Mécanique Quantique Tome I. Histoires, bases et anciennes théories

I. Introduction

II. Histoire

III. Bases physiques

IV. La théorie de Bohr

V. L'expérience de Young

VI. Principes de base

Tome II. L'équation de Schrödinger

I. Hamiltonien

II. Equation de Schrödinger

III. Applications

IV. Etats liés

V. Théorie des collisions

VI. Formulation matricielle

Annexes

Tome III. Symétries et spin

I. Théorie des groupes

II. Symétries

III. Spin

IV. Particules identiques et spin

V. Physique statistique

VI. Formulation matricielle

Annexes

Tome IV. L'atome d'hydrogène, les atomes et la matière

I. Atomes et molécules

II. Rayonnement

III. Structure hyperfine

IV. Maser et Laser

V. Matière

VI. Le magnétisme

VII. Supraconductivité

Tome V. Mécanique quantique relativiste

I. Vers une équation d'onde relativiste

II. Equation de Dirac

III. Solutions

IV. Hydrogénoïdes

V. Théorie des trous

VI. Propagation et diffusion

Tome VI. Théories à variables cachées, théorèmes et décohérence

I. L'intrication quantique

II. Contextualité

III. Autres théorèmes

IV. Logique quantique

V. Applications

VI. Décohérence

VII. Théorie de Bohm

Tome VII. Interprétation de la mécanique quantique et classicalité

I. Introduction

II. Position du problème

III. Interprétations

IV. Expériences

V. Du quantique au classique

VI. Références

Tome VI. Théories à variables cachées, théorèmes et décohérence I. L'intrication quantique

I.1. Intrication

I.2. Les éléments de réalité d'Einstein

I.3. Théorème de Bell

I.4. Expérience EPR

II. Contextualité

II.1. Théorème de von Neumann

II.2. Théorème de Gleason

II.3. Théorème de Kochen et Specker

II.3.1. Introduction

II.3.3. Contexte du théorème de Kochen et Specker

II.3.4. Déclaration et démonstration du théorème de Kochen et Specker

II.3.4.1. Déclaration du théorème de Kochen et Specker

II.3.4.2. Un argument du type Kochen et Speer à quatre dimensions (Kernaghan)

II.3.4.3. L'argument de Kochen et Specker original. Préliminaires techniques

II.3.4.4. L'argument de Kochen et Specker original. La démonstration dans les

grandes lignes

II.3.4.5. L'argument de Kochen et Specker statistique à trois dimensions (Clifton)

II.3.5. Le principe de composition fonctionnelle

II.3.6. Echapper à l'argument de Kochen et Specker

II.3.6.1. Pas de valeurs définies en général

II.3.6.2. Rejet du réalisme des valeurs

II.3.6.3. Contextualité

II.3.7. La question des tests empiriques

II.4. Théorème de Mermin

III. Autres théorèmes

III.1. Théorème de Leggett

III.1.1. Introduction

III.1.2. Théorie

III.1.3. Expérience

III.2. Théorème de Malament

III.2.1. Introduction

III.2.2. Le problème de la mesure

III.2.3. Théorème de Malament

III.2.4. Enregistrement des mesures

III.2.5. Conclusions

IV. Logique quantique

IV.1. La mécanique quantique comme un calcul des probabilités

IV.2. Interprétations de la logique quantique

IV.3. Théorie des probabilités généralisées

IV.4. Logiques associées à des modèles probabilistes

IV.5. Théorème de Piron

IV.6. Représentations classiques

IV.7. Systèmes composites

IV.8. Complément sur la théorie de base des relations ordonnées

V. Applications

V.1. Cryptographie quantique V.2. Téléportation quantique

VI. Décohérence

VI.1. Matrice densité

VI.2. Introduction

VI.3. Le problème de la mesure

VI.3.1. Schéma de mesure quantique

VI.3.2. Le problème des résultats définis

VI.3.2.1. Superpositions et ensembles

VI.3.2.2. Superpositions et attribution du résultat

VI.3.2.3. Valeurs définies objectives vs subjectives

VI.3.3. Le problème de la base privilégiée

VI.3.4. La transition quantique - classique et la décohérence

VI.4. Le programme de décohérence

VI.4.1. Résolution en sous systèmes

VI.4.2. Le concept de matrice de densité réduite

VI.4.3. Un schéma de mesure de von Neumann modifié

VI.4.4. Décohérence et suppression locale d'interférence

VI.4.4.1. Formalisme général

VI.4.4.2. Un modèle a deux états parfaitement soluble pour la décohérence VI.4.5. Supersélection induite par l'environnement

VI.4.5.1. Critère de stabilité et base de pointeurs

VI.4.5.2. Sélection et propriétés quasi classiques

VI.4.5.3. Implications pour le problème de la base privilégiée

VI.4.5.4. Base de pointeurs vs états instantanés de Schmidt

VI.4.5.5. Règles de supersélection exacte

VI.4.6. Exemples

VI.4.6.1. Localisation VI.4.6.2. Effet Zeno quantique

VII. Théorie de Bohm

VII.1. La complétude de la description quantique

VII.2. L'impossibilité des variables cachées ... ou la non localité inévitable ?

VII.3. Histoire

VII.4. Les équations de définition de la mécanique bohmienne

VII.5. Le potentiel quantique

VII.6. L'expérience à deux fentes

VII.7. Le problème de la mesure

VII.8. La réduction de la fonction d'onde

VII.9. Aléatoire quantique

VII.10 Observables quantiques

VII.11. Spin

VII.12. Contextualité

VII.13. Non localité

VII.14. Invariance de Lorentz

VII.15. Objections

Tome VI Théories à variables cachées, théorèmes et décohérence Malgré tout ce que nous avons vu, la mécanique quantique reste une théorie assez étrange. Qu'est-

ce que la fonction d'onde ? Un simple objet mathématique ou l'image d'une réalité physique à

définir ? Pourquoi ce caractère aléatoire ?

Si l'on réfléchit, certaines règles sont assez arbitraires. Rappelons-les

(1) La probabilité d'un événement dans une expérience idéale est donnée par le carré du module

d'un nombre complexe φ qui appelé l'amplitude de probabilité.

(2) Lorsqu'un événement peut se produire suivant l'une ou l'autre de plusieurs voies, l'amplitude de

probabilité pour l'événement est donnée par la somme des amplitudes de probabilité

correspondant à chaque voie, considérée isolément. Il y a interférence.

(3) Si l'on réalise une expérience capable de déterminer la voie suivant laquelle l'événement s'est

effectivement produit, la probabilité de l'événement est la somme des probabilités pour chacune

des voies. L'interférence est détruite. En effet. Une fois la voie connue par un dispositif

quelconque, la règle (2) ne peut plus s'appliquer puisque l'événement n'a pu se produire que par

une seule voie, celle constatée.

La distinction entre les règles (2) et (3) est assez bizarre. Considérons une particule qui sort à

travers deux fentes d'un dispositif de Young et que l'on peut décider ou non d'observer. Supposons

aussi qu'il s'agit d'une particule instable se divisant en deux particules juste après avoir franchi une

des deux fentes. Appelons les A et B. On obtient ainsi deux faisceaux de particules pouvant

interférer après les fentes. Imaginons un dispositif quelconque capable d'envoyer les particules A

vers une zone éloignée tandis que les particules B vont vers l'écran.

Les particules A vont interférer de leur coté ainsi que les particules B.

Mais, un fois la séparation effectuée nous décidons d'observer la particule B avant les interférences.

Selon la règle (3) cela détruit les interférences. Mais que se passe-t-il pour la particule A ? Nous ne

l'avons pas observé, ni touché, ni perturbée en quoi que ce soit. Pourtant, nous savons par où elle

est passée simplement parce qu'elle vient du même endroit que B. Les analyses que nous avions

faites montrent alors clairement que les interférences de A sont détruites.

Mais comment expliquer cela ? Nous n'avons pas mesuré la particule A. Nous ne l'avons pas

perturbé. Mais nous connaissons mieux sa localisation et le principe d'indétermination nous dit

alors que l'impulsion est moins précise et donc les interférences détruites. Voilà qui justifie bien

l'appellation "principe d'indétermination" au lieu de "principe d'incertitude". Mais c'est là tout le

mystère. La seule chose qui a changé pour A est la connaissance que nous en avons. Par quel

étrange mystère notre connaissance influe-t-elle sur le résultat physique de l'expérience ? Ce

mystère est souvent qualifié en disant qu'en mécanique quantique l'observateur ne peut pas être

séparé de l'expérience car il a une influence. Mais quelle influence ? Il n'a même pas observé A !

Ce genre de raisonnement ou d'expérience (il y en a eut de nombreuses pour essayer de décortiquer

tous ces mystères) montrent bien qu'il y a encore quelque chose qui coince, quelque chose que nous

ne comprenons pas bien. Les règles utilisées marchent bien. Elles marchent même très bien. Mais

dès qu'on essaie d'en savoir plus, ça bloque. D'où la citation parfois attribuée à Feynman : "taisez-

vous et calculez". En bref, ne cherchez pas à comprendre puisque ça marche. C'est une attitude de

physicien : on tend à rendre compte des résultats expérimentaux avec un modèle mathématique. Et

si ça marche, cela est satisfaisant. Pourtant cela reste frustrant et, après tout, c'est aussi une attitude

de physicien que d'essayer de comprendre ce qui nous échappe encore. Une théorie donnée n'est

pas un but final.

Il y a d'ailleurs des situations où cette politique de l'autruche est gênante. Considérons l'univers

dans son ensemble et essayons de le décrire par la mécanique quantique. Comment prédire les

résultats du modèle ainsi construit ? Il n'y a même plus d'observateur extérieur, et pour cause, pour

dire "je fais une expérience et j'obtiens tel résultat" ou pour dire "le résultat final observé est…"

Il y a aussi des aspects tout à fait physique qui peuvent encore poser des difficultés comme le lien

entre la mécanique quantique et la mécanique classique. Comment expliquer le monde déterministe

dans lequel nous vivons s'il est basé sur une théorie aussi aléatoire ? Comment expliquer qu'à notre

échelle nous n'observions jamais d'états superposés (par exemple, une chaise située en deux

endroits en même temps). La difficulté est exacerbée par les raisonnements précédents.

Il est donc important d'étudier les fondements de la mécanique quantique.

Nous allons, dans ce tome, commencer par étudier l'intrication quantique, les différents théorèmes

posant des limites sur ce qu'il est possible de faire pour modéliser la mécanique quantique

(théorèmes dit "no go") et nous étudierons la décohérence quantique.

Nous serons souvent amenés à comparer la mécanique quantique et ses résultats aux théories dites à

"variables cachées".

Les théories à variables cachées partent du postulat que la description "orthodoxe" de la mécanique

quantique est incomplète. En particulier, les résultats aléatoires observés ne seraient qu'une

conséquence d'un effet statistique sur des grandeurs non connues. Le caractère aléatoire serait alors

subjectif, un simple conséquence de notre ignorance des détails observés.

C'est une idée séduisante car c'est déjà ce que nous observons à notre échelle. Ainsi, le mouvement

d'un dé est totalement déterministe et décrit par les lois de la mécanique classique. Le jet d'un dé

nous semble aléatoire uniquement parce que nous ignorons tous les détails précis de la position du

dé et du mouvement qui lui est donné ainsi que les calculs compliqués menant à sa position finale.

Cela ne veut pas dire que cette approche est bonne et nous verrons qu'il y a d'ailleurs des difficultés

croissantes à maintenir cette approche. La mécanique quantique est robuste.

L'idée est donc qu'à côté de l'état ψ d'un système quantique, il y a un certain nombre de variables

inconnues, cachées, λ , qui décrivent complètement l'état. Si l'on effectue une expérience donnée,

caractérisée par un opérateur A, et que l'on a un ensemble d'états finaux φ possibles. La probabilité

d'un résultat donné est 2

ψφ A . La théorie à variables cachées dit que le résultat dépend de

manière déterministe de l'état du système et de ses variables cachées. En somme, le résultat final

d'une mesure sera déterminé par une fonction ( )λψ ,f .

A coté de cette description très générale, il y a de nombreuses variantes possibles : des variables

cachées propres au système, d'autres communes à plusieurs système et éventuellement à

l'observateur, des lois décrivant la variation de ces variables à travers des échanges de signaux

inconnus éventuellement instantanés, des variables discrètes ou continues, en nombre fini ou infini,

etc.

I. L'intrication quantique Commençons cette étude par l'intrication quantique, le théorème de Bell et les expériences.

I.1. Intrication

Description des états quantiques de deux particules Considérons deux particules ou plus généralement deux systèmes 1 et 2.

Ces deux particules peuvent être identiques ou non. En général on considère deux particules

semblables, par exemple deux photons ou deux électrons, par facilité, mais ce n'est pas une

obligation.

Chaque particule peut être décrite par son état quantique 1ψ et 2ψ , respectivement pour les

particules 1 et 2. Chaque particule peut être décrite par un certain nombre de variables tel que sa

position, son impulsion, son spin, etc. Pour un système complexe, le nombre de variables peut être

important. Par facilité, nous considérerons une variable quelconque S pouvant prendre deux valeurs

A et B. Pour les deux particules, ces deux variables seront notées 1S et 2S , respectivement. Et les

valeurs 1A , 2A et 1B , 2B . Ici, l'indice ne sert qu'à identifier à quelle particule se rapporte la valeur

A ou B mesurée.

Ignorons volontairement les autres variables et décrivons l'état de ces deux particules par cette

variable S. On généralise aisément à plusieurs variables, cela ne fait qu'alourdir les notations.

Quels sont les états possibles pour la particule 1 ? Elle peut se trouver dans l'état A ou B (plus

exactement, dans l'état ou la variable S a la valeur A ou B). Ce sont deux états de base de l'espace

de Hilbert réduit à la seule variable S.

(1) 11

11

B

A

=

=

ψψ

Plus généralement, elle peut se trouver dans un état superposé :

(2) 111 BbAa +=ψ

avec les conditions de normalisation appropriée sur les deux variables complexes a et b

( 122 =+ ba ).

La probabilité de mesurer, par exemple, la particule dans l'état A est alors donnée par 2

a .

On a une situation équivalente pour la particule 2.

Considérons maintenant les deux particules. L'ensemble ne consiste pas simplement à regarder les

particules 1 et 2 séparément. Nous savons que la fonction d'onde de deux particules n'est pas

simplement la somme des deux fonctions d'onde.

Les états de base possible sont :

(3) 21AA , 21BA , 21AB et 21BB

C'est-à-dire qu'on peut avoir une situation avec la particule 1 dans l'état A et la particule 2 dans

l'état A, ou bien la particule 1 dans l'état A et la particule 2 dans l'état B, etc.

Un état général pour les deux particules peut donc s'écrire (avec la normalisation appropriée) :

(4) 212121212121 BBdABcBAbAAaSS +++==ψψ

Considérons maintenant la situation particulière où b et c sont égaux à 0.

(5) 212121 BBdAAa +=ψψ

Cet état est dit intriqué. En effet, il signifie que les deux particules sont dans l'état A ou les deux

particules sont dans l'état B, mais jamais l'une dans l'état A et l'autre dans l'état B. L'état de chaque

particule est lié, intriqué, à l'état de l'autre particule.

Un autre état intriqué possible est :

(6) 212121 ABcBAb +=ψψ

Ainsi quand une particule est dans l'état A, l'autre est forcément dans l'état B.

On pourra généralement omettre les indices.

Plusieurs variables peuvent être intriquées : la position, l'impulsion, le spin,…

On parle d'état intriqué maximal pour les états (5) ou (6). On peut avoir une situation où, par

exemple, les variables b et c sont plus petites que a et d sans être tout à fait nulles. L'intrication n'est

alors que partielle. Deux particules peuvent être totalement intriquées, c'est-à-dire avec une

intrication maximale pour chaque variable pouvant décrire ces particules. On a alors affaire à de

véritables "jumeaux".

Intrication et interaction Une question que l'on peut se poser est : peut-on effectivement obtenir un tel état ?

La réponse est oui. La première idée est d'utiliser un processus de désintégration. Considérons une

particule p sans spin et au repos, par exemple, un atome de positronium (un électron et un positron

en orbite l'un autour de l'autre) ou un pion neutre (une particule exotique).

Ces systèmes peuvent se désintégrer en deux photons 1 et 2.

Les lois de conservation impliquent que ces deux photons auront même fréquence, des impulsions

opposées et des directions opposées. Leurs spins, disons mesurés le long de l'axe z, seront opposés.

Comme le spin de chaque photon émit est aléatoire, alors on aura, pour le spin mesuré selon l'axe z

:

(7) +−+−+

(à un facteur de normalisation près).

Où + et - sont les deux directions du spin de chaque particule.

On peut obtenir des photons intriqués par d'autres processus comme des effets optiques non

linéaires créant deux photons de fréquence divisée par deux à partir d'un photon original.

Ce genre d'état semble donc assez particulier. Mais en réalité, les états intriqués sont tout à fait

banal. Considérons deux particules, disons deux électrons, de spin opposé se heurtant. Considérons

la diffusion de ces deux électrons dans une direction donnée D. Dans cette direction on peut avoir

un des deux électrons avec une des deux valeurs du spin. En fait, comme rien ne ressemble plus à

un électron qu'un autre électron, ce qu'on a c'est un électron émis dans cette direction dans l'état

−++ . Dans la direction opposée, on a la même situation mais avec les spins opposés. On

retrouve l'état (7).

Donc, lors de la moindre interaction entre particules, les états résultant pour les particules peuvent

aisément conduire à des états partiellement ou complètement intriqués.

L'intrication est plus la norme que l'exception.

Mesure d'un état intriqué Considérons deux particules avec leur état de spin intriqué selon :

(8) VVHH +

Où le spin est horizontal ou vertical.

Mesurons le spin d'une des particules, disons la première, par rapport à l'axe vertical.

On a alors une chance sur deux d'obtenir V et une chance sur deux d'obtenir H. Si on utilise un

filtre polarisant vertical, cela revient à détecter la particule ou pas.

Que va alors donner la mesure sur la deuxième particule ? Le résultat, selon (8), sera identique. On

obtiendra V ou H. Mais dans tous les cas on obtiendra la même valeur que pour la première

particule.

Cette situation est très étrange. Nous sommes même au cœur du mystère en mécanique quantique.

En effet, la mesure sur une particule donne un résultat aléatoire. Les lois de la mécanique quantique

disent que la mesure sur une particule dans l'état VH + donnera H ou V avec une probabilité

1/2 pour chaque résultat. C'est un hasard parfait et intrinsèque.

Mais, dans ce cas, lorsque l'on mesure la particule 2, qui peut être à ce moment très éloignée de la

particule 1, par quel mystère "sait-elle" quel résultat elle doit donner ? Comment, si le résultat est

strictement aléatoire, peut-on avoir un résultat parfaitement déterminé par la mesure sur la particule

1 ?

On peut imaginer que la mesure sur la particule 1 envoie un signal vers la particule 2. Mais il est à

noter qu'on ne peut utiliser ce signal pour transmettre de l'information. En effet, la mesure sur 1

(autant que sur 2) étant totalement aléatoire, même si le résultat 1 est communiqué à 2,

l'expérimentateur en 2 ne sera pas en mesure de déterminer si le résultat qu'il obtient est dicté par la

mesure en 1 ou non.

On peut imaginer que ce signal est "caché", totalement indétectable. Mais, outre qu'un signal

physiquement indétectable est douteux, on peut effectuer les mesurer en 1 et 2 presque en même

temps, et ce quelle que soit la distance qui les sépare. Cela risque de poser des conflits avec la

relativité. Selon le mouvement de l'observateur, la relativité nous dit que l'ordre temporel dans

lequel les mesures sont effectuées est différent. Alors qui envoie un signal à qui ? Et comment le

résultat mesuré en 2 peut-il être intrinsèque ou dicté par la mesure en 1 selon l'observateur (selon

que la mesure en 1 à lieu après ou avant, respectivement) ?

D'un autre côté, puisque le résultat ne dépend pas de l'ordre temporel, pourquoi s'en soucier ?

Pourquoi rechercher un signal qui n'existe peut-être pas ? C'est la politique de l'autruche

(physiquement bien fondée puisque les résultats n'en dépendent pas, que ce signal soit une réalité

ou pas).

En mécanique quantique, on considère que la mesure de l'état VH + d'une particule va donner

un résultat précis, disons H, et modifier l'état de la particule qui devient H . On parle de réduction

de la fonction d'onde ou de réduction de l'état.

Dans le cas de l'intrication (8), la mesure H de la particule 1 donne l'état HH rendant inévitable la

mesure H pour la particule 2.

Notons que ce processus de réduction est instantané pour l'ensemble des deux particules. On

retrouve ce caractère instantané.

Considérons maintenant que l'on mesure les deux particules selon des angles quelconques. Disons

qu'on trouve la première particule dans l'état V (en fait, peu importe l'angle ici, car dans l'état

VH + , le spin est totalement indéterminé et sans direction quelconque).

Supposons maintenant qu'on mesure le spin de la particule deux selon un angle θ (mesuré par

rapport à la verticale). Mais suite à la première mesure, cette particule est dans l'état V. Donc la

probabilité de trouver la particule avec un spin dans cette direction est θcos . Si l'on utilise des

filtres polarisant pour mesurer ces deux particules (on place le filtre et un simple détecteur

derrière), l'un vertical l'autre avec l'angle θ , la probabilité d'obtenir une coïncidence de comptage

(on détecte les deux particules ou pas) est aussi θcos .

I.2. Les éléments de réalité d'Einstein Einstein n'était pas d'accord avec l'interprétation probabiliste traditionnelle de la mécanique

quantique.

Cette interprétation a été élaborée par Niels Bohr et ses collègues (dite maintenant "école de

Copenhague"). Elle reprend les éléments que nous connaissons (interprétation probabiliste,

réduction de la fonction d'onde). Elle considère aussi qu'aucune valeur précise ne peut être attribuée

aux variables sans une mesure (un état quantique est une superposition d'états propres d'un

observable avec des valeurs différentes).

Einstein trouvait que cette façon de voir était une hérésie. Un rejet du déterminisme et du réalisme

si fécond jusque là. Ses altercations avec Bohr lors des conférences de Solvay sont restées célèbres

au point que certaines de leurs réflexions sont entrées dans l'histoire.

Einstein, à propos de l'interprétation probabiliste : "Croyez-vous que Dieu joue au dé ?"

Bohr : "Qui êtes-vous, Einstein, pour dire à Dieu ce qu'il doit faire ?"

Einstein : "Pensez-vous que la Lune n'est pas là lorsque personne ne la regarde ?"

Ce qui est une allusion à l'esprit positiviste de l'interprétation traditionnelle qui dit que les variables

n'ont pas de valeur précise avant la mesure. Cette remarque met aussi en lumière la difficulté qu'il y

a à concilier la mécanique classique et la mécanique quantique, comme nous l'avions remarqué.

Attention. Il ne faut surtout pas croire qu'Einstein rejetait la mécanique quantique. Einstein ne

considérait pas la mécanique quantique comme fausse et il y a d'ailleurs largement contribué.

Rappelons-nous par exemple son étude de l'effet photoélectrique qui fut un des fondements de la

mécanique quantique. Pensons aussi à l'émission stimulée et à la statistique de Bose-Einstein. Mais

il pensait que la mécanique quantique était une théorie incomplète et que son caractère probabiliste

n'était qu'une manifestation statistique d'une machinerie interne encore inconnue.

En 1935, Einstein publia un article resté célèbre avec B. Podolsky et N. Rosen : "La description de

la mécanique quantique de la réalité physique peut-elle être considérée comme complète".

Nous ne présenterons pas en détail son article qui utilise une analyse fouillée de la mécanique

quantique. L'essentiel de son argumentation sera suffisant ainsi qu'une présentation moderne.

Il ne cherche pas à définir en détail ce qu'est une théorie complète mais considère une condition qui

semble nécessaire :

"Tout élément de la réalité physique doit avoir une contrepartie dans la théorie physique".

Les éléments de réalité physique ne doivent pas être déterminés sur des bases philosophiques a

priori et il ne souhaite pas définir concrètement ce qu'est la réalité. Il se satisfait donc d'un critère

raisonnable :

"Si, sans perturber un système en aucune manière, nous pouvons prédire avec certitude (c'est-à-dire

avec une probabilité égale à l'unité) la valeur d'une quantité physique, alors il existe un élément de

réalité physique correspondant à cette quantité physique."

Considérons maintenant la situation suivante : deux particules fortement intriquées 1 et 2 sont

largement séparées.

Dans leur article, ils considèrent la position et l'impulsion comme quantités intriquées. Ce n'est pas

le plus adapté à un traitement expérimental pour lequel le spin est une grandeur plus appropriée.

Mais nous pouvons garder ici les variables positions r et impulsion p.

Effectuons une mesure de l'impulsion sur la particule 1. Nous trouvons ainsi la valeur p. Puisque

les particules 1 et 2 sont intriquées, alors toute mesure de l'impulsion de la particule 2 donnera

également p (ou plus exactement -p). De plus, la particule 2 étant largement séparée de la particule

1, on peut effectuer la mesure sur 1 sans perturber 2 de quelque manière que ce soit, au moins en

considérant la situation de 2 au même moment (intervalle de type espace entre les événements de

mesure sur 1 et 2).

Puisque nous pouvons prédire avec certitude la valeur de l'impulsion de la particule 2, alors nous

devons considérer que cette quantité physique correspond à un élément de réalité physique.

Nous pouvons aussi effectuer une mesure de la position sur la particule 2 obtenant r. Ainsi nous

pouvons prédire la position de la particule 1 et la position est aussi un élément de réalité physique.

Or la position et l'impulsion sont des grandeurs dynamiquement conjuguées. Cela se traduit à

travers les relations d'indétermination. Il est impossible d'attribuer, à un instant donné, une valeur

précise à la fois à la position et à l'impulsion.

Il y a là conflit. Les éléments de réalité nous conduisent à affirmer que la position et l'impulsion de

chaque particule constituent des éléments de réalités précis à un instant donné. Alors que la

mécanique quantique nous dit le contraire.

La conclusion des auteurs est que la mécanique quantique ne peut pas être complète. Il doit y avoir

des aspects inconnus qui déterminent précisément la valeur de la position et de l'impulsion mais

que la mécanique quantique ne décrit pas, celle-ci en étant réduite à une description statistique.

Notons que l'argument relativiste est important. On imagine bien que pour Einstein, le père de la

relativité, c'était un aspect incontournable. Le raisonnement ne tient que si aucun signal plus rapide

que la lumière, voire instantané, ne peut se propager de la particule 1 à la particule 2. Ainsi, la

mesure de 1 ne peut pas altérer la particule 2. De même, considérer que la réalité des grandeurs en

2 est altérée par une mesure en 1 sans qu'aucune perturbation d'aucune sorte ne puisse passer de 1 à

2 semble absurde.

Notons que ce caractère imprécis des grandeurs et le principe d'indétermination découle aussi de la

physique ondulatoire, nous l'avions vu. Mais les ondes classiques ne manifestent pas le phénomène

d'intrication, la mécanique quantique n'est pas une théorie classique. Si l'on prend deux paquets

d'ondes (classiques) identiques largement séparés, la mesure de la fréquence sur un des paquets

n'implique pas que l'on mesurera la même fréquence sur l'autre paquet (en se rappelant que la

fréquence d'un paquet d'ondes n'est pas précise).

Nous verrons qu'Einstein s'est trompé. Son hypothèse des éléments de réalité conduit à des

prédictions traduites par les inégalités de Bell. Or la mécanique quantique viole ces inégalités.

L'expérience a montré que c'est la mécanique quantique qui a raison, contre Einstein.

Il y a donc deux possibilités : on la théorie est non locale, dans le sens de l'existence de signaux

instantanés violant la relativité, ou il n'y a pas de variables cachées (donnant la valeur des éléments

de réalité).

Ces résultats ne sont pas un rejet de la réalité. Il s'avère juste que la réalité n'est pas aussi simple

qu'on pourrait le croire ! L'approche d'Einstein des "éléments de réalité" est d'ailleurs maintenant

appelée "réalisme naïf". Et les résultats théoriques et expérimentaux ne font que falsifier ce

réalisme naïf.

On peut rechercher plusieurs failles dans le raisonnement de EPR (initiales des auteurs). Cela peut

ainsi conduire à plusieurs façon d'interpréter la mécanique quantique. Donnons un exemple.

Lorsque l'on mesure l'impulsion de la particule 1, on trouve une valeur précise. Ainsi, on peut

prédire avec précision le résultat d'une mesure effectuée sur la particule 2. Mais ce raisonnement est

lui-même non local. En effet, on a dit que la mesure en 2 était effectuée rapidement afin qu'aucun

signal ne puisse se propager de 1 à 2. Mais dans ce cas, comment pourrait-on, en 2, effectuer une

prédiction alors que l'information de la mesure en 1 n'est pas encore arrivée ? Bien sur, le physicien

qui contemple l'expérience sur une feuille de papier peut faire cette prédiction, mais ça c'est un

raisonnement "hors réalité", un raisonnement non local (on considère la situation dans son

ensemble et instantanément). Dans la réalité, lors d'une véritable expérience, il n'y a pas "d'esprit

supérieur", extérieur à la scène, dictant le résultat des mesures. Les appareils de mesure et les

physiciens situés à l'endroit de la particule 2 ne disposent pas de l'information permettant de faire la

prédiction.

Bien entendu, on peut confronter les expériences après coup et constater qu'une prédiction parfaite

aurait pu être faite. Ce genre de raisonnement contrafactuel est dangereux en mécanique quantique.

Nous aurons l'occasion de le voir.

Difficile à ce stade de comprendre ce qui peut ressortir de tout cela, mais il est clair que les choses

ne sont pas aussi simples qu'Einstein l'aurait souhaité.

I.3. Théorème de Bell

Introduction Nous allons considérer ici des états intriqués du spin plutôt que la position et l'impulsion. Cette

variante de la méthode fut considérée par David Bohm.

L'incomplétude de la description de l'état quantique conclu par EPR implique qu'on doit considérer

une description théorique de l'état consistant en ψ et certains paramètres additionnels afin de

totalement expliquer les propriétés d'un système. En particulier, on peut attribuer un élément de

réalité à chaque composante du spin.

En termes d'une telle description de l'état, on devrait être capable de mathématiquement représenter

les valeurs définies conclues par EPR en utilisant une fonction ( )OVλ reliant chaque composante

du spin de chaque particule à une valeur.

Puisque nous considérons un système avec ψ fixé, plus précisément l'état singulet du spin pour des

particules de spin 1/2, par exemple des électrons, aucune dépendance à ψ n'a besoin d'être inclue

dans V.

Ici nous avons noté le paramètre d'état supplémentaire λ . En 1965, John S.Bell a présenté un

fameux théorème qui traitait de la possibilité d'une telle fonction sur les observables du spin. Bell

fut capable de montrer que cette formulation doit être en conflit avec les prédictions statistiques de

la mécanique quantique pour différentes mesures du spin. Nous présentons maintenant le théorème

de Bell.

Fixons d'abord nos notations. Pour noter les directions de l'espace, nous écrirons les vecteurs unités

comme a , b , c . Plutôt que d'utiliser la forme ( )OVλ , nous écrirons ( )aA ˆ,λ et ( )bB ˆ,λ pour

représenter les fonctions sur les composantes du spin des particules 1 et 2, respectivement. Puisque

les deux particules sont de spin 1/2, nous aurons 21±=A et

21±=B , cependant, par simplicité,

nous les changeons en A= 1± et B= 1± . On aurait ces valeurs pour des photons, par exemple.

Notons que la forme de ces fonctions n'est pas choisie au hasard. Selon l'idée d'EPR, la localité est

importante. Ainsi, la composante du spin mesuré sur la particule 1 ne dépend que des variables

cachées de la particule 1, λ , et de la direction de mesure du spin en ce point, a . On n'a donc pas

une fonction comme ( )baA ˆ,ˆ,λ . De plus, les particules étant identiques (mêmes particules,

intriquées), on suppose que les variables cachées ont la même valeur pour 1 et 2 et les fonctions A

et B sont identiques.

Démonstration La propriété clé de la version singulet du spin du paradoxe EPR était son analyse des corrélations

parfaites existant quand les deux particules d'une paire singulet du spin sont sujettes à des mesures

de la même composante du spin. Donc, il peut ne pas être surprenant que le théorème de Bell traite

du cas d'une fonction de corrélation qui est essentiellement une mesure de la corrélation statistique

entre les résultats des mesures des composantes du spin des deux particules. La fonction de

corrélation est déterminée comme suit : nous disposons l'appareil mesurant la particule 1 pour

sonder la composante dans la direction a et l'appareil mesurant 2 est disposé pour la direction b .

Nous effectuons une série de mesures des paires singulet de spin en utilisant cette configuration,

enregistrant le produit ( ) ( )2ˆ

1

ˆ ba σσ des résultats de chaque essai. La moyenne de ces produits sur la

série de mesures est la valeur de la fonction corrélation.

En général, nous nous attendons à ce que la valeur de la moyenne déterminée de cette manière

dépende des directions a b par rapport auquel les composantes du spin sont mesurées. Selon le

formalisme quantique, nous pouvons prédire la moyenne, ou valeur moyenne, de tout observable en

utilisant la formule ( ) ψψ OOE = . Pour les séries d'expériences décrites, nous prenons la valeur

moyenne du produit des observables appropriés des composantes du spin, ce qui donne :

(1) ( ) ( ) ( ) babaPbaMQ

ˆˆˆ,ˆ 2ˆ

1

ˆ ⋅−== σσ

Dans le cas de valeurs prédéterminées, la moyenne du produit des deux composantes du spin ( ) ( )2

ˆ1

ˆ ba σσ est obtenue en prenant une moyenne sur λ :

(2) ( ) ( ) ( ) ( )∫= bBaAdbaP ˆ,ˆ,ˆ,ˆ λλλλρ

où ( )λρ est la distribution de probabilité sur λ (ses valeurs initiales sont inconnues a priori).

( )λρ est normalisé par :

(3) ( ) 1=∫ λλρd

Nous allons maintenant examiner la question de savoir si la fonction de corrélation donnée par (2)

est compatible avec la prédiction de la mécanique quantique (1) pour cette fonction.

Crucial pour l'analyse EPR est le fait qu'il y a une corrélation parfaite entre les résultats de la

mesure de toute composante du spin de la particule 1 dans une direction donnée avec la mesure de

la même composante du spin de la particule 2 (intrication), tel que les résultats sont de signe

opposé. Pour prendre en compte cela, la fonction de corrélation doit donner

(4) ( ) aaaP ˆ1ˆ,ˆ ∀−=

Il est facile de voir que la fonction de corrélation quantique satisfait cette condition. Si la prédiction

utilisant les valeurs prédéterminées est le reflet de cela, nous devons avoir

(5) ( ) ( ) λλλ ,ˆˆ,ˆ, aaBaA ∀−=

A ce stade, nous avons assez d'information pour dériver la conclusion du théorème.

En utilisant (2) avec (5) ( )[ ] 1ˆ,2 =aA λ , nous écrivons

(6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫

∫−−=

−−=−

cAbAbAaAd

cAaAbAaAdcaPbaP

ˆ,ˆ,1ˆ,ˆ,

ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ

λλλλλλρ

λλλλλλρ

En utilisant 1, ±=BA , nous avons que

(7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ −≤− cAbAdcaPbaP ˆ,ˆ,1ˆ,ˆˆ,ˆ λλλγρ

alors, en utilisant la normalisation (3) et (5), nous avons

(8) ( ) ( ) ( )cbPcaPbaP ˆ,ˆ1ˆ,ˆˆ,ˆ +≤−

et cette relation, qui est habituellement appelée "inégalité de Bell", est la

conclusion du théorème.

Donc, le cadre général du théorème de Bell est le suivant. Les valeurs définies des différentes

composantes des deux spins des particules sont représentées par les fonctions mathématiques

( )aA ˆ,λ et ( )bB ˆ,λ . La condition

(9) ( ) ( ) λλλ ,ˆˆ,ˆ, aaBaA ∀−=

(équation (5)) placée sur les fonctions ( )aA ˆ,λ , ( )bB ˆ,λ assure l'accord de ces fonctions avec les

corrélations parfaites. Le théorème de Bell nous dit que dans ces conditions, il s'ensuit que la

prédiction théorique pour la fonction de corrélation ( )baP ˆ,ˆ doit satisfaire l'inégalité de Bell (8).

Basé sur le fait que l'inégalité de Bell n'est pas satisfaite par la fonction de corrélation de la

mécanique quantique (1) (comme nous le verrons ci-dessous), certains auteurs (Bethe, Hans, Gell-

Mann, Murey, Wigner) en ont conclu que le théorème de Bell prouvait l'impossibilité des variables

cachées. En fait, ce n'est pas tout à fait exact, cela n'invalide que les variables cachées locales. C'est

toutefois une contrainte très forte.

Autre démonstration Nous allons maintenant donner la description du théorème de Bell donnée par Bernard d'Espagnat

dans Scientific American et qui est une des plus claire. Elle apporte une vue très profonde sur ce

théorème.

D'Espagnat considéra l'expérience dans laquelle nos trois propriétés A, B et C sont mesurées (il

utilisa des protons dans son exemple). En supposant que les protons sont intriqués via une loi de

conservation, il y aurait une stricte corrélation négative entre les propriétés correspondantes des

deux protons (mais l'argument s'adapte aisément au cas où les valeurs sont identiques et donc une

corrélation strictement positive). Si la valeur A du proton 1 est +, alors la composante A du proton

2 est -. Dans cette expérience, les paires de protons intriqués sont séparées, les différentes

propriétés des protons séparés sont mesurées et les résultats sont comparés. La mesure d'une

propriété A ayant une valeur de + est désignée A+ et la mesure d'une propriété B ayant une valeur

de - est désignée B-, etc. En mesurant les propriétés d'une paire de protons, quelquefois la propriété

A d'un proton est mesurée tandis que la propriété C de l'autre proton est mesurée et dans d'autres

cas d'autres paires de propriétés sont mesurées pour une paire de protons. Les seules mesures

intéressantes sont celles pour lesquelles différentes propriétés sont mesurées pour les protons d'une

paire (puisque de toute façon, la mesure de, par exemple, A+ sur une particule garantit la mesure de

A- sur l'autre, la mesure n'apporte donc rien de plus que ce que l'on sait déjà). Les types de paires

de propriétés mesurées sont alors désignés par AB, BC et AC selon les propriétés mesurées. Une

paire pour laquelle on mesure A+ et C- est désignée A+C-, etc. Alors le nombre de fois où les

valeurs A+C- ont été mesurées sur les paires est noté [ ]−+ CAn .

Voilà pour la manière de procéder et les notations.

John Bell démontra que [ ] [ ] [ ]+−+−+≤−+ CBnCAnBAn (et de même

[ ] [ ] [ ]+−++−≤+− BCnBAnCAn , etc.) Comme le montra d'Espagnat , c'est une conséquence

logique de la théorie des ensembles. C'est-à-dire que si l'on compte le nombre de fois où l'on a

mesuré A+ et C+ et le nombre de fois où l'on a mesuré B+ et C+, le total sera toujours supérieur ou

égal au nombre de fois où l'on a mesuré A+ et B+.

Si les valeurs A+, B+ et autres peuvent être considérées comme des propriétés réelles des protons,

alors nous pouvons désigner l'état réel d'un seul proton comme, par exemple, A+B+C- (ces valeurs

réelles, prédéterminées, dépendant de manière univoque de certaines variables cachées). Si nous

désignons l'ensemble de tous les protons qui ont l'état x comme x alors :

+−∪−+⊂−+ CBCABA . Cette notation signifie que l'ensemble des états −+ BA est

contenu dans l'ensemble des états −+ CA et des états +−CB réunis (⊂ est le symbole de

l'inclusion et ∪ le symbole de la réunion des ensembles), c'est-à-dire l'ensemble obtenu avec les

éléments des deux ensembles réunis sans compter deux fois les mêmes). On le vérifie aisément en

détaillant ces ensembles :

(10) −−+∪−++=−+ CBACBACA

et

(11) +−−∪+−+=+− CBACBACB

La réunion des deux est +−−∪+−+∪−−+∪−++ CBACBACBACBA . Et

l'ensemble −+ BA vaut : −−+∪+−+ CBACBA .et on voit bien qu'il est contenu dans le

précédent.

Désignons maintenant le nombre de protons avec la configuration A+B+C- comme

( )−++ CBAN . Cela conduit immédiatement à

(12) ( ) ( ) ( )−−+++−+=−+ CBANCBANBAN

En utilisant les relations des sous-ensembles démontrées précédemment, nous pouvons en déduire

que :

(13) ( ) ( ) ( )+−+−+≤−+ CBNCANBAN

C'est une inégalité en termes de protons individuels et elle ne peut jamais être démontrée

expérimentalement car des mesures simultanées des multiples composantes ne peuvent pas être

faites (on suppose donc, bien que ce ne soit pas obligatoire, que ces valeurs sont incompatibles,

reliées par un principe d'indétermination). Ce que nous pouvons mesurer, cependant, est

[ ]−+ BAn , le nombre de paires qui ont la propriété A+ pour un proton et la propriété B+ pour

l'autre proton. On peut étendre le résultat sur le nombre de protons ayant certaines configurations

aux mesures sur des paires de protons car dans l'hypothèse des variables cachées locales, les

protons doivent être considérés individuellement, même lorsqu'ils sont intriqués. Pour un grand

nombre de mesures, la valeur ( )−+ BAN est statistiquement proportionnelle à [ ]−+ BAn et

( )−+ CAN est proportionnel à [ ]−+ CAn etc.

Les constantes de proportionnalités sont les mêmes dans tous les cas puisqu'elles dépendent

seulement de l'efficacité du dispositif de mesure (supposé sans biais) et de la distribution des

différentes configurations (supposées être toutes équiprobables). Nous pouvons maintenant utiliser

les inégalités précédentes pour affirmer ce qui suit :

(13) [ ] [ ] [ ]+−+−+≤−+ CBnCAnBAn

C'est l'inégalité de Bell et elle doit être valable si les protons (et les autres particules) ont des

propriétés intrinsèques telles que les trois propriétés ci-dessus.

Autres inégalités L'inégalité ci-dessus n'est qu'une des possibilités. On peut établir les inégalités de Bell pour toutes

sortes de propriétés, éventuellement liées entre elles, dans toutes sortes de situations (y compris

avec des configurations qui ne sont pas équiprobables, certaines ayant plus de chance de se

produire que d'autres).

Le théorème original de Bell est très général, tout type de variables cachées et tout type de

propriétés mesurées. Il est même tellement général qu'il ne dépend que de deux hypothèses et

seulement deux : l'hypothèse des variables cachées et l'hypothèse de localité.

Prenons le cas de la polarisation. Comme nous l'avons dit, la polarisation peut-être verticale ou

horizontale, mais elle peut aussi faire un angle quelconque avec la verticale. Dans l'exemple le plus

simple, un rayon lumineux polarisé horizontalement est totalement annulé par un filtre polarisant

vertical. Dans le cas des photons, cela se traduit par une plus ou moins grande probabilité d'être

absorbé par le filtre.

Ce cas est donc un peu plus compliqué. Si l'on mesure la polarisation des photons selon trois angles

α , β , γ , ce que l'on va mesurer c'est le nombre de photons qui ne sont pas absorbés par un filtre polarisant placé avec cet angle. On va mesurer ces valeurs pour les deux photons, chacun utilisant

un filtre orienté de manière différente (tout comme on mesurait des propriétés différentes ci-

dessus). On mesure la corrélation (les deux photons passent ou sont absorbés en même temps) pour

deux angles ( )βα ,C par exemple. Dans ce cas, on démontre les inégalités de Bell :

(14) ( ) ( ) ( )γβγαβα ,1,, CCC +≤−

L'écart entre les deux corrélations de gauche est toujours inférieur ou égal à un plus la troisième

corrélation. C'est exactement la relation (8).

Cas de la mécanique quantique Mais que prédit la mécanique quantique ? Celle-ci, en utilisant le formalisme des fonctions d'ondes

ou des états et des amplitudes, permet de calculer la probabilité d'observer le photon de chaque coté

et donc permet de calculer ces corrélations. La relation (1) donne comme résultat ( )θcos− (où θ

est l'angle entre les deux mesures).

Prenons trois angles particuliers, 0=α , °= 25β et °= 115γ . Dans ce cas, le calcul exact donne :

( ) 906.0, −=βαC

( ) 422.0, =γαC

( ) 0, =γβC

Remplaçons ces valeurs dans l'inégalité de Bell (14), on trouve : 1.328 à gauche et 1 à droite. Le

membre de gauche étant plus grand que celui de droite, l'inégalité de Bell est violée.

La mécanique quantique est donc en désaccord avec le résultat trouvé par Bell. Cela montre que la

mécanique quantique ne peut pas être représentée avec des variables cachées locales.

Voyons maintenant ce que disent les expériences.

I.4. Expérience EPR

Tests des inégalités de Bell De nombreuses expériences ont été menées afin de tester ces inégalités. En voici un résumé.

Expérience Date Particules étudiées Résultats

Stuart J.Freedman et John

F.Clauser, université de

Californie Berkeley

1972 Photons infrarouges émis

par des transitions dans des

atomes de calcium

En accord avec la

mécanique quantique

R.A.Holt et F.M. Pipkin,

université d'Harvard

1973 Photons infrarouges émis

par des transitions dans des

atomes de mercure 198 In

En accord avec les inégalités

de Bell

John F.Clauser, université de

Californie Berkeley

1976 Photons infrarouges émis

durant les transitions dans

des atomes de mercure 202

En accord avec la

mécanique quantique

Edward S.Fry et Randal

C.Thomson Texas A&M

université

1976 Photons infrarouges émis

durant les transitions dans le

mercure 200 In

En accord avec la

mécanique quantique

G.Faraci, S.Gutkowski,

S.Notarigo et A.R.Pennisi,

université de Catania

1974 Photons gammas émis par

l'annihilation électron -

positron

En accord avec les inégalités

de Bell

L.Kasday, J.Ullman et

C.S.Wu, université de

Colombia

1975 Photons gammas émis par

l'annihilation électron -

positron

En accord avec la

mécanique quantique

M.Lamehi-Rachti et

W.Mittig, centre nucléaire

de Saclay

1976 Paires de protons dans l'état

quantique singulet

En accord avec la

mécanique quantique

L'expérience d'Aspect, Grangier et Roger En 1982, Alain Aspect, Philippe Grangier et Gérard Roger ont publié les résultats de leur test

expérimental des inégalités de Bell. Aspect, Grangier et Roger ont utilisé des photons dans le

domaine visible et mesuré la corrélation entre les polarisations des photons produits par paires.

Dans un tel arrangement, les polarisations des photons de chaque paire devraient être identiques.

Arthur Robinson dans Science a noté que le système à deux photons utilisé dans cette expérience

n'est pas strictement couvert par la démonstration originale du théorème des inégalités de Bell, mais

cette démonstration a été étendue pour couvrir de tels systèmes impliquant des photons et des

polariseurs. L'arrangement utilisé dans l'expérience est illustré dans la figure ci-dessous.

Les photons sont émis par paires par la source et voyagent par des chemins séparés vers deux

polarimètres I et II. La polarisation de chaque photon était indiquée par le fait que le photon

voyageait directement dans le détecteur photomultiplicateur derrière le polarimètre ou était reflété

dans le détecteur sur le coté. Un compteur associé avec chaque polarimètre garde trace du nombre

total de photons entrant dans chaque polarimètre tandis que le détecteur de coïncidence compte les

occurrences détectées de paires corrélées de photons entrant simultanément dans les détecteurs.

Comme d'habitude, dans une expérience de ce type, plusieurs difficultés ont été anticipées et prises

en compte. Les photomultiplicateurs ne sont pas 100% efficaces, ainsi toute occurrence de paires

corrélées de photons entrant dans les détecteurs ne sont pas enregistrées. Certains photons sont

perdus par absorption ou réflexion dans le chemin optique. Peu importe l'étroitesse de la fenêtre de

coïncidence il y aura toujours des instances de détection de coïncidence de photons non appariés.

Dans le test des inégalités de Bell, les expérimentateurs ont déterminé la valeur de la quantité S, où

(1) ( ) ( ) ( ) ( )babababa ′′+′+′−= ,,,, EEEES

(2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )baPbaPbaPbaPbaE ,,,,, +−−+−−++ −−+=

Et ( )baP ,±± dénote la probabilité d'obtenir le résultat 1± le long de a (particule 1) et 1± le long de

b (particule 2). Les principes de la mécanique quantique prédisent que la valeur de 22±=S peut

être obtenue avec un tel dispositif. Les inégalités de Bell permettent seulement 22 ≤≤− S . Les

expérimentateurs ont obtenu 05.070.2 ±=S , une violation claire des inégalités de Bell. Même

avec ce résultat clair, il reste encore un défaut selon certaines considérations. Rappelons que la

question concerne la localité. De ce point de vue, les deux photons pourraient être considérés

comme locaux pour l'un l'autre et être encore capables de s'affecter l'un l'autre. L'élimination de la

localité a du attendre une autre expérience.

Confirmations supplémentaires Le test décrit précédemment fut modifié pour pouvoir sélectionner la configuration des polariseurs

après que les photons aient quitté la source et supposés ne plus être influencés simultanément par le

dispositif (figure ci-dessus). Les chercheurs remplacèrent chacun des polariseurs avec un

commutateur et chaque commutateur était suivi de deux polariseurs ayant des orientations

différentes. De cette manière, un photon venant de la source rencontre d'abord un commutateur

optique qui le dirige alors directement dans un des deux polariseurs. Bien sûr, l'autre photon

rencontre en même temps un dispositif similaire de l'autre côté de l'expérience. Les distances et la

vitesse de commutation sont telles que la commutation aura changé entre le moment où le photon a

quitté la source et le moment où le photon est arrivé au commutateur. Le but ici est d'assurer

qu'aucune influence physique non standard de la configuration ultime des polariseurs ne peut avoir

affecté l'autre photon depuis qu'ils sont formés. Les expérimentateurs ont affirmé que leur

arrangement éliminait la localité comme facteur dans la corrélation des mesures. Pour un tel

arrangement, les expérimentateurs ont déterminé la prédiction de la mécanique quantique

112.0=S tandis que les inégalités de Bell prédisent 0≤S . Les expérimentateurs ont obtenus

020.0101.0 ±=S .

Un résumé des tests expérimentaux précédents des inégalités de Bell a été publié par John Clauser

et Abner Shimony. Ce résumé couvre les expériences listées dans la table ci-dessus et donne

quelques critiques sur les méthodes également.

� Pour être complet, il faut signaler une lacune dans ces expériences appelée "problème des non-

détection". Les appareils de mesure ne sont pas parfaits et, de temps en temps, certains photons

échappent à la détection. Dans les calculs statistiques des corrélations, il est assez facile d'en

tenir compte. Toutefois, cette correction se fait dans l'hypothèse que ces photons non détectés

sont quelconques, que la non-détection est aléatoire. En fait, rien ne dit que l'état du photon (par

exemple, à travers certaines valeurs des variables cachées) ne joue pas un rôle et qu'en prenant

toutes les valeurs en compte on ne constaterait pas un respect des inégalités de Bell. Il reste

donc une légère porte ouverte pour les variables cachées mais il faut quand même avouer que la

porte est minuscule (même si les physiciens aimeraient bien la fermer complètement) pour deux

raisons. Tout d'abord, ce phénomène serait particulièrement vicieux. Une partie des photons

échapperaient à la détection "pour cacher" le respect des inégalités de Bell. L'effet des variables

cachées et leur répartition statistique serait telle qu'elle induirait ce biais. Pire encore, ce biais

serait tel que le résultat obtenu sur les photons restant (ceux qui sont détectés) serait exactement

le résultat prédit par la mécanique quantique ! Il faut vraiment créer de toute pièce une théorie

ad hoc pour qu'une "censure" aussi parfaite s'applique et nous empêche de connaître les détails

des mécanismes intimes des particules. Peu de physiciens croient en une telle possibilité.

D'autant que des expériences plus récentes et encore plus précises ont été menées (avec des

photons transitant par fibres optiques sur des kilomètres).

� Dans des conditions idéales (et donc par nécessairement celle d'une expérience de type EPR) on

atteint des taux de détection quasiment parfaits (photons de fréquences bien choisies, caméras

CCD ultrasensibles,…) Il ne semble donc pas que la non-détection soit de rigueur en physique

quantique et induite par les variables cachées. C'est seulement la conséquence d'appareils de

mesure imparfaits.

Cela donne aussi un bon espoir d'arriver à réaliser une expérience réunissant toutes les

conditions d'une expérience EPR irréprochable et avec un taux de détection proche de cent pour

cent.

II. Contextualité Un autre point mérite d'être signalé concernant les théories à variables cachées.

Le théorème de Bell n'est pas le seul qui ait permis de voir dans quelles circonstances les théories à

variables cachées peuvent donner des résultats équivalents à la mécanique quantique. Plusieurs

autres théorèmes important concernent la contextualité, en particulier un théorème très général dû à

Kochen et Specker. Ce théorème montre que toute théorie à variables cachées qui voudrait

reproduire les résultats de la physique quantique doit être contextuelle.

Qu'est-ce qu'une théorie contextuelle ? Cela signifie que les résultats des mesures dépendent de la

manière d'effectuer la mesure même si l'on mesure la même quantité physique. On dit que le

résultat dépend du contexte.

Supposons que l'on ait un état décrit par θψ , (où θ sont des variables cachées). Soit

21 xx +=ψ . C'est-à-dire, un état où la position est indéterminée en mécanique quantique et

toute mesure de la position donne avec une chance sur deux soit 1x , soit 2x . Dans une théorie à

variables cachées, le résultat n'est pas aléatoire mais prédéterminé et il dépend des variables

cachées θ . Pour faire simple, supposons que toutes les configurations (pour un état ψ donné) des

variables cachées soient équivalentes et équiprobables. Dans ce cas, la moitié des valeurs possibles

doit correspondre à 1x et l'autre à 2x .

Mais, si la théorie est contextuelle, alors ce résultat dépend aussi de la manière d'effectuer la

mesure. Appelons 1C une manière de mesurer la position et 2C une autre manière de le faire.

Alors, avec 1C , comme signalé ci-dessus, la moitié des valeurs possibles pour les variables cachées

doit donner 1x et l'autre moitié 2x . Par exemple, supposons pour faire simple, que les variables

cachées peuvent prendre quatre valeurs possibles : 1θ , 2θ , 3θ et 4θ et que, en utilisant 1C , les

valeurs 1θ et 2θ donnent la mesure 1x et les valeurs 3θ et 4θ donnent 2x .

Maintenant, si nous utilisons 2C , alors peut-être que cette fois-ci, c'est 1θ et 3θ qui vont donner le

résultat 1x et 2θ et 4θ donner 2x .

Le résultat dépend donc bien (dans cet exemple) des variables cachées et de la manière de mesurer

la position.

Sans entrer immédiatement dans le détail des théorèmes sur la contextualité, on peut comprendre

assez facilement pourquoi il doit en être ainsi. Imaginons que l'on ait trois quantités physiques à

mesurer correspondant aux observables 1O , 2O et 3O . Il peut arriver (c'est le cas si les deux

premiers observables correspondent à la position dans deux directions et le troisième à l'impulsion

selon une de ces directions) que 1O et 2O commutent, 1O et 3O commutent, mais 2O et 3O ne

commutent pas.

Cela signifie que l'on peut mesurer 1O et 2O , ensemble, avec toute la précision voulue, ainsi que

1O et 3O , mais que si l'on mesure 2O et 3O ensemble, les résultats seront soumis au principe

d'indétermination.

Supposons maintenant que l'on désire mesurer les valeurs de 1O et 3O . Pour mesurer 1O , on

dispose de deux appareils de mesure. Le premier (disons 1C ) mesure 1O directement. Le deuxième

( 2C ) mesure 1O mais aussi 2O en même temps (même si on ignore volontairement ce résultat).

Cela dépend de la manière dont l'appareil de mesure fonctionne et il n'est pas rare qu'un dispositif

apporte plus d'informations que ce qui est réellement nécessaire. Ce n'est pas gênant car 1O et 2O

commutent. Le fait de mesurer 2O n'empêche pas de mesurer 1O avec toute la précision requise.

1C et 2C peuvent donc être considéré comme des moyens parfaitement légitimes de mesurer 1O .

Mais le résultat ne peut pas être identique puisqu'en utilisant 1C et en mesurant 3O , en même

temps, on peut obtenir les résultats avec toute la précision souhaitée. Alors que pour les mêmes

états mesurés, l'utilisation de 2C et la mesure de 3O ne peut pas être aussi précise que souhaitée.

Les mesures dépendant de la valeur des variables cachées et celles-ci devant reproduire le principe

d'indétermination à travers la distribution statistique des différentes variables cachées, l'utilisation

de 1C ou 2C ne peut pas donner le même résultat.

Les théories à variables cachées doivent donc être contextuelles. Remarquons trois choses :

� C'est vraiment quelque chose de très curieux. Impossible de trouver des manières parfaites de

mesurer les états sans être confronté à ce caractère contextuel. Cela est dû au fait qu'il est

possible de combiner les états de toutes sortes de manière (superposition) et que l'on sera

toujours confronté (comme le montre en détail le théorème de Kochen et Specker) à des

combinaisons qui donnent un résultat contradictoire avec différentes mesures si ces mesures ne

dépendent pas de la manière de procéder.

Notons que cela n'est pas différent de ce que nous avons déjà vu : les variables cachées sont

vraiment cachées. Toute tentative pour essayer de les connaître est vouée à l'échec.

� Cet aspect est aussi vicieux que la non-localité. En effet, le fait de procéder à la mesure d'une

manière différente conduit, pour les mêmes variables cachées, à des résultats différents, mais, la

distribution statistique reste systématiquement la même. Là aussi il faut réellement créer une

théorie ad hoc pour arriver à un tel résultat.

� Le cas des observables qui commutent ou pas ci-dessus peut se démultiplier à l'infini car il y a

une infinité d'observables possibles et une infinité de manière de les combiner et donc une

infinité de manière d'effectuer une mesure donnée. Puisque à chaque fois différents ensembles

de valeurs des variables cachées doivent donner différents résultats, cela signifie qu'il faut une

infinité de variables cachées. On ne peut pas vraiment parler d'une théorie économique ! Alors

que la physique quantique peut décrire un état à l'aide d'une structure mathématique

extrêmement simple (un état est un vecteur dans un espace de Hilbert avec des composantes sur

une base qui peut être choisie physiquement), toute théorie à variables cachées à besoin d'une

infinité de variables pour décrire le même état et, qui plus est, des variables totalement

inaccessibles.

On est en tout cas très éloigné de la motivation initiale des variables cachées : a chaque

propriété prédite avec certitude (dans une situation donnée) = un élément de réalité = une

propriété interne (une variable cachée) prédéterminée. Les variables cachées ne remplissent pas

l'objectif pour lequel on les a imaginées !

Notons que cet aspect de contextualité concerne aussi la mécanique quantique puisque ce que nous

avons dit concernant les trois observables ci-dessus reste vrai même en l'absence de variables

cachées. Toutefois le sens en est très différent. Dans la théorie à variables cachées, le résultat est

différent pour deux états différents (ne différant que par les variables cachées) et selon la manière

de mesurer. Tandis qu'en mécanique quantique, l'état initial est le même, seule la manière de le

mesurer diffère. Et le fait que différentes manières de mesurer affecte le système de manière

différente est nettement moins bizarre. D'autant que si le résultat peut varier, il est de toute façon

donné par une distribution probabiliste identique pour toutes les méthodes de mesure.

Ce genre de situation avec des détails microscopiques reproduisant un comportement statistique

s'observe dans d'autres domaines. Par exemple, la thermodynamique est la théorie qui traite de la

chaleur et de la température. C'est une théorie macroscopique. On peut expliquer les résultats de la

thermodynamique par le comportement mécanique des particules et des traitements statistiques.

Mais, cela ne signifie pas que la correspondance soit parfaite. Il y a des écarts et des moyens

d'accéder aux détails. Heureusement, sinon comment saurait-on que la matière est composée de

particules ? Tandis qu'ici, les théorèmes de Bell et Kochen et Specker montrent indubitablement

que cela ne peut pas être le cas pour les variables cachées. Ici, elles sont à jamais inaccessibles, ce

qui rend douteux leur existence. La physique est essentiellement basée sur l'expérimentation

puisqu'elle cherche à expliquer le monde qui nous entoure et pas un monde imaginaire. Alors, que

penser d'une théorie qui ne peut être confrontée à l'expérience ? En science on appelle cela une

théorie non falsifiable, ce qui est considéré comme très négatif car non falsifiable signifie non

prédictif sinon de telles prédictions permettraient effectivement de la mettre à l'épreuve des faits de

l'expérience. Une telle théorie incapable de prédire la moindre petite chose de plus que la

mécanique quantique n'a aucun intérêt sauf d'un point de vue philosophique pour celui qui ne

conçoit pas un monde en l'absence d'une telle interprétation. Essayons d'avoir l'esprit plus ouvert et

envisageons toutes les possibilités, y compris l'absence de variable cachée.

