cours_rdm

Dpartement Maintenance Industrielle

SUPPORT DE COURS EN

RESISTANCE DES MATERIAUX

Pour le 2me niveau de la formation dun technicien suprieur en Maintenance Industrielle (M.I)

ELABORES PAR : MAHJOUB Med Mokhtar (ISET Mahdia) SBA Rania (ISET Mahdia)

ANNEE UNIVERSITAIRE : 2006-2007

SOMMAIRE

Chapitre 1 : INTRODUCTION A LA RSISTANCE DES MATRIAUX

1- But de la RDM.

2- Principe du calcul de RDM.

3- Hypothses gnrales de la RDM.

4- Efforts intrieurs (torseur de cohsion).

5- Composantes du torseur de cohsion.

6- Vecteur contrainte en un point.

7- Sollicitations simples et composes

Chapitre 2 : LA TRACTION SIMPLE

1- Dfinition.

2- Essai de traction.

3- Etude des dformations.

4- Etude des contraintes.

5- Relation Contrainte - Dformation.

6- Caractristiques mcaniques dun matriau.

7- Condition de rsistance en traction.

8- Condition de rigidit en traction.

9- Concentration de contrainte.

Chapitre 3 : LA COMPRESSION SIMPLE

1- Dfinition.



4- Condition de rsistance en compression.

Chapitre 4 : LE CISAILLEMENT SIMPLE

1- Dfinition.

2- Essai de cisaillement.


4- Etudes des contraintes.

5- Relation Contrainte Dformation.

6- Condition de rsistance au cisaillement

Chapitre 5 : LA TORSION SIMPLE

1- Dfinition.

2- Essai de torsion.


4- Equation de dformation.

5- Relation Contrainte -moment de torsion.

6- Condition de rsistance la torsion.

7- Condition de rigidit.


Chapitre 6 : LA FLEXION SIMPLE

1- Dfinition.


3- Relation Contrainte - moment de flexion.

4- Condition de rsistance la flexion.


6- Dformation en flexion.

7- Condition de rigidit en flexion.

8- Thorme de superposition des dformations.

Chapitre 7 : SOLLICITATIONS COMPOSES

1- Flexion&torsion

2- Traction&torsion.

Chapitre 8 : LE FLAMBEMENT

1- Etude du flambement.

2- Elancement.

3- Charge critique.

4- Contrainte critique.

5- Condition de rsistance.

BIBIOGRAPHIE

ANNEXE 1 : Copie remettre aux tudiants.

ANNEXE 2 : Transparents pour rtroprojecteur.

SET MAHDIA A.U : 2006-2007

Rsistance des matriaux 0 Introduction la RDM

Chapitre 1

INTRODUCTION A LA RSISTANCE DES MATRIAUX

Objectifs :

Comprendre les notions de base de la RDM.

Prrequis :

Modlisation des actions mcaniques.

Le principe fondamental de la statique.

Elments de contenu :

1- But de la RDM.

2- Principe du calcul de RDM.

3- Hypothses gnrales de la RDM.

4- Efforts intrieurs (torse ur de cohsion).

5- Composantes du torseur de cohsion.

6- Vecteur contrainte en un point.

7- Sollicitations simples et composes

Parmi les objectifs viss par l'tude mcanique des systmes matriels est

le dimensionnement des diffrents solides constituant le systme.

La premire modlisation des solides, en solides globalement indformables,

permet, en appliquant le principe fondamental de la statique ou de la dynamique,

de dterminer les actions appliques ces solides.

Une deuxime modlisation des solides, en poutres droites permet de

prvoir leur comportement sous charge. (Dformations, rsistance...) et cela

grce aux diffrentes lois de la rsistance des matriaux.

La rsolution des problmes poss par la rsistance des matriaux fait

appel de nombreuses hypothses, ncessaires pour obtenir rapidement des

rsultats exploitables.



INTRODUCTION A LA

RSISTANCE DES MATRIAUX

1-But de la rsistance des matriaux

La rsistance des matriaux est l'tude de la rsistance et de la

dformation des solides. Elle permet de dfinir les formes, les dimensions et les

matriaux des pices mcaniques de faon matriser leur rsistance, leur

dformation tout en optimisant leur cot.

Exemples:

Un pont est vrifi en rsistance des matriaux pour:

- Assurer sa rsistance sous son propre poids et celui des vhicules ;

- Assurer sa rsistance en cas de forte tempte.

Une bouteille est vrifie en rsistance des matriaux pour:

- Assurer sa rsistance lorsqu'elle est pleine ;

- Assurer une rsistance minimum en cas de chute ;

- Minimiser l'paisseur de la bouteille pour faire des conomies sur la

matire premire.

2- Principe du calcul de RDM :

Figure 1.1

Pour raliser un calcul de rsistance des matriaux, nous avons besoin de

connatre les actions mcaniques exerces sur le mcanisme (ces actions sont

dtermines dans l'tude de statique ou de dynamique) et les matriaux utiliss.

L'tude de rsistance des matriaux va permettre de dfinir les sollicitations et

les contraintes qui en rsultent.



3- Hypothses gnrales de la RDM :

Pour faire une tude de rsistance des matriaux, nous avons besoin de

faire des hypothses simplificatrices. Une fois que ces hypothses sont dfinies,

nous pouvons nous lancer dans l'tude.

3-1 Hypothses sur le matriau : Le matriau est suppos continu (ni

fissures ni cavits), homogne (tous les lments du matriau ont une structure

identique) et isotrope (en tout point et dans toutes les directions, le matriau

possde les mmes caractristiques mcaniques).

3-2 Hypothses sur la gomtrie des solides : La RDM tudie uniquement

des solides en forme de poutres (solide idal) prsentant :

- des dimensions longitudinales importantes par rapport aux dimension:

transversales.

