contribution à la représentation bond graph des systèmes...

N° d’ordre 97 ISAL 0126 Année 1997

THESE

présentée devant

L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

Formation doctorale : Automatique IndustrielleEcole Doctorale des Sciences pour l’Ingénieur de Lyon :

Electronique, Electrotechnique, Automatique (EEA)INSA - ECL - UCBL - U. Chambery - U. St Etienne

par

Wilfrid FAVRE

Ingénieur de l’INSA de Lyon

Contribution à la représentation bond graph des systèmesmécaniques multicorps

TOME 1

Soutenue le 18 décembre 1997 devant la Commission d'Examen

Jury :

Mme G. Dauphin-Tanguy Présidente Professeur à l’Ecole Centrale de LilleM. D. Le Houédec Rapporteur Professeur à l’Ecole Centrale de Nantes

M. M. Lebrun Rapporteur Maître de Conférences, docteur d’étatM. P. Breedveld Rapporteur Associate Professor à l’université de Twente (NL)M. M. Fayet Examinateur Professeur à l’INSA de LyonM. L. Jezequel Examinateur Professeur à l’Ecole Centrale de LyonM. S. Scavarda Directeur Professeur à l’INSA de Lyon

Cette thèse a été préparée au laboratoire d’Automatique Industrielle de l’INSA de Lyon

Avant propos 7

Avant propos

Au cours de la r�edaction de ce m�emoire, nous avons aussi souhait�e produire unsupport pour quiconque d�esire s'int�eresser �a l'utilisation du langage bond graph

dans le domaine de la m�ecanique multicorps.

Un chapitre introductif retrace de fa�con non exhaustive un historique (( m�ecaniqueet bond graph )).

Le second chapitre pr�esente deux proc�edures de construction du bond graph dessyst�emes m�ecaniques multicorps existantes.

Le troisi�eme chapitre propose une proc�edure syst�ematique de construction dubond graph adoptant une approche intuitivement m�ecanicienne.

Le quatri�eme chapitre s'int�eresse �a la repr�esentation bond graph du contactponctuel entre deux solides. Il illustre aussi deux attitudes pouvant être adopt�eesvis{�a{vis du langage bond graph :

{ la premi�ere, celle d'un traducteur de mod�eles physiques dans le formalisme bondgraph,

{ la seconde, celle d'un utilisateur manipulant des repr�esentations d�ej�a existantesdans une biblioth�eque.

Le cinqui�eme chapitre pr�esente di��erents concepts de m�ecanique analytique �atravers le bond graph, et ce en vue de la simulation. Il propose la r�esolution pratiqued'un probl�eme mis en �evidence dans le chapitre pr�ec�edent.

La conclusion de ce rapport propose une synth�ese des chapitres de ce m�emoire, lesapports pour le bond graph et pour la m�ecanique, et bien sûr, quelques perspectivesde recherche.

Nous esp�erons vivement que les m�ecaniciens et les bond graphistes sereconnâ�tront �a travers ce travail. Dans ce sens, nous justi�ons la pr�esence desdeux premi�eres annexes. Les malentendus �etant souvent une question de di��erencede langage, l'annexe A appr�ehende le concept multiport d'�energie et ainsi, lelangage bond graph, �a travers un exemple m�ecanique en utilisant une terminologiem�ecanicienne. Il est alors un tremplin vers une pr�esentation pluridisciplinaire dulangage bond graph e�ectu�ee dans l'annexe B.

Par ailleurs, l'annexe G constitue un catalogue d'exemples de repr�esentationsbond graph de syst�emes m�ecaniques multicorps. Ces exemples illustrent tous,di��erents r�esultats d�evelopp�es dans le m�emoire.

Comme avertissement, nous souhaiterions dissiper certains malentendusconcernant l'image du langage bond graph. Le bond graph est avant tout unoutil de mod�elisation d'un syst�eme, et non la mod�elisation d'un syst�eme. Dans la

8 Avant propos

tour de Babel des disciplines scienti�ques (et même �economiques), le bond graphtente simplement d'�etablir un pont entre ces disciplines. Les critiques de certainsrestent arbitraires ((( What's wrong with bond graphs )) [MAN97]) 1. Nous r�epondons�a ces critiques que :

{ le bond graph d'un sous{syst�eme ne s'invente pas tant que les ph�enom�enesphysiques pr�esents dans le sous{syst�eme ne sont pas clairement identi��es,

{ l'outil bond graph est une alternative et non un substitut d'autres techniques.

N�eanmoins, le langage bond graph poss�ede des vertus qui n'apparaissent pas deprime abord. Il permet d'une part, d'appr�ehender divers domaines par le biais desanalogies [HEZ85], et d'autre part, d'acc�eder �a une compr�ehension physique profondedu comportement des syst�emes 2.

Ce rapport est le r�esultat d'un travail e�ectu�e durant trois ann�ees et ne constitueen cela qu'une humble contribution. Nous esp�erons cependant qu'il atteindra lesobjectifs enonc�es pr�ec�edemment dans nos souhaits.

1: Breedveld [BRE91a] tente �a ce propos de r�epondre aux opinions subjectives et souventfausses sur le langage bond graph.Par ailleurs, le bond graphiste sait se remettre en question quand l'outil pr�esente des lacunes

[LOR85].2:

(( It is important to note that if you work in a single energy domain, such as rigid{bodymechanics or electronic circuits, then you very likely learned to use modeling and simulation toolsthat were optimized for that domain. Employing a more general systems symbolism like bond graphwill not necessarily increase your e�ciency in domain{speci�c modeling and design, but it mayincrease your insight into system behavior. )) [ROS93]

Remerciements 9

Remerciements

Je tiens tout d'abord �a remercier les groupes (( The{The )), (( The Charlatans )),(( House of Love )), (( Blur )), (( That Petrol Emotion )), : : : etc, sans oublier biensûr (( The Smiths )). Par leur univers musical, ils ont contribu�e �a ma (profonde)inspiration pour la r�edaction de ce m�emoire.

En outre, je souhaite remercier chaleureusement les footballeurs du Paris StGermain Football Club qui nous ont fait vivre ces derni�eres ann�ees, des saisonseurop�eennes inoubliables. J'en pro�te pour adresser un clin d'oeil aux anciensv�et�erans de l'AS Dardilly avec qui j'ai pris plaisir �a (( taquiner le ballon )).

La recherche e�ectu�ee au cours d'une th�ese prend place dans un certain cadre detravail et ce cadre conditionne l'�epanouissement du chercheur. Le mien a �et�e celuidu laboratoire d'Automatique Industrielle de l'insa de Lyon et les ann�ees pass�eesdans ce laboratoire resteront �a jamais tr�es positives dans ma m�emoire. J'en tienspour responsables tous les membres du laboratoire qui ont, �a un moment ou �a unautre, contribu�e �a cet �epanouissement. Pour cette raison, je souhaite leur exprimertoute ma reconnaissance, en particulier �a Mlle Monique Sanchez, secr�etaire dulaboratoire, le personnel permanent et mes coll�egues chercheurs.

Je ne peux oublier dans mes remerciements toutes les personnes de l'�equiped'enseignement de m�ecanique g�en�erale du d�epartement G�enie M�ecaniqueConstruction de l'insa de Lyon. Je pense plus particuli�erement �a mon tuteur demonitorat M. G�erard Siarras, professeur agr�eg�e, et MM. Lionel Maiffredy, mâ�trede conf�erences, et Philippe Lonjou, professeur agr�eg�e, qui par leur disponibilit�e,m'ont �et�e d'une aide pr�ecieuse lors de la pr�eparation de mes s�eances de travauxdirig�es dispens�ees aux �el�eves ing�enieurs de deuxi�eme et troisi�eme ann�ees de l'insade Lyon. J'associe �a ces remerciements F�elix Pfister, docteur de l'insa de Lyon,pour les discussions passionn�ees que nous avons eues.

J'adresse un grand merci �a M. �Eric Bideaux, mâ�tre de conf�erences au laboratoired'Automatique Industrielle, avec qui (( j'ai bien voulu )) partager un bureau, unearmoire et un t�el�ephone. Malgr�e son goût (( exag�er�e )) pour le water{polo et sonaversion (( injusti��ee )) pour le football, sachez que sa contribution, par nos discussionsscienti�ques et ses remarques parfois piquantes mais n�eanmoins toujours pertinentes,a fait pour beaucoup dans la pr�esentation de ce m�emoire.

Il est des rencontres tr�es enrichissantes. Pour ma part, j'ai eu la chance deconnâ�tre des personnes qui m'ont beaucoup apport�e dans mes propres r�eexions.Je voudrais leur exprimer ici toute ma gratitude. La premi�ere personne est M.Ashraf Zeid, lecturer aux universit�es du Michigan et de Oakland aux �Etats{Unis,qui grâce �a notre rencontre et nos �echanges e{mail m'a permis de pr�eciser certainspoints de ma recherche. La seconde personne est M. Peter Breedveld, associateprofessor �a l'universit�e de Twente au Pays{Bas, dont l'enseignement et les discoursd'une grande justesse et clart�e, m'ont toujours �eclair�e. La troisi�eme personne est

10 Remerciements

M. Michel Fayet, Professeur �a l'insa de Lyon, qui par sa personnalit�e a provoqu�echez moi un engouement pour la discipline de la m�ecanique. En�n, j'associe �a cesremerciements les personnes de la soci�et�e imagine �a Roanne, en particulier MM.Michel Lebrun, Marc Alirand et Claude Richards qui m'ont fait pro�ter de leurexp�erience en mod�elisation et simulation.

J'exprime par ailleurs toute ma reconnaissance envers les membres de mon juryde th�ese qui m'ont accord�e de leur temps et m'ont fait l'honneur de juger les travauxpr�esent�es dans ce m�emoire. Je pense notamment �a Mme Genevi�eve Dauphin-Tanguyprofesseur �a l'�Ecole Centrale de Lille, pr�esidente du jury ; M. Donatien Le Hou�edec,professeur �a l'�Ecole Centrale de Nantes, M. Michel Lebrun, Mâ�tre de Conf�erences�a l'Universit�e Claude Bernard de Lyon, et M. Peter Breedveld, associatesprofessor �a l'Universit�e de Twente (Pays-Bas), rapporteurs de ce m�emoire ; M.Michel Fayet, professeur �a l'insa de Lyon, et M. Louis Jezequel professeur �al'�Ecole Centrale de Lyon, examinateurs.

En�n, je tiens �a remercier tout sp�ecialement M. Serge Scavarda, professeurau laboratoire d'Automatique Industrielle, directeur de cette th�ese, et initiateur dulangage bond graph en France. Il m'a non seulement ouvert sans aucune r�eserve�a ses connaissances en automatique et en bond graph, mais aussi communiqu�e sapassion pour la recherche. Ce fut pour moi un tr�es grand honneur d'être l'un de seschercheurs.

