cours de mathématiques terminale scienti quemaths33.fr/wp-content/uploads/2016/05/compil_ts.pdf ·...

Lycée Jaufré RUDEL - BLAYE

Cours de Mathématiques

Terminale Scientique

Paul DARTHOS

Version du 26 mai 2016

Année scolaire 20152016

Table des matières

0 Ensembles de nombres 11

1 Continuité et dérivation 13

1.1 Continuité d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.2 Continuité des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.3 La fonction partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Résolution approchée d'une équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Le principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2 Le théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3 Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . 16

1.2.4 Un algorithme de recherche de solutions par dichotomie . . . . . . . . . . 17

1.3 Dérivabilité d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1 Nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.2 Lien entre continuité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.3 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.4 Dérivée d'une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Suites et récurrence 21

2.1 Suites arithmétiques ou géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Le principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Suite majorée, minorée, bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3

4 TABLE DES MATIÈRES

3 Probabilités conditionnelles 25

3.1 Généralités et dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Un exemple très simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2 Dénition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Arbres pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Trigonométrie 29

4.1 Enroulement de la droite des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.1 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.2 Principe de l'enroulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Cosinus et sinus d'un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.2 Dénition formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Le radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4 Mesure d'un angle orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.5 Valeurs remarquables du cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.6 Résolution d'équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.7 Étude des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 La fonction exponentielle 43

5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.1 Dénition de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.2 Conséquences immédiates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Propriétés algébriques de l'exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.1 Le nombre e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.2 La relation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.3 Conséquences de la relation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3 Étude de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4 Composées de l'exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4.1 Dérivée d'une composée de l'exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4.2 Cas particuliers de composées de l'exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . 48

TABLE DES MATIÈRES 5

6 Suites et limites 49

6.1 Suites convergentes (limite nie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.1.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.1.2 Unicité de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2 Suites divergentes (limite innie, ou pas de limite) . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.2.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3 Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3.1 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.3.3 Limite d'une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.4 Convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.4.1 Suite monotone non bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.4.2 Théorème de la convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.4.4 Une propriété intéressante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.5 Des algorithmes de seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7 Les nombres complexes - Algèbre et géométrie 59

7.1 Forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.1.1 L'ensemble C des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.1.2 Opérations simples dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.2 Conjugué d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.2.1 Dénition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.2.2 Quotient de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.3 Représentation géométrique cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.3.2 Axe d'un vecteur quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.3.3 Opérations sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.3.4 Axe du milieu d'un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.4 Équations du deuxième degré à coecients réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


8 Limites de fonctions 67

8.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.1.1 Limite innie à l'inni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.1.2 Limite nie à l'inni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.1.3 Limite innie en un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.1.4 Asymptotes obliques (hors programme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.2 Théorèmes sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.2.1 Théorèmes d'opération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.2.2 Théorème de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.2.3 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.3 Limites particulières de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.4 Généralisation du théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . 74

9 Le logarithme népérien 75

9.1 La fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.2 Relation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9.3 Étude des limites autour du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9.3.1 Limites de la fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9.3.2 Limites liées à la fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.4 Composées du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.4.1 Fonctions composées du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.4.2 Le logarithme décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

10 Géométrie spatiale 81

10.1 Droites et plans de l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

10.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

10.1.2 Orthogonalité dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

10.2 Géométrie vectorielle dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

10.2.1 Vecteurs de l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

10.2.2 Caractérisation vectorielle des droites et plans de l'espace . . . . . . . . . 84

10.2.3 Repères de l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

10.3 Représentations paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

10.3.1 Représentation paramétrique d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

10.3.2 Représentation paramétrique d'un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


11 Calcul intégral 89

11.1 Intégrale d'une fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

11.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

11.1.2 Encadrement de l'intégrale d'une fonction positive . . . . . . . . . . . . . 90

11.2 Primitives d'une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

11.2.1 Le théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

11.2.2 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

11.3 Recherche de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

11.3.1 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

11.3.2 Opérations sur les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

11.4 Intégrale d'une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

11.4.1 Calcul de l'intégrale d'une fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

11.4.2 Généralisation de la notion d'intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

11.5 Applications du calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

11.5.1 Calcul d'aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

11.5.2 Valeur moyenne d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

12 Les nombres complexes - Géométrie polaire 99

12.1 Argument d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

12.2 Écriture trigonométrique d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

12.3 Écriture exponentielle d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

12.3.1 Propriétés de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

12.3.2 La forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

12.4 Utilisation des nombres complexes en géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

12.4.1 Propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

12.4.2 L'inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

12.5 Les formules de MOIVRE et d'EULER (hors programme) . . . . . . . . . . . . . 105

12.5.1 La formule de MOIVRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

12.5.2 Les formules d'EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

13 Lois de probabilité à densité 107

13.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

13.1.1 Variable aléatoire à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

13.1.2 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


13.2 Loi uniforme sur [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

13.3 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

13.4 Loi normale centrée réduite N (0, 12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

13.4.1 Approximation de la loi binomiale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . 111

13.4.2 La loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

13.4.3 Calculs de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

13.4.4 Propriétés de la loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

13.5 Loi normale N (µ, σ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

13.5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

13.5.2 Calculs de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

14 Le produit scalaire dans l'espace 117

14.1 Généralités sur le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

14.1.1 Approche géométrique du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

14.1.2 Caractérisation vectorielle de l'orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

14.1.3 Expression analytique du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

14.2 Applications du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

14.2.1 Vecteur normal à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

14.2.2 Équations cartésiennes de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

14.3 Intersections de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

14.3.1 Intersection d'une droite et d'un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

14.3.2 Intersection de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

14.3.3 Plans perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

15 Fluctuation et estimation 125

15.1 Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

15.1.1 La variable aléatoire fréquence Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

15.1.2 Intervalle de uctuation asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

15.1.3 Lien avec l'intervalle de uctuation vu en Seconde . . . . . . . . . . . . . 126

15.2 Prise de décision à partir d'un échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

15.2.1 Exploitation d'un intervalle de uctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

15.2.2 Détermination de l'intervalle de uctuation au seuil de 95% . . . . . . . . 127

15.2.3 Autres seuils possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

15.3 Estimation d'une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128


16 Annexe - La loi binomiale 131

16.1 Schéma de BERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

16.1.1 Épreuve de BERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

16.1.2 Schéma de BERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

16.1.3 Règles des arbres de répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

16.2 Variables aléatoires et lois de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

16.2.1 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

16.2.2 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

16.2.3 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

16.3 La loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

16.3.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

16.3.2 Espérance de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

16.3.3 Calcul de probabilités avec la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Chapitre 0

Ensembles de nombres

Dénition. L'ensemble des nombres entiers naturels, noté N, correspond à l'ensemble de

tous les nombres entiers positifs, incluant 0.

Notation. On note N∗ l'ensemble des nombres entiers naturels strictement positifs (excluant

0).

Exemple. 174, 13, 58721 sont des nombres entiers naturels.

Dénition. L'ensemble des nombres entiers relatifs, noté Z, correspond à l'ensemble de tous

les nombres entiers.

Exemple. −174, 13, −58721, 0, 17542 sont des nombres entiers relatifs.

Propriété. L'ensemble des nombres entiers naturels est contenu dans l'ensemble des nombres

entiers relatifs : N ⊂ Z.

Démonstration. La preuve est évidente.

Dénition. L'ensemble des nombres rationnels, noté Q, correspond à l'ensemble des quotients

de nombres entiers relatifs par des nombres entiers naturels non nuls.

On a : Q =pq |p ∈ Z, q ∈ N∗, PGCD(p, q) = 1

.

Exemple. −174523 , 13

2 , −58721, 0, 17542 sont des nombres rationnels.

Propriété. L'ensemble des nombres entiers relatifs est contenu dans l'ensemble des nombres

rationnels : Z ⊂ Q.

11

12 CHAPITRE 0. ENSEMBLES DE NOMBRES

Démonstration. La preuve est évidente, il sut d'écrire un nombre entier relatif n comme le

quotient n1 .

Dénition. L'ensemble des nombres réels, noté R, correspond à l'ensemble des nombres pou-

vant être représentés par une partie entière et un nombre ni ou inni de décimales.

Exemple. −174523 , π, 0, 17542 sont des nombres réels.

Propriété. L'ensemble des nombres rationnels est contenu dans l'ensemble des nombres réels :

Q ⊂ R.

Démonstration. La preuve est évidente.

Propriété.√

2 est un nombre réel qui n'est pas rationnel :√

2 ∈ R\Q

Démonstration. Supposons par l'absurde que√

2 est un nombre rationnel. Cela signie qu'il

existe p ∈ Z et q ∈ N∗ tels que√

2 = pq et PGCD(p, q) = 1 (an que la fraction soit irréductible).

On a alors :

√2 =

p

q

(√

2)2 =p2

q2

2 =p2

q2

2q2 = p2

On en tire que p2 est divisible par 2, donc p est divisible par 2. Il existe donc p′ ∈ Z tel que

p = 2× p′.

On en tire : 2q2 = p2 = (2p′)2 = 4p′2, et donc : q2 = 2p′2. Il suit que q2 est divisible par 2,

donc q est divisible par 2.

Comme p et q sont tous deux divisibles par 2, on a : PGCD(p, q) ≥ 2, ce qui contredit

l'hypothèse de départ.√

2 n'est donc pas un nombre rationnel.

Conclusion : Les inclusions successives

On a donc les inclusions successives suivantes : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Chapitre 1

Continuité et dérivation

1.1 Continuité d'une fonction

1.1.1 Généralités

Dénition. Cette dénition est dite intuitive , ce n'est pas la dénition rigoureuse de la

continuité d'une fonction.

Une fonction f dénie sur un intervalle I est dite continue sur cet intervalle si l'on peut

y tracer sa courbe représentative Cf sans aucune rupture (c'est-à-dire sans lever le crayon de la

feuille lors du tracé).

Contre-exemple.

Considérons la fonction f , dénie sur

Df = R par :

f(x) =

2− x pour x < −1

x2 pour x ≥ −1

Sa courbe représentative est représen-

tée ci-contre :

f n'est pas continue en x0 = −1. Elle est continue, par exemple, en x0 = 1, en x0 = −3, ou,

plus généralement, sur tout intervalle inclus dans ]−∞;−1[ ou dans [−1; +∞[.

13

14 CHAPITRE 1. CONTINUITÉ ET DÉRIVATION

1.1.2 Continuité des fonctions usuelles

Théorème. Les fonctions polynôme, sinus, cosinus, racine carrée, valeur absolue, logarithme,

exponentielle, ainsi que toutes les sommes, diérences, produits, quotients et composées de telles

fonctions, sont continues sur tout intervalle inclus dans leurs domaines de dénition.

Remarque. Les fonctions dénies par morceaux (comme celle du contre-exemple) n'entrent pas

dans le champ d'application de ce théorème.

Exemple. Considérons la fonction f : x 7→√x

4−x .

4 est une valeur interdite de cette fonction (en résolvant l'équation 4− x = 0), ainsi que tout

nombre strictement négatif (car x 7→√x n'est dénie que si x ≥ 0).

f est donc dénie sur Df = [0; 4[∪]4; +∞[.

D'après le théorème, elle est continue sur tout intervalle inclus dans [0; 4[ ou dans ]4; +∞[.

1.1.3 La fonction partie entière

Cet exemple est très important : la fonction partie entière est très utile en Ma-

thématiques.

Dénition. Si x un nombre réel, alors il existe un unique nombre entier p tel que p ≤ x < p+1.

p est appelé la partie entière de x. On note x 7→ E(x) la fonction qui, à tout nombre réel x,

associe sa partie entière.

Exemple. Par exemple : E(3, 75) = 3 ; E(−5, 16) = −6 ; E(3) = 3 et E(−0, 15) = −1.

La représentation graphique de la fonc-

tion partie entière sur [−2; 5] est don-

née ci-contre :

La fonction partie entière n'est pas continue sur R car elle présente une innité de points de

discontinuité, en chaque abscisse entière.

Par contre, elle est continue sur tout intervalle du type In = [n;n+ 1[ où n ∈ Z.

Notation. En général, on note bxc la partie entière d'un nombre réel x.

1.2. RÉSOLUTION APPROCHÉE D'UNE ÉQUATION 15

1.2 Résolution approchée d'une équation

1.2.1 Le principe

Certaines équations ne sont pas résolubles avec les techniques apprises en cours.

Exemple. On ne sait pas résoudre par le calcul les équations E1 : 1 + x− 2 sin(x) = 2 sur [0;π],

ou E2 : x3 = 3x+ 4 sur R.

On va pour cela utiliser une méthode de résolution approchée qui consistera à :

• Trouver combien l'équation admet de solutions ;

• Localiser chacune de ces solutions ;

• Chercher une valeur approchée de chacune de ces solutions à l'aide de la calculatrice ou

d'un ordinateur.

1.2.2 Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème. Si f est une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux éléments de I tels

que a < b alors pour tout nombre réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet

au moins une solution dans [a; b].

Démonstration. Ce résultat est admis en classe de Terminale S.

Exemple. Considérons la fonction f : x 7→ x3 − 3x− 4, dénie sur Df = [−2; 2], intervalle sur

lequel elle est continue (en tant que fonction polynôme).

On sait que f(−2) = −6 et f(2) = −2, et que −6 ≤ −4 ≤ −2. Alors, d'après le théorème

précédent, l'équation f(x) = −4 admet au moins une solution sur [−2; 2].

En observant la représentation graphique de la fonction f

sur cet intervalle, on constate que cette équation admet en

fait 3 solutions sur l'intervalle [−2; 2].

Remarque. Si l'hypothèse de continuité de la fonction sur l'intervalle n'est pas remplie, alors

l'équation f(x) = k peut avoir ou ne pas avoir de solutions sur l'intervalle.


Contre-exemple. La fonction partie entière, dénie sur l'intervalle [0; 4], n'est pas continue

sur cet intervalle. E(0) = 0 et E(4) = 4, mais l'équation E(x) = 1.3 n'admet aucune solution

sur l'intervalle [0; 4].

1.2.3 Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Corollaire. Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, et a et

b deux éléments de I tels que a < b, alors pour tout nombre réel k compris entre f(a) et f(b),

l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a; b]. En eet, il existe un unique nombre c

de l'intervalle [a; b] tel que f(c) = k.

Démonstration. Considérons une telle fonction f , strictement croissante sur I (respectivement

strictement décroissante). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = k

admet au moins une solution sur [a; b].

Supposons par l'absurde qu'elle en admette deux, notées x1 et x2, telles que x1 < x2. Comme

f est strictement croissante sur I, on a alors : f(x1) < f(x2) (resp. f(x1) > f(x2)), d'où : k < k

(resp. k > k), ce qui est absurde.

On conclut : l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a; b].

Exemple. Considérons la fonction f : x 7→ x3 − 3x − 4, dénie sur Df = [2; 3], intervalle sur

lequel elle est continue (en tant que fonction polynôme).

On a de plus, en dérivant la fonction : f ′(x) = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1) = 3(x− 1)(x+ 1).

Lorsque x > 1, on a f ′(x) > 0 (après étude du signe de chacun des facteurs), donc f est

strictement croissante sur [2; 3].

De plus, comme f(2) = −2 et f(3) = 14, en appliquant le corollaire du théorème des valeurs

intermédiaires, on en conclut que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution sur cet intervalle.

En eectuant un balayage avec la calculatrice, on en tire qu'une valeur arrondie de cette

solution au millième est : α ' 2, 196.

Remarque. Cette remarque est très importante pour les études de fonctions à venir.

Une èche oblique dans un tableau de variations traduit la continuité et la stricte monotonie

d'une fonction sur l'intervalle considéré.

1.2. RÉSOLUTION APPROCHÉE D'UNE ÉQUATION 17

1.2.4 Un algorithme de recherche de solutions par dichotomie

Nous allons rédiger ici un algorithme permettant de déterminer une solution d'une équation,

après avoir appliqué le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

f est une fonction continue et strictement monotone sur [a; b], et telle que f(a) et f(b) sont

de signes contraires, de sorte que l'équation f(x) = 0 admette une unique solution α sur [a; b].

On souhaite obtenir un encadrement de α d'amplitude p ; ce qui signie que l'on veut trouver x1

et x2 tels que x1 ≤ α ≤ x2 et que x2 − x1 < p.

Pour cela, on va procéder par dichotomie : on va diviser l'intervalle [a; b] en deux intervalles

de même amplitude,[a; a+b

2

]et[a+b

2 ; b], et localiser dans quel intervalle se situe α en étudiant le

signe de f(a+b

2

). Puis on réitérera, en suspendant l'exécution de l'algorithme lorsque l'intervalle

obtenu sera d'amplitude inférieure à p.

Variables a, b, p, m sont des nombres

f est une fonction

Initialisation Lire a

Lire b

Lire p

Lire f

Traitement Tant que b− a > p

| m prend la valeur a+b2

| Si f(m)× f(a) < 0

| | Alors b prend la valeur de m

| | Sinon a prend la valeur de m

| Fin si

Fin Tant que

Sortie Acher a et b


1.3 Dérivabilité d'une fonction

1.3.1 Nombre dérivé

Dénition. Si f est une fonction dénie sur un intervalle I et x0 ∈ I un nombre réel, alors on

dit que f est dérivable en x0 si f est dénie en x0 et si limx→x0

f(x)−f(x0)x−x0

existe et est égale à un

nombre réel ni que l'on note f ′(x0), appelé nombre dérivé de f en x0.

Remarque. Dans la dénition, on peut remplacer limx→x0

f(x)−f(x0)x−x0

par limh→0

f(x0+h)−f(x0)h .

En eet, le nombre f(x)−f(x0)x−x0

désigne le

coecient directeur de la droite (AM), où

A(x0; f(x0)) et M(x; f(x)). Lorsque x tend

vers x0, la droite (AM) tend vers une po-

sition limite : elle se rapproche de la droite

appelée la tangente à Cf en A.

Dire que f est dérivable en x0 revient donc à dire que la courbe Cf admet une tangente non

verticale en A(x0; f(x0)). Le coecient directeur de la tangente TA est f ′(x0), et son équation

est : y = f ′(x0)× (x− x0) + f(x0).

1.3.2 Lien entre continuité et dérivabilité

Théorème. Si une fonction f est dérivable en x0, alors elle est continue en x0.

Démonstration. Ce résultat est admis en classe de Terminale S.

Remarque.

• La réciproque de ce théorème est fausse. En eet, la fonction x 7→ |x| (fonction valeur

absolue) est continue en x = 0 mais n'y est pas dérivable : la courbe de la fonction n'admet

pas de tangente en O(0; 0).

• La contraposée de ce théorème est la suivante : Si f n'est pas continue en x0, alors f

n'est pas dérivable en x0 , et elle est vraie.

Remarque. Lorsqu'une implication logique A⇒ B est vraie, la contraposée de cette implication

B ⇒ A est toujours vraie.

Par contre, la réciproque de l'implication, B ⇒ A, n'est pas toujours vraie.

1.3. DÉRIVABILITÉ D'UNE FONCTION 19

1.3.3 Fonction dérivée

Dénition. Si f est une fonction dérivable sur un intervalle (ou une réunion d'intervalles) Df ,

alors on appelle fonction dérivée de f la fonction notée f ′ dénie sur Df par : x 7→ f ′(x).

À chaque nombre x ∈ Df , elle associe son nombre dérivé f ′(x).

Tableau des dérivées usuelles :

Fonction f Dérivée f ′ Domaine de dérivabilité

x 7→ k (xé) x 7→ 0 R

x 7→ xn (n ∈ Z) x 7→ nxn−1 R si n > 0, R∗ si n < 0

x 7→ 1x x 7→ −1

x2 R∗

x 7→√x x 7→ 1

2√x

R∗+

Remarque. On constate que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 alors qu'elle y

est continue.

Tableau des opérations sur les dérivées :

u et v sont deux fonctions, k est un nombre réel xé.

Fonction f Dérivée f ′ f est dérivable en x0 si :

k × u k × u′ u est dérivable en x0

u+ v u′ + v′ u et v sont dérivables en x0

u× v u′ × v + u× v′ u et v sont dérivables en x0

1v

−v′v2 v est dérivable en x0 et v(x0) 6= 0

uv

u′×v−u×v′v2 u et v sont dérivables en x0 et v(x0) 6= 0

1.3.4 Dérivée d'une fonction composée

On admet les résultats suivants, qui sont de nouvelles formules de dérivation :

Fonction f Dérivée f ′ f est dérivable en x0 si :√u u′

2√u

u est dérivable en x0 et u(x0) > 0

un avec n ∈ Z∗ n× u′ × un−1 u est dérivable en x0 et, si n < 0, u(x0) 6= 0


Exemples.

• La fonction f : x 7→√

3x− 6 est dénie lorsque 3x − 6 ≥ 0, donc lorsque x ≥ 2. On a

donc : Df = [2; +∞[. En tant que composée de fonctions usuelles, f est continue sur son

domaine de dénition. Elle est dérivable sur ]2; +∞[ car la racine carrée n'est dérivable

que si son contenu est strictement positif.

D'après la formule ci-dessus, on a : f ′(x) = 32√

3x−6.

• La fonction g : x 7→ (1− 7x)15 est dénie sur Dg = R. En tant que composée de fonctions

usuelles, g est continue sur son domaine de dénition. Elle est dérivable sur Dg car la

puissance à laquelle est élevée (1− 7x) est strictement positive.

D'après la formule ci-dessus, on a : g′(x) = 15× (−7)× (1− 7x)14 = −105× (1− 7x)14.

• La fonction h : x 7→ 1(5x+15)8 = (5x + 15)−8 est dénie sur Dh = R\−3. En tant que

composée de fonctions usuelles, g est continue sur tout intervalle contenu dans son domaine

de dénition. Elle est dérivable sur Dh (tenant déjà compte de la valeur interdite).

D'après la formule ci-dessus, on a : h′(x) = (−8)× 5× (5x+ 15)−9 = −40(5x+15)9 .

En réalité, on a le résultat suivant (qui n'est pas un attendu de la Terminale S) :

Théorème. Si x0 ∈ R, u est une fonction dérivable en x0, et f une fonction dérivable en u(x0)

alors la fonction f u : x 7→ f(u(x)) est dérivable en x0, et l'on a :

(f u(x0))′ = u′(x0)× f ′(u(x0))

Conséquence. Si a et b sont deux nombres réels xés, x0 un nombre réel, et f une fonction

dérivable en a× x0 + b, alors :

(f(ax0 + b))′ = a× f ′(ax0 + b)

Démonstration. On se place dans les hypothèses de la conséquence, en notant u : x 7→ ax+ b. u

est alors dérivable sur R (a fortiori en x0) et f est par hypothèse dérivable en u(x0).

D'après le théorème précédent, f u est dérivable en x0 et on a :

(f(ax0 + b))′ = (f(u(x0)))′ = u′(x0)× f ′(u(x0)) = a× f ′(ax0 + b), comme attendu.

Exemple. Considérons une fonction v : x 7→ x3 + 6x − 2 dénie et dérivable sur Dv = R, et

v′ : x 7→ 3x2 + 6 sa dérivée.

Soit f : x 7→ v(2x− 1) = (2x− 1)3 − 6× (2x− 1)− 2 dénie sur Df = R.

