cours_complet_automatique.pdf

Rpublique Algrienne Dmocratique et PopulaireMinistre de l'Enseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique

Universit Djillali Liabs Sidi Bel-AbbsFacult de TechnologieDpartement d'Electrotechnique

Partie 1Automatique 1 et 2

(Asservissements Linaires Continus)

Niveau : 3me Anne Licence

1re Anne Master

Parcours : Automatisme industriel

Dernire mise jour : Novembre 2013

Prpar et enseign par :

Prof. Mohammed-Karim FELLAHProfesseur de l'enseignement Suprieur

[email protected]

Cours d'asservissements linaires continus (2013-2014) Licence et Master Automatisme Industriel (Prof. FELLAH M.K.) 2

AVANTPROPOS

Ce document s'adresse aux tudiants de la formation d'ingnieur, de Licence et de Master dans lecadre des programmes officiels. Mais bien entendu il peut tre tudi par tous ceux en 1er cycle, en 2me cycle,ou mme en post-graduation, qui dsirent approfondir leurs connaissances ou avoir un document de base enmatire d'asservissement.

La commande et l'interprtation du comportement de procds industriels ou de phnomnesphysiques naturels font partie des tches qui incombent l'ingnieur. Ce dernier est confront une ralitqu'il lui faudra domestiquer et/ou comprendre pour en tirer le meilleur parti. Au centre de cette connaissance setrouve le concept de systme, concept que l'on retrouve dans un grand nombre de disciplines et techniques :contrle de procd, techniques d'optimisation, traitement du signal, filtrage, mathmatique des quationsdiffrentielles, etc.

Dans le cadre de ce cours, nous nous intressons principalement l'tude des "systmes" la foiscontinus et linaires, qui sont reprsents sous forme de fonction de transfert (reprsentation externe, diteencore de la "bote noire") ; ces trois conditions volontairement limitatives permettent d'introduire de faonsimple les principaux concepts de l'automatique.

Ce texte constitue la transcription fidle d'un cours oral magistral trait au dpartementd'Electrotechnique, l'universit de Sidi Bel-Abbs pour les tudiants en formation de Licence et Master(diffrents parcours). Le but recherch n'est donc pas d'puiser le sujet, mais d'essayer d'en dgager les idesessentielles, simplifies, quand cela est ncessaire, dans un but didactique. En consquence, l'accent est missur les explications physiques et les exemples, plutt que sur les dmonstrations, mais celles-ci sontgalement traites en dtail surtout lorsqu'elles sont indispensables la bonne comprhension du rsultat.

Pr. FELLAH Mohammed-Karim


Chapitre 1 : INTRODUCTION AUX ASSERVISSEMENTS

1- 1 - Introduction lautomatiqueL'automatique est gnralement dfinie comme la science qui traite des ensembles qui se suffisent

eux-mmes et o l'intervention humaine est limite l'alimentation en nergie et en matire premire.

L'objectif de l'automatique est de remplacer l'homme dans la plupart des tches (tches rptitives,pnibles, dangereuses, trop prcises, trop rapides) qu'il ralise dans tous les domaines sans interventionhumaine.

Les systmes automatiques permettent donc :

* de raliser des oprations trop complexes ou dlicates ne pouvant tre confis l'homme,

* de se substituer l'oprateur pour des tches rptitives,

* d'accrotre la prcision,

* d'amliorer la stabilit d'un systme et sa rapidit.

De tels dispositifs se rencontrent frquemment dans la vie courante, depuis les mcanismesbiologiques du corps humain jusqu'aux usines entirement automatises.

Une telle science englobe un grand nombre de disciplines et, par consquent, un automaticien devraittre la fois :

* Mathmaticien

* Electricien

* Mcanicien

* Economiste

1- 1.1 - ExempleNous sommes entours d'un grand nombre de systmes automatiques, machine laver, ascenseur,

distributeur de boisson, robot, suivi de trajectoire dun missile.

1- 1.2 - ClassificationLe domaine des applications de l'automatique est trs vaste et vari, mais l'observation de l'industrie

contemporaine conduit une certaine classification qui se rsume en deux grandes familles selon les donnesque traitent ces systmes :

* Les automatismes squentiels

* Les asservissements

Ces deux parties de l'automatique sont nettement diffrentes, elles s'appuient sur des notionsthoriques qui n'ont que de lointains rapports entre elles et les techniques qui permettent de les raliser sont,aussi, trs diffrentes.


1- 1.2.a - Les automatismes squentielsC'est la branche de l'automatique qui organise le droulement des diffrentes oprations relatives au

fonctionnement d'un ensemble complexe.

Un automatisme squence impose l'ordre dans lequel les oprations se droulent, s'assure quechaque opration est bien termine avant d'aborder la suivante, dcide de la marche suivre en casd'incidents.

Bien entendu, un automatisme squentiel peut avoir contrler des asservissements et desrgulateurs (voir 1- 1.2.b) parmi les ensembles qu'il gre.

Ce type d'automatisme est utilis par exemple dans la mise en route et l'arrt d'installations complexes(centrales automatiques), sur les machines outils et, en gnral, dans presque toutes units de productionautomatises.

Il faut noter galement que toutes les squences d'alarme et de scurit industrielle font partie desapplications de ce type d'automatisme.

Les automatismes sont des systmes logiques qui ne traitent que des donnes logiques (0/1, vrai/faux,marche/arrt,...). Ils utilisent les moyens de commutation offerts par l'lectronique (circuit logique) et lamcanique (logique pneumatique). Le calcul de ces automatismes impose de connatre l'algbre de Boole et lathorie des circuits squentiels.

Ils sont classs en 2 branches :

* Systmes combinatoires : les sorties du systme ne dpendent que des variables dentres.

* Systmes squentiels : les sorties dpendent bien sr de lvolution des entres mais aussi deltat prcdent des sorties.

Exemple : Machine laver, manipulateur pneumatique, ascenseur, distributeur de boissons.

1- 1.2.b - Les asservissementsUn systme asservi est un systme qui prend en compte, durant son fonctionnement, l'volution de ses

sorties pour les modifier et les maintenir conforme une consigne.

Cette branche de lautomatique se dcompose en deux autres sous branches (spares artificiellementpar l'usage) :

* Rgulation : maintenir une variable dtermine, constante et gale une valeur, dite deconsigne, sans intervention humaine. Exemple : Rgulation de temprature d'une pice.

* Systmes asservis : faire varier une grandeur dtermine suivant une loi impose par unlment de comparaison. Exemple : Rgulation de la vitesse d'un moteur, Suivi de trajectoire d'unmissile.

Lasservissement est essentiellement analogique et utilise la partie analogique des trois moyens debase dont on dispose : mcanique, lectrotechnique et lectronique. La thorie des asservissements ncessiteune bonne base mathmatique classique.


1- 1.3 - Systmes continus et invariants* Systme continu : un systme est dit continu lorsque les variations des grandeurs physiques le

caractrisant sont des fonctions du type f(t), avec t une variable continue, le temps en gnral. Onoppose les systmes continus aux systmes discrets (ou chantillonns), par exemple lessystmes informatiques.

* Systme invariant : On dit quun systme est invariant lorsque les caractristiques decomportement ne se modifient pas avec le temps.

1- 1.4 - Evolution de l'automatiqueCes dernires annes, lautomatique sest considrablement modernise, surtout depuis lavnement

des calculateurs numriques. Les systmes automatiques conduits par calculateurs assurent la quasi-totalitdes tches :

* ils collectent et traitent les informations issues des capteurs qui fournissent l'ensemble desvariables d'entre.

* ces variables d'entre constituent les donnes sur lesquelles des calculs numriques seronteffectus. Ils correspondent la rsolution numrique de systmes d'quations qui constituent le"modle mathmatique".

* le rsultat de ce traitement fourni en binaire est converti en variables continues et est inject dansle processus, afin de modifier son volution dans un sens dsir.

En plus de ces tches qui sont classiques en automatique, le calculateur joue un rle optimalisateur.C'est--dire qu'il excute le travail faire aux meilleures conditions conomiques en minimisant les dchets, entenant compte du carnet de commande, etc. Cet aspect, lui, est nouveau. Ce genre de problme tait traitsparment. Ce procd permet de tenir compte d'un nombre considrable de variables, donc de traiter desproblmes jusqu'alors impossibles. En plus, il fait intervenir directement les variables conomiques au niveaude chaque organe (moteur, pompe, etc ...). Or, jusqu' prsent, les variables conomiques n'intervenaient queglobalement. Il permet donc de traiter ce problme de faon beaucoup plus rationnelle.

Les systmes automatiques conduits par calculateurs ncessitent une bonne connaissance de laprogrammation en langage machine, de fortes connaissances mathmatiques (pour laborer le modle) etsurtout une connaissance parfaite du processus rguler, ce qui est le plus dlicat. Ceci ncessite encore debonnes connaissances en thorie de l'information, en statistique et en recherche oprationnelle.

1- 2 - Boucle de rgulation1- 2.1 - Notion d'asservissement

L'objectif d'un systme automatis est de remplacer l'homme dans une tche donne. Nous allons,pour tablir la structure d'un systme automatis, commencer par tudier le fonctionnement d'un systme danslequel l'homme est la " partie commande ".

Exemple : conducteur au volant d'un vhicule

Le conducteur doit suivre la route. Pour cela, Il observe la route et sonenvironnement et value la distance qui spare son vhicule du bord de la route. Ildtermine, en fonction du contexte, l'angle qu'il doit donner au volant pour suivre la route. Ilagit sur le volant (donc sur le systme) ; puis de nouveau, il recommence son observationpendant toute la dure du dplacement. Si un coup de vent dvie le vhicule, aprs avoirobserv et mesur l'cart, il agit pour s'opposer cette perturbation.

Si lon veut quun asservissement remplace l'homme dans diverses tches, il devra avoir uncomportement et des organes analogues ceux d'un tre humain. C'est--dire qu'il devra tre capabled'apprcier, de comparer et d'agir.


Exemple : ouverture de porte pour accs une maison.

Un autre exemple d'asservissement trs simple est celui d'un homme qui veut entrerdans une maison : chaque instant, ses yeux "mesurent" l'cart qui existe entre sa positionet la porte. Son cerveau commande alors aux jambes d'agir, en sorte que cet cart diminue,puis s'annule.

Les yeux jouent alors le rle d'organes de mesure (ou de capteurs), le cerveau celui de comparateuret les jambes celui d'organe de puissance.

