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Algèbre-Chapitre 2

Nombres complexes

I Corps des nombres complexes

I.1 DéfinitionsDéfinition I.1 (Caractérisation de l’ensemble des nombres complexes). Il existe un ensemble C muni de deuxopérations (ou lois de composition interne), une addition + et une multiplication ×, appelé corps des nombrescomplexes telles que :

1. L’ensemble C contient R, i.e. R ⊂ C.2. Les opérations + et × de C prolongent les opérations usuelles + et × de R.3. Les règles de calculs habituelles sur R sont conservées sur C :

(a) ∀(z1, z2, z3) ∈ C3 (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (associativité de +)(b) ∀z ∈ C z + 0 = 0 + z = z (0 est un élément neutre pour +)(c) ∀z ∈ C ∃!z1 ∈ C z + z1 = z1 + z = 0 (existence d’un opposé)

Dans ces conditions, le nombre z1 est noté : −z.(d) ∀(z1, z2) ∈ C2 z1 + z2 = z2 + z1 (commutativité de +)(e) ∀(z1, z2, z3) ∈ C3 (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3) (associativité de ×)(f) ∀z ∈ C 1.z = z.1 = z (1 est un élément neutre pour ×)(g) ∀z ∈ C \ 0 ∃!z1 ∈ C \ 0 z.z1 = z1.z = 1 (existence d’un inverse)

Dans ces conditions, le nombre z1 est noté z−1 ou1

z.

(h) ∀(z1, z2) ∈ C2 z1.z2 = z2.z1 (commutativité de ×)(i) ∀(z1, z2, z3) ∈ C3 z1.(z2 + z3) = z1.z2 + z1.z3 et (z1 + z2).z3 = z1.z3 + z2.z3 (distributivité de ×

par rapport à +)4. Il existe i ∈ C tel que : i2 = −1 (on fixe une carrée de −1)5. Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique sous la forme z = a+ i.b avec (a, b) ∈ R2.

i.e. ∀z ∈ C ∃!(a, b) ∈ R2 z = a+ i.bCette écriture est appelée forme algébrique de z. a est appelé partie réelle de z et est noté Re(z). b estappelé partie imaginaire de z et est noté Im(z).

Vocabulaire I.1. 1. On appelle imaginaire pur tout nombre dont la partie réelle est nulle. C’est-à-dire tousles nombres de la forme ib avec b ∈ R. L’ensemble des imaginaires purs est noté : iR.

2. On appelle imaginaire tout nombre complexe qui n’est pas réel.

Remarque I.1. Le nombre 0 est un imaginaire pur mais il n’est pas un nombre imaginaire.

I.2 Calculs élémentairesProposition I.1 (Calculs dans C). Soient a1, b1, a2, b2, a et b six nombres réels. On a alors :

1. (a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + i(b1 + b2)

2. (a1 + ib1)(a2 + ib2) = (a1a2−b1b2)+ i(a1b2 +b1a2)

3. (a+ ib)(a− ib) = a2 + b2

4. Si a 6= 0 ou b 6= 0, alors :

(a+ ib)−1 =a

a2 + b2− i

b

a2 + b2=

a− iba2 + b2

1

2 CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES

Exemple I.1. Calculer1

2 + i,

3 + 4i1 + 2i

et1

(1 +√

2) + i.

Proposition I.2 (Puissance de i). Soit k ∈ Z.Alors : i4k = 1, i4k+1 = i, i4k+2 = −1 et i4k+3 = −i.

Exemple I.2. Calculer i2011.

Grâce aux propriétés de i, on a une nouvelle identité remarquable :

Proposition I.3 (Identité remarquable). On a : ∀(z1, z2) ∈ C2 z21 + z2

2 = (z1 + iz2)(z1 − iz2)

Exemple I.3. On a : (z2 + 3z + 1)2 + (z2 + 4z + 3)2 = (z2 + 3z + 1 + i(z2 + 4z + 3))(z2 + 3z + 1− i(z2 + 4z + 3))

= ((1 + i)z2 + (3 + 4i)z + 1 + 3i)((1− i)z2 + (3− 4i)z + 1− 3i)Si nous cherchons les racines de ce polynôme, nous ramenons ainsi le problème de la résolution d’une équationdu quatrième degré à la résolution de deux équations du second degré.

I.3 Parties réelle et imaginaireRemarque I.2. L’unicité de la forme algébrique nous assure que :

Re :

C −→ Rz 7−→ Re(z) et Im :

C −→ Rz 7−→ Im(z)

sont des fonctions bien définies sur C.

Proposition I.4. Soit z ∈ C. Alors : z = Re(z) + iIm(z)

Corollaire I.1. Soit (z1, z2) ∈ C2. Alors : z1 = z2 ⇐⇒ (Re(z1) = Re(z2) et Im(z1) = Im(z2))

Proposition I.5 (Liens entre les opérations et les parties réelle et imaginaire). Soient (z, z1, z2) ∈ C3 et λ ∈ R.Alors :

1. Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2)Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2)

2. Re(λz) = λRe(z)Im(λz) = λIm(z)

3. Re(iz) = −Im(z)Im(iz) = Re(z)

4. Re(z1z2) = Re(z1)Re(z2)− Im(z1)Im(z2)Im(z1z2) = Re(z1)Im(z2) + Im(z1)Re(z2)

Démonstration. Ce sont des conséquences immédiates des règles de calculs établies précédemment.

