cours complet

Rpublique Algrienne Dmocratique et PopulaireMinistre de l'Enseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique

Universit Djillali Liabs Sidi Bel-Abbs Facult des Sciences de lIngnieur Dpartement d'Electrotechnique

Partie 1 Cours d'Asservissements Linaires Continus

Niveau

:

4me Anne Ingnieur d'Etat en Electrotechnique

Options

:

Rseaux Electriques Machines Electriques Commande lectrique Maintenance industrielle

Dernire mise jour

:

Septembre 2007

Prpar et enseign par :

Prof. Mohammed-Karim FELLAH Professeur de l'enseignement Suprieur

AVANTPROPOS

Ce document s'adresse aux tudiants de la formation d'ingnieur dans le cadre du programme officiel. Mais bien entendu il peut tre tudi par tous ceux en 1er cycle, en 2me cycle, ou mme en post-graduation, qui dsirent approfondir leurs connaissances ou avoir un document de base en matire d'asservissement.

La commande et l'interprtation du comportement de procds industriels ou de phnomnes physiques naturels font partie des tches qui incombent l'ingnieur. Ce dernier est confront une ralit qu'il lui faudra domestiquer et/ou comprendre pour en tirer le meilleur parti. Au centre de cette connaissance se trouve le concept de systme, concept que l'on retrouve dans un grand nombre de disciplines et techniques : contrle de procd, techniques d'optimisation, traitement du signal, filtrage, mathmatique des quations diffrentielles, etc. Dans le cadre de ce cours, nous nous intressons principalement l'tude des "systmes" la fois continus et linaires, qui sont reprsents sous forme de fonction de transfert (reprsentation externe, dite encore de la "bote noire") ; ces trois conditions volontairement limitatives permettent d'introduire de faon simple les principaux concepts de l'automatique. Ce texte constitue la transcription fidle d'un cours oral magistral trait au dpartement d'Electrotechnique, l'universit de Sidi Bel-Abbs pour les tudiants en formation d'ingnieur d'tat en Electrotechnique. Le but recherch n'est donc pas d'puiser le sujet, mais d'essayer d'en dgager les ides essentielles, simplifies, quant cela est ncessaire, dans un but didactique. En consquence, l'accent est mis sur les explications physiques et les exemples, plutt que sur les dmonstrations, mais celles-ci sont galement traites en dtail surtout lorsqu'elles sont indispensables la bonne comprhension du rsultat.

Pr. FELLAH Mohammed-Karim

Cours d'asservissements linaires continus (2007-2008)

Prof. FELLAH M.K.

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SOMMAIRECHAPITRE 1 : INTRODUCTION AUX ASSERVISSEMENTS .................................... 71- 1 - Introduction lautomatique ........................................................................................................................ 7 1- 1.1 - Exemple .................................................................................................................................................... 7 1- 1.2 - Classification ............................................................................................................................................ 7 1- 1.3 - Systmes continus et invariants ................................................................................................................ 9 1- 1.4 - Evolution de l'automatique ....................................................................................................................... 9 1- 2 - Boucle de rgulation ...................................................................................................................................... 9 1- 2.1 - Notion d'asservissement ............................................................................................................................ 9 1- 2.2 - Systmes boucls et non boucls ............................................................................................................ 10 1- 2.3 - Dfinitions Constitutions lmentaires ................................................................................................ 12 1- 2.4 - Rgulation et systmes asservis .............................................................................................................. 14 1- 3 - Linarit des asservissements ..................................................................................................................... 14 1- 3.1 - Gnralits .............................................................................................................................................. 14 1- 3.2 - Nonlinarits accidentelles ................................................................................................................... 14 1- 3.3 - Nonlinarits essentielles ...................................................................................................................... 15 1- 3.4 - Proprits des systmes linaires ............................................................................................................ 17 1- 4 - Rgimes transitoires des asservissements .................................................................................................. 17 1- 4.1 - Dfinitions .............................................................................................................................................. 17 1- 4.2 - Performances d'un systme asservi ......................................................................................................... 17 1- 5 - Mise en quation d'un systme - Rsolution ............................................................................................ 18 1- 5.1 - Mise en quation ..................................................................................................................................... 18 1- 5.2 - Utilisation de la transforme de Laplace ................................................................................................. 19

CHAPITRE 2 : NOTION DE FONCTION DE TRANSFERT ...................................... 202- 1 - Introduction.................................................................................................................................................. 20 2- 2 - Fonction de transfert d'un ensemble d'lments ....................................................................................... 21 2- 2.1 - Elments en srie (ou cascade) ............................................................................................................... 21 2- 2.2 - Elments en parallle .............................................................................................................................. 21 2- 2.3 - Cas d'un systme n entres indpendantes ........................................................................................... 22 2- 3 - Fonction de Transfert en Boucle Ferme 2- 4 - Fonction de transfert en boucle ouverte ( FTBF ) ............................................................................... 22 ( FTBO ) ................................................................................ 23

2- 5 - Influence de la charge sur la fonction de transfert d'un systme asservi ................................................ 24 2- 6 - Fonction de transfert d'un systme boucles multiples ........................................................................... 24 2- 7 - Formes gnrales de la Fonction de Transfert d'un systme linaire...................................................... 25 2- 7.1 - Autres formes d'criture .......................................................................................................................... 26 2- 8 - Rgles de transformation des schmas fonctionnels ................................................................................. 27

CHAPITRE 3 : METHODES D'ETUDES DES ASSERVISSEMENTS ...................... 303- 1 - Introduction.................................................................................................................................................. 30 3- 2 - Entres canoniques ...................................................................................................................................... 30 3- 2.1 - Echelon unit .......................................................................................................................................... 30 3- 2.2 - Echelon de vitesse ( rampe unit ) .......................................................................................................... 30 3- 2.3 - Echelon d'acclration ............................................................................................................................ 31 3- 2.4 - Impulsion unitaire ................................................................................................................................... 32Cours d'asservissements linaires continus (2007-2008) Prof. FELLAH M.K. 3

3- 2.5 - Entre harmonique .................................................................................................................................. 33 3- 3 - Rponse d'un systme asservi aux entres canoniques ............................................................................. 33 3- 3.1 - Rponse du systme une impulsion unitaire : rponse impulsionnelle ................................................ 33 3- 3.2 - Rponse du systme un chelon unit : rponse indicielle ................................................................... 34 3- 3.3 - Rponse frquentielle.............................................................................................................................. 35 3- 4 - Reprsentation de la rponse frquentielle ................................................................................................ 35 3- 4.1 - Courbes de Bode et diagrammes asymptotiques ..................................................................................... 35 3- 4.2 - Courbe de Nyquist ou lieu de Nyquist .................................................................................................... 37 3- 4.3 - Courbe amplitude phase ou lieu de Black (ou Black Nichols) .......................................................... 37 3- 5 - Etude des systmes du premier ordre ........................................................................................................ 39 3- 5.1 - Dfinition ................................................................................................................................................ 39 3- 5.2 - Rponse indicielle ................................................................................................................................... 39 3- 5.3 - Rponse une rampe ( chelon de vitesse) ............................................................................................. 40 3- 5.4 - Rponse une impulsion unit ............................................................................................................... 40 3- 5.5 - Rponse frquentielle.............................................................................................................................. 41 3- 5.6 - Exemples de systmes du 1er ordre ......................................................................................................... 44 3- 6 - Etude des systmes du second ordre .......................................................................................................... 47 3- 6.1 - Dfinition ................................................................................................................................................ 47 3- 6.2 - Rponse un chelon unit ..................................................................................................................... 48 3- 6.3 - Rponse une impulsion unit ............................................................................................................... 51 3- 6.4 - Rponse frquentielle.............................................................................................................................. 52 3- 7 - Systmes dphasage minimum et systmes dphasage non minimum .............................................. 57

CHAPITRE 4 : STABILITE DES SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES.................... 604- 1 - Notion de stabilit d'un systme ................................................................................................................. 60 4- 1.1 - Dfinition de la stabilit .......................................................................................................................... 60 4- 1.2 - Aspect mathmatique de la stabilit ........................................................................................................ 61 4- 1.3 - Conditions de stabilit............................................................................................................................. 62 4- 1.4 - Etude de la stabilit d'un systme boucl ................................................................................................ 63 4- 2 - Critre de Routh - Hurwitz ......................................................................................................................... 64 4- 2.1 - Enonc du critre .................................................................................................................................... 64 4- 2.2 - Exemple 1 ............................................................................................................................................... 66 4- 2.3 - Exemple 2 (ligne complte de zros) ...................................................................................................... 66 4- 2.4 - Exemple 3 (un zro sur la premire colonne) ......................................................................................... 67 4- 3 - Critre de Nyquist ........................................................................................................................................ 68 4- 3.1 - nonc du critre de Nyquist .................................................................................................................. 68 4- 3.2 - Exemple .................................................................................................................................................. 69 4- 3.3 - Critre de Nyquist simplifi (critre du Revers) ..................................................................................... 70 4- 4 - Marges de stabilit ....................................................................................................................................... 70 4- 4.1 - Valeurs usuelles de et G ............................................................................................................... 71 4- 4.2 - Critre de Stabilit utilisant les courbes de Bode et de Black ................................................................. 72 4- 4.3 - Marge de stabilit applique la position des ples de la FTBF ............................................................ 72

CHAPITRE 5 : PERFORMANCES DES ASSERVISSEMENTS ............................... 735- 1 - Introduction.................................................................................................................................................. 73 5- 2 - Performances Statiques des Systmes boucls........................................................................................... 73 5- 2.1 - Erreur statique ......................................................................................................................................... 73 5- 2.2 - Gain statique en boucle ferme ............................................................................................................... 77 5- 2.3 - Exemple .................................................................................................................................................. 77 5- 3 - Performances Dynamiques des Systmes boucls ..................................................................................... 79 5- 3.1 - Remarques sur les caractristiques de la rponse transitoire................................................................... 80Cours d'asservissements linaires continus (2007-2008) Prof. FELLAH M.K. 4