On a alors, d'après la conséquence précédente :

f ′(x) = 2× v′(2x− 1) = 2× [3× (2x− 1)2 + 6] = 6(4x2 − 4x+ 1) + 12 = 24x2 − 24x+ 18

Chapitre 2

Suites et récurrence

2.1 Suites arithmétiques ou géométriques

Suite arithmétique Suite géométrique

de raison r (réel xé) de raison q 6= 1 (réel xé)

Dénition ∀n ∈ N, un+1 = un + r ∀n ∈ N, un+1 = un × q

Terme général un = u0 + n× r un = u0 × qn

ou un = up + (n− p)× r ou un = up × qn−p

Somme de N S = N × premier+dernier

2 S = premier× 1−qN+1

1−q

termes consécutifs

Sommes 1 + 2 + 3 + . . .+N = N × 1+N2 S = 1 + q + q2 + . . .+ qN = 1−qN

1−q

particulières

2.2 Raisonnement par récurrence

2.2.1 Le principe

Soit Pn une proposition dépendant d'un entier naturel n. On veut démontrer que Pn est vraie

pour tout entier n ≥ n0 (avec n0 ∈ N).

• Étape 1 : On démontre le cas de base, c'est-à-dire que Pn0 est vraie.

• Étape 2 : On démontre que Pn est héréditaire, c'est-à-dire que : ∀n ≥ n0, si Pn est

21

22 CHAPITRE 2. SUITES ET RÉCURRENCE

vraie, alors Pn+1 est vraie.

• Étape 3 : On conclut : le cas de base est vérié et la proposition est héréditaire, donc :

∀n ≥ n0, Pn est vraie.

2.2.2 Exemple

On va démontrer par récurrence la proposition suivante : ∀n ≥ 2, 1+2+ . . .+n = n×(n+1)2

(Pn).

• Cas de base : On vérie que P2 est vraie : 1 + 2 = 3 et 2×(2+1)2 = 3 donc la propriété est

vraie pour n = 2.

• Hérédité : Soit k un nombre entier supérieur ou égal à 2.

On suppose que : 1 + 2 + . . .+ k = k×(k+1)2 (Pk).

On veut montrer que : 1 + 2 + . . .+ k + (k + 1) = (k+1)×(k+2)2 (Pk+1).

On calcule donc :

1 + 2 + . . .+ k + (k + 1) = (1 + 2 + . . .+ k) + (k + 1)

=k × (k + 1)

2+ (k + 1) d'après l'hypothèse de récurrence

=k × (k + 1) + 2× (k + 1)

2

=(k + 1)× (k + 2)

2

Donc Pn est héréditaire.

• Conclusion : P2 est vraie et Pn est héréditaire, donc Pn est vraie pour tout entier n ≥ 2.

2.3 Suites monotones

Dénitions. Soit (un)n∈N une suite. Elle est dite :

• strictement croissante si : ∀n ∈ N, un+1 > un.

• strictement décroissante si : ∀n ∈ N, un+1 < un.

• croissante si : ∀n ∈ N, un+1 ≥ un.

• décroissante si : ∀n ∈ N, un+1 ≤ un.

2.4. SUITE MAJORÉE, MINORÉE, BORNÉE 23

• constante si : ∀n ∈ N, un+1 = un.

Remarque.

• Une suite ni croissante ni décroissante est dite non monotone.

• Une suite peut être croissante (ou décroissante) à partir d'un certain rang.

Il existe diérentes techniques pour étudier le sens de variation d'une suite :

1. On étudie le signe de la diérence un+1 − un (s'il est toujours positif alors la suite est

croissante, s'il est toujours négatif alors elle est décroissante) ;

2. On utilise une technique fonctionnelle ;

3. On compare un+1

unà 1 si la suite est toujours strictement positive et si n apparaît en

exposant ;

4. Faute de mieux, on utilise un raisonnement par récurrence.

2.4 Suite majorée, minorée, bornée

Dénition. Si (un)n∈N est une suite, et M et m sont deux nombres réels xés, alors on dit que :

• (un) est majorée par M si, pour tout n ∈ N, un ≤M .

• (un) est minorée par m si, pour tout n ∈ N, un ≥ m.

• (un) est bornée elle est à la fois majorée et minorée.

M est alors appelé un majorant de la suite (un) et m est appelé un minorant de la suite (un).

Remarques. Si M est un majorant de la suite (un), alors n'importe quel nombre réel plus grand

que M est aussi un majorant de cette suite.

De même, si m est un minorant de la suite (un), alors n'importe quel nombre réel plus petit

que m est aussi un minorant de cette suite.

24 CHAPITRE 2. SUITES ET RÉCURRENCE

Chapitre 3

Probabilités conditionnelles

3.1 Généralités et dénition

3.1.1 Un exemple très simple

On considère le lancer d'un dé équilibré à six faces numérotées, qui constitue une expérience

aléatoire.

On note A l'événement Le 6 ne sort pas , on a facilement : P(A) = 56 .

On note B l'événement Il sort un nombre pair , on a facilement : P(B) = 12 .

Si l'on sait que A est réalisé (condition nouvelle de l'expérience), on a alors : PA(A) = 1 et

PA(B) = 25 , où PA(B) se lit Probabilité de B sachant que A est réalisé .

On remarque que P(A∩B) = 26 = 1

3 car A∩B = 2; 4 ; il est important de bien diérencier

cette probabilité, qui est celle que A et B se produisent en même temps, de celle calculée

précédemment.

Par ailleurs, on note que : P(A∩B)P(A) =

1356

= 13 ×

65 = 2

5 = PA(B).

3.1.2 Dénition et propriétés

Dénition. Si A et B sont deux événements d'une expérience aléatoire tels que P(A) 6= 0 et

P(B) 6= 0, alors on note PA(B) la probabilité de B en sachant que A se réalise.

On a en fait : PA(B) = P(A∩B)P(A) .

25

26 CHAPITRE 3. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

On pourra également rencontrer la notation : PA(B) = P(B|A).

On tire de l'égalité donnée dans la dénition les propriétés suivantes :

Propriétés. Si A et B sont deux événements de probabilité non nulle, alors :

• P(A ∩B) = PB(A)× P(B) ;

• P(A ∩B) = PA(B)× P(A).

3.2 Arbres pondérés

Les problèmes qui recourent aux probabilités conditionnelles peuvent dans la plupart des cas

se traiter en s'appuyant sur des arbres pondérés. Ces derniers sont construits suivant des règles

précises :

Règles.

• À chaque niveau, on envisage tous les cas possibles. La somme des probabilités de chaque

n÷ud vaut 1.

• Les probabilités sur les branches (sauf celles du premier niveau) sont des probabilités condi-

tionnelles.

• Le produit des probabilités situées sur les branches d'un chemin (par exemple Ω − E − F ,

où Ω est l'univers et E et F deux événements successifs) correspond à la probabilité de

l'événement auquel conduit le chemin (par exemple ici P(E ∩ F )).

• La probabilité d'un événement est la probabilité de tous les chemins y conduisant.

3.3. FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES 27

La dernière règle correspond en réalité à une formule centrale en probabilités conditionnelles,

abordée dans la section suivante.

3.3 Formule des probabilités totales

Dénition. Dans une expérience aléatoire d'univers Ω, on considère les événements A1, A2,

. . ., An. On dit qu'ils constituent une partition de Ω si :

• A1 ∪A2 ∪ . . . An = Ω ;

• A1, A2, . . ., An sont deux à deux disjoints, c'est-à-dire si Ai ∩Aj = ∅ lorsque i 6= j.

Théorème. La formule des probabilités totales.

Dans une expérience aléatoire d'univers Ω, on considère les événements A1, A2, . . ., An, qui

forment une partition de Ω. Soit E un événement. Alors :

P(E) = P(A1 ∩ E) + P(A2 ∩ E) + . . .+ P(An ∩ E)

P(E) = P(A1)× PA1(E) + P(A2)× PA2(E) + . . .+ P(An)× PAn(E)

3.4 Indépendance de deux événements

Remarque. On rappelle que deux événements A et B d'une expérience aléatoire sont dits in-

compatibles si P(A ∩B) = 0, donc que A et B ne peuvent pas se produire en même temps.

Dénition. Si A et B sont deux événements d'une expérience aléatoire d'univers Ω tels que

P(A) 6= 0 et P(B) 6= 0, alors on dit que A et B sont indépendants si P(A) = PB(A).

Propriété. Si A et B sont deux événements d'une expérience aléatoire d'univers Ω tels que

P(A) 6= 0 et P(B) 6= 0, alors on a :

P(A) = PB(A)⇐⇒ P(A ∩B) = P(A)× P(B)⇐⇒ P(B) = PA(B)

28 CHAPITRE 3. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Démonstration.

P(A) = PB(A)⇐⇒ P(A) =P(A ∩B)

P(B)par dénition

⇐⇒ P(A)× P(B) = P(A ∩B) (partie 2 de l'équivalence)

⇐⇒ P(B) =P(A ∩B)

P(A)

⇐⇒ P(B) = PA(B) par dénition, partie 3 de l'équivalence

Propriété. Si A et B sont deux événements indépendants d'une expérience aléatoire d'univers

Ω, alors A et B le sont aussi.

Démonstration. Restitution organisée des connaissances.

A et A forment une partition de l'univers Ω (par dénition de l'événement contraire).

Ainsi, d'après la formule des probabilités totales, on a : P(B) = P(A ∩B) + P(A ∩B), d'où :

P(A ∩B) = P(B)− P(A ∩B) = P(B)− P(A)× P(B) car A et B sont indépendants.

On a alors : P(A ∩B) = P(B)(1− P(A)) = P(B)× P(A).

On en conclut, comme attendu, que A et B sont indépendants.

Chapitre 4

Trigonométrie

4.1 Enroulement de la droite des réels

4.1.1 Le cercle trigonométrique

Dénition. On se place dans le plan repéré par le repère orthonormé (O; ~u;~v).

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté par la èche

dans le sens direct, qui est le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre (c'est le sens d'un

carrefour giratoire en France... mais pas au Royaume-Uni !)

29

30 CHAPITRE 4. TRIGONOMÉTRIE

Remarque. Le sens des aiguilles d'une montre est appelé sens indirect.

Propriétés. La longueur du cercle trigonométrique est 2π, la longueur du demi-cercle trigono-

métrique est π, et celle du quart de cercle trigonométrique est π2 .

4.1.2 Principe de l'enroulement

On considère C, le cercle trigonométrique de centre O et de rayon [OI].

On trace la tangente en I au cercle C, et on la munit du repère (I;A) avec IA = OI = 1 :

cette droite va représenter la droite des réels.

On enroule cette droite des réels autour du cercle C : la demi-droite [IA) va s'enrouler

dans le sens direct, et la demi-droite [IA′) dans le sens indirect.

4.1. ENROULEMENT DE LA DROITE DES RÉELS 31

Propriété. Tout point N d'abscisse ϑ de la droite des réels vient se superposer à un point M

du cercle C.

Grâce à cet enroulement, on associe à tout réel ϑ un unique pointM du cercle trigonométrique.

Correspondance entre R et C :

• Si ϑ est positif :

On part de I, et on parcourt autour du cercle C un chemin de longueur x dans le sens

direct. Le point M est l'extrémité de ce chemin.

• Si ϑ est négatif :

On part de I, et on parcourt autour du cercle C un chemin de longueur x dans le sens

indirect. Le point M est l'extrémité de ce chemin.

Exemples.

• Le point P d'abscisse π vient se superposer au point K du cercle trigonométrique ; on dira

que K est associé au nombre réel π. La longueur de l'arc_

IK est alors égale à π.

• Le point L est associé au réel −π2 : on a enroulé la droite dans le sens indirect, car le réel

qui repère B′ est négatif. La longueur de l'arc_

IL est égale à π2 .

Remarque. En pratique, pour placer le point M à partir de la longueur l de l'arc_

IM , on va

calculer la mesure d en degrés de l'angle IOM d'après la relation suivante : d = 180×lπ

Remarque. En fait, le point M qui est associé au nombre réel ϑ est également associé à tout

nombre ϑ′ tel que ϑ′ = ϑ+ (2π)× k = ϑ+ 2kπ, où k est un entier relatif.

Exemple. Le point J de notre gure est associé aux nombres réels π2 ,

π2 + 2π = 5π

2 , π2 + 4π, ...,

π2 + 2kπ, ... mais aussi aux nombres réels π

2 − 2π = −3π2 , π2 − 4π, ..., π2 − 2kπ


4.2 Cosinus et sinus d'un nombre

4.2.1 Rappels

Nous connaissons déjà la trigonométrie du triangle rectangle, qui permet de dénir les notions

de cosinus, sinus et tangente d'angles. Par exemple, dans le triangle ABC rectangle en B dessiné

ci-dessous, nous pouvons appliquer les règles de calcul déjà vues :

On a alors, par exemple : cos(BAC) = BAAC ; sin(BAC) = BC

AC et tan(BAC) = BCBA

On peut ensuite s'appuyer sur ces calculs et les fonctions réciproques arccos, arcsin et arctan

(également notées cos−1, sin−1 et tan−1) pour calculer la valeur de l'angle.

4.2. COSINUS ET SINUS D'UN NOMBRE 33

4.2.2 Dénition formelle

On se place sur le cercle trigonométrique C de centre O et d'origine I. Sur ce cercle, on place

les points I ′, J et J ′ comme représenté ci-dessous :

Dénition. M est le point du cercle associé au nombre ϑ.

Le cosinus de ϑ, que l'on notera cos(ϑ), est l'abscisse de M dans le repère (O; I; J).

Le sinus de ϑ, que l'on notera sin(ϑ), est l'ordonnée de M dans le repère (O; I; J).

Théorème. Pour tout nombre ϑ réel, on a :

• (cos(ϑ))2 + (sin(ϑ))2 = 1

• −1 ≤ cos(ϑ) ≤ 1

• −1 ≤ sin(ϑ) ≤ 1

Démonstration.

• Dans le repère orthonormé (O; I; J), M a pour coordonnées (cos(ϑ); sin(ϑ)). Or : OM2 =

(xM − 0)2 + (yM − 0)2 d'après la formule de la distance dans le plan repéré. On a donc :

OM2 = x2M + y2

M = (cos(ϑ))2 + (sin(ϑ))2.

Or on sait que OM = 1, donc on conclut : (cos(ϑ))2 + (sin(ϑ))2 = 1.

• L'abscisse de I est 1 et celle de I ′ est −1. Donc, pour tout point M du cercle trigonomé-

trique : −1 ≤ xM ≤ 1.


On en tire : pour tout ϑ réel, on a : −1 ≤ cos(ϑ) ≤ 1.

• En menant le même raisonnement sur l'ordonnée de M , on a : −1 ≤ sin(ϑ) ≤ 1

On peut faire le lien entre ces dénitions du sinus et du cosinus, et celles déjà vues auparavant.

Pour cela, on considère le triangle OMH représenté ci-dessous :

Ce triangle est rectangle en H, on peut donc appliquer les formules rappelées précédemment

à l'angle ϑ = IOM , et l'on obtient :

cos(ϑ) = OHOM = OH car OM = 1 (rayon du cercle)

sin(ϑ) = HMOM = OK

OM = OK

On retrouve bien l'abscisse et l'ordonnée de M , associées respectivement aux cosinus et sinus

de ϑ.

Valeurs remarquables :

ϑ 0 π6

π4

π3

π2

IOM 0 30 45 60 90

cos(ϑ) 1√

32

√2

212 0

sin(ϑ) 0 12

√2

2

√3

2 1

4.3. LE RADIAN 35

4.3 Le radian

Dans la section précédente, nous avons (à mots couverts) utilisé une nouvelle unité de mesure

d'angle. En eet, le cosinus et le sinus étaient connus en tant que cosinus d'angle et sinus

d'angle , pourtant nous avons exprimé cos(ϑ) et sin(ϑ), alors que ϑ était déni en tant que

mesure de l'arc_

IM ...

En fait, si un arc quelconque_

AB du cercle trigonométrique C a pour longueur ϑ, avec 0 ≤

ϑ ≤ π, on dira que l'angle AOB mesure ϑ radians.

On a ainsi déni une nouvelle mesure d'angle : le radian.


Dans le cercle trigonométrique, la longueur de l'arc_

IOI ′ est donc π. On a alors, en radians :

IOI ′ = π. Or, en degrés, on a par ailleurs : IOI ′ = 180.

On en tire la correspondance suivante : π radians correspondent à 180.

Comme les mesures en radians sont proportionnelles aux mesures en degrés, on en tire un

tableau de proportionnalité, dans lequel d est la mesure en degrés et ϑ la mesure en radians d'un

angle :

180 d

π ϑ

D'où la relation : 180×ϑ = π×d qui nous permet de passer d'une mesure à l'autre aisément.

4.4. MESURE D'UN ANGLE ORIENTÉ 37

4.4 Mesure d'un angle orienté

Sur le cercle trigonométrique, unemesure d'un angle orienté est égale à la mesure de l'arc

intercepté par l'angle en respectant le sens de l'angle : mesure positive si l'angle est dans le sens

direct, mesure négative si le sens est indirect.

Exemple. L'angle (−→OI,−→OJ) mesure π

2 radians, alors que l'angle (−→OJ,−→OI) mesure −π2 radians.

Remarque. Un angle orienté possède une innité de mesures, car on peut ajouter ou retirer 2π

(tour de cercle complet) autant de fois que l'on veut.

Exemple. L'angle (−→OI,−→OJ) mesure π

2 radians, mais aussi π2 + 2π radians, π

2 + 4π radians,

π2 − 2π radians, etc.

Dénition. La mesure principale d'un angle orienté est la mesure de cet angle appartenant

à l'intervalle ]− π;π].

Exemple. L'angle (−→OI,−−→OB) mesure −π2 radians, mais aussi 3π

2 radians, −π2 +4π radians, −π2 −

2π radians, etc.

Sa mesure principale est alors −π2 radians.


4.5 Valeurs remarquables du cercle trigonométrique

Les valeurs remarquables d'angles sont représentées sur le quart de cercle ci-dessous et réper-

toriées dans le tableau suivant :

Angle en degrés 0 30 45 60 90

Angle ϑ en radians 0 π6

π4

π3

π2

cos(ϑ) 1√

32

√2

212 0

sin(ϑ) 0 12

√2

2

√3

2 1

4.5. VALEURS REMARQUABLES DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE 39

On en tire, par diverses symétries d'axe, le cercle trigonométrique complet :

Des mêmes symétries, on tire les relations suivantes :

Propriétés. Notons ϑ une mesure d'angle en radians. Alors :

• cos(−ϑ) = cos(ϑ) et sin(−ϑ) = − sin(ϑ).

• cos(π − ϑ) = − cos(ϑ) et sin(π − ϑ) = sin(ϑ).

• cos(π + ϑ) = − cos(ϑ) et sin(π + ϑ) = − sin(ϑ).

• cos(π2 − ϑ

)= sin(ϑ) et sin

(π2 − ϑ

)= cos(ϑ)


4.6 Résolution d'équations trigonométriques

Théorème. Les solutions dans R de l'équation cos(ϑ) = cos(a), où a est un nombre réel xé,

sont :

ϑ = a+ 2kπ

ϑ = −a+ 2kπ où a est un nombre entier relatif.

Théorème. Les solutions dans R de l'équation sin(ϑ) = sin(a), où a est un nombre réel xé,

sont :

ϑ = a+ 2kπ

ϑ = π − a+ 2kπ où a est un nombre entier relatif.

4.7 Étude des fonctions trigonométriques

Il est facile de remarquer à l'aide du cercle trigonométrique que les fonctions x 7→ cos(x) et

x 7→ sin(x) sont périodiques de période 2π. Cela signie que, quel que soit le nombre réel x, on

a : cos(x+ 2π) = cos(x) et sin(x+ 2π) = sin(x).

La courbe représentative de la fonction cosinus x 7→ cos(x) est la suivante :

On constate à l'aide de ce graphique que cos(−x) = cos(x), on dit alors que la fonction est

paire (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).

La courbe représentative de la fonction sinus x 7→ sin(x) est la suivante :

4.7. ÉTUDE DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 41

On constate à l'aide de ce graphique que sin(−x) = sin(x), on dit alors que la fonction est

impaire.

Grâce à la périodicité des fonctions cosinus et sinus, on a la propriété suivante :

Propriété. Considérons les fonctions t 7→ cos(ωt+ ϕ) et t 7→ sin(ωt+ ϕ).

Elles sont périodiques de période T = 2πω .

Démonstration. On a : cos(ω(t+ 2π

ω

)+ ϕ

)= cos(ωt+ 2π + ϕ) = cos(ωt+ ϕ) car le cosinus est

périodique de période 2π. Donc l'image de t+T par la fonction est la même que celle de t, quelle

que soit sa valeur.

De même pour la fonction sinus.

Les fonctions cosinus et sinus sont continues et dérivables sur R, et on a :

∀x ∈ R, (cos(x))′ = − sin(x) et (sin(x))′ = cos(x)

On en tire le théorème suivant :

Théorème.

• Si ω et ϕ sont deux nombres réels, la fonction f : t 7→ cos(ωt+ϕ) est dérivable sur R et sa

dérivée est : f ′ : t 7→ −ω sin(ωt+ ϕ).

• Si ω et ϕ sont deux nombres réels, la fonction g : t 7→ sin(ωt+ϕ) est dérivable sur R et sa

dérivée est : g′ : t 7→ ω cos(ωt+ ϕ).

Démonstration. En notant u : t 7→ ωt+ϕ, v : t 7→ cos(t) et w : t 7→ sin(t), on a : f(t) = v(u(t)) =

v u(t) et g(t) = w(u(t)) = w u(t). Les fonctions u, v et w sont dénies et dérivables sur R.

On utilise alors la formule de dérivation d'une fonction composée :

• f ′(t) = u′(t)× v′(u(t)) = ω × (− sin(ωt+ ϕ)) = −ω sin(ωt+ ϕ).

• g′(t) = u′(t)× w′(u(t)) = ω × cos(ωt+ ϕ)).

Chapitre 5

La fonction exponentielle

5.1 Généralités

5.1.1 Dénition de la fonction exponentielle

Théorème-Dénition. Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que f ′ = f et

f(0) = 1. Cette fonction est appelée fonction exponentielle, et notée f : x 7→ exp(x).


• En Terminale, on admet qu'une telle fonction existe.

• On va tout d'abord démontrer le lemme suivant :

Lemme. ∀x ∈ R, exp(x) 6= 0.

Démonstration. Posons, pour tout nombre x réel, Φ(x) = exp(x)×exp(−x). Cette fonction

est alors dérivable sur R en tant que produit de deux fonctions dérivables, et :

Φ′(x) = exp(x)× exp(−x) + exp(x)× (− exp(−x)) = 0.

Φ est une fonction constante car sa dérivée est nulle ; comme de plus Φ(0) = 1, on a donc :

∀x ∈ R, Φ(x) = exp(x)× exp(−x) = 1.

On en tire facilement : ∀x ∈ R, exp(x) 6= 0 (et de plus, exp(−x) = 1exp(x)).

• Supposons maintenant qu'il existe une deuxième fonction g dérivable sur R telle que g′ = g

et g(0) = 1.

