chapitre 1 - rudiments de...

L'ensemble des nombres réelsParties majorées, minorées, bornées

Approximation décimale d'un nombre réel

Chapitre 1 - Rudiments de topologie

Paul DARTHOS

1A - Institut supérieur de l'automobile et des transports - NEVERS

Année universitaire 2020-2021

Paul DARTHOS Chapitre 1 - Rudiments de topologie



Les ensembles classiquesDé�nition géométrique de l'ensemble des nombres réelsRelation d'ordre 6 dans RValeur absolueIntervalles de R

Dé�nition

L'ensemble des nombres entiers naturels, noté N,correspond à l'ensemble de tous les nombres entiers positifs,incluant 0.On note N∗ l'ensemble des nombres entiers naturelsstrictement positifs (excluant 0).

Exemple

174, 13 et 58721 sont des nombres entiers naturels.





Dé�nition

L'ensemble des nombres entiers relatifs, noté Z, correspondà l'ensemble de tous les nombres entiers.

Exemple

−174, 13, −58721, 0 et 17542 sont des nombres entiersrelatifs.





Dé�nition

L'ensemble des nombres rationnels, noté Q, correspond àl'ensemble des quotients de nombres entiers relatifs par desnombres entiers naturels non nuls.

On a : Q =

{p

q

∣∣∣∣ (p ; q) ∈ Z× N∗ ∧ PGCD(p, q) = 1

}.

Exemple−174523

, 132, −58721, 0 et 17542 sont des nombres rationnels.





Dé�nition

L'ensemble des nombres réels, noté R, correspond àl'ensemble des nombres pouvant être représentés par unepartie entière et un nombre �ni ou in�ni de décimales.

Exemple−174523

, π, 0 et 17542 sont des nombres réels.





Propriété√2 est un nombre réel qui n'est pas rationnel :

√2 ∈ R\Q.





Propriété

On a les inclusions successives suivantes : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.





Dé�nition

On représente géométriquement l'ensemble des nombres réels,noté R, par une droite appelée droite numérique, dé�nie parson origine O et un vecteur directeur ~i .On associe à tout point M de cette droite un unique nombre

réel x tel que−−→OM = x~i et, réciproquement, à tout nombre réel

x on associe un point M cette droite tel que x~i =−−→OM.





Dé�nition

On appelle droite numérique achevée et on note Rl'ensemble obtenu en ajoutant à R deux éléments notés −∞et +∞ tels que : ∀x ∈ R, −∞ < x < +∞.





Dé�nition

La relation 6 est appelée relation d'ordre sur l'ensemble R.Cela se traduit par le fait qu'elle est :

ré�exive, c'est-à-dire que : ∀x ∈ R, x 6 x ;

antisymétrique, c'est-à-dire que :∀x ∈ R, ∀y ∈ R, (x 6 y et y 6 x) =⇒ x = y ;

transitive, c'est-à-dire que :∀x ∈ R, ∀y ∈ R, ∀z ∈ R, (x 6 y et y 6 z) =⇒ x 6 z .

On dit alors que (R, 6) est un ensemble ordonné.





Dé�nition

Sur l'ensemble ordonné (R, 6), on dit que la relation d'ordre6 est totale car deux éléments de R sont toujourscomparables.Cela signi�e que si (x ; y) ∈ R2, on a soit x 6 y soit y 6 x .





Propriété

La relation d'ordre 6 dé�nie sur R est compatible avecl'addition et la multiplication. En e�et :

∀(a ; b ; c) ∈ R3, a 6 b =⇒ a + c 6 b + c ;

∀(a ; b ; c) ∈ R2 × R+, a 6 b =⇒ a × c 6 b × c .





Propriété

On peut, dans l'ensemble des nombres réels :

additionner membre à membre des inégalités :

∀(a ; b ; c ; d) ∈ R4,a 6 bc 6 d

}=⇒ a + c 6 b + d ;

multiplier membre à membre des inégalités entre nombresréels positifs :

∀(a ; b ; c ; d) ∈ R4,0 6 a 6 b0 6 c 6 d

}=⇒ ac 6 bd .





Dé�nition

La distance entre deux nombres réels x et y est le nombreréel positif :

d(x ; y) = |x − y | = max{x − y ; y − x}.





Dé�nition

On appelle valeur absolue d'un nombre réel x la distance (oul'écart) entre 0 et x , notée |x |.

Exemple

| − π| = π ; |0| = 0 et |43| = 43.

Propriété

∀x ∈ R, |x | =√x2.





Propriété

Inégalité triangulaire.

Pour tous nombres réels x et y , on a : |x + y | 6 |x |+ |y |(avec égalité si et seulement si x et y sont de même signe).





