COURS DE BETON ARME AUX ETATS LIMITES

BAEL

A – Règles générales

Contenu

Introduction : ........................................................................................................................................... 3

Principes et définitions : .......................................................................................................................... 3

Caractères des matériaux : ...................................................................................................................... 5

Actions ..................................................................................................................................................... 8

Valeurs caractéristiques des actions [Art. A.3.1.] ............................................................................... 8

Les actions permanentes Gi [Art. A.3.1,2] ........................................................................................... 8

Les actions variables Qi [Art. A.3.1,3] .................................................................................................. 8

Valeurs de calcul des actions [Art. A.3.3] ............................................................................................ 8

Combinaison d’actions aux ELS [Art. A.3.3,3].......................................................................................... 9

Les combinaisons les plus courantes : ................................................................................................. 9

Combinaison d’actions aux ELU [Art. A.3.3,2] ..................................................................................... 9

Introduction au calcul ............................................................................................................................ 10

Objectif du calcul ............................................................................................................................... 10

Dimensionnement / Vérification ....................................................................................................... 10

Méthodologie de calcul ..................................................................................................................... 10

Vérification des sections sous contraintes normales - ELS ................................................................... 10

Hypothèses de calcul [Art. A4.5,1] .................................................................................................... 11

Conditions imposées par l’ELS ........................................................................................................... 11

a. Etat limite de compression du béton [Art. A.4.5,2] .............................................................. 11

b. Etat limite d’ouverture de fissures [Art. A.4.5,3] .................................................................. 11

c. Etat limite de déformation .................................................................................................... 11

Vérification des éléments courants ....................................................................................................... 12

a. Traction simple .......................................................................................................................... 12

b. Compression simple (compression centrée) ............................................................................. 12

c. Flexion simple ............................................................................................................................ 13

Introduction :

Le béton est un matériau constitué d’un mélange de granulats, de ciment et d’eau.

Le béton durcit, même sous l’eau, il s’agit d’une réaction chimique et non d’un séchage.

Le béton est un matériau qui a :

Une résistance à la compression élevée (généralement de 25 Mpa et qui peut

atteindre 60 Mpa).

Une résistance à la traction faible (de l’ordre du dixième de la résistance à la

compression).

Pour obtenir du béton armé, on associe au béton des armatures d’acier.

Ces armatures, placées dans les zones tendues de l’élément reprendront les efforts de

traction induits par les sollicitations extérieures.

Principes et définitions :

Un état limite d’une structure ou de l’un de ses éléments est un état dans lequel un des critères du

projet cesse d’être satisfait.

En pratique, on distingue deux états limites :

1. Les états limites ultimes :

Ce sont des états dont le dépassement est équivalent à la ruine de la structure, perte de

l’équilibre statique, de la capacité portante maximale atteinte, flambement.

2. Les états limites de service :

Il s’agit d’état dont le non-respect compromet la durabilité de l’ouvrage ou contrarie les

conditions d’exploitation habituelles de celui-ci qui se manifeste par une fissuration

excessive et/ou des déformations excessives.

Le principe des états limites d’une structure en béton armé se définit comme étant :

1. Un état limite ultime.

a. De résistance,

b. De stabilité de forme.

2. Un état limite de service.

a. Par compression du béton,

b. Par ouverture de fissures,

c. Par déformation.

Etats limites ultimes (ELU)

Etats limites de service (ELS)

Ils mettent en jeu la sécurité des biens et des personnes (droit pénal)

Ils sont liés aux conditions normales d’exploitation et de durabilité (droit civil).

Ils correspondent au maximum de la capacité portante de l’ouvrage ou d’un de ses éléments par : Perte d’équilibre statique, Rupture de sections non

ductiles ou déformations plastiques excessives,

Instabilité de forme (flambement),

Transformation de la structure en mécanisme.

Ouverture excessive des

fissures, Compression excessive du

béton, Déformation excessive des

éléments porteurs, Vibrations inconfortables pour

les usagers, ou rendant la structure impropre à remplir sa fonction,

Etanchéité, isolation, etc…

Les critères de calculs sont : Déformations relatives limites

(ou courbure limite), Calculs de type « rupture », lois

réelles (idéalisées) contrainte – déformation.

Les critères de calculs sont : Contraintes admissibles (ou

déformations admissibles), Calcul de type « élastique », loi

de Hooke, coefficient d’équivalence.