La conclusion finale est que toute théorie à variables cachées doit être contextuelle, non locale et

avoir nombre infini de variables cachées. Le tout se combinant de manière extrêmement perverse

pour empêcher que l'on accède aux valeurs précises des variables cachées et reproduisant

systématiquement les résultats statistiques simples de la mécanique quantique. Cela en fait des

théories alambiquées et douteuses.

II.1. Théorème de von Neumann

Introduction Le but du développement d'une théorie à variables cachées est de donner un formalisme qui, bien

qu'étant empiriquement équivalent au formalisme quantique, ne possède pas son caractère subjectif

et indéterministe.

La question générale des variables cachées est, bien sûr, discuté dans plusieurs références. Le

travail de Bell est le plus définitif. Un récent passage en revue fut publié par N.D. Mermin qui a fait

beaucoup pour populariser le théorème de Bell à travers des articles dans Physics Today et à travers

des lectures populaires. Des discussions peuvent aussi être trouvées dans Bohm, Belinfante,

Hughes et Jammer.

Dans cette section nous présenterons et discuterons un des premiers travaux abordant la question

des variables cachées qui est l'analyse en 1932 de John von Neumann. Nous passerons aussi en

revue et élaborerons l'analyse de J.S. Bell de ce travail dans lequel il rend clair ses limites.

L'analyse des variables cachées de von Neumann apparaît dans son livre maintenant classique

Fondations Mathématiques de la Mécanique Quantique. Ce livre est notable à la fois pour son

exposition de la structure mathématique de la théorie quantique et comme un des premiers travaux

à systématiquement aborder à la fois la question des variables cachées et le problème de la mesure.

Plus loin nous discuterons une analyse de 1935 de Erwin Schrödinger. C'est l'article dans lequel le

"paradoxe du chat de Schrödinger" apparaît la première fois mais il n'est pas généralement apprécié

pour le reste alors qu'il contient d'autres résultats de signification égale ou peut-être plus grande tel

que la généralisation de Schrödinger du paradoxe de Einstein-Podolsky-Rosen. Nous pensons que

cet article remarquable pourrait avoir fait beaucoup pour avancer l'étude des fondations de la

mécanique quantique si ces dernières propriétés avaient été plus largement appréciées.

Le formalisme quantique nous présente deux différents types d'évolution de la fonction d'état : celle

donnée par l'équation de Schrödinger et celle qui se produit durant une mesure. Cette dernière

évolution apparaît dans la règle probabiliste et de réduction. Le problème de la mesure est le

problème de réconcilier ces deux types d'évolution.

Dans son analyse du problème des variables cachées, von Neumann a prouvé un résultat

mathématique maintenant connu comme le théorème de von Neumann et alors affirmé que ce

théorème impliquait la conclusion très forte qu'aucune théorie à variables cachées ne peut fournir

un accord empirique avec la mécanique quantique : (préface p.ix.x) "... une telle explication (par

des "paramètres cachés") est incompatible avec certains postulats fondamentaux qualitatifs de la

mécanique quantique." L'auteur affirme de plus : "il devrait être noté que nous n'avons pas besoin

d'aller plus loin dans le mécanisme des 'paramètres cachés' puisque nous savons maintenant que les

résultats établis de la mécanique quantique ne peuvent jamais être redérivés avec leur aide". La

première démonstration concrète que cette affirmation est erronée fut donnée en 1952 quand David

Bohm construisit une théorie viable des variables cachées. Alors, en 1966, J.S. Bell analysa

l'argument de von Neumann contre les variables cachées et montra où il devait être en erreur. Dans

cette section, nous commencerons pat discuter un concept essentiel de l'analyse de von Neumann :

la représentation d'état d'une théorie à variables cachées. Nous présenterons alors le théorème de

von Neumann et l'argument contre les variables cachées. Finalement, nous montrerons où l'erreur

est dans son argument.

L'analyse de von Neumann est concernée par la description de l'état d'un système et la question de

l'incomplétude de la description du formalisme quantique. La notion d'incomplétude de la

description du formalisme quantique fut particulièrement mise en évidence par Einstein, comme

nous l'avons vu. Le fameux article de Einstein-Podolsky-Rosen fut imaginé comme une preuve

d'une telle incomplétude et les auteurs ont conclu ce travail avec l'affirmation suivante : "Bien que

nous avons donc montré que la fonction d'onde ne fournit pas une description complète de la réalité

physique, nous laissons ouvert la question de savoir si oui ou non une telle description existe. Nous

croyons, cependant, qu'une telle théorie est possible". Le programme des variables cachées qui est

une tentative de compléter la description de l'état est apparemment exactement le type de

programme que Einstein demandait. Une description complète de l'état peut être construite pour

éliminer certaines des propriétés critiquables de la description théorique quantique.

La question particulière de l'analyse de von Neumann traite est la suivante : est-il possible de

restaurer le déterminisme de la description des systèmes physiques en introduisant des variables

cachées dans la description de l'état d'un système ? La représentation de l'état du formalisme

quantique donné par ψ ne permet pas en général de prédiction déterministe des valeurs des

quantités physiques, c'est-à-dire des observables. Donc les résultats obtenus en effectuant des

mesures sur des systèmes avec des représentations d'état identiques ψ peuvent être attendues varier

(la quantité statistique appelée dispersion est utilisée pour décrire cette variation quantitativement).

Bien qu'elle ne fournit en général pas de prédiction pour chaque mesure individuelle d'un

observable O, le formalisme quantique donne une prédiction pour sa moyenne ou valeur moyenne :

(1) ( ) ψψ OOE =

Quand elle est généralisée au cas des états mixtes, cela devient

(2) ( ) ( )UOOE Tr=

où U est un opérateur positif avec la propriété ( ) 1Tr =U . Ici U est connu comme la "matrice

densité".

L'analyse de von Neumann traite la question de savoir si le manque de déterminisme dans le

formalisme quantique peut être attribué au fait que la description de l'état donné par ψ est

incomplète. Si cela étai vrai, alors la description complète de l'état - consistant à la fois en ψ et un

paramètre supplémentaire que nous appellerons λ , permettrait de faire des prédictions sur les

mesures individuelles pour chaque observable. Notons qu'une telle capacité de prédiction peut être

exprimée mathématiquement en disant que pour tout ψ et λ il doit exister une fonction

"application de valeur", c'est-à-dire une fonction mathématique assignant à chaque observable sa

valeur. Nous représentons une telle fonction par l'expression ( )OV ψλ . Von Neumann appelait un

état hypothétique décrit par les paramètres ψ et λ un "état sans dispersion" puisque les résultats

obtenus par des mesures sur les systèmes avec des représentations d'état identiques en ψ et λ sont

acceptés être identiques et donc ne pas exhiber de dispersion.

Le théorème de von Neumann traite de la forme générale prise par une fonction ( )OE qui assigne à

chaque observable sa valeur moyenne. La fonction prise en compte par le théorème est considérée

comme étant de généralité suffisante pour que la fonction moyenne de la théorie quantique ou de

toute théorie empirique équivalente doive supposer la forme dérivée par von Neumann. Dans le cas

de la théorie quantique, ( )OE prendrait la forme de la formule de la moyenne quantique (2). Dans

le cas d'un état sans dispersion, la moyenne sur une série de ( )OE retournerait la valeur de chaque

observable. Quand on analyse la forme de ( )OE développée dans le théorème, il est facile de voir

qu'elle ne peut pas être une fonction de ce type. Suite à cela, von Neumann en vient à conclure

qu'aucune théorie impliquant des états sans dispersion ne peut être en accord avec la mécanique

quantique. Cependant, puisque le théorème place une restriction non raisonnable sur la fonction

( )OE , cette conclusion est erronée.

Théorème de von Neumann Les hypothèses sur la fonction ( )OE sont les suivantes. Premièrement, la valeur E assignée à

"l'observable identité" 1 est égale à l'unité

(3) ( ) 1=1E

L'observable identité est le projecteur associé à l'espace de Hilbert entier. Tous les vecteurs sont des

vecteurs propres de 1 avec la valeur propre 1. La deuxième hypothèse est que la fonction E de toute

combinaison linéaire réelle des observables est la même combinaison linéaire des valeurs de E

assignées à chaque observable individuel :

(4) ( ) ( ) ( ) LL ++=++ BbEAaEbBaAE

où (a, b, ...) sont des nombres réels et (A, B, ...) sont des observables. Finalement, il est supposé

que E pour tout projecteur P doit être non négatif :

(5) ( ) 0≥PE

Par exemple, dans le cas de la fonction ψλV , P doit être assigné ou bien à 1 ou bien à 0 puisque ce

sont ses valeurs possibles. Selon le théorème, ces prémisses impliquent que ( )OE doit être donné

par la forme

(6) ( ) ( )UOOE Tr=

où U est un opérateur positif avec la propriété ( ) 1Tr =U .

La démonstration de cette conclusion est immédiate.

Une preuve du théorème peut être trouvée dans le travail original de von Neumann. Albertson a

présenté une simplification de cette preuve en 1961. Ce que nous présentons ici est une

simplification supplémentaire.

Nous commençons par noter que tout opérateur O peut être écrit comme une somme d'opérateurs

hermitiques. Définissons A et B par les relations ( )++= OOA21 et ( )+−= OOB

i21 où +O

est le conjugué hermitique de O. Alors on voit facilement que A et B sont hermitiques et que

(7) iBAO +=

Nous définissons la fonction ( )OE ∗ par

(8) ( ) ( ) ( )BiEAEOE +=∗

où ( )OE est le ( )OE de von Neumann et A et B sont définis comme ci-dessus. Avec les équations

(8) et (4), nous avons que ( )OE ∗ a la propriété de linéarité complexe. Notons que ( )OE ∗ est une

généralisation du ( )OE de von Neumann : ce dernier est une fonction linéaire réelle sur les

opérateurs hermitiques tandis que la précédente est une fonction linéaire complexe sur tous les

opérateurs. Le forme générale de ∗E sera maintenant analysée pour le cas d'un opérateur de

dimension finie exprimé en termes matriciels d'une certaine base orthonormale. Nous écrivons

l'opérateur O sous la forme

(9) ∑=nm

nnOmmO,

où les sommes sur m, n sont finies. Cette forme de O est une combinaison linéaire des opérateurs

nm et la linéarité complexe de ∗E implique que

(10) ( ) ( )∑ ∗∗ =nm

nmEnOmOE,

Nous définissons maintenant l'opérateur U par la relation ( )nmEU nm

∗= et (10) devient

(11) ( ) ( ) ( )UOUOUOOEm

mm

nm

nmmn Tr,

=== ∑∑∗

Puisque le ( )OE de von Neumann est un cas particulier de ( )OE ∗ , (11) implique

que

(12) ( ) ( )UOOE Tr=

Nous montrons maintenant que U est un opérateur positif. C'est une prémisse du théorème que

( ) 0≥PE pour tout projecteur P. Donc nous écrivons ( ) 0≥χPE où χP est un projecteur à une

dimension sur le vecteur χ . En utilisant la forme de E trouvée dans (12), nous avons

(13) ( ) 0Tr ≥= χχχ UUP

L'égalité ( ) χχχ UUP =Tr dans (13) est constatée comme suit. L'expression ( )χUPTr est

indépendante de la base orthonormale nφ en terme de laquelle les représentations matricielles de U

et P sont exprimées, ainsi on peut choisir une base orthonormale dont χ lui-même est un

membre. Puisque χχ=P et 0== nnP ϕχχφχ pour tout nφ excepté χ , nous avons

( ) χχχ UUP =Tr .

Puisque χ est un vecteur arbitraire, il s'ensuit que U est un opérateur positif. La relation ( ) 1Tr =U

est montrée comme suit : de la première hypothèse du théorème (3) avec la forme de E donnée par

(12), nous avons ( ) ( ) 1TrTr == 1UU . Cela complète la démonstration du théorème de von

Neumann.

Preuve d'impossibilité de von Neumann Nous présentons maintenant l'argument de von Neumann contre la possibilité des variables

cachées. Considérons la fonction ( )OE évaluée sur les projecteurs à une dimension φP . Pour de

tels projecteurs, nous avons la relation

(14) 2

φφ PP =

Comme mentionné ci-dessus, dans le cas où ( )OE correspond à un état sans dispersion représenté

par un certain ψ et λ , elle doit appliquer les observables à leurs valeurs. Nous écrivons ( )OV ψλ la

fonction correspondant à l'état spécifié par ψ et λ . Von Neumann a noté que ( )OV ψλ doit obéir à

la relation :

(15) ( )( ) ( )( )OfVOVf ψλ

ψλ =

où f est une fonction mathématique. Cela est facilement constaté en notant que la quantité ( )Of

peut être mesurée en mesurant O et en évaluant f sur le résultat. Cela signifie que la valeur de

l'observable ( )Of sera f de la valeur de O. Donc, si ( )OV ψλ applique chaque observable à une

valeur, nous devons avoir (15). Donc ( ) ( )( )22

φψλφ

ψλ PVPV = qui avec (14) implique

(16) ( ) ( )( )2φψλφ

ψλ PVPV =

Cette dernière relation implique que ( )φψλ PV doit être égal à 0 ou 1.

Rappelons la relation ( ) φφφ UPE = . Si ( )OE prend la forme d'une fonction telle que ( )φψλ PV ,

alors il s'ensuit que la quantité φφU est égale à 0 ou 1. Considérons la manière dont cette

quantité dépend d'un vecteur φ . Si nous faisons varier φ de manière continue, alors φφU

variera aussi de manière continue. Si les seules valeurs possibles de φφU sont 0 et 1, il s'ensuit

que cette quantité doit être constante, c'est-à-dire que nous devons avoir ou bien 0=φφU

pour tout φ dans H, ou 1=φφU pour tout φ dans H. Si la première est vraie, alors on doit avoir

que U lui-même est zéro. Cependant, en utilisant (12), nous trouvons que ( ) 0=1E . Un résultat en

conflit avec l'hypothèse du théorème que ( ) 1=1E (3). De même, si 1=φφU pour tout φ dans

H, il s'ensuit que 1=U . Ce résultat est aussi en conflit avec l'exigence (3) puisque cela conduit à

( ) ( ) nE == 11 Tr où n est la dimension de H.

A partir du résultat obtenu, on peut en conclure que toute fonction ( )OE qui satisfait les contraintes

du théorème de von Neumann doit échouer à satisfaire la relation (15) et ainsi ne peut pas être une

fonction application valeur sur les observables.

Il sera noté que le même résultat peut être prouvé sans l'utilisation de (15) puisque le fait que

( )φψλ PV doit être 0 ou 1 suit simplement de l'observation que ce sont les valeurs propres de φP .

A partir de ce résultat, von Neumann en conclu qu'il est impossible pour une théorie à variables

cachées déterministes de fournir un accord empirique avec la théorie quantique : "Ce n'est donc

pas, comme cela est souvent supposé, une question de réinterprétation de la mécanique quantique.

Le système actuel de la mécanique quantique devrait être objectivement faux afin qu'une autre

description des processus élémentaires que la statistique soit possible."

Réfutation de la preuve d'impossibilité de von Neum ann Bien qu'il soit vrai que le théorème mathématique de von Neumann soit valide, ce n'est pas le cas

de celui de l'impossibilité des variables cachées qui s'en suit. L'invalidité de l'argument de von

Neumann contre les variables cachées fut montré par le développement de Bohm d'une théorie à

variables cachées réussie (un contre exemple à la preuve de von Neumann) et par J.S. Bell qui

analysa systématiquement la preuve de von Neumann. Nous allons maintenant présenter cette

dernière.

La démonstration de l'absence de variables cachées de von Neumann peut être vue comme

consistant en deux composantes : un théorème mathématique et une analyse de ses implications sur

les variables cachées. Comme nous l'avons dit, le théorème lui-même est correct quand il est

regardé comme purement mathématique. Le défaut est dans l'analyse reliant ce théorème aux

variables cachées. Les conditions prescrites pour la fonction E sont trouvées dans les équations (3),

(4) et (5). Le théorème de von Neumann affirme qu'à partir de ces hypothèses suit la conclusion que

la forme ( )OE doit être donnée par (12). Quand on considère une situation physique réelle, il

devient apparent que la deuxième condition du théorème n'est pas du tout

raisonnable. Comme nous le verrons, l'écart de cette condition d'une contrainte raisonnable

sur ( )OE est marqué par le cas de son application à des observables non commutant.

Nous voulons démontrer pourquoi (4) est une contrainte injustifiée sur E. Pour le faire, nous

examinerons d'abord un cas particulier dans lequel une telle relation est raisonnable et alors par

contraste le cas pour lequel elle ne l'est pas. L'hypothèse elle-même demande la linéarité réelle de

( )OE , c'est-à-dire que E doit satisfaire ( ) ( ) ( ) LL ++=++ BbEAaEbBaBE pour tout observables

{A, B, ...} et tous nombres réels{a, b, ...}. C'est en fait une exigence sensible pour les cas où {A, B

,...} sont des observables commutant. Supposons par exemple que les observables 1O , 2O , 3O

forment un ensemble commutant et qu'ils obéissent à la relation 321 OOO += . Nous savons du

formalisme quantique qu'on peut mesurer ces observables simultanément et que le résultat de

mesure ( )321 ,, ooo doit être un membre de spectre de valeurs propres jointes

de l'ensemble. Il est facile de voir que tout membre du spectre propre joint de 1O , 2O , 3O doit

satisfaire 321 ooo += . Cela étant le cas, on peut s'attendre à ce que la fonction ( )OE , qui dans le

cas d'un état sans dispersion doit être une application ( )OV ψλ sur les observables, devrait satisfaire

( ) ( ) ( )321 OEOEOE += .

D'un autre coté, supposons que nous considérions un ensemble {O,P,Q} satisfaisant

O=P+Q où les observables P et Q ne commutent pas, c'est-à-dire [ ] 0, ≠QP . Il est facile de voir que

O ne commute ni avec P ni avec Q. Il est donc impossible d'effectuer une mesure de deux de ces

observables simultanément. Donc, la mesure de ces observables nécessite trois procédures

expérimentales différentes. Cela étant, il n'y a pas de justification pour exiger que

( ) ( ) ( )QEPEOE += pour de tels cas.

Comme exemple, on peut considérer le cas d'une particule de spin 1/2. Supposons que les

composantes du spin données par xσ , yσ et σ ′ où

(17) ( )yx σσσ +=′2

1

soient examinées. La procédure de mesure pour toute composante donnée du spin d'une particule

est effectuée par un appareil de Stern-Gerlach correctement orienté. Par exemple, pour mesurer la

composante x, l'aimant doit être orienté le long de l'axe x. Pour la composante y il doit être orienté

le long de l'axe y. Une mesure de sigma' est faite en utilisant un appareil de Stern-Gerlach le long

d'un axe encore dans une autre direction.

Il n'est pas difficile de montrer que σ ′ définit de cette manière est la composante du spin le long d'un axe qui est dans le plan x,y et est à 45° des axes x et y.

La relation (4) ne peut pas être une demande raisonnable à mettre sur les fonctions moyennes ( )OE

des observables xσ , yσ et σ ′ puisque ces quantités sont mesurées en utilisant des procédures complètements distinctes.

Donc, l'argument des variables cachées de von Neumann est vu comme malsain. Le fait qu'il est

basé sur une hypothèse non justifiée est suffisant pour le montrer. Il sera aussi noté que la présence

du postulat de linéarité réelle discuté ci-dessus fait de la situation entière de von Neumann contre

les variables cachées un argument d'un caractère assez trivial. En examinant l'exemple ci-dessus

impliquant les trois composantes du spin d'une particule de spin 1/2, nous trouvons que les valeurs

propres de ces observables 2/1± n'obéissent pas à (17), c'est-à-dire

(18)

±±≠±2

1

2

1

2

1

2

1

Puisque ( )OE par hypothèse doit satisfaire (17), il ne peut pas appliquer les observables à leurs

valeurs propres. Donc, avec l'hypothèse de linéarité réelle, on peut pratiquement immédiatement

"réfuter" les variables cachées. Il est donc apparent que l'argument de von Neumann contre les

variables cachées repose essentiellement sur l'exigence arbitraire que ( )OE obéit à la linéarité

réelle, une hypothèse qui est en désaccord immédiat avec la demande simple et naturelle que E soit

en accord avec la mécanique quantique en donnant les valeurs propres comme le résultat des

mesures.

Résumé et remarques supplémentaires Dans notre discussion sur l'argument de von Neumann sur l'absence de variables cachées, nous

avons trouvé que l'argument peut être vu comme consistant en deux composantes : un théorème qui

concerne la forme générale pour une fonction moyenne ( )OE sur les observables et une preuve que

la fonction ( )OE ainsi développée ne peut pas être une fonction d'application valeur. Comme

l'hypothèse de linéarité réelle de ( )OE est injustifiée, le travail de von Neumann n'implique pas

l'échec général des variables cachées. Finalement, nous avons noté qu'en supposant seulement la

linéarité réelle de E on peut facilement arriver à la conclusion qu'une telle fonction ne peut pas être

une application des valeurs propres des observables. Ultimement, la leçon à apprendre du théorème

de von Neumann est simplement qu'il n'existe pas de fonction mathématique des observables vers

leurs valeurs obéissant à l'exigence de linéarité réelle.

Abner Shimony a rapporté qu'Albert Einstein état attentif à la fois à l'analyse de von Neumann elle-

même et à la raison pour laquelle elle échoue comme preuve d'impossibilité des variables cachées.

La source du rapport de Shimony était une communication personnelle avec Peter G. Bergmann.

Bergmann rapporta que durant une conversation avec Einstein sur la preuve de von Neumann,

Einstein ouvrit le livre de von Neumann à la page où la preuve est donnée et pointa l'hypothèse de

linéarité. Il dit alors qu'il n'y avait aucune raison pour laquelle cette prémisse devrait être valable

pour un état non reconnu par la mécanique quantique, si les observables ne sont pas simultanément

observables. Ici "l'état non reconnu par la mécanique quantique" semble se référer à l'état sans

dispersion de von Neumann, c'est-à-dire l'état spécifié par ψ et λ . Il est presque certain que Erwin

Schrödinger aurait aussi réalisé l'erreur dans la preuve d'impossibilité de von Neumann puisque

dans son article de 1935 il donne une dérivation qui est équivalente au théorème de von Neumann

en ce qui concerne les variables cachées bien qu'il n'arrive pas à la conclusion de von Neumann de

l'impossibilité des variables cachées.

Nous discuterons de la dérivation de Schrödinger dans ce qui suit. En vue de la rareté des réponses

initiales à la preuve de von Neumann, il est intéressant d'avoir une telle évidence de l'attention de

Einstein et Schrödinger à l'argument et ses conséquences.

Max Jammer affirme dans son livre que non seulement il y eut très peu de réponses à la preuve

d'impossibilité de von Neumann mais le livre lui-même ne fut jamais passé en revue avant 1957

avec l'exception de deux brefs travaux de Bloch et Margenau.

En plus, cela confirme le fait qu'Einstein voyait le problème de trouver une description complète

des phénomènes quantiques comme d'une importance centrale.

Dans notre introduction du théorème de von Neumann, nous avons dit que l'existence d'une théorie

à variables cachées déterministes conduisait au résultat que pour chaque ψ et λ il existe une

application valeur sur les observables. Nous représentons de telles applications valeur par

l'expression ψλV . Si on considère la question des variables cachées plus profondément, il est clair

que l'accord de leurs prédictions avec celle de la mécanique quantique nécessite un critère

supplémentaire au-delà de l'existence d'une application valeur pour chaque ψ et λ : elle nécessite

l'accord avec les prédictions statistiques du formalisme quantique. Pour rendre possible l'accord

empirique de la théorie quantique, dans laquelle seules les prédictions statistiques sont

généralement possibles avec la description déterministe d'une théorie à variables cachées, nous

regardons leur description d'un système quantique de la manière suivante. L'état quantique donné

par ψ correspond à un ensemble statistique des états donnés par ψ et λ , les membres de

l'ensemble étant décrit par le même ψ mais différant par λ . La variation dans les résultats des

mesures trouvées pour une série de systèmes quantiques avec des ψ identiques sera expliqué par la

variation du paramètre λ parmi l'ensemble des états ψ , λ . Pour un accord précis à cet égard, nous

exigeons que pour tout ψ et O, la relation suivante doit être valide :

(19) ( ) ( ) ψψλλρ ψλ OOVd =∫

∞

∞−

où ( )λρ est la distribution de probabilité sur λ .

Nous avons vu du résultat de von Neumann et de notre simple examen des observables

de spin 1/2 xσ , yσ , ..., qu'il est impossible de développer une fonction linéaire appliquant les

observables à leurs valeurs propres. Nous avons vu aussi qu'une preuve d'impossibilité peut être

développée montrant que le critère d'accord avec les statistiques quantiques, c'est-à-dire l'accord

avec (19), ne peut pas être obtenu avec des fonctions de la forme ( )OV ψλ (théorème de Bell).

Dérivation de Schrödinger de la "preuve d'impossibi lité" de von Neumann Comme mentionné ci-dessus, dans son fameux article du "paradoxe du chat", Schrödinger a

présenté une analyse qui, tant que les variables cachées sont concernées, est essentiellement

équivalente à la preuve de von Neumann. L'étude de Schrödinger du problème fut motivée par les

résultats de sa généralisation du paradoxe de Einstein-Podolsky-Rosen. Bien que EPR a conclu à

des valeurs définies des observables position et moment seulement, Schrödinger fut capable

de montrer que de telles valeurs doivent exister pour tous les observables de l'état considéré par

EPR. Pour sonder les relations possibles qui peuvent gouverner les valeurs assignées aux différents

observables, Schrödinger donne alors une brève analyse d'un système dont l'hamiltonien prend la

forme

(20) 222 qapH +=

Nous sommes conscients de la solution bien connue du problème de l'oscillateur harmonique, c'est-

à-dire que les valeurs propres de l'hamiltonien sont données par l'ensemble { }Khhhh ,7,5,3, aaaa .

Considérons une application ( )OV des observables vers les valeurs. Si nous exigeons que les

attributions V pour les observables H, p, q satisfont (20) alors nous devons avoir

(21) ( ) ( )( ) ( )( )222qVapVHV +=

qui implique

(22) ( ) ( )( ) haqVapV /222 + = un entier impair

Cette dernière relation ne peut en général pas être satisfaite par les valeurs propres de q et p, donc

chacune peut être tout nombre réel, et un nombre positif arbitraire a.

La connexion de ce résultat à l'argument de von Neumann est immédiate. Dans la discussion

précédente, nous avons noté que les valeurs des observables ( )Of seront f de la valeur de O tel que

toute application valeur doit satisfaire ( )( ) ( )( )OfVOVf = comme donné dans l'équation (15). Ici f

peut être toute fonction mathématique. Il s'ensuit que (21) est équivalent à la relation entre les

observables H, 2p , 2q donnée par :

(23) ( ) ( )( ) ( )( )222qVapVHV +=

Avec les valeurs propres connues de H, cela conduit à

(1.39) ( ) ( )( ) haqVapV /222 + = un entier impair

qui ne peut généralement pas être satisfait par les valeurs propres de 2q et 2p , chacune pouvant

être tout nombre réel positif, et un nombre positif arbitraire a. Nous avons ici un autre exemple

conduisant à une démonstration du résultat de von Neumann qu'il n'y a pas d'application valeur

linéaire sur les observables (rappelons l'exemple des observables des composantes du spin, xσ , yσ ,

... donné ci-dessus). Si nous considérons la fonction de von Neumann ( )OE , l'hypothèse de

linéarité réelle nécessite qu'elle satisfasse (23). Donc, ( )OE ne peut pas appliquer les observables

sur leurs valeurs propres. Schrödinger n'a pas vu cela comme une preuve de l'impossibilité des

variables cachées, comme von Neumann l'a fait, mais en a seulement conclu que les relations telles

que (23) ne sont pas nécessairement satisfaites par les attributions de valeur faites aux observables

contraintes par une telle relation. En effet, si Schrödinger avait fait l'erreur d'interprétation de von

Neumann, cela aurait contredit les résultats qu'il a développés avant selon lesquels de telles

variables cachées doivent exister.

II.2. Théorème de Gleason Le théorème de von Neumann traitait la question de la forme prise par une fonction ( )OE des

observables. Le théorème de Gleason traite essentiellement de la même question, la différence la

plus significative étant que l'hypothèse de linéarité est relâchée et il est demandé que E soit linéaire

seulement pour des ensembles commutant d'observables.

La forme originale présentée par A.M. Gleason se rapporte à une mesure de probabilité sur les

sous-espaces d'un espace de Hilbert, mais l'équivalence d'une telle construction avec une

application valeur sur les projecteurs est simple et immédiate. Cela peut être vu en considérant qu'il

y a une bijection entre les sous-espaces et les projecteurs d'un espace de Hilbert et que les valeurs

prises par les projecteurs sont 1 et 0 ainsi une fonction application des projecteurs sur leurs valeurs

propres est un cas particulier d'une mesure de probabilité sur ces opérateurs.

En plus, le théorème de Gleason exige une fonction E sur seulement les projecteurs du système

plutôt que sur tous les observables. Finalement, le théorème de Gleason contient l'hypothèse que

l'espace de Hilbert du système est au moins à trois dimensions. Pour la conclusion du théorème, elle

est identique à celle de von Neumann : ( )PE prend la forme ( ) ( )UPPE Tr= où U est un opérateur

positif et ( ) 1Tr =U .

Rendons l'exigence de linéarité sur les observables commutants un peu plus explicite.

Premièrement nous notons que tout ensemble de projecteurs { }K,, 21 PP sur des sous-espaces

mutuellement orthogonaux { }K,, 21 HH forme un ensemble commutant. De plus, si P projette sur

la somme directe L++ 21 HH de ces sous-espaces, alors { }K,,, 21 PPP forme aussi un ensemble

commutant. C'est dans le cas de ce dernier type d'ensemble que l'exigence de linéarité entre en jeu,

puisque ces observables obéissent à la relation

(1) L++= 21 PPP

La condition sur la fonction E est alors

(2) ( ) ( ) ( ) L++= 21 PEPEPE

L'affirmation formelle du théorème de Gleason est exprimée comme suit. Pour tout système

quantique dont l'espace de Hilbert est à au moins trois dimensions, toute fonction moyenne ( )PE

obéissant aux conditions (2), ( ) 10 ≤≤ PE et ( ) 1=1E , doit prendre la forme

(3) ( ) ( )UPPE Tr=

où ( ) 1Tr =U et U est un opérateur positif. Nous ne présentons pas une preuve de ce résultat ici.

Bell a prouvé que toute fonction ( )PE satisfaisant les conditions du théorème de Gleason ne peut

pas appliquer les projecteurs sur leurs valeurs propres.

Un corollaire important du théorème de Gleason est que l'attribution des probabilités aux résultats

des mesures doit suivre la règle de Born pour être consistant.

Dans les prochaines sections, nous donnerons la preuve du théorème de Kochen et Specker. Le

même résultat d'impossibilité est dérivé du théorème de Gleason suite à ce théorème.

Il est immédiat de démontrer que la fonction ( )PE considérée dans le théorème de Gleason ne peut

pas être une fonction d'application valeur sur ces observables. Pour le démontrer, on peut raisonner

de la même manière que cela fut fait par von Neumann puisque la forme développée ici pour ( )PE

est la même que celle conclue par cette dernière. Nous rappelons que si ( )OE doit représenter un

état sans dispersion spécifié par ψ et λ , il doit prendre la forme d'une telle application valeur et

( )OE ne peut évidemment pas être la fonction moyenne pour de tels états. C'est sur cette base que

l'impossibilité des variables cachées a été affirmée suite au théorème de Gleason. Nous

approfondirons cette question dans la suite.

II.3. Théorème de Kochen et Specker Le théorème de Kochen et Specker est un sujet important mais subtil des fondations de la

mécanique quantique. Le théorème fournit un argument puissant contre la possibilité d'interpréter la

mécanique quantique en terme de variables cachées. Nous présentons ici le théorème/argument et la

discussion des fondations de la mécanique quantique aux différents niveaux.

II.3.1. Introduction La mécanique quantique a la propriété particulière que les états quantiques impliquent, en général,

seulement des restrictions statistiques sur le résultat des mesures. La conclusion naturelle qui en

découle est que ces états sont des descriptions incomplètes des systèmes quantiques. La mécanique

quantique devrait donc être incomplète dans le sens qu'une description d'un état typique de la

mécanique quantique d'un système individuel pourrait être augmentée avec une description plus

complète en termes d'une théorie à variables cachées. Dans une description à variables cachées du

système, les probabilités de la mécanique quantique seraient naturellement interprétées comme des

probabilités épistémiques du type qui se produisent dans la mécanique statistique ordinaire. Une

telle description par les variables cachées peut ne pas être utile en pratique mais on est tenté de

penser qu'elle devrait au moins être possible en principe. Il y a, cependant, deux théorèmes

puissants dont le résultat est qu'une telle description est impossible, même en principe : la

mécanique quantique, étant donné certains prémisses extrêmement plausibles, ne peut pas être

augmentée par une théorie à variables cachées. Le plus fameux de ces deux théorèmes est le

théorème de Bell qui déclare que, étant donné une prémisse de localité, un modèle à variables

cachées ne peut pas donner les prédictions statistiques de la mécanique quantique. Le second

théorème important contre les théories à variables cachées est le théorème de Kochen et Specker

qui déclare que, étant donné une prémisse de non contextualité, l'on ne peut pas du tout assigner de

manière consistante des valeurs à certains ensembles d'observables de la mécanique quantique

(même avant que la question de leur distribution statistique ne survienne).

Avant de voir le travail du théorème de Kochen et Specker en détail, nous devons clarifier pourquoi

il est si important pour les philosophes scientifiques. La prémisse explicite des interprétations à

variables cachées est celui de valeur précise :

� Tous les observables définis pour un système de la mécanique quantique ont des valeurs

précises à tout moment.

Cette hypothèse, cependant, est motivée par un principe plus basique, un réalisme apparemment

inoffensif sur la mesure physique qui, initialement, semble un point indispensable de la science

naturelle. Ce réalisme consiste en la supposition que tout ce qui existe dans le monde physique

est causalement indépendant de nos mesures qui servent à nous donner de l'information sur lui.

Maintenant, puisque les mesures de tout observable en mécanique quantique conduit,

typiquement, à des valeurs plus ou moins précises, il y a de bonnes raisons de penser que de

telles valeurs existent indépendamment de toute mesure, ce qui nous conduit à supposer les

valeurs définies (notons que nous n'avons pas besoin de supposer ici que les valeurs sont

fidèlement révélées par l'expérience mais seulement qu'elles existent !). Nous pouvons

concrétiser notre réalisme inoffensif dans une seconde supposition de non contextualité :

� Si un système en mécanique quantique possède une propriété (la valeur d'un observable), alors

il doit en être ainsi indépendamment de tout contexte de mesure, c'est à dire indépendamment

de comment cette valeur est éventuellement mesurée.

Cela signifie que si un système possède une propriété donnée, c'est indépendant de la

possession d'autres valeurs rattachées à d'autres arrangements. Ainsi, nos deux suppositions

incorporent l'idée de base d'une indépendance de la réalité physique par rapport à l'observateur.

Le théorème de Kochen et Specker établit une contradiction entre les valeurs définies avec la non

contextualité et la mécanique quantique. Donc, l'acceptation de la mécanique quantique nous force

logiquement à renoncer ou aux valeurs définies ou à la non contextualité. Cependant, la situation

est plus dramatique qu'il semblerait initialement. Les valeurs définies sont la clé motivant la

supposition du programme des variables cachées dans le sens que, si c'est réalisable, il expliquerait

le plus naturellement le caractère statistique de la mécanique quantique et expliquerait élégamment

l'infâme problème de la mesure hantant toutes les interprétations de la mécanique quantique. Mais,

comme nous allons le voir, la seconde supposition de la non contextualité est motivée par le même

réalisme inoffensif qui incarne un standard de rationalité scientifique et il est loin d'être évident de

voir à quoi ressemblerait une interprétation obéissant à ce standard seulement partiellement, c'est-à-

dire approuvant seulement les valeurs définies mais rejetant la non contextualité. Ce complexe de

questions, c'est à dire,

(1) Les valeurs définies et la non contextualité contredisent la mécanique quantique.

(2) Les difficultés conceptuelles pour interpréter la mécanique quantique fournissent une forte

motivation pour les valeurs définies.

(3) Il n'est pas évident de voir comment construire une description plausible de la mécanique

quantique contenant des valeurs définies mais pas la non contextualité,

est le carburant philosophique intéressant dans le théorème de Kochen et Specker.

II.3.3. Contexte du théorème Kochen et Specker Dans la suite nous supposerons quelques familiarités avec les notions élémentaires de la mécanique

quantique tel que 'état', 'observable', 'valeur' et leurs représentations mathématiques 'vecteur',

'opérateur (hermitique)' et 'valeur propre'. Nous identifierons habituellement les observables et les

opérateurs sur un espace de Hilbert approprié qui les représente. S'il y a besoin de distinguer les

opérateurs et les observables, nous écrirons les opérateurs avec un accent circonflexe (donc un

opérateur A représente un observable A).

Cette section donne quelques éléments du contexte historique et systématique du théorème de

Kochen et Specker. Nous revenons aussi sur l'argument de von Neumann (1932), le théorème de

Gleason (1957) et une discussion critique des arguments de Bell (1966). Von Neumann, dans son

fameux livre de 1932 "Die mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik" discuta la

possibilité d'obtenir la mécanique quantique à partir d'une théorie à variables cachées sous-jacente.

Il donna un argument qui se résume au suivant : considérons le fait mathématique que si A et B

sont des opérateurs hermitiques, alors toute combinaison linéaire des deux (tout BAC ˆˆ βα += , où

α et β sont des nombres réels arbitraires) est aussi un opérateur hermitique. La mécanique

quantique impose de plus que pour tout état de la mécanique quantique :

(1) Si A et B (représentés par les opérateurs hermitiques A et B ) sont des observables d'un

système, alors il y a aussi un observable C (représenté par l'opérateur hermitique C défini ci-

dessus) sur le même système.

(2) Si les valeurs moyennes de A et B sont données par A et B , alors la valeur moyenne de C

est donnée par BAC βα += .

Considérons maintenant A, B, C comme ci-dessus et soit leurs valeurs ( )Av , ( )Bv , ( )Cv .

Considérons un 'état caché' V qui détermine ( )Av , ( )Bv , ( )Cv . Nous pouvons alors dériver de V la

'valeur moyenne' comme étant trivialement juste les valeurs possédées elles-mêmes : ( )AvAV

=

et ainsi de suite. Bien sûr, ces 'valeurs moyennes' ne sont en général pas égales aux valeurs

moyennes de la mécanique quantique : AAV

≠ (nous penserions en effet à ces dernières

comme des moyennes des précédentes pour différents états cachés V !), mais nous nécessitons que

les V

A , comme A , soient conformes à (2). Cela implique automatiquement que les valeurs

elles-mêmes doivent être conformes à une condition parallèle à (2), c'est à dire :

(3) ( ) ( ) ( )BvAvCv βα +=

Cela est, cependant, impossible en général. Un exemple montre très facilement comment (3) est

violé, mais à cause de sa simplicité cela montre aussi que l'argument est inadéquat (cet exemple

n'est pas dû à von Neumann lui-même mais à Bell). Soit xA σ= et yB σ= , alors l'opérateur

( ) 2/yxC σσ += correspond à l'observable du spin le long de la direction de la bissectrice x et y.

Maintenant, toutes les composantes du spin (dans des unités appropriées) ont seulement les valeurs

possibles 1± , donc la théorie à variables cachées proposée est forcée d'attribuer 1± à A, B, C

comme valeurs et donc comme 'valeurs moyennes'. Cela, en retour, implique (3) qui ne peut

évidemment pas être satisfait puisque ( ) 2/111 ±+±=± .

L'exemple illustre pourquoi l'argument de von Neumann est insatisfaisant. Personne ne discute le

passage de (2) à (3) pour des observables compatibles, c'est à dire ceux qui, selon la mécanique

quantique, sont conjointement mesurables dans un arrangement. Le choix ci-dessus de A, B, C,

cependant, est tel que toute paire d'entre eux est incompatible, c'est à dire non conjointement

observable. Pour ceux là, nous ne désirons pas exiger que toute interprétation par les variables

cachées satisfasse (3) mais seulement (2). Les valeurs cachées n'ont pas besoin d'être conformes

avec (3) en général, seules les moyennes de leurs valeurs sur une série de tests doivent être

conformes avec (2). L'autorité de l'argument de von Neumann vient du fait que les exigences (1) et

(2), pour les états quantiques, sont des conséquences du formalisme de la mécanique quantique

mais cela ne justifie pas en lui-même d'étendre ces exigences à des états cachés hypothétiques. En

effet, si (3) était vrai sans restriction, cela expliquerait joliment, en présence de valeurs cachées,

pourquoi (2) l'est. Von Neumann pensait apparemment que la théorie à variables cachées proposée

est liée à cette explication, mais cela semble une restriction non plausible.

Le théorème de Kochen et Specker remédie à ce défaut, indiqué par Bell dans l'argument de von

Neumann, et donc renforce la situation contre les théories à variables cachées car le théorème de

Kochen et Specker suppose (3) seulement pour des ensembles d'observables {A, B, C} qui sont

mutuellement compatibles. Le théorème nécessite que seuls les observables compatibles obéissent à

(3), ce qui est quelque chose que les théoriciens des variables cachées ne peuvent pas

raisonnablement nier.

Une seconde ligne de réflexion conduisant au théorème de Kochen et Specker est fournit par le

théorème de Gleason (Gleason 1957). Le théorème affirme que sur un espace de Hilbert de

dimension plus grande ou égale à 3, les seules mesures de probabilité possibles sont les mesures

( ) ( )WPP ααµ Tr= , où αP est un projecteur, W l'opérateur statistique caractérisant l'état réel du

système et Tr est l'opération de trace. Les αP peuvent être vu comme représentant des observables

oui - non, c'est à dire des questions si un système en mécanique quantique représenté par un espace

de Hilbert de dimension plus grande ou égale à trois a une propriété α ou non et toute propriété α

possible est associée de manière unique avec un vecteur α dans l'espace de Hilbert, ainsi, la tâche

est d'assigner sans ambiguïté des probabilités à tous les vecteurs dans l'espace. Maintenant, la

mesure en mécanique quantique µ est continue, ainsi le théorème de Gleason prouve en effet que

toutes les assignations de probabilités à toutes les propriétés possibles dans un espace de Hilbert à

trois dimensions doivent être continues, c'est à dire appliquent continûment tous les vecteurs de

l'espace dans l'intervalle [0,1]. D'un autre coté, une théorie à variables cachées (si elle est

caractérisée par les valeurs définies plus la non contextualité) impliquerait que pour toutes les

propriétés nous pouvons dire si le système les a ou pas. Cela conduit à une fonction de probabilité

triviale qui applique tous les iP sur 1 ou 0 et pourvu que les valeurs 1 et 0 existent ensemble (ce qui

suit trivialement de l'interprétation des nombres comme des probabilités), cette fonction doit

clairement être discontinue (cf. Redhead 1987:28).

C'est l'argument le plus facile contre la possibilité d'une interprétation à variables cachées permise

par le théorème de Gleason. Bell (1966:6-8) offre une variante avec un situation particulière qui

sera répétée plus tard comme une étape cruciale du théorème de Kochen et Specker (cela explique

pourquoi certains auteurs (comme Mermin 1990b) appellent le théorème de Kochen et Specker le

théorème Bell - Kochen - Specker ; ils pensent que l'idée décisive du théorème de Kochen et

Specker est due à Bell). Il prouve que l'application µ impose que deux vecteurs α et α ′

appliqué sur 1 et 0 ne peuvent pas être arbitrairement près mais doivent avoir une séparation

angulaire minimale tandis que l'application des variables cachées, d'un autre coté, nécessite qu'ils

doivent être arbitrairement près.

Après avoir offert cette variante de l'argument contre les théories à variables cachées à partir du

théorème de Gleason, Bell continue en le critiquant. La stratégie est parallèle à celle dirigée contre

von Neumann. Bell signale que son propre argument de type Gleason contre des valeurs

arbitrairement près présuppose des relations non triviale entres les valeurs des observables non

commutants qui sont seulement justifiées étant donné la supposition de non contextualité. Il

propose une analyse de ce qui devient faux lorsque son propre argument "suppose tacitement que la

mesure d'un observable doit conduire à la même valeur indépendamment de ce que les autres

mesures peuvent faire simultanément" (1966:9). En opposition avec von Neumann, l'argument de

type Gleason dérive des restrictions sur l'assignation de valeurs comme (3) seulement pour des

ensembles d'observables compatibles. Mais le même observable peut être un membre de différents

ensembles commutant et il est essentiel pour l'argument que les observables soient assignés à la

même valeur dans les deux ensembles, c'est à dire que la valeur assignée ne soit pas sensible à un

contexte de mesure.

Le théorème de Kochen et Specker améliore cet argument du théorème de Gleason. D'abord, les

auteurs répètent, en effet, la preuve de Bell que deux vecteurs dans l'espace de Hilbert ayant les

valeurs 1 et 0 ne peuvent pas être arbitrairement près. Cependant, tandis que l'argument de Gleason

et la variante de Bell supposent des assignations de valeurs pour un ensemble continu de vecteurs

dans l'espace de Hilbert, Kochen et Specker sont capables de présenter explicitement un ensemble

discret même fini d'observables dans l'espace pour lesquels une assignation de valeur pour les

variables cachées conduirait à une inconsistance. Evidemment, les suppositions nécessaires pour

l'étape établissant que deux points de valeurs opposées ne peuvent pas être arbitrairement près

jouent encore un rôle dans l'amélioration du théorème de Kochen et Specker, en particulier la non

contextualité ! - ainsi la critique de Bell de son propre argument de type Gleason survit à cette

amélioration.

En dépit du raisonnement de Bell, l'argument du théorème de Kochen et Specker est d'importance

cruciale dans les discussions des variables cachées pour deux raisons :

(1) Il implique seulement un ensemble fini d'observables discret. Il évite donc une objection

possible aux arguments de type Gleason de Bell, c'est à dire que "il n'est pas significatif de

supposer qu'il y a un nombre continu de propositions quantiques (vis à vis des expériences)"

(Kochen et Specker 1967 : 70/307). Ainsi le théorème de Kochen et Specker ferme un trou

qu'une théorie à variables cachées proposée peut viser dans l'argument de Bell.

(2) Le théorème de Kochen et Specker propose un système à une particule comme réalisation

physique de leur argument. Donc, l'argument implique trivialement les suppositions de non

séparabilité ou de localité. En effet, Bell signal d'abord la prémisse non contextuelle tacite, mais

il le fait ainsi seulement en passant, et ensuite, dans la section finale, discute d'un exemple de

système à deux particules. Ici, un contexte éventuel se retourne comme une non séparabilité des

deux particules, mais Bell ne fait pas la relation explicitement. Il ne signale pas non plus que la

question de la possibilité des interprétations des variables cachées est, en final, non pas sur la

(non)séparabilité ou la (non)localité, mais plutôt sur la (non)contextualité (après tout, le propre

argument de Bell est clairement illustré par les arguments de type Kochen et Specker).

II.3.4. Déclaration et preuve du théorème de Kochen et Specker

II.3.4.1. Déclaration du théorème Kochen et Specker Une déclaration explicite du théorème de Kochen et Specker est donc :

Soit H un espace de Hilbert des vecteurs d'état de la mécanique quantique de dimension

3≥x . Soit M un ensemble contenant y observables, défini par des opérateurs sur H. Alors,

pour des valeurs spécifiques de x et y, les deux suppositions suivantes sont contradictoires :

(KS1) Tous les membres y de M ont simultanément des valeurs (prédéfinies), c'est à dire

qu'elles sont appliquées sans ambiguïtés sur des nombres réels uniques (désignés, pour les

observables A,B,C,... par ( )Av , ( )Bv , ( )Cv ,...).

(KS2) Les valeurs des observables sont conformes aux contraintes suivantes :

(a) Si A,B,C sont tous compatibles et BAC += , alors ( ) ( ) ( )BvAvCv +=

(b) Si A,B,C sont tous compatibles et BAC ⋅= , alors ( ) ( ) ( )BvAvCv ⋅=

La supposition KS1 du théorème est évidemment un équivalent des valeurs définies. Les

suppositions KS2 (a) et (b) sont appelées la règle des sommes et la règle produit, respectivement,

dans la littérature (le lecteur notera à nouveau que, en opposition à la prémisse implicite de von

Neumann, ces règles relient de manière non triviale les valeurs des observables compatibles

seulement). Les deux sont une conséquence du principe appelé le principe de composition

fonctionnel qui en retour est une conséquence de (parmi d'autres suppositions) la non contextualité.

La relation entre la non contextualité, la règle de composition fonctionnelle, la règle des sommes et

la règle produit sera faite explicitement plus loin.

Dans la démonstration de Kochen et Specker originale x = 3 et y = 117. Plus récemment, des

démonstrations impliquant moins d'observables ont été données (parmi plusieurs autres) Peres

(1991, 1995) pour x = 3 et y = 33 et Kernaghan (1994) pour x = 4 et y = 20. La preuve de Kochen

et Specker est notoirement complexe et nous la donnerons seulement dans les grandes lignes. La

preuve de Peres établit le résultat de Kochen et Specker d'une manière directe, avec une grande

simplicité et, de plus, d'une manière intuitivement accessible puisqu'elle opère à trois dimensions.

Nous renvoyons le lecteur à Peres (1195 : 197-99). La preuve de Kernaghan établit une

contradiction à quatre dimensions. C'est un résultat plus faible, bien sûr, que le théorème de Kochen

et Specker (puisque toute contradiction à 3 dimensions est aussi une contradiction avec plus de

dimensions, mais pas l'inverse). Cependant, la preuve est tellement plus simple que nous la

présentons pour commencer. De plus, la plupart des systèmes quantiques nécessitent un grand

nombre de dimensions (et même infini). Finalement, nous expliquons un argument de Clifton

(1993) où x = 3 et y = 8 et une supposition statistique supplémentaire qui conduit à un argument du

type Kochen et Specker facile et instructif.

II.3.4.2. Un argument du type Kochen et Specker rap ide à quatre dimensions (Kernaghan) Un argument du type Kochen et Specker particulièrement facile fonctionne sur un espace de Hilbert

à quatre dimensions ( )4H . Afin d'en avoir rapidement l'essentiel, le lecteur doit accepter les deux

faits suivants :

(1) De KS2 nous pouvons dériver une contrainte sur l'assignation des valeurs des projecteurs, c'est-

à-dire que pour tout ensemble de projecteurs 1P , 2P , 3P , 4P , correspondant aux quatre valeurs

propres distinctes 1q , 2q , 3q , 4q d'un observable Q sur ( )4H , on a ce qui suit :

(VC1') ( ) ( ) ( ) ( ) 14321 =+++ PvPvPvPv , où ( )iPv = 1 ou 0 pour i = 1, 2, 3, 4 ((VC1') est une

variante de (VC1) qui sera démontrée explicitement dans la prochaine section). Cela signifie en

effet que pour tout ensemble de quatre lignes orthogonales dans ( )4H , exactement une est

assignée au nombre 1, les autres 0.

(2) Bien que l'espace de Hilbert mentionné dans le théorème, afin d'être souhaitable pour la

mécanique quantique, doit être complexe, il est suffisant, afin de montrer l'inconsistante des

affirmations KS1 et KS2, de considérer un espace de Hilbert réel de même dimension. Ainsi, au

lieu de ( )4H , nous considérons un espace de Hilbert réel ( )4R et nous traduisons VC1' pour

cette nécessité : pour tout ensemble de quatre lignes orthogonales dans ( )4R , exactement une

est assignée au nombre 1 et les autres à 0. Comme d'habitude dans la littérature, nous traduisons

tout cela en le problème de coloriage suivant : dans tout ensemble de lignes orthogonales de

( )4R , exactement une doit être colorée en blanc et les autres en noir. Cela cependant est

impossible, comme le montre immédiatement la table suivante (Kernaghan 1994) :

1,0,0,0 1,0,0,0 1,0,0,0 1,0,0,0 -1,1,1,1 -1,1,1,1 1,-1,1,1 1,1,-1,1 0,1,-1,0 0,0,1,-1 1,0,1,0

0,1,0,0 0,1,0,0 0,0,1,0 0,0,0,1 1,-1,1,1 1,1,-1,1 1,1,-1,1 1,1,1,-1 1,0,0,-1 1,-1,0,0 0,1,0,1

0,0,1,0 0,0,1,1 0,1,0,1 0,1,1,0 1,1,-1,1 1,0,1,0 0,1,1,0 0,0,1,1 1,1,1,1 1,1,1,1 1,1,-1,-1

0,0,0,1 0,0,1,-1 0,1,0,-1 0,1,-1,0 1,1,1,-1 0,1,0,-1 1,0,0,-1 1,-1,0,0 1,-1,-1,1 1,1,-1,-1 1,-1,-1,1

Il y a 4 x 11 = 44 entrées dans cette table. Ces entrées sont prises d'un ensemble de 20 lignes

(ainsi nous autorisons les répétitions). [Rappelons que pour spécifier une ligne depuis l'origine à

quatre dimensions, il suffit de donner les quatre coordonnées d'un seul point (sauf l'origine) que

la ligne contient. Par exemple "1,0,0,0" dénote la ligne unique contenant les points de

coordonnées "0,0,0,0" et "1,0,0,0", ligne qui est, bien sûr, juste "l'axe des x". Il est facile de

vérifier que toute colonne dans la table représente un ensemble de 4 lignes orthogonales

(calculez simplement le produit scalaire entre les vecteurs dans chaque colonne, ils sont

toujours zéro). Puisque le nombre de colonnes est 11, nous devons terminer avec un nombre

impair d'entrées dans la table colorées en blanc. D'un autre coté, on peut contrôler que chacune

des 20 lignes apparaissent ou bien deux fois ou quatre fois dans la table. Si nous désignons une

de ces lignes comme blanche, nous colorons un nombre pair d'entrées en blanc. Il s'ensuit que le

nombre total d'entrées dans la table colorées en blanc doit être pair, pas impair. Donc, un

coloriage de l'ensemble des 20 lignes en accord avec VC1' est impossible (notons pour la suite

que la première partie de cet argument -- l'argument pour 'impair' -- utilise seulement VC1',

tandis que le second -- l'argument pour 'pair' -- se rattache essentiellement à la non

contextualité, en supposant que les occurrences des mêmes lignes dans différentes colonnes

sont assignées au même nombre !)

II.3.4.3. L'argument de Kochen et Specker original. Préliminaires techniques La démonstration originale de Kochen et Specker opère sur un espace de Hilbert complexe à trois

dimensions ( )3H . Elle nécessite deux choses :

(1) Des ensemble de triplets de lignes qui sont orthogonales dans ( )3H .

(2) Une contrainte avec l'effet que dans tout triplet une ligne est assignée au nombre 1, les deux

autres à zéro. Les deux choses sont acquises.

Donc :

Nous considérons un opérateur arbitraire Q sur ( )3H avec trois valeurs propres distinctes 1q , 2q ,

3q , ses vecteurs propres 1q , 2q , 3q et les projecteurs 1P , 2P , 3P projetant sur les lignes

générées par ces vecteurs.

Maintenant 1P , 2P , 3P sont eux-mêmes des observables (c'est à dire que iP est "l'observable oui -

non" correspondant à la question "est-ce que le système a la valeur iq pour Q ?"). De plus, 1P , 2P ,

3P sont mutuellement compatibles, ainsi nous pouvons appliquer la règle des sommes et la règle

produit et donc dériver une contrainte sur l'assignation de valeurs :

(VC1) ( ) ( ) ( ) 1321 =++ PvPvPv , où ( )iPv = 1 ou 0 pour i = 1, 2, 3

Le choix arbitraire d'un observable Q définit de nouveaux observables 1P , 2P , 3P qui en, retour,

sélectionnent les lignes dans ( )3H . Ainsi, imposer que les observables 1P , 2P , 3P ont toutes les

valeurs signifie assigner des nombres aux lignes dans ( )3H et VC1, en particulier, signifie que

pour un triplet arbitraire de lignes orthogonales, spécifiées par le choix d'un Q arbitraire (en bref, un

triplet orthogonal dans ( )3H ), exactement une et une seule de ces lignes est assignée à 1, les autres

à 0. Maintenant, si nous introduisons différents observables compatibles Q, Q', Q",... ces

observables sélectionnent différents triplets orthogonaux dans ( )3H . La supposition (1) du

théorème de Kochen et Specker (qui est effectivement celle des valeurs définies) nous dit

maintenant que tous ces triplets ont trois valeurs et VC1 nous dit que ces valeurs doivent être pour

tout triplet exactement {1,0,0}. Ce que le théorème de Kochen et Specker nous montre est que,

pour un ensemble spécifique de triplets orthogonaux dans ( )3H , une assignation de nombres

{1,0,0} à chacun d'entre-eux est impossible. De plus la réflexion nous conduit à ce que bien que

( )3H soit complexe, il est en fait suffisant de considérer un espace de Hilbert réel à trois

dimensions ( )3R . Car nous pouvons montrer que si une assignation de valeurs en accord avec VC1

est possible sur ( )3H , alors elle est possible sur ( )3R . Inversement, si l'assignation est impossible

sur ( )3R , alors elle est impossible sur ( )3H . Ainsi, nous pouvons remplir les conditions nécessaires

pour commencer la démonstration de Kochen et Specker et en même temps réduire le problème à

( )3R . Maintenant, l'équivalent dans ( )3R , d'un triplet orthogonal dans ( )3H est, à nouveau, un

triplet arbitraire de lignes orthogonales (en bref : un triplet orthogonal dans ( )3R ). Ainsi, si le

théorème de Kochen et Specker peut montrer que, pour un ensemble spécifique de n triplets

orthogonaux dans ( )3H (où n est un nombre naturel), une assignation de nombres {1,0,0} à chacun

d'entre-eux est impossible, il est suffisant pour elles de montrer que, pour un ensemble spécifique

de n triplets orthogonaux dans ( )3R , une assignation de nombres {1,0,0} à chacun d'entre-eux est

impossible. Et c'est exactement ce qu'ils font.

On insistera cependant sur le fait qu'il n'y a pas de relation directe entre ( )3R et l'espace physique.

Le théorème de Kochen et Specker veut montrer que pour un système arbitraire en mécanique

quantique nécessitant une représentation dans un espace de Hilbert d'au moins trois dimensions,

l'assignation de valeurs en conjonction avec la condition (KS2) (règle des sommes et règle du

produit) est impossible et afin de faire cela il est suffisant de considérer l'espace ( )3R . Cet espace

( )3R , cependant, ne représente pas l'espace physique du système quantique. En particulier,

l'orthogonalité dans ( )3R ne doit pas être confondue avec l'orthogonalité dans l'espace physique.

Cela devient évident si nous prenons un exemple de système en mécanique quantique dans l'espace

physique et en même temps requérons une représentation en mécanique quantique dans ( )3H , par

exemple un système de spin 1 à une particule mesuré pour le spin. Etant donné une direction

arbitraire α dans l'espace physique et un opérateur αS représentant l'observable d'une composante

du spin dans la direction α , ( )3H est généré par les vecteurs propres de αS , c'est à dire 1−=αS ,

0=αS , 1=αS , qui sont mutuellement orthogonaux dans ( )3H . Le fait que ces trois vecteurs

correspondant à trois résultats possibles de la mesure dans une direction spatiale sont mutuellement

orthogonaux illustre le sens différent de l'orthogonalité dans ( )3H et dans l'espace physique (la

raison tient, bien sûr, dans la structure de la mécanique quantique qui représente différentes valeurs

d'un observable par différentes directions dans ( )3H .) Maintenant, si l'orthogonalité dans ( )3H

diffère de l'orthogonalité dans l'espace physique et que nous utilisons ( )3R pour prouver un résultat

sur ( )3H , alors certainement l'orthogonalité dans ( )3R n'a pas de lien direct avec l'espace physique.

