

Pereire

Brochant

Mairiede Clichy

Garibaldi

Mairiede St-Ouen

CarrefourPleyel

Simplon

Bérault

RichardLenoir

Goncourt

BréguetSabin

Rambuteau

La PlaineStade de France

Madeleine

Gabriel Péri

BibliothèqueFr. Mitterrand

Les Agnettes

Portede Clignancourt

Garede l’Est

Garede Lyon

St-Denis–Université

Portede la Chapelle

La Courneuve8 Mai 1945

BobignyPablo Picasso

PréSt-Gervais

Mairiedes Lilas

Mairiede Montreuil

Gallieni

LouisBlanc

Portedes Lilas

Gambetta

Gare du Nord

Charlesde Gaulle

Étoile

Pont de LevalloisBécon

PorteDauphine

La Défense

BoulognePont de St-Cloud

Châtelet

Gared’Austerlitz

Nation

Châteaude Vincennes

Créteil–Préfecture

Mairie d’Ivry

Placed’Italie

VillejuifLouis Aragon

Mairie d’Issy

Châtillon–Montrouge

Pontde Sèvres

IssyVal de Seine

Gare St-Lazare

GareMontparnasse

HaussmannSt-Lazare

Ported’Orléans

Balard

Pontdu Garigliano

St-Lazare

Asnières–GennevilliersLes Courtilles CDG

Grande Arche

Orly

Paris

www.ratp.fr

MR

Prop

riété

de

la R

ATP

- Age

nce

Cart

ogra

phiq

ue -

PMI 0

4-20

08- B

O D

esig

n: b

dcco

nsei

l - R

epro

duct

ion

inte

rdite

Plus courts chemins

Objectif : Etant donne un graphe oriente et value, et unsommet s, on veut trouver :

• la distance minimale separant s de chaque sommet, et

• des plus courts chemins reliant s aux autres sommets.

Plus courts chemins



• des plus courts chemins reliant s aux autres sommets.

Arborescence des PCC

s = q0 q1 q2

q3 q4 q5

q6

2

22

2

5

8 1 3 2

2 1 8

5

Plus courts chemins



• des plus courts chemins reliant s aux autres sommets.novembre 30, 2010_1.pdf - Page 10

Exemplenovembre 30, 2010_2.pdf - Page 10

L’algorithme de Dijkstra

G = (S ,A,w) : oriente et value (w : A→ R+).s un sommet initial.

On va construire un arbre des plus courts chemins. . .et calculer les distances δ(x) : distance d’un PCC de s a x . . .

1 La distance de s a lui-meme est 0 : δ(s) = 0C’est la racine de l’arbre.

2 Trouver un sommet s ′ situe a une arete de l’arbre enconstruction et le plus proche possible de s.

3 Marquer l’arete (x , d , s ′) qui a permis de trouver s ′

4 La distance separant s et s ′ est : δ(x) + d .

5 Recommencer au point 2 tant qu’il reste des sommetsatteignables. . .

Plan


2 Les graphes




Probleme : Des bandits veulent visiter toutes les villes d’uneregion sans jamais repasser par une ville.


Aie !

On ne connaıt pas d’algorithme efficace pour ce probleme. . .

C’est un probleme NP-complet !

La recherche de chemin Hamiltonien.

Plan


2 Les graphes



Le probleme de la goudronneuse

Probleme : On veut faire passer une goudronneuse une etune seule fois par chaque rue.(on s’autorise a repasser aux croisements. . . )novembre 29, 2010_2.pdf - Page 5

Chemin Eulerien. . .

Tres facile !

Plan


2 Les graphes



Representation des graphes - 1

Par liste d’adjacence :


Representation des graphes - 1

Par matrice d’adjacence :

0 0 0 1 0 0 01 0 0 1 1 0 00 0 0 0 1 1 00 1 0 1 1 0 10 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 00 0 0 0 1 0 0

Graphes values

G = (S ,A) + w : A→ R.

La fonction w associe un poids, une distance, etc. a chaquearc ou arete de G .(La fonction w s’etend naturellement a tout chemin (fini) deG en sommant le poids de chaque arc/arete.)

Les deux representations precedentes s’etendent facilementaux graphes values.

Representation des graphes en PYTHON

S1=[’q0’,’q1’,’q2’,’q3’,’q4’,’q5’,’q6’]

A1={’q0’: [’q1’,’q3’], ’q1’: [’q3’,’q4’],’q2’: [’q4’,’q5’],

’q3’: [’q1’,’q3’,’q4’,’q6’],’q4’:[ ],’q5’: [’q4’,’q5’],

’q6’: [’q4’] }

G = (S1,A1)


des algorithmes dans les graphes - irif.frfrancoisl/irem/graphe.pdf · bibliothèque fr. mitterrand...

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