date : lundi 21 juin 2010 uv : mq22 semestre : automne

UTBM_P2010_Final MQ22

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Date : Lundi 21 Juin 2010

UV : MQ22 Semestre : AUTOMNE PRINTEMPS EXAMEN : MEDIAN FINAL NOM : Prénom : Né(e) le : DEPARTEMENT : NIVEAU : FILIERE :

Le sujet est composé de 3 exercices totalement indépendants.

Grande Bretagne : Stade de Wembley

Signature : Feuille A4 manuscrite Calculatrice autorisée


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On considère le treillis plan isostatique représenté ci-dessous. On note E le module d’Young du matériau des barres. Les barres 1, 5 et 7 ont pour section 2S, les barres 2, 3, 4 et 6 ont pour section S. Les liaisons avec le bâtiment sont :

- une articulation en A, - un appui simple en B.

Le chargement est représenté par une charge F appliquée au nœud E. Hypothèses retenues :

- les articulations sont sans frottement, - le poids propre des barres est négligeable devant le chargement

appliqué, - on note Ni les efforts normaux dans les barres avec : Ni > 0 (traction) Ni < 0 (compression)

On se propose de déterminer le déplacement vertical du nœud C par le théorème de Castigliano. Il convient alors d’appliquer au nœud C une charge fictive P dans la direction du déplacement recherché.

A

0,8 m

B

C

1

D

E

F

2 4 5

6

7

3

0,6 m 1,5 m

α

β

Exercice n°1


- 3 -

1- Calculer les actions de liaison avec le bâtiment en A et en B. On notera : { } { } { } { }0;0;

rrrrryYxXtreillisBâtimentetxXtreillisBâtiment AAABB +=→=→

Ecrire les trois équations d’équilibre du treillis. On écrira l’équation de moment au point A.

XA =

XB =

YA =

A

0,8 m

B

C

1

D

E

F

2 4 5

6

7

3

0,6 m 1,5 m

P

xr

yr

zr


- 4 -

2- Représenter les actions des barres sur les nœuds et écrire les équations d’équilibre des nœuds. On ne remplacera pas XA, YA et XB par leur valeur trouvée à la question précédente.

21 - Nœud E : Exprimer N6 et N7

=βtan

=βsin

=βcos

(voir page 2)

22 - Nœud C : Exprimer N3 et N5

21- Nœud B : Exprimer N1 et N2

22- Nœud A : Exprimer N4

=αtan

=αsin

=αcos

(voir page 2)

N3 = N5 =

β

N6 =

N7 =

α

N4 =

N1 = N2 =


- 5 -

25 – Calculer les efforts Ni dans les barres en fonction de F et de P

N1 =

+− FP2

7

4

3 N2 =0 N3 = F8

15 N4 = ( )FP +4

5

N5 = P− N6 = F8

15 N7 = F8

17−

3- Energie de déformation élastique U du treillis.

Exprimer U en fonction des efforts dans les barres Ni(F, P), sans les remplacer par leur valeur.

=ES

U4

1

4- Calcul du déplacement vertical vC du noeud C par le théorème de Castigliano

Expression :

vC =


- 6 -

5- Calcul du coefficient de sécurité du treillis 51- Calculer la contrainte équivalente maximale σéqui. maxi

On utilisera le critère de TRESCA Rappeler l’expression des efforts dans les barres en fonction de F

N1 = F

N2 = F

N3 = F

N4 = F

N5 = F

N6 = F

N7 = F

52- En déduire l’expression du coefficient de sécurité ne du treillis On note : σe la limite élastique du matériau

ne =

σéqui. maxi =

ES

Fvc =


- 7 -

6- Application numérique Les barres de section S sont des tubes ronds de diamètre extérieur De et d’épaisseur e. On donne : F = 30 kN, E = 73 GPa, σe = 240 MPa, De = 80 mm et e = 2 mm.

