Memoire de premiere annee deMagistere de mathematiques

De l’analyse complexe a la repartition desnombres premiers

realise par Emilie Kaufmannsous la direction de Henri Carayol

Strasbourg, le 17 septembre 2008

Table des matieres

Introduction 4

Notations 5

I Fonctions arithmetiques et series de Dirichlet 7

1.1 Definition et domaine de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Abscisse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2 Prolongements des series de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3 Produit de convolution de deux series de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Formule du produit Eulerien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Quelques exemples lies a la fonction ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 La fonction de Von Mangoldt, Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Derivation d’une serie de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 Derivee logarithmique et fonction de Von Mangoldt . . . . . . . . . . . . . . . 14

II Caracteres de groupes abeliens finis et fonctions L 17

2.1 Theorie des caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Caractere d’un groupe abelien fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2 Relations d’orthogonalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.3 Caracteres de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.4 Caractere primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Fonctions L de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Derivee logarithmique des fonctions L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

III Fonctions sommatoires 26

3.1 Fonctions sommatoires et fonctions sommatoires lissees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Exemples importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

3.2.1 Fonctions π et ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.2 Theoremes des nombres premiers et fonctions ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2 Exemple important . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.3 Formule d’inversion de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.4 Formule de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.5 Etude des fonctions θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Transformee de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.2 Etude de l’exemple de Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.3 Formule d’inversion de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5 Formule integrale evaluant une fonction sommatoire lissee . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5.1 Formule integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5.2 Application a des fonctions connues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6 Technique de deplacement du contour d’integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

IV Prolongement analytique des fonctions L sur Re(s) > 0 et theoreme de laprogression arithmetique 46

4.1 Prolongement sur Re(s) > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Non annulation des fonctions L en 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Theoreme de la progression arithmetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

V Prolongement des fonctions L sur C 55

5.1 Le cas de la fonction ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.1.1 Equation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.1.2 Prolongement de ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2 Equation fonctionnelle plus generale et singularites des fonctions L . . . . . . . . . . . 58

5.2.1 Equation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2.2 Consequences sur les proprietes des fonctions L . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

VI Zeros des fonctions L 67

6.1 Zeros de fonctions holomorphes d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.1.1 Fonction d’ordre fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.1.2 Formule de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3

6.1.3 Application aux fonctions d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2 Zeros triviaux des fonctions L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.3 Zeros non triviaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

VII Theoremes des nombres premiers 85

7.1 Le theoreme des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.1.1 Non annulation de ζ sur σ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.1.2 Demonstration du theoreme des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.1.3 Equivalence avec la non-annulation de ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.1.4 Theoreme des nombres premiers avec un terme d’erreur . . . . . . . . . . . . . 90

7.2 Le theoreme de nombres premiers en progression arithmetique . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2.1 Resultats sur des sommes lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2.2 Demonstration du theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

VIII Hypothese de Riemann et amelioration du terme d’erreur pour le theoremedes nombres premiers 109

8.1 Retour sur les termes d’erreur des theoremes precedents . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.2 Hypothese de Riemann et theoreme des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.3 Hypothese de Riemann generalisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Conclusion 112

Remerciements 114

4

Le but de ce memoire est de presenter quelques resultats importants de theorie analytique desnombres. Il s’agit d’utiliser des outils d’analyse complexe (estimation de sommes a l’aide d’integralessur des contours bien choisis, theoreme des residus, resultats sur les zeros fonctions des holomorphesd’ordre fini...) et d’arithmetique (nombre premiers, caracteres de Dirichlet et fonctions L...) pour mon-trer des resultats sur la repartition des nombres premiers.

Un des objectfis de ce memoire est la demonstration du theoreme des nombres premiers : en notantπ(x) le nombre de nombres premiers inferieurs ou egaux a x il s’agit de montrer que π(x) ∼ x

lnx lorsquex tend vers l’infini. Ce theoreme a ete demontre simultanement par Hadamard et de la Vallee Poussinen 1896 en se servant de l’analyse complexe, avec notamment la fonction ζ et sa non-annulation auvoisinage de la droite Re(s) = 1. Dans ce memoire, on trouvera une demonstration de ce type dutheoreme des nombres premiers. Mais on montrera des resultats plus generaux sur la repartition desnombres premiers congrus a a modulo q avec le theoreme de la progression arithmetique et le theoremedes nombres premiers en progression arithmetique. Le theoreme des nombres premiers est en fait uncorollaire de ce dernier resultat, mais il sera demontre separement, de maniere un peu differente. Nousverrons enfin le lien entre le theoreme des nombres premiers et la celebre conjecture de Riemann

Le lien que nous ferons entre l’arithmetique et l’analyse complexe passe tout d’abord par les seriesde Dirichlet, auxquelles nous allons nous interesser dans la premiere partie. La somme d’une serie as-sociee a une fonction arithmetique donnee peut en effet etre vue comme une fonction complexe dont onpeut etudier les proprietes. La fonction ζ est l’exemple le plus simple d’une serie de Dirichlet, et nousnous interesserons aussi a la fonction de Von Mangoldt qui intervient dans la derivee logarithmique deζ. Si le theoreme des nombres premiers a un lien avec la seule fonction ζ, pour etudier la repartition desnombres premiers congrus a a modulo q, il faut s’interesser aux fonctions L de Dirichlet, ce que nousferrons dans la seconde partie. Nous verrons en effet comment transformer des sommes ne prenant encompte que des termes congrus a a modulo q en faisant intervenir des caracteres de Dirichlet.

Nous etudierons ensuite les proprietes des fonctions sommatoires, qui apparaissent intuitivementlorsqu’on etudie des fonctions du type π(x), qui peuvent se voir comme des sommes de fonctionsarithmetiques. Certaines fonctions sommatoires, ψ(x) ou ψ(x; q, a) sont tres importantes car l’etudede leur comportement asymptotique suffit a montrer les theoremes des nombres premiers. Nous intro-duirons egalement les fonctions sommatoires lissees, que nous utiliserons pour demontrer le theoremedes nombres premiers en progression arithmetique et a la fin de la 3eme partie nous obtiendrons uneformule integrale exprimant une fonction sommatoire lissee comme une tranformee de Mellin inverse.En l’appliquant aux fonctions ψ(x) et ψ(x; q, a), on obtient des formules integrales faisant intervenirles fonctions −L′(χ,s)

L(χ,s) et − ζ′(s)ζ(s) pour le theoreme des nombres premiers.

Comme la derivee logarithmique des fonctions L intervient, nous devrons prolonger ces fonctions demaniere meromorphe sur C (ce que nous ferons dans la cinquieme partie) mais aussi etudier leurs zeros(sixieme partie). Nous verrons qu’il existe une autre facon de prolonger ces fonctions, sur Re(s) > 0,que nous mettrons en oeuvre dans la cinquieme partie. Pour donner une premiere application a ce pro-longement, nous demontrerons egalement dans cette partie le theoreme de la progression arithmetique :il existe une infinite de nombres premiers congrus a a modulo q.

La septieme partie est consacree aux demonstrations des deux theoremes des nombres premiers, quise basent surtout sur la transformation des formules integrales precedemment obtenues. Enfin, nousetudierons dans la derniere partie plusieurs formulations equivalentes de la conjecture de Riemann etmontrerons en particulier en quoi elle donne un bon terme d’erreur dans le theoreme des nombrespremiers.

5

Notations

Dans toute la suite on designera par s une variable complexe et on ecrira s = σ + it, ou σ est lapartie reelle de s et t sa partie imaginaire.

Si m et n sont deux entiers, (n,m) designe leur pgcd.

On notera P l’ensemble des nombres premiers, et p designera un entier premier.

Si x est un reel, [x] designe la partie entiere de x, soit le plus grand entier inferieur ou egal a x.

On rappelle la definition du symbole de Landau O. Soit f(s) une fonction a valeurs dans C et g(s)une fonction a valeurs dans R.

f(s) = O (g(s))

dans une region R de C si il existe une constante A telle que pour tout s dans la region R on ait :

|f(s)| ≤ A g(s)

A est appelee constante implicite (relative au O) : lorsque la fonction f depend de plusieursparametres, on peut etre amene a preciser de quels parametres cette constante depend. La constanteest ici uniforme sur tout la region R : ce sera toujours le cas lorsqu’on donnera aucune precisionsupplementaire.

Lorsqu’on parle de O au voisinage d’un certain point, cela signifie qu’il existe un voisinage du pointconsidere sur lequel on a une majoration de ce type (la constante A depend alors du voisinage).

On utilisera la notation log(x) pour designer la determination principale du logarithme sur C, quicoıncide avec le logarithme neperien sur R. On pourra donc enoncer indifferemment le theoreme desnombres premiers des deux manieres suivantes :

π(x) ∼ x

log(x)ou π(x) ∼ x

ln(x)

6

Premiere partie

Fonctions arithmetiques et series deDirichlet

7

1.1 Definition et domaine de convergence

Definition 1.1.1 (Fonction arithmetique) Une fonction arithmetique est une application

f : N∗ −→ C : c’est une suite de nombres complexes.

Une fonction arithmetique est dite multiplicative si

∀(m,n) ∈ N2 | (m,n) = 1, f(mn) = f(m)f(n)

Une fonction arithmetique est dite totalement multiplicative si

∀(m,n) ∈ N2, f(mn) = f(m)f(n)

Definition 1.1.2 (Serie de Dirichlet associee a une fonction arithmetique) La serie de Diri-chlet associee a la fonction arithmetique f est definie en s par :

Df (s) =∑n≥1

f(n)n−s

On note parfois an au lieu de f(n), puisque cela correspond a une suite de nombres complexes.

Cette definition est celle donnee a l’origine par Dirichlet, mais on peut generaliser ce concept aune serie de la forme

∑n≥1 f(n)e−λns avec λn nombre complexe dont la partie reelle tend vers l’infini

lorsque n → ∞. Le cas precedent correspond alors a λn = ln(n). Dans la suite, on ne s’interesseraqu’aux series de Dirichlet definies dans 1.1.2.

Une fonction arithmetique telle que la serie de Dirichlet associee converge dans un domaine duplan complexe est dite a croissance moderee.

1.1.1 Abscisse de convergence

On s’interesse maintenant aux parties du plan complexe sur lesquelles une serie de Dirichletconverge.

Si f(n) = O(nβ), alors f(n)n−s = O

(nβ−σ

)et la serie de Dirichlet Df (s) converge absolument

dans la region σ > β + 1.

On note σconv = inf {Re(s) | Df (s) <∞}, abscisse de convergence d’une serie de Dirichlet. Onpeut egalement definir de la meme facon σabs, abscisse de convergence absolue d’une serie de Dirichlet.

Theoreme 1.1.1 Si la serie g(s) =∑∞

n=1 ann−s converge pour s = s0 alors elle converge uni-

formement sur tout domaine de la forme Re(s− s0) ≥ 0, |arg(s− s0)| ≤ α avec α < π2 .

Demonstration

La demonstration repose sur le resultat suivant

∣∣∣e−αz − e−βz∣∣∣ ≤ |z|Re(z)

(e−αRe(z) − e−βRe(z)

)si 0 < α < β

8

En effet,

e−αz − e−βz = z

∫ β

αe−tzdt∣∣∣e−αz − e−βz∣∣∣ ≤ |z|

∫ β

αe−tRe(z)dt =

|z|Re(z)

(e−αRe(z) − e−βRe(z)

)Nous allons maintenant montrer la convergence uniforme de la serie de Dirichlet sur la zone

consideree en utilisant le critere de Cauchy uniforme. Soit ε > 0

Comme la serie∑∞

n=1 ann−s0 converge, il existe N tel que si n, n′ ≥ N alors

∣∣∣∣∣n′∑k=n

akk−s0

∣∣∣∣∣ ≤ εSoit n, n′ ≥ N .

Notons An,n′ =∑n′

k=n−1 akk−s0 et Sn,n′(s) =

∑n′

k=n akk−s.

Sn,n′(s) =n′∑k=n

akk−s0k−(s−s0) =

n′∑k=n

(An,k −An,k−1) k−(s−s0)

=n′−1∑k=n

An,k

(k−(s−s0) − (k + 1)−(s−s0)

)+An,n′n

′−(s−s0)

=n′−1∑k=n

An,k

(e−(s−s0)ln(k) − e(s−s0)ln(k+1)

)+An,n′n

′−(s−s0)

Et en notant x la partie reelle de s− s0

∣∣Sn,n′(s)∣∣ ≤ n′−1∑k=n

|An,k|∣∣∣e−(s−s0)ln(k) − e(s−s0)ln(k+1)

∣∣∣+∣∣An,n′∣∣n′−x

≤n′−1∑k=n

ε|s− s0|x

(e−xln(k) − e−xln(k+1)

)+ εn′−x

≤ ε

(|s− s0|x

n′−1∑k=n

(k−x − (k + 1)−x

)+ n′−x

)

≤ ε

(|s− s0|x

(n−x − n′−x

)+ n′−x

)≤ ε(2k + 1)

en notant k = |s−s0|x = 1

cos(arg(s−s0)) ≤1

cos(α) donc

∣∣Sn,n′(s)∣∣ ≤ ε( 2cos(α)

+ 1)

La serie∑

n≥1 ann−s verifie le critere de Cauchy uniforme sur Re(s − s0) ≥ 0, |arg(s − s0)| ≤ α,

elle converge donc uniformement dans cette region.

9

�

Corollaire 1.1.1 Si une serie de Dirichlet converge pour s = s0, elle converge uniformement sur toutcompact du demi-plan Re(s) > σ0 : en particulier elle converge sur le demi-plan de convergenceσ > σconv. Df (s) est donc une fonction holomorphe sur σ > σconv.

Demonstration

Ce corollaire est immediat, puisque tout compact de ce demi-plan s’inclut dans une zone du typecelle donnee dans le theoreme 1.1.1 avec α suffisamment proche de π

2 . On a convergence uniforme surtout compact, la somme de la serie est donc une fonction holomorphe.

1.1.2 Prolongements des series de Dirichlet

On a vu qu’une serie de Dirichlet definit une fonction holomorphe sur le demi-plan de convergence.Nous allons voir que dans certains cas, bien qu’une serie de Dirichlet ne converge que sur une zone dutype σ > σconv, on peut la prolonger analytiquement a gauche en une fonction holomorphe : ce serale cas par exemple pour les fonctions L de Dirichlet.

En revanche, dans le cas des series de Dirichlet a coefficients reels positifs (ie. la fonction arithmetiquef prend ses valeurs dans R+), on ne peut pas prolonger Df en une fonction holomorphe a gauche del’abscisse de convergence. Pour justifier ceci, montrons le theoreme suivant :

Theoreme 1.1.2 Soit g(s) =∑

n≥1 ane−λns une serie de Dirichlet a coefficients an reels positifs.

Supposons que f converge pour σ > ρ avec ρ ∈ R et que f soit prolongeable analytiquement en unefonction holomorphe au voisinage de s = ρ. Alors il existe ε > 0 tel que f converge pour σ > ρ− ε.

Demonstration

On peut se ramener par translation au cas ρ = 0.

Comme g est holomorphe au voisinge de zero, il existe ε tel que sur le disque ferme de centre ε etde rayon 2ε, g est somme de sa serie de Taylor en ε.

g(z) =∞∑p=0

1p!

(z − ε)pg(p)(ε)

Mais on a aussi par derivation terme a terme :

g(p)(z) =∞∑n=1

an(−λn)pe−λnz

Et en prenant z = ε on obtient :

10

g(z) =∞∑p=0

1p!

(z − ε)p∞∑n=1

an(−λn)pe−λnε

g(−ε) =∞∑p=0

∞∑n=1

1p!

(−2ε)pan(−λn)pe−λnε

g(−ε) =∞∑p=0

∞∑n=1

ane−λnε 1

p!(2ελn)p

On a une serie double a termes positifs qui est sommable car en sommant d’abord par rapport ap, la serie converge.

g(−ε) =∞∑n=1

ane−λnεe2ελn =

∞∑n=1

aneλnε < +∞

La serie de Dirichlet converge en s = −ε donc sur Re(s) > −ε d’apres le theoreme 1.1.1.

�

Ce theoreme justifie l’affirmation precedente, car si un prolongement holomorphe etait possibleau niveau de l’absisse de convergence, la serie convergerait pour un σ < σconv, ce qui est exclu pardefinition de l’abscisse de convergence.

Par contre, un prolongement meromorphe est possible pour les serie a termes positifs, mais avecdans ce cas un pole en s = σconv : c’est le cas pour la fonction ζ, comme on le verra plus loin.

1.1.3 Produit de convolution de deux series de Dirichlet

Soit f (resp. g) une fonction arithmetique a croissance moderee telle que la serie de Dirichletassociee converge pour σ > σf (resp. σg). Soit σ > max(σf , σg). On a

Df (s)×Dg(s) = Dh(s) =∑n≥1

h(n)n−s

ou h est une fonction arithmetique appelee produit de convolution de Dirichlet de f et g.Onnote h = f ∗ g et

h(n) =∑d|n

f(d)g(nd

)=∑ab=n

f(a)g(b)

La convolution de deux fonctions arithmetiques est clairement commutative, comme le montre laderniere formule obtenue.

Inverse pour la convolution

On definit la fonction arithmetique δ par :

δ(n) ={

1 si n = 10 sinon

11

Dδ = 1, δ est donc l’element neutre pour la convolution de deux fonctions arithmetiques.

Proposition 1.1.1 Il existe une inverse (f∗)−1 de f pour la convolution (ie f ∗ (f∗)−1 = δ) si etseulement si f(1) 6= 0.

Demonstration

Supposons que (f∗)−1 existe. Notons h la convolution de f et (f∗)−1. h(1) = 1 donc

f(1)(f∗)−1(1) = 1 d’ou f(1) 6= 0.

De plus, on peut alors definir (f∗)−1 de maniere unique, par recurrence. En effet,

(f∗)−1(1) =1

f(1)

Ensuite on a

(f∗)−1(n) = − 1f(1)

∑d|nd>1

f(d)(f∗)−1(nd

)

1.2 Formule du produit Eulerien

Proposition 1.2.1 (Formule du produit Eulerien) Si f est une fonction arithmetique multiplicative,a croissance moderee, alors pour tout s tel que Df (s) converge absolument, on a :

Df (s) =∞∑n=1

f(n)n−s =∏p∈P

∑k≥0

f(pk)p−ks

(1.1)

Demonstration

Montrons d’abord la convergence absolue du produit ci-dessus. On note (pn)n∈N∗ la suite croissantedes nombres premiers.

pn∏p=2

∣∣∣∣∣∣∑k≥0

f(pk)p−ks

∣∣∣∣∣∣ ≤pn∏p=2

∑k≥0

∣∣∣f(pk)∣∣∣ p−kσ ≤ ∑

m≥1m ayant des

facteurs premiers∈[|2;pn|]

|f(m)|m−σ

≤∑m≥1

|f(m)|m−σ0 = A < ∞

Montrons maintenant la convergence de ce produit vers la serie de Dirichlet de f . Pour cela, notonsE(N) l’ensemble des entiers dont tous les diviseurs premiers sont inferieurs a N .

∏p≤N

∑k≥0

f(pk)p−ks

=∑

n∈E(N)

f(n)n−s

12

En effet, f est multiplicative donc f(pk)p−ksf(qr)q−rs = f(pkqr)(pkqr)−s = f(m)m−s ou m ∈E(N). Reciproquement, tout n ∈ E(N) s’ecrit

∏pαii d’ou f(n)n−s =

∏f(pαii )p−αisi , qui est bien un

terme du produit de gauche.

∑n∈N

f(n)n−s −∑

n∈E(N)

f(n)n−s =∑

n∈L(N)

f(n)n−s

ou L(N) = { entiers ayant un diviseur premier > N}.

∣∣∣∣∣∣Df (s)−∏p≤N

∑k≥0

f(pk)p−ks

∣∣∣∣∣∣ ≤∑

n∈L(N)

|f(n)|n−s

≤∑n≥N|f(n)|n−s −→ 0 lorsque N →∞

d’ou la limite souhaitee

�

Cette formule, due a Euler, permet de faire un lien important entre les series de Dirichlet et lesnombres premiers : on passe en effet d’une somme a un produit sur l’ensemble des nombres premiers.

1.3 Quelques exemples lies a la fonction ζ

La fonction ζ de Riemann est definie sur σ > 1 par

ζ(s) =∞∑n=1

1ns

Il s’agit en fait d’une serie de Dirichlet, associee a la fonction arithmetique f : n→ 1. Le produitEulerien nous donne alors le lien entre cette fonction et les nombres premiers :

ζ(s) =∏p∈P

∑k≥0

p−ks =∏p∈P

11− p−s

Cette formule est valable pour σ > 1, region sur laquelle ζ converge absolument.

Nous allons maintenant voir maintenant a titre d’exemple que les series de Dirichlet des fonctionsarithmetiques connues ont un lien avec la fonction ζ.

Fonction de Mobius µ

On rapelle que µ(1) = 1 , µ(n) = (−1)k si n est produit de k nombres premiers distincts, µ(n) = 0si n possede un facteur premier multiple. Pour σ > 1, la serie de Dirichlet associee a µ convergeabsolument et on peut utiliser la formule du produit Eulerien :

Dµ(s) =∏p∈P

(1 + µ(p)p−s) =∏p∈P

(1− p−s) = (ζ(s))−1

13

Donc si σ > 1 :

Dµ(s)ζ(s) = 1 (1.2)

Fonction nombre de diviseurs τ

On definit τ(n) =∑

d|n 1, ie τ(n) est le cardinal de l’ensemble des diviseurs de n.

Dτ (s) =∑n≥0

τ(n)n−s =∏p∈P

∑k≥0

τ(pk)p−ks =∏p∈P

∑k≥0

(1 + k)p−ks

car pk possede k + 1 diviseurs : 1, p, ..., pk−1, pk.

Dτ (s) =∏p∈P

∑k≥1

(k)(p−s)k−1 =∏p∈P

1(1− p−s)2

= ζ2(s)

donc si σ > 1,

Dτ (s) = ζ2(s)

Fonction d’Euler φ

φ(n) ≤ n donc Dφ converge si σ > 2 et la formule n =∑

d|n φ(n) peut s’interpreter comme uneconvolution : Id = φ ∗ 1. Et donc DId = Dφ · ζ.

Or DId(s) =∑

n≥1 n−s+1 = ζ(s− 1). Donc, si σ > 2 :

Dφ(s) =ζ(s− 1)ζ(s)

1.4 La fonction de Von Mangoldt, Λ

1.4.1 Derivation d’une serie de Dirichlet

On suppose que Df (s) converge absolument pour σ ≥ σ0. Alors on peut deriver terme a terme eton a :

D′f (s) =∑n≥1

(−log(n))f(n)n−s

(Df )′ = D−flog

Demonstration

|−log(n)f(n)n−s| ≤ log(n)|f(n)|n−σ0 , serie convergente : on peut donc deriver terme a terme.

1.4.2 Derivee logarithmique et fonction de Von Mangoldt

Si f est a croissance moderee et telle que f(1) 6= 0, sur la zone de convergence absolue on peutdefinir (Df )′ et Df∗−1 . On definit alors la derivee logarithmique d’une serie de Dirichlet comme unproduit de convolution :

14

−(Df )′(s)Df (s)

= −(Df )′(s)Df∗−1(s)

Definition 1.4.1 (Fonction de Von Mangoldt) La fonction de Von Mangoldt, Λ est definie parrapport a la derivee logarithmique de la fonction ζ, qui peut etre consideree comme une serie deDirichlet :

−ζ′(s)ζ(s)

= DΛ(s) =∑n≥1

Λ(n)n−s

D’apres (1.2), la formule − ζ′(s)ζ(s) = DΛ(s) est equivalente a

−ζ ′(s)Dµ(s) = DΛ(s)

Λ se presente donc comme le produit de convolution de log(n), fonction arithmetique correspondanta l’oppose de ζ ′ et de µ. Λ = log ∗ µ = µ ∗ log d’ou

Λ(n) =∑d|n

µ(d)log(n

d) =

∑d|n

µ(d)(log(n)− log(d))

= log(n)

∑d|n

µ(d)

−∑d|n

µ(d)log(d)

Or∑

d|n µ(d) = 0 si n ≥ 1 donc

Λ(n) = −∑d|n

µ(d)log(d)

Λ(pα11 pα2

2 ) = −(µ(p1)log(p1)+µ(p2)log(p2)+µ(p1p2)log(p1p2)) car on supprime les diviseurs conte-nant un nombre premier a une puissance superieure a 1 (µ est nul pour de tels nombres). AlorsΛ(pα1

1 pα22 ) = −(log(p1) + log(p2) − log(p1p2)) = 0. De maniere generale, si n possede au moins deux

facteurs premiers distincts, on voit que Λ(n) = 0.

A l’aide de la formule du produit Eulerien, calculons maintenant Λ(pk).

−ζ′(s)ζ(s)

=∏p∈P

∑k≥0

log(pk)p−ks∏p∈P

(1− p−s)

=∏p∈P

log(p)p−s∑k≥0

kp−ks∏p∈P

(1− p−s)

=∏p∈P

log(p)p−s

1− p−s

=∏p∈P

∑k≥1

log(p)p−ks

Donc Λ(pk) = log(p) par identification avec la formule du produit.