Tout asservissement comportera ces trois catgories d'lments qui remplissent les 3 grandesfonctions ncessaires sa bonne marche (fig. 11) :

* Mesure (ou observation)

* Comparaison entre le but atteindre et la position actuelle (Rflexion)

* Action de puissance

1- 2.2 - Systmes boucls et non boucls1- 2.2.a - Exemple 1 : Tir au canon

Pour mieux saisir la notion de systme boucl, prenons un exemple avec 2 cas. Dans le premier, nousconsidrons un systme non boucl et nous mettrons en vidence ses faiblesses. Dans le second, nousmontrerons les avantages qu'apporte le bouclage.

Premier cas : tir au canon sur une cible.

On considre une cible dtruire et un canon. Pour atteindre le but que l'on s'estpropos, on rgle l'angle de tir du canon et la charge de poudre de l'obus en fonction descoordonnes de la cible et d'autres paramtres connus l'instant du tir. Une fois l'obus parti,si ces paramtres extrieurs viennent changer, par exemple si la cible se dplace, on nepeut plus agir sur sa direction : l'obus est abandonn lui-mme.

Deuxime cas : tir au canon sur une cible avec une fuse tlguide et un radar.

Considrons la mme cible et une fuse tlguide. Dans ce cas, mme si la cible sedplace ou un vent latral fait dvier la fuse de sa trajectoire initiale, elle atteindra quandmme son but. En effet, chaque instant, un radar donnera les positions respectives de lafuse et de la cible. Il suffira de les comparer pour en dduire l'erreur de trajectoire et agir surles gouvernes de la fuse pour rectifier cette erreur. Dans ce cas, le systme n'est plusabandonn lui-mme car il comporte une boucle de retour qui est constitue par le radar,qui "mesure" la position de la fuse et qui en informe l'oprateur, et par une tltransmissionqui permet de modifier la trajectoire par action sur les gouvernes.

La boucle de retour apporte donc, au prix d'une complication certaine, un gain de prcisionnorme.

Effet de l'actionTche raliser

Fig. 11 : Concept gnral dun asservissement

ActionRflexion

Observation


1- 2.2.b - Exemple 2 : Asservissement de vitesse dune voitureSupposons que l'on veuille maintenir constante la vitesse (V) d'une voiture. A la valeur (V) de la vitesse

correspond une valeur (e) de la course de l'acclrateur. Il suffirait donc, en principe, de maintenir (e) constantpour que (V) le soit. Chacun sait que la ralit est diffrente.

En effet, le vent, les variations de pente et le mauvais tat de la route modifient (V). Ces paramtresextrieurs qui influent sur la vitesse sont appels grandeurs perturbatrices ou perturbations. Si ellesn'existaient pas, la boucle de rgulation serait inutile.

Pour que la vitesse reste constante, il faut utiliser un tachymtre qui mesure la vitesse relle. Lechauffeur compare tout instant cette vitesse relle et la vitesse prescrite; Il en dduit un cart plus ou moinsgrand et enfonce plus ou moins l'acclrateur en fonction de cet cart.

Si on appelle grandeur de sortie (ou sortie) la vitesse relle et grandeur d'entre (ou entre) la vitesseimpose, le chauffeur et le tachymtre assurent une liaison entre l'entre et la sortie, ils constituent donc unechane de retour.

On peut donner un schma trs simple pour illustrer cet exemple (fig. 12) :

Chauffeur Acclrateur Moteur Voiture

Tachymtre

Entrevitesse

impose Perturbations

Sortievitesse (V)

relle

Fig. 12 : Exemple dasservissement de vitesse dun vhicule


1- 2.3 - Dfinitions Constitutions lmentairesOn peut donc dfinir un asservissement comme un systme boucl ou boucle ferme comportant

une amplification de puissance, une mesure et une comparaison.

A partir de ces 3 notions, on peut dfinir un schma fonctionnel valable pour tous les systmesprsentant ces caractristiques (fig. 13) :

* Le triangle : reprsente la fonction amplification de puissance.

* Le cercle : reprsente la fonction comparaison (qui s'effectue en faisant une diffrence).

* Le rectangle : reprsente la fonction mesure et transformation.

S

Grandeur

de sortie

La sortie rgule reprsente le phnomne physique que doit rgler le systme,cest la raison dtre du systme. Il peut s'agir d'une tension, d'un dplacement, d'un anglede rotation, d'un niveau, d'une vitesse, etc...

E

Grandeurd'entre

ou rfrence

ou consigne

La consigne, est lentre daction, cest la grandeur rglante du systme. Sanature peut tre diffrente de celle de (S). Seule importe sa valeur numrique. Si (E) et (S)sont de natures diffrentes, il suffit de dfinir une correspondance numrique entre cesdeux grandeurs. Par exemple, on dira qu'un volt l'entre reprsente 100 tours/mn.

erreur

ou cartentre - sortie

On appelle cart ou erreur, la diffrence entre la consigne et la sortie. Cettemesure ne peut tre ralise que sur des grandeurs comparables, on la ralisera donc engnral entre la consigne et la mesure de la sortie. Elle est fournie par le comparateur etest proportionnelle la diffrence ( ES' ). Elle peut tre de nature diffrente. Parexemple, E et S' tant des tensions, on pourra avoir sous forme de courant tel que = (ES' ) / R (R est une rsistance).

S'

Mesure

de la sortie

Elle est fournie par la chane de retour, gnralement aprs transformation. S' doitobligatoirement avoir mme nature physique que E. Ce qui est vident si on veut donnerun sens la diffrence ( E - S' ). Un des rles de la chane de retour est donc d'assurer laconversion de la mesure de S dans la grandeur physique de E.

A

B

SE

S '_+

Fig. 13 : Schma fonctionneldun asservissement

Fonction mesure ettransformation

Fonction amplification de puissance

Fonction comparaison


D'une manire gnrale, le systme comprend (fig. 14) :

Chane directe

ou d'action

* Englobe tous les organes de puissance (ncessitant un apport extrieurd'nergie) et qui excute le travail.

* Comporte gnralement nombreux lments, notamment des amplificateurs.

* La nature de ces lments n'est pas spcifie sur le schma, il peut s'agiraussi bien d'engins lectriques, mcaniques, pneumatiques, etc

Chane de retour

ou de raction

* Analyse et mesure le travail effectu et transmet au comparateur unegrandeur physique proportionnelle ce travail.

* Elle comprend gnralement un capteur qui donne une mesure de lagrandeur S, qui est ensuite amplifie et transforme avant d'tre utilise.

Comparateur

ou dtecteurd'cart

* Compare le travail effectu celui qui tait faire et dlivre un signal d'erreurproportionnel la diffrence entre une grandeur de rfrence (E) et lagrandeur physique issue de la chane de retour.

* Ce signal d'erreur, aprs amplification, agira sur les organes de puissancedans un sens tel que l'erreur tendra s'annuler.

RgulateurLe rgulateur se compose d'un comparateur qui dtermine l'cart entre la

consigne et la mesure et d'un correcteur qui labore partir du signal d'erreur l'ordre decommande.

Actionneur C'est l'organe d'action qui apporte l'nergie au systme pour produire l'effetsouhait.

CapteurLe capteur prlve sur le systme la grandeur rgle (information physique) et la

transforme en un signal comprhensible par le rgulateur. La prcision et la rapidit sontdeux caractristiques importantes du capteur.

PerturbationOn appelle perturbation tout phnomne physique intervenant sur le systme qui

modifie ltat de la sortie. Un systme asservi doit pouvoir maintenir la sortie son niveauindpendamment des perturbations

Perturbationsventuelles

Chane de retour (ou d'observation)

Rgulateur

Mesure

Sortieasservie

Entre derfrence

(consigne)

CorrecteurActionneur

+processus

Capteur

+

Chane directe (ou d'action)

Fig. 14 : Organisation fonctionnelle d'un systme asservi (schma fonctionnel)

Comparateur

Erreur ouEcart


1- 2.4 - Rgulation et systmes asservisNous avons fait la distinction dans l'introduction entre rgulation et asservissement. Nous pouvons

maintenant prciser de faon nette cette diffrence :

* Un rgulateur : maintient l'erreur entre l'entre E et la sortie S nulle, quelles que soient lesperturbations, la grandeur d'entre E restant constante ou variant par palier. E est alors appeleconsigne ou rfrence.

* Un systme asservi : maintient l'erreur nulle ou minimale quelles que soient les variations deE. Gnralement, E est une fonction du temps qui peut tre priodique, mais qui doit toujoursrester continue et finie.

Il faut remarquer que les contraintes sont plus grandes pour un systme asservi que pour unrgulateur, puisque aucune contrainte de vitesse de variation n'est impose pour E.

1- 2.5 - Proprits des systmes linairesQuand un systme est linaire, il jouit de proprits importantes qui permettent une tude plus

commode, en particulier le principe de superposition linaire qui se traduit par les relations :

Entre Sortie

Additivit :

)t(s)t(s)t(e)t(e)t(s)t(e)t(s)t(e

2121

22

11

o e(t) et s(t) sont les

grandeurs d'entre et de sortie

Homognit :

)t(s.)t(e.)t(s)t(e

Ce principe traduit le fait que les effets sont proportionnels aux causes et que les causesajoutent leurs effets.

1- 3 - Rgimes transitoires des asservissements1- 3.1 - Dfinitions

EntrePermanente

Entre d'un systme dont l'expression, en fonction du temps, est du typeconstante, linaire, parabolique ou priodique

RgimePermanent

Il est atteint par un systme quand, soumis une entre permanente, sa sortie est dumme type que l'entre c'est--dire constante, linaire, parabolique ou priodique.

Ce rgime est aussi appel rgime forc.

RgimeTransitoire

Il correspond au fonctionnement du systme quand il passe d'un type de rgimepermanent un autre.

Pratiquement, un asservissement travaille toujours en rgime transitoire ; en effet, mme un rgulateurdont l'entre est constante doit constamment revenir au rgime permanent, car des perturbations quiconstituent des entres secondaires l'en cartent. Il en est de mme pour les asservissements.


e(t) A s(t)

Fig. 17 : Reprsentation dun systme quelconque 1 entre 1 sortie

L'aptitude du servomcanisme revenir au rgime permanent sera caractrise par ses performancesdynamiques.

1- 3.2 - Performances d'un systme asservi* En rgime permanent : la grandeur de sortie doit tre aussi voisine que possible de la valeur

dsire. En ralit, il subsiste toujours une lgre erreur. Cette erreur est appele :

- erreur statique ou cart permanent quand la grandeur d'entre est une constante ; pourun systme idal, elle doit tre nulle.