5- 3.2 - Caractristiques de la rponse transitoire des systmes du 2nd ordre ...................................................... 80 5- 3.3 - Relations Boucle Ouverte Boucle Ferme retour unitaire ................................................................. 86 5- 4 - Effets de l'addition de ples et de zros aux fonctions de transfert ......................................................... 90 5- 4.1 - Addition d'un ple supplmentaire la chane directe d'un systme asservi retour unitaire ................ 90 5- 4.2 - Addition d'un ple supplmentaire la fonction de transfert en boucle ferme ..................................... 92 5- 4.3 - Addition d'un zro supplmentaire la fonction de transfert en boucle ferme ..................................... 93 5- 4.4 - Addition d'un zro supplmentaire la chane directe d'un systme retour unitaire ............................ 94 5- 5 - Ples dominants des fonctions de transfert ................................................................................................ 96

CHAPITRE 6 : LIEU D'EVANS (LIEU DES RACINES OU LIEU DES POLES) ...... 976- 1 - Introduction.................................................................................................................................................. 97 6- 2 - Proprits de base du lieu des racines ........................................................................................................ 98 6- 2.1 - Condition sur l'angle et condition sur le module ..................................................................................... 98 6- 2.2 - Exemple .................................................................................................................................................. 99 6- 3 - Rgles de trac du lieu d'Evans ................................................................................................................ 102 6- 3.1 - Gnralits ............................................................................................................................................ 102 6- 3.2 - Rgles de trac du lieu d'Evans ............................................................................................................. 102 6- 3.3 - Exemple 1 ............................................................................................................................................. 106 6- 3.4 - Exemple 2 ............................................................................................................................................. 107 6- 4 - Sensibilit du lieu d'Evans aux variations des Configurations pleszeros .......................................... 110 6- 5 - Simplification d'un ple de G(p) par un zro de H(p) ............................................................................ 110 6- 6 - Quelques aspects importants de la construction du lieu des racines ..................................................... 111 6- 6.1 - Effets de l'addition de ples G(p).H(p) .............................................................................................. 111 6- 6.2 - Effets de l'addition de zros G(p).H(p) .............................................................................................. 112 6- 7 - Conclusion .................................................................................................................................................. 113

CHAPITRE 7 : CORRECTION DES SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES ............ 1147- 1 - Introduction................................................................................................................................................ 114 7- 1.1 - Ncessit de correction dans les systmes asservis ............................................................................... 114 7- 1.2 - Stratgie de correction (ou compensation) des systmes asservis......................................................... 115 7- 2 - Correction en cascade ou srie .................................................................................................................. 119 7- 2.1 - Principes gnraux ................................................................................................................................ 119 7- 2.2 - Correcteur action proportionnelle (P)................................................................................................. 120 7- 2.3 - Correcteur action intgrale (I) ............................................................................................................ 124 7- 2.4 - Correcteur actions proportionnelle et intgrale (PI) ........................................................................... 126 7- 2.5 - Correcteur action drive (D) ............................................................................................................. 133 7- 2.6 - Correcteur actions proportionnelle et drive (PD) ............................................................................ 135 7- 2.7 - Correcteur actions proportionnelle, intgrale et drive (PID) .......................................................... 140

ANNEXE A : TRANSFORMEES DE LAPLACE ................................................... 149A.1 - Transforme Directe de Laplace ............................................................................................................ 149 A.1.1 - Dfinition de la Transforme de Laplace .............................................................................................. 149 A.1.2 - Proprits Usuelles de la transforme de Laplace ................................................................................. 150 A.1.3 - Thormes relatifs la Transforme de Laplace ................................................................................... 152 A.2 - Transforme Inverse de Laplace ............................................................................................................ 157 A.2.1 - Si F(p) ne contient que des ples distincts ............................................................................................ 158 A.2.2 - Si F(p) contient des ples complexes conjugus ................................................................................... 159 A.2.3 - Si F(p) contient des ples multiples ..................................................................................................... 160


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ANNEXE B : TABLE DES PRINCIPALES TRANSFORMEES DE LAPLACE ET LEURS PROPRIETES ........................................................................................................ 161 BIBLIOGRAPHIE ........................................................................................................ 162


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Chapitre 1 : INTRODUCTION AUX ASSERVISSEMENTS

1- 1 - Introduction lautomatiqueL'automatique est gnralement dfinie comme la science qui traite des ensembles qui se suffisent eux-mmes et o l'intervention humaine est limite l'alimentation en nergie et en matire premire. L'objectif de l'automatique est de remplacer l'homme dans la plupart des tches (tches rptitives, pnibles, dangereuses, trop prcises, trop rapides) qu'il ralise dans tous les domaines sans intervention humaine. Les systmes automatiques permettent donc : * * * * de raliser des oprations trop complexes ou dlicates ne pouvant tre confis l'homme, de se substituer l'oprateur pour des tches rptitives, d'accrotre la prcision, d'amliorer la stabilit d'un systme et sa rapidit.

De tels dispositifs se rencontrent frquemment dans la vie courante, depuis les mcanismes biologiques du corps humain jusqu'aux usines entirement automatises. Une telle science englobe un grand nombre de disciplines et, par consquent, un automaticien devrait tre la fois : * * * * Mathmaticien Electricien Mcanicien Economiste

1- 1.1 - ExempleNous sommes entours d'un grand nombre de systmes automatiques, machine laver, ascenseur, distributeur de boisson, robot, suivi de trajectoire dun missile.

1- 1.2 - ClassificationLe domaine des applications de l'automatique est trs vaste et vari, mais l'observation de l'industrie contemporaine conduit une certaine classification qui se rsume en deux grandes familles selon les donnes que traitent ces systmes : * * Les automatismes squentiels Les asservissements

Ces deux parties de l'automatique sont nettement diffrentes, elles s'appuient sur des notions thoriques qui n'ont que de lointains rapports entre elles et les techniques qui permettent de les raliser sont, aussi, trs diffrentes.


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1- 1.2.a - Les automatismes squentielsC'est la branche de l'automatique qui organise le droulement des diffrentes oprations relatives au fonctionnement d'un ensemble complexe. Un automatisme squence impose l'ordre dans lequel les oprations se droulent, s'assure que chaque opration est bien termine avant d'aborder la suivante, dcide de la marche suivre en cas d'incidents. Bien entendu, un automatisme squentiel peut avoir contrler des asservissements et des rgulateurs (voir 1- 1.2.b) parmi les ensembles qu'il gre. Ce type d'automatisme est utilis par exemple dans la mise en route et l'arrt d'installations complexes (centrales automatiques), sur les machines outils et, en gnral, dans presque toutes units de production automatises. Il faut noter galement que toutes les squences d'alarme et de scurit industrielle font partie des applications de ce type d'automatisme. Les automatismes sont des systmes logiques qui ne traitent que des donnes logiques (0/1, vrai/faux, marche/arrt,...). Ils utilisent les moyens de commutation offerts par l'lectronique (circuit logique) et la mcanique (logique pneumatique). Le calcul de ces automatismes impose de connatre l'algbre de Boole et la thorie des circuits squentiels. Ils sont classs en 2 branches : * * Systmes combinatoires : les sorties du systme ne dpendent que des variables dentres. Systmes squentiels : les sorties dpendent bien sr de lvolution des entres mais aussi de ltat prcdent des sorties.

Exemple : Machine laver, manipulateur pneumatique, ascenseur, distributeur de boissons.

1- 1.2.b - Les asservissementsUn systme asservi est un systme qui prend en compte, durant son fonctionnement, l'volution de ses sorties pour les modifier et les maintenir conforme une consigne. Cette branche de lautomatique se dcompose en deux autres sous branches (spares artificiellement par l'usage) : * * Rgulation : maintenir une variable dtermine, constante et gale une valeur, dite de consigne, sans intervention humaine. Exemple : Rgulation de temprature d'une pice. Systmes asservis : faire varier une grandeur dtermine suivant une loi impose par un lment de comparaison. Exemple : Rgulation de la vitesse d'un moteur, Suivi de trajectoire d'un missile.

Lasservissement est essentiellement analogique et utilise la partie analogique des trois moyens de base dont on dispose : mcanique, lectrotechnique et lectronique. La thorie des asservissements ncessite une bonne base mathmatique classique.


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1- 1.3 - Systmes continus et invariants* Systme continu : un systme est dit continu lorsque les variations des grandeurs physiques le caractrisant sont des fonctions du type f(t), avec t une variable continue, le temps en gnral. On oppose les systmes continus aux systmes discrets (ou chantillonns), par exemple les systmes informatiques. Systme invariant : On dit quun systme est invariant lorsque les caractristiques de comportement ne se modifient pas avec le temps.

*

1- 1.4 - Evolution de l'automatiqueCes dernires annes, lautomatique sest considrablement modernise, surtout depuis lavnement des calculateurs numriques. Les systmes automatiques conduits par calculateurs assurent la quasi-totalit des tches : * * ils collectent et traitent les informations issues des capteurs qui fournissent l'ensemble des variables d'entre. ces variables d'entre constituent les donnes sur lesquelles des calculs numriques seront effectus. Ils correspondent la rsolution numrique de systmes d'quations qui constituent le "modle mathmatique". le rsultat de ce traitement fourni en binaire est converti en variables continues et est inject dans le processus, afin de modifier son volution dans un sens dsir.

*

En plus de ces tches qui sont classiques en automatique, le calculateur joue un rle optimalisateur. C'est--dire qu'il excute le travail faire aux meilleures conditions conomiques en minimisant les dchets, en tenant compte du carnet de commande, etc. Cet aspect, lui, est nouveau. Ce genre de problme tait trait sparment. Ce procd permet de tenir compte d'un nombre considrable de variables, donc de traiter des problmes jusqu'alors impossibles. En plus, il fait intervenir directement les variables conomiques au niveau de chaque organe (moteur, pompe, etc ...). Or, jusqu' prsent, les variables conomiques n'intervenaient que globalement. Il permet donc de traiter ce problme de faon beaucoup plus rationnelle. Les systmes automatiques conduits par calculateurs ncessitent une bonne connaissance de la programmation en langage machine, de fortes connaissances mathmatiques (pour laborer le modle) et surtout une connaissance parfaite du processus rguler, ce qui est le plus dlicat. Ceci ncessite encore de bonnes connaissances en thorie de l'information, en statistique et en recherche oprationnelle.

