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62
Master SIS Cours de Bond Graphs A. Naamane

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Les bond graphs

Les bond graphs

Pourquoi ?

♦Outil de m

odélisation perform

ant ;

♦Peut se tracer sans écrire et résoudre des équations ;

♦Perm

et de bien comprendre les transferts de puissance ;

♦Déduction possible des

schéma-blocs, des

équations

d’état,

des fonctions de transfert pour les cas lin

éaires,…

♦Nombreux exe

mples traités en m

écatronique ;

♦Graphisme identique quelque soit le domaine ;

♦Perm

et les analogies entre les domaines ;

♦Sim

ulations directement possibles…

l’éne

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R :

R3

R :

R4

Se :

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Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

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tric

ité

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sV

1Ri

U

2R

-

Se :

Ve

1 :

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R :

R1

0 :

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R :

R2

0 :

Vs

MSe

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A

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A

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form

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Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

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élec

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Bon

d G

raph

sBon

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raph

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Hyd

rau

liqu

eÉÉ

ll éém

ent

Rm

ent

R

Po

ur

un

éco

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men

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20

00

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Po

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men

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0

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1 :

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P2

qv

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P2

qv

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12

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12

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PP

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on

ctio

n f

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ou

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Bon

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raph

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raph

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Hyd

rau

liqu

eÉÉ

ll éém

ent

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ent

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Relation

ent

re pre

ssion et

dér

ivée

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1P2P

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qv

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P1-

P2

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dd

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12

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12

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Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

Hyd

rau

liqu

eÉÉ

ll éém

ent

Cm

ent

C

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re pre

ssion et

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e

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h

A gρ

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du

le d

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VP

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Bon

d G

raph

sBon

d G

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s

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TF

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F

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,C

ω,

vp

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0

Γ ω

P qv

,v

pq

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F v

P qv

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v2

2,

Fv

TF m

F1

v1

1 v1

1 v2

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Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

Hyd

rau

liqu

e

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uit hy

drau

lique

Circ

uit hy

drau

lique

x

1P2P

P

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A

4A

2A

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trib

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ur

hyd

rau

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e

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11

00

0 P1

11

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P

R :

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: R

4(x)

R :

R2(

x)R

: R

3(x)

bPve

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âch

e

Se :

Pb

Circ

uit hy

drau

lique

Circ

uit hy

drau

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Bon

d G

raph

sBon

d G

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s

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salit

é

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Fv

i

Dan

s les de

ux cas

, il y

a une

cau

se e

t un

eff

etDan

s les de

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, il y

a une

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se e

t un

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et

L’ef

fort

ap

pliq

sur

le p

isto

n d

e la

se

rin

gue

gén

ère

un

e vi

tess

e d

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rtie

du

liq

uid

e d

e la

se

rin

gue

et n

on

l’in

vers

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La s

ou

rce

de

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sio

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po

se le

co

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nt

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s le

cir

cuit

éle

ctri

qu

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t n

on

l’i

nve

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Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

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salit

é

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te

tf

t=

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nt

de

ux

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èm

es A

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co

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éch

ange

ant

un

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s p

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ible

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pliq

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B q

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t e

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eto

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AB

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pliq

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ou

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AB

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on

Co

nve

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on

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ausa

l est

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e t

rait

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sal e

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lac éé

du

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u c

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de

ld

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é’éll éé

me

nt

sur

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en

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qu

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’’ eff

ort

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imp

os

eff

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imp

os éé

..

Bon

d G

raph

sBon

d G

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s

Cau

salit

é

Se

Aff

ect

atio

n d

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salit

é

Caus

alité

néce

ssaire

Sf

Caus

alité

rest

rict

ive

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ou

GY

GY

ou

00

0

ou

ou

11

1

ou

ou

Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

Cau

salit

é

I

Aff

ect

atio

n d

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é

Caus

alité

inté

grale

C

ICa

usalité

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eC

RCa

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arbi

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liné

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ou

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d’a

ffe

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ion

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la c

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lité

1 –

Aff

ecte

r le

s ca

usa

lités

néc

essa

ires

au

x so

urc

es e

t ré

per

cute

r ;

