Collection U1 Edition : La Mcanique

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Cours

TD

Correction des TD

COURS DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL. POUR LE PREMIER SEMESTRE .

SOMMAIRE

CHAPITRE 1 : - Systme de coordonnes. - Cinmatique du point matriel (avec et sans changement de rfrentiel). CHAPITRE 2 : Loi fondamentale et thormes gnraux de la dynamique du point matriel. CHAPITRE 3 : Travail et nergie. CHAPITRE 4 : Les mouvements force centrale. CHAPITRE 5 : Vibrations simples : Systmes un degr de libert. CHAPITRE 6 : Chocs de deux particules.

CHAPITRE 1 : A) SYSTEMES DE COORDONNEES Selon la nature de la trajectoire dune particule, sa position sera repre par lun des systmes de coordonnes : cartsiennes, cylindriques ou sphriques. Soient R0 (O,x0 y0 z0 ) un repre direct orthonorm de base (i, j, k ) et M la particule reprer. I ] Systme de coordonnes cartsiennes. Dans R0, la position de la particule M est donne par ses trois coordonnes cartsiennes (x,y,z) telles que : x = abscisse de M ; y = ordonne de M ; z = cte de M. x Pr ojOx 0

OM ;

y

Pr oj Oy OM0

; z

Pr oj

Oz 0

OM .

z M k O i x x0 Dans R0 , le vecteur position scrit : OM Om mM xi y j zk . m j y y0

Dplacement lmentaire. Le vecteur dplacement lmentaire MM ' (M est rs voisin de M) scrit: MM ' d OM (Dans R0 , d i dj dk 0) dM dxi dy j dz k

II] Systmes de coordonnes cylindriques. Si la trajectoire du point M possde une symtrie axiale de rvolution, il est intressant dutiliser les coordonnes cylindriques de ce point ( , ,z) dfinies comme suit : p Om ( m est la projection de M sur le plan ( x0 Oy 0 ) ), q angle(Ox 0 ,Om) et z est

la projection du vecteur position OM sur laxe Oz 0 .

z0 z k O i x0 j

k eq M eq m ep y0

Une nouvelle base orthonorme directe (e p , e q , k) est associe ce systme de coordonnes telle que : ep eq avec et de dq d eq dq ep . eq Op

cosqi sin q j. sin qi cosq j.

eq

j

i

ep

Quand le point M dcrit tout lespace, les intervalles de variation de , 0 0, la trajectoire du satellite est hyperbolique (e > 1). si Em = 0 (e = 1), la trajectoire du satellite est parabolique. Ce qui correspond une vitesse initiale V0 telle que: V0 2GMT r0 Vl .

-

Vl est appel vitesse de libration du satellite. Cette vitesse dpend de l'altitude du satellite et du rayon de la terre. Par consquent, - si la vitesse initiale de l'engin est suprieure ou gale sa vitesse de libration, sa trajectoire est parabolique ou hyperbolique et donc celui-ci s'loigne indfiniment de la terre. - si 0 V0 Vl , la trajectoire du satellite est ferme. Celle-ci est circulaire ou elliptique. Exemples: a) Au niveau du sol terrestre: r0 6400km , donc Vl 11.2km / s . b) Au niveau du sol lunaire: r0 1700km , ce qui correspond Vl 2.4km / s . Cette dernire vitesse est comparable la vitesse de l'agitation thermique des molcules gazeuses, ce qui explique l'absence de l'atmosphre au niveau de la lune. 2) Mise sur orbite d'un satellite. C'est une opration qui se droule en deux tapes: i) Lancement partir d'une station terrestre A. En A, le lancement se fait avec une vitesse 0 V0 B Terre A

Vl ( c'est la phase balistique).

ii)

La satellisation (mise sur orbite) se fait en B grce une deuxime acclration qui fournira l'accroissement ncessaire de la vitesse. B est gnralement le prige de l'ellipse.

VI) Satellite gostationnaire. Un satellite gostationnaire est un satellite qui parat fixe pour un observateur terrestre. C'est donc un engin qui a la mme vitesse de rotation que celle de la terre. Le principe fondamental de la dynamique donne: F = M (M) Y Qui se traduit par, ZT V02 GM T m my m (la force de r02 r0 Satellite gravitation quilibre la force centrifuge). Donc, O T GM T Vl , ce qui V r0 2 Terre correspond bien V0 Vl . XT

Z X

YT

VI) Atome d'hydrogne. Modle de BOHR . L'atome d'hydrogne est form d'un lectron qui tourne autour d'un proton. Classiquement, cet lectron doit perdre de l'nergie Sous forme de rayonnement lectromagntique et "tombe" sur le proton. Or cette situation ne se Produit pas.

Electron -q +q + Proton

Modle de Bohr (modle semi -classique). Bohr a suppos que l'lectron tourne autour du proton sur des orbites circulaires ayant des rayons bien dfinis, et il postule: Le moment cintique de l'lectron par rapport au centre du cercle s'crit. h nh . cO n 2t O n est un entier naturel non nul et h 6.62 10 34 J .s est la constante de Planck. Calcul des rayons des cercles de Bohr: Nous avons, h nh 1 mVr r . , cO n 2t 2t mV d'une part. D'autre part, Le principe fondamental de la dynamique appliqu l'lectron est:

V Fe +q -q

q2 1 V2 . m . 4tc0 r 2 r Finalement, le rayon de l'orbite de l'lectron est: rn Pour 1re orbite de Bohr: n = 1, r1 Pour n = 2, r2 4 r1 .o o

h 2 c0 tq 2 m

.n 2 .

0.53 A . (1 A 10

10

m ).

Calcul de l'nergie E de l'lectron sur les orbites de Bohr: k On a: E . 2P(1 e 2 ) Dans le cas du cercle (e = 0): Donc E mk 2 . 2 2c0 E k , avec P 2P c02 , mk

L'lectron est soumis de la part du proton une force lectrostatique: ( q)( q) 1 Fe . 2 er . 4tc0 r F e une force newtonienne avec k q2 . 4tc0

D'o, l'nergie de l'lectron s'crit, mq 4 1 4t 2 mq 4 1 . E . 2 2 16c 0 t 2 2 n 2 h 2 8c 0 t 2 n 2 Donc l'nergie de la particule dpend de l'entier n et s'crit, 1 E = E(n) En Cte. 2 . n On pose hRc En . n2 Constantes numriques: R mq 4 8c 02 h 3 c 1.0973 10 7 m 1 . (constante de Rhydberg).

c 3 10 8 m / s . (clrit de la lumire.) c0 8.86 10 12 F / m . (permittivit du vide). m 0.9 1030

kg . (masse de l'lectron).