I.4 ConjugaisonDéfinition I.2 (Conjugué). Soit z = x + iy ∈ C écrit sous forme algébrique (i.e. (x, y) ∈ R2). On appelleconjugué de z noté z le nombre complexe z = x− iy.

Proposition I.6 (Liens avec les parties réelles et imaginaires). Soit z ∈ C. On a alors :1. z = Re(z)− iIm(z) 2. Re(z) = Re(z) 3. Im(z) = −Im(z)

Démonstration. (exercice de rédaction)

Proposition I.7 (Liens avec les opérations). Soient (z, z1, z2) ∈ C3 et λ ∈ R. Alors :1. ¯z = z

2. z1 + z2 = z1 + z2

3. z1z2 = z1z2

4. λz = λz

5. iz = −iz

Corollaire I.2 (Liens avec les puissances). Soient n ∈ Z et z ∈ C∗. Alors, on a : zn = zn.

En particulier, pour n = −1, on a :1

z=

1

z.

Proposition I.8 (Expressions des parties réelle et imaginaire). Soit z ∈ C. On a alors :

1. Re(z) =1

2(z + z) 2. Im(z) =

1

2i(z − z)

I.5 Caractérisation des nombres réels et des imaginaires pursProposition I.9 (Caractérisations des imaginaires purs et des réels). Soit z ∈ C. On a alors les équivalencessuivantes :

II. FORME TRIGONOMÉTRIQUE 3

Figure 2.1 – Affixes d’un point et d’un vecteur

~ı

~

M(z)

Re(z)

Im(z)

−Im(z)

O

~v(z)

M ′(z)

1. z ∈ R ⇐⇒ Im(z) = 0 ⇐⇒ z = z 2. z ∈ iR ⇐⇒ Re(z) = 0 ⇐⇒ z = −z

Exemple I.4. Montrer que : ∀z ∈ C zz ∈ R (sans utiliser la forme algébrique).

II Forme trigonométrique

II.1 Plan complexe

On se donne un plan P muni d’un repère orthonormal R = (O,~ı,~).

Définition II.1 (Affixe-point image-vecteur image). 1. Soit M un point du plan P de coordonnées (x, y) ∈R2 dans R. On appelle affixe du point M le nombre complexe z = x+ iy.

2. Réciproquement, soit z = x+ iy ∈ C où (x, y) ∈ R2. On appelle image du nombre complexe z le point Mde coordonnées (x, y).On note : M(z).

3. Soit ~v un vecteur du plan P de coordonnées (x, y) ∈ R2 dans R. On appelle affixe du point M le nombrecomplexe z = x+ iy.

4. Réciproquement, soit z = x+ iy ∈ C où (x, y) ∈ R2. On appelle vecteur image du nombre complexe z levecteur ~v de coordonnées (x, y).On note : ~v(z).

Remarque II.1. 1. L’application qui, à z ∈ C, associe M(z) établit une correspondance biunivoque entre Cet P : une bijection. En particulier, deux points ayant la même affixe sont égaux. De même, deux vecteursayant la même affixe sont égaux.

2. L’axe des abscisses est l’ensemble des points d’affixes réelles tandis que l’axe des ordonnées est l’ensembledes points d’affixes imaginaires pures.

Proposition II.1 (Calcul de l’affixe d’un vecteur). 1. Soient (A,B) ∈ P2 d’affixes respectives zA et zB.Alors, le vecteur

−−→AB a pour affixe zB − zA.

2. Soient ~v et ~v′ deux vecteurs de P d’affixes z et z′. Soit λ ∈ R. Alors :

(a) le vecteur ~v + ~v′ a pour affixe z + z′.

(b) le vecteur λ~v a pour affixe λz.

Démonstration. (exercice)

Exemple II.1. Retrouver la formule de Chasles grâce à la notion d’affixe.

Proposition II.2 (Point image du conjugué). Soit M un point d’affixe z. Alors, le point M ′ d’affixe z est lesymétrique de M par rapport à l’axe (Ox).


Figure 2.2 – Module d’un nombre complexe

~ı

~

O

M(z)

OM= |z|

Re(z)|Re(z)|

Im(z)

|Im(z)|

II.2 Module d’un nombre complexeDéfinition II.2 (Module). Soit z = a+ ib ∈ C où (a, b) ∈ R2. On appelle module de z noté |z| le nombre réelpositif tel que :

|z| =√a2 + b2

Proposition II.3 (Interprétation géométrique). Soient z ∈ C, M(z) et ~v(z). Alors :1. |z| = OM 2. |z| = ‖~v‖

Proposition II.4 (Distance entre deux points). Soient A(zA) et B(zB) deux points de P. Alors : AB = |zB−zA|.

Proposition II.5. Soit z ∈ C. Alors :0. |z| ≥ 0

1. |z| = 0 ⇐⇒ z = 0

2. (a) |Re(z)| ≤ |z|(b) |Im(z)| ≤ |z|

3. |z|2 = zz

4. |z| = |z|

5. Si z 6= 0, alors1

z=

z

|z|2.

Proposition II.6 (Liens avec les opérations). Soit (z, z′) ∈ C2. Alors :1. |z.z′| = |z|.|z′| 2. |z + z′| ≤ |z|+ |z′| (inégalité triangulaire)

Pour démontrer ce résultat, nous utilisons le lemme suivant :

Lemme II.1. Soient (z, z′) ∈ C2. Alors : |z + z′|2 = |z|2 + 2Re(z.z′) + |z′|2

Corollaire II.1 (Liens avec les puissances). Soient z ∈ C et n ∈ Z. Alors :1. Si n ∈ N ou z 6= 0, alors |zn| = |z|n. 2. Si z 6= 0, alors

∣∣∣∣1z∣∣∣∣ =

1

|z|.