15

Finalement :

Λ(n) ={log(p) si n = pk avec k ≥ 1

0 sinon

La fonction de Von Mangoldt est particulierement importante car la fonction sommatoire associee,que nous etudierons dans la partie suivante joue un role important en theorie analytique. Nous verronsnotamment que pour demontrer le theoreme des nombres premiers, il suffit d’etudier le comportementasymptotique de cette fonction sommatoire.

16

Deuxieme partie

Caracteres de groupes abeliens finis etfonctions L

17

2.1 Theorie des caracteres

2.1.1 Caractere d’un groupe abelien fini

Definition 2.1.1 Soit G un groupe abelien fini de cardinal n.

Un caractere de G est un morphisme χ : G −→ C∗ de G dans le groupe multiplicatif C∗.

Proprietes

– Comme G est de cardinal n, pour tout x, xn = e d’ou χ(x)n = 1 : χ(x) est donc une racine del’unite, d’ou |χ(x)| = 1

– Pour un groupe cyclique, un caractere est determine de maniere unique par l’image d’unegenerateur s (qui est forcement une racine n-ieme). Les caracteres sont alors les χω : sa 7−→ ωa

ou ω ∈Wn, ensemble des racines n-iemes de l’unite

– L’ensemble des caracteres forme un groupe pour la multiplication des applications, appelegroupe dual et note G. L’element neutre est le caractere trivial χ0 tel que ∀x ∈ G,χ0(x) = 1(il sera parfois aussi note 1) et l’inverse d’un caractere χ est le caractere conjugue χ tel queχ(x) = χ(x). En effet,

χ(x)χ(x) = χ(x)χ(x) = |χ(x)|2 = 1

Proposition 2.1.1 (Prolongement d’un caractere d’un sous-groupe) H un sous-groupe de G

Tout caractere de H peut-etre prolonge en un caractere de G.

Demonstration

La demonstration se fait par recurrence sur [G : H], indice de H dans G.

– Si [G : H] = 1, G = H et le « prolongement » est evident

– Supposons la proposition vraie pour un indice ≤ k.Soit H d’indice (k + 1) et χ un caractere de H.Soit x /∈ H. G/H est fini donc il existe r tel que xr = 1 dans G/H ie xr ∈ H : on prend r leplus petit entier verifiant cette condition (r > 1) et on se donne ω ∈ C tel que χ(xr) = ωr.Soit H ′ le sous-groupe de G engendre par H et x. Tout element h′ de H ′ s’ecrit h′ = hxa, h ∈ Het a ∈ Z . On definit un caractere sur H ′ par

χ′(h′) = χ(h)ωa

H ( H ′ d’ou [G : H ′] < [G : H]. On peut alors par hypothese de recurrence prolonger χ′ en uncaractere χG de G.χG coıncide avec χ sur H donc on a bien prolonge χ en un caractere de G.

– La proposition est donc vraie quel que soit l’indice de H dans G

�

2.1.2 Relations d’orthogonalite

Les deux relations donnees par la proposition suivantes sont appelees relations d’orthogonalite surles caracteres.

18

Proposition 2.1.2 ∑x∈G

χ(x) ={Card(G) si χ = 1

0 si χ 6= 1

∑χ∈G

χ(x) ={Card(G) si x = 1

0 si x 6= 1

Demonstration

Montrons d’abord la premiere relation

• Si χ = 1, la formule est evidente

• Si χ 6= 1, il existe x1 tel que χ(x1) 6= 1

χ(x1)∑x∈G

χ(x) =∑x∈G

χ(x1x) =∑x∈G

χ(x)

car l’aplication x 7−→ x1x est bijective

(χ(x1)− 1)∑x∈G

χ(x) = 0∑x∈G

χ(x) = 0

Montrons la seconde relation

• Si x = 1 la formule est evidente

• Si x 6= 1, il existe un caractere χ1 tel que χ1(x) 6= 1

En effet, H =< x >6= {1} est un sous-groupe de G d’ordre k > 1. Posons χ(x) = ω ou ω est uneracine k-ieme de 1 differente de 1. On definit ainsi un caractere χ sur le groupe cyclique H, que l’on peutd’apres la proposition 2.1.1 prolonger a un caractere χ1 sur G qui verifie alors χ1(x) = χ(x) = ω 6= 1.

χ1(x)∑χ∈G

χ(x) =∑χ∈G

χ1χ(x) =∑χ∈G

χ(x)

On a alors

(χ1(x)− 1)∑χ∈G

χ(x) = 0

∑χ∈G

χ(x) = 0

�

Ces formules sont appelees « relations d’orthogonalite » car elles sont liees a un produit scalaire.

Soit V = {f : G −→ C}. C’est un C − ev de dimension Card(G) = n (une base est celle desapplications fi definies par fi(xj) = δi,j ou xj est un element de G et 1 ≤ i ≤ n).

19

On munit V du produit scalaire :

〈f |g〉 =1|G|

∑x∈G

f(x)g(x)

Proposition 2.1.3 Les caracteres forment une base orthonormee de V pour le produit scalaire ci-dessus.

Demonstration

〈χ|χ′〉 =1|G|

∑x∈G

χ(x)χ′(x) =1|G|

∑x∈G

(χχ′)(x)

D’apres la premiere relation d’orthogonalite,

Si χχ′ = 1 (ie χ = χ′) alors∑

x∈G (χχ′)(x) = |G|

Si χχ′ 6= 1 (ie χ 6= χ′) alors∑

x∈G (χχ′)(x) = 0

Donc

〈χ|χ′〉 = δχ,χ′

Montrons maintenant que cette famille libre orthogonale est aussi generatrice, en montrant que{χ ∈ G}⊥ = {0}.

Soit f : G −→ C telle que pour tout χ ∈ G, 〈f | χ〉 = 0 et soit y ∈ G

∑χ∈G

χ(y)〈f |χ〉 = 0

1|G|

∑χ∈G

χ(y)∑x∈G

f(x)χ(x) = 0

1|G|

∑x∈G

f(x)∑χ∈G

χ(y)χ(x) = 0

Or χ(x) = χ−1(x) = χ(x−1) donc l’egalite devient :

1|G|

∑x∈G

f(x)∑χ∈G

χ(yx−1) = 0

Et∑

χ∈G χ(yx−1) = 0 sauf si yx−1 = 1 ie x = y, donc

1|G|

f(y)× |G| = f(y) = 0

f(y) = 0 pour tout y donc f = 0

20

Corollaires

Comme V est de dimension n = Card(G) et que les caracteres forment une base, on deduit que

Card(G) = Card(G)

On a aussi la formule de decomposition suivant les caracteres. Pour tout f : G −→ C on a larelation :

f(x) =∑χ∈G

< f |χ > χ(x)

2.1.3 Caracteres de Dirichlet

Definition 2.1.2 Soit q un entier ≥ 1

χ, caractere de (Z/qZ)× - groupe multiplicatif des elements inversibles de l’anneau Z/qZ - estappele caractere modulo q.

On le prolonge sur Z en son caractere de Dirichlet associe (modulo q) de la maniere suivante :

χ(n) ={

0 si (n, q) 6= 1χ(n) si (n, q) = 1

n designe la classe de n dans (Z/qZ)

Les caracteres de Dirichlet modulo q forment un groupe fini d’ordre φ(q) (car Card((Z/qZ)×) =φ(q), ou φ designe l’indicatrice d’Euler).

Le caractere trivial modulo q est note εq est defini par εq(n) = 1 si (n, q) = 1 et εq(n) = 0sinon. Le caractere trivial modulo q sera parfois abusivement note 1.

On peut parler aussi de parite d’un caractere de Dirichlet. En effet, on a (χ(−1))2 = 1 doncχ(−1) = ±1. Un caractere est dit

– pair si χ(−1) = 1– impair si χ(−1) = −1

On verifie que pour tout n, n′ appartenant a Z on a les proprietes :

χ(nn′) = χ(n)χ(n′)χ(n+ kq) = χ(n)

Les caracteres de Dirichlet sont donc des fonctions arithmetiques totalement multiplicatives. On apar ailleurs la relation suivante, qui est la traduction de la formule d’orthogonalite pour les caracteres :

1φ(q)

∑χ mod q

χ(a)χ(n) ={

1 si (a, q) = 1 et a ≡ n[q]0 sinon

(2.1)

En effet,

∑χ mod q

χ(a)χ(n) =∑

χ mod q

χ(na−1) = φ(q) ssi na−1 ≡ 1[q]

21

Cette formule est tres utile car elle permet de « detecter » la condition a ≡ n[q] : par exemple siπ(x; q, a) est le nombre de nombres premiers congrus a a modulo q inferieurs a x on pourra s’ecrire

π(x; q, a) =∑p≤x

1φ(q)

∑χ mod q

χ(a)χ(p)

C’est pour cela qu’on etudie ici les caracteres : ils vont intervenir dans les series ou on ne vaconsiderer que certaines nombres congrus a a modulo q.

2.1.4 Caractere primitif

χ un caractere de Dirichlet modulo q.

A partir de χ on peut construire un caractere χ1 modulo dq, d ≥ 2 de la facon suivante :

χ1(n) ={

0 si (n, dq) 6= 1χ(n) si (n, dq) = 1 (⇒ (n, q) = 1)

χ1 est dit induit par χ

Definition 2.1.3 (Caractere primitif) Un caractere de Dirichlet χ mod m est dit primitif s’iln’est induit par aucun caractere mod m′, ou m′ est un diviseur propre de m.

Un caractere induit χ1 est egal au caracere primitif χ qui l’induit sauf aux points n tels que(n, q) = 1 et (n, dq) 6= 1, ou χ1(x) = 0 mais χ(x) 6= 0

L’etude des caracteres primitifs est tres importante car tout caractere χ modulo q est induit parun unique caractere primitif χ∗ (modulo q∗|q). On dit que q∗ est le conducteur de χ (et du caractereprimitif χ∗).

2.2 Fonctions L de Dirichlet

Definition 2.2.1 Soit q ≥ 1, χ un caractere de Dirichlet modulo q. La fonction L de χ est la sommede la serie de Dirichlet associee a la fonction arithmetique χ :

L(χ, s) = Dχ(s) =∑n≥1

χ(n)n−s

La serie convergent uniformement sur tout compact de σ > 1, L est holomorphe sur σ > 1. Deplus on peut appliquer la formule du produit Eulerien (1.1), puisque χ et multiplicative. On va memeutiliser le fait qu’elle est totalement multiplicative.

Pour σ > 1

∑n≥1

χ(n)n−s =∏p∈P

∑k≥0

(χ(pk))p−ks

=∏p∈P

∑k≥0

(χ(p)p−s)k

=∏p∈P

11− χ(p)p−s

22

On a donc la formule

L(χ, s) =∏p∈P

11− χ(p)p−s

(2.2)

pour σ > 1

Fonctions L et caracteres primitifs

Proposition 2.2.1 Soit χ un caractere de Dirichlet modulo q induit par le caractere primitif χ∗

modulo q∗. On a

L(χ, s) = L(χ∗, s)∏p| qq∗

(1− χ∗(p)p−s

)(2.3)

Demonstration

Soit s tel que σ > 1. On a d’apres (2.2)

L(χ, s) =∏p∈P

11− χ(p)p−s

Or χ(p) 6= χ∗(p) ssi (p, q∗) = 1 et (p, q) 6= 1 cad ssi p| qq∗ et (p, q∗) = 1. Lorsque cette condition estrealisee, χ(p) = 0 mais χ∗(p) 6= 0. Ainsi,

L(χ, s) =∏p∈P

11− χ∗(p)p−s

∏p| qq∗

(1− χ∗(p)p−s

)Et en reappliquant la formule (2.2),

L(χ, s) = L(χ∗, s)∏p| qq∗

(1− χ∗(p)p−s

)

�

Cette formule est a priori valable pour σ > 1, zone ou on a pour l’instant defini les fonctions L,mais les eventuels prolongements analytiques des fonctions L seront aussi egaux.

On peut appliquer le meme raisonnement au caractere trivial :

Proposition 2.2.2 Soit εq le caractere trivial modulo q

L(εq, s) = ζ(s)∏p|q

(1− p−s

)

En effet, le caractere trivial modulo q est induit par le caractere trivial modulo 1, qui vaut 1 pourtout n et dont la fonction L associee est la fonction ζ.

23

Ces deux propositions montrent qu’on peut restreindre notre l’etude a celle des fonctions L associeesa des caracteres primitifs. En particulier, pour avoir des informations sur les fonctions L des caracterestriviaux, il suffit d’etudier la fonction ζ.

2.3 Derivee logarithmique des fonctions L

Comme dans la partie 1.3 ou on faisait le lien entre ζ et d’autres series de Dirichlet, on va ici chercherun lien entre les fonctions L et des series de Dirichlet de fonctions arithmetiques bien connues.

Fonction nombre de diviseurs τ

Pour σ > 1 :

(L(χ, s))2 =∏p∈P

(1− χ(p)p−s)−2 =∏p∈P

∞∑k=1

k(χ(p))k−1p−s(k−1)

=∏p∈P

∞∑k=0

(k + 1)(χ(p))kp−s(k) =∏p∈P

∞∑k=0

τ(pk)(χ(p))kp−s(k)

=∏p∈P

∞∑k=0

(τχ)(pk)p−s(k) =∑n≥1

τ(n)χ(n)n−s

Ainsi,

(L(χ, s))2 =∑n≥1

τ(n)χ(n)n−s

Fonction De Mobius µ

Pour σ > 1 :

1L(χ, s)

=∏p∈P

(1− χ(p))

∑n≥1

µ(n)χ(n)n−s =∏p∈P

∑k≥0

µ(pk)χ(p)kp−sk =∏p∈P

(1− χ(p)p−s)

car µ(pk) = 0 si k ≥ 2 et µ(1) = 1, µ(p) = −1. On a donc

1L(χ, s)

=∑n≥1

µ(n)χ(n)n−s

Derivee logarithmique et fonction de Von Mangoldt Λ

On a d’abord pour σ > 1,

L′(χ, s) =∑n≥1

(−log(n))χ(n)n−s

24

−L′(χ, s)L(χ, s)

= −L′(χ, s)× 1L(χ, s)

=

∑n≥1

log(n)χ(n)n−s

× (µ(n)χ(n)n−s)

=∑n≥1

∑d|n

log(d)χ(d)µ(nd

)χ(nd

)n−s

=∑n≥1

∑d|n

µ(nd

)log(d)

χ(n)n−s

=∑n≥1

Λ(n)χ(n)n−s

On a effectue le produit de convolution des deux series de Dirichlet −L′(χ, s) et 1L(χ,s) puis on s’est

rappele que Λ(n) =∑

d|n µ(nd

)log(d). On a donc montre que :

−L′(χ, s)L(χ, s)

=∑n≥1

Λ(n)χ(n)n−s (2.4)

pour σ > 1

25

Troisieme partie

Fonctions sommatoires

26

3.1 Fonctions sommatoires et fonctions sommatoires lissees

Definition 3.1.1 (Fonction sommatoire) Soit f une fonction arithmetique. La fonctions somma-toire de f est la fonction Mf definie pour x ≥ 1 par

Mf (x) =∑

1≤n≤xf(n)

C’est le comportement asymptotique de certaines fonctions sommatoires que nous etudierons parla suite. Comme on le verra, les proprietes de Mf (x) sont etroitement liees a celles de Df (s), la seriede Dirichlet associee.

Pour certaines series de Dirichlet, on peut grace a une transformation d’Abel, technique intervenantsouvent en theorie analytique, exprimer Df (s) en fonction de Mf (x) :

Proposition 3.1.1 Soit f une fonction arithmetique verifiant f(n) = O (nα) (α ≥ 0). On a alors

Mf (x) =∑

1≤n≤xf(n) = O

(x1+α

)Et la formule suivante :

Df (s) =∑n≥1

f(n)n−s = s

∫ ∞1

Mf (x)x−s−1dx

pour σ > α+ 1

Demonstration

Mf (s) ≤ K∑

1≤n≤xnα ≤ K

∑1≤n≤x

xα ≤ Kx1+α

ce qui justifie la premiere assertion. Pour la deuxieme formule, on effectue une transformationd’Abel en posant f(n) = Mf (n)−Mf (n− 1). On ne detaille pas ici, mais il y aura plus loin d’autresexemples d’utilisation de cette meme technique.

�

Par la suite on verra une formule integrale qui permettra d’exprimer une fonction sommatoireen fonction de la serie de Dirichlet associee. Pour des raisons de regularite, il est parfois plus simpled’evaluer le comportement asymptotique de fonctions sommatoires lissees.

Definition 3.1.2 (Fonction sommatoire lissee) Soit f une fonction arithmetique. On appelle fonc-tion sommatoire lissee associee a f et a la fonction de Schwartz φ la serie suivante :

Mf (φ) =∑n≥1

f(n)φ(n)

27

On rappelle la definition d’une fonction de Schwartz :

Definition 3.1.3 (Fonction de Schwartz) Une fonction de Schwarz φ : R → C est une fonctionde classe C∞ telle que

∀(n,m) ∈ N2 |xnf (m)(x)| −→ 0|x|→∞

f est donc une fonction a decroissance plus rapide que tout polynome a l’infini

Parmi les fonctions de Schwartz on retrouve bien sur les fonctions a support compact. On vamaintenant presicer la notion de majorant lisse d’une fonction caracteristique, qui est une categoriede fonctions a support compact.

Definition 3.1.4 (Majorant lisse) Soit y > 0. Un majorant lisse de la fonction caracteristique de[0; y], d’amplitude ∆ > 1 est une fonction φ : [0; +∞[→ R qui est C∞, a support compact dans [0; ∆y]et telle que

0 ≤ φ ≤ 1φ(x) = 1 si x ≤ y

3.2 Exemples importants

3.2.1 Fonctions π et ψ

On peut citer en exemple les fonctions sommatoires qui comptent le nombre de nombres premiers :

π(x) =∑p≤x

1

π(x; q, a) =∑p≤xp≡a[q]

1

Mais ce sont les fonctions ψ que nous utiliserons par la suite pour demontrer les theoremes desnombres premiers. Il s’agit des fonctions sommatoires associees a la fonction de Von Mangoldt definieprecedemment.

On a d’abord la fonction sommatoire de Λ :

ψ(x) =∑n≤x

Λ(n)

On peut donner une application de la proposition 3.1.1 avec f(n) = Λ(n) ≤ log(n) = O (nα) pourtout α > 0. On obtient, pour σ > 1 :

−ζ′(s)ζ(s)

= s

∫ ∞1

ψ(x)xs+1

dx (3.1)

28

Pour s’interesser a la repartition des nombres premiers congrus a a modulo q (a et q evidemmentpremiers entre eux) on definit la fonction :

ψ(x; q, a) =∑n≤xn≡a[q]

Λ(n)

La fonction ψ(x; q, a) est liee aux caracteres de Dirichlet modulo q. En effet, on peut utiliser laformule (2.1) pour introduire la condition p ≡ a mod q :

ψ(x; q, a) =∑n≤x

Λ(n)g(n)

ou g(n) = 1 si la condition de congruence est remplie et 0 sinon. La formule (2.1) nous fournit uncandidat pour la fonction g(n) :

ψ(x; q, a) =∑n≤x

Λ(n)

1φ(q)

∑χ mod q

χ(a)χ(n)

Et en intervertissant les deux sommes :

ψ(x; q, a) =1

φ(q)

∑χ mod q

χ(a)

∑n≤x

Λ(n)χ(n)

(3.2)

3.2.2 Theoremes des nombres premiers et fonctions ψ

Nous allons maintenant voir en quoi ces deux fonctions jouent un role essentiel dans la demonstrationdes theoremes des nombres premiers, en montrant les propositions suivantes :

Proposition 3.2.1 Le theoreme des nombres premiers, c’est-a-dire

π(x) ∼ x

ln(x)

lorsque x→∞ est equivalent aψ(x) ∼ x

lorsque x→∞

Proposition 3.2.2 Le theoreme des nombres premiers en progression arithmetique, c’est-a-dire

π(x; q, a) ∼ 1φ(q)

x

ln(x)

lorsque x→∞ est equivalent aψ(x; q, a) ∼ x

φ(q)

lorsque x→∞

29

On peut noter que la proposition 2 implique la proposition 1 (prendre q = 2 et a = 1), nous allonsdonc demontrer cette derniere proposition uniquement.

Demonstration

• Montrons que π(x; q, a) ∼ 1φ(q)

xlog(x) implique ψ(x; q, a) ∼ x

φ(q)

Comme Λ(n) = log(p) si n est une puissance du nombre premier p et 0 sinon, on a :

ψ(x; q, a) =∑p≤xp≡a[q]

log(p) +∑pk≤xk≥2

pk≡a[q]

log(p) = θ(x; q, a) +R(x; q, a)

Comme pk ≤ x et k ≥ 2, on a 2 ≤ k ≤ log(x)log(p) , d’ou 2 ≤ k ≤ log(x)

log(2) .

R(x; q, a) ≤∑p≤√x

2≤k≤ log(x)log(2)

log(p)

On a donc R(x; q, a) ≤√x(logx)2

log(2) soit R(x; q, a) = O(√x(logx)2).

Notons N = E(x), et effectuons une transformation d’Abel dans le premier terme θ(x; q, a) :

θ(x; q, a) =∑

1≤n≤Nlog(n)(π(n; q, a)− π(n− 1; q, a))

= log(N)π(N ; q, a) +∑

1≤n≤N−1

π(n; q, a)(log(n)− log(n+ 1))

θ(x; q, a) = log(N)π(N ; q, a) −∑

1≤n≤N−1

π(n; q, a)∫ n+1

n

1tdt

= log(N)π(N ; q, a) −∑

1≤n≤N−1

∫ n+1

n

π(t; q, a)t

dt

Ainsi :

θ(x; q, a) = log(N)π(N ; q, a) −∫ N

1

π(t; q, a)t

dt (3.3)

On a de plus :

0 = π(x; q, a)(log(x)− log(N))−∫ x

N

π(t; q, a)t

dt (3.4)

En effectuant (3.3)+(3.4) on obtient pour tout x :

θ(x; q, a) = log(x)π(x; q, a) −∫ x

1

π(t; q, a)t

dt

On a donc :

30

ψ(x; q, a)xφ(q)

=π(x; q, a)log(x)φ(q)

x+φ(q)x

∫ x

1

π(t; q, a)t

dt+R(x; q, a)φ(q)

x

Comme π(x; q, a) ∼ 1φ(q)

xlog(x) , π(x;q,a)log(x)φ(q)

x → 1 lorsque x→∞.

Comme R(x; q, a) = O(√x(logx)2), R(x;q,a)φ(q)

x → 0 lorsque x→∞.

Montrons qu’on a aussi φ(q)x

∫ x1π(t;q,a)

t dt→ 0 lorsque x→∞.

Pour cela, montrons d’abord que∫ x

21

log(t)dt ∼xlogx :

En faisant une integration par parties :

∫ x

2

1log(t)

dt =[

t

log(t)

]x2

+∫ x

2

dt

(log(t))2=

x

log(x)− 2log(2)

+∫ x

2

dt

(log(t))2

Mais 1(log(t))2

= o( 1log(t)) et les integrales divergent donc

∫ x2

dt(log(t))2

= o(∫ x

2dt

log(t)).

D’ou finalement l’equivalence voulue. On a par ailleurs

∫ x

1

π(t; q, a)t

dt ∼∫ x

2

π(t; q, a)t

dt ∼∫ x

2

t

φ(q)log(t)tdt

car les integrales divergent. Donc :

φ(q)x

∫ x

1

π(t; q, a)t

dt ∼ φ(q)x

1φ(q)

∫ x

2

1log(t)

dt

Ainsi :

φ(q)x

∫ x

1

π(t; q, a)t

dt ∼ 1x

x

log(x)→ 0

Et finalement ψ(x;q,a)xφ(q)

→ 1, soit ψ(x; q, a) ∼ xφ(q) .

• Montrons que ψ(x; q, a) ∼ xφ(q) implique π(x; q, a) ∼ 1

φ(q)x

log(x)

π(x; q, a) =∑p≤xp≡a[q]

1 =∑p≤xp≡a[q]

log(p)log(p)

=∑

2≤n≤x

Λ(n)log(n)

−∑pk≤xk≥2

pk≡a[q]

log(p)log(pk)

Le deuxieme terme de cette somme, R(x; q, a) ≤√xlog2(x)2log(2) donc R(x; q, a) = O(

√xlog2(x)).

On effectue une transformation d’Abel pour le premier terme, appele θ(x; q, a), en ecrivant Λ(n) =ψ(n)− ψ(n− 1) et on obtient finalement :

31

θ(x; q, a) =ψ(x; q, a)

log(x)+∫ x

2

ψ(t; q, a)t(log(t))2

dt

Ainsi :

π(x; q, a) log(x)φ(q)x

=ψ(x; q, a)φ(q)

x+φ(q) log(x)

x

∫ x

2

ψ(t; q, a)t(log(t))2

dt+R(x; q, a)log(x)φ(q)

x

Comme ψ(x; q, a) ∼ xφ(q) , ψ(x;q,a)φ(q)

x → 1.

Comme R(x; q, a) = O(√x log2(x)), R(x;q,a) log(x)φ(q)

x → 0.

