cours nombres complexes

Fabrice Sincre http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ Page 1/14

Mathmatiques appliques : Utilisation pratique des nombres complexes

en Electricit et Electronique

Version 1.0.8

Sommaire

1- Forme algbrique (ou forme cartsienne) 2- Partie relle et partie imaginaire 3- Addition ou soustraction des nombres complexes 4- Multiplication dun nombre rel et dun nombre complexe 5- Multiplication de deux nombres complexes 6- Forme trigonomtrique (ou forme polaire) dun nombre complexe 7- Module et argument 8- Passage de la forme trigonomtrique la forme algbrique 9- Passage de la forme algbrique la forme trigonomtrique

9-1- Plan complexe 9-2- Module 9-3- Argument

10- Multiplication de deux nombres complexes avec la forme trigonomtrique 11- Division de deux nombres complexes 12- Nombre complexe conjugu 13- Exemples dapplication en lectricit : les impdances complexes

13-1- Exemple n1 : Circuit RLC srie 13-2- Exemple n2 : Circuit RL parallle

14- Exemple dapplication en lectronique : fonction de transfert dun filtre 15- Rponse aux questions

1- Forme algbrique (ou forme cartsienne)

Voici un nombre complexe que nous appellerons Z (avec une barre en dessous pour bien montrer quil sagit dun nombre complexe). La forme algbrique est une faon de reprsenter un nombre complexe :

j)32 ou(j32Z+

+=

Z se lit Z complexe ou nombre complexe Z 2 + 3j se lit deux plus trois j

Remarque : En mathmatiques, on utilise i la place de j :

i32Z += deux plus trois i


2- Partie relle et partie imaginaire

Un nombre complexe possde une partie relle et une partie imaginaire :

{ { j 3 2 Zimaginaire partierelle partie

+=

j est le nombre imaginaire unit.

Remarques :

Un nombre rel est un nombre complexe qui na pas de partie imaginaire :

5,12: simplement plus ou

j05,12

+

Un nombre imaginaire est un nombre complexe qui na pas de partie relle :

3j: simplement plus ou

j30 +

Question n1 : Que valent la partie relle et la partie imaginaire du nombre complexe : 5,2 j 2,5 ? Question n2 : Que valent la partie relle et la partie imaginaire du nombre rel pi ? Question n3 : Que valent la partie relle et la partie imaginaire du nombre imaginaire j ?

(Solution la fin)

3- Addition ou soustraction des nombres complexes

Les parties relles sadditionnent (ou se soustraient). Les parties imaginaires sadditionnent (ou se soustraient).

j67j)17()25(j2j75)j2(j75ZZ:onSoustracti

j83j)17()25(j2j75ZZ:Addition

j2Z:etj75Z:Soit

21

21

2

1

+=++=++=++=

+=++=++=+

+=

+=

Question n4 : Additionner les nombres complexes 3 4j et 3 + 4j. Question n5 : Soustraire les nombres complexes 3 4j et 3 + 4j.


4- Multiplication dun nombre rel et dun nombre complexe

Soit : j53Z += Multiplions le nombre complexe Z par le nombre rel 8 :

j4024j5838)j53(8

: dveloppe On)j53(8Z8

+=

+=+

+=

5- Multiplication de deux nombres complexes

Les choses se compliquent !

j, le nombre imaginaire unit, a la proprit tonnante suivante :

jj1ou

1jou

1jj

=

=

=

j fois j est gal -1 j au carr est gal -1

j2724j)1512()630(

6j15j12301j : avec j6j15j1230

j2j35j3j2656)j25()j36(: dveloppe On

)j25()j36(ZZ:tionMultiplica

j25Z : etj36Z : Soit

22

21

2

1

+=

++=

++=

=+++=

+++=++

++=

+=

+=

Question n6 : Multiplier les nombres complexes 1 j et 4 + 2j. Question n7 : Multiplier les nombres complexes 3 4j et 3 + 4j. Question n8 : Multiplier les nombres complexes j et 3 + 4j.


