Chapitre 4: stabilite des systemes non-lineaires

Philippe Chartier

19 novembre 2013

1 Introduction

On considere ici une equation differentielle ordinaireautonome

y = f(y)

ou f est une fonction deRd andRd de classeC1, et on s’interesse a son etude qualita-tive, c’est-a-dire a l’etude de l’ensemble de ses solutions pour differentes valeurs initialesy(0) = y0 d’un point de vue geometrique. Pour une condition initiale donneey0, on notey(t; 0, y0) = y(t; y0) la valeur de la solution a l’instantt passant pary0 a l’instant0 etJy0

l’intervalle de definition de la solution maximale associ´ee ay0.

Definition 1.1 (Portrait de phase) Le portrait de phase de l’equationy = f(y) , f ∈C1(Rd;Rd) est la representation graphique des trajectoiresy(t; 0, y0); y0 ∈ Rd, t ∈Jy0.

Exemple 1.2 (Dimension 1) Poury ∈ R, f(y) = y(y2−1). On a trois points d’equilibre,y = 0 ety = ±1. Le premier est stable, alors que les deux autres sont instables.

Exemple 1.3 (Dimension 2) Soit le systeme

y1 = 2y1y2 = −y2

La solution correspondanta la valeur initiale(y10, y20) s’ecrit

y1(t) = e2ty10, y2(t) = e−ty20

de sorte que les trajectoires sont les courbes parametrees telles que

(y2(t))2y1(t) = const

1

Exemple 1.4 (Pendule sans frottement) L’equation differentielle d’ordre2

θ + a sin(θ) = 0, a > 0

se reecrit sous la forme d’une systeme d’ordre1 en posanty1 = θ ety2 = θ :

y1 = y2y2 = −a sin(y1)

Il est facile de verifier que l’energie du systeme

H(y1, y2) =1

2y22 − a cos(y1)

est conservee le long de toute solution. En effet on a :

d

dtH(y1, y2) = y2y2 − a(− sin(y1))y1 = 0.

Les trajectoires s’inscrivent donc sur les courbes d’equationH(y1, y2) = const.

Definition 1.5 Un systeme hamiltonien est un systeme d’equations differentielles du type

y = J−1∇yH(y)

ou H : R2n → R est une fonction scalaire de classeC2 et ou J est la matrice canonique

J =

(

0 −InIn 0

)

On a, comme deja vu dans les chapitres precedents, conservation de l’hamiltonien (l’energiedans de nombreux systemes physiques) :

d

dtH(y) = (∇yH(y))T y = (∇yH(y))T J−1∇yH(y) = 0

ou l’on a utilise l’anti-symetrie de la matriceJ .

2 Diff erentes notions de stabilite

2.1 Theoreme de Grobmann-Hartman

Definition 2.1 (Linearise) Soit l’equation differentielle y = f(y), f ∈ C1(Rd;Rd) ety0 ∈ Rd. Le systeme linearise eny0 est le systeme d’equations differentielles suivant :

y =∂f

∂y(y0) (y − y0) + f(y0)

C’est le systeme obtenu en remplacantf(y) par son developpement de Taylora l’ordre 1eny0.

2

L’objectif du theoreme suivant est d’etablir un lien entre le comportement qualitatif dela solution d’un systeme d’equations differentielles et celui de son linearise au voisinaged’un point. En raison de la difficulte de la preuve, nous nouscontenterons d’enoncer cetheoreme sans demonstration et detaillerons par contre quelques resultats plus faibles dansles paragraphes suivants.

Theoreme 2.2 (Grobman-Hartman 1967). Soity = f(y), f ∈ C1(Rd;Rd) un systemed’equations differentielles surRd. Supposons quef(0) = 0 et que la matriceA = ∂f

∂y(y0)

n’a pas de valeur propre de partie reelle nulle. Alors il existe des voisinagesU et V del’origine 0 dansRd, et un homeomorphisme (bijection bi-continue)h : U → V qui envoieles trajectoires dey = f(y) sur les trajectoires dey = Ay en preservant le sens du temps.Plus precisement, siy0 ∈ Rd est une valeur initiale et siy(t; y0) ∈ U , alorsetAh(y0) ∈ Vet on a :

y(t; y0) = (h−1 etA h)(y0).

