Cours - Chapitre 5 - Intégration et primitivesTerminale S M.Guéry

Table des matières

1 Première approche du calcul intégral 3

1.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Propriétés liées à l'intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Primitives et intégrales 8

2.1 Primitives d'une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Primitives au service du calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Intégrales et calculs de volumes 14

Dans une fête, Constante vient rejoindre Exponentielle qui reste dans son coin.

Bin alors ? Pourquoi tu restes là ?

- Oh, tu sais...

- Allez ! Viens avec nous ! Intègre-toi !

- Tu sais, quand on m'intègre, ça me fait pas grand chose...

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Introduction

Voici le chapitre consacré à la base de la théorie de l'intégration. Cette théorie a une application fonda-mentale pour les ingénieurs et les physiciens : le calcul d'aire et de volume. Vous pourrez en voir quelquesexemples dans les exercices que je vous ai proposés.D'autres domaines utilisent le calcul intégral, et notamment...les probabilités ! Cela peut paraître in-croyable, mais c'est vrai. Vous en verrez une application cette année, et pour ceux qui continueront dansles mathématiques, vous en étudierez d'avantage.Ce chapitre sur l'intégration ne peut se faire sans l'outil indispensable que sont les primitives de fonctions.Nous verrons le lien qui unit ces deux notions.

Beaucoup de mathématiciens se penchèrent sur cette théorie de l'intégration, et notamment Riemann(Allemand - 19me siècle) et Lebesgue (Français - �n 19me, début 20me).Le premier a réalisé sa thèse sous la tutelle du très polyvalent Carl Friedrich Gauss. Ce nom vous rappellesûrement quelque chose. Cet homme a touché à beaucoup de domaines scienti�ques : les mathématiquesprincipalement, mais aussi la physique. Après sa thèse, entre autres, Riemann s'est intéressé aux travauxde Cauchy sur les intégrales et a complété les dires de ce dernier. Il meurt à l'âge de 39 ans des suitesd'une tuberculose (il ne faisait pas bon être mathématicien à cette époque !).Henri-Léon Lebesgue, quant à lui, se �t connaître dans le monde des mathématiques par ses travaux surla théorie de la mesure, très utile pour la théorie de l'intégration. Il a été plus loin que Riemann, etses découvertes étaient non seulement bien utiles pour les physiciens de l'époque, mais aussi pour ceuxd'aujourd'hui. Outre ses capacités indéniables de chercheur, il fut, selon certains témoignages, un très bonpédagogue, qui savait rendre ses cours agréable, avec certaines touches d'humour. Il mourut à 66 ans.

Georg Friedrich Bernhard Riemann Henri-Léon Lebesgue

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1 Première approche du calcul intégral

1.1 Dé�nitions

Dé�nition : Soient a ∈ R et b ∈ R tels que a ≤ b. Soit f une fonction continue et positive sur [a; b].

Alors l'intégrale entre a et b de f , notée∫ baf(x)dx, représente l'aire entre la courbe représentative de f

dans un repère, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.

exemple : Soit f la fonction dé�nie sur [0; 2] par f(x) = x. Elle est clairement continue et positive sur

[0; 2]. On a alors :∫ 2

0f(x)dx =

∫ 2

0xdx = 2×2

2= 2 (formule de l'aire d'un triangle !).

Intégrale entre 0 et 2 de la fonction x 7−→ x.

Remarques : La variable x, à l'intérieur de l'intégrale, est une variable dite �muette�. Cela signi�e quela lettre choisie n'a pas d'importance. On a, en d'autres termes :

∫ baf(x)dx =

∫ baf(t)dt =

∫ baf(z)dz...

Dé�nition : Soient a ∈ R et b ∈ R tels que a ≤ b. Soit f une fonction continue et négative sur [a; b].