�A chacun des �ev�enements de ma vie, je ne manque pas d'avoir unepens�ee pour les personnes qui m'ont donn�e l'initiative, la libert�e et

l'enthousiasme de faire ce que je fais : mes parents, : : :

�A Jo et Henry qui en m'accueillant dans leur Chapelle, ont contribu�e�a la r�ealisation de ce m�emoire, : : :

�A Cathy et �a Anton l'enfant que nous portons : : :

Table des mati�eres 13

Table des mati�eres

Avant propos 7

Remerciements 9


Nomenclature g�en�erale 17

1 Introduction. M�ecanique : : : et bond graph 23

1.1 Au commencement : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2 Notations et pr�esentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3 Les proc�edures de repr�esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.1 Approche analytique{graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.2 Approche graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.3 Autres travaux sur la repr�esentation . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4 Concepts de la m�ecanique �a travers le bond graph . . . . . . . . . . . 29

1.4.1 �Equations de Lagrange, �equations d'Euler, multiplicateurs deLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.2 Transformation des �el�ements inertiels d�ependants . . . . . . . . 30

1.4.3 Autres concepts mis en �evidence �a travers le bond graph . . . . 31

1.5 Mise en forme du mod�ele math�ematique pour la simulation . . . . . . 32

1.6 : : : contribution de ce m�emoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Repr�esentation bond graph des syst�emes m�ecaniques multicorps 37

2.1 Proc�edure de Karnopp et Rosenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1 Exemple d'un syst�eme bielle{manivelle . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Notation multibond graph et grandeurs de la m�ecanique . . . . . . . . 43

2.2.1 Notations multibond graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.2 Les grandeurs de la m�ecanique en bond graph . . . . . . . . . . 49

2.3 Proc�edure syst�ematique au niveau graphique : Tiernego et Bos . . . . 53

2.3.1 Multibond graph du solide en mouvement dans l'espace . . . . 53

2.3.2 Multibond graphs des liaisons usuelles . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3.3 Proc�edure de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

14 Table des mati�eres

3 Repr�esentation bond graph privil�egi�ee des syst�emes m�ecaniques

multicorps 69

3.1 Exemple introductif : Pendule d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2 Mise en place de la repr�esentation multibond graph privil�egi�ee . . . . 71

3.2.1 Repr�esentation multibond graph privil�egi�ee du solide enmouvement dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2.2 Word bond graphs des syst�emes m�ecaniques multicorpsposs�edant des boucles cin�ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.3 Liaisons usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2.4 Proc�edure de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2.5 Exemple de la machine �a former . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 Choix du rep�ere privil�egi�e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.3.1 Vers une syst�ematisation du choix du rep�ere privil�egi�e . . . . . 83

3.3.2 Vers la recherche d'un meilleur compromis dans le choix desrep�eres privil�egi�es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.3.3 Proc�edure simpli��ee pour le choix des rep�eres privil�egi�es . . . . 92

3.3.4 Application �a la machine �a former . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4 Repr�esentation bond graph de la liaison de contact ponctuel 97

4.1 Contact ponctuel entre deux solides �a pro�l param�etr�e quelconque dansun mouvement plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.1.1 Description de la liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.1.2 Ph�enom�enes de contrainte au contact . . . . . . . . . . . . . . 101

4.1.3 Repr�esentation bond graph de la liaison . . . . . . . . . . . . . 103

4.1.4 Introduction structurelle des ph�enom�enes de dissipation aucontact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.1.5 Validation de la repr�esentation �a travers les �equations deLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.1.6 Exemple du syst�eme came{galet suiveur . . . . . . . . . . . . . 114

4.2 Contact ponctuel entre deux surfaces param�etr�ees quelconques dansun mouvement tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.2.1 Description de la liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.2.2 Ph�enom�enes de contrainte au contact . . . . . . . . . . . . . . 122

4.2.3 Repr�esentation bond graph de la liaison . . . . . . . . . . . . . 124

4.2.4 Introduction structurelle des ph�enom�enes de dissipation aucontact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.3 Caract�eristiques des �el�ements IR au contact . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.3.1 Ph�enom�enes de dissipation de type visqueux . . . . . . . . . . 126

4.3.2 Mod�ele issu des lois de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.3.3 Autres types de mod�ele de ph�enom�ene de dissipation au contact135

4.4 Cas de simpli�cation du bond graph de la liaison de contact ponctuel 136

4.4.1 Simpli�cation due �a la forme du solide en contact . . . . . . . . 136

4.4.2 Simpli�cation due aux hypoth�eses faites sur le contact . . . . . 139

4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141


5 M�ecanique analytique et bond graph 143

5.1 Variables et param�etres dans la mod�elisation des syst�emes m�ecaniquesmulticorps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.1.1 Coordonn�ees g�en�eralis�ees, �equations de liaison et degr�e de libert�e1475.1.2 �Equations de liaison et degr�e de libert�e �a travers le bond graph 1505.1.3 Types de variable �a travers le bond graph . . . . . . . . . . . . 1545.1.4 Rotation �nie du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.2 Formes des �equations dynamiques �a travers le bond graph . . . . . . . 1605.2.1 Les �equations de Newton{Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.2.2 �Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.2.3 �Equations d'Euler{Lagrange | prise en compte des quasi{

vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.2.4 �Equations de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.2.5 Conclusion sur les formes d'�equations dynamiques . . . . . . . 188

5.3 Reformulation du mod�ele math�ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.3.1 �El�ements II d�ependants ramen�es �a travers un transformateur . 1895.3.2 M�ethode de stabilisation de Baumgarte . . . . . . . . . . . . . 1935.3.3 M�ethodes des perturbations singuli�eres | M�ethodes des

p�enalisateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.4 Conclusion sur la m�ecanique analytique �a travers le bond graph . . . . 205

6 Conclusion. Bond graph : : : et m�ecanique 207

Bibliographie 213

Nomenclature d�etaill�ee 225

Annexes 233

A Introduction au langage bond graph 233

B Bases du langage bond graph 243

C Sur la vraie nature des sources de pesanteur en bond graph 253

D Transformation des �el�ements II et IM IG IY �a travers un transformateurmodul�e - Application au solide en mouvement �a point �xe 257

E Justi�cation de la forme de la condition cin�ematique de contactponctuel 263

F Utilisation des contraintes globales de causalit�e pour l'a�ectationcausale du bond graph 265

G Exemples de repr�esentations bond graph de syst�emes m�ecaniquesmulticorps 269

G.1 Robot 2R1T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271G.1.1 Description du syst�eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271G.1.2 Construction du bond graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

16 Table des mati�eres

G.2 Pendule d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281G.2.1 Application de la proc�edure de Tiernego et Bos . . . . . . . . . 281G.2.2 Application de la proc�edure de repr�esentation privil�egi�ee . . . . 288

G.3 Machine �a former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291G.3.1 Repr�esentation bond graph privil�egi�ee de la machine �a former . 292G.3.2 Repr�esentation bond graph obtenue par la proc�edure de

Tiernego et Bos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298G.3.3 Repr�esentation bond graph obtenue par la proc�edure de

Karnopp et Rosenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300G.3.4 Conclusion sur les repr�esentations bond graph de la machine �a

former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302G.4 Robot Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

G.4.1 Param�etrage et rep�erage solide par solide . . . . . . . . . . . . 306G.4.2 Repr�esentation privil�egi�ee du robot Delta . . . . . . . . . . . . 310G.4.3 Repr�esentation issue de la proc�edure de Tiernego et Bos . . . . 325G.4.4 Bilan compar�e des transformateurs pr�esents dans les

repr�esentations bond graph du robot delta . . . . . . . . . . . . 332G.5 Came{galet suiveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

G.5.1 Repr�esentation bond graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333G.5.2 �Etude graphique de la repr�esentation bond graph du syst�eme

came{galet suiveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336G.5.3 Mod�ele d'�etat du syst�eme came{galet suiveur issu de sa

repr�esentation bond graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342G.6 Volant gyroscopique roulant sans glisser sur une table . . . . . . . . . 347


Nomenclature g�en�erale

Nous pr�esentons ici les notations communes �a tout le m�emoire. Une liste d�etaill�eedes notations chapitre par chapitre et des d�e�nitions est disponible au d�ebut des

annexes. Par convention dans cette nomenclature, a, b et c repr�esentent des grandeursou objets math�ematiques quelconques.

t Le temps.g Acc�el�eration de pesanteur.R Corps des r�eels.C Corps des complexes.

h;i;j;k;l;m;n;r;s;t Ces indices joueront souvent le rôle d'indice muet.

Styles de caract�ere

italique Grandeurs variables.roman Grandeurs constantes.

Accents

_a D�eriv�ee premi�ere de a par rapport au temps.a D�eriv�ee seconde de a par rapport au temps.~a Grandeur �a caract�ere virtuel (puissance, vitesse).â Grandeur exprim�ee en termes de quasi{vitesses (co{�energie

cin�etique).aT Vecteur colonne transpos�e ou matrice transpos�ee.a�1 Matrice inverse.a� Co{�energie.

Op�erateurs et fonctions

da Accroissement in�nit�esimal de a dans le temps.�a Variation de a.dadt D�eriv�ee de a par rapport au temps.@a@b D�eriv�ee partielle premi�ere de a par rapport �a b.@2a@b2

D�eriv�ee partielle seconde de a par rapport �a b.Radt Int�egration de la variable a par rapport au temps.

a ^ b Produit vectoriel de a par b.(~a;~b;~c) Produit mixte des trois vecteurs ~a, ~b et ~c.~a � ~b Produit scalaire entre les vecteurs ~a et ~b.

18 Nomenclature g�en�erale

k~ak Norme du vecteur ~a.a�b Produit des matrices a et b.

X�b�

Op�erateur lin�eaire associ�e au produit vectoriel : ~a^~b � X[b] � a (cf.page 55).P

h

Sommation sur l'indice h.

NPh=1

Sommation entre les bornes 1 et N .PSi2�

Sommation sur les solides Si d'un syst�eme multicorps.

a(b) a fonction de b.jaj Valeur absolue de a.cos Fonction cosinus.sin Fonction sinus.tan Fonction tangente.cot Fonction cotangente.

Min() Fonction minimum.Max() Fonction maximum.sgn() Fonction signe.

Vecteurs et matrices

~a Vecteur de l'espace vectoriel R3 utilis�e essentiellement pour lesgrandeurs vectorielles de la m�ecanique.

a Vecteur colonne de dimension quelconque.�a�Ri

Grandeur vectorielle projet�ee dans le rep�ere Ri.�a�

Grandeur matricielle.