Et on a egalement :

φ(q)log(x)x

∫ x

2

ψ(t; q, a)t(log(t))2

dt ∼ log(x)x

∫ x

2

1(log(t))2

dt

Et comme precedement, on montre en integrant par parties∫ x

21

(log(t))2dt que

∫ x

2

1(log(t))2

dt ∼ x

(log(x))2

D’ou finalement

φ(q)log(x)x

∫ x

2

ψ(t; q, a)t(log(t))2

dt ∼ 1log(x)

→ 0

Et π(x;q,a)log(x)φ(q)x → 1, soit π(x; q, a) ∼ 1

φ(q)x

log(x) .

�

Dans la suite on va chercher a evaluer ces fonctions sommatoires, a l’aide d’une formule integralefaisant intervenir des transformees de Mellin : pour montrer la formule d’inversion de Mellin qui vanous servir, il faut d’abord faire quelques rappels concernant la transformation de Fourrier et plusparticulierement l’inversion de Fourier.

32

3.3 Transformee de Fourier

3.3.1 Definition

Definition 3.3.1 Soit f ∈ L1C(R) On definit la transformee de Fourier de la fonction f :

Tf(s) = f(s) =∫

Re−2iπsxf(x)dx

On definit aussi la transformee de Fourier conjuguee de f :

T f(s) =∫

Re−2iπsxf(x)dx

3.3.2 Exemple important

Nous allons etudier la transformee de Fourier des foction fa(x) = e−ax2

ou a > 0.

Proposition 3.3.1 La transformee de Fourier de la fonction fa est la fonction

fa(x) =√π

ae−

π2

ax2

Demonstration

Soit s reel. fa(s) =∫

R e−ax2

e−2iπsxdx On peut deriver la transformee de Fourier par rapport a ssous l’integrale :

f ′a(s) = −2iπ∫

Rxe−ax

2e−2iπsxdx =

iπ

a

∫R

(−2ax)e−ax2e−2iπsxdx

= − iπa

∫Re−ax

2(−2iπs)e−2iπsxdx = −2π2s

afa(s)

fa est donc solution de l’equation differentielle y′ + 2π2sa y = 0.

Il existe donc A telle que fa(s) = Ae−π2

as2 . Et

A = fa(0) =∫

Re−ax

2dx =

√π

a

fa(x) =√π

ae−

π2

ax2

Corollaire 3.3.1 L’application x 7−→ e−πx2

est invariante par transformation de Fourier

Cette application correspond en effet a fa avec a = π

33

3.3.3 Formule d’inversion de Fourier

Theoreme 3.3.1 Si f et f ∈ L1(R) alors T f(t) = f(t). C’est-a-dire :

f(s) =∫

Re2iπsxf(x)dx

3.3.4 Formule de Poisson

Proposition 3.3.2 (Formule de sommation de Poisson) Soit f : R −→ C une fonction de Schwartz.Soit f sa transformee de Fourier.

Pour tout x ∈ R on a :

∑n∈Z

f(x+ n) =∑h∈Z

f(h)e2iπ(hx)

En particulier, pour x = 0 :

∑n∈Z

f(n) =∑h∈Z

f(h) (3.5)

3.3.5 Etude des fonctions θ

Nous allons ici appliquer les formules precedentes (inversion de Fourier, formule de sommation dePoisson) pour etudier certaines fonctions qui nous servirons plus tard, notamment pour le prolonge-ment des fonctions L.

Fonction θ

Soit θ la fonction definie pour y > 0 par

θ(y) =∑n∈Z

e−πn2y

Proposition 3.3.3 On a pour tout y > 0

θ(y) =1√yθ

(1y

)(3.6)

Demonstration

Appliquons la formule (3.5) a f(x) = e−πx2y dont la transformee de Fourier est f(x) = 1√

ye−πx

2

y

(c’est une fonction de type fa avec a = πy). On a :

θ(y) =∑n∈Z

e−πn2y =

1√y

∑n∈Z

e−πn

2

y =1√yθ

(1y

)

34

Fonction θ(y; q, a)

On introduit dans cette fonction θ la condition de congruence modulo q.

θ(y; q, a) =∑n∈Zn≡a[q]

e−πn2y

Proposition 3.3.4 Pour tout y > 0 on a :

θ(y; q, a) =1

q√y

∑x mod q

e2iπaxq θ

(1q2y

; q, x)

(3.7)

Demonstration

θ(y; q, a) =∑m∈Z

e−π(a+mq)2y

Calculons la transformee de Fourier de f(x) = e−π(a+xq)2y.

f(x) =∫

Re−π(a+uq)2ye−2iπuxdu =

1qe

2iπaxq

∫Re−πu

2ye−2iπu(x

q)du

=1qe

2iπaxq fπy

(s

q

)=

1q√ye

2iπaxq e

− π2

yq2x2

En appliquant la formule de Poisson on trouve alors :

∑m∈Z

e−π(a+mq)2y =1

q√y

∑m∈Z

e2iπamq e

− π2

yq2m2

e2iπamq ne depend que de la classe de m modulo q : on peut donc transformer cette somme en une

somme sur les elements x de (Z/qZ) :

θ(y; q, a) =1

q√y

∑x mod q

e2iπaxq θ

(1q2y

; q, x)

Fonction θ(χ, y)

Soit q ≥ 1 et χ un caractere de Dirichlet modulo q. On definit la fonction

θ(χ, y) =∑n∈Z

χ(n)e−πn2y

On peut transformer cette somme selon la parite du caractere χ

– Si χ est pair,

θ(χ, y) = 2∑n∈N∗

χ(n)e−πn2y (3.8)

35

– Si χ est impair, θ(χ, y) = 0

Proposition 3.3.5 Si χ est primitif on a pour y > 0 :

θ(χ, y) =τ(χ)q√yθ

(χ,

1q2y

)(3.9)

avec τ(χ) la somme de Gauss de χ definie par :

τ(χ) =∑

x mod q

χ(x)e2iπxq

Demonstration

On commence par scinder la somme suivant les classes modulo q :

θ(χ, y) =∑

a mod q

χ(a)θ(y; q, a)

On utilise alors la formule (3.7) pour chaque terme :

θ(χ, y) =1

q√y

∑a mod q

χ(a)∑

x mod q

e2iπaxq θ

(1q2y

; q, x)

=1

q√y

∑x mod q

θ

(1q2y

; q, x) ∑a mod q

χ(a)e2iπaxq

=1

q√y

∑x mod q

θ

(1q2y

; q, x)χ(x)

∑a mod q

χ(ax)e2iπaxq (∗)

=1

q√y

∑x mod q

θ

(1q2y

; q, x)χ(x)τ(χ)

=τ(χ)q√y

∑x mod q

χ(x)θ(

1q2y

; q, x)

=τ(χ)q√yθ

(χ,

1q2y

)(*) : si x est premier avec a l’application a 7−→ ax est bijective et on obtient τ(χ) par changement

de variable, en revanche si ce n’est pas le cas, on utilise le fait que χ est primitif pour montrer queτ(χ) = 0, de la meme maniere qu’on le fera plus loin pour demontrer le lemme 5.2.1

3.4 Transformee de Mellin

3.4.1 Definition

Definition 3.4.1 Soit f une fonction de Schwartz. On definit la transformee de Mellin de f :

f(s) =∫ ∞

0f(x)xs−1fx

36

En l’infini, on a f(x)xs−1 = o(

1xn+1−s

)pour tout n donc la fonction est integrable. f est continue

en 0 et xs−1 est integrable en 0 ssi σ > 0.

f est donc definie pour σ > 0

Soit a ∈]0; 1[ et b ∈]1; +∞[. Si Re(s) ∈]a; b[, f(x)xs−1 est holomorphe sur cette bande et on a :

– si x ∈]0; 1], |f(x)xs−1| ≤ |f(x)|xa−1, fonction integrable sur ]0; 1]

– si x ∈ [1; +∞[, |f(x)xs−1| ≤ |f(x)|xb−1, fonction integrable sur [1; +∞[

f est donc holomorphe sur la bande a ≤ σ ≤ b pour tout a ∈]0; 1[ et b ∈]1; +∞[. Donc f estholomorphe sur σ > 0.

Proposition 3.4.1 Soit f : [0; +∞[−→ C une fonction de Schwartz et f sa transformee de Mellin.

Dans toute bande verticale A ≤ σ ≤ B avec 0 < A < B, on a pour tout k ≤ 1 :

lim|t|→∞

∣∣∣skf(s)∣∣∣ = 0

Demonstration

Cette proposition se demontre par integrations par parties successives. Montrons-la par exemplepour k = 1

f(s) =∫ ∞

0f(x)xs−1dx =

[f(x)xs

s

]∞0

− 1σ + it

∫ ∞0

f ′(x)xsdx

f(s) =1

σ + it

1σ + 1 + it

∫ ∞0

f ′′(x)xsdx

On a donc lim|t|→∞

|sf(s)| = 0

En faisant k + 1 integration par parties, on montre la proposition pour k > 1

3.4.2 Etude de l’exemple de Γ

La fonction Γ est definie par

Γ(s) =∫ ∞

0e−xxs−1dx

La fonction Γ va jouer un role important puisqu’elle intervient avec les fonction L dans une equationfonctionnelle (voir partie 5). C’est en fait la transformee de Mellin de la fonction f(x) = e−x (qui estbien une fonction de Schwartz). Elle est donc holomorphe sur σ > 0.

On montre grace a une integration par parties que pour tout s tel que σ > 0,

Γ(s) =1s

Γ(s+ 1) = g(s)

La fonction g est meromorphe sur σ > −1 avec un pole simple en 0 (de residu 1). Or g coıncideavec Γ sur σ > 0. On peut donc prolonger la fonction Γ de maniere meromorphe sur σ > −1. En

37

iterant ce processus, on prolonge Γ en une fonction meromorphe sur C admettant des poles simplesen les −k, k ∈ N.

On peut montrer la formule suivante ou Γ intervient, appelee formule des complements :

Γ(s)Γ(1− s) =π

sin(πs)

Supposons qu’il existe s0 tel que Γ(s0) = 0. Comme πsin(πs0) 6= 0, 1− s0 est necessairement un pole

de Γ. Mais on a vu que les seuls poles de Γ sont les −k, k ∈ N, donc s0 ∈ N∗. Ceci est impossible carΓ(n) = (n− 1)!. Cette formule nous permet donc de voir que Γ ne s’annule pas sur C.

Les formules suivantes detaillent le comportement asymptotique de Γ.

Formules de Stirling

Proposition 3.4.2 Soit σ reel, on a alors la formule de Stirling :

Γ(σ) ∼√

2πσ(σe

)σ(3.10)

σ→∞

Uniformement dans la region a ≤ σ ≤ b, |t| ≥ 1 on a la formule de Stirling generalisee :

|Γ(σ + it)| = (2π)12 |t|σ−

12 e−π|t|

(1 +O

(1t

))(3.11)

(la constante du O depend de a et b)

On a aussi, uniformement pour |arg(s)| ≤ π − ε la formule de Stirling derivee :

Γ′

Γ(s) = log|s|+O

(1s

)(3.12)

(la constante du O depend de ε)

Demonstration

Les formules (3.11) et (3.12) sont des consequences du developpement de Stirling (qui se demontrepar exemple a l’aide de la formule d’Euler - MacLaurin) :

log(Γ(z)) = zlog(z)− z − 12log(z) +

12log(2π) +

p∑h=1

(−1)h−1Bh2h(2h− 1)

1z2h−1

+ 2kziπ +O

(1z2p

)

Notons qu’on peut definir le logarithme de Γ car on a vu que Γ ne s’annule pas. Ce developpementfait intervenir les nombres de Bernoulli Bh. Pour obtenir (3.11) il faut prendre l’exponentielle des deuxmembres et pour (3.12), il faut deriver.

On ne demontrera pas ici la formule de Stirling.

38

3.4.3 Formule d’inversion de Mellin

Posons s = σ + it avec σ > 0 fixe

f(s) =∫ ∞

0f(x)eslog(x)dx

x

=∫ ∞

0f(x)eσlog(x)eitlog(x)dx

x

On effectue le changement de variable

u = log(x)

du =dx

x

f(s) =∫ +∞

−∞f(eu)eσueiutdu

u = −2πxdu = −2πdx

f(s) = 2π∫

Rf(e−2πx)e−2πσxe−2iπtxdx

f(σ + it) = fσ(t) se presente comme la transformee de Fourier de la fonction

gσ(x) = 2πf(e−2πx)e−2πσx

Utilisons la formule d’inversion de Fourier :

gσ(t) =∫

Re2iπtxf(σ + ix)dx

On en deduit donc en remplacant gσ par son expression :

f(e−2πt)e−2πσt =1

2π

∫Re2iπtxf(σ + ix)dx

f(u)uσ =1

2π

∫Ru−ixf(σ + ix)dx

avec u = e−2πt

f(u) =1

2iπ

∫Ru−(σ+ix)f(σ + ix)idx

f(u) =1

2iπ

∫(σ)f(s)u−sds

39

La notation (σ) indique que l’on integre dans la plan complexe sur le contour constitue de la droiteverticale de partie reelle σ.

On vient de demontrer la formule d’inversion de Mellin :

Proposition 3.4.3 (Formule d’inversion de Mellin) Soit f : [0; +∞[→ C une fonction de Schwartzet f sa transformee de Mellin. Soit σ quelconque tel que l’integrale definissant la transformee de Mellinconverge pour Re(s) = σ. Alors

f(x) =1

2iπ

∫(σ)f(s)x−sds (3.13)

3.5 Formule integrale evaluant une fonction sommatoire lissee

3.5.1 Formule integrale

Proposition 3.5.1 Soit φ une fonction de Schwartz, f une fonction aithmetique a croissance moderee.Soit c > 0 tel que la serie de Dirichlet Df (s) converge absolument sur la droite Re(s) = c, avec c > 1.Alors

Mf (φ) =∑n≥1

f(n)φ(n) =1

2iπ

∫(c)Df (s)φ(s)ds (3.14)

Demonstration

D’apres la formule (3.13) appliquee a la fonction de Schwartz φ au point n, on a :

Mf (φ) =∑n≥1

f(n)1

2iπ

∫(c)φ(s)n−sds

Mf (φ) =1

2iπ

∑n≥1

∫(c)φ(s)f(n)n−sds

On peut intervertir serie et integrale grace a la convergence absolue de Df . En effet :

∣∣∣∣∣∫

(c)φ(s)f(n)n−sds

∣∣∣∣∣ ≤ |f(n)|n−c∫

(c)|φ(s)|ds ≤ K|f(n)|n−c

D’apres la convergence absolue de la serie de Dirichlet de f , |f(n)|n−c est le terme general d’uneserie convergente. Ainsi :

∣∣∣∣∣∞∑n=N

∫(c)φ(s)f(n)n−sds

∣∣∣∣∣ ≤ K∞∑n=N

|f(n)|n−c −→ 0

lorsque N →∞

On a donc

40

Mf (φ) =1

2iπ

∫(c)φ(s)

∑n≥1

f(n)n−sds

Mf (φ) =1

2iπ

∫(c)φ(s)Df (s)ds

�

Dans la suite, on utilisera des sommes du type∑

n≥1 f(n)φ(nx

)avec φ une fonction de Schwartz

(par exemple une majorant lisse). L’application g : u 7−→ φ(ux

)est une fonction de Schwartz et on a

d’apres la formule precedente :

Mg(φ) =1

2iπ

∫(c)g(s)Df (s)ds

avec

g(s) =∫ ∞

0φ(ux

)us−1du =

∫ ∞0

φ(v)(vx)s−1xdv = xsφ(s)

Finalement on a la formule :

∑n≥1

f(n)φ(nx

)=

12iπ

∫(c)Df (s)φ(s)xsds (3.15)

Si on prend pour fonction φ un majorant lisse de [0; 1], la somme ci-dessus devient une sommefinie, proche de la fonction sommatoire Mf (x) =

∑n≤x f(n).

3.5.2 Application a des fonctions connues

Cas des fonctions L

D’apres la proposition 3.2.2, pour demontrer le theoreme des nombres premiers en progressionarithmetique il faut etudier le comportement asymptotique de la fonction ψ(x; q, a). D’apres la formule(3.2), celle-ci est liee a la fonction sommatoire

MΛχ(x) =∑n≤x

Λ(n)χ(n)

On peut grace a la formule (3.15) evaluer une fonction sommatoire lissee approchant cette dernierefonction sommatoire :

∑n≥1

Λ(n)χ(n)φ(nx

)=

12iπ

∫(c)DΛχ(s)φ(s)xsds

pour c > 1. Or d’apres la formule (2.4), la serie de Dirichlet de la fonction Λχ est l’oppose de laderivee logarithmique de la fonction L associee a χ. Ainsi :

∑n≥1

Λ(n)χ(n)φ(nx

)=

12iπ

∫(c)−L

′(χ, s)L(χ, s)

(s)φ(s)xsds (3.16)

41

Cas de ζ

Pour le theoreme des nombres premiers « simple », il suffit de s’interesser a la fonctions sommatoireψ(x) =

∑n≤x Λ(n). Soit ηδ un majorant lisse de [0; 1], d’amplitude 1 + δ. On a d’apres la formule

(3.14) :

∑n≥1

Λ(n)ηδ(nx

)=

12iπ

∫(c)−ζ′(s)ζ(s)

ηδ(s)xsds (3.17)

Pour demontrer le theoreme des nombres premiers en progression arithmetique on montrera d’abordun resultat sur les sommes lisses. En revanche, on montrera le theoreme des nombres premiers en es-timant une integrale ne faisant plus intervenir de fonction φ de lissage.

Soit x fixe.

ηδ(s) =∫ ∞

0ηδ(u)us−1du =

∫ 1

0us−1du+

∫ 1+δ

1ηδ(u)us−1du

=1s

+∫ 1+δ

1ηδ(u)us−1du

∣∣∣∣ηδ(s)− 1s

∣∣∣∣ ≤ ∫ 1+δ

1|ηδ(u)|uc−1du

≤∫ 1+δ

1uc−1du −→ 0

δ→0

Ainsi ηδ(s) converge vers 1s uniformement pour s tel que σ = c. D’ou

limδ→0

∫(c)−ζ′(s)ζ(s)

ηδ(s)xsds =∫

(c)−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds

D’autre part,

∑n≥1

Λ(n)ηδ(nx

)=

∑n≤x

Λ(n) +∑

x<n≤(1+δ)x

Λ(n)ηδ(nx

)= ψ(x) +

∑x<n≤(1+δ)x

Λ(n)ηδ(nx

)

Et lorsque δ est suffisamment petit, il n’y a aucun entier entre x et (1 + δ)x donc

limδ→0

∑n≥1

Λ(n)ηδ(nx

)= ψ(x)

Finalement, en faisant tendre δ vers 0 dans la formule (3.17) , on obtient la formule suivante, nefaisant plus intervenir de fonction φ de lissage :

ψ(x) =1

2iπ

∫(a)−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds (3.18)

42

3.6 Technique de deplacement du contour d’integration

Les formules precedentes permettent d’evaluer des fonctions sommatoires lissees dependant dex (ou meme directement des fonctions sommatoires comme c’est le cas dans (3.18)) a l’aide d’uneintegrale sur la droite verticale Re(s) = σ. En pratique, le x que l’on choisira sera souvent tres grand(on veut etudier le comportement asymptotique de telles sommes).

Comme |xs| = xσ et x > 1 on est tente de prendre σ aussi petit que possible afin de minimiser|xs| : on voudrait meme pouvoir prendre σ inferieur a 1 (σ > 1 etait une des hypotheses de validitede la formule (3.14)) : c’est ce qu’on appelle « deplacer le contour d’integration vers la gauche ». Ceciexige de pouvoir prolonger Df au-dela du somaine de convergence absolue.

Exemple de deplacement du contour d’integration

On se place sous les hypotheses suivantes :

– f une fonction arithmetique telle que ∀ε > 0, f(n) = O (nε)– Df se prolonge a gauche de la zone σ > 1 en une fonction meromorphe– il existe δ < 1 tel que Df soit meromorphe sur σ > δ et possede un nombre fini de poles simpless1, s2, ..., sk de residus respectifs r1, r2, ..., rk dans δ < σ < c (avec c > 1)

– ∀ε, il existe C (dependant de ε) telle que

|Df (s)| = O ((|s|+ 1)c)

Soit ε > 0 tel que δ+ ε < 1 et Df n’ait pas de pole dans la zone δ < σ < δ+ ε. Soit T tel que tousles poles de Df aient une partie imaginaire inferieure en valeur absolue a T . On considere le contourCT suivant :

43

D’apres le theoreme des residus, on a

12iπ

∫CTDf (s)φ(s)ysds =

k∑i=1

riysi φ(si) (3.19)

Et le calcul de l’integrale en decomposant sur les 4 cotes donne

12iπ

∫CTDf (s)φ(s)ysds =

12iπ

∫σ=c

t∈[−T,T ]

Df (s)φ(s)ysds+1

2iπ

∫σ=δ+εt∈[−T,T ]

Df (s)φ(s)ysds

+1

2iπ

∫ c

δ+εDf (t− iT )φ(t− iT )yt−iTdt− 1

2iπ

∫ c

δ+εDf (t+ iT )φ(t+ iT )yt+iTdt

Evaluons maintenant les integrales sur les bords verticaux :

∣∣∣∣∫ c

δ+εDf (t± iT )φ(t± iT )yt±iTdt

∣∣∣∣ ≤ ∫ c

δ+ε|Df (t± iT )φ(t± iT )|ytdt

Or on a les majorations :

|Df (t± iT )| = O ((1 + |t± iT |)c)

|φ(t± iT )| = O

(1

(1 + |t± iT |)k

)∀k ∈ N

Ainsi,

∣∣∣∣∫ c

δ+εDf (t± iT )φ(t± iT )yt±iTdt

∣∣∣∣ = O

(∫ c

δ+ε

ytdt

(1 + |t± |)2

)−→ 0

lorsque T →∞. En faisant tendre T vers l’infini dans (3.19), on obtient :

12iπ

∫(c)Df (s)φ(s)ysds =

k∑i=1

riysi φ(si) +

12iπ

∫(δ+ε)

Df (s)φ(s)ysds

Sous les hypotheses precedentes, on a donc

∑n≥1

f(n)φ(n

y

)=

k∑i=1

riysi φ(si) +

12iπ

∫(δ+ε)

Df (s)φ(s)ysds

Ce qui nous donne l’estimation suivante pour la fonctions sommatoire lissee dependant de y :

∑n≥1

f(n)φ(n

y

)=

k∑i=1

riysi φ(si) +O

(yδ+ε

)

44

Comme on l’a vu dans les exemples du 3.5.2, on voudra par la suite evaluer les deux integralesdonnees dans les formules (3.16) et (3.18), c’est-a-dire :

∫(c)−L

′(χ, s)L(χ, s)

(s)φ(s)xsds et

∫(a)−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds

On aimerait, comme on vient de le faire dans l’exemple, pourvoir utiliser le theoreme des residuspour pouvoir exprimer ces integrales en fonctions d’integrales sur des droites du type Re(s) = σ < 1(terme plus petit que l’integrale sur σ = c).

Mais ce deplacement du contour d’integration n’est possible que si l’on peut prolonger −L′(χ,s)L(χ,s)

(resp. − ζ′(s)ζ(s) ) a gauche de σ > 1 (nous verrons en pratique que meme une fois ce prolongement effectue,

on ne pourra pas faire un deplacement exactement similaire a celui de l’exemple)

Nous allons donc d’abord prolonger les fonctions L sur C en des fonctions meromorphes, et nousnous interesserons egalement aux zeros de telles fonctions : en effet L′(χ,s)

L(χ,s) n’est holomorphe que si Ln’a pas de pole (et donc L′ non plus) et L n’a pas de zero dans une certaine region...

45

Quatrieme partie

Prolongement analytique des fonctionsL sur Re(s) > 0 et theoreme de la

progression arithmetique

46

Le theoreme de la progression arithmetique est un premier resultat sur les nombres premiers enprogression arithmetique. Il a ete demontre en 1838 par Dirichlet et son enonce est le suivant :

Theoreme 4.0.1 Soient a et q deux entiers non nuls premiers entre eux.

Il existe une infinite de nombres premiers congrus a a modulo q

Ce resultat est un corollaire du theoreme des nombres premiers en progression arithmetique maisil est interessant de le demontrer separement. En effet, sa demonstration nous donne une premiereapproche de la manipulation des fonctions L. En particulier, elle necessite un prolongement de cesfonctions sur Re(s) > 0, que nous pouvons faire directement, sans utiliser (comme on le fera plus loin)une equation fonctionnelle.

4.1 Prolongement sur Re(s) > 0

Cas ou χ = εq = 1

Comme on l’a deja vu, L(1, s) ne differe de la fonction ζ que par une constante multiplicative : ilsuffit donc de prolonger ζ sur Re(s) > 0 pour obtenir un prolongement de L(1, s).

Posons g(s) = ζ(s)− 1s−1

Si Re(s) > 1, 1s−1 =

∫∞1

1tsdt =

∑∞n=1

∫ n+1n

1tsdt

g(s) =∞∑n=1

(1ns−∫ n+1

n

1tsdt

)=∞∑n=1

∫ n+1

n

(1ns− 1ts

)dt

=∞∑n=1

an(s) avec an(s) =∫ n+1

n

(1ns− 1ts

)dt

On a a priori convergence de la serie sur Re(s) > 1. Montrons qu’il y a aussi convergence uniformesur tout compact lorsque Re(s) ≥ ε > 0.

|an(s)| ≤∫ n+1

n

∣∣∣∣ 1ns− 1ts

∣∣∣∣dtD’apres la formule des accroissements finis appliquee a la fonction f : t 7−→ 1

ts et dont la deriveeest f ′(t) = − s

ts+1 , il existe r ∈]n; t[ tel que

∣∣∣∣ 1ns− 1ts

∣∣∣∣ =∣∣∣∣s(t− n)rs+1

∣∣∣∣ ≤ |s||r|σ+1

≤ |s|nσ+1

≤ |s|nε+1

D’ou :

|an(s)| ≤ |s|nε+1

≤ K

nε+1

sur un compact : la serie converge donc uniformement sur tout tout compact de σ ≥ ε. g(s) estdonc holomorphe sur tout domaine de la forme σ ≥ ε donc sur le demi-plan σ > 0.

