de la modélisation de connaissances des élèves aux décisions didactiques des professeurs Étude...
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De la modélisation de connaissances des élèves aux décisions didactiques des
professeursÉtude didactique dans le cas de la symétrie
orthogonale
Iranete LimaIranete Lima
Sous la direction de Nicolas BALACHEFF et Jana Sous la direction de Nicolas BALACHEFF et Jana TRGALOVATRGALOVA
Thèse préparée au sein de L’Équipe Did@TIC, Laboratoire LEIBNIZ –
IMAGFinancée par le gouvernement brésilien –
CNPq
2
Plan de la présentation
1. Problématique et cadre théorique
2. Modélisation de connaissances des élèves
3. Étude de décisions didactiques
4. Expérimentation auprès des élèves
5. Expérimentation auprès des professeurs
6. Conclusion générale et perspectives de
recherche
3
Contexte : Étude des décisions didactiques
1.
Pro
blé
mati
qu
e e
t C
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re
1.
Pro
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mati
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t C
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Th
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e
Projet BAP (Soury-Lavergne éd., 2003)
Problématique EIAH
Apprentissage de la preuve autour de la symétrie orthogonale
Diagnostic de conceptions
Décisions didactiques (Chaachoua & Lima, 2003
; Lima & Trgalova, 2005)
4
Étude de décisions didactiques des professeurs : décisions prises avec une intention d’apprentissage par l’élève de la connaissance visée
Problématique1.
Pro
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1.
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Modélisation de connaissances des élèves concernant la connaissance visée
Choix d’une notion mathématique : symétrie orthogonale
5
Choix des Cadres de Référence qui contiennent des principes méthodologiques et des règles qui permettent de réaliser les modélisations envisagées :
Cadre de référence1.
Pro
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e
Modèle des niveaux du professeur
Modèle cK¢
Balacheff (1995, 2005)
Margolinas (2002, 2005)
6
Modèle cK¢ : formalisation de conceptions
1.
1. P
rob
lém
ati
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Pro
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action
rétroactionS M
contraintes
La conception est l’état d’équilibre d’un système, et plus précisément d’une boucle
action/rétroaction du système [sujet<>milieu].
P est un ensemble de problèmes
R est un ensemble d’opérateurs
L est un système de représentation
est une structure de contrôle
7
Hypothèse de travail (1)
Les contrôles rendent compte des critères
qui renvoient le sujet au choix, à la
décision, à l’adéquation, à la validité d’une
action, à la décision « résolu » pour un
problème (Gaudin, 2005).
1.
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Questions de recherche
Q1 : Comment caractériser l’ensemble des contrôles des conceptions susceptibles d’être mobilisés par l’élève dans la résolution d’un problème relatif à la symétrie orthogonale ?
Q2 : À partir de l’ensemble des contrôles, peut-on accéder aux autres éléments qui caractérisent une conception, notamment les opérateurs et les problèmes ? Si oui, comment ? 1
. P
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Hypothèse de travail (2)
L’apprentissage est considéré comme le passage d’une conception à une autre.
Une conception C est légitimée par une sphère de pratique. Cette légitimité s’impose en fonction du problème que le sujet résout.
1.
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Question de recherche1.
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Q3 : Quels sont les types de problèmes qui favorisent le passage d’une conception Ci à une conception Cj, et comment décrire ces problèmes en termes de variables didactiques ?
Ci
?
P1
Pn
Cj
11
Cadre de référence1.
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e Modèle des niveaux du professeur
Modèle cK¢
Balacheff (1995, 2005)
Margolinas (2002, 2005)
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Modèle des niveaux du professeur
+3 Valeurs et conceptions sur l’enseignement/apprentissage
projet éducatif : valeurs éducatives, conceptions de l’apprentissage et de l’enseignement
+ 2 Construction du thème
construction didactique globale dans laquelle s’inscrit la leçon : notions à étudier et apprentissage à réaliser
+ 1 Projet de leçon
projet didactique spécifique pour la leçon observée : objectifs, planification du travail
0 Situation didactique
réalisation de la leçon, interaction avec les élèves, prise de décisions dans l’action
-1 Observation de l’activité des élèves
perception de l’activité de l’élève, régulation du travail délégué aux élèves
1.