61- Calculer l’aire S de la section droite de ces tubes

62- Calculer le déplacement vc du point C

63- Calculer la contrainte équivalente maximale σéqui. maxi

64- Calculer le coefficient de sécurité ne

ne =

vc = mm

S = mm2

σéqui. maxi = MPa


- 8 -

Une poutre droite de longueur 2L est parfaitement encastrée avec un bâti fixe en A. Elle supporte un charge concentrée F en son milieu B. Un appui simple est installé à son extrémité C. Une erreur dans la mise en place de celui-ci conduit à un défaut d’alignement δ0 par rapport à la liaison encastrement. On ne retient pour les calculs que le seul moment fléchissant Mz. La poutre a un module de rigidité à la flexion EIGZ constant qui sera noté EI.

A B C

F

δ0

L L

(dessin sans échelle)

Exercice n°2


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1- Déterminer le degré d’hyperstaticité du problème. Nous faisons l’hypothèse que l’intensité de l’effort F est suffisante pour que l’extrémité C de la poutre déformée vienne en contact avec l’appui simple.

11- Compléter le schéma de la poutre, traduisant son équilibre

{ } { } { } { }0;;rrrrrr

yYPoutreBâtietzMyYxXPoutreBâti CCAAAA =→+=→

12- Ecrire les trois équations d’équilibre de la poutre

= 0

= 0

= 0

13- On décide de garder MA comme inconnue hyperstatique

Exprimer les composantes YA et YC en fonction de MA et de F

YA =

YC =

A B C

L L

xr

yr

zr


- 10 -

2- Déterminer l’expression du moment de flexion MZ dans la poutre 21- Déterminer, en fonction de MA, F, x et L l’expression du moment de

flexion MZ1 en G1 (centre de la section droite du profilé de la poutre entre A et B) ( )LxXxAG ≤≤= 01

r

22- Déterminer, en fonction de MA, F, x et L l’expression du moment de

flexion MZ2 en G2 (centre de la section droite du profilé de la poutre entre B et C) ( )LxLXxAG 22 ≤≤=

r. On isole le tronçon G2C.

A G1

x

Xr

Yr

N1

T1 MZ1

MZ2 =

MZ1 =

G2 C

2L

N2

T2 MZ2

x


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3- Equation de la déformée y(x) de la ligne moyenne de la poutre (ABC) On choisit ( )[ ]yxA

rr,; comme repère de calcul

31- Equation de la déformée y1(x) de la ligne moyenne entre A et B On notera C1 et C2 les deux constantes d’intégration

=

=

=

=

1

1'

1"

11"

yEI

yEI

yEI

MyEI z

32- Equation de la déformée y2(x) de la ligne moyenne entre B et C On notera C3 et C4 les deux constantes d’intégration

=

=

=

=

2

2'

2"

22"

yEI

yEI

yEI

MyEI z

A B C

L L

xr

yr


- 12 -

33- Calcul des quatre constantes d’intégration C1, C2, C3, C4 et du moment MA a) Conditions aux limites Exprimer les 5 conditions aux limites que doit satisfaire la déformée de la ligne moyenne de la poutre Au point A :

o pente (CL 1) :

o flèche (CL 2) : Au point B :

o pente (CL 3) :

o flèche (CL 4) : Au point C :

o flèche (CL 5) : b) Expression des quatre constantes et du moment MA Expliciter les conditions aux limites et en déduire

o (CL 1) : en déduire C1

o (CL 2) : en déduire C2

C2 =

C1 =


- 13 -

o (CL 3) :

o (CL 4) : (équation E3)

o (CL 5) : (équation E4)

o Remplacer, dans l’équation E3, MA par son expression issue de (CL3)

= 0

= 0

MA =

= 0


- 14 -

o Résoudre le système des deux équations E4 et E3 : en déduire l’expression des deux constantes C3 et C4

o En déduire l’expression de MA

4- Application numérique Le profilé est un tube rectangulaire en aluminium de hauteur h, de largeur b et d’épaisseur e (voir figure page 16). On donne : L = 2 m, h = 150 mm, b = 50 mm, e = 4 mm, I = 404 cm4 E = 73 GPa, F = 5 kN et δ0 = 15 mm Calculer les composantes des actions de liaison en A et en C

MA = N.m

+=2

0

24

3

L

EIFLM A

δ

−=22

1 2

04

FLEIC δ

+−=2

341 3

03

FLEI

LC δ


- 15 -

5- Etude des contraintes 51- Tracer le diagramme du moment de flexion MZ

52- En déduire la section la plus sollicitée de la poutre

YC = N

YA = N

( )mx 0

( )mNM Z .