Ainsi, au voisinage d’un pointy0 ∈ Rd tel quef(y0) = 0, les solutions du systemey = f(y) se comportent comme celles de

y =∂f

∂y(y0)(y − y0)

pour peu que le spectre de∂f∂y(y0) n’intersecte pas l’axe des imaginaires.

Remarque 2.3 Le theoreme estenonce dans le casy0 = 0. Si y0 6= 0 avecf(y0) = 0,alors en posant

y = y − y0, f(y) = f(y + y0),

on ad

dty = y = f(y) = f(y + y0) = f(y)

avecf(0) = f(y0) = 0 et ∂f

∂y(0) = ∂f

∂y(y0).

2.2 Notions de stabilite

Definition 2.4 (Equilibre) Soit le systeme d’equations differentiellesy = f(y), f ∈C1(Rd;Rd). On dit quey0 est unequilibre si la fonction constantet 7→ y0 est solutionpour toutt ∈ R, ce quiequivauta dire quef(y0) = 0.

Definition 2.5 (Stabilite) Soit le systeme d’equations differentiellesy = f(y), f ∈ C1(Rd;Rd)et soity0 ∈ Rd un equilibre. On dit que :

1. y0 est uneequilibre stable si, pour tout voisinageU dey0, il existe un voisinageVdey0 tel que :

∀y0 ∈ V, (i) y(t, y0) est bien definie surR+,

(ii) y(t, y0) ∈ U pour toutt ∈ R+

3

2. y0 est unequilibre asymptotiquement stable si c’est unequilibre stable, et s’il existeun voisinageW dey0 tel que :

∀y0 ∈ W, (i) y(t, y0) est bien definie surR+,

(ii) limt→∞

y(t, y0) = y0

Exemple 2.6 Soit le systeme lineaire y = Ay. L’origine 0 estequilibre. Il est asymptoti-quement stable si et seulement si :

∀λ ∈ σ(A), ℜ(λ) < 0.

Il est stable si et seulement si

∀λ ∈ σ(A), ℜ(λ) ≤ 0 etℜ(λ) = 0 ⇒ λ non defective

Theoreme 2.7 (Stabilite en premiere approximation) Soit l’equation differentielley =f(y), f ∈ C1(Rd;Rd) et soity0 ∈ Rd un equilibre. Siy0 est unequilibre asymptotique-ment stable du systeme linearise y = ∂f

∂y(y0)(y − y0), alors c’est unequilibre asymptoti-

quement stable du systemey = f(y).

Theoreme 2.8 (Non-stabilite en premiere approximation) Soit le systeme d’equationsdifferentiellesy = f(y), f ∈ C1(Rd;Rd) et soity0 ∈ Rd un equilibre. On suppose que∂f

∂y(y0) a une valeur propre de partie reelle strictement positive. Alorsy0 n’est pas un

equilibre stable dey = f(y).

Remarque 2.9 On ne peut rien dire dans le cas ou ∂f

∂y(y0) a une valeur propre de partie

reelle nulle, comme le montre l’exemple suivant :

y1 = y2 ± (y21 + y22)y1y2 = −y1 ± (y21 + y22)y2

Le calcul de∂f

∂y(0, 0) donne

∂f

∂y(0, 0) = J−1

dont les valeurs propres sont±i. Maintenant, en passant en coordonnees polairesy1 =r(θ) cos(θ), y2 = r(θ) sin(θ), il vient :

y1 = r cos(θ)− rθ sin(θ) = r sin(θ)± r3 cos(θ)

y2 = r sin(θ) + rθ cos(θ) = −r cos(θ)± r3 sin(θ)

d’ou θ = ∓1 et r = ±r3. L’equilibre est alors stable ou instable suivant le signe choisi∓.

4

2.3 Produit scalaire adapte a un endomorphisme

Theoreme 2.10 (Produit scalaire adapte a un endomorphisme) SoitE = Rd, g un en-domorphisme deL(Rd) etP son polynome caracteristique.P se factorise enP = P+ ·P−

ou P− a toutes ses racines de parties reelles strictement negatives etP+ a toutes ses ra-cines de parties reelles positives ou nulles. On a la decomposition (lemme des noyaux)suivante :

E = E− ⊕ E+ avecE− = ker(P−(A)), E+ = ker(P+(A)).

