Chapitre8–Transformationsduplan1

1. Lasymétrieorthogonale

a) Pliage

Àpartird’unefeuilleA5:

- Plielafeuilleendeuxhorizontalement- Plieensuitelafeuilleendeuxverticalement

- Enayantlesplispositionnésàgaucheetenhaut,dessineunFengras( )- DécoupeceFàtraversles4épaisseursdetafeuillepuisdéplie-la.

CompareentreeuxlesdifférentsFreprésentéssurtafeuille.Quellessontlesdifférences,lesressemblances?

Colleci-dessoustondécoupage:

Pourcommencer,nousallonsnousintéresseraupassagedeF1àF2.

Chapitre8–Transformationsduplan2

b) Avecquadrillage

Danslequadrillageci-dessous,unGesttracé.Laligneindiqueunpli.Sanseffectuerlepliage,dessinel’emplacementdunouveauGobtenu(commepourleFn°2denotresituationinitiale).

Expliqueci-dessouscommenttuasprocédé,ceàquoituasétéattentifpuiscompareavectonvoisin:

Chapitre8–Transformationsduplan3

c) Sansquadrillage

OùsetrouveraletriangleABCci-dessoussionplielafeuillesurladroitedindiquée?Tracecetteimage.

Aquoidoit-onêtreattentif?

Vocabulaire

Lestroistransformationsduplanquenousvoyonscetteannées’appellentdesisométries(quisignifie«mêmemesure»)parcequ’ellesconserventleslongueurs(lesobjetsontlamêmetaille).

Lafiguredebaseestappeléefigureinitialetandisquelafigureobtenueaprèsisométrieestappeléeimage.

L’imagedupointAsenotegénéralementA’(celaselit«Aprime»).

Unetraceestunsegment(généralementenpointillé)quirelieunpointàsonimage.

Chapitre8–Transformationsduplan4

d) Synthèse

Symétrieorthogonale

Notation: 𝑺𝒅 𝑨 = 𝑨!quiselit«Aprimeestl’imagedeAparlasymétrieorthogonaled’axed».

Verbed’action:Seretourner

Élémentcaractéristique:unaxedesymétrie(unedroite).

Définition:C’estuneisométrieoùchaquepointdelafigureestenvoyéperpendiculairementde

l’autrecôtédel’axeetàlamêmedistancedecelui-ci

Filmdeconstruction:

Constructiondel’imagedupointAparsymétrieorthogonaled’axed.

1. Ontraceuneperpendiculaireàl’axedpassantparlepointA

2. Pourreporterladistance,onmarquel’intersectionentrel’axedetlaperpendiculaireparlepointO.Ontraceunarcderayon[AO]del’autrecôtédel’axed.

3. L’intersectionentrelaperpendiculaireetl’arcdecercleestl’imagedupointAparsymétrieorthogonaled’axed.OnappellecepointA’.

Remarque:ladistancepeutégalementêtrereportéeàl’équerreouàlalatte.

Chapitre8–Transformationsduplan5

Exercice1

Tracel’imagedesfiguresci-dessousparlasymétrieorthogonaledemandée:

a) 𝑺𝒇 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′

b) 𝑺𝒌 𝑨𝑫𝑩𝑪 = 𝑨!𝑫′𝑩′𝑪′

Chapitre8–Transformationsduplan6

c) 𝑺𝑫𝑬 𝑨𝑩𝑪 = 𝑨!𝑩′𝑪′

d) 𝑺𝒇 𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′

Chapitre8–Transformationsduplan7

e) 𝑺𝑭𝑮 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′

f) 𝑺𝑨𝑫 𝑨𝑩𝑫𝑪 = 𝑨!𝑫′𝑩′𝑪′ABCestuntriangleisocèleenA

Chapitre8–Transformationsduplan8

2. Lasymétriecentrale

a) PliagePourrappel,voiciundessindenotrepliage–découpageinitial:

Nousallonsnousintéresseraumouvementquipermet,enuneseuleétape,depasserduFn°1auFn°3.

Observecemouvementetnotetespremièresobservations:

Chapitre8–Transformationsduplan9

b) AvecquadrillageDanslequadrillageci-dessous,unGesttracé.Les2lignesindiquentdesplis.Sanseffectuerlespliages,dessinel’emplacementduGobtenuaprèssuccessiondecesdeuxpliages(commeleFn°3delapageprécédente).

Expliqueci-dessouscommenttuasprocédé,ceàquoituasétéattentifpuiscompareavectonvoisin:

Miseencommun:

Chapitre8–Transformationsduplan10

c) Sansquadrillage

OùsetrouveraletriangleABCs’iltourned’undemi-tourautourdupointRdonné?Tracecetteimage.