Kochen et Specker eux-mêmes, dans l'abstrait, procèdent exactement de la même manière mais ils

l'illustrent avec un exemple qui établit un lien direct avec l'espace physique. Il est important de voir

ce lien mais aussi d'être clair qu'il est produit par l'exemple de Kochen et Specker et n'est pas

inhérent à leur résultat mathématique. Kochen et Specker proposent de considérer un système d'une

particule de spin 1 et la mesure du carré des composantes dans des directions orthogonales du spin

dans l'espace physique 2

xS , 2

yS , 2

zS qui sont compatibles (tandis que xS , yS , zS eux-mêmes ne le

sont pas). La mesure d'un carré d'une composante du spin détermine sa grandeur absolue mais pas

sa direction. Ici, nous dérivons une contrainte légèrement différente sur les assignations de valeur, à

nouveau en utilisant la règle des sommes et la règle produit :

(VC2) ( ) ( ) ( ) 2222 =++ zyx SvSvSv , où ( )2

αSv =1 ou 0 pour α = x , y , z

Maintenant, puisque 2

xS , 2

yS , 2

zS sont compatibles, il y a un observable O tel que 2

xS , 2

yS , 2

zS sont

tous fonctions de O. Ainsi, le choix d'un O arbitraire fixe 2

xS , 2

yS , 2

zS et puisque ces derniers

peuvent être directement associés avec des lignes mutuellement orthogonales dans ( )3H , cela fixe

aussi le choix d'un triplet orthogonal dans ( )3H . Le problème résultant est ici d'assigner {1,1,0} à

un triplet orthogonal dans ( )3H spécifié par le choix de O ou, plus directement, 2

xS , 2

yS , 2

zS . C'est

bien sûr, l'image dans un miroir de notre problème précédent d'assigner les nombres {1,0,0} à un tel

triplet et nous n'avons pas besoin de le considérer séparément.

Cependant, le choix d'un O spécifique qui sélectionne les observables 2

xS , 2

yS , 2

zS sélectionne en

même temps trois directions orthogonales dans l'espace physique, c'est-à-dire fixe un système de

coordonnées x± , y± , z± (qui défini les directions dans lesquelles les composantes carrées du

spin sont mesurées) dans l'espace physique. Ainsi, par un choix d'un observable O, il y a une

relation directe avec les directions dans ( )3H : l'orthogonalité dans ( )3H correspond maintenant à

l'orthogonalité dans l'espace physique. Le même est vrai pour ( )3R si, afin de donner un argument

pour ( )3H , nous considérons ( )3R . L'orthogonalité dans ( )3R correspond maintenant à

l'orthogonalité dans l'espace physique. Il est important de noter que cette correspondance n'est pas

nécessaire pour donner l'argument même si nous insistons sur la nécessiter de donner une

interprétation physique aux faits mathématiques purs, puisque nous avons, juste avant, vu un

exemple sans correspondance. Le point est seulement que nous pouvons concevoir un exemple tel

qu'il y a une correspondance. En particulier, nous pouvons maintenant suivre la preuve dans ( )3R

et tout au long imaginer un système dans l'espace physique, c'est à dire une particule de spin 1,

retournant trois valeurs sur la mesure de trois grandeurs physiques associées directement avec les

directions dans l'espace physique, c'est à dire ( )2xSv , ( )2ySv , ( )2zSv pour des choix arbitraires x, y, z.

La démonstration du théorème de Kochen et Specker montre alors qu'il est impossible (étant donné

les prémisses, bien sûr) d'assigner à la particule de spin 1 des valeurs pour tous ces choix

arbitraires. C'est-à-dire que l'argument de Kochen et Specker montre que (étant donné les

prémisses) une particule de spin 1 ne peut pas posséder toutes les propriétés en une fois qui

s'affichent dans différents arrangements de mesure.

Trois aspects supplémentaires qui sont devenu habituels ont besoin d'être mentionnés :

(1) Evidemment, nous pouvons spécifier sans ambiguïté toute ligne dans ( )3R depuis l'origine en

donnant juste un point contenu dedans. Le théorème de Kochen et Specker identifie donc les

lignes avec les points sur la sphère unité E. Le théorème de Kochen et Specker n'a pas besoin de

se référer à des coordonnées concrètes d'un certain point puisque leur argument est "libre de

coordonnée". Nous mentionnerons, cependant, pour l'illustration quelques fois des points

concrets et alors (a) nous utiliserons les coordonnées cartésiennes pour contrôler les relations

d'orthogonalité et (b) spécifierons les lignes par des points qui ne sont pas sur E (donc, par

exemple, le triplet de points (0,0,1), (4,1,0), (1,-4,0) est utilisé pour spécifier un triplet de lignes

orthogonales). Les deux usages sont conformes avec la littérature récente (voir par exemple

Peres (1991) et Clifton (1993)).

(2) Nous traduisons les contraintes (VC1) et (VC2) sur les assignations de valeurs en contraintes

pour le coloriage des points. Nous pouvons, en opérant sous (VC1) colorier les points en blanc

(pour "1") et noir (pour "0") ou en opérant sous (VC2) en colorant les points en blanc (pour "0")

et noir (pour "1"). Dans les deux cas les contraintes sont traduites dans le même problème de

coloriage.

(3) Le théorème de Kochen et Specker illustre les relations d'orthogonalité des lignes par des

graphes qui sont maintenant appelés diagrammes de Kochen et Specker. Dans un tel diagramme

chaque ligne (ou point spécifiant une ligne) est représentée par un nœud. Les nœuds sont joints

par des branches représentant les lignes orthogonales. Le problème de coloriage est alors traduit

en un problème de coloriage des nœuds du diagramme en blanc ou noir tel que les nœuds joints

ne peuvent pas être tous les deux blancs et où les triangles ont exactement un nœud blanc.

II.3.4.4. L'argument de Kochen et Specker original. La démonstration dans les grandes lignes La démonstration procède en deux étapes.

(1) Dans la première (et décisive) étape ils montrent que deux lignes avec des couleurs opposées ne

peuvent pas être arbitrairement proches. Ils montrent que le diagramme 1Γ décrit dans la figure

ci-dessous qui consiste en dix nœuds incluant 0a et 9a est constructible, si 0a et 9a sont

séparés par un angle θ avec ( )3/1arcsin0 ≤≤ θ .

Ce que cette étape montre est ce qui suit : il est possible de construire ce diagramme de Kochen

et Specker, c'est-à-dire de spécifier dix lignes dans ( )3R avec les relations d'orthogonalités

spécifiées dans le diagramme mais seulement si 0a et 9a sont plus proche que ( )3/1arcsin .

Considérons maintenant (pour une déduction par l'absurde) que 0a et 9a ont des couleurs

différentes. Nous colorons arbitrairement 0a en blanc et 9a en noir. La contrainte de coloriage

nous force alors à colorier le reste du diagramme comme cela est fait dans la figure ci-dessus,

mais cela conduit à 5a et 6a qui sont orthogonaux et tous les deux blancs, ce qui est interdit.

Donc, deux points plus proche que ( )3/1arcsin ne peuvent pas avoir de couleurs différentes.

Inversement, deux points de couleurs différentes ne peuvent pas être plus proche que

( )3/1arcsin .

(2) Kochen et Specker construisent maintenant un autre diagramme 2Γ assez compliqué de la

manière suivante. Ils considèrent une réalisation de 1Γ pour un angle ( )3/1arcsin18 <°=θ .

Maintenant, ils choisissent trois points orthogonaux 0p , 0q , 0r et espacent des copies

entremêlées de 1Γ entre elles de telle manière que toute instance du point 9a d'une copie de 1Γ

soit identifiée avec l'instance 0a de la copie suivante. De cette manière cinq copies entremêlées

de 1Γ sont placées entre 0p et 0q et cinq instances de 8a sont identifiées avec 0r (de même

pour 0q , 0r , et 0p , et pour 0r , 0p et 0q ). La construction elle-même confirme que 2Γ est

constructible. En espaçant cinq copies avec des angles de °= 18θ entre les instances de 0a on a

un angle de 5 x 18° = 90° qui est exactement ce qui est requit. De plus, passer d'une copie de 1Γ

à la suivante entre, disons, 0p et 0q est équivalent à une rotation de la copie autour de l'axe

passant par l'origine et 0r de 18° ce qui évidemment conserve l'orthogonalité entre les points 0a

et 9a de la copie et 0r .

Cependant, bien que 2Γ soit constructible, il n'est pas coloriable de manière consistante. Dans

la première étape nous savons qu'une copie de 1Γ avec °= 18θ force les points 0a et 9a à

avoir des couleurs identiques. Maintenant, puisque 9a dans une copie de 1Γ est égal à 0a dans

la copie suivante, 9a dans la seconde copie doit avoir la même couleur que 0a dans la

première. Par répétition de cet argument, toutes les instances de 0a doivent avoir la même

couleur. Maintenant, 0p , 0q , 0r sont identifiés avec le point 0a . Ainsi ils doivent être tous

blancs ou tous noirs - les deux cas sont inconsistants avec la contrainte de coloriage

qu'exactement l'un d'entre-eux doit être blanc.

Si des 15 copies de 1Γ utilisées dans le processus de construction de 2Γ , nous enlevons les

points qui sont identifiés ensembles, nous terminons avec 177 points différents. Ainsi, ce que le

théorème de Kochen et Specker a montré est qu'un ensemble de 117 observables ne peut pas

être assigné de manière consistante avec des valeurs en accord avec VC1 (ou de manière

équivalente avec VC2).

Notons que dans la construction de 1Γ , c'est à dire l'ensemble des 10 points formant 22 triplets

entremêlés, tous les points exceptés 9a apparaissent dans plus que un triplet. Dans 2Γ , tous les

points apparaissent dans une mutiplicité de triplets. C'est ici que la prémisse de non

contextualité est cruciale pour l'argument : nous supposons qu'un point arbitraire garde sa

valeur 1 ou 0 lorsque nous passons d'un triplet orthogonal à l'autre (c'est à dire d'un ensemble

maximal d'observables compatibles à un autre).

II.3.4.5. L'argument de Kochen et Specker statistiq ue à trois dimensions (Clifton) Finalement, nous retournons à ( )3R . Rappelons la première étape du théorème de Kochen et

Specker qui établit que deux points avec des couleurs opposées ne peuvent pas être arbitrairement

près. C'est cette première étape qui porte toute la force de l'argument. Bell l'a établit d'une manière

différente et a alors affirmé que dans une interprétation à variables cachés non contextuelles, les

points avec des couleurs opposées doivent être arbitrairement près. C'est cette première étape que

Clifton exploite dans un argument qui combine les idées de Bell et de Kochen et Specker.

Considérons le diagramme de Kochen et Specker 3Γ montré dans la figure ci-dessus qui

évidemment est une partie de 1Γ mais qui a des assignations concrètes additionnelles de huit points

satisfaisant les relations d'orthogonalité (et donc prouvant directement que 3Γ est constructible). De

nos contraintes de coloriages précédentes (les points joints ne sont pas tous les deux blancs et un

triangle a exactement un point blanc) nous voyons immédiatement que 3Γ est coloriable seulement

si les points extérieurs ne sont pas tous les deux blancs (ce qui nous forcerait, comme montré dans

la figure ci-dessus, à ce que deux points joints soient blancs, contrairement à la contrainte). De plus,

nous calculons facilement l'angle entre les deux points extérieurs comme étant ( )3/1arccos . Ainsi,

nous en concluons que si on désire colorier les huit points et que nous désirons colorer en blanc un

des points extérieurs, alors l'autre doit être noir. En prenant en compte que nous pouvons insérer un

diagramme entre toute paire de points dans ( )3R qui sont séparés par exactement l'angle

( )3/1arccos et en traduisant notre problème de coloriage en un exemple de Kochen et Specker

(contrainte VC2), nous terminons avec la contrainte VC2' :

(VC2') Si pour un système de spin 1 une certaine direction x du spin dans l'espace est assigné à la

valeur zéro, alors tout autre direction x' qui est séparée de x par un angle ( )3/1arccos doit avoir la

valeur 1 ou, en symboles : si ( ) 0=xSv alors ( ) 1=′xSv .

L'argument a jusqu'ici utilisé les conditions originales du théorème de Kochen et Specker KS1 et

KS2. Nous supposons maintenant, en plus, que toute contrainte sur les assignations de valeurs sera

visible dans les statistiques mesurées. En particulier : une assignation de valeurs dictée par une

contrainte implique que cette valeur assignée avec certitude est le résultat de toute mesure

respectant la contrainte. Ou en symboles :

(1) Si ( )[ ] 1== aAvprob et ( ) ( ) bBvaAv =⇒= , alors ( )[ ] 1== bBvprob

En dépit de l'utilisation des statistiques, ce raisonnement diffère de manière cruciale de l'argument

de von Neumann. Von Neumann avait affirmé que les relations algébriques entre valeurs se

transféraient dans les statistiques des valeurs mesurées, donc les contraintes de la mécanique

quantique sur ces statistiques auraient des contraintes sur valeurs comme une image dans un miroir,

raisonnement qui nous a conduit à dériver les contraintes sur valeur à partir des contraintes

statistiques (pour des observables arbitraires). Ici, au contraire, nous dérivons une contrainte sur

valeur indépendamment du raisonnement statistique et nous en concluons que cette contrainte est

transférée dans les statistiques mesurées.

Maintenant, VC2' et la condition statistique (1) implique : si ( )[ ] 1=xSvprob alors ( )[ ] 1=′xSvprob .

Cela contredit cependant les statistiques dérivées de la mécanique quantique pour un état où

( )[ ] 10 ==xSvprob . En fait, il y a une probabilité de 1/17 que ( ) 0=′xSv . Ainsi, dans un test,

1/17ème des particules de spin 1 violeront la contrainte.

1/17 peut ne pas sembler être un nombre impressionnant, mais si nous acceptons le raisonnement

statistique de Clifton, nous avons un argument du type Kochen et Specker entièrement valide

établissant une contradiction entre une interprétation à variables cachées de la mécanique quantique

et les prédictions de la mécanique quantique. De plus, Clifton présente un ensemble légèrement

plus complexe de 13 observables conduisant, de la même manière, à une contradiction statistique

de 1/3.

II.3.5. Le principe de composition fonctionnelle Les ingrédients clés du théorème de Kochen et Specker sont les contraintes sur les assignations des

valeurs données dans la règle des sommes et la règle produit. Elles dérivent d'un principe plus

général, appelé le principe de composition fonctionnelle. Le principe traduit le fait mathématique

que pour un opérateur hermitique A agissant sur un espace de Hilbert et une fonction arbitraire

RRf →: (où R est l'ensemble des nombres réels), nous pouvons définir ( )Af ˆ et montrer qu'il est

aussi un opérateur hermitique (donc, nous écrivons ( )^Af . Si nous supposons de plus que pour tout

opérateur hermitique il correspond un observable de la mécanique quantique, alors le principe peut

être formulé comme :

Principe de composition fonctionnelle : Soit A un opérateur hermitique associé à

l'observable A, soit RRf →: une fonction arbitraire tel que ( )^Af est un autre opérateur

hermitique et soi φ un état arbitraire. Alors ( )^Af est associé de manière unique avec un

observable ( )Af tel que :

(1) ( )( ) ( )( ) φφAvfAfv =

(nous introduisons l'état en exposant pour permettre une dépendance éventuelle des valeurs avec

l'état quantique particulier dans lequel le système est préparé). La règle des sommes et la règle

produit sont des conséquences immédiates du principe de composition fonctionnelle. Le principe de

composition fonctionnelle lui-même n'est pas dérivable du formalisme de la mécanique quantique

mais une version statistique (appelée principe de composition fonctionnelle statistique) l'est :

Principe de composition fonctionnelle statistique : étant donné A, f, φ comme défini dans

le principe de composition fonctionnelle, alors pour un nombre réel arbitraire b :

(2) ( )( )[ ] ( )( )[ ]bAvfprobbAfvprob === φφ

Mais le principe de composition fonctionnelle statistique ne peut pas seulement être dérivé du

formalisme de la mécanique quantique, il est aussi une conséquence du principe de composition

fonctionnelle. Cela peut être vu comme donnant "un argument de plausibilité pour le principe de

composition fonctionnelle " (Redhead 1987:132) : le principe de composition fonctionnelle

statistique est vrai, comme conséquence des mathématiques de la mécanique quantique. Maintenant

si le principe de composition fonctionnelle était vrai, nous pourrions dériver un principe de

composition fonctionnelle statistique et donc comprendre la partie des mathématiques de la

mécanique quantique comme étant une conséquence du principe de composition fonctionnelle.

Mais comment pouvons-nous dériver le principe de composition fonctionnelle lui-même, sinon du

principe de composition fonctionnelle statistique ? C'est une conséquence du principe de

composition fonctionnelle statistique et de trois suppositions (dont deux sont familières depuis

l'introduction) :

Réalisme des valeurs : s'il y a un nombre réel défini de manière opérationnelle α , associé à

un opérateur hermitique A et distribué de manière probabiliste selon l'algorithme statistique

de la mécanique quantique pour A , c'est-à-dire s'il existe un nombre réel β avec

( )[ ]αβ == Avprob ˆ , alors il existe un observable A avec la valeur α .

Valeurs définies : tous les observables définis pour un système de la mécanique quantique

ont des valeurs précises à tout moment.

Non contextualité : si un système de la mécanique quantique possède une propriété (valeur

d'un observable), alors il en est ainsi indépendamment de tout contexte de mesure.

Quelques commentaires sur ces conditions sont nécessaires. Premièrement, nous avons besoin

d'expliquer le contenu du réalisme des valeurs. L'algorithme statistique de la mécanique quantique

nous dit comment calculer une probabilité à partir d'un état donné, un observable donné et sa

valeur. Ici nous le comprenons comme un dispositif purement mathématique sans aucune

interprétation physique : étant donné un vecteur de l'espace de Hilbert, un opérateur et ses valeurs

propres, l'algorithme nous dit comment calculer de nouveaux nombres (qui ont les propriétés des

probabilités). En plus, par "défini de manière opérationnelle" nous voulons simplement dire

"obtenu à partir d'un nombre que nous savons indiquer une propriété réelle". Ainsi, le réalisme des

valeurs dit, en effet, que, si nous avons une propriété réelle γ (la valeur γ d'un observable G) et que nous sommes capables de construire avec γ un nouveau nombre α et que nous trouvons un

opérateur A tel que α est une valeur propre de A , alors (nous avons satisfait tout ce qui est

nécessaire pour appliquer l'algorithme statistique, donc) A représente un observable A et sa valeur

α est une propriété réelle.

Deuxièmement, concernant la non contextualité : un défaut de la non contextualité pourrait être vu

de deux manières. Ou bien la valeur d'un observable peut dépendre du contexte bien que

l'observable lui-même n'en dépend pas ou la valeur d'un observable peut dépendre du contexte car

l'observable lui-même en dépend. Nous supposerons en effet que, si la non contextualité est

valable, cela signifie que l'observable, et donc aussi sa valeur , est indépendant du contexte de

mesure, c'est-à-dire est indépendant de la manière de le mesurer. En particulier, l'indépendance du

contexte d'un observable implique qu'il y a une correspondance bijective des observables et des

opérateurs. Cette implication de la non contextualité est ce que nous utiliserons dans la dérivation

du principe de composition fonctionnelle. Inversement, l'échec de la non contextualité sera

considéré seulement comme un échec de la correspondance bijective.

Du réalisme des valeurs, des valeurs définies, de la non contextualité et du principe de composition

fonctionnelle statistique, nous pouvons dériver le principe de composition fonctionnelle comme

suit. Considérons un état arbitraire d'un système et un observable arbitraire Q. Suivant les valeurs

définies, Q possède une valeur ( ) aQv = . Donc, nous pouvons former le nombre ( )( ) bQvf = pour

une fonction arbitraire f. De ce nombre, par le principe de composition fonctionnelle statistique,

( )( )[ ] ( )( )[ ]bQfvprobbQvfprob === . Donc, nous avons, par transformation des probabilités

selon le principe de composition fonctionnelle statistique, créé un nouveau opérateur hermitique

( )^Qf et nous l'avons associé avec les deux nombres réels b et ( )( )[ ]bQvfprob = . Donc, suivant le

réalisme des valeurs, il y a un observable correspondant à ( )^Qf avec la valeur b, donc

( )( ) ( )( )QfvQvf = . Suivant la non contextualité, cet observable est unique et donc le principe de

composition fonctionnelle s'ensuit.

II.3.6. Echapper à l'argument de Kochen et Specker La section précédente éclaire quelles possibilités le théoricien des variables cachées a pour

échapper à l'argument de Kochen et Specker : rejeter un des trois prémisses qui ensemble

impliquent la règle de composition fonctionnelle (donc la règle des sommes et la règle produit).

II.3.6.1. Pas de valeurs définies en général Rappelons que les valeurs définies étaient la supposition fondamentale des interprétations à

variables cachées. Ainsi, afin d'échapper à un argument puissant contre la possibilité des

interprétations à variables cachés, si ces interprétations enlèvent leur motivation fondamentale, cela

semble ne pas avoir beaucoup de sens. Mais certains interprètes signalent qu'entre tenir à ce que

seulement les observables que la mécanique quantique prescrit ont une valeur et tenir à ce que

toutes aient une valeur, il y a une marge, c'est-à-dire proposer que plus d'observables que ceux

prescrit par la mécanique quantique, mais pas tous, ont des valeurs ("valeurs définies partielles").

Cette option des valeurs définies partielles a été utilisée par plusieurs interprétations modales et a

aussi été explorée par John Bell dans son "approche possible" de la mécanique quantique

(1987:ch.7).

Les écueils et bancs de sable des interprétations modales sont au-delà du but de cette analyse. nous

noterons juste qu'il n'est pas clair comment ces interprétations peuvent s'arranger pour toujours

sélectionner le bon ensemble d'observables supposé avoir des valeurs. "Bon ensemble" signifie ici

que l'observable réellement mesuré doit toujours être inclus (afin d'éviter le problème de la mesure)

et doit toujours rendre les statistiques de la mécanique quantique. Nous mentionnons aussi deux

résultats important qui jettent le doute sur la faisabilité des interprétations modales : premièrement,

il peut être montré que ou bien les valeurs définies partielles se réduisent à des valeurs définies

complètes ou bien le raisonnement classique sur les propriétés physiques doit être abandonné

(Clifton 1995). Deuxièmement, il est possible de dériver une sorte de théorème de Kochen et

Specker même dans certaines interprétations modales (Bacciagaluppi 1995, Clifton 1996).

II.3.6.2. Rejet du réalisme des valeurs La dérivation du principe de composition fonctionnelle consiste de manière basique en la

construction d'un observable (c'est-à-dire ( )Qf ) via un opérateur (c'est-à-dire ( )^Qf ) à partir de la

distribution de probabilité d'un nombre (c'est-à-dire ( )( )Qvf qui est en retour construit à partir d'un

autre nombre (c'est-à-dire ( )Qv ). Maintenant, au lieu de rejeter l'existence de ( )Qv dans tous les

cas (comme ci-dessus), nous pouvons rejeter que l'existence d'un nombre α et la construction de

( )^Qf conduit automatiquement à un observable, c'est-à-dire que nous rejetons le réalisme des

valeurs. Cela revient à rejeter que pour tout opérateur hermitique il y a un observable bien défini.

Maintenant, afin de formuler le réalisme des valeurs nous avons donné une lecture très réduite de

l'algorithme statistique, c'est-à-dire qu'il y a un dispositif purement mathématique pour calculer les

nombres à partir des vecteurs, opérateurs et nombres (comment pouvions nous faire autrement. Et

bien, si nous disons "tout ce qui satisfait l'algorithme statistique est un observable", nous ne

pouvons pas bien supposer qu'un opérateur, afin de remplir l'algorithme, doit être compris comme

un observable puisque cela rendrait la condition comme une conséquence triviale de l'algorithme).

Cette lecture est très artificielle et présuppose qu'un appareil d'interprétation minimal requit pour

donner un sens physique à certains opérateurs (comme Q ) peut être dissimulé des autres (comme

( )^Qf ).

De plus, il semble très peu plausible de supposer que certains opérateurs, sommes et produits des

opérateurs qui sont associés avec des observables bien définis, ne sont eux-mêmes pas associés

avec des observables bien définis, même s'ils héritent mathématiquement des valeurs exactes de

leurs termes ou facteurs. Prenons un exemple brutal, cela reviendrait à dire que demander l'énergie

d'un système est une question bien définie tandis que demander le carré de l'énergie du système de

l'est pas, même si la réponse à notre première question et par des mathématiques triviales nous

avons une réponse bien définie sous la main. Il ne semble pas y avoir de bonne raison a priori pour

justifier cette restriction. Ainsi, pour que le rejet du réalisme des valeurs soit plausible, une

proposition supplémentaire est faite : il est crucial pour l'argument de Kochen et Specker qu'un seul

opérateur soit construit à partir de différents qui sont incompatibles : ( )^Qf est identique à ( )^

Pg où

0ˆˆˆˆ ≠− PQQP . Nous supposons que seule la construction de ( )^Qf via Q, mais pas celle via P,

conduit à un observable bien défini.

Cela rend cependant automatiquement certains observables sensibles au contexte. Ainsi, cette

manière de motiver le rejet du réalisme des valeurs revient à une sorte de contextualisme qui peut

être obtenu plus facilement en rejetant directement la non contextualité et sans se battre avec

l'algorithme statistique (ce fait explique pourquoi nous n'avions pas mentionné le rejet de réalisme

des valeurs comme une option séparée dans l'introduction).

II.3.6.3. Contextualité Finalement, nous pouvons accepter les valeurs définies et le réalisme des valeurs mais rejeter que

notre construction d'un observable ( )Qf soit sans ambiguïté. Donc, nous acceptons que ( )^Qf et

( )^Pg soient mathématiquement identiques mais que physiquement ils correspondent à différents

observables puisqu'une détermination réelle de ( )( )Qfv doit procéder via la mesure de Q mais que

la détermination de ( )( )Pgv implique la mesure de P qui est incompatible avec Q. Puisque ( )( )Qfv

et ( )( )Pgv sont des résultats de différentes situations de mesure, il n'y a pas de raison de supposer

que ( )( ) ( )( )PgvQfv = . Cette manière de bloquer la démonstration de Kochen et Specker vient à

considérer ( )Qf et ( )Pg comme des observables différents (à cause de la sensibilité au contexte),

donc cela revient à rejeter la non contextualité. Il y a principalement deux manières, dans la

littérature, de motiver cette étape. Et donc, il y a deux domaines importants de contextualité à

discuter -- la contextualité causale et ontologique.

L'argument de Kochen et Specker a été présenté pour des valeurs possédées d'un système en

mécanique quantique, indépendamment de considérations sur la mesure. En effet, l'argument de la

mesure fut mentionné seulement une fois et dans la négative, dans la non contextualité. Cependant,

puisque maintenant nous considérons le rejet de la non contextualité, nous devons aussi prendre en

compte la mesure et ses complications. Une manifestation supplémentaire de notre réalisme

inoffensif (voir l'introduction) est un principe de mesure des faits : la mesure en mécanique

quantique d'un observable délivre de fait la valeur que cet observable avait immédiatement avant

l'interaction de mesure. Le principe de mesure des faits est aussi une hypothèse extrêmement

plausible des sciences naturelles. De plus, le principe de mesure des faits implique les valeurs

définies (cependant nous pourrions avoir utilisé le principe plus fort donnant un argument de

Kochen et Specker pour des résultats de mesure possibles). Considérons maintenant la motivation,

pour la théorie à variables cachées proposée, de rejeter la non contextualité. Evidemment, le but est

de sauver d'autres hypothèses, particulièrement les valeurs définies. Maintenant les valeurs définies

et la non contextualité sont des convictions réalistes indépendantes, mais la non contextualité et le

principe de mesure des faits ne sont pas aussi indépendant. En effet, nous verrons que le rejet de la

non contextualité implique le rejet du principe de mesure des faits et sa transformation en une

version de contextualité et suggère fortement l'autre (cela rend plus précises certaines remarques

obscures de l'introduction qu'il n'est pas évident de savoir à quoi ressemblerait une interprétation

acceptant le principe réaliste des valeurs définies mais rejetant le principe réaliste de la non

contextualité. Une telle interprétation violerait un troisième principe réaliste, c'est-à-dire le principe

de mesure des faits.)

Contextualité causale Un observable peut être dépendant du contexte de manière causale dans le sens qu'il est sensible de

manière causale avec la manière dont il est mesuré. L'idée de base est que la valeur observée est le

résultat de l'interaction système - appareil. Donc, en mesurant un système via une interaction avec

un appareil mesurant P peut conduire à une valeur ( )( )Pgv , et en mesurant le même système via

une interaction avec un appareil mesurant Q à une valeur différente ( )( )Qfv , bien que les deux

observables soient représentés par le même opérateur ( ) ( )^ˆ

^ˆ PgQf = . La différence dans les valeurs

est expliquée en terme de dépendance au contexte des observables : ces derniers sont dépendants du

contexte puisque les différentes manières de les réaliser physiquement influence de manière causale

le système d'une manière différente et donc change la valeur observée.

Si un interpréteur désire défendre la contextualité causale, cela implique l'abandon du principe de

mesure des faits, au moins pour les observables du type ( )Qf (observables non maximaux) :

puisque leur valeur dépend de manière causale de la présence de certains arrangements de mesure,

ces arrangements sont causalement nécessaire pour obtenir la valeur, donc la valeur ne peut par être

présente avant l'interaction système - appareil et le principe de mesure des faits est violé. Comme

avantage de la contextualité causale on peut indiquer ce qui suit. Cela n'implique pas que le statut

ontologique des propriétés physiques concernées doive changer, c'est-à-dire n'implique pas qu'elles

deviennent relationnelles. Si la propriété d'un objet est obtenue par interaction avec un autre, elle

peut encore être une propriété de l'objet lui-même après l'interaction. Cependant, l'idée de

contextualité causale est quelque fois discutée de manière critique puisqu'il y a des raisons de

penser qu'elle peut être empiriquement inadéquate (voir Shimony 1984, Stairs 1992).

La théorie de Bohm est une forme de théorie à variables cachées de ce type.

Contextualité ontologique Un observable peut être dépendant du contexte de manière ontologique dans le sens qu'afin d'être

bien définie, la spécification de l'observable "venant de" est nécessaire. Donc, afin de construire un

observable bien défini à partir de l'opérateur ( ) ( )^ˆ

^ˆ PgQf = , nous avons besoin de savoir s'il est

physiquement réalisé via l'observable P ou l'observable Q. Cette manière d'éviter le problème de

Kochen et Specker fut d'abord proposée (mais pas défendue) par Fraassen (1973). Il y a alors

plusieurs observables et types de propriétés physiques pour un opérateur ( )^Qf tout comme il y a

plusieurs manière de construire ( )^Qf à partir d'opérateurs maximaux. Sans explication

supplémentaire, cependant, cette idée conduit juste à une prolifération ad hoc des grandeurs

physiques. Un défenseur de la contextualité ontologique nous doit certainement une histoire plus

explicite sur la dépendance de l'observable ( )Qf à l'observable Q. Deux possibilités viennent à

l'esprit.

(a) Nous pouvons penser que ( )( )Qfv n'est pas juste une propriété physique consistante mais une

propriété qui dépend de manière ontologique de la présence d'une autre propriété ( )Qv

(rappelons que dans la preuve du principe de composition fonctionnelle ( )( )Qfv est construit à

partir de ( )Qv .) Mais, puisque la position ne rejette pas les questions sur les valeurs de ( )Qf

dans une situation de mesure de P comme illégitime (car elle n'est pas liée à une notion d'un

observable comme étant bien définie dans un contexte seulement !) cela semble conduire à de

nouvelles et pressantes questions, pour le moins. Comme tentative pour défendre une

interprétation à variables cachées contextuelles, celle position doit concéder que non seulement

le système a, dans la situation de mesure de Q, une valeur ( )Qv , mais aussi dans une situation

de mesure de P, qu'elle a une valeur ( )Qv′ bien que peut-être ( ) ( )QvQv ≠′ . Maintenant, les

questions pour la valeur de ( )Qf dans cette situation sont légitimes. Est-ce que ( )Qv′ donne

une autre valeur ( )( ) ( )( )QfvQfv ≠′ ? Ou est-ce que ( )Qv′ , en opposition à ( )Qv , ne conduit

pas à une valeur de ( )Qf du tout ? Aucune option ne semble plausible car ne pourrions-nous

pas, en passant d'une situation de mesure de P et Q à une autre conclure à l'existence ou pas de

( )( )Qfv ou passer de ( )( )Qfv à ( )( )Qfv′ ?

(b) Nous pouvons penser que, afin que ( )Qf soit bien défini, un arrangement de mesure plutôt

qu'un autre soit nécessaire. L'idée est une forte réminiscence de l'argument de Bohr de 1935

contre EPR et, en effet, peut être vue comme une extension appropriée des vues de Bohr sur la

mécanique quantique vers la discussion des variables cachées moderne (voir Held 1998, ch.7).

Dans cette version de la contextualité ontologique, la propriété ( )( )Qfv , plutôt que de dépendre

de la présence d'une autre propriété ( )Qv , dépend de la présence d'un appareil de mesure de Q.

Cela conduit à une position holistique : pour certaines propriétés il y a seulement un sens d'en

parler comme se rattachant à un système, si ce système est une partie d'un certain tout, système

- appareil. Ici, la question pour les valeurs de ( )Qf dans une situation de mesure de P devient

illégitime puisque la définition correcte de ( )Qf est liée à une situation de mesure de Q. Mais

des réserves s'appliquent à nouveau. Est-ce que la position conduit à ce que, en opposition à

( )Qf , Q est lui-même bien défini dans une situation de mesure de P ? Si non, Q peut

difficilement avoir une valeur (puisque le fait qu'il n'était pas bien défini était une raison pour

nier une valeur à ( )Qf ) ce qui signifie que nous ne considérons plus du tout une interprétation

à variables cachées et qu'il n'y a plus besoin de bloquer l'argument de Kochen et Specker du

tout. Si on le fait, qu'est-ce qui explique que, dans une situation de mesure de P, Q reste bien

défini mais que ( )Qf perd ce statut ?

Que devient le principe de mesure des faits dans les deux versions de la contextualité ontologique ?

Bien, si nous restons agnostiques sur comment la position pourrait être rendue plausible, nous

pouvons sauver le principe de mesure des faits, tandis que si nous choisissons la version (a) ou la

version (b) pour le rendre plausible, nous le perdons. Considérons d'abord un rejet agnostique de la

non contextualité. Le principe de mesure des faits dit que tout observable de la mécanique

quantique est mesuré de fait. Maintenant, la contextualité divise un opérateur qui peut être construit

à partir de deux opérateurs différents non commutant en deux observables et la contextualité

ontologique n'essaie pas de nous donner une théorie causale ce qui ruinerait l'indépendance causale

des valeurs mesurées à partir de l'interaction de mesure inclue dans le principe de mesure des faits.

Nous introduisons simplement une conception plus raffinée des observables mais pour ces

nouveaux observables contextuels nous pouvons encore imposer le principe de mesure des faits.

Cependant, les versions concrètes de contextualité ontologique, en tentant de motiver le phénomène

contextuel, ruinent le principe de mesure des faits. La version (a) permet à ( )Qf d'exister ou pas à

l'envi ou de changer entre différentes valeurs avec le changement de situations de mesures de P et

Q, ce qui est une violation flagrante du principe de mesure des faits. Les versions (b) ne font pas

mieux. Elles introduisent la dépendance ontologique sur le dispositif de mesure. Il est difficile de

voir ce que cela pourrait être d'autre, mais la même dépendance causale pousse à une clé

"ontologique" plus grande. A nouveau, ne pouvons nous pas, juste en faisant marche arrière vers le

dispositif de mesure, revenir à ce que ( )Qf soit bien définit, donc changer l'existence de ( )( )Qfv ?

Finalement, nous notons que les deux types de contextualité ontologique, par opposition à la

version causale, impliquent que les propriétés du système que nous pensions au début être

intrinsèque deviennent relationnelles dans le sens qu'un système peut seulement avoir ces propriétés

s'il en a certaines autres ou s'il est relié à un certain dispositif de mesure.

II.3.7. La question des tests empiriques Les fameuses violations des inégalités de Bell prescrites par la mécanique quantique ont été

confirmées expérimentalement. Est-ce que quelque chose de similaire est possible pour le théorème

Kochen et Specker ? Nous distinguons trois questions :

(1) Est-il possible de réaliser l'expérience proposée par Kochen et Specker comme motivation de

leur théorème ?

(2) Est-il possible de tester les principes conducteurs du théorème : la règle des sommes et la règle

produit, le principe de composition fonctionnelle ou la non contextualité ?

(3) Est-il possible de tester le théorème lui-même ?

(1) Kochen et Specker eux-mêmes décrivent un arrangement expérimental concret pour mesurer 2

xS , 2

yS , 2

zS sur un système d'une particule de spin 1 comme des fonctions d'un observable

maximal. Un atome d'orthohélium dans l'état triplet le plus bas est placé dans un petit champ

électrique E de symétrie rhomboïdale. Les trois observables en question peuvent alors être

mesurés comme des fonctions d'un seul observable, l'hamiltonien perturbation SH . SH , par la

géométrie de E, a trois valeurs distinctes possibles de mesures qui révèle les deux observables

de 2

xS , 2

yS , 2

zS qui ont la valeur 1 et celui qui a la valeur 0 (voir Kochen et Specker 1967 :

72/311). C'est bien sûr une proposition de réaliser une expérience mettant en évidence notre

contrainte de valeurs ci-dessus (VC2). Pouvons-nous aussi réaliser une expérience (VC1), c'est-

à-dire mesurer un ensemble de projecteurs commutant projetant sur des états propres d'un

observable maximal ? Peres (1995:200) répond à la question par l'affirmative, discute d'une

telle expérience et renvoie à Swift et Wright (1980) pour les détails sur la faisabilité technique.

Il semble, cependant, qu'en dépit d'être possible en principe, aucune expérience de ce type n'a

été réellement effectuée (voir Cabello et Garcia-Alcaine (1998) pour une discussion plus

détaillée et une autre proposition expérimentale).

(2) En conjonction avec les manifestations du principe de composition fonctionnelle, c'est-à-dire la

règle des sommes et la règle produit, la mécanique quantique contient des contraintes comme

VC1 ou VC2 qui contredisent les valeurs définies. Ainsi, fournir des exemples physiques

concrets qui peuvent, étant donné la règle des sommes et la règle produit, instancier VC1 ou

VC2, comme souligné, n'est pas suffisant. Nous devons nous demander si ces règles elles-

mêmes peuvent être empiriquement supportées. Il y a eu une discussion considérable au début

des années 80 sur cette question, explicitement a propos de savoir si la règle des sommes est

empiriquement testable, et il y a eu l'accord général que ce n'est pas le cas.

La raison en est la suivante : rappelons que la dérivation du principe de composition

fonctionnelle établit l'unicité des nouveaux observables ( )Qf seulement dans son étape finale

(via la non contextualité). C'est cette unicité qui garantit qu'un opérateur représente exactement

un observable tels que les observables (et donc leurs valeurs) dans différents contextes peuvent

être égalés. Cela permet d'établir des relations indirectes entre différents observables

incompatibles. Sans cette étape finale, le principe de composition fonctionnelle doit être vu

comme relatif à différents contextes, la relation est brisée et le principe de composition

fonctionnelle est restreint à un ensemble d'observables qui sont tous mutuellement compatibles.

Alors, en effet, le principe de composition fonctionnelle, la règle des sommes et la règle produit

deviennent trivial et les tests empiriques dans ces cas seraient une question inutile. C'est la non

contextualité qui fait tout le travail et qui doit être testée via le contrôle si pour P, Q

incompatibles tel que ( ) ( )PgQf = est-il vrai que ( )( ) ( )( )PfvQfv = . Ce test est, cependant,

impossible à cause de l'impossibilité de mesurer simultanément P et Q.

(3) Très récemment, il a été affirmé que la supposition (physiquement raisonnable) de mesures de

précisions finies crée un trou décisif dans l'argument de Kochen et Specker (voir Meyer 1999,

Kent 1999, Clifton et Kent 1999, en bref MKC). En effet, si nous considérons un argument du

type Kochen et Specker pour des valeurs mesurées, la précision infinie est cruciale pour

l'argument de deux manières différentes : (1) il est nécessaire à l'argument que les composantes

mesurées sur un triplet (ou un quadruplet) soient exactement orthogonales. (2) Il est nécessaire

(pour installer la non contextualité) que deux mesures effectuées pour obtenir le même

observable comme membre de deux ensembles maximaux différents pointent exactement dans

la même direction. Si nous relâchons cette supposition de précision infinie, des modèles à

variables cachées non contextuels peuvent être construits. Dans ces modèles, ce n'est pas

exactement les ensembles d'observables spécifiés dans l'argument de Kochen et Specker (ou les

arguments apparentés) par des points dans ( )3R , mais des ensembles spécifiés par des points

avec des composantes rationnelles (qui donnent une approximation des précédentes

arbitrairement près) qui sont coloriables, c'est-à-dire qui peuvent de manière consistante être

assignés à des valeurs non contextuelles. Ainsi l'argument ultimement tombe sur le fait que

nous ne pouvons pas empiriquement distinguer entre un "point réel" et son "approximation

rationnelle".

L'argument MKC est chaudement débattu et la question de savoir s'il est relevant ou même

destructif pour l'argument de Kochen et Specker n'est pas tranchée, ainsi nous donnerons

seulement une partie de la discussion. Une objection assez évidente est que l'argument original

de Kochen et Specker ne marche pas pour des valeurs possédées ni pour des valeurs mesurées,

ainsi l'argument MKC, qui met en avant la précision finie des mesures, rate l'objectif. Nous

pouvons ne pas être capables de tester les observables qui sont exactement orthogonaux ou

exactement semblables dans différents tests, mais ce serait une interprétation à variables

cachées étrange qui affirme que de telles composantes n'existent pas (voir Cabello 1999). Bien

sûr, une telle théorie à variables cachées non contextuelle serait immunisée contre l'argument de

Kochen et Specker, mais elle serait forcée ou bien de rejeter que pour chaque direction

d'ensemble continu de directions dans l'espace il y a un observable ou bien de rejeter qu'il y a

un ensemble continu de directions - et aucun de ces rejets ne semble très attirant.

En plus, l'argument MKC est peu satisfaisant car il exploite la précision finie de mesures réelles

seulement dans un des sens ci-dessus mais suppose une précision infinie dans l'autre. MKC

suppose, pour les observables mesurés, qu'il y a une précision finie dans le choix des différents

triplets orthogonaux tel que nous ne pouvons pas avoir, en général, exactement le même

observable deux fois comme membre de deux triplets. Cependant, MKC suppose encore la

précision infinie, c'est-à-dire l'orthogonalité exacte, dans le triplet (autrement la contrainte de

coloriage ne trouverait aucune application du tout). Il a été affirmé que ce phénomène peut être

exploité pour rejeter l'argument et réinstaller le contextualisme (voir Mermin 1999, Appleby

2000).

Finalement, il peut être montré que les probabilités quantiques varient continûment lorsque

nous changeons de direction dans ( )3R , ainsi de petites imperfections dans la sélection des

observables qui bloque l'argument (mais seulement pour les valeurs mesurées !) dans le seul cas

sera effacé en moyenne (voir Mermin 1999). Cela ne constitue en effet pas un argument

puisque dans les ensembles coloriables des observables dans les constructions MKC les

probabilités varient aussi (dans un sens) continûment. Nous pouvons cependant exploiter le

raisonnement de Mermin de la manière suivante. Reconsidérons l'ensemble de Clifton de huit

directions conduisant à une contrainte de coloriage pour les points extérieurs qui statistiquement

contredit les statistiques de la mécanique quantique par une fraction de 1/17. Maintenant, en

partant d'un sous-ensemble coloriable des directions construites par MKC, nous sommes

incapables de dériver la contrainte pour les huit points puisque ces huit points ne sont pas dans

l'ensemble. C'est-à-dire qu'en passant, dans l'ensemble coloriable, d'un triplet de lignes

mutuellement orthogonales au suivant, nous n'aurons jamais exactement les mêmes directions

mais seulement une approximation arbitrairement proche. Cependant, considérons la réponse

suivante. Supposons que les observables correspondants aux huit directions, bien que

n'appartenant pas au sous-ensemble coloriable, existent et, selon la prémisse des variables

cachées, ont tous des valeurs. Alors, nous pouvons dériver la contrainte de Clifton pour les

points extérieurs. Pour ces points extérieurs il n'est pas important qu'un éventuel test empirique

les donne exactement car l'argument de Mermin dit que, même si dans une mesure très

légèrement imparfaite nous mesurons seulement des points voisins, nous aurons à la longue une

approximation de plus en plus précise des statistiques de la mécanique quantique pour

exactement les points en question, ce qui signifie que nous aurons une approche de plus en plus

précise de 1/17 tandis que la supposition des variables cachées nécessite que nous aurions une

valeur de plus en plus précise de 0 (rappelons aussi que ce nombre peut être poussé jusqu'à 1/3

en choisissant un ensemble de 13 directions !).

Ainsi, il semble qu'aussi longtemps que nous supposons qu'il y a une quantité continue

d'observables de la mécanique quantique (correspondant aux directions continues dans l'espace

physique), des tests statistiques construis, par exemple, sur la proposition de Clifton 1993 ou

Cabello/Alcaine 1998 restent entièrement valide comme confirmations empiriques du théorème

de Kochen et Specker. Puisque ces violations statistiques du programme des variables cachées

viennent comme résultats des contradictions de la mécanique quantique, des valeurs définies,

du réalisme des valeurs et de la non contextualité d'un coté et de la mécanique quantique et

l'expérience de l'autre, les données expérimentales nous forcent encore vers le dilemme

d'écarter les valeurs définies ou le réalisme des valeurs ou la non contextualité. Comme nous

l'avons vu, rejeter le réalisme des valeurs devient en final identique à une sorte de contextualité,

donc nous avons réellement deux options : (1) écarter les valeurs définies ou pour tous les

observables interdit d'avoir des valeurs dans la représentation orthodoxe (donc écarter le

programme des variables cachées) ou pour un sous-ensemble de ces observables (comme le

font les interprétations modales). (2) Accepter une sorte de contextualité. De plus, comme les

choses semblent se présenter, le choix entre ces deux options ne semble pas pouvoir être testé

empiriquement et reste un argument purement philosophique.

II.4. Théorème de Mermin Nous aimerions discuter ici d'un théorème beaucoup plus récent découvert par N. David Mermin en

1990 qui est du même type que ceux considérés ci-dessus. Mermin fait essentiellement la même

hypothèse concernant la fonction ( )OE que Gleason et Kochen et Specker : que ( )OE doit obéir à

toutes les relations parmi les ensembles commutants d'observables. Ce théorème est plus direct

dans sa preuve et plus simple dans sa forme que ceux de Gleason et de Kochen et Specker.

Le système traité par le théorème de Mermin est celui d'une paire de particules de spin 1/2. Les

observables concernés sont les composantes x et y de ces spins et six autres observables qui sont

définis en termes de ces quatre. Nous commençons par la dérivation de l'expression

(1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 121212121 −=yyxxxyyx σσσσσσσσ

puisque cela est en réalité assez crucial pour le théorème. Pour la simplicité, nous normalisons les

valeurs propres du spin de 2/1± à 1± . Pour démontrer (1), nous utilisons la règle de commutation

pour les composantes x et y de deux particules de spin 1/2. Toute paire de tels observables associés

à différentes particules commuteront, donc nous avons ( ) ( )[ ] 0, 21 =xx σσ et ( ) ( )[ ] 0, 21 =yx σσ , par

exemple. Toute paire qui implique la même composante commutera aussi, donc nous avons ( ) ( )[ ] 0, 11 =xx σσ et ( ) ( )[ ] 0, 22 =xx σσ . Notons que la commutation de deux observables 1O , 2O implique

que 1221 OOOO = . Les paires associées à la même particule mais avec des composantes différentes

ne commutent pas mais anticommutent. Pour deux observables anticommutant 1O , 2O , il s'ensuit

que leur anti-commutateur { } 122121 , OOOOOO += est égal à zéro. Cela implique que

1221 OOOO −= . En utilisant ces règles, nous pouvons manipuler l'expression sur le coté gauche de

(1) par des échanges séquentiels du premier ( )1xσ avec l'opérateur apparaissant à sa droite. Si nous

échangeons ( )1xσ avec ( )2

yσ , ( )1yσ et ( )2

xσ , l'expression devient ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21211212

yyxxxxyy σσσσσσσσ− . Le

signe moins total résulte de l'échange avec ( )1yσ . A ce point, il est immédiat de simplifier

l'expression en utilisant le fait que le carré de toute composante du spin a la valeur 1, c'est-à-dire ( )( ) 1

2 =i

iσ . Si nous appliquons cela à l'expression en question, nous pouvons facilement voir que

l'expression entière se réduit à -1, vérifiant donc (1).

Motivé par l'expression (1), nous introduisons six observables supplémentaires

(2) { }ZYXCBA ,,,,,

Si nous groupons les observables du coté gauche de (1) par paires, nous pouvons réécrire ces

relations comme 1−=ABXY où A, B, X, Y sont définis comme

(3)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )21

21

21

21

yy

xx

xy

yx

Z

X

B

A

σσσσ

σσ

σσ

=

=

=

=

En définissant les observables C et Z comme

(4) XYZ

ABC

==

cela permet alors d'écrire (1) comme

(5) 1−=CZ

Il est important de noter que l'équation (5) est équivalente à (1), étant donné que A, B, C, X, Y, Z

sont définis comme donné ci-dessus dans (4) et (3).

Si nous examinons la première équation dans (3), nous voyons que les trois observables impliqués

sont un ensemble commutant : ( ) ( )[ ] 0, 21 =yx σσ , ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] 0,, 2111 == yxxx A σσσσ et

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] 0,, 2122 == yxyy A σσσσ . L'examen des autres équations dans (3) révèle que le même est vrai

pour eux, c'est-à-dire que les observables forment un ensemble commutant. L'application répétée

des règles de commutation révèle que les ensembles {C, A, B}, {Z, X, Y} et {C, Z} sont aussi des

ensembles commutant. Comme cela a été fait dans les théorèmes de Gleason et de Kochen et

Specker, nous considérons la question d'une fonction ( )OE sur les observables ( )1xσ , ( )1

yσ , ( )2xσ ,

( )2yσ , A, B, C, X, Y, Z qui retourne pour chaque observable sa valeur. Nous exigeons que ( )OE

satisfasse toutes les relations de contraintes sur chaque ensemble commutant des observables. Les

relations en question diffèrent de celles de Gleason et de Kochen et Specker seulement en ce

qu'elles impliquent des produits d'observables plutôt que juste des combinaisons linéaires.

Cependant, cette distinction n'est pas significative, la propriété essentielle de tous ces théorèmes est

simplement qu'elles exigent que ( )OE satisfasse les relations de contraintes pour chaque ensemble

commutant, aucune relation sur des observables non commutant n'est considérée comme des

contraintes nécessaires. Les relations en question dans cette analyse sont les équations de définition

(3), (4) et (5). Etant donné que ( )OE les satisfait, le théorème de Mermin implique que cette

fonction ne peut pas appliquer les observables sur leurs valeurs propres.

Nous allons maintenant présenter la preuve du théorème. Puisque ( ) 1±=i

jσ , pour tout i, j, les

valeurs propres de chacun des dix observables sera 1± . Cela se voit facilement pour les

observables A, B, X, Y définis par (3). Chacun d'entre eux étant le produit de deux observables

commutant dont les valeurs propres sont 1 et -1. Avec cela, il suit de même que C et Z ont chacun

des valeurs propres de 1± . Nous exigeons donc que ( )OE doit attribuer -1 ou 1 à chaque

observable. Rappelons maintenant un résultat important que nous avons vu ci-dessus : la relation

1−=CZ est équivalente à la relation (1) pourvu que les observables A, B, C, X, Y, Z soient

définis par (4) et (3).

Considérons la fonction ( )OE . Puisque l'attribution faites par cette fonction doit satisfaire toutes les

relations de commutation (5), (4) et (3), il s'ensuit qu'elle doit satisfaire aussi (1). Cependant, si

nous examinons (1), il s'ensuit qu'aucune attribution de valeurs -1 et +1 n'est possible qui satisfasse

cette équation. Cela suit car chacun des observables de spin apparaît deux fois sur le coté gauche de

(1) de telle manière que toute attribution doit donner la valeur 1 à l'expression entière alors que le

coté droit de (1) est -1. Donc, il n'y a pas de fonction ( )OE qui applique chaque observable de

l'ensemble ( )1xσ , ( )1

yσ , ( )2xσ , ( )2

yσ , A, B, C, X, Y, Z à une valeur propre si nous insistons pour que

( )OE sur tout ensemble commutant obéisse à toutes les équations de contraintes. Cela complète la

preuve du théorème de Mermin. La simplicité de l'argument et la mesure commune des spins en

physique rendent cet argument incontournable. Rappelons toutefois qu'il n'est valide que dans

l'hypothèse de non contextualité.

III. Autres théorèmes

III.1. Théorème de Leggett

III.1.1. Introduction La mécanique quantique fournit une règle précise pour calculer la probabilité que la mesure de A et

B effectuée sur deux systèmes physiques dans l'état ψ conduise aux résultats ( )BA rr , :

(1) ( )BrArBAQ BArrP PP ⊗= ψ,|,

où rP est le projecteur sur le sous-espace associé au résultat de mesure r. Pour des états intriqués,

cette formule prédit que les résultats sont corrélés, indépendamment de la distance entre les deux

dispositifs de mesure. Une explication naturelle pour les corrélations établies à distance est l'accord

préétablit : les deux particules ont quitté la source avec une certaine information commune λ , dite

variable locale, qui leur permet de calculer le résultat de chaque mesure possible. Formellement,

( )λ,Afr AA = et ( )λ,Bfr BB = . Aussi satisfaisant que cela puisse sembler, ce modèle n'arrive pas à

reproduire toutes les corrélations quantiques : c'est le célèbre résultat de John Bell testé maintenant

par un très grand nombre d'expériences. Le fait que les corrélations quantiques ne peuvent être

attribuées ni aux variables locales ni à une communication inférieure à la vitesse de la lumière est

désignée comme la non-localité quantique.

Bien que la non-localité soit une manifestation frappante de l'intrication quantique, le caractère

fondamental de cette notion n'est pas encore clair. L'essence de la mécanique quantique pourrait

être autre part. Par exemple, le non-déterminisme est une autre propriété importante de la

mécanique quantique, sans lien a priori avec la non-localité. Des théories génériques possédant à la

fois le non-déterminisme et la non-localité ont été étudiés, avec plusieurs résultats, mais il n'est pas

encore clair si une physique quantique unique en découle. Afin de progresser dans cette direction, il

est important d'apprendre quels autres modèles alternatifs sont compatibles avec la mécanique

quantique et lesquels ne le sont pas. Le théorème de Bell a écarté tous les modèles possibles à

variables locales. Nous devons passer aux modèles basés sur des variables non locales. Le premier

exemple de modèle testable à variables non locales a été proposé par Suarez et Scarani, falsifiés

dans une série d'expériences il y a quelques années. Un modèle différent fut proposé par Leggett.

Ce modèle suppose que la source émet des états quantiques produits βα ⊗ avec la densité de

probabilité ( )βαρ , et exige que les probabilités marginales soient compatibles avec de tels états :

(2) ( ) ( )∫= ααβαρArA dArP P,|

(3) ( ) ( )∫= βββαρBrB dBrP P,|

Les corrélations doivent cependant inclure certains effets non locaux, autrement ce serait un modèle

(non déterministe) à variables locales qui est déjà écarté par le théorème de Bell. Ce que Leggett a

montré est que la simple exigence de la consistance (c'est-à-dire que des probabilités négatives ne

doivent pas apparaître) contraint les corrélations possibles, même les non locales, pour satisfaire

des inégalités qui sont légèrement mais clairement violées par la mécanique quantique. Une

expérience récente a montré que les dispositifs actuels peuvent détecter cette violation en principe.

Cependant, leur falsification du modèle de Leggett est handicapée par la nécessité d'hypothèses

additionnelles car les inégalités utilisées, tout comme celles de Leggett, supposent que les données

sont collectées à partir d'une infinité de dispositifs de mesure. Ici, nous allons présenter une famille

d'inégalités qui permette de confronter le modèle de Leggett à la physique quantique avec un

nombre fini de mesures. Nous montrerons leur violation expérimentale par des paires de photons

avec une intrication de la polarisation. Nous conclurons avec ce qui doit encore être appris des

modèles à variables non locales.

III.1.2. Théorie Nous restreignons notre théorie au cas où le degré de liberté quantique étudié est un qubit (unité

d'information quantique). Nous considérons des mesures de von Neumann qui peuvent être indicées

par des vecteurs unités dans la sphère de Poincaré a→A:S et b→B . Leurs résultats seront écrit

{ }1,1, −+∈BA rr . Les états purs des particules seules peuvent aussi être indicées par des vecteurs

unités u et v dans S . Le modèle de Leggett exige que

(1) ( ) ( ) ( )∫= bavuba vu ,|,,,|, , BABA rrPdrrP ρ

avec

(2) ( ) ( )[ ]bavuvbuabavu ,,,14

1,|,, CrrrrrrP BABABA +⋅+⋅+=

Le coefficient de corrélation ( )bavu ,,,C est contraint seulement par l'exigence que (5) doit définir

une distribution de probabilité sur ( )BA rr , pour tous les choix de mesure a, b. On voit clairement la

forme de cette fonction de probabilité qui contient les probabilités locales de mesure plus le

coefficient non local C. De manière remarquable, cette contrainte est suffisante pour dériver des

inégalités qui peuvent être violées par la mécanique quantique. L'inégalité dérivée s'écrit

(3) ( ) ( ) ( ) ( )2

sin4

400 2211

ϕπ

ϕϕ −≤+++ EEEE

où les quantités ( )θjE sont définies à partir des coefficients de corrélations

(4) ( ) ( )∑=BrAr

BABA rrPrrC,

,|,, baba

comme suit. L'indice j se rapporte au plan { }0| =⋅∈ jnaa S dans la sphère de Poincaré (pour

S∈jn ) et les deux plans j = 1, 2 qui apparaissent dans (3) doivent être orthogonaux (c'est-à-dire

021 =⋅nn ). Pour chaque vecteur unité ja du plan j, définissons jjj ana ×=⊥ . ( )θjE est alors la

moyenne de ( )jjC ba , sur toutes les directions ja , avec ⊥+= jjj aab θθ sincos . C'est une

propriété problématique de l'inégalité (6) : elle peut seulement être contrôlée en effectuant un

nombre infini de mesures ou en ajoutant l'hypothèse de l'invariance par rotation des coefficients de

corrélation ( )ba,C , comme dans la preuve originale. Il est donc naturel d'essayer de remplacer la

moyenne sur tous les dispositifs possibles par une moyenne sur un ensemble discret. Cela est

obtenu par l'estimation suivante. Soit w et c deux vecteurs unités et soit NR la rotation de Nπ autour

de l'axe orthogonal à (w, c). Alors

(5) ( )NN

uRN

N

N

k

k

N2

cot11

0

π=≥⋅∑=

wc

En effet, soit ξ~ l'angle entre w et c et ( )Nππξξ mod

~2

−= , tel que [ [Nπξ ,0∈ , alors on a :

(6) ( ) NN

N

k

N

k

N

k

k

N NuNuN

k

N

kR ≥+=

+=

+=⋅ ∑∑∑−

=

−

=

−

=

ξξπξπξ cossinsin~

cos1

0

1

0

1

0

wc

comme annoncé.

En remplaçant la moyenne complète par la moyenne discrète (5) dans la démonstration de (3), on

obtient la famille suivante d'inégalités :

(7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

sin24,,0,,0,, 2122221111

ϕϕϕϕ NN

NNNN uLEEEE −≤≡+++ aaaaaa

où

(8) ( ) ( )∑−

=

=1

0

,1

,N

k

k

j

k

jj

N

j CN

E baa θ

avec ⊥+= jjj aab θθ sincos et la notation ( ) cck

jN

k R ,= (la rotation de Nπ autour de jn ). Cela

définit 2N et 4N dispositions de chaque côté. Pour un état singulet pur, la prédiction de la

mécanique quantique pour ( )ϕ,, 21 aaNL est

(9) ( ) ( )ϕϕψ cos12 +=−L

indépendamment de N et du choix de 1a , 2a puisque l'état est invariant par rotation.

L'inégalité pour N = 1 ne peut pas être violée car 01 =u . Mais déjà pour N = 2, la mécanique

quantique viole l'inégalité : cela ouvre la possibilité pour falsifier le modèle de Leggett sans

hypothèse supplémentaire. Pour ∞→N , π2→Nu : on retrouve l'inégalité (3). L'arrangement

approprié des angles de différence ϕ pour sonder une violation des inégalités (7) peut être identifié

dans la figure ci-dessous.

La plus grande violation pour un état singulet idéal se produirait pour 42

sin Nu=ϕ, c'est-à-dire à

°= 4.14ϕ pour N = 2, il croît avec N jusque °= 3.18ϕ pour ∞→N .