Posons alors : h(x) = g(x)exp(x) , qui est bien dénie et dérivable sur R en tant que fraction de

deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas. On a :

h′(x) = g′(x)×exp(x)−g(x)×(exp(x))′

(exp(x))2 = g(x)×exp(x)−g(x)×exp(x)(exp(x))2 = 0

43

44 CHAPITRE 5. LA FONCTION EXPONENTIELLE

Ainsi, h est une fonction constante car sa dérivée est nulle ; comme de plus on sait que :

h(0) = g(0)exp(0) = 1, on en tire : ∀x ∈ R, h(x) = g(x)

exp(x) = 1, d'où : g(x) = exp(x).

On a bien démontré que la fonction exponentielle est l'unique fonction satisfaisant aux

hypothèses du théorème.

5.1.2 Conséquences immédiates

Propriétés.

• exp(0) = 1 ;

• ∀x ∈ R, (exp(x))′ = exp(x) ;

• ∀x ∈ R, exp(x) > 0 ;

• x 7→ exp(x) est une fonction strictement croissante sur R.

Démonstration.

• Le premier point provient de la dénition de la fonction.

• Le deuxième point provient de la dénition de la fonction.

• Supposons par l'absurde qu'il existe un nombre réel a ≥ 0 tel que exp(a) < 0.

La fonction exponentielle est continue sur [0; a], et exp(a) < 0 < exp(0) = 1, donc d'après

le théorème des valeurs intermédiaires l'équation exp(x) = 0 admet au moins une solution

dans [0; a]. Or nous avons démontré le résultat suivant : ∀x ∈ R, exp(x) 6= 0, ce qui est

contradictoire.

On conclut : ∀x ∈]0; +∞[, exp(x) > 0.

De plus, comme pour tout nombre réel x on a exp(−x) = 1exp(x) , on en tire :

∀x ∈ R, exp(x) > 0.

• La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même. Celle-ci

étant strictement positive sur R, la fonction x 7→ exp(x) est strictement croissante sur R.

5.2 Propriétés algébriques de l'exponentielle

5.2.1 Le nombre e

Dénition. On appelle nombre d'EULER ou constante de NÉPER, et l'on note e, le

nombre e = exp(1).

5.2. PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE L'EXPONENTIELLE 45

Remarques.

• Ce nombre vaut approximativement e ' 2.71828.

• e est irrationnel.

• En 2010, on connaissait mille milliards de décimales de e.

• Une façon de calculer les décimales de ce nombre est d'utiliser le fait que :

e = limn→+∞

(1 + 1

n

)n.

5.2.2 La relation fonctionnelle

Théorème. Si a et b sont deux nombres réels quelconques, alors exp(a+ b) = exp(a)× exp(b).

Démonstration. Posons, pour tout nombre réel x, g : x 7→ exp(a+x) et h : x 7→ exp(a)× exp(x).

Ces deux fonctions sont dérivables sur R en tant que composées de fonctions dérivables, et l'on

a : g′(x) = exp(a+ x) = g(x) et h′(x) = exp(a)× exp(x) = h(x).

On en tire :(g(x)h(x)

)′= g′(x)×h(x)−g(x)×h′(x)

(h(x))2 = g(x)×h(x)−g(x)×h(x)(h(x))2 = 0.

La fonction gh est donc constante, et comme g(0)

h(0) = exp(a)exp(a)×exp(0) = 1, on a : ∀x ∈ R, g(x)

h(x) = 1

donc g(x) = h(x), d'où : exp(a+ x) = exp(a)× exp(x).

On a bien montré : ∀a ∈ R, ∀b ∈ R, exp(a+ b) = exp(a)× exp(b).

5.2.3 Conséquences de la relation fonctionnelle

Propriétés. Si a et b sont deux nombres réels quelconques, et n ∈ Z, alors :

• exp(a− b) = exp(a)exp(b) ;

• exp(na) = (exp(a))n ;

• exp(n) = en ;

• exp(

12

)= e

12 =√

e.

Démonstration. Soient a et b deux nombres réels.

• exp(a− b) = exp(a+ (−b)) = exp(a)× exp(−b) = exp(a)× 1exp(b) = exp(a)

exp(b) .

• Première partie : Montrons par récurrence : ∀n ∈ N, exp(na) = (exp(a))n.

Initialisation : exp(0× a) = exp(0) = 1 = (exp(a))0. Le cas de base est démontré.

Hérédité : Soit k ∈ N. On suppose que exp(ka) = (exp(a))k, on va montrer que

exp((k + 1)a) = (exp(a))k+1.

exp((k+1)a) = exp(ka+a) = exp(ka)×exp(a) = (exp(a))k×(exp(a))1 = (exp(a))k+1.

L'hérédité est démontrée.

Conclusion : ∀n ∈ N, exp(na) = (exp(a))n.


Deuxième partie : Soit n ∈ Z− (c'est-à-dire n entier négatif). Il existe alors p ∈ N tel

que n = −p.

On a donc : exp(na) = exp(−pa) = 1exp(pa) = 1

(exp(a))p = (exp(a))−p = (exp(a))n, en

utilisant la première partie de la démonstration.

• Si n ∈ N, exp(n) = exp(n× 1) = (exp(1))n = en d'après la formule précédente.

• e = exp(1) = exp(2× 1

2

)= exp

(12

)2, donc : exp

(12

)=√

e = e12 .

De la dernière propriété précédente, on peut généraliser de la façon suivante :

Théorème. Pour tout nombre réel x, on a : exp(x) = ex.

Ainsi, on retrouve exactement les mêmes propriétés qu'auparavant avec cette notation :

Propriétés. Si a et b sont deux nombres réels et n un nombre entier relatif, alors :

• e0 = 1 ; e1 = e.

• ∀x ∈ R, (ex)′ = ex.

• ∀x ∈ R, ex > 0.

• ea+b = ea × eb.

• ea−b = ea

eb.

• e−b = 1eb.

• ena = (ea)n.

5.3 Étude de la fonction exponentielle

Nous avons déjà démontré que la fonction exponentielle est dénie, continue, dérivable et

strictement croissante sur R, et qu'elle n'y prend que des valeurs strictement positives.

Nous étudierons plus tard ses limites particulières, on admet pour l'instant que :

limx→+∞

ex = +∞ et que limx→−∞

ex = 0+

Nous pouvons donc donner son tableau de variations, ainsi que l'allure de sa courbe repré-

sentative :

5.3. ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE 47

x

Signe

de (ex)′

Variations

de exp

−∞ +∞

+

0+0+

+∞+∞

0

1

1

e


5.4 Composées de l'exponentielle

5.4.1 Dérivée d'une composée de l'exponentielle

Théorème. Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I de R, alors eu est aussi dérivable

sur I, et (eu)′ = u′ × eu.

Démonstration. f : x 7→ ex est dérivable sur R et u est dérivable sur I, donc f u l'est aussi, et

pour tout nombre réel x on a : (f u)′(x) = u′(x)× f ′(u(x)) = u′(x)× eu(x).

Le théorème est démontré.

5.4.2 Cas particuliers de composées de l'exponentielle

Nous nous intéressons ici à deux cas particuliers de composées de l'exponentielle :

Fonctions fk : x 7→ e−kx avec k > 0 :

Ces fonctions sont positives, et strictement dé-

croissantes car f ′k(x) = −ke−kx, or k > 0, donc

f ′k(x) < 0.

Elles sont utiles pour étudier une décroissance

exponentielle : par exemple pour la radioactivité.

Fonctions gk : x 7→ e−kx2

avec k > 0 :

Ces fonctions sont positives, strictement crois-

santes sur ] −∞; 0] et strictement décroissantes

sur [0; +∞[ car g′k(x) = −2kxe−kx, or k > 0,

donc g′k(x) > 0 si x < 0, et g′k(x) < 0 si x > 0.

Elles admettent 1 comme maximum en x = 0.

Elles sont utiles dans les études statistiques (notamment médicales) conduites sur des popu-

lations : ces courbes de répartition en cloche sont appelées des courbes gaussiennes.

Chapitre 6

Suites et limites

6.1 Suites convergentes (limite nie)

6.1.1 Dénition

Dénition. Si (un) est une suite dénie sur N, et l un nombre réel xé, alors : limn→+∞

un = l

signie que, pour tout intervalle ouvert I contenant l, il existe N ∈ N tel que : pour tout n ≥ N ,

on a : un ∈ I.

Mathématiquement, cela s'écrit : limn→+∞

un = l ⇐⇒ ∀ε > 0,∃N ∈ N|∀n ≥ N, un ∈]l−ε; l+ε[.

49

50 CHAPITRE 6. SUITES ET LIMITES

Remarque. Cela signie en fait qu'on peut prendre ε aussi petit que l'on souhaite, et donc que

la suite se rapprochera le plus possible de la limite l (sans forcément l'atteindre).

Remarque. Dire qu'une suite est convergente revient à dire qu'elle admet une limite nie

lorsque n tend vers +∞.

Exemple. On considère la suite dénie sur N∗ par : un = 1√n. On va démontrer que :

limn→+∞

un = 0.

Soit I =]a; b[ contenant 0 : on a donc a < 0 et b > 0.

un ∈ I ⇔ a < un < b

⇔ a <1√n< b

⇔ 1√n< b car a < 0 <

1√n

est toujours vrai.

⇔ 1 < b×√n car

√n ≥ 0

⇔ 1

b<√n car b > 0

⇔ 1

b2< n car x 7→ x2 est strictement croissante sur [0; +∞[

Quel que soient a et b xés tels que a < 0 et b > 0, il existera toujours un rang N à partir duquel

un appartiendra à I =]a; b[ : il s'agit du premier entier suivant 1b2 .

D'après la dénition, on a donc : limn→+∞

un = 0.

6.1.2 Unicité de la limite

Théorème. Si (un) est une suite dénie sur N qui converge vers une limite nie, alors sa limite

est unique.

6.2. SUITES DIVERGENTES (LIMITE INFINIE, OU PAS DE LIMITE) 51

Démonstration. Supposons par l'absurde que limn→+∞

un = l et que limn→+∞

un = l′, avec l 6= l′.

Soit I un intervalle ouvert contenant l mais ne contenant pas l+l′

2 .

Soit I ′ un intervalle ouvert contenant l′ mais ne contenant pas l+l′

2 .

On a donc : I ∩ I ′ = ∅, I et I ′ sont disjoints.

D'après la dénition, comme limn→+∞

un = l, il existe N ∈ N tel que : ∀n ≥ N , un ∈ I.

D'après la dénition, comme limn→+∞

un = l′, il existe N ′ ∈ N tel que : ∀n ≥ N ′, un ∈ I ′.

Considérons alors un nombre entier n0 tel que n0 > N et n0 > N ′. On doit alors avoir n0 ∈ I

et n0 ∈ I ′, ce qui est absurde car les intervalles sont disjoints !

On conclut : l'hypothèse initiale est fausse, donc la limite d'une suite convergente est unique.

6.2 Suites divergentes (limite innie, ou pas de limite)

Certaines suites n'admettent pas de limites nies. On parle alors de suites divergentes.

Exemples.

1. La suite de terme général un =√n vérie : lim

n→+∞un = +∞.

2. La suite de terme général vn = (−1)n n'admet pas de limite : limn→+∞

un n'existe pas.


6.2.1 Dénitions

Dénition. Si (un) est une suite dénie sur N, alors :

• limn→+∞

un = +∞ signie que pour tout intervalle ouvert I =]A; +∞[ (avec A > 0), il existe

N ∈ N tel que : ∀n ≥ N , un ∈ I.

• Autre rédaction plus simple : pour tout nombre réel A > 0, il existe N ∈ N tel que :

∀n ≥ N , un > A.

Dénition. Si (un) une suite dénie sur N, alors :

• limn→+∞

un = −∞ signie que pour tout intervalle ouvert I =]−∞;A[ (avec A < 0), il existe

N ∈ N tel que : ∀n ≥ N , un ∈ I.

• Autre rédaction plus simple : pour tout nombre réel A < 0, il existe N ∈ N tel que :

∀n ≥ N , un < A.

Remarque. Dans les deux cas précédents, on dira que la suite (un) est divergente. Cependant,

une suite n'ayant pas de limite sera également qualiée de divergente !

6.2.2 Application

Nous allons démontrer le lemme suivant :

Lemme. La suite de terme général un =√n dénie sur N admet pour limite lim

n→+∞un = +∞.

Démonstration. Soit A un nombre réel strictement positif.

On se demande s'il existe N ∈ N tel que, pour tout n ≥ N , un =√n > A.

On choisit comme valeur de N l'entier immédiatement supérieur à A2 + 1, on a donc :

N ≥ A2 + 1.

Si n ≥ N , alors n ≥ A2 + 1, donc√n ≥√A2 + 1 > A.

On conclut : il existe bien un nombre entier N tel que : ∀n ≥ N , un > A, et ce quelle que

soit la valeur de A choisie.

D'après la dénition, on a donc : limn→+∞

un = +∞.

6.3. THÉORÈMES 53

6.3 Théorèmes

6.3.1 Théorèmes de comparaison

Si N ∈ N est un rang xé, et (xn), (un) et (vn) trois suites réelles, alors :

∀n ≥ N on a : On sait aussi que : Conclusion :

un ≤ xn ≤ vn limn→+∞

un = l limn→+∞

xn = l

limn→+∞

vn = l (théorème des gendarmes)

un ≤ xn limn→+∞

un = +∞ limn→+∞

xn = +∞

xn ≤ vn limn→+∞

vn = −∞ limn→+∞

xn = −∞

Démonstration.

• La première propriété (théorème des gendarmes ) est admise.

• Restitution organisée des connaissances.

On va démontrer la deuxième propriété.

On sait qu'il existe un rang N0 ∈ N tel que : ∀n ≥ N0, on a : un ≤ xn.

Soit A > 0 un nombre réel. Comme limn→+∞

un = +∞, on sait qu'il existe un rang N1 tel

que : ∀n ≥ N1, on a : un ≥ A.

Ainsi, pour tout n à la fois plus grand que N0 et N1 (on note alors : ∀n ≥ max(N0, N1)),

on a : A ≤ un ≤ xn, d'où A < xn.

Pour tout nombre réel A, il existe donc un rang N ∈ N tel que : ∀n ≥ N , xn > A. Cela

signie par dénition que limn→+∞

xn = +∞.

• La troisième propriété se démontre rigoureusement de la même manière que la deuxième.

Exemple. Calculons limn→+∞

(2+sin(n)

n2

)(sachant que lim

n→+∞sin(n) n'existe pas).

On sait que, pour tout n ∈ N∗ : −1 ≤ sin(n) ≤ 1. On en tire : 1 ≤ 2 + sin(n) ≤ 3, et donc :

1n2 ≤ 2+sin(n)

n2 ≤ 3n2 , car n2 > 0.

Comme limn→+∞

1n2 = 0 et lim

n→+∞3n2 = 0, on en tire, d'après le théorème des gendarmes :

limn→+∞

2+sin(n)n2 = 0.

Exemple. Calculons limn→+∞

(n+ (−1)n) (sachant que limn→+∞

(−1)n n'existe pas).

On sait que, pour tout n ∈ N : (−1)n ≥ −1. On en tire : n+ (−1)n ≥ n− 1.

Comme limn→+∞

(n− 1) = +∞, on en tire, d'après le théorème de comparaison :

limn→+∞

(n+ (−1)n) = +∞.


6.3.2 Opérations sur les limites

Théorème. La limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient est égale à la somme, le

produit ou le quotient des limites en respectant les règles suivantes :

Somme :

limn→+∞

un l l +∞ −∞ +∞

limn→+∞

vn l′ +∞ (resp. −∞) +∞ −∞ −∞

limn→+∞

(un + vn) l + l′ +∞ (resp. −∞) +∞ −∞ On ne peut pas conclure.

Produit :

limn→+∞

un l l > 0 ou +∞ l < 0 ou −∞ 0

limn→+∞

vn l′ +∞ (resp. −∞) +∞ (resp. −∞) +∞ ou −∞

limn→+∞

(un × vn) l × l′ +∞ (resp. −∞) −∞ (resp. +∞) On ne peut pas conclure.

Inverse :

limn→+∞

un l 0+ 0− +∞ (resp. −∞)

limn→+∞

1un

1l +∞ −∞ 0+ (resp. 0−)

Quotient :

Pour déterminer la limite d'un quotient unvn , on utilise les propriétés du produit et de l'inverse

car unvn

= un × 1vn.

6.3.3 Limite d'une puissance

Théorème. Si q est un nombre réel, alors limn→+∞

qn vaut :

• +∞ si q > 1 ;

• 1 si q = 1 ;

• 0 si −1 < q < 1 ;

• pas de limite si q ≤ −1.


On va démontrer la propriété : si q > 1, alors limn→+∞

qn = +∞.

Pour cela, on va en fait démontrer par récurrence le lemme suivant :

Lemme. Si a > 0, et n ∈ N, alors on a : (1 + a)n ≥ 1 + na.

6.4. CONVERGENCE MONOTONE 55

Démonstration.

• Cas de base : (1 + a)0 = 1 et 1 + 0× a = 1 : le cas de base est vrai.

• Hérédité : Supposons que (1 + a)n ≥ 1 + na pour un certain rang n ∈ N.

On va montrer que (1 + a)n+1 ≥ 1 + (n+ 1)a.

On a :

(1 + a)n ≥ 1 + na⇔ (1 + a)n × (1 + a) ≥ (1 + na)× (1 + a)

⇔ (1 + a)n+1 ≥ 1 + a+ na+ na2

⇔ (1 + a)n+1 ≥ 1 + (n+ 1)a+ na2 ≥ 1 + (n+ 1)a car n ≥ 0 et a2 > 0

On a bien démontré l'hérédité de la propriété.

• Conclusion : On conclut : ∀n ∈ N, (1 + a)n ≥ 1 + na.

Reprenons la preuve de la propriété : soit q > 1, il existe alors a > 0 tel que q = 1 + a.

Soit A > 0 un nombre réel, on résout : 1 + na ≥ A, ce qui équivaut à avoir n ≥ N = A−1a .

On a démontré que : ∀A > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N , 1 + na ≥ A. Cela signie que :

limn→+∞

(1 + na) = +∞.

D'après le lemme, on a : ∀a > 0, ∀n ∈ N, (1 + a)n ≥ 1 + na donc, d'après le théorème de

comparaison : limn→+∞

qn = +∞ lorsque q > 1 (en posant a > 0 tel que q = 1 + a).

6.4 Convergence monotone

6.4.1 Suite monotone non bornée

Théorème.

• Si une suite (un) est croissante et non majorée, alors limn→+∞

un = +∞.

• Si une suite (un) est décroissante et non minorée, alors limn→+∞

un = −∞.

Démonstration.

• Soit A > 0 quelconque.

Comme (un) n'est pas majorée, ∃N ∈ N|uN > A.

Comme (un) est croissante, alors : ∀n ≥ N , un ≥ uN > A.

On a donc montré que : ∀A > 0, ∃N ∈ N tel que ∀N ∈ N, un > A.


Cela signie donc, par dénition, que : limn→+∞

un = +∞.

• On démontre de la même manière l'autre partie du théorème.

6.4.2 Théorème de la convergence monotone

Théorème.

• Si une suite (un) est croissante et majorée, alors (un) est convergente donc limn→+∞

un = l,

où l ∈ R.

• Si une suite (un) est décroissante et minorée, alors (un) est convergente donc limn→+∞

un = l,

où l ∈ R.

Démonstration. Ce théorème est admis.

6.4.3 Exemple

Considérons la suite (un) dénie par : u0 = 3 et ∀n ∈ N, un+1 = 13un + 1.

1. Démontrons par récurrence : ∀n ∈ N, un ≥ 0 (Pn).

• Cas de base : u0 = 3 ≥ 0 donc le cas de base est démontré.

• Hérédité : Soit n ∈ N xé. On suppose que un ≥ 0, on a donc : 13un ≥ 0, d'où :

13un + 1 ≥ 1, donc un+1 ≥ 0. L'hérédité est démontrée.

• Conclusion : On a démontré par récurrence que ∀n ∈ N, un ≥ 0.

2. Démontrons par récurrence : ∀n ∈ N, un+1 ≤ un (Qn).

• Cas de base : u1 = 2 ≤ 3 = u2 donc le cas de base est démontré.

• Hérédité : Soit n ∈ N xé. On suppose que un+1 ≤ un, on a donc : 13un+1 ≤ 1

3un, d'où :

13un+1 + 1 ≤ 1

3un + 1, donc un+2 ≤ un+1. L'hérédité est démontrée.

• Conclusion : On a démontré par récurrence que ∀n ∈ N, un+1 ≤ un.

3. D'après les deux points précédents, la suite (un) est décroissante et minorée, donc, d'après

le théorème de la convergence monotone, on peut armer que (un) est convergente et que

limn→+∞

un = l, avec l ∈ R.

4. L'égalité un+1 = 13un + 1 devient, par passage à la limite : l = 1

3 l+ 1, donc : 23 l = 1, donc :

l = 32

Conclusion : On a démontré que limn→+∞

un = 32 .

6.5. DES ALGORITHMES DE SEUIL 57

6.4.4 Une propriété intéressante

Propriété. Si une suite est croissante et converge vers L, alors cette suite est majorée par L.


Notons (un) une suite croissante qui converge vers un nombre réel L.

Supposons par l'absurde qu'il existe p ∈ N tel que up > L.

Comme (un) est croissante : ∀n ≥ p, un ≥ up > L.

Par ailleurs, l'intervalle I =]L−1;up[ est un intervalle ouvert contenant L (car L−1 < L < up)

donc, par dénition de la limite d'une suite convergente, I contient tous les termes de la suite

(un) à partir d'un certain rang.

Cela contredit le fait que : ∀n ≥ p, un ≥ up > L, on aboutit donc à une contradiction.

On a donc démontré : ∀n ∈ N, un ≤ L.

6.5 Des algorithmes de seuil

Le but de cette section est de créer des algorithmes qui nous permettront de vérier les

résultats donnés dans les exemples précédents, et de répondre aux questions du type : À partir

de quel rang la suite géométrique u de premier terme et de raison donnés dépasse le seuil A ?

Dans un premier temps, rédigeons un algorithme qui répondra à la question : À partir de

quel rang la suite géométrique u de premier terme u0 et de raison q > 1 dépasse le seuil S ?

On propose l'algorithme suivant :

Variables n, q, u0 et S sont des nombres

Initialisation Lire S

Lire u0

Lire q

Traitement n prend la valeur 0

Tant que u0 × qn ≤ S

| n prend la valeur n+ 1

Fin Tant que

Sortie Acher n

Maintenant, rédigeons un algorithme qui répondra à la question : À partir de quel rang la

suite géométrique v strictement décroissante de premier terme v0 dénie pour tout n ∈ N par


vn+1 = f(vn) (où f est une fonction) passe sous le seuil S ?

On propose l'algorithme suivant :

Variables n, v, v0 et S sont des nombres

f est une fonction

Initialisation Lire S

Lire v0

Lire f

Traitement n prend la valeur 0

v prend la valeur v0

Tant que v ≥ S

| v prend la valeur f(v)

Fin Tant que

Sortie Acher n

Chapitre 7

Les nombres complexes - Algèbre et

géométrie

7.1 Forme algébrique

7.1.1 L'ensemble C des nombres complexes

Notons i le nombre complexe tel que : i2 = −1. Alors l'ensemble des nombres complexes,

noté C, est l'ensemble de tous les nombres z de la forme z = a+ ib, où a et b sont deux nombres

réels.