Remarque II.2. (Interprétation)1. Si on fixe z ∈ C, alors la transformation du plan ϕ : M(z′) 7→ M ′(zz′) multiplie les distances par |z| ;

i.e. ϕ(A)ϕ(B) = |z|.AB pour tous points A et B.2. L’inégalité triangulaire est l’expression complexe de l’inégalité triangulaire classique :

Figure 2.3 – Inégalité triangulaire

A

B

C

z

z′

z + z′

−−→AB(z)−−→BC(z′)−→AC(z + z′)

On a : AB = |z|, BC = |z′| et AC = |z + z′|.De plus, AC ≤ AB +BC.Donc : |z + z′| ≤ |z|+ |z′|.

II. FORME TRIGONOMÉTRIQUE 5

II.3 Nombres complexes de module 1

Définition II.3. On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1 :

U = z ∈ C / |z| = 1

Exemple II.2. 1 ∈ U, i ∈ U, −1 ∈ U,√

2

2+ i√

2

2∈ U . . .

Remarque II.3. L’ensemble U est l’ensemble des affixes des points du cercle unité.

Proposition II.7 (Propriétés algébriques). Soit (z, z′) ∈ U2. Alors :

1. 1 ∈ U 2. zz′ ∈ U 3. z−1 = z ∈ U


Proposition II.8 (Caractérisation des éléments de U). Soit z ∈ C. Alors :

z ∈ U ⇐⇒ z−1 = z


Proposition II.9 (Avant la notion d’argument...). 1. Soit z ∈ C. Alors, le nombre z est un élément de Usi, et seulement si, il existe θ ∈ R tel que : z = cos(θ) + i sin(θ). i.e. :

z ∈ U ⇐⇒ ∃θ ∈ R z = cos(θ) + i sin(θ)

2. Soit (θ1, θ2) ∈ R2. Alors :

cos(θ1) + i sin(θ1) = cos(θ2) + i sin(θ2) ⇐⇒ θ1 = θ2[2π].

Autrement dit, le choix de θ dans le point 1 se fait modulo 2π.

Figure 2.4 – Nombre complexe de module 1

~ı

~

O

C M(z) z = cos(θ) + i sin(θ)

M ′(z) z = z−1 = cos(θ)− i sin(θ)

θ

cos(θ)

sin(θ)

− sin(θ)

II.4 Exponentielle complexe

II.4.a Définition - Propriétés fondamentales

Définition II.4 (Exponentielle complexe). 1. Soit θ ∈ R. On note : exp(iθ) = eiθ = cos(θ) + i sin(θ).2. Soit z = x+ iy ∈ C où (x, y) ∈ R2. On note : exp(z) = ez = exeiy = ex(cos(y) + i sin(y)).

Remarque II.4. On a donc : ∀z ∈ C |z| = 1 ⇐⇒ ∃θ ∈ R z = eiθ.

Proposition II.10 (Propriétés algébriques). 1. Soit (θ1, θ2) ∈ R2. Alors : ei(θ1+θ2) = eiθ1eiθ2 .2. Soit (z1, z2) ∈ C2. Alors : ez1+z2 = ez1ez2 .

Remarque II.5. Cette proposition justifie la notation sous forme de puissance.

Exemple II.3. Calculer ei.0, eiπ, eiπ2 , e−iπ2 , ei

π4 et e5+iπ3 .


Proposition II.11. Soient (θ, θ1, θ2) ∈ R3 et n ∈ Z. Alors :

1.(eiθ)−1

= (eiθ) = e−iθ.

2. cos(θ) =eiθ + e−iθ

2et sin(θ) =

eiθ − e−iθ

2i(Formules d’Euler)

3.(eiθ)n

= einθ

i.e. : (cos(θ) + i sin(θ))n

= cos(nθ) + i sin(nθ) (Formule de Moivre)4. eiθ1 = eiθ2 ⇐⇒ θ1 = θ2[2π]

Proposition II.12. Soit z ∈ C. Alors :1. |ez| = eRe(z) 2. ez = ez 3. ∀n ∈ Z (ez)n = enz

II.4.b Application à la transformation d’expression trigonométrique

Les formules d’Euler et de Moivre permettent de manipuler des expressions trigonométriques.

Exemple II.4. 1. Linéariser le polynôme trigonométrique suivant : cos3(θ) sin2(θ).2. Mettre sous la forme d’un polynôme trigonométrique : cos(3θ) et sin(3θ).

Remarque II.6. 1. On utilise la plupart du temps :(a) les formules d’Euler : pour linéariser les expressions trigonométriques.(b) la formule de Moivre : pour transformer les expressions trigonométriques en des polynômes trigono-

métriques.2. Pour faire ces transformations efficacement, il est impératif de connaître la formule du binôme de Newton :

∀(a, b) ∈ C2 (a+ b)n =

n∑k=0

(n

k

)akbn−k

II.5 Argument d’un nombre complexeProposition II.13 (Forme trigonométrique). Soit z ∈ C∗. Alors, il existe r ∈ R+∗ et θ ∈ R tel que : z = reiθ.Une telle écriture est appelée une forme trigonométrique de z. Le réel θ est appelé un argument de z.