Alors il existe un produit scalaire〈·, ·〉 surRd etα > 0 tels queker(P−(A)) ⊥ ker(P+(A))et

∀x ∈ E−, 〈g(x), x〉 ≤ −2α〈x, x〉,

∀x ∈ E+, 〈g(x), x〉 ≥ −α〈x, x〉.

Preuve. Soit (ei) la base canonique deE etA la matrice deg dans cette base et soit ladecomposition de Jordan deA dansMd(C), ecrite sous la forme

A = P−1(D +N)P

ou P ∈ GLd(C), D est diagonale etN nulle en dehors des elements sur-diagonaux quipeuvent etre nuls ou egaux a1. Soit en outre, pourε > 0, la matrice diagonaleΛ =diag(ε−1, ε−2, . . . , ε−d). Alors

A = P−1Λ−1(D + ΛNΛ−1)ΛP = P−1(D + N)P

ou P ∈ GLd(C), et Ni,i+1 = ε ou Ni,i+1 = 0 . Soit (fi) la base dans laquelleg a pourmatriceD + N . On considere le produit scalaire defini surCd tel que siu et v sont decomposantesX etY dans(fi), alors

(u, v) = X∗Y

On a

ℜ (((g(u), v)) =d

∑

i=1

ℜ(di,i)|Xi|2 + ℜ ((NX)∗X))

Donc pouru ∈ ker(P−(A)), il vient en notantµ = −maxℜ(di,i)<0 ℜ(di,i)

ℜ ((g(u), u)) ≤ (−µ+ ε)(u, u)

et pouru ∈ ker(P+(A))ℜ ((g(u), u)) ≥ −ε(u, u).

Il suffit alors de prendreα = ε = µ/3 et de definir le produit scalaire surE de la manieresuivante : siu etv sont deux vecteurs deE de composantes(xi) et (yi) dans(ei), on noteu et v les vecteurs de composantes(xi) et (yi) dans la base canonique deCd et

〈u, v〉 = ℜ ((u, v)) .

5

2.4 Preuve du theoreme de stabilite en premiere approximation

Lemme 2.11 (Fonction de Lyapunov et stabilite) Soit le systeme d’equations differentiellesy = f(y), f ∈ C1(Rd;Rd). On suppose que0 est unequilibre possedant une fonction deLyapunov stricte. Plus precisement, on suppose qu’il existe une boule ouverteB centreeen0, une fonctionV ∈ C1(Rd;R), et un reelα > 0 tels que :

– 0 est un minimum strict deV surB– ∀y ∈ B, dV (y)(f(y)) ≤ −α(V (y)− V (0))

Alors0 est uneequilibre asymptotiquement stable.

Preuve. Afin de simplifier quelque peu la preuve, on se concentre ici sur la cas ouV (y) =〈y, y〉, qui est le cadre dans lequel on utilisera ce lemme. On a alors

dV (y)(f(y)) = 2〈y, f(y)〉

En reduisantB si besoin est, on peut supposer que c’est une boule pour la norme‖ · ‖2 =〈·, ·〉. Soit doncy0 ∈ B etJy0 =]T−, T+[ l’intervalle de definition de la solution maximaley(t; y0) associee. On va montrer queT+ = +∞ et que pour toutt ≥ 0, ‖y(t; y0)‖ ≤ ‖y0‖.On note

X := τ ∈]0, T+[; ∀t ∈ [0, τ [, y(t; y0) ∈ B.

L’ensembleX est non-vide, cary(t; y0) est continue. Soitϕ(t) = 〈y(t; y0), y(t; y0)〉. Ilvient pourτ ∈ X et t ∈ [0, τ [ :

ϕ(t) = 2〈y(t; y0), y(t; y0)〉 = 2〈y(t; y0), f(y(t; y0))〉 ≤ −αϕ(t)

doncϕ(t) ≤ e−αtϕ(0), i.e. ‖y(t; y0)‖ ≤ e−α

2t‖y0‖. Si X etait strictement inclus dans

]0, T+[, alors on auraitsupX < T+ et pour tout0 ≤ t < supX,

‖y(t; y0)‖ ≤ e−α2supX‖y0‖ < ‖y0‖.