Alors∫ baf(t)dt est égale à l'opposé de l'aire entre la courbe représentative de f dans un repère, l'axe des

abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.

exemple : Soit f la fonction dé�nie sur [−2; 0] par f(x) = x. Elle est clairement continue et négative

sur [−2; 0]. On a alors :∫ 0

−2 f(x)dx =∫ 0

−2 xdx = −(2×22

) = −2 (formule de l'aire d'un triangle !).

Intégrale entre −2 et 0 de la fonction x 7−→ x.

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Si maintenant la fonction f change de signe sur [a; b] :

On a :∫ baf(x)dx = Aire A - Aire B + Aire C.

Dé�nition : Soient a ∈ R et b ∈ R tels que a ≤ b. Soit f une fonction continue sur [a; b].

On pose alors :∫ abf(x)dx = −

∫ baf(x)dx.

On dit qu'on inverse les bornes.

Dé�nition : Soient a ∈ R et b ∈ R tels que a < b. Soit f une fonction continue sur [a; b].

On appelle valeur moyenne de f sur [a; b] le réel 1b−a

∫ baf(x)dx.

exemple : On reprend la fonction f dé�nie sur [0; 2] par f(x) = x.

La valeur moyenne de f sur [0; 2] vaut alors : 12−0

∫ 2

0xdx = 1

2× 2 = 1.

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1.2 Propriétés liées à l'intégrale

Cette section va vous nourrir en propositions, qu'il faudra, bien évidemment, retenir. Les démonstra-tions sont géométriques ; je ne les ferai pas. A vous de faire des dessins et de vous en convaincre. Lesexemples qui suivent chaque proposition vous y aideront.

La première proposition porte un nom que vous connaissez très bien : c'est la relation de Chasles 1. Ce

terme est utilisé pour la somme de deux vecteurs, par exemple :−→AB +

−−→BC =

−→AC.

La proposition concernant les intégrales est du même style.

Proposition 1 : Soient I un intervalle de R et a, b et c trois réels de I.Soit f une fonction continue sur I. Alors :∫ b

af(x)dx =

∫ caf(x)dx+

∫ bcf(x)dx.

exemple : On reprend une nouvelle fois la fonction f dé�nie sur [0; 2] par f(x) = x.

On a vu :∫ 2

0f(x)dx =

∫ 2

0xdx = 2×2

2= 2.

On peut aussi découper le calcul en deux :∫ 2

0f(x)dx =

∫ 2

0xdx =

∫ 1

0xdx+

∫ 2

1xdx.

La première intégrale est facile à calculer, la seconde est un peu plus délicate, un dessin sera fort utile.N'hésitez pas à procéder par lecture graphique pour calculer des intégrales !

La première intégrale correspond à l'aire violette, tandis que la seconde est la somme de l'aire jaune et del'aire verte. Donc :

∫ 1

0xdx = 1×1

2= 1

2et

∫ 2

1xdx = 2× 1 + 2×1

2= 3

2.

En ajoutant les deux résultats, on arrive bien à :∫ 1

0xdx+

∫ 2

1xdx = 1

2+ 3

2= 2.

1. Michel Chasles était un mathématicien français (en France, nous avons eu de très bons experts en mathématiques), néen 1793. En réalité, la relation qui porte son nom existait bien avant lui, mais n'avait pas de terminologie particulière.Chasles a beaucoup travaillé en géométrie, et a démontré ce résultat : "Soient cinq coniques (ellipses, paraboles ou hyperboles)dans un plan, ; il existe 3264 coniques tangentes à ces cinq ans." Amusant non ? Il mourut en 1880.

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Proposition 2 : (Linéarité de l'intégrale)Soient I un intervalle de R et a et b deux réels de I. Soient f et g deux fonctions continues sur I.Alors, pour tout λ ∈ R : ∫ b

a[λ× f(x) + g(x)]dx = λ×

∫ baf(x)dx+

∫ bag(x)dx.

exemple : Soient f et g deux fonctions dé�nies sur [0; 2] par f(x) = x et g(x) = x− 1.