Pour n = 1: E1 = - 13.6 eV. E1 13.6 Pou n = 2: eV E2 2 2

CHAPITRE 5: OSCILLATEURS HARMONIQUES. A) Oscillateurs libres. I) Dfinition: Un oscillateur harmonique est tout systme mcanique dont la position q(t), la vitesse d 2q(t ) dq(t) et l'acclration sont des fonctions sinusodales du temps. dt dt 2 La variable q(t) obeit la relation: d 2 q(t ) w2 q(t) 0 . 0 2 dt C'est une quation diffrentielle linaire du second ordre coefficients constants et sans second membre. Son quation caractristique est: r 2 w2 0. 0 La solution de cette quation est de la forme: q(t ) A sin( w0 t q) ou q(t ) A cos(w0t q) , o A, w0 et sont, respectivement, l'amplitude, la pulsation et la phase de l'oscillation. A et sont dtermines partir des conditions initiales. 2t 1 La priode de l'oscillation est dfinie par: T , et la frquence par: f . w0 T II) Systme masse-ressort. a) masse au repos. Soit un ressort de masse suppose ngligeable devant la masse m qui lui est accroche. O

l0 T z0 z P m

A l'quilibre, le principe fondamental de la dynamique appliqu la masse m s'crit: P T 0. P est le poids de la masse m. T est la force de rappel du ressort. La projection de l'quation vectorielle ci-dessus sur l'axe Oz donne: mg + T = 0. T = -K(z0 l0 ) (loi de Hooke). l0 est la longueur du ressort vide est z0 est la longueur de celui-ci l'quilibre. K est la constante de raideur (ou d'lasticit) du ressort. D'o mg = K(z0 -l0 ).

b) Masse en mouvement. Dans ce cas, la masse m sera repre par rapport l'axe Oz par z(t). L'quation du mouvement de la masse m est:..

mg mg Il reste :

K ( z(t ) l 0 ) K ( z(t) z 0..

m z(t) , qui peut encore s'crie:..

z0

l0 ) 0.

mg K (z 0 (1)

l 0 ) K ( z(t)

z0 )

m z(t) .

( z z0 ) m Posons Z = z z0 . L'quation (1) devient: z

K

..

Z

K Z m

0.

(2)

Z dsigne l'cart par rapport la position d'quilibre. c) Energie mcanique. Les deux forces P et T mises eu jeu sont conservatives: P et T sont portes par l'axe Oz : D'o P E P1 et T rot P E P2 . rotT 0.

Les nergies potentielles EP1 et EP2 dont drivent les forces P et T sont respectivement: E P1 mgz A1 et E P2 K( z2 2 l0 z A2 ) K ( z l0 ) 2 2 A3 .

A1 , A2 et A3 sont des constantes d'intgration. L'nergie potentielle du systme est: K mgz E P E P 1 E P2 Avec A4 = A1 +A3 . (z l 0 ) 2 A4 . 2 Pour dterminer la constante A4 , on prendra lnergie potentielle Ep nulle lquilibre : Ep (z0 ) = 0 donne : K A4 mgz 0 (z0 l 0 ) 2 . 2 Do, 1 1 Ep K (z z 0 ) 2 KZ 2 . 2 2 Lnergie cintique du systme est : . 1 1 mZ 2 . Ec mV 2 2 2 Le systme masse-ressort est un systme conservatif. Son nergie mcanique reste constante. Donc : . 1 1 Em Ec E p KZ 2 Cte. mZ 2 2 2 Do

dEm dt et..

.

..

.

m Z Z KZ Z

0,

K Z m qui peut scrire aussi, Z..

0,

2 (2) Z w0 Z 0 . La pulsation de l'oscillateur libre est: K w2 . 0 m La solution de lquation (2) est de la forme : Z(t) = Asin( 0 t + ). Par consquent, lnergie mcanique du systme masse-ressort scrit : 1 Em KA2 . 2 Cette nergie est proportionnelle au carr de lamplitude des oscillations. La priode des oscillations est indpendante de lamplitude A et scrit : m . T 2t K

III) Pendule simple. On considre un fil inextensible de masse ngligeable par rapport m. La masse est accroche lune des extrmits du fil, lautre extrmit est fixe en un point O. a) Pendule lquilibre. O

A lquilibre, la somme vectorielle du poids P de la masse m et de la tension T du fil est nulle : P T 0. P

T m

b) Pendule hors quilibre. O Le principe fondamental de la dynamique Scrit : P T my. La projection de cette quation vectorielle sur les axes du tridre de Serret-Frenet donne les deux quations scalaires suivantes. T 0 n P T

d 2s dV mg sin 0 my t m m 2 dt dt 2 V T mg cos0 my n m l

(1) (2)

O S est labscisse curviligne du mouvement. L est la longueur du fil = rayon de courbure de la trajectoire de la particule. Dans le cas des faibles oscillations, sin voisin de , lquation (1) donne : .. g 0 0 0. l Cette quation diffrentielle a pour solution : (t) = sin( 0 t + ). O 2t g g 2t . w0 , et T w0 l l T0 dsigne la priode des oscillations. B) Oscillateurs amortis par un frottement fluide. Dans cette partie, nous tenons compte des forces de frottement de la masse avec le fluide. Il existe deux types de frottements : - Frottements solides o la force de frottement est une constante. - Frottements fluides (ou visqueux) o la force de frottement est proportionnelle au vecteur vitesse de la masse m. Ff K 'V . K est le coefficient de frottement. K est positif. Le signe (-) qui apparat dans lexpression de la force de frottement traduit le fait que cette force soppose au mouvement. Dans le cas unidimensionnel, nous avons.

V z k. Le principe fondamental de la dynamique appliqu au systme masse-ressort amorti par un frottement fluide est : .. .. K' . K mz KZ K ' Z z Z Z 0. m m Cest une quation diffrentielle du second ordre, linaire, coefficients constants et sans second membre. On pose: K w2 , avec w0 = pulsation propre de l'oscillateur, 0 m K' et 22w0 , o est le coefficient d'amortissement. m L'quation diffrentielle du mouvement du point M devient alors: Z 22w0 Z w2 Z 0 , 0 dont l'quation caractristique est: r 2 22w0 r w02 Le discriminant de cette quation est: ' w2 (22 1) . 0.. .

0.

Nous avons donc trois cas distinguer: a) ' > 0 ( ou > 1): Les deux racines de l'quation caractristique ci-dessus sont: r1 2w0 w0 22 1. r2 2w0 w0 22 1 . La solution de l'quation du mouvement du point M est donc, Z(t) Z (t) e2w 0 t

Aew 0

2

2

1t

Be

w0 2

2

1t

, A+B

A et B sont des constantes dterminer partir des conditions initiales. Quand t , Z (t ) 0. Dans ce cas, il n y a pas d'oscillations autour de la position d'quilibre. Il y a retour l'quilibre aprs un temps suffisamment grand. Le rgime est apriodique. b) ' = 0 (ou = 1): w0 . r1 r2 r La solution de l'quation diffrentielle du mouvement est: Z (t) e w 0t (Ct D) . Dans ce cas, le retour l'quilibre se fait De manire plus rapide que dans le rgime apriodique. C'est le rgime apriodique-critique.

O

t

Z(t) D

O

t

c) ' < 0 ( ou 0 < < 1): Les racines de l'quation caractristique sont: r1 r2 2w0 2w0 iw0 1 22 iw0 1 22 2w0 iw.

2w0 iw.