On en deduit que ζ est meromorphe sur σ > 0 avec un pole simple en 1 de residu 1. L(1, s) estdonc meromorphe avec un pole simple en 1 de residu

∏p|m (1− p−1).

47

Cas d’un caractere non trivial

L(χ, s) =∑∞

n=1 χ(n)n−s. Posons

Sn,n′(s) =n′∑k=n

χ(k)k−s et Ak =k∑r=1

χ(r)

On a alors χ(k) = Ak − Ak−1 pour tout k ≥ 1 avec A0 = 0 par convention. Effectuons unetransformation d’Abel :

Sn,n′(s) =n′∑k=n

(Ak −Ak−1) k−s =n′∑k=n

Akk−s −

n′∑k=n

Ak−1k−s

=n′∑k=n

Akk−s −

n′−1∑k=n−1

Ak(k + 1)−s =n′∑k=n

Ak

(1ks− 1

(k + 1)s

)+An′

n′s− An−1

ns

Montrons que (Ak) est une suite bornee. D’apres la relation d’orthogonalite pour les caractere :

∑r∈Z/qZ

χ(r) = 0

car χ 6= 1. Vu la facon dont χ est prolonge a un « caractere sur Z », on a :

q∑r=1

χ(r) = 0 ainsi que

(k+1)q∑r=kq

χ(r) = 0

Donc∑k

r=1 χ(r) =∑k

r=[kq

] χ(r) d’ou

|Ak| ≤k∑

r=[kq

] |χ(r)| ≤ (k −[k

q

]) ≤ q

On a donc

|Sn,n′(s)| ≤ q

(n′−1∑k=n

∣∣∣∣ 1ks− 1

(k + 1)s

∣∣∣∣+1|n′s|

+1|ns|

)

Supposons s reel avec s > 0. Alors

|Sn,n′(s)| ≤ q

(n′−1∑k=n

(1ks− 1

(k + 1)s

)+

1n′s

+1ns

)

La serie de gauche est clairement telescopique et on a :

|Sn,n′(s)| ≤ q(

1ns− 1n′s

+1n′s

+1ns

)≤ 2qns

48

Si s ≥ ε > 0 on a

|Sn,n′(s)| ≤2mnε

−→ 0n→∞

La suite des sommes partielles associee a la serie de Dirichlet de χ verifie le critere de Cauchy doncla serie de Dirichlet converge (R est complet) pour tout reel s > 0.

Soit ε > 0. La serie de Dirichlet converge pour s = ε. D’apres le corollaire 1.1.1 du theoreme 1.1.1,cette serie de Dirichlet converge uniformement sur tout compact du demi-plan σ > ε.

L(χ, s) est donc holomorphe sur le demi-plan σ > ε pour tout ε donc sur le demi-plan σ > 0.

Bilan

– L(1, s) est meromorphe sur Re(s) > 0, avec un pole simple en 1

– Si χ 6= 1, L(χ, s) est holomorphe sur Re(s) > 0

4.2 Non annulation des fonctions L en 1

Pour demontrer le theoreme de la progression arithmetique, on utilisera le logarithme de L(χ, 1) :il faut donc montrer que pour χ non trivial, L(χ, 1) 6= 0.

On definit la fonction ζq de la maniere suivante :

ζq(s) =∏

χmod q

L(χ, s)

Cette fonction est holomorphe sur σ > 0 sauf peut-etre en 1. La fonction L(1, s) possede en effetun pole simple en 1, mais s’il existe un caractere non trivial tel que L(χ, s) s’annule en 1, ζq estholomorphe en 1.

Etablissons d’abord une formule sous forme de produit pour ζq(s).

Pour σ > 1, d’apres la formule du produit Eulerien,

L(χ, s) =∏p∈P

11− χ(p)p−s

Si p|q, χ(p) = 0 donc

ζq(s) =∏

χmod q

∏p-q

11− χ(p)p−s

ζq(s) =∏p-q

1∏χmod q (1− χ(p)p−s)

(4.1)

Transformons maintenant∏χmod q (1− χ(p)p−s).

49

Soit p - q. p ∈ (Z/qZ)×. On note f(p) l’ordre de < p > dans (Z/qZ)×. Determinons tous lescaracteres verifiant χ(p) = ω, ou ω est une racine f(p)-ieme de l’unite donnee.

∀x ∈< p >, il existe k tel que χ(x) = χ(pk) = ωk donc χ est uniquement determine sur < p >.

Soit x quelconque dans (Z/qZ)× : il existe k ∈ N tel que x = mpk avec m le representant de xdans (Z/qZ)×/ < p >

χ(x) = χ(m)(χ(p))k = χ(m)ωk

χ est determine de maniere unique par sa restriction a (Z/qZ)×/ < p > : or il y a g(p) = φ(q)f(p)

caracteres de ce groupe.

Il y a donc g(p) caracteres de (Z/qZ)× verifiant χ(p) = ω.

On a en notant W l’ensemble des racines f(p)-iemes de l’unite

∏ω∈W

(T − ω) = T f(p) − 1

On a donc :

T f(p) − 1 =∏ω∈W

w∏ω∈W

(ω−1T − 1) =f(p)∏k=1

e2ikπf(p)

∏ω∈W

(ωT − 1)

= exp

2iπf(p)

f(p)∑k=1

k

∏ω∈W

(ωT − 1) = eiπ(f(p)+1)∏ω∈W

(ωT − 1)

– Si f(p) est pair, eiπ(f(p)+1) = −1 et∏ω∈W (ωT − 1) =

∏ω∈W (1− ωT ) donc on a

1− T f(p) =∏ω∈W

(ωT − 1) =∏ω∈W

(1− ωT )

– Si f(p) est impair, eiπ(f(p)+1) = 1 et∏ω∈W (ωT − 1) = −

∏ω∈W (1− ωT ) donc on a

1− T f(p) = −∏ω∈W

(ωT − 1) =∏ω∈W

(1− ωT )

Ainsi, pour tout T et quel que soit la parite de f(p) on a :

1− T f(p) =∏ω∈W

(1− ωT )

Par ailleurs,

∏χmod q

(1− Tχ(p)) =∏ω∈W

∏χ|χ(p)=ω

(1− Tχ(p)) = (1− T f(p))g(p)

En prenant T = p−s et en remplacant dans (4.1) on obtient :

ζq(s) =∏p-m

1(1− p−sf(p))g(p)

(4.2)

50

De par sa definition, ζq(s) peut se voir comme le produit de convolution de φ(q) series de Dirichlet,donc comme une serie de Dirichlet, qui a priori converge pour σ > 1. Cette derniere formule permetde voir que c’est meme une serie de Dirichlet a coefficients reels positifs. En effet, si p est fixe, 1

(1−x)g(p)

est la derivee (g(p)− 1)-ieme de la fonction 1(g(p)−1)!

11−x et pour |x| < 1, on a alors

1(1− x)g(p)

=∑n≥0

1(g(p)− 1)!

n(n− 1)(n− g(q) + 1)xn−g(q)+1

En remplacant x par p−sf(p) on obtient alors :

ζq(s) =∏p∈P

∑n≥0

1(g(p)− 1)!

n(n− 1)(n− g(q) + 1)p−sf(p)(n−g(q)+1)

On reconstitue donc bien une serie de Dirichlet a coefficients reels positifs.

Supposons maintenant qu’il existe un caractere χ tel que L(χ, 1) = 0. ζq est alors holomorphe surσ > 0 car holomorphe en 1 et sur le demi-plan σ > 0 prive de 1.

La serie de Dirichlet a coefficients positifs ζq(s) converge pour σ > 1 et est prolongeable en unefonction holomorphe sur σ > 0. D’apres le theoreme 1.1.2, la serie converge pour σ > 0. En particulier,la formule du produit Eulerien est valable pour σ > 0.

Prenons s > 0 reel. On a :

1(1− p−sf(p))g(p)

= (1 + p−f(p)s + ...+ p−kf(p)s + ...)g(p) > (1 + p−f(p)s + ...+ p−kf(p)s + ...)

≥ (1 + p−φ(q)s + p−2φ(q)s + ...)

Donc

ζq(s) ≥∏p-q

(1

1− p−φ(q)s

)=

∑(n,q)=1

n−φ(q)s

Il y a divergence pour s = 1φ(q) ∈]0; 1[, en contradiction avec ce qui precede.

On a montre par l’absurde que pour tout caractere non trivial, la fonction L associee ne s’annulepas en 1.

4.3 Theoreme de la progression arithmetique

Nous allons montrer un resultat un peu plus fort que le theoreme de la progression arithmetique,en introduisant la notion de densite.

Definition 4.3.1 (Densite d’une partie A de P) Soit A une partie de P. Si il existe k ∈ N telque

lims→1s>1

(∑p∈A

1ps

)log(

1s−1

)k est appelee densite de la partie A

51

Montrons que la densite de P est 1 :

Proposition 4.3.1 Soit s un reel > 1

∑p∈P

1ps

∼ log

(1

s− 1

)s→1+

Demonstration

ζ(s) =∏p∈P

11− p−s

> 0

log(ζ(s)) =∑p∈P

log

(1

1− p−s

)= −

∑p∈P

log(1− p−s

)=

∑p∈P

∑k∈N∗

(p−s)k

k=∑p∈P

1ps

+∑k≥2

∑p∈P

(p−s)k

k

Notons h(s) =∑

k≥2

∑p∈P

(p−s)k

k : cette fonction est bornee lorsque s tend vers 1 car si s > 1 :

h(s) =∑p∈P

1p2s(1− p−s)

=∑p∈P

1ps(ps − 1)

≤∑p∈P

1p(p− 1)

≤∑n≥2

1n(n− 1)

< ∞

Ainsi log(ζ(s)) ∼∑

p∈P1ps lorsque s tend vers 1

ζ(s) = 1s−1 + g(s) avec g(1) 6= 0 donc log(ζ(s)) = log

(1s−1

)+ log(g(s)), avec log(g(s)) borne au

voisinage de 1.

Ainsi, log(ζ(s)) ∼ log(

1s−1

)lorsque s tend vers 1

Par transitivite de l’equivalence, on a alors :

∑p∈P

1ps∼ log

(1

s− 1

)

�

On peut ainsi noter que quelle que soit la partie A de P la densite k est comprise entre 0 et 1.

En effet, pour tout s reel plus grand que 1,

(∑p∈A

1ps

)log(

1s−1

) ≥ 0

donc la limite aussi si elle existe.

52

(∑p∈A

1ps

)log(

1s−1

) ≤(∑

p∈P1ps

)log(

1s−1

) = 1

il en est de meme pour la limite eventuelle k.

On remarque egalement que la densite d’un ensemble fini est nulle.

Theoreme 4.3.1 Soit q quelconque et a tel que (a, q) = 1

Notons Aa = {p ∈ P|p ≡ a[q]}

La densite de Aa est 1φ(q)

Ce theoreme nous montre que Aa est infini, car il est de densite non nulle, ce qui demontre letheoreme de la progression arithmetique.

Demonstration

Etudions d’abord fχ(s) =∑

p-qχ(p)ps

• Si χ est trivial, f1(s) =∑

p∈P1ps −

∑p|q

1ps donc

f1(s) ∼∑p∈P

1ps∼ log

(1

s− 1

)lorsque s est reel et tend vers 1 par valeur superieure.

• Si χ est non trivial, montrons que fχ reste bornee.

L(χ, s) =∏p∈P

11− χ(p)p−s

Soit s reel > 1. Alors L(χ, s) 6= 0 car aucun terme du produit infini n’est nul.

log(L(χ, s)) = −∑p∈P

log(1− χ(p)p−s

)Et comme |χ(p)p−s| < 1 on a

log(L(χ, s)) =∑p∈P

∑n∈N∗

χ(p)n

npsn

log(L(χ, s)) =∑p∈P

χ(p)ps

+∑p∈P

∑n≥2

χ(p)n

npsn

log(L(χ, s)) = fχ(s) +∑p|q

χ(p)ps

+∑p,n≥2

χ(p)n

npsn︸ ︷︷ ︸g(s)

∑p,n≥2

∣∣∣∣χ(p)npsn

∣∣∣∣n ≤∑p,n

1npsn

≤ 12

∑p

∑n≥2

p−sn ≥∑p

1p(p− 1)

< +∞

53

donc g(s) est bornee au voisinage de 1. Comme L(χ, 1) 6= 0, log(L(χ, s)) reste borne lorsque s tendvers 1. Ainsi, fχ est bornee au voisinage de 1.

Montrons maintenant le theoreme.

ga(s) =∑p∈Aa

1ps

=∑p∈P

1φ(q)

∑χ mod q

χ(a)χ(p)1ps

=1

φ(q)

∑χ mod q

χ(a)fχ(s)

Dans cette somme, tous les termes restent bornes d’apres l’etude precedente des fonctions fχ, saufle terme correspondant au caractere trivial. On a donc

ga(s) ∼1

φ(q)f1(s) ∼ 1

φ(q)log

(1

s− 1

)Ceci montre que Aa a pour densite 1

φ(q) et demontre le theoreme

�

54

Cinquieme partie

Prolongement des fonctions L sur C

55

5.1 Le cas de la fonction ζ

Pour σ > 1 on a deja vu que

ζ(s) =∑n≥1

1ns

=∏p∈P

11− p−s

On a vu dans la partie precedente qu’on peut prolonger analytiquement la fonctions ζ sur σ > 0en une fonction meromorphe ayant un unique pole simple en 1 de residu 1. Nous allons maintenantprolonger ζ sur C.

5.1.1 Equation fonctionnelle

Proposition 5.1.1 Soit ξ la fonction definie par

ξ(s) = π−s2 Γ(s

2

)ζ(s) (5.1)

ξ est une fonction meromorphe sur C possedant deux poles simples en 0 et en 1 et verifiantl’equation fonctionnelle :

ξ(s) = ξ(1− s)

Demonstration

∫ ∞0

xs2−1e−n

2πxdx =∫ ∞

0

( u

n2π

) s2−1e−u

du

n2π= (n2π)−

s2 Γ(s

2

)= π−

s2

Γ(s2

)ns

Pour σ > 1 on a :

ξ(s) = π−s2 Γ(s

2

)ζ(s) =

∑n≥1

π−s2 Γ(s2

)ns

=∑n≥1

∫ ∞0

xs2−1e−n

2πxdx

Et∑

n≥1

∫∞0

∣∣∣x s2−1e−n2πx∣∣∣dx converge vers π−

σ2 Γ(σ2

)ζ(σ) donc on peut intervertir serie et integrale :

ξ(s) =∫ ∞

0xs2−1∑n≥1

e−n2πxdx

D’apres la proposition 3.3.1, la fonction y 7−→ e−πxy2

admet pour transformee de Fourier la

fonction y 7−→ 1√xe−

πy2

x .

D’apres la formule de sommation de Poisson,

∑n∈Z

e−n2πx =

1√x

∑n∈Z

e−πn2

x

1 + 2∑n∈N∗

e−n2πx =

1√x

(1 + 2

∑n∈N∗

e−πn2

x

)

56

Avec la notation ψ(x) =∑

n∈N∗ e−n2πx, la relation ci-dessus devient :

1 + 2ψ(x) =1√x

(1 + 2ψ

(1x

))ψ(x) =

1√xψ

(1x

)+

12√x− 1

2

ξ(s) =∫ 1

0xs2−1ψ(x)dx+

∫ ∞1

xs2−1ψ(x)dx

=∫ 1

0xs2−1

[1√xψ

(1x

)+

12√x− 1

2

]dx+

∫ ∞1

xs2−1ψ(x)dx

=12

(∫ 1

0xs2−1− 1

2dx−∫ 1

0xs2−1dx

)+∫ 1

0xs2− 3

2ψ

(1x

)dx+

∫ ∞1

xs2−1ψ(x)dx

=12

[x s2− 12

s2 −

12

]1

0

−

[xs2

s2

]1

0

+∫ ∞

1

(1u

) s2

+ 12

ψ (u)du+∫ ∞

1xs2−1ψ(x)dx

=12

(1s−1

2

− 1s2

)+∫ ∞

1

(u−

s2− 1

2 + us2−1)ψ(u)du

Finalement, pour σ > 1

ξ(s) =1

s− 1− 1s

+∫ ∞

1

(x−

s2− 1

2 + xs2−1)ψ(x)dx (5.2)

L’integrale converge pour toute valeur de s car ψ(x) = o(e−π

2x)

. En effet, eπ2xψ(x) =

∑∞n=0 e

−n2πx

et |e−n2πx| ≤ e−n2π2si x ≥ 1. La serie converge donc uniformement pour x ∈ [1; +∞[. On a donc

limx→+∞

eπ2xψ(x) = 0

L’integrande est holomorphe sur tout compact K de C et

∣∣∣(x− s2− 12 + x

s2−1)ψ(x)

∣∣∣ ≤ (x−σinf2− 1

2 + xσsup

2−1)ψ(x)

ou σinf et σsup correspondent aux valeurs extremes de la partie reelle de s dans K. D’apres cettemajoration uniforme par une fonction integrable, l’integrale definit une fonction holomorphe sur toutcompact K de C et donc sur C.

La fonction ξ(s) − 1s−1 + 1

s holomorphe sur σ > 1 coıncide sur ce demi-plan avec la fonction

g(s) =∫∞

1

(x−

s2− 1

2 + xs2−1)ψ(x)dx, holomorphe sur C. D’apres le principe du prolongement analy-

tique, ξ(s)− 1s−1 + 1

s est alors prolongeable sur C en la fonction holomorphe g(s).

La formule (5.1) est donc valable pour tout s ∈ C : ξ est donc meromorphe avec deux poles simplesen 0 et en 1.

Cette formule nous ξ est invariante dans le changement s↔ 1−s et donc que l’equation fonctionelleest verifiee.

57

5.1.2 Prolongement de ζ

Comme Γ(s) 6= 0 ∀s ∈ C, on peut ecrire (pour par exemple σ > 1) :

ζ(s) =ξ(s)

πs2 Γ( s2)

Comme Γ( s2) admet un pole simple en 0, de meme que ξ(s), la fonction ξ(s)

πs2 Γ( s

2)

est holomorphe en

0. Elle admet un pole simple en 1, de residu 1 a cause du pole de ξ. Elle est holomorphe sur C−{0, 1}car ξ y est holomorphe et Γ ne s’annule pas, donc sur C{1}.

Ainsi, par prolongement analytique, ζ est meromorphe sur C avec un pole simple en 1.

Comme Γ a des poles simples en les −k, k ∈ N et ξ holomorphe en les −2k, k ∈ N∗, on peutegalement remarquer qu’on a

∀ m ≥ 1 ζ(−2m) = 0

Vu les proprietes de ζ, ζ ′ est egalement meromorphe sur C avec un unique pole en 1, d’ordre 2 etde residu -1. La fonction − ζ′(s)

ζ(s) possede donc un pole simple en 1 de residu 1. Elle est holomorphesur σ > 1 puisque ζ ne s’annule pas dans cette region, mais on ne peut pas encore dire ou elle estholomorphe a gauche de σ = 1 : cela depend des annulations eventuelles de ζ.

5.2 Equation fonctionnelle plus generale et singularites des fonc-tions L

Nous allons uniquement etudier ici les fonctions L associees a un caractere primitif. Le but estde prolonger de telles fonctions L, ce qui nous donnera alors un prolongement pour une fonction Lquelconque, d’apres la formule (2.3)

5.2.1 Equation fonctionnelle

On pose

W (χ) =τ(χ)√q

On rappelle la notation pour un somme de Gauss :

τ(χ) =∑

x mod q

χ(x)e2iπxq

Lemme 5.2.1 Soit χ un caractere primitif modulo q. Alors :

τ(χ) = χ(−1)τ(χ)|τ(χ)|2 = q

Demonstration

58

τ(χ) =∑

x mod q

χ(x)e2iπxq =

∑x mod q

χ(x)e−2iπxq =

∑x mod q

χ(−x)e2iπxq

= χ(−1)∑

x mod q

χ(x)e2iπxq = χ(−1)τ(χ)

Ceci demontre la premiere formule. Pour la seconde, montrons d’abord que pour tout n ≥ 1 on a

χ(n)τ(χ) =∑x[q]

χ(x)e2iπ nxq (5.3)

1er cas : (n, q) = 1χ(n)τ(χ) =

∑x[q]

χ(n)χ(x)e2iπ xq

Dans ce cas, n est inversible dans (Z/qZ) et

χ(n)τ(χ) =∑x[q]

χ(xn−1)e2iπ xq

L’application x 7−→ xn−1 est bijective donc on a

χ(n)τ(χ) =∑x[q]

χ(x)e2iπ nxq

2eme cas : (n, q) = d > 1

n /∈ (Z/qZ)× donc χ(n) = 0. Pour montrer que la relation (5.3) est vraie, montrons que

∑x[q]

χ(x)e2iπ nxq = 0

On note n = dn1 et q = dq1 avec (n1, q1) = 1.

∑x[q]

χ(x)e2iπ nxq =

∑x[q]

χ(x)e2iπn1xq1 =

∑x1[q1]

e2iπ

n1x1q1

∑x[q]

x≡x1[q1]

χ(x)

On a regroupe les termes suivant leur classe modulo q1. Montrons maintenant que pour tout x1,

la somme S1(x) =∑

x[q]x≡x1[q1]

χ(x) est nulle.

Soit y ∈ (Z/qZ)× tel que y ≡ 1[q1].

χ(y)S(x1) =∑x[q]

x≡x1[q1]

χ(yx) = S(x1)

Donc (1− χ(y))S(x1) = 0.

59

(Z/q1Z)× ∼= (Z/qZ)×/K ou K = {y ∈ (Z/qZ)×|y ≡ 1[q1]}. Si χ(y) = 1 pour tout y ∈ K,χ(n) = χ(n) ou n est la classe de n modulo q1, donc χ coıncide avec un caractere modulo q1, ce quiest exclu car χ est primitif. Il existe donc y ≡ 1[q1] tel que χ(y) 6= 1. D’ou S(x1) = 0, ce qui demontreque la somme est nulle.

Calculons maintenant |τ(χ)|2 :

|τ(χ)|2 = τ(χ) ¯τ(χ) = χ(−1)τ(χ)τ(χ)

|τ(χ)|2 = χ(−1)∑n[q]

e2iπ n

q χ(n)τ(χ) = χ(−1)∑n[q]

e2iπ n

q

∑x[q]

χ(x)e2iπ nxq

= χ(−1)

∑x[q]

χ(x)∑n[q]

e2iπ

n(x+1)q

La somme des exponentielles est nulle sauf si x = −1 et dans ce cas elle vaut q donc :

|τ(χ)|2 = χ(−1)× χ(−1)q = q

�

Cas d’un caractere primitif et pair

Proposition 5.2.1 Soit χ un caractere pair non trivial. La fonction ξ definie par

ξ(χ, s) = π−s2 Γ(s

2

)L(χ, s)

est une fonction entiere verifiant l’equation fonctionnelle :

ξ(χ, s) = W (χ)q12−sξ(χ, 1− s)

Demonstration

Comme dans ce qu’on a fait pour ζ, la demonstration utilise la formule de sommation de Poisson,par l’intermediaire des fonction θ, qu’on avait etudie dans la partie 3.3.5.

πs2 Γ(s

2

)n−s = π−

s2

∫ ∞0

xs2−1e−xdxn−s = (n2π)−

s2

∫ ∞0

xs2−1e−xdx

Apres la changement de variable x = n2πu cela donne :

πs2 Γ(s

2

)n−s =

∫ ∞0

e−πn2xx

s2−1dx

60

π−s2 Γ(s

2

)L(χ, s) = π−

s2 Γ(s

2

) ∞∑n=1

χ(n)n−s

=∞∑n=1

χ(n)πs2 Γ(s

2

)n−s

=∞∑n=1

χ(n)∫ ∞

0e−πn

2xxs2−1dx

=∫ ∞

0

( ∞∑n=1

χ(n)e−πn2x

)xs2−1dx

Justifions l’interversion serie integrale :

|χ(n)e−πn2xx

s2−1| = e−πn

2xxσ2−1

Et

∫ ∞0

e−πn2xx

σ2−1dx = (πn2)−

σ2 Γ(

σ

2) < +∞

On voit apparaıtre la fonction θ(χ, x). Comme dans la formule (3.8) ,∑∞

n=1 χ(n)e−πn2x = 1

2θ(χ, x)car le caractere est suppose pair. On a alors :

ξ(χ, s) =12

∫ ∞0

θ(χ, x)xs2−1dx (5.4)

Les fonctions θ(χ, x) verifient lorsque pour x ≥ 1

θ(χ, x) = O(e−πx

)En effet, eπxθ(χ, x) = 1

2

∑n∈N∗ e

πx(1−n2)

Et |χ(n)eπx(1−n2)| ≥ eπ(1−n2) pour x ≥ 1 : c’est le terme generale d’une serie convergente. Grace acette domination, on peut appliquer le theoreme de convergence dominee pour montrer que

limx→∞

∑n∈N∗

eπx(1−n2) =∑n∈N∗

limx→∞

eπx(1−n2) = 0

Donc eπxθ(χ, x) tend vers 0 lorsque x tend vers l’infini, cette grandeur est a fortiori bornee, d’oule resultat.