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e Situations sur-didactiques
Situation a-didactique
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Hypothèse de travail (3)
Connaissances susceptibles d’intervenir dans la prise de décisions des professeurs (Comiti, Grenier et Margolinas, 1995) :
niveau + 3 : connaissances sur la notion mathématique et sur l’apprentissage
niveau + 2 : connaissances relatives à la situation d’enseignement/apprentissage
niveau + 1 : connaissances globales sur les connaissances et les difficultés habituelles des élèves
niveau 0 : connaissances qui sont des interprétations et/ou des représentations des élèves, qui vont lui servir dans l’action pour ses prises de décisions immédiates
niveau - 1 : connaissances permettant de distinguer dans le travail de l’élève les erreurs ou les difficultés
1.
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Question de recherche1.
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Q4 : Sur quels éléments les professeurs s’appuient-ils pour prendre leurs décisions didactiques en vue de faire évoluer les conceptions mobilisées par un élève ?
15
Plan de la présentation
1. Problématique et cadre théorique
2. Modélisation de connaissances des élèves
3. Étude de décisions didactiques
4. Expérimentation auprès des élèves
5. Expérimentation auprès des professeurs
6. Conclusion générale et perspectives de recherche
16
2.
M2.
Mod
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sati
on
des
Con
nais
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ces Caractériser a priori l’ensemble des
contrôles des conceptions susceptibles
d’être mises en œuvre par un élève
générique dans la résolution de
problèmes de symétrie orthogonale
Décrire des procédures de résolution
Objectifs
17
L’étude théorique2.
M2.
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ces
Résultats de recherches
Institutionscolaire
Mathématique et
didactique
Symétrie Orthogonale
18
Résultats de recherches
Typologie des procédures (Grenier & Laborde, 1987 ; Grenier, 1988) :
rappels : horizontal, vertical, par prolongement, orthogonal
procédures analytiques, semi-analytiques, globales
Typologie des conceptions (Tahri, 1993) : parallélisme, symétrie centrale, symétrie oblique,
symétrie orthogonale
Théorèmes en acte (Grenier, 1988) : un segment horizontal ne peut se transformer en
un segment vertical
la symétrie matérialise sur la feuille deux demi-plans
2.
M2.
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Cycle 2 : exploitation de l’aspect perceptif de la symétrie (par la vue, par l’utilisation du pliage, calque, miroir…)
Cycle 3 : passage progressif des connaissances perceptives aux connaissances géométriques (utilisation du pliage, calque…; tracé de figures symétriques sur papier quadrillé )
Classe 6e : passer de l’identification perceptive de figures et de configurations à leur caractérisation par des propriétés (construction d’un point, d’un segment, d’un cercle, que l’axe de symétrie coupe ou non la figure)
2.
M2.
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Institution scolaire : Programmes
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Définitions : Deux figures symétriques par rapport à une
droite se superposent par pliage le long d’une droite.
Deux points distincts A et A’ sont symétriques par rapport à une droite d lorsque la droite d coupe le segment [AA’] perpendiculairement en son milieu.
Propriétés : Caractéristiques : l’orthogonalité et l’égalité
des distances Conservation : longueur, mesure des angles,
alignement...
2.
M2.
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Con
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ces
Institution scolaire : manuels
21
Types de problèmes :
reconnaissance de figures symétriques par rapport à une droite d
reconnaissance d’axes de symétrie
construction de figures symétriques par rapport à une droite d (à main levée, sur papier quadrillé, avec des instruments de dessin)
construction d’axes de symétrie (à main levée, sur papier quadrillé, avec des instruments de dessin)
2.
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Con
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Institution scolaire : manuels
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Formalisation de contrôles2.