On appelle partie réelle de z et on note Re(z) le nombre a.

On appelle partie imaginaire de z et on note Im(z) le nombre b.

Ainsi, on peut écrire, pour tout nombre complexe z : z = Re(z) + i Im(z).

Remarque. Si l'on observe l'ensemble des nombres complexes z tel que Im(z) = 0, alors ils sont

de la forme suivante : z = Re(z), et ce sont alors des nombres réels. En fait, tous les nombres

réels sont des nombres complexes, de partie imaginaire nulle. On a donc : R ⊂ C.

Dénition. On appelle nombre imaginaire pur tout nombre complexe z tel que Re(z) = 0.

Un tel nombre vérie alors : z = i Im(z).

Exemple.

• 2 + i, 0.5− 23 i et −π +

√2i sont des nombres complexes ;

• 3i, −871i et 21i4 sont des nombres imaginaires purs.

59

60 CHAPITRE 7. LES NOMBRES COMPLEXES - ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE

Remarque. Les nombres complexes sont employés en Sciences Physiques (notamment dans le

domaine de l'électricité). La lettre i étant réservée à l'intensité, on emploiera la lettre j dans ce

domaine. On notera alors z = a+ bj.

7.1.2 Opérations simples dans C

De la même manière qu'on additionne ou soustrait deux nombres réels, on peut additionner

ou soustraire deux nombres complexes, en regroupant parties réelles et imaginaires.

Exemple. Si z1 = 4− i et z2 = −3− 5i, alors :

• z1 + z2 = (4− i) + (−3− 5i) = 4− 3 + (−1− 5)i = 1− 6i

• z1 − z2 = (4− i)− (−3− 5i) = 4 + 3 + (−1 + 5)i = 7 + 4i

Pour la multiplication, on doit utiliser la règle de la double distributivité, et ne pas oublier

que i2 = 1 !

Exemple. Si z1 = 4− i et z2 = −3− 5i, alors :

z1 × z2 = (4− i)× (−3− 5i)

= 4× (−3) + 4× (−5i)− i× (−3)− i× (−5i)

= −12− 20i + 3i + 5(i)2

= −12− 20i + 3i− 5

= −17− 17i

7.2. CONJUGUÉ D'UN NOMBRE COMPLEXE 61

7.2 Conjugué d'un nombre complexe

7.2.1 Dénition et propriétés

Dénition. Le nombre conjugué d'un nombre complexe z = a + ib est le nombre complexe

z = a− ib.

Exemple. Le nombre conjugué de z = 14− 78i est : z = 14 + 78i.

Propriétés. z = a+ ib, z1 = a1 + ib1 et z2 = a2 + ib2 sont trois nombres complexes.

1. z = z

2. z1 + z2 = z1 + z2

3. z1 × z2 = z1 × z2

4.(z1z2

)= z1

z2

5. z × z = a2 + b2

Démonstration.

1. z = a+ ib = a− ib = a+ ib

2. z1 + z2 = a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 + i(b1 + b2) = a1+a2−i(b1+b2) = a1−ib1+a2−ib2

3. z1 × z2 = (a1 + ib1)× (a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1)

= a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1)

z1 × z2 = a1 + ib1 × a2 + ib2 = (a1 − ib1)× (a2 − ib2) = a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1)

Donc z1 × z2 = z1 × z2.

4.(z1z2

)=(a1+ib1a2+ib2

)=(

(a1+ib1)(a2−ib2)a22+b22

)=(a1a2+b1b2a22+b22

+ a2b1−a1b2a22+b22

i)

= a1a2+b1b2a22+b22

− a2b1−a1b2a22+b22

i

z1z2

= a1+ib1a2+ib2

= a1−ib1a2−ib2

= (a1−ib1)(a2+ib2)(a2−ib2)(a2+ib2) = a1a2+b1b2

a22+b22+ a1b2−a2b1

a22+b22i

Donc(z1z2

)= z1

z2.

5. z × z = (a− ib)(a+ ib) = a2 + abi− abi− b(i)2 = a2 + b2

Exemple. Soit z = 3+2i. Alors : z×z = (3+2i)×(3−2i) = 32 +22 = 9+4 = 13, en appliquant

la propriété vue auparavant.

Remarque. Pour tout nombre complexe z, le produit z × z est un nombre réel.


7.2.2 Quotient de deux nombres complexes

Pour calculer le quotient de deux nombres complexes z1 = a1 + ib1 et z2 = a2 + ib2, on va

devoir appliquer la notion de conjugué.

Exemple. Soient z1 = 5− 4i et z2 = −2− 3i. Alors :

z1

z2=

5− 4i

−2− 3i

=(5− 4i)(−2 + 3i)

(−2− 3i)(−2 + 3i)

=−10 + 15i + 8i− 12i2

(−2)2 + 32

=−10 + 23i + 12

4 + 9

=2 + 23i

13

=2

13+

23

13i

En fait, lorsque l'on calculera un quotient de deux nombres complexes, on multipliera sys-

tématiquement le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur (an de ne

plus avoir qu'un nombre réel au dénominateur).

7.3. REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE CARTÉSIENNE 63

7.3 Représentation géométrique cartésienne


On munit le plan d'un repère orthonormé (O; ~u;~v).

À tout nombre complexe z = a + ib, on associe le point M de coordonnées (a; b). Ainsi, la

partie réelle a de z correspond à l'abscisse du point, et sa partie imaginaire b à son ordonnée.

Réciproquement, à tout point M(x; y), on associe le nombre complexe z = x+ iy.

On dit que M est l'image de z, et que z est l'axe du point M , voire l'axe du vecteur−−→OM .

Propriété. La longueur OM , où M est l'image de z = a+ib, vaut : OM =√a2 + b2 =

√z × z.

Cette longueur est appelée module de z, et on la note |z|.

C'est aussi la norme du vecteur−−→OM .

Démonstration. Le segment [OM ] correspond à l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés a

et b. D'après le théorème de Pythagore appliqué dans ce triangle : OM2 = a2 + b2. Ainsi, comme

OM est une longueur (et donc un nombre positif), on a : OM =√a2 + b2. Et comme on sait

que a2 + b2 = z × z, on a bien : OM =√z × z.

Propriétés. Si z = a+ ib est un nombre complexe (avec a ∈ R et b ∈ R),

alors : |z| = |z| = | − z| = | − z|.


7.3.2 Axe d'un vecteur quelconque

Si A (d'axe zA) et B (d'axe zB) sont deux points du plan, alors l'axe du vecteur−−→AB

est la suivante : zB − zA soit axe de la pointe moins axe de l'origine . De plus, la norme

de−−→AB est : ‖

−−→AB‖ = |zB − zA|.

Exemple. Considérons toujours les points A d'axe zA = 2 + 3i et B d'axe zB = 4 + i.

Le vecteur−−→AB a alors pour axe : z−−→

AB= zB−zA = (4+i)− (2+3i) = 4+i−2−3i = 2−2i.

On peut alors calculer sa norme : ‖−−→AB‖ = |zB − zA| = |2− 2i| =

√22 + (−2)2 =

√8 = 2

√2.

7.3.3 Opérations sur les vecteurs

On munit toujours le plan d'un repère orthonormé (O; ~u;~v).

Si−−→OM (d'axe z) et

−−−→OM ′ (d'axe z′) sont deux

vecteurs dans le plan complexe, alors le point P

du plan tel que−−→OP =

−−→OM +

−−−→OM ′ a pour axe

z + z′.

Exemple. Si A a pour axe zA = 2 + 3i et B a pour axe zB = 4 + i, alors le vecteur−→OA a

pour axe zA et le vecteur−−→OB a pour axe zB.

De plus, si l'on note C le point tel que−→OA+

−−→OB =

−−→OC, alors

−−→OC a pour axe :

z−−→OC

= zA + zB = (2 + 3i) + (4 + i) = 6 + 4i, qui est aussi l'axe du point C.

7.3. REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE CARTÉSIENNE 65

De même, si k est un nombre réel, no-

tons N le point du plan tel que−−→ON =

k ×−−→OM . Il a alors pour axe k × z.

7.3.4 Axe du milieu d'un segment

Si A (d'axe zA) et B (d'axe zB) sont deux points du plan, alors l'axe du milieu I du

segment [AB] est la suivante : zI =zA + zB

2.

Exemple. En reprenant une nouvelle fois les points A d'axe zA = 2+3i et B d'axe zB = 4+i,

l'axe du milieu I de [AB] est alors : zI = zA+zB2 = 2+3i+4+i

2 = 6+4i2 = 3 + 2i.


7.4 Équations du deuxième degré à coecients réels

Ce théorème est une version adulte du théorème déjà vu en Première.

Théorème. Soient a, b, c trois nombres réels avec a 6= 0. On considère l'équation az2+bz+c = 0.

• Si ∆ = b2 − 4 × a × c > 0, l'équation admet deux solutions réelles qui sont : z1 = −b−√

∆2a

et z2 = −b+√

∆2a ;

• Si ∆ = b2 − 4× a× c = 0, l'équation admet une unique solutions réelle qui est : z0 = −b2a ;

• Si ∆ = b2 − 4× a× c < 0, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées qui sont :

z1 = −b−i√−∆

2a et z2 = −b+i√−∆

2a .

Démonstration.

az2 + bz + c = 0⇐⇒ a

[(z +

b

2a

)2

− ∆

4a2

]= 0

⇐⇒(z +

b

2a

)2

=∆

4a2

• Si ∆ > 0, alors on a : z+ b2a =

√∆

2a ou z+ b2a = −

√∆

2a , ce qui correspond aux solutions déjà

déterminées en Première.

• Si ∆ = 0, alors on a : z + b2a = 0, d'où : z = −b

2a .

• Si ∆ < 0, alors on a :(z + b

2a

)2= i2×(−∆)

4a2 =(

i√−∆2a

)2

d'où :

z + b2a = i

√−∆2a ou z + b

2a = − i√−∆2a : on retrouve bien les deux solutions complexes

conjuguées.

Chapitre 8

Limites de fonctions

8.1 Généralités

8.1.1 Limite innie à l'inni

Dénition. Si f est une fonction dénie sur Df contenant ]a; +∞[ (a > 0 xé), alors dire que

f tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ signie que pour tout seuil A > 0 xé, il existe un

nombre x0 ∈]a; +∞[ tel que : pour tout x > x0, f(x) > A.

Mathématiquement : limx→+∞

f(x) = +∞⇐⇒ ∀A > 0,∃x0 ∈]a; +∞[|∀x > x0, f(x) > A.

On dénit de manière analogue limx→+∞

f(x) = −∞, limx→−∞

f(x) = +∞ et limx→−∞

f(x) = −∞.

Exemples.

• On va démontrer que limx→+∞

x2 = limx→−∞

x2 = +∞.

Soit A > 0 xé. Alors :

x2 > A⇐⇒ x < −√A ou x >

√A

On a donc montré que : ∀A > 0,∃x0 =√A|∀x > x0, x

2 > A, donc par dénition :

limx→+∞

x2 = +∞.

On a également montré que : ∀A > 0,∃x0 = −√A|∀x < x0, x


limx→−∞

x2 = +∞.

• On va démontrer que limx→+∞

x3 = +∞ et que limx→−∞

x3 = −∞.

Soit A > 0 xé. Alors :

x3 > A⇐⇒ x >3√A

67

68 CHAPITRE 8. LIMITES DE FONCTIONS

On a donc montré que : ∀A > 0,∃x0 = 3√A|∀x > x0, x


limx→+∞

x3 = +∞.

Soit A < 0 xé. Alors :

x3 < A⇐⇒ x <3√A

On a donc montré que : ∀A < 0,∃x0 = 3√A|∀x < x0, x

3 < A, donc par dénition :

limx→−∞

x3 = −∞.

• De manière analogue aux deux exemples précédents, on démontre plus généralement que,

pour tout nombre entier p ≥ 1 :

limx→+∞

xp = +∞

limx→−∞

xp =

+∞ si p est pair

−∞ si p est impair

• On démontre également de manière analogue que : limx→+∞

√x = +∞.

Propriété.

limx→+∞

ex = +∞


On considère la fonction f : x 7→ ex − x, dénie, continue et dérivable sur R en tant que

somme de fonctions dénies, continues et dérivables.

On a : ∀x ∈ R, f ′(x) = ex − 1. Si x ≥ 0, on a alors : ex ≥ 1, donc f ′(x) ≥ 0 sur [0; +∞[. f

est alors croissante sur [0; +∞[, et comme f(0) = 1, on a : ∀x ≥ 0, f(x) ≥ 1, d'où : ex − x > 1

et donc : ex > x+ 1. A fortiori, ex > x.

Soit A > 0 xé. Si x > A, alors ex > x > A d'après ce qui précède. Donc il existe bien un

nombre réel x0 tel que : ∀x > x0, ex > A, ce qui démontre bien que : limx→+∞

ex = +∞.

8.1.2 Limite nie à l'inni

Dénition. Si f est une fonction dénie sur Df contenant ]a; +∞[ (a > 0 xé), alors dire que

f tend vers l lorsque x tend vers +∞ signie que pour tout réel ε > 0 xé, il existe un nombre

x0 ∈]a; +∞[ tel que : pour tout x > x0, l − ε < f(x) < l + ε.

Mathématiquement : limx→+∞

f(x) = l⇐⇒ ∀ε > 0,∃x0 ∈]a; +∞[|∀x > x0, l− ε < f(x) < l+ ε.

On dénit de manière analogue limx→−∞

f(x) = l.

8.1. GÉNÉRALITÉS 69

Dénition. On dit que la droite d'équation y = l est asymptote horizontale à la courbe

représentative de f si et seulement si limx→+∞

f(x) = l ou limx→−∞

f(x) = l.

Exemple. On va démontrer que limx→+∞

1x = lim

x→−∞1x = 0.

Soit ε > 0 xé. Alors :

−ε < 1

x< ε⇐⇒

x > 1ε si x > 0

x < − 1ε si x < 0

On a donc montré que : ∀ε > 0,∃x0 = 1ε |∀x > x0,−ε < 1

x < ε, donc par dénition : limx→+∞

1x = 0.

On a également montré que : ∀ε > 0,∃x0 = − 1ε |∀x < x0,−ε < 1

x < ε, donc par dénition :

limx→−∞

1x = 0.

Propriété.

limx→−∞

ex = 0


Soit ε > 0 xé. On a toujours : −ε < ex. Alors :

ex < ε⇐⇒ 1

ε<

1

ex

⇐⇒ 1

ε< e−x

⇐⇒ 1

ε< eX avec X = −x

Or on sait que limX→+∞

eX = +∞, donc : ∃X0 ∈ R|∀X > X0, eX > 1

ε .

Cela revient à dire : ∃X0 ∈ R|∀x < −X0, e−x > 1

ε .

Donc il existe bien un nombre réel x0 tel que : ∀x < x0, −ε < ex < ε, ce qui démontre bien

que : limx→−∞

ex = 0.

Conséquence. La droite d'équation y = 0 (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à la

courbe de la fonction exponentielle.

Remarque. Certaines fonctions, comme le cosinus et le sinus, n'ont pas de limite en l'inni.

8.1.3 Limite innie en un nombre réel

Dénition. Si f est une fonction dénie sur Df contenant ]a−h; a[∪]a; a+h[ avec h > 0, alors

dire que f tend vers +∞ lorsque x tend vers a signie que pour tout réel A > 0 xé, il existe un

nombre ε > 0 tel que : pour tout x ∈]a− ε; a[∪]a; a+ ε[, f(x) > A.


Mathématiquement : limx→a

f(x) = +∞⇐⇒ ∀A > 0,∃ε > 0|∀x ∈]a− ε; a[∪]a; a+ ε[, f(x) > A.

On dénit de manière analogue limx→a

f(x) = −∞.

Remarque. Il est parfois nécessaire de distinguer les limites à gauche et à droite de a,

que l'on note respectivement limx→a−

f(x) et limx→a+

f(x)

Dénition. On dit que la droite d'équation x = a est asymptote verticale à la courbe repré-

sentative de f si et seulement si limx→a

f(x) = +∞ ou limx→a

f(x) = −∞ (éventuellement avec les

limites à gauche ou droite).

Exemple. limx→0−

1x = −∞ et lim

x→0+

1x = +∞ (admis, facile à démontrer).

Ainsi, la droite d'équation x = 0 (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe de

la fonction inverse.

8.1.4 Asymptotes obliques (hors programme)

Dénition. On dit que la droite d'équation y = mx + p est asymptote oblique à la courbe

représentative de f si et seulement si limx→+∞

[f(x)− (mx+p)] = 0 ou limx→−∞

[f(x)− (mx+p)] = 0.

Exemple. La fonction f : x 7→ 7x − 5 + 1x , dénie sur R∗, admet pour asymptote oblique la

droite d'équation y = 7x− 5.

En eet, limx→+∞

[f(x)− (7x− 5)] = limx→+∞

1x = 0, de même que :

limx→−∞

[f(x)− (7x− 5)] = limx→−∞

1x = 0.

8.2 Théorèmes sur les limites

8.2.1 Théorèmes d'opération

Théorème. On considère ici des limites en +∞, −∞, ou a ∈ R, et l et l′ deux nombres réels.

La limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient est égale à la somme, le produit ou le

quotient des limites en respectant les règles suivantes :

8.2. THÉORÈMES SUR LES LIMITES 71

Somme :

lim f l l +∞ −∞ +∞

lim g l′ +∞ (resp. −∞) +∞ −∞ −∞

lim(f + g) l + l′ +∞ (resp. −∞) +∞ −∞ On ne peut pas conclure.

Produit :

lim f l l > 0 ou +∞ l < 0 ou −∞ 0

lim g l′ +∞ (resp. −∞) +∞ (resp. −∞) +∞ ou −∞

lim(f × g) l × l′ +∞ (resp. −∞) −∞ (resp. +∞) On ne peut pas conclure.

Inverse :

lim f l 6= 0 0+ 0− +∞ (resp. −∞)

lim 1f

1l +∞ −∞ 0+ (resp. 0−)

Quotient :

Pour déterminer la limite d'un quotient fg , on utilise les propriétés du produit et de l'inverse

car fg = f × 1

g .

Remarque. Les cas où l'on ne peut pas conclure sont appelés formes indéterminées . On

dispose de techniques de calcul pour ramener leur calcul à une limite plus simple à déterminer,

et des théorèmes ci-dessous.

Théorème. Une fonction polynôme admet pour limite en +∞ ou −∞ la même limite que celle

de son terme de plus haut degré.

Démonstration. Considérons une fonction polynôme de degré n (avec an 6= 0) :

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0

On peut alors la réécrire ainsi :

f(x) = anxn ×

(1 +

an−1xn−1

anxn+ . . .+

a2x2

anxn+

a1x

anxn+

a0

anxn

)= anx

n ×(

1 +an−1

anx+ . . .+

a2

anxn−2+

a1

anxn−1+

a0

anxn

)

Or on observe d'après les résultats précédents que :

limx→±∞

an−1

anx= . . . = lim

x→±∞

a2

anxn−2= limx→±∞

a1

anxn−1= limx→±∞

a0

anxn= 0


donc par somme :

limx→±∞

(1 +

an−1

anx+ . . .+

a2

anxn−2+

a1

anxn−1+

a0

anxn

)= 1

et par produit :

limx→±∞

f(x) = limx→±∞

anxn

Exemple. limx→+∞

(6x9 + 5x5 − 3x2 + 6x− 5) = limx→+∞

6x9 = +∞.

Théorème. Une fraction rationnelle (fonction quotient de deux polynômes) admet pour limite

en +∞ ou −∞ la même limite que le quotient des termes de plus haut degré de son numérateur

et de son dénominateur.

Démonstration. Ce résultat se déduit du résultat précédent et des théorèmes d'opération sur les

limites.

Exemple. limx→+∞

7x8−6x5+3x2−4−6x9−5x7+6x+1 = lim

x→+∞7x8

−6x9 = limx→+∞

7−6x = 0−.

8.2.2 Théorème de composition

Théorème. f est une fonction dénie sur un intervalle I, g est une fonction dénie sur un

intervalle J contenant f(I), et a ∈ I, b ∈ J et c sont des nombres nis ou innis.

Si limx→a

f(x) = b et limx→b

g(x) = c, alors limx→a

g f(x) = c.

Démonstration. On admet ce théorème (démontré avec la dénition de la limite).

Exemple. On va calculer limx→0

√3 + 1

x2 .

On note f : x 7→ 3 + 1x2 et g : x 7→

√x, on va alors calculer lim

x→0g f(x).

limx→0

(3 + 1

x2

)= +∞

limX→+∞

√X = +∞

donc limx→0

√3 +

1

x2= +∞

en vertu du théorème de composition des limites.

8.2. THÉORÈMES SUR LES LIMITES 73

8.2.3 Théorèmes de comparaison

On sait que : On sait aussi que : Conclusion :

u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) limx→+∞

u(x) = l limn→+∞

f(x) = l

limx→+∞

v(x) = l (théorème des gendarmes)

u(x) ≤ f(x) limx→+∞

u(x) = +∞ limx→+∞

f(x) = +∞

f(x) ≤ v(x) limx→+∞

v(x) = −∞ limx→+∞

f(x) = −∞

Remarque. Dans ce tableau, on peut remplacer x→ +∞ par :

x→ −∞

x→ a

x→ a+

x→ a−

Démonstration. On va démontrer le théorème d'encadrement (dit des gendarmes ) et admettre

les théorèmes de majoration et minoration.

Soient u et v deux fonctions telles que limx→+∞

u(x) = limx→+∞

v(x) = l, et u(x) ≤ f(x) ≤ v(x).

On sait que :

• limx→+∞

u(x) = l signie que pour tout intervalle ouvert I contenant l, il existe x1 ∈ R tel

que ∀x > x1, u(x) ∈ I.

• limx→+∞

v(x) = l signie que pour tout intervalle ouvert I contenant l, il existe x2 ∈ R tel

que ∀x > x2, v(x) ∈ I.

Notons I =]a; b[ un intervalle ouvert contenant l, et dans ce cas x0 = maxx1;x2 où x1 est

tel que ∀x > x1, u(x) ∈ I et x2 est tel que ∀x > x2, v(x) ∈ I. Alors : ∀x ≥ x0, on a :

a < u(x) < f(x) < v(x) < b, d'où : f(x) ∈ I =]a; b[.

On vient de prouver que : ∀I =]a; b[|l ∈ I, ∃x0 ∈ R|∀x > x0, f(x) ∈ I.

Par dénition de la limite nie : limn→+∞

f(x) = l.

Exemple. On va calculer limx→+∞

x+cos(x)2x+1 .

On sait que : ∀x ∈ R, −1 ≤ cos(x) ≤ 1, donc x− 1 ≤ x+ cos(x) ≤ x+ 1, d'où :

x−12x+1 ≤

x+cos(x)2x+1 ≤ x+1

2x+1 en considérant x > −12 .

De plus : limx→+∞

x−12x+1 = lim

x→+∞x+12x+1 = 1

2 .

D'après le théorème d'encadrement, limx→+∞

x+cos(x)2x+1 = 1

2 .


8.3 Limites particulières de fonctions

Théorème.

• limx→+∞

ex

x = +∞

• limx→−∞

xex = 0− ou limx→+∞

xe−x = 0+

Démonstration.