Pour x ≥ 1 on peut donc majorer l’integrande. En revanche, le comportement au voisinage de 0est moins evident. On va donc separer l’integrale en deux et effectuer un changement de variable.

Soit α > 0

∫ ∞0

θ(χ, x)xs2−1dx =

∫ α

0θ(χ, x)x

s2−1dx+

∫ ∞α

θ(χ, x)xs2−1dx

On utilise la formule (3.9) pour remplacer θ(χ, x) dans la premiere integrale :

61

∫ α

0θ(χ, x)x

s2−1dx =

τ(χ)q

∫ α

0

1√xθ

(χ,

1q2x

)xs2dx

x

=τ(χ)q

∫ +∞

1q2α

q1−sθ (χ, u)u1−s2du

u

= W (χ)q12−s∫ +∞

1q2α

θ (χ, u)us2du

u

En choisissant α = 1q on a :

∫ ∞0

θ(χ, s)xs2−1dx = W (χ)q

12−s∫ +∞

1q

θ (χ, u)u1−s2du

u+∫ ∞

1q

θ(χ, x)xs2−1dx

ξ(χ, s) =12

(W (χ)q

12−s∫ +∞

1q

θ (χ, u)u1−s2−1du+

∫ ∞1q

θ(χ, x)xs2−1dx

)(5.5)

A x fixe, s 7−→ θ(χ, s)xs2−1 est holomorphe. De plus sur un compactK,

∣∣∣θ(χ, x)xs2−1∣∣∣ ≤Ce−πxx

σmax2−1

est une majoration uniforme en s (σmax est la partie reelle maximale sur le compact K) par une fonc-tion integrable.

g(s) =∫∞

1qθ(χ, x)x

s2−1dx est donc une fonction holomorphe sur tout compact K de C donc sur C.

On montre de meme que h(s) =∫ +∞

1q

θ (χ, u)u1−s2−1du est aussi holomorphe sur C.

Ainsi, ξ(χ, s) est prolongeable en une fonction entiere sur C. Montrons qu’elle satisfait l’equationfonctionnelle :

W (χ)q12−sξ(χ, 1− s) =

12

(W (χ)q

12−sW (χ)q

12−(1−s)

∫ +∞

1q

θ (χ, u)us2−1du+W (χ)q

12−s∫ ∞

1q

θ(χ, x)x1−s2−1dx

)

=12

(W (χ)W (χ)

∫ +∞

1q

θ (χ, u)us2−1du+W (χ)q

12−s∫ ∞

1q

θ(χ, x)x1−s2−1dx

)

Or W (χ)W (χ) = τ(χ)τ(χ)q = χ(−1)|τ(χ)|2

q = 1 d’apres le lemme 5.2.1. Ainsi :

W (χ)q12−sξ(χ, 1− s) =

12

(∫ +∞

1q

θ (χ, u)us2−1du+W (χ)q

12−s∫ ∞

1q

θ(χ, x)x1−s2−1dx

)= ξ(χ, s)

�

Cas d’un caractere primitif impair

Proposition 5.2.2 Soit χ un caractere impair non trivial. La fonction ξ definie par :

ξ(χ, s) = π−s+12 Γ

(s+ 1

2

)L(χ, s)

62

est une fonction entiere verifiant l’equation fonctionnelle :

ξ(χ, s) = i−1W (χ)q12−sξ(χ, 1− s)

Demonstration

La demonstration utilise la meme technique que dans le cas pair : separation de l’integrale etinsertion d’une fonction θ : mais on ne peut pas utiliser la meme fonction θ que dans le cas pair, quiest nulle ici. On peut par exemple introduire la fonction :

θ1(χ, y) =∑n∈Z

nχ(n)e−πn2y

et demontrer une formule analogue a (3.9) qui nous permettra de faire un changement de variablecomme dans le cas precedent.

Formule generale

On introduit les notations :

– tχ = 0 si χ est pair et tχ = 1 si χ est impair– ε(χ) = i−tχW (χ)

On peut dans ce cas avoir une formule generale pour l’equation fonctionnelle :

Proposition 5.2.3 Soit χ un caractere de Dirichlet non trivial modulo q. La fonction ξ definie par :

ξ(χ, s) = π−s+tχ

2 Γ(s+ tχ

2

)L(χ, s) (5.6)

est une fonction entiere verifiant l’equation fonctionnelle :

ξ(χ, s) = ε(χ)q12−sξ(χ, 1− s)

5.2.2 Consequences sur les proprietes des fonctions L

Prolongement des fonctions L

Si χ un caractere non trivial. On a pour σ > 1 par exemple :

L(χ, s) =ξ(χ, s)π

s+tχ2

Γ(s+tχ

2

)Comme Γ ne s’annule pas sur C, 1

Γ(s+tχ

2

) est entiere, de meme que ξ(χ, s)πs+tχ

2 .

L(χ, s) est donc prolongeable en une fonction entiere sur C.

63

Croissance des fonctions L

Montrons que dans toute bande verticale finie A ≤ σ ≤ B les fonctions L sont a croissancepolynomiale : c’est-a-dire qu’il existe une fonction polynomiale P (s) telle que dans cette bande,

L(χ, s) = O (P (|s|))

Plus precisemment, on peut montrer la proposition suivante :

Proposition 5.2.4 (1) Pour σ > 1 on a pour tout χ et pout tout t ∈ R

|L(χ, σ + it)| ≤ ζ(σ) = O

(1

σ − 1

)(5.7)

(2) Soit A > 0. On a uniformement pour −A ≤ σ < 0 pour tout χ

|L(χ, σ + it)| = O(

(q(|t|+ 2))12−σ)

(5.8)

(3) On a pour 0 ≤ σ ≤ 1 et pour tout χ

|L(χ, σ + it)| = O

(δ(χ)|s− 1|

+ (q(|t|+ 2))1−σ

2+ε

)(5.9)

pour tout ε > 0 (la constante implicite du O dependant de ε). δ(χ) = 1 si χ est trivial, 0 sinon.

Demonstration

(1) L(χ, s) est dans ce cas somme d’une serie de Dirichlet et

|L(χ, s)| ≤∑n≥1

n−σ = ζ(σ) = O

(1

σ − 1

)

lorsque σ > 1

(2) On utilise l’equation fonctionnelle pour se ramener au cas precedent. En notant γ(s) =π−

s+tχ2 Γ

(s+tχ

2

)on a :

L(χ, s) = ε(χ)q12−sL(χ, 1− s)γ(1− s)

γ(s)

Comme 1 < 1− s < 1 +A, on a

L(χ, s) = O

(ζ(1− σ)q

12−σ∣∣∣∣γ(1− s)

γ(s)

∣∣∣∣)

Et ζ(1− σ) = O(

1σ

)= O (1) dans la zone consideree. Evaluons maintenant

∣∣∣γ(1−s)γ(s)

∣∣∣ a l’aide de laformule de Stirling generalisee (3.11) :

Pour |t| ≥ 1 :

64

|Γ(s+ tχ

2

)| = (2π)

12

∣∣∣∣ t2∣∣∣∣σ+tχ−1

2

e−π|t|2

(1 +O

(1t

))

|Γ(

1− s+ tχ2

)| = (2π)

12

∣∣∣∣ t2∣∣∣∣1−σ+tχ−1

2

e−π|t|2

(1 +O

(1t

))

∣∣∣∣γ(1− s)γ(s)

∣∣∣∣ = πσ−12

∣∣∣∣ t2∣∣∣∣tχ−σ−(σ+tχ−1)

2(

1 +O

(1t

))= O

(πσ−

12 (|t|+ 2)

12−σ)

Comme γ(1−s)γ(s) est bornee pour t ∈ [−1; 1], σ dans une bande verticale finie, pour tout t ∈ R :

∣∣∣∣γ(1− s)γ(s)

∣∣∣∣ = O(πσ−

12 (|t|+ 2)

12−σ)

Et donc

L(χ, s) = O(

(q(|t|+ 2))12−σ)

(3) Pour montrer (3), on utilise le lemme d’analyse complexe suivant, qu’on ne demontrera pas(pour le demontrer, on peut utiliser le principe de Phragmen-Lindelof) :

Lemme 5.2.2 Soit f une fonction holomorphe sur une bande verticale A ≤ σ ≤ B et a, b tels queA < a < b < B

Si on a les hypotheses suivantes :– ∀t ∈ R, |f(a + it)| ≤ C(a)|s|D(a) et |f(b + it)| ≤ C(b)|s|D(b), ou C et D sont des constantes

dependant de a ou b– ∃α ≥ 0 tel que f(s) = O (exp(|s|α)) pour a ≤ σ ≤ bAlors pour tout a ≤ σ ≤ b on a

|f(σ + it)| ≤ C(a)l(σ)C(b)1−l(σ)|s|l(σ)D(a)+(1−l(σ))D(b)

ou l(σ) est la fonction affine verifiant l(a) = 1 et l(b) = 0

Fixons ε > 0. Montrons que L verifie les hypotheses du lemme pour a = −ε, b = 1 + ε et parexemple A = −2ε, B = 1 + 2ε.

Pour la premiere hypothese, on prend d’une part C(b) = ζ(1 + ε) et D(b) = 0 (on se trouve dansla zone du (1)) et pour a on est dans la zone du (2) donc on utilise (5.7) :

|L(χ,−ε+ it)| = O(

(q(|t|+ 2))12

+ε)

= O

(|t|

12

+ε

(q

(1 +

2|t|

)) 12

+ε)≤ C1q

12

+ε|t|12

+ε

on peut donc prendre C(a) = C1q12

+ε et D(a) = 12 + ε.

D’apres la formule (5.5) on a ξ(χ, s) ≤ (1 + q12−σ)

∫∞1qθ(x)(x

s2−1 + x

1−σ2−1)dx = O

(1 + q

12−σ)

si

le caractere est pair est non trivial (par exemple)

65

L(χ, s) = O

(πs2 (1 + q

12−σ)∣∣Γ ( s2)∣∣

)

D’apres la formule de Stirling generalisee, dans une bande verticale allant de −2A a 2B :

L(χ, s) = O

(πσ2

(2π)12 |t|σ−

12 e−π

|t|2

(1 +O

(1t

)))

= O (exp|σ + it|α)

pour tout α > π2 donc la deuxieme hypothese du lemme est verifiee.

D’apres le lemme on a alors dans la bande consideree (pour un caractere non trivial) :

|L(σ + it)| ≤ (C1q12

+ε)l(σ)(ζ(1 + ε))1−l(σ)|s|l(σ)( 12

+ε) = O(

(q|s|)( 12

+ε)l(σ))

Or l(σ) = 1+ε1+2ε −

11+2εσ = K(1− σ) dans cette bande :

|L(σ + it)| = O(

(q|s|+ 2)( 12

+ε)(1−σ))

En tenant compte du fait que χ peut etre trivial, on obtient le majoration (5.9).

�

On a defini dans cette partie plusieurs fonctions ξ selon que la caractere χ est trivial ou non etselon sa parite. Dans la suite, la fonction ξ designera celle definie dans la formule (5.1) lorsque χ esttrivial, et celle definie dans la formule (5.6) dans le cas contraire.

Savoir que les fonctions L sont a croissance polynomiale sera utile par la suite, quand on parlerade l’ordre de la fonction ξ (cf. partie 6.1.1)

66

Sixieme partie

Zeros des fonctions L

67

Les resultats les plus delicats a montrer sont ceux concernant les zeros des fonctions L. A titred’exemple l’etude des zeros de la fonction ζ pose probleme aux mathematiciens depuis plus d’un siecle.

Grace a la formule du produit Eulerien, qui converge uniformement pour σ > 1, on sait que lesfonctions L ne s’annulent pas sur Re(s) > 1, mais ce qui nous interesse est de trouver une zone agauche de 1 ou elles ne s’annulent pas...

6.1 Zeros de fonctions holomorphes d’ordre 1

Une premiere propriete, vraie pour toutes les fonctions holomorphes est le fait qu’elles possedentun nombre denombrable de zeros. En effet, dans tout compact, une fonction holomorphe a un nombrefini de zeros (d’apres le principe des zeros isoles) et l’ensemble des zeros de f peut s’ecrire

E =⋃n∈N{z ∈ C | |z| ≤ n et f(z) = 0}

et est denombrable car reunion denombrable d’ensembles finis. On pourra ainsi etudier des suites deszeros de f .

On ne connait pas d’autres resultats generaux sur les zeros des fonctions holomorphes, mais onverra que pour une certaine categorie de fonctions, celles d’ordre fini, on peut obtenir des resultatsutiles en appliquant la formule de Jensen.

6.1.1 Fonction d’ordre fini

Definition 6.1.1 Une fonction entiere f est dite d’ordre fini s’il existe un reel α tel que lorsque|z| = r →∞

f(z) = O(erα)

f est d’ordre ρ si ρ est la borne inferieure des reels α tels que l’assertion ci-dessus soit vraie. Sif est d’ordre ρ on a alors, pour tout ε > 0,

f(z) = O(erρ+ε

)

La constante correspondant au O depend bien sur de ε.

Certaines fonctions bien connues sont d’ordre fini : les fonctions polynomiales sont d’ordre zero, lafonction exponentielle est d’ordre 1. Dans la suite, on s’interessera surtout aux fonctions d’ordre 1.

Proposition 6.1.1 La fonction

f(s) = (s(s− 1))δ(χ)ξ(χ, s)

est une fonction entiere d’ordre 1

68

Demonstration

Si χ est non trivial, ξ est entiere et si χ est trivial, ξ admet deux poles simple en 0 et 1 donc f estune fonction entiere.

Soit ε > 0. f verifiant une equation fonctionnelle, il suffit de montrer qu’on a |f(s)| = O(e|s|

1+ε)

uniformement sur σ > 0 par exemple.

Si σ > 1 ,

|f(s)| ≤ |s(s− 1)|π−σ+tχ

2 Γ(σ + tχ

2

)ζ(σ)

|f(s)|e−|s|1+ε = O

(|s|e−|s|1+επ−

σ2 Γ(σ + tχ

2

))D’apres la formule de Stirling

Γ(σ + tχ

2

)∼√

2π(σ + tχ)(σ + tχ

2e

)σOn a donc :

|f(s)|e−|s|1+ε = O

(|s|e−

12|s|1+ε

√2π(σ + tχ)exp

(σ

(log(σ + tχ)− 2e− log(π)

2

))exp(−1

2σ1+ε)

)= O (1)

Ainsi, sur σ > 1, f(s) = O(e|s|

1+ε)

Si 0 < σ ≤ 1, on utilise la formule de Stirling generalisee et le resultat (5.9) obtenu pour lesfonctions L :

∣∣∣∣Γ(σ + tχ2

)∣∣∣∣ = (2π)12

∣∣∣∣ t2∣∣∣∣σ+tχ−1

2

e−π|t|2

(1 +O

(1t

))|L(χ, s)| = O

(δ(χ)|s− 1|

+ (q(|t|+ 2))1−σ

2+ε

)

On montre alors que dans 0 ≤ σ ≤ 1 on a aussi |f(s)| = O(e|s|

1+ε)

et on en deduit une majorationde ce type pour s ∈ C.

f est donc d’ordre au plus 1.

Soit σ reel > 1. L(χ, σ) = 1 +∑

n≥21nσ → 1 lorsque σ →∞.

On a donc lorsque σ tend vers l’infini f(σ) ∼ σ2δ(χ)π−σ2 Γ(σ2

)et d’apres la formule de Stirling :

f(σ) ∼ σ2δ(χ)π−σ2√πσ( σ

2e

)σEt on voit alors que f(σ)e−σ n’est pas borne lorsque σ → ∞ donc f ne peut pas avoir un ordre

plus petit que 1.

�

69

6.1.2 Formule de Jensen

Soit f une fonction holomorphe. Si on se place sur un disque |z| < R, f possede un nombre fini dezeros que l’on peut ranger dans l’ordre croissant de leurs modules : |z1| ≤ |z2| ≤ ... ≤ |zn|. Les zerossont comptes avec multiplicite. Dans la suite, on notera pour simplifier |zi| = ri.

La formule de Jensen fait un lien entre les modules de ces zeros et le comportement de f sur uncercle les englobant :

Theoreme 6.1.1 f une fonction analytique pour |z| < R avec f(0) 6= 0. Soient z1, z2, ...zn les zeros def dans ce disque et r1, r2, ..., rn leurs modules ranges dans l’ordre croissant. Soit r tel que rn < r ≤ R.Alors :

log

(rn |f(0)|r1r2...rn

)=

12π

∫ 2π

0log∣∣∣f(reiθ)

∣∣∣dθDemonstration

f holomorphe sur |z| < R peut s’ecrire sous la forme :

f(z) =n∏i=1

(1− z

zi

)Φ(z)

ou Φ est une fonction holomorphe qui ne s’annule pas sur le disque de rayon R.

Nous allons d’abord montrer la formule de Jensen pour deux categories de fonctions : celles qui nes’annulent pas et celles du type f(z) = 1− z

zi.

Cas ou f ne s’annule pas

Dans ce cas, log(f(z)) est holomorphe sur |z| ≤ r et d’apres la formule de Cauchy :

log(f(0)) =1

2π

∫ 2π

0log(f(reiθ))dθ

f(0) = |f(0)| ei arg(f(0)) d’ou log(f(0)) = log(|f(0)|) + i arg(f(0))

f(reiθ) =∣∣f(reiθ)

∣∣ ei arg(f(reiθ) d’ou log(f(reiθ)) = log(∣∣f(reiθ)

∣∣) + i arg(f(reiθ))

Ainsi on peut ecrire :

log(|f(0)|) + i arg(f(0)) =1

2π

∫ 2π

0log∣∣∣f(reiθ)

∣∣∣dθ + i1

2π

∫ 2π

0arg(f(reiθ))dθ

Et en identifiant les parties reelles on obtient la formule de Jensen :

log(|f(0)|) =1

2π

∫ 2π

0log∣∣∣f(reiθ)

∣∣∣dθ

70

Cas ou f(z) = 1− zz1

Evaluons le module de f(z) :

|f(z)|2 =∣∣∣∣ zz1

∣∣∣∣2 ∣∣∣1− z1

z

∣∣∣2|f(z)|2 =

r2

r21

(1− r1

rei(θ1−θ))(1− r1

re−i(θ1−θ))

log |f(z)|2 = 2 log(r

r1

)−∞∑n=1

1m

(r1

r

)meim(θ1−θ) −

∞∑n=1

1m

(r1

r

)me−im(θ1−θ)

log |f(z)|2 = 2 log(r

r1

)− 2

∞∑n=1

1m

(r1

r

)mcos(m(θ1 − θ))

log |f(z)| = log

(r

r1

)−∞∑n=1

1m

(r1

r

)mcos(m(θ1 − θ))

En integrant :

12π

∫ 2π

0log∣∣∣f(reiθ)

∣∣∣dθ = log

(r

r1

)−∞∑n=1

1m

(r1

r

)m 12π

∫ 2π

0cos(m(θ1 − θ))dθ

L’integrale du cosinus sur une periode etant nulle on obtient :

log

(r

r1

)=

12π

∫ 2π

0log∣∣∣f(reiθ)

∣∣∣dθSoit la formule de Jensen car f(0) = 1 :

log

(r |f(0)|r1

)=

12π

∫ 2π

0log∣∣∣f(reiθ)

∣∣∣dθCas general

Soit f(z) =∏ni=1

(1− z

zi

)Φ(z). On pose gi(z) = 1− z

zi

log

(rn |f(0)|r1r2...rn

)= log

(n∏i=1

(rgi(0)ri

))+ log(Φ(0))

log

(rn |f(0)|r1r2...rn

)=

n∑i=1

log

(rgi(0)ri

)+ log(Φ(0))

Or on sait la formule vraie pour les gi et pour Φ :

71

log

(rn |f(0)|r1r2...rn

)=

n∑i=1

12π

∫ 2π

0log∣∣∣gi(reiθ)∣∣∣dθ +

12π

∫ 2π

0log∣∣∣Φ(reiθ)

∣∣∣dθ=

12π

∫ 2π

0

[n∑i=1

log∣∣∣gi(reiθ)∣∣∣+ log

∣∣∣Φ(reiθ)∣∣∣]dθ

=1

2π

∫ 2π

0log∣∣∣g1...gnΦ(reiθ)

∣∣∣dθ=

12π

∫ 2π

0log∣∣∣f(reiθ)

∣∣∣dθ�

Corollaire 6.1.1 Soit n(x) le nombre de zeros de f a l’interieur du disque ferme |z| ≤ x.

∫ r

0

n(x)x

dx =1

2π

∫ 2π

0log∣∣∣f(reiθ)

∣∣∣dθ − log |f(0)|

Demonstration

D’apres la formule de Jensen,

12π

∫ 2π

0log∣∣∣f(reiθ)

∣∣∣dθ − log |f(0)| = log

(rn

r1r2...rn

)

Il reste donc a montrer que log(

rn

r1r2...rn

)=∫ r

0n(x)x dx

log

(rn

r1r2...rn

)= n logr −

n∑i=1

log(ri)

= n log(r)−n∑i=1

log(ri)(i− (i− 1))

= n(rn)(log(r)− log(rn)) +n−1∑i=1

i(log(ri+1)− log(ri))

= n

∫ r

rn

n(x)x

dx+n−1∑i=1

n(ri)∫ ri+1

ri

1xdx

=∫ r

0

n(x)x

dx

�

6.1.3 Application aux fonctions d’ordre 1

Le theoreme suivant est un resultat important sur les fonctions d’ordre 1 :

72

Theoreme 6.1.2 Soit f une fonction entiere d’ordre 1. Alors

1. Les zeros non nuls (ρn) de f verifient ∑n∈N

1|ρn|1+ε < +∞

pour tout ε > 0

2. De plus pour tout z ∈ C

f(z) = ea+bz∏ρ6=0

(1− z

ρ

)ezρ

ou ρ parcourt l’ensemble des zeros non nuls de f et ou a et b sont des constantes complexes.

Demonstration

Montrons d’abord que si on note n(x) comme dans le corollaire 6.1.1 on a n(r) = 0(r1+ε) pourtout ε > 0. Ce resultat montre donc qu’une fonction d’ordre 1 a relativement peu de zeros dans uneregion donnee...

f est d’ordre 1 donc ∀ε > 0, il existe une constante Aε telle que ∀z ∈ C,∣∣∣f(reiθ)∣∣∣ ≤ Aε(er1+ε)

Soit ε positif. On a pour tout z = reiθ :

log∣∣∣f(reiθ)

∣∣∣ ≤ log(Aε)r1+ε

D’apres le corollaire 6.1.1

∫ r

0

n(x)x

dx < log(Aε)r1+ε + |log(f(0))|

Il existe donc une constante K telle quelle que∫ r

0n(x)x dx < Kr1+ε pour tout r > 0. Par ailleurs :

∫ 2r

r

n(x)x

dx ≥ n(r)∫ 2r

r

1xdx = n(r)log(2)

Donc :

n(r) ≤ 1log2

∫ 2r

r

1xdx ≤ 1

log2

∫ 2r

0

1xdx ≤ 1

log2Kr1+ε

On a donc n(r) = 0(r1+ε).

En notant (ρn) la suite des zeros (avec multiplicite) non nuls de f , de modules croissants, montronsque la serie

∑n≥1

1|ρn|1+ε

converge.

Soit ε > 0. Il existe A > 0 tel que pour tout r > 0, n(r) < Ar1+ε. On a donc en prenant r = |ρn|,sachant que n(|ρn|) = n,

1|ρn|1+ε < A

1n1+ε

73

Et la serie converge, son terme general etant majore par celui d’une serie de Riemann convergente.

Pour la demonstration de la deuxieme partie de la proposition, considerons le produit infini :

g(z) =∏n∈N

(1− z

ρn

)ezρn

Ce produit converge uniformement car la serie de terme general 1−(

1− zρn

)ezρn = e

zρn

(1− z

ρn− e−

zρn

)converge uniformement sur tout compact.

En effet,(

1− zρn− e−

zρn

)= o

(z2

ρ2n

)lorsque n → ∞, terme general d’une serie qui converge

uniformement sur tout compact.

On montre que la fonction h(z) = f(z)g(z) est une fonction entiere d’ordre au plus 1. De plus, h ne

s’annule pas car f et g ont meme zeros avec la meme multiplicite.

On peu alors definir log(h(z)), fonction entiere developpable en serie de Taylor au voisinage del’origine :

log(h(z)) =∞∑n=0

bnzn

Or log |f(z)| = O(r1+ε) implique que pour tout n ≥ 0, bnrn = O(r1+ε). Donc pour n ≥ 2,bn = 0.Ainsi log(h(z)) = az + b et h(z) = eaz+b.

On a donc f(z) = g(z)eaz+b.

�

6.2 Zeros triviaux des fonctions L

On presente ici des resultats sur certains zeros des fonctions L associees a des caracteres primitifs.