Une forme trigonométrique d’un nombre complexe n’est pas unique. La proposition met en évidence les choixpossibles pour cette écriture :

Proposition II.14 (Choix pour la forme trigonométrique). 1. Soit z = reiθ ∈ C écrit sous forme trigono-métrique. Alors : r = |z|.(Il n’y a pas de choix pour r)

2. Soient (r1, r2) ∈(R+∗)2 et (θ1, θ2) ∈ R2. Alors : r1eiθ1 = r2eiθ2 ⇐⇒ (r1 = r2 et θ1 = θ2[2π]).

(Deux arguments d’un nombre complexe sont congrus modulo 2π.)

Définition II.5. Soit z ∈ C∗. Si θ ∈ R est un argument de z, alors on note : arg(z) = θ[2π].

Proposition II.15 (Interprétation géométrique de l’argument). Soit z ∈ C∗, M le point d’affixe z et ~v levecteur d’affixe z. Alors :

1. Tout argument de z est une mesure de l’angle orienté (~ı,−−→OM).

2. Tout argument de z est une mesure de l’angle orienté (~ı, ~v).

Proposition II.16 (Lien avec les opérations). Soient (z, z1, z2) ∈ (C∗)3 et n ∈ Z. Alors :1. arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2)[2π]

2. arg(z−1) = − arg(z)[2π]

3. arg(z) = − arg(z)[2π]

4. arg(zn) = n arg(z)[2π]

III Application à la résolution d’équations polynomialesLa résolution des équations polynomiales est l’un des problèmes les plus fondamentaux de l’algèbre. Il n’existe

pas de technique générale pour les résoudre mais seulement des techniques adaptées à certains cas particuliers.Nous aborderons seulement trois problèmes : les racines carrées, les équations du second degré et les racinesnème. Certains de ces problèmes proposent plusieurs variantes de résolution. Une part de votre travail consisteradonc à analyser et à comprendre les différences entre ces approches.

III. APPLICATION À LA RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS POLYNOMIALES 7

Figure 2.5 – Propriétés de l’argument

x

y

~ı

~

O

z1

z2

z1z2

θ1

θ2

θ1 + θ2

x

y

~ı

~

O

z

z

z−1

θ

−θ

III.1 Racines carrées d’un nombre complexeDéfinition III.1. Soit ω ∈ C. On appelle racine carrée de ω tout nombre complexe z0 tel que : z2

0 = ω.

Proposition III.1 (Choix d’une racine carrée). Soit ω ∈ C et z0 une racine carrée de ω. Alors, l’ensemble desracines carrées de ω est : z0,−z0.

Exemple III.1. Soit a ∈ R. Déterminer l’ensemble des racines carrés de a.

Proposition III.2 (Propriétés générales des racines carrées complexes). Soient z1 ∈ C et z2 ∈ C des racinescarrées respectives de ω1 ∈ C et ω2 ∈ C. Alors :

1. z1z2 est une racine carrée de ω1ω2.2. z1 est une racine carrée de ω1.


Proposition III.3 (racine carrée d’un nombre complexe sous forme trigonométrique). Soient ω = reiθ écritsous forme trigonométrique et z ∈ C.

Alors : z2 = ω ⇐⇒(|z| = r et arg(z) =

θ

2[π]

).

i.e. : Les racines carrées de ω sont√rei

θ2 et

√rei(

θ2 +π).

Théorème III.1 (Description des racines carrées). Tout nombre complexe non nul admet exactement deuxracines carrées.

Remarque III.1. On ne parlera pas de la racine d’un nombre complexe mais d’une racine carrée d’un nombrecomplexe. Cependant, si x ∈ R+, on appelle la racine carrée de x la racine carrée de x qui est positive. Elle estnotée

√x.

Remarque III.2 (Méthode de détermination des racines carrées d’un nombre). 1. Soit ω = reiθ écrit sousforme trigonométrique.Les racines carrées de ω sont

√rei

θ2 et

√rei(

θ2 +π).

2. Soit ω = a+ ib écrit sous forme algébrique.On cherche les racines carrées de ω sous la forme z = x+ iy où (x, y) ∈ R2.On a : z2 = x2 − y2 + 2ixy.

Donc : z2 = ω ⇐⇒

x2 − y2 = a

2xy = b.

On a : |z2| = x2 + y2 et z2 = ω =⇒ |z2| = |ω| =√a2 + b2.

Donc :

z2 = ω ⇐⇒

x2 − y2 = a (1)

2xy = b (2)

x2 + y2 = |ω| =√a2 + b2 (3)

Pour déterminer les racines carrées de ω, on résout ce dernier système en trois étapes


(a) Les équations (1) et (3) forment un système linéaire d’inconnues x2 et y2 et permettent de déterminer x2

et y2.

(b) La donnée de x2 et y2 permet d’obtenir les valeurs de x et y au signe près.

(c) L’équation (2) permet de déterminer les signes de x et y. (On vérifiera à cette étape si la valeurde 2xy est compatible avec les valeurs de x et y)

Exemple III.2. Déterminer les racines carrées de i, 1 + i, 3 + 4i, 3− 4i et 75 + 100i

III.2 Résolution des équations de degré 2

Définition III.2 (Forme canonique). Soient (a, b, c) ∈ C3 et P le polynôme tel que : P (z) = az2 + bz + c.Le polynôme P est écrit sous forme canonique si :

P = α((X − β)2 + γ

)où (α, β, γ) ∈ C3.