6- Forme trigonomtrique (ou forme polaire) dun nombre complexe

La forme trigonomtrique est une autre faon de reprsenter un nombre complexe :

Exemple :

( )+=

pi+=

60 ; 2Z:ou

rad3

; 2Z

7 Module et argument

Un nombre complexe possde un module et un argument :

{

pi

+=321

argumentmodule

rad3

; 2 Z

Le module du nombre complexe Z se note : Z ou Z Ici : 2Z = Le module est un nombre rel positif ou nul.

Largument dun nombre complexe est un angle que lon peut exprimer en degrs () ou en radians (180 = pi radians).

Largument du nombre complexe Z se note : ( )Zarg Ici : ( ) rad

3Zarg pi+=

8- Passage de la forme trigonomtrique la forme algbrique

Cest trs simple :

argumentl' de sinus module imaginaire partieargumentl' de cosinus module relle partie

=

=

j31j

232

212

jrad3

sin2rad3

cos2

rad3

; 2Z

+=

+=

pi++

pi+=

pi+=


9- Passage de la forme algbrique la forme trigonomtrique

9-1- Plan complexe

Le plan complexe dsigne un plan dont chaque point est la reprsentation graphique d'un nombre complexe.

Exemple : j43Z +=

axe des rels

axe desimaginaires

1

j

O

Z = 3 + 4j

En abscisse, nous avons la partie relle. En ordonne, nous avons la partie imaginaire.

9-2- Module

axe des rels

axe desimaginaires

1

j

O

Z = 3 + 4j

mod

ule

22 )imaginaire partie(relle) partie(complexe nombreun d' ulemod +=


Le module est une grandeur relle positive (comme la longueur).

Calculons le module du nombre : j43Z += 52516943j43Z 22 ==+=+=+=

Question n9 : Calculer le module du nombre complexe 1 2j. Question n10 : Calculer le module du nombre imaginaire 5j. Question n11 : Calculer le module du nombre imaginaire 7j. Question n12 : Calculer le module du nombre rel 3,93.

9-3- Argument

axe des rels

axe desimaginaires

1

j

O

Z = 3 + 4j

mod

ule

argument

Largument dun nombre complexe est un angle.

Reprenons le nombre complexe : j43Z +=

Largument du nombre complexe Z se note : ( ) )j43arg(Zarg +=

Dans le cas particulier o la partie relle est strictement positive :

( )

=

llepartie reginairepartie ima

tanZarg 1

Application numrique (avec une calculatrice) : ( ) +

=+ 13,53

34

arctanj43arg

( )

= 13,53

34

arctanj43arg

N.B. Suivant la marque de la calculatrice, la fonction rciproque de la tangente se note : arctan ou Shift + tan ou tan-1 ou Atn


Dans le cas particulier o la partie relle est positive et la partie imaginaire nulle (nombre rel positif), largument est nul.

arg(8) = 0

Dans le cas particulier o la partie relle est ngative et la partie imaginaire nulle (nombre rel ngatif), largument est 180 (ou pi radians)

arg(- 8) = 180

Dans le cas particulier o la partie relle est nulle et la partie imaginaire positive, largument

est + 90 (ou 2pi

radian)

arg(+2j) = +90

Dans le cas particulier o la partie relle est nulle et la partie imaginaire ngative, largument

est 90 (ou 2pi

radians)

arg(-3j) = - 90

Dans le cas particulier o la partie relle est strictement ngative :

( )

+=

relle partieimaginaire partie

tan180Zarg

: degrs En

1

( )

+pi=

relle partieimaginaire partie

tanZarg

: radians En

1

( ) +

+=+ 87,12613,531803

4arctan180j43arg

( ) ++

+= 87,12613,23313,5318034

arctan180j43arg

Question n13 : Calculer largument du nombre complexe 2 + 2j. Question n14 : Calculer largument du nombre imaginaire 5j. Question n15 : Calculer largument du nombre imaginaire 7j. Question n16 : Calculer largument du nombre rel 3,93.