Caract�eristique du solide

Si Solide i.� Symbole indiquant un syst�eme de solides.Ri Rep�ere (Oi,~xi,~yi,~zi) orthonorm�e attach�e au solide Si, o�u Oi est

l'origine, (~xi,~yi,~zi) la base vectorielle. Un indice (( 0 )) caract�eriserale solide r�ef�erentiel absolu (cet indice sera g�en�eralement omis pourle point origine du r�ef�erentiel absolu).

Gi Centre d'inertie du solide Si.mi Masse du solide Si.IGi Tenseur d'inertie du solide Si calcul�e en son centre d'inertie.

IOi Tenseur d'inertie du solide Si calcul�e au point Oi.Ji Moment d'inertie du solide Si par rapport �a un axe.

x, y, z Coordonn�ees cart�esiennes (une lettre en indice indiqueg�en�eralement le point rep�er�e).

� Position angulaire (un indice indique g�en�eralement le solideparam�etr�e).

Notations m�ecanique et bond graph

diadt D�eriv�ee de a par rapport au temps dans le rep�ere Ri.


M,M1,M2 Points de l'espace a�ne associ�e �a R3.

Mj Point �xe par rapport au solide Si et �gurant une liaison impliquantSi.

Mk Point non �xe par rapport au solide Si et �gurant une liaisonimpliquant Si.

�!MN Vecteur associ�e au bipoint (MN).MNh Vecteur

�!MN projet�e dans le rep�ere Rh.

~F Vecteur d'action m�ecanique.~Fext=Si Vecteur d'action m�ecanique ext�erieure appliqu�ee au solide Si.~Fext=� Vecteur d'action m�ecanique ext�erieure appliqu�ee au syst�eme de

solides �.~Fj=i Vecteur de l'action m�ecanique du solide Sj sur le solide Si.

F hj=i Vecteur~Fj=i projet�e dans le rep�ere Rh.

~Pi Vecteur poids du solide Si.Phi Vecteur

~Pi projet�e dans le rep�ere Rh.

~M Vecteur moment d'action m�ecanique.~Mext=Si(M) Vecteur moment au point M de l'action m�ecanique ext�erieure

appliqu�ee au solide Si.~Mext=�(M) Vecteur moment au point M de l'action m�ecanique ext�erieure

appliqu�ee au syst�eme de solides �.~Mj=i(M) Vecteur moment au point M de l'action m�ecanique du solide Sj sur

le solide Si.Mhj=i(M) Vecteur

~Mj=i(M) projet�e dans le rep�ere Rh.

~MPi(M) Vecteur moment au point M du poids du solide Si.

~V Vecteur vitesse.~V i(M) Vecteur vitesse du point M dans son mouvement par rapport au

rep�ere Ri.V h;i(M) Vecteur ~V i(M) projet�e dans le rep�ere Rh.V ha;i(M) Composante du vecteur ~V i(M) sur l'axe ~ah.~V ij (M) Vecteur vitesse d'entrâ�nement (ou vitesse du point co�ncidant) du

point M dans le mouvement du rep�ere Rj par rapport au rep�ereRi. Si M est un point de contact, ce vecteur correspond �a la vitessede glissement.

V h;ij (M) Vecteur~V ij (M) projet�e dans le rep�ere Rh.

~J i(M) Vecteur acc�el�eration du point M dans son mouvement par rapportau rep�ere Ri.

~ Vecteur vitesse de rotation instantan�ee.~ij Vecteur vitesse de rotation instantan�ee du rep�ere Rj par rapport

au rep�ere Ri.


h;ij Vecteur~ij projet�e dans le rep�ere Rh.

ha;ij Composante du vecteur~ij sur l'axe ~ah.

~� Vecteur quantit�e de mouvement ou somme cin�etique.

~� Vecteur moment cin�etique.~�i(M) Vecteur moment cin�etique au point M dans le mouvement par

rapport au rep�ere Ri.

~� Vecteur quantit�e d'acc�el�eration ou somme dynamique.~�i Vecteur quantit�e d'acc�el�eration ou somme dynamique dans le

mouvement par rapport au rep�ere Ri.~�i� Vecteur quantit�e d'acc�el�eration ou somme dynamique du syst�eme

de solides � dans son mouvement par rapport au rep�ere Ri.~�iSj Vecteur quantit�e d'acc�el�eration ou somme dynamique du solide Sj

dans son mouvement par rapport au rep�ere Ri.�h;iSj Vecteur

~�iSj projet�e dans le rep�ere Rh.

~� Vecteur moment dynamique.~�i(M) Vecteur moment dynamique au point M dans le mouvement par

rapport au rep�ere Ri.~�i�(M) Vecteur moment dynamique au point M du syst�eme de solides �

dans son mouvement par rapport au rep�ere Ri.~�iSj(M) Vecteur moment dynamique au point M du solide Sj dans son

mouvement par rapport au rep�ere Ri.�h;iSj(M) Vecteur ~�iSj(M) projet�e dans le rep�ere Rh.hAji

iMatrice de changement de base du rep�ere Ri au rep�ere Rj .

P Puissance.

fTg Torseur.fTact.g Torseur des actions m�ecaniques.fText=�g Torseur des actions m�ecaniques ext�erieures appliqu�ees au syst�eme

de solides �.fTcin�em.g Torseur cin�ematique.fTcin�et.g Torseur cin�etique.fTdyn.g Torseur dynamique.fT 0dyn:g� Torseur dynamique du syst�eme de solides � dans son mouvement

par rapport au rep�ere R0.

L Lagrangien.H Hamiltonien.T �Energie cin�etique.U �Energie potentielle.ql le coordonn�ee g�en�eralis�ee.


pl le impulsion g�en�eralis�ee.�k ke contrainte cin�ematique entre les coordonn�ees g�en�eralis�ees.�k Multiplicateur de Lagrange associ�e �a la ke contrainte cin�ematique.Ql Force g�en�eralis�ee relative �a la coordonn�ee g�en�eralis�ee ql.

L(a) �Equation de Lagrange en terme de a.

e Variable d'e�ort.f Variable de ux.p Variable de moment g�en�eralis�e.q Variable de d�eplacement g�en�eralis�e.

+ Lien bond graph.I,C �El�ements de stockage d'�energie de type inertiel, de type capacitif.II, IC �El�ements de stockage d'�energie multiport de type inertiel, de type

capacitif.II IC �El�ement de stockage d'�energie multiport �a deux champs, l'un

inertiel, l'autre capacitif.~I; ~II �El�ement inertiel virtuel, �el�ement inertiel multiport virtuel.

(M)R �El�ement de dissipation d'�energie (modul�e).(IM)IR �El�ement de dissipation d'�energie multiport (modul�e).

(M)Se,(M)Sf Source d'e�ort (modul�ee), source de ux (modul�ee).(IM) ISe,(IM) ISf Source d'e�ort multiport (modul�ee), source de ux multiport

(modul�ee).(M)TF Transformateur (modul�e).(IM) ITIF Transformateur multiport (modul�e).(M)GY Gyrateur (modul�e).(IM) IG IY Gyrateur multiport (modul�e).

0,1 Jonction 0, jonction 1.0; 1 Jonction tableau 0, jonction tableau 1.

0n; 1n Jonction tableau 0 de dimension n, jonction tableau 1 de dimensionn.h

IGi

ii

Matrice caract�eristique de l'�el�ement II de la dynamique de rotation

du multibond graph du solide Si (calcul�ee en Gi et dans le rep�ereRi).h

IOi

ii

Matrice caract�eristique de l'�el�ement II de la dynamique de rotation

du multibond graph du solide Si (calcul�ee en Oi et dans le rep�ereRi).�

EJSGi�i

Matrice caract�eristique de l'�el�ement IM IG IY de la dynamique derotation du multibond graph du solide Si (calcul�ee en Gi et dansle rep�ere Ri).


�EJSOi

�i

Matrice caract�eristique de l'�el�ement IM IG IY de la dynamique derotation du multibond graph du solide Si (calcul�ee en Oi et dansle rep�ere Ri).�

mi�

Matrice diagonale caract�eristique de l'�el�ement II de la dynamiquede translation du multibond graph du solide Si.

Introduction

M�ecanique : : : et bond graph

(( On trouve encore dans les m�emoires classiques, o�u la profondeur dela pens�ee et la justesse du raisonnement se manifestent sous une forme

remarquablement lucide et �el�egante, le secret d'exposer les d�ecouvertes etles conceptions scienti�ques d'une fa�con claire et pr�ecise, comme l'ont

demand�e �a plusieurs reprises les savants les plus illustres de notretemps. ))

Maurice Solovine, 1955

La mod�elisation s'implique dans une d�emarche d'�etude de syst�eme pour obtenirdes informations qualitatives et quantitatives sur son comportement et ses

performances, ceci en toute abstraction du syst�eme r�eel.

�Etablir un mod�ele de connaissances apparâ�t comme la caricaturisation dusyst�eme [BOR92a] ou la projection du syst�eme dans l'esprit du mod�elisateur [BRE96]. Lamod�elisation rend alors compte de cette projection de fa�con cod�ee et compr�ehensible�a travers un formalisme. Elle passe par une description (( litt�erale )) ou par les motsdu syst�eme puis une repr�esentation sous la forme d'un dessin, d'un sch�ema ou d'ungraphe r�epondant �a des r�egles d�e�nies au pr�ealable. Le bond graph est l'une de cesrepr�esentations graphiques poss�edant en outre ses propres proc�edures d'exploitationanalytique et structurelle. Il intervient donc dans la mod�elisation comme un outil derepr�esentation 1.

1.1 Au commencement : : :

Un des premiers livres faisant r�ef�erence sur la pr�esentation du langage bondgraph est sans aucun doute celui de Karnopp et Rosenberg en 1968 [KAR68].

Il est pr�efac�e par l'inventeur de ce langage, H. M. Paynter qui en 1959 a ressentila n�ecessit�e de repr�esenter les concepts de port d'�energie, de lien de puissance etd'�el�ement multiport mieux que pouvait le faire le sch�ema bloc ou les graphes de

1: Cependant, des travaux r�ecents montrent qu'il peut être adapt�e �a une d�emarche de conception(notamment de m�ecanisme) [BID94], de dimensionnement [FOT97] ou de synth�ese d'imp�edance[RED93a], [RED93b].

24 Introduction. M�ecanique : : : et bond graph

uence ((( signal ow graph ))) 2. Le formalisme est alors publi�e pour la premi�ere foisen 1961 [PAY61]. Deux autres �editions du livre de Karnopp et Rosenberg ont parudepuis [KAR75] et [KAR90].

L'utilisation du langage bond graph couvre tous les domaines de la physiquepuisqu'il repose sur les variables fondamentales communes �a chaque discipline,l'�energie et la puissance. L'�economie ou la �nance peut aussi être appr�ehend�ee�a travers ce langage. Le bond graph propose une repr�esentation uniformis�ee dessyst�emes pluridisciplinaires qui sont omnipr�esents dans l'ing�enierie d'aujourd'hui.

