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RECHERCHE DES DIRECTIONS PRINCIPALES DE CONTRAINTES

ASSOCIEES AU JEU D’UNE POPULATION DE FAILLES

Évelyne Carey-Gailhardis

Version du 1/12/2003

Modèle mécanique

- L�étude porte sur la déformation d�un matériau rocheux assimilé à unassemblage de blocs rigides séparés par des fractures.

- Ce matériau rocheux est soumis à un champ de contraintes tectoniques(déformations anciennes ou sismiques), qui est responsable de ladéformation de cet assemblage de blocs.

- On considère que cette déformation est le résultat de glissements suivantles fractures préexistantes, ces fractures sont donc des plans de faille, etles glissements sont matérialisés par les stries.

Hypothèse de base de l’étude numérique :

Soit un plan de faille, Fk,de vecteur normal ν� portant une strie notée s� .Le champ de contraintes induit une contrainte notée σ� appliquée au plan defaille.On appelle contrainte tangentielle suivant le plan de faille (ou contrainte résoluesur le plan de faille), le vecteur τ� , projection orthogonale de σ� sur le plan defaille.

τ� = σ� - (σ� .ν� ) ν�

Relation contrainte - strie : τ� et s� sont des vecteurs de même direction et demême sens.Autrement dit, on suppose que le glissement suivant un plan de faille se feradans le sens et dans la direction de la contrainte tangentielle appliquée à ceplan.

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Conditions mécaniques :

Une telle relation ne s�applique pas à tous les comportements mécaniques.Il faut donc se placer sous un certain nombre de conditions mécaniques.Voici les principales :Les blocs séparés par les failles sont rigides, ne subissent aucune déformationélastique ou plastique.Les blocs bougent librement, sans frottement.Les blocs bougent indépendamment les uns des autres uniquement sous l�actionde la contrainte.Le milieu est isotrope et n�est soumis à aucun couple (rotation interne).L�état de contraintes appliqué est considéré comme homogène sur l�ensemble dumatériau étudié.En conséquence, le modèle mécanique qui vient d�être défini s�applique àl�analyse des mouvements des failles dans un milieu cassant sansdéformation plastique.

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Modèle mathématique

Le problème à résoudre est donc le suivant :

<< Quelles directions de contraintes permettent de réaliser τ� et s� demême direction et de même sens sur toutes les failles d’un site ? >>

On se place dans un repère géographique Oxyz avec O x� vers le Sud, O y� versl�Est et Oz� vertical.Dans ce repère, le champ de contraintes est défini par une matrice symétrique(3×3).La symétrie est assurée par l�absence de couple ou rotation interne et l�isotropiedu milieu.On note T le tenseur des contraintes :

T = ���

�

�

cfefbdeda

���

�

�

A partir de la mesure des directions et des sens des stries observées sur les plansde faille, il faut donc trouver les valeurs de a, b, c, d, e, f qui vérifient lacondition τ� et s� parallèles sur chacun des plans de faille.

Que peut-on calculer ?

Soit ν� de composantes (l, m, n) dans le repère Oxyz, normale à un plan de failletelle que ��ν� �� = 1.Par définition σ� = T {ν� }.Le vecteur contrainte σ a donc pour composantes (al + dm + en, dl + bm + fn,al + fm +cn).La contrainte tangentielle τ� est définie par σ� - (σ� .ν� ) ν� .

Note 1 :

- si T0 est solution du problème, k T0 est aussi une solution car la contraintetangentielle définie par k T0 est égale à kτ�0 vecteur parallèle à τ�0 et doncparallèle à s�.- S�il existe T1 et T2 deux solutions du problème, on aura τ�1 et τ�2

parallèles à s� et alors on pourra écrire τ�2 = kτ�1.

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En conséquence, toutes les solutions sont linéairement dépendantes et sedéduisent d�une seule solution T0 .

Note 2 :

Un tenseur T peut s�écrire sous la forme T = D + p I où D désigne la partiedéviatorique du tenseur.