• On considère la fonction f : x 7→ ex − x2, dénie, continue et deux fois dérivable sur R en

tant que somme de fonctions dénies, continues et deux fois dérivables.

On a : ∀x ∈ R, f ′(x) = ex − 2x et f ′′(x) = ex − 2. Si x ≥ 3, on a alors : ex ≥ e3 ≥ 2, donc

f ′′(x) ≥ 0 sur [3; +∞[. f ′ est alors croissante sur [3; +∞[, et comme f ′(3) = e3− 6 > 0, on

a : ∀x ≥ 3, f ′(x) ≥ 0. f est alors croissante sur [3; +∞[, et comme f(3) = e3− 9 > 0 d'où :

ex − x2 > 0 et donc : ex > x2.

On en tire : ∀x ≥ 3, ex

x > x. D'après le théorème de minoration, comme limx→+∞

x = +∞ on

en tire : limx→+∞

ex

x = +∞.

• En posant X = −x, on a : xex = −Xe−X = −XeX

= −1eX

X

. D'après le point précédent :

limX→+∞

eX

X = +∞, donc par quotient : limX→+∞

−1eX

X

= 0−. On peut le réécrire ainsi :

limx→−∞

xex = 0−.

Remarque. Ces résultats se généralisent plus largement ainsi : limx→+∞

ex

xn = +∞ et

limx→+∞

xne−x = 0+ pour tout n ∈ N.

8.4 Généralisation du théorème des valeurs intermédiaires

Le résultat, valable sur un intervalle fermé [a; b], est étendu aux intervalles ouverts :

Théorème. Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ]a; b[ où

a ∈ R ∪ −∞ et b ∈ R ∪ +∞.

On suppose que f admet en a et en b des limites nies ou innies.

Pour tout nombre réel k compris entre limx→a

f(x) et limx→b

f(x), l'équation f(x) = k admet une

unique solution dans ]a; b[.

Démonstration. On admet ce résultat.

Chapitre 9

Le logarithme népérien

9.1 La fonction logarithme népérien

On rappelle que la fonction exponentielle est une fonction continue et strictement croissante

sur R, que : ∀x ∈ R, ex > 0, que limx→−∞

ex = 0+ et que : limx→+∞

ex = +∞.

On a ainsi le tableau de variations suivant :

x

Variations

de ex

−∞ +∞

0+0+

+∞+∞

a

k

En application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires généralisé, pour tout

nombre réel strictement positif k, l'équation ea = k admet une unique solution dans R.

Dénition. On appelle logarithme népérien du nombre réel strictement positif k, l'unique

solution de l'équation d'inconnue a : ea = k. On note cette solution ln(k) qui se lit logarithme

népérien de k .

Dénition. La fonction logarithme népérien est la fonction qui, à tout nombre réel stricte-

ment positif x, associe ln(x).

Ainsi : y = ln(x) et x > 0 équivaut à : ey = x.

75

76 CHAPITRE 9. LE LOGARITHME NÉPÉRIEN

On dit que la fonction ln est la fonc-

tion réciproque de la fonction expo-

nentielle.

Les courbes représentatives des fonc-

tions ln et exponentielle sont symé-

triques par rapport à la droite d'équa-

tion y = x.

Propriétés.

1. La fonction ln est dénie et continue sur ]0; +∞[.

2. ∀x ∈ R, ln(exp(x)) = x.

3. ∀x ∈ R∗+, exp(ln(x)) = x.

4. ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

5. La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ et ln′(x) = 1x .

6. La fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[.

7. 0 < x < 1⇐⇒ ln(x) < 0 et x > 1⇐⇒ ln(x) > 0.

8. ∀a, b ∈]0; +∞[ : a = b⇐⇒ ln(a) = ln(b) et a < b⇐⇒ ln(a) < ln(b).

Démonstration.

4. ln(1) = ln(e0) = 0 et ln(1) = ln(e1) = 1 d'après la propriété 2.

5. Soit a ∈]0; +∞[. On a :

limx→a

ln(x)− ln(a)

x− a= limx→a

ln(x)− ln(a)

eln(x) − eln(a)= limx→a

1eln(x)−eln(a)

ln(x)−ln(a)

Or limx→a

ln(x) = ln(a) car la fonction logarithme népérien est continue sur R∗+.

En posant X = ln(x), on a : limX→ln(a)

X−ln(a)eX−eln(a)

= eln(a) (dénition du nombre dérivé de la

fonction exponentielle en ln(a)).

D'après le théorème de composition des limites, limx→a

eln(x)−eln(a)

ln(x)−ln(a) = eln(a), donc :

limx→a

ln(x)−ln(a)x−a = 1

eln(a) = 1a .

Cela démontre que la fonction ln est dérivable pour tout nombre réel x ∈]0; +∞[ et :

ln′(x) = 1x .

9.2. RELATION FONCTIONNELLE 77

6. Comme ∀x ∈]0; +∞[, 1x > 0, la fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[.

7. Application directe de la stricte croissance de la fonction ln.

8. Idem.

9.2 Relation fonctionnelle

Théorème. ∀a, b ∈ R∗+, ln(a× b) = ln(a) + ln(b).

Démonstration. eln(a×b) = a× b et eln(a)+ln(b) = eln(a) × eln(b) = a× b.

Donc : eln(a×b) = eln(a)+ln(b), d'où : ln(a× b) = ln(a) + ln(b).

Exemples.

• ln(15) = ln(3× 5) = ln(3) + ln(5).

• ln(10)− ln(14) = ln(2× 5)− ln(2× 7) = ln(2) + ln(5)− ln(2)− ln(7) = ln(5)− ln(7).

Vocabulaire. Logarithme vient du grec λoγoς (rapport, relation) et αριθµετικoς (nombres).

Propriétés.

1. ∀n ∈ N, ∀a ∈ R∗+, ln(an) = n ln(a).

2. ∀b ∈ R∗+, ln(

1b

)= − ln(b).

3. ∀a ∈ R∗+, ∀b ∈ R∗+, ln(ab

)= ln(a)− ln(b).

4. ∀n ∈ N, ∀a ∈ R∗+, ln(a−n) = −n ln(a).

5. ∀a ∈ R∗+, ln(√a) = 1

2 ln(a).

Démonstration.

1. On démontre par récurrence la propriété : ∀n ∈ N, ln(an) = n× ln(a).

• Initialisation : ln(a0) = ln(1) = 0 et 0 ln(a) = 0.

• Hérédité : On suppose qu'il existe k ∈ N tel que ln(ak) = k ln(a). On va démontrer

que : ln(ak+1) = (k + 1) ln(a).


ln(ak+1) = ln(a× ak)

= ln(a) + ln(ak) (relation fonctionnelle)

= ln(a) + k ln(a) (hypothèse de récurrence)

= (1 + k) ln(a)

Donc la propriété est vraie au rang (k + 1).

• Conclusion : ∀nN, ln(an) = n× ln(a).

2. 0 = ln(1) = ln(b× 1b ) = ln(b) + ln( 1

b ) donc : ln( 1b ) = − ln(b).

3. ln(ab ) = ln(a× 1b ) = ln(a) + ln( 1

b ) = ln(a)− ln(b).

4. ln(a−n) = ln( 1an ) = − ln(an) = −n ln(a).

5. 2 ln(√a) = ln((

√a)2) = ln(a) donc : ln(

√a) = 1

2 ln(a).

9.3 Étude des limites autour du logarithme

9.3.1 Limites de la fonction logarithme

Propriétés.

limx→+∞

ln(x) = +∞ et limx→0+

ln(x) = −∞

Démonstration. Soit A > 0. On a alors :

ln(x) > A⇔ eln(x) > eA

⇔ x > eA

On en tire : ∀A > 0, ∃x0 ∈ R|∀x > x0, ln(x) > A.

On a bien démontré : limx→+∞

ln(x) = +∞.

Par ailleurs, on a : ∀x ∈ R∗+ : − ln(

1x

)= ln(x).

Or limx→0+

1x = +∞ et lim

X→+∞ln(X) = +∞ donc par composition : lim

x→0+ln(

1x

)= +∞.

Or : limx→0+

ln(x) = limx→0+

(−1)× ln(

1x

)= −∞.

9.4. COMPOSÉES DU LOGARITHME 79

9.3.2 Limites liées à la fonction logarithme

Propriétés.

limh→0

ln(1 + h)

h= 1 et lim

x→+∞

ln(x)

x= 0+

Démonstration. La fonction ln est dérivable en 1. En ce point, le nombre dérivé est 1, donc

limh→0

ln(1+h)−ln(1)h = 1.

On en conclut : limh→0

ln(1+h)h = 1.

Par ailleurs, ln(x)x = ln(x)

eln(x) = 1eln(x)

ln(x)

.

Or : limx→+∞

ln(x) = +∞ et limX→+∞

eX

X = +∞ donc, par composition : limx→+∞

eln(x)

ln(x) = +∞.

On en tire : limx→+∞

ln(x)x = lim

x→+∞1

eln(x)

ln(x)

= 0+.

9.4 Composées du logarithme

9.4.1 Fonctions composées du logarithme

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un invervalle I.

On considère la fonction dénie sur I par : x 7→ ln(u(x)). On la note également : ln(u).

Propriété. La fonction ln(u) est dénie et dérivable sur I et : ∀x ∈ I, (ln(u))′(x) = u′(x)u(x) .

Démonstration. ln est dérivable sur R∗+ et u est dérivable sur I donc ln(u) l'est aussi, et : ∀x ∈ I,

(ln u)′(x) = u′(x)× (ln)′(u(x)) = u′(x)× 1u(x) = u′(x)

u(x) .

Exemple. Soit g : x 7→ ln(2x2 +1) dénie sur R. D'après ce qui précède : ∀x ∈ R, g′(x) = 4x2x2+1 .

9.4.2 Le logarithme décimal

Dénition. On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log dénie sur ]0; +∞[

par :

log(x) =ln(x)

ln(10)

Conséquence. log(10n) = ln(10n)ln(10) = n ln(10)

ln(10) = n, pour tout nombre entier naturel n.


Propriétés.

1. log(10) = 1 et log(1) = 0.

2. La fonction log est dénie et dérivable sur R∗+.

3. La fonction log est strictement croissante sur R∗+.

4. ∀a, b ∈ R∗+, ∀n ∈ N :

• log(a× b) = log(a) + log(b) ;

• log(ab

)= log(a)− log(b) ;

• log(an) = n log(a).

Démonstration. Trivial.

Exemples. Exemples d'utilisation du logarithme décimal.

• En chimie, le caractère acido-basique d'une solution est exprimé au moyen de l'indicateur

appelé pH, qui est déni ainsi : pH = − log[H3O+], où [H3O

+] est exprimé en mol.L−1.

• En géologie, l'échelle de RICHTER calcule la magnitude d'un tremblement de terre, à

partir de la formule : R = log(II0

), I désignant l'intensité du tremblement de terre et I0

une intensité minimale.

• En physique acoustique, la puissance d'un son est donnée en décibels par 10 log(II0

), I0

étant l'intensité la plus faible perceptible par l'oreille humaine.

• En nance, la loi de BENFORD (loi d'observation numérique) est utilisée pour détecter

des fraudes scales par exemple. Elle repose sur l'utilisation du logarithme.

Chapitre 10

Géométrie spatiale

10.1 Droites et plans de l'espace


Dénitions.

• Deux droites de l'espace sont parallèles si elles sont coplanaires sans aucun point commun

(strictement parallèles), ou si elles sont confondues.

• Deux plans de l'espace sont parallèles s'ils n'ont aucun point commun (strictement paral-

lèles) ou s'ils sont confondus.

• Une droite de l'espace est parallèle à un plan si elle n'a pas de point commun avec le plan

(strictement parallèle) ou si elle est incluse dans ce plan.

Propriété. Si une droite d est parallèle à une droite d′ d'un plan P, alors la droite d est parallèle

au plan P.

Démonstration. Si d est incluse dans P, alors elle est parallèle à P.

Dans le cas contraire, d et d′ étant parallèles, elles dénissent un plan P ′ distinct de P. La

droite d′ étant incluse dans P et dans P ′, c'est l'intersection de ces deux plans. Si d coupait

le plan P en un point A, alors A serait contenu dans d′, donc d et d′ seraient sécantes, ce qui

contredirait l'hypothèse initiale. Donc d est parallèle à P.

Propriété. Si deux plans P et P ′ sont strictement parallèles, alors tout plan Q qui coupe le plan

P coupe aussi le plan P ′ et les droites d'intersection sont parallèles entre elles.

81

82 CHAPITRE 10. GÉOMÉTRIE SPATIALE

Démonstration. Soit Q un plan sécant avec P, et d leur droite d'intersection. Supposons que

P ′ et Q ne soient pas sécants, alors ils sont strictement parallèles. Or le seul plan strictement

parallèle à P ′ passant par d est le plan P, donc P et P ′ sont confondus, ce qui est absurde.

Q et P ′ sont donc sécants en une droite d′. d et d′ appartiennent au même plan Q, et n'ont

aucun point commun sinon celui-ci appartiendrait à P et P ′ à la fois, ce qui est exclu.

Donc d et d′ sont strictement parallèles.

Théorème. Théorème du toit.

Soient P et P ′ deux plans sécants. Si une droite d de P est parallèle à une droite d′ de P ′,

alors ces deux droites sont parallèles à la droite d'intersection ∆ de P et P ′.

Démonstration. Traitée plus tard.

Propriété. Si un plan P contient deux droites sécantes d et d′ qui sont toutes deux parallèles à

un plan P ′, alors P et P ′ sont parallèles.

Démonstration. Si P et P ′ sont confondus, ils sont a fortiori parallèles.

S'ils ne sont pas confondus, d est parallèle à P ′ et incluse dans P. Si P et P ′ étaient sécants

en une droite ∆, alors d serait parallèle à ∆ en vertu du théorème du toit. De même, d′ serait

parallèle à ∆ donc d et d′ seraient parallèles entre elles, ce qui est absurde !

Donc P et P ′ sont parallèles.

Corollaire. Si deux droites sécantes d'un plan P sont respectivement parallèles à deux droites

sécantes d'un plan P ′, alors P et P ′ sont parallèles entre eux.

10.1.2 Orthogonalité dans l'espace

Dénition. Deux droites d et d′ sont orthogonales s'il existe une droite ∆ parallèle à d et une

droite ∆′ parallèle à d′ telles que ∆ et ∆′ sont coplanaires et perpendiculaires.

Propriété. Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'une est orthogonale

à l'autre.

Démonstration. Trivial (un peu laborieux à écrire).

Dénition. Une droite d est perpendiculaire à un plan P si elle est orthogonale à deux droites

sécantes de P.

10.1. DROITES ET PLANS DE L'ESPACE 83

Théorème. Si une droite d est perpendiculaire à un plan P, elle est orthogonale à toutes les

droites de ce plan.

Démonstration. Trivial (un peu laborieux à écrire).

Propriétés.

• Il existe une unique droite d passant par un point A et perpendiculaire à un plan P donné.

• Il existe un unique plan P passant par un point A et perpendiculaire à une droite d donnée.

• Si deux droites d et d′ sont parallèles, alors tout plan P perpendiculaire à d est aussi

perpendiculaire à d′.

• Si deux droites d et d′ sont perpendiculaires à un même plan P, alors elles sont parallèles

entre elles.

• Si deux plans P et P ′ sont parallèles, alors toute droite d perpendiculaire à P l'est à P ′.

Démonstration.

• Admis.

• Admis.

• Toute droite ∆ de P est orthogonale à d, donc orthogonale à d′, donc d′ est perpendiculaire

à P.

• Soit A le point d'intersection de d′ et P. La parallèle à d passant par A est perpendiculaire

à P d'après le point précédent, et d'après le premier point il s'agit de d′ (par unicité).

• Soit ∆′ une droite quelconque de P ′ et A le point d'intersection de P et d. Le plan Q, déni

par ∆′ et A, coupe P selon ∆ parallèle à ∆′ passant par A. Comme d est perpendiculaire à

P et ∆ est incluse dans P, d est orthogonale à ∆ donc aussi à ∆′ : d est donc orthogonale

à toute droite de P ′, cela prouve bien que d est orthogonale à P ′.

Dénition. Le plan médiateur P d'un segment [AB] est le plan passant par le milieu I du

segment et perpendiculaire à la droite (AB).

Propriété. Le plan médiateur de [AB] est l'ensemble des points équidistants de A et de B.

Démonstration. Admis.


10.2 Géométrie vectorielle dans l'espace

10.2.1 Vecteurs de l'espace

De la même manière qu'on les dénit dans le plan (repéré ou non), les vecteurs de l'espace

sont dénis dans l'espace.

Propriétés.

• Deux vecteurs non nuls ~u et ~v sont colinéaires si et seulement si ~v = k~u, où k est un

nombre réel. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.

• Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs−−→AB et

−→AC sont colinéaires.

• Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs−−→AB et

−−→CD sont

colinéaires.

10.2.2 Caractérisation vectorielle des droites et plans de l'espace

Propriété. Soient A et B deux points distincts de l'espace.

Un point M appartient à la droite (AB) si et seulement si il existe un nombre réel x tel que−−→AM = x

−−→AB.

Démonstration. C'est une application de la dénition de la colinéarité de deux vecteurs.

Une droite peut ainsi être dénie par la donnée d'un point et d'un vecteur, appelé vecteur

directeur. Une droite admet une innité de vecteurs directeurs, tous colinéaires deux à deux.

Propriété. Soient A, B et C trois points non alignés de l'espace.

Un point M appartient au plan (ABC) si et seulement si il existe deux nombres réels x et y

tels que−−→AM = x

−−→AB + y

−→AC.

Démonstration. Comme−−→AB et

−→AC ne sont pas colinéaires, pour tout point M appartenant à

(ABC) il existe x et y tels que :−−→AM = x~u+ y~v.

Réciproquement, soient x et y deux réels et M le point déni par−−→AM = x~u + y~v. Le point

R déni par−→AR = x~u appartient à la droite (AB), donc au plan (ABC). Comme

−−→RM = y~v, M

appartient à la droite parallèle à (AC) passant par R : celle-ci est incluse dans (ABC), donc M

appartient à (ABC).

Un plan peut ainsi être déni par la donnée d'un point et de deux vecteurs, appelés vecteurs

directeurs du plan.

Deux plans dirigés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles.

10.2. GÉOMÉTRIE VECTORIELLE DANS L'ESPACE 85

10.2.3 Repères de l'espace

Propriété. Soient ~i, ~j et ~k trois vecteurs non coplanaires.

Pour tout vecteur ~u, il existe un unique triplet (x; y; z) de nombres réels tels que :

~u = x~i+ y~j + z~k

Démonstration.

• Existence : Soient O et A deux points tels que ~u =−→OA. Comme ~k n'est pas coplanaire

avec ~i et ~j, la droite ∆ passant par A et de vecteur directeur ~k coupe le plan P passant

par O et dirigé par ~i et ~j en un point S.−→OS est un vecteur du plan P, il existe donc deux réels x et y tels que

−→OS = x~i+ y~j. A et

S sont deux points de ∆, donc il existe un nombre réel z tel que−→SA = z~k et

~u =−→OS +

−→SA = x~i+ y~j + z~k.

• Unicité : Soient ~u = x~i+ y~j + z~k = x′~i+ y′~j + z′~k.

Alors on a : (x− x′)~i+ (y− y′)~j + (z− z′)~k =−→0 . Or ~i, ~j et ~k ne sont pas coplanaires donc

x = x′, y = y′ et z = z′.

Cela nous conduit aux dénitions suivantes :

Dénitions.

• Un repère de l'espace est un quadruplet (O;~i,~j,~k) dans lequel O est un point appelé

origine, et ~i, ~j et ~k sont trois vecteurs non coplanaires.

• Si ~i =−→OI, ~j =

−→OJ et ~k =

−−→OK, alors le repère (O;~i,~j,~k) est dit orthonormé si les droites

(OI), (OJ) et (OK) sont deux à deux perpendiculaires et si OI = OJ = OK = 1.

• Les réels x, y et z tels que ~u = x~i+ y~j + z~k sont les coordonnées du vecteur ~u.

• Soit M un point de l'espace. Les coordonnées de M dans le repère (O;~i,~j,~k) sont celles du

vecteur−−→OM : x est l'abscisse, y est l'ordonnée et z la cote de M .

Propriétés. Soient ~u

x

y

z

et ~v

x′

y′

z′

deux vecteurs dans un repère (O;~i,~j,~k) de l'espace.

• ~u = ~v équivaut à x = x′, y = y′ et z = z′.

• ~u+ ~v a pour coordonnées

x+ x′

y + y′

z + z′

.


• Si α est un nombre réel, alors α~u a pour coordonnées

αx

αy

αz

.

Démonstration.

•

~u = ~v ⇐⇒ ~u− ~v = ~0

⇐⇒ (x− x′)~i+ (y − y′)~j + (z − z′)~k = ~0

⇐⇒ x− x′ = 0 et y − y′ = 0 et z − z′ = 0

⇐⇒ x = x′ et y = y′ et z = z′

• ~u+ ~v = (x+ x′)~i+ (y + y′)~j + (z + z′)~k d'où le résultat.

• α~u = α(x~i+ y~j + z~k) = (αx)~i+ (αy)~j + (αz)~k d'où le résultat.

Propriétés. Soient A(xA; yA; zA) et B(xB ; yB ; zB) deux points de l'espace repéré par (O;~i,~j,~k).

•−−→AB a pour coordonnées

xB − xAyB − yAzB − zA

.

• Le milieu I de [AB] a pour coordonnées(xA+xB

2 ; yA+yB2 ; zA+zB

2

).

• Si (O;~i,~j,~k) est orthonormé, alors AB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2.

Démonstration.

• Comme−−→AB =

−→AO +

−−→OB et

−→AO = −

−→OA

−xA−yA−zA

et−−→OB

xB

yB

zB

, le résultat est immédiat.

• Le résultat découle du fait que−→OA+

−−→OB = 2

−→OI.

• Admis.

10.3. REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES 87

10.3 Représentations paramétriques

10.3.1 Représentation paramétrique d'une droite

Propriété. Soit d la droite passant par A(xA; yA; zA) et de vecteur directeur ~u

a

b

c

.

Un point M de coordonnées (x; y; z) appartient à d si et seulement si il existe t ∈ R tel que :x = xA + ta

y = yA + tb

z = zA + tc

Démonstration. Soit M(x; y; z), alors−−→AM a pour coordonnées

x− xAy − yAz − zA

.

M appartient à d si et seulement s'il existe t ∈ R tel que−−→AM = t~u donc si et seulement s'il

existe t ∈ R tel que :

x− xA = ta

y − yA = tb

z − zA = tc

Propriété. Soient x0, y0 et z0, a, b et c des nombres réels tels que (a; b; c) 6= (0; 0; 0).

Le système d'équations

x = x0 + ta

y = y0 + tb

z = z0 + tc

avec t ∈ R dénit une représentation paramétrique

de la droite d passant par A(x0; y0; z0) et de vecteur directeur ~u

a

b

c

. Le nombre t est appelé

paramètre de M .

10.3.2 Représentation paramétrique d'un plan

Propriété. Soit P le plan passant par A(xA; yA; zA) et de vecteurs directeurs ~u

a

b

c

et ~v

a′

b′

c′

.