- des sections droites constantes ou variables lentement en dimension ou en

forme.

Une poutre est engendre par la translation d'une section droite et plane S

dont le barycentre G dcrit une ligne Lm (appele ligne moyenne) droite ou

grand rayon de courbure. La section droite S reste toujours perpendiculaire la

ligne moyenne C. (Figure 1.2).

Figure 1.2

1-3 Hypothses sur les dformations (Hypothse de Navier-Bernoulli) :

Les sections planes et droites (normales la ligne moyenne) avant

dformation restent planes et droites aprs dformation.



4-Efforts intrieurs (Torseur de cohsion) :

Soit une poutre E [AB], en

quilibre sous l'effet d'actions

mcaniques extrieures. Pour mettre

en vidence les efforts transmis par la

matire au niveau d'une section S,

nous effectuons une coupure

imaginaire dans le plan P contenant S.

Il la spare en deux tronons El (Partie

gauche) et E2. (Partie droite) (Figure

1.3).

Figure 1.3

On isole le tronon El

- Les actions mcaniques que .le tronon E2 exerce sur le tronon El

travers la section droite S sont des actions mcaniques intrieures la poutre E.

Nous en ignorons priori la nature, cependant la liaison entre El et E2 peut tre

modlise par une liaison complte. On peut donc modliser l'action mcanique E2

sur El par un torseur appel torseur de cohsion et not {coh} dont les lments

de rduction en G seront R(x) et MG(x).

{E2/El} = {coh} =

XM

XR

G

Lquilibre du tronon 1 se traduit par :

GEEG

cohGcohGEE 11 //0

GSdegauchesmcaniquesactionsGcoh

Figure 1.4

Cette relation permet de calculer les lments de rduction du torseur de

cohsion partir des actions mcaniques extrieures gauche (connues par la

statique).

Remarque : L'quilibre de la poutre E se traduit par :

0

GSdedroitemcaniquesactionsGSdegauchesmcaniquesactions

0

GSdedroitemcaniquesactionsGcoh

Alors GSdedroitemcaniquesactionsGcoh



Cette relation permet de simplifier le calcul du torseur de cohsion dans le

cas o le torseur des actions mcaniques droite est plus simple dterminer.

Conclusion :

Chaque tronon est en quilibre et l'application du PFS, l'un ou l'autre,

permet de faire apparatre et de calculer le torseur de cohsion au niveau de la

coupure.

Remarque :

Le torseur de cohsion est modifi lorsque l'on dplace la coupure le long de

la poutre :

- Si une discontinuit d'ordre gomtrique (changement de direction de la

ligne moyenne) apparat (exemple: poutre en querre).

- Si une discontinuit lie une rsultante nouvelle (ou un moment nouveau)

apparat.

5- Composantes du torseur de cohsion :

Le torseur de cohsion exprim dans le repre R (G, x,y,z) s'crit :

Gfzz

fyy

t

G

coh

MT

MT

MN

XM

XR

Figure 1.5

N : Effort normal sur (G, x)

Mt : Moment (couple) de torsion sur (G, x)

Ty : Effort tranchant sur (G, y)

Mfy : Moment de flexion sur (G, y)

Tz : Effort tranchant sur (G, z)

Mfz : Moment de flexion sur (G, z)



6- Vecteur contrainte en un point :

6-1 Vecteur contrainte :

Les actions mcaniques de cohsion sont les efforts que le tronon E2

exerce sur le tronon El travers la section droite (S) de la coupure fictive. Ces

action mcaniques sont rparties en tout point M de S suivant une loi a priori

inconnu. Notons df l'action mcanique au point M et dS l'lment de surface

entourant le point. Soit n la normale issue de M au plan de la section S, oriente

vers l'extrieur de la matire du tronon E1. (Figure 1.6).

Figure 1.6

On appelle vecteur contrainte au point M relativement l'lment de

surface dS orient par sa normale extrieure n, le vecteur not nMC

, tel que :

dS

Fd

S

FnMC Lim

S

0

, (Figure 1.6).

L'unit de la contrainte est le rapport d'une force par une unit de surface

(N/mm2) ou (MPa).

Les lments de rduction s'crivent donc, en fonction du vecteur

contrainte :

SS

dSnMCFdXR

, et dSnMCMGXMS

G

,^

6-2 Contrainte normale et contrainte tangentielle :

On dfinit les contraintes normales et tangentielles respectivement la

projection de nMC

, sur la normale n, et la projection de nMC

, sur le plan de

l'lment de surface dS. (Figure 1.4) : tnnMC ,

: Contrainte normale.

: Contraintes tangentielle.

n

: Vecteur normal llment de surface.

t

: Vecteur tangent a l'lment de surface.



7- Sollicitations simples et composes :

Une sollicitation est dite simple si le torseur de cohsion comprend une

seule composante non nulle (Torsion par exemple) et une sollicitation est dite

compose si le torseur de cohsion comprend plusieurs sollicitations simples

(Traction + flexion par exemple).

Le tableau 1.1 regroupe les sollicitations simples les plus courantes.

Sollicitation Torseur de cohsion Sollicitation Torseur de cohsion

Traction/Compression

G

N

00

00

0

Torsion

G

tM

00

00

0

Cisaillement (selon (G,y))

G

yT

00

0

00

Flexion pur (selon

(G,Y))

G

fyM

00

0

00

Tableau 1.1

EXERCICE DAPLICATION :

Soit le guidage en rotation de la roue de guidage dun systme automatis

de transport de personnes (figure 1). On souhaite dterminer les efforts de

cohsion dans larbre 2 dont la gomtrie est reprsente en dtail dans (la

figure 2).