Calculons de deux manières di�érentes :∫ 2

0[2× f(x) + g(x)]dx (on prend λ = 2).

1. Calcul direct :∫ 2

0[2× f(x) + g(x)]dx =

∫ 2

0[2x+ x− 1]dx =

∫ 2

0[3x− 1]dx.

Par la Proposition 1 :∫ 2

0[3x− 1]dx =

∫ 13

0[3x− 1]dx+

∫ 213[3x− 1]dx = −

13×12

+(2− 1

3)×5

2= −1

6+ 5

3× 5

2= ... = 4.

2. En utilisant la linéarité :∫ 2

0[2×f(x)+g(x)]dx = 2×

∫ 2

0f(x)dx+

∫ 2

0g(x)dx = 2×

∫ 2

0xdx+

∫ 2

0[x−1]dx.

On sait déjà que∫ 2

0xdx = 2. Je vous laisse voir que

∫ 2

0[x− 1]dx = 0 :

On a donc bien :∫ 2

0[2× f(x) + g(x)]dx = 2×

∫ 2

0xdx+

∫ 2

0[x− 1]dx = 2× 2 + 0 = 4.

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Proposition 3 : (Positivité de l'intégrale)Soient a et b deux réels tels que a ≤ b, et f une fonction continue sur [a; b]. On a alors :

∀x ∈ [a; b], f(x) ≥ 0 =⇒∫ baf(x)dx ≥ 0.

Proposition 4 : (Croissance de l'intégrale)Soient a et b deux réels tels que a ≤ b. Soient f et g deux fonctions continues sur [a; b]. On a alors :

∀x ∈ [a; b], f(x) ≥ g(x) =⇒∫ baf(x)dx ≥

∫ bag(x)dx.

exemple : On prend les fonctions f et g dé�nies à l'exemple précédent.On a clairement : ∀x ∈ [0; 2], f(x) = x ≥ x− 1 = g(x) et

∫ 2

0f(x)dx = 2 ≥ 0 =

∫ 2

0g(x)dx.

Proposition 5 : Soient a et b deux réels tels que a ≤ b. Soit λ ∈ R. On a alors :∫ baλdx = λ×

∫ badx = λ× (b− a).

exemple : On prend a = 1, b = 3 et λ = 3. On calcule tout simplement l'aire d'un rectangle !

Proposition 6 : (Inégalité de la moyenne)Soient a et b deux réels tels que a ≤ b, et f une fonction continue sur [a; b].Soient m ∈ R et M ∈ R, tels que : ∀x ∈ [a; b], m ≤ f(x) ≤M .On a alors :

m(b− a) ≤∫ baf(x)dx ≤M(b− a).

Démonstration : Avec les hypothèses du théorème, et la Porposition 4 :

∀x ∈ [a; b], m ≤ f(x) ≤M =⇒∫ bamdx ≤

∫ baf(x)dx ≤

∫ baMdx.

Par conséquent, par la Proposition 5, on a bien :

∀x ∈ [a; b], m ≤ f(x) ≤M =⇒ m(b− a) ≤∫ baf(x)dx ≤M(b− a).

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2 Primitives et intégrales

Comme énoncé dans l'introduction de ce chapitre, les primitives et les intégrales s'apprécient.Dans la première partie, vous avez sûrement constaté que tous mes exemples étaient des fonctions a�nes.En e�et, déterminer seulement de manière géométrique l'intégrale d'une fonction, c'est-à-dire calculer l'airecorrespondante, n'est évident que si ces calculs d'aires sont faciles à e�ectuer. C'est le cas des fonctionsa�nes (calcul de l'aire de triangles rectangles ou de rectangles).

Pourriez-vous me donner∫ 2

0x2dx seulement géométriquement ? J'en doute.

Pour répondre à cette question, l'intérêt des primitives se fait sentir.Mais avant cela, étudions un peu la bête !