- erreur de tranage quand la grandeur d'entre est une fonction linaire du temps.

* En rgime transitoire : le systme voluant entre deux rgimes permanents, le temps mis par lesystme pour aller de l'un l'autre et la faon dont il parvient l'tat final, sont trs importants.

- Le temps de rponse est le temps au bout duquel la sortie du systme a atteint, 5 % (ou 2 % selon la prcision voulue), sa valeur de rgime permanent et y reste(Fig. 15).

- L'amortissement : la sortie du systme dpasse gnralement la valeur qu'elle doit avoirdans le rgime permanent final et elle oscille quelques instants autour de cette valeur.Les oscillations doivent tre amorties, le plus rapidement possible. L'amortissement estmesur par le coefficient de l'exponentielle enveloppe (Fig. 16).

1- 4 - Mise en quation d'un systme - Rsolution1- 4.1 - Mise en quation

Nous avons dit prcdemment que nous nous bornions l'tude des systmes linaires. Donc, lesquations rencontres seront des quations diffrentielles linaires coefficients constants.

Considrons un systme quelconque A, le plus gnral possible, possdant une entre e(t) et unesortie s(t) (fig. 17).

Si on applique un signal l'entre, on recueillera, la sortie, un signal qui sera lie au signal d'entrepar une quation diffrentielle de type :

ebdtdeb......

dtedbsa

dtdsa......

dtsda 01k

k

k01n

n

n

Fig. 15 : Temps de rponse Fig. 16 : Amortissement


Calculoprationnel

e(t) s(t) =L-1 [S(p)]

Transforme deLaplace du signal

d'entre

S(p) = L [s(t)]

Mthode classique (ordre 2)

Fig. 18 : Dtermination de la sortie du systme par la mthodeclassique et par le calcul oprationnel

L [e(t)] = E(p)

Transforme inverse deLaplace du signal de sortie

* Les coefficients ai et bj sont les paramtres du systme et ils sont senss tre connus, ce qui estle cas dans la pratique pour la plupart des systmes courants. Ils reprsentent diversesconstantes de temps et divers coefficients de proportionnalit accessibles la mesure.

* La difficult de la mise en quation rside surtout au niveau de la connaissance du processus lui-mme. En ralit, l'quation diffrentielle laquelle on arrive n'est souvent qu'une approximationqui consiste ngliger des termes d'ordre plus lev. Cette prcision suffit dans la plupart descas, bien qu'une tude plus pousse soit quelque fois ncessaire.

* Une fois l'quation du systme tablie, il faut exprimer la valeur de la sortie en fonction du tempspour connatre les rgimes permanents et transitoires. Pour cela, il existe 2 mthodes(voir fig. 18) :

MthodeClassique

Consiste rsoudre l'quation diffrentielle dcrivant ce systme, c'estdire trouver une rponse force et une rponse libre pour le systme. Maiscette mthode ne permet pas toujours de trouver une solution et peut amener une difficult de rsolution ds que l'ordre de l'quation diffrentielle dpasse 2.

MthodeOprationnelle

Base sur le calcul oprationnel ou, essentiellement, sur la transformede Laplace qui mettra en relation, une fonction de la variable du temps f(t) avecune fonction de la variable complexe F(p) dpendant de la pulsation.

Notation : L [ f(t) ] = F(p) avec p = a + j.b (nombre complexe)

Pour un rappel sur lutilisation de la transforme de Laplace, voir lannexe A.

1- 4.2 - Utilisation de la transforme de LaplaceEn appelant S(p) et E(p) les transformes de s(t) et de e(t), si on prend la Transforme de Laplace des

deux membres de l'quation diffrentielle :

ebdtdeb......

dtedbsa

dtdsa......

dtsda 01k

k

k01n

n

n

On aura :

)p(EbE(p)pb......E(p)pb)p(SaS(p)pa......S(p)pa 01k

k01n

n

d'o : S(p) =01

nn

01k

k

apa......pabpb......pb

. E(p)


Si l'on connat l'image E(p) de e(t), il est facile, grce aux tables de transformes de Laplace, derevenir l'original de S(p).

D'une manire gnrale, cette notation n'est valable que si :

* le systme est linaire coefficients constants,

* toutes les variables et leurs drives sont nulles pour t < 0 (le systme part du repos absolu),

* le systme est dissipatif, donc sa rponse tend, plus ou moins, vers un rgime permanentindpendant des conditions initiales.


e(t) A s(t)

Fig. 21 : Reprsentation dun systme quelconque 1 entre 1 sortie

Chapitre 2 : NOTION DE FONCTION DE TRANSFERT

2- 1 - IntroductionRappelons que :

* SI nous considrons un systme quelconque A, le plus gnral possible, possdant une entree(t) et une sortie s(t) (fig. 21) :

* ALORS, Si on applique un signal l'entre, on recueillera, la sortie, un signal qui sera lie ausignal d'entre par une quation diffrentielle de type :

)t(ebdt

de(t)b......dt

)t(edbsadt

ds(t)a......dt

)t(sda 01kk

k01n

n

n

En appelant S(p) et E(p) les transformes Laplace de s(t) et de e(t), si on prend la Transforme deLaplace des deux membres de l'quation diffrentielle, on aura :

)p(EbE(p)pb......E(p)pb)p(SaS(p)pa......S(p)pa 01k

k01n

n

d'o : S(p) =01

nn

01k

k


. E(p)

Par dfinition, la FONCTION DE TRANSFERT du systme de la figure (21) est le quotient :

F(p) =01

nn

01k

k


C'est aussi le rapport de la transforme de Laplace de la sortie la transforme de Laplacede l'entre quand toutes les conditions initiales sont nulles. Dans ce cas, on a :

S(p) = F(p) . E(p)

La Fonction de Transfert caractrise la dynamique du systme. Elle ne dpend que de sescaractristiques physiques. Ainsi, dornavant, un systme sera dcrit par sa fonction de transfert et non parl'quation diffrentielle qui le rgit.

Notons enfin, que cette fonction de transfert est aussi appele transmittance par analogie avecl'impdance dans les systmes lectriques.


2- 2 - Fonction de transfert d'un ensemble d'lments2- 2.1 - Elments en srie (ou cascade)

Soit n lments de fonction de transfert G1 (p) .......Gn (p) mis en srie (la sortie du premier est relie l'entre du second, etc...) (fig. 22).

La fonction de transfert de l'ensemble est gale au produit des fonctions de transfert de chaquelment :

H(p) =)p(E)p(S

1= G1 (p) . G2 (p) . ....... . Gn (p)

Ceci est vident puisque, par dfinition, on a :

G1 (p) =)p(E)p(E

1

2 ,........., Gn (p) =)p(E

)p(Sn

et que H(p) =)p(E)p(S

1

2- 2.2 - Elments en parallleSoient n lments de fonction de transfert G1 (p) .......Gn (p) mis en parallle (fig. 23).

La fonction de transfert quivalente H(p) a pour expression :

H(p) =)p(E)p(S = G 1 (p) + G 2 (p) + ....... + G n (p)

On peut considrer que S(p) est le rsultat de la superposition des n sorties des n lments, c'est--dire que :

S(p) = S1 (p) + S2 (p) + ....... + Sn (p) (en vertu de la linarit du systme, les effets s'ajoutent)

Chaque lment pris, indpendamment, donnera une sortie Si (p) quand on lui applique l'entre E(p).Donc :

E

G1 (p)

Gn (p)

S+

Fig. 23 : Connexion en parallle de fonctions de transfert

SEH(p)

E1 E 2 E 3 E n S SE 1G 1 (p) G 2 (p) G n (p) H(p)

Fig. 22 : Connexion en srie (ou cascade) de fonctions de transfert


S(p) =i Si (p) = G1 (p) . E(p) + G2 (p) . E(p) + ....... + Gn (p) . E(p)

S(p) = [ G1 (p) + G2 (p) + ....... + Gn (p) ] . E(p)

d'o : H(p) = G1 (p) + G2 (p) + ....... + Gn (p)

2- 2.3 - Cas d'un systme n entres indpendantes

La fonction de transfert n'a de sens qu'entre la sortie et une entre. Le systme de la fig. 24 pourradonc se dcomposer en n constituants ayant la sortie en commun et pour entre chacune des n entres.

On calculera les fonctions de transfert Gi (p) de chaque lment en supposant nulles les entres autresque Ei (p). Ceci n'est possible que si les diffrentes quations du systme ne sont pas couples entre elles.

Dans ce cas, on peut crire :

S(p) = i

G i (p) . E i (p)

Il n'y a pas de fonction de transfert globale pour le systme.

2- 3 - Fonction de Transfert en Boucle Ferme ( FTBF )Soit un systme asservi, le plus gnral, reprsent par le schma de la fig. 25.

Soit A(p) et B(p), respectivement, les fonctions de transfert des chanes directe et de retour.

Cherchons la fonction de transfert du systme complet : H(p) =)p(E)p(S

Nous avons les relations suivantes :

SystmeS

E1

En

G1 (p)

Gn (p)

E 1

E n

S+

Fig. 24 : Systme n entres indpendantes

A(p)

B(p)

SE

S '_

+

Fig. 25 : Schma fonctionnel dun systme asservi (Boucle Ferme)


S(p) = A(p) . (p) , S ' (p) = B(p) . S(p) , (p) = E(p) S ' (p)S(p) = A(p) . [ E(p) S ' (p) ] = A(p) . [ E(p) B(p) . S(p) ]

d'o S(p) =)p(B).p(A1

)p(A

E(p)

La fonction de transfert d'un systme boucl ou en Boucle Ferme (FTBF) est donc le rapportde la fonction de transfert de sa chane directe 1 + A(p). B(p.:

H(p) =)p(B).p(A1

)p(A

2- 4 - Fonction de transfert en boucle ouverte ( FTBO )La Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (galement appele F.T.B.O.) est la fonction de transfert

qui lie les transformes de Laplace de la sortie de la chane de retour S ' (p) l'erreur (p). Elle correspond l'ouverture de la boucle (Fig. 26 ):

Dans ce cas, = E puisque le comparateur ne reoit plus qu'une seule information.On a donc : S ' (p) = B(p) . S(p)

= B(p) . A(p) . (p)= B(p) . A(p) . E(p)

d'o :)p()p('S

= K(p) = A(p) . B(p)

La Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (ou FTBO) d'un asservissement est le produitdes fonctions de transfert de la chane directe par la chane de retour.