M2.
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Critères de choix
Distance à
l’axe
Direction
Taille
FormeSens
Position
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Critères et valeurs2.
M2.
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ces Distance
à l’axe : conserv
ée
Direction : horizontale ou celle donnée par le
prolongement d’un segment de F
Taille : conserv
ée
Forme : conserv
éeSens :
inversePosition :
translation suivie d’un
retournement
24
Contrôles2.
M2.
Mod
éli
sati
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des
Con
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ces Distance
à l’axe : conserv
ée
Direction : horizontale ou celle donnée par le
prolongement d’un segment de F
Taille : conserv
ée
Forme : conserv
éeSens :
inversePosition :
translation suivie d’un
retournement
Σdist : Une figure (sous-figure) et sa symétrique sont à la même « distance » de l’axe de symétrie
Σtaille : Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur
Σhor : L’image d’une figure (sous-figure) par une symétrie orthogonale est construite dans une direction horizontale
Σprolong : L’image d’une figure par une symétrie orthogonale est construite dans la direction donnée par le prolongement d’un segment de cette figure
Σforme : Une figure et son image par la symétrie orthogonale ont la même forme
Σtranslation : L’image d’une figure F par la symétrie orthogonale est obtenue par une translation de F dans une direction choisie
Σsens_inverse : Une figure et son symétrique ont leur sens inverse
25
Autres contrôles
Liés à l’utilisation du pliage Σpliage_1 : Une figure et sa symétrique se superposent par pliage le long
de l’axe de symétrie
Liés à l’utilisation du calque Σcalque_3 : Si F’ est obtenue en décalquant F et en retournant le papier
calque, alors F et F’ sont symétriques
Liés à la nature de la figure F Σnature_de_F’ : Le symétrique d’une figure est une figure de même
nature
Liés aux relations entre la figure F et la droite d Σpoint_invariant : Le symétrique d’un point sur l’axe est le point
lui-même
Contrôles de parallélisme Σparallélisme_segment : Un segment et son symétrique
sont parallèles
2.
M2.
Mod
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sati
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Con
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ces
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Résultats de l’étude théorique
Modélisation de contrôles susceptibles d’être mobilisés par l’élève dans la résolution de problèmes de reconnaissance et de construction de figures symétriques.
Répertoire des variables didactiques.
Description en termes de contrôles des procédures susceptibles être mobilisés par l’élève dans la construction de figures symétriques.
Étant donné que les opérateurs sont attestés dans l'action, cette étude ne nous a pas permis de formaliser a priori les opérateurs.
2.
M2.
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Plan de la présentation
1. Problématique et cadre théorique
2. Modélisation de connaissances des élèves
3. Étude de décisions didactiques
4. Expérimentation auprès des élèves
5. Expérimentation auprès des professeurs
6. Conclusion générale et perspectives de recherche
28
Dans le but de favoriser un apprentissage
chez l’élève, le professeur prend des
décisions :
Quelle est la meilleure manière d’aborder un
contenu ?
Quels problèmes choisir ?
À partir d’une réponse de l’élève, quelle est la
manière la plus pertinente de conduire un
processus d’enseignement ?
…
3.
Étu
de
de d
écis
ion
s 3.
Étu
de
de d
écis
ion
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idacti
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did
acti
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es
Quels sont les éléments déterminants dans la prise de décisions didactiques du
professeur ?
29
+ 3 Valeurs et conceptions sur l’enseignement/apprentissage
projet éducatif : valeurs éducatives, conceptions de l’apprentissage et de l’enseignement
+ 2 Construction du thème
construction didactique globale dans laquelle s’inscrit la leçon : notions à étudier et apprentissage à réaliser
+ 1 Projet de leçon
projet didactique spécifique pour la leçon observée : objectifs, planification du travail
0 Situation didactique
réalisation de la leçon, interaction avec les élèves, prise de décisions dans l’action
- 1 Observation de l’activité des élèves
perception de l’activité de l’élève, régulation du travail délégué aux élèves
Modèle des niveaux du professeur
Niveaux sur-didactiques
Projet didactique local
3.