2 4

3000

5000−

Section de centre :


- 16 -

53- Donner l’expression de la contrainte normale maximale σmax. Indiquer sur la figure ci-dessous le ou les points qui supportent σmax.

σmax =

6- Application numérique. On donne : L = 2 m, h = 150 mm, b = 50 mm, e = 4 mm, I = 404 cm4 E = 73 GPa, F = 5 kN, δ0 = 15 mm et σe = 240 MPa

61- Calculer la contrainte maximale σmax.

62- Calculer le coefficient de sécurité ne de la poutre

σmax = MPa mm

ne =

b

Yr

Zr h

e


- 17 -

Une entreprise fabrique des tubes ronds en aluminium, de rayon extérieur re = a et de rayon intérieur ri = b, par filage à chaud (figure 1). Une fabrication défectueuse conduit à une excentricité e du cylindre intérieur par rapport au cylindre extérieur. L’épaisseur du tube qui n’est plus constante

s’exprime sous la forme

+=2

sin102θ

tt (figure 2)

a : rayon extérieur b : rayon intérieur r1 : rayon de la ligne moyenne t1 : épaisseur constante

a : rayon extérieur b : rayon intérieur e : excentricité r2 : rayon de la ligne moyenne t2 : épaisseur variable t0 : épaisseur mini

On se propose d’étudier l’influence du défaut de fabrication sur les contraintes et les déformations dans chacun des deux tubes. On utilisera la théorie approchée des tubes minces. Les tubes T1 et T2 de longueur AB = L sont sollicités à chacune de leurs extrémités A et B par deux couples C égaux et opposés.

t2

t0

2t0

r2

Figure 2 Tube T2

extC

2e

2e

Figure 1 Tube T1

extCC ≡int

b

a r1

θ

intC

t1

Exercice n°3

L

C

C


- 18 -

1- Déterminer le moment de torsion Mt dans une section droite des tubes

2- Déterminer le pseudo moment quadratique J de la section droite des tubes 21- Déterminer le pseudo moment quadratique J1 de la section du tube T1

en fonction de r1 et t1

22- Déterminer le pseudo moment quadratique J2 de la section du tube T2

en fonction de r2 et t0

Rappel : ∫ +

−−=+

cste2

ax

4

πtan

a

1

sinax1

dx

J1 =

M t =

C

M t

Yr

Zr

G Xr

A


- 19 -

3- Déterminer la rotation de la section de centre B par rapport à la section de

centre A notée αα =BA,

31- Déterminer 1α pour le tube T1

32- Déterminer 2α pour le tube T2

33- Calculer le rapport 1

2

αα

=2α

=1

2

αα

=1α

J2 =


- 20 -

4- Etude des contraintes

41- Déterminer la contrainte de cisaillement maximale τmax1 dans le tube T1 en fonction de C, t1 et r1

42- Déterminer la contrainte de cisaillement maximale τmax 2 dans le tube

T2 en fonction de C, t0 et r2

43- Calculer le rapport 1max

2max

ττ

5- Calculs préliminaires

51- Exprimer r1 en fonction de a et b

52- Exprimer t0 en fonction de a, b et e

=1max

2max

ττ

t0 =

r1 =

=2maxτ

=1maxτ


- 21 -

53- Exprimer r2 en fonction de a et b

6- Application numérique On donne : a = 70 mm, b = 63,4 mm, e = 2,2 mm, L = 1 m, C = 21 kN.m, σe = 240 MPa et G = 27 GPa

61- Calculer r1

62- Calculer r2

63- Calculer t1

64- Calculer t0

65- Calculer J1

66- Calculer J2

67- Calculer 1α

68- Calculer 2α

2α = rd

t1 = mm

1α = rd

J2 = cm4

J1 = cm4

t0 = mm

r2 = mm

r1 = mm

r2 =


- 22 -

69- Calculer 1

2

αα

70- Calculer τmax 1

71- Calculer τmax 2

72- Calculer 1max

2max

ττ

=1max

2max

ττ

=1

2

αα

τmax 2 = MPa

τmax 1 = MPa

date : lundi 21 juin 2010 uv : mq22 semestre : automne

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