Figure 1

Larbre 2 est en liaison encastrement avec le support de guidage 4. Une

tude statique a permis de dterminer les actions mcaniques qui lui sont

appliques :

Unit : les efforts en Newtons et les longueurs en millimtres

Actions des roulements R1 et R2 en P1 et P2 :



zyxP

R

,,1

21

04900

0230

00

et

zyxP

R

,,2

22

01140

060

00

Action de lcrou 1 en T :

zyxT

,,

21

00

00

06730

Action de lentretoise 3 en F :

zyxF

,,

23

00

0230

06430

Action de support 4 en E :

zyxE

,,

24

308206040

650240290

0300

Figure 2

1-Dterminer dans zyx

,, et en fonction de labscisse x, les variations

des composantes du torseur de cohsion le long de larbre.

2-Tracer les diagrammes correspondants.


Rsistance des matriaux 8 la traction simple

Chapitre 2

LA TRACTION SIMPLE

Objectifs :

Dterminer la rpartition des contraintes dans la section d'une poutre

sollicite la traction.

Dterminer les conditions de rsistance et de rigidit d'une poutre sollicite

traction.

Dimensionner une poutre sollicite la traction.

Prrequis :

Hypothses de la RDM.

Torseur de cohsion.

Vecteur contrainte.


1- Dfinition.

2- Essai de traction.



5- Relation Contrainte - Dformation.


7- Condition de rsistance en traction.

8- Condition de rigidit en traction.




LA TRACTION SIMPLE

1-Dfinition :

Une poutre est sollicite lextension simple si elle est soumise deux

forces directement opposes qui tendent lallonger ou si le torseur de cohsion

peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, une rsultante porte

par la normale cette section. (Figure 2.1)

G

G

Gcoh

NN

0

0

0

0

00

Figure 2.1

2-Essai de traction

2-1 Principe :

Lessai de traction est lessai

mcanique le plus classique. Il

consiste exercer sur une

prouvette normalise deux

efforts directement opposs

croissants qui vont la dformer

progressivement puis la rompre en

vue de dterminer quelques

caractristiques du matriau de

lprouvette. (Figure2.2)

Figure 2.2



2-2 Diagramme effort_dformation.

La dformation se passe en deux phases (figure2.3) :

-Phase OA : phase lastique o la

dformation est rversible et

lallongement est proportionnel

la charge. On dit que lprouvette

dans le domaine lastique.

Phase ABC : phase plastique ou la

dformation est permanente.

Lallongement nest plus

proportionnel la charge. On dit

que lprouvette est dans le

domaine plastique.

Figure 2.3

3- Etude des dformations

Allongement : 0LLL

Allongement relatif : 0L

Le

; 100%

0

L

Le

Dformation selon x

: eLnL

LLnLnLLnLLnL

L

dLL

L

L

Lx

o

10

00

Dans le domaine lastique0L

Lex

;

( 1Ln si tend vers 0)

La dformation longitudinale

saccompagne dune dformation de

contraction transversale tel que :

xy et xz (Figure 2.4)

: Coefficient de poisson et 3.0

pour les aciers. Figure 2.4



4- Etudes des contraintes :

Le vecteur C

se rduit une contrainte normale la section et repartie

uniformment sur toute la section : xC

(figure 2.5)

Dautre

partdS

dNx

dS

dN

dS

Nd

dS

FdC

S

NS

SSS

dSdSdNN

N en [N] ; S en [mm2] et en [MPa]

Pour une poutre, de section S,

sollicit la traction simple la valeur de la

contrainte normale est gale au rapport

de leffort normal N par la section S.

Figure 2.5

5- Relation contrainte_dformation :

Dans la premire portion de la courbe (Zone OA), il y a proportionnalit

entre la charge et la dformation. La loi de Hooke traduit cette linarit :

E

E est le module dlasticit longitudinale ou module dYoung exprim en [MPa],

(voir tableau N1).

LKLL

ESF

L

LE

S

FE

avec

L

ESK

K dfinit la rigidit en traction de la poutre exprime en [N/mm].


Charge la limite lastique Fe. Il lui correspond la valeur de0

ReS

Fe :

contrainte la limite lastique ou limite lastique (voir tableau 2.2)



Charge de rupture Fr : Il lui correspond la valeur de0

S

FrRr : contrainte

la rupture ou rsistance la rupture.

Module dYoung E, tel que. E

Allongement en % aprs rupture : 100%0

0

L

LLuA Lu longueur de la

poutre aprs rupture.

Striction : 100%0

0

S

SSuS

7- Condition de rsistance en traction :

Pour des raisons de scurit la

contrainte doit rester infrieure une valeur

limite appel contrainte pratique lextension,

en adoptant un coefficient s appel coefficient

de scurit tel ques

ReRpe , s dpend de

lapplication. (Tableau2.1) et(Tableau2.2)

Do la condition de rsistance dune pice

en traction : Rpe

Tableau2.1

Tableau2.2



8- Condition de rigidit :

Pour des raisons fonctionnelles, il est parfois important de limiter

lallongement. Il doit rester infrieur une valeur L lim

Do la condition de rigidit dune pice en traction : lim

LES

FL

9- Concentration de contraintes

Si le solide prsente des variations brusques de section, dans une zone

proche de ces variations, la rpartition des contraintes nest plus uniforme. Il y a

concentration de contrainte. La contrainte maximale est : nomt

K max

Kt est appel coefficient de concentration de contrainte de traction.

nom : Contrainte normale nominale (S

Nnom )

Kt est fonction de la forme de la pice (circulaire ou plane) et de la nature du

changement de section (paulement, gorge, alsage, etc.) (figure 2.6).

Pour un filetage ISO triangulaire Kt=2.5 au fond des filets.

Kt est donn par des abaques. (figure 2.7)

Figure 2.6



Figure 2.7

EXERCICE N1 Vrification dun tirant :

Un profil IPN, sert de chemin de

roulement pour un palan. Il est suspendu par 3

tirants de 10mm et de longueur 400mm. Ces

tirants sont en aciers de rsistance lastique

Re=240MPa, de module dYoung :E=2.105 Mpa.