La m�ecanique (et toutes ses branches : m�ecanique des corps ind�eformables,m�ecanique des milieux continus, m�ecanique des uides, : : : ) se trouve impliqu�ee d�esle d�epart dans les repr�esentations bond graph au même titre que d'autres domainesde la physique [KAR68]. Ainsi, des syst�emes monodimensionnels (masses et ressorts entranslation, en rotation, r�educteurs, : : : ) servent tout d'abord �a pr�esenter di��erents�el�ements bond graph �a travers les ph�enom�enes �energ�etiques attach�es �a la dynamiquede ces syst�emes. Ensuite, le solide en mouvement dans l'espace est trait�e sur la basedu bond graph associ�e aux �equations de Newton{Euler puis l'interconnection deplusieurs solides est mise en place [KAR68].

Une attention particuli�ere est port�ee en 1969 par Karnopp [KAR69] sur lestransformations conservatrices en puissance ((( power conserving transformations ))).Ces transformations expriment des relations entre les termes cin�ematiques faisantintervenir en l'occurrence les vitesses g�en�eralis�ees. Karnopp explique que cesrelations ne peuvent s'�ecrire que par n�ecessit�e de la conservation de puissance, et dece fait, sont jumel�ees �a des relations duales liant les forces g�en�eralis�ees. Ce point estessentiel a�n de comprendre les premi�eres proc�edures �enonc�ees pour la constructiondu bond graph des syst�emes m�ecaniques multicorps. En e�et, ces proc�edures sontbas�ees d'abord sur l'�ecriture de relations cin�ematiques puis sur l'ajout d'�el�ements�energ�etiques (cf. section 2.1). Karnopp en �enonce la premi�ere version [KAR69], repriseensuite par Rosenberg [ROS72], et �nalement dans leurs ouvrages communs [KAR75],[KAR90].

Karnopp par ailleurs, met en �evidence ce qui distingue le domaine de la m�ecaniquedu domaine de l'�electrique par exemple. Les transformations conservatrices enpuissance �evoqu�ees pr�ec�edemment sont �etablies pour la m�ecanique plus facilementen termes de vitesse et celles en termes d'e�ort ne peuvent se faire sans l'utilisationdes variables de d�eplacement ou de position [KAR69], [KAR77] 3.

En�n, signalons quelques exemples d'application m�ecanique trait�es avec l'outil

2:(( Following Peirce, then, we adopted the convention of graphing each multiport as a nodal

element, representing a particular constraint among the power bonds. But for circuits, then, thiswould require that we represent the two Kirchhoff laws, themselves, as manifest multiportnodes! )).

3: Ce constat est �a nuancer si un domaine tridimensionnel �electrique ou magn�etique est envisag�epar exemple.

Introduction. M�ecanique : : : et bond graph 25

bond graph. Outre l'ouvrage de Karnopp et al. [KAR90] proposant de nombreuxexemples, nous trouvons �a travers les r�ef�erences cit�ees dans ce chapitre plusieursapplications illustrant les travaux pr�esent�es.

Karnopp [KAR76] illustre la repr�esentation correspondant aux �equations d'Eulerpar des exemples simples de v�ehicules et d'a�eronefs. Pacejka et Tol [PAC82]d�eveloppent le mod�ele deux roues d'un v�ehicule, le mod�ele d'un train avant, eten�n, celui d'un camion. Ils prennent aussi en compte des mod�eles simpli��es de ladynamique du pneumatique.

Bos quant �a lui d�eveloppe la repr�esentation compl�ete d'une motocyclette [BOS86],[BOS87].

Dans le domaine ferroviaire, Zeng et Dai [ZEN93] pr�esentent le bond graphd'un pont bas�e sur le mod�ele Bernoulli{Euler d'une poutre et l'utilisation dela d�ecomposition modale de cette derni�ere. Ils d�eveloppent la repr�esentation bondgraph du v�ehicule ferroviaire sur ce pont comme exemple complet d'application.

Parmi les exemples industriels peuvent être cit�ees une plateforme trois axes[TIE79], une machine de d�ecoupe de tissu [ALL81], ou encore une pince �a souder�electro{pneumatique [DET91].

Nous pr�esentons ce chapitre bibliographique en cinq th�emes qui nous ont paru sed�egager des r�ef�erences cit�ees. Concernant la m�ecanique, seront vues tour �a tour :

{ les di��erentes notations et pr�esentations du bond graph,

{ les proc�edures de construction du bond graph,

{ les formulations de la m�ecanique �a travers le bond graph,

{ la mise en forme des mod�eles math�ematiques issus du bond graph en vue de lasimulation,

Nous terminons ce chapitre en pr�ecisant la contribution de ce m�emoire.

La bibliographie pr�esent�ee n'est bien �evidemment pas exhaustive et de nombreusesautres r�ef�erences sont disponibles chez Breedveld et al. [BRE91b]. Ils donnent enl'occurrence une bonne id�ee de l'�eventail des domaines d'application o�u le langagebond graph peut être utilis�e. En�n, les moyens de communication informatiquepermettent maintenant de disposer d'une large bibliographie bond graph sur le r�eseauinformatique international www (World Wide Web) [CEL97].

1.2 Notations et pr�esentations

La symbolique du langage bond graph est bas�ee initialement sur la repr�esentationde syst�emes monodimensionnels. Cependant, une notation condens�ee est

devenue tr�es rapidement n�ecessaire lorsqu'il s'est agi de traiter des domaines �a


plusieurs dimensions comme celui de la m�ecanique [ALL79], [ALL81]. L'ajout d'une oudeux dimensions dans un domaine double ou triple approximativement le nombre deliens et d'�el�ements dans la repr�esentation. Une notation condens�ee permet donc dela rendre plus synth�etique.

Les premiers travaux dans ce sens ont �et�e e�ectu�es par Sen [SEN74] puis parBonderson [BON75] sur une application �a param�etres r�epartis. Breedveld [BRE82],[BRE85a] a ensuite compl�etement formalis�e la notation appel�ee alors multibondgraph. Elle restera le standard pour la plupart des travaux relatifs aux syst�emesmultidimensionnels.

Cependant, plusieurs auteurs ont travaill�e sur d'autres notations ou pr�esentationsdu bond graph. Ainsi, Beauwin et Lorenz [BEA88b] ont mis en �evidence, en adaptantla notation multibond graph, l'aspect torsorielle en m�ecanique.

Du point de vue de la symbolique, les premiers auteurs ont pr�esent�e une notationbond graph qu'ils quali�ent de vectorielle [SEN74], [BON75]. Chez Ingrim et Masada[ING91b], [ING91a], cette derni�ere est appel�ee bond graph �etendu ((( extended bondgraph ))). En g�en�eralisant le concept de vecteur �a des ordres sup�erieurs, Fahrentholdet Wargo [FAH94] pr�esentent une notation tensorielle pour le bond graph en vue del'appliquer �a des syst�emes �a param�etres r�epartis.

En outre, un caract�ere intrins�eque a �et�e introduit dans la notation parFahrenthold et Wargo [FAH91] pour des grandeurs vectorielles d'une part, etpar Bidard [BID94] pour les grandeurs torsorielles d'autre part. Ces notationspermettent �a ces auteurs de travailler sur les syst�emes m�ecaniques multicorpsind�ependamment de toute base de projection.

Il reste que l'un des principaux objectifs du bond graph est son exploitationanalytique et en cela, la notation multibond graph est selon nous la mieux formalis�eeet la mieux adapt�ee compar�ee aux notations vectorielles et torsorielles intrins�equespr�ec�edentes.

Signalons en�n une pr�esentation classique du bond graph avec un e�et 3Dgrâce aux moyens informatiques. Granda et Reus [GRA95] montrent �a travers lelogiciel camp{g (Computer{Aided Modeling Program) les avantages que peut avoircette pr�esentation tridimensionnelle du bond graph pour les syst�emes m�ecaniquesmulticorps mais aussi ceux �a param�etres r�epartis o�u la m�ethode des �el�ements �nispar exemple est appliqu�ee.

1.3 Les proc�edures de repr�esentation

Le b�en�e�ce du langage bond graph dans le domaine de la m�ecanique multicorpsimplique l'utilisation de proc�edures de construction e�caces. Elles se jugent �a

leur rapidit�e de prise en main, leur aspect syst�ematique et leur capacit�e �a ne pasd�enaturer la discipline.


De nombreux auteurs ont propos�e une proc�edure de construction du bond graphpour les syst�emes m�ecaniques multicorps. Nous d�egageons dans la bibliographiedeux approches. La premi�ere concerne une cat�egorie de proc�edures n�ecessitant und�eveloppement analytique pr�ealable �a la construction. La seconde approche permetde mettre en place directement la repr�esentation bond graph sans phase analytique.

1.3.1 Approche analytique{graphique

Les initiateurs de cette approche sont Karnopp et Rosenberg [KAR69], [ROS72],[KAR90]. Ils basent la construction sur l'�ecriture des relations cin�ematiques, lad�eduction de la structure de jonction et l'ajout du reste des �el�ements bond graphidenti��es au travers des ph�enom�enes pr�esents dans le syst�eme.

Avec la même approche, Allen et Dubowsky [ALL77] s'emploient �a tirer de lacin�ematique compl�ete d'un syst�eme m�ecanique multicorps, une structure de jonction((( mechanism ))) o�u apparaissent distinctement les vitesses g�en�eralis�ees d�ependanteset ind�ependantes. Cet �el�ement statique multiport rend compte des mobilit�es d'unm�ecanisme, boucl�e ou non cin�ematiquement, grâce �a l'a�ectation de la causalit�e.Cette approche a �et�e reprise d'un point de vue alg�ebro{torsoriel par Bidard [BID94].Ils ajoutent ensuite dans l'environnement de la structure, les �el�ements de stockaged'�energie et de dissipation via des transformations de variables. La mise en place dubond graph se fait ici de fa�con analogue �a la proc�edure de Karnopp et Rosenberg �apartir des relations cin�ematiques du syst�eme �ecrites au pr�ealable.

Brown [BRO81] quant �a lui base la construction du bond graph sur le conceptde mod�elisation par les m�ethodes �energ�etiques �a opposer aux m�ethodes directess'appuyant sur les principes de conservation. Il reformule les �equations de Lagrangeet construit une repr�esentation bond graph, d'une part �a partir des termes d'�energieservant �a d�eterminer le lagrangien, et d'autre part, �a partir des transformations decoordonn�ee, pour les syst�emes holonomes [BRO72b] et les syst�emes non holonomes[BRO76]. Cependant, pratiquement toute la partie analytique est �ecrite du point devue cin�ematique et dynamique avant même la mise en place du bond graph.