III.1.3. Expérience Nous commençons avec une source de conversion paramétrique traditionnelle pour des paires de

photons avec polarisation intriquée avec des fibres optiques à un seul mode à géométrie optimisée

(figure ci-dessous).

Les paires de photons intriqués sont générées par conversion paramétrique dans du bêta borate de

baryum (BBO) à partir d'un laser à argon (PL). Après compensation (CC), la lumière est collectée

derrière des filtres à interférence IF dans des fibres optiques simple mode à biréfringence

compensée (FPC). Les mesures de polarisation sont effectuées avec une combinaison de lame quart

d'onde et de filtres polarisants (PF) en face de détecteurs de photons 2,1D . La base de mesure pour

chaque bras (1, 2) est choisie par rotation des lames et des filtres polarisants d'angles 2,12,1 ,βα .

La lumière est émise par un laser à argon à 351 nm et envoyée dans un cristal de bêta borate de

baryum de 2 mm d'épaisseur pour générer des photons de 702 nm avec une distribution spectrale

gaussienne de 5 nm. Une puissance d'environ 40 mW a été choisie pour assurer à la fois l'opération

de fréquence unique du laser et pour éviter les effets de saturation des détecteurs de photons. La

collection des photons dans les fibres optiques monomodes assure une intrication raisonnement

forte de la polarisation. Dans cette configuration, il y a une visibilité des corrélations de

polarisation supérieures à 98 % (moins de 2 % de photons perdus) à la fois dans la base horizontale

- verticale et dans la base à °± 45 des filtres polarisants localisés avant les fibres. Afin d'éviter une

modulation de l'efficacité de la collection des photons avec les composants optiques due aux effets

de bords dans les lames, des éléments d'analyse de polarisation supplémentaires ont été placés

derrière les fibres.

Les mesures de polarisation pour les différentes dispositions des deux observateurs ont été réalisées

en utilisant des lames quart d'ondes, tournées par étapes avec un moteur d'angles respectifs 2,1α et

des filtres polarisants absorbants tournés d'un angle 2,1β de manière similaire avec une précision de

0.1 degré. Cette combinaison permet de projet des états de polarisation elliptique arbitraires.

Finalement, la photodétection est faite avec des diodes au silicium et les paires de photons étaient

identifiées par détection de coïncidence. Les cristaux compensateurs CC et la compensation de

biréfringence FPC a été ajustée pour être capable de détecter les paires de photons dans un état

singulet.

Après la compensation de biréfringence des fibres optiques, les expérimentateurs ont observé les

corrélations des polarisations entre les deux bras avec une visibilité de %2.05.99 ± dans la base

horizontal - vertical, %2.00.99 ± dans la base linéaire °± 45 et %2.02.98 ± dans la base de

polarisation circulaire. Les taux de comptage typiques étaient de 1s10100 − et 1s8000 − pour des

événements seuls dans les deux bras et environ 1s930 − pour les coïncidences pour des positions

orthogonales des polariseurs. Ils ont mesuré un taux de coïncidence accidentel en utilisant un

détecteur de signal avec un délai de 1s07.041.0 −± , correspondant à une fenêtre temporelle de 5 ns.

Les deux plans orthogonaux qui ont été utilisés dans la sphère de Poincaré incluaient toutes les

polarisations linéaires pour l'un et les polarisations linéaires horizontales, verticales et circulaires

pour l'autre. De cette manière, on s'attend à prendre avantage des meilleures corrélations de

polarisation dans la base "naturelle" horizontal - vertical pour le cristal de conversion. Chacun des

4N coefficients de corrélations ( )ba,C a été obtenu à partir de quatre dispositions des filtres de

polarisation via

(1) ( )babababa

bababababa

−−−−

−−−−

+++−−+

=,,,,

,,,,,

nnnn

nnnnC

à partir des quatre comptages de coïncidences ba ±± ,n obtenus pour un temps fixe d'intégration T = 4

seconde chacun. Pour N = 2, 3 et 4 les expérimentateurs ont testé l'ensemble générique complet des

8, 12 et 16 groupes de disposition, respectivement, avec chaque ( )0N

jE contenant un dispositif

d'analyse horizontal - vertical.

Un résumé des valeurs de N correspondant aux inégalités pour N = 2, 3 et 4 est montré dans la

figure ci-dessous avec les bornes correspondantes pour la théorie à variable cachées et la

mécanique quantique pour un état singulet pur.

Les déviations standard correspondantes des résultats ont été obtenues par la propagation des

erreurs habituelles en supposant une statistique de comptage poissonnienne et des fluctuations

indépendantes sur les dispositifs. Pour N = 2, nous observons déjà une violation claire de la théorie

à variables cachées. La plus grande violation qui a été trouvée est pour N = 4 avec environ 17

déviations standards au-dessus de la limite de la théorie à variables cachées. Comme attendu, la

violation expérimentale s'accroît avec le nombre croissant N. Les combinaisons sélectionnées de

( )ϕ,N violant la limite des variables cachées sont résumées dans la table ci-dessous.

N ϕ ..cachVarL σ±expL Ecart

2 12.5° 3.8911 0033.09127.3 ± 6.45σ

2 15° 3.8695 0036.08970.3 ± 7.59σ

2 17.5° 3.8479 0042.08638.3 ± 3.83σ

3 12.5° 3.8743 0027.09140.3 ± 14.77σ

3 15° 3.8493 0030.08930.3 ± 14.58σ

3 17.5° 3.8243 0034.08608.3 ± 10.67σ

3 20° 3.7995 0036.08400.3 ± 11.15σ

4 12.5° 3.8686 0024.09091.3 ± 17.01σ

4 15° 3.8424 0026.08870.3 ± 16.84σ

4 17.5° 3.8164 0029.08656.3 ± 17.11σ

Ces résultats sont bien décrits en supposant un bruit corrélé résiduel dans la préparation de l'état

singulet. La petite asymétrie de expL en ϕ est attribuée à la précision de l'alignement des

polariseurs.

Résumé et perspectives Après la motivation très générale soulignée dans l'introduction, nous nous sommes concentrés sur

le modèle de Leggett. Nous avons posé ce modèle dans un cadre plus large. La non-localité ayant

été démontrée, le seul mécanisme classique qui reste pour expliquer les corrélations quantiques est

l'échange d'un signal. Il est donc naturel de supposer, comme modèle alternatif à la mécanique

quantique, que la source produit des particules indépendantes qui plus tard échangent une certaine

forme de communication. Bien sur, cette communication devrait voyager plus vite que la lumière,

ainsi le modèle a un repère particulier dans lequel le signal se propage : ce peut être un repère

privilégié ("éther quantique"), auquel cas même cette communication n'est pas logiquement

contradictoire, ou un repère défini par les appareils de mesure, auquel cas le modèle s'écarte des

prédictions quantiques lorsque les appareils sont en mouvement relatif. Evidemment, il y a des

modèles à variables cachées non locales qui reproduisent exactement les prédictions quantiques.

Des exemples explicites sont la théorie de Bohm et, dans le cas de deux qubits, le modèle de Toner

-Bacon. Les deux sont déterministes. Maintenant, dans la théorie de Bohm, si la première particule

est mesurée en A, la première probabilité conditionnelle donnée dans l'introduction (équation (2))

est satisfaite mais l'autre relation (équation (3)) ne l'est pas. Cette remarque apporte un éclairage

nouveau sur le modèle de Leggett où les deux hypothèses sont imposées : la particule qui reçoit la

communication peut prendre cette information en compte pour produire les corrélations non

locales, mais il est également exigé qu'elle produise des résultats qui respectent les probabilités

conditionnelles attendues pour le paramètre local seul.

Comme conclusion, on doit signaler que le large but souligné dans l'introduction c'est-à-dire pointer

l'essence de la mécanique quantique, n'as pas encore été atteint. Cependant, le modèle de Leggett,

et son expérience de falsification réussie a ajouté une nouvelle pièce dans ce but.

III.2. Théorème de Malament

III.2.1. Introduction Est-ce que la mécanique quantique relativiste des champs nous dit que le monde est fait de champs

ou de particules ou de quelque chose d'autres ? Une difficulté pour répondre à cela est que les

théories physiques ne sélectionnent typiquement pas une seule ontologie privilégiée. Cela peut être

vu en mécanique classique que nous utilisons depuis environ 350 ans et pour laquelle nous n'avons

pas quelque chose comme une métaphysique canonique pour la théorie. Est-ce que les entités

fondamentales de la mécanique sont les particules ponctuelles ou les objets étendus ? Est-ce que la

théorie nous dit qu'il y a un espace pondérable absolu ou les positions sont-elles relatives aux autres

objets ? Bien sûr, une partie du problème est ici que la nature de la mécanique classique n'est pas

entièrement claire. Mais même si on fait le travail de reconstruction qui nous donnerait une théorie

formelle précise, on peut toujours fournir des interprétations métaphysiques alternatives. Cela peut

être vu comme un aspect d'un problème général d'indétermination : non seulement les théories

physiques sont typiquement indéterminées par l'évidence empirique mais les engagements

ontologiques sont typiquement indéterminés par les théories physiques qu'on adopte.

Si nos théories physiques sont en fait toujours sujettes à interprétation, alors on peut prendre le

débat sur l'ontologie propre de la théorie quantique relativiste des champs comme futile. Bien qu'il

y ait quelque chose de correct dans cette réaction, les considérations métaphysiques ont dans le

passé prouvé l'importance de comprendre et formuler clairement les théories physiques et nous

pourrions certainement utiliser toute la clarté que nous pouvons avoir en trouvant une formulation

satisfaisante de la théorique quantique relativiste des champs. Si on pouvait cuisiner une ontologie

satisfaisante pour une certaine formulation de la théorie quantique relativiste des champs, alors cela

signifierait que la formulation de la théorie pourrait être vue comme une description du monde

physique et dans le contexte de la théorie quantique relativiste des champs, cela serait quelque

chose de nouveau. Ce qui est requit ici n'est pas juste de montrer que la théorie particulière est

logiquement consistante en fournissant un modèle. Ce que nous désirons est de montrer que la

théorie pourrait décrire notre monde physique.

Une des propriétés de notre monde est que nous avons des enregistrements déterminés des mesures.

Nous effectuons des expériences, enregistrons les résultats, puis comparons ces résultats aux

prédictions de nos théories physiques. Les enregistrements des mesures ressortiraient alors quelque

peu dans l'ontologie que nous associons à notre meilleure théorie physique. En effet, sinon pour

l'existence de tels enregistrements, il serait difficile d'expliquer tout simplement la possibilité de la

science empirique.

Nous mentionnons cet aspect de notre monde car l'existence d'enregistrements déterminés est

quelque chose qu'il est difficile d'avoir en mécanique quantique non relativiste et plus difficile

encore en mécanique quantique relativiste. Le problème pour avoir des enregistrements déterminés

est le problème de la mesure quantique sur lequel nous reviendrons.

La métaphysique fait typiquement un travail réel dans les solutions au problème de la mesure

quantique en fournissant le matériel pour expliquer comment est-ce que nous avons des

enregistrements déterminés des mesures. Nous voyons cela dans des solutions au problème de la

mesure quantique en mécanique quantique non relativiste. Dans la théorie de Bohm c'est la position

toujours déterminée des particules qui fournit les enregistrements déterminés des mesures. Dans les

interprétations des mondes multiples, ce sont les faits déterminés dans le monde habité par un

observateur particulier qui détermine le contenu de ce que l'observateur enregistre.

Le point ici est juste qu'en mécanique quantique l'engagement métaphysique doit être sensible à

comment on résout le problème de la mesure. En effet, il nous semble qu'aucune métaphysique

pour la théorie quantique relativiste des champs ne peut être considérée comme satisfaisante si les

enregistrements déterminés des mesures ne ressortent pas dans la description du monde. Dit d'une

autre manière, on doit avoir une solution du problème de la mesure quantique avant d'espérer toute

interprétation spécifique de la théorie quantique relativiste des champs.

III.2.2. Le problème de la mesure Le problème de la mesure est soulevé en mécanique quantique non relativiste quand on essaie

d'expliquer comment est-ce que nous avons des enregistrements définis des mesures. Si la

dynamique unitaire déterministe (l'équation de Schrödinger dépendant du temps en mécanique

quantique non relativiste) décrit toutes les interactions physiques, alors une mesure devrait

typiquement résulter en une superposition intriquée des résultats mutuellement contradictoires des

enregistrements des appareils de mesure. Si on a un bon appareil de mesure qui commence déjà à

faire une mesure, la dynamique linéaire prédit qu'on devrait typiquement terminer avec quelque

chose comme :

(1) [ ]∑ MiSii ppa

C'est un état où (le système mesuré S a la propriété 1p et l'appareil de mesure M enregistrant que le

système mesuré a la propriété 1p ) est superposé avec (le système mesuré S a la propriété 2p et

l'appareil de mesure M enregistre que le système mesuré a la propriété 2p ), etc. Et cela ne décrit

clairement pas l'appareil de mesure M comme enregistrant un enregistrement bien défini de mesure.

Ce problème d'indétermination est résolu dans la formulation standard de von Neumann - Dirac de

la mécanique quantique non relativiste en stipulant que l'état du système mesuré se réduit

aléatoirement en un état propre de l'observable mesuré quant on fait une mesure, où la probabilité

de réduction dans l'état [ ]MkSk pp est

2

ka . C'est cette réduction de l'état qui génère un

enregistrement déterminé de la mesure ( [ ]MkSk pp est un état où S a la propriété définie kp et

M un enregistrement déterminé que S a la propriété kp ). Mais il est notoirement connu difficile de

fournir une explication de quand et comment la réduction se produit qui ne semble pas ad hoc de

manière flagrante et il est même encore plus dur de fournir une explication qui est consistante avec

la relativité.

S'il n'y a pas de réduction de l'état quantique avec la mesure, alors on peut essayer d'ajouter quelque

chose à l'état quantique habituel qui représente les valeurs des enregistrements physiques bien

définis. Ces variables dites cachées détermineraient la valeur d'un enregistrement déterminé de

mesure même quand l'état quantique habituel représente une superposition intriquée

d'enregistrements incompatibles. Mais il est également peu clair comment décrire l'évolution de ces

composantes supplémentaires de l'état physique d'une manière qui est compatible avec la relativité.

Il y a beaucoup de littérature sur ce sujet qui tente de trouver une version de la théorie de Bohm qui

est compatible avec la relativité ou essayer d'expliquer pourquoi une stricte compatibilité entre les

deux théories n'est pas nécessaire.

C'est un dogme orthodoxe qu'il est seulement possible de réconcilier la mécanique quantique et la

relativité dans le contexte d'une théorie quantique des champs, où les entités fondamentales sont

des champs plutôt que des particules. C'est la position exprimée par exemple par Steven Weinberg

ou David Malament. Bien qu'il puisse y avoir d'autres raisons pour croire que nous avons besoin

d'une théorie des champs afin de réconcilier la mécanique quantique et la relativité (et nous en

considérerons certaines brièvement), la théorie quantique relativiste des champs ne fait rien pour

résoudre le problème de la mesure quantique et il est facile de voir pourquoi.

En théorie quantique des champs relativiste, on commence en adoptant une généralisation

relativiste appropriée de la dynamique unitaire. La dynamique relativiste décrit les relations qui

doivent exister entre les champs quantiques dans un voisinage de l'espace-temps. En connaissant

comment les états des champs sont reliés, on peut faire des prédictions statistiques concernant les

corrélations attendues entre les mesures effectuées sur différentes quantités du champ. Mais la

théorie quantique relativiste des champs ne fournit pas d'explication sur comment les

enregistrements déterminés des mesures peuvent être générés.

Le problème ici est analogue au problème qui se pose en mécanique quantique non relativiste. Si

les enregistrements déterminés des mesures sont supposés être représentés par les éléments d'un

certain ensemble de configurations orthogonales des champs, alors il n'y a typiquement pas

d'enregistrement déterminé des mesures puisque (étant donné la dynamique unitaire) l'état du

champ dans une région donnée de l'espace-temps sera typiquement une superposition intriquée des

différents éléments de l'ensemble orthogonal des configurations des champs. Une réduction

appropriée des champs générera une configuration locale déterminée des champs qui peut en retour

représenter un résultat déterminé des mesures, mais une telle évolution de l'état violerait la

dynamique relativiste unitaire. Et, comme cela est habituellement présenté, la théorie quantique

relativiste des champs n'a rien à dire sur les conditions sous laquelle une telle réduction peut se

produire ni sur comment une telle évolution peut être rendue compatible avec la relativité. On peut

essayer d'ajouter de nouveaux paramètres physiques qui représentent la valeur des enregistrements

déterminés des mesures à l'état habituel de la mécanique quantique. Mais la théorie quantique

relativiste des champs n'a rien à dire sur comment faire cela ou comment on peut alors donner une

dynamique compatible avec la relativité pour les nouveaux paramètres physiques. Le fait qu'on

puisse prédire les corrélations statistiques entre les résultats des mesures mais qu'on ne puisse pas

expliquer les résultats déterminés des mesures a conduit certains (Rovelli, Mermin, par exemple) à

en conclure que la théorie quantique relativiste des champs (et plus généralement la mécanique

quantique) prédit des corrélations statistiques sans qu'il y ait quelque chose qui est en fait

statistiquement corrélé - "les corrélations sans correla" L'objection naturelle est que toute les

notions étant des corrélations statistiques entre des enregistrements des mesures nécessite

probablement qu'il y ait des enregistrements déterminés des mesures.

Ainsi, la théorie quantique relativiste des champs ne fait rien pour résoudre le problème de la

mesure. En effet, à cause des contraintes relativistes supplémentaires, l'explication pour des

enregistrements déterminés des mesures est plus difficile que jamais.

Dans ce qui suit, nous expliquerons un autre sens dans lequel la métaphysique de la mécanique

quantique relativiste doit être sensible aux considérations des mesures et pourquoi nous sommes

loin d'avoir une explication claire des mesures en mécanique quantique relativiste.

III.2.3. Théorème de Malament David Malament (1996) présenta sont théorème contre l'existence d'entités locales dans la défense

du dogme qu'une ontologie des champs (plutôt qu'une ontologie des particules) est appropriée pour

la mécanique quantique relativiste. Le théorème découle de quatre conditions apparemment faibles

que la plus part des physiciens s'attendraient à être satisfaites par la structure qu'on utiliserait pour

représenter l'état d'une seule particule en mécanique quantique relativiste. Si ces conditions sont

satisfaites, alors le théorème implique que la probabilité de trouver la particule dans toute région

spatiale fermée doit être zéro et cela viole probablement l'hypothèse qu'il y a la moindre particule

(détectable) Malament en conclut donc qu'une ontologie particule est inappropriée pour la

mécanique quantique relativiste.

Une version du théorème de Malament peut être prouvée qui s'applique aussi bien aux particules

ponctuelles qu'à des objets étendus. Nous décrirons cette version du théorème sans preuve. La

preuve de cette version du théorème est essentiellement la même que la preuve de Malament. La

seule différence est l'interprétation physique de ∆P . Le théorème de Malament se rattache au

lemme de Borchers. Le compte rendu du théorème ci-dessous et son interprétation physique suit

Malament avec quelques commentaires.

Soit M l'espace-temps de Minkowski et H un espace de Hilbert où un rayon dans H représente l'état

pur de l'objet S (un rayon pouvant être vu comme la direction d'un vecteur d'état, c'est-à-dire

l'ensemble des vecteurs d'états identiques à un facteur près, étant donnée la normalisation, cela

correspond à un seul état physique). Soit ∆P le projecteur sur H qui représente la proposition que

l'objet S serait détecté entièrement dans l'ensemble spatial ∆ si une expérience de détection était

effectuée. La mécanique quantique relativiste nécessite probablement de satisfaire au moins les

quatre conditions suivantes.

(1) Condition de covariance à la translation de la dynamique.

Pour tout vecteur a dans M et pour tout ensemble spatial ∆

( ) ( )aaa −= ∆+∆ UPUP

où ( )aa U→ est une représentation unitaire, uniformément continue dans H du groupe de

translation dans M et a+∆ est l'ensemble qui résulte de la translation de delta par le vecteur a.

Cette condition stipule que la dynamique est représentée par une famille d'opérateurs unitaires.

Plus précisément, elle dit que le projecteur qui représente la proposition que l'objet sera détecté

dans une région spatiale a+∆ peut être obtenu par une transformation unitaire qui dépend

seulement de a et du projecteur qui représente la proposition que l'objet soit détecté dans la

région ∆ . Notons que si cette condition est universellement satisfaite, alors il ne peut pas y

avoir de réduction de l'état quantique !

(2) Condition de l'énergie finie.

Pour tout vecteur de type temps vers le futur a dans M, si ( )aH est l'unique opérateur

hermitique satisfaisant

( ) ( ){ }aa itHtU −= exp,

alors le spectre de ( )aH est borné inférieurement.

( )aH est l'hamiltonien du système S. Il représente la propriété énergie du système et détermine

la dynamique unitaire (par la relation ci-dessus). Supposer que le spectre de l'hamiltonien est

borné inférieurement revient à supposer que S a un état de base (d'énergie) fini.

(3) Condition de localisation par hyperplan.

Si 1∆ et 2∆ sont des ensembles spatiaux disjoints dans le même hyperplan, alors les deux

opérateurs de localisation dans ces ensembles commutent et

01221

== ∆∆∆∆ PPPP

où 0 est l'opérateur zéro sur H.

Cette condition est supposée capturer l'intuition qu'un seul objet ne peut pas être entièrement

dans deux régions distinctes en même temps (relativement à tout repère inertiel). Cela est

probablement la partie de ce qui voudrait dire qu'il y a juste un objet spatialement étendu.

(4) Condition de localisation générale.

Si 1∆ et 2∆ sont deux ensembles spatiaux disjoints qui sont reliés spatialement (peut-être pas

dans le même hyperplan !) alors les deux opérateurs de localisation dans ces ensembles

commutent

1221 ∆∆∆∆ = PPPP

La relativité avec ce que cela signifie être un objet nécessite probablement que si un objet est

détecté entièrement dans une région spatiale, alors, puisqu'un objet ne peut pas voyager plus vite

que la lumière, il ne peut pas aussi être détecté être entièrement dans une région disjointe reliée

spatialement dans tout repère inertiel. Si cela est correct, alors on s'attend à ce que ce qui suit soit

valable.

(*) Condition d'un objet relativiste.

Pour toutes régions spatiales reliées spatialement 1∆ et 2∆ (pas seulement deux dans le

même hyperplan)

01221

== ∆∆∆∆ PPPP

La condition (*) est beaucoup plus forte que la conjonction des conditions (3) et (4). L'idée derrière

la condition (4) est que même s'il était possible de détecter S entièrement dans deux régions

spatiales distinctes séparées spatialement et si la condition (3) était encore satisfaire (car les deux

détecteurs sont dans des repères inertiels différents et par conséquent 1∆ et 2∆ ne sont pas dans le

même hyperplan), alors la probabilité de détecter l'objet entièrement dans 1∆ sera au moins

statistiquement indépendante de la probabilité de le détecter entièrement dans 2∆ . C'est-à-dire

qu'en prouvant le théorème pour les conditions (3) et (4) plutôt que la condition strictement plus

forte (mais très plausible) (*) on autorise la possibilité que la détection de la particule dans une

région particulière de l'espace-temps puisse être dépendante de l'hyperplan. Bien que cela soit

certainement quelque chose que Malament désirait autoriser (car il répondait à la formulation

dépendante de l'hyperplan de Fleming de la mécanique quantique), ce n'est probablement pas une

possibilité qui inquiéterait la plus part des physiciens. Si c'est vrai, alors on peut parfaitement

remplacer les conditions (3) et (4) par la condition (*).

Le théorème est que si les conditions (1) à (4) sont satisfaites (ou les conditions (1), (2) et (*)),

alors 0=∆P pour tout ensemble spatial fermé ∆ . Cela signifie que les seuls objets étendus

possibles (ou, peut-être mieux, les seuls objets étendus détectables possibles) sont ceux avec une

extension infinie. Et cette conclusion est prise en faveur d'une ontologie des champs. Elle peut aussi

avoir de curieuses implications pour la nature de l'enregistrement des mesures en mécanique

quantique relativiste. Ou peut-être qu'avoir des enregistrements déterminés des mesures en

mécanique quantique relativiste nécessite de violer une ou plusieurs de ces quatre conditions qui

rendent le théorème possible.

III.2.4. Enregistrement des mesures Dans le sens le plus large, une bonne mesure consiste à corréler l'état d'un enregistrement avec la

propriété qui est mesurée. Le but est de produire une détection fiable et un enregistrement stable.

Cela peut être fait en terme de marqueurs d'encre sur du papier, la position finale de l'aiguille sur un

dispositif de mesure, l'état biochimique du cerveau d'un observateur ou l'arrangement des

mégalithes sur la plaine de Salisbury, mais quel que soit le médium, les enregistrements utiles des

mesures doivent être détectables (tel qu'on peut connaître la valeur de l'enregistrement), fiables (tel

qu'on peut correctement en déduire la valeur de la propriété physique que l'on désire mesurer) et

stables (tel qu'on peut faire des déductions fiables concernant l'état physique à différents moments).

De tels enregistrements de mesures fournissent l'évidence sur laquelle la science empirique est

fondée.

Considérons l'expérience simple suivante où nous testons notre habilité à frapper avec une main.

Cette expérience implique, comme pour tout, une mesure.

Le temps que cela nous prend pour taper cette phrase à une main (car nous tenons un chronomètre

dans l'autre main) jusqu'aux deux-points suivant : 41.29 secondes.

Nous sommes en effet un lent dactylographe, mais ce n'est pas la question. L'important est que nous

avons mesuré puis enregistré combien de temps cela nous a pris pour taper le fragment de phrase

ci-dessus à une main, et comme nous avons un enregistrement témoin déterminé, détectable, fiable

et stable, nous savons combien de temps cela nous prend pour taper le fragment de phrase et vous

aussi si vous avez interagit avec l'enregistrement témoin de mesure ci-dessus d'une manière

appropriée.

En mettant de coté la question de ce que peut signifier exactement un enregistrement de mesure

fiable et stable, considérons la condition de détectabilité. Pour qu'un enregistrement témoin soit

détectable, il doit probablement être une sorte de chose qu'on peut trouver. Et afin d'être la sorte de

chose qu'on peut trouver, la présence ou l'absence de l'enregistrement témoin détectable R doit

probablement être quelque chose qui peut être représenté en mécanique quantique comme un

projecteur sur une région spatiale finie. C'est-à-dire qu'il doit y avoir un projecteur ∆P qui

représente la proposition qu'il y a un enregistrement R dans la région ∆ . C'est apparemment juste

une partie de ce que cela signifie pour un enregistrement d'être détectable en mécanique quantique

relativiste.

Considérons maintenant l'enregistrement témoin de vitesse de frappe ci-dessus. Il est détectable.

Non seulement vous pouvez le trouver et le lire mais vous pouvez le trouver et le lire en un temps

fini. Si nous écartons les effets supraluminiques, alors il semble que l'enregistrement témoin détecté

doive occuper une région spatiale finie. Etant donné la manière dont ces observables sont

représentés en mécanique quantique relativiste, cela signifie qu'il doit y avoir un projecteur SR qui

représente la proposition qu'il y a un témoin de l'enregistrement 41,29 secondes dans la région S.

Le problème avec cela est que le théorème de Malament nous dit qu'il ne peut y avoir un tel

opérateur de détection de l'enregistrement. Plus spécifiquement, il nous dit que 0=∆R pour tout

ensemble fermé ∆ , ce qui signifie que la probabilité de trouver l'enregistrement témoin dans la

zone spatiale S est zéro. En effet, la probabilité de trouver l'enregistrement témoin (ci-dessus !?)

quelque part est zéro. Mais comment cela peut être s'il n'y a pas d'enregistrement témoin du tout ?

Et s'il n'y a pas d'enregistrement témoin détectable, alors comment pouvez-vous et moi savoir le

résultat de ma mesure de vitesse de frappe comme nous l'avons probablement fait ?

Une réaction naturelle serait de rejeter l'hypothèse qu'un enregistrement témoin détectable est une

entité détectable qui occupe une région spatiale finie et insister pour qu'en mécanique quantique

relativiste des champs on devrait s'attendre à ce que tout enregistrement témoin déterminé soit

représenté par la configuration déterminée d'un certain champ non borné. Remercions Rob Clifton

pour sa défense de cette ligne d'argument éminemment raisonnable. Après tout, cela est

probablement de cette manière que les enregistrements devraient être représentés dans toute théorie

des champs. Un enregistrement déterminé de mesure ne pourrait-il pas être représenté, disons, dans

la configuration locale d'un champ non borné ? Bien sûr, mais il y a quelques problèmes que l'on

devrait encore résoudre afin d'avoir une explication satisfaisante des enregistrements déterminés de

mesure.

Un problème, bien sûr, est l'ancien. Etant donné la dynamique unitaire et l'interprétation standard

des états, la mécanique quantique relativiste des champs ne prédirait pas typiquement une

configuration locale déterminée des champs dans une région spatio-temporelle. Mais mettons le

problème traditionnel de la mesure de coté pour le moment et supposons que nous puissions

concocter une certaine formulation de la théorie où on a typiquement des configurations

déterminées locales des champs à la fin de la mesure.

Si on pouvait avoir d'une certaine manière des configurations déterminées locales des champs qui

sont corrélés de manière appropriée, alors on pourrait expliquer comment il est possible pour nous

de connaître notre vitesse de frappe en stipulant que notre état mental correspond à la valeur

déterminée d'une certaine quantité du champ dans une certaine région spatiale déterminée qui, en

retour, est fiablement corrélée avec notre vitesse de frappe. Ainsi, non seulement il est possible

pour une configuration locale des champs de représenter un résultat déterminé de mesure mais on

peut expliquer comment il est possible pour un observateur de connaître la valeur de

l'enregistrement en stipulant une relation appropriée entre les états mentaux et physiques. Que

pourrait-on désirer de plus ?

Il nous semble qu'on pourrait ultimement désirer expliquer comment notre mesure réelle peut

conduire à des enregistrements déterminés. Mais pour faire cela, on a besoin d'une explication de

l'enregistrement de mesure qui donne un sens aux expériences que nous effectuons en fait et le

problème est que nos enregistrements semblent être des choses spatio-temporelles. Ils semblent être

la sorte de chose qui ont une localisation. La sorte de chose qu'on peut trouver, perdre et déplacer

d'une place à l'autre. En effet, nous utilisons leurs propriétés spatio-temporelles pour individualiser

nos enregistrements. Afin de savoir à quelle vitesse nous tapons la phrase, nous devons être

capables de trouver le bon enregistrement et cela implique (apparemment) de le rechercher à la

bonne place. Il semble que lorsque nous savons où sont nos enregistrements, et cela est bien car,

étant donné la manière dont nous individualisons nos enregistrements, on doit savoir où est un

enregistrement afin de le lire et de savoir ce qu'on lit ! C'est juste un point sur notre pratique

expérimentale et nos conventions.

Ainsi il semble que nos enregistrements réels sont en fait détectables dans une région spatio-

temporelle particulière. Mais si c'est vrai, alors il doit y avoir des opérateurs de "détection d'un

enregistrement à un endroit" ∆R qui représentent la proposition qu'il y a un enregistrement dans la

région ∆ . Et s'ils sont sujet au théorème de Malament, alors nous avons une énigme : ils ne peuvent

apparemment pas être des enregistrements détectables du type que nous considérons avoir.

Cela est particulièrement énigmatique quand on considère le type d'enregistrement qu'est supposé

fournir le support de la théorie quantique relativiste des champs elle-même. Ces enregistrements

sont supposés inclure des choses telle que des photographies de trajectoires des particules

fondamentales, mais s'il n'y a pas d'entités spatio-temporelles détectables alors comment pourrait-il

y avoir un enregistrement photographique des trajectoires avec une forme détectable ? La forme de

la trajectoire est supposée représenter l'évidence empirique que l'on a, mais il semble, au moins au

premier abord, qu'il ne peut pas y avoir d'entité détectable qui ont des formes déterminées étant

donné le théorème de Malament.

Bien que le théorème de Malament n'interdise pas à une entité d'avoir une position déterminée, il

semble interdire quelque chose d'avoir une position détectable. Mais les positions détectables sont

justement ce que nos enregistrements ont apparemment : ils sont typiquement individualisés par la

position, ainsi on doit être capable de trouver un enregistrement à une position pour le lire et savoir

ce qu'on lit et, étant donné nos pratiques et conventions, les enregistrements eux-mêmes sont

typiquement supposés être fait en termes de position ou de forme détectable de quelque chose.

On peut affirmer qu'on n'a pas besoin de savoir où est l'enregistrement afin d'obtenir les

corrélations appropriées afin de lire l'enregistrement ou qu'on peut savoir où est l'enregistrement et

donc obtenir les corrélations appropriées pour lire l'enregistrement sans que la position de

l'enregistrement lui-même soit détectable. Et bien qu'on puisse facilement voir comment chacune

de ces lignes d'argument marcherait, il nous semble que c'est notre pratique réelle qui rend

ultimement de tels arguments non plausibles. Si nous oublions qu'elle était notre vitesse de frappe,

alors nous avons besoin de trouver un enregistrement stable fiable et étant donné la manière dont

nous l'avons enregistré et la manière dont nous individualisons nos enregistrements, afin d'en

trouver un nous devons faire une série d'observations de détection de position : c'est seulement si

nous pouvons trouver où l'enregistrement témoin est que nous pouvons alors déterminer ce qu'il est.

La situation est rendue encore plus énigmatique par le fait que nous utilisons aussi pour traiter les

observateurs eux-mêmes comme des entités localisables afin d'avoir des prédictions empiriques

spécifiques de nos théories physiques. Considérons, par exemple, Galilée comparant le mouvement

des planètes avec les prédictions théoriques. Que lui, l'observateur, a une position relative

spécifiable est nécessaire pour que la théorie fasse des prédictions empiriques et sans comparer de

telles prédictions à ce qu'il voit réellement, il ne serait jamais capable de juger des mérites

empiriques de la théorie. La localisation qu'occupe un observateur fournit à l'observateur la

perspective spatio-temporelle que nous utilisons pour expliquer pourquoi le monde apparaît de la

manière qu'il le fait à cet observateur et pas de la manière qu'il peut le faire à un autre. Nous

utilisons aussi le fait qu'un observateur occupe une localisation pour expliquer pourquoi sa

connaissance empirique a des contraintes spatio-temporelles. Si nous sommes représentés dans la

configuration d'un champ relativiste non borné, alors pourquoi est-ce nous ne connaissons pas ce

qui se passe actuellement autour d'alpha de centaure (dans notre repère inertiel - quoi qu'il puisse

être si nous n'avons pas une position totalement déterminée) ? Après tout, sur cette représentation

de nous, nous serions là maintenant. Ou, pour cette raison, pourquoi ne saurions-nous pas ce qui se

passera ici dans deux minutes ?

Si les objets spatio-temporels détectables sont incompatibles avec la mécanique quantique

relativiste, alors le défi est d'expliquer pourquoi il semble que nous et les objets physiques dont

nous avons l'accès épistémique le plus direct (nos enregistrements de mesure), sont juste de tels

objets. Notons que le problème d'expliquer comment nous aurions l'enregistrement que nous avons

sans qu'il y ait des objets spatio-temporels détectables est plus basique que le problème d'expliquer

pourquoi il y a des particules détectables ou d'autres objets étendus puisque la seule manière que

nous connaissions des autres objets spatio-temporels est via nos enregistrements de ces objets (en

termes de taches de pigments photographiques ou de figures de neurones déclenchés sur notre

rétine, etc.). Pour autant que nous puissions dire, il est possible que tous les observateurs et leurs

enregistrements soient quelque chose de représenté dans la configuration des champs; il est juste

peu clair comment faire, trouver et lire de tels enregistrements est supposer marcher en théorie

quantique relativiste des champs. Peut-être qu'on pourrait affirmer que les observateurs et leurs

enregistrements ont seulement des positions approchées et que c'est suffisant pour nous les

individualiser (et donner un sens à ce que veut dire pour la théorie d'être empiriquement adéquate

pour un observateur donné) puis affirmer qu'il n'y a rien d'analogue au théorème de Malament en

mécanique quantique relativiste qui empêche d'avoir des entités détectables qui ont seulement des

positions approximativement déterminées. Notre discours standard d'objets localisés détectables

peut alors être traduit en physique de tels objets quasi détectables et quasi localisés. Mais cela

nécessiterait une certaine explication prudente.

Mais il se pourrait bien qu'aucune de ces possibilités ne soit valide après tout. Le problème réel,

celui dont la solution des autres doit dépendre est celui que nous avons mit de coté au début de

cette section.

Bien que les théorèmes comme celui de Malament puissent être pertinents pour la morale

métaphysique qu'on devrait tirer de la mécanique quantique relativiste, que de tels théorèmes soient

valables ou pas est en soit contingent de comment résoudre le problème de la mesure quantique.

Une formulation avec réduction de la mécanique quantique, par exemple, violerait typiquement la

première condition : la condition de covariance par translation de la dynamique est une hypothèse

concernant comment les états physiques dans différentes régions de l'espace-temps sont reliés et

cela est incompatible avec la réduction de l'état quantique avec la mesure. Mais si nous pouvons

devoir violer l'hypothèse apparemment faible et évidente qui est utilisée pour prouver le théorème

de Malament afin d'avoir une solution satisfaisante du problème de la mesure, alors tous les paris

sont annulés concernant l'applicabilité du théorème des entités détectables qui habitent notre

monde. La possibilité de devoir violer une telle condition peut être prise pour illustrer combien il

est difficile de résoudre le problème de la mesure et satisfaire les contraintes relativistes.

Le résultat est que nous sommes très clairement revenus d'où nous sommes partis : on ne peut pas

espérer une conclusion métaphysique spécifique en théorie quantique relativiste des champs sans

une solution au problème de la mesure quantique et nous avons toutes les raisons de supposer que

les contraintes imposées par la relativité rendront plus difficile que jamais de trouver une solution

satisfaisante.

III.2.5. Conclusions Une résolution adéquate du problème de la mesure quantique expliquerait comment il se fait que

nous avons des enregistrements déterminés de mesure. Il a été prouvé difficile de trouver une

résolution satisfaisante au problème de la mesure dans le contexte de la mécanique quantique non

relativiste et la mécanique quantique relativiste ne fait rien pour rendre la tâche plus facile. En effet,

les contraintes imposées par la relativité rendent encore plus difficile comment terminer avec des

enregistrements physiques déterminés, détectables.

Puisqu'un engagement ontologique fait typiquement le travail dans les résolutions proposées au

problème de la mesure quantique en mécanique quantique non relativiste, il serait erroné de croire

arriver à des conclusions concernant l'ontologie correcte de la théorie quantique relativiste des

champs sans une résolution particulière du problème de la mesure à l'esprit. Ce point est rendu clair

par le fait qu'on ne peut même pas savoir si les théorèmes négatifs des entités dites locales sont

pertinent pour la théorie si on ne sait pas quoi faire du problème de la mesure quantique.

IV. Logique quantique Dans son cœur, la mécanique quantique peut être vue comme un calcul de probabilité non classique

reposant sur une logique des propositions non classique. Plus spécifiquement, en mécanique

quantique, chaque proposition, portant une probabilité, de la forme "la valeur de la quantité

physique A est dans le domaine B" est représentée par un opérateur projection sur un espace de

Hilbert H. Cela forme un réseau orthocomplémenté booléen, en particulier, non distributif. Les

états de la mécanique quantique correspondent exactement aux mesures de probabilité (définies de

manière appropriée) sur ce réseau.

Qu'allons nous faire de cela ? Certains ont affirmé que le succès empirique de la mécanique

quantique nous appelle à une révolution de la logique elle-même. Ce point de vue est associé avec

la demande d'une interprétation réaliste de la mécanique quantique, c'est-à-dire une interprétation

non fondée sur toute notion primitive de mesure. Contre cela, il y a une longue tradition

d'interprétation opérationnelle de la mécanique quantique, c'est-à-dire comme étant précisément

une théorie de la mesure. Selon ce dernier point de vue, il n'est pas surprenant qu'une "logique" des

résultats des mesures, dans un système où toutes les mesures ne sont pas compatibles, puisse être

prouvée non booléenne. En réalité, le mystère est pourquoi doit-elle avoir la structure non

booléenne particulière qu'elle a en mécanique quantique ? Une littérature substantielle a grandit

autour du programme de donner une certaine motivation indépendante pour cette structure,

idéalement, en la dérivant d'axiomes plus primitifs et plausibles gouvernant une théorie des

probabilités généralisée.

IV.1. La mécanique quantique comme un calcul des pr obabilités Il est indubitable (bien que remarquable) que l'appareil formel de la mécanique quantique se réduit

proprement à une généralisation des probabilités classiques dans laquelle le rôle joué par l'algèbre

booléenne d'événements dans cette dernière est remplacé par la "logique quantique" des opérateurs

projections sur un espace de Hilbert. De plus, l'interprétation statistique habituelle de la mécanique

quantique nous demande assez littéralement cette théorie des probabilités quantiques généralisée -

c'est-à-dire pas simplement comme un analogue formel de sa contrepartie classique mais comme

une doctrine véritable des chances. Ici, nous examinerons cette théorie des probabilités quantiques

et sa logique quantique de support.

Pour une plus grande connaissance sur les ensembles ordonnés et les réseaux, nous renvoyons à la

section IV.8 ou nous donnons un complément mathématique nécessaire à leur compréhension. Les

espaces de Hilbert sont supposés connus. Les concepts et résultats expliqués dans cette section

seront utilisés librement dans ce qui suit.

Les probabilités quantiques en bref Le formalisme probabiliste quantique, développé par von Neumann [1932], suppose que chaque

système physique est associé à un espace de Hilbert (séparable) H dont les vecteurs unités

correspondent aux états physiques possibles du système. Chaque quantité aléatoire à valeurs réelles

"observable" est représentée par un opérateur hermitique A sur H dont le spectre est l'ensemble des

valeurs possibles de A. Si u est un vecteur unité dans le domaine de A, représentant un état, alors la

valeur moyenne de l'observable représenté par A dans cet état est donnée par le produit scalaire

uu,A . Les observables représentés par deux opérateurs A et B sont commensurables si et

seulement si A et B commutent, c'est-à-dire si BAAB = .

La "logique" des projecteurs Comme mis en évidence par von Neumann, les observables à valeur [0,1] peuvent être vus comme

encodant des propositions sur l'état du système ou, pour utiliser ses mots, les propriétés du système.

Il n'est pas difficile de montrer qu'un opérateur hermitique P avec le spectre contenu dans

l'ensemble à deux éléments [0,1] doit être un projecteur; c'est-à-dire que PP =2 . De tels

opérateurs sont en correspondance bijective avec les sous-espaces fermés de H. En effet, si P est un

projecteur, son domaine est fermé et tout sous-espace fermé est le domaine d'un projecteur unique.

Si u est un vecteur unité, alors 2

, uuu PP = est la valeur moyenne de l'observable correspondant

dans l'état représenté par u. Puisque ce résultat est évalué [0,1], nous pouvons interpréter cela

comme la probabilité qu'une mesure de l'observable produise la réponse "affirmative" 1. En

particulier, la réponse affirmative aura la probabilité 1 si et seulement si uu =P , c'est-à-dire que u

est dans le domaine de P. Von Neumann en conclu que :

...la relation entre les propriétés d'un système physique d'un coté et les projecteurs de l'autre,

rendent possible une sorte de calcul logique avec eux. Cependant, par contraste avec les concepts

de la logique ordinaire, ce système est étendu par le concept de "décidabilité simultanée" qui est

caractéristique de la mécanique quantique.

[1932, p.253].

Examinons ce "calcul logique" des projecteurs. Ordonné par l'inclusion des ensembles, les sous-

espaces fermés de H forment un réseau complet dans lequel la conjonction (la plus grande borne

supérieure) d'un ensemble de sous-espaces est leur intersection tandis que leur disjonction (la plus

petite borne supérieure) est l'espace généré par leur union. Puisqu'un sous-espace fermé typique a

une infinité de sous-espaces fermés complémentaires, ce réseau n'est pas distributif; cependant, il

est orthocomplémenté par l'application

(1) ( ){ }0,| =∀∈=→ ⊥uvuv MHMM

Notons que : conjonction = "ET", disjonction = "OU", orthocomplément = "NON".

En vue de la bijection mentionnée ci-dessus entre les espaces fermés et les projecteurs, nous

pouvons imposer sur l'ensemble ( )HL la structure d'un réseau complet orthocomplémenté en

définissant QP ≤ , où ( ) ( )QranPran ⊆ et PP −=′ 1 (tel que ( ) ( )⊥=′ PranPran ). Il est immédiat

que QP ≤ juste dans le cas PQPPQ == . Plus généralement, si QPPQ = , alors QPPQ ∧= , la

conjonction de P et Q dans ( )HL , et dans ce cas leur disjonction est donnée par

PQQPQP −+=∨ .

1.1 Lemme :

Soit P et Q les opérateurs projections sur l'espace de Hilbert H. Les points suivants sont équivalents

:

a. QPPQ = .

b. Le sous réseau de ( )HL généré par P, Q, P' et Q' est booléen.

c. P, Q appartiennent à un sous-orthoréseau booléen commun de ( )HL .

En adhérant à l'idée que les observables commutant, en particulier les projecteurs, sont

simultanément mesurables, nous en concluons que les membres de "blocs" booléens (c'est-à-dire un

sous-orthoréseau booléen) de ( )HL sont simultanément testables. Cela suggère que nous pouvons

maintenir une interprétation logique classique de leur conjonction, disjonction et orthocomplément

appliqués aux projecteurs commutants.

Mesures de probabilité et théorème de Gleason La discussion précédente motive la suite. Appelons les projecteurs P et Q orthogonaux et écrivons

QP⊥ si et seulement si QP ′≤ . Notons que QP⊥ si et seulement si 0== QPPQ . Si P et Q sont

des projecteurs orthogonaux, alors leur disjonction est simplement leur somme. Traditionnellement

cela est noté P+Q. Nous notons l'application identité sur H par 1.

1.2 Définition

Une mesure de probabilité (dénombrablement additive) sur ( )HL est une application [ ]1,0: →Lµ

telle que ( ) 11 =µ et pour toute séquence de paires de projecteurs orthogonaux iP , i = 1, 2,...

( ) ( )∑=⊕i

iii PP µµ .

Voici une manière avec laquelle nous pouvons construire une mesure de probabilité sur ( )HL . Soit

u un vecteur unité de H et posons ( ) uuu ,PP =µ . Cela donne la recette habituelle de la

mécanique quantique pour la probabilité que P aie la valeur 1 dans l'état u. Notez que nous pouvons

aussi exprimer uµ comme ( ) ( )uu PPP Tr=µ où uP est le projecteur à une dimension associé au

vecteur unité u.

Plus généralement, si iµ , i = 1, 2, ... sont des mesures de probabilité sur ( )HL , alors également

toute "mixture" ou combinaison convexe ∑=i

iit µµ où 10 ≤≤ it et 1=∑i

it . Etant donné une

séquence 1u , 2u ,... de vecteurs unités, posons ii uµµ = et

ii PP u= . En formant l'opérateur

L++= 2211 PtPtW on voit que ( ) ( ) ( ) ( )WPtPPtPPtP TrTrTr 12211 =++= Lµ .

Un opérateur qu'on peut exprimer de cette manière comme une combinaison convexe de

projecteurs à une dimension est appelé un opérateur densité. Donc, tout opérateur densité W

conduit à une mesure de probabilité additive sur ( )HL . Le strict inverse suivant dû à A. Gleason

[1957] montre que la théorie des mesures de probabilité sur ( )HL est co-extensive avec la théorie

des états (mixtes) de la mécanique quantique sur H :

1.3.Théorème de Gleason

Soit H de dimension supérieure à 2. Alors toute mesure de probabilité additive sur ( )HL a la forme

( ) ( )WPP Tr=µ pour un opérateur densité sur H.

Une conséquence importante du théorème de Gleason est que ( )HL n'admet pas de mesure de

probabilité ayant seulement les valeurs 0 et 1. Pour le voir, notons que pour tout opérateur densité

W, l'application uu ,W→ est continue sur la sphère unité de H. Mais puisque cette dernière est

connexe, aucune fonction continue de peut prendre seulement les valeurs 0 et 1. Ce résultat est

parfois utilisé pour exclure la possibilité des "variables cachées", comme nous l'avons vu.

La reconstruction de la mécanique quantique A partir du simple prémisse que les "propositions expérimentales" associée à un système physique

sont encodées par les projecteurs de la manière indiquée ci-dessus, on peut reconstruire le reste de

l'appareil formel de la mécanique quantique. La première étape est, bien sûr, le théorème de

Gleason qui nous dit que les mesures de probabilité sur ( )HL correspondent à des opérateurs

densité. Il reste à retrouver, par exemple, la représentation des "observables" par des opérateurs

hermitiques et la dynamique (l'évolution unitaire). La première peut être retrouvée avec l'aide du

théorème spectral et la dernière avec l'aide d'un profond théorème de E. Wigner sur la

représentation projective des groupes. Voir aussi R. Wright [1980]. Une esquisse détaillée de cette

reconstruction (qui implique quelques mathématiques manifestement non triviales) peut être

trouvée dans le livre de Varadarajan [1985]. Le point à garder à l'esprit est que, une fois que le

squelette ( )HL de la logique quantique est en place, le reste de l'appareil statistique et dynamique

de la mécanique quantique est essentiellement fixé. Dans ce sens, alors, la mécanique quantique ou,

en tout cas, son cadre mathématique se réduit à la logique quantique et sa théorie des probabilités

attenante.

IV.2. Interprétations de la logique quantique La réduction de la mécanique quantique à la théorie des probabilités basée sur ( )HL est

mathématiquement attirante mais que nous dit-elle sur la mécanique quantique ou, en supposant

que la mécanique quantique soit une théorie physique correcte et complète, sur le monde ?

Comment, en d'autres mots, pouvons-nous interpréter la logique quantique ( )HL ? La réponse

s'avère être comment débobiner la phrase, librement utilisée ci-dessus,

(*) La valeur de l'observable A est dans le domaine B

Une lecture possible de (*) est opérationnelle : "la mesure de l'observable A conduirait (ou conduira

ou a conduit) à une valeur dans l'ensemble B". De ce point de vue, les projecteurs représentent des

affirmations sur les résultats possibles des mesures. Cela s'accorde assez mal avec le réalisme de

certains qui, esquivant la référence à la "mesure", préfèrent comprendre (*) comme une attribution

de propriété : "le système a une certaine propriété catégorie qui correspond à l'observable A ayant,

indépendamment de toute mesure, une valeur dans l'ensemble B". On doit cependant être prudent

sur la manière de comprendre cette dernière phrase : interprétée sans précaution, elle semble poser

une interprétation à variables cachées de la mécanique quantique du type exclu par le théorème de

Gleason.

Logique quantique réaliste L'interprétation des opérateurs de projection comme représentant les propriétés d'un système

physique est déjà explicite dans la Grundlagen de von Neumann. Cependant, les opérations

logiques discutées dedans s'appliquent seulement aux projecteurs commutant qui sont identifiés

avec des propositions simultanément décidables. En [1936] von Neumann et Birkhoff firent un pas

plus loin en proposant d'interpréter les rencontres et disjonctions de la théorie des réseaux des

projecteurs comme leur conjonction et disjonction qu'ils commutent ou pas. Cette proposition fait

immédiatement face au problème que le réseau ( )HL n'est pas distributif, rendant impossible de

donner à ces connecteurs "quantiques" une interprétation de vérité fonctionnelle. Intrépides, von

Neumann et Birkhoff suggérèrent que le succès empirique de la mécanique quantique comme cadre

de la physique mettait en doute la validité universelle de la loi distributive de la logique des

propositions. Leurs propos restent prudents :

Tandis que les logiciens ont habituellement supposé ces propriétés... de négation où les

dernier capables de résister à une analyse critique, l'étude de la mécanique indique les

identités distributives... comme le lien le plus faible de l'algèbre de la logique.

[1937, P.839]

Dans les années 60 et au début des années 70, cette thèse fut avancée plus agressivement par

certains auteurs incluant particulièrement David Finkelstein et Hilary Putnam qui ont affirmé que la

mécanique quantique nécessite une révolution de notre compréhension de la logique, de fait. Selon

Putnam [1968], "la logique est aussi empirique que la géométrie... Nous vivons dans un monde

avec une logique non classique."

Pour Putnam, les éléments de ( )HL représentent les propriétés catégories qu'un objet possède ou

non indépendamment de si nous le regardons ou pas. D'autant plus que cette image des propriétés

physiques est confirmée par le succès empirique de la mécanique quantique, nous devons, selon

cette vue, accepter que la manière avec laquelle les propriétés physiques s'unissent n'est pas

booléenne. Puisque la logique est, pour Putnam, essentiellement l'étude de comment les propriétés

physiques s'unissent, il en conclut que la logique classique est simplement erronée : la loi

distributive n'est pas universellement valide.

Classiquement, si S est l'ensemble des états d'un système physique, alors tout sous-ensemble de S

correspond à une propriété catégorie du système et vice versa. En mécanique quantique, l'espace

d'état est la sphère unité (projective) ( )HSS = d'un espace de Hilbert. Cependant, tous les sous-

ensembles de S ne correspondent pas à des propriétés de la mécanique quantique du système. Ces

dernières correspondent seulement aux sous-ensembles de la forme particulière MS ∩ pour M un

sous-espace linéaire fermé de H. En particulier, seuls les sous-ensembles de cette forme ont des

probabilités attribuées. Cela nous laisse deux positions. Une est de prendre seulement ces propriétés

particulières comme "réelles" (ou "physique" ou "significatives") en voyant les sous-ensembles

plus généraux de S comme ne correspondant pas du tout à des propriétés catégories réelles. L'autre

est de voir les propriétés "quantiques" comme un petit sous-ensemble de l'ensemble de toutes les

propriétés raisonnables physiques (ou tout au moins métaphysiques) mais pas nécessairement

observables du système. Selon cette dernière vue, l'ensemble de toutes les propriétés d'un système

physique est entièrement classique dans sa structure logique mais nous déclinons d'attribuer des

probabilités aux propriétés non observables.

La seconde position bien que certainement non inconsistante avec le réalisme fait une distinction

impliquant une notion "d'observation", de "mesure", de "test" ou quelque chose de cette sorte, une

notion que les réalistes ont souvent de la peine à éviter en relation avec la théorie physique

fondamentale. Bien sûr, toute description réaliste d'une théorie physique statistique telle que la

mécanique quantique devra finir par donner certaines explications de comment les mesures sont

supposées se passer. C'est-à-dire qu'elle donnera une description de quelles interactions physiques

entre "objets" et "sondes" sont des mesures et comment ces interactions provoquent l'évolution de

la sonde dans un "état de résultat" final qui correspond à, et a les mêmes probabilités, que les

résultats prédits par la théorie. C'est le célèbre problème de la mesure.

En fait, Putnam avança sa version du réalisme logique quantique comme offrant une dissolution

(radicale) du problème de la mesure : selon Putnam, le problème de la mesure (et en effet tout autre

"paradoxe" de la mécanique quantique) vient d'une application impropre de la loi distributive et

donc disparaît une fois que cela est reconnu. Cette proposition, cependant, est largement considérée

comme erronée.

Comme mentionné ci-dessus, les interprétations réalistes de la mécanique quantique doivent être

prudentes sur comment comprendre la phrase "l'observable A a une valeur dans l'ensemble B". La

proposition la plus simple et la plus traditionnelle, souvent traduite "le lien état propre - valeur

propre" (Fine, 1973), est que (*) est valable si et seulement si une mesure de A donne une valeur

dans l'ensemble B avec certitude, c'est-à-dire avec une probabilité (quantique !) 1. Bien que cette

certitude donne une interprétation réaliste de (*), elle ne fournit pas une solution au problème de la

mesure. En effet, nous pouvons l'utiliser pour donner une formulation précise de ce problème :

même si A conduit avec certitude à une valeur dans B quand elle est mesurée, à moins que l'état

quantique soit un état propre de l'observable A mesuré, le système ne possède aucune propriété

catégorie correspondant à une valeur spécifique de A dans l'ensemble B. Putnam semble supposer

qu'une interprétation réaliste de (*) consisterait à assigner à A une certaine valeur inconnue dans B

pour laquelle la mécanique quantique conduit à une probabilité non triviale. Cependant, une

tentative pour faire de telles assignations simultanément pour tous les observables est écartée par le

théorème de Gleason.

Logique quantique opérationnelle Si nous mettons de coté nos scrupules sur la "mesure" comme un terme primitif en physique

théorique et si nous acceptons une distinction de principe entre propriétés "testables" et non

testables, alors le fait que ( )HL n'est pas booléen est non remarquable et ne porte de fait aucune

implication sur la logique. La mécanique quantique est, selon cette vue, une théorie sur les

distributions statistiques possibles de résultats de certaines mesures et sa "logique" non classique

reflète le fait que tous les phénomènes observables ne peuvent pas être observés simultanément. A

cause de cela, l'ensemble des événements portant une probabilité (ou proposition) est moins riche

qu'il ne le serait en théorie classique des probabilités et donc l'ensemble des distributions

statistiques possibles moins étroitement contraints. Le fait que ces distributions de probabilité

quelque peu "non classiques" permise par cette théorie sont réellement manifestée dans la nature est

peut-être surprenant mais ne nécessite en aucune manière un profond changement de notre

compréhension de la logique ou, dans ce cas, des probabilités.

Cela est difficilement le dernier mot. En ayant accepté ce qui précède, il reste encore la question de

pourquoi la logique des résultats de mesure devrait avoir la forme très particulière ( )HL et jamais

quelque chose de plus général. Cette question entretient l'idée que la structure formelle de la

mécanique quantique peut être déterminée de manière unique par un petit nombre d'hypothèses

raisonnables, ainsi que peut-être avec certaines régularités manifestes dans les phénomènes

observés. Cette possibilité est déjà présente dans le Grundlagen de von Neumann (et aussi dans sont

travail ultérieur en géométrie continue), mais devient pour la première fois explicite, et

programmatique, dans le travail de Georges Mackey [1957, 1963]. Mackey présente une séquence

de six axiomes, encadrant une théorie des probabilités généralisée très conservative qui est à la base

de la construction d'une "logique" des propositions expérimentales ou, dans sa terminologie, ayant

la structure d'un ensemble partiellement ordonné σ -orthomodulaire. Le problème marquant, pour

Mackey, était d'expliquer pourquoi cet ensemble partiellement ordonné doit être isomorphe à ( )HL

:

Presque tout la mécanique quantique moderne est basée implicitement ou explicitement sur

l'hypothèse suivante que nous établirons comme un axiome :

Axiome VII: l'ensemble partiellement ordonné de toutes les questions en mécanique

quantique est isomorphe à l'ensemble partiellement ordonné de tous les sous-espaces

fermés d'un espace de Hilbert séparable de dimension infinie.

Cet axiome a un caractère assez différent des axiomes I à VI. Ils ont tous un certain degré

de naturel physique et de plausibilité. L'axiome VII semble entièrement ad hoc. Idéalement,

on aimerait avoir une liste d'hypothèses physiquement plausibles dont on pourrait déduire

l'axiome VII. En bref, on aimerait une liste à partir de laquelle on pourrait déduire un

ensemble de possibilités pour la structure.... toutes sauf une serait montrée inconsistante

avec des expériences appropriées.

[19, p.71-72].

Depuis l'article de Mackey, il y a une littérature technique extensive croissante explorant les

variantes de ce cadre axiomatique dans un effort de fournir l'hypothèse manquante.

IV.3. Théorie des probabilités généralisée Plutôt que de reformuler les axiomes de Mackey, nous le paraphraserons dans le contexte d'une

approche de la théorie des probabilités généralisée due à D.J. Foulis et C.H. Randall ayant, parmi

les approches plus ou moins homogènes disponibles, certains avantages de simplicité et flexibilité.

Théorie classique discrète des probabilités Il sera utile de commencer par un rappel de la théorie classique des probabilités. Dans sa

formulation la plus simple, la théorie classique des probabilités travaille avec un ensemble E

(discret) de résultats mutuellement exclusifs, comme de certaines mesures, expériences, etc., et

avec les différents poids de probabilité que l'on peut définir dessus, c'est-à-dire avec une application

[ ]1,0: →Eω de somme égale à 1 sur E.

Notons que l'ensemble ( )E∆ de tous les poids probabilités sur E est convexe, c'est-à-dire qu'étant

donné toute séquence 1ω , 2ω de poids de probabilité et toute séquence 1t , 2t ,… de nombres réels

non négatifs de somme égale à 1, la somme convexe ou "mixture" L++ 2211 ωω tt est à nouveau

un poids de probabilité. Les points extrêmes de cet ensemble convexe sont exactement les "masses

ponctuelles" ( )xδ associées avec les résultats Ex∈ :

(1) ( ) 1=yxδ si x = y et 0 autrement.