2.1 Primitives d'une fonction continue

Dé�nition : Soient I un intervalle de R et f une fonction continue sur I.On dit que F est une primitive de f sur I si, et seulement si :

F est dérivable sur I et : ∀x ∈ I, F ′(x) = f(x).

exemple : Soit f la fonction dé�nie sur R par f(x) = x2. Le but est de trouver une primitive de f .On sait que, pour tout x réel : (x3)′ = 3x2.Ainsi, en posant F la fonction dé�nie sur R par F (x) = 1

3x3, on a bien que F est dérivable sur R et que

F ′ = f sur R. Donc F est une primitive de f .

Remarque : Si f admet une primitive F sur un intervalle I, F n'est pas unique ! Il y a d'ailleurs dansce cas une in�nité de primitives de f sur I.

exemple : La fonction G dé�nie sur R par G(x) = 13x3 + 1 est aussi une primitive de la fonction carrée.

Théorème 1 : Soient f une fonction continue sur I intervalle de R et F une primitive de f sur I.Alors :

G est une primitive de f sur I ⇐⇒ ∃k ∈ R / G = F + k.

Démonstration : =⇒ On suppose que G est aussi une primitive de f sur I. Alors, sur I :

G′ = f = F ′ =⇒ G′ − F ′ = 0 =⇒ (G− F )′ = 0 =⇒ ∃k ∈ R / G− F = k=⇒ ∃k ∈ R / G = F + k.

⇐= On suppose maintenant qu'il existe k réel tel que, sur I, G = F + k.On a clairement alors que G est dérivable sur I car F est une primitive de f sur I, donc dérivable sur I.De plus : ∀x ∈ I, G′(x) = F ′(x) + 0 = F ′(x) = f(x).Donc G est bien une primitive de f sur I.

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Le théorème qui suit montre la première relation liant primitives et intégrales. Il permet de donnerl'unique primitive d'une fonction continue sur un intervalle, pourvu qu'on injecte une condition initiale.La démonstration de ce théorème n'est pas au programme de Terminale S. J'aimerais cependant aller unpeu plus loin, et vous en donner une preuve.J'aurai cependant besoin d'une propriété, qui paraît évidente, mais que je ne démontrerai pas.

Proposition 7 : Soit [a; b] un intervalle fermé de R. Soit f une fonction continue sur [a; b].Alors f admet un minimum m et un maximum M sur [a; b] et les atteint sur [a; b].

Théorème 2 : Soient I un intervalle de R et f une fonction continue sur I. Soit a ∈ R.Alors l'unique primitive F de f sur I qui s'annule en a est donnée par :

∀x ∈ I, F (x) =∫ xaf(t)dt.

Démonstration : Il faut montrer deux choses :

1. F est dérivable sur I et : ∀b ∈ I, F ′(b) = f(b).

2. F (a) = 0 et si G est une primitive de f sur I et si G(a) = 0, alors F = G sur I.

C'est parti !

1. C'est le point le plus délicat. Soit b ∈ I. Montrons que F est dérivable en b et que F ′(b) = f(b).Soit x ∈ I, x 6= b. Supposons, sans perte de généralités, que x > b. Alors :

F (x)−F (b)x−b = 1

x−b(∫ xaf(t)dt−

∫ baf(t)dt) = 1

x−b(∫ xaf(t)dt+

∫ abf(t)dt).

Par la relation de Chasles : 1x−b(

∫ xaf(t)dt+

∫ abf(t)dt) = 1

x−b

∫ xbf(t)dt.

Par la Proposition 7, f admet un minimum m et un maximum M sur [b;x], c'est-à-dire :

∀t ∈ [b;x], m ≤ f(t) ≤M .

Par conséquent, par la Proposition 6 : m(x− b) ≤∫ xbf(t)dt ≤M(x− b).