La fonction de transfert en boucle ouverte a une grande importance dans l'tude de lastabilit des systmes ; de plus, elle est directement accessible la mesure.

A(p)

B(p)

SE S '

_+

B(p)

Fig. 26 : Schma fonctionnel d'un systme asservi en Boucle Ouverte


2- 5 - Fonction de transfert d'un systme boucles multiplesIl existe des systmes complexes o l'on rencontre, non seulement une chane de retour principale,

mais un grand nombre de chanes de retour secondaires. Dans ces asservissements, il y a plusieursrgulateurs ou servomcanismes dans une chane. La figure 28 en donne un exemple.

Le calcul de la fonction de transfert d'un tel systme peut paratre compliqu. Pour mener bien cecalcul, il faut utiliser l'artifice suivant : au lieu de considrer la fonction de transfert globale Y(p), on considreson inverse 1 / Y(p).

Y(p) =)p(B).p(A1

)p(A )p(A

1+B(p)=)p(Y

1

Dans notre cas :

B(p) = B 6 (p) transmittance de la chane de retour

A(p) transmittance de la chane directe A(p) = A1 (p). Y1 (p) . Y2 (p)

En appliquant la mme procdure, on a :

1Y1 = B 2 +

2A1 ,

2Y1 = B 5 +

533 AYA1 ,

3Y1 = B 4 +

4A1

A1 =

211 YYA1 =

44

535

22

1 A1B

AA1B

A1B

A1

Soit :)p(Y

1 = B 6 +

44

535

22

1 A1B

AA1B

A1B

A1

2- 6 - Formes gnrales de la Fonction de Transfert d'un systme linaireSoit un systme asservi reprsent par sa fonction de transfert de forme gnrale suivante :

F(p) =)p(D)p(N

A..........pAB..........pB

0n

n

0m

m

Si N(p) et D(p) ont des racines alors :

N(p) = Bm [(p z1)(p z2).(p zm)] ou N(p) = Bm

m

1ii )zp(

D(p) = An [(p p1)(p p2).(p pn)] ou D(p) = An

n

1jj)pp(

+A4

B4

_

+A5

A3_

+A2

B2

_+A1

_

B5

B6

ES

Y2Y3Y1

Fig. 28 : Exemple de systme asservi boucles multiples


F(p) s'crit alors : F(p) =

n

1jj

m

1ii

n

m

)pp(

)zp(

AB Avec : m < n pour un systme rel

* les racines du numrateur sont appeles " zros de la fonction de transfert ",

* les racines du dnominateur sont appeles " ples de la fonction de transfert ",

2- 7 - Rgles de transformation des schmas fonctionnelsD'une manire gnrale, pour simplifier un bloc fonctionnel il est souvent plus judicieux de dplacer les

points de connexion et les comparateurs (ou additionneurs), d'inter-changer ces derniers, puis de rduire lesboucles internes.

N Schma fonctionnel original Schma fonctionnel quivalent

1.

2.

3.

4.

5.

6.

B+A

C+AB+C

AB+C+

A

B C+

+AB AB+C

++

A

C B

+A+C

AB+C+

A

B C+

+AB

G1 G2A.G1 A.G1.G2A

G2 G1A.G2 A.G1.G2A

G1 G2A.G1 A.G1.G2A

G1.G2A.G1.G2A

G1+G2A.G1+A.G2AG1

G2

A.G1 A.G1+A.G2A

++A.G2

A

B

GA.G A.G B

+

A.G B

B

GA

GB

A

+

GB

G1


B.G

GA.G B.GA

+

GB

A.G

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

B

GA B A.G B.GA

+

G

G

A.GA

A.G

GA.GA

A

G

G1

A.GA

A.GA

B

A BA

A B

+

GA.GA

A.G

A B

AA B

+

+

B

B

G1

G2

A.G1 A.(G1+G2)A

++A.G2

G1

G2

BA

+

BA

+ G22G

1 G1

G1

G2

BA

+

G1

G2

BA

++

21

1G.G1

G

A B

21

1G.G1

G

A B

A.G2 A.(G1+G2)A

++

G1G2A A.G1

A.G2


2- 7.1.a - Exemple de rduction successive d'un schma fonctionnel

Soit rduire le schma fonctionnel suivant :

En appliquant la rgle n 6, puis la rgle n 1, on obtient :

Rgle n 14 :

Rgle n13 :

Rgle n 13 :

G1CR

+

G2 G3

H1

H2

+++

+

G1CR

+

G2 G3

H1

12

GH

++ +

CR

12121

H.G.G1G.G

G3

12

GH

++

CR

232121321

H.G.GH.G.G1G.G.G

+

CR

321232121

321G.G.GH.G.GH.G.G1

G.G.G


Chapitre 3 : METHODES D'ETUDES DES ASSERVISSEMENTS

3- 1 - IntroductionNous avons vu, dans le chapitre prcdent, qu'il tait possible connaissant les quations diffrentielles,

de dterminer la fonction de transfert d'un systme. Mais il existe de nombreux cas o le systme est unsystme industriel mal dfini et dont, fortiori on ne connat pas les quations diffrentielles. Or, laconnaissance de sa fonction de transfert est trs importante pour dterminer ses performances et surtout sastabilit. Il est donc important de mettre au point des mthodes capables de rsoudre le problme.

En gnral, on applique cette procdure pour dterminer les fonctions de transfert des lments quientrent dans une chane. La connaissance exprimentale ou mathmatique de toutes les fonctions de transfertdes lments permet alors de dterminer la fonction de transfert de l'ensemble.

Ces mthodes sont bases sur l'utilisation d'entres dites canoniques, faciles mettre en uvre danstoutes les techniques (lectrique, mcanique, hydraulique). On en dduit alors les diffrentes constantes de lafonction de transfert.

Certains appareils dit analyseurs de fonction de transfert facilitent les mesures.

3- 2 - Entres canoniques3- 2.1 - Echelon unit

C'est une fonction nulle pour t < 0 et constante et gale 1 pour 0 < t < (fig. 31).Cette fonction est appele quelquefois u(t) (unit). Elle n'est pas dfinie pour t = 0 puisqu'il y a

discontinuit cet endroit.

Sa transforme de Laplace est :

L { u(t) } =p1

3- 2.2 - Echelon de vitesse ( rampe unit )C'est une fonction nulle pour t < 0 et qui varie linairement avec t pour t 0 (fig. 32).On l'exprime parfois sous la forme r(t) = t . u(t).

Cette fonction est appele chelon de vitesse ou rampe, car sa vitesse de variation est constante etgale 1.

u(t)

t1

0

Fig. 31 : Fonction Echelon


On vrifie aisment que sa transforme de Laplace est gale :

L { r(t) } =2p

1

En effet :

L { r(t) } = 0

pt dt.t.e , on pose : u = t dv = dte pt

du = dt v =p

e pt

Donc L { r(t) } =

0pt

pe)t(f = 0 +

0

pt

pe-

p1 =

2p1

3- 2.3 - Echelon d'acclration

Soit f(t) la fonction chelon d'acclration, dfinie par (voir fig. 33) : f(t) =

0tpour)t(u2t

0


3- 2.4 - Impulsion unitaireUne impulsion est une fonction du temps de dure trs courte mais dont l'amplitude est suffisamment

grande pour que l'effet en soit sensible. L'impulsion est dite unitaire si la surface est gale 1. On la note (t)(fig. 34).

(t) =

0

0 t 0 et t1lim pour 0 < t 8, il y a 2 changement de signe dans la 1re colonne; donc 2 plesinstables.

Si (K = -1 ou K = 8), (frontire entre la stabilit et l'instabilit) on dit que le systme estoscillant (marginalement stable).

4- 2.3 - Exemple 2 (ligne complte de zros)Nous avons dit que si une ligne complte tait compose de zro, la mthode tait en dfaut. En fait, il

est quand mme possible d'en tirer des conclusions moyennant certains amnagements.

Si P(p) = p5 + 7p4 + 6p3 + 42p2 + 8p + 56

Alors, le tableau de Routh est :

p5 : 1 6 8

p4 : 71 426 568 Division de la ligne par 7

p3 : 0 0

p2 : - -

p1 : -

p0 : -


La 3me ligne est nulle. On substitue alors cette ligne les coefficients obtenus en diffrentiant unefonction fictive, appele polynme auxiliaire, construite sur la ligne prcdant la ligne nulle. Le polynmeauxiliaire pour lexemple en cours scrit :

Q(p) = p4 + 6p2 + 8

Si nous le drivons, par rapport p, nous obtenons alors :

dp)p(dQ = 4p3 + 12p + 0

Les coefficients de ce polynme remplacement ceux de la ligne nulle dans le tableau initial. Le tableaudevient alors :

p5 : 1 6 8

p4 : 1 6 8

p3 : 41 123

p2 : 3 8

p1 : 1/3

p0 : 8

Il ny a aucun changement de signe sur la 1re colonne du tableau, donc aucune racine partie rellepositive. Le systme est donc stable.

4- 2.4 - Exemple 3 (un zro sur la premire colonne)Si le premier lment de la ligne est nul, la ligne suivante ne pourra pas tre calcule car il y aurait une

division par zro. Pour viter cela, on utilise un nombre de valeur trs faible (epsilon) pour remplacer le zrode la premire colonne. peut tendre vers zro par valeur positive ou ngative, pour permettre par la suite lecalcul du nombre de changement de signe de la premire colonne.

Considrons le systme dont la FTBF G(p) =3p5p6p3p2p

102345

P(p) = 3p5p6p3p2p 2345 Alors, le tableau de Routh est :

p5 : 1 3 5

p4 : 2 6 3

p3 : 0 7/2

p2 : 76 3

p1 :1412

64942 2

p0 : 3


Considrons uniquement le changement de signe dans la premire colonne et calculons le signe dechaque ligne dans les 2 cas ( 0+ et 0) :

1re colonne 0+ 0p5 : 1 + +

p4 : 2 + +

p3 : 0 + p2 :

76 +

p1 :

141264942 2

+ +

p0 : 3 + +

Si est choisi positif, il y a 2 changements de signe. Sil est choisi ngatif, il y a galement 2changements de signe. Le systme a donc 2 ples dans le demi-plan droit du plan complexe (2 plesinstables) et ce nest pas important si nous choisissons dapprocher le zro par valeur positive ou ngative.Ceci est toujours le cas.

4- 3 - Critre de NyquistLe critre de Nyquist permet de dterminer la stabilit dun systme boucl sur la base de sa rponse

harmonique en boucle ouverte.