Aquoidoit-onêtreattentif?

Chapitre8–Transformationsduplan11

d) SynthèseSymétriecentrale

Notation: 𝑺! 𝑨 = 𝑨!quiselit«Aprimeestl’imagedeAparlasymétriecentraledecentreR».

Verbed’action:Tourner(oupivoter)d’undemi-tour(oude180°)

Élémentcaractéristique:uncentre(unpoint).

Définition:C’estuneisométrieoùchaquepointdelafigureestenvoyédel’autrecôtéducentreàla

mêmedistanceducentre.

Filmdeconstruction:

Constructiondel’imagedupointAparsymétriecentraledecentreO.

1. Ontraceunedemi-droite[AO

2. Ontraceunarcdecerclederayon[OA]

3. L’intersectionentrel’arcdecercleetlademi-droiteestl’imagedeAparsymétriecentraledecentreO.OnappellecepointA’.

Remarques:

Ladistancepeutégalementêtrereportéeàl’équerreouàlalatte.

Pourdifférencierunesymétriecentraled’unesymétrieorthogonaledanslanotation,ilfautregarder

cequisetrouveenindicedu«S»:

- Unelettremajuscule=unpoint=symétriecentrale.

- 2lettresmajusculesouunelettreminuscule=unedroite=symétrieorthogonale

Exemples:𝑺! estunesymétrie;𝑺! estunesymétrie

𝑺!"estunesymétrie

Chapitre8–Transformationsduplan12

Exercice2

Tracel’imagedesfiguresci-dessousparlasymétriecentraledemandée:

a) 𝑺𝑫 𝑨𝑩𝑪 = 𝑨!𝑩′𝑪′

b) 𝑺𝑭 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′

Chapitre8–Transformationsduplan13

c) 𝑺𝑰 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′𝑭′𝑮′𝑯′

d) 𝑺𝑿 𝑨𝑩𝑪 = 𝑨!𝑩′𝑪′

Chapitre8–Transformationsduplan14

e) 𝑺𝑽 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′𝑭′𝑮′𝑯′

f) 𝑺𝑪 𝑨𝑩𝑫𝑪 = 𝑨!𝑩′𝑫′𝑪′

Chapitre8–Transformationsduplan15

3. Latranslation

a) Pliage

Àpartird’unefeuilleA5

- Plielafeuilleendeuxhorizontalement- Replieensuitelafeuilleendeuxhorizontalement

- Surunedesfaces,dessineunFengras( )- DécoupeceFàtraversles4épaisseursdetafeuillepuisdéplie-la.

Colleicitondécoupage:

NousallonsmaintenantnousintéresseraupassagedeF1àF3.

Chapitre8–Transformationsduplan16

b) Avecquadrillage

Danslequadrillageci-dessous,unGesttracé.Leslignesindiquentdesplis.Sanseffectuerlepliage,dessinel’emplacementdunouveauGn°3obtenu(voirpageprécédente)

Expliqueci-dessouscommenttuasprocédé,ceàquoituasétéattentifpuiscompareavectonvoisin:

Etoùsetrouveralaformeci-dessoussielleeffectueunglissementselonlevecteurdonné?

Chapitre8–Transformationsduplan17

c) Sansquadrillage

OùsetrouveraletriangleABCs’ilglisseselonlesinformationsdonnéesparlevecteurci-dessous?

Aquoidoit-onêtreattentif?

Chapitre8–Transformationsduplan18

d) Synthèse

Translation

Notation: 𝑇!" 𝐻 = 𝐻!quiselit«Hprimeestl’imagedeHparlatranslationdevecteur𝐴𝐵».

Verbed’action:Glisser

Élémentcaractéristique:unvecteur(flèche).

Définition:C’estuneisométrieoùchaquepointdelafigureglissedanslamêmedirection,dansle

mêmesensetaveclamêmelongueurquelevecteur.

Filmdeconstruction:

Constructiondel’imagedupointApartranslationdevecteur𝑣.

1. OntraceuneparallèleauvecteurpassantparlepointA

2. Ontraceunarcdecercledanslemêmesens,mêmedirectionetdemêmerayonquelalongueurduvecteur.

3. L’intersectionentrelaparallèleetl’arcdecercleestl’imagedupointApartranslationdevecteur𝑣.OnappellecepointA’

Remarque:Ladistancepeutégalementêtrereportéeàl’équerreouàlalatte.