10- Multiplication de deux nombres complexes avec la forme trigonomtrique

Module dun produit = produit des modules Argument dun produit = somme des arguments

( )+=

pi+=

pi

pi+=

pi

pi+=

pi

pi+=

pi=

pi+=

15 ; 6

rad12

; 6

64; 6

64; 23

6; 2

4; 3ZZ

6; 2Z : et

4; 3Z :Soit

21

2

1

( )rad ; 1rad

2rad

2 ; 11

rad2

; 1rad2

; 1Z

Z : Calculons

rad2

; 1Z : Soit

2

2

pi+=

pi+

pi+=

pi+

pi+=

pi+=

Remarque :

jj0

jrad2

sin1rad2

cos1

rad2

; 1Z

=

+=

pi++

pi+=

pi+=

( )( ) ( )

1j01

jrad sin1rad cos1rad ; 1Z2

=

+=

pi++pi+=

pi+=

On retrouve : j2 = - 1


11- Division de deux nombres complexes

Module dun quotient = quotient des modules du numrateur et du dnominateur Argument dun quotient = argument du numrateur argument du dnominateur

Exemple :

( )+=

pi+=

pi+

pi+=

pi

pi+

=

pi=

pi+=

75 ; 1,5rad125

; 2 3

64;

2 3

6; 2

4; 3

ZZ

6; 2Z : et

4; 3Z :Soit

2

1

2

1

Exemple :

( ) ( )++

=+=

+

==

+

+=

+=

+

51,12013,5338,6734

tan5

12tanj43argj125argj43

j125arg

6,25

13)4()3()12()5(

j43j125

j43j125

11

Cas particulier : Z1Y =

alors : ( ) ( )ZargYarg

Z1

Z1Y

=

==

pi=

pi+

=

pi+=

rad2

; 1rad

2 ; 1

1Z1

rad2

; 1Z :Soit


Remarque :

1j01

jrad2

sin1rad2

cos1

rad2

; 1Z1

jj0

jrad2

sin1rad2

cos1

rad2

; 1Z

=

+=

pi+

pi=

pi=

=

+=

pi++

pi+=

pi+=

On retrouve : jj1

=

12- Nombre complexe conjugu

Z* dsigne le conjugu du nombre complexe Z.

Par dfinition :

yjx*ZyjxZ

=

+=

x dsigne la partie relle du nombre complexe Z. y dsigne la partie imaginaire du nombre complexe Z.

2 3j est le conjugu de 2 + 3j. j est le conjugu de j. 5 est le conjugu de 5.

Proprits :

( ) ( )Zarg*ZargyxZ*ZZ

yx*ZZ

yj2*ZZx2*ZZ

222

22

=

+==

+==

=

=+


13- Exemples dapplication en lectricit : les impdances complexes

En lectricit, on peut caractriser le comportement dun diple passif linaire en rgime sinusodal avec un nombre complexe que lon appelle impdance complexe .

Ainsi limpdance complexe dune rsistance est : RZR =

(R est la rsistance en ohms).

Limpdance complexe dune bobine est : = jLZL

(L est linductance en henry, et la pulsation du courant en rad/s) Limpdance complexe dun condensateur est :

=

=

Cj

jC1ZC

(C est la capacit en farad, et la pulsation du courant en rad/s)

13-1- Exemple n1 : Circuit RLC srie

On associe une rsistance, une bobine et un condensateur en srie. Limpdance complexe de lassociation est alors :

+=

+=

++=++=

C1LjR

CjjLRjC

1jLRZZZZ CLR

a. Donner lexpression de la partie relle de limpdance complexe Z.

Rponse : R

b. La ractance X correspond la partie imaginaire de limpdance complexe Z. Donner son expression.

Rponse :

=C1LX

c. Limpdance de lassociation (en ohms) correspond au module de limpdance complexe. Donner son expression.

Rponse :

22 )imaginaire partie(relle) partie( ulemod +=

22

C1LR

C1LjRZ

+=

+=

d. Le dphasage entre tension et courant est donn par largument de limpdance complexe. Donner son expression.