Proposition 6.2.1 L(χ, s) n’a pas de zeros sur le demi-plan σ > 1

Demonstration

Ce resultat est evident par la formule du produit Eulerien : L(χ, s) se presente pour σ > 1 commeune produit infini absolument convergent donc aucun facteur n’est nul : le produit n’est donc pas nul.

Proposition 6.2.2 Si χ est primitif et pair, alors L(χ, s) a des zeros en s = −2k, k ≥ 1. Si χ estnon trivial, L(χ, s) s’annule egalement en s = 0

Demonstration

1er cas : χ est trivial

ξ(s) = π−s2 Γ(s2

)ζ(s) est meromorphe avec des poles simples en s = 0 et s = 1. Γ a des poles

en −k, k ∈ N, donc Γ(s2

)a des poles en −2k, k ∈ N. Λ etant holomorphe en −2k, k ∈ N∗ on a

necessairement des zeros de ζ en ces points.

2eme cas : χ est non trivial

ξ(χ, s) = π−s2 Γ(s2

)Λ(χ, s) est holomorphe : comme Γ

(s2

)a des poles en −2k, k ∈ N, L(χ, s), pour

que ξ soit holomorphe en ces points, on doit avoir L(χ,−2k) = 0 pour tout k ∈ N.

74

Proposition 6.2.3 Si χ est primitif et impair, alors L(χ, s) a des zeros en s = −2k − 1, k ∈ N.

Demonstration

La raisonnement est le meme que dans la demonstration de la proposition precedente, en utilisantcette fois la fonction entiere ξ(χ, s) = π−

s+12 Γ

(s+1

2

)L(χ, s)

Proposition 6.2.4 Pour tout χ primitif, il existe une infinite de zeros de L(χ, s) satisfaisant s 6= 0et 0 ≤ σ ≤ 1.

Demonstration

Montrons que f(s) = (s(s − 1))δ(χ)Λ(χ, s) admet une infinite de zeros dans o ≤ σ ≤ 1 : ces zeroscorrespondent alors a un zero de L(χ, s) puisque le facteur Γ n’en a pas dans la region consideree.

f est d’ordre 1. D’apres le theoreme 6.1.2 il existe des constantes a et b telles que

f(z) = ea+bz∏

ρ zero 6=0

(1− z

ρ

)ezρ

f(1− s) = f(s), les zeros sont donc symetriques par rapport a la droite σ = 12 . Or si σ > 1, f n’a

pas de zero (car ni Γ, ni L n’en ont). On peut donc reecrire

f(z) = ea+bz∏

ρ zero 6=00≤Re(ρ)≤1

(1− z

ρ

)ezρ

Si ces zeros sont en nombre finis, il existe une constante b′ et une fonction polynomiale P tellesque

f(s) = ea+b′sP (s)

Or on a deja vu que f(σ) ∼ σ2δ(χ)√πσ(σ2e

)σ et alors f(σ)

P (σ)ea+b′σtend vers l’infini lorsque σ → ∞,

ce qui est impossible.

�

Les zeros evoques dans les propositions 6.2.2 et 6.2.3 sont appeles zeros triviaux des fonctionsL associees a des caracteres primitifs. Les zeros triviaux sont des zeros de L(χ, s) mais pas de ξ(χ, s) :ce sont en quelque sorte des zeros qui « compensent »les poles de Γ pour que ξ soit holomorphe.

Les autres zeros eventuels des fonctions L sont appeles zeros non triviaux.

6.3 Zeros non triviaux

Le but de cette section est d’expliciter une zone sans zeros pour L un peu a gauche de 1, ou lafonction L′(χ,s)

L(χ,s) sera alors holomorphe. Nous etablirons egalement une majoration de L′(χ,s)L(χ,s) dans cette

zone, qui nous sera utile dans la demonstration du theoreme des nombres premiers en progressionarithmetique.

Dans cette partie, on prendra la notion ρ = β+ iγ pour designer un zero non trivial de L. Commeles zeros triviaux n’annulent pas ξ a cause des poles de Γ, et que par ailleurs la fonction Γ ne s’annulepas, les zeros non triviaux correspondent exactement aux zeros de ξ(χ, s) (et donc de f(χ, s)).

75

Resultats preliminaires sur les zeros non triviaux de L

Lemme 6.3.1 q ≥ 1, χ un caractere primitif modulo q.

Il existe un nombre b(χ) ∈ C tel que pour tout s ∈ C qui n’est ni zero ni pole de L(χ, s) on ait :

−L′(χ, s)L(χ, s)

= δ(χ)(

1s

+1

s− 1

)−∑ρ6=0

(1

s− ρ+

1ρ

)+

12

Γ′

Γ

(s+ tχ

2

)− 1

2log(π)− b(χ) (6.1)

ou on fait la somme sur les zeros non triviaux de L(χ, s)

Demonstration

D’apres la proposition 6.1.1, f(s) = ((s − 1)s)δ(χ)ξ(χ, s) est une fonction entiere d’ordre 1. Etd’apres le theoreme 6.1.2 sur les fonctions holomorphes d’ordres 1, il existe a et b tels que :

((s− 1)s)δ(χ)π−s+tχ

2 Γ(s+ tχ

2

)L(χ, s) = ea+bs

∏ρ6=0

(1− s

ρ

)esρ

ou on fait le produit sur les zeros de f , donc sur les zeros non triviaux de L.

En prenant la derivee logarithmique, pour s ni zero ni pole de L :

δ(χ)(

1s

+1

s− 1

)− 1

2log(π) +

12

Γ′

Γ

(s+ tχ

2

)+L′(χ, s)L(χ, s)

= b+∑ρ 6=0

(1

s− ρ+

1ρ

)esρ

D’ou la formule (6.1) : la constante b depend en fait de χ.

�

Lemme 6.3.2 Soit χ un caractere primitif. Notons ρ = β+ iγ les zeros de ξ(χ, s) (zeros non triviauxde L). Il verifient les proprietes suivantes :

(1) 0 ≤ β ≤ 1

(2) ρ est un zero de ξ(χ, s) ssi ρ est un zero de ξ(χ, s), ssi 1− ρ est un zero de ξ(χ, s).

(3) Pour tout ε > 0, la serie suivante converge absolument :

∑ρ6=0

1|ρ|1+ε

(4) Pour tout s ∈ C qui n’est pas un zero de ξ(χ, s), la serie suivante converge absolument :

∑ρ 6=s

Re

(1

s− ρ

)

(5) Si b(χ) est le nombre complexe defini dans le lemme precedent, on a :

Re(b(χ)) = −12log(q)−

∑ρ 6=0

Re

(1ρ

)(6.2)

76

Demonstration

(1) Comme L ne s’annule pas sur σ >, ξ ne s’annule pas dans cette zone. L’equation fonctionnellenous montre aussi que ξ ne s’anulle pas sur σ < 0. Les zeros de ξ sont donc situes dans la « bandecritique » 0 ≤ σ ≤ 1.

(2) Comme L(χ, s) = L(χ, s), on a aussi ξ(χ, s) = ξ(χ, s) et donc par l’equation fonctionnelle on ale resultat souhaite

(3) Comme la fonction f est d’ordre 1, d’apres la partie 1 du theoreme 6.1.2, la serie∑

ρ 6=01

|ρ|1+εconverge absolument, en sommant sur les zeros non nuls de f . Or ξ et f ont les meme zeros.

(4) 1s−ρ = s−ρ

|s−ρ|2 donc

∣∣∣∣Re( 1s− ρ

)∣∣∣∣ =|Re(s− ρ)||s− ρ|2

= O

(1|ρ|2

)La constante du O depend de s, fixe. Or d’apres la partie (3) de ce lemme,

∑ρ6=0

1|ρ|2 < ∞ donc

∑ρ 6=s

∣∣∣∣Re( 1s− ρ

)∣∣∣∣ < ∞(5) Soit χ non trivial (la cas trivial se traite de maniere similaire). D’apres l’equation fonctionnelle :

ξ(χ, s) = ε(χ)q12−sξ(χ, 1− s)

En prenant la derivee logarithmique :

−ξ′(χ, s)ξ(χ, s)

+ξ′(χ, 1− s)ξ(χ, 1− s)

= −12log(q)

Or d’apres le lemme precedent :

ξ′(χ, s)ξ(χ, s)

= b(χ) +∑ρ 6=0

(1

s− ρ+

1ρ

)

En remplacant dans l’equation precedente :

b(χ) + b(χ) +∑ρ6=0

(1

s− ρ+

1ρ

+1

1− s− ρ+

1ρ

)= −log(q)

D’apres (2) on peut en effet noter ρ les zeros de ξ(χ, s) ou ρ designe ceux de ξ(χ, s). CommeL(χ, s) = L(χ, s), on voit en appliquant (6.1) a χ que b(χ) = b(χ), donc :

2Re(b(χ)) = −∑ρ 6=0

(1

s− ρ+

1ρ

+1

1− s− ρ+

1ρ

)− log(q)

∣∣∣ 1s−ρ + 1

1−s−ρ

∣∣∣ = O(

1|ρ|2

): cette serie converge absolument, on peut donc reordonner les termes :

1s− ρ

+1

1− s− ρ=

1s− ρ

− 1(1− ρ)− s

77

Et 1− ρ est zero de ξ(χ, s) d’apres (2) donc∑

ρ6=0

(1s−ρ + 1

1−s−ρ

)= 0. Finalement :

Re(b(χ)) = −12log(q)−

∑ρ 6=0

1ρ

�

Lemme important

Lemme 6.3.3 Soit q ≥ 1 et χ un caractere primitif modulo q.

(1) Soit T ≥ 0. Le nombre m(T, χ) de zeros de L(χ, s) tels que 0 ≤ β ≤ 1 et T ≤ γ ≤ T + 1 verifie

m(T, χ) = O (log(q(T + 2))) (6.3)

(2) Pour 0 ≤ σ ≤ 2, et s n’etant ni zero ni pole de L(χ, s) on a :

−L′(χ, s)L(χ, s)

= δ(χ)(

1s

+1

s− 1

)−

∑|s−ρ|≤1

1s− ρ

+O (log(q|s|)) (6.4)

(3) Soit σ ≥ 1. Alors pour tout sous-ensemble fini X de zeros non triviaux ρ de L(χ, s) on a

∑ρ∈X

Re

(1

s− ρ

)< Re

(L′(χ, s)L(χ, s)

)+ δ(χ)Re

(1

s− 1

)+O (log(q|s|)) (6.5)

Dans ces trois assertions, les constantes correspondant aux O sont absolues.

Demonstration

(1) Posons s = 2 + iT avec T ≥ 2. On a

∣∣∣∣Re(L′(χ, s)L(χ, s)

)∣∣∣∣ ≤∑n≥1

Λ(n)n−2 = −ζ′(2)ζ(2)

= O (1)

Grace a la formule de Stirling derivee (3.12) on a par ailleurs, pour s quelconque dans 0 ≤ σ ≤ 2 :

Γ′

Γ

(s+ tχ

2

)= O (log(1 + |t|))

On rappelle que pour tout ρ, 0 ≤ β ≤ 1. On sait d’apres le lemme 6.3.2 que la serie de termegeneral Re

(1s−ρ

)converge. Minorons maintenant cette serie :

Re

(1

s− ρ

)=

2− β(2− β)2 + (T − γ)2

≥ 14 + (T − γ)2

Si γ ∈ [T ;T + 1] alors (T − γ)2 ≤ 1 et Re(

1s−ρ

)≥ 1

5

Si γ /∈ [T ;T + 1] alors (T − γ)2 > 1 et Re(

1s−ρ

)≥ 1

4(T−γ)2+(T−γ)2= 1

5|t−γ|2

78

Ainsi, Re(

1s−ρ

)≥ 1

5min(

1, 1|T−γ|2

)En prenant la partie reelle de (6.1) :

∑ρ6=0

min

(1,

1|T − γ|2

)≤ 5

∑ρ 6=0

Re

(1

s− ρ

)

= 5

Re(L′(χ, s)L(χ, s)

)+Re

(12

Γ′

Γ

(s+ tχ

2

))− 1

2log(π)−Re(b(χ))−

∑ρ6=0

1ρ

= O

1 + log(T ) +

∣∣∣∣∣∣Re(b(χ)) +∑ρ6=0

1ρ

∣∣∣∣∣∣

D’apres la formule (5) du lemme 6.3.2,∣∣∣Re(b(χ)) +

∑ρ 6=0

1ρ

∣∣∣ = 12 log(q) donc

∑ρ6=0

min

(1,

1|T − γ|2

)= O (log(qT )) (6.6)

D’autre part,

∑ρ 6=0

min

(1,

1|T − γ|2

)=

∑ρ6=0

T≤γ≤T+1

1 +∑ρ 6=0

γ /∈[T ;T+1]

1|T − γ|2

= m(χ, T ) +A

A est une constante positive donc a fortiori, m(χ, T ) = O (log(qT ))

(2) Ecrivons la derivee logarithmique de L de la maniere suivante :

−L′(χ, s)L(χ, s)

= −L′(χ, s)L(χ, s)

+L′(χ, 2 + it)L(χ, 2 + it)

+O (1)

On utilise cette ecriture pour supprimer la constante b(χ) intervenant dans le developpement dela formule (6.1) :

−L′(χ, s)L(χ, s)

= δ(χ)(

1s

+1

s− 1

)−∑ρ 6=0

(1

s− ρ+

1ρ

)− δ(χ)

(1

2 + it+

11 + it

)+∑ρ6=0

(1

2 + it− ρ+

1ρ

)+O (1)

= δ(χ)(

1s

+1

s− 1

)+∑ρ 6=0

(1

2 + it− ρ− 1σ + it− ρ

)− δ(χ)

(1

2 + it+

11 + it

)+O (1)

= δ(χ)(

1s

+1

s− 1

)+∑ρ 6=0

(1

2 + it− ρ− 1σ + it− ρ

)+O (log|t|) (6.7)

Dans la somme sur les zeros, considerons separemment les zeros proches de s, cad ceux verifiant|s− ρ| ≤ 1 et les zeros tels que |s− ρ| ≥ 1.

Si |s− q| ≥ 1, on a :

– |s− q|2 = (σ − β)2 + (t− γ)2 ≥ |t− γ|2 donc |s− q| ≥ |t− γ| Ainsi, |s− q| ≥ max(1, |t− γ|)

79

– |2 + it− q|2 = (2− β)2 + (t− γ)2 ≥ |t− γ|2 donc |2 + it− q| ≥ |t− γ|Comme il n’y a aucun zero dans la bande 1 < σ ≤ 2 on a de plus |2 + it − q|2 ≥ 1. Ainsi,|2 + it− q| ≥ max(1, |t− γ|)

∣∣∣∣ 12 + it− ρ

− 1σ + it− ρ

∣∣∣∣ =|2− σ|

|s− ρ||2 + it− ρ|≤ 2 min

(1,

1|t− γ|2

)∣∣∣∣∣∣∑|s−ρ|>1

(1

2 + it− ρ− 1σ + it− ρ

)∣∣∣∣∣∣ ≤ 2∑ρ6=0

min

(1,

1|t− γ|2

)= O (log(q|t|)) (6.8)

d’apres l’equation (6.6)

Estimons maintenant∑|s−ρ|≤1

12+it−ρ . Comme on l’a deja vu precedemment, pour tout ρ on a

|2 + it− ρ| ≥ 1 car il n’y a pas de zero a droite de 1. Donc 12+it−ρ ≤ 1. Alors :

∣∣∣∣∣∣∑|s−ρ|≤1

12 + it− ρ

∣∣∣∣∣∣ ≤ Card{ρ | |s− ρ| ≤ 1} ≤ m(t, χ) = O (log(q|t|) (6.9)

d’apres (6.3). Reprenons maintenant l’equation (6.7) :

−L′(χ, s)L(χ, s)

= δ(χ)(

1s

+1

s− 1

)−∑|ρ−s|≤1

1s− ρ

+∑|ρ−s|≤1

12 + it− ρ

+∑|ρ−s|>1

(1

s− ρ+

12 + it− ρ

)+O (log(q|t|))

Compte tenu de (6.8) et (6.9) on a alors :

−L′(χ, s)L(χ, s)

= δ(χ)(

1s

+1

s− 1

)−

∑|ρ−s|≤1

1s− ρ

+O (log(q|s|))

(3) Prenons maintenant s tel que σ ≥ 1

Re

(1

s− ρ

)=

σ − β|s− ρ|2

≥ 0 (6.10)

En prenant la partie reelle dans la formule (6.4) :

∑|ρ−s|≤1

Re

(1

s− ρ

)= Re

(L′(χ, s)L(χ, s)

)+ δ(χ)

(Re

(1s

)+Re

(1

s− 1

))+O (log(q|s|))

Et Re(

1s

)= σ

σ2+t2≤ 1.

Soit X un sous-ensemble fini de zeros de L et soit X ′ = X ∩ {ρ tq|s− ρ| ≤ 1}. Comme les sommessont a termes positifs d’apres (6.10), on peut ecrire :

∑ρ∈X′

Re

(1

s− ρ

)≤

∑|ρ−s|≤1

Re

(1

s− ρ

)= Re

(L′(χ, s)L(χ, s)

)+ δ(χ)Re

(1

s− 1

)+O (log(q|s|))

80

∑ρ∈X−X′

Re

(1

s− ρ

)≤

∑|ρ−s|>1

Re

(1

s− ρ

)≤

∑|ρ−s|>1

∣∣∣∣ 1s− ρ

∣∣∣∣ = O (log(q|s|))

Finalement, ∑ρ∈X

Re

(1

s− ρ

)= Re

(L′(χ, s)L(χ, s)

)+ δ(χ)Re

(1

s− 1

)+O (log(q|s|))

�

Zone sans zeros pour L

Grace aux lemmes precedents, on peut maintenant demontrer ce theoreme :

Theoreme 6.3.1 Soit q ≥ 1. Il existe une constante c > 0 telle que pour tout caractere χ modulo q,la fonction L(χ, s) n’a pas de zero pour s = σ + it dans la region :

σ > 1− 1c(log(q(|t|+ 2)))

= 1− 2σ(t) (6.11)

De plus, pour s dans la regionσ ≥ 1− σ(t) (6.12)

on a le majorationL′(χ, s)L(χ, s)

= O

(δ(χ)|s− 1|

+O(log2(q|s|)

))(6.13)

ou les constantes implicites sont absolues

La figure suivante montre la zone sans zero que l’on obtient alors :

81

Demonstration

Pour σ > 1 on a :

−L′(χ, s)L(χ, s)

=∑n≥1

Λ(n)χ(n)n−s

−Re(L′(χ, s)L(χ, s)

)=

∑n≥1

Λ(n)Re(χ(n)n−it)n−σ

3|z|+4Re(z)+Re(z2) = |z|(3+4cos(θ)+cos(2θ)) = |z|(2+4cos(θ)+2cos2(θ)) = 2|z|(cos(θ)+1)2 ≥ 0

Cette inegalite appliquee a z = χ(n)n−it, de module 1 donne

3 + 4Re(χ(n)n−it) +Re(χ2(n)n−2it) ≥ 0

En multipliant par n−σ et on sommant sur n on obtient, pour σ > 1 :

−3Re(ζ ′(σ)ζ(σ)

)− 4Re

(L′(χ, σ + it)L(χ, σ + it)

)−Re

(L′(χ2, σ + 2it)L(χ2, σ + 2it)

)≥ 0 (6.14)

Soit X un sous-ensemble de zeros non triviaux de L(χ, s). Appliquons maintenant la formule (6.5) :

4∑ρ∈X

Re

(1

σ + it− ρ

)< 4Re

(L′(χ, σ + it)L(χ, σ + it)

)+ 4δ(χ)Re

(1

σ + it− 1

)+O (log(q|s|))

< −3Re(ζ ′(σ)ζ(σ)

)−Re

(L′(χ2, σ + 2it)L(χ2, σ + 2it)

)+ 4δ(χ)Re

(1

σ + it− 1

)+O (log(q|s|))

d’apres (6.14). On reapplique maintenant la formule (6.5) aux caracteres 1 et χ2 en choisissantpour ensemble fini de zeros X = ∅ :

0 < Re

(ζ ′(σ)ζ(σ)

)+Re

(1

σ − 1

)+O (log(q|s|))

0 < Re

(L′(χ2, σ + 2it)L(χ2, σ + 2it)

)+ δ(χ2)Re

(1

σ + 2it− 1

)+O (log(q|s|))

D’ou finalement la formule :

4∑ρ∈X

Re

(1

σ + it− ρ

)≤ 3σ − 1

+ 4δ(χ)Re(

1s− 1

)+ δ(χ2)Re

(1

σ − 1 + 2it

)+O (log(q|s|))

Precisons le terme d’erreur. Il existe une constante c > 0 telle que pour l(t) = c log(q(|t|+ 2)) :

4∑ρ∈X

Re

(1

σ + it− ρ

)≤ 3σ − 1

+ 4δ(χ)Re(

1s− 1

)+ δ(χ2)Re

(1

σ − 1 + 2it

)+

12l(t) (6.15)

82

Comme L(χ, 1) 6= 0 pour tout χ non trivial et que ζ possede un pole en 1, il existe 0 < ε ≤ 12 tel

que pour tout χ modulo q, L(χ, s) ne s’annule pas dans le carre suivant de centre 1 et de cote 2ε :

On s’interesse maintenant aux zeros eventuels de L situes dans la zone 1−ε ≤ σ ≤ 1. Soit ρ = β+iγun zero quelconque dans cette region.

Prenons s = σ + it avec 1 < σ ≤ 2 et t = γ. On a |t| > ε et (s− ρ) ∈ R.

4Re(

1s− 1

)=

4(σ − 1)(σ − 1)2 + t2

<2ε2≤ 1

4l(t)

pour c assez grand. De meme on a

Re

(1

σ − 1 + 2it

)≤ 1

4l(t)

Prenons maintenant pour ensemble X dans la formule (6.15) la singleton X = {ρ} :

4Re(

1(σ + iγ)− (β + iγ)

)≤ 3

σ − 1+ l(γ)

4σ − β

≤ 3σ − 1

+ l(γ)

Cette formule devient fausse pour σ proche de 1 si β est trop proche de 1. Posons σ = 1 + 12l(γ)

4σ − β

≤ 7l(γ)

47l(γ)

≤ 1− β +1

2l(γ)

β ≤ 1− 114l(γ)

On a donc une relation entre la partie reelle et la partie imaginaire d’un zero non trivial. Il n’y apas de zero pour s = σ + it dans la zone :

σ ≥ 1− 114clog(q(|t|+ 2))

et |t| > ε

Pour c assez grand, on a meme 114clog(2q) ≤ ε et dans ce cas, la formule devient aussi valable pour

|t| ≤ ε. Ainsi, il existe c tel que dans la region suivante, L(χ, s) n’admet pas de zero :

σ ≥ 1− 1clog(q(|t|+ 2))

83

Soit s = σ + it dans la zone σ ≥ 1− σ(t). s n’est pas zero de L(χ, s) et on a d’apres (6.4) :

−L′(χ, s)L(χ, s)

= δ(χ)(

1s

+1

s− 1

)−

∑|s−ρ|≤1

1s− ρ

+O (log(q|s|))

ou la constante implicite est independante de χ (possible car il y φ(q) caracteres mod q)

Si ρ verifie |γ − t| > 1, le zero est tel que |s− ρ| > 1, donc on ne prend en compte dans la sommeci-dessus que les zeros de L situes dans la bande horizontale

t− 1 ≤ γ ≤ t+ 1

Soit t ≥ 1

Dans la zone t− 1 ≤ γ ≤ t, on a |s− ρ| ≥ σ(t) et au plus m(t− 1, χ) zeros

Dans la zone t ≤ γ ≤ t+ 1 on a |s− ρ| ≥ σ(t+ 1) et au plus m(t, χ) zeros

∣∣∣∣∣∣∑|s−ρ|≤1

1s− ρ

∣∣∣∣∣∣ ≤∑|s−ρ|≤1

1|s− ρ|

≤ m(t− 1, χ)× 1σ(t)

+m(t, χ)× 1σ(t+ 1)

≤ K log(q(t+ 2))log(q(t− 1 + 2)) +K ′ log(q(t+ 1 + 2))log(q(t+ 2))= O

(log2(q|s|)

)d’apres (6.3)

Si t ≤ 1,∣∣∣∑|s−ρ|≤1

1s−ρ

∣∣∣ ≤∑|s−ρ≤11|s−ρ| et on se ramene au cas precedent.

Comme de plus |s| ≥ 1− ε ≥ 12 on a 1

s = O (1). Ainsi :

−L′(χ, s)L(χ, s)

= O

(δ(χ)|s− 1|

+O(log2(q|s|)

))�

84

Septieme partie

Theoremes des nombres premiers

85

Soit q et a deux entiers premiers entre eux.

7.1 Le theoreme des nombres premiers

Nous allons montrer le theoreme suivant, equivalent au theoreme des nombres premiers, commeon l’a vu dans la partie 3.2 :

Theoreme 7.1.1 Lorsque x tend vers l’infini, ψ(x) ∼ x

Nous allons d’abord montrer que ∀t ∈ R, ζ(1+ it) 6= 0 puis nous verrons que le theoreme precedentest equivalent a cette non-annulation de la fonction ζ sur la droite de partie reelle 1.