Théorème III.2 (Résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes). Soit (a, b, c) ∈ C3 telque : a 6= 0. On pose : ∆ = b2− 4ac. Soit δ une racine carrée de ∆. On considère l’équation d’inconnue z ∈ C :

az2 + bz + c = 0 (E)

On a l’alternative suivante :

1. Si ∆ = 0, l’équation (E) admet une unique solution dite double égale à : − b

2a.

2. Si ∆ 6= 0, l’équation (E) admet exactement deux solutions :−b+ δ

2aet−b− δ

2a.

Remarque III.3. Avec les notations précédentes, on obtient également la factorisation

suivante : az2 + bz + c = a

(z +

b− δ2a

)(z +

b+ δ

2a

)Exemple III.3. Résoudre l’équation : z2 + (2− i)z − 2i = 0 (E).

Proposition III.4 (Relations coefficients-racines). On garde les notations précédentes. Soient (z1, z2) ∈ C2.Alors, z1 et z2 sont les solutions de l’équation (E) (éventuellement égales) si, et seulement si :

1. z1 + z2 = − ba

2. z1z2 =c

a

Corollaire III.1. Soient S et P la somme et le produit de deux nombres complexes z1 et z2. Alors, z1 et z2

sont les solutions de z2 − Sz + P = 0.

Exemple III.4. Déterminer deux nombres a et b tels que a+ b = 21 et ab = 90.

III.3 Racines nème d’un nombre complexe

III.3.a Définition

On fixe n ∈ N∗.Commençons par quelques rappels :

Définition III.3 (Fonction racine nème). La fonction racine nème notée n√x est la fonction telle que pour

tout x ∈ R, on a :

1. Si n est impair, alors y = n√x si yn = x.

2. Si n est pair et x ≥ 0, alors : y = n√x si yn = x et y ≥ 0.

III. APPLICATION À LA RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS POLYNOMIALES 9

Proposition III.5 (Domaine de définition de n√x). 1. Si n est impair, alors la fonction n

√x est définie

sur R.2. Si n est pair, alors la fonction n

√x est définie sur R+.

Nous généralisons cette notion au cas des nombres complexes :

Définition III.4. Soit z ∈ C et ω ∈ C. On dit que z est une racine nème de ω si zn = ω.

Exemple III.5. 1. On a : (1 + i)4 = −4. Donc : 1 + i est une racine 4ème de −4.2. On a : (ei

π12 )6 = ei

π2 = i. Donc : ei

π12 est une racine 6ème de i.

3. On a : (ei2π5 )5 = 1. Donc : ei

2π5 est une racine 5ème de l’unité.

4. Donner une racine nème de r ∈ R+, eiθ et de reiθ.

Proposition III.6 (Propriétés générales des racines nème). Soient z1 ∈ C et z2 ∈ C des racines nème respectivesde ω1 ∈ C et ω2 ∈ C. Alors :

1. z1z2 est une racine nème de ω1ω2.2. z1 est une racine nème de ω1.


III.3.b Racine nème de l’unité

On étudie tout d’abord les racines nème de 1, appelée également les racines nème de l’unité.

Lemme III.1. Soit z une racine nème de l’unité. Alors :1. |z| = 1

2. arg(z) = 0

[2π

n

]

Remarque III.4. Soit λ ∈ R tel que : λ = 0

[2π

n

]. Alors, par définition, il existe k′ ∈ Z tel que : λ =

2k′π

n. Si λ

représente la mesure d’un angle, cette angle admet une mesure dans [0, 2π[ de la forme2k′π

n+2k′′π = (k′+k′′n)

2π

n

où k′′ ∈ Z. De plus, k′′ est unique. On pose : k = k′ + k′′n. On a alors :2kπ

n∈ [0, 2π[. Donc : k ∈ [0, n[.

Or : k ∈ Z. Ainsi, il existe un unique k ∈ 0, . . . , n− 1 tel que : λ =2kπ

n[2π].

Proposition III.7. Soit n ∈ N∗. L’ensemble Un des racines de l’unité est :

Un =e

2ikπn ∈ C / k ∈ 0, . . . , n− 1

i.e. : Un nombre complexe z est une racine nème de l’unité si, et seulement si, il existe k ∈ 0, . . . , n− 1 telque z = e

2ikπn .

De plus, le nombre k est unique.

Exemple III.6. U1 = 1, U2 = 1,−1, U3 = 1, e 2iπ3 , e

4iπ3 = 1, j, j2 où j = e

2iπ3 ,

U4 =

1, eiπ2 , eiπ, e

3iπ2

= 1, i,−1,−i, U5 =

1, e

2iπ5 , e

4iπ5 , e

6iπ5 , e

8iπ5

. . .

Remarque III.5. 1. Les racines nème de l’unité sont les puissances de 0 à n− 1 de e2iπn .

2. On peut remplacer dans la proposition précédente l’intervalle d’entiers 0, . . . , n− 1 par n’importe quelintervalle d’entiers de longueur n. Par exemple, si n est pair, on choisit parfois l’intervalle

−n

2+ 1, . . . ,

n

2

et si n est impair, l’intervalle

−n− 1

2, . . . ,

n− 1

2

.

3. Les points dont les affixes sont les racines nème de l’unité sont les sommets du polygone régulier inscritdans le cercle dont l’un des sommets est le point d’affixe 1.

Nous donnons quelques propriétés complémentaires sur les racines nème de l’unité.