Par continuite dey(t; y0) il existerait doncε > 0 tel pour toutt < supX + ε on ait‖y(t; y0)‖ < ‖y0‖, ce qui contredit la definition desupX. DoncsupX = T+ et y(t; y0)est bornee sur]0, T+[. Le theoreme de sortie de tout compact implique alors queT+ = ∞.L’inegalite

∀t ≥ 0, ‖y(t; y0)‖ ≤ e−α

2t‖y0‖

permet de conclure que0 est un equilibre asymptotiquement stable.

Preuve. [Theoreme de stabilite en premiere approximation] Quitte a considerer lafonction f(y) = f(y + y0) − f(y0), on peut supposer quey0 = 0 et poserg = df(0).D’apres le theoreme2.10, on peut construire un produit scalaire〈·, ·〉 adapte ag, tel quepour touty ∈ Rd, 〈g(y), y〉 ≤ −2α〈y, y〉 pour un certainα > 0 (notons qu’iciP− = Pde sorte quekerP−(g) = Rd). La fonctionV (y) = 1

2〈y, y〉 = 1

2‖y‖2 est une fonctionC1

qui admet un minimum strict en0. De plus, on a au voisinage de0

f(y) = f(0) + df(0)y + o(y) = g(y) + o(y)

6

de sorte qu’il existeε > 0 tel que pour tout‖y‖ ≤ ε, ‖f(y)− g(y)‖ ≤ α‖y‖. Finalement,poury dans la boule de centre0 et de rayonε, on a :

dV (y)((f(y)) = 〈y, f(y)〉

= 〈y, g(y)〉+ 〈y, f(y)− g(y)〉

≤ −2α〈y, y〉+ ‖y‖ · ‖f(y)− g(y)‖ (par Cauchy-Schwartz)

≤ −2α‖y‖2 + α‖y‖2 = −2αV (y).

Finalement,V est une fonction de Lyapunov et on peut conclure en utilisantle theoremede Lyapunov.

2.5 Preuve du theoreme de non-stabilite en premiere approximation

Theoreme 2.12 (Theoreme de non-stabilite de Cetaev, 1934)Soit le systeme d’equationsdifferentiellesy = f(y), f ∈ C1(Rd;Rd). On suppose quey0 ∈ Rd est unequilibre etqu’il existe une boule ouverteB centree sury0, une fonctionV ∈ C1(Rd;R) et Ω unouvert deRd tels que :

– y0 ∈ ∂Ω– V > 0 surΩ etV = 0 sur∂Ω– ∀y ∈ Ω ∩B, dV (y)(f(y)) > 0.

Alorsy0 n’est pas unequilibre stable.

Preuve. Supposons quey0 soit un equilibre stable : il existe alors un voisinage ouvert U ,d’adherence compacte contenue strictement dansB, et un voisinage ouvertW , tels quepour touty0 ∈ W , la solutiony(t; y0) issue dey0 existe pour toutt ≥ 0 et soit entierementcontenue dansU .

L’intersection deΩ ∩W est non-vide, cary0 ∈ ∂Ω = Ω\Ω. Soit doncy0 ∈ Ω ∩W : parcontinuite dey(t; y0), l’ensemble

X := τ > 0; ∀t ∈ [0, τ ], y(t; y0) ∈ Ω

est non-vide. Par continuite encore, il est ouvert dans[0,+∞[. Montrons qu’il est aussiferme : soit(τn) ∈ XN convergeant versτ∞ ∈ [0,+∞[. On ay(τ∞; y0) ∈ Ω car pour toutn ∈ N, y(τn; y0) ∈ Ω. En outre, pourτ ∈ X et0 ≤ t ≤ τ , on a pourϕ(t) = V (y(t; y0))

ϕ(t) = dV (y(t; y0))f(y(t; y0)) > 0

doncϕ(t) > ϕ(0) = V (y0) > 0. Par consequent

ϕ(τ∞) = limn→∞

ϕ(τn) ≥ V (y0) > 0.

Ainsi, V (y(τ∞; y0)) > 0, doncy(τ∞; y0) /∈ ∂Ω. Commey(τ∞; y0) ∈ Ω, y(τ∞; y0) ∈ Ω etτ∞ ∈ X, qui est donc ferme. Finalement,X et a la fois ouvert et ferme dans[0,+∞[ quiest connexe, doncX = [0,+∞[ et la trajectoirey(t; y0) reste dansΩ pour toutt ≥ 0.