Avec un tel resultat sur la fonction zeta de Riemann on montre, comme on le verra :

ψ(x) = x+ o(x)

Mais pour obtenir un terme d’erreur plus precis que le o(x) ci-dessus, il faut trouver une zoneune peu a gauche de la droite σ = 1 sur laquelle ζ ne s’annule pas. On pourra alors deplacer lecontour d’integration vers la gauche et obtenir le terme d’erreur grace a des majoration de la deriveelogarithmique

∣∣∣− ζ′(s)ζ(s)

∣∣∣ dans de telles zones.

7.1.1 Non annulation de ζ sur σ = 1

Proposition 7.1.1 Pour σ > 1 on a

∣∣ζ3(σ)ζ4(σ + it)ζ(σ + 2it)∣∣ ≥ 1 (7.1)

Demonstration

On se place sur le domaine σ > 1. ζ(s) 6= 0 , a cause de la formule du produit infini. On peut doncdefinir log(ζ(s)).

ζ(s) =∏p∈P

11− p−s

log(ζ(s)) =∑p∈P

log(1

1− p−s)

log(ζ(s)) =∑p∈P−log(1− p−s)

Comme |p−s| < 1, on a

log(ζ(s)) =∑p∈P

∑n≤1

(p−s)n

n=∑p∈P

∑n≤1

p−sn

n

ζ(s) = exp

∑p∈P

∑n≤1

p−sn

n

86

Si s = exp(z), |s| = exp(Re(z)), donc :

|ζ(s)| = exp

Re∑p∈P

∑n≤1

p−sn

n

|ζ(s)| = exp

∑p∈P

∑n≤1

Re

(p−sn

n

)Or :

p−sn

n=

p−σnp−itn

n=p−σn

nexp(−itnlog(p))

=p−σn

n(cos(nlog(p)t)− i sin(nlog(p)t))

Donc :

|ζ(s)| = exp

∑p∈P

∑n≤1

cos(nlog(p)t)npσn

Et pour tout k ∈ N on a alors

|ζ(s)|k = exp

∑p∈P

∑n≤1

k cos(nlog(p)t)npσn

Et finalement, grace aux proprietes de l’exponentielle on a :

∣∣ζ3(σ)ζ4(σ + it)ζ(σ + 2it)∣∣ = |ζ(σ)|3 |ζ(σ + it)|4 |ζ(σ + 2it)|

= exp

∑p∈P

∑n≤1

3 + 4cos(nlog(p)t) + cos(2nlog(p)t)npσn

Posons φ = nlog(p)t. Alors 3 + 4cos(φ) + cos(2φ) ≥ 0. En effet :

3 + 4cosφ+ cos(2φ) = 3 + 4cosφ+ 2cos2φ− 1= 2(1 + 2cosφ+ cos2φ

= 2(1 + cosφ)2 ≥ 0

L’argument de l’exponentielle est donc positif d’ou∣∣ζ3(σ)ζ4(σ + it)ζ(σ + 2it)

∣∣ ≥ 1.

Corollaire 7.1.1 Pour tout t ∈ R, ζ(1 + it) 6= 0

87

Demonstration

Prenons σ > 1 et supposons qu’il existe t0 ∈ R∗ tel que ζ(1 + it0) = 0.

ζ3(σ)ζ4(σ + it0)ζ(σ + 2it0) =(ζ3(σ)(σ − 1)3

)(ζ4(σ + it0)(σ − 1)4

)(ζ(σ + 2it0)(σ − 1))

Lorsque σ → 1, ζ3(σ)(σ − 1)3 est borne car ζ3 possede un pole d’ordre exactement 3 en 1. L’ex-pression ζ4(σ+it0)

(σ−1)4est egalement bornee car ζ4 possede un zero d’ordre au moins 4 en 1 + it0. Et

|ζ(σ + 2it0)(σ − 1)| → 0 lorsque σ → 1.

Ainsi∣∣ζ3(σ)ζ4(σ + it)ζ(σ + 2it)

∣∣→ 0 lorsque σ → 1. En contradiction avec la proposition 7.1.1.

7.1.2 Demonstration du theoreme des nombres premiers

La non-annulation de ζ que nous venons de prouver suffit a demontrer le theoreme des nombrespremiers. Nous allons pour cela utiliser le theoreme suivant, du a Wiener et Ikehara, que nous admet-trons.

Theoreme 7.1.2 (Theoreme de Wiener-Ikehara) Soit α une fonction positive et croissante telleque f(s) =

∫∞0 e−suα(u)du soit definie pour σ > a > 0.

Si il existe A > 0 tel que f(s)− As−a soit holomorphe sur la droite σ = a. Alors

α(u) ∼ Aeau

u→∞

D’apres la formule (3.1) on a l’expression suivante de la derivee logarithmique de ζ :

−ζ′(s)ζ(s)

= s

∫ ∞1

ψ(x)xs+1

dx

On obtient apres le changement de variable x = eu :

−ζ′(s)ζ(s)

= s

∫ ∞0

ψ(eu)e−sudx

Donc

f(s) =∫ ∞

0e−suψ(eu)dx = −1

s

ζ ′(s)ζ(s)

La fonction f(s) − 1s−1 est holomorphe sur σ = 1 car au vu de la non annulation de ζ sur cette

droite, la fonction − ζ′(s)ζ(s) est meromorphe sur σ ≥ 1 avec un unique pole simple en 1 de residu 1.

D’apres le theoreme de Wiener-Ikehara, on a alors

ψ(eu) ∼ eu

u→∞

88

On a donc limx→∞

ψ(x)x = 1 soit :

ψ(x) ∼ xx→∞

�

7.1.3 Equivalence avec la non-annulation de ζ

On a vu que ζ(1 + it) 6= 0 implique le theoreme des nombres premiers, nous allons voir maintenantque le theoreme des nombres premiers implique que ζ(1 + it) 6= 0. Ces deux resultats sont doncequivalents.

Proposition 7.1.2 Si ψ(x) ∼ x lorsque x→∞, alors ζ(1 + it) 6= 0 pour tout t ∈ R

Demonstration

Soit t 6= 0. Nous allons montrer que la fonction ζ′(σ+it)ζ(σ+it) n’admet pas de pole lorsque σ → 1 : on

aura alors le resultat puisque le numerateur ζ ′(s) n’admet pas de pole en s = 1 + it si t 6= 0.

On a pour s = σ + it avec σ > 1 et t 6= 0 , d’apres (3.1) :

−ζ′(s)ζ(s)

= s

∫ ∞1

ψ(x)xs+1

dx

Et d’apres le theoreme des nombres premiers, on peut ecrire ψ(x) = x+ δ(x), ou δ(x) = o(x).

−ζ′(s)ζ(s)

= s

∫ ∞1

1xsdx+ s

∫ ∞1

δ(x)xs+1

dx

−ζ′(s)ζ(s)

=s

s− 1+ s

∫ ∞1

δ(x)xs+1

dx

La fonction ss−1 est holomorphe en 1 + it. montrons qu’il en est de meme pour g(s) =

∫∞1

δ(x)xs+1dx

Comme δ(x) = o(x), pour tout ε > 0, il existe un reel x0 (dependant de ε) tel que pour tout x ≥ x0,|φ(x)| ≤ εx. Ainsi :

|g(s)| ≤∫ x0

1

|δ(x)|xσ+1

dx+ ε

∫ ∞x0

1xσdx = Kε +

ε

σ − 1

Pour 1 < σ ≤ 1 + εK−ε ,

|(σ − 1)g(s)| ≤ 2ε (7.2)

Et |(σ − 1)g(s)| = |((σ + it)− (1 + it))g(σ + it)|.

Si g admet un pole en 1 + it on a deux possibilites :– Si ce pole est simple, (σ + it)− (1 + it))g(σ + it) tend vers le residu de ce pole et donc vers une

limite non nulle lorsque σ tend vers 1

89

– Si ce pole est multiple, |(σ + it)− (1 + it))g(σ + it)| tend vers l’infini lorsque σ tend vers 1Dans les deux cas on a une contradiction avec l’inegalite (7.2), valable pour tout ε.

Donc la fonction g est holomorphe en 1 + it , ce qui implique que − ζ′(s)ζ(s) l’est aussi et donc que ζ

ne s’annule pas sur cette droite.

�

7.1.4 Theoreme des nombres premiers avec un terme d’erreur

Nous allons maintenant obtenir une version « amelioree » du theoreme des nombres premier avecun terme d’erreur le plus precis possible. Grace a la formule d’inversion de Mellin on obtient, poura > 1 (cf. formule (3.18)) :

ψ(x) =∫

(a)−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds

Comme ζ(1 + it) 6= 0, pour un reel fixe T , il existe une zone de la forme

1− β(T ) ≤ σ ≤ 2−T ≤ t ≤ T

ou − ζ′(s)ζ(s) est meromorphe et n’a qu’un seul pole, en 1. Le probleme et que β(T ) peut tendre vers

0 lorsque T tend vers l’infini... On ne peut donc pas se ramener a une integrale verticale de − ζ′(s)ζ(s)

xs

ssur une droite du type σ = 1 − β. Dans la suite, on ne va donc pas directement deplacer le contourd’integration vers la gauche comme on l’avait fait dans la partie 3.6 pour passer de l’integrale verticalesur une droite situee a droite de 1 a l’integrale sur une droite veticale situee a gauche de 1, mais onva integrer la fonction − ζ′(s)

ζ(s)xs

s sur un contour du type suivant pour essayer d’evaluer l’integrale quidefinit ψ(x) a l’aide du theoreme des residus.

Fig. 7.1 – Contour d’integration

90

Pour evaluer ψ, on aura besoin de pouvoir evaluer ζ(s), ζ ′(s) ou encore − ζ′(s)ζ(s) dans des rectangles

bien choisis : nous allons d’abord etablir les estimations qui nous serons utiles par la suite.

Estimations de ζ, ζ ′ et − ζ′

ζ

Proposition 7.1.3 Soit n ≥ 1 quelconque.

Pour tout s tel que σ > 0 on a la formule :

ζ(s) =n−1∑k=1

1ks

+n−s

2+n1−s

s− 1− s

∫ ∞n

x− [x]− 12

xs+1dx (7.3)

Demonstration

Par integration par partie, on a :

∫ n+1

n(x− [x]− 1

2)−sxs+1

dx =12

(1ns

+1

(n+ 1)s

)−∫ n+1

n

1xsdx

=12

(1ns

+1

(n+ 1)s

)+

1s+ 1

(1

(n+ 1)s−1− 1ns−1

)

Et

N∑k=n

1ks

=n−s

2+N−1∑k=n

12

(1ns

+1

(n+ 1)s

)+N−s

2

=n−s

2+N−s

2+N−1∑k=n

s

∫ k+1

k

[x]− x+ 12

xs+1dx+

1s+ 1

N−1∑k=n

(1

ks−1− 1

(k + 1)s−1

)

=n−s

2+N−s

2+ s

∫ N

n

[x]− x+ 12

xs+1dx+

1s+ 1

(1

ns−1− 1N s−1

)

Lorsque N tend vers l’infini, l’integrale converge car∣∣∣ [x]−x+ 1

2xs+1

∣∣∣ = O(

1xσ+1

)et σ > 0.

On a donc lorsque N →∞ la formule suivante, valable pour σ > 0 :

∞∑k=n

1ks

=n−s

2+n1−s

s+ 1+ s

∫ ∞n

[x]− x+ 12

xs+1dx

On en deduit la proposition

�

En utilisant cette nouvelle ecriture de ζ montrons le theoreme suivant :

91

Theoreme 7.1.3 Soit A > 0 une constante. Il existe t0 > 0 tel que dans la region

1− A

log|t|≤ σ ≤ 2

|t| > t0 > 1

on ait ζ(s) = O(log|t|) uniformement.

En d’autres termes, il existe une constante K telle que pour tout s dans cette region,

|ζ(s)| ≤ K|log|t||

(la constante K depend uniquement de A)

Demonstration

D’apres la proposition 7.1.3 on a pour σ > 0

ζ(s)−N∑n=1

1ns

=N−s

2+N1−s

s− 1− s

∫ ∞N

x− [x]− 12

xs+1dx

On a donc :

∣∣∣∣∣ζ(s)−N∑n=1

1ns

∣∣∣∣∣ ≤ |s|2∫ ∞N

1x1+σ

dx+N1−σ

|s− 1|+N−σ

2

Et |s| =√σ2 + t2 ≤

√4 + t2 ≤ 5|t| pour |t| > 1 (par exemple)

De plus, |s− 1| =√

(σ − 1)2 + t2 ≥ |t| donc 1|s−1| ≤

1|t|

Ainsi,

∣∣∣∣∣ζ(s)−N∑n=1

1ns

∣∣∣∣∣ = O

(|t|∫ ∞N

1x1+σ

dx

)+O

(N1−σ

|t|

)+O

(N−σ

)Si n ≤ |t|

(log(n)log|t| ≤ 1

),

|n−s| = n−σ = e(−σlog(n)) ≤ exp(−(

1− A

log|t|

)log(n)

)= n−1exp

(Alog(n)log|t|

)≤ eA

n

Prenons N = [ |t| ]. Dans ce cas si n ≤ N , n−s = O(

1n

)et de meme, N−σ = O

(1N

). Enfin,

N1−σ = NN−σ = O(1).

Finalement,

ζ(s) =N∑n=1

O

(1n

)+O

(|t|N

)+O

(1|t|

)+O

(1N

)= O (log(N)) +O (1) = O (log|t|)

92

Theoreme 7.1.4 Dans la meme region que dans le theoreme 7.1.3

ζ ′(s) = O(log2|t|

)Demonstration

On procede comme dans la demonstration precedente en partant de la relation :

ζ ′(s) = −N∑2

log(n)ns

+∫ ∞N

[x]− x+ 12

xs+1(1− s log(x))dx− N1−slog(N)

s− 1− N1−s

(s− 1)2+

12N−slog(N)

Cette relation s’obtient en derivant la relation (7.3) : on evalue ensuite chaque terme de la sommeen prenant N = [ |t| ] et voit apparaıtre un log|t| en facteur supplementaire.

�

Theoreme 7.1.5 Il existe une constante reelle positive c et t0 > 0 tels que ζ(s) n’a pas de zero dansla region

σ > 1− c

log9|t||t| > t0

De plus dans cette meme region,

1ζ(s)

= O(log7|t|

)Demonstration

D’apres la formule (7.1), pour σ > 1 on a

∣∣∣∣ 1ζ(σ + it)

∣∣∣∣ ≤ |ζ(σ)|34 |ζ(σ + 2it)|

14

Et (σ − 1)ζ(σ) est borne au voisinage de 1 et dans la region 1 ≤ σ ≤ 2 donc ζ(σ) = O(

1(σ−1)

)dans cette zone. On se trouve en particulier dans la zone definie dans la theoreme 7.1.3 (avec unevaleur de A quelconque que l’on fixe) donc ζ(σ + 2it) = O (log(|t|)). Ainsi :

∣∣∣∣ 1ζ(σ + it)

∣∣∣∣ = O

(log

14 |t|

(σ − 1)34

)

Avec σ > 1− Alog(t) , |t| > t0 on a aussi :

ζ(1 + it)− ζ(σ + it) = −∫ σ

1ζ ′(u+ it)du = O

((σ − 1)log2|t|

)(7.4)

Il existe alors une constante A1 telle que

93

|ζ(σ + it)| − |ζ(1 + it)| < A1(σ − 1)log2|t|

Et il existe A2 telle que∣∣∣ 1ζ(σ+it)

∣∣∣ < 1A2

log14 |t|

(σ−1)34

(pour σ compris entre 1 et 2) et donc |ζ(σ + it)| >

A2(σ−1)

34

log14 |t|

. On a alors l’inegalite :

|ζ(1 + it)| > A2(σ − 1)

34

log14 |t|

−A1(σ − 1)log2|t|

Prenons maintenant σ − 1 = A3log−9|t|

|ζ(1 + it)| > (A2A343 −A1A3)log−7|t|

Pour A3 suffisement petit, le terme de droite et positif. Il existe donc B tel que

|ζ(1 + it)| > B log−7|t| (7.5)

Reprenons maintenant la formule (7.4) avec cette fois 1 > σ > 1− Alog|t| . On a l’inegalite

|ζ(σ + it)| > B log−7 |t| −A4(1− σ)log2|t|

Prenons maintenant σ tel que 1− σ < c log−9|t| alors :

|ζ(σ + it)| > (B −A4c)log−7(|t|)

En prenant c suffisament petit, on realise a la fois la condition B−A4c >B2 et 1− A

log|t| < 1− clog9|t| .

On a alors l’existence d’un triplet (c, A, t0) tel que dans la region σ > 1− c log−9|t|, |t| > t0 on aituniformement :

|ζ(σ + it)| > Alog−7|t|

En particulier, ζ ne s’annule pas dans cette zone et on a bien

1ζ(s)

= O(log7|t|

)�

Theoreme 7.1.6 Il existe c et t0 tel que dans la region 2 ≥ σ > 1− clog9|t| , |t| > t0

ζ ′(s)ζ(s)

= O(log9(t))

( la constante du O ne dependant que de c)

Demonstration

Decoule des theoreme 7.1.4 et 7.1.5

94

Demonstration du theoreme des nombres premiers

Theoreme 7.1.7 (Theoreme des nombres premiers) Il existe une constante d telle que

ψ(x) = x+O(xexp[−d(log(x))

110 ])

lorsque x→∞

Demonstration

Soit T > t0. Posons s0(T ) = 1− clog9(T )

.

On choisit T tel que ζ n’ait pas de zero dans le rectangle de sommet s0(T )+ it0, so(T )− it0, 2− it0,2 + it − 0 : cela existe car ζ ne s’annule pas sur σ ≥ 1. (t0 est la constante definie dans le theoreme7.1.5).

Prenons maintenant σ + it avec T > |t|

Posons a = 1 + clog9(T )

et b = 1− clog9(T )

. On considere le rectangle RT (cf. figure 7.2)

∀|t| > t0 a l’interieur du rectangle ci-dessus on a σ > 1− clog9(T )

> 1− clog9|t| donc :

ζ ′(s)ζ(s)

= O(log9(T ))

En particulier,

ζ ′(σ ± iT )ζ(σ ± iT )

= O(log9(T ))

A l’interieur du rectangle considere, ζ ne s’annule pas (voir figure) donc la fonction −ζ′ζ est

meromorphe et possede un unique pole simple, 1, de residu 1. Appliquons le theoreme des residuspour evaluer l’integrale

∫(a)−

ζ′(s)ζ(s)

xs

s ds (qui vaut ψ(x)) :

∫RT

−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds = 2iπx

En decomposant l’integrale sur chacun des cotes :

12iπ

∫ a+iT

a−iT−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds = x+

12iπ

[∫ b−iT

a−iT−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds+

∫ b+iT

b−iT−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds+

∫ a+iT

b+iT−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds

]

D’autre part :

∫(a)−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds =

∫ a−iT

a−i∞−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds+

∫ a+iT

a−iT−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds+

∫ a+i∞

a+iT−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds

Des deux equations precedentes, on deduit que :

12iπ

∫(a)−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds = x+

12iπ

[I1 + I2 + I3 + I4 + I5]

95

Fig. 7.2 – Rectangle RT

96

avec les notation

I1 =∫ a−iTa−i∞−

ζ′(s)ζ(s)

xs

s ds I2 =∫ a+i∞a+iT −

ζ′(s)ζ(s)

xs

s ds

I3 =∫ b−iTa−iT −

ζ′(s)ζ(s)

xs

s ds I4 =∫ a+iTb+iT −

ζ′(s)ζ(s)

xs

s ds

I5 =∫ b+iTb−iT −

ζ′(s)ζ(s)

xs

s ds

Evaluons chacune de ces integrales :

Estimation de I1 et I2

I2 = limU→∞

∫ a+iU

a+iT−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds = lim

U→∞

∫ a+iU

a+iT

∞∑n=1

Λ(n)ns

xs

sds

Comme la serie converge uniformement pour σ > 1, on peut intervertir serie et integrale :

I2 = limU→∞

∞∑n=1

Λ(n)∫ a+iU

a+iT

(xn

)s 1sds (7.6)

Estimons maintenant l’integrale, en faisant une integration par parties :

∫ a+iU

a+iT

(xn

)s 1sds =

[ (xn

)sslog(xn)

]a+iU

a+iT

+1

log(xn)

∫ a+iU

a+iT

(xn

)sdss2

=1

log(xn)

(xn

)a [eiUlog( xn )

a+ iU− eiT log(

xn

)

a+ iT+∫ U

T

eitlog(xn

)

(a+ it)2ids

]

On a donc

∫ a+iU

a+iT

(xn

)s 1sds = O

(1∣∣log(xn)

∣∣(xn)a[

1|a+ iU |

+1

a+ iT+∫ U

T

dt

a2 + t2

])

Or U > T et |a+ iT | > T . D’autre part,∫ UT

dta2+t2

<∫∞T

dta2+t2

= O(

1T

)lorsque T →∞. Ainsi :

∫ a+iU

a+iT

(xn

)s 1sds = O

( (xn

)aT∣∣log(xn)

∣∣)

lorsque T →∞.

En majorant Λ(n) par log(n) on obtient donc pour (7.6) :

I2 = O

(xa

T

∞∑n=1

ln(n)n−a∣∣log(xn)∣∣)

pour T assez grand.

97

Pour majorer la somme, on va etudier separement 3 zones :

(i) n <x

2(ii)

x

2≤ n ≤ 3x

2(iii) n >

3x2

Pour n dans la region (i),

∣∣∣log (xn

)∣∣∣ > log(2)

Pour n dans la region (ii),

∣∣∣log (xn

)∣∣∣ =∣∣∣log (n

x

)∣∣∣ > log

(32

)Finalement pour n dans ces deux regions on a par exemple

∣∣∣log (xn

)∣∣∣ > 110

On a alors :

∑n<x

2

ln(n)n−a∣∣log(xn)∣∣ = O

∑n<x

2

ln(n)n−a = O(ζ ′(a)

)= O

(1

(a− 1)2

)(7.7)

En effet, ζ ′ a un pole d’ordre 2 en 1, donc (x− 1)2ζ ′(x) est continue (en tant que fonction reelle)sur par exemple 0 ≤ x ≤ 2 et donc bornee. De meme , on a

∑n> 3x

2

ln(n)n−a∣∣log(xn)∣∣ = O

∑n> 3x

2

ln(n)n−a = O(ζ ′(a)

)= O

(1

(a− 1)2

)(7.8)

Pour n dans (ii), en posant z = 1− nx , on verifie que |z| ≤ 1

2 et on peut developper en serie entierel’expression :

log(xn

)= log(1− z)−1

= z

(1 +

z

2+z2

3+ ...

)

Si 0 ≤ z ≤ 12 ,

(1 +

z

2+z2

3+ ...

)≥ 1

Si −12 ≤ z ≤ 0, (

1 +z

2+z2

3+ ...

)= − ln(1− z)

z>

34

Finalement, il existe une constante c1 (qui vaut par exemple 34) telle que

98

∣∣∣log (xn

)∣∣∣ ≥ c1z

Ainsi, 1

|log( xn)| ≤c2|z| ≤

c2x|x−n| et

∑x2≤n≤ 3x

2

ln(n)n−a∣∣log(xn)∣∣ = O

x ∑x2≤n≤ 3x

2

ln(n)n−a

|x− n|

= O

x1−alog(x)∑

x2≤n≤ 3x

2

1|x− n|

Notons x = [x]+δ. Dans la somme, |x−n| prend ses valeurs dans l’ensemble δ, |δ±1|, |δ±2|, ..., |δ±

[x]2 | donc

∑x2≤n≤ 3x

2

1|x− n|

<

1δ

+[x]∑k=1

1k

= O (log(x))

Finalement, en combinant (7.7), (7.8) et les deux dernieres equations, on obtient :

I2 = O

(xa

T

(1

(a− 1)2+ x1−alog2(x)

))On a la meme majoration pour I4 (qui est valable pour T grand)

Estimation de I3 et I4

I4 =∫ a

b−ζ′(u+ iT )ζ(u+ iT )

xu+iT

u+ iTdu

|I4| <

∫ a

b

∣∣∣∣ζ ′(u− iT )ζ(u− iT )

∣∣∣∣ xu

|u− iT |du

|I4| < K(a− b)log9(T )xa

T

|I4| < 2Klog9(T )xa

T

On obtient une majoration du meme type pour I3. On a donc

I3 = O

(xa

Tlog9(T )

)et I4 = O

(xa

Tlog9(T )

)Estimation de I5

I5 =∫ T

−T−ζ′(b+ it)ζ(b+ it)

xb+it

b+ itidt

|I5| <

∫ T

−T

∣∣∣∣−ζ ′(b+ it)ζ(b+ it)

∣∣∣∣ xb

|b+ it|dt

|I5| < Kxblog9(T )∫ T

−T

1√b2 + t2

dt

99

Et on a∫ T−T

1√b2+t2

dt = 2∫ T

01√b2+t2

dt = O(∫ T+|b||b|

1t dt)

= O (log(T ))

D’ou finalement :

|I5| = O(xblog10(T )

)On combinant ces estimations,

φ(x)− x = R(x)

avec

R(x) = O

(xa

T

(1

(a− 1)2+ x1−alog2(x)

)+xa

Tlog9(T ) + xblog10(T )

)(si T est assez grand)

Il s’agit maintenant de choisir T en fonction de x de maniere a avoir un reste aussi petit quepossible : pour se « debarasser » du terme en xa, qui est preponderant devant x, on pose T = xa−b :on a alors xa

T = xb, terme negligeable devant x.