Le coefficient de scurit est : s=8 (appareil de levage). Le tirant le plus charg

supporte une charge verticale de 600N. Lallongement ne doit pas dpasser

0.5mm.

1 Vrifier que ce tirant peut supporter cette charge dans des conditions

satisfaisantes de scurit.

2 Vrifier que lallongement reste acceptable.

EXERCICE N2 Vrification dune

biellette :

La biellette reprsente ci_contre

est soumise une traction

( NF 20000

).

1 Calculer les contraintes dans les

sections (S1) et (S2).

EXERCICE N3 Suite de lexercice du chapitre 1.

On se propose de soumettre larbre 2 une traction de F

= 150000 N.

Sachant que cette dernire est en acier de rsistance lastique Re = 295 MPa et

de coefficient de scurit s = 3 :

-Calculer les contraintes dans les sections (S1) et (S2).

Vrifier si cet arbre peut supporter cette charge dans les conditions

satisfaisantes de scurit.

Figure de larbre 2


Rsistance des matriaux 19 la compression simple

Chapitre 3

LA COMPRESSION SIMPLE

Objectifs :


sollicite la traction.

Dterminer les conditions de rsistance et de rigidit d'une poutre

sollicite traction.

Dimensionner une poutre sollicite la traction.

Prrequis :


Torseur de cohsion.

Vecteur contrainte.


1- Dfinition.



4- Condition de rsistance en compression.



LA COMPRESSION SIMPLE

1-Dfinition :

Une poutre est sollicite lextension simple si elle est soumise

deux forces directement opposes qui tendent lallonger ou si le torseur

de cohsion peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, une

rsultante ngative porte par la normale cette section. (Figure 3.1)

0

0

0

0

0

00

N

NN

G

G

Gcoh

Figure 2.1

Hypothse :

Le solide est idal: matriau homogne, isotrope, poutre rectiligne et

de section constante, de forme voisine du carr (b



2-Contraintes dans une section droite :

Elles sont normales (S) et uniformment rparties dans cette dernire.

La contrainte M (MPa) a pour valeur : S

NM avec 0;0 MN

N : effort normal (N),

S : section droite soumise la compression (mm2).

Figure 2.1

3-Dformation d'une poutre

Dans le domaine lastique, les contraintes et les dformations sont

proportionnelles, Le raccourcissement ~t (mm) est:

N : effort normal (N) ;

ta : longueur initiale de la poutre (mm).

S : section droite soumise la compression (mm2),

E : module d'lasticit longitudinale (module d'Young) (MPa).

Figure 2.1



4-Condition de rsistance :

Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester

infrieure la rsistance pratique la compression Rpc. On dfinit Rpc

par le rapport suivant :

Rec : rsistan lastique la compression (MPa).

S : coefficient de scurit (sans unit).

La condition de rsistance est :

Les aciers doux et mi-durs ont la mme rsistance lastique Re en

traction et en compression.

Le bton et la fonte ont des

rsistances lastiques trs

diffrentes en traction et en

compression, ainsi que tous les

matriaux non homognes et non

isotropes.

Si le poids de la poutre verticale n'est

pas ngligeable (cbles

d'ascenseurs de grands

immeubles, piles de ponts,

chemines

d'usine.. .), la condition de

rsistanc est :

P : poids total de la poutre (N).

Solides rels :

Ce sont des solides qui s'cartent des conditions idales.

SECTIONS BRUSQUEMENT VARIABLES :



La section est de forme proche du carr ou du cercle, comme en

traction, dans les zones de changement de section, la rpartition

des contraintes n'est plus uniforme. Cette concentration de : contrainte

est peu dangereuse en compression; elle est, en gnral, nglige.

Figure 2.2

SECTIONS TRS PLATES :

Dans le cas d'une poutre plate (par exemple b = 10 a), si 3b < L < 8b,

on a : 30a < L < 80a.

Sous l'action de N, la poutre flchit selon RMS, la sollicitation de

flambage remplace la compression simple.

Figure 2.3

SOLIDES TRS MINCES :

Si h devient trs petite, on n'obtient plus de dformation

significative. Tout se passe comme si on maintenait la pice latralement

par des parois solides. La sollicitation de compression est remplace par

du matage.

Figure 2.4


Rsistance des matriaux 24 Cisaillement simple

Chapitre 4

LE CISAILLEMENT SIMPLE

Objectifs

Dterminer la rpartition des contraintes dans la section dune poutre

sollicite au cisaillement.

Dterminer la condition de rsistance dune poutre sollicite au cisaillement.

Dimensionner une poutre sollicite au cisaillement.

Pr requis


Torseur de cohsion.

Vecteur contrainte.

Elments de contenu

1- Dfinition.



4- Etudes des contraintes.


6- Condition de rsistance au cisaillement.



LE CISAILLEMENT SIMPLE

1- Dfinition

Une poutre est sollicite au cisaillement simple lorsquelle est soumise

deux forces directement opposes, perpendiculaire la ligne moyenne, et qui

tendent la cisailler; ou lorsque le torseur de cohsion peut se rduire en G,

barycentre de la section droite S, une rsultante contenue dans le plan de

cette section. (Figure 4.1)

Figure 4.1

G

y

G

GcohT

T

0

0

0

0

0

0


2-1 Principe

Lessai de cisaillement consiste soumettre une prouvette de section

rectangulaire deux charges et F

et F

distantes de x. Lprouvette se

dforme comme lindique la figure4.2, les encastrements en (A1, B1) et (A2, B2)

empchent la rotation des sections droites.

On augmente F et on relve la valeur du dplacement v correspondant.