O i est le nombre complexe ( i 2 1 ) et w w0 1 22 dsigne la pseudo-priode de l'oscillateur tudi. La solution Z(t) s'crit alors: Z (t) e 2w 0t (C1 e iwt C 2 e iw t ) . C1 et C2 sont des constantes qu'on dterminera partir des conditions initiales. Cette solution peut encore s'crire sous la forme, Z (t) e 2w 0t A1 sin( wt q) . A1e 2w 0t et sont respectivement l'amplitude et la phase de l'oscillation. Le rgime est pseudo-priodique.

La pseudo-priode des oscillations est: T Ou bien, avec T0 T T0 1 22 2t . (T0 est la pulsation w0 propre de l'oscillateur). La pseudo-priode est donc suprieure la priode propre de l'oscillateur (T > T0 ). Z(t) A1 A1 sin O t , 2t w 2t 1 . . w0 1 22

-A1

Dcrment logarithmique. Nous avons: Z (t) e 2w 0t A1 sin( wt q) , et Z (t T ) e 2w 0( t T ) A1 sin( wt q) . On dfini le dcrment logarithmique par le rapport suivant: Z (t T ) e 2w 0t . e Z (t ) Donc, Z (t) 2w0T ln( ). Z (t T ) Le dcrment logarithmique caractrise la dcroissance des longations chaque priode. Remarque: Le dcrment logarithmique peut aussi s'crire, 2w0T 2w0 . 2t w0 1 1 22

2t2 1 22

.

CHAPITRE 6. CHOCS DE DEUX PARTICULES. I) Dfinition. On appelle choc ou collision entre deux particules, toute interaction qui entrane une variation brusque et finie des vecteurs vitesses des deux particules pendant un temps trs court. II) Conservation de la quantit de mouvement. Soient m et m les masses respectives des particules M et M2 dans un rfrentiel galilen 1 2 1 R0 . et soient: - V 1 et V 2 les vitesses respectives de M1 et M2 dans le repre R0 avant le choc. - V '1 et V ' 2 les vitesses respectives de M1 et M2 dans le repre R0 aprs le choc. - F 21 et F 12 les forces transitoires appliques respectivement M1 et uniquement pendant le choc. M2

Les forces de raction F 21 et F 12 qui apparaissent pendant le choc sont trs importantes, compares aux forces extrieures applique M1 et M2 . Hypothse fondamentale: On admettra que les forces F 21 et F 12 vrifient le principe d'action et de la raction: F 21 F 21 0 . D'o F 21 Donc P1 avec P1 m1 V 1 , P 2 m2 V 2 , P'1 m1V '1 et P' 2 m2 V '2 . L'quation (1) montre que la quantit de mouvement du systme (S), form de M1 et de M2 , se conserve (quantit de mouvement du systme est la mme avant et aprs le choc). Remarque: Au moment de la collision entre les particules M et M2 , les forces extrieures au systme 1 (S) sont gnralement ngligeables devant les forces intrieures ce systme que sont les forces de contact. (S) peut alors tre considr comme systme isol. Dans le cas d'un systme isol, le principe fondamental de la dynamique appliqu celui-ci dans le repre R0 est comme suit: F ext Donc, P P1 P2 P'1 P' 2 Cte. my(S ) (m1 m2 )y(S ) dP dt 0. P2 P'1 P' 2 Cte , (1) F 21 d P1 dt d P2 dt d (P1 P 2 ) dt 0.

I)

Collisions lastiques et inlastiques:

a) Collisions lastiques: Par dfinition, la collision entre deux particules M1 et de M2 est dite parfaitement lastique si l'nergie cintique du systme(S) des deux particules avant le chocs est gale l'nergie cintique totale de ce systme aprs le choc. Nous avons alors: 1 m1V12 2 1 m2V22 2 1 1 2 2 m1V '1 m 2V '2 . 2 2

b) Collision inlastique: Dans ce cas, il n'y a pas de conservation de l'nergie cintique du systme durant la collision. Le bilan nergtique s'crit: 1 1 1 1 m1V12 m2 V22 m1V '12 m2 V ' 2 U , 2 2 2 2 2 o U est la variation de l'nergie cintique du systme(S) avant et aprs le choc. Si U < 0, le systme absorbe de l'nergie (le choc est endonergtique ). Si U > 0, le systme cde de l'nergie (le choc est exonergtique). c) Choc mou. - Avant le choc, la particule M a la masse m et la v itesse V 1 et la particule M a la 1 1 2 masse m2 et la vitesse V 2 . - Aprs le choc, les deux masses M1 et M2 constituent un seul corps de masse (m1 + m2 ) et de vitesse V . La conservation de la quantit de mouvement s'crit dans ce cas, m1 V 1 + m2 V 2 = (m1 + m2 ) V . Au cours de la collision l'nergie cintique n'est pas conserve. Les pertes apparaissent sous forme de chaleur, de dformation, d) Coefficient de restitution. Le coefficient de restitution (ou d'lasticit) e est le nombre, compris entre 0 et 1, dfini par le rapport des vitesses relatives de la particule M2 par rapport la particule M1 (ou de M1 par rapport M2 ) aprs le choc, soit: e V '1 V ' 2

V1 V 2 Si e = 0, le choc est mou. Si e = 1, le choc est lastique. Si 0 < e < 1, le choc est inlastique (ou intermdiaire).

II) Exemples de choc lastiques. On considre un systme (S) de deux particules M1 et M2 de masses respectives m et m , 1 2 dont les vitesses V 1 et V 2 avant le choc deviennent V '1 et V ' 2 aprs le choc.

La conservation de la quantit de mouvement (quation vectorielle) et la conservation de l'nergie cintique du systme (S) donnent quatre quations scalaires pour les six composantes des vitesses inconnues. Les six inconnues sont en gnral les six composantes des vitesses V '1 et V ' 2 . Il faut alors fournir d'autres indications supplmentaires pour avoir autant d'inconnues que d'quations scalaires. 1) Collision lastique directe de deux particules. Un choc entre deux particules M et M2 est appel "direct", "frontal" ou de ''plein fouet'' si 1 les vitesses avant et aprs le choc, V 1 , V 2 , V '1 et V ' 2 sont colinaires. Dans ce cas, nous aurons deux quations deux inconnues: m1 V 1 m2 V 2 m1V '1 m2 V '2 1 1 1 1 mV2 m2 V 2 m V '2 m2 V '2 1 1 2 2 2 2 2) Collision de type boules de billard. Supposons que la particule M1 est anime d'une vitesse V 1 juste avant le choc, dans le repre galilen R , et que la particule M2 soit immobile. On dit que les particules M1 et M2 0 subissent un choc lastique de type boules de billard, si aprs le choc, leurs vitesses respectives font des angles 1 et 2 avec la direction de V 1 . x y V1 M1 M2 Avant le choc O x O2'

'

M11

V1

y

M2 Aprs le choc

V2

-

Conservation de la quantit de mouvement et de l'nergie cintique du systme (S) avant et aprs le choc: m1 V 12

m1V '12

m 2 V '22

m1V1 m1V '1 mV ' 2 La projection de l'quation vectorielle ci-dessus sur les trois axes de R0 donne: m1V1 0 m1 V12

m1V '1 cos01 m1 V '2 1 2 m2 V ' 2

m2V ' 2 cos02

m1V '1 sin 01

m2V ' 2 sin 02

Nous avons donc trois quations pour quatre inconnues (V '1 ,V ' 2 ,01 et 02 ). Pour avoir le nombre d'quations ncessaires la recherche des inconnues, nous introduisons le paramtre d'impact P. Le paramtre P est la distance qui spare, au moment du choc, le centre de la particule M1 de l'axe Ox 0 . Le paramtre d'impact P est donne par: P O1 H 2r sin ci

2r sin 0 .

r est le rayon de M1 et M2 identiques. La donne de P permet de rsoudre le problme du nombre d'inconnues.

y

O1

P H

O22

x

TDS.V. et S.T.U.