T = ���

�

�

cfefbdeda

���

�

�

T = ���

�

�

pcfefpbdedpa

)3/1()3/1(

)3/1(

−−

−

���

�

�

+ (1/3) p ���

�

�

100010001

���

�

�

où p = ( a+b+c)

Le déviateur est par définition une matrice de trace nulle, la trace étant la sommedes éléments diagonaux.

On appelle σ� = D {ν� } la contrainte déviatorique. On a la relation suivante :σ� = T{ν� } = D{ν� } + pI{ν� } = σ� � + pν� .Si τ�� désigne la contrainte tangentielle déviatorique, τ�� = σ� � - ( σ� �. ν� ) ν�

Or on a τ� = σ� - (σ� .ν� )ν� = σ� � + pν� - ((σ� �. ν� ) + p(ν� .ν� )) ν� = τ��puisque ��ν� ��2 = (ν� .ν� )= 1Donc quelle que soit la valeur de p, τ� = τ��.

Conclusion :

La seule mesure des directions et des sens des stries s� ne permet que derechercher le déviateur D qui de plus ne sera connu qu�à une constantemultiplicative près.Ceci veut dire qu�on ne pourra pas déterminer la valeur de p et accéder auxcontraintes vraies, ni accéder à la valeur des contraintes déviatoriques puisqu�onne peut pas donner de valeur à cette constante multiplicative.

Le problème comportait 6 inconnues a, b, c, d, e, f.

Une première relation est imposée puisqu�on ne peut calculer qu�un déviateur : a + b + c = 0.

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Une deuxième relation traduit cette notion d�homothétie.

Pour faciliter les calculs, nous allons nous placer dans le repère principal descontraintes.En effet, mathématiquement toute matrice symétrique est diagonalisable c�est-à-dire qu�il existe un repère orthonormé dans lequel la matrice devient diagonale.De plus, toutes les solutions sont de la forme k T0 et ont donc le même repèreprincipal.Dans le repère principal

T0 = ���

�

�

z000000

σσ

σy

x

���

�

�

avec σx , σy et σz qui désignent les contraintes

principales dans le repère principal OXYZ.

Soient T1 et T2 deux tenseurs qui satisfont la relation τ� // s� .La contrainte σ� 1 = T1{ν� } se projette sur le plan faille suivant τ� 1 // s� .La contrainte σ� 2 = T2{ν� } se projette sur le plan faille suivant τ� 2 // s� .Ceci implique que les trois vecteurs σ� 1 , σ

�

2 et ν� sont coplanaires.Si (l, m, n) désignent les composantes de la normale ν� dans le repère principalOXYZ, les trois composantes de σ� 1 sont ( σx1l , σy1m , σz1n ) et les troiscomposantes de σ� 2 sont (σx2l , σy2m , σz2n ).Les trois vecteurs étant coplanaires, le déterminant formé de leurs composantesest nul.

| l , m , n | | σx1l , σy1m , σz1n | = 0 | σx2l , σy2m , σz2n |

Après développement du déterminant, on obtient la relation

(σx1 - σz1 ) / (σx1 - σy1 ) = (σx2 - σz2 ) / (σx2 - σy2 ) = constante = R

On appelle R un rapport de forme. Il existe 6 rapports de forme possibles parpermutations circulaires. R est une excentricité de l�ellipsoïde des contraintes.R a la même valeur pour le rapport des différences des contraintes principalesdéviatoriques (cf. définition du déviateur).Les six inconnues (a, b, c, d, e, f) , composantes du tenseur T ne peuvent êtredéterminées.

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On a la première relation a+b+c = 0 car on ne calcule que le déviateur, relationqui devient dans le repère principal σx + σy + σz = 0.On a une deuxième relation (σx - σz ) / (σx - σy ) = R

En résumé, la mesure des directions et des sens des stries sur une populationde failles ne permet de définir que les directions des axes principaux descontraintes et un rapport R. Les valeurs relatives des contraintes principalespermettent d�identifier l�axe de compression, l�axe d�extension et l�axeintermédiaire qui peut-être dit compressif ou extensif.

Par convention de signe,on note σ1 la contrainte compressive, σ3 la contrainte extensive et σ2 lacontrainte intermédiaire, avec une valeur négative pour la compression etpositive pour l�extension.On aura donc toujours σ1 ≤ σ2 ≤ σ3 .D�autre part, comme on en peut calculer qu�un déviateur , σ1 + σ2 + σ3 = 0 .