Dé�nition

Pour tous nombres réels a et b tels que a < b, on a :

[a ; b] = {x ∈ R | a 6 x 6 b}(intervalle fermé borné ou segment) ;

[a ; b[= {x ∈ R | a 6 x < b}(intervalle borné semi-ouvert à droite) ;

]a ; b] = {x ∈ R | a < x 6 b}(intervalle borné semi-ouvert à gauche) ;

]a ; b[= {x ∈ R | a < x < b}(intervalle borné ouvert) ;





Dé�nition

[a ; +∞[= {x ∈ R | a 6 x}(intervalle minoré, fermé à gauche et non majoré) ;

]a ; +∞[= {x ∈ R | a < x}(intervalle minoré, ouvert à gauche et non majoré) ;

]−∞ ; b] = {x ∈ R | x 6 b}(intervalle majoré, fermé à droite et non minoré) ;

]−∞ ; b[= {x ∈ R | x < b}(intervalle majoré, ouvert à droite et non minoré).




Parties majorées, minorées, bornées de RParties convexes de R

Dé�nition

Pour toute partie A de R :

On dit que A est majorée s'il existe M ∈ R tel que :∀x ∈ A, x 6 M .M est alors un majorant de A.Si M ∈ A, on dit que M est le maximum de A.

On dit que A est minorée s'il existe m ∈ R tel que :∀x ∈ A, x > m.m est alors un minorant de A.Si m ∈ A, on dit que m est le minimum de A.

Si A est majorée et minorée, on dit que A est bornée.





Dé�nition

Pour toute partie A de R :

le plus petit des majorants de A, s'il existe, est appelé laborne supérieure de A, noté sup(A) ;

le plus grand des minorants de A, s'il existe, est appelé laborne inférieure de A, noté inf(A).





Remarque

Si A admet un plus grand élément a, alors A admet uneborne supérieure et sup(A) = a.

Si A admet un plus petit élément b, alors A admet uneborne inférieure et inf(A) = b.





Exemple

On note A = [0 ; 1[. L'ensemble des majorants de A est[1 ; +∞[ donc A admet une borne supérieure : sup(A) = 1.L'ensemble des minorants de A est ]−∞ ; 0] donc A admetune borne inférieure ; comme il s'agit du plus petit élément deA, on a : inf(A) = 0 = min(A).





Exemple

On note B = R+. On a : inf(B) = 0, et B n'admet pas deborne supérieure.





Exemple

On note C =

{x2 − 1

x2 + 1

∣∣∣∣ x ∈ R}.

On étudie la fonction f : x 7→ x2 − 1

x2 + 1sur R ; elle y est

dérivable en tant que quotient de fonctions dérivables dont ledénominateur ne s'annule jamais.

On a : ∀x ∈ R, f ′(x) =4x

(x2 + 1)2, donc f est strictement

décroissante sur ]−∞ ; 0] et strictement croissante sur[0 ; +∞[.





Exemple

On en tire le tableau de variations de f sur R :

x

Signe

de f ′(x)

Variations

de f

−∞ 0 +∞

− 0 +

11

−1−1

11





Exemple

On détermine ainsi que l'ensemble des majorants de C est[1 ; +∞[, donc sup(C ) = 1, et l'ensemble des minorants de Cest ]−∞ ;−1], donc inf(C ) = −1.De plus, comme −1 = f (0), C admet pour plus petit élémentmin(C ) = −1. La valeur 1 n'est pas atteinte par f , donc C n'apas de plus grand élément.





Propriété

Pour toute partie A de R, si A admet un maximum(respectivement un minimum) alors celui-ci est unique.





Théorème

Toute partie de R non vide et majorée admet une bornesupérieure.

Toute partie de R non vide et minorée admet une borneinférieure.





Propriété

Caractérisation de la borne supérieure dans R.Si A est une partie non vide et majorée de R, alors :

M = sup(A)⇐⇒{∀x ∈ A, x 6 M∀ε ∈ R∗+, ∃x ∈ A |M − ε < x < M

.





Propriété

Caractérisation de la borne inférieure dans R.Si A est une partie non vide et minorée de R, alors :

m = inf(A)⇐⇒{∀x ∈ A, x > m∀ε ∈ R∗+, ∃x ∈ A |m < x < m + ε

.





Propriété

L'ensemble ordonné (R, 6) est archimédien, c'est-à-direque :

∀x ∈ R, ∀a ∈ R∗+, ∃n ∈ N∗ | na > x .





Théorème

Toute partie non vide de R admet une borne supérieure et uneborne inférieure dans R.





Dé�nition

Une partie non vide A de R est dite convexe si, pour touséléments x ∈ A et y ∈ A tels que x < y , on a : [x ; y ] ⊂ A.

Exemple

Les intervalles de R sont des parties convexes de R.





Théorème

Les parties convexes de R sont les intervalles.




Propriété-Dé�nition

Pour tout nombre réel x , on appelle partie entière de x eton note bxc ou E(x) le plus grand nombre entier relatifinférieur ou égal à x . On a : bxc 6 x < bxc+ 1.

Exemple

bπc = 3 ; b−4, 52c = −5.




Propriété

Pour tout nombre réel x et tout nombre entier naturel n :

αn =b10nxc10n

est une valeur approchée décimale de x par

défaut à la précision 10−n ;

βn =b10nxc+ 1

10nest une valeur approchée décimale de x

par excès à la précision 10−n.


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