MECANIQUE - T.D.1

1/ Une moto parcourt 30 kilomtres de ligne droite en 50 minutes. Que vaut la vitesse moyenne exprime en m/s? 2/ Un athlte parcourt 100 m en 8 s et 13 centimes. Que vaut sa vitesse moyenne exprime en Km/h? 3/ Un escargot parcourt 1 mm en 10 s. que vaut sa vitesse moyenne en Km/h ? 4/ X et Y quittent leurs maisons au mme moment et roulent en sens oppos. X a une vitesse de 30 Km/h alors que Y a une vitesse deux fois plus grande. Quelle est la distance entre leurs maisons sachant quils se croisent aprs 10 min ? 5/ Une voiture est sur le point d'en dpasser une autre. Sa vitesse augmente de 50 100 Km/h en 4 s. Que vaut l'acclration moyenne en m/s2? 6/ Une voiture, qui a une vitesse initiale de 20 m/s freine avec une dclration de 3 m/s2. Quel temps lui faudra-t-elle pour s'arrter? 7/ A partir des figures ci-dessous, dterminer lquation horaire du mouvement x(t).

8/ Quelle doit tre la hauteur d'une chute d'eau dun barrage pour que l'eau atteigne la roue d'une turbine avec une vitesse verticale de 40 m/s? 9/ Pourquoi les voitures de course de formule 1 sont pilotes manuellement ? 10/ Lorsquun automobiliste repre un obstacle, un certains temps de raction scoule avant quil commence freiner avec une dclration a que lon suppose constante. Quels sont le temps de raction et la dclration que lon dduit de la loi empirique : Distance de freinage df= 1V0 + 1 V02 o V0 est la vitesse de la voiture juste avant le3 50

freinage (df en m et V0 en km/h)

11/ Si a, b et c sont les longueurs des cts dun triangle quelconque et langle compris entre les cts a et b, montrer que le thorme de Pythagore gnralis est donn par : a2 +b2 2abcos = c2

12/ Dterminer le module et la direction du vecteur OC ?

13/ On appelle cyclode la courbe dcrite par un point invariablement li au cercle mobile (appel cercle gnrateur) qui roule sans glisser sur une droite (appele directrice). Les quations horaires du mouvement cyclode sont donnes par : x(t) = a (t sint) y(t) = a (1 cost) Exprimer la vitesse et lacclration dun objet dcrivant une cyclode? 14/ Les crans des tubes cathodiques (des tlviseurs, des ordinateurs, des oscilloscopes.) mettent de la lumire lorsquils sont atteints par des lectrons ayant une grande vitesse. On utilise des plaques charges lectriquement pour contrler leur point dimpact. Des lectrons ayant une vitesse initiale horizontale de 2 107 ms-1 sont soumis une acclration verticale de 1014 ms-2 pendant leur trajet entre des plaques qui ont une longueur de 0.2 m. a- Pendant combien de temps les lectrons restent-ils entre les plaques ? b- Quelle sera la direction des lectrons la sortie de celles-ci ? c- Que vaudra la dviation verticale la sortie des plaques ? 15/ Une particule 1 bouge le long de laxe OX avec la vitesse V 1 =2 i et une autre 2 le long de laxe OY la vitesse V 2 =3 j . Les deux vitesses sont en cm/s. A linstant t=0, leurs coordonnes sont respectivement r 1(0)=(3cm,0) et r 2(0)=(0,3cm) a- Dterminer le vecteur r 12(t)= r 2(t) r 1(t) reprsentant la position relative des deux particules. b- O et quand les 2 particules se trouveront-elles une distance minimale lune de lautre ?

MECANIQUE - T.D.2 1/ Le noyau dun atome dUranium peut tre approximativement dcrit par une sphre dont le rayon vaut 8,7 10-15 m et dont la masse vaut 3.5 10-25 Kg Quelle est sa masse volumique ainsi que sa densit ? 2/ Un ascenseur a une masse de 1000 kg. a- Il a une acclration en monte de 3 m/s2. Que vaut la tension T exerce par le cble ? b- Que vaut la tension T si lacclration est de 3 m/s2 en descente ? 3/ Un avion de chasse pique, la verticale avec une acclration de 3g. Quelles sont la grandeur et la direction du poids effectif du pilote si son poids est P ? 4/ Un parachutiste dont le poids est P, touche le sol les jambes flchies. Il simmobilise en subissant une dclration de 3g. Trouver la force exerce par le sol sur le pilote au cours de latterrissage ? Discuter 5/ Un bloc de 5 kg se trouve sur une surface plane horizontale. Si une force horizontale T=20 N est applique au bloc et si celui-ci reste immobile, que vaut la force de frottement ? Le bloc se met en mouvement lorsque T atteint une valeur de 40 N. Que vaut s ? Le bloc continu de se dplacer vitesse constante si T est ramene 32 N. Que vaut c? 6/ La lune se trouve 3.9 105 Km du centre de la terre. Sa masse est de 7.3 1022 Kg et la masse de la terre vaut 6.0 1024 Kg. A quelle distance du centre de la terre doit se trouver un objet pour que les forces gravitationnelles dues la terre et la lune soient gales mais opposes. 7/ La figure ci-dessous reprsente un avant-bras, sous la forme dun modle constitu dune barre articule autour dun pivot et soutenue par un cble. Trouver la tension F exerce par le biceps et la force R exerce par larticulation du coude.

8/ Dterminer T1, T2 et T3 sachant que le poids du feu rouge est de 125 N. Les angles entre lhorizontal et les tensions T1 et T2 sont respectivement 37 et 53 .

9/

Lorsquon est debout sur la pointe dun seul pieds, la configuration des forces agissant sue le pieds est schmatise sur la figure ci-dessous. La force F est exerce par le tendon dAchille, R est la raction du tibia et N est la raction du sol. Dterminer les quations dquilibre ?

