Cours de physique avance I (PAI) Prof. Paolo Ricci SPC

1 dcembre 2017

Corrig 11 : Chocs et Corps Solide

1 Rebond de deux ballesOn lche, sans vitesse initiale, deux balles de masses m1 et m2, lune au-dessus de lautre depuisune hauteur h. On fait lhypothse que, pendant leur chute, les balles restent en contact jusqu cequelles rebondissent sur le sol. La situation peut-tre dcrite comme un choc lastique entre la ballem1 et le sol, suivi immdiatement dun choc entre les deux balles. Le rayon des balles est ngligeablepar rapport h. Il ny a pas de frottement de lair.Rpondre aux questions ci-dessous dans les cas :1. o le choc entre les deux balles est lastique, et2. o le choc entre les deux balles est mou.

~g

z

premier choc second choc

aprsavant avant aprsvf,1ez

vi,2ezvi,1ez

vf,1ez

m1m2

h

vi,1ezvf,2ez

(a) Calculer la vitesse de chaque balle juste aprs le rebond.(b) Quelle doit tre la relation entre m1 et m2 pour que les deux balles repartent vers le haut ? Pour

que m1 reste immobile sur le sol ?(c) A quelle hauteur rebondit chacune des deux balles dans le cas o m1 m2 ?

Attention : Dans cet exercice, la quantit v est la norme du vecteur ~v alors que les quantitstelles vi, vf sont des composantes selon laxe z, dirig vers le haut selon la figure.

1. Nous considrons dabord le cas o les deux chocs sont lastiques, puis nous traiterons lecas o le choc entre les deux balles est mou.(a) Comme indiqu dans la donne, on dcompose le problme en deux chocs lastiques.

Le premier entre la balle m1 et le sol suivi immdiatement aprs du deuxime entreles deux balles : avant le premier choc, la balle m1 a une vitesse vi = v (on a choisi laxe ez dirig

vers le haut). Le choc est parfaitement lastique (et la masse de la balle ngligeablepar rapport celle de la terre), donc vf = vi = v (vi et vf sont les vitessesinitiale et finale de la balle en projection sur laxe ez). La vitesse v est donne parla hauteur h et lacclration gravifique. Par conservation de lnergie mcaniquedans la chute, on a 12miv

2 = migh (i = 1, 2), et donc

v =2gh

avant le deuxime choc, la balle m1 a une vitesse vi,1 = v et la balle m2 une vitessevi,2 = v. La conservation de la quantit de mouvement permet dcrire

m1v m2v = m1vf,1 +m2vf,2 (1)

1

et la conservation de lnergie

1

2(m1 +m2)v

2 =1

2m1v

2f,1 +

1

2m2v

2f,2 (2)

De lquation (1), on tire

vf,1 =(m1 m2)v m2vf,2

m1(3)

quon injecte dans (2) pour trouver

(m22 +m1m2)v2f,2 + 2(m

22 m1m2)vvf,2 + (m22 3m1m2)v2 = 0

Il sagit dune quation du deuxime degr dont les solutions sont

vf,2 =3m1 m2m1 +m2

v et vf,2 = v

Cest la premire solution qui nous intresse (la deuxime correspond au cas o ilny a pas eu de choc).En injectant ce rsultat dans (3), on trouve

vf,1 =m1 3m2m1 +m2

v

(b) Pour que les deux balles repartent vers le haut, il faut que vf,1 > 0 et vf,2 > 0. Ce qui

donne respectivement les conditions

m1 > 3m2 et 3m1 > m2

Si la premire condition est respecte, la deuxime lest automatiquement. Si on veutque les balles repartent les deux vers le haut, il faut donc que m1 > 3m2. Dans le caslimite o m1 = 3m2, on a vf,1 = 0, la balle m1 reste immobile sur le sol.

(c) Dans la limite o m1 m2, on a

vf,2 = 3v et vf,1 = v (4)

La hauteur laquelle remontent les balles est donne par lquation du mouvement

z = g z = gt+ v0 z = 1

2gt2 + v0t+ z0

avec les conditions initiales z0 = 0 et v0 est le rsultat obtenu en (4)La hauteur maximale est atteinte pour z(tmax) = 0, cest--dire tmax = v0g et donc

zmax =v202g

Pour la balle m1, on a v0 = v, donc

z1,max =v2

2g= h.

2

Pour la balle m2, la vitesse initiale est 3v, ce qui nous donne

z2,max =9v2

2g= 9h.

Alternativement, on peut faire usage de la conservation de lnergie mcanique. Parexemple, pour la balle de masse m2 :

1

2m2v

2f,2 =

1

2m2(3v)

2 = m2gz2,max,

do on trouve immdiatement

z2,max =9v2

2g= 9h.

2. On considre maintenant le cas o le choc entre les deux balles est mou. Les vitessesfinales des deux balles sont donc gales, et nous les notons vf,1 = v

f,2 vf .

(a) Le raisonnement est similaire au cas des chocs lastiques, mais lnergie mcaniquenest pas conserve au cours du choc mou. La conservation de la quantit de mouvementscrit maintenant

m1v m2v = (m1 +m2)vf ,

do lon tirevf =

m1 m2m1 +m2

v =m1 m2m1 +m2

2gh

(b) Pour que les balles partent vers le haut, il faut que la vitesse vf soit positive, et doncque m1 > m2. Si m1 = m2, les balles restent au sol.