1- 2 - Boucle de rgulation1- 2.1 - Notion d'asservissementL'objectif d'un systme automatis est de remplacer l'homme dans une tche donne. Nous allons, pour tablir la structure d'un systme automatis, commencer par tudier le fonctionnement d'un systme dans lequel l'homme est la " partie commande ". Exemple : conducteur au volant d'un vhicule Le conducteur doit suivre la route. Pour cela, Il observe la route et son environnement et value la distance qui spare son vhicule du bord de la route. Il dtermine, en fonction du contexte, l'angle qu'il doit donner au volant pour suivre la route. Il agit sur le volant (donc sur le systme) ; puis de nouveau, il recommence son observation pendant toute la dure du dplacement. Si un coup de vent dvie le vhicule, aprs avoir observ et mesur l'cart, il agit pour s'opposer cette perturbation. Si lon veut quun asservissement remplace l'homme dans diverses tches, il devra avoir un comportement et des organes analogues ceux d'un tre humain. C'est--dire qu'il devra tre capable d'apprcier, de comparer et d'agir.


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Exemple : ouverture de porte pour accs une maison. Un autre exemple d'asservissement trs simple est celui d'un homme qui veut entrer dans une maison : chaque instant, ses yeux "mesurent" l'cart qui existe entre sa position et la porte. Son cerveau commande alors aux jambes d'agir, en sorte que cet cart diminue, puis s'annule. Les yeux jouent alors le rle d'organes de mesure (ou de capteurs), le cerveau celui de comparateur et les jambes celui d'organe de puissance. Tout asservissement comportera ces trois catgories d'lments qui remplissent les 3 grandes fonctions ncessaires sa bonne marche (fig. 11) : * * * Mesure (ou observation) Comparaison entre le but atteindre et la position actuelle (Rflexion) Action de puissance

Tche raliser

Rflexion

Action

Effet de l'action

Observation

Fig. 11 : Concept gnral dun asservissement

1- 2.2 - Systmes boucls et non boucls1- 2.2.a - Exemple 1 : Tir au canonPour mieux saisir la notion de systme boucl, prenons un exemple avec 2 cas. Dans le premier, nous considrons un systme non boucl et nous mettrons en vidence ses faiblesses. Dans le second, nous montrerons les avantages qu'apporte le bouclage. Premier cas : tir au canon sur une cible. On considre une cible dtruire et un canon. Pour atteindre le but que l'on s'est propos, on rgle l'angle de tir du canon et la charge de poudre de l'obus en fonction des coordonnes de la cible et d'autres paramtres connus l'instant du tir. Une fois l'obus parti, si ces paramtres extrieurs viennent changer, par exemple si la cible se dplace, on ne peut plus agir sur sa direction : l'obus est abandonn lui-mme. Deuxime cas : tir au canon sur une cible avec une fuse tlguide et un radar. Considrons la mme cible et une fuse tlguide. Dans ce cas, mme si la cible se dplace ou un vent latral fait dvier la fuse de sa trajectoire initiale, elle atteindra quand mme son but. En effet, chaque instant, un radar donnera les positions respectives de la fuse et de la cible. Il suffira de les comparer pour en dduire l'erreur de trajectoire et agir sur les gouvernes de la fuse pour rectifier cette erreur. Dans ce cas, le systme n'est plus abandonn lui-mme car il comporte une boucle de retour qui est constitue par le radar, qui "mesure" la position de la fuse et qui en informe l'oprateur, et par une tltransmission qui permet de modifier la trajectoire par action sur les gouvernes.

La boucle de retour apporte donc, au prix d'une complication certaine, un gain de prcision norme.


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1- 2.2.b - Exemple 2 :

Asservissement de vitesse dune voiture

Supposons que l'on veuille maintenir constante la vitesse (V) d'une voiture. A la valeur (V) de la vitesse correspond une valeur (e) de la course de l'acclrateur. Il suffirait donc, en principe, de maintenir (e) constant pour que (V) le soit. Chacun sait que la ralit est diffrente. En effet, le vent, les variations de pente et le mauvais tat de la route modifient (V). Ces paramtres extrieurs qui influent sur la vitesse sont appels grandeurs perturbatrices ou perturbations. Si elles n'existaient pas, la boucle de rgulation serait inutile. Pour que la vitesse reste constante, il faut utiliser un tachymtre qui mesure la vitesse relle. Le chauffeur compare tout instant cette vitesse relle et la vitesse prescrite; Il en dduit un cart plus ou moins grand et enfonce plus ou moins l'acclrateur en fonction de cet cart. Si on appelle grandeur de sortie (ou sortie) la vitesse relle et grandeur d'entre (ou entre) la vitesse impose, le chauffeur et le tachymtre assurent une liaison entre l'entre et la sortie, ils constituent donc une chane de retour. On peut donner un schma trs simple pour illustrer cet exemple (fig. 12) :

Entre vitesse impose

Chauffeur

Acclrateur

Moteur Perturbations

Voiture Sortie vitesse (V) relle

Tachymtre Fig. 12 : Exemple dasservissement de vitesse dun vhicule


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1- 2.3 - Dfinitions Constitutions lmentairesOn peut donc dfinir un asservissement comme un systme boucl ou boucle ferme comportant une amplification de puissance, une mesure et une comparaison. A partir de ces 3 notions, on peut dfinir un schma fonctionnel valable pour tous les systmes prsentant ces caractristiques (fig. 13) : * * * Le triangle : Le rectangle : reprsente la fonction amplification de puissance. reprsente la fonction mesure et transformation.

Le cercle : reprsente la fonction comparaison (qui s'effectue en faisant une diffrence).

Fonction comparaison Fonction amplification de puissance A S

E + _ S'

B Fonction mesure et transformation Fig. 13 : Schma fonctionnel dun asservissement

S Grandeur de sortie E Grandeur d'entre ou rfrence ou consigne

La sortie rgule reprsente le phnomne physique que doit rgler le systme, cest la raison dtre du systme. Il peut s'agir d'une tension, d'un dplacement, d'un angle de rotation, d'un niveau, d'une vitesse, etc...

La consigne, est lentre daction, cest la grandeur rglante du systme. Sa nature peut tre diffrente de celle de (S). Seule importe sa valeur numrique. Si (E) et (S) sont de natures diffrentes, il suffit de dfinir une correspondance numrique entre ces deux grandeurs. Par exemple, on dira qu'un volt l'entre reprsente 100 tours/mn.

erreur ou cart entre - sortie S' Mesure de la sortie

On appelle cart ou erreur, la diffrence entre la consigne et la sortie. Cette mesure ne peut tre ralise que sur des grandeurs comparables, on la ralisera donc en gnral entre la consigne et la mesure de la sortie. Elle est fournie par le comparateur et est proportionnelle la diffrence ( ES' ). Elle peut tre de nature diffrente. Elle peut tre de nature diffrente. Par exemple, E et S' tant des tensions, on pourra avoir sous forme de courant tel que = ( ES' ) / R (R est une rsistance). Elle est fournie par la chane de retour, gnralement aprs transformation. S' doit obligatoirement avoir mme nature physique que E. Ce qui est vident si on veut donner un sens la diffrence ( E - S' ). Un des rles de la chane de retour est donc d'assurer la conversion de la mesure de S dans la grandeur physique de E.


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D'une manire gnrale, le systme comprend (fig. 14) : Erreur ou Ecart Rgulateur Entre de rfrence (consigne) Perturbations ventuelles

Chane directe (ou d'action)

+Correcteur

Mesure Capteur

Actionneur + processus

Sortie asservie

Comparateur

Chane de retour (ou d'observation)

Fig. 14 : Organisation fonctionnelle d'un systme asservi (schma fonctionnel)

* Chane directe ou d'action * *

Englobe tous les organes de puissance (ncessitant un apport extrieur d'nergie) et qui excute le travail. Comporte gnralement nombreux lments, notamment des amplificateurs. La nature de ces lments n'est pas spcifie sur le schma, il peut s'agir aussi bien d'engins lectriques, mcaniques, pneumatiques, etc Analyse et mesure le travail effectu et transmet au comparateur une grandeur physique proportionnelle ce travail. Elle comprend gnralement un capteur qui donne une mesure de la grandeur S, qui est ensuite amplifie et transforme avant d'tre utilise. Compare le travail effectu celui qui tait faire et dlivre un signal d'erreur proportionnel la diffrence entre une grandeur de rfrence (E) et la grandeur physique issue de la chane de retour. Ce signal d'erreur, aprs amplification, agira sur les organes de puissance dans un sens tel que l'erreur tendra s'annuler.

* Chane de retour ou de raction *

* Comparateur ou dtecteur d'cart *

Rgulateur

Le rgulateur se compose d'un comparateur qui dtermine l'cart entre la consigne et la mesure et d'un correcteur qui labore partir du signal d'erreur l'ordre de commande. C'est l'organe d'action qui apporte l'nergie au systme pour produire l'effet souhait. Le capteur prlve sur le systme la grandeur rgle (information physique) et la transforme en un signal comprhensible par le rgulateur. La prcision et la rapidit sont deux caractristiques importantes du capteur. On appelle perturbation tout phnomne physique intervenant sur le systme qui modifie ltat de la sortie. Un systme asservi doit pouvoir maintenir la sortie son niveau indpendamment des perturbations

Actionneur

Capteur

Perturbation


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1- 2.4 - Rgulation et systmes asservisNous avons fait la distinction dans l'introduction entre rgulation et asservissement. Nous pouvons maintenant prciser de faon nette cette diffrence : Un rgulateur : maintient l'erreur entre l'entre E et la sortie S nulle, quelles que soient les perturbations, la grandeur d'entre E restant constante ou variant par palier. E est alors appele consigne ou rfrence. Un systme asservi : maintient l'erreur nulle ou minimale quelles que soient les variations de E. Gnralement, E est une fonction du temps qui peut tre priodique, mais qui doit toujours rester continue et finie.

*

*

Il faut remarquer que les contraintes sont plus grandes pour un systme asservi que pour un rgulateur, puisque aucune contrainte de vitesse de variation n'est impose pour E.