10/ Une feuille dor a une paisseur de 10 mm. Que vaut la masse dune surface de 10 cm de ct sachant que la densit de lor vaut 19.3 ? 11/ Imaginons que les globules rouges soient de petites sphres de rayon R =2 m et de masse volumique = 1300 Kg/m3. Quelle est la masse dun globule rouge ? 12/ Un fmur humain se fracture si la force de compression vaut 2105 N. Une personne, dont la masse est de 60 kg, la reoit sur une jambe. a- Quelle acclration produira une fracture ? b- Que vaut cette acclration par rapport lacclration de la pesanteur ? 13/ Un bloc de masse m1 = 20 kg est libre de se mouvoir le long dune surface horizontale. Une corde qui passe dans la gorge dune poulie le relie un second bloc de masse m2 = 10 kg. Ce bloc est en suspension verticale. Supposons, pour simplifier, que la poulie et la corde ont des masses ngligeables. Dans lhypothse o il ny a pas de frottements, dterminer : a- les forces qui sexercent sur les blocs ; b- leurs acclrations. c- Si le systme est au repos linstant initial, quelle distance aura-t-il parcourue aprs 2 s ? 14/ Un bloc est au repos sur un plan inclin. Le coefficient de frottement statique vaut s. Quel est langle dinclinaison maximum max du plan inclin pour lequel le bloc reste au repos ?

Mcanique et mcanique des Fluides

SVI-STU

Pr. M. ABD-LEFDIL

15/ Une bote, pesant 100 N, est au repos sur un sol horizontal. Le coefficient de frottement statique vaut 0.3. Quelle est la force minimum ncessaire pour mettre la bote en mouvement ? 16/ Trouver les forces F1 et F2 qui sexercent sur la dent reprsente par la figure ci- dessous. (En orthodontie, les forces appliques aux dents donnent naissance des forces sur les os de la mchoire. Progressivement, le tissu osseux se modifie, ce qui permet la dent de pivoter ou de se dplacer. De nouveaux tissus osseux se rgnrent dans lespace cre. Les forces doivent tre suffisamment faibles pour viter dendommager la racine de la dent.)

17/ La colonne vertbrale humaine comprend 24 vertbres spares par des disques qui contiennent un liquide (LCR). Lorsquon se penche pour ramasser un objet, une force trs importante apparat sur le disque lombo-sacr qui spare la dernire vertbre de los qui supporte la colonne vertbrale (le sacrum). Si on assimile la colonne vertbrale une barre qui tourne autour dun pivot comme le montre la figure ci-dessous, on peut dire que : Le sacrum exerce une force R sur la colonne vertbrale. Les diffrents muscles du dos sont quivalents un seul muscle produisant une tension T. A laide des donnes de la figure, valuer T et R. W=430 N tant le poids du torse et des bras. Discuter les cas W 1=0 et W 1=175 N

MECANIQUE - T.D.3

1/ La vitesse maximale des lames dune tondeuse gazon ne peut pas dpasser une valeur limite. Cette limite a pour but de rduire les dangers dus aux projections de pierres et autres dbris. Un modle de tondeuse disponible sur le march a une

vitesse de rotation de 3700 tours par minute. La lame a un rayon de 0.25 m. a-Quelle est la vitesse linaire de lextrmit de la lame ? b- Si la lame sarrte en trois secondes avec une dclration constante, valuer le nombre de tours quelle effectue au cours de cette dclration. 2/ Dans un modle simple de latome dhydrogne, on considre que llectron se dplace autour du proton sur une orbite circulaire de rayon 5.29 10-11 m. La masse du proton vaut M = 1.67 10-27 kg et celle de llectron m = 9.11 10-31 kg. a- Que valent les forces lectriques et gravitationnelle exerces par le proton sur llectron ? Conclure. b- Dterminer lacclration et la vitesse de llectron dans latome dhydrogne ainsi que le nombre de rvolutions effectues par seconde. 3/ Imaginons que les globules rouges soient de petites sphres de rayon R =2 m et de masse volumique = 1300 g/ l . Comparer leur poids la force centrifuge que produit une centrifugeuse de vitesse de rotation gale 104 tours/min et de rayon 10 cm ? Conclure 4/ La figure ci-dessous montre schmatiquement un spectromtre de masse. La source S produit des ions positifs de charge +2e (+ e est la charge du proton = 1.602 10-19 C) et de masse inconnue M. Les ions sont acclrs par une tension lectrique pour atteindre une vitesse V=3.1 105 m/s. Aprs le passage de la fente F, ils sont soumis un champ magntique

B de 0.1 T. ( B est perpendiculaire au plan de la figure). Dans B ils dcrivent une trajectoire semi-circulaire et sont enregistrs sur un cran une distance d = 13 cm de A. Quelle est la masse M des ions ? De quel ion sagit-il ? On rappelle que la masse dun proton est gale Mp= 1.67 10-27 Kg

5/ Soit un satellite de masse m en orbite autour de la terre (de masse MT) r tant le rayon de lorbite circulaire. a/ A partir de la 2me loi de Newton, dterminer lacclration du satellite. b/ Dterminer la vitesse du satellite. c/ Montrer quon a : T2 = C r3 appele 3 me loi de Kepler C est une constante quon dterminera. d/ Quelle doit-tre laltitude h, par rapport la surface terrestre, pour que le satellite ait une priode de 24 h. Commenter Donnes numriques: MT = 6 1024 Kg, R = 6400 km, m = 1000 Kg, G = 6,7 10-11 S.I., 6/ Dterminer la vitesse V et la vitesse angulaire quun avion qui vole lquateur une hauteur de 5000 m doit avoir pour voir le soleil fixe lhorizon. Lavion doit voler vers lest o vers louest? 7/ Vous faites tourner (avec une vitesse uniforme) une pierre attache lextrmit dune corde de longueur R gale 1.2 m dans un plan horizontal situ une hauteur h gale 1.8 m du sol. La corde casse et la pierre touche le sol une distance L gale 9.1 m de vos pieds. Quelle est la valeur de lacclration centripte ac pendant le mouvement circulaire de la pierre? 8/ Dterminer lquation du mouvement dune masse m accroche un ressort horizontal. A t = 0 , on carte la masse de sa position dquilibre et on la lche sans vitesse initiale. 9/ Rsoudre lquation diffrentielle du mouvement oscillatoire amorti. Discuter le rsultat obtenu selon limportance du coefficient damortissement. 10/ Une particule pntre avec une vitesse V0 dans un milieu visqueux caractris par un coefficient de frottement . Si m est la masse de la particule, que vaut la distance de pntration L dans ce milieu. A.N.: V0= 10 m/s, m= 1 g et = 200 g/s 11/ Dterminer en ngligeant le frottement : a- Llongation lquilibre b- La frquence propre doscillation des deux oscillateurs ci-contre.

12/ Imaginer un tunnel traversant compltement la terre le long dun diamtre. A une extrmit du tunnel, on lche une masse m avec une vitesse nulle. a- Ecrire lquation du mouvement de m et montrer que son mouvement est une oscillation harmonique. b- Que vaut la priode T du mouvement ? 13/ Une molcule diatomique peut tre envisage comme un systme de deux masses m1 et m2 interagissant par lintermdiaire dun ressort de constante lastique K. a- Montrer que la frquence propre doscillation de la molcule est donne par : m1 m 2 1 k 0 =

2

MECANIQUE - T.D.4

1/ Un objet de masse m est en mouvement ascendant sur une pente. Le frottement estsuppos ngligeable et la tension T qui tire lobjet est reprsente sur la figure ci-dessous. Quest ce quon peut conclure au sujet du travail de la force gravitationnelle exerce par la terre sur lobjet. Dterminer le travail total de m durant le dplacement d.

