cours d’analyse topologie leçon 3 - t. masrour

12 - T. Masrour - Analyse 2 http://tawfik-masrour.blogpost.com

Leçon 3

Remarques

ouverts (en general) ouvert

Par exemples :

ouvert.

fermés (en general) fermé

En efet , on sait que A = or si la topologie est t.q les singletons soient des fermés et si la reunion qcq était fermée alors n’importe quell ensemble serait fermé !

Par exemples : L’ouvert et pourtant les sont des fermés dans .

Exercice

Montrer que est un fermé. (à faire en séance de cours)

Correction : M.q. est un ouvert.

Soit , on alors , on définit un rayon

on pourra considerer, par exemples,

ou n’importe quelle autre valeur vérifiant la

condition ci-dessus. Montrons, alors que,

Soit

.

cqfd. Exercice Montrer que si alors toutes les distances engendrent la même topologie (voisinages,

ouverts, fermés) (à faire en séance de T.D)


Exercice

Soit , montrer que sont topologiquement équivalentes (à faire en séance de T.D)

Définition (intérieur)

Soit , est un point intérieur à ssi contient une (ie. est voisinage de ). L’interieur de noté = l’ensemble de tous les points interieurs à .

Proposition

= le plus grand ouvert .

Preuve

,

si ouvert et ouvert .

Si ouvert tq est un point de l’interieur ie .

Propriété

ouvert .

Preuve (en cours )

Exemples :


Propriété

Si alors

Définition « adhérence »

Soient un espace métrique, et alors : est adhérent à l’ensemble ssi On définit et note l’adhérence de par :

Exercice.

Montrer que : Si et si est adhérent à , alors pour tout voisinage de on a est infini.


7. Suites dans un espace métrique.

Soit un espace métrique, on définit une suite dans comme une application de dans qui à chaque fait associer et qu’on note

7.1. Définition (suites convergentes).

Soit une suite dans , on dit que converge vers un certain ssi

Ou d’une manière équivalente :

7.2. Définition (suites de Cauchy).

Soit une suite dans , on dit que est de Cauchy dans ssi

ou d’une manière équivalente :

7.3. Proposition

Toute suite convergente dans (E,d) est de Cauchy dans (E,d).

Preuve :

La preuve est immédiate, soit convergente dans (E,d) vers un certain

et soit

on sait qu’il existe un rang t.q.

et

Or

cqfd.


7 P c c l’ h c l

Soient un espace métrique, et , on a alors l’équivalence suivante :

Preuve (exercice en séance de cours).

Supposons qu’il existe suite dans t.q. , alors

Ou d’une manière équivalente

Donc :

cqfd.

Supposons maintenant que et construisons une suite dans qui converge vers de la manière suivante :

on choisit un élèment quelconque


……..


La suite est par construction dans et vérifie : Soit alors pour que il suffit que ce qui est vrai pour tout entier

. Donc la suite converge vers .

cqfd.


7.5. Proposition.

Soient un espace métrique, , on alors la caractérisation suivante :

Preuve.

Montrons que .

n’est pas adherent à

Or

= le plus grand ouvert inclu dans =

cqfd.

7.6. Définition (Frontière).

Propriétés

Soient un espace métrique et , alors :

est un fermé.

et la réunion est disjointe.


Soit , alors et

Si est ouvert alors on a

(On peut chercher des exemples où , , et sont tous disjoints.

Preuve.( exercice en séance du cours).

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