Figure 4.2

2-2 Diagramme effort-dformation

La dformation seffectue en deux

phases (Figure 4.3)

- Zone OA : zone de dformations

lastiques : le glissement est

proportionnel la charge.

- Zone ABCD zone de dformations

permanentes (plastiques).

Figure 4.3

3- Etude des dformations

La section S cisaille se dplace dans son plan. Ce dplacement est un

glissement. Il est dfini par un angle de glissement . Cet angle de y etx tel

que tg = y/x.

Dans le domaine lastique, reste faible, on peut confondre et tg do

= y/x

4- Etudes des contraintes

Leffort tranchant T

scrit T=Ty y

= F

et le vecteur contrainte

yxMC xy

, Dautre part ydsdsxMCTS

xyS

,

Il en rsulte dsTS

xyy

Pour lhypothse dune rpartition uniforme de contraintes xy, on aura xy = moy

sdsT moyS

moyy dou SF

moy

F en[N] ; S en [mm2]; moy en [MPa]

Pour une poutre, de section S, sollicit au cisaillement simple la valeur de la

contrainte tangentielle est gale au rapport de leffort F par la section S.



5- Relation contrainte _Dformation

Dans la premire portion de la courbe (Zone OA), il y a proportionnalit

entre la charge et la dformation. La loi traduisant cette linarit est : Gmoy

G est le module dlasticit transversale ou module de Coulomb exprim en en

[MPa].

Cette relation peut scrire encore : x

yG

S

F

6-Condition de rsistance au cisaillement

Pour une pice sollicite au cisaillement, la valeur de la contrainte

tangentielle moy ne doit pas dpasser la valeur de la contrainte maximale

admissible appele encore rsistance pratique au glissement Rpg (Rpg=e/S). S est

le coefficient de scurit.

Do la condition de rsistance dune pice au cisaillement : =< Rpg



EXERCICE 1 Accouplement

Pour protger la chane

cinmatique dune machine on

utilise au niveau de la liaison des

arbres (1) et (2) un dispositif de

scurit qui comprend un manchon

(3) et deux goupilles (4) et (5). Le

diamtre des arbres (1) et (2) est

de 20 mm. On fixe la valeur

maximale du moment du couple transmettre M1-2 = 60 N.m. Les goupilles (4)

et (5) ont le mme diamtre d. Elles sont en acier A33 pour lequel Reg=150 MPa.

Questions

1) Dterminer leffort tranchant dans les sections des goupilles sollicites au

cisaillement.

2) Dterminer le diamtre d des goupilles. Le coefficient de scurit est s=3.

EXERCICE 2 Articulation en chape

La figure ci contre reprsente laxe

darticulation dun piston quipant un

compresseur. Le diamtre du piston est

D=56 mm et la pression maximale qui

sexerce sur le piston est P=7bars. Le

diamtre de laxe est d=17.5mm

(dtermin daprs la condition de non

matage). Il est construit en un matriau

de rsistance Reg 220Mpa. Le coefficient

de scurit est s=5.

Questions



1) Dterminer laction exerce par le piston sur laxe et en dduire la nature de

la sollicitation.

2) Vrifier la rsistance de laxe.

3) Vue la faible contrainte moyenne sur la section on se propose dvider laxe.

Dterminer le diamtre intrieur de laxe.

EXERCICE 3 Calcul dune clavette

Un arbre transmet un

mouvement de rotation un

moyeu par lintermdiaire dune

clavette. Le diamtre d de

larbre est connu et les normes

donnent les dimensions D et E

de la section transversale de la

clavette. Il ne reste qu

chercher la longueur L de la clavette. Le couple maximal transmis par cette

liaison est C0.

Questions

1) Prouver, avec un simple schma, que la clavette est sollicite au cisaillement.

2) Dterminer la longueur L de la clavette si elle est construite dun matriau de

rsistance pratique au glissement Rpg.

EXERCICE 4 (Rsistance dun point de soudure)

Deux plaques, lies par N points de

soudure, sont soumises deux efforts.

Elles sont de matriau de rsistance

Rpg. Le diamtre dun point de soudure

est d. Dterminer le nombre de points ncessaires N.


Rsistance des matriaux 30 Torsion simple

Chapitre 5

LA TORSION SIMPLE

Objectifs :


sollicite la torsion.

Dterminer la condition de rsistance d'une poutre sollicite la torsion.

Dimensionner une poutre soumise sollicite la torsion.

Prrequis :


Torseur de cohsion.

Vecteur contrainte.


1- Dfinition.

2- Essai de torsion.


4- Equation de dformation.

5- Relation Contrainte -moment de torsion.

6- Condition de rsistance la torsion.

7- Condition de rigidit.




LA TORSION SIMPLE

1-Dfinition :

Une poutre est sollicite la torsion simple si elle est soumise deux couple

de moments opposs qui tendent la tordre ou lorsque le torseur associ aux

efforts de cohsion peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, un

moment port par la normale cette section. (Figure 5.1)

Figure 5.1

G

t

Gt

Gcoh

M

M

0

0

0

0

00

Au cours de ce cours on va traiter uniquement la torsion des poutres de

section circulaire.

2- Essai de torsion :

L'essai de torsion est ralis sur une prouvette cylindrique de rvolution

soumise deux moments opposs. (Figure 5.2).

Constatations

- La distance entre deux sections droites reste constante.

- Les sections droites restent planes et normales la ligne moyenne mais

tournent autour de cette ligne.

- Le dplacement relatif de deux sections voisines est une rotation d'angle

d autour de la ligne moyenne.



Figure 5.2

La visualisation de la .courbe MG1= f () permet de distinguer deux zones :

- Une zone lastique o la dformation est proportionnelle au moment:

lMG1l=K

- Une zone de dformations plastiques. (Figure 5.3)

Remarque

L'angle de rotation .est proportionnel la distance des sections: ctel

0.1

1

On pose

; est l'angle de torsion unitaire exprim en [rad/mm].