Proposition III.8. Soient z et z′ deux éléments de Un, i.e. deux racines nème de l’unité. Alors :


Figure 2.6 – Racines nème de l’unité (cas n = 3, 4, 5)

x

y

~ı

~

O

1

e2iπ3 = j

e4iπ3 = j2

x

y

~ı

~

O

1

eiπ2 = i

eiπ = −1

e3iπ2 = −i

x

y

~ı

~

O

1

e2iπ5

e4iπ5

e6iπ5

e8iπ5

1. 1 ∈ Un 2. zz′ = Un 3. z−1 = z ∈ Un

Proposition III.9. Soit z ∈ Un tel que z 6= 1. Alors :

n−1∑k=0

zk = 0

En particulier, la somme des racines nème de l’unité vaut 0.

III.3.c Cas général

Nous revenons à l’étude générale des racines nème de nombres complexes.

Théorème III.3. Soit ω ∈ C∗ et z0 ∈ C une racine nème de l’unité de ω. Soit z ∈ C.Alors, z est une racine nème de l’unité de ω si, et seulement si, il existe k ∈ 0, . . . , n tel que : z = z0e

2ikπn

Remarque III.6. Autrement dit, on trouve les racines nème de ω à partir d’une racine de ses racines nème enla multipliant par les racines nème de l’unité.

La donnée d’une racine nème de ω suffit donc pour connaître l’ensemble des racines nème de ω. Lorsque ω = reiθ

est écrit sous forme trigonométrique, on peut remarquer, en s’inspirant du lien entre puissance fractionnaire etracines nème dans le cas réel, que : r

1n e

iθn en est une. On en déduit le corollaire suivant :

Corollaire III.2. Soit ω = reiθ écrit sous forme trigonométrique. Alors, les racines nème de ω sont les nombresde la forme :

n√r.ei

θ+2kπn

où k ∈ 0, . . . , n− 1.

Remarque III.7. A nouveau, on peut remplacer dans la proposition précédente l’intervalle d’entiers 0, . . . , n− 1par n’importe quel intervalle d’entiers de longueur n.

Exemple III.7. Déterminer les racines cubiques de 2, les racines quatrièmes de 2eiπ6 et les racines cinquième

de 1 + i.

IV. APPLICATION EN GÉOMÉTRIE 11

III.4 Quelques remarques sur les équations polynomialesNotation III.1. On note C[X] l’ensemble des polynômes à coefficients complexes.

Définition III.5. Soit P ∈ C[X] et z0 ∈ C. On dit que z0 est une racine de P si P (z0) = 0.

Proposition III.10. Soit P ∈ C[X] et z0 ∈ C.Le nombre z0 est une racine de P si, et seulement si, il existe Q ∈ C[X] tel que : P (X) = (X − z0)Q(X).

Remarque III.8. 1. Si P 6= 0, alors deg(Q) = deg(P )− 1. On voit ainsi qu’un polynôme n’a pas plus deracines que son degré.

2. Une technique pour calculer le polynôme Q consiste à poser une division euclidienne.Exemple III.8. 1 est une racine évidente de X3 − 3X2 + 4X − 2. On peut donc le factoriser par X − 1.

En utilisant ce principe de factorisation et les résultats sur les racines nème de nombres complexes, on peutétablir les formules suivantes :

Proposition III.11. Soient X et Y deux nombres complexes. Alors :

Xn − Y n = (X − Y )

n−1∑k=0

XkY n−k−1 =

n−1∏k=0

X − e2ikπn Y

Remarque III.9. En particulier, on a : Xn − 1 = (X − 1)

n−1∑k=0

Xk =

n−1∏k=0

X − e2ikπn

et : Xn − reiθ =

n−1∏k=0

X − reiθ+2kπn .

Théorème III.4. Soit P ∈ C[X] \ C, i.e. P est un polynôme non constant. Alors, le polynôme P admet aumoins une racine complexe.

Corollaire III.3. Tout polynôme complexe P s’écrit sous la forme d’un produit de deg(P ) de polynômes de laforme X − a où a ∈ C et d’une constante.

IV Application en géométrie

IV.1 BarycentreOn rappelle que P désigne un plan muni d’un repère R = (O,~ı,~).

Définition IV.1. Soient (Ak)nk=1 = (A1, . . . , An) n points de P et (αk)nk=1 = (α1, . . . , αn) n nombres réels tels

quen∑k=1

αk = α1 + · · ·+αn 6= 0. On appelle barycentre G des points (Ak)nk=1 avec les coefficients (αk)nk=1 l’unique

point tel que :n∑k=1

αk−−→GAk = ~0

Si les coefficients (αk)nk=1 sont tous égaux, le barycentre G est aussi appelé isobarycentre ou encore centre degravité des points (Ak)nk=1.

Remarque IV.1. 1. On rappelle que le barycentre peut s’interpréter comme la moyenne pondérée des points(Ak)nk=1 avec les coefficients (αk)nk=1. En particulier, l’isobarycentre des points (Ak)nk=1 s’interprète commela moyenne des points (Ak)nk=1.

2. Il est fortement recommandé de réviser le cours de première sur les barycentres.

Proposition IV.1. On suppose de plus que les points (Ak)nk=1 ont pour affixes respectives (zk)nk=1. Si on notezG l’affixe de G, alors on a la relation suivante :

zG =

n∑k=1

αkzk

n∑k=1

αk


IV.2 Distances

Proposition IV.2. 1. Soit ~v un vecteur d’affixe z ∈ C. Alors : ‖~v‖ = |z|.