Pour tous les états limites, les hypothèses supplémentaires suivantes sont prises :

Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et conservent leurs

dimensions (principe de Navier-Bernoulli).

La résistance du béton tendu est considérée comme nulle.

Par adhérence, les déformations relatives de l’acier et du béton au contact sont

identiques.

En vertu de la loi de Hooke, les contraintes sont proportionnelles aux déformations relatives.

σ = E.ε = E.𝛥𝑙

𝑙

On définit le coefficient d’équivalence, pour le béton armé, acier/béton par la relation :

n = 𝐸𝑎

𝐸𝑏 = 15 (forfaitairement)

Caractères des matériaux :

Le matériau béton armé comme son nom l’indique est constitué du béton, et de l’acier.

Le béton est constitué des éléments suivants :

Des agrégats à base de gravettes de dimensions variant de quelques

millimètres, à plusieurs centimètres selon la formulation préétablie.

Du sable.

Du ciment.

De l’eau.

Et de l’acier sous forme de barres commercialisées selon les caractéristiques mécaniques

normalisées.

Le matériau béton est caractérisé aussi par une résistance à la compression caractéristique à

28 jours notée fc28.

On peut admettre que pour j<= 28, la résistance à la compression des bétons non traités

thermiquement suit approximativement les lois suivantes :

fcj = 𝐣

𝟒,𝟕𝟔+𝟎,𝟖𝟑𝐣 fc28 pour fc28 <= 40 Mpa

fcj = 𝐣

𝟏,𝟒𝟎 +𝟎,𝟗𝟓𝐣 fc28 pour fc28 > 40 Mpa

alors que pour j >= 28, la résistance fcj est bornée supérieurement à 1,1 fc28.

pour j >= 60 , fcj # 1,10 fc28

La résistance caractéristique du béton à la traction prend alors la forme de :

ftj = 6 + 0,06 fcj pour fcj <= 60 Mpa

DEFORMATIONS LONGITUDINALES DES BETONS :

Pour des sollicitations normales d’une durée d’application inférieure à 24 h, on admet qu’à

l’âge j jours du béton, le module de déformation longitudinale instantanée prend la valeur :

Eij = 11 000 fcj1/3 (en Mpa)

Pour des sollicitations normales d’une durée d’application supérieure à 24 h, ce module de

déformation longitudinale est qualifié de module différé et prend la valeur :

Evj = 3 700 fcj1/3 (en Mpa)

Les déformations différées du béton comprennent, outre celles issues du poids propre et

des actions permanentes, le retrait et le fluage.

Diagramme contrainte – déformation pour le matériau béton :

fbu est la valeur de calcul de la contrainte du béton :

fbu = 0,85𝑓𝑐𝑗

𝛳ɤ𝑏

Le coefficient ϴ dépend de la durée d’application des charges :

ϴ = 1, si la durée est supérieure à 24h.

ϴ = 0,9 dans le cas contraire.

ɤb est le coefficient de sécurité, il prend les valeurs suivantes :

ɤb = 1,5 dans le cas courant.

ɤb = 1,15 en cas de combinaisons accidentelles.

Diagramme contrainte – déformation pour le matériau acier, à l’état limite ultime :

Le module d’élasticité longitudinale de l’acier Es est pris égal à 200 000 Mpa.

Le caractère mécanique servant de base aux justifications est la limite d’élasticité garantie,

désignée par fe, les aciers courants sont :

Pour la nuance d’acier FeE24, fe = 240 Mpa.

FeE40, fe = 400 Mpa.

FeE50, fe = 500 Mpa.

Il existe deux types d’aciers, les aciers lisses et les aciers écrouis par torsion.

fsu est la valeur de calcul de la contrainte de l’acier.

ɤs est le coefficient de sécurité, il prend les valeurs suivantes :

ɤs = 1,15 dans le cas courant.

ɤs = 1 en cas de combinaisons accidentelles.

Actions

Valeurs caractéristiques des actions [Art. A.3.1.]

Les états limites distinguent principalement 2 types d’actions caractéristiques [Art. A.3.1] : les actions

permanentes et les actions variables.