4- 3.1 - nonc du critre de NyquistLa condition ncessaire et suffisante de stabilit d'un systme asservi linaire est que son

lieu de transfert en boucle ouverte, parcouru de = = +, entoure le point critique (1,0) dansle sens trigonomtrique un nombre de fois gal au nombre de ples instables de la fonction detransfert en boucle ouverte.

tant donn un systme asservi, dfini par sa fonction de transfert en boucle ouverteFTBO(p) = A(p).B(p).

La relation : Z = P N donne le nombre Z de zros instables de l'quationcaractristique1 + FTBO(p) = 0 et donc de ples instables de la FTBF(p), avec :

P : Nombre de ples instables de la FTBO(p), N : Nombre de tours que fait le lieu complet de Nyquist ( variant de + ) autour du point

critique (1,0) dans le sens trigonomtrique ( sens anti-horaire ).

En particulier, le systme asservi est stable, condition que : Z = 0 P = N


En pratique, on retiendra les tapes suivantes pour appliquer le critre de Nyquist :

tudier la stabilit de la FTBO P: nombre de ples instables de la FTBO. Tracer le lieu de Nyquist complet de la FTBO ( variant de - + ). Calculer le nombre de tours (compts algbriquement dans le sens trigonomtrique), soit N, que

fait le lieu complet de Nyquist ( variant de - + ), autour du point critique (-1,0). En dduire Z = P N = nombre de ples instables de la FTBF.

4- 3.2 - ExempleSoit un systme asservi retour unitaire dont la FTBO est : G(p) =

Tp1K (T > 0 )

Discutons sa stabilit suivant les valeurs de K.

K > 0 (fig. 47) La FTBO(p) a un ple instable p = +1/T.

P = 1 Le nombre de tours autour du point (-1,0) est :

N = 0Z = P N = 1 01 ple instable de la FTBF

Systme instable en boucle ferme. Ce systme est instable en boucle ouverte et

instable en boucle ferme.

K < 1 (fig. 48) P = 1 N = + 1 Z = P N = 0 Pas de ple instable de la FTBF

Systme stable en boucle ferme. Ce systme est instable en boucle ouverte et

stable en boucle ferme.

1 < K < 0 (fig. 49) P = 1 N = 0 Z = P N = 1 1 ple instable de la FTBF

Systme instable en boucle ferme. Ce systme est instable en boucle ouverte et

instable en boucle ferme.

1

Imag.

Rel

+

= 0+ = 0

K0

Fig. 47

1

Imag.

Rel

+

= 0 = 0+

K 0

Fig. 48

1

Imag.

Rel

- +

= 0- = 0+

K 0

Fig. 49


Vrification la stabilit par le critre de Routh :

FTBO(p) =Tp1

K FTBF(p) = TpK1

K ( retour unitaire)

quation caractristique : Tp + 1 + K = 0

p1 : T

p0 : 1+K

Pour que le systme soit stable, il faudrait que : 1 + K < 0 K < 1

4- 3.3 - Critre de Nyquist simplifi (critre du Revers)Il est dduit du critre de Nyquist :

Un systme stable en Boucle Ouverte, est stable en Boucle Ferme, si le trac du lieu deNyquist de la FTBO, dcrit dans le sens des pulsations croissantes ( variant de 0 +), laisse lepoint critique (1,0) sa gauche. Il est instable dans le cas contraire.

Le critre du Revers est d'un emploi plus commode que le critre de Nyquist, car il ne met en uvreque le lieu physique de la FTBO (correspondant aux pulsations positives)

Par contre, le critre du Revers est moins gnral, et il ne peut s'appliquer sans danger que lorsque lanotion de "gauche" n'est pas ambigu (Fig. 410).

4- 4 - Marges de stabilitPour un systme stable en Boucle Ouverte, nous venons de voir que la stabilit en Boucle Ferme

dpend de la position du lieu de Nyquist de la FTBO par rapport au point critique (-1,0).

Le critre de Nyquist spcifie que le lieu de Nyquist doit laisser le point 1 gauche lorsquon leparcourt dans le sens croissant des . Le cas o il existerait une pulsation laquelle le lieu traverseraitexactement ce point est un cas limite correspondant un systme en boucle ferme dont la stabilit seraitmarginale.

Mais la tendance vers linstabilit est graduelle : plus le lieu de Nyquist est proche du point critique,moins le degr de stabilit est bon, et plus on aura par exemple doscillations avant stabilisation en boucleferme.

De faon quantifier le degr de stabilit dun systme asservi, il est donc utile de chiffrer la distanceentre le lieu de Nyquist et le point critique (1, 0). La mesure effective de la distance minimum ntant paschose aise dun point de vue mathmatique, on prfre, de manire traditionnelle, valuer indirectement cettedistance par les mesures des marges de phases et de gain G. Ces marges reprsentent des marges descurit par rapport l'tat instable.

1

Imag.

Rel

Fig. 410 : Cas d'ambigut danslapplication du critre du revers


Ces grandeurs sont dfinies de la manire suivante :

La marge de phase dun systme est mathmatiquement la diffrence entre la phase deFTBO(c0) c'est--dire (c0), et 180 : = (c0) + 180

La marge de phase permet de prserver la stabilit en dpit de la prsence de retards parasites par exemple dus la transmission des signaux dont on n'a pas tenu compte au moment del'tude de la stabilit.

La marge de gain G a pour expression : G =)(FTBO

1

Elle permet de prserver la stabilit en dpit des fluctuations de gain, qui affectent, en particulier,les amplificateurs de la chane de puissance.

Pour qu'un systme soit stable, il faudrait que : > 0 et G > 0

Ces marges sont illustres sur le lieu de Nyquist des figures 411 et 412.

4- 4.1 - Valeurs usuelles de et GLes marges dfinies ci-dessus permettent dvaluer la distance entre le point critique et le lieu de

Nyquist en boucle ouverte. Imposer leurs valeurs revient sassurer que lon ait jamais FTBO() = 1, c'est--dire jamais simultanment (pour la mme pulsation) :

180)(FTBO1)(FTBO

Lexprience montre que pour des systmes classiques (notamment phase minimale), un bon degr

de stabilit en boucle ferme est obtenu si lon est capable dimposer :

dB158G6045

Avec ces valeurs, on obtient dans la plupart des cas une paire de ples dominants en boucle fermecaractriss par un coefficient damortissement 0,5 0,707.

Pour rgler la stabilit d'un systme, il est souvent dlicat de raisonner en tenant compte des deuxmarges la fois. Dans ce cas, on privilgie, en gnral, la marge de phase .

1

Imag.

RelG

FTBO()0

Fig. 412 : Illustration des marges degain et de phase sur le lieu de Nyquist

(cas dun systme instable)

c0

1

Imag.

Rel

G

FTBO()

0

Fig. 411 : Illustration des marges de gain etde phase sur le lieu de Nyquist

(cas dun systme stable)

c0

G1)(FTBO


4- 4.2 - Critre de Stabilit utilisant les courbes de Bode et de BlackLes marges de gain et de phase dfinie prcdemment peuvent galement tre reprsentes sur le

diagramme de Bode (figures 413 et 414) et sur le lieu de Black-Nichols (fig. 415 et 416).

4- 4.3 - Marge de stabilit applique la position des ples de la FTBFLa notion de marge de stabilit applique la FTBF conduit sinterdire un domaine pour la position

des ples dans le plan complexe.

On simpose, en gnral, 60 (ce qui correspond un systme du deuxime ordreavec = cos = 0.5) (fig. 417).

1

|G() |

G > 0

> 0

c0

180

0

Fig. 413 : illustration des marges de gain etde phase sur le diagramme de Bode

(cas dun systme stable : G > 0 et > 0)

1

|G() |

G < 0

< 0

c0

180

0

Fig. 414 : illustration des marges de gain etde phase sur le diagramme de Bode

(cas dun systme instable : G < 0 et < 0)

Imag

Rel

Zone interdite

= 60 Fig. 417 : illustration de lamarge de stabilit impose surla position des ples dans le

plan complexe.

180| G() |

()

FTBO()

0

1c0

Fig. 415 : illustration des marges de gain etde phase sur le lieu de Black-Nichols

(cas dun systme stable : G > 0 et > 0)

-180

| G() |

()G

FTBO(p)

0

Fig. 416 : illustration des marges de gain et dephase sur le lieu de Black-Nichols

(cas dun systme instable : G < 0 et < 0)

c0 1

G


A_

B

E S+

-

Fig. 51 : Schma gnral d'un asservissement

R

Chapitre 5 : PERFORMANCES DES ASSERVISSEMENTS

5- 1 - IntroductionNous supposerons dans ltude qui suit que les systmes asservis tudis sont stables.

La prcision dun systme est dfinie partir de lerreur entre la grandeur de consigne E et lagrandeur de sortie S (fig. 51). Nous distinguerons la prcision statique qui caractrise la limite de lerreur aubout dun temps infini pour une entre donne, cest--dire le rgime permanent, et la prcision dynamique quitient compte des caractristiques dvolution du processus en rgime transitoire.

5- 2 - Performances Statiques des Systmes boucls5- 2.1 - Erreur statique

La prcision dun asservissement, en rgime permanent, est dfinie par lcart permanent(t) qui existe entre la sortie relle et celle que lon dsire obtenir.

Par dfinition, on dira quun systme est dautant plus prcis que le signal derreur (t) estplus faible.

Lidal serait que lon ait : (t) = 0, t

En pratique, il en est autrement, car :

La consigne peut varier : la recherche de la minimisation de (t), en dpit de ces variations,constitue un problme de suivi (ou de poursuite).

Un signal de perturbation alatoire (exemple : un bruit) peut venir de superposer au signal utile enun point de la chane : le maintien de (t), en dpit de la perturbation, constitue un problme dergulation.

Calculons l'erreur statique :

(p) = E(p) R(p) Or R(p) = S(p) . B(p) et S(p) = (p) . A(p) (p) = E(p) - (p) . A(p) . B(p) (p) =

)p(B).p(A1)p(E

(5 1)

Daprs le thorme de la valeur finale { )p(F.plim)t(flim0pt }, lerreur statique s (ou encore ) est

donne par la relation : s = )p(.plim)t(lim0pt


s =

)p(B).p(A1)p(E.plim

0p=

FTBO(p)1)p(E.plim

0pErreur statique (5 2)

s dpend donc la fois :

du systme considr {prsence de A(p).B(p)}, du signal dentre appliqu {prsence de E(p)}.