Chapitre8–Transformationsduplan19

Exercice3

Tracel’imagedesfiguresci-dessousparlatranslationdevecteurdemandée.

a) 𝑻𝒖 𝑨𝑩𝑪 = 𝑨!𝑩′𝑪′

b) 𝑻! 𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′

Chapitre8–Transformationsduplan20

c) 𝑻𝑨𝑩 𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′

d) 𝑻𝒖 𝑨𝑩𝑪 = 𝑨!𝑩′𝑪′

Chapitre8–Transformationsduplan21

Exercice4

Tracel’imagedechaquefigureparlatransformationduplandemandée:

a) SC

b) 𝑇!"

c) Sa

Exercice5

Tracel’imagedechaquefigureparlasymétrieorthogonaled’axeddonné.

Chapitre8–Transformationsduplan22

Exercice6

Enrespectantlesconsignessuivantes,tuparviendrasàreconstituerunobjetvolantbienidentifié:

Tracel’imagedelafiguren°1parlasymétriecentraledecentreA.

Tracel’imagedelafiguren°2parlasymétrieorthogonaled’axeb.

Tracel’imagedelafiguren°3parlasymétrieorthogonaled’axea.

Tracel’imagedelafiguren°4parlatranslationdevecteurBC.

Chapitre8–Transformationsduplan23

4. Retrouverl’élémentcaractéristique

a) DécouverteExercice7

Voicilaconstructiondel’imageduquadrilatèreABCDpartranslationdevecteur𝑣.Déterminel’objetd’origineàpartirdupointBquel’onconnaitdéjà.

Exercice8

VoicilelosangeA’B’C’D’imagedulosangeABCDparsymétrieorthogonaled’axed.Tracel’axedàl’aidedesinformationsmiseàtadispositionsurleschémaetterminelelosangeABCD

Chapitre8–Transformationsduplan24

Exercice9

Voicilecerf-volantA’B’C’D’imageducerf-volantABCDparsymétriecentrale.Ápartirdesinformationsmiseàtadispositionsurleschéma,déterminelecentredesymétrieettracel’objetd’origine.

b) SynthèsePourretrouverl’élémentcaractéristique:

a) D’unetranslation:

Levecteurestuneflèchequirelieunpointetsonimage.

b) D’unesymétriecentrale:

Lecentreestlemilieudechaquetrace(rappel:unetraceestunsegmentquirelieunpointà

sonimage).

Lecentreestaussilepointd’intersectiondetouteslestraces.

c) D’unesymétrieorthogonale:

L’axeestladroitequipasseparperpendiculairementparlemilieud’unetrace(rappel:cette

droites’appellelamédiatricedusegment).

L’axeestégalementladroitequipasseparlesmilieuxdetouteslestraces.

Chapitre8–Transformationsduplan25

Exercice10 (Extraitdel’examendejuinde2017)

Observelaplanched'isométriesci-dessousetrépondsauxquestionssuivantes:

a) Quelestlenomdelatransformationduplanquipermetdepasserdelafigure1àlafigure2?Retrouvesonélémentcaractéristiqueettrace-lesurledessin.

b) Quelestlenomdelatransformationduplanquipermetdepasserdelafigure1àlafigure3?Retrouvesonélémentcaractéristiqueettrace-lesurledessin.

c) Quelestlenomdelatransformationduplanquipermetdepasserdelafigure1àlafigure4?Retrouvesonélémentcaractéristiqueettrace-lesurledessin.

Chapitre8–Transformationsduplan26

5. Frisesetpavages

a) FriseUnefriseestunmotifquiserépète(généralementhorizontalement)partranslation.L’imagedebasequisertàcréertoutelafrise(partranslation)estappelélemotifminimaldecettefrise.

Quelquesexemplesenarchitecture:

Source:https://fr.wikipedia.org/wiki/Goutte_(architecture)

RoyalAlcazardeSéville(Espagne):

Source:inconnue(retrouvédansunepréparationd’unstagiaire)

Exercice11

Danschaquefriseci-dessus,encadrelemotifminimaletrepère,outrelatranslation,lesautrestransformationsduplanillustrées.

Chapitre8–Transformationsduplan27

b) PavageUnpavageestunereproductiond’unefigurequipermetderecouvrirl’ensembleduplan(unefeuilledepapierparexemple)sanstrouetsanssuperposition.

Voiciunexempledepavagehexagonal:

LemathématicienSuisseEscherestconnupoursespavages:

Chapitre8–Transformationsduplan28

Exercice12

Pourchacundesdeuxpavagesci-dessous:

a) Tracel’élémentcaractéristiquedelatransformationduplanquienvoielafigurenoiresurlafiguregrise.

b) Colorieentroisautrecouleurstroisfiguresdecepavageetleurimageparlatransformationduplandonttuastrouvél’élémentcaractéristiqueena).

Chapitre8–Transformationsduplan29

Modèlep.15

Chapitre8–Transformationsduplan30