1- 3 - Linarit des asservissements1- 3.1 - GnralitsLa thorie des asservissements que nous allons tudier n'est valable que pour les systmes linaires. Ce qui veut dire qu'en principe les quations qui les rgissent doivent tre des quations diffrentielles coefficients constants. Un tel critre est pratiquement inapplicable pour dfinir si un systme physique est linaire ou non, car dans la majorit des cas on ne connat pas avec suffisamment de prcision les quations de ce systme. Il faudra donc en plus de la nature des quations approches, dfinir d'autres critres. En fait, il est bien difficile d'tablir une limite entre les systmes linaires et les systmes nonlinaires. Il serait plus correct de parler de nonlinarits ngligeables (sans influence apparentes) et de nonlinarits non ngligeables. A la limite, on peut mme penser qu'il n'existe pas de systmes rigoureusement linaires. Beaucoup de systmes peuvent tre qualifis de linaires dans un certain domaine. Beaucoup d'autres peuvent tre linariss facilement, moyennant certaines approximations. Cependant, il reste une catgorie trs importante de systmes asservis qu'il est impossible de traiter par les mthodes linaires. Ces asservissements nonlinaires seront tudis sparment. Nous allons passer en revue les diffrentes non linarits classiques afin de bien mettre en vidence les limites d'application de ce cours.

1- 3.2 - Nonlinarits accidentellesLes systmes qui prsentent ce type de nonlinarit sont des systmes linaires dans un domaine bien dfini. Les limites peuvent tre dues l'usure ou ralises volontairement. On peut citer parmi ces non linarits : * * * * les seuils, les saturations, les espaces morts, le jeu en mcanique, etc.

On admet gnralement que les asservissements prsentant des nonlinarits accidentelles sont linaires dans un domaine limit par un seuil et une saturation en ce qui concerne l'amplitude (domaine de linarit statique). D'autre part, ils ont aussi un domaine de linarit limit par la frquence (domaine de linarit dynamique).


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14

Dfinissons quelques nonlinarits :

1- 3.2.a - Notion de saturation et de seuilLa notion de saturation est trs familire tous les lectriciens, mais elle concerne beaucoup d'autres phnomnes physiques. Son existence rsulte de cette vidence : aucune grandeur physique ne peut tendre Saturation vers l'infini (pour des raisons nergtiques). Il existe donc, pour chaque lment d'une chane, des signaux d'entres incompatibles avec le fonctionnement linaire. Ces signaux d'entres donneraient la sortie une valeur trop grande, impossible atteindre : le signal rel que l'on recueille alors est plus faible, il y a saturation (fig. 15 a). La notion de seuil est aussi trs familire. Beaucoup de systmes lectromcaniques prsentent un seuil de fonctionnement. La prsence de ce seuil est due au frottement et l'inertie. Il faut que le signal d'entre ait une valeur suprieure un certain niveau pour que la valeur de la sortie soit diffrente de zro. En effet, il faut injecter au systme une nergie suffisante pour vaincre les frottements et l'inertie au dmarrage (fig. 15 b). Il faut noter que le seuil n'est qu'un cas particulier de "l'espace mort" qui correspond l'annulation de la grandeur de sortie quand la grandeur d'entre s'inverse. Ce phnomne correspond la prsence de deux seuils qui doivent tre franchis, ces deux seuils peuvent, bien entendu, avoir des valeurs diffrentes (fig. 15 c).

Seuil

Sortie Limite de linarit

Sortie

Limite de linarit Sortie Seuil 1 Seuil 2 Entre

Entre a)

Seuil b)

Entre c)

Fig. 15 : Exemples de non-linarits accidentelles

1- 3.3 - Nonlinarits essentiellesCe sont des nonlinarits intrinsques du systme tudier ; il est impossible alors de trouver pour celui-ci un domaine de linarit, mme trs petit. Ces systmes obissent des quations diffrentielles non linaires o il est impossible de les mettre en quation. Parmi ces systmes, il faut citer les systmes fonctionnant par tout ou rien, appels encore par + ou , et les systmes qui prsentent de l'hystrsis. Ces systmes sont les vritables systmes nonlinaires et ils feront l'objet d'une tude plus complte aprs l'tude des systmes linaires.


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15

1- 3.3.a - Systmes fonctionnant par tout ou rienLa variable de sortie reste constante, quelle que soit l'entre, le signe dpendant du signe de l'entre (fig. 16). Sortie

Entre

Fig. 16 : Non-linarit essentielle (tout ou rien)

Un exemple de ces systmes est le cas de la rgulation en temprature d'un chauffage central domestique. Si la temprature ambiante est suprieure la temprature affiche au thermostat, la pompe d'alimentation du brleur est l'arrt. Si cette temprature est infrieure la temprature de consigne, la pompe est en marche. Le dbit de fuel inject est constant quelle que soit la temprature ambiante, il suffit qu'elle soit en dessous d'un certain seuil (fig. 17).

Dbit de fuel

du thermostatbi

Fig. 17 : Exemples de non-linarit essentielle de type tout ou rien (rgulation de temprature)

1- 3.3.b - Systmes prsentant une hystrsisLa grandeur de sortie n'a pas la mme valeur pour une grandeur d'entre donne, suivant que celle-ci est atteinte par valeur croissante ou par valeur dcroissante (fig. 18). Ce phnomne est bien connu en magntique, mais ce n'est pas une exception. Exemple : relais hystrsis et zone morte. Sortie

Entre

Fig. 18 : Non-linarit essentielle (hystrsis)


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16

1- 3.4 - Proprits des systmes linairesQuand un systme est linaire, il jouit de proprits importantes qui permettent une tude plus commode, en particulier le principe de superposition linaire qui se traduit par les relations :

Entree1 ( t ) e 2 ( t ) e ( t ) + e ( t ) 2 1

Sortie

Additivit :

s1 ( t ) s 2 (t) s1 ( t ) + s 2 ( t )

o e(t) et s(t) sont les grandeurs d'entre et de sortie Homognit :

e( t ) .e( t )

s( t ) .s( t )

Ce principe traduit le fait que les effets sont proportionnels aux causes et que les causes ajoutent leurs effets.

1- 4 - Rgimes transitoires des asservissements1- 4.1 - DfinitionsEntre Permanente

Entre d'un systme dont l'expression, en fonction du temps, est du type constante, linaire, parabolique ou priodique Il est atteint par un systme quand, soumis une entre permanente, sa sortie est du mme type que l'entre c'est--dire constante, linaire, parabolique ou priodique. Ce rgime est aussi appel rgime forc. Il correspond au fonctionnement du systme quand il passe d'un type de rgime permanent un autre.

Rgime Permanent

Rgime Transitoire

Pratiquement, un asservissement travaille toujours en rgime transitoire ; en effet, mme un rgulateur dont l'entre est constante doit constamment revenir au rgime permanent, car des perturbations qui constituent des entres secondaires l'en cartent. Il en est de mme pour les asservissements. L'aptitude du servomcanisme revenir au rgime permanent sera caractrise par ses performances dynamiques.

1- 4.2 - Performances d'un systme asservi*En rgime permanent : la grandeur de sortie doit tre aussi voisine que possible de la valeur dsire. En ralit, il subsiste toujours une lgre erreur. Cette erreur est appele :

-

erreur statique ou cart permanent quand la grandeur d'entre est une constante ; pour un systme idal, elle doit tre nulle. erreur de tranage quand la grandeur d'entre est une fonction linaire du temps.


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17

*

En rgime transitoire : le systme voluant entre deux rgimes permanents, le temps mis par le systme pour aller de l'un l'autre et la faon dont il parvient l'tat final, sont trs importants.

-

Le temps de rponse est le temps au bout duquel la sortie du systme a atteint, 5 % (ou 2 % selon la prcision voulue), sa valeur de rgime permanent et y reste (Fig. 19). L'amortissement : la sortie du systme dpasse gnralement la valeur qu'elle doit avoir dans le rgime permanent final et elle oscille quelques instants autour de cette valeur. Les oscillations doivent tre amorties, le plus rapidement possible. L'amortissement est mesur par le coefficient de l'exponentielle enveloppe (Fig. 110).

-

sortie +5% -5% ttemps de rponse

sortie

e t

t

Fig. 19 : Temps de rponse

Fig. 110 : Amortissement

1- 5 - Mise en quation d'un systme - Rsolution1- 5.1 - Mise en quationNous avons dit prcdemment que nous nous bornions l'tude des systmes linaires. Donc, les quations rencontres seront des quations diffrentielles linaires coefficients constants. Considrons un systme quelconque A, le plus gnral possible, possdant une entre e et une sortie s (fig. 111). e(t)A

s(t)

Fig. 111 : Reprsentation dun systme quelconque 1 entre 1 sortie Si on applique un signal l'entre, on recueillera, la sortie, un signal qui sera lie au signal d'entre par une quation diffrentielle de type : an * dn s dtn

+ ...... + a1

ds + a0 s dt

=

bk

dk e dtk

+ ...... + b1

de + b0 e dt

Les coefficients ai et bj sont les paramtres du systme et ils sont senss tre connus, ce qui est le cas dans la pratique pour la plupart des systmes courants. Ils reprsentent diverses constantes de temps et divers coefficients de proportionnalit accessibles la mesure. La difficult de la mise en quation rside surtout au niveau de la connaissance du processus luimme. En ralit, l'quation diffrentielle laquelle on arrive n'est souvent qu'une approximation qui consiste ngliger des termes d'ordre plus lev. Cette prcision suffit dans la plupart des cas, bien qu'une tude plus pousse soit quelque fois ncessaire. Une fois l'quation du systme tablie, il faut exprimer la valeur de la sortie en fonction du temps pour connatre les rgimes permanents et transitoires. Pour cela, il existe 2 mthodes (voir fig. 112) : Consiste rsoudre l'quation diffrentielle dcrivant ce systme, c'est dire trouver une rponse force et une rponse libre pour le systme. Mais cette mthode ne permet pas toujours de trouver une solution et peut amener une difficult de rsolution ds que l'ordre de l'quation diffrentielle dpasse 2.Prof. FELLAH M.K. 18

*

*

Mthode Classique


Mthode Oprationnelle

Base sur le calcul oprationnel ou, essentiellement, sur la transforme de Laplace qui mettra en relation, une fonction de la variable du temps f(t) avec une fonction de la variable complexe F(p) dpendant de la pulsation. Notation :

L [ f(t) ] = F(p)

avec

p = a + j.b (nombre complexe)-1

e(t)

Mthode classique (ordre 2)

s(t) = L

[S(p)]

Transforme de Laplace du signal d'entre

Calcul oprationnel

Transforme inverse de Laplace du signal de sortie S(p) = L [s(t)]

L [e(t)] = E(p)

Fig. 112 : Dtermination de la sortie du systme par la mthode classique et par le calcul oprationnel

Pour un rappel sur lutilisation de la transforme de Laplace, voir lannexe A.