Adoptons la notation suivante :

n : le nombre dintgrateurs que comporte la FTBO(p)

FTBO(p) = A(p). B(p) =.........pbpb1.........papa1.

pK

221

221

n n = entier 0

n est appel classe du systme

m : lordre du signal dentre canoniqueE(p) =

m0

pE m = entier 1

Si m = 1 chelonSi m = 2 rampeSi m = 3 Acclration

5- 2.1.a - Erreur statique pour une entre chelonCest lerreur qui subsiste en rgime permanent sur la rponse indicielle (fig. 52).

Sortie s(t)

Entre derfrence

e(t) = E0.u(t)

t

0

Erreur sconstante

Fig. 5-2 : Erreur statique pour une entre chelon


Si lentre vaut : E(p) =p

E0

s =

FTBO(p)1)p(E.plim

0p=

FTBO(p)lim1E

0p

0

s =e

0

K1E Avec Ke = FTBO(p)lim0p = Constante derreur statique dchelon

ou gain statique en Boucle ouverte

Pour les systmes de classe 0 : Ke =.........pbpb1.........papa1.Klim 2

21

221

0p

= K s =

K1E0 = cte

Pour les systmes de classe n > 0 : Ke =.........pbpb1.........papa1.

pKlim 2

21

221

n0p

= s = 0

5- 2.1.b - Erreur statique ( ou erreur de tranage ) pour une entre rampe (ou vitesse)Cest lerreur qui subsiste en rgime permanent sur la rponse une rampe (fig. 53).

Si lentre vaut : E(p) = 20

pE

s =

FTBO(p)1)p(E.plim

0p=

FTBO(p).ppElim 0

0p=

p.FTBO(p)limE

0p

0

s =v

0

KE Avec Kv = )FTBO(p.plim

0p= Constante derreur statique de vitesse

Pour les systmes de classe 0 : Kv =.........pbpb1.........papa1.K.plim

221

221

0p

= 0 s =

Pour les systmes de classe 1 : Kv =.........pbpb1.........papa1.

pK.plim

221

221

10p

= K s =

KE0 = cte

Pour les systmes de classe n >1 : Kv =.........pbpb1.........papa1.

pK.plim 2

21

221

n0p

= s = 0

Sortie s(t)

Entre derfrence

e(t) = E0.t.u(t)

t

0

Fig. 53 : Erreur statique pour une entre rampe

Erreur s


5- 2.1.c - Erreur statique pour une entre parabolique (ou acclration)Cest lerreur qui subsiste en rgime permanent sur la rponse une entre acclration (fig. 54).

Si lentre vaut : E(p) = 30

pE

s =

FTBO(p)1)p(E.plim

0p=

FTBO(p).ppElim 22

00p

=)FTBO(p.plim

E2

0p

0

s =a

0KE = cte Avec Ka = FTBO(p).plim 2

0p = Constante derreur statique dacclration

Pour les systmes de classe 0 : Ka =.........pbpb1.........papa1.K.plim 2

21

2212

0p

= 0 s =

Pour les systmes de classe 1 : Ka =.........pbpb1.........papa1.

pK.plim 2

21

221

12

0p

= 0 s =

Pour les systmes de classe 2 : Ka =.........pbpb1.........papa1.

pK.plim 2

21

221

22

0p

= K s =

KE0 = cte

Pour les systmes de classe n > 2 : Ka =.........pbpb1.........papa1.

pK.plim 2

21

221

n2

0p

= s = 0

5- 2.1.d - Rcapitulatif des erreurs statiquesLe tableau 51 rcapitule les valeurs de lerreur statique en fonction :

de la classe n du systme de lordre du signal dentre canonique du gain K de la FTBO du systme

Sortie s(t)

Entre de rfrence

e(t) = E0.2t2 .u(t)

t

0

Erreur s

Fig. 54 : Erreur statique pour une entre acclration


Classe dusystme Constantes d'erreur statique Erreur statique s

n Ke Kv Ka

Entre Echelon

e

0

K1E

Entre Vitesse

v

0KE

Entre acclration

a

0KE

0 K 0 0K1

E0

1 K 0 0KE0

2 K 0 0KE0

3 0 0 0

0 0 0

Tableau 51 : Rcapitulatif des erreurs statiques

Remarques importantes:

Les constantes derreurs Ke, Kv, et Ka dcrivent laptitude du systme asservi rduire ou liminerlerreur statique. Elles renseignent, par consquent, sur les performances du systme en rgime permanent.

Il est gnralement prfrable daccrotre les constantes derreurs, tout en maintenant la rponsetransitoire dans des proportions acceptables ; En effet, lerreur statique, lorsquelle est finie et non nulle, dcrotlorsque le gain en boucle ouverte crot. Mais cette croissance du gain peut dtriorer la stabilit du systme.Cette proprit est connue sous le nom de " Dilemme Stabilit Prcision ", qui ncessite souvent uncompromis.

Il est noter galement que pour amliorer les performances en rgime statique, nous pouvonsaugmenter la classe du systme en ajoutant un ou des intgrateur(s) dans la chane directe du systme. Cecipeut, cependant, engendrer des problmes de stabilit supplmentaires.

5- 2.2 - Gain statique en boucle fermePour un systme stable, le gain statique en boucle ferme est dfini par :

Ks =)t(e)t(slim

t = FTBF(p)lim0p

5- 2.3 - ExempleSoit le systme asservi de la figure 55. Calculons ses diffrentes erreurs statiques pour diffrentes

entres canoniques :


Il faut s'assurer, tout d'abord, de la stabilit du systme. Utilisons pour cela le critre de Routh :

FTBO(p) =)2p(p

4 = )

2p1(p

2

FTBF(p) =

)2p1(p

21

)2p1(p

2

=

12p

4p

12

p2 : 1/4 1

p1 : 1/2 0 Tous les termes de la 1re colonne sont de mme signe

p0 : 1 systme stable

Gain statique en boucle ferme : Ks = FTBF(p)lim0p

=1

Entre chelon : s =

FTBO(p)1)p(E.plim

0p= 0 avec E(p) = 1/p (E0 = 1)

Ou alors : Ke = , puisqu'il s'agit d'un systme de classe 1. s =e

0

K1E = 1/ = 0

Entre vitesse : s =

FTBO(p)1)p(E.plim

0p= 1/2 avec E(p) = 1/p2 (E0 = 1)

Ou alors : Kv = K = 2, puisqu'il s'agit d'un systme de classe 1. s =v

0KE = 1/2

Entre acclration : s =

FTBO(p)1)p(E.plim

0p= avec E(p) = 1/p3 (E0 = 1)

Ou alors : Ka = 0, puisqu'il s'agit d'un systme de classe 1. s =a

0KE =

)2p(p4_

E S+

-

Fig. 55 : Exemple dun systme asservi


5- 3 - Performances Dynamiques des Systmes bouclsDans la majorit des cas pratiques, les caractristiques de performances dsires pour les

asservissements sont exprimes relativement au temps. Les systmes qui emmagasinent de l'nergie nepeuvent rpondre instantanment et prsentent des rponses transitoires chaque fois qu'ils sont soumis des entres ou perturbations.

Gnralement, le comportement dynamique d'un systme peut tre entirement caractris par larponse temporelle de ce systme suite une entre chelon puisqu'elle est facile gnrer (Fig 56).

La rponse transitoire d'un systme suite une entre chelon dpend des conditions initiales. Parcommodit dans la comparaison des rponses transitoires de diffrents systmes, il est plus pratique d'utiliserles conditions initiales standards (systme au repos l'instant initial et toutes les drives par rapport au tempssont nulles). Les caractristiques des rponses peuvent alors tre compares.

La rponse transitoire des systmes asservis pratiques prsente souvent des oscillations amortiesavant d'atteindre le rgime permanent. Les critres de performances, communment utiliss pour lacaractrisation des systmes asservis linaires dans le domaine temporel, sont dfinis comme suit :

Temps de retard (time delay), td : il est dfini comme tant le temps ncessaire pour que larponse atteigne la moiti de sa valeur finale.

Temps de monte (rise time), tr : temps ncessaire la rponse pour voluer de 10 90%, de 5 95%, ou de 0 100% de sa valeur finale. Pour les systmes du 2nd ordre peu amorti, le tempsde monte de 0 100% est plus gnralement utilis. Pour les systmes trs amortis, l'volutionde 10 90% est plus souvent choisie.

+ 5 %

- 5 %

s(t)

s(

ts

s(

tr

s(

td

s(

0

s(

100%. K

s(

50%. K

s(

tp

s(

d

s(

t

Fig 56 : caractristiques de la rponse transitoire


Temps de pic (peak time), tp : temps ncessaire pour atteindre le 1er pic de dpassement.

Dpassement maximum, d : c'est la valeur du pic maximal de la rponse mesure relativement l'unit. Si la valeur finale du rgime permanent diffre de l'unit, on utilise plus souvent ledpassement maximal exprim en pourcentage. Il est dfini par :

d % =)(s

)(s)t(s p

100 % (53)

L'importance de ce dpassement maximum (en %) est quil renseigne directement sur la relativestabilit du systme.

Temps de rponse ou d'tablissement (settling time), ts : c'est le temps requis pour que lacourbe de sortie atteigne et reste l'intrieur d'une bande, exprime en pourcentage(gnralement 5%), relativement sa valeur finale.

Ces 5 grandeurs donnent une mesure directe de la caractristique transitoire du systme asservirelativement sa rponse indicielle. Cela veut dire que le systme doit tre modifi jusqu' ce que la rponsetransitoire soit satisfaisante.

Il est noter que ses grandeurs ne sont pas toutes, ncessairement, applicables n'importe quelsystme. Pour un systme trs amorti (non oscillant), tp et d ne sont pas dfinis.

5- 3.1 - Remarques sur les caractristiques de la rponse transitoireExcept pour certaines applications pour lesquelles les oscillations ne sont pas tolrables, il est

prfrable que la rponse soit suffisamment rapide et suffisamment amortie. Ainsi, pour une rponse transitoireacceptable d'un systme du 2nd ordre, le coefficient d'amortissement doit avoir une valeur 0.4 0.8 :

De faibles valeurs de ( < 0.4) produisent un dpassement excessif de la rponse transitoire. Des valeurs importantes de ( > 0.8) donnent une rponse trs lente.

Nous verrons, plus loin, que le dpassement maximum et le temps de monte ne peuvent pas trefaibles tous les deux, simultanment. Si l'un d'eux est diminu, le second crot ncessairement.