En�n, signalons une tentative de mise en place d'une proc�edure qui n'a delagrangien que le nom [ZHA85]. Elle consiste en fait �a �ecrire les relations cin�ematiquesentre di��erents vecteurs cl�es rappelant la proc�edure de Karnopp et Rosenberg. Und�eveloppement analytique est donc aussi n�ecessaire mais le cas de d�ependance entreles variables g�en�eralis�ees n'est pas trait�e.

1.3.2 Approche graphique

La seconde cat�egorie de proc�edures connait ses pr�emices en 1979 [TIE79].Elle repose sur la mise en place d'une repr�esentation g�en�erique associ�ee auxd�eveloppements analytiques �evoqu�es pr�ec�edemment. Une s�erie de travaux de mêmesauteurs conduit �a une formalisation de la repr�esentation du solide en mouvementdans l'espace [TIE81], [TIE82] pour aboutir �a une proc�edure s'appuyant sur la notation


multibond graph [TIE85], [BOS85b], [BOS86]. La structure de jonction associ�ee est �etablie�a partir de la cin�ematique du solide puis les �el�ements correspondant �a la dynamiqueviennent s'ajouter automatiquement. La repr�esentation obtenue est g�en�erique etpeut être reprise pour tout nouveau solide sans avoir �a d�evelopper de nouveau ni sacin�ematique ni sa dynamique. C'est en cela une proc�edure que nous quali�ons desyst�ematique �a un niveau graphique, �a opposer �a celle de Karnopp et Rosenberg[KAR90] et celle d'Allen et Dubowsky [ALL77]. Grâce �a cette repr�esentation, leconcept de word bond graph est avantageusement utilis�e pour pr�esenter de fa�consynth�etique la mise en liaison de deux solides (couples cin�ematiques inf�erieurs) etdonc un syst�eme multicorps.

Toujours parmi les proc�edures de la seconde cat�egorie, Kawase et al. [KAW84]proposent une construction du bond graph du solide en mouvement similaire �acelle de Tiernego et Bos en syst�ematisant les relations entr�ee{sortie en e�ort{

ux des transformations non �energ�etiques. Ils d�eveloppent alors les �equations dela dynamique sous la forme hamiltonienne pour chacun des solides sans pour celaconstruire le bond graph entier associ�e. Par ailleurs, ils n'�evoquent pas le probl�eme desbouclages cin�ematiques. Plus tard, Kawase et al. [KAW91] pr�esentent la constructionsyst�ematique du bond graph d'un syst�eme m�ecanique multicorps en regroupantles transformations impliqu�ees dans les liaisons et la cin�ematique du solide. Ilsconnectent alors la repr�esentation bond graph correspondant �a l'application au solidedes lois fondamentales de la dynamique. Ils d�eveloppent un algorithme qui r�eduitsymboliquement la taille des �equations syst�ematiquement obtenues du bond graph[OUT85] en tirant de la structure de jonction un tableau d'incidence [KAW91].

1.3.3 Autres travaux sur la repr�esentation

Felez et al. [FEL90] pr�esentent un logiciel de simulation dynamique bas�e surle bond graph mais avec une entr�ee composant et particularis�e aux syst�emesm�ecaniques multicorps. Le logiciel se distingue par l'utilisation explicite etsyst�ematique d'�el�ements pour le traitement algorithmique des multiplicateursde Lagrange �a l'instar de Bos [BOS86] ou encore Van Dijk [VAN94]. Quant au solideen mouvement dans l'espace, ils reprennent la repr�esentation classique de Tiernegoet Bos, et donnent aussi un catalogue de repr�esentations des liaisons usuelles avecl'introduction des �el�ements repr�esentant les multiplicateurs.

Par ailleurs, Zeid et al. [ZEI92] mettent en place une repr�esentation bond graphdu solide en mouvement dans l'espace analogue �a celle de Tiernego et Bos mais o�uils consid�erent syst�ematiquement l'origine du rep�ere li�e au solide au centre d'inertie.Ils donnent un catalogue de liaisons usuelles en introduisant des non lin�earit�es tellesque des jeux. Pour expliciter ces derni�eres, ils reprennent les contraintes de base[NIK88] exprimant la co�ncidence de deux points, une distance constante ou encorel'orthogonalit�e entre deux directions [ZEI95b], [ZEI95c].

En�n, nous signalons le travail de Bidard [BID91], [BID94] qui pr�esente deuxproc�edures de construction syst�ematique de la repr�esentation bond graph d'unm�ecanisme. La premi�ere consiste �a e�ectuer sur chacun des solides composant le


m�ecanisme [BOS86], un bilan des torseurs des actions de liaison. La seconde proc�edurese concentre sur les boucles cin�ematiques [ALL79] et le bilan des torseurs cin�ematiquesqui leur sont attach�es. Ces deux proc�edures correspondent d'un point de vue global�a l'application des lois de Kirchhoff sur un m�ecanisme.

1.4 Concepts de la m�ecanique �a travers le bond graph

En tant qu'outil de mod�elisation, le bond graph permet, �a partir de larepr�esentation graphique, la g�en�eration des �equations dynamiques d'un syst�eme.

La proc�edure classique d'exploitation du bond graph conduit �a une repr�esentationd'�etat, forme applicable �a tous les domaines de la physique.

Cependant, les formulations de la m�ecanique ne sont pas absentes dans larepr�esentation bond graph et plusieurs auteurs mettent en �evidence les concepts lesplus classiques de ce domaine.

1.4.1 �Equations de Lagrange, �equations d'Euler, multiplicateurs deLagrange

D�es 1969, Karnopp [KAR69] parle de la possibilit�e d'�ecrire les �equations deLagrange et en 1977 [KAR77], il propose une proc�edure pour leur obtention ainsique le choix des vitesses g�en�eralis�ees �a partir du bond graph. Il s'appuie notammentsur la d�etermination, �a travers les �el�ements du bond graph, de l'�energie potentielleet de la co{�energie cin�etique constituant le lagrangien du syst�eme. Cependant, cedernier est construit avant l'�ecriture des �equations, d�eduites alors non directementdu bond graph. Il est possible de voir l'importance des �el�ements de gyration d'�energie(appel�es gyrateurs -GY- dans la terminologie bond graph) dans la d�etermination dela co{�energie cin�etique. Cependant, cette d�etermination est limit�ee aux gyrateursposs�edant des modules constants uniquement. Van Dijk [VAN94] l�eve cette restrictiondans la proc�edure lcap d'a�ectation de causalit�e en �ecrivant les �equations deLagrange sans avoir �a d�eterminer le lagrangien et directement �a partir du bondgraph.

Dans le même temps, Karnopp [KAR76], [KAR78] pr�esente de fa�con g�en�erale,le bond graph correspondant aux �equations d'Euler issues de la d�erivation dumoment cin�etique dans un rep�ere mobile (en l'occurrence dans le cas d'un v�ehiculeen mouvement). Elles donnent lieu aux structures de jonction d'Euler (cf. section2.3.1) compos�ees d'un anneau de gyrateurs modul�es ((M)GY) et sont d�esormaisclassiques dans la repr�esentation bond graph des syst�emes m�ecaniques.

Tiernego et Bos travaillent eux sur l'obtention des �equations dynamiquesr�egissant l'�evolution des syst�emes m�ecaniques multicorps �a partir du bond graph[TIE85], [BOS85b]. Dans sa th�ese [BOS86], Bos donne une repr�esentation qui renforce lapr�esence des multiplicateurs de Lagrange dans le bond graph et fournit une aide �ala mise en place algorithmique des �equations de cette m�ethode.


1.4.2 Transformation des �el�ements inertiels d�ependants

Une di�cult�e sous{jacente �a la r�esolution des �equations issues du bond graphpour les syst�emes m�ecaniques, est g�en�eralement la pr�esence de nombreuses inertiesd�ependantes (le mod�ele de simulation revêt alors un caract�ere alg�ebro{di��erentiel).Pour rem�edier �a ce probl�eme, plusieurs travaux ont vis�e �a transformer le bondgraph et �a rendre ainsi ind�ependants, les �el�ements inertiels correspondants. Karnopp�evoque d�ej�a en 1969 [KAR69] la transformation de stockage d'�energie �a travers lestransformateurs (�el�ement TF en bond graph). Il e�ectue cette transformation pourl'�el�ement inertiel (�el�ement I en bond graph) en 1971, dans le cas simple d'une masseponctuelle en mouvement plan [KAR71]. Il met en �evidence que l'�el�ement transform�en'est pas un vrai �el�ement inertiel.

Allen et Dubowsky [ALL77] mentionnent le r�esultat de la transformationd'un �el�ement inertiel (�el�ement I) multiport �a travers un transformateur modul�e(�el�ement MTF) comme correspondant �a la mise en �evidence des termes de Coriolislorsque les quantit�es d'acc�el�eration sont calcul�ees par rapport �a un r�ef�erentielnon galil�een. Allen [ALL79] introduit alors l'�el�ement inertiel virtuel accompagn�en�ecessairement d'un �el�ement repr�esentant les e�ets gyroscopiques (gyristor).L'objectif de ces transformations est toujours de ramener les inerties d�ependantessur celles ind�ependantes en vue de la simulation.

Breedveld [BRE80] corrige Allen [ALL79] sur la propri�et�e de sym�etrie de la matricecaract�eristique li�ee aux ph�enom�enes gyroscopiques sur le bond graph. Il donne lessch�emas de calcul associ�es d'une part �a la forme lagrangienne, et d'autre part, �a laforme hamiltonienne des �equations de mouvement. Cette derni�ere a �et�e pr�esent�eeauparavant par Sen [SEN74].

L'op�eration visant �a transformer les �el�ements inertiels dans le bond graphrevient r�eguli�erement dans di��erents travaux. Dans ce cadre, Felez et al. [FEL95]appliquent la m�ethode des transformations de vitesse et expriment la dynamique dusyst�eme sur un ensemble de coordonn�ees relatives. Ils proposent alors une proc�eduresyst�ematique qui, �a partir d'un bond graph initial obtenu de fa�con classique,transforme les �el�ements inertiels a�n de les rendre ind�ependants [ALL79].

En 1992, Karnopp [KAR92] traite le probl�eme des d�ependances entre les �el�ementsinertiels dans le cas de contraintes holonomes. Il montre que la formulation en termesde coordonn�ee ind�ependante et sous la forme hamiltonienne correspond �a un champcouplant des aspects inertiel et potentiel (�el�ement IC) dans la repr�esentation bondgraph.