Par suite :m(x−b)x−b ≤

1x−b

∫ xbf(t)dt ≤ M(x−b)

x−b) ⇐⇒ m ≤ F (x)−F (b)x−b ≤M .

On passe maintenant à la limite quand x tend vers b. Dans ce cas, l'intervalle [b;x] tend évidemmentvers le point b, et donc m et M tendent vers la valeur f(b). En e�et, plus un intervalle diminue,plus le minimum et le maximum d'une fonction sur cet intervalle se rapprochent pour �nalementatteindre la valeur f(b). On a alors, par le Théorème des gendarmes :

limx→b

F (x)−F (b)x−b = f(b).

Donc F est dérivable en b et F ′(b) = f(b).Ceci étant valable pour tout b ∈ I, F est dérivable sur I et F ′ = f .

2. On a clairement que F (a) = 0 car F (a) =∫ aaf(t)dt = 0. Convainquez-vous en en faisant un dessin

si nécessaire et en considérant l'intégrale comme une aire.De plus, si G est une autre primitive de f sur I, on a, par le Théorème 1 :

∃k ∈ I / G = F + k.

Si, en prime, G(a) = 0, alors : 0 = G(a) = F (a) + k = 0 + k =⇒ k = 0.Par conséquent, G = F . Ainsi, F est unique !

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Corollaire : Toute fonction continue sur un intervalle de R admet des primitives sur cet intervalle.

Je vous propose, en guise de pense-bête, un petit tableau qui vous donne les primitives des fonctionsusuelles. Il est à connaître, tout comme le tableau sur les dérivées des fonctions usuelles.Dans ce tableau, k désigne un nombre réel.

Fonction Primitives Domaine de dé�nitionx 7−→ a (a ∈ R) x 7−→ ax+ k Rx 7−→ xn (n ∈ N) x 7−→ xn+1

n+1+ k R

x 7−→ xa (a ∈ R, a 6= −1) x 7−→ xa+1

a+1+ k ]0; +∞[

x 7−→ 1x

x 7−→ ln(x) + k ]0; +∞[x 7−→ ex x 7−→ ex + k R

x 7−→ cos(x) x 7−→ sin(x) + k Rx 7−→ sin(x) x 7−→ −cos(x) R

Et comme vous avez été sages, voici un nouveau tableau, présentant les primitives des opérations etcompositions de fonctions. Entraînez-vous à les démontrer, ce n'est pas compliqué. Justi�ez au préalableque les primitives proposées sont bien dérivables sur le domaine de dé�nition donné.Dans ce tableau, k désigne un nombre réel. Soient u et v deux fonctions dé�nies et dérivables sur unintervalle I.

Fonction Primitives Domaine de dé�nitionau′ (a ∈ R) au+ k Iu′ + v′ u+ v + k Iu′eu eu + k I

u′un (n ∈ N) un+1

n+1+ k I

u′ua (a ∈ R, a 6= −1) ua+1

a+1+ k {x ∈ I/u(x) > 0}

u′

uln(|u|) + k {x ∈ I/u(x) 6= 0}

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exemples : On pose u la fonction dé�nie sur R par u(x) = x2 + x+ 3.

1. Soit f la fonction dé�nie sur R par f(x) = (2x+ 1)ex2+x+3.

f est continue sur R car produit de deux fonctions continues sur R, la deuxième étant une compositionde deux fonctions continues sur R. Par le corollaire du Théorème 2, f admet des primitives sur R.On remarque que :

∀x ∈ R, f(x) = u′(x)eu(x).

Alors par le tableau précédent, la fonction F dé�nie sur R par F (x) = eu(x) = ex2+x+3 est une

primitive de f (avec k = 0).