5- 3.2 - Caractristiques de la rponse transitoire des systmes du 2nd ordreDans la suite, nous allons dterminer le temps de monte, le temps de pic, le dpassement et le temps

de rponse ou d'tablissement d'un systme du 2nd ordre en fonction de et de n. Le systme est considrcomme tant peu amorti.

5- 3.2.a - Temps de monte tr (rise time)Le systme considr prsente une sortie s(t) telle que (voir 362) :

s(t) =

t2n2

2n

ne)1.tsin(1

)1.tcos(1K (54)

Pour tr, la sortie vaut : s(tr) = K


)1.tsin(1

)1.tcos( 2n22

n = 0 puisque rnte 0

2nr 1.ttg =

21

tr =2

n 1

1

21arctg (55)

Avec p, et dfinis sur la figure 57, il vient :

tr =

p

p

arctg1 tr =2

np 1

(56)

Il est clair que pour de faibles valeurs de tr , p doit tre importante.

A partir de l'quation 56, la figure 58 montre les variations de (n.tr) en fonction de .

Fig 58 : Variations de n.tr en fonction de .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

25

30

n.tr

p = n 21

Imag

Rel = n0

jpn

-

Fig 57 : dfinition de p, et

cos() = Ple


5- 3.2.b - Temps de pic tp (peak time)Le temps de pic correspond au maximum de la sortie s(t). Il est obtenu en crivant que la drive de

s(t) par rapport au temps est nulle en ce point.

s(t) =

t2n2

2n

ne)1.tsin(1

)1.tcos(1K

dt)t(ds =

)t.cos(

1)t.sin(.e)t.sin(

1)t.cos(eK p2

ppp

tp2p

tn

nn

dt)t(ds =

)t.sin(e

1K p

t2

n n

dt)t(ds = 0 si :

1. t = (cette solution correspond au maximum uniquement lorsque 1)2. sin(p.t) = 0

sin(p.t) = 0 p.t = n. n = 0, 1, 2, t =

p

n n = 0, 1, 2, (57)

Le temps de pic correspond au premier dpassement (n = 1), donc :

tp =p =

2n 1

(58)

s(t)

s(

0

s(

K

s(

Dpassement maximum d

21

n t

Fig. 59 : Priodicit des maximas et minimas de la rponse indicielle

21

2

21

3

21

4

smax

s(

smin

s(

n tp

n TpTp : pseudo priode


Fig. 510 : Dpassement d% en fonction du coefficient d'amortissement .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

d%

En se rfrant lqu.(57) et la fig. (59), les maximas de la rponse transitoire apparaissent auxvaleurs impaires de n. Les minimas, celles paires.

Remarque :

Il est noter que bien que la rponse indicielle pour 0 ne soit pas priodique, les maximas et lesminimas de la rponse apparaissent des intervalles priodiques de priode Tp (fig. 59).

5- 3.2.c - Dpassement maximum d (maximum overshoot)Ce dpassement apparat t = tp =

p =

2n 1

:

d =)(s

)(s)t(s p

=

K

K)t(s p

= pnt2np22

np e)1.tsin(1

)1.tcos(

= )/(2

pne)sin(1

)cos(

d = )1(2

e d % = )1( 2e 100 % (59)

La figure 510 donne les variations du dpassement d (exprim en pourcentage) relativement aucoefficient d'amortissement .


0 1 2 3 40

K

Temps

Amplit

ude

t/T

2

Tt

1

e1K

21

11K

21

11K

Fig. 511 : Paire d'enveloppes de la rponse indicielle d'un systme du 2nd ordre

+ 5 %- 5 %

2

Tt

1

e1K

5- 3.2.d - Temps de rponse ou d'tablissement ts (settling time)La sortie s(t) du systme considr peut tre crite sous la forme suivante (voir 362) :

s(t) =

1arctg.tsin1

e1K2

p2

tn(510)

Les courbes 1

2

t

1e n sont les courbes enveloppes de la rponse indicielle (fig. 511). La

sortie demeure toujours l'intrieur de cette paire d'enveloppes. La constante de temps de ces enveloppes est

T =n

1 .

La vitesse de dcroissance de la rponse transitoire dpend de la constante de temps T. Pour un ndonn, le temps d'tablissement ts est une fonction du coefficient d'amortissement . Les systmes trslgrement amortis, prsentent un ts plus important que celui pour les systmes correctement amortis. Pour lessystmes trs amortis ( > 1), le temps d'tablissement devient important cause du dpart trs lent de larponse (voir rponses indicielles en fonction de , 362).

La description analytique exacte du temps d'tablissement est difficile obtenir. Il est cependantdmontr que, pour un critre de 5 % et 0 < < 0.9, ce temps ts varie lgrement et reste approximativementgal 3 fois la constante de temps T. Il atteint un minimum autour de 0.68 puis augmente, presquelinairement, pour les grandes valeurs de .


Par convention dans la comparaison des rponses transitoires des systmes, on adopte gnralementle temps d'tablissement suivant :

ts = 3.T =n

3

(critre de 5 %) (511)

A titre d'information, si le critre adopt est celui de 2 %, alors : ts = 4.T

Il faudrait noter que ts est inversement proportionnel au produit du coefficient d'amortissement par lapulsation propre non amortie n. Puisque la valeur de est gnralement dtermine comptetenu desexigences sur le dpassement maximum admissible, ts est dtermin essentiellement par la pulsation proprenon amortie n. Cela veut dire que la dure du transitoire peut tre varie en ajustant uniquement n, sansmodifier le dpassement maximum.

A partir de cette analyse, il devient vident que pour une rponse rapide, n doit tre important. Pourlimiter le dpassement maximum d et pour rduire ts, le coefficient d'amortissement ne doit pas tre tropfaible (fig. 510).

Si 0.4 < < 0.8, alors 25 % > d > 2.5 %

5- 3.2.e - ExempleConsidrons le systme asservi retour unitaire de la figure 512 dont les paramtres sont :

= 0.6n = 5 rd/s

Dterminer tr, tp, d, et ts lorsque le systme est sujet une entre chelon.

p = 2n 1 = 4 rd/s = . n = 3 temps de monte tr : tr =

p

or = arctg p = 0.93 rd ou encore = arcos ( ) = 0.93 rd

donc tr =4

93.014.3 = 0.55 s

temps de pic tp : tp =p =

414.3 = 0.785 s

dpassement d : d % = )1( 2e 100 % = 9.5 %

temps d'tablissement ou de rponse ts 5% prs : ts =n

3 =

3 = 1 s

)2p(p n

2n

_

E S

+-

Fig. 512 : Systme de 2nd ordre


5- 3.3 - Relations Boucle Ouverte Boucle Ferme retour unitaire5- 3.3.a - Systme du 1er ordre

Soit le systme asservi retour unitaire de la fig. 513, dont la FTBO(p) =p1

K

BO

BO

Avec : KBO et BO respectivement le gain et la Constante de temps en boucle ouverte.

FTBF(p) =p1

KBF

BF

Avec : KBF et BF respectivement le gain et la Constante de temps en boucle ferme.

Alors : KBF =BO

BO

K1K < 1 Gain en boucle ferme (512)

BF =BO

BO

K1 < BO Constante de temps en boucle ferme (513)

La figure 514 montre les rponses indicielles en Boucles ouverte et ferme (ex. pour KBO > 1).

p1K

BO

BO

_

ES

+-

Fig. 513: Systme du 1er ordre

s(t) en BF

s(t) en BO

BF BO

Fig. 514 : rponses indicielles en BO et en BF d'un systme du 1er ordre retour unitaire

KBO

KBF

Step Response

Time (sec)

Amplit

ude

00

1


Remarques :

Le systme en boucle ferme est donc plus rapide qu'en boucle ouverte. La pente l'origine est la mme en BO qu'en BF. Un systme du 1er ordre en BO (BO, KBO) reste un systme du 1er ordre en BF (BF, KBF).

5- 3.3.b - Systme du 2nd ordreSoit le systme asservi retour unitaire de la fig. 515, dont la FTBO(p) =

22nBOnBO

BO

BO

p1p21

K

Avec : KBO, BO, et nBO respectivement le gain, le coefficient d'amortissement, et pulsation propre nonamortie en boucle ouverte.

FTBF(p) =2

2nBFnBF

BF

BF

p1p21

K

Avec : KBF, BF, et nBF respectivement le gain, le coefficient d'amortissement, et pulsation propre nonamortie en boucle ferme.

Alors : KBF =BO

BO

K1K < 1 Gain en boucle ferme (514)

BF =BO

BO

K1 < BO Coefficient d'amortissement en boucle ferme (515)

nBF = BOnBO K1 > nBO Pulsation propre non amortie en boucle ferme (516)

La figure 516 montre les rponses indicielles en boucles ouverte et ferme (ex. pour KBO > 1).

E2

2nBOnBO

BO

BO

p1p21

K

_

S+

-

Fig. 515 : Systme du 2nd ordre


Step Response

Time (sec)

Amplit

ude

00

Fig. 516 : rponses indicielles en BO et en BF d'un systme du 2me ordre retour unitaire

s(t) en BO

s(t) en BF

KBO

KBF

1

Remarques :

Le systme en boucle ferme est donc plus oscillant qu'en boucle ouverte (BF < BO), le systme en boucle ferme est plus rapide qu'en boucle ouverte (td, tp, tr sont plus faibles), le temps d'tablissement 5% prs est identique, car le produit (n.) reste constant. Un systme du 2me ordre en BO (nBO, BO, KBO) reste un systme du 2me ordre en BF (nBF, BF,

KBF).

5- 3.3.c - Relations d'approximationsEn reprsentation asymptotique de Bode, le gain d'un systme du 2me ordre a l'allure suivante :

KBO

1conB0

(chelle log)

Gain (chelle log)

(-2)

(0)Fig. 517 : Diagramme du

module (reprsentationasymptotique de Bode)


Pente = 2 =conBO loglog

1logKlog

Ce qui donne :

co = BOnBO K (517)

Remarque :

Cette relation est approximative puisqu'elle est obtenue partir d'un diagramme asymptotique.

Si ce systme est retour unitaire, alors d'aprs (516) : nBF = BOnBO K1 .