3. Étude
Étude
de d
écis
ion
s d
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écis
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Situation du professeur participant à notre recherche
3.
3. Étude
Étude
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écis
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idacti
qu
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did
acti
qu
es
Projet didactique local
ProfesseurSituation S
+1
Projet éducatif : valeurs éducatives, conceptions de
l’enseignement et de l’apprentissage (+3)
Projet global : notions à étudier et apprentissage à
réaliser (+2)
Production de l’élève
Observé de la situation S-1
31
Plan de la présentation
1. Problématique et cadre théorique
2. Modélisation de connaissances des élèves
3. Étude de décisions didactiques
4. Expérimentation auprès des élèves
5. Expérimentation auprès des professeurs
6. Conclusion générale et perspectives de recherche
32
Expérimentation auprès des élèves
Objectifs : recueillir des productions d’élèves afin de pouvoir
identifier les types de réponses et de procédures
concevoir des copies pour l’expérimentation menée auprès des professeurs dans le but d’étudier leurs prises de décisions didactiques
Le public :
51 élèves de deux classes de quatrième (13-14 ans d’âge) d’un collège à Grenoble
Données recueillies :
copies4.
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Expérimentation auprès des élèves : quelques résultats
Certains élèves ont donné des réponses et ont utilisé des procédures de construction convergentes sur la totalité des problèmes.
D’autres élèves ont donné des réponses et ont utilisé des procédures de construction différentes d’un problème à l’autre.
D’autres encore ont donné aussi bien des réponses correctes qu’erronées. Cependant, il y a une certaine cohérence dans ces réponses en termes de contrôles mobilisés. 4.
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« Anissa » : copie fictive avec réponses et procédures présentant une certaine convergence
« Béatrice » : copie vraie comportant des réponses assez variées
« Cédric » : copie fictive avec réponses et procédures tantôt correctes tantôt erronées, présentant toutefois une convergence dans les contrôles mobilisés
Construction théorique de copies4.
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Copie Béatrice
Problème-flèche
Σprolong : L’image d’une figure par une symétrie orthogonale est construite dans la direction donnée par le prolongement d’un segment de cette figure.Σdist : Une figure (sous-figure) et sa symétrique sont à la même « distance » de l’axe de symétrie.Σrotation : L’image d’une figure par la symétrie orthogonale est obtenue par une rotation de F autour d’un point et d’un angle choisis. Ou Σrotation + Σsens_inverse : une figure et son symétrique ont leur sens inverse.Σparallélisme_segment : Un segment et son symétrique sont parallèles.
4.
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Problème segment-losange
Copie Béatrice
Σprolong ; Σdist ; Σrotation Σtranslation : L’image d’une figure F par la symétrie orthogonale est obtenue par une translation de F dans une direction choisie + Σsens_inverse ; Σparallélisme_segmentΣdemi_plan : Le symétrique de F est situé de l’autre côté de l’axe de symétrie. Σpoint_invariant : Le symétrique d’un point sur l’axe est le point lui-même.
4.
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Problème-segment
Copie Béatrice
RB1 : Construire une droite perpendiculaire à la droite d passant par un point.RB2 : Construire le symétrique d’un point en conservant la distance à l’axe dans la direction orthogonale à celui-ci.RB3 : Construire le symétrique d’un segment comme le segment reliant les symétriques des extrémités du segment objet.
Σortho : La figure (sous-figure) symétrique d’une figure (sous-figure) par la symétrie orthogonale est construite dans la direction orthogonale à d ; Σdist Σsegment : Si les extrémités d’un segment sont les symétriques des extrémités d’un autre segment par rapport à une droite d, alors ces deux segments sont symétriques par rapport à d.
4.