1- 5.2 - Utilisation de la transforme de LaplaceEn appelant S(p) et E(p) les transformes de s(t) et de e(t), si on prend la Transforme de Laplace des deux membres de l'quation diffrentielle : an On aura :a n p n S(p) + ...... + a1 p S(p) + a 0 S(p) = b k p k E(p) + ...... + b1 p E(p) + b 0 E(p)

dn s dtn

+ ...... + a1

ds + a0 s dt

=

bk

dk e dtk

+ ...... + b1

de + b0 e dt

d'o :

S(p) =

b k p k + ...... + b1 p + b 0 a n p n + ...... + a1 p + a 0

. E(p)

Si l'on connat l'image E(p) de e(t), il est facile, grce aux tables de transformes de Laplace, de revenir l'original de S(p). D'une manire gnrale, cette notation n'est valable que si : * * * le systme est linaire coefficients constants, toutes les variables et leurs drives sont nulles pour t < 0 (le systme part du repos absolu), le systme est dissipatif, donc sa rponse tend, plus ou moins, vers un rgime permanent indpendant des conditions initiales.


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Chapitre 2 : NOTION DE FONCTION DE TRANSFERT

2- 1 - IntroductionRappelons que : * SI nous considrons un systme quelconque A, le plus gnral possible, possdant une entre e(t) et une sortie s(t) (fig. 21) : e(t)A

s(t)

Fig. 21 : Reprsentation dun systme quelconque 1 entre 1 sortie

*

ALORS, Si on applique un signal l'entre, on recueillera, la sortie, un signal qui sera lie au signal d'entre par une quation diffrentielle de type : an dn s( t ) dtn

+ ...... + a1

ds(t) + a0 s dt

=

bk

dk e( t ) dtk

+ ...... + b1

de(t) + b 0 e( t ) dt

En appelant S(p) et E(p) les transformes Laplace de s(t) et de e(t), si on prend la Transforme de Laplace des deux membres de l'quation diffrentielle, on aura :a n p n S(p) + ...... + a1 p S(p) + a 0 S(p) = b k p k E(p) + ...... + b1 p E(p) + b 0 E(p)

d'o :

S(p) =

b k p k + ...... + b1 p + b 0 a n p n + ...... + a1 p + a 0

. E(p)

Par dfinition, la FONCTION DE TRANSFERT du systme de la figure (21) est le quotient : F(p) =

bk pk + ...... + b1 p + b0 an pn + ...... + a1 p + a0

C'est aussi le rapport de la transforme de Laplace de la sortie la transforme de Laplace de l'entre quand toutes les conditions initiales sont nulles. Dans ce cas, on a : S(p) = F(p) . E(p)

La Fonction de Transfert caractrise la dynamique du systme. Elle ne dpend que de ses caractristiques physiques. Ainsi, dornavant, un systme sera dcrit par sa fonction de transfert et non par l'quation diffrentielle qui le rgit. Notons enfin, que cette fonction de transfert est aussi appele transmittance par analogie avec l'impdance dans les systmes lectriques.


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20

2- 2 - Fonction de transfert d'un ensemble d'lments2- 2.1 - Elments en srie (ou cascade)Soit n lments de fonction de transfert G1 (p) .......Gn (p) mis en srie (la sortie du premier est relie l'entre du second, etc...) (fig. 22).

E1

G 1 (p)

E2

G 2 (p)

E3

En

G n (p)

S

E1

H(p)

S

Fig. 22 : Connexion en srie (ou cascade) de fonctions de transfert

La fonction de transfert de l'ensemble est gale au produit des fonctions de transfert de chaque lment : H(p) =S(p) = G1 (p) . G2 (p) . ....... . Gn (p) E 1 (p)

Ceci est vident puisque, par dfinition, on a : G1 (p) =S(p) E2 (p ) ,........., Gn (p) = E n (p) E1(p)

et que H(p) =

S(p ) E1(p )

2- 2.2 - Elments en parallleSoient n lments de fonction de transfert G1 (p) .......Gn (p) mis en parallle (fig. 23).G1 (p)

EGn (p)

+

S

E

H(p)

S

Fig. 23 : Connexion en parallle de fonctions de transfert La fonction de transfert quivalente H(p) a pour expression : H(p) =S(p) = G 1 (p) + G 2 (p) + ....... + G n (p) E(p)

On peut considrer que S(p) est le rsultat de la superposition des n sorties des n lments, c'est-dire que : S(p) = S1 (p) + S2 (p) + ....... + Sn (p) (en vertu de la linarit du systme, les effets s'ajoutent)

Donc :

Chaque lment pris, indpendamment, donnera une sortie Si (p) quand on lui applique l'entre E(p).


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21

S(p) =

i

Si (p) = G1 (p) . E(p) + G2 (p) . E(p) + ....... + Gn (p) . E(p)

S(p) = [ G1 (p) + G2 (p) + ....... + Gn (p) ] . E(p) d'o : H(p) = G1 (p) + G2 (p) + ....... + Gn (p)

2- 2.3 - Cas d'un systme n entres indpendantesE1 SSystme

E1

G1 (p)

+ EnGn (p)

S

En

Fig. 24 : Systme n entres indpendantes La fonction de transfert n'a de sens qu'entre la sortie et une entre. Le systme de la fig. 24 pourra donc se dcomposer en n constituants ayant la sortie en commun et pour entre chacune des n entres. On calculera les fonctions de transfert Gi (p) de chaque lment en supposant nulles les entres autres que Ei (p). Ceci n'est possible que si les diffrentes quations du systme ne sont pas couples entre elles. Dans ce cas, on peut crire : S(p) =

i

G i (p) . E i (p)

Il n'y a pas de fonction de transfert globale pour le systme.

2- 3 - Fonction de Transfert en Boucle Ferme

( FTBF )

Soit un systme asservi, le plus gnral, reprsent par le schma de la fig. 25.

E

+ _ S'

SA(p)

B(p)

Fig. 25 : Schma fonctionnel dun systme asservi (Boucle Ferme) Soit A(p) et B(p), respectivement, les fonctions de transfert des chanes directe et de retour. Cherchons la fonction de transfert du systme complet : Nous avons les relations suivantes : H(p) =S(p) E(p)


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22

S(p) = A(p) . (p) A(p)

,

S ' (p) = B(p) . S(p) ,

(p) = E(p)

S ' (p)

S(p) = A(p) . [ E(p) S ' (p) ] = A(p) . [ E(p) B(p) . S(p) ] d'o S(p) = 1 + A(p).B(p) E(p)

La fonction de transfert d'un systme boucl ou en Boucle Ferme (FTBF) est donc le rapport de la fonction de transfert de sa chane directe 1 + A(p). B(p.:

H(p) =

A(p) 1 + A(p).B(p)

2- 4 - Fonction de transfert en boucle ouverte

( FTBO ) (p). Elle correspond

La Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (galement appele F.T.B.O.) est la fonction de transfert qui lie les transformes de Laplace de la sortie de la chane de retour S ' (p) l'erreur l'ouverture de la boucle (Fig. 26 ):

E

+ _

SA(p) B(p) B(p)

S'

Fig. 26 : Schma fonctionnel d'un systme asservi en Boucle Ouverte

Dans ce cas, = E puisque le comparateur ne reoit plus qu'une seule information. On a donc : S ' (p) = B(p) . S(p) = B(p) . A(p) . (p) = B(p) . A(p) . E(p)

d'o :

S ' (p) = K(p) = A(p) . B(p) (p)

La Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (ou FTBO) d'un asservissement est le produit des fonctions de transfert de la chane directe par la chane de retour. La fonction de transfert en boucle ouverte a une grande importance dans l'tude de la stabilit des systmes ; de plus, elle est directement accessible la mesure.


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23

2- 5 - Influence de la charge sur la fonction de transfert d'un systme asserviJusqu'ici, nous avons suppos que l'asservissement fonctionnait vide ou du moins que le travail qu'il fournissait n'avait pas d'influence sur son comportement. En principe, si le systme est bien conu, cette influence ne peut tre considre que comme une perturbation externe et le systme sait ragir contre ce genre d'ennui. En fait, si on dsire obtenir des performances de qualit, il faut tenir compte de cette influence surtout en rgulation. Pour en tenir compte, il suffit d'ajouter au schma gnral un lment agissant au niveau de la sortie, comme lment de perturbation. On aboutit au schma de la fig. 27.

u E + _ S'

C(p)

A(p)

+

+

S

B(p)

Fig. 27 : Prise en compte des perturbations externe sur un systme asservi

L'lment perturbateur agit avant la mesure de la sortie (sinon, il n'y aurait plus rgulation). En appliquant le principe de superposition, on voit que : S(p) = A(p) . (p) + C(p) . u(p)

o C(p) est la fonction de transfert de la charge et u la grandeur de charge.

Or

(p) = E(p) S '(p) = E(p) B(p) . S(p)S(p) = A(p) . [ E(p) B(p) . S(p) ] + C(p) . u(p)

d'o :

S(p) =

A(p).E(p) + C(p).u(p) 1 + A(p).B(p

2- 6 - Fonction de transfert d'un systme boucles multiplesIl existe des systmes complexes o l'on rencontre, non seulement une chane de retour principale, mais un grand nombre de chanes de retour secondaires. Dans ces asservissements, il y a plusieurs rgulateurs ou servomcanismes dans une chane. La figure 28 en donne un exemple.