(c) Si m1 m2, la vitesse finale vf = v. Par la conservation de lnergie mcaniquependant la phase de remonte, on trouve

1

2(m1 +m2)v

2 = (m1 +m2)gzmax,

et donc

zmax =v2

2g= h.

On aurait pu rsoudre ce problme en remarquant que, dans le cas du choc mou, lesdeux balles peuvent tre considres comme soudes entre elles et ainsi elles formentun seul objet de masse m1 +m2.

2 Cylindre roulant oscillantUn cylindre pesant de masseM et de rayon R roule sans glisser sur un plan inclin dun angle . Laxedu cylindre reste horizontal. Le moment dinertie du cylindre par rapport cet axe est I. Laxe estretenu par un dispositif dont leffet est quivalent un ressort de constante lastique k, de longueurau vide d.

3

(a) En utilisant les conditions initiales x (0) = 0 et (0) = 0, montrez que la condition de roulement

sans glissement estx = R

o dsigne langle de la rotation propre du cylindre dfini positif dans le sens trigonomtrique.

La vitesse de tout point du cylindre est lie la vitesse du centre de masse et la rotationpar

vA = vG + GA (5)

o = est le vecteur axial de rotation propre du petit cylindre. Vu quil y a roulementsans glissement, i.e.

vA = vsol = 0 (6)

lquation (5) se rduit vG = AG (7)

La projection des deux termes de lquation (5) dans le repre cartsien (ex, ey, ez) donne

vG = x ex

AG = R ez ey = R ex

Ainsi la projection de lquation (7) selon laxe ex donne,

x = R (8)

Lintgration de la condition (8) par rapport au temps, en utilisant les conditions initiales (0) = 0 et x (0) = 0, donne

x = R (9)

(b) tablir le bilan des forces en prsence.

Poids : P =Mg =Mg (sin ex cos ey) Force de rappel du ressort : T = k (x d) ex Raction normale du sol : N = Ney Force de frottement statique : F = Fex

o la force de frottement statique est ncessaire afin que le cylindre puisse rouler sans glisser.

(c) Appliquer le thorme du centre de masse.

P + T +N + F =MaG , (10)

4

Le thorme du centre de masse (10) scrit donc en composantes comme,

selon ex : Mg sin k (x d) + F =Mx (11)selon ey : 0 = Mg cos+N (12)

(d) Appliquer le thorme du moment cintique avec A comme point de rfrence pour le calcul dumoment cintique et celui des moments de force. En dduire une quation du mouvement pourlangle .

En tenant compte de la condition de roulement sans glissement (6), le thorme du momentcintique scrit comme

dLAdt

=

M extA (15)

En utilisant la condition (8), le moment cintique LA sexprime en coordonnes cartsiennescomme

LA = AGMvG + IG =MRx ey ex + IG ez =(IG +MR

2) ez (16)

La drive temporelle de lexpression (16) est de la forme

dLAdt

=(IG +MR

2) ez (17)

La somme des moments de forces M extA au point A est donne parM extA = AGM g +AG T + AA

=0

N + AA=0

F (18)

o, en utilisant la condition (9),

AGMg =MRg ey (sin ex cos ey) = MRg sin ezAG T = kR (x d) ey ex = kR (x d) ez = kR (R+ d) ez

Ainsi, M extA = R [Mg sin+ k (R+ d)] ez (19)

En projetant le thorme du moment cintique (15) sur laxe ez laide des relations (17)et (19), on obtient (

IG +MR2)+R [Mg sin+ k (R+ d)] = 0 (20)

qui est lquation du mouvement en fonction de langle de rotation propre .

3 Moment dinertie dun haltre entrain par un poidsUn haltre form de deux masses m1 et m2 est fix horizontalement sur un axe vertical sans massede rayon r, entran (par lintermdiaire dun cble et dune poulie fixe sans masse) par une massem3 comme indiqu sur la figure. Le systme est initialement au repos. On laisse ensuite chuter lamasse m3 dune hauteur h. On nglige tous les frottments.(a) Dterminer lacclration angulaire de lhaltre.

La masse m3 subit la force de pesanteur ~F = m3~g et la force de tension ~T exerce par lecble. Lquation du mouvement de la masse m3, projete sur un axe z vertical (pointant

5

vers le bas) est :m3z = m3g T ,

doncT = m3(g z) , (23)

o T est la norme du vecteur ~T .A son autre extrmit, le cble exerce une force horizontale ~T , de norme T , sur le systmeform de lhaltre et de son axe de rotation vertical. Il sagit de la seule force sur ce systmequi ait un moment non nul (ou non compens) par rapport au centre C de lhaltre, situsur laxe de rotation. Le thorme du moment cintique par rapport C scrit :

d ~LCdt

= ~MC,ext = ~r ~T , (24)

o ~L = I~ est le moment cintique du systme et I = (m1 +m2)R2 son moment dinertiepar rapport son axe de rotation vertical. Comme cet axe est un axe principal dinertiepar le point C, ~L est parallle la vitesse angulaire ~, selon cet axe.Soit langle de rotation. La vitesse angulaire de lhaltre vaut = . Lacclration de lamasse m3 vaut z = r.

En projetant le thorme du moment cintique sur laxe z puis en liminant T , on obtient :

I = rT = m3rg m3r2 ,

cest dire : =

m3rg

m3r2 + I, (25)

et donc =

m3rg

m3r2 + (m1 +m2)R2. (26)

(b) Dans lhypothse