2/ Une personne qui veut maigrir soulve 103 fois une masse de 10 kg dun hauteur de 50 cm.a- Quel travail effectue-t- elle pour vaincre la force de pesanteur ? (Lorsquelle abaisse la masse, on supposera que lnergie potentielle est dissipe) b- la graisse fournit une nergie de 3.8 106 J par kg. Cette nergie est convertie en nergie mcanique avec un rendement de 20 %. Quelle quantit de graisse sera brle au cours de lexercice ?

3/ Dterminer lnergie potentielle dun oscillateur harmonique unidimensionnel.Sachant que la solution de lquation du mouvement dun oscillateur harmonique est donne par : x(t) = A sin(t+), En dduire lexpression de lnergie mcanique.

4/ Soit un lectron en mouvement circulaire autour dun proton.a- Donner lexpression de lnergie cintique. b- Dterminer lexpression de lnergie potentielle. c- En dduire lexpression de lnergie mcanique.

5/ Les pales dune olienne balaient une surface circulaire S.a- Si le vent a une vitesse V et une direction perpendiculaire la surface balaye par les pales, quelle est la masse dair qui passe travers lolienne au cours du temps ? b- Quelle est lnergie cintique de lair ? c- Supposons que lolienne transforme 30 % de lnergie olienne en nergie lectrique. Calculer la puissance lectrique produite ? On donne : la masse volumique de lair = 1.2 kg/m3, S = 30 m2 et V = 36 Km/h.

6/ Une skieuse, de masse 50 Kg, descend le long dune colline sans vitesse initiale.La hauteur de la colline est de 20 m. a- Quelle sera sa vitesse en bas de la colline si on nglige les forces de frottements ? b- Cette fois les forces de frottements ne sont pas ngligeables et la vitesse en bas de la pente est de 10 m/s. Quel a t le travail des forces de frottements ? c- Aprs la colline, elle aborde un terrain plat. Elle fait pivoter ses skis et simmobilise rapidement. Si le coefficient de frottement cintique c est de 2.5, dterminer la distance au bout de laquelle elle sarrtera ?

7/ Dans une salle de sport, une personne soulve un poids pour brler la graisse. Lagraisse fournit une nergie de 3.8 107 J/kg et cette nergie est convertie en nergie mcanique avec un rendement de 20 %. Sachant que la personne a mang un tajine avec 35 g de graisse, combien de fois elle doit soulever une masse de 10 kg dune hauteur de 50 cm pour liminer toute la graisse consomme ?

8/ Les objets en rotation possdent aussi une nergie cintique. Dterminer le travail et la puissance dune roue, de rayon r, en rotation autour de son axe . Application : Un seau de 20Kg est maintenu au-dessus dun puits par une corde de masse suppose ngligeable et enroule autour dun cylindre de 0,2 m de rayon. Son moment dinertie vaut 0.2 Kg m2. Si le sceau part du repos, quelle vitesse aura t-il au moment datteindre leau 10 m plus bas. 9/ Deux blocs A et B (mA= 50 Kg et mB= 100 Kg) sont relies comme le montre la figure cidessous. Si les 2 blocs sont initialement au repos, quelles sont leurs vitesses quand A aura parcouru une distance de 25 cm ? Tous les frottements sont supposs nuls.

10/ Un bloc A de masse m= 0.5 Kg est au repos. Il est comprim de 2 cm par rapport lquilibre puis lch. a- Calculer sa vitesse au point B b- Calculer la distance d maximale parcourue sur le plan inclin dans le cas o = 25 .

11/ Un fusil tire une balle en lige de masse20 g sur une hauteur de 40 m et son ressort est comprim de 1.5 cm. a- Quelle est la raideur du ressort? b- Quelle est lacclration maximale de la balle?

12/ Un ascenseur a une masse de 550 kg et un contrepoids de 700 kg soulve 23 tudiants de 80-kg chacun de 30 mtres pendant 12 s. Quelle est la puissance requise? (en W et hp) 13/ A partir dun barrage, on veut produire une puissance de 50 MW. Sachant que lebarrage a une hauteur de 75 m, quel et le dbit deau (en m3/s) ncessaire ? Mcanique et mcanique des Fluides SVI-STU Pr. M. ABD-

O =

m1

+ m2

est la masse rduite de la molcule.

MECANIQUE - T.D.6 I- le dbit de leau dans un tuyau dun rayon de 2 cm vaut 0.01 m3/s 20 C. a- Quelle est la vitesse moyenne de leau? b- Quelle est la nature de lcoulement? (eau 20 = 0.6947 10 -3 Pa.s C) II- Considrons lcoulement du sang 37 dans une a rtre de 2 mm de rayon. C Jusqu quelle vitesse moyenne du sang lcoulement reste-t-il laminaire? Quel est le dbit Q correspondant? (37 C)= 2.084 10 -3 Pa.s. III- Le rayon intrieur dune grosse artre dun chien est de 4 mm. Le dbit du sang travers lartre est de 1 cm3/s. a- Calculer les vitesses moyenne et maximale du sang? b- Calculer la chute de pression le long de lartre sur une longueur de 10 cm. La viscosit du sang 37 est gale 2.084 10 -3 Pa.s. C c- Quelle est la puissance requise pour entraner lcoulement sanguin dans lartre? Commenter le rsultat obtenu sachant que le mtabolisme dun chien est suprieur ou gal 10 W. IV/ Une boule de Bowling en acier et de rayon 10 cm tombe dun air bus. a- Quelle est sa vitesse limite? b- Quand elle dpassera la vitesse du son? On donne: acier=7.85 103 Kg/m3, air=1.20 Kg/m3 ,air= 1.73 10-5 Pa.s V- Lartre pulmonaire, qui connecte le cur aux poumons a une longueur de 85 mm et prsente une chute de pression sur cette longueur de 450 Pa. Si le rayon interne de cette artre vaut 2.4 mm, Calculer la vitesse moyenne du sang dans cette artre? VI- Le rayon de lartre aorte dun adulte moyen est de 13 mm. Sachant que le dbit sanguin est de 100 cm3/s, Calculer la rsistance lcoulement et la perte de charge sur une distance de 20 cm. On supposera lcoulement laminaire. VII- Pour une personne au repos, les conditions physiologiques dans lartre pulmonaire sont peu prs : Le rayon intrieur de lartre est de 2,4 mm. La vitesse moyenne v du sang est de 1,4 m/s. La viscosit du sang 37 est gale 2,084 10 -3 Pa.s et la masse volumique du C sang est de 1060 kg/m3.1- Calculer Le dbit du sang travers cette artre. 2- Calculer le nombre de Reynolds ? En dduire la nature de l'coulement 3- Calculer la perte de charge le long de lartre sur une longueur de 85 mm ? Mcaniq ue et mcaniq ue des fluides S VI-STU

14/ La frquence propre doscillation de deux oscillateurs harmoniques identiques de masse m= 0.2 Kg vaut 0 = 2 Hz. En couplant les deux oscillateurs avec un ressort de constante k on observe un battement de priode TB= 10 s. a- Que vaut k ? b- Si on rduit la masse m dun facteur 2, comment faut-il choisir k pour que TB ne change pas ?