Donc ( )E∆ est un simplexe : chaque point ( )E∆∈ω est représentable de manière unique comme

une combinaison convexe des points extrêmes, c'est-à-dire

(2) ( ) ( )∑= xx δωω

Nous avons aussi besoin de rappeler le concept de variable aléatoire. Si E est un ensemble résultat

et V un certain ensemble de "valeurs" (nombres réels ou autre), une variable aléatoire à valeur dans

V est simplement une application VEf →: . L'heuristique (mais il n'y a pas besoin de la prendre

comme ça) est qu'on "mesure" une variable aléatoire f en "effectuant" l'expérience représentée par

E et en obtenant le résultat Ex∈ , enregistrant ( )xf comme la valeur mesurée. Notez que si V est

un ensemble de nombres réels ou plus généralement un sous-ensemble d'un espace vectoriel, nous

pouvons définir la valeur moyenne de f dans un état ( )E∆∈ω par :

(3) ( ) ( ) ( )∑∈

=Ex

xxffE ωω,

Espaces de tests Une direction très naturelle vers laquelle généraliser la théorie classique discrète des probabilités

est d'autoriser la multiplicité des ensembles de résultat, chacun représentant une "expérience"

différente. Pour le formaliser, définissons un espace de tests comme une collection non vide A

d'ensembles non vides E, F,... chacun construit comme un ensemble de résultats discrets comme

dans la théorie classique des probabilités. Chaque ensemble A∈E est appelé un test. L'ensemble

A∪=X de tous les résultats de tous les tests appartenant à A est appelé l'espace des résultats de

A . Notez que nous autorisons des tests distincts à se chevaucher, c'est-à-dire avoir des résultats en

commun.

Si A est un espace de tests avec un espace de résultats X, un état sur A est une application

[ ]1,0: →Xω telle que ( ) 1=∑∈Ex

xω pour tout test A∈E . Donc, un état est une attribution

consistante d'un poids de probabilité à chaque test, consistant en ce que si deux tests partagent un

résultat commun, l'état assigne à ce résultat la même probabilité qu'il soit obtenu comme le résultat

d'un test ou de l'autre (cette manière peut être vue comme une nécessité normative sur

l'identification des résultats implicite dans la structure de A : si les résultats de deux tests ne sont

pas équiprobables dans tous les états, ils ne devraient pas être identifiés). L'ensemble de tous les

états sur A est noté ( )Aω . C'est un ensemble convexe mais par contraste avec la situation en

théorie classique discrète des probabilités, ce n'est généralement pas un simplexe.

Le concept de variable aléatoire admet plusieurs généralisations dans le cas des espaces tests.

Définissons une variable aléatoire simple (à valeurs réelles) sur un espace de tests A comme une

application REf →: où E est un test dans A . Nous définissons la valeur moyenne de f dans un

état ( )Aωω ∈ de la manière évidente, c'est-à-dire comme la valeur moyenne de f par rapport au

poids de probabilité obtenu en restreignant ω à E (pourvu, bien sûr, que cette valeur moyenne

existe). On peut continuer et définir des classes plus générales de variables aléatoires en prenant des

limites adéquates (pour les détails, voir [Younce, 1987]).

En théorie classique des probabilités (et particulièrement en statistique classique), on se concentre

habituellement non sur l'ensemble de tous les poids de probabilité possibles mais sur un certain

sous-ensemble désigné (par exemple, ceux appartenant à une famille donnée de distributions). De

même, par modèle probabiliste, nous voulons dire une paire ( )∆,A consistant en un espace de tests

A et un ensemble désigné d'états ∆ inclus dans ( )Aω sur A . Nous nous référerons à A comme

l'espace de tests et à ∆ comme l'espace d'états du modèle.

Nous allons indiquer maintenant comment ce cadre peut s'accommoder à la fois du formalisme

habituel de la théorie de la mesure de la théorie classique des probabilités et du formalisme de

l'espace de Hilbert de la théorie des probabilités quantiques.

Théorie des probabilités de Kolmogorov Soit S un ensemble construit pour le moment comme l'espace d'états d'un système physique et soit

Σ un champ sigma de sous-ensembles de S. Nous pouvons voir chaque partition E de S en un sous-

ensemble dénombrable Σ -mesurable de paires disjointes comme représentant une approximation

"grossière" d'une expérience parfaite imaginaire qui révélerait l'état du système. Soit A l'espace de

tests consistant en toutes ces partitions. Notons que l'ensemble des résultats de A est l'ensemble

{ }∅−= BX des sous-ensembles non vides Σ -mesurables de S. Evidemment, les poids de

probabilité sur A correspondent exactement aux mesures de probabilité additives sur Σ .

Théorie des probabilités quantiques Soit H un espace de Hilbert complexe et soit A la collection des bases orthonormales (non

ordonnées) de H. Donc, l'espace résultat X de A∪ sera la sphère unité de H. Notez que si u est un

vecteur unité de H et A∈E une base orthonormale, nous avons

(4) 1,22

==∑∈

uuEX

X

Donc, chaque vecteur unité de H détermine un poids de probabilité sur A . La mécanique

quantique nous demande de le prendre littéralement : tout observable discret "maximal" quantique

est modélisé par une base orthonormale et tout état quantique pur par un vecteur unité exactement

de cette manière. Inversement, toute base orthonormale et tout vecteur unité correspondent à une

telle mesure et un tel état.

Le théorème de Gleason peut maintenant être invoqué pour identifier les états sur A avec les

opérateurs densité sur H : à chaque état ω dans ( )HAω correspond un unique opérateur densité W

tel que, pour tout vecteur unité x de H, ( ) ( )xxxx WPW Tr,=ω , xP étant le projecteur à une

dimension associé à x. Inversement, bien sûr, tout opérateur densité de ce type défini un état unique

par la formule ci-dessus. Nous pouvons aussi représenter de simples variables aléatoires à valeurs

réelles par des opérateurs. Chaque variable aléatoire simple f bornée conduit à un opérateur

hermitique borné ( )∑∈

=E

PfZx

xx . Le théorème spectral nous dit que tout opérateur hermitique sur

H peut être obtenu en prenant la limite appropriée d'opérateurs de cette forme.

IV.4. Logiques associées à des modèles probabiliste s A tout modèle statistique ( )∆,A est associé plusieurs ensembles partiellement ordonnés, chacun

ayant certaines affirmations pour le statut d'une "logique empirique" associée au modèle. Dans cette

section, nous en discuterons de deux : la logique dite opérationnelle ( )AΠ et le réseau de

propriétés ( )∆,AL . Sous des conditions relativement bénignes sur A , le premier est une

orthoalgèbre. Le deuxième est toujours un réseau complet et, sous des hypothèses supplémentaires

plausibles, atomique. De plus, il y a un ordre naturel préservant l'application de Π sur L. Ce n'est

pas généralement un isomorphisme d'ordre mais quand il l'est nous obtenons un réseau

orthomodulaire complet et donc nous rapprochons du réseau de projecteurs d'un espace de Hilbert.

Logiques opérationnelles Si A est un espace de tests, un A -événement est un ensemble de A -résultats qui est contenu dans

un certain test. En d'autres mots, un A -événement est simplement un événement dans le sens

classique pour un des tests compris dans A . Maintenant, si a et b sont deux A -événements, nous

disons que a et b sont orthogonaux, et nous écrivons ba⊥ , s'ils sont disjoints et que leur union est

aussi un événement. Nous disons que deux événements a et b sont complémentaires l'un de l'autre

si leur union est un test. Nous disons que deux événements a et b sont des perspectives et nous

écrivons a~b, s'ils partagent un complément commun (notons que deux tests E et F sont des

perpectives puisqu'ils sont tous les deux complémentaires à l'événement vide).

4.1. Définition

Un espace de tests A est dit algébrique si pour tout événements a, b, c de A, a~b et cb⊥ implique

ca⊥ .

Bien qu'il soit possible de construire des exemples parfaitement plausibles d'espaces de tests qui

soient non algébrique, la plus part des espaces de tests qu'on rencontre "dans la nature", incluant les

espaces de tests de Borel et quantique décrit dans la section précédente, semblent jouir de cette

propriété. Le point le plus important est que, en tant qu'axiome, l'algébricité est relativement

bénigne dans le sens que beaucoup d'espaces tests peuvent être "complétés" pour devenir

algébriques. En particulier, si tout résultat a une probabilité plus grande que 0.5, dans au moins un

des états, alors A est contenu dans un espace de tests algébriques B ayant les mêmes résultats et

les mêmes états que A (voir [Gudder, 1985] pour les détails).

Supposons maintenant que A soit algébrique. Il est facile de voir que la relation ~ de perspective

est alors une relation d'équivalence sur l'ensemble des A -événements. Plus encore, si A est

algébrique, alors ~ est une congruence pour l'opération binaire partielle de formation des unions des

événements orthogonaux : en d'autres mots, a~b et cb⊥ impliquent que cbca ∪∪ ~ pour tous les

A -événements a, b et c.

Soit ( )AΠ l'ensemble des classes d'équivalences des A -événements sous la perspective et notons

la classe d'équivalence d'un événement a par ( )ap . Nous avons alors une opération binaire partielle

naturelle sur ( )AΠ définie par ( ) ( ) ( )bapbpap ∪=⊕ pour des événements orthogonaux a et b. En

posant ( )∅≡ p0 et ( )Ep≡1 , E un élément de A , nous obtenons une structure algébrique partielle

( )( )1,0,,⊕Π A appelée la logique de A . Elle satisfait les conditions suivantes :

a. ⊕ est associatif et commutatif

- Si ( )cba ⊕⊕ est défini, alors également ( ) cba ⊕⊕ et les deux sont égaux

- si ba ⊕ est défini, alors aussi ab ⊕ et les deux sont égaux

b. aa =⊕0 pour tout La∈

c. Pour tout La∈ , il existe un unique La ∈′ avec 1=′⊕ aa

d. aa ⊕ existe seulement si a = 0

Nous pouvons maintenant définir :

4.2. Définition

Une structure ( )1,0,,⊕L satisfaisant les conditions (a) à (d) ci-dessus est appelée une orthoalgèbre.

Donc, la logique d'un espace de tests algébrique est une orthoalgèbre. On peut montrer que,

inversement, toute orthoalgèbre résulte de la logique ( )AΠ d'un espace de tests algébrique A

(Golfin [1988]). Notez que des espaces de tests non isomorphes peuvent avoir des logiques

isomorphes.

Orthocohérence Toute orthoalgèbre L est partiellement ordonnée par la relation ba ≤ si et seulement si

cab ⊕= pour un certain ac⊥ . Relativement à cet ordre, l'application aa ′→ est une

orthocomplémentation et ba⊥ si et seulement si ba ′≤ . Il peut être montré que ba ⊕ est toujours

une borne supérieure minimale pour a et b, mais elle n'est généralement pas la plus petite borne

supérieure. En effet, nous avons ce qui suit :

4.3. Lemme :

Pour une orthoalgèbre ( )1,0,,⊕L , ce qui suit est équivalent.

a. baba ∨=⊕ pour tout a, b dans L.

b. Si ba ⊕ , cb ⊕ et ac ⊕ existent, alors également cba ⊕⊕

c. L'orthoensemble partiellement ordonné ( )',,≤L est orthomodulaire, c'est-à-dire que pour tout

Lba ∈, , si ba ≤ alors ( ) aab ′∨′∧ existe et est égal à b.

Une orthoalgèbre satisfaisant la condition (b) est dite orthocohérente. En d'autres mots : une

orthoalgèbre est orthocohérente si et seulement si les sous-ensembles finis sommables de paires

sont disjonction sommables. Le lemme nous dit que toute orthoalgèbre orthocohérente est

automatiquement un ensemble partiellement ordonné orthomodulaire. Inversement, un ensemble

partiellement ordonné orthocomplémenté est orthomodulaire si et seulement si baba ∨=⊕ est

défini pour toutes les paires avec ba ′≤ et l'opération binaire partielle résultante est associative,

auquel cas la structure résultante ( )1,0,,⊕L est une orthoalgèbre orthocohérente dont l'ordre

canonique est en accord avec l'ordre donné sur L. Donc, les ensembles partiellement ordonnés

orthomodulaires (le cadre de la version de Mackey de la logique quantique) sont équivalents à des

orthoalgèbres orthocohérentes.

Certaines versions de l'orthocohérence furent prises par Mackey et plusieurs de ses successeurs

comme un axiome (il apparaît, sous une forme infinitaire, comme l'axiome V de Mackey, une

condition reliée mais plus forte apparaît dans la définition d'une algèbre booléenne partielle dans le

travail de Kochen et Specker [1965]). Cependant, il est assez facile de construire des modèles

d'espaces de tests simples ayant des interprétations parfaitement immédiates et même classiques

dont la logique n'est pas orthocohérente. Pour autant que nous le sachions, on n'a jamais donné une

raison totalement forcée pour voir l'orthocohérence comme une propriété essentielle de tout modèle

physique raisonnable. De plus, certaines constructions apparemment assez bien motivées qu'on

désire effectuer avec des espaces de tests tendent à détruire l'orthocohérence.

Réseaux de propriétés La décision d'accepter les mesures et leurs résultats comme concepts primitifs dans notre

description de systèmes physiques ne signifie pas que nous devons oublier de parler des propriétés

physiques d'un tel système. En effet, un tel discours est facilement accommodé à notre formalisme

actuel. Dans l'approche que nous avons suivie, un système physique est représenté par un modèle

probabiliste ( )∆,A et les états du système sont identifiés avec les poids de probabilité dans ∆ .

Classiquement, tout sous-ensemble Γ de l'espace d'état ( )∆,A correspond à une propriété

catégorie du système. Cependant, en mécanique quantique, et même classiquement, toutes les

propriétés ne seront pas testables (ou "physiques") (en mécanique quantique, les seuls sous-

ensembles de l'espace d'état correspondant à des sous-espaces fermés de l'espace de Hilbert sont

testables, on prend habituellement seulement, par exemple, les ensembles de Borel pour

correspondre à des propriétés testables : la différence est que les propriétés testables dans ce dernier

cas forment encore une algèbre booléenne des ensembles alors qu'ils ne le font pas dans le cas

précédent).

Une manière de structurer cette distinction est comme suit. Le support d'un ensemble d'états Γ

inclus dans ∆ est l'ensemble ( ) ( )( ){ }0| >Γ∈∃∈=Γ xXxS ωω des résultats qui sont possibles

quand la propriété Γ est obtenue. Il y a un sens dans lequel deux propriétés sont empiriquement

indistinguables si elles ont le même support : nous ne pouvons pas les distinguer par l'utilisation

d'une seule exécution d'un seul test. Nous pouvons donc désirer identifier les propriétés physiques

avec les classes de propriétés classiquement physiquement indistinguables ou, de manière

équivalente, avec leurs supports associés. Cependant, si nous voulons adhérer au programme de

représentation des propriétés physiques comme des sous-ensembles (plutôt que des classes

d'équivalence de sous-ensembles) de l'espace des états, nous pouvons faire aussi comme suit.

Définissons une application ( ) ( )∆→ PP XF : par ( ) ( ){ }JSJF ⊆∆∈= ωω | . L'application

( )( )Γ→Γ SF est alors un opérateur de fermeture sur ( )∆P et la collection des ensembles fermés

(c'est-à-dire le domaine de F) est un réseau complet d'ensembles, fermé sous l'intersection

arbitraire. Evidemment, les propriétés classiques, sous-ensembles de ∆ , ont le même support si et

seulement si elles ont la même fermeture, ainsi nous pouvons identifier les propriétés physiques

avec les sous-ensembles fermés de l'espace des états.

4.4. Définition

Le réseau de propriétés du modèle ( )∆,A est le réseau complet ( )∆= ,ALL de tous les sous-

ensembles de ( )∆,A de la forme F(J), J étant un ensemble de résultats.

Nous avons maintenant deux "logiques" différentes associées à une entité ( )∆,A avec A

algébrique : une "logique" ( )AΠ de propositions expérimentales qui est une orthoalgèbre mais

généralement pas un réseau et une "logique" ( )∆,AL de propriétés qui est un réseau complet mais

rarement orthocomplémenté d'une manière naturelle (Randall et Foulis, 1983). Les deux sont reliés

par une application naturelle [ ] L→Π: donnée par [ ] ( )pJFpp =→ où pour chaque Π∈p ,

( ){ }pxpXxJ p′≤∈= | . C'est-à-dire que pJ est l'ensemble des résultats qui sont consistants avec

p et [p] est la plus grande (c'est-à-dire la plus faible) propriété physique rendant p certain d'être

confirmé si testé.

L'application [ ]pp → préserve l'ordre. A la fois pour les modèles classiques et quantiques

considérés ci-dessus, c'est en fait un isomorphisme d'ordre. Notez que lorsque c'est le cas, Π hérite

de L la structure d'un réseau complet qui sera alors automatiquement orthomodulaire suite au

Lemme 4.3. En d'autres mots, dans de tels cas nous avons seulement une logique qui est un réseau

orthomodulaire complet. Tandis qu'il est certainement trop d'attendre que tout système physique

concevable jouisse de cette propriété, en effet nous pouvons facilement construire des modèles

élémentaires du contraire, la condition est au moins raisonnablement transparente dans sa

signification.

IV.5. Théorème de Piron Supposons que la logique et le réseau de propriétés d'un modèle soient isomorphes, tel que la

logique des propositions/propriétés soit un réseau orthomodulaire complet. La question se pose

alors : comment cela nous rapproche-t-il de la mécanique quantique, c'est-à-dire du réseau des

projecteurs L(H) d'un espace de Hilbert ?

La réponse est : sans hypothèse supplémentaire, pas beaucoup. Le réseau L(H) a plusieurs

propriétés d'ordre assez spéciales. Premièrement, il est atomique, tout élément est la disjonction

d'éléments non nuls minimaux (c'est-à-dire, des sous-espaces à une dimension). Deuxièmement, il

est irréductible, il ne peut pas être exprimé comme un produit direct non trivial de réseaux

orthomodulaires plus simples. Et finalement et le plus important, il satisfait la loi dite de

recouvrement atomique : si ( )HLp∈ est un atome et qp ≤/ , alors qp ∨ recouvre q (aucun

élément de L(H) n'est strictement entre qp ∨ et q).

Ces propriétés ne sont pas suffisantes pour capturer L(H) mais elles nous donnent le bon panier.

Soit V un espace produit scalaire sur un anneau division involutif D. Un sous-espace M de V est dit

être ⊥ -fermé si et seulement si ⊥⊥= MM où ( ){ }0,| =∈∀∈=⊥ mvEmVvM . Ordonné par

l'inclusion des ensembles, la collection L(V) de tous les sous-espaces ⊥ -fermés de V forme un

réseau atomique complet, orthocomplémenté par l'application ⊥→ MM . Un théorème de

Amemiya et Araki [1965] montre qu'un espace produit scalaire V réel, complexe ou quaternionique

avec L(V) orthomodulaire est nécessairement complet. Pour cette raison, un espace produit scalaire

V sur un anneau division involutif est appelé un espace de Hilbert généralisé si son réseau de sous-

espaces fermés L(V) est orthomodulaire. Le théorème de représentation suivant est dû à C. Piron

[1964] :

5.1. Théorème

Soit L un réseau orthomodulaire complet, atomique, irréductible satisfaisant la loi de recouvrement

atomique. Si L contient au moins 4 atomes orthogonaux, alors il existe un anneau division involutif

D et un espace produit scalaire V sur D tel que L est isomorphe à L(V).

On notera que des espaces de Hilbert généralisés ont été construits sur des anneaux divisions assez

exotiques. Donc, bien qu'il nous amène de manière tentante près de la solution, le théorème de

Piron ne nous fait pas parcourir tout le chemin vers la mécanique quantique orthodoxe.

Conditionnement et loi de recouvrement Appelons un réseau orthomodulaire complet satisfaisant les hypothèses du théorème de Piron un

réseau de Piron. Pouvons nous donner une raison générale pour supposer que le réseau de

logiques/propriétés d'un système physique (un auquel ils sont isomorphes) est un réseau de Piron ?

Ou, sinon, pouvons-nous au moins attribuer un certain contenu physique clair à ces hypothèses ?

L'atomicité de L s'ensuit si nous supposons que tout état pur représente une "propriété physique".

C'est une hypothèse forte mais son contenu semble suffisament clair. L'irréductibilité est

habituellement vue comme une hypothèse bénigne car un système réductible peut être décomposé

en parties irréductibles, le théorème de Piron s'appliquant à chacune.

La loi de recouvrement présente un problème plus délicat. Bien qu'il soit probablement prudent de

dire qu'aucun argument simple et entièrement satisfaisant n'ait été donné pour supposer sa validité

générale, Piron [1964, 1976] et d'autres (par exemple Beltrametti et Cassinelli [1981] et Guz

[1980]) ont dérivé la loi de recouvrement à partir d'hypothèses sur la manière dont les résultats des

mesures autorisent l'inférence à partir d'un état initial vers un état final. Voici un bref résumé de

comment cet argument fonctionne. Supposons qu'il y ait une certaine manière raisonnable de

définir, pour un état initial q du système, représenté par un atome du réseau logiques/propriétés L,

un état final ( )qpϕ , ou un autre atome ou peut-être 0, conditionné à la proposition p ayant été

confirmée. Différents arguments ont été fournis suggérant que le seul candidat raisonnable pour une

telle application est la projection de Sasaki LLp →:ϕ , définie par ( ) ( ) ppqqp ∧′∨=ϕ . On peut

montrer qu'un réseau orthomodulaire atomique satisfait la loi de recouvrement atomique juste

quand la projection de Sasaki projette des atomes sur des atomes ou 0. Une autre vue intéressante

de la loi de recouvrement est développée par Cohen et Svetlichny [1987].

IV.6. Représentations classiques L'éternelle question dans l'interprétation de la mécanique quantique est de savoir si oui ou non une

explication essentiellement classique est disponible, même en principe, pour les phénomènes

quantiques. La logique quantique a joué un grand rôle en mettant en forme (et en clarifiant) cette

discussion, en particulier en nous permettant d'être assez précis sur ce que nous voulons dire par

une explication classique.

Plongements classiques Supposons que nous ayons un modèle statistique ( )∆,A . Une approche très directe pour construire

une "interprétation classique" de ( )∆,A commencerait par essayer de plonger A dans un espace de

test de Borel B avec l'espoir d'alors prendre en compte les états statistiques de ∆ comme des

moyennes sur des états classiques, c'est-à-dire sans dispersion, "cachés". Donc, nous désirons

trouver un ensemble S et une application ( )SX P→ assignant à chaque résultat x de A un

ensemble ∗x inclus dans S de telle manière que pour chaque test A∈E , { }Exx ∈∗ | forme une

partition de S. Si cela peut être fait, alors chaque résultat x de A enregistre simplement le fait que

le système est dans un des états d'un certain ensemble d'états, c'est-à-dire ∗x . Soit Σ la Σ -algèbre

des ensembles générés par les ensembles de la forme { }Exx ∈∗ | , nous trouvons que chaque

mesure de probabilité µ sur Σ ramène à un état ∗µ sur A , c'est-à-dire ( ) ( )∗∗ = xx µµ . Tant que

tout état dans ∆ est de cette forme, nous pouvons affirmer avoir donné une interprétation

entièrement classique du modèle ( )∆,A .

Le candidat minimal pour S est l'ensemble de tous les états sans dispersion sur A. Poser

( ){ }1| =∈=∗ xsSsx nous donne une interprétation classique comme ci-dessus que nous

appellerons image classique de A . Toute autre interprétation classique se factorise en celle-là.

Notez, cependant, que l'application ∗→ xx est injective seulement s'il y a suffisament d'états libres

de dispersion pour séparer les différents résultats de A . Si A n'a pas d'états sans dispersion, alors

son image classique est vide. Le théorème de Gleason nous dit que c'est le cas pour les modèles de

la mécanique quantique. Donc, ce type particulier d'explication classique n'est pas disponible pour

les modèles de la mécanique quantique.

Il est quelquefois négligé que même si un espace de tests A a un ensemble séparé d'états sans

dispersion, il peut exister des états statistiques sur A qui ne peuvent pas être réalisés comme des

mixtures de ces états. L'image classique ne fournit pas d'explication pour de tels états. Pour un

exemple très simple de cette sorte de chose, considérons l'espace de tests :

(1) { } { } { }{ }azccybbxa ,,,,,,,,=A et l'état ( ) ( ) ( ) 2/1=== cba ωωω , ( ) ( ) ( ) 0=== zyx ωωω .

C'est un simple exercice de montrer que ω ne peut pas être exprimé comme une moyenne pondérée

d'états à valeurs [0,1] sur A . Pour des exemples supplémentaires et une discussion de ce point, voir

Wright [1980].

Variables cachées contextuelles Le résultat de la discussion précédente est que la plus part des espaces de tests ne peuvent pas être

plongés dans un espace de test classique et ce même quand un tel plongement existe, il échoue

typiquement à prendre en compte certains états du modèle. Cependant, il y a une classe très

importante de modèles pour lesquels une interprétation classique satisfaisante est toujours possible.

Appelons un espace de tests A semi-classique si ses tests ne se recouvrent pas; c'est-à-dire si

∅=∧ FE pour A∈FE, avec FE ≠ .

6.1. Lemme

Soit A semi-classique. Alors A a un ensemble séparé d'états sans dispersion et tout état extrême

sur A est sans dispersion.

Tant que A est localement dénombrable (c'est-à-dire qu'aucun test E dans A est non dénombrable),

tout état peut être représenté comme une combinaison convexe, dans un sens approprié, d'états

extrêmes [Wilce, 1992]. Donc, tous les états d'un espace de tests semi-classique localement

dénombrable ont une interprétation classique.

Même si ni les espaces de tests de Borel ni les espaces de tests quantiques ne sont semi-classiques,

on peut affirmer que dans toute situation réelle de laboratoire, la semi-classicalité est une règle.

Habituellement, quand on écrit dans un livre de laboratoire qu'on a effectué un test donné et obtenu

un résultat donné, on a toujours un enregistrement de quel test a été effectué. En effet, étant donné

un espace de tests A , nous pouvons toujours former un espace de test semi-classique en effectuant

simplement le co-produit (union disjointe) des tests dans A . Plus formellement :

6.2. Définition

Pour chaque test E dans A , soit ( ){ }ExExE ∈= |,~ . Le recouvrement semi-classique de A est

l'espace de tests { }AA ∈= EE |~~

Nous pouvons voir A comme venant de ~A par élimination de l'enregistrement de quel test fut

effectué pour assurer un résultat donné. Notons que tout état dans A définit un état ~ω dans ~A

par ( ) ( )xEx ωω =,~ . L'application ~ωω → est totalement injective, donc nous pouvons identifier

l'espace d'états de A avec un sous-ensemble de l'espace d'états de ~A . Notons qu'il y aura

typiquement plusieurs états de ~A qui ne descendent pas d'états de A . Nous pouvons désirer les

voir comme "non physiques" puisqu'ils ne respectent pas l'identification des résultats

(probablement, physiquement motivé) par laquelle A est défini.

Puisqu'il est semi-classique, ~A admet une interprétation classique. Examinons cela. Un élément

de ( )~AS vient d'une application Xf →~: A assignant à chaque test AE ∈ un résultat

( ) EEf ∈ . C'est un exemple (assez brutal) de ce qu'on veut dire par une variable cachée

contextuelle (sans dispersion). La construction ci-dessus nous dit que chaque variable cachée

contextuelle de ce type sera disponible pour des modèles statistiques assez généraux. Pour d'autres

résultats du même effet, voir Kochen et Specker [1967], Gudder [1970], Holevo [1982] et, dans une

direction différente, Pitowsky [1989].

Notons que les simples variables aléatoires sur A correspondent exactement à de simples variables

aléatoires sur ~A et que ces variables, en retour, correspondent à certaines des variables aléatoires

simples (dans le sens habituel) sur l'espace mesurable ( )~AS . Donc, nous avons l'image suivante :

le modèle ( )∆,A peut toujours être obtenu d'un modèle classique simplement en omettant certaines

variables aléatoires et en identifiant les résultats qui ne peuvent plus être distingués par celles qui

restent.

Tout cela peut suggérer que notre théorie des probabilités généralisée ne présente pas d'écart

conceptuel significatif de la théorie classique des probabilités. D'un autre coté, les modèles

construits dans les lignes précédentes ont un caractère distinctement ad hoc. En particulier,

l'ensemble des états "physiques" dans un des modèles classiques (ou semi-classiques) construits ci-

dessus est déterminé non par un principe physique indépendant mais seulement par la consistance

avec le modèle original non semi-classique. Une autre objection est que les variables cachées

contextuelles introduites dans cette section sont fortement non locales. Il est maintenant largement

reconnu que cette non-localité est le principal nœud de la non classicalité dans les modèles

quantiques (et plus généraux) (voir le théorème de Bell et le théorème de Malament).

Exercices 1. Montrez que pour l'espace de test (1) de la section IV.6 ω ne peut pas être exprimé comme une

moyenne pondérée d'états à valeurs [0,1] sur A .

IV.7. Systèmes composites Certaines des propriétés les plus intriguantes de la mécanique quantique viennent en relation avec

les tentatives de décrire des systèmes physiques composites. C'est dans ce contexte, par exemple,

qu'à la fois le problème de la mesure et les résultats de non localité centrés sur le théorème de Bell

se produisent. Il est intéressant que des systèmes couplés présentent aussi un défi au programme de

logique quantique. Nous conclurons avec une description de deux résultats qui montrent que le

couplage de modèles de logique quantique tend à nous éloigner plus loin de la réalité de la

mécanique quantique des espaces de Hilbert.

L'exemple de Foulis - Randall Un résultat particulièrement frappant dans cette optique est l'observation de Foulis et Randall

[1981] que tout produit tensoriel raisonnable (et raisonnablement général) d'orthoalgèbres ne

préserve pas l'orthocohérence. Soit 5A l'espace de tests

(1) { } { } { } { } { }{ }sveewddzccybbxa ,,,,,,,,,,,,,,

consistant en cinq tests à trois résultats assemblés en boucle. Cet espace de tests n'est en rien

pathologique, il est à la fois orthocohérent et algébrique. De plus, il admet un ensemble séparé

d'états sans dispersion et donc une interprétation classique. Considérons maintenant que nous

puissions modéliser un modèle composite consistant en deux sous-systèmes séparés chacun

modélisés par 5A . Nous aurions besoin de construire un espace de tests B et une application

BYXX ∪=→×⊗ : satisfaisant de manière minimale ce qui suit :

a. Pour tout résultat Xzyx ∈,, , si yx⊥ alors zyzx ⊗⊥⊗ et yzxs ⊗⊥⊗

b. Pour chaque paire d'états ( )5, Aωβα ∈ , il existe au moins un état ω de B tel que

( ) ( ) ( )yxyx βαω =⊗ pour tout résultat Xyx ∈, .

Foulis et Randall ont montré qu'aucun plongement de ce type n'existe pour lequel B est

orthocohérent.

Théorème d'Aerts Un autre résultat ayant une force assez similaire est celui de Aerts [1982]. Si 1L et 2L sont deux

réseaux de Piron, Aerts construit d'une manière assez naturelle un réseau L représentant deux

systèmes séparés, chacun modélisé part un des réseaux donnés. Ici "séparé" signifie que chaque état

pur du grand système L est entièrement déterminé par les états des deux systèmes composants 1L et

2L . Aerts montre alors que L est également un réseau de Piron si et seulement si au moins un des

deux facteurs 1L et 2L est classique (ce résultat a récemment été renforcé par Ischi [2000] de

plusieurs manières).

La conséquence de ces résultats négatifs est que la construction directe de modèles plausibles pour

des systèmes composites détruit les conditions de régularité (orthocohérence dans le cas du résultat

de Foulis - Randall, orthomodularité et la loi de recouvrement dans celui d'Aert) qui ont largement

été utilisés pour la reconstruction du formalisme habituel de la mécanique quantique. Cela met en

doute qu'aucune de ces conditions ne puisse être vue comme ayant l'universalité que la plus part des

versions optimistes de Mackey demandaient. Bien sûr, cela n'écarte pas la possibilité que ces

conditions puissent encore être motivées dans le cas de systèmes physiques particulièrement

simples.

IV.8. Complément sur la théorie de base des relatio ns ordonnées Ce qui suit est le résumé le plus bref possible des notions d'ordre utilisées dans le texte principal.

Pour une bonne introduction à cette matière, voir Davey & Priestley [1990]. Des traitements plus

avancés peuvent être trouvés dans Gratzer [1998] et Birkhoff [1967].

Ensembles ordonnés Un ordre partiel, à fortiori, un ordre, sur un ensemble P est une relation binaire transitive,

réflexive et antisymétrique sur P. Donc, pour tout Prqp ∈,, , nous avons

1.

2. et seulement si qp =

3. Si et , alors

Si , nous disons que p est plus petit que ou sous p et q est plus grand que ou au-dessus de p

dans l'ordre.

Un ensemble partiellement ordonné, ou poset, est une paire (P, ) où P est un ensemble et est un

ordre spécifié sur P. Il est habituel d'utiliser P à la fois pour l'ensemble et la structure, laissant

implicite quand c'est possible. Toute collection de sous-ensembles d'un certain ensemble fixé X,

ordonnée par l'inclusion des ensembles, est un poset. En particulier, l'ensemble des parties ( )XP

est un poset sous l'inclusion des ensembles.

Soit P un poset. La conjonction ou plus grande borne inférieure de Pqp ∈, , notée qp ∧ , est le

plus grand élément de P, s'il existe, sous p et q. La disjonction ou plus petite borne supérieure de p

et q, notée qp ∨ , est le plus petit élément de P, s'il existe, au-dessus de p et q. Donc, pour tout

éléments p, q, r de P, nous avons

a. Si , alors et

b. Si , alors et

Notez que ppppp =∨=∧ pour tout p dans P. Notez aussi que si et seulement si

pqp =∧ si et seulement si qqp =∨ .

Notez que si l'ensemble ( )XP P= , ordonné par l'inclusion des ensembles, alors qpqp ∩=∧ et

qpqp ∪=∨ . Cependant, si P est une collection arbitraire de sous-ensembles de X ordonnés par

l'inclusion, ce n'est pas nécessairement vrai. Par exemple, considérez la collection P de tous les

sous-ensembles de { }nX ,,2,1 K= ayant une cardinalité paire. Alors, par exemple, { } { }3,22,1 ∨

n'existe pas dans P puisqu'il n'y a pas de plus petit ensemble de 4 éléments contenant { }3,2,1 . Pour

un exemple d'un type différent, soit X un espace vectoriel et P l'ensemble des sous-espaces de X.

Pour des sous espaces M et N, nous avons :

(1) NMNM ∩=∧ mais ( )NMspanNM ∪=∨

Les concepts de conjonction et disjonction s'étendent à des sous-ensembles infinis d'un poset P.

Donc, si PA ⊆ , la conjonction de A est le plus grand élément (s'il existe) sous A tandis que la

disjonction de A est le plus petit élément (s'il existe) au-dessus de A. Nous notons la conjonction de

A par A∧ ou par aAa∈∧ . De même la disjonction de A est notée par A∨ ou par aAa∈∨ .

Réseaux Un réseau est un poset (L, ) dans lequel chaque paire d'élément a à la fois une conjonction et une

disjonction. Un réseau complet est un réseau dans lequel tout sous-ensemble de L a une conjonction

et une disjonction. Notez que ( )XP est un réseau complet par rapport à l'inclusion des ensembles

ainsi que l'ensemble de tous les sous-espaces d'un espace vectoriel. L'ensemble des sous-ensembles

finis d'un ensemble infini X est un réseau mais pas un réseau complet. L'ensemble des sous-

ensembles d'un ensemble fini ayant un nombre pair d'éléments est un exemple de poset qui n'est pas

un réseau.

Un réseau (L, ) est distributif si et seulement si la conjonction se distribue sur la disjonction et

vice versa :

(2) ( ) ( ) ( )rpqprqp ∧∨∧=∨∧

et

(3) ( ) ( ) ( )rpqprqp ∨∧∨=∧∨

Le réseau ensemble des parties ( )XP , par exemple, est distributif (comme tout réseau d'ensembles

dans lequel conjonction et disjonction sont donnés par l'intersection et l'union des ensembles).

D'autre part, le réseau des sous-espaces d'un espace vectoriel n'est pas distributif, pour des raisons

qui deviendront claires dans un moment.

Un réseau L est dit borné si et seulement s'il contient un plus petit élément 0 et un plus grand

élément 1. Notez que tout réseau complet est automatiquement borné. Pour la suite, tous les réseaux

sont supposés bornés sauf indication contraire.

Un complément d'un élément p d'un réseau (borné) L est un autre élément q tel que 0=∧ qp et

1=∨ qp .

Dans le réseau ( )XP , tout élément a exactement un complément, plus précisément son ensemble

complément habituel. D'autre part, dans le réseau des sous-espaces d'un espace vectoriel, un

élément aura typiquement une infinité de compléments. Par exemple, si L est le réseau des sous-

espaces de l'espace euclidien à trois dimensions, alors le complément d'un plan donné passant par

l'origine est fourni par toute ligne passant par l'origine mais qui n'est pas dans le plan.

Proposition :

Si L est distributif, un élément de L peut avoir au plus un complément.

Démonstration :

Supposons que q et r soient des compléments de p. Alors, puisque L est distributif, nous avons :

(4)

( )( ) ( )

( )rq

rq

rqpq

rpq

qq

∧=∧∨=

∧∨∧=∨∧=

∧=

0

1

Donc, . De manière symétrique, nous avons ; donc rq = .

Donc, aucun réseau dans lequel les éléments ont de multiples compléments n'est distributif. En

particulier, le réseau des sous-espaces d'un espace vectoriel (de dimension plus grande que 1) n'est

pas distributif.

Si un réseau est distributif, il peut n'y avoir que certains de ses éléments qui ont un complément

tandis que d'autres n'en ont pas. Un réseau distributif dans lequel tous les éléments ont un

complément est appelé un réseau booléen ou une algèbre booléenne. L'exemple de base, bien sûr,

est l'ensemble des parties ( )XP d'un ensemble X. Plus généralement, toute collection de sous-

ensembles de X fermée sous l'union, l'intersection et le complément est une algèbre booléenne; un

théorème de Stone et Birkhoff nous dit qu'à un isomorphisme près toute algèbre booléenne est

obtenue de cette manière.

Orthoréseaux Dans certains réseaux avec des compléments multiples (donc non distributifs), il est possible de

sélectionner pour chaque élément p un complément privilégié p' de telle manière que

a. Si alors

b. pp =′′

Quand ces conditions sont satisfaites, on appelle l'application pp ′→ une orthocomplémentation

sur L et la structure (L, ,') un réseau orthocomplémenté ou un orthoréseau pour faire bref.

Notez à nouveau que si un réseau distributif peut être orthocomplémenté totalement, c'est une

algèbre booléenne et donc il peut être orthocomplémenté d'une seule manière. Dans le cas de L(H),

l'orthocomplémentation qu'on a à l'esprit est ⊥→ MM où ⊥M est défini dans la section IV.1. Plus

généralement, si V est un espace produit scalaire (complet ou non), soit ( )VL l'ensemble des sous-

espaces M de V tel que ⊥⊥= MM (un tel sous-espace est dit être algébriquement fermé). C'est à

nouveau un réseau complet orthocomplémenté par l'application ⊥→ MM .

Orthomodularité Il y a une caractérisation frappante de l'ordre du réseau des sous-espaces fermés d'un espace de

Hilbert parmi les réseaux ( )VL de sous-espaces fermés d'espaces produits scalaires plus généraux.

Un orthoréseau L est dit orthomodulaire si et seulement si pour toute paire p, q dans L avec ,

(5) ( ) qppq =∨′∧

Notez que c'est un affaiblissement de la loi distributive. Donc, un réseau booléen est

orthomodulaire. Il n'est pas difficile de montrer que si H est un espace de Hilbert, alors ( )HL est

orthomodulaire. L'inverse frappant de ce fait est dû à Amemiya et Araki [1965] :

Théorème

Soit V un espace produit scalaire (sur R, C ou les quaternions) tel que ( )VL est orthomodulaire.

Alors V est complet, c'est-à-dire un espace de Hilbert.

Opérateurs de fermeture, opérateurs intérieurs et a djonctions Soit P et Q des posets. Une application QPf →: préserve l'ordre si et seulement si pour tout

Pqp ∈, , si alors .

Un opérateur de fermeture sur un poset P est une application préservant l'ordre PPcl →= telle

que pour tout Pp∈ ,

- ( )( ) ppclcl =

-

De manière duale, un opérateur intérieur sur P est une application préservant l'ordre PP →:int

sur P telle que pour tout Pp∈ ,

- ( )( ) pp =intint

-

Les éléments dans le domaine de cl sont dits être fermés; ceux dans le domaine de int sont dits être

ouverts. Si P est un réseau (complet), alors l'ensemble des sous-ensembles fermés, respectivement

ouverts, sous l'application de fermeture ou intérieure est à nouveau un réseau (complet).

Comme illustration, supposons que O et C sont des collections de sous-ensembles d'un ensemble

X avec O fermé sous les unions arbitraires et C sous les intersections arbitraires. Pour tout

ensemble A inclus dans X, soit :

(6) ( ) { }CACAcl ⊆∈∩= |C

(7) ( ) { }AOOA ⊆∈∪= |int O

Alors cl et int sont des opérateurs intérieurs sur ( )XP pour lequel les ensembles fermés et ouverts

sont précisément C et O, respectivement. L'exemple le plus familier, bien sûr, est celui dans lequel O et C sont les ensembles respectivement ouverts et fermés d'un espace topologique. Un autre cas

particulier important est celui dans lequel C est l'ensemble des sous-espaces linéaires d'un espace

vectoriel V. Dans ce cas, l'application ( ) ( )VVspan PP →: envoyant chaque sous-ensemble de V

sur son span est une fermeture correspondante.

Une adjonction entre deux posets P et Q est une paire ordonnée (f, g) d'applications QPf →: et

PQg →: reliées par la condition que pour tout Pp∈ , Qq∈

(8) si et seulement si

Dans ce cas, nous appelons f un adjoint gauche pour g et g un adjoint droit pour f. Deux faits de

base sur les adjonctions, facilement démontrées, sont les suivantes :

Proposition

Soit MLf →: une application préservant l'ordre entre les réseaux complets L et M. Alors

A. f préserve les disjonctions arbitraires si et seulement si c'est un adjoint droit

B. g préserve les conjonctions arbitraires si et seulement si c'est un adjoint gauche

Proposition

Soit (f, g) une adjonction entre les réseaux complets L et M. Alors

a. LLfg →:o

b. MMgf →:o

V. Applications

V.1. Cryptographie quantique La cryptographie est une tentative de mise en œuvre des prédicats de la mécanique quantique afin

d'assurer la confidentialité, l'intégrité et/ou la non-interception de transmissions de données. C'est

aussi un sous-domaine de l'informatique quantique.

Le sujet étant vaste nous ne donnerons ici qu'une brève introduction au sujet.

Introduction La cryptographie quantique permet à deux interlocuteurs de s'échanger une clé en toute sécurité. En

effet, cette méthode permet non seulement de démasquer toute tentative d'espionnage grâce aux

propriétés de la mécanique quantique, mais également de réduire la quantité d'information détenue

par un éventuel espion à un niveau arbitrairement bas et ce grâce à des algorithmes classiques

("privacy amplification"). On le voit donc, la cryptographie quantique constitue un outil très

précieux pour des systèmes de cryptographie symétrique où les deux interlocuteurs doivent

impérativement posséder la même clé et ce en toute confidentialité.

Les fondements de la cryptographie quantique ont été établis, entre autres, par les travaux de

Charles H. Bennett et Gilles Brassard.

Protocole Le principe d'indétermination d'Heisenberg affirme que certaines quantités ne peuvent pas être

mesurées simultanément avec une précision arbitraire. Ainsi dans le transport de clé "quantique",

l'information est transportée par les photons, ces composants élémentaires de la lumière. Chaque

photon peut être polarisé, c'est-à-dire que l'on impose une direction à son champ électrique. La

polarisation est mesurée par un angle qui varie de 0° à 180°. Dans le protocole que nous décrivons,

dû aux canadiens C.H. Bennett et G. Brassard, la polarisation peut prendre 4 valeurs : 0°, 45°, 90°,

135°. Pour les photons polarisés à 0° ou à 90°, on parle de polarisation rectiligne, pour ceux

polarisés à 45° ou 135°, de polarisation diagonale. Il nous faut pouvoir détecter la polarisation des

photons, Pour cela, on utilise un filtre polarisant suivi d'un détecteur de photons. Si un photon

polarisé à 0° rencontre un filtre polarisant orienté à 0°, il traverse ce filtre polarisant et est

enregistré par le détecteur placé juste après. Si un photon polarisé à 90° rencontre le même filtre, il

est immédiatement stoppé et le détecteur n'enregistre rien. Maintenant, si le photon est polarisé

diagonalement (45° ou 135°), une fois sur deux, il traverse le filtre, et une fois sur deux, il est

stoppé (c'est le caractère très particulier des photons en mécanique quantique). Si on peut distinguer

entre une polarisation à 0° et à 90°, il est impossible de distinguer en même temps entre une

polarisation à 45° et à 135°. De la même façon, on peut utiliser un filtre polarisant orienté à 45° : il

laisse passer les photons polarisés à 45°, stoppe deux polarisés à 135°, et se comporte aléatoirement

avec ceux à 0° et 90°. Notons que placer deux filtres en séries ne permet pas d'améliorer la

détection. En effet, une fois que le photon passe un filtre, disons à 0°, il est alors polarisé dans cette

direction et ce quelle que soit sa polarisation initiale. Il y a réduction de la fonction d'onde. D'un

point de vue quantique, si on décrit l'état de polarisation à 45° dans la base rectiligne, on a l'état :

(1) ( )°+° 9002

1

Le passage dans le filtre à 0° constitue une mesure de l'état correspondant. Si le photon passe le

filtre, avec une probabilité 2/12/12

= , il se retrouve dans l'état °0 .

Décrivons alors le protocole qu'Alice et Bob doivent respecter pour qu'Alice envoie à Bob une clé

secrète constituée de 0 et de 1. Ils disposent de deux canaux d'échange : un canal quantique où ils

peuvent s'échanger des photons polarisés et un canal classique (par exemple en ondes radios), non

protégé, où ils peuvent discuter. Ils conviennent que les photons polarisés à 0° ou 45° représentent

0 et ceux polarisés à 90° ou 135° représentent 1. Alice émet, sur le canal quantique, une suite de

photons polarisés au hasard parmi 0°, 45°, 90° et 135°. A l'autre bout, Bob reçoit les photons et

mesure aléatoirement ou leur polarisation rectiligne (filtre placé à 0°) ou leur polarisation diagonale

(filtre placé à 45°). Si le photon traverse le filtre, Bob note 0, sinon il note 1. Bien sûr, certaines

mesures de Bob (en moyenne, une sur deux) n'ont pas d'intérêt : il a pu essayer de mesurer la

polarisation rectiligne d'un photon polarisé à 45°, ce qui donne un résultat aléatoire (par exemple, le

photon a été bloqué par le filtre, Bob note donc 1 alors qu'Alice avait envoyé 0). Pour éliminer ces

bits sans sens, il indique à Alice, par le canal radio, quelle type de mesure (rectiligne ou diagonale)

il a faite pour chaque photon. Par le même canal radio, Alice indique quelles sont les mesures

correctes (à savoir s'il a utilisé le bon type de mesure). Notons que cet échange n'apporte aucune

information à un tiers écoutant le canal classique car les 0 ou les 1 ont chacun une chance sur deux

d'être transmis par une polarisation diagonale ou rectiligne. Ainsi, Alice et Bob ont en commun un

certain nombre de bits car ils ont été mesurés de la même manière par Alice et Bob.

Il faut encore vérifier que ce protocole est sûr. Si Caroline écoute le canal quantique, elle peut faire

la même chose que Bob, c'est-à-dire intercepter les photons en plaçant un filtre polarisant tantôt

rectiligne, tantôt diagonal. Pour que Bob ne se doute de rien, elle doit réémettre un photon polarisé.

Elle va essayer d'envoyer le même photon qu'Alice, mais comme elle a une chance sur deux d'avoir

choisi le mauvais filtre et comme le photon, même lorsqu'il passe le filtre a son état modifié, elle a

une chance sur deux d'avoir un résultat différent d'avec le photon original, et finalement, pour

chaque photon intercepté par Caroline, il y a une chance sur 4 que Bob reçoive une information

erronée. Alice et Bob décident alors d'utiliser une partie des bits transférer non pour transmettre la

clé mais en matière de contrôle. Ces bits sont choisis aléatoirement par Alice et publié ensuite par

le canal radio et échangés avec Bob. S'ils sont différents, ils ont une preuve qu'ils ont été écoutés et

laissent alors tomber la clé qu'ils viennent de transférer. A noter qu'à ce stade Caroline n'a pas pu

décrypter l'information puisque ses mesures ont une chance sur deux d'être faites dans la mauvaise

direction. En comparant suffisamment de bits, ils ont une garantie presque absolue de ne pas avoir

été écoutés.

On peut également utiliser d'autres protocoles et en particulier des paires de photons intriqués

échangés préalablement. Alice et Bob effectuent alors des mesures rectilignes et diagonales

aléatoires puis échangent l'information sur la direction qu'ils ont employée. Alice indique

également les mesures qui ont donné pour résultat les bits qu'elle souhaite transmettre. Bob peut

alors en déduire les bits à partir de ses propres mesures. Le protocole est très proche du précédent

autant dans son usage que dans sa garantie de confidentialité. Ici, la perturbation introduire par

Caroline en mesurant certains des photons est la destruction de leur intrication. Vous pouvez

vérifier que si Caroline émet elle-même des paires de photons de polarisation connue, les échanges

d'Alice et Bob ne lui permettront pas d'en déduire l'information échangée.

Notons que les protocoles de cryptographie quantique sont relativement complexes et lourds et

donc lents. Ils servent ainsi essentiellement à transmettre des clés symétriques qui sont ensuite

utilisées pour une cryptographie classique réputée sûre (les protocoles classiques symétriques étant

habituellement très solides).

Amplification de la confidentialité Les protocoles de cryptographie quantique arrivent à des résultats que la cryptographie classique

n'atteint pas. Ils permettent à Alice et Bob de générer et partager des clés aléatoires qui sont très

semblables. Dans des conditions parfaites, elles sont identiques, mais il y a en fait un taux d'erreur.

Ils leur permettent aussi d'approximer le niveau d'observation de l'observateur externe

(eavesdropper) et ainsi de calculer l'information maximale que Caroline peut posséder par rapport à

la clé partagée par Alice et Bob. Ce sont des résultats intéressants par eux-mêmes, mais ils ne

suffisent pas à résoudre le problème de la distribution des clés. En effet, il serait désastreux que

Caroline apprenne même une petite partie de la clé : elle pourrait alors tirer profit de cette

information pour arriver à casse le code de cryptage employé pour envoyer les messages à l'aide de

cette clé. Puisque les erreurs et le bruit de fond ne peuvent jamais être évités complètement, Alice

et Bob ne peuvent jamais garantir que Caroline n'a aucune information sur leurs clés. Puisque les

erreurs de communication et les effets de l'observation externe ne peuvent pas être distingués, Alice

et Bob doivent supposer que toutes les incohérences sont dues à l'action de Caroline.

Ce qui a grandement aidé au développement de la cryptographie quantique à ce stade de

développement est qu'à cette époque, Ueli Maurer et d'autres cryptologues classiques développaient

une technique appelée amplification de la confidentialité. Cette technique transforme effectivement

la cryptographie quantique en une technologie pratique pour la communication sûre. Elle est

d'ailleurs utilisée maintenant dans diverses situations (un exemple est le transfert des résultats de

vote électronique lors des élections Suisse).

L'amplification de la confidentialité est en quelque sorte une version cryptographique de la

correction d'erreur. Soit Alice et Bob qui ont initialement des clés semblables dont Caroline

possède une certaine quantité d'information. Cette technique leur permet d'en extraire des clés

aléatoires plus courtes. Ces clés sont identiques et Caroline n'a (pratiquement) aucune chance

d'obtenir des informations sur ces clés.

Bien que l'amplification de confidentialité classique puisse être utilisée par les protocoles de

Benett-Brassard et de Ekert, décrit ci-dessus, il advient que la cryptographie basée sur l'intrication

quantique permet d'utiliser l'amplification de confidentialité directement au niveau quantique. Ceci

est plus efficace et a d'autres avantages. En particulier, quand la technologie sera au point, elle

permettra d'utiliser la cryptographie quantique sur des distances arbitrairement grandes en utilisant

des stations de répétition quantique le long de la route de communication (amplification du signal

sans lecture de son contenu).

V.2. Téléportation quantique La téléportation quantique est une technique discutée dans le cadre de la théorie quantique de

l'information pour transférer un état quantique à travers l'espace, en utilisant des états intriqués et la

transmission d'une information classique.

Indiscernabilité Supposons qu'Alice possède un atome de rubidium (l'élément chimique préféré des physiciens pour

ce type d'expérience), qui est dans son état fondamental, que Bertrand dispose d'un atome

répondant aux mêmes caractéristiques. Il est important de noter que ces deux atomes sont

indiscernables, ce qui signifie qu'il n'y a aucune différence entre eux (en dehors de leur position).

Si Alice et Bertrand avaient par exemple deux boules de verre semblant identiques et qu'ils les

échangeaient, alors quelque chose changerait. Si on disposait d'un microscope très puissant, on

pourrait trouver une différence entre les deux boules en observant les défauts microscopiques du

verre. Avec des atomes du même type et dans le même état quantique, il n'y a réellement aucune

différence. La situation physique dans laquelle Alice a le premier atome et Bertrand le second est

exactement la même qu'en inversant les atomes. D'une certaine manière, il est même faux de dire

que les atomes sont différents l'un de l'autre, de les identifier, de leur donner une individualité en

disant que chacun est possédé par l'un de nos deux protagonistes. Il serait plus approprié de dire que

les deux emplacements dans l'espace ont la propriété que les champs quantiques fondamentaux ont

les valeurs définissant l'état fondamental de l'atome de rubidium.

La téléportation quantique : le résultat Maintenant, imaginons que l'atome d'Alice soit dans un état quantique compliqué (excité).

Supposons de plus qu'on ne connaisse pas cet état quantique. On pourrait l'obtenir par la mesure

mais on ne le souhaite pas. Ce que nous pouvons faire est de téléporter l'état quantique vers l'atome

de rubidium de Bertrand. Après cette opération l'atome de Bertrand sera exactement dans l'état dans

lequel se trouvait celui d'Alice.

Il est à noter que l'état quantique de l'atome d'Alice sera modifié dans cette opération. C'est une

conséquence d'un théorème dit de "non-clonage" de la mécanique quantique. Si l'on pouvait copier

exactement l'état quantique d'un système, sans qu'ils soient intriqués, on serait en mesure de

déterminer plusieurs grandeurs incompatibles simultanément en effectuant la mesure sur les deux

systèmes. En un sens, la propriété (l'état excité) a réellement été téléporté.

Si l'on considère la mécanique quantique comme complète et deux particules identiques étant

indiscernables, transporter l'état quantique est équivalent à transporter la particule elle-même.

Le miracle de cette opération est qu'elle peut s'effectuer à distance en utilisant des particules

intriquées.

La méthode En prérequis, Bertrand a produit deux particules (ou deux atomes) appelées I et II qui sont

intriquées de manière maximale pour deux états. En notant 0 et 1 les deux états, on aura

(1) ( )IIIIII

11002

1 ⊗+⊗=ψ

Ces états peuvent, par exemple, être des états de polarisation de deux photons.

Cela signifie que si les particules I et II ne sont ni dans l'état 0 ni dans l'état 1 , mais plutôt les

deux simultanément, et que si on mesure l'une d'entre elles on trouvera sa valeur comme état 0 ou

1 avec une probabilité égale à 1/2 et que la mesure de l'autre particule donnera exactement le

même résultat.

Bertrand a donné à Alice la particule I et a gardé la particule II. A partir de maintenant, Alice peut

envoyer l'état quantique de son atome à Bertrand (ou l'inverse).

Si Alice a maintenant un état qu'elle veut téléporter à Bertrand, elle effectue ce qu'on appelle une

mesure de Bell sur l'atome de rubidium et sur la particule I. Cette mesure conjointe consiste à

mesurer l'état quantique de l'atome en fonction de l'état quantique de la particule I. On mesure en

quelque sorte le produit état de l'atome * état de I. Ce qu'on mesure c'est la corrélation "atome

excité" - "état 0 de la particule I" ou "atome non excité" - "état 1 de la particule I". Il est clair que

l'on ne manipule alors qu'une information binaire et la mesure d'états plus complexes nécessite plus

de particules intriquées (plus de qubits).

Cette mesure ne permet pas de connaître l'état de l'atome car le résultat dépend de l'état de la

particule I. Mais en effectuant cette mesure, l'état qu'avait l'atome se retrouve intriqué avec la

particule II de Bertrand.

En utilisant un canal de communication ordinaire, Alice peut communiquer son résultat de mesure

à Bertrand. Bertrand peut alors utiliser ce résultat et sa particule II en les faisant interagir de

manière appropriée afin d'intriquer l'état de son atome à la particule II. Il effectue en fait une

mesure conjointe de l'état de l'atome * l'état de II ou de l'état de l'atome * l'opposé de l'état de II

selon que le résultat d'Alice a donné une valeur positive ou nulle. Ainsi l'état de son atome se

retrouve intriqué avec l'état initial de l'atome d'Alice.

Bertrand n'a plus qu'a effectuer une mesure de l'état de son atome afin de savoir quel était l'état de

l'atome d'Alice avant ces opérations.

Si au lieu d'utiliser des particules différentes des atomes initiaux on utilise des particules identiques

(par exemple trois particules de rubidium), la dernière opération est simplifiée car on a déjà une

particule II qui est intriquée avec l'état initial de l'atome d'Alice et une opération utilisant le résultat

de mesure suffit à lui donner l'état approprié.

Expérimentations La première démonstration expérimentale fut effectuée à l'université d'Innsbruck (en Autriche) en

1997 par le groupe de Anton Zeilinger. Leur configuration permit de téléporter l'état quantique de

polarisation à travers une table optique. Une expérience ayant eu lieu quelque temps plus tôt à

Rome, par le groupe de De Martini, avait montré le principe de la téléportation, mais en impliquant

seulement deux particules au lieu de trois : une portant l'information à téléporter et deux particules

intriquées qui fournissent le canal quantique et qui doivent être indépendantes de celle portant l'état.

En 2004, un autre groupe de recherche à l'université d'Innsbruck et un groupe au NIST démontra la

téléportation d'atomes : l'état quantique électronique d'un ion de calcium fut téléporté vers un autre,

l'ensemble des ions étant contenu dans un piège à ions linéaire.

Le rayon de téléportation de Star Trek Le fait que le terme téléportation rappelle le processus de téléportation dans la série télévisée Star

Trek peut tout à fait avoir été intentionnel. Après tout, il est possible que les physiciens aient fait

l'analogie entre leur expérimentation et le déplacement d'une particule à travers l'espace.

Néanmoins cette analogie est un peu rapide car elle ne souligne pas un point important ; seule

l'information sur l'état quantique est transmise ici, la particule recevant l'information devant déjà

être présente. Cette téléportation n'implique aucun transfert de matière ou d'énergie. La petite

phrase célèbre du capitaine Kirk pour démarrer le processus, "énergie", n'a donc pas de sens ici.

Permutation de l'intrication Si un état en téléportation est lui-même intriqué avec un autre état, l'intrication est téléportée avec

lui. Si Alice a une particule qui est intriquée avec une particule détenue par Carole et qu'elle la

téléporte à Bertrand, à l'issue de l'opération c'est la particule de Bertrand qui est intriquée avec celle

de Carole.

Autre exemple plus symétrique : supposons qu'Alice possède une particule, Bertrand deux et Carole

une seule. La particule d'Alice et la première de Bertrand sont intriquées, de même que la seconde

de Bertrand et celle de Carole :

Alice --- Bertrand1 Bertrand2 --- Carole

Maintenant Bertrand effectue une mesure de Bell intriquant ses deux particules. Maintenant, les

deux particules d'Alice et Carole sont intriquées :

Alice --- Carole

Cet effet permet de construire un répéteur quantique utile à la cryptographie. Ces répéteurs sont

toutefois encore à l'état de recherche. Les principales difficultés étant liées à l'imperfection des

différents dispositifs et à la décohérence que nous allons maintenant voir.