Breedveld et Hogan [BRE94] reprennent eux la transformation des inerties etcouplages gyroscopiques associ�es �a la vitesse de rotation instantan�ee �a travers untransformateur modul�e (MTF). Ils pr�esentent le r�esultat de cette manipulation entermes de bond graph avec notamment des �el�ements de stockage couplant aspectsinertiel et potentiel (�el�ement IC multiport non modul�e). Cette repr�esentation estplus juste que celle d'une inertie virtuelle issue de la transformation d'un �el�ement


inertiel (I) multiport [ALL79], [BOS86] �a travers un transformateur modul�e (MTF).En�n, Breedveld et Hogan montrent par le jeu des sch�emas de calcul (causalit�ebond graph), di��erentes formes d'�equation telles que celles reposant sur le lagrangienet l'hamiltonien. Ils montrent aussi la possibilit�e de construire une repr�esentationbond graph o�u les e�ets gyrationnels ne sont pas n�ecessairement repr�esent�es par des�el�ements gyrateurs modul�es (MGY) [KAR71].

Les bond graphs pr�esent�es par Breedveld et Hogan correspondant �a uneformulation hamiltonienne sont d�ej�a pr�esent�es par Brown [BRO91], mais uniquementdans une version exclusivement inertielle (I multiport), ou potentielle (C multiportaccompagn�e d'un �el�ement de gyration d'�energie �a module unitaire ou gyrateursymplectique -SGY-).

1.4.3 Autres concepts mis en �evidence �a travers le bond graph

De mani�ere g�en�erale,Brown [BRO81] pr�ecise des concepts de m�ecanique analytique(vraies et quasi{coordonn�ees, coordonn�ees et vitesses g�en�eralis�ees, contraintesholonomes et non holonomes, : : : ) et les clari�e par rapport au bond graphlagrangien qu'il a pr�esent�e dans ses pr�ec�edents articles [BRO72b], [BRO76].

Breedveld [BRE85b] pr�esente �a travers les concepts physiques g�en�eraux surl'�energie et la puissance, la notion de multiport et la notation multibond graph quiapparaissent en particulier dans le domaine de la m�ecanique multicorps. Il discutedes propri�et�es des di��erents �el�ements multiport d�e�nis (r�eciprocit�e de Maxwell,forme d'Onsager ou de Casimir [KAR90]), �a travers la continuit�e de puissance, laconservation d'�energie et la cr�eation d'entropie.

Bidard [BID92] d�eveloppe des contraintes non locales d'a�ectation de la causalit�e(cycle et co{cycle) correspondant au respect des invariants de Kirchhoff d'unm�ecanisme. Ces contraintes sont d�ej�a �evoqu�ees par Hogan et Fasse [HOG88] commer�epondant aux principes de conservation dans les structures des syst�emes.

Brix et Allirand [BRI94] manipulent les contraintes pr�esentes dans les syst�emesmulticorps de fa�con g�en�erale et en donnent une traduction bond graph �a apparenter�a la m�ethode de projection [GAR94]. Ils retrouvent en l'occurrence les r�esultats dela transformation d'un �el�ement inertiel (I) �a travers un transformateur. Brix etAllirand proposent par ailleurs une repr�esentation bond graph prenant en comptela m�ethode de stabilisation de Baumgarte [BAU84]. Nous verrons dans le chapitre 5(section 5.3.2) une mani�ere plus juste de la repr�esenter.

Sur la base de la construction syst�ematique de Tiernego et Bos, Matthijsseet Breedveld [MAT88] d�eveloppent une m�ethodologie pour d�eterminer les mod�elesdirect et inverse pour les syst�emes m�ecaniques. Elle consiste en deux �etapes : (1)imposer les e�orts en entr�ee et d�eduire du bond graph les �equations constituant alorsle mod�ele direct ; (2) imposer les vitesses en sortie correspondant aux trajectoiresd�esir�ees et d�eterminer avec le bond graph a�ect�e d'une nouvelle causalit�e, les e�orts�a transmettre en entr�ee. Ces deux phases et leur sch�ema de calcul associ�e ont �et�e


r�eunis en un seul bond graph [FOT97] avec l'utilisation du concept de bicausalit�e[GAW95], [GAW96].

En�n, Bidard [BID91], [BID94] travaille sur l'exploitation de la structure de jonctionassoci�ee �a la cin�ematique d'un m�ecanisme pour en d�eduire les propri�et�es topologiquestelles que la d�etermination des mobilit�es et des singularit�es cin�ematiques.

1.5 Mise en forme du mod�ele math�ematique pour la

simulation

Les probl�emes attach�es aux mod�eles de simulation des syst�emes m�ecaniquesmulticorps se r�ev�elent pour la plupart dans la repr�esentation bond graph de

ces syst�emes. Une des raisons est li�ee en l'occurrence aux d�ependances d'�el�ementsinertiels dont il a �et�e question dans la section pr�ec�edente.

Bos [BOS85a] �evoque dans le cadre des syst�emes m�ecaniques multicorps, les�equations implicites issues du bond graph et dues aux d�ependances entre les�el�ements inertiels. Il propose des m�ethodes num�eriques implicites pour la r�esolutiondu syst�eme alg�ebro{di��erentiel correspondant. En 1988 [BOS88], le même auteurpropose un algorithme de simulation pour r�esoudre les syst�emes alg�ebro{di��erentielsissus d'une repr�esentation bond graph g�en�erale [BOS86]. Il montre que ces derniersont un index au plus �egal �a un. Ceci n'est en fait pas toujours le cas lorsque desboucles alg�ebriques existent dans le syst�eme [VAN94].

Dans la perspective d'une simulation e�cace, Van Dijk �etudie dans sa th�ese[VAN94] les cons�equences de di��erentes proc�edures d'a�ectation de causalit�e sur lebond graph. Ces derni�eres sont notamment modi��ees puis compar�ees en termesde performance des sch�emas de calcul qui en r�esultent. Le concept cl�e sont leschemin causaux d'ordre z�ero rang�es en cinq classes distinctes selon leur topologie.L'occurrence de ces derniers sur le bond graph causal aboutit �a di��erents typesde syst�eme d'�equations alg�ebro{di��erentielles �a index plus ou moins �elev�e. Suivantles proc�edures modi��ees d'a�ectation de causalit�e utilis�ees, l'auteur donne led�eveloppement des �equations du mod�ele de simulation et r�epertorie leur formesuivant le type de chemin causal d'ordre z�ero apparaissant dans le bond graph[VAN93]. La d�e�nition d'espace de semi{�etat est donn�ee comme correspondant �a lapartie alg�ebrique du syst�eme d'�equations alg�ebro{di��erentielles.

Dans le but de rendre la simulation e�cace, l'ajout d'�el�ements, et non plusla transformation graphique du bond graph, a constitu�e un axe de recherche.Cette technique permet d'obtenir un syst�eme d'�equations di��erentielles proche d'unsyst�eme ordinaire et donc de diminuer son index.

Dans ce sens, Karnopp [KAR78] introduit des compliances entre les �el�ementsinertiels d�ependants et ind�ependants dans la repr�esentation bond graph. Il initialiseainsi les bases des m�ethodes consistant �a ajouter des �el�ements pour r�eduire l'indexdu mod�ele de simulation. Appliqu�e en 1979 aux syst�emes plans [KAR79], le but est


alors de relâcher les contraintes dues �a la structure cin�ematique du syst�eme. Lesd�ependances inertielles sont ainsi �elimin�ees mais, en contre partie, le d�ecouplageentrâ�ne l'introduction de grandes raideurs pour rester proche du comportement r�eel.Ceci a pour cons�equence d'allonger les temps de simulation.

Granda [GRA84] e�ectue une synth�ese de cas donnant lieu �a des probl�emes auniveau de la simulation (�el�ement de stockage d�ependant et boucle alg�ebrique). Sonarticle illustre les attitudes pouvant être adopt�ees pour r�esoudre ces di�cult�es,�a savoir au stade du mod�ele physique (ajout ou retrait d'�el�ement), du mod�elemath�ematique (r�esolution symbolique d'�equations implicites), et du mod�elenum�erique (utilisation d'algorithme appropri�e). Il est pr�ecurseur en cela du travaile�ectu�e par Van Dijk dans sa th�ese [VAN94] en indiquant �a travers des exemplessimples comment se d�etectent les probl�emes sur le bond graph et �a quoi cela aboutitdu point du vue des �equations. En�n, le cas d'�el�ements compliants ajout�es pr�e�gure,au même titre que ce qu'ont propos�e Karnopp [KAR78] et Karnopp et Margolis[KAR79], les travaux de Zeid et Overholt [ZEI95b], [ZEI95c].

Zeid [ZEI88] donne un tableau r�ecapitulatif des di��erentes structures �a introduiredans le bond graph pour �eliminer les d�ependances sur des �el�ements de stockage. Ilpoursuit [ZEI89a] le travail amorc�e par Karnopp etMargolis [KAR79] en reprenant lesdi��erentes approches pour �eliminer les d�ependances [GRA84] et trouve une justi�cationphysique dans la m�ethode des multiplicateurs de Lagrange et celle utilisant lesperturbations singuli�eres [ZEI89b]. Ces techniques sont utilis�ees aussi pour mod�eliserdes non lin�earit�es telles que des jeux dans les liaisons. Les �el�ements ajout�es sont desraideurs et des dissipations. Ils permettent de relâcher les contraintes et favorisentainsi la simulation. Cependant, une attention particuli�ere est n�ecessaire sur le choixdes param�etres introduits en vue d'une simulation r�ealiste du syst�eme [ZEI92]. Dansla continuit�e de ces travaux, Zeid et Overholt [ZEI95a] reprennent la formulationdes perturbations singuli�eres hors contexte bond graph mais toujours dans le cadrede la mod�elisation de non lin�earit�es telles que des jeux dans les liaisons. Le syst�emed'�equations di��erentielles alors obtenu est explicite et ordinaire. Ils montrent que lemod�ele math�ematique ainsi formul�e tend vers la solution non perturb�ee [BOR92b].Les auteurs pr�esentent des simulations o�u sont compar�ees plusieurs valeurs desraideurs et dissipations introduites. Ils appliquent cette technique la même ann�ee �ala repr�esentation bond graph [ZEI95c], [ZEI95b].

En�n, signalons Sueur et Dauphin{Tanguy qui, au contraire de Zeid et al.augmentant le syst�eme (cf. section 5.3.3), le simpli�ent et corrigent la partie lente �atravers la m�ethode des perturbations singuli�eres [SUE92].

1.6 : : : contribution de ce m�emoire

Outre la synth�ese bibliographique du premier chapitre, notre m�emoire comportequatre autres chapitres.


Le second est consacr�e �a une pr�esentation des approches de la construction dubond graph d'un syst�eme m�ecanique multicorps. Les deux approches dont il a �et�equestion dans la section 1.3 sont reprises �a travers deux proc�edures qui nous semblentles plus repr�esentatives. La premi�ere est celle de Karnopp et Rosenberg. Elle estintroduite �a travers un exemple tir�e de leur ouvrage [KAR90]. La transition sur laseconde proc�edure est e�ectu�ee �a travers la pr�esentation de la notation multibondgraph, caract�eristique des domaines multidimensionnels. En�n, la proc�edure deTiernego et Bos est pr�esent�ee, syst�ematisant au niveau graphique, la constructiondu bond graph d'un syst�eme m�ecanique multicorps. Les composants solide enmouvement dans l'espace et liaisons usuelles sont g�en�er�es pour la biblioth�eque derepr�esentations bond graphs.