2. Soient A et B deux points d’affixes respectives zA et zB. Alors : AB = ‖−−→AB‖ = |zB − zA|.

Exemple IV.1. Soit n ≥ 3. Calculer la longueur des côtés d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans uncercle de rayon 1.

Figure 2.7 – Heptagone inscrit dans le cercle unité

x

y

~ı

~

O

?

cas n = 7

Corollaire IV.1. Soit A(a) un point de P et r ∈ R+. Alors :

1. Le disque ouvert de rayon r et de centre A est l’ensemble des points M(z) du plan P tels que : |z− a| < r.

2. Le disque fermé de rayon r et de centre A est l’ensemble des points M(z) du plan P tels que : |z − a| ≤ r.

Figure 2.8 – Disques ouvert et fermé

~ı

~

O

A(a)

r

Disque fermé de centre A et de rayon r

B(b)

r

Disque ouvert de centre B et de rayon r

IV.3 Angles

Proposition IV.3. 1. Soient ~v et ~v′ deux vecteurs non nuls d’affixes respectives z et z′. Alors :

(~v,~v′) = arg

(z′

z

)[2π]

2. Soient A, B et C trois points distincts deux à deux d’affixes respectives zA, zB et zC . Alors :

(−−→AB,

−→AC) = arg

(zC − zAzB − zA

)[2π]


Figure 2.9 – Angle entre deux vecteurs

~ı

~arg(z′)

arg(z)~v

~v′

En appliquant cette propriété, nous pouvons caractériser la colinéarité et l’orthogonalité de deux vecteurs :

Corollaire IV.2. Soient ~v et ~v′ deux vecteurs non nuls d’affixes respectives z et z′. Alors :

1. Les vecteurs ~v et ~v′ sont colinéaires si, et seulement si,z′

z∈ R.

2. Les vecteurs ~v et ~v′ sont orthogonaux si, et seulement si,z′

z∈ iR.

Remarquons quez′

z=z′z

|z|2. Nous pouvons en déduire le corollaire suivant :

Corollaire IV.3. Avec les mêmes notations, on a :

1. Les vecteurs ~v et ~v′ sont colinéaires si, et seulement si, z′z ∈ R.2. Les vecteurs ~v et ~v′ sont orthogonaux si, et seulement si, z′z ∈ iR.

Remarque IV.2. 1. Ce résultat reste vrai lorsque les vecteurs sont nuls.

2. Un calcul immédiat donne la formule suivante : Re(z′z) = ~v.~v′ (exercice).

En combinant les résultats des deux dernières sous-sections, nous obtenons le résultat suivant :

Corollaire IV.4. Soient A, B et C trois points distincts deux à deux d’affixes respectives zA, zB et zC . Alors,

le module et l’argument dezC − zAzB − zA

sont respectivement le rapportAC

ABet l’angle (

−−→AB,

−→AC).

Exemple IV.2. Soient A(2), B(i) et C(1− 2i). Déterminer la nature du triangle ABC.

IV.4 Similitudes directes

IV.4.a Interprétation géométrique de l’addition et de la multiplication

Soit z = reiθ un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique. Soit A un point d’affixe zA. Soit B le pointd’affixe zA + z. Quelle interprétation géométrique donnée (indépendamment du choix de A) à la transformationqui envoie le point A sur le point B ? i.e. Quelle interprétation géométrique donnée à l’addition par un nombrecomplexe ?Soit E le point d’affixe zE = z.zA. Quelle interprétation géométrique donnée (indépendamment du choix de A)à la transformation qui envoie le point A sur le point E ? i.e. Quelle interprétation géométrique donnée à lamultiplication par un nombre complexe ?L’affixe de

−−→AB est : (zA + z)− zA = z. Ainsi, B est le translaté de A par la translation de vecteur ~v d’affixe z.

Proposition IV.4. L’addition par z ∈ C correspond à la translation de vecteur ~v d’affixe z.

Soit C le point d’affixe zC = rzA. On a :−→OA(zA) et

−−→OC(rzA). Donc :

−→OA = r

−−→OC. Ainsi, C est l’image de

A par l’homothétie de rapport r et de centre O.

Proposition IV.5. La multiplication par r correspond à l’homothétie de rapport r et de centre O.

Remarque IV.3. Plus généralement, la multiplication par λ ∈ R correspond à l’homothétie de rapport λ et decentre O.

Soit D le point d’affixe zD = eiθzA. On note z−−→OA

et z−−→OD

les affixes des vecteurs−→OA et

−−→OD. On a :

z−−→OD

z−−→OA

= eiθ.

Donc : OA = OD et : (−→OA,−−→OD) = θ[2π]. Ainsi, le point D est l’image de A par la rotation d’angle θ et de

centre O.


Proposition IV.6. La multiplication par eiθ correspond à la rotation d’angle θ et de centre O.

On a : zE = reiθzA = r(eiθzA

)= r.zD et zE = eiθ (rzA) = eiθzC . Donc, le point E est l’image de D par

l’homothétie de rapport r et de centre O et l’image de C par la rotation d’angle θ et de centre O. Ainsi, E estl’image de A par la composée de l’homothétie de rapport r et de centre O et la rotation d’angle θ et de centre Omais aussi l’image de A par la composée de la rotation d’angle θ et de centre O et de l’homothétie de rapport ret de centre O.

Proposition IV.7. La multiplication par z = reiθ correspond, à la fois, à la composée de l’homothétie derapport r et de centre O et la rotation d’angle θ et de centre O et à la composée de la rotation d’angle θ et decentre O et de l’homothétie de rapport r et de centre O.