Figure 5.3



3- Relation contraintes dformation :

Soient deux sections droites trs voisines spares par une distance dx.

Elles tournent l'une par rapport l'autre de l'angle d (Figure 5.4)

r

dx

dr

dxMM'

rdMM'

Figure 5.4

Au cours de la dformation chaque gnratrice tourne dans le plan tangent

d'un angle appel angle de glissement. L'angle de glissement est proportionnel

la contrainte tangentielle =G o G est le module de Coulomb.

Il en rsulte : La contrainte est maximale sur le contour extrieur de la

section cest dire pour r = R ; max = G R

4- Equation de dformation :

Figure 5.5



En un point M de la section, la contrainte de torsion est (M) = G r

Le vecteur contrainte trGtxMC M

,

Le moment de torsion est suivant l'axe (0, x), s'crit xMM tt

. D'autre

part S StSSt dSrGMxdSrGdStrGxrdSxMCMGM22

1^,^

Dfinition :

S dSr2 est par dfinition le moment quadratique polaire de la surface S par

rapport son centre de gravit G. Il est not IG.

Un simple calcul peut dterminer IG pour les surfaces circulaires.

Pour une surface circulaire pleine de diamtre D : IG= II D4/32

Pour une surface circulaire creuse (annulaire) : IG= II (D4-d4)/32

La relation entre le moment et la dformation (quation de dformation)

est: Gt IGM

Mt: [N mm]; [rad/mm]; G[Mpa] et IG: [mm4]

5- Relation contrainte -moment de torsion :

La contrainte en un point M vaut (M) = G r

Le moment de torsion est Gt IGM

Il en dcoule rI

M

G

t

M ou

r

I

M

G

t

M

La contrainte maximale de torsion est obtenue pour r=R : RI

M

G

tmax

6- Condition de rsistance :

Pour des raisons de scurit la contrainte max doit rester infrieure la

valeur de la contrainte pratique au glissement Rpg, en adoptant un coefficient de

scurit s tel que Rpg = Re/s, o s dpend de l'application.

D'o la condition de rsistance d'une pice en torsion : Rpgmax

En d'autre terme : RpgRI

M

G

t



7- Condition de rigidit :

Pour des arbres de grande longueur (arbre de forage des puits de ptrole,

arbres de navires...) on vite de trop grandes dformations pour diminuer les

vibrations. Elle doit rester infrieure une valeur lim. D'o la condition de

rigidit d'une pice en en torsion : limG

t

GI

M

8- Concentration de contrainte :

Tout changement brusque de section (rainure de clavette, gorge,

paulement) entrane une concentration de contrainte au niveau de la section et

la condition de rsistance vue ci dessus est modifie.

Un exemple est illustr sur la figure 5.6

pour le cas d'une rainure de clavette

La condition de rsistance s'crit :

Rpgeff max avec maxmax thteff K

maxeff : Contrainte effective maximale.

maxth : Contrainte sans concentration.

Exemple de calcule :

Dterminer Kt pour une rainure de

clavette ayant un cong dans langle

intrieur r= 0.3 et pour arbre de

diamtre d=20 mm.



VALUATION :


Rsistance des matriaux 48 flambement

Chapitre 6

LA FLEXION SIMPLE

Objectifs :


sollicite la flexion.

Dterminer la condition de rsistance d'une poutre sollicite flexion.

Dimensionner une poutre sollicite la flexion.

Prrequis :


Torseur de cohsion.

Vecteur contrainte.


1- Dfinition.


3- Relation Contrainte - moment de flexion.

4- Condition de rsistance la flexion.


6- Dformation en flexion.

7- Condition de rigidit en flexion.

8- Thorme de superposition des dformations.



LA FLEXION SIMPLE

1-Dfinition :

Une poutre est sollicite la flexion

simple si le torseur associ aux efforts de

cohsion peut se rduire en G, barycentre de

la section droite S, une rsultante

contenue dans le plan de la section et un

moment perpendiculaire cette dernire. Un

exemple de poutre sollicite la flexion

simple est illustr sur la figure 6.1

Figure 6.1

Gfz

y

Gfz

Gcoh

M

TM

T

0

0

0

0

2-Etude des contraintes :

Lorsque la poutre flchit, (Figure 6.2) la section

droite pivote d'un angle et on constate que:

-Les fibres moyennes ne changent pas de

longueur (La contrainte est donc nulle)

Figure 6.2

-Les autres fibres s'allongent ou se compriment.

(Figure 6.3). Les contraintes normales engendres sont

proportionnelles la distance qui les sparent du plan des

fibres moyennes, do : yEM

M : Contrainte normale de flexion en M [MPa]

E : Module, dYoung [MPa]

Y : Ordonne de M % la fibre neutre [mm]. Figure 6.3



: Angle unitaire de flexion [rad/mm]. ;x

3-Relation entre contrainte et moment de flexion :

Le vecteur contrainte dans la section droite s'crit xyExxMC x

,

Le moment rsultant du torseur de cohsion Sfzfz xMCMGzMM

,^

zzyyMG

; Il en rsulte. dSyEdSyEMSS

fz 22

Or y

EyE xx

Donc dSyy

MS

x

fz 2

Dfinition : moment quadratique d'une section.