2 –

Met

tre

les

I et

les

C e

n c

ausa

lité

inté

gral

e p

réfé

ren

tiel

le e

t ré

per

cute

r ;

3 –

Aff

ecte

r la

cau

salit

éau

x él

émen

ts R

en

res

pec

tan

t le

s re

stri

ctio

ns

aux

jon

ctio

ns

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n r

ech

erch

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l’élé

men

t I o

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qu

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est

la c

ause

et

le

met

tre

en c

ausa

lité

rivé

e ; r

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nd

re e

n 3

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Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

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salit

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1 R

I1

2

3

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5Sf

0 C

1 R

I1

2

3

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5

Sf0 C

1 R

I1

2

3

4

5Sf

0 C

1 R

I1

2

3

4

5

12

34

Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

Cau

salit

ém

ixte

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F1 I :

m1

1C

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2

34

5

F

v1

v2

m1

m2

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I : m

2

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6

Se :

F1 I :

m1

1C

: 1

/k1

2

34

5

I : m

2

TF b/a

6

2 a

ffec

tati

on

s p

oss

ible

s

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alités

dér

ivée

sP

ou

r su

pp

rim

er

la

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salit

éd

ériv

ée,

on

p

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rrai

t in

tro

du

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la f

lexi

bili

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u b

ras

de

levi

er.

Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

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atio

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d’é

tat

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r d

’un

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dèl

e B

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po

ssib

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e d

édu

ire

les

équ

atio

ns

d’é

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du

sys

tèm

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Les va

riab

les d’ét

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ergie

asso

ciée

s au

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ents

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t C

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teu

r d

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t[

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]I Cp

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][

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ou

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salit

éin

tégr

ale,

la

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en

sio

n d

u v

ecte

ur

d’é

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vau

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no

mb

re d

’élé

men

ts I

et C

.

Si p

arm

i le

s n

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en

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et

C,

il ex

iste

nd

en c

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lité

dér

ivée

, al

ors

la

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en

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ecte

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d’é

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est

n-n

d

Bon

d G

raph

sBon

d G

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s

Équ

atio

ns

d’é

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Cas

tou

s le

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émen

ts I

et C

so

nt

en

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salit

éin

tégr

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XA

XB

U

YC

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U

=+

=+

&U

vect

eur

d’e

ntr

ée e

t Y

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eu

r d

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rtie

Proc

édur

e

�Éc

rire

les

lois

de

stru

ctu

re a

ux

jon

ctio

ns

en t

enan

t co

mp

te d

e la

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salit

é;

�Éc

rire

les

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ass

oci

ées

aux

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ents

en

pre

nan

t en

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mp

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salit

é;

�Ex

plic

iter

les

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s d

es v

aria

ble

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’éta

t en

fo

nct

ion

des

var

iab

les

d’é

tat

et d

es

entr

ées

.

m1

m2

k1

k2

x 2 x 1

Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

Équ

atio

ns

d’é

tat

m1

m2

k1

k2

x 2 x 1

Se :

m2g

0C

: 1

/k1

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m2

12

3

4

5 1Se

: m

1gI :

m1

C :

1/k

2

8

76

Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

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jon

ctions

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20

ee

e+

−=

53

40

ff

f−

−=

65

78

0e

ee

e−

−−

=

12

3f

ff

==

34

5e

ee

==

56

78

ff

ff

==

=

Lois aux

élémen

ts

22

pe

=& 2

211

fp

m=

77

pe

=& 7

721

fp

m=

44

qf

=& 4

14

ek

q=

88

qf

=& 8

28

ek

q=

ÉÉll éé

men

ts I

men

ts I

ÉÉll éé

men

ts C

men

ts C

Vect

eur d’ét

at 2 7 4 8p pX

q q

=

Équa

tion

s d’ét

at

21

41

71

42

82

42

71

2

87

211

1

pk

xm

g

pk

xk

xm

g

qp

pm

m

qp

m

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+

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& & & &

Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

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Équ

atio

ns

d’é

tat

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ausa

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mix

te

R

u

i

C1

C2

v

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R :

R

0

C :

C1

C :