Correction des TD

Corrig de la srie n 1 Cinmatique Mouvements unidimensionnel et bidimensionnel 1/ Vmoy = 2/ Vmoy x t x = t x t A.N. : Vmoy = 10 m/s A.N. : Vmoymoy

= =

44.3 Km/h

3/ Vmoy =

A.N. : V

0.36 Km/h

4/ Soit lorigine du repre confondu avec la maison de monsieur X par exemple. A linstant t = 10 min, X et Y se rencontrent et leurs abscisses seront identiques. Lquation du mouvement de X est : x1(t)= V1 t Lquation du mouvement de Y est : x2(t)= -V2 t + x0 x1(t=10 min)= x2(t=10 min) x0= (V1+ V2)t A.N. : x0= 15 Kmmoy

5/ a

=

V

t A.N. :

a moy = 3. 4 7 m /s2

6/ Lquation du mouvement est V= a t +V0 = -3 t + 20 20 V= 0 t= s 3 7/ La pente de la courbe V(t) est a= -10 m/s2 : le mouvement est rectiligne uniformment retard. Les conditions initiales sont : V0 = 20 m/s et x0 = 50 m Do : x(t)= -5 t2 + 20 t + 50 8/ On utilisera la formule V2-V02 = 2a x = 2a h On a: V0=0, a= 9.8 m/s2 et V= 40 m/s Do h= 81.63 m

9/ Les voitures de formule 1 sont pilots manuellement car le temps dactionner le freinage est plus court comparativement celui ralis avec les pieds. En effet, la distance parcourue par linflux nerveux, partir du cerveau, jusquaux mains est plus faible par rapport la distance aux pieds. (1) o df en m et V0 en m/s. 1 La distance de freinage est donne par : df= V0 + V0 t - a t 2 (2) 2 O et a sont le temps de raction et la dclration. d Aussi on a : (df)= V0 - a t dt Aprs avoir parcouru la distance df, le vhicule sarrte : V = 0 V0 = at Les quations (1) et (2) deviennent alors : 10/ On a df= 1.2 V0 + 0.26 V02

(3) df =1.2 at + 0.26 (at ) 2 1 (4) df = a t + a t 2 2 Par comparaison de (3) et (4), on obtient : = 1.2 s et a = 1.93 m/s2 11/ a = b + c a b = c

Elevons au carr : c 2 = a 2 + b 2 2ab cos o est langle entre les vecteurs a et b . 2 2 2 Si = : c = a + b : Cest le thorme de Pythagore. 2 12/

13/ V = x i + y j = a (1 cost ) i + a sint j

et V = 2a sin

t 2

a = x i + y j = b (sint i + cost j ) et a = b14/ Soit OXY un repre orthonorm avec OY un axe ascendant. a = a j et V0 = V0 i Par intgration et en tenant compte de conditions initiales ( t=0 s : x0=0 et y0=0, V0 x =V0 et V0 y =0) on obtient : y= 1 2 a t et x = V0 t 2 x =t V0

a- les lectrons restent entre les plaques jusqu x =0.2 m durant le temps A.N. : t = 10 ns b- A cet instant, la composante Vy de la vitesse sera gale V y = a t A.N. : V y =10 6 m/s A la sortie de la plaque, on aura un angle entre V et V x , tg = Vy Vx A.N. : = 2.86 : Cest langle entre le vecteur vitesse e t laxe des x.

c- La dviation verticale est donne par lordonne y la sortie des plaques : 1 1 y D = a t 2 A.N. : y D = 1014 (10-8)2= 5 mm. 2 2 15/ V1 = 2 i et V2 = 3 j a- On remarque que les deux vecteurs sont perpendiculaires. On a : d dx V1 = r 1 = 1 i = 2 i do : r 1 (t ) = (2 t - 3) i dt dt

De mme, on obtient : r 2 (t ) = (3 t - 3) j

Par consquent r 12 (t ) = r 2 (t ) - r 1 (t ) = - (2 t - 3) i + (3 t - 3) j b- La distance sparant les deux particules et donne par : 2 2 r = (2t + 3) + (3 t - 3) = 13t 2 - 3 0t + 1812

r12 est minimum quand

dr12 =0 : 26 t - 30 = 0 15 t= s dt 13

r12 Corrig de la srie n 2 Dynamique et Statique 1/ le volume de la sphre est V = La densit est d = U4 3

R3 et =

m V

A.N : = 1,27 1017 Kg/m3

eau

A.N : d = 1,27 1014

2) Les forces qui sexercent sur lascenseur sont : le Poids P et la Tension du cble T . a) En monte, lacclration est ascendante (vers le haut). Par application de la 2me loi de Newton (principe fondamental de la dynamique), on obtient :

P+ T = m a

La trajectoire est une droite verticale : cest donc un mouvement rectiligne. Projetons la relation vectorielle ci-dessus suivant un axe OX ascendant (dirig vers le haut) :mg + T = ma T = m(a + g )

A.N.: T = 1000 x (3+9.8) = 12800 N On voit que T est bien suprieure au poids. Le cble doit supporter le poids de lascenseur, mais il doit aussi fournir une force supplmentaire ncessaire lacclration. b) Dans ce cas (la descente) :T mg = ma T = m(a + g )

A.N.:T= 1000 x (9.8 - 3) = 6800 N < P. 3/ Peff = ma mg avec a = 3g do Peff = 2 mg et P eff est dirig vers le haut. 4/ Le principe fondamental de la dynamique nous donne : -P + N = ma = m 3g N = 4 mg La force exerce par le sol sur le parachutiste est 4 fois son poids. Par contre si la personne est simplement debout sur le sol, N est gale P. Si le parachutiste garde les jambes tendues au cours de latterrissage, il simmobilisera avec une plus grande dclration sur une distance plus courte. La force qui sexercera sur ses jambes sera donc plus importante (risque de fracture).

5/ i) Puisque le bloc reste fixe lorsque T est applique, la force de frottement fS doit tre gale et oppose T : fS = T A.N. : fS = 20 N ii) Comme le bloc commence glisser lorsque T = 40 N, la force de frottement maximale fS,max doit tre gale 40 N. La somme des forces verticales est nulle : n mg = 0. Or fS,max = S n = S mg A.N.: S = 0,82 iii) Puisque le bloc se dplace vitesse constante sous T = 32 N, la force rsultante est nulle : fC = C n = C mg A.N.: C = 0,65 < S 6/ Soient O le centre de la lune et o le centre d la terre : OO = 3,9 105 Km. La masse m est rL = Om de la lune et rT = Om. On a rL + rT = r = OO Par rapport la terre, le poids de m est PT = Par rapport la lune, le poids de m est PL = Pour PL = PT GM T m 2 rT5

GM T m2 rT

GM L m2 rL

=

GM L m2 rL

MT rT2

=

ML2 rL

do : rT = r

MT / M L 1+ MT / M L

A.N. : rT = 3,51 10 Km

7/ La tension F et le poids P nont pas de composantes horizontales. Comme on est devant un problme de statique, la somme de toutes les forces doit tre nulle. Par

consquent la force R est elle aussi porte par la verticale. Les conditions dquilibre sont donnes par :

P+ F + R = 0 / O T + / O P+ / O R = 0 Le choix du point O est arbitraire. On peut le prendre confondu avec lun des 3 points dapplication des forces cites ci-dessus. Par exemple, choisissons le point confondu avec le pivot.