Le moment quadratique d'une section par

rapport un axe contenu dans son plan est:

SOZ dSyI2

Ioz : Moment quadratique polaire de S par

rapport l'axe (0, z) [mm4]

y : distance du point M l'axe (0, z) [mm]

Figure 6.4

SOZ dSyI2 et SOY dSzI

2

Le moment quadratique polaire de S par rapport l'axe (0, x)

est SO dSI2

Comme 222 zy alors: OZOYS

O IIdSzyI 22

Moments quadratiques des sections usuelles



Finalement yI

MI

yM

GZ

fz

xGZx

fz

Les contraintes normales se dveloppent dans les fibres les plus loignes

de la fibre neutre. :maxmax

yI

M

GZ

fz

x

Pour une section droite donne, la quantit max

y

IW GZZ s'appelle module de

rsistance de la section par rapport l'axe (0, z) [mm3]. Ce module est donn

sur les catalogues des fournisseurs.

La relation la plus utilise est, donc: Z

fz

xW

M

max

4- Condition de rsistance la flexion :

La contrainte x doit rester infrieure la contrainte pratique

l'extension Rpe telle que Rpe=Re/S

La condition de rsistance s'crit, donc : RpeyI

MRpe

GZ

fz

x maxmax

5- Concentration de contrainte :

Tout changement brusque de section (rainure de clavette, gorge,

paulement...) entrane une concentration de contrainte au niveau de la section et

la condition de rsistance vue ci dessus est modifie.

Un exemple est illustr sur la figure 6.5 pour le cas d'un arbre avec gorge.

La condition de rsistance s'crit dans ce cas : Rpeeffex

max

Figure 6.5



6- Dformation en flexion :

6-1 Dforme :

On appelle dforme, la courbe de la ligne moyenne de

la poutre aprs dformation. (Figure 6.6)

L'quation de la dforme est: )(xfy

y est la flche au point d'abscisse x.

Les drives premire et seconde sont notes y' et y".

Figure 6.6

6-2 Relation entre flche et moment flchissant

On peut calculer la flche partir de l'quation de la dforme dterminer

par double intgration de l'quation du moment flchissant. fzGZ MxyEI "

7- Condition de rigidit en flexion

On calcule la flche maximale et on vrifie ensuite que cette flche reste

infrieure une valeur limite flim : limmax fy

8- Thorme de superposition des dformations

Thorme

Pour une poutre sollicite dans son domaine lastique, la dformation due

un systme de charges est gale la somme des dformations dues

l'application successive des charges constituant le systme de chargement

appliqu initialement.

Remarque :

Ce principe permet de dcomposer un systme complexe de n forces, en n

systmes simples, avec une force applique. On trouve ensuite chaque valeur de

flche et on fait la somme algbrique pour retrouver la flche du systme initial.



EXERCICE 1 Poutre en IPN Une poutre 1, encastre dans 2, y est

constitue par un IPN de longueur 1= 1.5 m.

Elle supporte une charge uniformment

rpartie de coefficient P=1800 N/m. Sa

rsistance pratique 8 est Rpe 100 Mpa et

son module d'lasticit longitudinale est E =

200 000 MPa

Questions

1) Dterminer l'action de 2 sur 1.

2) Dterminer le torseur de cohsion le long de AB.

3) Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments

flchissant.

4) Dterminer la hauteur minimale de lIPN.

5) La flche maximale est fixe L/500, vrifier l'IPN choisi.

EXERCICE 2 La figure ci contre reprsente le dessin

d'une machine usiner les portes

cylindriques de vilebrequins par arasage.

Pour une premire approche du problme,

on assimile les liaisons vilebrequin-machine,

situes aux points de rfrence, des appuis

simples. On ne considre que l'influence de

l'effort de pntration.

On se limite une tude qualitative, pour

cela on remplace le vilebrequin par une barre

cylindrique de moment quadratique en flexion IGz.

On note:

L: distance entre les appuis.

E: module de YOUNG du matriau.

Fp: l'action de pntration de l'outil sur le

vilebrequin.

Questions :

1) Dterminer les actions aux appuis.

2) Dterminer le torseur de cohsion le long de la poutre.

3) Dterminer dans ces conditions la flche au droit du point d'application

de l'effort Fp.

4) Prcisez l'cart maxi existant entre la cote fabrique et te diamtre

souhait pour le cylindre.

Application numrique: Fp=2 103 N ; E=210 000 MPa ; L=500 mm ; =40 mm.



Chapitre 7

SOLLICITATIONS COMPOSES

Objectifs :


soumise une sollicitation compose.

Dterminer la condition de rsistance d'une poutre soumise une

sollicitation compose.

Dimensionner une poutre soumise une sollicitation compose.

Prrequis :

Sollicitations simples.


1- Flexion&torsion

2- Traction&torsion.



SOLLICITATIONS COMPOSES

1-Flexion_torsion :

1-1 Dfinition :

Un arbre est soumis une sollicitation

de flexion_torsion si le torseur associ aux

efforts de cohsion peut se rduire en G,

barycentre de la section droite S, un

moment de torsion et un moment de

flexion (figure7.1).

Figure 7.1

Gfz

t

Gtfz

Gcoh

M

M

MM

0

0

0

00

1-2-Moment idal de flexion :

Les contraintes normales et tangentielles agissent simultanment et il y a

majoration de chacune delle. On calcule la contrainte normale partir du

moment idal de flexion dfini par la formule suivante :

22

2

1

2

11 MtMfMfMf i

Mfi : Moment idal de flexion [N.mm]

=Rpg/Rpe ; Pour les aciers =0.5, moment idal de flexion 22 MtMfMf i



1-3 Condition de rsistance :

La condition de rsistance dun arbre sollicit la flexion_torsion scrit :

RpeM o M est dtermine partir du moment idal de flexion

1-4-Dformation :

Pour le calcul des flches verticales, partir

de la sollicitation de flexion suppose seule.

Vrifier ensuite que cette flche est acceptable.

limmax fy

Pour le calcul des angles de torsion, partir

de la sollicitation de torsion suppose seule.

Vrifier ensuite que cet angle est acceptable.

limmax

Figure 7.2

2- Traction_torsion

2-1 Dfinition

Un solide est soumis une

sollicitation de traction_torsion si le

torseur associ aux efforts de cohsion

peut se rduire en G, barycentre de la

section droite S, un moment de torsion

et un effort normal (figure7.2).

