1 T. Masrour - Analyse 2

Université My Ismaïl Meknès

Ecole Nationale Arts et Métiers

ENSAM 2013-2014

Cours d’Analyse 2

Semestre 1

T. Masrour

2 T. Masrour - Analyse 2

Leçon 1

1. Avant Propos

Ce chapitre se fixe comme objectifs de généraliser des notions déjà étudiées auparavant dans le cadre de

l’espace vectoriel réel telles que la notion de :

Distance

Norme

Suites

Convergence

Continuité

…

Parmi les utilités importantes on peut citer simplement :

L’étude des fonctions à plusieurs variables et les équations différentielles ou les équations aux

dérivées partielles qui régissent les phénomènes physiques ou d’ingénierie….

Figure 1 : Une courbe gaussienne en deux dimensions, d'équation

.

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2. Distances, espaces métriques

2.2. Définition (Distance)

Soit un ensemble quelconque non vide (en pratique on utilisera le plus souvent ).

On dit qu’une application :

est une distance sur E si elle vérifie les trois propriétés suivantes :

(d1) :

(d2) : (

(d3) :

2.3.Remarques

La propriété (d1) s’appelle propriété de séparation.

La propriété (d2) s’appelle propriété de symétrie.

La propriété (d3) s’appelle inégalité triangulaire.

2.4. Définition (Espace métrique)

L’ensemble muni d’une distance est appelé espace métrique et est noté .

On omettra parfois si aucun risqué de confusion n’est à craindre.

2.5.Exemples

1. Soit , et soit l’application définie comme suit :

Pour tout

Alors est une distance.

2. , muni de l’application définie comme suit :

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est un espace métrique et s’appelle distance de Manhattan.

Figure 2 : Distance de Manhattan (chemins rouge, jaune et bleu) contre distance euclidienne en vert

Remarque : La figure ci-dessus compare la géométrie vue par la distance euclidienne par rapport

à celle du “taxi de Manhattan”:

Les trois lignes de (rouge, jaune et bleu) sont de même longueur pour le même trajet. En

géométrie euclidienne, la ligne verte a une longueur , et est le chemin le plus court.

3. , muni de l’application définie comme suit :

est un espace métrique et l’application s’appelle distance euclidienne.

4. , muni de l’application définie comme suit :

est un espace métrique et l’application s’appelle : “distance sup” ou encore “distance de

Tchebychev”.

5. , muni de l’application définie comme suit :

est un espace métrique et s’appelle distance de Minkowski.

6. Soit , un ensemble quelconque qui contient au moins deux éléments on le munit de

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l’application définie comme suit :

est un espace métrique et s’appelle distance discrète.

C’est la distance la plus simple que l’on puisse imaginer.

7. On peut munir l’espace des fonctions bornées ou continues de à valeurs dans

d’une application définie sur son produit avec lui meme par

On définit ainsi une distance appelée distance sup ou uniforme sur l’espace des fonctions.

3. Boules ouvertes et fermées et Notion de Bornitude dans un espace métrique.

On définit les boules ouvertes fermées et les sphères dans un espace métrique de la manière

suivante :

3.2. Définition (Boules)

Soient un espace métrique, et

On appelle boule ouverte de centre et de rayon pour la distance l’ensemble :

On appelle boule fermée de centre et de rayon pour la distance l’ensemble :

On appelle la sphère de centre et de rayon

3.3.Définition (Ensembles bornés dans un espace métrique)

Soit un espace métrique et . On dira que est borné si et seulement s’il existe une

boule fermée dans qui contient .

3.4.Exemples : (à faire en classe de cours)

1. Considérons un ensemble quleconque muni de la distance discrete.

1.1. Donner toutes les boules ouvertes et fermées ainsi que les sphères de ).

1.2. Montrer que tout ensemble de E est borné pour la distance discrète.

2. Considérer dans le plan les trois distances : et tracer les boules ouvertes de

centre l’origine et de rayon 1.