VI. Décohérence La décohérence induite par l'environnement et la supersélection ont été un sujet de recherches

intensives pendant ces deux dernières décennies. Jusqu'à présent, leurs implications pour les

problèmes de fondation de la mécanique quantique, plus particulièrement le problème de la mesure

quantique, sont restées un sujet de grande controverse.

VI.1. Matrice densité La matrice densité est utilisée intensivement dans l'étude de la décohérence. Un rappel est donc le

bienvenu.

La matrice densité ou opérateur densité est une entité mathématique introduire par le

mathématicien et physicien John von Neumann. Elle permet de résumer en une seule matrice tout

l'ensemble possible des états quantiques d'un système physique donné à un instant donné, mariant

ainsi mécanique quantique et physique statistique.

Définition

Cas pur

La description du système se fait ici grâce à un vecteur d'état ( )tψ que l'on peut développer sur la

base des { }nu :

(1) ( ) ( )∑=n

nn utctψ

avec

(2) ( ) 12 =∑

n

n tc

L'opérateur densité est défini pour un état pur par :

(3) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∗==pn

pn nptctctt,

ˆ ψψρ

Mélange statistique d'états purs En admettant qu'un certain système physique puisse être, à un certain instant t, dans un mélange

statistique (fini ou infini) d'états quantiques iψ avec des probabilités ip (où 1=∑i ip ), alors la

matrice densité représentant l'ensemble de ces états est :

(4) ∑=i

iiip ψψρ

L'aspect statistique introduit ici est de deux natures, l'une classique et l'autre quantique :

1. Classique : dû à l'estimation du ket par une distribution statistique des différents kets possibles.

Les différentes probabilités ip représentent habituellement les proportions de particules dans

l'état iψ dans une collection d'un grand nombre de particules. Mais cette forme de statistique

peut aussi s'appliquer à un système seul. L'exemple typique étant l'état d'un dé classique après

son jet. Il est dans six états possibles avec des probabilités égales.

2. Quantique : indétermination quantique fondamentale même si le système est statistiquement

parfaitement déterminé.

Les éléments de la matrice densité valent :

(5) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∗==i

i

p

i

ni

i

i

ni

i

pipn ccpuup ρρ ˆˆ

Propriétés La matrice obtenue a les propriétés suivantes :

� Elle est hermitique, += ρρ ˆˆ , elle peut donc être diagonalisée et ses valeurs propres sont

positives.

� Sa trace est égale à 1, ( ) 1ˆTr =ρ , conservation de la probabilité totale.

� Elle doit être définie positive ou nulle.

� Dans le cas d'un état pur, l'opérateur densité est alors un projecteur : ρρ ˆˆ 2 = .

� ( ) 1ˆTr 2 ≤ρ , avec égalité si et seulement si le système physique est dans un état pur (c'est-à-dire

que tous les ip sont nuls sauf un).

Valeur moyenne On peut calculer la valeur moyenne d'un observable A à partir de la formule :

(6) ( ) ( )AAAA ˆˆTrˆˆTrˆˆ ρρψψ ===

avec ∑=N

i

iip ρρ ˆˆ est la matrice densité d'un mélange statistique d'états.

Lien avec l'entropie Enfin, on peut définir l'entropie de von Neumann :

(7) ( )( )ρρ ~lnˆTrkS −=

où k est la constante de Boltzmann.

L'entropie d'un état pur est nulle car il n'y a aucune incertitude sur l'état du système. On peut aussi

trouver une base où la matrice est diagonale, avec des 0 et un 1 sur la diagonale, ce qui donne bien

une entropie égale à 0.

VI.2. Introduction Les implications du programme de décohérence pour les fondations de la mécanique quantique ont

été le sujet de débats continuels depuis la première formulation précise du programme au début des

années 1980. L'idée clé promue par la décohérence est basée sur le fait que des systèmes quantiques

réalistes ne sont jamais isolés mais sont immergés dans l'environnement et interagissent

continuellement avec lui. Le programme de décohérence étudie alors, entièrement dans le

formalisme quantique standard (c'est à dire sans ajouter de nouveaux éléments à la théorie

mathématique ou à ses interprétations), la formation résultante de corrélations quantiques entre les

états du système et son environnement et les effets souvent surprenant de ces interactions système -

environnement. En bref, la décohérence met en lumière une suppression locale des interférences

entre états privilégiés sélectionnés par l'interaction avec l'environnement.

Bub (1997) a décrit la partie décohérence de la "nouvelle orthodoxie" de la compréhension de la

mécanique quantique comme le chemin du physicien motivant les postulats de la mécanique

quantique à partir de principes physiques. Les partisans de la décohérence l'ont appelée un

"accident historique" (Joos, 1999, p.13) car les applications pour la mécanique quantique et pour les

problèmes de fondations associés furent ignorées pendant longtemps. Zurek (2003a, p.717) suggère

:

L'idée que l'ouverture d'un système quantique puisse avoir quelque chose à voir avec la transition

du quantique au classique a été ignorée pendant très longtemps, probablement parce que les

problèmes de physique classique fondamentalement important étaient toujours établis dans des

systèmes isolés.

Quand le concept de décohérence fut d'abord introduit pour une audience scientifique plus large par

l'article de Zurek (1991) publié dans Physics Today, il déclencha une série de commentaires

controversés de la part des lecteurs (voir la publication de Physics Today avril 1993). En réponse

aux critiques, Zurek (2003a, p.718) déclare :

Dans un champ où la controverse a régné aussi longtemps, cette résistance à un nouveau

paradigme [c'est à dire la décohérence] n'est pas surprenante.

Omnès (2003, p.2) estime :

La découverte de la décohérence a déjà beaucoup amélioré notre compréhension de la mécanique

quantique. (...) Mais ses fondations, le domaine de sa validité et sa complète signification sont

encore assez obscurs. Cela est dû probablement au fait qu'elle traite d'aspects profonds de la

physique qui ne sont pas encore entièrement analysés.

En particulier, la question de savoir si la décohérence fournit, ou au moins suggère, une solution au

problème de la mesure de la mécanique quantique a été discuté pendant plusieurs années. Par

exemple, Anderson (2001, p.492) écrit dans une revue d'essais :

Le dernier chapitre (...) traite du problème de la mesure quantique (...). Mon test principal, me

permettant de court-circuiter la discussion extensive, a été une recherche rapide et infructueuse,

dans l'index, du mot "décohérence" qui décrit le processus qui est utilisé pour la "réduction de la

fonction d'onde".

Zurek parle en différents endroits de la réduction "apparente" ou "effective" de la fonction d'onde

induite par l'interaction avec l'environnement (quand il est plongé dans un cadre d'une interprétation

minimale supplémentaire) et conclut (Zurek, 1998, p.1793) :

Une "réduction" dans le sens traditionnel n'est plus nécessaire. (...) L'émergence de "l'existence

objective" [à partir de la décohérence] (...) réduit de manière significative et élimine même peut-

être le rôle de la réduction du vecteur d'état.

D'Espagnat, qui défend une vue qui considère l'explication de nos expériences (c'est-à-dire les

"apparitions") comme la seule demande "sûre" pour une théorie physique, déclare (d'Espagnat,

2000, p.136) :

Pour les systèmes macroscopiques, les apparitions sont celles du monde classique (pas

d'interférence, etc.), même dans les circonstances, telles que celles se produisant dans les mesures

quantiques, où les effets quantiques prennent place et où les probabilités quantiques interviennent

(...). La décohérence explique les apparitions mentionnées c'est le résultat le plus important. (...)

Aussi longtemps que nous resterons dans la réalité des seules prédictions que nous observons (c'est

à dire qui nous apparaissent), et que nous évitons d'affirmer quoi que ce soit sur "les choses qui

doivent être avant que nous les observions", aucune rupture dans la linéarité de la dynamique

quantique n'est nécessaire.

Dans son livre monumental sur les fondations de la mécanique quantique, Auletta (2000, p.791)

conclu que :

La théorie de la mesure pourrait être une partie de l'interprétation de la mécanique quantique

seulement pour étendre ce qui est encore un problème ouvert, et nous pensons que ce n'est

largement plus le cas.

C'est principalement parce que pour Auletta (p.289),

La décohérence est capable de résoudre pratiquement tous les problèmes de la mesure qui ont été

discuté dans les chapitres précédents.

D'un autre coté, même les principaux adhérents de la décohérence sont prudents sur le fait que la

décohérence a résolu le problème de la mesure. Joos (1999, p.14) écrit :

Est-ce que la décohérence résout le problème de la mesure ? Clairement non. Ce que la

décohérence nous dit est que certains objets apparaissent classiques quand ils sont observés. Mais

qu'est-ce qu'une observation ? A un certain moment, nous devons encore appliquer les règles

habituelles de probabilité de la théorie quantique.

Parmi toutes ces déclarations, Kiefer et Joos (1998, p.5) avertissent que :

On trouve souvent explicitement ou implicitement des déclarations sur l'effet que les processus ci-

dessus sont équivalent à la réduction de la fonction d'onde (ou même résolvent le problème de la

mesure). De telles déclarations sont certainement non fondées.

En réponse au commentaire d'Anderson (2001, p.492), Adler (2003, p.136) déclare :

Je ne crois pas que des calculs théoriques détaillés ou que les résultats expérimentaux récents

montrent que la décohérence a résolu les difficultés associées avec la théorie quantique de la

mesure.

De même, Bacciagaluppi (2003b, p.3) écrit :

Les affirmations simultanées que le problème de la mesure est réel et que la décohérence le résout

sont au mieux des confusions.

Zeh affirme (Joos et al., 2003, Ch.2) :

La décohérence en elle-même ne résout pas encore le problème de la mesure (...). Cet argument est

néanmoins répandu dans la littérature. (...) Il semble que le problème de la mesure peut seulement

être résolu si la dynamique de Schrödinger (...) est complétée par une réduction non unitaire (...).

Les réussites clés du programme de décohérence, en dehors de leurs applications pour les

problèmes conceptuels, ne semblent pas non plus être universellement comprises. Zurek (1998,

p.1800) remarque :

L'aspect diagonal éventuel de la matrice densité (...) est un sous-produit (...) mais pas l'essence de

la décohérence. J'insiste sur cela car l'aspect diagonal de la matrice densité dans certaines bases a

été occasionnellement (mal) interprété comme un accomplissement clé de la décohérence. C'est une

erreur. Toute matrice densité est diagonalisable dans certaines bases. Cela apporte peu à

l'interprétation.

Ces remarques controversées montrent qu'une discussion équilibrée sur les aspects clés de la

décohérence et leurs implications pour les fondations de la mécanique quantique est dépassée. Le

programme de décohérence a fait de grands progrès pendant la dernière décennie et il serait

inapproprié d'ignorer sa pertinence dans les problèmes conceptuels. Cependant, il est également

important de réaliser les limites de la décohérence pour fournir des réponses consistantes et non

circulaires aux questions de fondation.

Une excellente revue du programme de décohérence a récemment été donnée par Zurek (2003). Il

traite principalement des techniques de la décohérence, bien qu'il contient quelques discussions sur

comment la décohérence peut être employée dans le contexte d'une interprétation d'états relatifs

pour motiver les postulats de base de la mécanique quantique. Utile pour une première orientation

et un premier aperçu, la section de Bacciagaluppi (2003a) dans l'encyclopédie de Standford de

philosophie fournit (par comparaison à cette présentation relativement courte) une introduction au

rôle de la décohérence dans les fondations de la mécanique quantique, incluant des commentaires

sur la relation entre la décohérence et plusieurs interprétations populaires de la théorie quantique.

En dépit de ces contributions récentes de valeur à la littérature, une discussion détaillée et complète

du rôle de la décohérence dans les fondations de la mécanique quantique semble encore en suspens.

Nous commencerons par un résumé du problème de la mesure qui illustre les difficultés clés qui

sont associées avec la description de la mesure quantique dans le formalisme quantique et qui sont

toutes traitées sous une certaine forme par le programme de décohérence. Ensuite nous introduirons

alors et discuterons les principaux aspects de la théorie de la décohérence en insistant

particulièrement sur leurs implications sur les fondations.

VI.3. Le problème de la mesure Un des éléments les plus révolutionnaires introduit dans la théorie physique par la mécanique

quantique est le principe de superposition, mathématiquement fondé par la linéarité de l'espace de

Hilbert. Si 1 et 2 sont deux états alors la mécanique quantique nous dit que toute combinaison

linéaire 21 βα + correspond aussi à un état possible. Bien que de telles superposition d'états

aient été intensivement expérimentalement vérifiées pour des systèmes microscopiques (par

exemple à travers l'observation d'effets d'interférence), l'application du formalisme aux systèmes

macroscopiques semble conduire immédiatement à plusieurs conflits avec notre expérience de la

vie de tous les jours. Un livre n'a jamais été observé être dans un état à la fois "ici" et "là" (c'est-à-

dire être une superposition de positions macroscopiques distinctes) et un chat de Schrödinger qui

est une superposition de vivant et mort n'a pas beaucoup de ressemblance avec ce que nous

percevons. Le problème est alors de réconcilier l'immensité de l'espace de Hilbert des états

possibles avec l'observation du nombre considérablement plus faible d'états macroscopiques

"classiques" définis par un petit nombre de propriétés déterminées et robustes tel que la position et

le moment. Pourquoi le monde nous apparaît-il classique en dépit de la nature quantique sous-

jacente supposée qui devrait en principe permettre des superpositions arbitraires ?

VI.3.1. Schéma de mesure quantique Cette question est habituellement illustrée dans le contexte de la mesure quantique où des

superpositions microscopiques sont, via l'intrication quantique, amplifiées dans la réalité

macroscopique et conduisent donc à des états très "non classiques" qui ne semblent pas

correspondre à ce qui est réellement perçu à la fin de la mesure. Dans le schéma de mesure idéale

imaginé par von Neumann (1932), un système S (typiquement microscopique), représenté par une

base de vecteurs { }nS dans un espace de Hilbert SH , interagit avec un appareil de mesure A,

décrit par une base de vecteurs { }nA générant un espace de Hilbert AH où les nA sont supposés

correspondre à des positions "pointeurs" macroscopiquement discernables qui correspondent aux

résultats d'une mesure si S est dans l'état nS (par exemple la position d'une aiguille sur un cadran

indiquant le résultat de la mesure).

Notons que le schéma de von Neumann est en contraste abrupt avec l'interprétation de Copenhague

où la mesure n'est pas traitée comme une interaction système - appareil mais plutôt comme une

composante indépendante de la théorie, représentée entièrement en termes fondamentalement

classiques.

Maintenant, si S est dans une superposition (microscopiquement "non problématique") ∑n nn Sc

et A est dans l'état initial "prêt" rA , la linéarité de l'équation de Schrödinger implique que le

système total S-A, supposé être représenté par l'espace de Hilbert produit H AS HH ⊗ , évolue selon

:(1) ∑∑ →

n

nnn

t

r

n

nn AScASc

Cette évolution dynamique est souvent appelée une prémesure afin d'insister sur le fait que le

processus décrit par l'équation (1) ne suffit pas pour conclure directement qu'une mesure a

réellement été effectuée. Cela pour deux raisons. Premièrement, le coté droit est une superposition

d'états système - appareil. Donc, sans fournir un processus physique additionnel (disons un certain

mécanisme de réduction de la fonction d'onde) ou en donnant une interprétation appropriée d'une

telle superposition, il n'est pas clair comment prendre en compte, étant donné l'état final composite,

les positions définies des pointeurs qui sont perçus comme le résultat d'une mesure réelle - c'est-à-

dire pourquoi percevons-nous le pointeur dans une position nA mais pas dans une superposition

de positions (le problème des résultats définis) ? Deuxièmement, le développement de l'état

composite final n'est en général pas unique et donc l'observable mesuré n'est pas défini de manière

unique non plus (problème de la base privilégiée). La première difficulté est typiquement appelée

dans la littérature le problème de la mesure, mais le problème de la base privilégiée est au moins

aussi important puisqu'il n'y a même pas de sens à s'inquiéter d'un résultat spécifique si l'ensemble

des résultats possibles n'est pas clairement défini. Nous regarderons donc le problème de la mesure

comme étant composé à la fois du problème des résultats définis et du problème de la base

privilégiée et nous discuterons de ces composantes plus en détail dans la suite.

VI.3.2. Le problème des résultats définis

VI.3.2.1. Superpositions et ensembles Le coté droit de l'équation (1) de la section précédente implique qu'après la prémesure le système

combiné S-A est dans un état pur qui représente une superposition linéaire d'états système -

pointeurs. C'est une propriété bien connue et importante de la mécanique quantique qu'une

superposition d'états est fondamentalement différente d'un ensemble classique d'états, où le système

est réellement dans seulement un des états mais nous ne savons simplement pas lequel (cela est

souvent appelé l'ensemble "ignorance interprétable" ou "propre").

Cela peut explicitement être montré spécialement à des échelles microscopiques en effectuant des

expériences qui conduisent à une observation directe des figures d'interférences au lieu de la

réalisation d'un des termes de l'état pur superposé, par exemple, dans un dispositif où des électrons

passent individuellement (un à la fois) à travers deux fentes. Comme c'est bien connu, cette

expérience montre clairement que, dans le formalisme standard de la mécanique quantique,

l'électron ne doit pas être décrit par une des fonctions d'onde décrivant le passage de l'électron à

travers une fente particulière ( 1ψ ou 2ψ ) mais seulement par la superposition de ces fonctions

d'onde ( 21 ψψ + ) puisque la distribution de densité correcte ρ de la figure sur l'écran n'est pas

donnée par la somme des carrés des fonctions d'onde décrivant l'addition de passages individuels à

travers une seule fente (2

2

2

1 ψψρ += ) mais seulement par le carré de la somme des fonctions

d'onde individuelles (2

21 ψψρ += ).

En d'autres mots, si un ensemble interprétation pouvait être attaché à une superposition, cette

dernière représenterait simplement des états déterminés plus fondamentalement et basé sur la

connaissance additionnelle donnée par les résultats des mesures, nous pourrions choisir simplement

un sous-ensemble consistant en états de pointeurs définis obtenus dans la mesure. Mais alors,

puisque l'évolution dans le temps a été strictement déterministe selon l'équation de Schrödinger,

nous pourrions faire marche à arrière dans le temps à ce sous-ensemble et donc aussi spécifier l'état

initial plus complètement ("post - sélection") et donc cet état ne pourrait nécessairement pas être

identique à l'état préparé initialement sur le coté gauche de l'équation (1) de la section précédente.

VI.3.2.2. Superpositions et attribution du résultat Dans l'interprétation standard ("orthodoxe") de la mécanique quantique, un observable

correspondant à une quantité physique a une valeur définie si et seulement si le système est dans un

état propre de l'observable. Si le système est cependant dans une superposition de tels états propres,

comme dans l'équation de mesure, il est, selon l'interprétation orthodoxe, sans signification de

parler de l'état du système comme ayant toutes les valeurs définies de l'observable à la fois (c'est

habituellement appelé "le lien valeur propre - état propre" ou "lien v-e" pour faire court). Le lien v-

e, cependant, ne nous est pas forcé par la structure de la mécanique quantique ou par des

contraintes empiriques (Bub, 1997). Le concept de "valeurs" (classiques) qui peuvent être

attribuées à travers le lien v-e basé sur les observables et l'existence d'états propres exacts de ces

observables a donc fréquemment été affaibli ou abandonné. Par exemple, les résultats des mesures

sont typiquement enregistrés dans l'espace position (pointeurs positions, etc.) mais il n'existe pas

d'état propre exact de l'opérateur position et les états pointeurs ne sont jamais exactement

mutuellement orthogonaux. On peut alors (explicitement ou implicitement) promouvoir un lien v-e

"flou" ou créer le concept d'observables et de valeurs entièrement et directement comme des

fonctions d'onde qui évoluent dans le temps (en travaillant dans le point de vue de Schrödinger) et

les matrices densité correspondantes. Aussi, s'il est considéré suffisant d'expliquer nos perceptions

plutôt que de décrire l'état "absolu" de l'univers entier (voir l'argument ci-dessous), on peut

seulement demander que le lien v-e (exact ou flou) soit valable dans un sens "relatif", c'est à dire

pour l'état du reste de l'univers relativement à l'état de l'observateur.

Alors, pour résoudre le problème des états définis, certaines interprétations (par exemple les

interprétations modales et les interprétations des états relatifs) interprètent la superposition de l'état

final de manière à expliquer l'existence, ou au moins la perception subjective, de "résultats" même

si l'état composite final a la forme d'une superposition. D'autres interprétations tentent de résoudre

le problème de la mesure en modifiant la dynamique strictement unitaire de Schrödinger. La plus

importante, l'interprétation orthodoxe postule un mécanisme de réduction qui transforme une

matrice de densité d'états purs en un ensemble ignorance interprétable d'états individuels (une

"mixture propre"). Les théories avec réduction physique de la fonction d'onde ajoutent des termes

stochastiques à l'équation de Schrödinger qui induit une réduction effective (bien qu'approximative)

pour les états des systèmes macroscopiques (Ghirardi et al., 1986, Gisin, 1984, Pearle, 1979, 1999)

tandis que d'autres auteurs suggèrent que la réduction se produit au niveau de l'esprit d'un

observateur conscient (Stapp, 1993, Wigner, 1963). La mécanique de Bohm, d'autre part, maintient

une évolution dans le temps unitaire de la fonction d'onde mais introduit une loi dynamique

additionnelle qui gouverne explicitement les positions toujours déterminées de toutes les particules

dans le système.

VI.3.2.3. Valeurs définies objectives vs subjective s En général, la valeur définie (macroscopique), et donc une solution aux problèmes des résultats

dans la théorie quantique de la mesure, peut être obtenue à un niveau ontologique (objectif) ou

observationnel (subjectif). Les valeurs définies objectives s'efforcent d'assurer des valeurs définies

"réelles" dans le monde macroscopique tandis que les valeurs définies subjectives tentent seulement

d'expliquer pourquoi le monde macroscopique semble être défini, et donc ne tentent pas de définir

la réalité physique sous-jacente (quelle que puisse être cette réalité). Cela soulève la question de la

signification de cette distinction par rapport à la formation d'une théorie satisfaisante du monde

physique. Il peut sembler qu'une solution au problème de la mesure basée sur une valeur définie

garantie subjective, mais pas objective, est seulement bonne "pour tout usage pratique", abrégé, de

manière plutôt désobligeante, comme "FAPP" par Bell (1990) (For All Practical Purpose), et donc

n'est pas capable de résoudre le problème "fondamental" qui semblerait pertinent pour la

construction d'une théorie précise que Bell réclamait de manière si véhémente.

Il semble, cependant, que cette critique n'est pas justifiée et que les valeurs définies subjectives

pourraient être vues à l'égal des valeurs définies objectives par rapport à une solution satisfaisante

de problème de la mesure. Nous demandons des valeurs définies objectives car nous faisons

l'expérience au niveau subjectif de l'observation et cela ne devrait pas être vu comme une nécessité

a priori pour une théorie physique. Si nous savons indépendamment de notre expérience que les

valeurs définies existent dans la nature, des valeurs subjectives en suivraient probablement aussi tôt

que nous employons un modèle qui relie le phénomène physique "externe" avec notre appareil

perceptif et cognitif "interne" où la simplicité attendue d'un tel modèle peut être justifiée en se

référant à l'identité présumée des lois physiques gouvernant les processus externes et internes. Mais

puisque la connaissance est basée sur l'expérience, c'est à dire sur l'observation, l'existence de

valeurs définies objectives peut seulement être dérivée de l'observation de valeurs définies. Et de

plus, l'observation nous dit que les valeurs définies ne sont en fait pas une propriété universelle de

la nature, mais plutôt une propriété des objets macroscopiques où la ligne de démarcation de la

réalité macroscopique est difficile à tracer précisément. Des expériences d'interférence

mésoscopiques ont démontré clairement de flou de cette limite. Etant donné la perte de définition

précise de la limite, toute demande pour des valeurs définies fondamentales au niveau objectif

devrait être basé sur un engagement beaucoup plus profond et plus général vers des valeurs définies

qui s'appliquent à toute entité physique (ou système), de long en large, sans s'occuper de sa taille ou

de ses propriétés physiques.

Donc, si nous réalisons que la sensation souvent profonde que l'engagement à des valeurs définies

objectives générales est seulement basée sur notre expérience des systèmes macroscopiques et que

ces valeurs définies échouent en fait d'une manière observable pour les systèmes microscopiques et

même certains systèmes mésoscopiques, on ne voit pas de fondement astreignant sur lequel les

valeurs définies objectives doivent être exigées comme une partie d'une théorie physique

satisfaisante pourvu que la théorie puisse prendre en compte des valeurs définies subjectives

observationnelles en accord avec notre expérience. Donc, nous suggérons d'attribuer la même

légitimité aux propositions pour une solution du problème de la mesure qui réalise "seulement" des

valeurs définies subjectives mais pas objectives. Après tout, le problème de la mesure vient

seulement d'un affrontement entre notre expérience et certaines implications du formalisme

quantique. D'Espagnat (2000, pp. 134-135) a défendu un point de vue similaire :

Le fait que nous percevions des "choses" comme les objets macroscopiques en des endroits précis

est dû, au moins partiellement, à la structure de nos sens et de notre équipement intellectuel. Nous

ne devrions donc pas l'écarter de l'ensemble des connaissances sûres que nous avons pour prendre

en compte la définition d'un état quantique. (...) En fait, les scientifiques affirment avec raison que

le but de la science est de décrire l'expérience humaine et pas de décrire "ce qu'est la réalité", et

aussi longtemps que nous désirons décrire l'expérience humaine, c'est-à-dire aussi longtemps que

nous nous contentions d'être capable de prédire ce qui sera observé dans toutes les circonstances

possibles (...) nous n'aurons pas besoin de postuler l'existence, dans un certain sens absolu,

d'objets non observés (c'est à dire pas encore observés) ayant une place précise dans l'espace

ordinaire à trois dimensions.

VI.3.3. Le problème de la base privilégiée La seconde difficulté associée à la mesure quantique est connue comme le problème de la base

privilégiée qui démontre que l'observable mesuré n'est en général pas défini de manière unique par

l'équation de mesure. Pour tout choix d'états systèmes { }nS , nous pouvons trouver des états

appareils correspondant { }nA et vice versa, pour réécrire de manière équivalente l'état final

émergeant de l'interaction de prémesure, c'est-à-dire le coté droit de l'équation de mesure. En

général, cependant, pour certains choix d'états appareils, les nouveaux états systèmes

correspondants ne seront pas mutuellement orthogonaux, ainsi l'observable associé à ces états ne

sera pas hermitique ce qui n'est habituellement pas désirable (bien que non interdit, voir la

discussion de Zurek, 2003). Inversement, pour assurer des résultats distincts, nous devons en

général exiger (au moins approximativement) l'orthogonalité des états (pointeurs) appareils et il suit

alors du théorème de décomposition biorthogonal que le développement de l'état final de prémesure

système - appareil de l'équation de mesure :

(2) ∑=n

nnn AScψ

est unique mais seulement si tous les coefficients nc sont distincts. Autrement, nous pouvons en

général réécrire l'état en termes de vecteurs d'états différents,

(3) ∑ ′′′=n

nnn AScψ

et le même état de post-mesure semble correspondre à deux mesures différentes, c'est-à-dire aux

observables ∑=n nnn SSA λ et ∑ ′′′=

n nnn SSB λ du système, bien qu'en général A et B ne

commutent pas.

Comme exemple, considérons un espace de Hilbert 21 HHH ⊗= où 1H et 2H sont des espaces

de spin à deux dimensions avec des états correspondant au spin haut et bas le long d'un axe donné.

Supposons que nous ayons un état de spin intriqué de la forme EPR

(4) ( )2121

2

1 +−−−+= ZZZZψ

où 12

±Z représentent les états propres de l'observable zσ correspondant au spin haut et bas le

long de l'axe z des deux systèmes 1 et 2. L'état ψ peut cependant être exprimé de manière

équivalente dans la base de spin correspondant à une autre orientation dans l'espace. Par exemple,

en utilisant les états propres 12

±X de l'observable xσ (qui représente une mesure de l'orientation

du spin le long de l'axe x) comme vecteurs de base, nous avons

(4) ( )2121

2

1 +−−−+= XXXXψ

Maintenant supposons que le système 2 agit comme un dispositif de mesure pour le spin du

système 1. Alors les équations (3) et (4) impliquent que le dispositif de mesure a établit une

corrélation avec à la fois le spin z et x du système 2. Cela signifie que, si nous interprétons la

formation d'une telle corrélation comme une mesure dans l'esprit du schéma de von Neumann (sans

supposer de réduction), notre appareil (système 2) pourrait être considéré comme ayant mesuré

aussi le spin x une fois qu'il a mesuré le spin z et vice versa, en dépit de la non-commutativité des

observables de spin correspondants xσ et zσ . De plus, puisque nous pouvons écrire l'équation (3)

d'une infinité de manière différente, il semble qu'une fois que l'appareil a mesuré le spin du système

1 le long d'une direction, il peut aussi être vu comme ayant mesuré le spin le long de toute autre

direction, à nouveau en contradiction apparente avec la mécanique quantique due à la non-

commutativité des observables de spin correspondants à différentes orientations spatiales.

Il semble donc que la mécanique quantique n'a rien à dire sur quels observables du système sont

enregistrés, via la formation des corrélations quantiques, par l'appareil. Cela peut être formulé en un

théorème général (Auletta, 2000, Zurek, 1982) : quand la mécanique quantique est appliquée à un

objet composite isolé consistant en un système S et un appareil A, elle ne peut pas déterminer quel

observable du système a été mesuré, en contradiction évidente avec notre expérience des appareils

de mesure qui semblent être "conçus" pour mesurer certaines quantités.

VI.3.4. La transition quantique - classique et la d écohérence En essence, comme nous l'avons vu ci-dessus, le problème de la mesure traite de la transition d'un

monde quantique, décrit par des superpositions essentiellement arbitraires de vecteurs d'états, à

notre perception des états "classiques" du monde macroscopique, c'est à dire un ensemble

relativement très petit d'états permis par le principe de superposition de la mécanique quantique

ayant seulement quelques propriétés déterminées et robustes tel que la position, le moment, etc. La

question de pourquoi et comment notre expérience d'un monde "classique" émerge de la mécanique

quantique réside donc au cœur des problèmes de fondation de la théorie quantique.

La décohérence a revendiqué fournir une explication de cette transition quantique - classique en

recourant à l'immersion ubiquiste de virtuellement tous les systèmes physiques dans leur

environnement ("monitoring environnemental"). Cette tendance peut aussi être joliment perçue

dans les titres de certains articles, par exemple, "l'émergence des propriétés classiques à travers

l'interaction avec l'environnement" (Joos et Zeh, 1985), "la décohérence et la transition du

quantique au classique" (Zurek, 1991) et "la décohérence et l'apparition d'un monde classique dans

une théorie quantique" (Joos et al., 2003). Nous analyserons de manière critique à quel point le

recours à la décohérence pour la transition quantique - classique est justifié.

VI.4. Le programme de décohérence Comme remarqué plus tôt, la théorie de la décohérence est basée sur une étude des effets

occasionnés par l'interaction des systèmes physiques avec leur environnement. En physique

classique, l'environnement est habituellement vu comme une sorte de perturbation ou de bruit qui

perturbe le système considéré influençant négativement l'étude de ses propriétés "objectives". Donc

la science a établit l'idéalisation de systèmes isolés avec une physique expérimentale tentant

d'éliminer toutes les sources extérieures de perturbation autant que possible pour retrouver la

"vraie" nature sous-jacente du système étudié.

Le phénomène totalement non classique d'intrication, cependant, a démontré que la corrélation

entre deux systèmes peut être fondamentalement importante et peut conduire à des propriétés qui ne

sont pas présentes dans les systèmes individuels. En bref, cela signifie que le tout (de la mécanique

quantique) est différent de la somme de ses parties. La vision ancienne de regarder les phénomènes

venant de l'intrication quantique comme "paradoxal" a généralement été remplacée par la

reconnaissance de l'intrication comme une propriété fondamentale de la nature.

Le programme de décohérence (à partir des idées et concepts clés, voir Joos et Zeh (1985), Joos et

al. (2003), Kübler et Zeh (1973), Zeh (1970, 1973, 1995, 1996, 1999), Zurek (1981, 1982, 1991,

1993, 2003)) est basée sur l'idée que de telles corrélations sont ubiquistes, que pratiquement tous

les systèmes physiques doivent interagir d'une certaine manière avec leur environnement (par

exemple avec les photons environnant qui créent alors l'expérience visuelle de l'observateur) qui

consiste typiquement en un grand nombre de degrés de liberté qui sont difficilement totalement

contrôlés. C'est seulement dans des cas très particuliers de phénomènes typiquement

microscopiques (atomiques), tel que l'affirme le programme de décohérence, que l'idéalisation de

systèmes isolés est applicable et que les prédictions de la mécanique quantique linéaire (c'est-à-dire

une grand classe de superpositions d'états) peuvent réellement être confirmés par l'observation.

Dans la majorité des cas accessibles à notre expérience, cependant, l'interaction avec

l'environnement est si dominante qu'elle empêche l'observation du monde quantique "pur"

(Cisnerosy et al., 1998, Galindo et al., 1962, Giulini, 2000, Wick et al., 1952, 1970, Wightman,

2005) dans l'espace des états observables qui conduit à des états correspondant aux propriétés

"classiques" de notre expérience. Les interférences entre de tels états sont localement supprimées et

sont donc devenues inaccessibles à l'observateur.

L'aspect probablement le plus surprenant de la décohérence est l'efficacité des interactions système

- environnement. La décohérence a typiquement lieu sur des échelles de temps extrêmement

courtes et nécessite la présence de seulement un environnement minimal (Joos et Zeh, 1985). A

cause du grand nombre de degrés de liberté de l'environnement, il est habituellement très difficile

de démêler l'intrication système - environnement ce qui a été affirmé comme une source de notre

impression de l'irréversibilité de la nature (voir Zurek, 2003, et les références inclues). En général,

l'effet de la décohérence s'accroît avec la taille du système (des échelles microscopiques aux

macroscopiques) mais il est important de noter qu'il existe des exemples, considérés comme

quelque peu exotiques, où l'influence décohérente de l'environnement peut être suffisament

atténuée pour conduire à des superpositions mésoscopiques et même macroscopiques, par exemple

dans le cas des dispositifs supraconducteurs à interférences quantiques (SQUID) où la

superposition de courants macroscopiques devient observable. Inversement, certains systèmes

microscopiques (par exemple certaines molécules chirales qui existent dans différentes

configurations spatiales distinctes) peuvent être sujets à une décohérence remarquablement forte.

Le programme de décohérence traite des deux principales conséquences de l'interaction de

l'environnement :

1. Décohérence induite par l'environnement. La suppression locale rapide de l'interférence entre

les différents états du système. Cependant, puisque seule l'évolution unitaire dans le temps est

employée, une phase globale de cohérence n'est pas vraiment détruite. Elle devient absente de la

matrice de densité locale qui décrit le système seul mais reste entièrement présente dans la

composition totale système - environnement.

Notons que la persistance de la cohérence dans l'état total est importante pour assurer la

possibilité de décrire des cas spéciaux où des superpositions mésoscopiques ou macroscopiques

ont été expérimentalement réalisées.

2. Super sélection induite par l'environnement. La sélection des ensembles d'états privilégiés,

souvent appelée "pointeurs d'états", qui sont robustes (dans le sens de corrélations maintenues

dans le temps) en dépit de leur immersion dans l'environnement. Ces états sont déterminés par

la forme de l'interaction entre le système et son environnement et il est suggéré qu'ils

correspondent aux états "classiques" de notre expérience.

Finalement, insistons sur le fait que la décohérence vient d'une application directe du formalisme de

la mécanique quantique à une description de l'interaction des systèmes physiques avec leur

environnement. En elle-même la décohérence n'est donc ni une interprétation, ni une modification

de la mécanique quantique. Donc, les implications de la décohérence doivent être interprétées dans

le contexte des différentes interprétations de la mécanique quantique. Aussi, puisque les effets de la

décohérence ont été étudiés extensivement à la fois dans les modèles théoriques et expérimentaux

(pour un résumé, voir par exemple Joos et al., 2003, Zurek, 2003), leur existence peut être

considérée comme un fait bien confirmé.

VI.4.1. Résolution en sous systèmes Notons que la décohérence dérive de la pré supposition de l'existence et de la possibilité d'une

division du monde en "système(s)" et "environnement". Dans le programme de décohérence, le

terme "environnement" est habituellement compris comme le "reste" du système dans le sens que

ses degrés de liberté ne sont typiquement pas (ou ne peuvent pas être ou n'ont pas besoin d'être)

contrôlés et ne sont pas directement pertinents pour l'observation considérée (par exemple, les

nombreux degrés de liberté microscopiques du système), mais que l'environnement inclut

néanmoins "tous ces degrés de liberté qui contribuent de manière significative à l'évolution de l'état

de l'appareil" (Zurek, 1981, p. 1520).

Ce dualisme système - environnement est généralement associé avec l'intrication quantique qui

décrit toujours une corrélation entre des parties de l'univers. Sans résoudre l'univers en sous

systèmes individuels, le problème de la mesure disparaît évidemment : le vecteur d'état ψ de

l'univers entier (si nous osons postuler cet état total , voir les contrarguments de Auletta (2000))

évolue de manière déterministe selon l'équation de Schrödinger ψψ Hti =∂∂ /h qui ne pose

aucune difficulté d'interprétation. C'est seulement lorsque nous décomposons l'espace de Hilbert

des états totaux H de l'univers en un produit de deux espaces 21 HH ⊗ et que nous formons le

vecteur d'état joint 21 ψψψ = et que nous désirons décrire un état individuel (à coté de l'état

joint qui décrit une corrélation) d'un des deux systèmes (disons l'appareil) que le problème de la

mesure survient. Zurek (2003a, p. 718) pose cela comme :

En l'absence de système, le problème de l'interprétation semble disparaître. Il n'y a tout simplement

pas besoin de "réduction" dans un univers sans système. Notre expérience de la réalité classique ne

s'applique pas à l'univers comme un tout, vu de l'extérieur, mais aux systèmes contenus dedans.

De plus, des termes comme "observation", "corrélation" et "interaction" ont naturellement peu de

sens sans une division en systèmes. Zeh a suggéré que la localité de l'observateur définit une

observation dans le sens que toute observation vient de l'ignorance d'une partie de l'univers et que

cela définit aussi les "faits" qui peuvent se produire dans un système quantique. Landsman (1995,

pp. 45-46) affirme de manière similaire :

L'essence d'une "mesure", "fait", ou "événement" en mécanique quantique tient dans la non-

observation ou la non-pertinence d'une certaine partie du système en question (...) Un monde sans

parties déclarées ou forcées sans intérêt est un monde sans fait.

Cependant, la supposition d'une décomposition de l'univers en sous-systèmes, comme cela apparaît

être nécessaire pour l'émergence du problème de la mesure et pour la définition du programme de

décohérence, est définitivement non triviale. Par définition, l'univers comme un tout est un système

fermé et donc il n'y a pas de "degré de liberté non observé" d'un environnement externe ce qui

permettrait l'application de la théorie de la décohérence pour l'espace des observables quasi-

classiques de l'univers dans son entièreté. Ainsi, il n'existe pas de critère général sur comment

diviser l'espace de Hilbert en sous-systèmes, tandis qu'en même temps beaucoup de ce qui est

attribué comme une propriété du système dépendra de ses corrélations avec d'autres systèmes. Ce

problème devient particulièrement aigu si on désire la décohérence non seulement pour motiver les

explications de la perception subjective de la causalité (comme dans "l'interprétation existentielle

de Zurek", voir Zurek, 1993, 1998, 2003) mais également pour permettre la définition de "macro

faits" quasi-classiques. Zurek (1998, p. 1820) admet cette difficulté conceptuelle sévère :

En particulier, une question qui a souvent été considérée comme admise est fortement peu claire en

tant que fondation du programme de décohérence complet. C'est la question de savoir quels sont

les "systèmes" qui jouent un rôle aussi crucial dans toutes les discussions de la causalité

émergente. (...) [A] l'explication contraignante de ce que sont les systèmes, comment les définir

étant donné, disons, l'hamiltonien complet d'un espace de Hilbert suffisament grand, serait

indubitablement très utile.

Une idée fréquemment proposée est d'abandonner la notion d'une résolution "absolue" et à la place

de postuler la relativité intrinsèque des espaces d'états distincts et des propriétés qui émergent des

corrélations entre ces espaces définis relativement (voir, par exemple, les propositions, non reliées à

la décohérence, de Everett, 1957, Mermin, 1998, Rovelli, 1996). Ici, on peut utiliser la leçon

apprise de l'intrication quantique, c'est-à-dire accepter que ce soit une propriété intrinsèque de la

nature et ne pas voir ses implications contre intuitives, dans le sens non classique, comme des

paradoxes qui demandent une résolution plus importante, comme un signal que la vue relative des

systèmes et corrélations sont en effet un chemin satisfaisant afin d'arriver à une description de la

nature qui est complète et objective comme le domaine de notre expérience (qui est basée sur des

observations inévitablement locales) nous le permet.

VI.4.2. Le concept de matrice de densité réduite Puisque les matrices de densité réduite sont un outil clef de la décohérence, il est intéressant de

résumer brièvement leurs propriétés de base et leur interprétation dans ce qui suit. Le concept de

matrice de densité réduite est relié aux débuts de la mécanique quantique (Furry, 1936, Landau,

1927, von Neumann, 1932, pour quelques remarques historiques, voir Pessoa Jr., 1998). Dans le

contexte d'un système de deux systèmes intriqués dans un état pur de type EPR :

(1) ( )2121

2

1 +−−−+ψ

Il a été réalisé très tôt que pour un observable O qui se rattache seulement au système 1,

21ˆˆˆ IOO ⊗= où I est l'opérateur identité, la matrice de densité état pur ψψρ = conduit, selon la

règle de la trace ( )OO ρTr= et étant donné la règle de Born usuelle pour le calcul des

probabilités, à exactement les mêmes statistiques que la matrice de densité réduite 1ρ qui est

obtenue en prenant la trace sur les degrés de liberté du système 2 (c'est à dire les états 2

+ et 2

− )

(2) 222221 Tr −−+++== ψψψψψψρ

puisque l'on montre facilement que pour cet observable O

(3) ( ) ( )111TrTr OOO ρρψ ==

Ce résultat est valable en général pour tout état pur ∑i Niiii φφφα L21

d'une résolution d'un

système en N sous systèmes où les { }jiφ sont supposés former des bases orthonormales dans leurs

espaces de Hilbert respectifs jH , j =1, ..., N. Pour tout observable O qui se rattache seulement au

système j, Njjj IIOIIIO ⊗⊗⊗⊗= +− LL 1121 , les statistiques de O générées en appliquant la

règle de trace seront identiques que l'on utilise la matrice de densité d'état pur ψψρ = ou la

matrice de densité réduite ψψρ Njjj ,,1,1,,1TrKK +−= puisque à nouveau

( ) ( )jjj OOO ρρ TrTr == .

La situation typique dans laquelle la matrice de densité réduite apparaît est la suivante. Avant une

interaction de type prémesure, les observateurs savent que chaque système individuel est dans un

certain état pur (inconnu). Après l'interaction, c'est à dire après que la corrélation entre les systèmes

est établie, l'observateur a accès seulement à un des systèmes, disons le système 1. Tout ce qui peut

être connu sur l'état du système composite doit donc être dérivé des mesures sur le système 1 qui

conduiront aux résultats possibles du système 1 et leur distribution de probabilité. Toute

information qui peut être extraite par l'observateur est alors exhaustivement et correctement

contenue dans la matrice de densité réduite du système 1 en supposant que la règle de Born pour les

probabilités quantiques soit valable.

Retournons à l'exemple type EPR, équations (1) et (2). Si nous supposons que les états du système

2 sont orthogonaux, 022

=−+ , 1ρ devient diagonal,

(4) ( ) ( )1121

2

1

2

1Tr −−+++== ψψρ

Mais cette matrice de densité est formellement identique à la matrice de densité qui serait obtenue

si le système 1 était dans un état mixte, c'est-à-dire dans un des deux états 1

+ et 1

− avec des

probabilités égales et où c'est une question d'ignorance de savoir dans quel état le système 1 est (ce

qui revient à une interprétation d'ignorance classique d'ensembles "propres"), par opposition à la

superposition ψ où les deux termes sont considérés présent ce qui pourrait en principe être

confirmé par des expériences d'interférences appropriées. Cela implique qu'une mesure d'un

observable qui se rattache seulement au système 1 ne peut pas distinguer entre les deux cas d'état

pur et mixte.

Comme discuté par Bub (1997, pp. 208-210), ce résultat est également valable pour tout observable

du système composite qui se factorise sous la forme 21 OOO ⊗= où 1O et 2O ne commutent pas

avec les opérateurs projections ( )1

±± et ( )2

±± respectivement.

Cependant, notons que l'identité formelle de la matrice de densité réduite à une matrice de densité

d'état mixte est facilement mal interprétée comme impliquant que l'état du système peut être vu

comme mixte aussi (voir aussi la discussion dans d'Espagnat, 1988). Mais les matrices de densité

sont seulement un outil de calcul pour calculer la distribution de probabilité pour l'ensemble des

résultats possibles des mesures. Elles ne spécifient donc pas l'état du système.

Dans ce contexte, nous notons que toute matrice d'état non pur peut être écrite de plusieurs

manières différentes, démontrant que toute partition dans un ensemble particulier d'états quantiques

est arbitraire.

Puisque les deux systèmes sont intriqués et que le système composite total est encore décrit par une

superposition, il suit des règles standards de la mécanique quantique qu'aucun état individuel défini

ne peut être attribué à un des systèmes. La matrice de densité réduite ressemble à une matrice de

densité mixte car si on mesure réellement un observable du système, on devrait s'attendre à avoir un

résultat défini avec une certaine probabilité. En termes de mesures statistiques, cela est équivalent à

une situation où le système était dans un des états de l'ensemble possible des résultats depuis le

début, c'est à dire avant la mesure. Comme Pessoa Jr. (1998, p. 432) le dit,

Prendre une trace partielle revient à une version statistique du postulat de projection.

VI.4.3. Un schéma de mesure de von Neumann modifié Reconsidérons maintenant le modèle de von Neumann de la mesure quantique idéale, mais

maintenant avec l'environnement inclut. Nous désignerons l'environnement par E et nous

représenterons son état avant l'interaction de mesure par le vecteur d'état initial 0E dans un

espace de Hilbert EH . Comme d'habitude nous supposerons que l'espace d'état de l'objet composite

système - environnement - appareil est donné par le produit tensoriel des espaces de Hilbert

individuel, EAS HHH ⊗⊗ . La linéarité de l'équation de Schrödinger conduit alors à l'évolution

dans le temps suivante du système entier S-A-E,

(1) ( ) ( )

→

→

∑∑∑n

nnnn

n

nnnr

n

nn EAScEAScEASc 2

0

1

0

où les nE sont les états de l'environnement associés avec les différents états pointeurs nA de

l'appareil de mesure. Notons que tandis que pour deux systèmes, disons S et A, il existe toujours

une décomposition diagonale ("Schmidt") de l'état final de la forme ∑n

nnn ASc , pour les trois

sous systèmes (par exemple S, A et E), une décomposition de la forme ∑n

nnnn EASc n'est pas

toujours possible. Cela implique que l'hamiltonien complet qui induit une évolution dans le temps

du type ci-dessus, équation (1), doit être d'une forme spéciale.

Pour un exemple d'un tel hamiltonien, voir le modèle de Zurek (1981, 1982). Pour un commentaire

critique concernant les limitations sur la forme de l'opérateur évolution et la possibilité d'un

désaccord résultant avec l'évidence expérimentale, voir Pessoa Jr. (1998).

Typiquement, les nE seront des états produits de plusieurs états de sous-systèmes microscopiques

inε correspondant aux parties individuelles qui forment l'environnement, c'est-à-dire

L321 nnnnE εεε= . Nous voyons qu'une corrélation non séparable et, dans la plus part des

cas, dans tous les cas pratiques (à cause du nombre énorme de degrés de liberté de

l'environnement), irréversibles entre les états de la combinaison système - appareil avec les

différents états de l'environnement E a été établie. Notons que l'équation (1) implique aussi que

l'environnement a enregistré l'état de la composition système - appareil. L'environnement agit donc

comme un dispositif de mesure amplificateur d'ordre élevé (puisqu'il est composé de plusieurs

sous-systèmes).

VI.4.4. Décohérence et suppression locale d'interfé rence L'interaction avec l'environnement conduit typiquement à une annulation rapide des termes

diagonaux dans la matrice de densité locale décrivant la distribution de probabilité pour le résultat

des mesures sur le système. Cet effet est maintenant connu comme la décohérence induite par

l'environnement et il a aussi fréquemment été affirmé impliquer une résolution au moins partielle

du problème de la mesure.

VI.4.4.1. Formalisme général Plus haut, nous avons déjà introduit le concept de matrices de densité locales (ou réduites) et

indiqué leur cadre interprétatif. Dans le contexte du programme de décohérence, les matrices de

densité réduites apparaissent comme suit. Toute observation sera typiquement restreinte à la

composante système - appareil, S-A, tandis que les nombreux degrés de liberté de l'environnement

E restent inobservés. Bien sûr, typiquement certains degrés de liberté de l'environnement seront

toujours inclus dans notre observation (par exemple certains des photons diffusés par l'appareil) et

nous les inclurons donc dans "la partie S-A observée de l'univers". Le point crucial est qu'il reste un

nombre considérablement plus grand de degrés de liberté de l'environnement qui ne sont pas

observés directement.

Supposons alors que l'opérateur SAO représente un observable de S-A seulement. Sa valeur

moyenne SAO est donnée par

(1) [ ]( ) ( )SASASAESASAESA OIOO ρρ TrTr =⊗=

où la matrice de densité SAEρ de la combinaison totale S-A-E

(2) ∑ ∗=nm

nnnmmmnmSAE EASEAScc,

ρ

a, dans tout cas pratique de prédiction statistique, été remplacée par la matrice de densité locale (ou

réduite) SAρ obtenue en "prenant la trace des degrés de liberté inobservés de l'environnement",

c'est-à-dire

(3) ( ) ∑ ∗==nm

mnnnmmnmSAEESA EEASAScc,

Tr ρρ

Jusqu'ici, SAρ contient des termes caractéristiques d'interférence nnmm ASAS , nm ≠ ,

puisque nous ne pouvons pas supposer a priori que les vecteurs de vase mE de l'environnement

sont nécessairement orthogonaux, c'est-à-dire que 0=mn EE si nm ≠ . Plusieurs modèles

physiques explicites pour l'interaction d'un système avec l'environnement ont cependant montré

qu'à cause du grand nombre de sous-systèmes qui composent l'environnement, les états pointeurs

nE de l'environnement approchent rapidement de l'orthogonalité ( ) mnmn tEE ,δ→ et ainsi la

matrice de densité réduite SAρ devient approximativement orthogonale dans la "base de pointeurs"

{ }nA , c'est-à-dire

(4) ( ) ( ) ( )∑∑ ⊗=→n

A

n

S

nn

n

nnnnn

d

SA

t

SA PPcASASc22

~ρρ

Ici, ( )S

nP et ( )A

nP sont les projecteurs sur les états propres de S et A respectivement. Donc les termes

d'interférence ont disparus dans cette représentation locale, c'est-à-dire que la cohérence de phase a

été totalement perdue. C'est précisément l'effet appelé décohérence induite par l'environnement. La

matrices de densité locale décohérée décrivant la distribution de probabilité des résultats d'une

mesure sur la combinaison système - appareil est formellement (approximativement) identique à la

matrice de densité d'états mixtes. Mais comme nous l'avons signalé plus haut, nous devons

interpréter avec précaution cet état des choses car la cohérence complète est gardée dans la matrice

de densité totale SAEρ .

VI.4.4.2. Un modèle a deux états parfaitement solub le pour la décohérence Pour voir comment l'orthogonalité mutuelle approximative des vecteurs d'états se produit, discutons

d'un modèle simple qui fut d'abord introduit par Zurek (1982). Considérons un système S avec des

états à deux spins { }⇓⇑ , qui interagissent avec l'environnement E décrit par une collection de N

autres spins à deux états représentés par { }kk ↓↑ , , k = 1, ..., N. Les hamiltoniens propres SH et

EH et l'hamiltonien d'auto-interaction EEH de l'environnement sont posés égaux à zéro. Seul

l'hamiltonien d'interaction SEH qui décrit le couplage du spin du système aux spins de

l'environnement est supposé non nul et de la forme

(1) ( ) ( )∑ ′≠′

⊗↓↓−↑↑⊗⇓⇓−⇑⇑=k

kkk

kkkkkSE IgH

où les kg sont les constantes de couplage et kkkkkI ↓↓+↑↑= est l'opérateur identité pour

le spin k de l'environnement. Appliqué à l'état initial avant que l'interaction n'intervienne,

(2) ( ) ( ) ( )kkkk

N

k

ba ↓+↑⇓+⇑= ⊗=

βαψ1

0

cet hamiltonien conduit à une évolution dans le temps de l'état donnée par

(3) ( ) ( ) ( )tEbtEat⇓⇑

⇓+⇑=ψ

où les deux états environnements ( )tE⇑

et ( )tE⇓

sont

(4) ( ) ( ) ( ) ( )( )kkkkk

N

k

tigtigtEtE ↓−+↑=−= ⊗=

⇓⇑expexp

1

βα

La matrice de densité réduite ( ) ( ) ( )( )ttt ES ψψρ Tr= est alors

(5) ( ) ( ) ( ) ⇑⇓+⇓⇑+⇓⇓+⇑⇑= ∗∗∗ batzabtzbatS

22ρ

où le coefficient d'interférence ( )tz qui détermine le poids des éléments non diagonaux dans la

matrice de densité réduite est donné par

(6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∏=

⇓⇑−+==

N

k

kkkk tigtigtEtEtz1

22expexp βα

Et donc

(7) ( ) ( )∏=

−−+=

N

k

kkk tgtz1

22222

2sin11 βα

A t = 0, ( ) 1=tz , c'est-à-dire que les termes d'interférence sont totalement présents, comme attendu.

Si 2

kα = 0 ou 1 pour chaque k, c'est-à-dire si l'environnement est un état propre de l'hamiltonien

d'interaction SEH du type N↑↑↑↑ L321 , et/ou si πmtg k =2 (m = 0, 1, ...), alors ( ) 12 =tz et

la cohérence est maintenue au cours du temps. Cependant, dans des circonstances réalistes, nous

pouvons typiquement supposer une distribution aléatoire des états initiaux de l'environnement

(c'est-à-dire des coefficients kα , kβ ) et des coefficients de couplage kg . Alors, pour la moyenne à

longue durée,

(8) ( ) ( ) 0121

2222 →−+≅ ∞→

=

−

∞→∏ NN

k

kk

N

t

tz βα

ainsi les éléments non diagonaux dans la matrice de densité réduite sont fortement amortis pour de

grands N.

On peut aussi montrer qu'étant donné des hypothèses très générales, sur la distribution des

couplages kg (précisément en demandant que leur distribution initiale ait une variance finie, par

exemple une distribution statistique gaussienne), ( )tz exhibe une dépendance gaussienne du temps

de la forme ( ) ( ) ( )2/expexp~ 22tBiAtrz − , où A et B sont des constantes réelles (Zurek et al.,

2003). Pour le cas particulier où αα =k et gg k = pour tout k, ce comportement de ( )tz peut être

vu immédiatement en réécrivant d'abord ( )tz comme le développement binomial

(9)

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )∑

=

− −

=

−+=N

l

lNl

N

tNligl

N

igtigttz

0

22

22

2exp

expexp

βα

βα

Pour de grands N, la distribution binomiale peut être approchée par une gaussienne

(10) ( )

( ) ( )22

2222

22

2

2/exp

βαπ

βααβα

N

NNl

l

N lNl

−−

≈

−

auquel cas ( )tz devient

(11) ( )( ) ( )

( )( )∑=

−

−−

=N

l

tNElig

N

NNl

tz0

22

2222

exp

2

2/exp

βαπ

βαα

c'est-à-dire que ( )tz est la transformée de Fourrier d'une distribution (approximativement)

gaussienne et est donc elle-même (approximativement) gaussienne.

Les calculs détaillés du modèle, où l'environnement est typiquement représenté par un modèle plus

sophistiqué consistant en une collection d'oscillateurs harmoniques (Caldeira et Leggett, 1993, Hu

et al., 1992, Joos et al., 2003, Unruh et Zurek, 1989, Zurek, 2003, Zurek et al, 2003), ont montré

que l'amortissement se produit sur des échelles de temps extrêmement courtes Dτ qui sont

typiquement plusieurs ordres de grandeur plus court que la relaxation thermique. Même des

systèmes microscopiques tel que de grandes molécules perdent rapidement leur cohérence par

interaction avec le rayonnement thermique sur une échelle de temps qui est dans tous les cas

d'observation pratique beaucoup plus court que toute observation ne pourrait le résoudre. Pour des

systèmes mésoscopiques tel que des particules de poussière, le rayonnement cosmologique à 3K est

suffisant pour conduire à une décohérence forte et immédiate (Joos et Zeh, 1985, Zurek, 1991).

En Dτ , ( )tz approche de zéro et reste proche de zéro, fluctuant avec une déviation standard

moyenne de type marche aléatoire N~σ (Zurek, 1982). Cependant, la périodicité multiple de

( )tz implique que la cohérence et donc la pureté de la matrice de densité réduite réapparaîtra après

un certain temps rτ que l'on peut montrer être très long et du type temps de récurrence de Poincaré

avec !~ Nrτ . Pour des environnements macroscopiques de tailles réalistes mais finies, rτ peut

excéder l'âge de l'univers (Zurek, 1982) mais rester néanmoins finie.

D'un point de vue conceptuel, la récurrence de la cohérence est de peu d'importance. Le temps de

récurrence pourrait seulement être infiniment long dans le cas hypothétique d'un environnement

infiniment grand; dans cette situation les termes non diagonaux dans la matrice de densité réduite

seraient irréversiblement amortis et perdus à la limite ∞→t ce qui est quelque fois vu comme

décrivant une réduction physique du vecteur d'état (Hepp, 1972). Mais ni la supposition de taille ou

de temps infinis ne sont réalisés dans la nature (Bell, 1975), et l'information ne peut pas vraiment

être perdue (comme cela se produit avec une "vraie" réduction du vecteur d'état) via une évolution

unitaire du temps, la cohérence complète est toujours entièrement retenue à tout moment dans la

matrice de densité totale ( ) ( ) ( )tttSAE ψψρ = .

Nous pouvons donc dire la conclusion générale que, excepté pour des systèmes microscopiques ou

mésoscopiques isolés et préparés avec précaution, l'interaction du système avec l'environnement

conduit les éléments non diagonaux de la matrice de densité locale, exprimée dans la base des

pointeurs et décrivant la probabilité de distribution des résultats possibles d'une mesure sur le

système, à devenir extrêmement petits en un temps très court et que ce processus est irréversible

dans toutes les situations pratiques.

VI.4.5. Supersélection induite par l'environnement Revenons à la deuxième principale conséquence de l'interaction avec l'environnement, c'est-à-dire

la sélection induite par l'environnement des états de base stables privilégiés. Nous avons discuté

plus haut que le schéma de mesure de la mécanique quantique comme représenté par l'équation de

mesure ne définit pas de manière unique le développement des états après mesure, et donc laisse

ouverte la question des observables qui peuvent être considérés comme ayant été mesurés par

l'appareil. Cette situation est changée par l'inclusion des états d'environnement pour les deux

raisons suivantes :

1. Supersélection induite par l'environnement d'une base privilégiée. L'interaction entre l'appareil

et l'environnement distingue un ensemble d'observables mutuellement commutants.

2. L'existence d'un théorème d'unicité de tridécomposition (Bub, 1997, Clifton, 1995, Elby et Bub,

1994). Si un état ψ dans un espace de Hilbert 321 HHH ⊗⊗ peut être décomposé sous

forme diagonale ("Schmidt") ∑=i iiii 321

φφφαψ , le développement est unique pourvu

que les { }1iφ et { }

2iφ soient des ensembles de vecteurs normalisés, linéairement

indépendants dans 1H et 2H , respectivement, et que { }3iφ soit un ensemble de vecteurs

normalisés non mutuellement colinéaires dans 3H . Cela peut être généralisé à un théorème

d'unicité de N-décomposition où 3≥N . Notez qu'il n'est pas toujours possible de décomposer

un état pur arbitraire de plus de deux systèmes ( 3≥N ) sous la forme de Schmidt

| ∑=i Niiii φφφαψ L

21, mais si la décomposition existe, son unicité est garantie.