Le troisi�eme chapitre constitue notre contribution �a la repr�esentation dubond graph d'un syst�eme m�ecanique multicorps. Dans le cadre des proc�edures deconstruction de la deuxi�eme approche (syst�ematique �a un niveau graphique), nousproposons une repr�esentation bond graph (( privil�egi�ee )) des syst�emes m�ecaniquesmulticorps. Proche de la proc�edure pr�ec�edente, elle s'en d�emarque n�eanmoins par lefait qu'elle consid�ere d'abord le syst�eme dans sa globalit�e plutôt que localement solidepar solide. Elle permet d'appr�ehender au mieux les bouclages cin�ematiques et depro�ter aussi des particularit�es du param�etrage. Le r�esultat est donc une proc�eduresyst�ematisant la construction du bond graph et fournissant aussi une repr�esentationproche, du point de vue de la simplicit�e, de celle issue de la proc�edure de Karnoppet Rosenberg. Cette proc�edure est bas�ee sur le choix de rep�eres privil�egi�es pourtout ou une partie du syst�eme permettant de consid�erer la projection des grandeursvectorielles de certaines structures de jonction dans un seul et même rep�ere. Lad�etection de ces rep�eres privil�egi�es est syst�ematis�ee et une �ebauche d'optimisationest e�ectu�ee.

Le quatri�eme chapitre, constituant �egalement une contribution originale, proposela repr�esentation bond graph de la liaison de contact ponctuel entre des solides�a surface param�etr�ee quelconque. Cette repr�esentation permet d'augmenter labiblioth�eque de composants �evoqu�ee pr�ec�edemment avec une liaison appartenantaux couples cin�ematiques sup�erieurs. Les ph�enom�enes de dissipation sont localis�essur la structure de jonction alors �etablie et des mod�eles les caract�erisant (typevisqueux, lois de Coulomb, : : : ) sont propos�es. Nous mettons en �evidence, �a traversun exemple de came{galet suiveur, les di�cult�es d'exploitation num�erique du mod�elemath�ematique issu de la repr�esentation pr�ec�edente.

Le dernier chapitre fait �etat de di��erents concepts de la m�ecanique analytique�a travers la repr�esentation bond graph des syst�emes multicorps. En l'occurrence,sont examin�es les variables et param�etres dans le mod�ele, la forme des �equationsdynamiques, et le remaniement de ces derni�eres en vue de la simulation. Notreapport se situe dans la synth�ese de l'existant, la pr�ecision de certains points etl'introduction de concepts de la m�ecanique non encore pris en compte dans larepr�esentation bond graph. Dans ce contexte, une solution est adopt�ee pour r�esoudrele syst�eme d'�equations issu du bond graph du contact ponctuel du chapitre pr�ec�edent.


Le cadre de travail de ce m�emoire est celui des syst�emes m�ecaniques multicorps.Nous les d�e�nissons comme des collections de solides interconnect�es par des liaisonscin�ematiques autorisant seulement un certain nombre de mouvements relatifs entreces solides. Nous nous attachons donc dans la mod�elisation des syst�emes physiquespluridisciplinaires, �a la repr�esentation bond graph de ces parties m�ecaniquesmulticorps uniquement.

Nous supposons :

{ l'existence d'un r�ef�erentiel absolu constitu�e d'un rep�ere galil�een et d'un syst�emechronom�etrique ind�ependant permettant la mesure de dur�ee et de simultan�eit�ed'�ev�enements,

{ que la masse des syst�emes envisag�es r�epond aux lois d'invariabilit�e, de positivit�eet d'addivit�e [MOR71a].

Ceci constitue les hypoth�eses de la m�ecanique classique non relativiste.

En outre, nous consid�erons :

{ des corps ind�eformables �evoluant dans un espace homog�ene euclidien dedimension trois,

{ chaque rep�ere constitu�e d'un point origine et d'une base vectorielle orthonorm�eedirecte,

{ la g�eom�etrie des masses, le param�etrage et le rep�erage connus pour chaquesolide.

En�n, nous utiliserons souvent la projection d'un vecteur dans un rep�ere pourd�esigner (par abus de langage) la projection de ce vecteur sur une base associ�ee �a cerep�ere.

Chapitre 2

Repr�esentation bond graph des

syst�emes m�ecaniques multicorps

(( [...], de tous les ph�enom�enes, les ph�enom�enes du mouvement�etaient ceux qui se pr�etaient le mieux �a une �etude quantitative, �a des

mesures et �a des observations pr�ecises : la M�ecanique devait donc être lapremi�ere science exp�erimentale et quantitative que fonderaient les

hommes, mais jamais ils ne l'eussent fond�ee, s'ils n'avaient emprunt�e,pr�ealablement �a leur connaissance g�en�erale du monde ext�erieur le

principe vulgaire de causalit�e, lequel n'apparaissait pas de prime aborddans l'ensemble des ph�enom�enes du mouvement. ))

Paul Painlev�e, 1905

La repr�esentation des syst�emes m�ecaniques et notamment celle des syst�emesmulticorps par un bond graph, n�ecessite une attention particuli�ere pour plusieurs

raisons :

{ La construction du bond graph dans ce cas revêt g�en�eralement un caract�eredual 1 vis{�a{vis des autres domaines (cf. annexe B) du fait de la mise en �evidenceinitiale des variables de vitesse plutôt que celles d'e�ort 2 ;

{ le caract�ere g�en�eralement multibond graph de la repr�esentation est li�e �a l'aspecttridimensionnel de la m�ecanique 3 ;

{ bien souvent, le graphe �nal est rendu complexe par la pr�esence de bouclescin�ematiques, de cycles causaux et de nombreuses d�ependances entre les�el�ements de stockage inertiels.

1: N�eanmoins, Bidard [BID94] montre la possibilit�e de construire le bond graph d'un syst�emem�ecanique sur la base des torseurs d'actions statiques, c'est{�a{dire des termes d'e�ort dans laterminologie bond graph.

2: Il n'est en g�en�eral pas possible de d�evelopper une formulation en termes d'e�ort et de momentsans avoir recours aux variables de d�eplacement [KAR69].

3: �A ce propos, la m�ecanique tridimensionnelle peut être per�cue comme la juxta-position de sixdomaines m�ecaniques monodimensionnels, trois de translation (suivant trois axes de projection),trois de rotation (�egalement suivant trois axes de projection).

38 Chapitre 2. Repr�esentation bond graph des syst�emes m�ecaniques multicorps

Nous avons vu l'implication, d�es le d�epart, de la m�ecanique �a travers larepr�esentation bond graph. Or, deux grandes approches se r�ev�elent dans lalitt�erature pour la construction du bond graph des syst�emes multicorps. L'uneest bas�ee sur une �ecriture analytique a priori (Karnopp et Rosenberg, Allen,Brown). L'autre fournit de fa�con syst�ematique la repr�esentation bond graph sansphase analytique (Tiernego et Bos, Kawase, Zeid). Nous avons choisi de pr�esenterdeux proc�edures qui nous parâ�ssent originales et repr�esentatives de ces approches. Lapremi�ere est celle de Karnopp et Rosenberg, et la seconde, celle de Tiernego et Bos.

Ainsi, une premi�ere section pr�esente tout d'abord un exemple simple trait�e parla proc�edure de Karnopp et Rosenberg. La section suivante d�e�nit la notationmultibond graph et la place des di��erentes grandeurs utilis�ees en m�ecanique dans lemultibond graph. La derni�ere section pr�esente la proc�edure propos�ee par Tiernegoet Bos. Dans cette proc�edure, l'aspect syst�ematique au niveau graphique de laconstruction conduit naturellement au concept de biblioth�eque 4, o�u les word bondgraphs 5 du solide et des liaisons usuelles sont r�epertori�es.

Si ce chapitre est une synth�ese de deux m�ethodes de construction du bond graphdes syst�emes m�ecaniques multicorps, il n'a pas pour objet de reprendre les basesde cet outil en d�etail. Le lecteur trouvera dans l'annexe B les bases de l'outil bondgraph ind�ependamment du domaine physique consid�er�e.

N�eanmoins, nous rappelons bri�evement les concepts essentiels du langage.Une repr�esentation bond graph est constitu�ee d'un enchâ�nement (arborescent oupr�esentant des bouclages) altern�e de liens bond graph (( + )) et �el�ements bondgraph fI, C, (M)R, (M)Se, (M)Sf, 0, 1, (M)TF, (M)GYg 6. �A chaque lien bondgraph correspondent deux variables, une d'e�ort et une de ux (terme de vitesseen m�ecanique). Le produit de ces variables d�e�nit la puissance attach�ee �a ce lien.La connexion des liens et des �el�ements bond graph indique alors l'articulationdes �echanges d'�energie entre les di��erentes parties d'un syst�eme ainsi qu'avec sonenvironnement. Chaque �el�ement est associ�e �a un ph�enom�ene :

{ l'�el�ement I (+I) est associ�e au ph�enom�ene de stockage d'�energie de type inertiel(li�e au mouvement d'une masse ou d'une inertie par exemple),

{ l'�el�ement C (+C) est associ�e au ph�enom�ene de stockage d'�energie de typecapacitif (li�e �a un ressort comprim�e ou �etir�e par exemple),

4: Ce concept est de plus en plus pr�esent dans l'ing�enierie d'aujourd'hui, notamment �a traversles logiciels de simulation tels que AMEsim [AME96], ACSL-Graphic Modeller [ACS95], TwenteSim[TWE96], Dymola [ELM78], Simulink [SIM93], ou le projet Olmeco [OLM91],... (Les r�ef�erencesaux logiciels AMEsim, ACSL-Graphic Modeller, TwenteSim et Simulink sont donn�ees en �n debibliographie) Notons que le concept de biblioth�eque est d�ej�a implicitement pr�esent dans le bondgraph �a travers les �el�ements repr�esentants les ph�enom�enes �energ�etiques.

5: Le word bond graph [KAR90] est une repr�esentation synth�etique bond graph o�u les words(sous forme de blocs sans le d�etail des liens et �el�ements bond graph) repr�esentent des sous{syst�emesidenti��es du syst�eme entier.

6: La lettre (( M )) (pour Modulation) pr�ec�edent �eventuellement certains �el�ements indique que lesrelations analytiques caract�erisant ces �el�ements ne sont pas constantes.