Un point M de coordonnées (x; y; z) appartient à P si et seulement si il existe (t; t′) ∈ R2 tel


que :

x = xA + ta+ t′a′

y = yA + tb+ t′b′

z = zA + tc+ t′b′

Démonstration. Soit M(x; y; z), alors−−→AM a pour coordonnées

x− xAy − yAz − zA

.

M appartient à P si et seulement s'il existe (t; t′) ∈ R2 tel que−−→AM = t~u + t′~v donc si et

seulement s'il existe (t; t′) ∈ R2 tel que :

x− xA = ta+ t′a′

y − yA = tb+ t′b′

z − zA = tc+ t′c′

Propriété. Soient x0, y0 et z0, a, b et c, a′, b′ et c′ des nombres réels tels que a, b et c ne sont

pas proportionnels à a′, b′ et c′.

Le système d'équations

x = x0 + ta+ t′a′

y = y0 + tb+ t′b′

z = z0 + tc+ t′c′

avec (t; t′) ∈ R2 dénit une représentation

paramétrique du plan P passant par A(x0; y0; z0) et de vecteurs directeurs ~u

a

b

c

et ~v

a′

b′

c′

.

Le couple (t; t′) est appelé couple de paramètres de M .

Chapitre 11

Calcul intégral

11.1 Intégrale d'une fonction positive


On dira qu'une fonction f est positive sur un intervalle I si : ∀x ∈ I, f(x) ≥ 0.

Dénitions.

• Dans un repère orthogonal (O; I; J), on appelle unité d'aire l'aire du rectangle de côtés

[OI] et [OJ ].

• Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I, a et b deux nombres de I tels

que a ≤ b, et Cf la courbe représentative de f .

On appelle intégrale de f entre a et b l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface

délimitée par Cf et les droites d'équations y = 0, x = a et x = b.

On appelle cette aire l'aire sous la courbe de f entre a et b .

Cette intégrale est notée∫ b

a

f(x) dx et se lit intégrale de a à b de f .

a est la borne inférieure de cette intégrale et b sa borne supérieure.

Notation. Dans l'intégrale∫ b

a

f(x) dx, la variable x, appelée variable d'intégration, peut être

remplacée par toute autre variable (elle est dite muette ). Ainsi :∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(y) dy =

∫ b

a

f(t) dt = . . .

89

90 CHAPITRE 11. CALCUL INTÉGRAL

Exemple.

La fonction f : t 7→ t est dénie et continue sur [0; 1]. Alors l'intégrale

de f entre 0 et 1, notée∫ 1

0

f(t) dt, est l'aire du triangle OIK, où I(1; 0)

et K(1; 1). On a alors :∫ 1

0

f(t) dt = 0.5.

11.1.2 Encadrement de l'intégrale d'une fonction positive

Pour déterminer une approximation de l'intégrale d'une

fonction continue, strictement croissante et positive sur

un intervalle [a; b], on peut partager l'intervalle [a; b] en n

sous-intervalles de même amplitude h = b−an .

Sur chacun de ces intervalles, notés [xk;xk+1], l'aire sous

la courbe Cf est encadrée par deux rectangles, l'un de hau-

teur f(xk) et de base h, l'autre de hauteur f(xk+1) et de

base h.

Ainsi, on peut alors écrire :

h× f(xk) ≤∫ xk+1

xk

f(x) dx ≤ h× f(xk+1)

Ainsi, l'intégrale de f entre a et b est encadrée par la somme des aires des n rectangles

inférieurs et par la somme des aires des n rectangles supérieurs :

h×n∑k=0

f(xk) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤ h×n∑k=0

f(xk+1)

On peut donner cet encadrement grâce à l'algorithme suivant, dans lequel a et b désignent

les bornes de l'intégrale, n le nombre de subdivisions, x la borne inférieure des sous-intervalles,

u la somme des aires des rectangles inférieurs et v la somme des aires des rectangles supérieurs

(valeurs actualisées à chaque itération).

11.2. PRIMITIVES D'UNE FONCTION CONTINUE 91

Variables a, b, n, k, x, h, u et v sont des nombres

f est une fonction

Initialisation Lire a

Lire b

Lire n

Traitement h prend la valeur b−an

x prend la valeur a

u prend la valeur 0

v prend la valeur 0

Pour k variant de 1 à n

| u prend la valeur u+ h× f(x)

| x prend la valeur x+ h

| v prend la valeur v + h× f(x)

Fin Pour

Sortie Acher u et v

Remarque. Un raisonnement analogue peut être conduit pour une fonction strictement décrois-

sante.

11.2 Primitives d'une fonction continue

11.2.1 Le théorème fondamental

Théorème. Théorème fondamental de l'analyse

Si f est une fonction continue et positive sur [a; b], alors la fonction F dénie sur [a; b] par :

F : x 7→∫ x

a

f(t) dt est dérivable sur [a; b] et a pour dérivée f .

On a ainsi : ∀x ∈ [a; b], F ′(x) = f(x).

De plus, si G est une fonction dérivable sur [a; b] telle que G′(x) = f(x), alors la fonction

(F −G) est constante.

Démonstration. On se place dans le cas où f est strictement croissante et positive sur [a; b].


Soient x et x+ h deux nombres réels de [a; b] avec h > 0.

Alors F (x) =

∫ x

a

f(t) dt désigne l'aire sous la courbe Cf entre a et

x, et F (x + h) =

∫ x+h

a

f(t) dt l'aire sous la courbe Cf entre a et

x+ h.

Ainsi, F (x + h) − F (x) désigne l'aire sous la courbe Cf entre x

et x + h. Comme vu précédemment, cette aire est comprise entre

h× f(x) et h× f(x+ h).

Par croissance de f , on a donc : h× f(x) ≤ F (x+ h)− F (x) ≤ h× f(x+ h).

Comme h > 0 : f(x) ≤ F (x+h)−F (x)h ≤ f(x+ h).

Or f est continue sur [a; b] donc : limh→0

f(x+ h) = f(x) donc, d'après le théorème d'encadre-

ment : limh→0

F (x+h)−F (x)h = f(x).

En reproduisant le même travail avec h < 0, on conclut que F est dérivable en tout x ∈ [a; b]

et F ′(x) = f(x).

Si G est une fonction dérivable sur [a; b] telle que G′(x) = f(x), alors :

∀x ∈ [a; b], F ′(x)−G′(x) = 0, donc F −G est constante sur [a; b].

11.2.2 Primitives

Dénition. Soit f une fonction continue sur un intervalle I.

On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I dont la dérivée est égale

à f . On a donc : ∀x ∈ I, F ′(x) = f(x).

Remarque. Le théorème fondamental de l'analyse nous donne l'existence d'une primitive pour

toute fonction f continue et positive sur un intervalle [a; b] : la fonction F : x 7→∫ x

a

f(t) dt.

On généralise ce théorème dans le résultat suivant :

Théorème. Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives.

Démonstration. Démontrons ce théorème dans le cas où I = [a; b] et où f admet un minimum

m.

Soit g : x 7→ f(x)−m dénie sur I. Cette fonction est continue et positive sur I, donc, d'après

le théorème précédent, elle y admet une primitive G.

On dénit alors F : x 7→ G(x) +mx, qui est continue et dérivable sur I, et :

F ′(x) = g(x) +m = f(x), donc F est bien une primitive de f sur I.

Propriétés. Soit f une fonction continue sur un intervalle I.

11.3. RECHERCHE DE PRIMITIVES 93

• Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sont les fonctions F (x)+k

où k ∈ R.

• Soit x0 ∈ I. Il existe une unique primitive de f qui s'annule en x0 : il s'agit de

F : x 7→∫ x

x0

f(t) dt

Démonstration.

• Soit k ∈ R et G : x 7→ F (x) + k dénie sur I. Il est évident que G′(x) = F ′(x) = f(x),

donc G est une primitive de f sur I.

Si F1 et F2 sont deux primitives diérentes de f sur I, alors (F2−F1)′ = F ′2−F ′1 = f−f = 0

donc (F2 − F1) est constante et donc F2(x) = F1(x) + k où k ∈ R.

• Il est évident que si F (x) =

∫ x

x0

f(t) dt, F (x0) = 0, et d'après le théorème fondamental de

l'analyse, F est une primitive de f . L'unicité est triviale.

11.3 Recherche de primitives

11.3.1 Primitives des fonctions usuelles

Le tableau des primitives usuelles correspond à une lecture inverse du tableau des dérivées

usuelles :

Fonction f Une primitive F Intervalle de validité

x 7→ k (xé) x 7→ kx R

x 7→ xn (n ∈ Z, n 6= −1) x 7→ 1n+1x

n+1 R si n ≥ 0, R∗− ou R∗+ si n < 0

x 7→ 1x2 x 7→ −1

x R∗− ou R∗+x 7→ ex x 7→ ex R

x 7→ 1√x

x 7→ 2√x R∗+

x 7→ cos(x) x 7→ sin(x) R

x 7→ sin(x) x 7→ − cos(x) R

x 7→ cos(ax+ b) (a 6= 0) x 7→ 1a sin(ax+ b) R

x 7→ sin(ax+ b) (a 6= 0) x 7→ −1a cos(ax+ b) R


11.3.2 Opérations sur les primitives

De la même manière que sur les dérivées, quelques opérations permettent de calculer des

primitives remarquables.

u et v sont deux fonctions, U et V des primitives respectives de u et v, k est un nombre réel

xé et n un nombre entier xé.

Fonction f Une primitive F

k × u k × U

u+ v U + V

u′ × eu eu

u′ × un (n 6= −1) 1n+1u

n+1

u′√u

2√u

Démonstration. En dérivant chaque primitive proposée avec les formules de dérivation usuelles,

la validité du tableau est immédiatement démontrée.

Exemples.

• Une primitive de f : x 7→ x5 est F : x 7→ 16x

6.

• Une primitive de g : t 7→ 3t2et3

est F : t 7→ et3

.

Exemple. La fonction x 7→ e−x2

est continue sur R et y admet donc des primitives, mais on ne

peut pas déterminer de forme explicite de ces primitives.

11.4 Intégrale d'une fonction continue

11.4.1 Calcul de l'intégrale d'une fonction positive

Propriété. Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b].

Si F est une primitive de f , alors :∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a).

Démonstration. On sait que G : x 7→∫ x

a

f(t) dt est une primitive de f .

Si F est une primitive quelconque de f , il existe alors k ∈ R tel que F (x) = G(x) + k.

11.4. INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE 95

On en déduit alors que :

F (b)− F (a) = (G(b) + k)− (G(a) + k)

= G(b)−G(a)

=

∫ b

a

f(t) dt−∫ a

a

f(t) dt

=

∫ b

a

f(t) dt

Cette formule se généralise aux fonctions continues de signe quelconque sur un intervalle I

avec a et b deux nombres réels appartenant à I : on dénit ainsi l'intégrale d'une fonction de

signe quelconque, qui ne correspond plus à l'aire sous la courbe mais à un nombre réel pouvant

être positif ou négatif.

11.4.2 Généralisation de la notion d'intégrale

Dénition. Soient f une fonction continue sur un intervalle I, F une primitive de f , et a et b

deux nombres réels quelconques de I.

On appelle intégrale de f entre a et b la diérence F (b)− F (a). On la note∫ b

a

f(x) dx.

Propriétés. Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a, b et c trois nombres

réels de I et k un nombre réel quelconque. On a alors :

1.∫ a

a

f(x) dx = 0 ;

2.∫ a

b

f(x) dx = −∫ b

a

f(x) dx ;

3.∫ b

a

k × f(x) dx = k ×∫ b

a

f(x) dx ;

4.∫ b

a

(f(x) + g(x)) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx ;

5. Relation de CHASLES :∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx ;

6. Si a < b et si ∀x ∈ [a; b], f(x) ≥ 0, alors∫ b

a

f(x) dx ≥ 0 ;

7. Si ∀x ∈ [a; b], f(x) ≥ g(x), alors∫ b

a

f(x) dx ≥∫ b

a

g(x) dx.


Démonstration.

1.∫ a

a

f(x) dx = F (a)− F (a) = 0 ;

2.∫ a

b

f(x) dx = F (a)− F (b) = −(F (b)− F (a)) = −∫ b

a

f(x) dx ;

3.∫ b

a

k × f(x) dx = (kF )(b)− (kF )(a) = k(F (b)− F (a)) = k ×∫ b

a

f(x) dx ;

4.∫ b

a

(f(x) + g(x)) dx = F (b) +G(b)− F (a)−G(a) =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx ;

5.∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx = F (b)− F (a) + F (c)− F (b) = F (c)− F (a) =

∫ c

a

f(x) dx ;

6. Trivial d'après la dénition de l'intégrale d'une fonction positive ;

7. Si f(x) ≥ g(x), alors f(x)− g(x) ≥ 0 donc∫ b

a

(f(x)− g(x)) dx ≥ 0,

d'où :∫ b

a

f(x) dx−∫ b

a

g(x) dx ≥ 0 et enn :∫ b

a

f(x) dx ≥∫ b

a

g(x) dx.

11.5 Applications du calcul intégral

11.5.1 Calcul d'aires

Dans le cas où la fonction étudiée est positive, l'intégrale permet, par dénition, de calculer

l'aire sous la courbe de la fonction. En eet,∫ b

a

f(x) dx est égale, en unités d'aire, à l'aire sous

la courbe Cf entre a et b.

Plus généralement, l'intégrale d'une fonction de signe quelconque permet de calculer l'aire de

certaines surfaces délimitées par une ou deux courbes de fonctions.

Propriétés.

• Si f est continue et négative sur [a; b], alors l'aire (en unités d'aire) de la surface délimitée

par Cf et les droites d'équation y = 0, x = a et x = b est égale à −∫ b

a

f(x) dx.

•Si f et g sont deux fonctions continues positives sur [a; b] telles que

f(x) ≥ g(x), alors l'aire (en unités d'aire) de la surface délimitée

par Cf , Cg et les droites d'équation x = a et x = b est égale à∫ b

a

(f(x)− g(x)) dx.

11.5. APPLICATIONS DU CALCUL INTÉGRAL 97

11.5.2 Valeur moyenne d'une fonction

Dénition. Pour toute fonction f continue sur un intervalle [a; b], on appelle valeur moyenne

de f sur [a; b] le nombre réel m =1

b− a

∫ b

a

f(x) dx.

Remarque. On peut réécrire l'égalité ainsi : m×(b−a) =

∫ b

a

f(x) dx, ce qui revient à l'illustrer

par le schéma suivant :

Si f est strictement positive sur [a; b], m correspond à la hau-

teur du rectangle de base (b − a) telle que ce rectangle ait la

même aire que la surface délimitée par Cf et les droites d'équa-

tion y = 0, x = a et x = b.

Exemple. Soit f : x 7→ 6x dénie et continue sur [3; 6]. La valeur moyenne de f sur [3; 6] vaut

alors :

1

6− 3

∫ 6

3

6x dx =1

3

[3x2]63

=1

3(3× 62 − 3× 32) =

1

3(108− 27) =

81

3= 27

Remarque. En Mécanique, la vitesse moyenne d'un mobile lors d'un mouvement uniformément

accéléré entre les instants t1 et t2 est égale à la valeur moyenne de sa fonction vitesse :

1

t2 − t1

∫ t2

t1

v(t) dt

Chapitre 12

Les nombres complexes - Géométrie

polaire

12.1 Argument d'un nombre complexe

On considère toujours un nombre complexe z = a+ ib d'image M(a; b) dans le plan complexe

muni du repère (O; ~u,~v), comme représenté ci-dessous :

Dénition. Si z ∈ C∗, alors on appelle argument de z, noté arg(z) = ϑ, la mesure de l'angle

orienté(~u,−−→OM

), à 2kπ près.

99

100 CHAPITRE 12. LES NOMBRES COMPLEXES - GÉOMÉTRIE POLAIRE

Théorème. Si z = a+ ib est un nombre complexe d'image M(a; b) dans le plan complexe muni

du repère (O; ~u,~v), de module |z| =√a2 + b2 et d'argument ϑ, alors :

cos(ϑ) =a√

a2 + b2

sin(ϑ) =b√

a2 + b2

Démonstration. Supposons a > 0 et b > 0 (démonstration analogue dans les autres cas).

On note N le point projeté deM sur l'axe des abscisses. Alors le triangle ONM est rectangle

en N , et l'on peut y calculer les égalités trigonométriques, appliquées à l'angle NOM = ϑ :cos(ϑ) =

ON

OM=

a√a2 + b2

sin(ϑ) =NM

OM=

b√a2 + b2

Et l'on retrouve ce que l'on voulait.

12.2 Écriture trigonométrique d'un nombre complexe

Propriété. Si z = a + ib est un nombre complexe de module |z| et d'argument arg(z) = ϑ

(mod 2π), alors on peut écrire : z = |z| × (cos(ϑ) + i sin(ϑ)).

Cette écriture est appelée écriture trigonométrique d'un nombre complexe.

Démonstration.

|z| × (cos(θ) + i sin(θ)) =√a2 + b2 ×

(a√

a2 + b2+ i

b√a2 + b2

)= a+ ib = z

Exemple. Considérons le nombre complexe z = 1 + i.

On a alors : a = Re(z) = 1 et b = Im(z) = 1.

Son module est alors : |z| =√a2 + b2 =

√12 + 12 =

√2.

D'après le théorème, on a :cos(ϑ) =

1√2

=

√2

2

sin(ϑ) =1√2

=

√2

2Or l'angle ϑ qui vérie ceci est le suivant, d'après le cercle trigonométrique :

ϑ =π

4(mod 2π)

Ainsi, l'écriture trigonométrique de z est : z =√

2(

cos(π

4

)+ i sin

(π4

)).

12.3. ÉCRITURE EXPONENTIELLE D'UN NOMBRE COMPLEXE 101

12.3 Écriture exponentielle d'un nombre complexe

12.3.1 Propriétés de calcul

Si z1 et z2 sont deux nombres complexes non nuls et n ∈ N∗, alors on a les règles de calcul

suivantes :

Produit |z1 × z2| = |z1| × |z2| arg(z1 × z2) = arg(z1) + arg(z2) (mod 2π)

Puissance |zn1 | = |z1|n arg(zn1 ) = n× arg(z1) (mod 2π)

Inverse

∣∣∣∣ 1

z2

∣∣∣∣ =1

|z2|arg

(1

z2

)= − arg(z2) (mod 2π)

Quotient

∣∣∣∣z1

z2

∣∣∣∣ =|z1||z2|

arg

(z1

z2

)= arg(z1)− arg(z2) (mod 2π)

Démonstration. Soient z1, z2 ∈ C∗ et n ∈ N.

• Notons, sous forme trigonométrique :

z1 = |z1|(cos(ϑ1) + i sin(ϑ1)) et z2 = |z2|(cos(ϑ2) + i sin(ϑ2)).

Alors :

z1z2 = |z1||z2|(cos(ϑ1) + i sin(ϑ1))(cos(ϑ2) + i sin(ϑ2))

z1z2 = |z1||z2|(cos(ϑ1) cos(ϑ2)− sin(ϑ1) sin(ϑ2) + i(cos(ϑ1) sin(ϑ2) + cos(ϑ2) sin(ϑ1))

z1z2 = |z1||z2|(cos(ϑ1 + ϑ2) + i sin(ϑ1 + ϑ2)

z1z2 = R(cos(ϑ) + i sin(ϑ) avec R = |z1||z2| et ϑ = ϑ1 + ϑ2

On en tire : |z1z2| = |z1||z2| et arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) (mod 2π).

• On va démontrer cette par récurrence : ∀n ∈ N∗, |zn1 | = |z1|n et arg(zn1 ) = n arg(z1).

Initialisation : |z11 | = |z1| = |z1|1 et arg(z1

1) = 1× arg(z1) (mod 2π). Le cas de base est

démontré.

Hérédité : Soit k ∈ N∗ xé. Supposons que |zk1 | = |z1|k et arg(zk1 ) = k arg(z1) (mod 2π).

On veut démontrer que |zk+11 | = |z1|k+1 et que arg(zk+1

1 ) = (k + 1) arg(z1) (mod 2π).


On a donc :

|zk1 | = |z1|k ⇐⇒ |zk1 | × |z1| = |z1|k × |z1|

⇐⇒ |zk1 | × |z1| = |z1|k+1

⇐⇒ |zk1 × z1| = |z1|k+1 (propriété précédente)

⇐⇒ |zk+11 | = |z1|k+1

arg(zk1 ) = k arg(z1)⇐⇒ arg(zk1 ) + arg(z1) = k arg(z1) + arg(z1) (mod 2π)

⇐⇒ arg(zk1 ) + arg(z1) = (k + 1) arg(z1) (mod 2π)

⇐⇒ arg(zk1 × z1) = (k + 1) arg(z1) (mod 2π) (propriété précédente)

⇐⇒ arg(zk+11 ) = (k + 1) arg(z1) (mod 2π)

L'hérédité est démontrée.

Conclusion : ∀n ∈ N∗, |zn1 | = |z1|n et arg(zn1 ) = n arg(z1) (mod 2π).

• On a : ∣∣∣∣z2 ×1

z2

∣∣∣∣ = |1| ⇐⇒ |z2| ×∣∣∣∣ 1

z2

∣∣∣∣ = 1

⇐⇒∣∣∣∣ 1

z2

∣∣∣∣ =1

|z2|

On en tire :

∣∣∣∣z1

z2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣z1 ×1

z2

∣∣∣∣ = |z1| ×∣∣∣∣ 1

z2

∣∣∣∣ = |z1| ×1

|z2|=|z1||z2|

.

• On a :

arg

(z2 ×

1

z2

)= arg(z2) + arg

(1

z2

)(mod 2π)⇐⇒ arg(1) = arg(z2) + arg

(1

z2

)(mod 2π)

⇐⇒ 0 = arg(z2) + arg

(1

z2

)(mod 2π)

⇐⇒ − arg(z2) = arg

(1

z2

)(mod 2π)

On en tire : arg

(z1

z2

)= arg

(z1 ×

1

z2

)= arg(z1) + arg

(1

z2

)= arg(z1) − arg(z2)

(mod 2π).

12.3. ÉCRITURE EXPONENTIELLE D'UN NOMBRE COMPLEXE 103

12.3.2 La forme exponentielle

En s'intéressant à la fonction f : ϑ 7→ cos(ϑ) + i sin(ϑ), dénie pour tout ϑ ∈ R, on constate

que f(ϑ) est un nombre complexe de module 1 et d'argument ϑ (mod 2π).

On a de plus : ∀ϑ1, ϑ2 ∈ R, f(ϑ1) × f(ϑ2) a pour module 1 et pour argument ϑ1 + ϑ2

(mod 2π). On en tire : f(ϑ1)× f(ϑ2) = f(ϑ1 + ϑ2).

Comme f(0) = cos(0) + i sin(0) = 1, et que par dérivation (en admettant que l'on peut

l'étendre à C) on a : f ′(ϑ) = − sin(ϑ)+i cos(ϑ) = i(cos(ϑ)+i sin(ϑ)) = i×f(ϑ), on retrouve ainsi

des propriétés de la fonction exponentielle réelle, étendues à l'ensemble des nombres complexes.

Dénition. Si ϑ est un nombre réel, alors on note eiϑ = cos(ϑ) + i sin(ϑ). Il s'agit du nombre

complexe de module 1 et d'argument ϑ (mod 2π).

Conséquence. Le nombre complexe non nul z = |z|(cos(ϑ) + i sin(ϑ)) se note z = |z|eiϑ.