Signification du rapport R = (σz - σx ) / (σy - σx )

Supposons les axes principaux des contraintes 0X et 0Y horizontaux et OZvertical avec σy < σx .On a défini par convention de signeσ1 ≤ σ2 ≤ σ3 et σ1 + σ2 + σ3 = 0 implique que σ1 < 0 et σ3 > 0.

Si σz < σy < σx on a R = (σ1 - σ3 ) / (σ2 - σ3) > 1 et OZ vertical est un axe decompression : on est dans le cas d�un régime tectonique en extension (faillesnormales).

Si σy < σz < σx on a R = (σ2 - σ3 ) / (σ1 - σ3) compris entre 0 et 1 et OZ verticalest un axe intermédiaire : on est dans le cas d�un régime tectonique endécrochement (failles décrochantes).

Si σy < σx < σz on a R = (σ3 - σ2 ) / (σ1 - σ2) < 0 et 0Z vertical est un axed�extension : on est dans le cas d�un régime tectonique en compression (faillesinverses).

La valeur de R correspond au régime de contraintes pour cette disposition d�axes0X, OY et OZ .

Très important : La valeur de R n’a de signification en termes de régime decontraintes que pour une position définie des axes principaux.

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En clair, deux déviateurs ne définiront un même régime de contraintes que sileurs axes principaux sont parallèles et s�ils sont caractérisés par la même valeurde R.

Résolution numérique

Soient N plans de faille striés.

Il faut déterminer les axes de contraintes tels que τ� // s� sur chacun des N plansde faille.

De façon directe, Wallace en 1951 et Bott en 1959 avaient démontré la relationsuivante :

Étant donné le repère principal OXYZ, on appelle (l,m,n) les composantes de lanormale ν� au plan de faille.À chaque pitch de la strie s� , on peut définir la valeur que devrait avoir le rapportR = (σz - σx ) / (σy - σx ) pour satisfaire τ� // s� sur le plan de faille, grâce à larelation

tg (pitch) = (n/lm) (m2 � (1 � n2) R ) (formule de Bott)

Dans notre cas le problème posé est dit inverse car il s�agit de déterminer lerepère OXYZ et R.

Différentes approches numériques :

A � On appelle (τ� k , s� k) l�angle des deux vecteurs τ� k et s� k pour le plan defaille Fk .En théorie, on devrait avoir tous ces angles (τ� k , s� k) = 0. En pratique, oncherche à obtenir le minimum de ces écarts angulaires en minimisant unefonction du type

F = �=

=

Nk

k 1(τ� k , s� k)2 sur les N plans de faille d�un site de mesures.

B � A chaque strie s� k , on associe une valeur de R (formule de Bott) et oncherche les angles (α,β,γ) qui définissent la position du repère principal descontraintes OXYZ tels que la dispersion des valeurs de R soit minimum.

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C - Méthode inverse généralisée :

Comme on souhaite que la contrainte σ� appliquée au plan de faille se projetteorthogonalement suivant la strie s� observée sur ce plan, on a la relation suivanteà vérifier pour chacun des plans

σ� = (σ� .ν� ) ν� + (σ� . s�) s�

En appliquant le théorème de Pythagore dans le plan (ν� , s�), il faut vérifier surchaque plan|| σ� ||2 = (σ� .ν� )2 + (σ� . s�)2

On aura un système de N équations non linéaires à résoudre par une méthodedite d�inversion généralisée.

La méthode utilisée par le programme de calcul décrit ci-après est une méthodeinverse de type A .

Schéma du calcul des directions principales de contraintes

Seul un déviateur de contraintes, défini à une homothétie près, peut êtredéterminé.

On cherche les 6 composantes (dans le repère des mesures) d�un déviateur définipar la matrice D.

D = ���

�

�

cfefbdeda

���

�

�

où a + b + c = 0 et a*a+b*b+c*c+d*d+e*e+f*f = 1

Etape 1 : Transformation des données, direction, pendage, pitch en coordonnéescartésiennes dans le repère géographique.