Figure 2.10 – Interprétation de l’addition et de la multiplication

~ı

~A

O

D

θ

C

E

θ

~v(z)

B

~v

IV.4.b Représentation complexe d’une transformation

L’addition et la multiplication par un nombre complexe donnée sont des fonctions de C dans C. Nous venonsde voir qu’elles correspondaient à des transformations du plan. D’une manière générale, on peut associer à toutefonction de C dans C une transformation du plan en appliquant le même principe. Inversement, par l’unicité del’affixe d’un point, on peut associer à une transformation du plan une fonction de C dans C. Plus précisément,on a la définition suivante :

Définition IV.2. Soit F une transformation du plan P. On appelle représentation complexe de F la fonction fde C dans C qui, à tout z ∈ C d’image M , associe l’affixe z′ de M ′ = F (M).On dira que F admet pour représentation complexe : z′ = f(z).

Remarque IV.4. L’existence et l’unicité de l’affixe d’un point permet d’affirmer :1. La représentation complexe de toute transformation du plan existe et est unique.2. La donnée d’une fonction f de C dans C caractérise une transformation du plan F de représentation

complexe f . Il n’y a aucune contrainte sur la fonction f .

Exemple IV.3 (Exemples fondamentaux). 1. Soit ~v un vecteur d’affixe a ∈ C. La représentation complexede la translation de vecteurs ~v a pour représentation complexe :

z′ = z + a.

2. La représentation complexe de la symétrie d’axe (Ox) est :

z′ = z.


3. Soit Ω ∈ P d’affixe ω et θ ∈ R. La rotation de centre Ω et d’angle θ a pour représentation complexe :

z′ = eiθ(z − ω) + ω.

On note également : z′ − ω = eiθ(z − ω) (?1).

4. Soit λ ∈ R. L’homothétie de centre Ω et de rapport λ admet pour représentation complexe :

z′ = λ(z − ω) + ω.

On note également : z′ − ω = λ(z − ω) (?2).

Remarque IV.5. Si M est un point d’affixe z dans le repère (O,~ı,~), alors son affixe dans le repère (Ω,~ı,~)est z − ω. Ainsi, en recentrant le problème en Ω, la rotation et l’homothétie précédentes correspondent auxmultiplication par eiθ et λ. On en déduit les relations (?1) et (?2).

IV.4.c Définition et caractéristiques

Définition IV.3. Une similitude directe est une transformation du plan dont la représentation complexe est dela forme suivante :

z′ = az + b

où a ∈ C∗ et b ∈ C.

Proposition IV.8. Soit s une similitude directe de représentation complexe

z′ = az + b

où a ∈ C∗ et b ∈ C. On a alors deux cas :

1. Si a = 1, alors s est la translation de vecteur ~v d’affixe b.

2. Si a 6= 1, alors il existe un unique point Ω tel que :

(a) s(Ω) = Ω (On dit que Ω est un point fixe de s).

(b) s est la composée de la rotation R de centre Ω et d’angle θ = arg(a) et de l’homothétie H de centre Ωet de rapport r = |a|. De plus, ces deux transformations commutent.i.e. : Pour tout M ∈ P, s(M) = R(H(M)) = H(R(M))i.e. : s = R H = H R

(On trouve Ω

(b

1− a

).)

Définition IV.4. Avec les notations précédentes, on dit que s est la similitude directe de centre Ω, de rapportr = |a| et d’angle θ ∈ R. De plus, si s est une translation, on dira qu’elle n’a pas de centre, que son rapport est 1et que son angle est 0.

Remarque IV.6. Pour déterminer les caractéristiques d’une telle similitude directe, il suffit donc de calculer|a| et arg(a) et résoudre l’équation (E) de la démonstration précédente.

Exemple IV.4. Déterminer les caractéristiques de la similitude directe s de représentation complexe :z′ = (1 + i)z + 2.

IV.4.d Propriétés

Proposition IV.9. Soit s une similitude directe de représentation complexe : z′ = az + b. Soient A, B et Ctrois points de P. Soient A′ = s(A), B′ = s(B) et C ′ = s(C). Alors, on a :

1. A′B′ = |a|.ABOn dit que la similitude directe s multiplie les distances par |a|.

2. (−−→AB,

−−−→A′B′) = arg(a)[2π]

3.A′B′

A′C ′=AB

AC.

On dit que la similitude directe s conserve les rapports de distances.

4. (−−→AB,

−→AC) = (

−−−→A′B′,

−−→A′C ′)

On dit que la similitude directe s conserve les angles orientés.


Proposition IV.10. La composée de deux similitudes directes est une similitude directe.Plus précisément, si s1 et s2 sont deux similitudes directes d’angles θ1 et θ2 et de rapports r1 et r2. Alors, lacomposée s2 s1 de s2 et s1 est une similitude directe d’angle θ1 + θ2 et de rapport r1r2.

Proposition IV.11. Soient M1, M2, M ′1 et M ′2 quatre points de P tels que : M1 6= M2 et M ′1 6= M ′2. Alors, ilexiste une unique similitude directe s telle que : s(M1) = M ′1 et s(M2) = M ′2.

Démonstration. (idée de preuve) On résout l’équation d’inconnue (a, b) ∈ C2 suivante :

az1 + b = z′1az2 + b = z′2

où

z1, z2, z′1 et z′2 sont les affixes de M1, M2, M ′1 et M ′2. On observe qu’elle admet une unique solution vérifianta 6= 0.

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