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D’autres problèmes NP-complets

• Clique et ensemble indépendant

• Circuit hamiltonien

• Partition

Tuesday 10 November 2009

Clique et ensemble indépendant


Circuit hamiltonien☝A préparer par l’étudiant (voir Garey et Johnson)


Partition et algorithmes pseudo-polynomiaux


Un algorithme basé sur la programmation dynamique pour

Partition


Vrai


Problèmes NP complets au sens fort et au sens faible


Mesure des instances • Pour les problèmes qui contiennent des valeurs numériques (comme dans

Partition), nous allons définir une nouvelle façon de mesurer les instances d’un problème;

• Rappel de la mesure classique. Nous avons décidé de mesurer la taille d’une instance à l’aide de la taille de son encodage : si w ∈ Σ* est l’encodage d’une instance alors la taille de cette instance est mesurée par |w|.

• Mesure alternative pour les problèmes avec valeurs numériques. En plus de mesurer une instance par la taille de son encodage, nous allons mesurer une instance par la valeur maximale qui apparaît dans l’instance. Nous noterons cette valeur Max(w).

• Exemple : dans le problème Partition, pour une instance (A,S) encodée dans le mot w, Max(w) renvoit la plus grande valeur dans { S(a) | a ∈ A }.


Algorithmes pseudo-polynomiaux

• Un problème avec des valeurs numériques (paramètres naturels) a une solution pseudo-polynomiale si il existe un algorithme déterministe pour le résoudre et dont le temps d’exécution pour une instance encodée par w est borné par O(p(|w| + Max(w))), où p est une fonction polynomiale.

• Notons qu’avec un encodage binaire des nombres naturels, on aura que Max(w) est exponentiel par rapport à |w|. On n’a donc pas un algorithme polynomial par rapport à la mesure traditionnelle !


NPC sens faible-sens fort

• Un problème est NP complet au sens faible si :

• il est NP complet;

• il a une solution pseudo-polynomiale.

• Un problème est NP complet au sens fort si :

• il est NP complet;

• il n’existe pas de solution pseudo-polynomiale sous hypothèse que P est différent de NP.


TSP : NP complet au sens fort

• Dans la réduction du circuit Hamiltonien vers le TSP, les deux longueurs utilisées entre villes sont 1(présence d’un arc entre les deux sommets représentés par les villes), et 2 (absence d’un tel arc).

• Max(w) est donc toujours borné par une constante;

• Il n’existe donc pas d’algorithme pseudo-polynomial à moins que P=NP.


Equivalence entre expressions régulières

sans étoile


Autres classes de complexité


est bornée par un polynôme p(n).


Techniques pour établir la NP complétude


Technique de la restriction


En effet, si on s’intéresse aux instances où


Un restriction de ce problème correspond au problème de la clique. En effet :

Est-ce que G=(V1,E1) contient une clique à K sommets ?

Pour résoudre ce problème, il suffit de considérer le problème d’isomorphisme de sous-graphe avec G et un graphe H qui est un graphe complet à K sommets (une clique de K sommets).


➸ Souvent, les problèmes “réels” sont des complications de problèmes NP-complets répertoriés.

➸ Beaucoup de résultats de “NP difficulté” sont obtenus par cette technique simple.


Technique du remplacement local


Autre exemple:Séquençage dans des intervalles (SWI)


Technique du design de composants

• Technique la plus compliquée

• Construction de composants qui remplissent des “missions” spécifiques pour “résoudre” le problème connu comme étant NP difficile.


Ex 1 : 3SAT vers VC

• des arcs sont utilisés pour choisir une valeur de vérité pour les variables propositionnelles;

• des arcs sont utilisés pour vérifier qu’au moins 1 littéral par clause évalue à vrai.


Ex 2 : 3SAT vers 3DM

• des éléments de l’ensemble de triplets M sont utilisés pour choisir une valeur de vérité pour les variables propositionnelles;

• des éléments de l’ensemble de triplets M sont utilisés pour vérifier que chaque clause contient au moins un littéral qui évalue à vrai;

• des éléments de l’ensemble des triplets M jouent un rôle plus technique dit de “garbage collection”.


Ex 3 : Théorème de Cook

• Chaque contrainte qui participe à la définition de la notion d’exécution d’une machine de Turing non-déterministe est codée à l’aide d’une formule propositionnelle (un ensemble de clauses).


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