Etape 2 : Recherche d�un minimum pour la fonction

F (D) = - �=

N

k 1εk cos2 ( τ� k , s� k )

avec εk = 1 si τ� k et s� k sont de même sens et avec εk = -1 si τ� k et s� k sont desens opposés.

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On utilise une méthode dite du simplexe non linéaire, méthode de type« moindres carrés ». Comme pour toute méthode de moindres carrés, il fautdéfinir une valeur approchée de la solution numérique pour démarrer leprocessus itératif de minimisation de la fonction. En termes mathématiques, lasolution est une droite de l�hyperplan d�équation a+b+c = 0. On recherche enfaisant varier pas à pas les valeurs des inconnues (a,b,c,d,e,f) une droite quidonne une valeur minimale à la fonction. Puis on démarre la méthode dusimplexe à partir de ce minimum relatif.

Lorsqu�on a déterminé les valeurs (a,b,c,d,e,f) , on diagonalise la matrice pourdéfinir les axes principaux des contraintes (vecteurs propres de la matrice D) etles contraintes principales (valeurs propres de la matrice D). A partir des valeurspropres de la matrice D, on calcule la valeur du rapport R, qui est défini tel que :R = (σ2 - σ1 ) / (σ3 - σ1) , on a donc 0 ≤ R ≤ 1.

Etape 3 : analyse du résultat (test du déviateur D calculé ).

1°) Quel minimum pour la fonction F?En théorie, si D rend τ� // s� sur chacun des N plans de faille, on devrait avoir unminimum égal à �N ( tous les cosinus seraient égaux à 1).Plus on s�approche de cette valeur �N, plus l�écart angulaire (τ� , s� ) est faiblesur l�ensemble des plans de faille et plus les directions des axes de contraintesobtenues expliquent les mouvements observés sur les failles mesurées.

2°) On exprime la valeur du pitch, la norme et le sens du mouvement duvecteur τ� défini par D ainsi bien sûr que la valeur de l�écart angulaire (τ� , s� )pour chaque plan de faille.Si l�écart angulaire est inférieur ou égal à 20°, on considère que le glissementobservé est cohérent avec le glissement calculé.Si la norme du vecteur τ� est proche de zéro, le plan de faille correspondant estun plan principal de contraintes (plan qui contient deux axes de contraintes). Enconséquence, quelque que soit la valeur de l�écart angulaire, un tel plan soumisaux contraintes calculées n�a pas pu jouer.

3°) Utilisant la formule de Bott, on calcule pour les directions principalesdéterminées par l�inversion, la valeur du rapport R= (σ2 - σ1 ) / (σ3 - σ1) quicorrespond à la strie s� .Si l�écart (τ� , s� ) était égal à 0, la valeur de ce R serait égale à la valeur durapport R du déviateur calculé.Si l�écart (τ� , s� ) est faible, la valeur de ce rapport est comprise entre 0 et 1.Si l�écart (τ� , s� ) est fort, la valeur de ce rapport est : > 1 ou < 0.

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Il se peut qu�on observe une valeur de R <0 ou >1 pour un écart (τ� , s� ) faible.Cela ne veut pas forcément dire que le glissement de ce plan de faille n�est pasexpliqué par le déviateur calculé. En effet, on démontre aisément que si un desaxes principaux de contrainte est inclus dans le plan de faille, alors quelle quesoit la valeur du rapport R du déviateur des contraintes, la contrainte tangentiellerésolue sur ce plan est perpendiculaire à l�axe principal de contrainte. Doncavant d�éliminer la donnée, il faut vérifier si le plan de faille ne contient pas undes axes principaux de contrainte. Voir aussi l�ANNEXE.

Quelques remarques sur l’analyse des résultats du calcul

Le calcul permet de déterminer des directions de contraintes qui définissent lacontrainte tectonique qui a provoqué les glissements observés sur les failles.On suppose donc qu�un seul épisode de déformation est à l�origine de cesglissements.

Dans le cas d’un seul épisode de déformation :

Problèmes liés à la fracturation :

On a vu que le problème se ramenait à la détermination de 4 valeurs, que l�onpeut définir comme les trois angles de rotation (angles eulériens) pour amener lerepère des mesures sur le repère principal des contraintes et une valeur derapport R.En conséquence, une inversion ne peut être numériquement contrainte que sil�on a observé au moins quatre plans de faille géométriquement (directions etpendages) bien distincts.