Le théorème d'unicité de tridécomposition assure que le développement de l'état final dans

l'équation de mesure avec environnement est unique, ce qui fixe l'ambiguïté dans le choix de

l'ensemble des résultats possibles. Il démontre que l'inclusion de (au moins) un troisième "système"

(ici identifié comme l'environnement) est nécessaire pour éliminer l'ambiguïté de la base.

Bien sûr, étant donné tout état pur dans l'espace de Hilbert composite 321 HHH ⊗⊗ , le théorème

d'unicité de tridécomposition ne nous dit pas si une décomposition de Schmidt existe ni ne spécifie

le développement unique lui-même (pourvu que la décomposition soit possible) et puisque les états

précis de l'environnement ne sont généralement pas connus, un critère additionnel est nécessaire

pour déterminer quels seront les états privilégiés.

VI.4.5.1. Critère de stabilité et base de pointeurs Le programme de décohérence a tenté de définir un tel critère basé sur l'interaction avec

l'environnement et l'idée d'une robustesse et de la préservation des corrélations. L'environnement

joue donc un double rôle en suggérant une solution au problème de la base privilégiée et en

garantissant son unicité via le théorème d'unicité de tridécomposition.

Afin de motiver l'approche de supersélection d'une base proposée par le programme de

décohérence, nous notons que dans la deuxième étape de l'équation de mesure avec environnement,

nous avons supposé tacitement que l'interaction avec l'environnement ne perturbe pas la corrélation

établie entre l'état du système, nS , et l'état pointeur correspondant nA . Cette supposition peut

être vue comme une généralisation du concept de "mesure fidèle" du cas réaliste où

l'environnement est inclus. La mesure fidèle dans le sens habituel concerne l'étape (1), c'est-à-dire

la nécessité que l'appareil de mesure A agit comme un "miroir" fiable des états du système S en

formant seulement des corrélations de la forme nn AS mais pas nm AS avec nm ≠ . Mais

puisque des processus de mesure réaliste doivent inclure le couplage inévitable de l'appareil à son

environnement, la mesure pourrait difficilement être considérée comme totalement fidèle si

l'interaction avec l'environnement perturbe les corrélations entre le système et l'appareil.

Pour les limitations fondamentales sur la précision des mesures de von Neumann d'opérateurs qui

ne commutent pas avec une quantité globalement conservée, voir le théorème Wigner - Araki -

Yanase (Araki et Yanase, 1906, Wigner, 1952).

Il fut donc suggéré d'abord par Zurek (1981) de prendre la base de pointeurs privilégiée comme la

base qui "contient un enregistrement fiable de l'état du système S" (op.cit. p.1519), c'est-à-dire la

base dans laquelle les corrélations systèmes - appareils nn AS sont laissées non perturbées par la

formation subséquente de corrélations avec l'environnement ("critère de stabilité"). Un critère

suffisant pour des états pointeurs dynamiquement stables qui préserve les corrélations système -

appareil en dépit des interactions de l'appareil avec l'environnement est alors trouvé en exigeant que

tous les opérateurs projections des états pointeurs ( )nn

A

n AAP = commutent avec l'hamiltonien

d'interaction appareil - environnement AEH .

Pour la simplicité, nous supposons que l'environnement E interagit directement seulement avec

l'appareil mais pas avec le système S.

C'est-à-dire :

(1) ( )[ ] 0, =AE

A

n HP pour tout n

Cela implique que toute corrélation du système mesuré (ou de tout autre système, par exemple un

observateur) avec les états propres d'un observable appareil privilégié,

(2) ( )∑=n

A

nnA PO λ

est préservée et que les états de l'environnement reflètent fidèlement les états pointeurs ( )A

nP . Dans

ce cas, l'environnement peut être vu comme effectuant une mesure non destructive sur l'appareil.

L'exigence de commutativité, équation (1), est évidemment satisfaite si AEH est une fonction de

AO , ( )AAEAE OHH = . Inversement, les corrélations système - appareil où les états de l'appareil ne

sont pas des états propres d'un observable qui commute avec AEH seront en général rapidement

détruites par l'interaction.

Vu d'une autre manière, cela implique que l'environnement détermine à travers la forme de

l'hamiltonien d'interaction AEH un observable appareil privilégié AO , équation (2), et donc aussi

les états du système qui sont mesurés par l'appareil, c'est-à-dire fidèlement enregistré via la

formation de corrélations quantiques dynamiquement stables. Le théorème d'unicité de

tridécomposition garantit alors l'unicité du développement de l'état final ∑=n nnnn EAScψ

(où aucune contrainte sur les nc ne doit être imposée) et donc l'unicité de la base de pointeurs

privilégiée.

A côté de l'exigence de commutativité, équation (1), d'autres critères (similaires) ont été suggérés

pour la sélection de la base de pointeurs privilégiés car il s'avère que dans les cas réalistes la simple

relation de l'équation (1) peut habituellement seulement être approximativement satisfaite (Zurek,

1993, Zurek et al, 1993). Des critères plus généraux, par exemple basés sur l'entropie de von

Neumann, ( ) ( )tt 22 lnTr φφ ρρ− , ou la pureté, ( )t2Tr φρ− , qui soutiennent le but de trouver les états

les plus robustes (ou les états qui deviennent moins intriqués avec l'environnement au cours de

l'évolution), ont été suggérés (Zurek, 1993, 1998, 2003, Zurek et al, 1993). Les états pointeurs sont

obtenus par un extremum sur la mesure (c'est-à-dire en minimisant l'entropie ou en maximisant la

pureté, etc.) sur l'état initial ψ et en exigeant que les états résultant soient robustes en faisant

varier t. L'application de cette méthode conduit à un classement des états pointeurs possibles par

rapport à leur "classicalité", c'est-à-dire leur robustesse par rapport à l'interaction avec

l'environnement et permet donc la sélection de la base de pointeurs privilégiée basée sur les états

pointeurs "les plus classiques" ("crible de prédicabilité", voir Zurek, 1993, Zurek et al, 1993). Bien

que les critères proposés diffèrent quelque peu et que d'autres critères significatifs pourraient être

suggérés dans le futur, on espère que dans la limite macroscopique les états pointeurs stables

résultant obtenus selon différents critères s'avèrent être très similaires (Zurek, 2003). Pour certains

modèles élémentaires (en particulier pour les modèles d'oscillateurs harmoniques qui conduisent à

des états cohérents pour les états pointeurs), cela a déjà été vérifié explicitement (voir Joos et al,

2003, Diosi et Kiefer, 2000 et références inclues).

VI.4.5.2. Sélection et propriétés quasi classiques Les hamiltoniens d'interaction système - environnement décrivent souvent un processus de collision

de particules environnantes (photons, molécules d'air, etc.) avec le système étudié. Puisque les lois

des forces décrivant de tels processus dépendent typiquement d'une certaine puissance de la

distance (tel que la loi en 2−∝ r de la loi de Newton ou de Coulomb), l'hamiltonien d'interaction

commutera habituellement avec la base position, et donc, selon l'exigence de commutativité de

l'équation (1) de la section précédente, la base privilégiée sera dans l'espace position. Le fait que la

position soit fréquemment la propriété déterminée de notre expérience peut être expliqué en se

rapportant à la dépendance de la plus part des interactions avec la distance (Zurek, 1981, 1982,

1991).

Cela est valable en particulier pour les systèmes mésoscopiques et macroscopiques, comme cela fut

démontré par exemple par l'étude pionnière de Joos et Zeh (1985) où les photons environnant et les

molécules d'air sont montrés "mesurer" continûment la structure spatiale des particules de poussière

conduisant à une rapide décohérence en une mixture apparente (c'est-à-dire impropre) de paquets

d'ondes qui sont fortement concentrés dans l'espace position. Des résultats similaires sont même

quelque fois valables pour des systèmes microscopiques (qui sont habituellement trouvés dans les

états propres de l'énergie, voir ci-dessous) quand ils se produisent dans des structures spatiales

distinctes qui sont fortement couplées au médium environnant. Par exemple, les molécules chirales

tel que le sucre sont toujours observées dans des états propres de chiralité (gauche et droit) qui sont

des superpositions de différents états propres de l'énergie (Harris et Stodolsky, 1981, Zeh, 1999).

Cela est expliqué par le fait que la structure spatiale de ces molécules est "guidée" continûment par

l'environnement, par exemple à travers la diffusion de molécules d'air qui conduisent à un couplage

beaucoup plus fort que celui qui serait typiquement obtenu par un dispositif de mesure qui était

destiné à mesurer, par exemple, la parité ou l'énergie. De plus toutes tentatives pour préparer de

telles molécules dans des états propres de l'énergie conduirait immédiatement à une décohérence

vers des états propres environnalement stables ("dynamiquement robustes") sélectionnant donc la

position comme la base privilégiée.

D'un autre coté, il est bien connu que plusieurs systèmes, particulièrement dans le domaine

microscopique, sont typiquement trouvés dans des états propres de l'énergie, même si l'hamiltonien

d'interaction dépend d'un observable différent de l'énergie, par exemple la position. Paz et Zurek

(1999) ont montré que cette situation se produit quand les fréquences dominantes présentes dans

l'environnement sont significativement plus basses que la fréquence intrinsèque du système, c'est-à-

dire quand la séparation entre les états propres d'énergie du système est plus grande que la plus

grande énergie disponible dans l'environnement. Alors l'environnement sera seulement capable de

guider des quantités qui sont constantes avec le mouvement conduisant donc à une supersélection

induite par l'environnement d'états propres de l'énergie pour le système.

Un autre exemple de supersélection induite par l'environnement qui a été étudié est relié au fait que

seuls les états propres de l'opérateur de charge sont observés mais jamais de superposition de

différentes charges. L'existence des règles de supersélection correspondantes furent d'abord

seulement postulées (Wick et al, 1952, 1970) mais pourraient être effectivement expliquées dans le

cadre de la décohérence en se reportant à l'interaction de la charge avec son propre champ (lointain)

de Coulomb qui prend le rôle d'un "environnement", conduisant à la décohérence immédiate des

superpositions de charge en une mixture apparente d'états propres de la charge (Giulini, 2000,

Giulini et al, 1995).

En général, trois cas différents ont typiquement été distingués (par exemple, dans Paz et Zurek,

1999) pour les types d'observables pointeurs émergeant de l'interaction avec l'environnement selon

la force relative de l'hamiltonien du système SH et de l'hamiltonien d'interaction système -

environnement SEH :

1. Quand les dynamiques du système sont dominées par SEH , c'est-à-dire l'interaction avec

l'environnement, les états pointeurs seront des états propres de SEH (et donc typiquement des

états propres de position). Ce cas correspond au dispositif de mesure quantique typique. Voir,

par exemple, le modèle de Zurek (1981, 1982) et son résumé ci-dessus.

2. Quand l'interaction avec l'environnement est faible et que SH domine l'évolution du système

(c'est-à-dire quand l'environnement est "lent" dans le sens ci-dessus), un cas qui se produit

fréquemment dans le domaine microscopique, les états pointeurs qui apparaissent sont des états

propres de l'énergie de SH (Paz et Zurek, 1999).

3. Dans le cas intermédiaire, quand l'évolution du système est gouvernée par SEH et SH d'une

manière approximativement égale, les états privilégiés résultant représentent un "compromis"

entre les deux premiers cas, par exemple, le modèle fréquemment étudié de mouvement

brownien quantique a montré l'émergence d'états pointeurs localisés dans l'espace des phases,

c'est-à-dire à la fois du moment et de la position, dans une telle situation (Eisert, 2004, Joos et

al, 2003, Unruh et Zurek, 1989, Zurek, 2003, Zurek et al, 1993).

VI.4.5.3. Implications pour le problème de la base privilégiée L'idée du programme de décohérence que la base privilégiée est sélectionnée par l'exigence que les

corrélations soient préservées en dépit de l'interaction avec l'environnement et donc choisi à travers

la forme de l'hamiltonien interaction système - environnement, semble certainement raisonnable

puisque seuls de tels états "robustes" seront en général observables, et après tout nous demandons

seulement une explication pour nos expériences (voir la discussion plus haut). Bien que seuls des

exemples particuliers aient été étudiés (pour un survol et des références, voir par exemple

Blanchard et al, 2000, Joos et al, 2003, Zurek, 2003), les résultats suggèrent donc fortement que les

propriétés sélectionnées sont en accord avec nos observations : pour des objets mésoscopiques et

macroscopiques les interactions de collision dépendant de la distance avec les molécules d'air

environnantes, les photons, etc. conduira en général à une décohérence immédiate en paquets

d'ondes spatialement localisés comme base privilégiée. D'un autre coté, quand l'environnement

est assez "lent", comme dans le cas fréquent des systèmes microscopiques, la supersélection induite

par l'environnement conduira typiquement à des états propres de l'énergie comme états privilégiés.

Le mérite clair de l'approche de la supersélection induite par l'environnement réside dans le fait que

la base privilégiée n'est pas choisie d'une manière ad hoc comme pour simplement rendre nos

mesures déterminées ou comme pour totalement correspondre à nos expériences de la manière dont

les quantités physiques sont habituellement perçues comme déterminées (par exemple la position).

A la place, la sélection est motivée par des bases physiques indépendantes de l'observateur,

précisément à travers l'hamiltonien d'interaction système - environnement. Le vaste espace des

superpositions possibles de la mécanique quantique est fortement réduit car les lois gouvernant les

interactions physiques dépendent seulement de quelques quantités physiques (position, moment,

charge, etc.) et le fait que ce sont précisément les propriétés qui nous apparaissent déterminées est

expliqué par la dépendance de la base privilégiée à la forme de l'interaction. L'apparence de

"classicalité" est donc basée sur la structure des lois physiques - une approche certainement très

satisfaisante et raisonnable.

L'argument ci-dessus en faveur de l'approche de la supersélection induite par l'environnement

pourrait bien sûr être considérée comme inadéquate à un niveau fondamental : toutes les lois

physiques sont découvertes et formulées par nous, ainsi elles peuvent seulement contenir les

quantités déterminées par notre expérience car ce sont les seules quantités que nous pouvons

percevoir et donc inclure dans une loi physique. Donc la dérivation du caractère déterminé à partir

de la structure de nos lois physiques peut sembler circulaire. Cependant, nous affirmons à nouveau

qu'il suffit de demander une solution subjective au problème de la base privilégiée, c'est-à-dire de

fournir une réponse à la question pourquoi nous percevons seulement un petit sous-ensemble de

propriétés comme déterminées, pas si ce sont réellement des propriétés déterminées (à un niveau

ontologique) et ce qu'elles sont (voir la remarque dans la section sur les valeurs objectives et

subjectives). Qui plus est la modification arbitraire des lois physiques, même en y incluant des

grandeurs difficilement mesurables (car non décohérées, par exemple les valeurs propres d'une base

obtenue à partir de la base position par des superpositions), donne indubitablement des résultats

différents qui sont objectivement mesurables. Les modifications mathématiques arbitraires

permettant à une loi physique donnée de conduire à des résultats identiques sont clairement

contraintes et ne laissent pas beaucoup de portes ouvertes. Cela donne une certaine confiance aux

lois physiques déduites de nos expériences. Cette possibilité mériterait toutefois une investigation

plus approfondie.

Nous pouvons aussi nous inquiéter de la généralité de cette approche. On aurait besoin de montrer

que toute supersélection induite par l'environnement conduit en fait précisément à ces propriétés

qui nous apparaissent déterminées. Mais cela nécessiterait la connaissance précise du système de

l'hamiltonien d'interaction. Pour de simples modèles élémentaires, les hamiltoniens pertinents

peuvent être écrits explicitement. Dans les cas plus compliqués et réalistes, ce sera en général très

difficile si pas impossible puisque la forme de l'hamiltonien dépendra des systèmes particuliers ou

des appareils et de l'environnement guide considéré où en plus l'environnement n'est pas seulement

difficile à définir précisément mais change aussi continuellement, est incontrôlable et par essence

infiniment grand.

Mais la situation n'est pas aussi désespérée qu'elle puisse sembler, puisque nous savons que

l'hamiltonien d'interaction sera en général basé sur l'ensemble des lois physiques connues qui en

retour emploient seulement un nombre relativement petit de quantités physiques. Aussi longtemps

que nous supposons le critère de stabilité et que nous considérons l'ensemble des quantités

physiques connues, nous pouvons automatiquement anticiper la base privilégiée comme un membre

de cet ensemble. La question restante, bien que très pertinente, est alors, cependant, quel sous-

ensemble de ces propriétés sera choisi dans une situation physique spécifique (par exemple, le

système sera-t-il trouvé de préférence dans un état propre de l'énergie ou de la position ?) et à quel

point cela correspondra-t-il à l'évidence expérimentale ? Pour donner une réponse, une

connaissance plus détaillée de l'hamiltonien d'interaction et de sa force relative par rapport à

l'hamiltonien du système sera habituellement nécessaire afin de vérifier cette approche. D'autre

part, comme mentionné plus haut, il existe d'autres critères que l'exigence de commutativité et il n'a

pas encore été totalement exploré si tous conduisent aux même propriétés déterminées.

Finalement, une difficulté conceptuelle fondamentale de l'approche basée sur la décohérence pour

le problème de la base privilégiée est le manque de critère général pour ce qui définit les systèmes

et les degrés de liberté "non observés" de "l'environnement" (voir la discussion dans la section sur

la résolution en sous-systèmes). Bien que dans plusieurs situations de type laboratoire, la séparation

entre système et environnement puisse venir naturellement, il n'est pas clair a priori comment les

observables quasi-classiques peuvent être définis à travers la supersélection induite par

l'environnement sur des échelles plus grandes et plus générales, c'est-à-dire quand une plus grande

partie de l'univers est considérée où la séparation en sous-systèmes n'est pas suggérée par une

disposition spécifique système - appareil - environnement.

Pour résumer, la supersélection induite par l'environnement d'une base privilégiée (i) propose une

explication pourquoi une base de pointeurs particulière est choisie parmi toutes, précisément, en

affirmant que seule la base de pointeurs qui conduit à un enregistrement stable et donc perceptible

quand l'interaction de l'appareil avec l'environnement est prise en compte; et (ii) elle affirme que les

bases privilégiées correspondent à un sous-ensemble de l'ensemble des propriétés déterminées de

notre expérience, puisque l'hamiltonien d'interaction qui gouverne dépendra seulement de ces

quantités. Mais elle ne nous dit pas en général quelle base de pointeurs sera précisément

sélectionnée dans toute situation physique. Il sera habituellement difficilement possible d'écrire

explicitement l'hamiltonien d'interaction pertinent dans les cas réalistes. Cela implique aussi qu'il

sera difficile d'affirmer que tout critère proposé basé sur l'interaction avec l'environnement conduira

toujours et en toute généralité aux propriétés précises que nous percevons comme déterminées.

Du travail reste donc à faire pour pleinement explorer la validité générale et l'applicabilité de

l'approche de la supersélection induite par l'environnement. Mais puisque les résultats obtenus

jusqu'ici sur des modèles élémentaires ont été trouvés en accord prometteur avec les données

empiriques, il y a peu de raison de douter que le programme de décohérence ait proposé un critère

très plausible pour expliquer l'émergence des états privilégiés et de leur robustesse. Le fait que

l'approche soit dérivée de principes physiques devrait être pris en compte en plus en sa faveur.

VI.4.5.4. Base de pointeurs vs états instantanés de Schmidt Les bases dites de Schmidt, obtenues en diagonalisant la matrice de densité (réduite) du système à

chaque instant du temps ont été fréquemment étudiées par rapport à leur capacité à donner une base

privilégiée (voir, par exemple, Albrecht, 1992, 1993, Zeh, 1973) et a conduit certains à considérer

les bases de Schmidt comme décrivant des "états pointeurs instantanés" (Albrecht, 1992).

Cependant, comme cela a été souligné (par exemple par Zurek, 1993), toute matrice de densité est

diagonale dans une certaine base et cette base ne jouera pas en général de rôle interprétatif spécial.

Les états pointeurs qui sont supposés correspondre à des observables stables quasi-classiques

doivent être dérivés d'un critère explicite de classicalité (typiquement, le critère de stabilité). La

simple procédure de diagonalisation mathématique de la matrice de densité instantanée ne suffira

en général pas à déterminer les bases de pointeurs quasi classiques (voir les études de Barvinsky et

Kamenshchik, 1995, Kent et McElwaine, 1997).

Dans une méthode plus raffinée, on évite de calculer les états de Schmidt instantanés et on autorise

à la place un temps de décohérence caractéristique Dτ durant laquelle la matrice de densité réduite

se décohère (un processus qui peut être décrit par une équation maître appropriée) et devient

approximativement diagonale dans la base de pointeurs stables, c'est-à-dire la base qui est

sélectionnée par le critère de stabilité. Les états de Schmidt sont alors calculés en diagonalisant la

matrice de densité décohérée. Puisque la décohérence conduit habituellement à diagonaliser

rapidement la matrice de densité réduite dans la base de pointeurs sélectionnée par la stabilité avec

une très bonne approximation, les états de Schmidt résultant sont pratiquement dégénérés. Cette

dernière situation est facilement illustrée en considérant la matrice de densité décohérée

approximativement diagonalisée

(1)

−+

=∗

δωωδρ2/1

2/1

où 1<<ω (forte décohérence) et 1<<δ (quasi-dégénérescence) (Albrecht, 1993). Si la

décohérence conduit à une diagonalisation exacte (c'est-à-dire, 0=ω ), les états propres seront,

pour toute valeur fixée de δ , proportionnels à (0,1) et (1,0) (correspondants aux états pointeurs

"idéaux"). Cependant, pour un 0>ω donné (diagonalisation approximative) et 0→ω

(dégénérescence), les états propres deviennent proportionnels à ( )1,/ωω± ce qui implique que

dans le cas de la dégénérescence, la décomposition de Schmidt de la matrice de densité réduite peut

conduire à des états privilégiés qui sont très différents des états pointeurs stables, même si c'est la

matrice de densité réduite décohérée, plutôt qu'instantanée, qui est utilisée.

En résumé, il est important d'insister sur le fait que la stabilité (ou un critère similaire) est

l'exigence pertinente pour l'émergence d'une base quasi classique privilégiées qui ne peut en

général pas être obtenues en simplement diagonalisant la matrice de densité réduite instantanée.

Cependant, les états propres de la matrice de densité réduite décohérée seront dans de nombreux

cas proches des états pointeurs stables quasi-classiques particulièrement quand ces états pointeurs

sont suffisament non dégénérés.

VI.4.5.5. Règles de supersélection exacte L'absence stricte d'interférence peut seulement être attendue pour des quantités discrètes. Un

exemple important est la charge électrique. Cela peut-il être compris à l'aide de la décohérence ?

Nous savons de la théorie de Maxwell que toute charge porte avec elle une charge électrique

associée et ainsi une superposition de charges peut être écrite sous la forme

(1) ∑∑∑ ==q

lointainchamp

q

local

qq

q

champ

q

nue

qq

q

total

qq ccc ψχψχψ

où "nue" signifie la charge seule.

Puisque nous pouvons seulement observer la charge habillée (de son champ électrique) locale, elle

doit être décrite par la matrice densité

(2) ∑=q

local

q

local

qqc χχρ2

Si les champs lointains sont orthogonaux (discernables), la cohérence serait localement absente.

Ainsi la question se pose : est-ce que le champ de Coulomb fait seulement partie de la cinématique

(implémentée par la contrainte de Gauss) ou représente-t-elle un degré de liberté dynamique

quantique et donc devons-nous considérer la décohérence via un champ de Coulomb retardé ?

Que nous disent les expériences ? Une superposition de cette forme peut être observée pour des

particules chargées (voir la contribution de Hasselbach). D'un autre coté, le champ de Coulomb

classique (retardé) contiendra de l'information sur le chemin parcouru par la particule chargée,

détruisant la cohérence. La situation n'apparaît pas très claire. Donc, une question essentielle reste :

Quel est le rôle physique quantique du champ de Coulomb ?

Une situation similaire se pose en gravité quantique où nous pouvons nous attendre à ce que les

superpositions de masses (énergies) différentes soient décohérées par la courbure de l'espace.

Une autre règle importante de supersélection exacte interdit les états superposés avec des spins

entiers et demi-entiers, par exemple

(3) | 2/11 spinspin +=ψ

qui se transformerait sous une rotation π2 en

(4) 2/112 spinspin −=πψ

C'est clairement un état différent à cause de la différence relative de phase. Si on demande qu'une

telle rotation ne change rien, un tel état doit être exclu. C'est un argument standard en faveur de la

règle de supersélection de "univalence". D'un autre coté, on a observé le changement de signe des

particules de spin 1/2 sous une rotation (relative) de π2 dans certaines expériences. Donc, il nous

reste deux options : ou nous voyons le groupe SO(3) comme le groupe de rotation propre aussi en

théorie quantique. Alors rien ne doit changer si nous tournons le système d'un angle π2 . Donc

nous pouvons dériver cette règle de supersélection de la symétrie. Mais cela peut seulement être un

préjugé classique. L'autre choix est d'utiliser SU(2) au lieu de SO(3) comme groupe de rotation.

Alors nous avons en effet besoin d'expliquer pourquoi ces étranges superpositions ne se produisent

jamais. Ce dernier choix revient à garder le principe de superposition comme principe fondamental

de la théorie. En termes plus techniques, nous devrions éviter d'utiliser des groupes avec des

représentations non uniques tel que SO(3). Dans les théories de supersymétrie les bosons et les

fermions sont traités sur un pied d'égalité ainsi il serait naturel de superposer leurs états (ce qui ne

se fait apparemment jamais en théorie des particules).

L'argument largement utilisé que les états physiques doivent être représentés par des rayons, pas

par des vecteurs, dans l'espace de Hilbert car la phase d'un vecteur d'état ne peut pas être observée

est trompeur. Puisque les phases relatives sont certainement pertinentes, on devrait préférer un

vecteur comme concept d'état physique fondamental plutôt qu'un rayon. Les rayons ne peuvent pas

être superposés sans utiliser (implicitement) des vecteurs.

D'une manière similaire on pourrait déduire l'argument bien connu conduisant de la symétrie

galiléenne de la mécanique quantique non relativiste à la règle de supersélection de la masse. Dans

ce cas, nous pourrions maintenir le principe de superposition et remplacer le groupe de Galilée par

un groupe plus large. Comment cela peut être fait est montré par Domenico Giulini.

La question ouverte finale pour cette section est alors :

Les règles de supersélection peuvent-elles toutes être vues comme des effets de la décohérence ?

VI.4.6. Exemples

VI.4.6.1. Localisation L'exemple maintenant standard de la décohérence est la localisation d'objets macroscopiques.

Pourquoi les objets macroscopiques apparaissent-ils toujours localisés dans l'espace ? La cohérence

entre différentes positions macroscopiques est détruite très rapidement à cause de la forte influence

du processus de diffusion. La description formelle peut être la suivante. Soit x l'état propre

position d'un objet macroscopique et χ l'état de la particule entrante. Suivant le schéma de von

Neumann, la diffusion de telles particules par un objet localisé à la position x peut être écrit comme

(1) χχχ xx

tSxxx =→

où l'état diffusé peut être calculé en pratique par l'utilisation d'une matrice S appropriée. Pour l'état

initial le plus général d'un paquet d'ondes, nous avons alors

(2) ( ) ( )∫∫ → χϕχϕ x

t Sxxxdxxxd 33

Donc, la matrice de densité réduite décrivant notre objet change en

(3) ( ) ( ) ( ) χχϕϕρ xx SSxxxx +∗ ′=′,

Bien sûr, un seul processus de diffusion ne résoudra habituellement pas une petite distance, ainsi

dans la plus part des cas, les éléments de matrice sur le coté droit de (3) seront proches de un. Si

nous ajoutons les contributions de plusieurs processus de diffusion, un amortissement exponentiel

de la cohérence spatiale en résulte :

(4) ( ) ( ) ( ){ }2exp0,,,, xxtxxtxx ′−Λ−′=′ ρρ

La force de cet effet est décrite par un seul paramètre Λ qui peut être appelé "taux de localisation".

Il est donné par

(5) V

Nvk effσ2

=Λ

Ici, k est le nombre d'onde des particules entrantes, VNv / le flux et effσ est de l'ordre de la section

efficace totale. Certaines valeurs de Λ sont données dans la table suivante.

Taux de localisation Λ en 12scm −− pour trois tailles de "grains de poussières" et différents types de

processus de diffusion. Cette quantité mesure la rapidité de disparition des interférences entre

différentes positions comme une fonction de la distance au cours du temps.

cm10 3−=a cm10 5−=a cm10 6−=a

Poussière Poussière Grosse molécule

Rayonnement cosmologique fossile 610 610− 1210−

Photons à 300 K 1910 1210 610

Lumière solaire (sur Terre) 2110 1710 1310

Molécules d'air 3610 3210 3010

Vide de laboratoire

(310 particules par

3cm )

2310 1910 1710

La plus part des nombres dans la table sont assez grands, montrant le couplage extrêmement fort

des objets macroscopiques, tel que des grains de poussière, avec leur environnement naturel. Même

dans l'espace intergalactique, le rayonnement fossile à 3K ne peut pas simplement être négligé.

Donc, la principale leçon est : les objets macroscopiques ne sont pas même approximativement

isolés.

Une description unitaire consistante doit donc inclure l'environnement et finalement l'univers

entier.

Une des premières indications de l'importance du couplage dynamique des objets macroscopiques

avec leur environnement fut Dieter Zeh qui écrivit dans son article de 1970 dans Fond. Phys. :

Puisque les interactions entre les systèmes macroscopiques sont effectives même à des distances

astronomiques, le seul "système fermé" est l'univers entier... Il est bien sûr très questionable de

décrire l'univers par une fonction d'onde qui obéit à l'équation de Schrödinger. Autrement,

cependant, il n'y a pas d'inconsistance dans la mesure où il n'y a pas de théorie.

C'est maintenant plus ou moins un lieu commun mais ce n'était pas le cas il y a 30 ans quand il

envoya une première version de cet article au journal Il Nuevo Cimento. On note dans la réponse

des referees :

L'article est complètement insensé. Il est clair que l'auteur n'a pas totalement compris le problème

et les contributions précédentes dans ce domaine.

(H.D. Zeh, communication privée).

Si nous combinons cet amortissement de la cohérence avec la dynamique "libre" de Schrödinger,

nous arrivons à une équation du mouvement pour la matrice densité qui est une bonne

approximation en ajoutant simplement ces deux contributions

(6) [ ]diff

internet

iHt

i∂∂+=

∂∂ ρρρ

,

Dans la représentation position, ces équations deviennent à une dimension

(7) ( ) ( ) ρρρ 2

2

2

2

2

2

1,,xxi

xxmt

txxi ′−Λ−

∂∂−

′∂∂=

∂′∂

Les solutions de cette équation peuvent facilement être trouvées.

Jusqu'ici ce traitement représente la décohérence pure, suivant directement le schéma de von

Neumann. Si le recul est ajouté comme étape suivante, nous arrivons à un modèle incluant la

friction, c'est-à-dire, le mouvement brownien quantique. Il y a plusieurs modèles pour l'analogue

quantique du mouvement brownien dont certains sont même plus vieux que les premières études de

décohérence. Les premiers traitements, cependant, ne faisaient pas de distinction entre la

décohérence et la friction (la décohérence seule n'implique pas la friction). Comme exemple,

considérons l'équation du mouvement dérivée par Caldeira et Leggett,

(8) [ ] { }[ ] [ ][ ]ργργρρ,,,,

2, xxkTimpxH

ti −+=

∂∂

(k étant ici la constante de Boltzman).

Qui se lit pour une particule "libre"

(9) ( ) ( ) ( ) ( )txx

xxxxixxi

xxmt

txxi ,,

2

1,, 2

2

2

2

2

′

∂∂−

′∂∂′−+′−Λ−

∂∂−

′∂∂=

∂′∂ ργρ

où γ est la constante d'amortissement et où kTmγ=Λ .

Si on compare l'effectivité des deux termes représentant la décohérence et la relaxation, on trouve

que leur rapport est donné par

(10) ( )2

2

relaxationdetaux

edécohérencdetaux

∝=

th

xxmkT

λδδ

où thλ est la longueur d'onde thermique de de Broglie de l'objet considéré. Ce rapport a pour une

situation macroscopique typique (m = 1g, T = 300K, cm1=xδ ) la valeur énorme de 4010 ! Cela

montre que dans ces cas la décohérence est de loin plus importante que la dissipation.

La position du centre de masse des grains de poussière devient "classique" via la décohérence. La

structure spatiale des molécules représente un autre exemple très important. Considérons un modèle

simple de molécule chirale.

Les versions droites et gauches de la molécule ont une structure spatiale assez bien définie tandis

que l'état de base est, pour des raisons de symétrie, une superposition des deux états chiraux. Ces

configurations chirales sont habituellement séparées par une barrière tunnel qui est si grande que

sous des circonstances normales l'effet tunnel est très improbable comme cela fut déjà montré par

Hund en 1929. Mais cela seul n'explique pas pourquoi (en effet la plus part) les molécules chirales

ne sont jamais trouvées dans des états propres de l'énergie !

Dans un modèle simplifié avec des états propres quasi dégénérés faiblement liés 1 et 2 , les

configurations droites et gauches peuvent être données par

(11)

( )

( )212

1

212

1

−=

+=

R

L

Comme l'environnement reconnaît la structure spatiale via le processus de diffusion, seuls les états

chiraux sont stables contre la décohérence,

(12) LR

t LRLR ,0 ,, Φ→Φ

L'instabilité quantique des états propres de l'énergie (c'est-à-dire la parité) des molécules représente

un exemple typique de "brisure spontanée de symétrie" induite par la décohérence. De plus, les

transitions entre les états orientés spatialement sont supprimées par l'effet Zeno quantique, décrit ci-

dessous.

VI.4.6.2. Effet Zeno quantique La conséquence la plus dramatique d'une interaction forte de type mesure d'un système avec son

environnement est l'effet Zeno quantique. Il a été découvert plusieurs fois et est quelque fois appelé

"effet du chien de garde" ou "comportement de la marmite surveillée" bien que la plupart des gens

utilisent le terme d'effet Zeno. Il est surprenant seulement si on colle à une image classique où

l'observation d'un système et juste vérifier son état ne devrait pas l'influencer. Un tel préjugé est

certainement formé par notre expérience de tous les jours où l'observation des choses dans notre

environnement ne change pas leurs propriétés. Comme cela est bien connu depuis les débuts de la

mécanique quantique, l'observation peut changer de manière drastique le système observé.

L'essence de l'effet Zeno quantique peut facilement être montrée comme suit. Considérons la

"désintégration" d'un système qui est initialement préparé dans l'état "non désintégré" u . La

probabilité de trouver le système non désintégré, c'est-à-dire dans le même état u au temps t est

pour de petits intervalles de temps donné par

(1) ( ) ( )

( ) ( )422

2

1

exp

tOtH

uiHtutP

+∆−=

−=

avec

(2) ( ) 222uHuuHuH −=∆

Si nous considérons le cas de N mesures dans l'intervalle [ ]t,0 , la probabilité de non-désintégration

est donnée par

(3) ( ) ( ) ( ) ( )tPtHN

tHtP

N

N =∆−>

∆−≈ 22

2

211

Le résultat est toujours plus grand que la probabilité d'une seule mesure donnée par (1). A la limite

de mesures arbitrairement denses, le système ne se désintègre plus,

(4) ( ) ( ) 112

2 →+∆−= ∞→N

NN

tHtP L

Donc, nous trouvons que des mesures répétées peuvent complètement gêner l'évolution naturelle

d'un système quantique. Un tel résultat est clairement assez distinct de ce qui est observé pour des

systèmes classiques. En effet, l'exemple paradigme pour un processus stochastique classique, la

désintégration exponentielle,

(5) ( ) ( )ttP Γ−= exp

n'est pas influencée par des observations répétées puisque pour N mesures nous avons simplement

(6) ( ) ( )tN

ttP

N

N Γ−=

Γ−= expexp

Jusqu'ici nous avons traité le processus de mesure dans notre discussion de l'effet Zeno de la

manière habituelle en supposant une réduction de l'état du système sur le sous-espace

correspondant au résultat de la mesure. Un tel traitement peut être étendu en employant un modèle

de von Neumann pour le processus de mesure, par exemple, en le couplant à un état pointeur d'un

système à deux états. Un simple modèle élémentaire est donné par l'hamiltonien

(7) ( ) ( )2211ˆ221221int0 −+++=+= pEVHHH γ

où les transitions entre les états 1 et 2 (induites par la "perturbation" V) sont monitorées par un

pointeur (la constante de couplage γ ). Ce modèle montre déjà tous les phénomènes typiques mentionnés ci-dessus.

La probabilité de transition commence pour de petites durées toujours quadratiquement selon le

résultat général (1). Pour des durées où le pointeur résout les deux états, un comportement similaire

trouvé pour les processus de Markov apparaît : la dépendance quadratique en le temps change pour

une linéaire. Pour des couplages forts, les transitions sont supprimées. Cela montre clairement

l'origine dynamique de l'effet Zeno.

Une extension du modèle précédent permet une analyse de la transition de l'effet Zeno à un

comportement maître (décrite par les taux de transition comme cela fut d'abord étudié en

mécanique quantique par Pauli en 1928). On peut montrer que pour plusieurs (micro-)états qui ne

sont pas suffisament résolus par l'environnement, la règle d'or de Fermi peut être retrouvée, avec

des taux de transition qui ne sont plus réduit par l'effet Zeno. Néanmoins, l'interférence entre les

macroétats est supprimée très rapidement.

Exercice 1. Il a été affirmé que l'existence de la base privilégiée était liée à l'hamiltonien d'interaction avec

l'environnement. Ainsi, si l'interaction dépend de la distance, la base position se retrouve

privilégiée. Tandis qu'à l'échelle atomique, la base énergie est privilégiée.

Nous vous proposons d'étudier un modèle simple afin d'avoir un aperçu de ce qui se passe à

l'échelle microscopique.

Considérons un atome pouvant être dans deux états d'énergie 1E et 2E . On supposera pour

simplifier qu'il n'y a qu'un électron en orbite autour d'un proton et que les fonctions d'onde

correspondantes sont sphériques et homogènes sur un rayon respectivement 1R et 2R . Calculez

les énergies correspondantes.

Supposons maintenant que l'environnement est composé d'un gaz de photons aléatoires et que

chaque photon est caractérisé par une onde plane et un champ électrique kE (k variant de 1 à N

photons). A nouveau, pour simplifier, nous poserons égal à zéro les hamiltoniens propres de

l'atome et du gaz de photons et nous ne considérerons que l'hamiltonien d'interaction entre les

photons et l'électron de l'atome. Connaissant l'interaction entre un champ électrique et la charge

électrique de l'atome, calculez l'hamiltonien d'interaction.

En vous inspirant de la section VI.4.4.2, calculez l'état initial et l'état au cours du temps. Puis

calculez la matrice de densité réduite.

Considérez ensuite que la direction de kE est aléatoire avec une distribution uniforme et une

grandeur décrite par une distribution gaussienne.

Comment évolue la matrice de densité réduite pour N très grand ? Quelle est la base privilégiée

?

2. Dans la section VI.4.4.2 seules l'interaction entre les spins et l'environnement a été prise en

compte. Les interactions entre spins ont été négligées par facilité. Discutez qualitativement de

l'effet de ces interactions sur les résultats de cette section.

VII. Théorie de Bohm La mécanique bohmienne, qui est aussi appelée théorie de de Broglie - Bohm, le modèle onde

pilote et l'interprétation causale de la mécanique quantique, est une version de la mécanique

quantique découverte par Louis de Broglie en 1927 et redécouverte par David Bohm en 1952. C'est

l'exemple le plus simple de ce qui est souvent appelé une interprétation à variables cachées de la

mécanique quantique. En mécanique bohmienne, un système de particules est décrit en partie par sa

fonction d'onde, évoluant, comme d'habitude, selon l'équation de Schrödinger. Cependant, la

fonction d'onde fournit seulement une description partielle du système. Cette description est

complétée par la spécification des positions réelles des particules. Ces dernières évoluent selon

l'équation guide qui exprime la vitesse des particules en terme de la fonction d'onde. Donc, en

mécanique bohmienne, la configuration d'un système de particules évolue via un mouvement

déterministe chorégraphié par la fonction d'onde. En particulier, quand une particule est envoyée

dans un appareil à deux fentes, la fente à travers laquelle elle passe et l'endroit où elle arrive sur la

plaque photographique sont complètement déterminés par sa position initiale et la fonction d'onde.

La mécanique bohmienne hérite et rend explicite la non-localité implicite dans la notion, commune

à presque toutes les formulations et interprétations de la théorie quantique, d'une fonction d'onde

sur l'espace de configuration d'un système à plusieurs particules. Elle explique tous les phénomènes

gouvernés par la mécanique quantique non relativiste, depuis les lignes spectrales et la théorie des

collisions à la supraconductivité, l'effet Hall quantique et le calcul quantique. En particulier, les

postulats habituels de mesure de la théorie quantique, incluant la réduction de la fonction d'onde et

les probabilités données par le carré des amplitudes de probabilité, émerge de l'analyse des deux

équations du mouvement, l'équation de Schrödinger et l'équation guide, sans l'invocation

traditionnelle d'un statut spécial et quelque peut obscur de l'observation.

La théorie de Bohm est un exemple réussi de théorie à variables cachées.

VII.1. La complétude de la description quantique En dépit de ses extraordinaires succès prédictifs, la mécanique quantique a, depuis sa conception il

y a septante ans, été minée par les difficultés conceptuelles. Le problème de base, posé pleinement,

est ceci : il n'est pas clair du tout ce qu'est la mécanique quantique. Qu'est-ce que la mécanique

quantique décrit ?

Il peut sembler, puisque cela est largement accepté, que tout système quantique est complètement

décrit par sa fonction d'onde, que la mécanique quantique est basée fondamentalement sur le

comportement des fonctions d'onde. Assez naturellement, aucun physicien ne désirait que ce soit

vrai plus que ne le fit Erwin Schrödinger, le père de la fonction d'onde. Néanmoins, Schrödinger

trouva ultimement cela impossible à croire. Sa difficulté n'était pas tant la nouveauté de la fonction

d'onde (Schrödinger, 1935) :

Qu'elle soit une construction mathématique abstraite intuitive est un scrupule qui fait toujours

surface contre de nouveaux moyens de pensée et qui ne porte pas de grand message.

Mais plutôt, c'était que le "flou" suggéré par le caractère dispersé de la fonction d'onde :

Affecte macroscopiquement les choses visibles et tangibles pour lesquelles le terme "flou" semble

simplement faux.

Par exemple, dans le même article, Schrödinger nota qu'il peut arriver dans une désintégration

radioactive que :

La particule émergeante est décrite ... comme une onde sphérique ... qui se heurte de manière

continue à un écran luminescent sur son étendue complète. L'écran, cependant, ne montre pas une

surface brillante uniforme plus ou moins constante mais plutôt de la lumière à un instant en un

endroit...

Et il observe qu'on peut facilement provoquer, par exemple en incluant un chat dans le système, des

"situations assez ridicules" avec :

La fonction ψ du système entier ayant en elle le chat vivant et mort (excusez l'expression) mélangé

ou dispersé en parts égales.

C'est donc à cause du "problème de la mesure", des superpositions macroscopiques, que

Schrödinger trouva difficile de voir la fonction d'onde comme "représentant la réalité". Mais alors

qu'est-elle ? Avec une désapprobation évidente, Schrödinger décrit comme :

La doctrine régnante se sauve elle-même en ayant recours à l'épistémologie. On nous dit qu'il n'y a

pas de distinction à faire entre l'état d'un objet naturel et ce que je sais sur lui ou, peut-être mieux,

que je peux savoir sur lui si j'ai certains problèmes. En réalité, tel qu'elle le dit, il y a

intrinsèquement seulement la conscience, l'observation, la mesure.

Plusieurs physiciens rendent service à l'interprétation de Copenhague, que la mécanique quantique

est basée fondamentalement sur les observations ou les résultats des mesures. Mais il est devenu de

plus en plus difficile de trouver quelqu'un, quand on insiste, qui défend cette interprétation. Il

semble clair que la mécanique quantique concerne fondamentalement les atomes et les électrons,

les quarks et les cordes, par ces régularités macroscopiques particulières associées à ce que nous

appelons mesures des propriétés de ces choses. Mais si ces entités ne sont pas quelque peu

identifiées avec la fonction d'onde elle-même, et si parler d'elle n'est pas simplement un raccourcit

pour des affirmations élaborées sur les mesures, alors que vont-ils trouver dans la description

quantique ?

Il y a peut-être une raison très simple pour laquelle il y a tant de difficulté à discerner dans la

description quantique les objets dont nous croyons qu'ils devraient être décrit par la mécanique

quantique. Peut-être que la description quantique n'est pas l'histoire complète, une possibilité plus

habituellement associée à Albert Einstein.

En 1935 Einstein, Boris Podolosky et Nathan Rosen affirmèrent cette possibilité dans le fameux

article EPR (Einstein et al., 1935), qu'ils concluent avec ce qui suit :

Bien que nous ayons donc montré que la fonction d'onde ne fournit pas une description complète de

la réalité physique, cela laisse ouverte la question de savoir si oui ou non une telle description

existe. Nous croyons, cependant, qu'une telle théorie est possible.

L'argument donné dans l'article EPR pour cette conclusion invoque les corrélations quantiques et

une hypothèse de localité.

Plus tard, sur la base de plus ou moins les mêmes considérations que celles de Schrödinger notées

ci-dessus, Einstein conclut à nouveau que la fonction d'onde ne fournit pas une description

complète des systèmes individuels et l'idée qu'il appelait "cette interprétation pratiquement la plus

évidente" (Einstein, 1949, p.672). En relation avec une théorie incorporant une description plus

complète, Einstein remarque que :

La théorie quantique statistique prendrait ... une position approximativement analogue à celle de la

mécanique statistique dans le cadre de la mécanique classique.

Il est peut-être utile de noter ici que la mécanique bohmienne, comme nous le verrons, satisfait

exactement cette description.

Même si énormément de progrès ont été fait (interprétations, décohérence) depuis ces réflexions, il

reste intéressant de considérer la théorie de Bohm et de voir ce qu'elle peut apporter et quels sont

ses défauts.

VII.2. L'impossibilité des variables cachées ... ou la non-localité inévitable ? John von Neumann, un des plus grands mathématiciens du vingtième siècle, affirma avoir prouvé

mathématiquement que le rêve d'Einstein, d'une complétude ou d'une réinterprétation déterministe

de la mécanique quantique était impossible. Il en conclut que (von Neumann, 1932, p.325 de la

traduction anglaise)

Ce n'est donc pas, comme cela est souvent supposé, une question de réinterprétation de la

mécanique quantique, le système actuel de la mécanique quantique serait objectivement faux si une

autre description des processus élémentaires que la statistique était possible.

Cette affirmation de von Neumann fut presque universellement acceptée parmi les physiciens et les

philosophes de la science. Par exemple, Mas Born formula l'interprétation statistique de la fonction

d'onde, assuré que (Born, 1949, p.109)

Aucun paramètre caché ne peut être introduit avec l'aide de laquelle la description indéterministe

pourrait être transformée en une déterministe. Donc, si une théorie future serait déterministe, elle

ne peut pas être une modification de l'actuelle mais doit être essentiellement différente.

La mécanique bohmienne est, assez clairement, un contre exemple de l'affirmation de von

Neumann, ainsi quelque chose doit être faux dans l'argument de von Neumann. En fait, selon John

Bell (Mermin 1993, p.805), l'hypothèse de von Neumann (sur les relations parmi les observables

quantiques qui doivent être satisfaites dans une théorie à variables cachées) est si peu raisonnable

que "la preuve de von Neumann n'est pas seulement fausse mais folle !" Néanmoins, certains

physiciens continuent à se rattacher à la preuve de von Neumann, bien que ces dernières années il

soit plus commun de trouver des physiciens citant le théorème de Kochen et Specker et, plus

fréquemment, les inégalités de Bell, comme la base de cette réfutation. Nous trouvons encore, un

quart de siècle après la redécouverte de la mécanique bohmienne en 1952, des affirmations telle

que (Wigner, 1976) :

La preuve qu'il [von Neumann] a publiée..., bien qu'elle soit rendue beaucoup plus convaincante

par Kochen et Specker, utilise encore des hypothèses que, selon moi, on peut assez

raisonnablement remettre en question... Selon moi, l'argument le plus convaincant contre la théorie

des variables cachées fut présenté par J.S. Bell (1964).

Maintenant, il y a beaucoup plus d'affirmations d'un caractère similaire qui pourraient en être

citées. Cette citation doit sa signification au fait que Wigner n'était pas seulement un physicien

important de sa génération mais, contrairement à la plus part de ses contemporains, il était aussi

profondément concerné par les fondations conceptuelles de la mécanique quantique et écrivit sur le

sujet avec une grande clarté et profondeur.

Il y avait, cependant, un physicien qui écrivait sur ce sujet avec une plus grande clarté et

profondeur que Wigner lui-même, c'est-à-dire J.S. Bell dont Wigner loua la démonstration de

l'impossibilité d'une complétude déterministe de la théorie quantique telle que la mécanique

bohmienne. Voici comment Bell lui-même a réagit à la découverte de Bohm (Bell, 1987, p.160) :

Mais en 1952 je vis que l'impossible avait été fait. C'est un article de David Bohm. Bohm a montré

explicitement comment des paramètres pouvaient en effet être introduit, dans la mécanique

ondulatoire non relativiste, avec l'aide desquels la description indéterministe pouvait être

transformée en une déterministe. Plus important, selon moi, l'objectivité de la version orthodoxe, la

référence nécessaire à "l'observateur" peut être éliminée...

Mais alors pourquoi Born ne m'a-t-il pas parlé de cette "onde pilote" ? Est-ce seulement pour

indiquer qu'elle était fausse ? Pourquoi von Neumann ne l'a-t-il pas considéré ? Plus incroyable,

pourquoi les gens ont produit des preuves "d'impossibilités" après 1952 et aussi récemment que

1978 ? ... Pourquoi est-ce que l'image de l'onde pilote est ignorée dans les livres ? Ne devrait-elle

pas être enseignée, non comme la seule manière, mais comme un antidote à l'auto satisfaction

prévalante ? Pour nous montrer que l'approximation, la subjectivité et l'indéterminisme ne nous

sont pas imposés par les faits expérimentaux mais par des choix théoriques délibérés ?

Quoi qu'en dise Wigner, Bell n'a pas établit l'impossibilité d'une reformulation déterministe de la

théorie quantique ni jamais fait d'affirmation de ce type. Au contraire, au cours des dernières

décennies, jusqu'à sa mort en 1990, Bell fut le premier défenseur, pour une bonne partie de sa

période pratiquement le seul défenseur, de la mécanique bohmienne qu'il est supposé avoir démoli.

La mécanique bohmienne est bien sûr autant un contre exemple à l'argument de Kochen et Specker

pour l'impossibilité des variables cachées tout comme pour celui de von Neumann. C'est

évidemment un contre exemple à tout argument de ce type. Aussi raisonnables que soient les

hypothèses d'un tel argument, certaines d'entre elles doivent échouer pour la mécanique bohmienne.

Wigner avait assez raison de suggérer que les hypothèses de Kochen et Specker sont plus

convaincantes que celles de von Neumann. Elles apparaissent en fait assez raisonnables en effet.

Cependant, elles ne sont pas absolues et incontournables. L'impression qu'elles ont soulevée est une

erreur pénétrante, un réalisme naïf sur les opérateurs, qui sera discuté ci-dessous dans les sections

sur les observables quantiques, le spin et la contextualité.

Un des résultats de John Bell fut de remplacer les "axiomes arbitraires" (Bell, 1987, page 11) de

Kochen et Specker et les autres par une hypothèse de localité et de non-action à distance. Il serait

difficile d'argumenter sur le caractère raisonnable d'une telle hypothèse, même si on est porté à

douter de son inévitabilité. Bell a montré que la formulation à variables cachées de la mécanique

quantique doit être non locale comme, en effet, l'est la mécanique bohmienne. Mais il a montré

beaucoup plus.

Dans un article célèbre publié en 1964, Bell montra que la théorie quantique elle-même est

irréductiblement non locale. Ce fait sur la mécanique quantique, basé sur une analyse courte et

mathématiquement simple, pourrait avoir été reconnu immédiatement après la découverte de la

théorie quantique dans les années 20. Que cela ne se soit pas passé est sans doute dû en partie à

l'obscurité de la théorie quantique orthodoxe et à l'ambiguïté de ses engagements. C'est, en fait, son

examen de la mécanique bohmienne qui conduisit Bell à son analyse de non-localité. Au cours de

cette investigation de la mécanique bohmienne, il observa que (Bell, 1987, p.11) :

Dans cette théorie, un mécanisme causal explicite existe par lequel la disposition d'une pièce de

l'appareil affecte le résultat obtenu avec une pièce distante.

Bohm, bien sûr, fut attentif à ces propriétés de son schéma et leur a porté beaucoup d'attention.

Cependant, on doit insister sur le fait qu'à ma connaissance, il n'y a aucune preuve que toute

explication à variables cachées de la mécanique quantique doit avoir ce caractère extraordinaire.

Il serait donc intéressant, peut-être, de poursuivre encore les "preuves d'impossibilité" en

remplaçant les axiomes arbitraires objectés ci-dessus par certaines conditions de localité ou de

séparabilité des systèmes distants.

Dans une note, Bell ajoute que "depuis la fin de cet article, une telle preuve a été trouvée". Cette

preuve fut publiée dans son article de 1964, "sur le paradoxe de Einstein-Podolsky-Rosen", dans

lequel il dérive les inégalités de Bell, la base de sa conclusion de la non-localité quantique.

Il est utile d'insister sur le fait que l'analyse de Bell montre en effet que toute explication des

phénomènes quantiques doit être non locale, pas seulement les explications à variables cachées.

Bell montra que la non-localité est impliquée par les prédictions de la théorie quantique standard

elle-même. Donc, si la nature est gouvernée par ces prédictions, alors la nature est non locale [que

la nature soit ainsi gouvernée, même dans les expériences cruciales des corrélations EPR, a

maintenant été établi avec un grand nombre d'expériences, dont la plus concluante est peut-être

celle d'Aspect (Aspect et al., 1982)].

Bell a aussi insisté sur ce point (par déterminisme, Bell ici veut dire variables cachées) :

Il est important de noter que le degré limité avec lequel le déterminisme joue un rôle dans

l'argument EPR n'est pas supposé mais inféré. Ce qui est tenu pour sacré est le principe de

"causalité locale" - ou "pas d'action à distance"...

Il est remarquablement difficile de mettre ce point en évidence que le déterminisme n'est pas un

présupposé de l'analyse (Bell, 1987, p.143).

En dépit de mon insistance pour que le déterminisme soit inféré plutôt que supposé, vous pouvez

encore soupçonner quelque peu que c'est une préoccupation pour le déterminisme qui crée le

problème. Notez bien alors que l'argument suivant ne fait aucune mention de quelque que manière

que ce soit au déterminisme... Finalement vous pouvez suspecter que toute notion de particule et

d'orbite de particule... nous a quelque peu égaré... Ainsi l'argument qui suit ne mentionnera pas les

particules ni les champs ni toute autre image particulière de ce qui serait au niveau microscopique.

Ni n'impliquera l'utilisation des mots "système quantique" qui peut avoir un effet malheureux sur la

discussion. La difficulté n'est pas de créer une telle image ou une telle terminologie. Elle est créée

par les prédictions sur les corrélations dans les résultats visibles de certains dispositifs

expérimentaux concevables (Bell, 1987, p.150).

Le "problème" et la "difficulté" auquel Bell se réfère ci-dessus est le conflit entre les prédictions de

la théorie quantique et qu'elle puisse être inférée, appelons là C, à partir d'une hypothèse de localité

dans la version de Bohm de l'argument EPR, un conflit établit par les inégalités de Bell. C concerne

l'existence d'une certaine sorte de variables cachées, qui peuvent être appelées variables cachées

locales, mais ce fait est de peu d'importance substantive. Ce qui est important n'est pas tant

l'identité de C que le fait que C est incompatible avec les prédictions de la théorie quantique.

L'identité de C est, cependant, d'une grande signification historique : il est responsable de la

croyance erronée que Bell prouva que les variables cachées sont impossibles, une croyance encore

récemment presque universellement partagée par les physiciens, aussi bien pour la vue, même

maintenant presque universellement acceptée, que le résultat de Bell n'exclut pas les variables

cachées locales, une vue qui est trompeuse.

Voici à nouveau Bell, exprimant la logique de sa démonstration en deux parties de la non-localité

quantique, la première partie étant la version de Bohm de l'argument EPR :

Résumons encore une fois la logique qui conduit à l'impasse. Les corrélations EPRB sont telles que

le résultat de l'expérience d'un coté prédit immédiatement le résultat de l'autre, quand l'analyse se

fait en parallèle. Si nous n'acceptions pas l'intervention d'un coté d'une influence causale sur

l'autre, nous sommes semble-t-il obligé d'admettre que les résultats des deux cotés sont déterminés

à l'avance, indépendamment de l'intervention de l'autre coté par des signaux dont la source et par

le dispositif local des aimants. Mais cela a des implications pour le dispositif antiparallèle qui est

en conflit avec ceux de la mécanique quantique. Ainsi nous ne pouvons pas rater l'intervention d'un

coté comme une influence causale sur l'autre (Bell, 1987, p.149).

Même s'il existe maintenant des contre exemples (voir le tom VII) montrant qu'une description

locale est possible, la possibilité de la non-localité ne peut être exclue a priori. Par conséquent,

l'étude d'une version à variables cachées non locales reste intéressante.

VII.3. Histoire L'approche de l'onde pilote de la théorie quantique fut initiée, avant même la découverte de la

mécanique quantique elle-même, par Einstein, qui espérait que les phénomènes d'interférence

impliquant des photons corpusculaires pourraient être expliqués si le mouvement des photons était

en quelque sorte guidé par le champ électromagnétique qui aurait donc joué le rôle de ce qu'il

appelait un Führungsfeld ou champ guide (Wigner, 1976, p.262). Tandis que la notion de champ

électromagnétique comme champ guide s'avéra plutôt problématique, la possibilité que pour un

système d'électrons la fonction d'onde puisse jouer ce rôle de champ guide ou d'onde pilote, fut

exploré par Max Born dans son article fondant la théorie quantique des collisions (Born, 1926), une

suggestion pour laquelle Heisenberg était profondément antipathique.

Peu de temps après la découverte de Schrödinger, en 1926, de la mécanique ondulatoire, c'est-à-

dire de l'équation de Schrödinger, Louis de Broglie découvrit en effet la mécanique bohmienne : en

1927, de Broglie trouva une équation du mouvement de la particule équivalent à l'équation guide

pour une fonction d'onde scalaire (de Broglie, 1928, p.119) et il expliqua au congrès de Solvay de

1927 comment ce mouvement pouvait expliquer les phénomènes d'interférence quantique.

Cependant, de Broglie répondit pauvrement à une objection de Wolfgang Pauli (Pauli, 1928)

concernant la diffusion inélastique, faisant sans doute mauvaise impression sur l'audience illustre

rassemblée à l'occasion.

Born et de Broglie abandonnèrent très rapidement l'approche de l'onde pilote et devinrent des

supporters enthousiastes du consensus rapidement développé en faveur de l'interprétation de

Copenhague. La mécanique bohmienne fut redécouverte en 1952 par David Bohm (Bohm, 1952),

la première personne à comprendre véritablement sa signification et ses implications. Son principal

supporter durant les années 60, 70 et 80 fut John Bell.

VII.4. Les équations de définition de la mécanique bohmienne En mécanique bohmienne, la fonction d'onde, obéissant à l'équation de Schrödinger, ne fournit pas

une description ou représentation complète d'un système quantique. Plutôt, elle gouverne le

mouvement des variables fondamentales, les positions des particules : dans la version de Bohm de

la théorie quantique, la mécanique quantique est fondamentalement le comportement des particules.

Les particules sont décrites par leurs positions et la mécanique bohmienne prescrit comment elles

changent avec le temps. Dans ce sens, pour la mécanique bohmienne, les particules, décrites par

leurs positions, sont primaires ou primitives tandis que la fonction d'onde est secondaire ou dérivée.