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24

Y1

Y2 Y3

E + _

A1

+_

A2 B2

+_

A3

+_

A4 B4

A5

S

B5 B6 Fig. 28 : Exemple de systme asservi boucles multiples

Le calcul de la fonction de transfert d'un tel systme peut paratre compliqu. Pour mener bien ce calcul, il faut utiliser l'artifice suivant : au lieu de considrer la fonction de transfert globale Y(p), on considre son inverse 1 / Y(p). Y(p) =A (p) 1 + A(p).B(p) 1 1 = B(p) + A(p) Y(p)

Dans notre cas : B(p) = B 6 (p) A(p) transmittance de la chane de retour transmittance de la chane directe A(p) = A1 (p). Y1 (p) . Y2 (p)

En appliquant la mme procdure, on a :1 1 =B2 + Y1 A2

,

1 1 =B5 + Y2 A 3 Y3 A 5

,

1 1 =B4 + Y3 A4

1 1 1 1 1 B2 + B5 + = = A A1Y1Y2 A1 A 2 A3A5 Soit :

1 B4 + A 4 1 B4 + A 4

1 1 1 1 B5 + B2 + =B6+ Y (p ) A1 A 2 A3A5

2- 7 - Formes gnrales de la Fonction de Transfert d'un systme linaireSoit un systme asservi reprsent par sa fonction de transfert de forme gnrale suivante : F(p) =Bmpm + .......... + B0 A np + .......... + A 0n

=

N(p) D(p)

Si N(p) et D(p) ont des racines alors : N(p) = Bm [(p z1)(p z2).(p zm)] ou N(p) = Bm

(p z )i i =1

m

D(p) = An [(p p1)(p p2).(p pn)]

ou

D(p) = An

(p p )j j =1

n


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25

F(p) s'crit alors :

B F(p) = m An

(p z )i

m

(p p )j j =1

i =1 n

Avec :

m < n pour un systme rel

* *

les racines du numrateur sont appeles " zros de la fonction de transfert ", les racines du dnominateur sont appeles " ples de la fonction de transfert ",

On pose :

k=

Bm An

et

K= k

i =1 n j =1

m

( zi )

(p )j

D'o : F(p) = K

(1 z ) (1 p )j =1 j i =1 n i

m

p p

K est appel gain du systme ou de la fonction de transfert Dans F(p) : * Kcaractrise le rgime statique (ou permanent)m

*

(1 z ) j =1 i =1 n i

p

p (1 ) pj

caractrise le rgime transitoire (ou dynamique)

Exemple : * * * Gain de la FT : Ples : Zros :

F(p) =

16(1 - 0.2p)2 p2 (1 + 0.5p)(p2 + 1)4

16 0 (double),1 (double) 0 .2 1 , 0 .5

j (quadruple)

2- 7.1 - Autres formes d'criture* Si F(p) n'admet pas de facteur en p : F(p) = K1 + a1p + a2p2 + ........ 1 + b1p + b2p2 + ........

K : gain statique

*

Si F(p) admet un facteur en p au dnominateur (1 intgration) : F(p) =K 1 + a1p + a2p2 + ........ p 1 + b1p + b2p2 + ........

(systme astatique d'ordre 1)

K : gain en vitesse

*

Si F(p) admet un facteur en p2 au dnominateur (2 intgrations) : F(p) =K 1 + a1p + a2p2 + ........ p2 1 + b1p + b2p2 + ........

(systme astatique d'ordre 2)

K : gain en acclration


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26

2- 8 - Rgles de transformation des schmas fonctionnelsD'une manire gnrale, pour simplifier un bloc fonctionnel il est souvent plus judicieux de dplacer les points de connexion et les comparateurs (ou additionneurs), d'inter-changer ces derniers, puis de rduire les boucles internes.

Schma fonctionnel original

Schma fonctionnel quivalent

A 1.

AB

AB+C

A

A+C

AB+C

+ B

+ +C

+ +C

+

B

A 2.

+ C

AB+C

A

AB

AB+C

+ B

+ B

+ +C

3.

A

G1

A.G1

G2

A.G1.G2

A

G2

A.G2

G1

A.G1.G2

4. A G1 A.G1 G2 A.G1.G2

A

G1.G2

A.G1.G2

A 5.

G1

A.G1

A.G1+A.G2

+G2 A.G2

A

G1+G2

A.G1+A.G2

+

A 6.

G

A.G

A.G B B

A

A

B G

G

A.G B B

+

+ B G 1 G


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27

A 7.

AB G

A.G B.G

A B

G G

A.G

A.G B.G

+ B.G

+

B

A 8.

A.G G A.G

A

G G

A.G

A.G

A 9.

G

A.G

A

G A.G1 G

A.G A

A

A 10.

AB

+

B

AB

+ B AB A

+ AB

A 11.

G1

A.G1

A.(G1+G2)

A

+G2 A.G2

G2

A.G2

A

G1

B A.G1

A.(G1+G2)

+

+ +A.G2

A 12.

G1

B

A

+ G2

1 G2

B

+

G2

G1

A 13.

G1

B

A

+ G2

G1 1 + G1.G2

B

A 14.

G1

B

A

+ +G2

G1 1 G1.G2

B


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28

2- 8.1.a - Exemple de rduction successive d'un schma fonctionnelSoit rduire le schma fonctionnel suivant : R

H2

G1 G2 G3

C

+

+ +

+H1

En appliquant la rgle n 6, puis la rgle n 1, on obtient :

H2R

G1C G2 G3

G1

+

+

+

+H1

Rgle n 14 :

H2R

G1C G3

+G1.G2 1 G1.G2.H1

+

Rgle n13 :

R

C

+

G1.G 2 .G 3 1 G1.G 2 .H1 + G 2 .G 3 .H 2

Rgle n 13 :

RG1.G2 .G3 1 G1.G2 .H1 + G2 .G3 .H2 + G1.G2 .G3

C


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29

Chapitre 3 : METHODES D'ETUDES DES ASSERVISSEMENTS

3- 1 - IntroductionNous avons vu, dans le chapitre prcdent, qu'il tait possible connaissant les quations diffrentielles, de dterminer la fonction de transfert d'un systme. Mais il existe de nombreux cas o le systme est un systme industriel mal dfini et dont, fortiori on ne connat pas les quations diffrentielles. Or, la connaissance de sa fonction de transfert est trs importante pour dterminer ses performances et surtout sa stabilit. Il est donc important de mettre au point des mthodes capables de rsoudre le problme. En gnral, on applique cette procdure pour dterminer les fonctions de transfert des lments qui entrent dans une chane. La connaissance exprimentale ou mathmatique de toutes les fonctions de transfert des lments permet alors de dterminer la fonction de transfert de l'ensemble. Ces mthodes sont bases sur l'utilisation d'entres dites canoniques, faciles mettre en uvre dans toutes les techniques (lectrique, mcanique, hydraulique). On en dduit alors les diffrentes constantes de la fonction de transfert. Certains appareils dit analyseurs de fonction de transfert facilitent les mesures.

3- 2 - Entres canoniques3- 2.1 - Echelon unitC'est une fonction nulle pour t < 0 et constante et gale 1 pour 0 < t < (fig. 31). Cette fonction est appele quelquefois u(t) (unit). Elle n'est pas dfinie pour t = 0 puisqu'il y a discontinuit cet endroit. u(t) 1 t 0 Fig. 31 : Fonction Echelon Sa transforme de Laplace est :

L

{ u(t) } =

1 p

3- 2.2 - Echelon de vitesse ( rampe unit )C'est une fonction nulle pour t < 0 et qui varie linairement avec t pour t 0 (fig. 32). On l'exprime parfois sous la forme r(t) = t . u(t). Cette fonction est appele chelon de vitesse ou rampe, car sa vitesse de variation est constante et gale 1.


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30

t.u(t)

45 0

t

Fig. 32 : Fonction Rampe

On vrifie aisment que sa transforme de Laplace est gale :

L

{ r(t) } =

1 p2

En effet :

L

{ r(t) } =

e0

pt

.t . dt ,

on pose :

u=t du = dt

dv = e pt dt v=e ptp

Donc

L

e pt 1 e pt 1 { r(t) } = f ( t ) = 0 + = 2 p p 0 p p 0

3- 2.3 - Echelon d'acclrationSoit f(t) la fonction chelon d'acclration, dfinie par (voir fig. 33) :f(t) 0 f(t) = t 2 u( t ) 2 pour t < 0 pour t 0

t 0 Fig. 33 : Fonction Acclration

L

{ f(t) } =

0

e pt .

t2 2

. dt ,

on pose :

u=

t2 2

dv = e pt dt v=e ptp

du = t.dt e pt 1 1 { f(t) } = f ( t ) . L { r(t) } = =0+ p 0 p p3

Donc D'o :

L

L

{ f(t) } =

1 p3


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31

3- 2.4 - Impulsion unitaireUne impulsion est une fonction du temps de dure trs courte mais dont l'amplitude est suffisamment grande pour que l'effet en soit sensible. L'impulsion est dite unitaire si la surface est gale 1. On la note (t) (fig. 34). (t)0 (t) = 1 lim 0 pour t 0 et t

1/ t 0 Fig. 34 : Fonction Impulsion (t)

pour 0 < t <

Toutes les impulsions, dont la dure gale numriquement l'inverse de l'amplitude, sont unitaires si cette dure tend vers zro. Pour t = 0, l'amplitude est thoriquement infinie.+

(t) est dfinie par :

(t) . dt = 1

(ce qui est quivalent la surface unitaire)

Elle est appele aussi impulsion de DIRAC.