Figure 7.3

G

t

Gt

Gcoh

MN

M

N

0

0

0

0



2-2 Calcul des contraintes :

Toute fibre supporte deux contraintes de nature diffrente, une contrainte

normale et une contrainte tangentielle. On dfini la contrainte idale telle que :

22 4 i , AvecS

N et R

I

Mt

0

2-3 Condition de rsistance :

Ma condition de rsistance pour ce type de rsistance scrit

Rpe 22 4

Remarque : Ce calcul est aussi valable pour une sollicitation de traction

cisaillement. Dans ce casS

T

EXERCICE DAPPLICATION :



Chapitre 8

LE FLAMBEMENT

Objectifs :

Dimensionner une poutre sollicite au flambement.

Prrequis :

La flexion simple.


1- Etude du flambement.

2- Elancement.

3- Charge critique.

4- Contrainte critique.

5- Condition de rsistance.



LE FLAMBEMENT

1- Etude du flambement thorie d'EULER

Considrons une poutre de longueur importante l et rectiligne soumise en A

et B . deux glisseurs (Liaisons pivot d'axes (A, z) et (B, z)), directement

opposs, qui augmentent progressivement.

On remarque que si :

Si F< Fc : La poutre reste

sensiblement rectiligne, elle se :

raccourcit et peut tre calcule

en compression.

Si F= Fc : la poutre flchit et

prend une position d'quilibre

lastique.

Si F> Fc : instabilit. La poutre

flchit brusquement jusqu' la rupture. C'est du flambage.

Fc est la charge critique d'Euler.

La flexion se produit selon la direction perpendiculaire l'axe de la section

(S) qui donne le moment quadratique le plus faible.

2- Elancement

La compression est remplace par du flambage si la poutre est longue et ses

dimensions transversales sont faibles. Cette proportion est caractrise

par:

L

: lancement d'une poutre (sans unit)

L: Longueur libre de flambage [mm]



: Rayon de giration de l section [mm] dfinit par: S

IGZ

IGZ : moment quadratique minimal de la section suivant laxe principale

perpendiculaire la dformation [mm4]

3-Charge critique :

En cas de flambage, la charge critique dEuler Fc est : 2

2

L

EIF GZC

E : Module d'Young du matriau [MPa].

IGZ : Moment quadratique de la section

[mm4].

L: Longueur libre de flambage de la

poutre [mm].

REMARQUE:

l est la longueur de la poutre, la longueur

libre de flambage L, est fonction du type

d'appui. Elle est donne par le tableau

suivant.

5- Contrainte critique :

En crivant queGZGZ I

SL

S

I

LL 22

2

22

En reportant cette valeur dans

lexpression de Fc : 2

2

ESFC

La valeur de la contrainte critique C [MPa] est : 2

2

E

S

FC

C

C



5- Condition de rsistance

En Posant eC R ou eRE

2

2

on dfinit

e

CR

E22

C : lancement critique (grandeur sans dimension ne dpend que de la

nature du matriau).

-E: Module d'lasticit longitudinal [MPa].

Re: Rsistance lastique du matriau [MPa].

5-1 coefficient de scurit

Le coefficient de scurit k, spcifique au flambage, est le double du

coefficient de scurit habituel s.

k=2s et s= Rec/Rpc

Rec: rsistance lastique la compression [MPa].

Rpc : rsistance pratique la compression [MPa].

5-2 Condition de rsistance

La charge critique d'Euler Fc ne doit jamais tre atteinte.

Fadm : charge admissible sur la poutre.

C

e

pc

adm

adm

C FR

RF

F

FK

2

En remplaant Fc par sa valeur ainsi que 2

C on trouve: 2

2

C

pc

adm

SRF



Fadm : force admissible d'aprs Euler [N].

Rpc : rsistance pratique la compression [MPa].

S : aire de la section droite [mm2].

: lancement de la poutre (sans dimension).

C : lancement critique de la poutre (sans dimension).

Selon la valeur , la charge limite F est donne par l'une des trois relations

(poutres, acier).



BIBIOGRAPHIE

RESISTANCE DES MATTRIAUX

Auteurs : M. KERGUIGNAS, G. CAIGNAERT

Edition : BORDAS 1977

GUIDE DU CALCUL EN MCANIQUE

Auteurs : D. SPENLE, R. GOURHANT

Edition : HACHETTE 1996

RESISTANCE DES MATTRIAUX

Auteurs : A. GUIET, L. GEMINARD

Edition : DUNOD 1994

CALCUL PRATIQUE DES STRUCTURES

Auteurs : W.A. JALIL

Edition : EYROLLES 1983



ANNEXE 1 :

Transparents pour

rtroprojecteur.



Figure 1.1

Figure 1.3

Figure 1.5



Figure 2.6

Figure 4.2

Figure 5.2



Figure 5.5

Figure 8.1



ANNEXE 2 :

Documents fournir

aux tudiant


Rsistance des matriaux 38 flexion simple

Figure 1.1

figure1.5

N : Effort normal sur (G, x)

Mt : Moment (couple) de torsion sur (G, x)

Ty : Effort tranchant sur (G, y)

Mfy : Moment de flexion sur (G, y)

Tz : Effort tranchant sur (G, z)

Mfz : Moment de flexion sur (G, z)

Tableau 1.1

Sollicitation Torseur de cohsion Sollicitation Torseur de cohsion

Traction/Compression

G

N

00

00

0

Torsion

G

tM

00

00

0

Cisaillement (selon (G,y))

G

yT

00

0

00

Flexion pur (selon

(G,Y))

G

fyM

00

0

00



Tableau2.1

Tableau2.2



Figure 2.7