La mécanique bohmienne est la complétude minimale de l'équation de Schrödinger pour un

système non relativiste de particules vers une théorie décrivant un véritable mouvement des

particules. Pour la mécanique bohmienne, l'état d'un système de N particules est décrit par sa

fonction d'onde ( ) ( )qN ψψψ == qq ,,1 K , une fonction complexe (ou spinorielle) sur l'espace des

configurations possibles q du système, avec sa configuration réelle Q définie par les positions

réelles 1Q , ..., NQ de ses particules. La théorie est alors définie par les deux équations d'évolution :

l'équation de Schrödinger

(1) ψψH

ti =

∂∂

h

pour ( )tψ , où H est l'hamiltonien non relativiste (de Schrödinger) contenant les masses des

particules et un terme d'énergie potentielle et une équation d'évolution du premier ordre, l'équation

guide :

(2) ( )N

k

k

k

mdt

dQQ

Q,,Im 1 K

h

∂= ∗

∗

ψψψψ

pour ( )tQ , l'équation d'évolution du premier ordre la plus simple pour les positions des particules

qui est compatible avec la covariance galiléenne (et le renversement du temps) de l'évolution de

Schrödinger (Dürr et al., 1992 pp.852-854). Ici h est la constante de Planck divisée par π2 , km

est la masse de la particule k et k∂ est le gradient par rapport aux coordonnées de la particule k. Si

ψ est un spineur, les produits au numérateur et au dénominateur doivent être vus comme des

produits scalaires. Si des champs magnétiques externes sont présents, le gradient doit être vu

comme la dérivée covariante, impliquant le potentiel vecteur (puisque le dénominateur du coté droit

de l'équation guide s'annule aux nœuds de ψ , l'existence globale et l'unicité de la dynamique

bohmienne est une question non triviale. Elle est prouvée dans Berndl, Dürr et al., 1995).

Pour un système de N particules, ces deux équations (avec les spécifications détaillées de

l'hamiltonien, incluant toutes les interactions contribuant à l'énergie potentielle) définissent

complètement la mécanique bohmienne. Cette théorie déterministe des particules en mouvement

explique tous les phénomènes de la mécanique quantique non relativiste depuis les effets

d'interférence aux lignes spectrales (Bohm, 1952, pp. 175-178) jusqu'au spin (Bell, 1964, p.10) et

elle le fait d'une manière totalement ordinaire comme nous l'expliquerons dans les sections

suivantes.

La forme de l'équation guide donné ci-dessus est, pour une fonction d'onde scalaire, décrivant des

particules sans spin, un peu plus compliquée que nécessaire puisque le complexe conjugué de la

fonction d'onde apparaissant au numérateur et au dénominateur s'annulent. Si on cherche une

équation d'évolution pour la configuration compatible avec les symétries de l'espace-temps de

l'équation de Schrödinger, on arrive presque immédiatement à l'équation guide sous sa forme plus

simple comme la plus simple possibilité.

Cependant, la forme donnée ci-dessus a deux avantages : premièrement, elle a un sens pour des

particules avec spin et tous les phénomènes quantiques paradoxaux apparents associés au spin sont,

en fait, pris en compte par la mécanique bohmienne sans ajout supplémentaire. Deuxièmement, et

cela est crucial au fait que la mécanique bohmienne est empiriquement équivalente à la mécanique

quantique orthodoxe, le coté droit de l'équation d'onde est ρ/J , le rapport du courant de

probabilité quantique à la densité de probabilité quantique. Cela montre avant tout qu'il ne faut pas

d'imagination pour deviner que l'équation guide s'obtient à partir de l'équation de Schrödinger en un

regard puisque la formule classique pour le courant est la densité fois la vitesse. De plus, il suit de

l'équation de continuité quantique 0div/ =+∂∂ Jtρ , une conséquence immédiate de l'équation de

Schrödinger, que si à un certain moment (disons l'instant initial) la configuration Q de notre

système est aléatoire avec une distribution donnée par ψψψ ∗=2, cela sera vrai à tout moment

(aussi longtemps que le système n'interagit pas avec son environnement).

Cela démontre que toute affirmation sur l'effet que les prédictions de la mécanique quantique sont

incompatibles avec l'existence de variables cachées, avec un modèle détermine sous-jacent dans

lequel l'aléatoire quantique vient de moyennes sur l'ignorance, est fausse. La mécanique bohmienne

nous fournis justement un tel modèle : pour toute expérience quantique, nous prenons simplement

comme système bohmien pertinent le système combiné qui inclut le système sur lequel l'expérience

est effectuée ainsi que tous les instruments de mesure et autres dispositifs utilisés en effectuant

l'expérience (avec tous les autres systèmes avec lesquels ils ont une interaction significative au

cours de l'expérience). Le modèle des "variables cachées" est alors obtenu en regardant la

configuration initiale de ce grand système comme aléatoire de la manière quantique habituelle avec

une distribution donnée par 2ψ . La configuration initiale est alors transformée, via l'équation

guide pour le grand système, en la configuration finale à la conclusion de l'expérience. Il s'ensuit

alors que cette configuration finale du grand système, incluant en particulier l'orientation des

aiguilles des instruments, sera aussi distribuée de la manière quantique, tel que ce modèle bohmien

déterministe conduit aux prédictions quantiques habituelles pour les résultats des expériences.

Comme le paragraphe précédent le suggère et comme nous en discuterons plus en détail dans les

sections suivantes, en mécanique bohmienne il n'y a pas besoin, et en effet aucune place, pour tout

"postulat de mesure" ou axiomes gouvernant le comportement des autres "observables" : de tels

axiomes seraient au mieux redondants et pourraient être éventuellement inconsistants.

VII.5. Le potentiel quantique La mécanique bohmienne a été présentée ici comme une théorie du premier ordre dans laquelle

c'est la vitesse, le taux de changement de la position, qui est fondamental : c'est la quantité, donnée

par l'équation guide, qui est spécifiée par la théorie, directement et simplement, avec les concepts

(newtonien) du second ordre d'accélération et de force, le travail et l'énergie ne jouant pas un rôle

fondamental. Elle est vue, fondamentalement, comme une théorie du second ordre décrivant des

particules se mouvant sous l'influence de forces parmi lesquelles, cependant, on doit inclure une

force venant d'un "potentiel quantique".

Dans son article sur les variables cachées de 1952 (Bohm 1952), Bohm arriva à sa théorie en

écrivant la fonction d'onde sous forme polaire ( )h/exp iSR=ψ où S et R sont réels, avec R non

négatif et en réécrivant l'équation de Schrödinger en terme de ces nouvelles variables pour obtenir

une paire d'équations d'évolution couplées : l'équation de continuité pour 2R=ρ et une équation

modifiée de Hamilton-Jacobi pour S, différant de l'équation habituelle de Hamilton-Jacobi

seulement par l'apparition d'un terme supplémentaire, le potentiel quantique

(1) ∑∂

−=k

k

k R

R

mU

22

2

h

à coté du terme classique d'énergie potentielle.

Bohm a alors utilisé l'équation modifiée de Hamilton-Jacobi pour définir les trajectoires des

particules juste comme cela est fait pour l'équation classique de Hamilton-Jacobi, c'est-à-dire, en

identifiant Sk∂ avec kkm v , c'est-à-dire en posant

(2) k

kk

m

S

dt

d ∂=

Q

qui est équivalente à l'équation guide pour des particules sans spin [notez que sous cette forme,

l'équation guide est déjà suggérée par la relation de de Broglie (équation pré-Schrödinger) kp h= ,

ainsi que par l'équation d'eikonal de l'optique classique]. Le mouvement résultant est précisément

ce qui serait obtenu classiquement si les particules subissent, en plus des forces habituelles, la force

générée par le potentiel quantique.

La formulation du potentiel quantique de la théorie de de Broglie - Bohm est encore assez

largement utilisée. Par exemple, la théorie est présentée de cette manière dans deux monographies

existantes, de Bohm et Hiley et de Holland. Et sans s'occuper de savoir si oui ou non on considère

le potentiel quantique comme fondamental, elle peut en fait être assez utile afin de voir le plus

facilement que la mécanique newtonienne devrait émerger en moyenne de la mécanique bohmienne

à la limite classique. On voit alors que la (taille du) potentiel quantique fournit une mesure de la

déviation de la mécanique quantique de son approximation classique. De plus, le potentiel

quantique peut aussi être utilisé pour développer des schémas d'approximation pour les solutions de

l'équation de Schrödinger (Nerukh et Frederick, 2000).

Cependant, la réécriture de Bohm de l'équation de Schrödinger en termes de variables qui semblent

interprétables en termes classiques ne vient pas sans coût. Le plus évident est l'accroissement de la

complexité : l'équation de Schrödinger est plutôt simple et même linéaire tandis que l'équation

modifiée de Hamilton-Jacobi est assez compliquée et hautement non linéaire et nécessite en plus

l'équation de continuité pour sa fermeture. Le potentiel quantique lui-même n'est ni simple ni

naturel. Même pour Bohm il a semblé "plutôt étrange et arbitraire" (Bohm 1980, p.80). Et il n'est

pas très satisfaisant de penser à la révolution quantique comme aboutissant à l'investigation que la

nature est après tout classique excepté qu'il y a dans la nature ce qui apparaît être un terme de force

additionnel plutôt ad hoc, celui venant du potentiel quantique. Le caractère artificiel suggéré par le

potentiel quantique est le prix à payer si on insiste pour mettre une théorie hautement non classique

dans un moule classique.

De plus, la relation entre mécanique classique et mécanique bohmienne qui est suggérée par le

potentiel quantique est assez trompeuse. La mécanique bohmienne n'est pas simplement de la

mécanique classique avec un terme de force additionnel. En mécanique bohmienne, les vitesses ne

sont pas indépendantes des positions comme elles le sont classiquement mais sont contraintes par

l'équation guide. Dans la théorie classique de Hamilton-Jacobi, la fonction S peut être entièrement

éliminée et la description en termes de S simplifiée et réduite à une description de dimension finie

avec les variables de base de positions et de moments (non contraints) de toutes les particules

données par les équations de Hamilton ou de Newton.

Il peut être affirmé que le défaut le plus sérieux dans la formulation du potentiel quantique de la

mécanique bohmienne est qu'elle donne une impression complètement fausse du chemin que l'on

doit parcourir afin de convertir la théorie quantique orthodoxe en quelque chose de plus rationnel.

Le potentiel quantique suggère, et en effet cela a souvent été dit, qu'afin de transformer l'équation

de Schrödinger en une théorie qui peut, dans ce qui est souvent appelé en termes "réalistes",

expliquer les phénomènes quantiques, dont plusieurs sont extrêmement non locaux, nous devons

ajouter à la théorie un potentiel quantique compliqué d'un caractère grossièrement non local. Il

devrait être clair que de tels sentiments sont inappropriés puisque le potentiel quantique n'a pas

besoin d'être mentionné dans la formulation de la mécanique bohmienne et en tout cas est

simplement un reflet de la fonction d'onde que la mécanique bohmienne n'ajoute pas mais partage

avec la théorie quantique orthodoxe.

VII.6. L'expérience à deux fentes Selon Richard Feynman, l'expérience à deux fentes pour les électrons est (Feynman et al., 1963,

p.37-2)

Un phénomène qui est impossible, absolument impossible, à expliquer d'une manière classique et

qui est au cœur de la mécanique quantique. En réalité elle contient le seul mystère".

Cette expérience (Feynman 1867, p.130)

A été conçue pour contenir tout le mystère de la mécanique quantique, pour vous mettre face aux

paradoxes et mystères et particularités de la nature à cent pour cent".

Comme la question (Feynman 1967, p.145),

Comment cela marche-t-il réellement ? Quelle machinerie produit réellement cette chose ?

Personne ne connaît de machinerie. Personne ne peut vous donner une explication plus profonde

de ce phénomène que celle que j'ai donnée, c'est-à-dire une description.

Mais la mécanique bohmienne est justement une telle explication plus profonde. Elle résout le

dilemme de l'apparition dans le même phénomène des propriétés à la fois corpusculaires et

ondulatoires d'une manière assez directe : la mécanique bohmienne est une théorie du mouvement

décrivant une particule (ou des particules) guidée par une onde. Ici nous avons une famille de

trajectoires bohmiennes pour l'expérience à deux fentes.

Bien que chaque trajectoire passe par une seule des fentes, l'onde passe à travers les deux, le profil

d'interférence qui se développe donc dans l'onde génère une figure similaire aux trajectoires

guidées par cette onde.

Comparons la présentation de Feynman avec celle de Bell (Bell 1987, p.191) :

N'est-il pas clair à partir de la petitesse de la scintillation sur l'écran que nous ayons à faire à une

particule ? Et n'est-il pas clair à partir de la diffraction et de la figure d'interférence que le

mouvement de la particule est dirigé par une onde ? De Broglie a montré en détail comment le

mouvement d'une particule, passant à travers seulement un des deux trous de l'écran, pouvait être

influencée par des ondes se propageant à travers les deux trous. Et si influencée que la particule ne

va pas là où l'onde s'annule mais est attirée là où elles coopèrent. Cette idée me semble si naturelle

et simple pour résoudre le dilemme onde particule d'une manière si claire et ordinaire que c'est

pour moi un grand mystère que cela fut si généralement ignoré.

L'aspect le plus énigmatique de l'expérience à deux fentes et peut-être le suivant : si, par quelque

moyen que ce soit, on est capable de déterminer à travers quelle fente la particule passe, la figure

d'interférence sera détruite. Cet effet dramatique de l'observation est, en fait, une simple

conséquence de la mécanique bohmienne. Pour voir cela, on a seulement besoin de considérer ce

qui détermine la fente à travers laquelle la particule passe. En particulier, on doit reconnaître que

cela doit impliquer une interaction avec un autre système qui doit aussi être inclus dans l'analyse de

la mécanique bohmienne. Cette destruction de l'interférence est reliée, assez naturellement, à

l'analyse de la mécanique bohmienne de la mesure quantique (Bohm 1952) et elle se produit via le

mécanisme qui conduit, en mécanique bohmienne, à la "réduction de la fonction d'onde".

VII.7. Le problème de la mesure La difficulté conceptuelle la plus souvent citée qui mine la mécanique quantique est le problème de

la mesure ou, ce qui explique plus ou moins la même chose, le paradoxe du chat de Schrödinger.

En effet, pour de nombreux physiciens, le problème de la mesure n'est pas simplement une des

difficultés conceptuelles de la mécanique quantique. C'est la difficulté conceptuelle.

Le problème est le suivant. Supposons que la fonction d'onde d'un système individuel fournisse une

description complète de ce système. Quand nous analysons le processus de mesure en termes

quantiques, nous trouvons que la fonction d'onde après la mesure pour le système et l'appareil

venant de l'équation de Schrödinger pour le système composite implique typiquement une

superposition de termes correspondant à ce que nous aimerions voir comme les différents résultats

possibles, par exemple, différentes orientations d'aiguilles. Il est difficile de discerner dans cette

description de la situation après mesure le résultat réel de la mesure, par exemple, une certaine

orientation spécifique des aiguilles. Mais le point complet de la théorie quantique et la raison pour

laquelle nous croyons en elle est que cela est supposé fournir une explication remarquable, ou au

moins efficace, de nos observations, c'est-à-dire des résultats des mesures. En bref, le problème de

la mesure est le suivant : la théorie quantique implique que la mesure échoue typiquement pour

avoir des résultats du type pour lequel la théorie fut créée pour l'expliquer.

Par contraste si, comme Einstein, nous regardons la description fournie par la fonction d'onde

comme incomplète, le problème de la mesure s'évanouit : avec une théorie ou interprétation comme

la mécanique bohmienne, dans laquelle la description de la situation après mesure inclus, en plus de

la fonction d'onde, au moins les valeurs des variables qui enregistrent le résultat, il n'y a pas de

problème de mesure. En mécanique bohmienne, les aiguilles pointent toujours sur un résultat

définis.

Le problème de la mesure est souvent exprimé un peut différemment. Il est noté que les livres de

mécanique quantique fournissent deux règles pour l'évolution de la fonction d'onde d'un système

quantique : une dynamique déterministe donnée par l'équation de Schrödinger quand le système

n'est pas "mesuré" ou observé et une réduction aléatoire de la fonction d'onde dans un état propre

de "l'observable mesuré" quand il l'est. Cependant, les objections continuent, les livres de

mécanique quantique ne fournissent pas une explication cohérente de comment ces deux règles

apparemment incompatibles peuvent être réconciliées.

Que cette formulation du problème de la mesure soit plus ou moins équivalent à la précédente

devrait être assez clair : si une fonction d'onde fournit une description complète de la situation après

mesure, le résultat de la mesure doit correspondre à une fonction d'onde décrivant le résultat réel,

c'est-à-dire une fonction d'onde "réduite". D'où la règle de réduction. Mais il est difficile de prendre

sérieusement l'idée que ces interactions entre système et appareil que nous appelons mesures soient

gouvernées par des lois différentes de celles gouvernant toutes les autres interactions. D'où

l'incompatibilité apparente des deux règles.

La seconde formulation du problème de la mesure, bien que basiquement équivalente à la première,

suggère une question importante : la mécanique bohmienne peut-elle elle-même fournir une

explication cohérente de comment les deux règles dynamiques peuvent être réconciliées ?

Comment la mécanique bohmienne justifie-t-elle l'utilisation de la fonction d'onde "réduite" à la

place de l'originale ? Cette question fut répondue dans le premier article sur la mécanique

bohmienne (Bohm 1952, partie I, section 7 et partie II, section 2). Ce qui serait maintenant appelé

les effets de la décohérence, produit par l'interaction avec l'environnement (molécules d'air, rayons

cosmiques, degrés de liberté internes microscopiques, etc.) rend extrêmement difficile pour la

composante de la fonction d'onde après mesure correspondant au résultat réel de la mesure de

développer une superposition significative, dans l'espace de configuration d'un très grand système

qui inclus tous les systèmes avec lesquels le système original et l'appareil sont en interaction, avec

les autres composantes de la fonction d'onde après mesure. Mais sans une telle superposition,

l'évolution future du système et de l'appareil est généré, avec un grand degré de précision, par la

composante elle-même. Le remplacement est donc justifié en pratique (voir aussi Dürr et al. 1992,

section 5).

On pense largement par les défenseurs de la théorie quantique orthodoxe que le problème de la

mesure lui-même est quelque peu résolu par la décohérence. Il n'est pas facile de comprendre cette

croyance. Dans la première formulation du problème de la mesure, rien ne nous empêche d'inclure

dans l'appareil toutes les sources de décohérence. Mais alors, il n'y a plus de place pour que la

décohérence soit en aucune manière pertinente pour cet argument.

VII.8. La réduction de la fonction d'onde Dans la section précédente, il fut indiqué que la réduction de la fonction d'onde peut être vue en

mécanique bohmienne comme une chose pragmatique. Cependant, il y a un sens dans lequel la

réduction de la fonction d'onde en mécanique bohmienne est plus qu'une question de pratique. Si

nous nous concentrons sur ce qui devrait être vu comme la fonction d'onde, non du système

composite système et appareil, qui à strictement parler reste une superposition si le système

composite est traité comme fermé durant le processus de mesure, mais du système lui-même, nous

trouvons que pour la mécanique bohmienne, cela provoque en effet une réduction, exactement

comme décrit par le formalisme quantique. L'élément clé ici est la notion de fonction d'onde

conditionnelle d'un sous système d'un système plus large, décrite brièvement dans cette section et

discutée en détail, avec la notion reliée de fonction d'onde effective, dans Dürr et al., 1992, section

5.

Pour l'évolution de la fonction d'onde, la mécanique bohmienne est formulée en termes de

l'équation de Schrödinger seule. Néanmoins, la règle de réduction des livres est une conséquence de

la mécanique bohmienne. Pour apprécier cela, on doit noter d'abord que, puisque l'observation

implique l'interaction, un système sous observation ne peut pas être un système fermé mais doit

plutôt être un sous-système d'un système plus grand qui est fermé, que nous devions prendre

l'univers entier ou un système plus petit plus ou moins fermé qui contient le système observé, le

sous-système. La configuration Q de ce grand système se divise naturellement en X, la

configuration du sous système et Y, la configuration de l'environnement du sous système.

Supposons que le grand système a la fonction d'onde ( ) ( )yxq ,Ψ=Ψ=Ψ . Selon la mécanique

bohmienne, le grand système est complètement décrit par Ψ , évoluant selon l'équation de

Schrödinger et par X et Y. La question alors posée, et c'est la question critique, qu'est-ce que cela

signifie pour la fonction d'onde du sous-système ?

Il y a une réponse assez évidente à cela, une fonction naturelle de x qui incorpore de manière

souhaitable la structure objective, c'est-à-dire la fonction d'onde conditionnelle

(1) ( ) ( )Yxx ,Ψ=ψ

obtenue en plongeant la configuration réelle de l'environnement dans la fonction d'onde du grand

système (cette définition est appropriée seulement pour des fonctions d'onde scalaire; pour des

particules avec spin, la situation serait un peu plus compliquée). Il s'ensuit alors immédiatement que

la configuration du sous-système obéit à l'équation guide avec la fonction d'onde conditionnelle sur

le coté droit.

De plus, en prenant en compte la manière dont la fonction d'onde conditionnelle dépend du temps t

(2) ( ) ( )ttt Yxx ,Ψ=ψ

via la dépendance en le temps de Y ainsi que de Ψ , il n'est pas difficile de voir (Dürr et al. 1992)

que la fonction d'onde conditionnelle obéit à l'équation de Schrödinger du sous-système quand le

système est de manière souhaitable découplée de l'environnement, cela signifie en particulier que

Ψ a une forme particulière, qui peut être appelée une forme de produit effectif (similaire mais plus

générale que le produit de superposition produit dans une "mesure quantique idéale"), auquel cas la

fonction d'onde du sous-système est aussi appelée sa fonction d'onde effective, et, en utilisant

l'hypothèse de l'équilibre quantique, qu'elle se réduit aléatoirement selon les règles habituelles de la

mécanique quantique sous précisément ces conditions de l'interaction entre le sous-système et son

environnement qui définit une mesure quantique idéale.

Il est peut-être utile de noter que la théorie quantique orthodoxe n'a pas les ressources, c'est-à-dire

la configuration réelle de l'environnement, qui rend possible la définition de la fonction d'onde

conditionnelle. En effet, d'un point de vue orthodoxe, cela signifierait que la fonction d'onde d'un

sous-système est totalement obscure.

VII.9. Aléatoire quantique Selon le formalisme quantique, la densité de probabilité pour trouver un système dont la fonction

d'onde est ψ dans la configuration q est ( ) 2qψ . Dans la mesure où les résultats des mesures sont

enregistrés dans la configuration, au moins potentiellement, il s'ensuit que les prédictions de la

mécanique bohmienne pour les résultats des mesures doivent être en accord avec celles de la

théorie quantique orthodoxe (en supposant la même équation de Schrödinger pour les deux) pourvu

qu'il soit quelque peu vrai pour la mécanique bohmienne que les configurations soient aléatoires

avec une distribution donnée par la distribution de l'équilibre quantique ( ) 2qψ . Maintenant, le

statut et la justification de cette hypothèse de l'équilibre quantique est une question assez délicate et

qui a été explorée avec beaucoup de détails (Dürr et al. 1992). Voici quelques points pertinents.

C'est maintenant un fait assez familier que les systèmes dynamiques conduisent assez généralement

au comportement de caractère statistique, avec les statistiques données par la (ou une) distribution

de probabilité stationnaire pour la dynamique. De même en mécanique bohmienne, excepté que la

stationnarité du système bohmien n'est pas le bon concept et c'est plutôt la notion d'équivariance qui

est pertinente. Une probabilité de distribution ψρ sur l'espace de configuration, dépendant de la

fonction d'onde ψ , est équivariante si

(1) ( ) ( )tt

ψψ ρρ =

où la dépendance en t sur le coté droit vient de l'équation de Schrödinger et sur le coté gauche de

l'évolution des distributions de probabilité venant du flot induit par l'équation guide. Donc

l'équivariance exprime la compatibilité mutuelle, relative à ψρ , de l'évolution de Schrödinger de la

fonction d'onde et du mouvement bohmien de la configuration. C'est une conséquence immédiate

de l'équation guide et de l'équation de continuité quantique que ( ) 2qψρψ = est équivariant.

Il est peut-être utile, en essayant de comprendre le statut en mécanique bohmienne de la distribution

d'équilibre quantique, de penser à

(2) équilibre quantique, 2ψρ =

comme l'analogue grossier de (classique)

(3) équilibre thermodynamique, ( ) ZkTH //exp −=ρ

la distribution de probabilité d'un point de l'espace de phase d'un système en équilibre à la

température T (Z est une constante de normalisation appelée la fonction de partition et k est la

constante de Boltzmann). Cette analogie a plusieurs facettes : dans les deux cas les distributions de

probabilité sont naturellement associées avec leurs systèmes dynamiques respectifs. En particulier,

ces distributions sont stationnaires ou, ce qui revient au même dans le cadre de la mécanique

bohmienne, équivariantes. Dans les deux cas il semble naturel d'essayer de justifier ces

distributions d'équilibre par l'utilisation d'arguments de mélange, de convergence vers l'équilibre

(Bohm 1953, Valentini 2001). Dans les deux cas, la justification ultime pour des distributions

probabilistes doit, à coup sur, être en termes d'images statistiques exhibées par des ensembles de

sous-systèmes réels dans un univers individuel typique (Bell 1987, page 129, Dürr et al. 1992) (et

dans les deux cas, le statut et la justification des distributions d'équilibre sont encore controversés).

Il peut être montré (Dürr et al. 1992) que les probabilités pour les positions données par la

distribution d'équilibre quantique émergent naturellement de l'analyse de "l'équilibre" du système

dynamique déterministe défini par la mécanique bohmienne, de la même manière que la

distribution de vitesse de Maxwell émerge de l'analyse de l'équilibre thermodynamique classique

(pour plus sur le coté thermodynamique de l'analogie, voir Goldstein 2001). Donc, avec la

mécanique bohmienne, la description statistique en théorique quantique prend en effet, comme

anticipé par Einstein, "une position approximativement analogue à la mécanique statistique dans le

cadre de la mécanique classique".

VII.10 Observables quantiques Il semblerait que comme la théorie quantique orthodoxe nous fournit des probabilités non

seulement pour les positions mais pour une grande classe d'observables quantiques, elle est une

théorie beaucoup plus riche que la mécanique bohmienne qui semble exclusivement concernée par

les positions. Les apparences sont cependant trompeuses. A cet égard, comme pour beaucoup

d'autres dans les fondations de la mécanique quantique, la remarque cruciale a été faite par Bell

(Bell 1987, p.166) :

[E]n physique les seules observations que nous devons considérer sont les conservations des

positions, si pas seulement les positions des aiguilles des instruments. C'est un grand mérite du

point de vue de de Broglie - Bohm de nous forcer à considérer ce fait. Si vous faites des axiomes,

plutôt que des définitions et des théorèmes, sur la "mesure" de quelque chose d'autre, alors vous

introduisez de la redondance et risquez l'inconsistance.

Considérons d'abord la mécanique classique. Les observables sont des fonctions sur l'espace des

phases, des fonctions des positions et impulsions des particules. La théorie est définie par les

axiomes gouvernant le comportement des observables de base, les équations de Newton pour les

positions ou d'Hamilton pour les positions et les impulsions. Quel serait le but de faire des axiomes

additionnels pour d'autres observables ? Après tout, le comportement de tout observable est

entièrement déterminé par le comportement des observables de base. Par exemple, pour la

mécanique classique, le principe de la conservation de l'énergie est un théorème, pas un axiome.

La situation peut sembler différente en mécanique quantique car en mécanique quantique il n'y a

pas d'observables de base ayant les propriétés que tous les autres observables sont fonction d'eux.

Cela est relié au fait qu'en mécanique quantique, avec son orientation positiviste, aucun observable

n'est pris sérieusement comme décrivant des propriétés objectives, comme ayant réellement des

valeurs qu'ils soient ou non mesurés. A la place, toute affirmation sur les observables de la

mécanique quantique est supposée être comprises comme une affirmation sur la mesure des

observables.

Mais si l'en est ainsi, la situation par rapport aux autres observables de la mécanique quantique n'est

pas vraiment si différente de la mécanique classique. Quelle que soit la signification supposée en

mécanique quantique des mesures des (valeurs des) observables, que, nous affirmons croire, ne pas

avoir réellement de valeurs, elle doit au moins se rapporter à certaines expériences impliquant des

interactions entre le système "mesuré" et un appareil "de mesure" conduisant à un résultat

reconnaissable donné potentiellement par, disons, une orientation d'aiguille. Mais alors, si les

axiomes que nous avons suffisent pour le comportement des orientations des aiguilles (au moins

quand elles sont observées), les règles pour la mesure des autres observables doivent être des

théorèmes suivant de ces axiomes, pas des axiomes supplémentaires.

Il devrait être clair suite aux discussions qui précèdent que, en supposant les hypothèses de

l'équilibre quantique, toute analyse de la mesure d'un observable quantique pour la théorie

quantique orthodoxe, quelle que soit sa signification et l'expérience correspondante pouvant être

effectuée, fournit ipso facto au moins une explication adéquate en mécanique bohmienne. La seule

partie de la théorie quantique orthodoxe pertinente à l'analyse est l'évolution de Schrödinger et cela

est partagé avec la mécanique bohmienne. La principale différence dans les deux explications est

que l'orthodoxe rencontre le problème de la mesure avant d'atteindre une conclusion satisfaisante

tandis que l'explication bohmienne ne le fait pas. Cette différence vient bien sûr du fait de ce que la

mécanique bohmienne ajoute, à la théorie quantique orthodoxe, les configurations réelles.

Dans le reste de cette section, nous souhaitons toucher un mot sur la signification des observables

quantiques en mécanique bohmienne : sur comment ils émergent naturellement et ce qu'ils

signifient (il suit de ce qui a été dit dans les trois paragraphes précédents que ce que nous concluons

ici sur les observables quantiques pour la mécanique bohmienne est valable également pour la

théorie quantique orthodoxe).

Il arrive que la mécanique bohmienne conduise à une association naturelle entre les expériences et

les observables dit généralisés, donné par des mesures d'opérateurs positifs (Davies 1976) ou

POVM, ( )dzO , sur les espaces de valeurs des résultats des expériences (Berndl, Daumer et al.

1995). Cette association est telle que la distribution de probabilité du résultat Z d'une expérience,

quand elle est effectuée sur un système avec la fonction d'onde ψ , est donnée par ( )ψψ dzO (où

est le produit scalaire habituel entre les vecteurs d'états quantiques).

De plus, cette conclusion est basiquement une conséquence immédiate de la signification d'une

expérience dans une perspective bohmienne : un couplage du système à l'appareil conduisant à un

résultat Z qui est une fonction de la configuration finale du système total, par exemple l'orientation

d'une aiguille. Analysé en termes de la mécanique bohmienne, l'expérience définit une application

de la fonction d'onde initiale du système vers la distribution du résultat. Cela suit directement de la

structure de la mécanique bohmienne et du fait que la distribution d'équilibre quantique est

quadratique en la fonction d'onde, c'est-à-dire une application bilinéaire (ou plus précisément

sesquilinéaire). Une telle application est équivalente à un POVM.

L'exemple le plus simple d'un POVM est un observable quantique standard correspondant à un

opérateur hermitique A sur l'espace de Hilbert des états quantiques (c'est-à-dire les fonctions

d'ondes). Pour la mécanique bohmienne, plus ou moins toute expérience de "type mesure" est

associée avec ce type spécial de POVM et l'axiome familier de mesure quantique que la distribution

du résultat de "la mesure de l'observable A" est donnée par la mesure spectrale de A relativement à

la fonction d'onde (dans les cas les plus simples juste le carré des amplitudes dites de probabilité)

est donc obtenu.

Pour une variété de raisons, il devient rapidement presque universel, après que la mécanique

quantique fut découverte, de parler d'une expérience associée à un opérateur A de la manière que

nous venons de décrire comme une mesure de l'observable A comme si l'opérateur correspondait à

une propriété du système qui est en un certain sens mesuré par cette expérience. C'est une grande

source de confusion sur la signification et les implications de la théorie quantique que ce réalisme

naïf sur les opérateurs (Daumer et al. 1997).

VII.11. Spin A la fois la manière dont les observables non configurationnels sont traités en mécanique

bohmienne et certaines des difficultés causées par le réalisme naïf sur les opérateurs mentionnés ci-

dessus peuvent être illustrées joliment avec le cas du spin.

Le spin est l'observable quantique canonique n'ayant aucune contrepartie classique, réputé être

impossible à saisir d'une manière non quantique. La source de la difficulté n'est pas tant que le spin

est quantifié dans le sens que ses valeurs permises forment un ensemble discret (pour une particule

de spin 1/2, 2/h± ), l'énergie aussi peut être quantifiée dans ce sens, ni même précisément que les

composantes du spin dans les différentes directions ne commutent pas et ainsi ne peuvent pas être

simultanément discutées, mesurées, imaginées ou quoi que ce soit que nous soyons empêchés de

faire avec des observables non commutant. La difficulté est plutôt qu'il n'y a pas de quantité

ordinaire (non quantique) qui, comme l'observable du spin, est un vecteur et qui est aussi tel que ses

composantes dans toutes les directions possibles appartiennent au même ensemble discret. Le

problème, en d'autres mots, est que les relations vectorielles habituelles entre les différentes

composantes du vecteur spin ne sont pas compatibles avec les conditions de quantification sur les

valeurs de ces composantes.

Pour une particule de spin 1 le problème est même plus sévère. Puisque les composantes du spin

dans différentes directions ne sont pas simultanément mesurables, les relations vectorielles

impossibles pour les composantes du spin d'une particule quantique ne sont pas des relations

observables. Simon Kochen et Ernst Specker (Kochen et Specker 1967) ont montré que pour une

particule de spin 1, les carrés des composantes du spin dans les différentes directions satisfont,

selon la théorie quantique, une collection de relations, chacune individuellement observable, qui

prisent ensembles sont impossibles : les relations sont incompatibles avec l'idée que les mesures de

ces observables révèlent simplement leur valeurs préexistantes plutôt que, comme nous sommes

pressés de croire en théorie quantique, les créer. Ce théorème de Kochen - Specker continue à être

vu par de nombreux physiciens et philosophes de la physique comme un argument définitif contre

la possibilité des variables cachées.

Nous pouvons donc naturellement nous demander comment la mécanique bohmienne fait pour

traiter le spin. Mais cette question a déjà été répondue ici. La mécanique bohmienne a un sens pour

des particules avec spin, c'est-à-dire des particules dont les fonctions d'onde sont des spineurs.

Quand de telles particules sont correctement dirigées vers un appareil de Stern-Gerlach, elles

émergent en se déplaçant dans un ensemble plus ou moins discrets de directions, 2 directions

possibles pour des particules de spin 1/2, ayant 2 composantes du spin, 3 pour le spin 1 avec 3

composantes, etc. Cela se produit parce que les aimants de Stern-Gerlach sont ainsi conçus et

orientés pour qu'un paquet d'onde (une fonction d'onde localisée avec une vitesse raisonnablement

bien définie) dirigé à travers l'aimant sera, en vertu de l'évolution de Schrödinger, séparé en deux

paquets distincts, correspondant aux composantes du spin de la fonction d'onde et se déplaçant dans

un ensemble discret de directions. La particule elle-même, selon sa position initiale, finira dans un

des paquets se déplaçant dans une des directions.

La distribution de probabilité pour le résultat d'une telle expérience de Stern-Gerlach est utilement

exprimée en termes des opérateurs de spin de la mécanique quantique, pour une particule de spin

1/2 donnée par les matrices de spin de Pauli, de la manière expliquée ci-dessus. Dans une

perspective bohmienne, il n'y a pas d'indice de paradoxe dans tout cela à moins que nous soyons

séduit par le réalisme naïf sur les opérateurs en insistant, en dépit de son impossibilité évidente, que

les opérateurs de spin correspondent à de véritables propriétés des particules.

VII.12. Contextualité Le théorème de Kochen et Specker, le théorème précédent de Gleason (Gleason 1957 et Bell 1966)

ainsi qu'une variété d'autres résultats incluant les inégalités de Bell montrent que toute formulation

à variables cachées de la mécanique quantique doit être contextuelle. Elle doit violer l'hypothèse de

non contextualité "que la mesure d'un observable doit conduire à la même valeur indépendamment

de la manière de la mesurer" (Bell 1987, p.9). Pour beaucoup de physiciens et de philosophes de la

science, la contextualité a semblé un grand prix à payer pour des bénéfices plutôt modestes,

largement psychologique pourraient-ils dire, fournis par les variables cachées.

Même plusieurs bohmiens suggèrent que la contextualité marque un écart significatif des principes

classiques. Par exemple, Bohm et Hiley (1993) écrivent que "la dépendance au contexte des

résultats des mesures est une indication supplémentaire de comment notre interprétation n'implique

pas un simple retour aux principes de base de la physique classique".

Cependant, pour comprendre la contextualité dans la perspective bohmienne il faut préciser que

presque plus rien n'a besoin d'être expliqué. Considérons un opérateur A qui commute avec les

opérateurs B et C (qui, cependant, ne commutent pas ensemble). Ce qui est souvent appelé "le

résultat de A" dans une expérience "mesurant A avec B" est habituellement en désaccord avec "le

résultat de A" dans une expérience "mesurant A avec C" car, même si tout le reste est le même, ces

expériences sont différentes et des expériences différentes ont habituellement des résultats

différents. La référence trompeuse à la mesure, avec le réalisme naïf associé sur les opérateurs, rend

la contextualité plus important qu'elle ne l'est.

Si nous évitons le réalisme naïf sur les opérateurs, la contextualité explique un peu plus que

l'observation assez peu remarquable que les résultats des expériences dépendraient de comment

elles sont effectuées même quand les expériences considérées sont associées avec le même

opérateur de la manière expliquée ci-dessus. David Albert (Albert 1992, p.153) a donné un exemple

particulièrement simple et frappant de cette dépendance pour les expériences de Stern-Gerlach

"mesurant" la composante z du spin. Si on renverse la polarité des aimants pour "mesurer" la

composante z du spin, en gardant la même géométrie, on obtient un autre aimant "mesurant" la

composante z du spin. L'utilisation de l'un ou l'autre de ces deux aimants conduira souvent à des

conclusions opposées sur la "valeur de la composante z du spin" avant la "mesure" (pour la même

valeur initiale de la position de la particule).

Comme Bell a insisté (Bell 1987, p.166) :

Une morale finale concerne la terminologie. Pourquoi de tels gens sérieux prennent si

sérieusement des axiomes qui semblent maintenant si arbitraire ? Je suspecte qu'ils furent trompés

par le mauvais usage pernicieux du mot "mesure" dans la théorie contemporaine. Ce mot suggère

très fortement l'assurance de certaines propriétés pré-existantes de certaines choses, tout

instrument impliqué jouant un rôle purement passif. Les expériences quantiques ne sont pas

seulement comme ça, comme nous l'a appris particulièrement Bohr. Les résultats doivent être vus

comme le produit joint du "système" et de "l'appareil", le dispositif expérimental complet. Mais le

mauvais usage du mot "mesure" rend facile d'oublier cela et alors d'attendre que les "résultats des

mesures" obéissent à une certaine logique simple dans laquelle l'appareil n'est pas mentionné. Les

difficultés résultantes montrent vite qu'une telle logique n'est pas la logique ordinaire. C'est mon

impression que le sujet entier de la "logique quantique" est venu de cette manière du mauvais

usage d'un mot. Je suis convaincu que le mot "mesure" a maintenant été tellement abusé que le

domaine avancerait de manière significative en bannissant son usage en faveur, par exemple, du

mot "expérience".

VII.13. Non-localité La mécanique bohmienne est manifestement non locale : la vitesse, comme exprimée dans

l'équation guide, d'un système à une particule à un système à plusieurs particules dépendra

typiquement des positions des autres, particules, éventuellement distantes, si la fonction d'onde du

système est intriquée, c'est-à-dire par un produit de fonctions d'onde à une seule particule. Cela est

vrai, par exemple, pour la fonction d'onde EPR-Bohm décrivant une paire de particules de spin 1/2

dans l'état singulet, analysé par Bel et plusieurs autres. Donc, la mécanique bohmienne rend

explicite la propriété la plus dramatique de la théorie quantique : la non-localité quantique.

On devrait insister sur le fait que la non-localité en mécanique bohmienne dérive seulement de la

non-localité construite dans la structure de la théorie quantique standard, comme fournie par une

fonction d'onde sur l'espace de configuration, une abstraction qui, grossièrement, combine, ou lie,

des particules distantes en une seule réalité irréductible. Comme Bell (Bell 1987, p.115) l'a

souligné,

Que l'équation guide, dans le cas général, ne se propage pas dans l'espace ordinaire à trois

dimensions mais dans un espace de configuration multidimensionnel est à l'origine de la "non-

localité" notoire de la mécanique quantique. C'est un mérite de la version de de Broglie - Bohm de

montrer cela si explicitement qu'elle ne peut pas être ignorée.

Donc la relation de vitesse non locale dans l'équation guide est un des aspects de la non-localité de

la mécanique bohmienne. Il y a aussi la non-localité, ou non séparabilité, implicite dans la fonction

d'onde elle-même et dans sa propagation, une non-localité qui en fait ne suppose pas la structure,

les configurations réelles, que la mécanique bohmienne ajoute à la théorie quantique orthodoxe. Et

comme Bell l'a montré, en utilisant la relation entre la fonction d'onde et les prédictions de la

mécanique quantique concernant les résultats expérimentaux, cette non-localité ne peut pas

facilement être écartée.

La non-localité de la mécanique bohmienne peut être appréciée peut-être plus efficacement, sous

tous ses aspects, en se concentrant sur la fonction d'onde conditionnelle. Supposons, par exemple,

que dans l'expérience EPR-Bohm la particule 1 passe à travers son dispositif de Stern-Gerlach

avant que la particule 2 n'arrive à son appareil. Alors l'orientation des aimants de Stern-Gerlach

pour la particule 1 aura un effet significatif sur la fonction d'onde conditionnelle de la particule 2 :

si les aimants de Stern-Gerlach pour la particule sont orientés pour "mesurer la composante z du

spin", alors après que la particule 1 soit passée à travers son aimant, la fonction d'onde

conditionnelle de la particule 2 sera un vecteur propre (ou état propre) de la composante z du spin

(en fait, appartenant à la valeur propre qui est le négatif de celle "mesurée" pour la particule 1) et la

même chose est vraie pour toute autre composante du spin. Vous pouvez dicter le type d'état propre

de spin produit pour la particule 2 en choisissant de manière appropriée l'orientation d'un aimant

arbitrairement distant. Comme le comportement futur de la particule 2, en particulier comment elle

est affectée par son aimant, cela dépend bien sûr beaucoup du caractère de sa fonction d'onde

conditionnelle et donc est très fortement influencé par le choix d'orientation de l'aimant distant.

Cet effet non local sur la fonction d'onde conditionnelle de la particule 2 suit de la combinaison de

l'analyse standard de l'évolution de la fonction d'onde dans l'expérience EPR-Bohm avec la

définition de la fonction d'onde conditionnelle (pour la simplicité, nous ignorons la symétrie par

permutation). Avant que les aimants soient atteints, la fonction d'onde EPR-Bohm est la somme de

deux termes, correspondant aux valeurs non nulles de deux des quatre composantes de spin jointes

possibles pour les deux particules, chaque terme est un produit d'un état propre pour une

composante du spin dans une direction donnée pour la particule avec l'état propre opposé (c'est-à-

dire appartenant à la valeur propre qui est la négative de la valeur propre de la particule 1) pour la

composante du spin dans la même direction pour la particule 2. De plus, en vertu de la symétrie

sous les rotations, il se fait que la fonction d'onde EPR-Bohm a la propriété que toute composante

du spin, c'est-à-dire dans toute direction, peut être utilisée dans cette décomposition (cette propriété

est très intéressante).

En décomposant la fonction d'onde EPR-Bohm en utilisant la composante du spin dans la direction

associée a l'aimant de la particule 1, l'évolution de la fonction d'onde quand la particule 1 passe

l'aimant est facile à saisir : l'évolution de la somme est déterminée (en utilisant la linéarité) par celle

de ses termes individuels et l'évolution de chaque terme par celui de chacun de ses facteurs.

L'évolution du facteur de la particule 1 conduit à un déplacement le long de l'axe magnétique dans

la direction déterminée par (le signe de) la composante du spin (c'est-à-dire la valeur propre). Une

fois que ce déplacement s'est produit (et suffisament grand) la fonction d'onde conditionnelle pour

la particule 2 correspondra au terme dans la somme sélectionnée par la position réelle de la

particule 1. En particulier, elle sera un état propre de la composante du spin "mesuré par" l'aimant

de la particule 1.

La non-localité de la mécanique bohmienne a une propriété remarquable : elle est cachée par

l'équilibre quantique. C'est une conséquence de l'hypothèse de l'équilibre quantique que les effets

non locaux en mécanique bohmienne ne conduisent pas à des conséquences observables qui sont

aussi contrôlables, nous ne pouvons pas les utiliser pour envoyer des messages instantanés. Cela

suit du fait que, étant donné l'hypothèse de l'équilibre quantique, les conséquences observables de

la mécanique bohmienne sont les mêmes que celles de la théorie quantique orthodoxe pour laquelle

la communication instantanée basée sur la non-localité quantique est impossible (voir Eberhard

1978). L'importance de l'équilibre quantique pour obscurcir la non-localité de la mécanique

bohmienne a été soulignée par Valentini (1991).

VII.14. Invariance de Lorentz Comme la théorie quantique non relativiste, dont elle est une version, la mécanique bohmienne est

incompatible avec la relativité restreinte, un principe central de la physique : elle n'est pas

invariante de Lorentz. La mécanique bohmienne ne peut pas non plus être facilement modifiée pour

devenir invariante de Lorentz. Les configurations, définies par les positions simultanées des

particules, jouent un rôle crucial dans sa formation, l'équation guide définissant une évolution dans

l'espace de configuration.

Cette difficulté avec l'invariance de Lorentz est intimement reliée à la non-localité de la mécanique

bohmienne. Puisque la théorie quantique elle-même, en vertu simplement du caractère de ses

prédictions concernant les corrélations EPR-Bohm, est irréductiblement non locale, on peut

s'attendre à des difficultés considérables avec l'invariance de Lorentz de la théorie quantique

orthodoxe aussi bien qu'avec la mécanique bohmienne. Par exemple, la règle de réduction des livres

de théorie quantique viole de manière flagrante l'invariance de Lorentz. De fait, la non-localité

intrinsèque de la théorie quantique présente des difficultés formidables pour le développement de

toute formulation (plusieurs particules) invariante de Lorentz qui évite l'aspect vague de la théorie

quantique orthodoxe (voir Maudlin 1994).

Une évaluation assez surprenante et peut-être correcte de l'importance du problème de l'invariance

de Lorentz fut faite par Bell dans une interview avec le philosophe Renée Weber, peu de temps

avant sa mort. Se référant aux paradoxes de la mécanique quantique, Bell observa que "ces

paradoxes sont simplement éliminés par la théorie de 1952 de Bohm, laissant la question de

l'invariance de Lorentz. Ainsi une de mes missions dans la vie est de permettre aux gens de voir

que s'ils veulent parler des problèmes de la mécanique quantique, ils doivent parler de l'invariance

de Lorentz".

La vue la plus commune sur la question de l'invariance de Lorentz et la non-localité quantique est

qu'une description détaillée des processus quantiques microscopiques, telle qu'elle serait fournie par

une extension de la mécanique bohmienne au domaine relativiste devrait violer l'invariance de

Lorentz. Dans cette vue, l'invariance de Lorentz est une symétrie émergente obéissant à nos

observations, une conséquence statistique de l'équilibre quantique qui gouverne les résultats des

expériences quantiques. C'est l'opinion de Bohm et Hiley (1993), Holland (1993) et Valentini

(2001).

Cependant, contrairement à la non-localité, la violation de l'invariance de Lorentz n'est pas

inévitable. Il devrait être possible, semble-t-il, de construire une théorie totalement invariante de

Lorentz fournissant une description détaillée des processus quantiques microscopiques. Une

manière de faire cela est par l'utilisation d'une structure dynamique invariante de Lorentz

supplémentaire, par exemple un champ quadrivectoriel de type temps approprié qui permet la

définition d'un feuilletage de l'espace-temps en hypersurfaces de type espace fournissant une notion

invariante de Lorentz de "la configuration en évolution" et le long de laquelle les effets non locaux

sont transmis. Voir Dürr et al. 1999 pour un modèle élémentaire. Une autre possibilité qui ne

devrait pas être écartée est qu'une explication totalement invariante de Lorentz de la non-localité

quantique peut être obtenue sans l'invocation d'une structure supplémentaire exploitant seulement

ce qui est déjà disponible, par exemple, la structure du cône de lumière.

Bien qu'il se peut que la non-localité invariante de Lorentz reste quelque peu énigmatique. Les

questions sont extrêmement subtiles. Par exemple Bell (1987, page 155) trouverait :

Perturbant... l'impossibilité de "messages" plus rapide que la lumière qui suit de la mécanique

quantique ordinaire qui jusqu'ici est non ambiguë et adéquate pour les procédures que nous

pouvons effectuer. L'élucidation exacte de concepts comme "message" et "nous" serait un

formidable défi.

Bien que l'équilibre quantique et l'incertitude absolue qui l'affecte (Fürr et al.) puisse être utile ici,

la situation reste énigmatique.

VII.15. Objections Toux ceux qui ont porté des arguments sur les fondations de la mécanique quantique, quelle que

soit leur position seraient d'accord avec l'observation suivante de Tolstoy :

Je sais que la plus part des hommes, incluant ceux qui ont facile avec les problèmes de grande

complexité, peuvent rarement accepter les vérités même les plus simples et les plus évidentes sur

elles qui les obligent à admettre la fausseté des conclusions qu'ils ont pris plaisir à expliquer aux

collègues, qu'ils ont fièrement enseignés aux autres et qu'ils ont tissé fil après fil dans la fabrique

de leur vie.

Un grand nombre d'objections ont été et continuent à être soulevées contre la mécanique

bohmienne. Voici quelques-unes d'entre elles : la mécanique bohmienne fait des prédictions sur les

résultats des expériences différents de ceux de la théorie quantique orthodoxe ainsi elle est fausse.

La mécanique bohmienne fait les mêmes prédictions sur les résultats des expériences que la théorie

quantique orthodoxe ainsi elle n'est pas testable et donc sans signification. La mécanique

bohmienne est mathématiquement équivalente à la théorie quantique orthodoxe et donc n'est pas

réellement une alternative du tout. La mécanique bohmienne est plus compliquée que la théorie

quantique orthodoxe, puisqu'elle implique une équation supplémentaire (cette objection est basée

sur l'erreur surprenante commune que la théorie quantique orthodoxe est définie seulement par

l'équation de Schrödinger et n'a pas réellement besoin comme partie de sa formulation des postulats

de mesure trouvés dans les livres sur la théorie quantique. C'est seulement dans un cadre des

univers multiples que cette vue pourrait commencer à avoir un sens, mais nous doutons fortement

qu'elle ait un sens même là). La mécanique bohmienne nécessite de postuler un potentiel quantique

mystérieux et indétectable. La mécanique bohmienne nécessite l'addition à la théorie quantique

d'une mystérieuse onde pilote. La mécanique bohmienne, comme l'a montré von Neuman, ne peut

pas marcher. La mécanique bohmienne, comme Kochen et Specker l'ont montré, ne peut pas

marcher. La mécanique bohmienne, comme Bell l'a montré, ne peut pas marcher. La mécanique

bohmienne est une régression enfantine à des modes discrétisés classiques de pensée. Les

trajectoires bohmiennes sont folles puisqu'elles peuvent être courbées même quand aucune force

classique n'est présente. Les trajectoires bohmiennes sont folles puisqu'une particule bohmienne

peut être au repos dans des états quantiques stationnaires. Les trajectoires bohmiennes sont folles

puisqu'une particule bohmienne ne peut être au repos sans des états quantiques stationnaires même

quand ils sont des états propres d'énergie élevée. Les trajectoires bohmiennes sont surréalistes. La

mécanique bohmienne, puisqu'elle est déterministe, est incompatible avec l'aléatoire quantique. La

mécanique bohmienne est non locale. La mécanique bohmienne est intuitive. La mécanique

bohmienne est l'interprétation des univers multiples déguisée (pour un bout de discussion sur

certaines de ces objections, voir l'échange de lettres sur la théorie quantique sans observateurs, dans

l'édition de février 1999 de Physics Today, particulièrement les quatre dernières des huit lettres).

La plus part de ces objections ont peu ou pas de mérite. Certaines viennent d'un réalisme naïf sur

les opérateurs, certaines de l'idée que, dans la mesure ou les concepts de la physique classique

s'appliquent, les lois de la physique classique sont plus ou moins considérées valides a priori,

certaines d'une incapacité à saisir le point de la mécanique bohmienne et certaines d'une complète

ignorance.

Il est peut-être utile de mentionner qu'en dépit de l'équivalence empirique entre la mécanique

bohmienne et la théorie quantique orthodoxe, il y a une variété d'expériences et de questions

expérimentales qui ne rentrent pas confortablement dans le formalisme quantique standard mais

sont facilement manipulées par la mécanique bohmienne. Parmi elles il y a les résidences et temps

tunnels (Leavens 1996), les temps d'évasion et positions d'évasion (Daumer et al. 1997), la théorie

de la diffusion (Dürr et al., 2000) et le chaos quantique (Cushing 1994, Dürr et al., 1992).

Il y a toutefois quelques objections plus sérieuses.

� La théorie de Bohm a un caractère très artificiel. La mécanique quantique de base (sans

interprétation) reste strictement identique, c'est l'équation de Schrödinger. Et on applique

simplement au flux de probabilité une ontologie corpusculaire en identifiant ce flux à la densité

de particules.

D'ailleurs, cet ajout ontologique est vraiment restreint. La nature de la fonction d'onde n'est pas

précisée et celle-ci continue à contenir l'essentiel des propriétés quantiques comme le spin.

Cette objection n'est toutefois qu'affaire de goût, comme la plus part des interprétations de la

mécanique quantique. Et la théorie de Bohm a tout de même le mérite de montrer une

construction explicite et réussie d'une théorie à variables cachées.

De plus, il y a une propriété frappante de la mécanique quantique qui est souvent présentée

comme une objection mais est mieux regardée comme une révélation importante sur la

signification de la mécanique quantique : en mécanique bohmienne, la fonction d'onde agit sur

la position des particules mais évolue comme si elle était autonome via l'équation de

Schrödinger, elle n'est pas modifiée par les particules. Ce point est discuté dans Dürr et al. 1997

et dans Goldstein et Teufel 2001 où il est suggéré que, dans une perspective plus profonde que

celle permise par la mécanique bohmienne standard ou la théorie quantique, la fonction d'onde

devrait être vue comme nomologique, comme un objet exprimant utilement la loi du

mouvement quelque peu analogue à l'hamiltonien de la mécanique classique et qu'une équation

de type Schrödinger dépendant du temps, dans cette perspective (cosmologique) plus profonde,

est simplement phénoménologique.

� Un autre aspect souvent soulevé est le caractère hautement non classique des trajectoires des

particules. Objection reprise dans les exemples ci-dessus. Les trajectoires peuvent être

hautement saccadées. Un exemple typique est fournit par la collision d'un paquet d'ondes avec

une barrière de potentiel. Rappelez-vous la figure, la fonction d'onde a des oscillations rapides,

serrées et variant dans le temps. Cela implique, avec l'équation guide, que de nombreuses

particules suivent des trajectoires très curieuses en faisant des aller-retour dans ou aux alentours

de la barrière, sans qu'aucune raison plausible ne puisse être invoquée (autre que l'évolution de

la fonction d'onde).

Toutefois, il ne s'agit pas là d'une objection grave car la théorie de Bohm n'a pas vocation à être

une théorie classique ! Sinon, elle n'aurait plus besoin de l'équation de Schrödinger. Le

problème est plutôt à rapprocher du statut de la fonction d'onde dans la théorie.

� Un problème plus sérieux est relié à l'équivarance. La théorie de Bohm ne reproduit

correctement les résultats de la mécanique quantique que si la densité de particules (ou plutôt de

trajectoires et c'est alors une densité de probabilité statistique classique) est égale à ( ) 2tψ . Si

elle est égale, alors elle le reste et il n'y a pas d problème. Mais la difficulté est de comprendre

pourquoi, au départ, elle a justement cette densité.

Les arguments des tenants à cette approche parlent, nous l'avons vu, d'équilibre dynamique

analogue à l'équilibre thermique.

Mais ce n'est pas ce qui est observé sur des modèles simples. Si l'on considère un système

simple, un écart à la densité ( ) 2tψ à tendance à diverger et à s'éloigner rapidement des

prédictions de la mécanique quantique. L'équivariance est instable. Peut-être que dans des

situations complexes avec de nombreux sous-systèmes, de nombreuses particules et l'interaction

avec l'environnement, une telle convergence peut-elle se produire. Mais cela reste largement à

démontrer.

� Comme signalé, le statut de l'invariance de Lorentz et donc de la relativité reste peu clair.

Plusieurs fois, la non-localité est signalée comme étant incontournable en mécanique quantique.

Notamment par Bell. Mais cette affirmation est fausse car il existe des interprétations locales

comme la mécanique quantique relationnelle, ce qui constitue un contre-exemple. Le problème

est souvent amplifié par une confusion commune : la confusion entre description locale et lois

locales. Une description locale est une description où on peut décrire chaque composante d'un

système localement, sans faire référence au reste du système. Par exemple lorsque l'on décrit

une boule de verre à un instant donné, on en fait une description non locale (on décrit

l'ensemble de la boule, dans toute son extension spatiale, en un instant donné t). Mais on peut

passer à une description locale en décrivant chaque parcelle de la boule et des relations (liaisons

moléculaires) avec les parcelles voisines. Que ce ne soit pas possible en mécanique quantique

est probablement vrai, mais il faut rapprocher cela de la non séparabilité et pas de la non-

localité : on ne peut décrire isolément correctement une partie d'un système. L'intrication en est

l'exemple le plus frappant. Mais cela ne veut pas dire que les lois décrivant l'évolution du

système sont non locales. Le formalisme de l'équation de Schrödinger est parfaitement local,

c'est une équation aux dérivées partielles. Et en mécanique quantique relativiste ou en théorie

quantique des champs, la localité est garantie par les relations de commutation qui sont nulles

pour des opérateurs agissant en deux points de l'espace-temps séparés par un intervalle spatial.

La difficulté ne se situe donc qu'au niveau de l'interprétation (par exemple, la réduction) mais,

comme signalé, cette difficulté peut être contournée.

La mécanique bohmienne n'explique pas des phénomènes tels que la création et l'annihilation

caractéristiques de la théorie quantique des champs. Ce n'est pas une objection à la mécanique

bohmienne mais simplement une reconnaissance que la théorie quantique des champs explique

beaucoup plus que la mécanique quantique non relativiste, qu'elle soit sous forme orthodoxe ou

bohmienne. Elle souligne cependant le besoin de trouver une version bohmienne adéquate, si

pas attirante, de la théorie quantique des champs et des théories de jauge en particulier, un

problème qui est plutôt largement ouvert. Quelques tentatives dans cette direction peuvent être

trouvées dans Bohm et Hiley 1993, Holland 1993, Bell 1987 (p.173) et dans certains articles

dans Cushing et al. 1996 (pour une discussion générale sur cette question et du point et valeur

de la mécanique bohmienne, voir les échanges de lettres entre Goldstein et Weinberg).

Le théorème de Malament montre que la difficulté est sans doute beaucoup plus grande que l'on

ne croît.

Mais même sans faire appel à ce théorème, des difficultés sont aisément mises en évidence.

Outre le problème du nombre de particules variables (et leur création / annihilation), le nombre

de particules n'est pas invariant en théorie quantique des champs. Il dépend de l'observateur ! Il

est, par exemple, différent pour un observateur inertiel et un observateur accéléré (Unruh,

Hawking, Bogoliubov).

Un autre aspect est simplement fournit par l'analyse EPR-Bohm. La particule qui est mesurée

influence l'autre de manière non locale. Pour un autre observateur en mouvement, la relativité

montre que les mesures, si elles sont séparées par un intervalle spatial, peuvent avoir leur ordre

temporel renversé. Dans ce cas, cela signifie que l'influence de la particule est non seulement

non locale mais remonte le temps !

Il est donc clair qu'une interprétation basée sur une ontologie corpusculaire est en défaut. Il

faudrait peut-être baser les objets fondamentaux sur des champs bien que cela fasse perdre une

partie des avantages d'une telle théorie bohmienne puisque la théorie des champs a déjà ces

champs comme objets fondamentaux.

La question reste encore largement ouverte.

Exercices 1. Calculez les trajectoires des particules dans une expérience de Young avec des électrons (en

ignorant leur spin).

Calculez d'abord la fonction d'onde en tout point. Puis résolvez l'équation des trajectoires pour

différentes conditions initiales.

2. Calculez de même les trajectoires d'une particule dans un puits carré à une dimension, pour les

deux états de plus basse énergie.