Les valeurs attribuées à ces diverses actions sont des valeurs caractéristiques : c’est à dire qu’elles

tiennent compte du caractère aléatoire de la valeur des actions (En d’autres termes, il n’est pas

possible de déterminer avec précision la valeur de telle ou telle action). Elles sont donc issues d’un

calcul probabiliste et acceptent le risque que dans 5% ou 10% des cas la valeur réelle de ces actions

dépassent (cas défavorable) la valeur caractéristique retenue.

Les actions permanentes Gi [Art. A.3.1,2]

Les actions permanentes ont une intensité constante ou très peu variable dans le temps.

Elles sont désignées par la lettre G.

Poids propre de la structure Béton Armé

Cloisons, revêtements, superstructures fixes

Poussée des terres, de l’eau

Les actions variables Qi [Art. A.3.1,3]

Les actions variables ont une intensité qui varie fréquemment et de façon importante dans le temps.

Elles sont désignées par la lettre Q.

Charges d’exploitation (ratio d’utilisateurs, de véhicules, etc.) classées par durée

d’application (provisoire, longue durée)

Charges climatiques (neige et vent)

Effets thermiques

Valeurs de calcul des actions [Art. A.3.3]

Pour tenir compte des risques non mesurables, on associe aux valeurs caractéristiques des actions un

coefficient de sécurité pour obtenir les valeurs de calcul des actions.

Puis on combine ces valeurs de calcul pour établir le cas de chargement le plus défavorable.

Combinaison d’actions aux ELS [Art. A.3.3,3]

La combinaison d’action courante à l’ELS est la suivante :

Gmax + Gmin +Q1 + iQi

avec :

Gmax : ensemble (somme) des actions permanentes défavorables.

Gmin : ensemble (somme) des actions permanentes favorables.

Q1 : action variable de base.

Qi : autres actions variables d’accompagnement avec leur coefficient i

Les combinaisons les plus courantes : G + Q + 0,9(S ou W); (S : snow – W : wind)

G + (S ouW) + 0,8Q

Combinaison d’actions aux ELU [Art. A.3.3,2]

La combinaison d’action courante à l’ELU est la suivante : 1,35Gmax GminQ11,3iQi

avec :

Gmax : ensemble (somme) des actions permanentes défavorables.

Gmin : ensemble (somme) des actions permanentes favorables.

Q1 : action variable de base.

Qi : autres actions variables d’accompagnement avec leur coefficient i

Les combinaisons les plus courantes :

Introduction au calcul

Objectif du calcul

L’objectif de tout calcul est de définir les dimensions du coffrage ainsi que le ferraillage de tous les

éléments d’une construction.

Dimensionnement / Vérification

La notion d’états limites introduit un nombre important de conditions. Il faut en effet s’assurer que

l’élément de structure étudié satisfasse les conditions imposées par l’ELS mais aussi par l’ELU. C’est

pourquoi, le calcul de béton armé est basé sur le principe du dimensionnement / vérification.

Dans un premier temps, une phase de dimensionnement va permettre de déterminer une première

valeur de section d’aciers.

Ce dimensionnement résulte de l’application d’une seule des dispositions réglementaires.

Dans un deuxième temps, on vérifie que toutes les conditions réglementaires sont satisfaites.

Ainsi dans le cas général, si le dimensionnement exploite une condition de l’ELS, la vérification sera

réalisée avec les conditions de l’ELU ou vice-versa.

Méthodologie de calcul

1) Evaluation des actions et des combinaisons d’actions

2) Etude de résistance des matériaux N, V et M et déformations en toute section de l’élément

considéré

3) Détermination des courbes enveloppes et déduction des « sections dangereuses » (valeurs

maximales des sollicitations)

4) Dimensionnement au droit de ces « sections dangereuses » des sections d’armatures à l’ELS (ou

l’ELU)

5) Vérification de ces même sections d’armatures à l’ELU (ou l’ELS)

6) Etablissement des plans d’exécution : armatures/coffrages

Vérification des sections sous contraintes normales - ELS

Les contraintes normales sont induites par N ou M. Elles sont classiquement présentes dans les

tirants, poteaux et poutres.

Hypothèses de calcul [Art. A4.5,1] Les sections droites restent planes après déformation

Pas de glissement relatif entre armatures et béton s = b

Le béton tendu est négligé

Le béton et acier ont un comportement élastique linéaire

Conventionnellement, le rapport du module d’élasticité longitudinal de l’acier à celui du

béton noté « coefficient d’équivalence n » est pris égal à 15

Conditions imposées par l’ELS

a. Etat limite de compression du béton [Art. A.4.5,2]

La contrainte de compression dans le béton est limitée à 0.6 f cj .