C2

1

2

3

4

5

Jonc

tion

05

34

qf

f=

−&

Jonc

tion

12

54

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fR

=−

&

45

12

11

qq

CC

=

51

52

2

11

qC

qU

CR

C

+=

&

Syst

ème

d’é

qu

atio

ns

algé

bro

-dif

fére

nti

el

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d’u

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gici

el a

dap

Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

Sch

émas

-blo

cs

Le p

assa

ge d

u BG

au sc

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bloc

est

direc

t en

écr

ivan

t les lois aux

jon

ctions

mar

che

su

r u

n e

xem

ple

RL 1

Cu

L 2Se

: u

R :

R

1 3

I : L

1 2

41

0 I : L

2

6

C :

C 5

Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

Sch

émas

-blo

cs

+

+1

0

I R

Se

C L

u

∫1

/L1

R

∫1

/C ∫1

/L2

1e2e

2f 3f

4f1f

3e

5e4e

5f6e

6f

Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

Sch

émas

-blo

cs

+u

∫1

/L1

R

∫1

/C

∫1

/L2

+

-

--

ou

+u

1/L

1s

R

1/C

s

1/L

2s

-

--

Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

Ap

plic

atio

ns

u 0

ω

u 1u 2

u 3

RL

uK

r

ω1

J 1

J 2

1 ω

1 G

Y

K

TF

r

1 ω1

Se:

u

R:R

I:J

1 I:J

2

I:L

I :I 1

I :

I 2

C :

1 k

0 C

1 ω2

R :

µ

Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

Ap

plic

atio

ns

23ω

1I1r

4ω 4

Γ4I 23I

2r

3r

4r

k

c

10

r 1/r 2

TF0

10 TF

: r 3/

r 4

0 1

1

01

1

I : I 1

I : I 23

I : I 4

R :

c

I : I b

bI

C :

k

R :

c 2,3,

b

Rédu

cteu

r de

vites

ses

Bon

d G

raph

sBon

d G

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s

Ap

plic

atio

ns

m

x

P1

A1

P2

A2

Fe

vre

f

Ps

Pr=

0

0

11

R :

f

0 : P

1

11

0

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1/A

1

TF :

A2

11I :

m

0 : P

2

R :

R(y

)

R :

R(y

)R

: R

(y)

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R(y

)

Per

tes

dan

s le

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s d

ans

les

ori

fice

s d

u

ori

fice

s d

u

dis

trib

ute

ur

dis

trib

ute

ur

Se :

0

Se :

Ps

VVéé

rin

rin

Dis

trib

ute

ur

Dis

trib

ute

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y: p

osi

ton

du

tir

oir

du

dis

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Vérin hy

drau

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Bon

d G

raph

sBon

d G

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s

Ap

plic

atio

ns

Abs

orb

eur

d’é

nerg

ie

k 2 k 2

k 1 k 1

M2

M2

M3

M3

Câb

le 1

Câb

le 2

y 3y 2

θ

Pis

te d

’atte

riss

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Avi

on

01

00

1TF

MTF

1

RI

I

C

C

01

00

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MTF

RI

I

C

C

I

D’a

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s l’a

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le d

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ran

da

& M

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gom

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Mo

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sim

ula

tio

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Usi

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th

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d G

rap

h M

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fo

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Sys

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d’ar

rêt d’un

avion

su

r po

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avions

Bon

d G

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sBon

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s

Ap

plic

atio

ns O

C1

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ϕθu

A

D

Gyro

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TFM

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MG

Y

MG

Y

I

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I

I

Se

Se

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cos

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ϕ.ψ.

. θ

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: lie

ns

d’in

form

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nM

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tran

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od

ulé

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eu

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ulé

Bon

d G

raph

sBon

d G

raph

s

Ap

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ns

V1

V2

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L 1 L 2 L 3

T1

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E

R

L

Redr

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doub

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R

T : T

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3

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2

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1

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E

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4

D’a

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niq

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bo

nd

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No

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t B

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inte

rrup

teu

r id

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�Lo

rsqu

e T

est

ferm

é, il

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éq

uiva

len

t à

un

e so

urc

e d

’eff

ort

nu

l ;�

Lors

que

T es

t o

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