Exemples. On a les cas particuliers suivants :

• eiπ = cos(π) + i sin(π) = −1 ;

• eiπ2 = cos(π

2

)+ i sin

(π2

)= i ;

• e−iπ2 = cos(−π

2

)+ i sin

(−π2

)= −i ;

• eiπ6 = cos(π

6

)+ i sin

(π6

)=

√3

2+

1

2i.

Propriétés. À partir de la forme exponentielle, on peut retranscrire des propriétés déjà démon-

trées auparavant, pour tous ϑ1, ϑ2 ∈ R, n ∈ N∗ :

• eiϑ1 × eiϑ2 = ei(ϑ1+ϑ2) ;

• eiϑ1

eiϑ2= ei(ϑ1−ϑ2) ;

• (eiϑ1)n = einϑ1 ;

• eiϑ1 = e−iϑ1 .


12.4 Utilisation des nombres complexes en géométrie

12.4.1 Propriétés de base

Théorème. Si A, B, C et D sont quatre points du plan complexe,d'axes respectives zA, zB,

zC et zD tels que zA 6= zB et zC 6= zD, alors :

1. AB = |zB − zA| ;

2.(~u,−−→AB)

= arg(z−−→AB

) = arg(zB − zA) (mod 2π) ;

3.(−−→AB,

−−→CD

)= arg

(zD − zCzB − zA

)(mod 2π).

Démonstration.

1. Soit M le point du plan complexe tel que−−→OM =

−−→AB ; son axe est alors : zM = zB − zA,

donc : AB = OM = |zB − zA|.

2. En considérant toujours le même point M , on a :(~u,−−→AB)

=(~u,−−→OM

)= arg

(z−−→OM

)= arg(zB − zA) (mod 2π).

3.(−−→AB,

−−→CD

)=(−−→AB, ~u

)+(~u,−−→CD

)=(~u,−−→CD

)−(~u,−−→AB)

= arg(zD − zC)− arg(zB − zA)

= arg

(zD − zCzB − zA

)(mod 2π).

12.4.2 L'inégalité triangulaire

Théorème. L'inégalité triangulaire.

Si z1 et z2 sont deux nombres complexes, alors |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.

Démonstration. On admet ce théorème, qui peut s'interpréter grâce au schéma suivant :

12.5. LES FORMULES DE MOIVRE ET D'EULER (HORS PROGRAMME) 105

12.5 Les formules de MOIVRE et d'EULER (hors pro-

gramme)

12.5.1 La formule de MOIVRE

Théorème. Si ϑ ∈ R et n ∈ N∗, alors (cos(ϑ) + i sin(ϑ))n = cos(nϑ) + i sin(nϑ).

Démonstration. La formule est une réécriture de l'égalité : (eiϑ)n = einϑ.

12.5.2 Les formules d'EULER

Théorème. Si ϑ ∈ R, alors cos(ϑ) =eiϑ + e−iϑ

2et sin(ϑ) =

eiϑ − e−iϑ

2i.

Démonstration. Comme eiϑ = cos(ϑ) + i sin(ϑ), alors :

e−iϑ = cos(−ϑ) + i sin(−ϑ) = cos(ϑ)− i sin(ϑ), d'où :

eiϑ + e−iϑ = 2 cos(ϑ), donc : cos(ϑ) = eiϑ+e−iϑ

2 ;

eiϑ − e−iϑ = 2i sin(ϑ), donc : sin(ϑ) = eiϑ−e−iϑ

2i .

Chapitre 13

Lois de probabilité à densité

13.1 Généralités

13.1.1 Variable aléatoire à densité

Jusqu'à présent, les variables aléatoires étudiées ne pouvaient prendre qu'un nombre ni de

valeurs. On parlait alors de variable aléatoire discrète.

Nous allons maintenant nous intéresser à des variables aléatoires pouvant prendre en théorie

toute valeur d'un intervalle réel I. On parlera ici de variable aléatoire continue.

Dénition. On appelle fonction de densité de probabilité sur l'intervalle I toute fonction

f dénie, continue et positive sur I telle que l'intégrale sur I de f soit égale à 1 :∫I

f(t) dt = 1.

Dénition. Une variable aléatoire à densité X sur un intervalle I est dénie par la donnée

d'une fonction de densité de probabilité f dénie sur I. La probabilité pour que X appartienne

à un intervalle [a; b] inclus dans I est égale à l'aire sous la courbe Cf entre a et b. On la note

P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

a

f(t) dt.

Ainsi, le domaine compris entre Cf et l'axe des abscisses a pour aire totale P(X ∈ I) = 1.

Propriétés. Si a et b sont deux nombres réels de l'intervalle I tels que a < b, on a alors :

• P(a < X < b) = P(X < b)− P(X ≤ a) ;

• P(X = a) = 0 ;

• P(X < b) = P(X ≤ b) ;

• P(X > a) = P(X ≥ a) ;

107

108 CHAPITRE 13. LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ

• P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b).

Démonstration. Ces propriétés découlent des propriétés des intégrales.

13.1.2 Espérance mathématique

Dénition. Si X est une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur [a; b], alors

l'espérance mathématique de X est le nombre réel déni par : E(X) =

∫ b

a

tf(t) dt.

Remarque. Cette dénition est analogue à celle étudiée précédemment sur les lois de probabilité

discrètes : somme des produits des valeurs prises par la variable, multipliées par les probabilités

de ces valeurs.

13.2 Loi uniforme sur [a; b]

Dénition. Si a et b sont deux nombres réels tels que a < b, alors la loi uniforme sur [a; b] est

la loi ayant pour densité de probabilité la fonction constante f dénie sur [a; b] par : f(t) =1

b− a.

Propriétés. Si X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b], alors :

• Pour tout réel x ∈ [a; b], on a : P(a ≤ X ≤ x) =x− ab− a

.

• E(X) =a+ b

2.

Démonstration.

• L'aire sous la courbe Cf de la fonction de densité de la loi uniforme entre a et x est celle

d'un rectangle, de côtés1

b− aet x− a ; elle vaut donc : 1

b− a× (x− a) =

x− ab− a

.

• D'après la formule de l'espérance, on a :

E(X) =

∫ b

a

tf(t) dt

⇐⇒E(X) =

∫ b

a

t× 1

b− adt

⇐⇒E(X) =1

b− a

∫ b

a

t dt

13.3. LOI EXPONENTIELLE 109

Or une primitive de g(t) = t est G(t) =t2

2, donc :

E(X) =1

b− a× (G(b)−G(a))

⇐⇒E(X) =1

b− a×(b2

2− a2

2

)⇐⇒E(X) =

(b− a)(b+ a)

2(b− a)

⇐⇒E(X) =a+ b

2

13.3 Loi exponentielle

Dénition. Si λ est un nombre réel strictement positif, alors une variable aléatoire T suit la loi

exponentielle de paramètre λ si sa densité de probabilité est la fonction f dénie sur [0; +∞[

par f : t 7→ λe−λt.

Propriété. Si T suit la loi exponentielle de paramètre λ, alors pour tous nombres réels a et b

tels que 0 ≤ a ≤ b : P(a ≤ T ≤ b) = e−λa − e−λb.

En particulier : P(T ≤ b) = 1− e−λb et P(T ≥ a) = e−λa.

Démonstration. La fonction F : t 7→ −e−λt est une primitive de f sur [0; +∞[.

On en tire : P(a ≤ T ≤ b) =

∫ b

a

f(t) dt = F (b)− F (a) = e−λa − e−λb.

En particulier : P(T ≤ b) = P(0 ≤ T ≤ b) = 1− e−λb.

De plus : P(T ≥ a) = 1− P(T ≤ a) = e−λa.

Exemple. Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0.2, alors :

• P(5 ≤ X ≤ 10) = e−0.2×5 − e−0.2×10 = e−1 − e−2 ;

• P(X ≤ 10) = 1− e−0.2×10 = 1− e−2 ;

• P(X > 5) = e−0.2×5 = e−1.

Propriété. Durée de vie sans vieillissement.

Si T est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, alors pour tous réels positifs t et

h :

PT≥t(T ≥ t+ h) = P(T ≥ h)



Notons A l'événement T ≥ t+h et B l'événement T ≥ t . A ⊂ B donc A∩B = A. On

a alors :

PB(A) =P(A ∩B)

P(B)=

P(A)

P(B)=

P(T ≥ t+ h)

P(T ≥ t)=

e−λ(t+h)

e−λt=

e−λt × e−λh

e−λt= e−λh = P(T ≥ h)

Dénition-Propriété. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire T suivant une

loi exponentielle de paramètre λ est dénie par E(T ) = limb→+∞

∫ b

0

tf(t) dt avec f(t) = λe−λt.

On a : E(T ) =1

λ.


Dénissons g : t 7→ tf(t) = λte−λt sur [0; +∞[.

On recherche une primitive G de g de la forme G(t) = (At+B)e−λt avec A et B deux nombres

réels.

Pour tout nombre réel positif t : G′(t) = Ae−λt+ (At+B)(−λ)e−λt = (−λAt+A−λB)e−λt.

G est une primitive de g sur [0; +∞[⇐⇒∀t ∈ [0; +∞[ , G′(t) = g(t)

⇐⇒(−λAt+A− λB)e−λt = λte−λt

⇐⇒

−λA = λ

A− λB = 0

⇐⇒

A = −1

B = Aλ = −1

λ

Ainsi, G(t) =(−t− 1

λ

)e−λt, donc, pour tout b > 0 :∫ b

0

tf(t) dt =

∫ b

0

g(t) dt = G(b)−G(0) =

(−b− 1

λ

)e−λb +

1

λ=

1

λ(−λbe−λb − e−λb + 1)

Comme limb→+∞

(−λb) = −∞ et limX→−∞

XeX = 0, on a : limb→+∞

(−λbe−λb) = 0.

Comme limb→+∞

(−λb) = −∞ et limX→−∞

eX = 0, on a : limb→+∞

(e−λb) = 0.

Donc : limb→+∞

(−λbe−λb − e−λb + 1) = 1, d'où : limb→+∞

(∫ b

0

tf(t) dt

)=

1

λ, soit E(T ) =

1

λ.

13.4. LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE N (0, 12) 111

13.4 Loi normale centrée réduite N (0, 12)

13.4.1 Approximation de la loi binomiale centrée réduite

Nous considérons ici une variable aléatoire Xn suivant la loi binomiale B(n; p). Lorsque le

nombre d'épreuves n augmente, nous pouvons approcher cette loi par une loi appelée la loi

normale.

Théorème. Théorème de MOIVRE-LAPLACE.

Soit p ∈ [0; 1]. On suppose que : ∀n ∈ N∗, Xn suit la loi B(n; p).

Notons Zn la variable aléatoire dénie par Zn =Xn − np√np(1− p)

.

Alors, pour tous nombres réels a et b tels que a < b, on a :

limn→+∞

P(a ≤ Zn ≤ b) =

∫ b

a

1√2π

e−x22 dx

13.4.2 La loi normale centrée réduite

Dénition. La loi normale centrée réduite notée N (0, 12) est la loi continue ayant pour

densité de probabilité la fonction f dénie sur R par f(t) =1√2π

e−t22 .

Nous allons étudier la fonction f pour en déterminer une représentation graphique :

• ∀t ∈ R, f(t) > 0 car e−t22 > 0 et

1√2π

> 0.

• limt→+∞

−t2

2= −∞ et lim

T→−∞eT = 0+ donc, par composition : lim

t→−∞f(t) = 0+.

Rigoureusement de même : limt→+∞

f(t) = 0+.

• f est une composée de l'exponentielle et d'un polynôme. À ce titre, elle est dérivable sur

R et : ∀t ∈ R, f ′(t) =−t√2πe−t22 .

• Ainsi, f ′(t) est du signe de −t pour tout nombre réel t, car e−t22 > 0 et

1√2π

> 0. On

obtient donc le tableau de signes de f ′(t) et par conséquent le tableau de variations de f :

t

Signe

de f ′(t)

Variations

de f

−∞ 0 +∞

+ 0 −

0+0+

1√2π1√2π

0+0+


• Étudions la parité de f : ∀t ∈ R, f(−t) =1√2π

e−(−t)2

2 =1√2π

e−t22 = f(t), donc f est

paire.

La courbe de f est en fait une courbe en cloche , symétrique par rapport à l'axe des

ordonnées, appelée courbe de GAUÿ :

On en tire certaines des propriétés suivantes :

Propriétés.

1. Le maximum de f est atteint en 0.

2. La courbe Cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

3. L'aire sous la courbe Cf vaut 1.

13.4.3 Calculs de probabilités

En pratique, les calculs se feront à l'aide de la calculatrice :

• Pour calculer P(a ≤ X ≤ b), on tape :

Avec une TI : 2nde - var (distrib) - normalFrép et : normalFRép(a,b,0,1)

Avec une CASIO : OPTN - STAT - DIST - NORM - Ncd et : NormCD(a,b,1,0)

Avec une HP : OUTIL - Probabilité - Cumulative - Normal et :

NORMALD-CDF(0,1,a,b)

• Pour trouver k tel que P(X ≤ k) = c, on tape :

Avec une TI : 2nde - var (distrib) - FracNormale et : FracNormale(c,0,1)

13.4. LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE N (0, 12) 113

Avec une CASIO : OPTN - STAT - DIST - NORM - InvN et : InvNormCD(c,1,0)

Avec une HP : OUTIL - Probabilité - Inverse - Normal et : NORMALD-ICDF(0,1,c)

13.4.4 Propriétés de la loi normale centrée réduite

Dénition. La fonction Φ dénie sur R par : Φ(t) = P(X ≤ t) est appelée fonction de

répartition de la loi normale centrée réduite.

Règles. Pour tous nombres réels a et b :

1. P(X ≤ −a) = P(X ≥ a) ;

2. Φ(−a) = 1− Φ(a) ;

3. P(−a ≤ X ≤ a) = 2Φ(a)− 1.

Démonstration.

1. C'est une conséquence de la parité de f .

2. Φ(−a) = P(X ≤ −a) = P(X ≥ a) = 1− P(X < a) = 1− Φ(a).

3. P(−a ≤ X ≤ a) = P(X ≤ a)−P(X < −a) = Φ(a)−Φ(−a) = Φ(a)−(1−Φ(a)) = 2Φ(a)−1.

Théorème. Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour

tout α ∈]0; 1[, il existe un unique uα ∈ R∗+ tel que P(−uα ≤ X ≤ uα) = 1− α.


D'après la symétrie de la courbe Cf , on a :

∀t ∈ R+, P(−t ≤ X ≤ t) = 2P(0 ≤ X ≤ t) = 2

∫ t

0

f(x) dx = 2H(t)

où H est la primitive de f sur R qui s'annule en 0.

La fonction H est donc continue et strictement croissante sur [0; +∞[, donc la fonction 2H

l'est également. Comme P(X ≥ 0) =1

2, on a : lim

t→+∞H(t) =

1

2.

Le tableau de variations de la fonction 2H est donc le suivant :

t

Variations

de 2H

0 +∞

0011


Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires généralisé :

∀α ∈ [0; 1] ,∃!uα ∈ [0; +∞[|2H(uα) = 1− α, soit : P(−uα ≤ X ≤ uα) = 1− α

Propriétés.

• Une valeur approchée de u0.05 est 1.96.

• Une valeur approchée de u0.01 est 2.58.

Démonstration. P(−uα ≤ X ≤ uα) = 1 − α équivaut à : 2Φ(uα) − 1 = 1 − α, c'est-à-dire à :

Φ(uα) = 1− α2 .

• Pour α = 0.05 : Φ(u0.05) = 0.975 donc : u0.05 ' 1.96 (calculatrice).

• Pour α = 0.01 : Φ(u0.01) = 0.995 donc : u0.01 ' 2.58 (calculatrice).

Propriété. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X suivant la loi N (0, 12) est

E(X) = 0 et son écart type vaut σ(X) = 1.

Démonstration. L'espérance d'une telle variable aléatoire X se calcule ainsi :

E(X) = lima→−∞

∫ 0

a

xf(x) dx+ limb→+∞

∫ b

0

xf(x) dx avec f(x) =1√2π

e−x22

Posons g(x) = xf(x) =x√2π

e−x22 . La fonction G dénie sur R par G(x) =

−1√2π

e−x22 est

donc une primitive de g.

On a donc :∫ 0

axf(x) dx = G(0)−G(a) et

∫ b0xf(x) dx = G(b)−G(0).

Comme lima→−∞

G(a) = limb→+∞

G(b) = 0, on en tire : lima→−∞

∫ 0

a

xf(x) dx = G(0) et

limb→+∞

∫ b

0

xf(x) dx = −G(0), donc : E(X) = G(0)−G(0) = 0.

On admet : σ(X) = 1.

13.5 Loi normale N (µ, σ2)


Dénition. Si µ est un nombre réel et σ un nombre réel strictement positif, alors la variable

aléatoire X suit la loi normale N (µ, σ2) si et seulement si la variable aléatoire Y =X − µσ

suit

la loi normale centrée réduite.

13.5. LOI NORMALE N (µ, σ2) 115

Soit alors f la fonction de densité associée à la loi N (µ, σ2). La courbe Cf dans un repère

orthogonal est alors une courbe en cloche , symétrique par rapport à la droite d'équation x = µ

et d'autant plus resserrée autour de son axe de symétrie que σ est petit (µ correspondant à

l'espérance, i.e. la moyenne et σ à l'écart type, i.e. la dispersion de la loi).

Propriété. Si X suit la loi normale N (µ, σ2), alors son espérance mathématique est µ et son

écart type est σ.

13.5.2 Calculs de probabilités


• Pour calculer P (a ≤ X ≤ b), on tape :

Avec une TI : 2nde - var (distrib) - normalFrép et : normalFRép(a,b,µ,σ)

Avec une CASIO : OPTN - STAT - DIST - NORM - Ncd et : NormCD(a,b,σ,µ)

Avec une HP : OUTIL - Probabilité - Cumulative - Normal et :

NORMALD-CDF(µ,σ,a,b)

• Pour trouver k tel que P (X ≤ k) = c, on tape :

Avec une TI : 2nde - var (distrib) - FracNormale et : FracNormale(c,µ,σ)

Avec une CASIO : OPTN - STAT - DIST - NORM - InvN et : InvNormCD(c,σ,µ)

Avec une HP : OUTIL - Probabilité - Inverse - Normal et : NORMALD-ICDF(µ,σ,c)

Propriétés. En particulier, quelques valeurs de probabilités remarquables sont à connaître :

1. P(µ− σ ≤ X ≤ µ+ σ) ' 0.683 ;

2. P(µ− 2σ ≤ X ≤ µ+ 2σ) ' 0.954 ;

3. P(µ− 3σ ≤ X ≤ µ+ 3σ) ' 0.997.

Démonstration.

1. P(µ− σ ≤ X ≤ µ+ σ) = P(−σ ≤ X − µ ≤ σ) = P(−1 ≤ X−µ

σ ≤ 1)

= P(−1 ≤ Y ≤ 1), Y

suivant la loi normale centrée réduite. D'où : P(µ− σ ≤ X ≤ µ+ σ) = 2Φ(1)− 1 ' 0.683.


2. De même, P(µ− 2σ ≤ X ≤ µ+ 2σ) ' 0.954.

3. De même, P(µ− 3σ ≤ X ≤ µ+ 3σ) ' 0.997.

Chapitre 14

Le produit scalaire dans l'espace

14.1 Généralités sur le produit scalaire

14.1.1 Approche géométrique du produit scalaire

Dénition. Soient ~u et ~v deux vecteurs de l'espace, et A, B et C trois points tels que ~u =−−→AB

et ~v =−→AC. Il existe au moins un plan P contenant A, B et C.

On appelle produit scalaire de ~u et ~v, le produit scalaire−−→AB ·

−→AC calculé dans le plan P.

On a donc :

• si ~u et ~v sont non nuls, ~u · ~v = AB ×AC × cos(BAC

);

• si ~u = ~0 ou ~v = ~0, le produit scalaire de ~u et ~v est nul : ~0 · ~v = 0 et ~u ·~0 = 0.

117

118 CHAPITRE 14. LE PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE

Exemple.

ABCDEFGH est un cube d'arête a.

Notons ~u =−−→BF et ~v =

−−→AH =

−−→BG.

~u · ~v =−−→BF ·

−−→AH =

−−→BF ·

−−→BG = BF ×BG× cos

(FBG

).

Donc ~u · ~v = a× a√

2×√

22 = a2.

Propriétés.

1. Si ~u et ~v sont deux vecteurs non nuls tels que ~u =−−→AB et ~v =

−→AC, alors :

~u · ~v =−−→AB ·

−→AC =

−−→AB ·

−−→AH =

−−→AK ·

−→AC

où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) et K le projeté orthogonal de B sur

la droite (AC).

2. Si ~u, ~v et ~w sont trois vecteurs de l'espace et k un nombre réel, alors :

• ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w ;

• ~u · ~v = ~v · ~u ;

• ~u · (k~v) = k (~u · ~v)

Exemple. ABCDEFGH est un cube d'arête a.

• Comme, dans le plan (AGC), C est le projeté orthogonal de G sur (AC) :

−→AG ·

−→AC =

−→AC ·

−→AC = AC2 = 2a2

• Pour calculer−−→BF ·

−→AG, on peut remplacer le vecteur

−→AG par la somme

−−→AB +

−−→BG :

−−→BF ·

−→AG =

−−→BF

(−−→AB +

−−→BG

)=−−→BF ·

−−→AB +

−−→BF ·

−−→BG = 0 + a2 = a2

14.1.2 Caractérisation vectorielle de l'orthogonalité

Dénition. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux s'ils dirigent des droites orthogonales.

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l'espace.

Propriété. Deux vecteurs ~u et ~v sont orthogonaux si et seulement si ~u · ~v = 0.

14.2. APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE 119

Démonstration. Si ~u = ~0 ou ~v = ~0, alors ~u · ~v = 0 d'après la dénition.

Si ~u et ~v ne sont pas nuls, considérons les points A, B et C tels que ~u =−−→AB et ~v =

−→AC.

Les vecteurs ~u et ~v sont orthogonaux si et seulement si (AB) et (AC) sont orthogonales, ce

qui équivaut à dire que : BAC = π2 donc cos

(BAC

)= 0, d'où : ~u · ~v = 0.

14.1.3 Expression analytique du produit scalaire

Propriété. Dans un repère orthonormé (O;~i,~j,~k), si les vecteurs ~u et ~v ont pour coordonnées

respectives

x

y

z

et

x′

y′

z′

, alors : ~u · ~v = xx′ + yy′ + zz′.

En particulier : ~u · ~u = x2 + y2 + z2 et ‖~u‖ =√x2 + y2 + z2.

Démonstration. On a : ~i ·~i = 1, et de même ~j ·~j = 1 et ~k · ~k = 1.

Comme les vecteurs ~i, ~j et ~k sont orthogonaux deux à deux : ~i ·~j =~i · ~k = ~j · ~k = 0.

Or : ~u = x~i+ y~j + z~k et ~v = x′~i+ y′~j + z′~k, donc :

~u · ~v = xx′~i ·~i+ yy′~j ·~j + zz′~k · ~k + (xy′ + x′y)~i ·~j + (xz′ + x′z)~i · ~k + (yz′ + y′z)~j · ~k

= xx′ + yy′ + zz′

14.2 Applications du produit scalaire

14.2.1 Vecteur normal à un plan

On rappelle que toutes les droites orthogonales à un plan sont parallèles entre elles : leurs

vecteurs directeurs sont alors colinéaires. On en tire :

Dénition. Un vecteur ~n non nul est dit orthogonal à un plan P si ce vecteur est un vecteur

directeur d'une droite orthogonale à ce plan.