Gnralement, K est grand, de sorte que l'on peut crire :

nBF = BOnBO K1 BOnBO K cod'o :

nBF co (518)

La marge de phase est : = (co) +

Or :

BOnBOnBFco

2

nBO

nBOBO

co

K1

1

.2arctg)(

co

(co) = BOBOBO

K11K1.2

arctg =

BO

BOBO

KK1.2

arctg

Si KBO est grand, alors : (co)

BO

BO

K.2arctg BF.2arctg (Car

BO

BOBF

K1 )

(co) - BF.2arctg = BF.2arctg

D'o : = BF.2arctg = BF.2arctg

Conversion en degrs : .3602 = BF.2arctg 2.BF

D'o :

BF 100

(519)


5- 4 - Effets de l'addition de ples et de zros aux fonctions de transfertIl a t montr dans les chapitres prcdents que le comportement dynamique des systmes asservis

dpend normment de la position des racines de l'quation caractristique dans le plan complexe (ples de laFTBF).

Cependant, en pratique, un asservissement russi ne peut dpendre uniquement du choix des valeursdes paramtres du systme de faon que les racines de l'quation caractristique soient correctement places.

Nous allons voir que :

Bien que les racines de l'quation caractristique, qui sont les ples de la FTBF, affectent larponse transitoire des systmes asservis linaires, en particulier la stabilit, les zros de la fonctionde transfert, s'il y en a, sont galement importants.

Ainsi le rajout et /ou la suppression de ples et de zros indsirables de la fonction de transfert estsouvent ncessaire pour obtenir des performances temporelles satisfaisantes. Dans ce chapitre, nous verronsque l'addition de ples et zros aux fonctions de transfert en boucle ferme peut avoir des effets diffrents surla rponse transitoire des systmes boucls.

5- 4.1 - Addition d'un ple supplmentaire la chane directe d'un systme asservi retour unitaire

Pour tudier l'effet de l'addition d'un ple la chane directe d'un systme asservi retour unitaire,considrons le systme du second ordre de la figure 518, auquel nous rajoutons un ple (p = 1 / Tp)supplmentaire sur la chane directe (fig. 519).

Fig. 519 : Rajout d'un ple supplmentaire la chane directe d'un systme asservi de 2nd ordre

)2p(p n

2n

_

E S

+-

pT11

p

2nn

2pn

3p

2n

p2p)T21(pT E S

)2p(p n

2n

_

E S

+-

2nn2 2n p2p E S

Fig. 518 : systme asservi de 2nd ordre retour unitaire


La FTBO devient :

G(p) =)pT1)(2p(p pn

2n

(520)

La FTBF s'crit alors :

F(p) = FTBF(p) =)p(G1

)p(G = 2nn2pn3p

2n

p2p)T21(pT (521)

La figure 520 illustre les rponses indicielles d'un systme en boucle ferme lorsque :

n = 1 rd/s, = 1, et Tp = 0, 1, 2, et 5 s

Ces rponses montrent que :

L'addition d'un ple la chane directe d'un systme asservi augmente, gnralement, ledpassement maximum de la FTBF, ainsi que le temps de monte tr (rise time).

Fig. 520 : Rponse indicielle de F(p) (addition d'un ple la chane directe).

Ex : n = 1 rd/s, = 1, et Tp = 0, 1, 2, et 5 s

Step Response

Time (sec)

Amplit

ude

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

Tp = 0

Tp = 1

Tp = 2

Tp = 5


5- 4.2 - Addition d'un ple supplmentaire la fonction de transfert en boucle fermeConsidrons la fonction de transfert en boucle ferme d'un systme du second ordre auquel on rajoute

un ple (p = 1 / Tp ) supplmentaire (Fig. 521) :

F(p) = FTBF(p) =)pT1)(p2p( p

2nn

2

2n

(522)

La figure 522 illustre les rponses indicielles du systme en boucle ferme lorsque :

n = 1 rd/s, = 0.5, et Tp = 0, 0.5, 1, 2, et 4 s

)2p(p n

2n

_

S

+-

)pT1)(p2p( p2nn

2

2n

E S

)pT1(1

pE

Fig. 521 : Rajout d'un ple supplmentaire la fonction de transfert d'un systme asservi de 2nd ordre

Fig. 522 : Rponse indicielle de F(p) (addition d'un ple la FTBF) .

Ex : n = 1 rd/s, = 0.5, et Tp = 0, 0.5, 1, 2, et 4 s

Step Response

Time (sec)

Amplit

ude

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tp = 0 Tp = 4

Tp = 1

Tp = 2

Tp = 0.5



L'addition d'un ple la fonction de transfert en boucle ferme dcrot, gnralement, ledpassement maximum de la FTBF, mais fait augmenter le temps de monte tr (rise time).

Si l'on ne considre que le dpassement, ajouter un ple une fonction de transfert enboucle ferme a un effet oppos celui obtenu lorsque le ple est ajout la chane directe.

5- 4.3 - Addition d'un zro supplmentaire la fonction de transfert en boucle fermeConsidrons la fonction de transfert en boucle ferme d'un systme du second ordre auquel on rajoute

un zro (p = 1 / Tz ) supplmentaire (Fig. 523) :

F(p) = FTBF(p) =)p2p(

)pT1(2nn

2z

2n

(523)

La figure 524 montre les rponses indicielles du systme en boucle ferme lorsque :

Avec n = 1 rd/s, = 0.5, et Tz = 0, 1, 3, 6, et 10 s.


L'addition d'un zro la fonction de transfert en boucle ferme dcrot le temps de monte tr(rise time) et augmente le dpassement maximum de la rponse indicielle.

)2p(p n

2n

_

S

+-

)p2p()pT1(

2nn

2z

2n

E S

( 1+Tzp )E

Fig. 523 : Rajout d'un zro supplmentaire la fonction de transfert d'un systme asservi de 2nd ordre


5- 4.4 - Addition d'un zro supplmentaire la chane directe d'un systme retourunitaire

Considrons qu'un zro 1/Tz est ajout la chane directe d'un systme asservi de 3me ordre deFTBO G(p) (Fig. 525).

G(p) =)2p)(1p(p

)pT1(6 z

FTBF(p) = F(p) =6p)T62(p3p

)pT1(6

z23

z

(524)

Fig. 524 : Rponse indicielle de F(p) (addition d'un zro la FTBF) .

Ex : n = 1 rd/s, = 0.5, et Tz = 0, 1, 3, 6, et 10 s

Step Response

Time (sec)

Amplit

ude

0 5 10 150

1

2

3

4

5

6

Tz = 0

Tz = 10

Tz = 3

Tz = 6

Tz = 1

Fig. 525 : Rajout d'un zro supplmentaire la fonction de transfert d'un systme asservi de 3me ordre

)2p)(1p(p6

_E S

+-

( 1+ Tzp )

6p)T62(p3p)pT1(6

z23

z

E S


La diffrence entre ce cas et celui d'ajouter un zro la fonction de transfert en boucle ferme est quedans le cas prsent, le terme (1+Tz p) apparat non seulement au numrateur de F(p) mais le dnominateur deF(p) contient galement Tz.

Le terme (1+Tz p) au numrateur de F(p) augmente le dpassement maximum, mais Tz apparat dansle coefficient du terme en p au dnominateur, ce qui a pour effet d'amliorer l'amortissement ou rduire ledpassement maximum.

La figure 526, illustre les rponses indicielles lorsque Tz = 0, 0.2, 0.5, 2, 5, et 10 s.

Il est noter que lorsque Tz = 0, le systme est au bord de l'instabilit. Lorsque Tz = 0.2 et 0.5, lesdpassements maximums sont rduits, principalement cause de l'amlioration de l'amortissement. LorsqueTz crot au del de 2, bien que l'amortissement continue tre amlior, le terme (1+Tz p) au numrateurdevient de plus en plus dominant, et le dpassement maximum devient de plus en plus important au fur et mesure que Tz augmente.

Une conclusion importante est tirer de cette discussion :

Bien que les racines de l'quation caractristique soient gnralement utilises pour tudierle relatif amortissement et la relative stabilit des systmes asservis linaires, les zros de la fonctionde transfert ne doivent pas tre ngligs quant leurs effets sur les performances transitoires dusystme.

Fig. 526 : Rponse indicielle de F(p) (addition d'un zro la chane directe d'une FT).

Ex : Tz = 0, 0.2, 0.5, 2, 5, et 10 s

Step Response

Time (sec)

Amplit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Tz = 0

Tz = 10

Tz = 2Tz = 5

Tz = 0.2

Tz = 0.5


5- 5 - Ples dominants des fonctions de transfertA partir des discussions prcdentes, il devient clair que la position des ples de la fonction de

transfert dans le plan de Laplace affecte normment la rponse transitoire du systme. Pour les besoinsd'analyse et de synthse, il est important de trier les ples ayant un effet dominant sur la rponse transitoire.On les appellera ples dominants.

Puisque la majorit des systmes de contrle rencontrs dans la pratique sont d'un ordre suprieur deux, il devient utile d'tablir des indications quant l'approximation des systmes d'un ordre important par dessystmes d'un ordre plus faible aussi longtemps que la rponse transitoire est concerne.

En synthse, nous pouvons utiliser les ples dominants pour contrler les performances dynamiquesdu systme, tandis que les ples ngligeables ou insignifiants sont utiliss afin d'assurer que la fonction detransfert du rgulateur peut tre ralise par des composants physiques.

Pour tous les besoins pratiques, nous pouvons sectionner, qualitativement, le plan de Laplace enrgions dans lesquelles les ples dominants et les ples insignifiants sont spars comme sur la figure 527.Nous avons, dlibrment, choisi de ne pas assigner des valeurs spcifiques aux coordonnes, puisqu'ellessont toutes relatives au systme considr.

Les ples qui sont proches de l'axe imaginaire du ct gauche du plan complexedonnent lieu des rponses transitoires qui vont s'amortir relativement doucement.

Les ples qui se trouvent loin de l'axe (relatif au ples dominants), correspondent des amortissements rapides des rponses.

La distance D entre la rgion dominante et la rgion peu signifiante peut tre sujet discussion : il esttabli en pratique et dans la littrature que si le module de la partie relle d'un ple vaut 5 10 fois celle d'unple dominant ou d'une paire de ples complexes de ples dominants, le ple sera considr comme tantngligeable relativement la rponse transitoire.

Zone des plesinsignifiants

Zone desples

dominants

Zone d'instabilit

Plan - p

j

0

D

Fig.526 : Zones des ples dominants et insignifiants dans le plan - p

Zone de stabilit


Chapitre 6 : LIEU D'EVANS(Lieu des racines ou Lieu des ples)

6- 1 - IntroductionAu chapitre prcdent, nous avons dmontr l'importance des ples et zros de la fonction de transfert

en boucle ferme des systme

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