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Problème-maison
RB1 : Construire une droite perpendiculaire à la droite d passant par un point.RB2 : Construire le symétrique d’un point en conservant la distance à l’axe dans la direction orthogonale à celui-ci .RB4 : À partir d’un point construit, tracer la figure image (F’) tout en conservant la taille et la forme de la figure initiale (F), et en inversant l’orientation des angles.
Copie Béatrice
Σortho ; Σdist ; Σtaille_1 : Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur. Σforme : Une figure et son image par la symétrie orthogonale ont la même forme (en particulier, le symétrique d’un segment est un segment).Σposition_autre : l’image de la figure est construite en fonction d’une direction précédemment définie ; Σsens_inverse
4.
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Problèmes de reconnaissance : contrôle lié à la direction donnée par le prolongement d’un
segment ;
Problème de construction du segment : procédure analytique contrôle lié à la propriété d’orthogonalité et distance.
Problème de construction de la maison : procédure semi-analytique contrôles taille, forme, sens inverse
Système de représentation : changement de registre passant du géométrique au spatio-graphique et vice-versa
Copie Béatrice : conclusions
S’agit-il de conception(s) ? Si oui, s’agit-il de l’évolution d’une conception vers une autre, ou bien de la cohabitation de plusieurs conceptions
chez Béatrice ?
4.
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40
Plan de la présentation
1. Problématique et cadre théorique
2. Modélisation de connaissances des élèves
3. Étude de décisions didactiques
4. Expérimentation auprès des élèves
5. Expérimentation auprès des professeurs
6. Conclusion générale et perspectives de recherche
41
Dispositif expérimental
Objectifs :
Dégager les éléments identifiés par les
professeurs dans l'activité de l’élève, et la
façon dont ces éléments sont pris en compte
dans leurs décisions didactiques
Dégager les éléments des projets globaux
d'enseignement (niveau +2) et des projets
éducatifs (niveau +3) qui influencent les
décisions des professeurs5.
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42
Dispositif expérimental
Public
10 professeurs expérimentés dans l'enseignement secondaire ou primaire
Dossier fourni aux professeurs fiche de l'enseignant copies Anissa, Béatrice et Cédric questionnaire série de 18 problèmes
Données recueillies questionnaires entretiens (2 professeurs)5.
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Questionnaire5.
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1) Pourriez-vous décrire ce qu’est la symétrie axiale pour cet élève (propriétés attribuées à cette notion par l’élève, types d’erreurs, moyens de contrôle …) ?
2) Quelle séquence d’apprentissage proposez-vous pour cet élève ? Justifiez tous les choix faits dans cette séquence :
a) éléments pris en compte
b) raisons du choix des problèmes et conditions d’utilisation de ces problèmes
c) autres remarques
44
Méthodologie d’analyse des productions des professeurs
5.
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5.
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Σpliage_1 : Une figure et sa symétrique se
superposent par pliage
Σ ortho : La figure (sous-figure) symétrique d’une figure (sous-figure) par la symétrie orthogonale est construite dans la direction orthogonale à d Σ dist : Une figure (sous-figure) et sa symétrique sont à la même « distance » de l’axe de symétrie
Σdemi_plan : Le symétrique de F est situé de
l’autre côté de l’axe de symétrie
45
Copie Béatrice Prise d’information par les
professeurs
5.
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Contrôles Prof_1 Prof_2 Prof_3 Prof_4 Prof_5
Σdist non
stable
Σorthonon
stablenon
stablenon
stable
Σtaille_1
Σforme
Σdemi_plan
Σpliage_1
Σdist_point /point
La structure de contrôle des conceptions initiales contiendrait :
46
Copie BéatriceProjets didactiques des 5
professeurs
5.
5. E
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rs Contrôles Prof_1 Prof_2 Prof_3 Prof_4 Prof_5
Σpliage_2
Σortho
Σdist
Σsens_inverse
Σpoint_invariant
La structure de contrôle de la conception visée contiendrait :
47
Copie Béatrice : Conclusions5.
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5.