On appelle alors ce vecteur un vecteur normal du plan P.

Théorème. Une droite d est orthogonale à toute droite d'un plan P si et seulement si elle est

orthogonale à deux droites sécantes d1 et d2 de ce plan.



(=⇒) Si d est orthogonale à toute droite du plan P, elle l'est en particulier à d1 et d2 qui

sont incluses dans P.

(⇐=) Si d est orthogonale à d1 et d2, alors ~u · ~v1 = 0 et ~u · ~v2 = 0, où ~u, ~v1 et ~v2 désignent

respectivement des vecteurs directeurs de d, d1 et d2.

Considérons alors ∆ une droite incluse dans P, et ~w un vecteur directeur de ∆.

Comme d1 et d2 sont sécantes, les vecteurs ~v1 et ~v2 ne sont pas colinéaires et forment une

base du plan P. Il existe alors (λ1, λ2) ∈ R2 tels que ~w = λ1 × ~v1 + λ2 × ~v2. On en tire :

~u · ~w = λ1 × ~u · ~v1 + λ2 × ~u · ~v2 = 0.

Ainsi, ~u et ~w sont orthogonaux, donc la droite d est orthogonale à la droite ∆.

14.2.2 Équations cartésiennes de plans

Propriété. Si ~n est un vecteur non nul et A un point de l'espace, alors l'unique plan passant

par A et de vecteur normal ~n est l'ensemble des points M tels que−−→AM · ~n = 0.

Démonstration. (=⇒) Soit M un point du plan P et d une droite de vecteur directeur ~n. Alors

(AM) ⊂ P.

Comme d est orthogonale à toutes les droites de P, d est orthogonale à (AM). On en tire :−−→AM · ~n = 0.

(⇐=) Soit M un point de l'espace tel que−−→AM · ~n = 0. Alors : soit M et A sont confondus,

soit (AM) est orthogonale à la droite ∆ passant par A et de vecteur directeur ~n, c'est-à-dire que

M appartient au plan contenant A et orthogonal à d.

Propriété. Dans un repère orthonormé, un plan P de vecteur normal ~n

a

b

c

a une équation

de la forme : ax+ by + cz + d = 0.

Réciproquement, si (a; b; c) 6= (0; 0; 0), alors l'ensemble E des points M(x; y; z) tels que :

ax+ by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal ~n

a

b

c

.


(=⇒) Soit A(xA; yA; zA) un point du plan P et M(x; y; z) un point de l'espace.

14.3. INTERSECTIONS DE DROITES ET DE PLANS 121

M ∈ P ⇐⇒−−→AM · ~n = 0

⇐⇒ a(x− xA) + b(y − yA) + c(z − zA) = 0

⇐⇒ ax+ by + cz + (−axA − byA − czA) = 0

⇐⇒ ax+ by + cz + d = 0 en posant d = −axA − byA − czA

(⇐=) Si (a; b; c) 6= (0; 0; 0), cela signie que a, b et c ne sont pas tous les trois nuls. Supposons

par exemple que a 6= 0.

Le point A(−da ; 0; 0

)appartient alors à l'ensemble E .

En eet : a× −da + b× 0 + c× 0 + d = −d+ d = 0.

L'équation ax + by + cz + d = 0 est alors équivalente à l'équation a(x+ d

a

)+ by + cz = 0,

c'est-à-dire à l'équation :−−→MA · ~n = 0 avec ~n

a

b

c

.

E est alors le plan passant par A et de vecteur normal ~n

a

b

c

.

14.3 Intersections de droites et de plans

14.3.1 Intersection d'une droite et d'un plan

Propriétés. Soit d une droite passant par un point A et de vecteur directeur ~u et P un plan de

vecteur normal ~n.

1. Si ~u et ~n ne sont pas orthogonaux, alors la droite d et le plan P sont sécants.

2. Si ~u et ~n sont orthogonaux :

• Si A ∈ P, alors d ⊂ P ;

• Si A /∈ P, alors d est strictement parallèle à P.


Si d et P sont sécants : Si d est incluse dans P :Si d et P sont strictement pa-

rallèles :

14.3.2 Intersection de deux plans

Propriétés. Soient P et P ′ deux plans de vecteurs normaux respectifs ~n et ~n′.

1. Si ~n et ~n′ sont colinéaires, alors P et P ′ sont parallèles.

2. Si ~n et ~n′ ne sont pas colinéaires, alors P et P ′ sont sécants, et leur intersection est une

droite.Si P et P ′ sont parallèles : Si P et P ′ sont sécants :

Propriétés. On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.

1. Les plans P et P ′ d'équations respectives ax + by + cz + d = 0 et a′x + b′y + c′z + d′ = 0

sont sécants si et seulement si (a; b; c) n'est pas proportionnel à (a′; b′; c′).

2. Lorsque (a; b; c) n'est pas proportionnel à (a′; b′; c′), l'ensemble des points de l'espace dont

les coordonnées (x; y; z) vérient :

ax+ by + cz + d = 0

a′x+ b′y + c′z + d′ = 0est une droite.

Démonstration.

1. Les vecteurs ~n(a; b; c) et ~n′(a′; b′; c′) sont des vecteurs normaux respectifs de P et P ′. Ces

plans sont parallèles si et seulement si ~n et ~n′ sont colinéaires, ce qui équivaut à dire que

(a; b; c) et (a′; b′; c′) sont proportionnels.

2. Trivial, il s'agit de la droite d'intersection des plans d'équations respectives :

ax+ by + cz + d = 0 et a′x+ b′y + c′z + d′ = 0.

14.3. INTERSECTIONS DE DROITES ET DE PLANS 123

14.3.3 Plans perpendiculaires

Dénition.

Deux plans sont dits perpendiculaires si l'un des

deux plans contient une droite perpendiculaire à

l'autre plan.

Propriété.

Soient P et P ′ deux plans de vecteurs normaux

respectifs ~n et ~n′.

P et P ′ sont perpendiculaires si et seulement si

les vecteurs ~n et ~n′ sont orthogonaux.

Chapitre 15

Fluctuation et estimation

15.1 Échantillonnage

En classe de Première, des intervalles de uctuation ont été déterminés à partir de la loi

binomiale. Nous allons maintenant utiliser la loi normale pour déterminer ces intervalles.

15.1.1 La variable aléatoire fréquence Fn

Soit Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p) ; alors la variable aléatoire Fn

dénie par Fn = Xnn représente la fréquence de succès pour un schéma de BERNOULLI de

paramètres n et p.

Propriété. Si la variable aléatoire Xn suit la loi binomiale B(n; p), alors, pour tout α ∈]0; 1[,

on a : limn→+∞

P(Xnn ∈ In

)= 1− α, où In désigne l'intervalle

[p− uα

√p(1−p)√n

; p+ uα

√p(1−p)√n

].


Xn

n∈ In ⇐⇒ p− uα

√p(1− p)√

n≤ Xn

n≤ p+ uα

√p(1− p)√

n

⇐⇒ np− uαn√p(1− p)√n

≤ Xn ≤ np+ uαn√p(1− p)√n

⇐⇒ np− uα√np(1− p) ≤ Xn ≤ np+ uα

√np(1− p)

⇐⇒ −uα ≤ Zn ≤ uα avec Zn =Xn − np√np(1− p)

125

126 CHAPITRE 15. FLUCTUATION ET ESTIMATION

Ainsi : P(Xnn ∈ In

)= P(−uα ≤ Zn ≤ uα).

D'après le théorème de MOIVRE-LAPLACE :

limn→+∞

P(−uα ≤ Zn ≤ uα) =

∫ uα

−uα

1√2π

e−x22 dx

Or :∫ uα

−uα

1√2π

e−x22 dx = P(−uα ≤ Y ≤ uα) où Y suit la loi normale centrée réduite. Comme

P(−uα ≤ Y ≤ uα) = 1− α (dénition), on conclut : limn→+∞

P(Xnn ∈ In

)= 1− α.

15.1.2 Intervalle de uctuation asymptotique

Dénition. L'intervalle IF =

[p− uα

√p(1−p)√n

; p+ uα

√p(1−p)√n

]est un intervalle de uc-

tuation asymptotique au seuil de conance 1 − α de la variable aléatoire Fn qui, à tout

échantillon de taille n, associe la fréquence obtenue.

Cet intervalle contient Fn avec une probabilité d'autant plus proche de 1−α que n est grand.

Cette approximation est valable dès que n ≥ 30, n× p ≥ 5 et n× (1− p) ≥ 5.

En particulier, dans le cas où α = 0.05 : 1− α = 0.95 et u0.05 ' 1.96. On en déduit alors un

intervalle de uctuation asymptotique au seuil de 95% :

Propriété. Un intervalle de uctuation asymptotique au seuil de conance de 95% de la fré-

quence Fn d'un caractère dans un échantillon de taille n est :[p− 1.96

√p(1− p)√

n; p+ 1.96

√p(1− p)√

n

]où p désigne la proportion de ce caractère dans la population.

15.1.3 Lien avec l'intervalle de uctuation vu en Seconde

Propriété. Si la variable aléatoire Xn suit la loi B(n; p), alors :

∀p ∈]0; 1[,∃n0 ∈ N|∀n ≥ n0,P(p− 1√

n≤ Xn

n≤ p+

1√n

)> 0.95

Démonstration. Soit Xn suivant la loi B(n; p) ; on dénit Zn = Xn−np√np(1−p)

.

D'après le théorème de MOIVRE-LAPLACE, en posant an = P(−2 ≤ Zn ≤ 2), alors :

limn→+∞

an = P(−2 ≤ Z ≤ 2), où Z suit la loi N (0; 1). Notons alors : L = limn→+∞

an.

Comme P(−2 ≤ Z ≤ 2) = 2P(Z ≤ 2)− 1 ' 0.9544, alors : L > 0.954.

Soit 0 < ε < 0.004. Comme limn→+∞

an = L : ∃n0 ∈ N|∀n ≥ n0, an ∈]L− ε;L+ ε[.

Comme L > 0.954, alors an > 0.954− 0.004 = 0.95.

15.2. PRISE DE DÉCISION À PARTIR D'UN ÉCHANTILLON 127

Or an = P(p− 2√

n

√p(1− p) ≤ Xn

n ≤ p+ 2√n

√p(1− p)

).

Soit Φ : p 7→ p(1 − p) = −p2 + p, dénie sur [0; 1]. Après une étude rapide, on observe que

cette fonction admet un maximum en p = 12 , de valeur Φ

(12

)= 1

4 .

On a donc : p(1− p) ≤ 14 , d'où :

√p(1− p) ≤ 1

2 et 2√n

√p(1− p) ≤ 1√

n.

Les intervalles I =[p− 2√

n

√p(1− p); p+ 2√

n

√p(1− p)

]et J =

[p− 1√

n; p+ 1√

n

]ont le

même centre p et on en déduit : I ⊂ J .

On conclut : P(p− 1√

n≤ Xn

n ≤ p−1√n

)≥ an > 0.95.

15.2 Prise de décision à partir d'un échantillon

L'intervalle de uctuation au seuil de 95% est un intervalle qui contient au moins 95% des

fréquences observées dans les échantillons de taille n. Cela signie qu'il y a un risque de 5%

pour cette fréquence de ne pas se trouver dans cet intervalle.

15.2.1 Exploitation d'un intervalle de uctuation

La détermination d'un intervalle de uctuation permet de prendre une décision lorsqu'on

émet une hypothèse sur une proportion dans une population.

Propriété. Dans un population, on suppose que la la proportion d'un caractère vaut p.

On peut déterminer un intervalle de uctuation IF à 95% de la fréquence du caractère dans

un échantillon aléatoire et sans remise de taille n.

On observe sur cet échantillon la fréquence f du caractère.

Ainsi, on peut établir une règle de décision :

• si f /∈ IF : on rejette l'hypothèse sur la valeur p de la proportion, au risque d'erreur de

5% ;

• si f ∈ IF : on ne rejette pas l'hypothèse sur la valeur p de la proportion, sans pouvoir

quantier le risque.

15.2.2 Détermination de l'intervalle de uctuation au seuil de 95%

• Si n ≥ 30, n× p ≥ 5 et n× (1− p) ≥ 5, on utilise l'intervalle de uctuation asymptotique

déterminé précédemment : IF =

[p− 1.96

√p(1−p)√n

; p+ 1.96

√p(1−p)√n

];


• Sinon, on utilise l'intervalle de uctuation étudié en Première avec la loi binomiale, c'est-

à-dire l'intervalle[an ; bn

], où a est le plus petit entier tel que P(X ≤ a) > 0.025 et b le plus

petit entier tel que P(X ≤ b) > 0.975, et X suit la loi B(n; p).

15.2.3 Autres seuils possibles

• Au lieu du coecient de 95%, on peut choisir d'autres coecients. Par exemple, pour un

seuil de risque de 1%, le coecient de conance est donc de 99% : dans ce cas, u0.01 ' 2.58,

ce qui donne l'intervalle de uctuation suivant :

IF =

[p− 2.58

√p(1− p)√

n; p+ 2.58

√p(1− p)√

n

]

• En général, lorsque le seuil de risque est α, le coecient de conance vaut 1−α, et l'intervalle

de uctuation est le suivant :

IF =

[p− uα

√p(1− p)√

n; p+ uα

√p(1− p)√

n

]

où uα est tel que : P(−uα ≤ X ≤ uα) = 1 − α, avec X suivant la loi normale centrée

réduite.

15.3 Estimation d'une proportion

Considérons maintenant le problème inverse de celui de l'échantillonnage : on connaît la

fréquence f observée sur un échantillon de taille n, et on va chercher à estimer la proportion

p réelle sur la population entière. Ce type de problématique est notamment exploitée pour les

sondages.

Propriété. Soit Fn la variable aléatoire fréquence qui, à tout échantillon de taille n extrait d'une

population dans laquelle la proportion d'un caractère vaut p, associe la fréquence du caractère

observée sur l'échantillon.

L'intervalle[Fn − 1√

n;Fn + 1√

n

]contient, pour n assez grand, la proportion p avec une pro-

babilité au moins égale à 0.95.

Démonstration. Comme Fn = Xnn , d'après la propriété liée à l'intervalle de uctuation vu en

Seconde, on a, pour n assez grand :

P(Fn ∈

[p− 1√

n; p+

1√n

])≥ 0.95

15.3. ESTIMATION D'UNE PROPORTION 129

Or :

Fn ∈[p− 1√

n; p+

1√n

]⇐⇒ p− 1√

n≤ Fn ≤ p+

1√n

⇐⇒ − 1√n≤ Fn − p ≤

1√n

⇐⇒ − 1√n≤ p− Fn ≤

1√n

⇐⇒ Fn −1√n≤ p ≤ Fn +

1√n

On en déduit alors que, pour n assez grand : P(p ∈

[Fn − 1√

n;Fn + 1√

n

])≥ 0.95.

Dénition. Soit f la fréquence observée d'un caractère dans un échantillon de taille n extrait

d'une population dans lequel la proportion de ce caractère est p.

L'intervalle IC =[f − 1√

n; f + 1√

n

]est un intervalle de conance de la proportion p

au niveau de conance 95%.

En pratique, on utilise cet intervalle dès que n ≥ 30, n× f ≥ 5 et n× (1− f) ≥ 5.

Remarque. À partir de l'intervalle de uctuation étudié en Terminale, on pourrait dénir un

intervalle de conance plus précis :

IC =

[f − 1.96

√f(1− f)√

n; f + 1.96

√f(1− f)√

n

]

Chapitre 16

Annexe - La loi binomiale

Faute de mieux, il s'agit d'un cours de Première STI2D, ne contenant pas les démonstrations

des propriétés énoncées.

16.1 Schéma de BERNOULLI

16.1.1 Épreuve de BERNOULLI

Dénition. Une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles (succès S ou échec S) est

une épreuve de BERNOULLI. On notera p la probabilité du succès ; on a alors : P(S) = 1−p.

Exemple. On considère le lancer d'un dé à 6 faces non truqué. On considère l'événement S :

La face tirée est un 6.

On a bien une épreuve de BERNOULLI, la probabilité du succès S est p = 16 .

16.1.2 Schéma de BERNOULLI

Dénition. Un schéma de BERNOULLI est une expérience aléatoire dans laquelle on répète

de manière identique et indépendante la même épreuve de BERNOULLI.

Exemple. En reprenant l'exemple précédent, on considère le lancer du dé répété deux fois. On

est bien dans un schéma de BERNOULLI car les lancers sont identiques et indépendants.

131

132 CHAPITRE 16. ANNEXE - LA LOI BINOMIALE

16.1.3 Règles des arbres de répétition

Dans un arbre de répétition, on doit suivre les règles suivantes :

• La somme des probabilités des branches issues d'un même n÷ud est égale à 1.

• Pour calculer la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités des branches parcou-

rues.

16.2 Variables aléatoires et lois de probabilités

16.2.1 Variables aléatoires

On se place dans l'univers Ω (l'ensemble de toutes les issues) d'une expérience aléatoire.

Dénition. On appelle variable aléatoire dénie sur Ω toute fonction X de Ω dans R.

Exemple. On considère le lancer d'un dé à 6 faces non truqué. L'univers de l'expérience est

alors Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6.

On pose ensuite les règles suivantes : si la face tirée est le 6, on gagne 10 e, et sinon on perd

5 e. On lance deux fois le dé.

16.2. VARIABLES ALÉATOIRES ET LOIS DE PROBABILITÉS 133

Ainsi, on peut dénir la variable aléatoire X associée au gain algébrique (gain ou perte)

obtenu après une partie (deux lancers). L'ensemble des valeurs que peut prendre X est :

Ω(X) = −10; 5; 20

Notation.

• La probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur k se note P(X = k).

• La probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur strictement inférieure à k se

note P(X < k).

16.2.2 Loi de probabilité

Notons Ω = e1; e2; e3; . . . ; en l'univers d'une expérience aléatoire. À chaque issue ei on

associe une probabilité xi à l'aide d'une variable aléatoire X.

Dénir une loi de probabilité sur l'ensemble des valeurs xi revient à associer à chacune de

ces valeurs sa probabilité pi. On peut présenter une loi de probabilité sous la forme d'un tableau

comme ci-dessous :

Valeurs k prises par X x1 x2 . . . xn

P(X = k) p1 p2 . . . pn

Remarque. Dans le cadre présenté ci-dessus, on aura toujours p1 + p2 + . . .+ pn = 1.

Exemple. En reprenant l'exemple précédent, on peut calculer les probabilités de gagner deux fois

au lancer, ce qui correspond à un gain de 20 e : P(X = 20) = 16 ×

16 = 1

36 , et de perdre deux fois

au lancer, ce qui correspond à un gain de −10 e : P(X = −10) = 56 ×

56 = 25

36 .

On peut donc dresser le tableau de la loi de probabilités de X :

k −10 5 20

P(X = k) 2536

1036

136

16.2.3 Espérance mathématique

On se place dans le cadre déni auparavant.

Dénition. L'espérance mathématique de la loi X correspond à la valeur moyenne espérée

de la variable.

Elle se calcule ainsi : E(X) = p1 × x1 + p2 × x2 + . . .+ pn × xn =n∑i=0

pi × xi.


Exemple. Dans le cas précédent, l'espérance est alors :

E(X) =25

36× (−10) +

10

36× 5 +

1

36× 20 =

−250 + 50 + 20

36=−180

36= −5

Cela signie qu'en jouant à ce jeu on perd en moyenne 5 e.

16.3 La loi binomiale

16.3.1 Dénition

Dénition. On appelle loi binomiale la loi de probabilité qui compte les succès dans un schéma

de BERNOULLI.

On la note B(n; p) où n correspond au nombre de répétitions dans le schéma, et p à la

probabilité du succès S lors de chaque répétition.

Exemple. Une machine produit des pièces en série. La probabilité qu'une pièce soit défectueuse

est estimée à p = 0.05. On prélève au hasard trois pièces produites. Comme le nombre de pièces

produites est très grand, on admet que les trois tirages sont identiques et indépendants, ce qui

nous permet de considérer un schéma de Bernoulli, où le succès S correspond à l'événément :

La pièce est défectueuse .

L'arbre correspondant à cette expérience est le suivant :

16.3. LA LOI BINOMIALE 135

La variable aléatoire X dénombrant le nombre de pièces défectueuses suit alors la loi binomiale

de paramètres n = 3 et p = 0.05 : la loi B(3; 0.05).

16.3.2 Espérance de la loi binomiale

Exemple. En reprenant l'exemple précédent, l'espérance de la variable X comptant le nombre

de pièces défectueuses se calcule à partir du tableau de la loi de probabilités de X.

On calcule d'abord les probabilités à l'aide de l'arbre :

• P(X = 3) = 0.05× 0.05× 0.05 ' 0.0001 ;

• P(X = 2) = 3× 0.05× 0.05× 0.95 ' 0.0142 ;

• P(X = 1) = 3× 0.05× 0.95× 0.95 ' 0.1354 ;

• P(X = 0) = 0.95× 0.95× 0.95 ' 0.8573.

On peut compléter le tableau de la loi de probabilités de X :

k 0 1 2 3

P(X = k) 0.8573 0.1354 0.0142 0.0001


On peut donc calculer l'espérance de X :

E(X) = 0× 0.8573 + 1× 0.01354 + 2× 0.0142 + 3× 0.0001 = 0.15

On remarque alors que : E(X) = 3× 0.05 = n× p.

On a en fait la propriété suivante :

Propriété. Si X suit la loi binomiale B(n; p), alors son espérance est E(X) = n× p.

On admet également les propriétés suivantes :

Propriétés.

• La variance de la loi binomiale B(n; p) est Var(X) = n× p× (1− p).

• Son écart type est σ(X) =√n× p× (1− p).

16.3.3 Calcul de probabilités avec la loi binomiale


• Pour calculer P(X = k), on tape :

Avec une TI : 2nde - var (distrib) - binomFdp et : binomFdp(n,p,k)

Avec une CASIO : OPTN - STAT - DIST - BINM - Bpd et : BinomPD(k,n,p)

Avec une HP : OUTIL - Probabilité - Densité - Binomial et : BINOMIAL(n,p,k)

• Pour calculer P(X ≤ k), on tape :

Avec une TI : 2nde - var (distrib) - binomFRép et : binomFRép(n,p,k)

Avec une CASIO : OPTN - STAT - DIST - BINM - Bcd et : BinomCD(k,n,p)

Avec une HP : OUTIL - Probabilité - Cumulative - Binomial et :

BINOMIAL_CDF(n,p,k)

Remarque. Quel que soit le modèle, chaque calculatrice est capable de calculer directement

P(X ≤ k). Des astuces de calcul permettent de traiter chacun des autres calculs :

• P(X < k) = P(X ≤ k − 1) ;

• P(X > k) = 1− P(X ≤ k) ;

• P(X ≥ k) = 1− P(X < k) = 1− P(X ≤ k − 1).

cours de mathématiques terminale scienti quemaths33.fr/wp-content/uploads/2016/05/compil_ts.pdf ·...

Documents