Le calcul ne prend pas en compte la géométrie des blocs, ni leur position les unspar rapport aux autres. On peut donc avoir des glissements liés non pas auxcontraintes mais aux réajustements des blocs. Par exemple, certaines faillespeuvent avoir glissé par gravité ou suivant une gouttière. Dans ces derniers cas,ces glissements de faille ne sont pas en accord avec les hypothèses mécaniquesdu modèle d�inversion.

Dans le cas, où plusieurs épisodes tectoniques sont présent sur un site :

Le programme de calcul peut être utilisé pour tenter de séparer les striescorrespondant aux divers épisodes.

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Pour cela, on trace l�histogramme des écarts angulaires (τ� , s� ).

Cas 1 : Si un épisode prédomine, l�histogramme montre qu�une majorité defailles donnent un écart angulaire (τ� , s� ) inférieur à 30°C mais qu�il y a aussides failles avec de forts écarts angulaires. En effet, dans ce cas le calculdétermine un déviateur proche du déviateur qui représente la phase dominante.On sélectionne alors les failles donnant un écart (τ� , s� ) inférieur à 20°C et onrelance le calcul sur ces failles. Puis on teste le résultat ; c�est-à-dire qu�ondétermine l�écart angulaire (τ� , s� ) sur l�ensemble des failles. On définit ainsil�ensemble des données cohérentes avec l�épisode dominant.On prend ensuite l�ensemble des données qui ont été écartées pour essayer dedéfinir le déviateur représentatif de l�épisode mineur.

Cas2 : S�il n�y a pas un épisode qui prédomine, l�histogramme des écartsangulaires (τ� , s� ) sera très étalé et la méthode numérique ne permet pas dedémarrer une séparation des données. On a juste la certitude que les striesobservées correspondent à plusieurs épisodes de déformation.Mais si sur un site voisin, on a pu déterminer un déviateur de contraintesreprésentatif d�un épisode, on peut tester ce déviateur en déterminant les écartsangulaires (τ� , s� ) de façon à définir les failles du site avec mélange, cohérentesavec le déviateur défini sur le site voisin. On procède alors comme dans le cas 1.

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APPLICATION AUX MECANISMES AU FOYER

Un mécanisme au foyer est défini par un couple de plans nodaux dont seul l�undes deux plans est le plan de faille actif, l�autre plan étant auxiliaire est doncvirtuel. Le vecteur glissement de ce plan auxiliaire ne représente pas un vecteurde contrainte tangentielle.Il n�est donc pas possible d�appliquer directement le programme de calcul utilisépour les failles à un ensemble de plans nodaux.

Il faut d�abord essayer de séparer le plan de faille du plan auxiliaire.Pour cela, on utilise d�abord la méthode graphique appelée « méthode desdièdres droits » qui permet de définir une zone dite en compression qui contientl�axe de compression et une zone dite en extension qui contient l�axe enextension. (voir Annexe).Ces zones permettent de définir «graphiquement » des directions principales decontraintes.

On ne va pas travailler avec les écarts angulaires (τ� , s� ).En utilisant la formule de Bott qui relie les directions des axes principaux descontraintes à la valeur du rapport R= (σ2 - σ1 ) / (σ3 - σ1), on calcule les valeursde R données par les vecteurs glissement des plans nodaux.Le plan de faille est celui qui donne mécaniquement une valeur de R compriseentre 0 et 1.Il peut arriver qu�aucun des deux plans ne satisfasse cette relation ou qu�aucontraire, les deux plans nodaux deux la satisfassent. On élimine dans unpremier temps ce type de couple de plans nodaux.Ceci permet de définir un ensemble de failles sur lequel on peut appliquer laméthode numérique de détermination des contraintes (voir Annexe). Une foisdéfini un premier déviateur de contraintes, on le teste sur l�ensemble des plansnodaux afin de préciser quels sont tous les plans de faille sismique associé à cesdirections de contraintes.

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ANNEXE

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