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Les connaissances qui semblent avoir influencé les décisions des professeurs :
connaissances des programmes scolaires : symétrie et pliage
connaissances relevant de l’expérience de l’enseignement et connaissances du fonctionnement des élèves :
aspect visuel de la symétrie (Prof_1 et Prof_5)
efficacité du travail à l’oral (Prof_5)
les situations de guidage fonctionnent dans certains cas (Prof_4)
48
5.
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connaissances mathématiques de la symétrie : propriétés d’orthogonalité et d’égalité des distances
propriété d’invariance des points sur l’axe (Prof_2)
relation symétrie/pliage (Prof_3)
conceptions de l’enseignement/apprentissage : on apprend à partir de ce qu’on sait déjà ; amener l’élève à
dégager de nouvelles connaissances qui se substitueront aux anciennes (Prof_1 et Prof_2)
mobilisation de connaissances nouvelles pour déstabiliser des connaissances erronées (Prof_4)
l’élève apprend à partir des exercices progressifs (Prof_4 et Prof_5)
formulation favorisant l’apprentissage (tous les Profs) importance du réinvestissement des connaissances
(tous les Profs)
Copie Béatrice : Conclusions
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Plan de la présentation
1. Problématique et cadre théorique
2. Modélisation de connaissances des élèves
3. Étude de décisions didactiques
4. Caractérisation des conceptions
5. Expérimentation auprès des professeurs
6. Conclusion générale et perspectives de
recherche
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Conclusion générale
Questions Q1 et Q2 concernant la caractérisation des contrôles et l’accès aux autres éléments des conceptions :
L’étude a priori nous a permis d’identifier les contrôles susceptibles d’être mobilisés par un élève générique dans la résolution des problèmes de reconnaissance et de construction de figures symétriques.
L’étude des copies nous a permis de dégager chez ces élèves les , les R et L des conceptions mobilisées dans la résolution des problèmes P proposés.
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Conclusion générale
Questions Q1 et Q2 concernant la caractérisation des contrôles et l’accès aux autres éléments des conceptions :
Dans certains cas où les réponses de l’élève paraissaient confuses, voire contradictoires, grâce à l’analyse en termes de contrôles nous avons pu reconstituer un raisonnement cohérent chez l’élève dans la résolution des problèmes. Nous pensons avoir ainsi mis en évidence l’intérêt didactique d’étudier l’activité de l’élève en termes de structures de contrôle.
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Conclusion générale
Question Q3 : quels sont les types de problèmes qui favorisent le passage d’une conception Ci à une conception Cj, et comment décrire ces problèmes en termes de variables didactiques ?
Les conceptions Ci et Cj identifiées par ces professeurs chez les élèves ne sont pas les mêmes.
Nous n’avons pas eu les moyens de faire une analyse comparative en termes de problèmes utilisés par les professeurs pour favoriser le passage de Ci à Cj.
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Conclusion générale
Question Q4 : sur quels éléments les professeurs s’appuient-ils pour prendre leurs décisions didactiques en vue de faire évoluer les conceptions mobilisées par un élève ?
Les connaissances des programmes scolaires, du fonctionnement des élèves, et notamment leurs connaissances mathématiques de la symétrie et leurs conceptions de l’enseignement/apprentissage.
Les connaissances de la symétrie orthogonale intervenant le plus dans les décisions des professeurs sont liés au pliage et aux propriétés d’orthogonalité et d’égalité des distances.
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Perspectives de recherche
Modélisation de connaissances : A partir des contrôles, des opérateurs et des
systèmes de représentation utilisés par un sujet dans la résolution de problèmes, comment identifier si une ou plusieurs conceptions sont présentes chez ce sujet ?
Modélisation de décisions didactiques : Quels sont les types de problèmes qui
favorisent le passage d’une conception initiale Ci à une conception cible Cj, Ci et Cj étant connues, et comment décrire ces problèmes en termes de variables didactiques ?6.
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Merci beaucoup !!!
Muito obrigada !!!