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Décroissance radioactive.Activité 1 page 112: (Collection Math'x Didier)Objectif: traduire la décroissance radioactive et introduire la notion d’équation différentielle.
Le contexte:Le nombre de noyau d’une source radioactive diminue au cours du temps, tout noyau étant instable et susceptible de se désintégrer.S’il est impossible de prévoir la date de désintégration d’un noyau donné, on admet que la probabilité qu’il se désintègre pendant une unité de temps, est la même pour des noyaux identitiques et reste inchangée au cours du temps (un noyau ne vieillit donc pas). Cette probabilité de désintégration, que l’on note λ, est donc une caractéristique propre du type de noyau (la constante radioactive).On désigne par N0 le nombre initial de noyaux de la source radioactive et par N(t) le nombre de noyaux restant à l’instant t.
Evolution du nombre de noyaux.
Exprimer la proportion de noyaux se désintégrant entre les instants t et (t+1) et justifier qu ’une approximation de N(t+1) et (1-λ)N(t).
On suppose que N0 =10000 et λ=0,1.
Donner les valeurs de N(t) pour t = 1, …, 20.
Donner une représentation graphique point par point
Qui est une fréquence est à relier aux probabilités)t(N
)1t(N)t(N
Remarque:
t= N(t)= ?= 0,10 10000,00
1 9000,00
2 8100,00
3 7290,00
4 6561,00
5 5904,90
6 5314,41
7 4782,97
8 4304,67
9 3874,20
10 3486,78
11 3138,11
12 2824,30
13 2541,87
14 2287,68
15 2058,91
16 1853,02
17 1667,72
18 1500,95
19 1350,85
20 1215,77
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1000,001500,00
2000,00
2500,00
3000,00
3500,00
4000,00
4500,00
5000,005500,00
6000,00
6500,00
7000,00
7500,00
8000,00
8500,00
9000,00
9500,0010000,00
t
N(t)
Relation entre N et N ’.
On suppose la fonction tN(t) dérivable sur R.
Justifier que, pour tout réel t on a N(t+1)N(t)+N’(t).
Déduire des questions précédentes que la décroissance du nombre de noyaux peut être modélisée par : N ’(t)= N(t)
Une telle équation où l ’inconnue est une fonction et faisant intervenir la fonction dérivée est appelée équation différentielle.
Quelle est l'influence d'un changement de la valeur de λ?
Exemple de valeurs (livre de physique page 97). (Collection Tomasino, Nathan)
noyau radioactif Carbone 14 Césium 137 Iode 131 PoloniumConstante λ 1,2×10−4 an−1 2,3×10−2 an−1 8,5×10−2 jour−1 2,3×106 s−1
voir le tableur
La relation fait penser à ........)t(N)1()1t(N
Ce qui permet de trouver une autre possibilité d'effectuer les tâches demandées.En mettant sa calculatrice en mode seq, pour les fonctions, on obtient alors le premier écran, la valeur de λ est placée dans la mémoire A. On règle ensuite les paramètres de la fenêtre graphique et on trace quelques nuages de points:
Premier écran Réglage fenêtre graphique
λ=0,1 λ=0,2 λ=0,025