2. Soit f la fonction dé�nie par f(x) = 2x+1x2+x+3

. Déterminons son domaine de dé�nition.Pour que f soit dé�nie, il est nécessaire et su�sant que u(x) = x2 + x+ 3 6= 0.Or, en calculant le discriminant ∆, on trouve : ∆ = 12 − 4× 1× 3 = −11 < 0.Ainsi : ∀x ∈ R, x2 + x+ 3 6= 0. Donc f est dé�nie sur R.On peut même dire plus : comme le coe�cient dominant est 1 > 0, on a : ∀x ∈ R, x2 +x+3 > 0.f étant continue sur R (fraction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule en aucun point), fadmet des primitives.De plus, on remarque que : ∀x ∈ R, f(x) = u′(x)

u(x). Donc par le tableau, la fonction F dé�nie R

par : F (x) = ln(|u(x)|) est une primitive de f .De plus, comme u(x) > 0 sur R, F est alors dé�nie par : F (x) = ln(u(x)) = ln(x2 + x+ 3).

3. Soit f la fonction dé�nie sur R par f(x) = (2x + 1)cos(x2 + x + 3). Elle est continue, par le mêmeargument que pour l'exemple 2.On a clairement que : f(x) = u′(x)× cos(u(x)), ∀x ∈ R. Autrement dit :

∀x ∈ R, f(x) = sin′(u(x))× u′(x) = (sin ◦ u)′(x).

Ainsi, la fonction F dé�nie sur R par F (x) = sin(u(x)) = sin(x2+x+3) est une primitive de f sur R.

4. Soit f la fonction dé�nie sur R par f(x) = 2x+12√x2+x+3

. On a encore une fois f continue sur R parquotient de deux fonctions continues sur R, le dénominateur ne s'annulant pas. On remarque que :

∀x ∈ R, f(x) = u′(x)

2√u(x)

= (√ ◦ u)′(x).

Par conséquent, la fonction F dé�nie sur R par F (x) =√u(x) =

√x2 + x+ 3 est une primitive de

f sur R.

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2.2 Primitives au service du calcul intégral

Le lien entre les primitives et les intégrales a été aperçu via le Théorème 2. Mais dans ce cas, c'estl'intégrale qui est utile pour déterminer une primitive. Pour les physiciens par exemple, c'est le sens opposéqui intéresse : Comment calculer une intégrale à l'aide de primitives ?Le théorème qui suit répond à cette question.

Théorème 3 : Soit I un intervalle de R. Soient a et b deux réels dans I.Soit f une fonction continue sur I. Alors :∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a), où F est une primitive quelconque de f sur I.

exemple : Rappelez-vous, dans un passé très lointain, on a vu que∫ 2

0xdx = 2.

Trouvons ce résultat par la méthode préconisée par ce Théorème 3 :Il su�t de prendre une primitive quelconque de la fonction x 7−→ x sur [0; 2].La première qui vient à l'esprit est x 7−→ 1

2x2. D'où, par ce théorème :∫ 2

0xdx = 1

2× 22 − 1

2× 02 = 1

2× 4 = 2.

Remarque : C'est ce théorème qui nous sort de l'impasse. Il permet de calculer très facilement∫ 2

0x2dx.

Par considération graphique, et je l'ai déjà dit, c'est très compliqué à calculer. Avec ce théorème, c'est toutsimple ! ! A vous de jouer. Je vous donne la réponse : 8

3.

Démonstration : Avec les hypothèses du théorème, et la relation de Chasles, on a :

∀y ∈ [a; b],∫ baf(x)dx =

∫ yaf(x)dx+

∫ byf(x)dx =

∫ byf(x)dx−

∫ ayf(x)dx.

Soit G la primitive de f sur I s'annulant en y. On a donc :∫ byf(x)dx = G(b) et

∫ ayf(x)dx = G(a).

Soit F une primitive quelconque de f sur I. Alors par le Théorème 1 :

∃k ∈ R / F = G+ k.

Ainsi, ∫ byf(x)dx = G(b) = F (b)− k et

∫ ayf(x)dx = G(a) = F (a)− k.

Donc : ∫ baf(x)dx = F (b)− k − (F (a)− k) = F (b)− k − F (a) + k = F (b)− F (a).