Calculons sa transforme de Laplace. Pour cela, dfinissons la fonction f(t) (fig. 35) telle que : 1 0 f(t) = 1 pour t < 0 et t > pour 0 < t < t 0 Fig. 35 : Fonction f(t) f(t)

f(t) peut tre considre comme la diffrence entre deux chelons unitaires dont l'un est dcal de : f(t) = u(t) u(t )

L

{ f(t) } = L { u(t) } L { u(t ) } =f(t)

1 p

(1 e p )

Or : Donc ;

(t) = lim

0

L

{ (t) }

= lim

1 p

0

(1 e p )d d

= lim D'o :

(1 e p )d d

0

( p)

L

{ (t) } = 1


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32

3- 2.5 - Entre harmoniqueElle est dfinie par (Voir fig. 36): A 0 f(t) = A sin(t + ) pour pour t 1 : Le polynme est dcomposable, le dnominateur a 2 racines relles (p1 et p2) : p1 = n ( + p2 = n ( 2 1 ) 2 1 )

Si 0 < < 1 :

Le polynme nest pas dcomposable, le dnominateur a 2 racines complexes

* conjugues ( p 0 et p0 ) (Fig. 322) :

p 0 = n ( + j 1 2 )* p0 = n ( j 1 2 )

p0 Ples n n n

Imag jn 1 2 n 0 1 2 Rel

* p0

Fig. 322 : Relations entre les paramtres d'un systme du 2nd ordre dans le plan Complexe

Remarque :

= cos =

n n

: coefficient d'amortissement

Si = 1 :

Les 2 racines sont gales ( p1,2 ): p1,2 = n p1,2 = n = 1/

3- 6.2 - Rponse un chelon unitE(p) = 1 / p S(p) = K p 1+ 2 n 1 p+ 12 n

p2

Si 0 < < 1 :

Les 2 racines imaginaires conduisent une solution oscillatoire amortie. Le rgime permanent est ici s(t) = K (lim s(t) = lim S(p) = K) t p 0


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48

La solution est : S(p) 1 p + 2n =K p p 2 + 2 p + 2 n n

1 p + n n =K p (p + ) 2 + 2 (1 2 ) (p + ) 2 + 2 (1 2 ) n n n n

Or

L L

-1

(p + ) + n 2

p + n

2 n (1 2 )

= e nt cos( 1 2 )t n

(t 0)

et

-1

= e nt sin( 1 2 )t n 2 (p + n ) 2 + n (1 2 ) n 1 2

(t 0)

s(t) = L

-1

{S(p)}

e nt 2 2 2 1 cos(n 1 )t + sin(n 1 )t s(t) = K 1 1 2 sin( a ). cos(b )+ cos( a ). sin(b )=sin( a +b )

(t 0)

En posant : sin a = 1 2 (0 3 1+ K > 0

(condition ncessaire et suffisante de stabilit)

Si cette condition n'est pas vrifie, c'est--dire, si :

K < -1, K > 8, Si (K = -1 ou K = 8),

il y a 1 seul changement de signe dans la 1re colonne; donc un seul ple instable. il y a 2 changement de signe dans la 1re colonne; donc 2 ples instables. (frontire entre la stabilit et l'instabilit) on dit que le systme est oscillant (marginalement stable).

4- 2.3 - Exemple 2 (ligne complte de zros)Nous avons dit que si une ligne complte tait compose de zro, la mthode tait en dfaut. En fait, il est quand mme possible d'en tirer des conclusions moyennant certains amnagements. Si P(p) = p5 + 7p4 + 6p3 + 42p2 + 8p + 56

Alors, le tableau de Routh est : p5 : p4 : p3 : p2 : p1 : p0 :

1 7 1 0 -

6 42 6 0 -

8 56 8 Division de la ligne par 7


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66

La 3me ligne est nulle. On substitue alors cette ligne les coefficients obtenus en diffrentiant une fonction fictive, appele polynme auxiliaire, construite sur la ligne prcdant la ligne nulle. Le polynme auxiliaire pour lexemple en cours scrit : Q(p) = p4 + 6p2 + 8 Si nous le drivons, par rapport p, nous obtenons alors : dQ(p) dp = 4p3 + 12p + 0

Les coefficients de ce polynme remplacement ceux de la ligne nulle dans le tableau initial. Le tableau devient alors : p5 : p4 : p3 : p2 : p1 : p0 : 1 1 4 1 3 1/3 8 6 6 12 3 8 8 8

Il ny a aucun changement de signe sur la 1re colonne du tableau, donc aucune racine partie relle positive. Le systme est donc stable.

4- 2.4 - Exemple 3 (un zro sur la premire colonne)Si le premier lment de la ligne est nul, la ligne suivante ne pourra pas tre calcule car il y aurait une division par zro. Pour viter cela, on utilise un nombre de valeur trs faible (epsilon) pour remplacer le zro de la premire colonne. peut tendre vers zro par valeur positive ou ngative, pour permettre par la suite le calcul du nombre de changement de signe de la premire colonne.

Considrons le systme dont la FTBF G(p) = P(p) = p 5 + 2p 4 + 3p 3 + 6p 2 + 5p + 3 Alors, le tableau de Routh est : p5 : p4 : p3 : p2 : p1 : p0 :

10 p + 2p + 3p 3 + 6p 2 + 5p + 35 4

1 2 0 6 7 42 49 6 2 12 14

3 6 7/2 3

5 3

3


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67

Considrons uniquement le changement de signe dans la premire colonne et calculons le signe de 0+ et 0) : chaque ligne dans les 2 cas ( 1re colonne p5 : p4 : p3 : p2 : p :1

+ + + +

0+

+ + + +

0

1 2 0 6 7

42 49 6 2 12 14 3

p :

0

+

+

Si est choisi positif, il y a 2 changements de signe. Sil est choisi ngatif, il y a galement 2 changements de signe. Le systme a donc 2 ples dans le demi-plan droit du plan complexe (2 ples instables) et ce nest pas important si nous choisissons dapprocher le zro par valeur positive ou ngative. Ceci est toujours le cas.

4- 3 - Critre de NyquistLe critre de Nyquist permet de dterminer la stabilit dun systme boucl sur la base de sa rponse harmonique en boucle ouverte.

4- 3.1 - nonc du critre de NyquistLa condition ncessaire et suffisante de stabilit d'un systme asservi linaire est que son lieu de transfert en boucle ouverte, parcouru de = = +, entoure le point critique (1,0) dans le sens trigonomtrique un nombre de fois gal au nombre de ples instables de la fonction de transfert en boucle ouverte.

tant donn un systme asservi, dfini par sa fonction de transfert en boucle ouverte FTBO(p) = A(p).B(p).

La relation : Z = P N donne le nombre Z de zros instables de l'quation caractristique1 + FTBO(p) = 0 et donc de ples instables de la FTBF(p), avec :

P : Nombre de ples instables de la FTBO(p), N : Nombre de tours que fait le lieu complet de Nyquist ( variant de + ) autour du point critique (1,0) dans le sens trigonomtrique ( sens anti-horaire ).

En particulier, le systme asservi est stable, condition que :

Z=0

P=N


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68

En pratique, on retiendra les tapes suivantes pour appliquer le critre de Nyquist :

tudier la stabilit de la FTBO

P: nombre de ples instables de la FTBO.

Tracer le lieu de Nyquist complet de la FTBO ( variant de - + ). Calculer le nombre de tours (compts algbriquement dans le sens trigonomtrique), soit N, que fait le lieu complet de Nyquist ( variant de - + ), autour du point critique (-1,0). En dduire Z = P N = nombre de ples instables de la FTBF.

4- 3.2 - ExempleSoit un systme asservi retour unitaire dont la FTBO est : Discutons sa stabilit suivant les valeurs de K.

G(p) =

K 1 Tp

(T > 0 )

K > 0 (fig. 47)

La FTBO(p) a un ple instable p = +1/T. P=1 Le nombre de tours autour du point (-1,0) est : N=0 Z=PN=10 1 ple instable de la FTBF Systme instable en boucle ferme. Ce systme est instable en boucle ouverte et instable en boucle ferme.Fig. 47

Imag.

+

1

+ K =0 = 0

Rel

K < 1 (fig. 48)

P=1 N=+1 Z=PN=0 Pas de ple instable de la FTBF Systme stable en boucle ferme. Ce systme est instable en boucle ouverte et stable en boucle ferme. = 0 K = 0+ 1

Imag.

+ Rel

Fig. 48

1 < K < 0 (fig. 49)

P=1 N=0 Z=PN=1 1 ple instable de la FTBF Systme instable en boucle ferme. Ce systme est instable en boucle ouverte et instable en boucle ferme. 1 = 0- K = 0+

Imag. 0

- + Rel

Fig. 49


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69

Vrification la stabilit par le critre de Routh : FTBO(p) = K 1 Tp FTBF(p) = K 1 + K Tp ( retour unitaire)

quation caractristique : p1 p0

Tp + 1 + K = 0

: :

T 1+K 1+K< 0 K < 1

Pour que le systme soit stable, il faudrait que :

4- 3.3 - Critre de Nyquist simplifi (critre du Revers)Il est dduit du critre de Nyquist :

Un systme stable en Boucle Ouverte, est stable en Boucle Ferme, si le trac du lieu de Nyquist de la FTBO, dcrit dans le sens des pulsations croissantes ( variant de 0 +), laisse le point critique (1,0) sa gauche. Il est instable dans le cas contraire.

Le critre du Revers est d'un emploi plus commode que le critre de Nyquist, car il ne met en uvre que le lieu physique de la FTBO (correspondant aux pulsations positives) Par contre, le critre du Revers est moins gnral, et il ne peut s'appliquer sans danger que lorsque la notion de "gauche" n'est pas ambigu (Fig. 410). Imag. 1

Rel

Fig. 410 : Cas d'ambigut dans lapplication du critre du revers

4- 4 - Marges de stabilitPour un systme stable en Boucle Ouverte, nous venons de voir que la stabilit en Boucle Ferme dpend de la position du lieu de Nyquist de la FTBO par rapport au point critique (-1,0). Le critre de Nyquist spcifie que le lieu de Nyquist doit laisser le point 1 gauche lorsquon le parcourt dans le sens croissant des . Le cas o il existerait une pulsation laquelle le lieu traverserait exactement ce point est un cas limite correspondant un systme en boucle ferme dont la stabilit serait marginale. Mais la tendance vers linstabilit est graduelle : plus le lieu de Nyquist est proche du point critique, moins le degr de stabilit est bon, et plus on aura par exemple doscillations avant stabilisation en boucle ferme. De faon quantifier le degr de stabilit dun systme asservi, il est donc utile de chiffrer la distance entre le lieu de Nyquist et le point critique (1, 0). La mesure effective de la distance minimum ntant pas chose aise dun point de vue mathmatique, on prfre, de manire traditionnelle, valuer indirectement cette distance par les mesures des marges de phases et de gain G. Ces marges reprsentent des marges de scurit par rapport l'tat instable.