Chapitre 2. Repr�esentation bond graph des syst�emes m�ecaniques multicorps 39

{ l'�el�ement R (+R) est associ�e au ph�enom�ene de dissipation d'�energie (li�e aufrottement par exemple),

{ la source d'e�ort (resp. de ux) (Se + -resp. Sf +-) est associ�ee �a un e�ort(resp. un ux) impos�e au syst�eme (li�ee �a un couple moteur -resp. une vitessede rotation- impos�e par un actionneur sur un arbre par exemple),

{ la jonction 0 (resp. 1) (+�

0 + -resp. +�

1 +-) est associ�ee �a un bilan depuissance nul et �a e�ort (resp. ux) commun (li�ee �a une contrainte cin�ematique-resp. �a l'application de la loi fondamentale de la dynamique- par exemple),

{ le transformateur (+TF+) est associ�e �a une transduction d'�energie couplantles e�orts entre eux dans un certain rapport et les ux entre eux dans le rapportinverse (li�e �a un r�educteur par exemple),

{ le gyrateur (+GY+) est associ�e �a une transduction d'�energie couplant dansle même rapport et de fa�con crois�ee les e�orts et les ux (li�e aux termesgyroscopiques dans les �equations d'Euler par exemple).

�A chacun de ces �el�ements est associ�ee une relation caract�eristique ou constitutive.La connaissance du bond graph et des relations constitutives des di��erents �el�ementspermet �nalement de mettre en place les �equations dynamiques qui r�egissentl'�evolution d'un syst�eme.

Le t�etra�edre de Paynter [KAR90] r�esume le type de relation constitutiveimpliquant les �el�ements fI,C,Rg (�gure 2.1).

e e�ort

f ux

momentg�en�eralis�e

p

qd�eplacementg�en�eralis�e

I

R

C

Rdt

Rdt

Fig. 2.1 { T�etra�edre de Paynter

2.1 Proc�edure de Karnopp et Rosenberg

Pour pr�esenter la proc�edure initialement formalis�ee par Karnopp et Rosenberg[KAR69], [ROS72], [KAR90], le bond graph de l'exemple d'un syst�eme bielle{

manivelle est construit. Il illustre en plus le cas o�u il existe une �equation de liaisonentre les param�etres de mouvement.


La proc�edure de construction du bond graph propos�ee parKarnopp et Rosenberg([KAR90] - p. 335) peut être formul�ee ainsi :

Proc�edure 2.1 (Karnopp et Rosenberg)

1. Identi�er les vecteurs cl�es qk, q

I, q

Crespectivement li�es aux coordonn�ees

g�en�eralis�ees 7, aux stockages d'�energie de type inertiel (positions des masseset des inerties en mouvement) et aux stockages d'�energie de type potentiel(allongement des ressorts �etir�es ou comprim�es).

2. �Ecrire les transformations g�eom�etriques liant les vecteurs qId'une part,

qC

d'autre part, au vecteur des coordonn�ees g�en�eralis�ees qk. D�eriver ces

transformations par rapport au temps pour obtenir les relations cin�ematiquescorrespondantes.

3. Associer une jonction 1 �a chaque composante des vecteurs cin�ematiques _qk, _q

Iet _q

C.

4. Construire la structure de jonction compos�ee de transformateurs, modul�es ounon, et de jonctions 0, rendant compte des relations cin�ematiques �ecrites �al'�etape 2.

5. Ajouter les �el�ements I, C, R et les sources correspondant aux ph�enom�enes prisen compte dans les hypoth�eses de mod�elisation du syst�eme. L'introduction denouvelles relations cin�ematiques peuvent s'av�erer n�ecessaires pour l'ajout desR et des sources.

6. R�eduire �eventuellement le bond graph grâce �a des r�egles de simpli�cation tellesque la substitution d'un MTF de module 1 par un lien, la substitution par unlien unique de deux liens orient�es dans le même sens et s�epar�es uniquementpar une jonction, ou la fusion de deux jonctions de même nature et s�epar�eespar un lien unique.

2.1.1 Exemple d'un syst�eme bielle{manivelle

Ce syst�eme (�gure 2.2), suppos�e plan, est constitu�e de deux solides. Le premier,la manivelle, est en liaison roto�de (pivot) par rapport au bâti autour du point O.Le second solide, la bielle, est en liaison roto�de avec le premier. Son extr�emit�e estastreinte �a rester sur l'axe (O,~x0) et est li�ee �a un ressort sans masse (raideur k)lui{même �x�e au bâti. J1 est le moment d'inertie de la manivelle par rapport �a l'axe(O,~z0) ; le point G est le centre d'inertie de la bielle ; m2 et J2 sont respectivementla masse de la bielle et son moment d'inertie par rapport �a l'axe (G,~z0). Les autresparam�etres sont indiqu�es sur la �gure 2.2. L'action de pesanteur est n�eglig�ee etaucune dissipation n'est prise en compte.

7: Nous reviendrons plus pr�ecis�ement sur les coordonn�ees g�en�eralis�ees dans le chapitre 5 (cf.d�e�nition 5.1 page 147).


~y0

~x0O

l1l2

�2�1

LxC

G

Fig. 2.2 { Sch�ema physique d'un syst�eme bielle{manivelle

La repr�esentation bond graph est �etablie en reprenant les �etapes de la proc�edurede Karnopp et Rosenberg. Les vecteurs cl�es sont les suivants 8 :

q0k=

��1�2

�qI=

2664�1xGyG�2

3775 qC = �xC� (2.1)

Le choix e�ectu�e pour les coordonn�ees g�en�eralis�ees n�ecessite la prise encompte d'une �equation de liaison entre celles{ci pour la structure de jonction.Les transformations g�eom�etriques entre les di��erents vecteurs s'�ecrivent :

qI=

2664�1xGyG�2

3775 =2664

�1l1 cos �1 +

l22 cos �2

l1 sin �1 +l22 sin �2

�2

3775 qC = �xC� = �L� l1 cos �1 � l2 cos �2�(2.2)

�A ces relations s'ajoute donc l'�equation de liaison indiquant que l'extr�emit�e de labielle est contrainte �a rester sur l'axe (O,~x0) :

l1 sin �1 + l2 sin �2 = 0 (2.3)

8: L'accent ((0)) sur le premier vecteur indique que les coordonn�ees g�en�eralis�ees le composant nesont pas ind�ependantes ou encore qu'elles sont en surnombre.


Les relations cin�ematiques correspondantes sont :

vI = _qI =

2664!1_xG_yG!2

3775 =2664

_�1�l1 sin �1 _�1 � l22 sin �2 _�2l1 cos �1 _�1 +

l22 cos �2

_�2_�2

3775 (2.4)_qC=�_xC�=�l1 sin �1 _�1 + l2 sin �2 _�2

�(2.5)

0 = l1 cos �1 _�1 + l2 cos �2 _�2 (2.6)

La repr�esentation bond graph est donn�ee �gure 2.3 9. Elle est compos�ee d'une part,de la structure de jonction issue des relations cin�ematiques pr�ec�edentes, et d'autrepart, des �el�ements I et C associ�es aux stockages d'�energie. Sur ce bond graph, lacolonne de jonctions 1 situ�ees �a droite correspond au vecteur vI, celle du milieu, auvecteur _q0

ket la jonction 1 situ�ee �a gauche correspond �a _q

C. Les quatre transformateurs

de droite sont associ�es aux relations cin�ematiques 2.4. Les deux transformateursadjacents �a la jonction 0 de gauche correspondent �a la relation cin�ematique 2.5. En�n,les deux transformateurs situ�es entre les jonctions 1 li�ees au vecteur _q0

ksont associ�es

�a la relation 2.6. Les �el�ements I ont �et�e connect�es aux jonctions 1 correspondant auvecteur vI. L'�el�ement C a �et�e connect�e �a la jonction 1 associ�ee �a _qC.

1

1

1

1

1

1

1 0

0

0

01k :C

_xC

l1 sin �1MTF

�l1 sin �1MTF

l1 cos �1MTF

� l22 sin �2MTF

l22 cos �2

MTF

!1

I:m2

I:m2_�1 _xGl1 cos �1:MTF

l2 cos �2:MTF

_yG_�2

MTFl2 sin �2 !2

I:J1

I:J2

Fig. 2.3 { Bond graph du syst�eme bielle{manivelle

9: Pour ne pas alourdir les �gures, nous ne ferons g�en�eralement pas �gurer les sch�emas d'int�egrationde certaines variables pour venir moduler certains �el�ements dans les repr�esentations bond graph etmultibond graph.


2.1.2 Remarques

{ La repr�esentation bond graph des syst�emes m�ecaniques multicorps estcaract�eris�ee par la pr�esence g�en�eralement de transformateurs modul�es par lescoordonn�ees g�en�eralis�ees,

{ la proc�edure de Karnopp et Rosenberg met en �evidence une approche(( intuitivement m�ecanicienne )) �a travers le choix des vecteurs cl�es decoordonn�ees g�en�eralis�ees,

{ il est n�ecessaire de distinguer les coordonn�ees g�en�eralis�ees des variables d'�etat�energ�etiques qui sont, de fa�con pr�ecise sur le bond graph, les d�eplacementsg�en�eralis�es des �el�ements C et les moments g�en�eralis�es des �el�ements I 10,

{ la construction de la repr�esentation bond graph consiste �nalement enl'�etablissement d'une structure de jonction li�ee �a la cin�ematique du syst�eme eten l'ajout d'�el�ements I, C, R et de sources li�es �a la dynamique du syst�eme,

{ la complexit�e graphique grandissante avec le nombre de solides dans le syst�emeam�ene �a consid�erer une notation plus compacte au travers du multibond graph,

{ au niveau graphique, le côt�e non syst�ematique de la construction du bondgraph, dû �a l'�ecriture a priori des relations cin�ematiques, conduit naturellement�a s'int�eresser �a la proc�edure de Tiernego et Bos permettant d'e�ectuer unerepr�esentation sans �ecriture analytique au pr�ealable.

2.2 Notation multibond graph et grandeurs de la

m�ecanique

Cette section introduit la notation multibond graph utilis�ee dans les domainesmultidimensionnels, et en particulier en m�ecanique tridimensionnelle o�u les

grandeurs peuvent être identi��ees �a des vecteurs voire �a des torseurs. Bonderson[BON75] a propos�e la notation multibond graph et Breedveld [BRE82], [BRE85a] l'acompl�etement formalis�ee. Nous pr�esentons d'une part, cette notation multibondgraph, et d'autre part, les grandeurs de la m�ecanique dans le formalisme bond graph.

2.2.1 Notations multibond graph

Le lien bond graph (�gure 2.4) est muni des deux variables scalaires de puissance,l'e�ort e et le ux f dont le produit d�e�nit la puissance elle{même. Les variablesmoment g�en�eralis�e p et d�eplacement g�en�eralis�e q, int�egrales des variables respectivese�ort et ux sont associ�ees �a certains �el�ements (cf. annexe B).

10: Nous reviendrons plus en d�etail sur ce point dans le chapitre 5.

contribution à la représentation bond graph des systèmes...

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