Rponse :

( )

=

=

RC1L

tan

llepartie reginairepartie ima

tanZarg

1

1

13-2- Exemple n2 : Circuit RL parallle

On associe une rsistance et une bobine en parallle. Limpdance complexe de lassociation est alors :

+

=

+

=

+

= jLR

jRLjLRjLR

ZZZZZ

LR

LR

a. Limpdance de lassociation (en ohms) correspond au module de limpdance complexe. Donner son expression.

Rponse : ( )22 LRRL

jLRjRL

jLRjRLZ

+

=

+

=

+

=

b. Le dphasage entre tension et courant est donn par largument de limpdance complexe. Donner son expression.

Rponse : ( ) ( )

pi+=+=

+

=

RL

tanrad2

jLRargjRLargjLRjRL

arg)Zarg( 1

14- Exemple dapplication en lectronique : fonction de transfert dun filtre

En lectronique, on peut caractriser le comportement dun filtre avec un nombre complexe que lon appelle fonction de transfert .

Voici la fonction de transfert dun filtre RC passe-bas du 1er ordre :

+= jRC1

1T

a. Lamplification du filtre correspond au module de la fonction de transfert. Donner son expression.

Rponse : ( ) ( )222 RC11

RC11

jRC11

jRC11T

+=

+=

+=

+=


b. Le dphasage entre la sortie et lentre est fourni par largument de la fonction de transfert. Donner son expression.

Rponse :

( ) ( ) ( )( )=

=+=

+=

RCarctan1

RCarctan0jRC1arg1argjRC1

1argTarg

15- Rponse aux questions

Question n1 : Que valent la partie relle et la partie imaginaire du nombre complexe : 5,2 j 2,5 ?

Partie relle : 2,5 Partie imaginaire : + 5,2

Question n2 : Que valent la partie relle et la partie imaginaire du nombre rel pi ?

pipipipi = pipipipi + 0j Partie relle : pipipipi Partie imaginaire : 0

Question n3 : Que valent la partie relle et la partie imaginaire du nombre imaginaire j ?

j = 0 + 1j Partie relle : 0 Partie imaginaire : 1

Question n4 : Additionner les nombres complexes 3 4j et 3 + 4j.

(3 4j) + (3 + 4j) = (3 + 3) + ( 4 + 4)j = 6 + 0j = 6 La partie imaginaire est nulle : le rsultat est un nombre rel pur .

Question n5 : Soustraire les nombres complexes 3 4j et 3 + 4j.

(3 4j) (3 + 4j) = (3 3) + ( 4 4)j = 0 8j = 8j La partie relle est nulle : le rsultat est un nombre imaginaire pur .

Question n6 : Multiplier les nombres complexes 1 j et 4 + 2j.

(1 j)(4 + 2j) = 14 + 12j j4 j2j = 4 + 2j 4j 2j2 = 4 + 2j 4j + 2 (j2 = 1) = 6 2j

Question n7 : Multiplier les nombres complexes 3 4j et 3 + 4j.

(3 4j)(3 + 4j) = 33 + 34j 4j3 4j4j = 9 + 12j 12j 16j2


= 9 + 12j 12j + 16 (j2 = 1) = 25 + 0j = 25 La partie imaginaire est nulle : le rsultat est un nombre rel pur .

Question n8 : Multiplier les nombres complexes j et 3 + 4j.

j(3 + 4j) = 3j + 4j2 = 3j 4 (j2 = 1) = 4 + 3j

Question n9 : Calculer le module du nombre complexe 1 2j.

( ) ( ) 541212j1 22 =+=+=

Question n10 : Calculer le module du nombre imaginaire 5j.

555505j05j 222 ===+=+=

Question n11 : Calculer le module du nombre imaginaire 7j.

Daprs la question n10 : 777j ==

Question n12 : Calculer le module du nombre rel 3,93.

3,933.93- = Pour un nombre rel, le module correspond la valeur absolue.

Question n13 : Calculer largument du nombre complexe 2 + 2j.

( ) +=

=+ 45

22

arctanj22arg

Question n14 : Calculer largument du nombre imaginaire 5j.

arg(5j) = +90

Question n15 : Calculer largument du nombre imaginaire 7j.

arg(-7j) = - 90

Question n16 : Calculer largument du nombre rel 3,93.

arg(-3,93) = 180

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