Demandons nous d’abord si un tel choix est possible. Comme a−b = 2clog9(T )

cela revient a resoudrel’equation

T = x2c

log9(T )

log(T ) =2c

log9(T )log(x)

log10(T ) = 2clog(x)

T = exp[(2clog(x))

110

]On peut donc poser T = xa−b. Le O precedent est alors valable lorsque x tend vers l’infini.

R(x) = O(xb(log18(T ) + log20(T )

)+ xblog9(T ) + xblog10(T )

)En effet, a− 1 = c

log9(T )donc 1

(a−1)2= O

(log18(T )

)De plus, log(x) = O

(log10(T )

)et x1−a = O (1) lorsque x→∞.

Finalement, R(x) = O(xblog20(T )

)lorsque T (et donc x) tend vers l’infini.

O(xb log20(T )

)= O

(x

1− clog9(T ) log20(T )

)= O

(x exp

[− c

log9(T )log(x) + 20 log(log(T ))

])= O

(x exp

[−1

2log(T ) + 20 log(log(T ))

])

Comme −12

log(T )+20 log(log(T ))

log(T ) → −12 lorsque T → ∞, il existe une constante c3 (par exemple 1

4)telle que

100

O(xb log20(T )

)= O (x exp [−c3 log(T )])

= O(x exp(−d (log(x))

110 ))

On a donc bien l’existence d’une constante d telle que

ψ(x) = x+O(x exp[−d (log(x))

110 ])

�

7.2 Le theoreme de nombres premiers en progression arithmetique

Le theoreme des nombres premiers en progression arithmetique donne le comportement asympto-tique de la fonction ψ(x; q, a) =

∑n≤x

n≡a [q]

Λ(n).

φ(x; q, a) =∑

n≡a [q]

Λ(n)χ[o;x](n)

=∑

n≡a [q]

Λ(n)χ[o;1]

(nx

)

Or la fonction caracteristique de l’intervalle [0; 1] peut etre approximee par un majorant lissed’amplitude tres petite. Pour demontrer le theoreme des nombres premiers en progression arithmetique,on va d’abord etablir un resultat pour la somme lissee , ou on remplace χ[0;1] dans la somme ci-dessuspar un majorant lisse de [0; 1], qui est une fonction suffisamment reguliere (en particulier une fonctionde Schwartz).

7.2.1 Resultats sur des sommes lisses

Theoreme 7.2.1 Soit q ≥ 1, a ≥ 1 tel que (a, q) = 1. Soit η une fonction de Schwartz. Alors il existeune constante c1 telle pour tout y suffisamment grand, on ait :

∑n≡a [q]

Λ(n)η(n

y

)=yη(1)φ(q)

+O(y exp(−c

√log(y))

)(7.9)

ou η designe la transformee de Mellin de η.

La constante du O depend de η uniquement.

Demonstration

Soit η une fonction de Schwartz (on peut alors definir sa transformee de Mellin).

∑n≡a [q]

Λ(n)η(n

y

)=∑n∈N∗

Λ(n)η(n

y

)× 1φ(q)

∑χ mod q

¯χ(a)χ(n)

101

On a ainsi introduit la condition n ≡ a [q] grace a la formule (2.1).

∑n≡a [q]

Λ(n)η(n

y

)=

1φ(q)

∑χ mod q

χ(a)∑n∈N∗

Λ(n)χ(n)η(n

y

)=

1φ(q)

∑χ mod q

χ(a)ψη(y, χ)

avec la notation ψη(y, χ) =∑

n∈N∗ Λ(n)χ(n)η(ny

)D’apres la formule (3.16), on a :

ψη(y, χ) =1

2iπ

∫(2)−L

′(χ, s)L(χ, s)

ysη(s)ds

On veut maintenant deplacer le contour d’integration vers la gauche et pour cela, il faut trouverune region la plus a gauche possible ou on peut definir l’integrale de −L′(χ,s)

L(χ,s) ysη(s) : on va pour cela

utiliser la zone sans zeros obtenue dans le theoreme 6.3.1, ou l’integrande est holomorphe.

On pose σ(t) = 12c(log(q(|t|+2)) comme dans le theoreme 6.3.1. L(χ, s) ne possede pas de zero dans

la region σ > 1− 2σ(t).

Soit Z le contour defini par s(t) = 1− dσ(t) + it. A droite de Z, −L′(χ,s)L(χ,s) :

- n’a aucun pole si χ est non trivial

- possede un pole simple en 1 de residu 1 si χ est trivial

On considere le contour ferme suivant, CT compose du segment [AB] compris entre 2− iT et 2+ iT ,du segement [BC] compris entre 2 + iT et s(T ), de la portion de courbe s(t) ou t va de T a −T , et dusegment [DA] d’extremites s(−T ), 2− iT .

102

D’apres le theoreme des residus on a (en appelant g l’integrande)

12iπ

∫CT−L

′(χ, s)L(χ, s)

ysη(s)ds = res(g, 1) = δ(χ)η(1)y (7.10)

On peut ensuite decouper le contour CT verticalement et horizontalement pour evaluer chaquepartie. Evaluons d’abord l’integrale sur les bords horizontaux.

Le contour est contenu dans la region σ ≥ 1− σ(t) donc d’apres (6.13), il existe une constante Ctelle que

L′(χ, s)L(χ, s)

≤ C 1|s− 1|

+O(log2(q|s|)

)Sur le bord superieur (le raisonnement serait le meme pour le bord inferieur) on a par exemple

s = t+ iT avec t ∈ [s(T ); 2]. Lorsque T > 1, on a 1|s−1| = O(1).

|s| =√σ2 + T 2 ≤ σ + T ≤ 2 + T donc (log(q|s|)2 = O

((log q(2 + T ))2

)On a donc

L′(χ, s)L(χ, s)

= O((log q(2 + T ))2

)sur le bord superieur, pour T > 1. D’apres la proposition 3.4.1 donnant la decroissance de la

transformee de Mellin :

lim|t|→∞

|s|kf(s) = 0

pour tout k. Par exemple,

limT→∞

|σ + iT |2|η(σ + iT )| = 0 donc limT→∞

(1 + T )2|η(σ + iT )| = 0 et

η(σ + iT ) = O

((1

1 + T

)2)

lorsque T →∞

Finalement, on peut majorer l’integrale sur le bord superieur :

∣∣∣∣∣∫ 2+iT

s(T )−L

′(χ, s)L(χ, s)

η(s)ysds

∣∣∣∣∣ ≤∫ 2+iT

s(T )

∣∣∣∣L′(χ, s)L(χ, s)

∣∣∣∣ |η(s)|yσds

= O

(y2

∫ 2+iT

s(T )(log(q(T + 2)))2(1 + T )−2ds

)

= O

(y2(log(q(T + 2)))2

(1 + T )2

)→ 0

lorsque T →∞

L’integrale sur les cotes horizontaux tend donc vers 0 lorsque T →∞ donc l’egalite (7.10) devient :

103

12iπ

∫(2)−L

′(χ, s)L(χ, s)

ysη(s)ds− 12iπ

∫Z−L

′(χ, s)L(χ, s)

ysη(s)ds = δ(χ)η(1)y

D’ou l’egalite

ψη(y, χ) = δ(χ)η(1)y +1

2iπ

∫Z−L

′(χ, s)L(χ, s)

ysη(s)ds

La somme∑

n≡a [q] Λ(n)η(ny

)= 1

φ(q)

∑χ mod q

¯χ(a)ψη(y, χ) qu’on veut evaluer est une somme finiea φ(q) termes et on peut remplacer chaque φη(y, χ) par son expression precedente. La contributionδ(χ)η(1)y n’est comptee que pour le caractere trivial. On a donc :∑

n≡a [q]

Λ(n)η(n

y

)=

1φ(q)

δ(χ)η(1)y +1

φ(q)

∑χ mod q

12iπ

∫Z−L

′(χ, s)L(χ, s)

ysη(s)ds

Comme la somme sur les caracteres est une somme finie, pour montrer le theoreme, il suffit demontrer que si χ est un caractere quelconque modulo q on a

I =∫Z−L

′(χ, s)L(χ, s)

ysη(s)ds = O(y exp(−c1

√log(y))

)Montrons ce resultat :

I = y

∫ +∞

−∞−L

′

L(χ, 1− dσ(t) + it)η(1− dσ(t) + it)y−dσ(t)+itdt

Pour evaluer l’integrale, integrons separement sur les zones |t| ≤ A et |t| > A, ou A > 0 est uneconstante qui sera choisie ulterieurement pour obtenir la majoration la plus fine possible.

Si |t| ≤ A

D’apres (6.13), on a

L′

L(χ, 1− dσ(t) + it) = O

((log(q|1− dσ(t) + it|))2

)= O

((log(q(|t|+ 2)))2

)= O

((log(q(A+ 2)))2

)η(1− dσ(t) + it) =

∫ ∞0

η(x)x1−dσ(t)+itdx = O

(∫ ∞0

η(x)x1−dσ(t)dx

)= O

(∫ 1

0η(x)x1− d

2clog(2q) +∫ ∞

1η(x)x1−dσ(A)

)= Oη(1)

y−dσ(t)+it = O(y−dσ(t)

)= O

(y−dσ(A)

)si y > 1

On a ainsi :

∫ A

−A−L

′

L(χ, 1− dσ(t) + it)η(1− dσ(t) + it)y−dσ(t)+itdt = O

(A(log q(A+ 2))2exp(−dσ(A)log(y))

)104

Si |t| > A on a

L′

L(χ, 1− dσ(t) + it) = O

((log(q|1− dσ(t) + it|))2

)= O

((log(q(|t|+ 2)))2

)y−dσ(t)+it = O

(y−dσ(t)

)= O(1)

D’apres la propriete de decroissance de la transformee de Mellin, on a egalement

η(1− dσ(t) + it) = O(η,ε(1 + |t|)−2−ε)

pour tout ε > 0.

Soit ε > 0 quelconque mais fixe. On a :

∫|t|>A

−L′

L(χ, 1− dσ(t) + it)η(1− dσ(t) + it)y−dσ(t)+itdt = O

(∫|t|>A

(log(q(|t|+ 2)))2(1 + |t|)−2−εdt

)

= O

(∫|t|>A

(log(q(|t|+ 2)))2

(1 + |t|)ε1

(1 + |t|)2dt

)

Or (log(q(|t|+2)))2

(1+|t|)ε = O (1) , donc

∫|t|>A

−L′

L(χ, 1− dσ(t) + it)η(1− dσ(t) + it)y−dσ(t)+itdt = O

(∫|t|>A

dt

(1 + |t|)2

)= O

(1

1 +A

)

En regroupant ces deux majorations, on conclut que

I = O

(y

[1

1 +A+A(log(q(A+ 2)))2 exp

(− d log(y)

2c log(q(A+ 2))

)])Il s’agit maintenant de choisir A pour obtenir la majoration souhaitee : on aimerait se ramener a

log(q(A + 2)) de l’ordre de√

log(y). On fixe une constante c2 telle que c22 <

d2c (on verra pourquoi

plus loin)

On fixe A defini par

log(q(A+ 2)) = c2

√log(y)

A =1qexp(c2

√log(y))− 2

Pour y assez grand, on peut definir A > 0 ainsi. On a alors pour y assez grand

I = O

(y

[1

1 +A+Ac2

2 log(y)exp(− d

2cc2

√log(y)

)])105

D’une part

11 +A

=1

1q exp(c2

√log(y))− 1

= O(exp(−c2

√log(y))

)

D’autre part, en posant B = Ac22 log(y)exp

(− d

2c c2

√log(y)

)on a

B =1qexp(c2

√log(y))c2

2 log(y)exp(− d

2cc2

√log(y)

)− 2c2

2 log(y)exp(− d

2cc2

√log(y)

)=

c22

qlog(y)exp

(−(

d

2cc2− c2

)√log(y)

)− 2c2

2 log(y)exp(− d

2cc2

√log(y)

)= O

(log(y)exp

(−(

d

2cc2− c2

)√log(y)

))

Posons 2c1 = min(c2,

d2cc2− c2

). c1 > 0 car on a choisi c2

2 <d2c . Alors :

11 +A

= O(exp(−c1

√log(y))

)Ac2

2 log(y)exp(− d

2c c2

√log(y)

)= O

(log(y)exp(−2c1

√log(y))

)= O

(yexp(−c1

√log(y))

)valable lorsque y est assez grand (et la constante du O depend de η).

On a donc bien

I = O(y exp(−c1

√log(y))

)�

7.2.2 Demonstration du theoreme

Theoreme 7.2.2 (theoreme des nombres premiers en progression arithmetique) Soit des en-tiers q ≥ 1 et a tel que (a, q) = 1. Alors on a :

ψ(x; q, a) ∼ x

φ(q)

lorsque x→∞. D’apres la partie 3.2.2, ce resultat est equivalent a

π(x; q, a) ∼ 1φ(q)

x

log(x)

lorsque x→∞

106

Demonstration

Soit ηδ un majorant lisse d’amplitude δ de [0, 1].

φ(x; q, a) =∑

n≡a [q]

Λ(n)χ[0;1]

(nx

)≤

∑n≡a [q]

Λ(n)ηδ(nx

)∼ xη(1)

φ(q)

d’apres (7.13). En effet, yβe = o (y) lorsque y →∞ (car βe est reel et < 1).

On a donc pour tout δ,

lim supx→∞

ψ(x; q, a)x

≤ δ(1)φ(q)

(7.11)

Et en faisant tendre δ vers 0 on obtient :

lim supx→∞

ψ(x; q, a)x

≤ 1φ(q)

ηδ est un majorant lisse d’amplitude 1 + δ. En particulier, η est a support compact dans [0; 1 + δ]et ηδ = 1 sur [0,1]. Posons εδ(x) = ηδ((1 + δ)x). La fonction εδ est C∞, a support compact dans [0 ;1]et verifie εδ(x) = 1 si x ≤ 1

1+δ .

Fig. 7.3 – Fonctions approchant χ[0,1]

Lorsque δ tend vers 0, les fonctions εδ et ηδ tendent vers χ[0,1].

φ(x; q, a) ≥∑

n≡a [q]

Λ(n)εδ(nx

)=

∑n≡a [q]

Λ(n)ηδ(

(1 + δ)n

x

)

Posons y = x1+δ . y →∞ ssi x→∞. Alors

107

φ(x; q, a) ≥∑

n≡a [q]

Λ(n)ηδ

(n

y

)∼ yηδ(1)

φ(q)=

xηδ(1)(1 + δ)φ(q)

lorsque x→∞. En faisant ensuite tendre δ vers 0 on obtient :

lim infx→∞

ψ(x; q, a)x

≥ 1φ(q)

(7.12)

On deduit de (7.11) et (7.12) que ψ(x;q,a)x possede une limite et que cette limite vaut 1

φ(q) . On adonc

π(x; q, a) ∼ 1φ(q)

x

log(x)

lorsque x tend vers l’infini.

�

Remarque

Vu le terme d’erreur mis en avant dans le theoreme 7.3.1, on peut en fait demontrer le theoremedes nombres premiers en progression arithmetique avec un terme d’erreur :

ψ(x; q, a) =x

φ(q)+O

(x exp(−c1

√log(x))

)Pour passer a cette version « non lissee » du theoreme, on peut utiliser des fonctions η de lissage

particulieres, que nous ne detaillerons pas ici.

108

Huitieme partie

Hypothese de Riemann et ameliorationdu terme d’erreur pour le theoreme

des nombres premiers

109

8.1 Retour sur les termes d’erreur des theoremes precedents

Dans un premier temps, on a demontre dans la partie precedente le theoreme des nombres premiersen donnant :

ψ(x) = x+O(x exp

(−d(log(x))

110

))On a ensuite demontre le theoreme des nombres premiers en progression arithmetique d’une autre

maniere et obtenu le terme d’erreur suivant :

ψ(x; q, a) =x

φ(x)+O

(x exp

(−c1

√log(x)

))Soit en prenant q = 2 et a = 1, on trouve :

ψ(x) = x+O(x exp

(−c1

√log(x)

))La seconde demonstration nous a donne un terme d’erreur plus precis. En effet :

x exp(−c1

√log(x)

)x exp

(−d(log(x))

110

) = exp(√

log(x)(−c1 + d(log(x))−

25

))

Or, limx→+∞

(−c1 + d(log(x))−

25

)= c1 < 0. Donc

limx→+∞

x exp(−c1

√log(x)

)x exp

(−d(log(x))

110

) = 0

Dans deuxieme demonstration, on avait une zone sans zeros de ζ plus eloignee de la droite verticaleσ = 1 que dans la premiere. On voit donc que plus la zone sans zeros utilisee est situee agauche, meilleur est le terme d’erreur.

8.2 Hypothese de Riemann et theoreme des nombres premiers

La conjecture de Riemann, qui dit que tous les zeros non triviaux de ζ sont sur la droite Re(s) = 12

nous fournit alors une zone sans zeros pour ζ bien plus grande que celles utilisees dans les demonstrationsprecedentes et on obtient alors un bon terme d’erreur dans le theoreme des nombres premiers.

C’est ce que nous pouvons constater avec l’equivalence suivante :

Proposition 8.2.1 Les ennonces ci-dessous sont equivalents :

(1) Les zeros nons triviaux ρ de ζ(s) verifient β = 12

(2) Pour tout ε > 0, on a si x ≥ 2

ψ(x) = x+O(x

12

+ε)

110

ou la constante implicite depend de ε.

(3) Pour tout ε > 0, on a si x ≥ 2

π(x) =∫ x

2

1log(t)

dt+O(x

12

+ε)

ou la constante implicite depend de ε.

On note parfois Li(x) =∫ x

21

log(t)dt le logarithme integral. On donne souvent le theoreme desnombres premiers sous la forme π(x) ∼ x

log(x) mais on a aussi ψ(x) ∼ Li(x).

Demonstration

(1) ⇒ (2) On utilise directement la technique du deplacement du contour d’integration comme onl’avait exposee dans l’exemple de la partie 3.6.

Si φ est une fonction de Schwartz, on a :

12iπ

∫(2)−ζ′(s)ζ(s)

φ(s)xsds = x+1

2iπ

∫( 12

+ε)−ζ′(s)ζ(s)

φ(s)xsds

= x+O(x

12

+ε)

(8.1)

Or, si ηδ est un majorant lisse de [0; 1] d’amplitude 1 + δ, on a :

ψ(x) =1

2iπ

∫(2)−ζ′(s)ζ(s)

xs

sds = lim

δ→0

12iπ

∫(2)−ζ′(s)ζ(s)

ηδ(s)xsds

En faisant un passage a la limite on obtient :

ψ(x) = x+O(x

12

+ε)

En realite, on ne peut pas faire un passage a la limite de cette maniere car le O de la formule(8.1) depend de δ... Il faut utiliser d’autres fonctions de lissages que les majorants lisses pour passerde la version lissee a la version non lissee du theoreme des nombres premiers. (cf. remarque a la fin duchapitre precedent)

On montre l’equivalence de (2) et (3) en utilisant une transformation d’Abel, de la meme facon quedans la partie 3.2.2 ou on avait fait le lien entre la fonction ψ et le theoreme des nombres premiers.Montrons par exemple que (2) ⇒ (3).

π(x) =∑p≤x

1 =∑n≤x

Λ(n)log(n)

+O(√x log x

)=

ψ(x)log(x)

− ψ(2)log(2)

+∫ x

2

ψ(t)t(log t)2

dt+O(√x log(x)

)=

x

log x− 2

log(2)+∫ x

2

dt

(log t)2+O

(x

12

+ε

log(x)+∫ x

2

dt

t12−ε(log t)2

)

=∫ x

2

dt

log t+O

(x

12

+ε)

111

Montrons maintenant que (2) ⇒ (1). D’apres (3.1) on a :

−ζ′(s)ζ(s)

= s

∫ ∞1

ψ(x)xs+1

dx

Soit s = σ + it avec 12 + ε < σ < 1.

On a ψ(x) = x+ δ(x) avec δ(x) = O(x

12

+ ε2

)alors :

−ζ′(s)ζ(s)

= s

∫ ∞1

1xsdx+ s

∫ ∞1

δ(x)xs+1

dx

=s

s− 1+ s

∫ ∞1

δ(x)xs+1

dx

La fonction ss−1 est holomorphe sur 1

2 + ε < σ < 1. Soit g(s) =∫∞

1δ(x)xs+1dx.

∣∣∣∣ δ(x)xs+1

∣∣∣∣ ≤ Kx12

+ ε2

xσ+1= Kx−σ+ ε

2− 1

2 ≤ x−1− ε2

Comme on a une majoration de l’integrande par une fonction integrable, g est holomorphe. Ainsi,pour tout ε > 0, − ζ′(s)

ζ(s) est holomorphe sur 12 +ε < σ < 1. Comme ζ n’a pas de pole dans cette region, ζ

ne possede aucun zero sur 12 +ε < σ < 1. On a aussi vu precedemment que ζ ne s’annulait pas sur σ = 1.

ζ n’a donc pas de zero sur 12 < σ ≤ 1. D’apres l’equation fonctionnelle, les zeros non triviaux de ζ

sont symetriques par rapport a σ = 12 . Les seuls zeros triviaux eventuels sont donc sur la droite β = 1

2 .

�

8.3 Hypothese de Riemann generalisee

Il existe une conjecture plus generale que l’hypothese de Riemann presentee ci-dessus, faisantintervenir les zeros des fonctions L de Dirichlet. Cette hypothese de Riemann generalisee est equivalentea un bon terme d’erreur dans le theoreme des nombres premiers en progression arithmetique.

Proposition 8.3.1 (Formulations equivalentes de l’Hypothese de Riemann Generalisee) Lesdeux assertions suivantes sont equivalentes :

(1) Pour tout caractere χ primitif modulo q, les zeros non triviaux ρ de L(χ, s) verifient β = 12 .

(2) Pour tout a tel que (a, q) = 1 on a pour x ≥ 2

ψ(q; q, a) =x

φ(q)+O

(x

12

+ε)

ou la constante implicite depend de ε.

112

Conclusion

Pour conjecturer le theoreme des nombres premiers en 1792, Gauss avait observe, en se fondant surdes donnees numeriques, que la probabilite qu’un nombre n soit premier etait d’environ 1

log(n) . C’est dela qu’il a tire l’estimation bien connue π(n) ∼ n

log(n) . Avec ce memoire, j’ai pu comprendre pourquoi ila fallu attendre un siecle et le developpement de l’analyse complexe pour pouvoir demontrer ce resultat.

J’ai en effet pu decouvrir differentes techniques utiles en theorie analytique des nombres. La tech-nique de la transformation d’Abel revient assez frequement, pour passer d’une serie de Dirichlet aune fonction sommatoire. L’introduction des caracteres de Dirichlet est aussi tres importante, car ilsinterviennent dans les progressions arithmetiques. Enfin, ce sont des theories comme celles de Fourierou Mellin qui permettent de demontrer la formule fondamentale exprimant une fonction sommatoirelissee en fonction de la serie de Dirichlet associee a l’aide d’une integrale dans le plan complexe.

Cette formule est la base des deux demonstations que j’ai donnees des theoremes des nombrespremiers. J’ai d’abord montre le theoreme des nombres premiers etait strictement equivalent a la non-annulation de ζ sur σ = 1 en me servant d’un theoreme du a Wiener et Ikehara. Je me suis ensuiteconcentree sur l’obtention d’un terme d’erreur. Pour cela, je me suis servie des estimations de − ζ′(s)

ζ(s)proposees notamment par Ayoub ou Titchmarsch dans leurs ouvrages datant repectivement de 1963et 1986.

L’approche utilisee dans la demonstration de theoreme des nombres premiers en progressionarithmetique est plus moderne, elle a ete presentee d’une maniere un peu differente par EmmanuelKowalski dans Un cours de theorie analytique des nombres (2004). Elle utilise les proprietes des fonc-tions entieres d’ordre 1, et permet d’obtenir un terme d’erreur meilleur que le precedent.

Enfin ce memoire m’a permis - et c’etait la son objectif initial - de comprendre le lien entre laformulation bien connue de la conjecture de Riemann, en termes de zeros de la fonction ζ et saformulation equivalente qui donne un bon terme d’erreur pour le theoreme des nombres premiers.

113

Un grand merci a Henri Carayol pour toute l’aide qu’il m’a apportee ; pour les references qu’ilm’a fournies, les questions auxquelles il a patiemment repondu, quand bien meme elles etaient

parfois plus analytiques qu’arithmetiques...

Un grand merci a mes parents et mes amis, qui m’ont soutenue et ecoutee parler de chosesplus ou moins incomprehensibles, tout en admirant mes « hieroglyphes » ...

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Bibliographie

[1] Michele Audin, Analyse complexe, 2007

[2] Raymond Ayoub, An introduction to the analytic theory of numbers, 1963

[3] Pierre Colmez, Elements d’analyse et d’algebre

[4] Hubert Delange, Distribution des nombres premiers et fonction ζ(s), 1960

[5] Jean Dieudonne, Calcul infinitesimal

[6] Claude Gasquet, Patrick Witomski, Analyse de Fourier et applications

[7] Emmanuel Kowalski, Un cours de theorie analytique des nombres, 2004

[8] Jean-Pierre Serre, Cours d’arithmetique, 1988

[9] E.C. Titchmarsch, Theory of functions, 1939

[10] E.C. Titchmarsch, The theory of the Riemann zeta-function, 1986

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