p. ribi ere

Magnetostatique.

P. Ribiere

College Stanislas

Annee Scolaire 2017/2018

P. Ribiere (College Stanislas) Magnetostatique. Annee Scolaire 2017/2018 1 / 28

1 Calcul de ~B par la loi de Biot et Savart.

2 Propriete de symetrie et d’invariance de ~B.

3 Theoreme d’Ampere.

4 Le dipole magnetique.

5 Force subie par un conducteur dans un champ magnetique exterieur.


Des charges en mouvement creent, en general, un champ electromagnetique (~E(M, t), ~B(M, t))qui s’etudient a l’aide des equations de Maxwell.

Mais dans le cas ou les charges sont annimes d’un mouvement permanent (donc independant dutemps), elles ne creent qu’un champ magnetique stationnaire et pas de champ electrique :magnetostatique, (dont le nom prete a confusion).


Calcul de ~B par la loi de Biot et Savart.

Bien qu’il soit impossible de mesurer l’action d’un element de longueur d~l(P) de conducteurparcouru par un courant i , Biot et Savart par leur diverses experiences ont conclu qu’un elementde longueur d~l de conducteur parcouru par un courant i creait un champ magnetique

d~B =µ0

4π

id~l ∧ ~uP→M

r2

ou le sens de d~l(P) est determine par le sens de i.

Puis, par linearite des equations de Maxwell,

~Btot =

∫P∈fil

d~B =

∫P∈fil

µ0

4π

id~l ∧ ~uP→M

r2

Sommation vectorielle donc difficile.


Propriete de symetrie et d’invariance de ~B. Proprietes de symetrie (miroir).

Plan


2 Propriete de symetrie et d’invariance de ~B.Proprietes de symetrie (miroir).

Invariance de la distribution de courant, consequence sur ~B.Topographie du champ magnetique.






Definition d’un plan π de symetrie de la distribution de courant.

Soient P et P’ deux points de la distribution de courant, symetrique par rapport au plan.Π est un plan de symetrie de la distribution de courant si et seulement si ~j(P) =~j(P′), pour toutcouple (P,P’) de point de la distribution.

Consequence d’un plan π de symetrie de la distribution de courant.

Soit M un point appartenant au plan de symetrie de la distribution de courant.Le champ magnetique cree en ce point M du plan de symetrie est perpendiculaire au plan desymetrie.Si M ∈ π alors ~B(M) ⊥ π.

Soit M et M’ deux points de l’espace, symetrique par rapport au plan.Le champ magnetique cree au point M’ est l’anti symetrique du champ magnetique en M.Si M′ = symπM alors ~B(M′) = −sym(~B(M))



Definition d’un plan π∗ d’antisymetrie de la distribution de courant.

Definition : Π∗ est un plan d’antisymetrie de la distribution de courant si ~j(P) = −~j(P′) ou P’ estle symetrique de P par le plan d’antisymetrie Π∗.

Consequence d’un plan π∗ d’antisymetrie de la distribution de courant.

Pte 1 : le champ magnetique cree en un point du plan d’antisymetrie appartient au plan desymetrie.

Soit M et M’ deux points de l’espace, symetrique par rapport au plan.Le champ magnetique cree au point M’ est le symetrique du champ magnetique en M.Si M′ = symπM alors ~B(M′) = sym(~B(M))


Propriete de symetrie et d’invariance de ~B. Invariance de la distribution de courant, consequence sur ~B.

Plan








Propriete de symetrie et d’invariance de ~B. Invariance de la distribution de courant, consequence sur ~B.

L’analyse des invariances par translation et rotation est identique a celles du champelectrostatique. Elle est generale et non limite a l’electrostatique.


Propriete de symetrie et d’invariance de ~B. Topographie du champ magnetique.

Plan








Propriete de symetrie et d’invariance de ~B. Topographie du champ magnetique.

Analyse de carte de champ magnetique.Aimant : Du nord vers le sud.


Theoreme d’Ampere. Enonce.

Plan



3 Theoreme d’Ampere.Enonce.Application : calcul pour le fil infini.Application : calcul pour le solenoıde infini.




Theoreme d’Ampere. Enonce.

Definition : Circulation de ~B :∫~B.d~l

Theoreme : La circulation du champ magnetostatique le long d’un contour ferme oriente (C) estegale a l’intensite algebrique des courants enlaces par C multiplie par µ0.∮

C~B.d~l = µ0IC .


Theoreme d’Ampere. Application : calcul pour le fil infini.

Plan







Theoreme d’Ampere. Application : calcul pour le fil infini.

Considerons un fil infini de rayon R parcouru par vecteur densite de courant ~j0 = j0~uz uniforme.Considerons un fil infini de rayon R parcouru par vecteur densite de courant surfacique~j0 s = j0 s~uz uniforme.


Theoreme d’Ampere. Application : calcul pour le solenoıde infini.

Plan







Theoreme d’Ampere. Application : calcul pour le solenoıde infini.

Considerons un fil infini de rayon R parcouru par vecteur densite de courant ~j0 = j0~uz uniforme.Considerons un fil infini de rayon R parcouru par vecteur densite de courant surfacique~j0 s = j0 s~uz uniforme.


Le dipole magnetique. Definition du dipole magnetique.

Plan




4 Le dipole magnetique.Definition du dipole magnetique.Champ magnetostatique cree par le dipole.Actions subies par un dipoles dans le champ exterieur.



Le dipole magnetique. Definition du dipole magnetique.

Un dipole magnetique est un ensemble localise de courant.Considerons une spire de rayon a, parcourue par un courant i.~M = IS~n = Iπa2~n.


Le dipole magnetique. Champ magnetostatique cree par le dipole.

Plan







Le dipole magnetique. Champ magnetostatique cree par le dipole.

~B =µ0[3( ~M.~u)~u − ~M]

4πr3


Le dipole magnetique. Actions subies par un dipoles dans le champ exterieur.

Plan







Le dipole magnetique. Actions subies par un dipoles dans le champ exterieur.

Que fait selon vous un dipole dans le champ magnetique exterieur ? Dans un premier temps, ils’aligne et est attire par les zone de champ important.Energie potentielle d’un dipole rigide dans un champ ~B.EP = − ~M.~BRotation dans un champ uniforme (effet d’ordre ordre 0).EP = −pB0 cos(α).

Min pour α = 0, i.e. quand ~M est aligne sur ~B.Le dipole est soumis a un couple : ~M = ~M ∧ ~B.demonstration δW = ~M.d~α = M.dα et δW = −dEP = pB0 sin(α).Translation dans un champ non uniforme (effet d’ordre 1).~f = − ~gradEP = ~grad( ~M.~B).


Force subie par un conducteur dans un champ magnetique exterieur. Force de Laplace.

Plan





5 Force subie par un conducteur dans un champ magnetique exterieur.Force de Laplace.Effet Hall.


Force subie par un conducteur dans un champ magnetique exterieur. Force de Laplace.

~F = q~v ∧ ~B et ~F = id~l ∧ ~B.


Force subie par un conducteur dans un champ magnetique exterieur. Effet Hall.

Plan







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