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70

Ces grandeurs sont dfinies de la manire suivante :La marge de phase dun systme est mathmatiquement la diffrence entre la phase de FTBO(c0) c'est--dire (c0), et 180 : = (c0) + 180

La marge de phase permet de prserver la stabilit en dpit de la prsence de retards parasites par exemple dus la transmission des signaux dont on n'a pas tenu compte au moment de l'tude de la stabilit.1 FTBO( )

La marge de gain G a pour expression :

G =

Elle permet de prserver la stabilit en dpit des fluctuations de gain, qui affectent, en particulier, les amplificateurs de la chane de puissance.

Pour qu'un systme soit stable, il faudrait que :

> 0

et

G > 0

Ces marges sont illustres sur le lieu de Nyquist des figures 411 et 412.c0Imag. Imag.

1 G c0

0 Rel

FTBO()FTBO( ) = 1 G

G

1

0

Rel

FTBO()

Fig. 411 : Illustration des marges de gain et de phase sur le lieu de Nyquist (cas dun systme stable)

Fig. 412 : Illustration des marges de gain et de phase sur le lieu de Nyquist (cas dun systme instable)

4- 4.1 - Valeurs usuelles de et GLes marges dfinies ci-dessus permettent dvaluer la distance entre le point critique et le lieu de Nyquist en boucle ouverte. Imposer leurs valeurs revient sassurer que lon ait jamais FTBO() = 1, c'est- FTBO() = 1 dire jamais simultanment (pour la mme pulsation) : FTBO() = 180 Lexprience montre que pour des systmes classiques (notamment phase minimale), un bon degr 45 60 de stabilit en boucle ferme est obtenu si lon est capable dimposer : G > 8 15 dB Avec ces valeurs, on obtient dans la plupart des cas une paire de ples dominants en boucle ferme caractriss par un coefficient damortissement 0,5 0,707. Pour rgler la stabilit d'un systme, il est souvent dlicat de raisonner en tenant compte des deux marges la fois. Dans ce cas, on privilgie, en gnral, la marge de phase .


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71

4- 4.2 - Critre de Stabilit utilisant les courbes de Bode et de BlackLes marges de gain et de phase dfinie prcdemment peuvent galement tre reprsentes sur le diagramme de Bode (figures 413 et 414) et sur le lieu de Black-Nichols (fig. 415 et 416). |G() | 1G > 0

|G() |

1

G < 0 c0

0

c0

0 180

> 0

< 0

180 Fig. 413 : illustration des marges de gain et de phase sur le diagramme de Bode (cas dun systme stable : G > 0 et > 0) 180 | G() | c0 G 0 1

Fig. 414 : illustration des marges de gain et de phase sur le diagramme de Bode (cas dun systme instable : G < 0 et < 0)

c0 G

| G() |1 0

()

()

FTBO(p) -180

FTBO() Fig. 415 : illustration des marges de gain et de phase sur le lieu de Black-Nichols (cas dun systme stable : G > 0 et > 0) Fig. 416 : illustration des marges de gain et de phase sur le lieu de Black-Nichols (cas dun systme instable : G < 0 et < 0)

4- 4.3 - Marge de stabilit applique la position des ples de la FTBFLa notion de marge de stabilit applique la FTBF conduit sinterdire un domaine pour la position des ples dans le plan complexe. On simpose, en gnral, avec = cos = 0.5) (fig. 417). 60

(ce qui correspond un systme du deuxime ordre Imag

= 60

Rel

Fig. 417 : illustration de la marge de stabilit impose sur la position des ples dans le plan complexe.

Zone interditeCours d'asservissements linaires continus (2007-2008) Prof. FELLAH M.K. 72

Chapitre 5 : PERFORMANCES DES ASSERVISSEMENTS

5- 1 - IntroductionNous supposerons dans ltude qui suit que les systmes asservis tudis sont stables. La prcision dun systme est dfinie partir de lerreur entre la grandeur de consigne E et la grandeur de sortie S (fig. 51). Nous distinguerons la prcision statique qui caractrise la limite de lerreur au bout dun temps infini pour une entre donne, cest--dire le rgime permanent, et la prcision dynamique qui tient compte des caractristiques dvolution du processus en rgime transitoire.

5- 2 - Performances Statiques des Systmes boucls5- 2.1 - Erreur statiqueLa prcision dun asservissement, en rgime permanent, est dfinie par lcart permanent

(t) qui existe entre la sortie relle et celle que lon dsire obtenir.

Par dfinition, on dira quun systme est dautant plus prcis que le signal derreur (t) est plus faible. Lidal serait que lon ait :

(t) = 0, t

En pratique, il en est autrement, car :

La consigne peut varier : la recherche de la minimisation de (t), en dpit de ces variations, constitue un problme de suivi (ou de poursuite). Un signal de perturbation alatoire (exemple : un bruit) peut venir de superposer au signal utile en un point de la chane : le maintien de (t), en dpit de la perturbation, constitue un problme de rgulation.

E +

R

A

S

B Fig. 51 : Schma gnral d'un asservissement

Calculons l'erreur statique :

(p) = E(p) R(p) (p) = E(p) - (p) . A(p) . B(p)

Or R(p) = S(p) . B(p) et

S(p) = (p) . A(p)(5 1)

(p) =

E(p) 1 + A(p).B(p)

Daprs le thorme de la valeur finale { lim f ( t ) = lim p.F(p) }, lerreur statique s (ou encore ) estt p0

donne par la relation :

s = lim ( t ) = lim p.(p)t p0


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73

s =

E(p) E (p ) = lim p. lim p. 1 + A(p).B(p) p0 p 0 1 + FTBO(p)

Erreur statique

(5 2)

s dpend donc la fois :du systme considr {prsence de A(p).B(p)}, du signal dentre appliqu {prsence de E(p)}.

Adoptons la notation suivante : n : le nombre dintgrateurs que comporte la FTBO(p)

FTBO(p) = A(p). B(p) =

K 1 + a1p + a2p2 + ......... . pn 1 + b1p + b2p2 + .........

n = entier 0

n est appel classe du systme

m : lordre du signal dentre canonique

E(p) =

E0 pm Si m = 1 Si m = 2 Si m = 3

m = entier 1 chelon rampe Acclration

5- 2.1.a - Erreur statique pour une entre chelonCest lerreur qui subsiste en rgime permanent sur la rponse indicielle (fig. 52).

Entre de rfrence e(t) = E0.u(t) Erreur s constante

Sortie s(t) t 0 Fig. 5-2 : Erreur statique pour une entre chelon


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74

Si lentre vaut : E(p) =

E0 p

0 = s = lim p. p 0 1 + FTBO(p) 1 + lim FTBO(p) p 0

E(p)

E

s =

E0 1 + Ke

Avec Ke = lim FTBO(p) = Constante derreur statique dchelonp 0

ou gain statique en Boucle ouverte

Pour les systmes de classe 0 :

Ke = lim K.p0

1 + a1p + a 2p 2 + ......... 1 + b1p + b 2 p + .........2

=K

s =

E0 = cte 1+ K

Pour les systmes de classe n > 0 :

Ke = lim

K 1 + a1p + a 2 p 2 + ......... = . p 0 p n 1 + b p + b p 2 + ......... 1 2

s = 0

5- 2.1.b - Erreur statique ( ou erreur de tranage ) pour une entre rampe (ou vitesse)Cest lerreur qui subsiste en rgime permanent sur la rponse une rampe (fig. 53).

Entre de rfrence e(t) = E0.t.u(t)

Erreur s

Sortie s(t) t 0 Fig. 53 : Erreur statique pour une entre rampeE0 p2

Si lentre vaut : E(p) = E(p)

0 0 = lim = s = lim p. p 0 p + p.FTBO(p) p 0 1 + FTBO(p) lim p.FTBO(p) p0

E

E

s =

E0 Kv

Avec Kv = lim p.FTBO(p) = Constante derreur statique de vitessep 0


Kv = lim p.K.p0

1 + a 1p + a 2 p 2 + ......... 1 + b 1p + b 2 p 2 + .........

=0

s = s =E0 = cte K


Kv = lim p.p0

K 1 + a 1p + a 2 p 2 + ......... =K . p 1 1 + b 1p + b 2 p 2 + ......... K 1 + a1p + a 2 p 2 + ......... = . p n 1 + b1p + b 2 p 2 + .........

Pour les systmes de classe n >1 :

Kv = lim p.p0

s = 0


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75

5- 2.1.c - Erreur statique pour une entre parabolique (ou acclration)Cest lerreur qui subsiste en rgime permanent sur la rponse une entre acclration (fig. 54).

Entre de rfrence e(t) = E0.t2 .u(t) 2

Erreur s

Sortie s(t) t 0 Fig. 54 : Erreur statique pour une entre acclration

Si lentre vaut : E(p) = E(p)

E0 p3

0 0 = = lim 2 s = lim p. 2 p 0 1 + FTBO(p) lim p 2 .FTBO(p) p 0 p + p .FTBO(p) p 0

E

E

s =

E0 = cte Ka

Avec Ka = lim p 2 .FTBO(p)p0

= Constante derreur statique dacclration1 + a1p + a 2 p 2 + ......... 1 + b1p + b 2 p 2 + .........

Pour les systmes de classe 0 : Ka = lim p 2 .K.p0

=0

s =

Pour les systmes de classe 1 : Ka = lim p 2 .p0

K 1 + a 1p + a 2 p 2 + ......... =0 . p 1 1 + b 1p + b 2 p 2 + ......... K 1 + a1p + a 2 p 2 + ......... =K . p 2 1 + b1p + b 2 p 2 + ......... K 1 + a1p + a 2 p 2 + ......... = . p n 1 + b1p + b 2 p 2 + .........

s = s =E0 = cte K

Pour les systmes de classe 2 : Ka = lim p 2 .p0

Pour les systmes de classe n > 2 :

Ka = lim p 2 .p0

s = 0

5- 2.1.d - Rcapitulatif des erreurs statiquesLe tableau 51 rcapitule les valeurs de lerreur st

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