Pour un béton âgé de plus de 28 jours, il vient : bc fb ser 0.6 fc28

b. Etat limite d’ouverture de fissures [Art. A.4.5,3]

Pour limiter les fissures, on limite la contrainte dans les armatures tendues. En fonction de la

destination de la structure (à découvert, à l’abri, en bord de mer), la taille des fissures sont plus ou

moins nocives.

Cas 1 - fissuration peu préjudiciable (FPP - intérieur) : st fs ser fe

Cas 2 – fissuration préjudiciable (FP – extérieur, condensation) :

st <= fs ser = min 2fe/3 ; max0,5fe ; 110ftj ,

o 1,6 pour HA>=6 mm

o =1 pour aciers doux

o =1,3 pour HA<6 mm

Cas 3 – fissuration très préjudiciable (FTP – milieux agressifs) :

st <= fs ser = 0,8min 2fe/3 ; max0,5fe ; 110ftj ,

o =1,6 pour HA>=6 mm

o =1 pour aciers doux

o =1,3 pour HA<6 mm

est appelé coefficient de fissuration.

c. Etat limite de déformation

Ce critère n’est généralement pas prépondérant en béton et ne sera pas développé.

Vérification des éléments courants

a. Traction simple NELS connu

Section d’acier tendue Ast connue

Vérification (Etat limite d’ouverture de fissures) :

st = 𝑁𝑒𝑙𝑠

𝐴𝑠𝑡 <= fs ser

b. Compression simple (compression centrée) NELS connu

Section d’acier comprimée Asc connue

Vérification (Etat limite de compression du béton) :

avec Br : section réduite du poteau telle que Br a 2 cm)(b-2 cm).

L’introduction de la section réduite est une manière de soustraire la section des armatures sur la

section de béton.

c. Flexion simple

1. Section rectangulaire avec ou sans armatures comprimées

Bilan statique et état des contraintes d’une section de poutre BA

Bilan des efforts extérieurs :

Fst , Fsc : efforts dans les aciers tendus et comprimés.

Fb : effort dans le béton comprimé (nul dans le béton tendu).

M : moment de flexion.

PFS :

Fb + Fsc – Fst = 0

M/Aciers tendus = M - Fb Z - Fsc(d – d’) = 0

Données :

d, d’, b et h connues (x inconnue donc Z aussi)

MELS connu

Sections d’acier Ast et Asc connues

Diagramme (déformation, contrainte normale et résultantes) à l’ELS en vérification

Conditions à vérifier :

Valable dans la section homogénéisée béton (attention à la convention de signe différente de la

RdM !!!).

Recherche de la position de la fibre neutre µb , c’est à dire la valeur de x :

On a :

Fb + Fsc – Fst = b(x/2)bc + Ascsc - Ast st = 0 (PFS)

(D’après le théorème de Thalès)

IL vient alors:

(Équation du 2ème degré) d’où déduction de x.

S’il n’y a pas d’armatures comprimées, Asc est nul.

Détermination du moment quadratique I :

Inertie/axe horizontal : moment quadratique du béton comprimé + moment quadratique des aciers

tendus + moment quadratique des aciers comprimés.

béton comprimé :

aciers tendus :

aciers comprimés :

Il vient alors :

S’il n’y a pas d’armatures comprimées, Asc est nul.

Détermination des contraintes extrêmes pour vérification :

2. Section en Té avec ou sans armatures comprimées

Le principe est le même que pour le cas d’une section simplement rectangulaire. Les deux inconnues

fondamentales qui doivent être déterminées pour la vérification sont x et I.

Deux cas se présentent :

Zones de béton comprimé dans le cas d'une section en Té

Pour savoir où se situera l’axe neutre x, il est nécessaire d’effectuer un premier calcul arbitraire pour

déterminer le signe de

en remplaçant x par h0 .

Si le signe est positif, l’axe neutre est dans la table de compression (cas 1) les calculs sont

identiques au cas d’une section rectangulaire (les équations ne changent pas).

Si le signe est négatif, l’axe neutre est dans la nervure (cas 2) :

D’où l’équation pour déterminer x devient :

Et l’équation pour déterminer l’inertie devient :