Soit r, f et p les points dapplications respectivement des forces R , F et P . / O F = Of F ; / O P = Op P et / O R = or R = 0 (o et r sont confondus)

Of = 0,03m et Op = 0,35m Soit un repre OXYZ tel que OZ soit perpendiculaire au plan OXY. OZ porte un vecteur unitaire k avec k = i j Projetons les relations vectorielles ci-dessus :

(i) P j R j + F j = 0 P R + F = 0 (ii) 0,35P + 0,03F = 0 F = 11.67P A.N. : F = 583 N et R = 533 N

8/ i) Appliquons la 2me loi de Newton au feu rouge: P+ T3 = m a .Or a = 0, do : P = T3 A.N. T3 = 125 N. ii) Appliquons la 2me loi de Newton au nud (point de rencontre des 3 tensions) : T 1 + T 2 + T3 = 0 En projetant sur un systme daxes OXY orthonorms, on obtient : T1 sin 37 + T2 sin 53 T3 = 0 T1 cos 37 + T2 cos 53 = 0 A.N. : T1 = 100 N et T2 = 75 N 9/ Les quations dquilibre pour un corps rigide sont : Par projection sur un systme daxes OXY, on obtient :

F

ext =P+ R+ N = 0

et

/O

=0

F

ext

= 0 F sin R sin = 0

et F cos R cos + N = 0

/O

= 0 d 2 F cos d1 N = 0

10/ Le volume de la feuille dor est V= 100 10-4 x 10 10-3= 10-4 m3. La masse volumique de lor est =densit x 1000 Kg/m3=19300 Kg/m3 Par consquent, la masse de la feuille dor est m= V A.N. : m= 1.93 Kg 11/ m= GR V= GR 4 3 R 3 A.N. : m= 1300 x 4 (2 10-6) 3= 4.36 10-14 Kg 3

210 5 12/ F = a A.N. : a = = 3333m/s2 60 m Et a = 340 g avec g = 9.8 m/s2 13/ a- Appliquons la 2me loi de Newton m1. Comme le bloc se dplace sur la surface horizontale, il ne possde pas alors dacclration verticale ay=0

Par projection sur un systme daxes OXY, on obtient : N1 W 1 = 0 (1) et T = m1 ax = m1 a (2) T et a sont des inconnues N1 = W 1 = m1 g A.N. : N1 = W 1 = 19.8 N Appliquons la 2me loi de Newton m2. Comme le bloc se dplace suivant la verticale, il ne possde pas alors dacclration horizontale ax=0. De la mme faon, on obtient : -T + m2 g= m2 ay = m2 a (3) Labsence de frottement conduit prendre la mme tension T des 2 cots de la poulie et par consquent la mme acclration a. Comme a = T/ m1, (3) devient : -T + m2 g= m2 (T/ m1) Do : T= m2m1g/ (m2+m1) A.N. : T= 65.33 N b- a = T/ m1 A.N. : a = 3.27 m/s2

c- Comme le mouvement est uniformment acclr (a est une constante positive) et que le systme st initialement au repos, alors : 1 x= a t2 A.N. : x= 6.54 m 2 14/ Dans cet exercice, on choisira les axes comme le montre la figure ci-dessous.

Le poids W (ou P) a pour composantes : Wx=Px=W cos=P cos et W y=Py=-W sin=-P sin Si le bloc reste fixe la force de frottement statique fs = P sin La raction du support N est gale P cos, do tg = fs /N Quand le bloc commence glisser, on a : fs = fs,max = s N, par consquent : s = tg max Le dispositif prsent dans cet exercice permet de mesurer de faon simple le coefficient de frottement statique. En effet, il suffit de faire varier progressivement jusqu ce que le bloc commence bouger. 15/ On a : fs = s N = s mg A.N.: fs = 30 N

16/ On applique les 2 relations de la statique:

F

ext

=0

et

/O

=0

On obtient dans ce cas: F1 F2 F = 0 Si on choisit de dterminer les moments par rapport au point dapplication de la force F, alors : 0.01 F1 0.03 F2 = 0 F1 = 3 F2 A.N. : F1 = 0.75 N et F2 = 0.25 N 17/ Cest un problme de statique :

F

ext

=0

et

/O

=0

Projetons les forces sur le systme daxes OXY. Rx T cos12 = 0 - W 1 + Ry + T sin12 - W = 0

(1) (2)

Dterminons les moments par rapport au point dapplication r de la force R : / r R = rr R = 0 , / r W = rw W / r W 1 = rw1 W 1 et / r T = rt T = rt T y

On obtient alors : 0.6 W 0.7 T sin12 + W 1 = 0

(3)

a- A.N. : Cas o W 1 = 0 : Ry =70 N, Rx = 1976 N et T = 2020 N b- A.N. : Cas o W 1 = 175 N : Ry = -5 N, Rx = 3153 N et T = 3223 N Comme Ry est ngative, la force R est dirige vers lextrieur du dos.

Corrig de la srie n 3 Mouvements circulaire et oscillatoire 1/ 0 = 3700 tours/min = (3700 x 2)/60 rad/s = 387 rad/sa- V = r A.N.: V = 97 m/s d'o: = 1 ( + ) t 0 2 b- On a: 2 2 0 = 2 et t = 0

AN: = 0 rad/s et t = 3 s do: = 581 rad Le nombre de tours est N = /2 AN : N = 581/2 = 92,47

2/ Le volume dune sphre est v =

4 R3. 3 4 R3 g 3 4 R3 2 r 3

Le poids P est donn par P = m g = v g = A.N. : P = 4,4 10-13 N

Quant la force centrifuge FC, elle est donne par : FC = m 2 r =

AN : FC = 4,8 10-9 N On voit que FC est trs grande devant P : FC = 104 P. Sous leffet de FC, la sdimentation sera rapide: Cest lintrt des centrifugeuses.

3/ a- La force lectrostatique (force exerce par le proton sur llectron) vaut :F= 1 e 2 OM 4 0 r 2 OM

O O est le centre du repre confondu avec le proton et r est la distance qui spare llectron du proton. La mme force est exerce par llectron sur le proton (3 me loi de Newton). AN : F = 8,2 10-8 N Quant la force gravitationnelle exerce par le proton sur llectron, elle vaut : FG =

GMm OMr2 OM

AN : FG =3,6 10-47 N FG