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Notation : On note∫ baf(x)dx = [F (x)]ba = F (b)− F (a).

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Souvent, le calcul d'une intégrale est encore plus compliqué que la simple∫ 2

0x2dx. Le théorème suivant

est à utiliser sans modération. Pour les études supérieures, il est très important. Retenez-le, épousez-le,faites ce que vous voulez, mais gardez-le en tête !

Théorème 4 : (Intégration Par Parties)Soient a et b deux réels tels que a ≤ b.Soient u et v deux fonctions dérivables sur [a; b] telles que leurs dérivées sont continues sur [a; b]. Alors :∫ b

au(x)× v′(x)dx = [u(x)× v(x)]ba −

∫ bau′(x)× v(x)dx.

exemple : On va calculer∫ π0xsin(x)dx.

Si vous trouvez tout de suite une primitive de cette fonction, continue sur [0; π], je suis preneur ! Mais per-sonnellement, je ne trouve pas (en�n si mais je ne le dis pas !). En clair, on ne peut pas utiliser directementle Théorème 3.On va alors utiliser le Théorème 4.

On pose u la fonction dé�nie sur [0; π] par u(x) = x ; v′ la fonction dé�nie sur [0;π] par v′(x) = sin(x).u est dérivable sur [0; π] et : ∀x ∈ [0;π], u′(x) = 1. u′ est clairement continue sur [0; π].v′ est continue sur [0; π], donc admet une primitive u dé�nie sur [0; π] par v(x) = −cos(x).Ainsi, par ce théorème :∫ π

0xcos(x)dx =

∫ π0u(x)× v′(x)dx = [u(x)× v(x)]π0 −

∫ π0u′(x)× v(x)dx =

[x× (−cos(x))]π0 −∫ π0

1× (−cos(x))dx = [π × (−cos(π))− 0× (−cos(0))] +∫ π0cos(x)dx =

π × 1 + [sin(x)]π0 = π + [sin(π)− sin(0)] = π.

Remarque : La continuité est soulignée dans le théorème et dans l'exemple. Cette hypothèse est à nepas oublier ! Vous perdrez systématiquement des points le jour du Bac, ou de toute autre épreuve, si vousomettez de l'écrire !

Démonstration : On rappelle que, avec les hypothèses du théorème :

(u× v′) + (u′ × v) = (uv)′.

Ainsi, on a d'une part :∫ ba(uv)′(x)dx =

∫ bau(x)× v′(x) + u′(x)× v(x)dx =

∫ bau(x)× v′(x)dx+

∫ bau′(x)× v(x)dx (1).

D'autre part : ∫ ba(uv)′(x)dx = [(uv)(x)]ba = [u(x)× v(x)]ba (2).

Par conséquent, avec (1) et (2) :∫ bau(x)× v′(x)dx+

∫ bau′(x)× v(x)dx = [u(x)× v(x)]ba⇐⇒∫ b

au(x)× v′(x)dx = [u(x)× v(x)]ba −

∫ bau′(x)× v(x)dx.

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3 Intégrales et calculs de volumes

On a vu que le calcul intégral permettait de déterminer une aire. Prochaine étape : le calcul de volumes.J'aborde cette section car les physiciens ou ingénieurs adorent calculer des volumes (ils n'ont que ça à fairevous me direz !). Voici donc la méthode.

On munit l'espace (ba oui ! on parle de volume, donc on se place en dimension 3. Il faut suivre !) d'un

repère orthonormé (O;−→i ;−→j ;−→k ).

Soit un solide noté (E) limité par les plans d'équations z = a et z = b (avec a ≤ b).Pour tout t ∈ [a; b], on note S(t) l'aire de la section du solide (E) par le plan d'équation z = t.

Proposition 8 : Si la section S est continue sur [a; b], alors le volume du solide (E) est :

V =∫ baS(t)dt.

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