7

Considerons maintenant

K = y ∈ U ∩ Ω;V (y) ≥ V (y0)

K est compact, comme intersection du compactU , et du fermeΩ ∩ y ∈ Rd;V (y) ≥V (y0). De plus,K ⊂ U ⊂ B et commeV ne s’annule pas surΩ, K ⊂ Ω ∩ B, de sorteque pour touty ∈ K, dV (y)(f(y)) > 0 : par compacite,

α := infy∈K

dV (y)(f(y)) > 0

et commey(t; y0) ∈ K pour toutt ≥ 0, on aϕ(t) ≥ α pour toutt ≥ 0, soit ϕ(t) ≥αt+ ϕ(0) qui tend vers+∞ pourt → +∞. On obtient une contradiction avec le fait que

ϕ(t) = V (y(t; y0)) ≤ supy∈K

V (y) < +∞.

Preuve. [Theoreme de non-stabilite en premiere approximation] On se ramene au casy0 = 0, et on poseg = df(0). En appliquant le theoreme2.10a−g (qui possede au moinsune valeur propre de partie reelle strictement negative par hypothese), on peut affirmerl’existence d’un produit scalaire〈·, ·〉 surRd, de deux sous-espaces vectorielsE etF deR

d en somme directe, et d’une reelα > 0 tels que

∀y ∈ E, 〈g(y), y〉 ≥ 2α‖y‖2 et ∀y ∈ F, 〈g(y), y〉 ≤ α‖y‖2.

On considere maintenant la fonctionV definie par

∀(y1, y2) ∈ E × F, V (y1 + y2) = ‖y1‖2 − ‖y2‖

2

et l’ensembleΩ = y ∈ Rd, V (y) > 0, qui est ouvert dansRd. Finalement, commefest de classeC1, on a

f(y) = g(y) + o(y)

donc il existeε > 0 tel que pour touty ∈ Bε(0), on ait‖f(y) − g(y)‖ ≤ α4‖y‖. Il reste

a etablir quedV (y)(f(y)) > 0 pour touty ∈ Ω ∩ Bε(0). Soith = h1 + h2 ∈ E ⊕ F ety = y1 + y2 ∈ E ⊕ F . On a

V (y + h)− V (y) = 〈y1 + h1, y1 + h1〉 − 〈y2 + h2, y2 + h2〉 − 〈y1, y1〉+ 〈y2, y2〉

= 2〈y1, h1〉 − 2〈y2, h2〉+ 〈h1, h1〉 − 〈h2, h2〉

donc

dV (y)(h) = 2〈y1, h1〉 − 2〈y2, h2〉

et

|dV (y)(h)| ≤ 2|〈y1, h1〉|+ 2|〈y2, h2〉|

≤ 2‖y1‖‖h1‖+ 2‖y2‖‖h2‖

≤ 4‖y‖‖h‖

8

carE etF etant orthogonaux pour〈·, ·〉, on a‖y‖2 = ‖y1‖2 + ‖y2‖

2 et ‖h‖2 = ‖h1‖2 +

‖h2‖2. En particulier, poury ∈ Bε(0) :

|dV (y)(f(y)− g(y))| ≤ 4‖y‖‖f(y)− g(y)‖ ≤ 4‖y‖α

4‖y‖ = α‖y‖2

D’autre part,E etF etant stables parg, on a pour touty ∈ Ω :

dV (y)(g(y)) = 2〈y1, g(y1)〉 − 2〈y2, g(y2)〉 ≥ 2(2α‖y1‖2 − α‖y2‖

2) ≥ 2α‖y1‖2

ou l’on a utilise quey ∈ Ω, doncV (y) = ‖y1‖2−‖y2‖

2 > 0. Poury ∈ Ω∩Bε(0), il vientfinalement

dV (y)(f(y)) = dV (y)(g(y)) + dV (y)(f(y)− g(y)) ≥ 2α‖y1‖2 − α‖y‖2 > 0

car une fois encore,y ∈ Ω implique que‖y‖2 < 2‖y1‖2. On conclut par le theoreme de

Cetaev.

9